17 מבחן בגרות מספר

‫מבחן בגרות מספר ‪17‬‬
‫קיץ תשע"ד‪ ,2014 ,‬מועד ב‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫רץ ‪ I‬ורץ ‪ II‬יצאו באותו רגע מאותו מקום‪ .‬הם רצו במהירות קבועה‬
‫ובאותו כיוון‪.‬‬
‫המהירות של רץ ‪ I‬הייתה ‪ 6‬קמ"ש‪ ,‬והמהירות של רץ ‪II‬‬
‫הייתה ‪ 7.5‬קמ"ש‪ .‬כעבור ‪ 20‬דקות מרגע היציאה של שני הרצים‪,‬‬
‫יצא רץ ‪ III‬מא ותו מקום ובאותו כיוון‪ ,‬והוא רץ במהירות קבועה‪.‬‬
‫רץ ‪ III‬פגש בדרך את רץ ‪ , I‬ושעה אחר כך הוא פגש את רץ ‪. II‬‬
‫מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ ‪ III‬עד לפגישתו עם רץ ‪. II‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית‪a1 , a 2 , a 3 , ... :‬‬
‫שלושה איברים עוקבים בסדרה‪, a n , a n 1 , a n  2 ,‬‬
‫מקיימים‪:‬‬
‫‪a 2n  2  a 2n  216‬‬
‫‪a n  a n 1  a n  2  54‬‬
‫א‪ .‬מצא את האיבר ‪. a n‬‬
‫ב‪ .‬לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה‪:‬‬
‫‪a 5 , a 9 , a13 , ... , a 4k 1‬‬
‫סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא ‪. 450‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה ה נתונה בפתיח הוא ‪. a1  21‬‬
‫מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫‪70‬‬
‫‪.3‬‬
‫בעיר גדולה כל אחד מתלמידי כיתות י"ב בשנה מסוימת בוחר באחד‬
‫משני המסלולים לטיול שנתי‪ :‬מסלול א' או מסלול ב'‪.‬‬
‫נמצא‪ 75% :‬מן התלמידים שבחרו במסלול א' הן בנות‪.‬‬
‫‪ 10%‬מן הבנות בחרו במ סלול ב'‪.‬‬
‫‪ 40%‬מן התלמידים הם בנות‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד י"ב )בן‪/‬בת(‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא בחר במסלול א'?‬
‫ב‪ .‬כאשר בוחרים באקראי תלמיד )בן‪/‬בת(‪ ,‬האם המאורע‬
‫"התלמיד הוא בת" והמאורע "התלמיד )בן‪/‬בת( בחר במסלול א' "‬
‫הם מאורעות בלתי תלויים? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬בחרו באקראי כמה בנות מבין התלמידים‪.‬‬
‫נמצא שההסתברות שלפחות אחת מהן בחרה במסלול א' היא ‪. 0.99‬‬
‫)הבחירות של המסלולים על ידי הבנות שנבחרו הן בלתי תלויות(‪.‬‬
‫כמה בנות נבחרו?‬
‫פרק ש ני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O1‬‬
‫‪ BD‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O 2‬‬
‫ישר משיק למעגלים ‪ O1‬ו‪O 2 -‬‬
‫בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬בהתאמה‪.‬‬
‫המשיק חותך את קטע המרכזים‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ O1O 2‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪ :‬רדיוס המעגל ‪ O1‬הוא ‪ 30‬ס"מ‪,‬‬
‫רדיוס המעגל ‪ O 2‬הוא ‪ 20‬ס"מ‪,‬‬
‫אורך קטע המרכזים ‪ O1O 2‬הוא ‪ 90‬ס"מ‪.‬‬
‫‪O1E‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את היחס‬
‫‪O1C‬‬
‫) ‪ ( 2‬הוכח כי ‪. EO1C  EO 2 D‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ E‬נמצאת על הישר ‪. CD‬‬
‫‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪(ACB  90 ) ACB‬‬
‫נקודה ‪ G‬היא אמצע הניצב ‪. AC‬‬
‫נקודה ‪ P‬נמצאת על ‪ GB‬כך ש‪BG  4  PG -‬‬
‫‪.5‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬רדיוס המעגל החוסם‬
‫את המשולש ‪ CGB‬ה וא ‪ . R‬נתון‪. GC  BC :‬‬
‫‪P‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את רדיוס המעגל‬
‫החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את מרחק הנקודה ‪P‬‬
‫ממרכז המעגל החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות ‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬
‫נתונות שתי פונקצי ות‪f (x)  x 8  x 2 :‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪g(x)  8x 2  x 4‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬לשתי הפונקציות יש אותו תחום הגדרה‪ .‬מצא את תחום ההגדרה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות )‪ f (x‬ו‪g(x) -‬‬
‫עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של כל אחת‬
‫מהפונקציות‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬על פי הסעיפים א ו‪ -‬ב‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ארבעה גרפים‪. IV  I ,‬‬
‫איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת )‪ ? g '(x‬נמק‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪II‬‬
‫‪III‬‬
‫‪72‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪(x  2) 2‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬רק על פי סעיף א‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬שסרטטת‪,‬‬
‫מצא את התחום שבו מתקיים‪ :‬פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬שלילית‬
‫ופונקציית הנגזרת השנייה )‪ f "(x‬חיובית‪.‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫ֹ‬
‫‪.8‬‬
‫נתון מלבן ‪. ABCD‬‬
‫הצלע ‪ DC‬מונחת על הקוטר של חצי מעגל‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫שהרדיוס שלו ‪ R‬ומרכזו ‪ M‬כך ש‪. DC  R -‬‬
‫הצלע ‪ AD‬משיקה לחצי המעגל בנקודה ‪, D‬‬
‫והקדקוד ‪ B‬נמצא על המעגל )ראה ציור(‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫נסמן‪BMC  x :‬‬
‫)‪ – S(x‬שטח המלבן ‪. ABCD‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ , x‬כדי ששטח המלבן )‪ S(x‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את השטח המוגב ל על ידי גרף הפונקציה )‪S(x‬‬
‫ועל ידי ציר ה‪ x -‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪73‬‬
‫‪D‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 17‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ב ‪:‬‬
‫‪ 1 2 . 1‬שעו ת )שעה ו‪ 40 -‬דקות(‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪. k  10 .‬‬
‫‪ . 2‬א‪. a n  15 .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 0.48 .‬ב‪ .‬לא‪ ,‬המאורעות הם מאורעות תלויים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שתי בנות‪.‬‬
‫‪ . 4‬א‪. 95 ( 1 ) .‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 10 R .‬ב‪R .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 6‬א‪.  8  x  8 ( 1 ) .‬‬
‫) ‪. (  8;0) , (0;0) , ( 8;0) : f (x) ( 2‬‬
‫)‪. (  8;0) , (0;0) , ( 8;0) : g(x‬‬
‫ב‪ (2;4) : f (x) .‬מקסימום מוחלט‪ ( 2;  4) ,‬מינימום מוחלט‪.‬‬
‫)‪ (2;4) : g(x‬מקסימום מוחלט‪ ( 2;4) ,‬מקסימום מוחלט‪.‬‬
‫)‪ ( 8;0‬מינימום מוחלט‪ (0;0) ,‬מינימום מוחלט‪,‬‬
‫)‪ (  8;0‬מינימום מוחלט‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ .‬גרף ‪. I‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ . 7‬א‪. x  1 , x  1 ( 1 ) .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪. y  1 , x  1 , x  1 ( 2‬‬
‫) ‪. (2;0) , (0;  4) ( 3‬‬
‫) ‪(2;0) ( 4‬‬
‫מינימום‪ 12 ; 3 ,‬‬
‫‪x‬‬
‫מקסימום‪.‬‬
‫ג‪. 1  x  2 .‬‬
‫‪ . 8‬א‪ .  .‬ב‪. 1 1 R 2 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪74‬‬