קובץ של תרגילים נוספים, תרגיל 1.

Comments

Transcription

קובץ של תרגילים נוספים, תרגיל 1.
‫אלכס גולדוורד‬
‫שאלות בחדו״א וקטורי‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪) .1‬הצגה פרמטרית של משטח סיבוב(‪ .‬משטח ‪ S‬מוגדר כך‪:‬‬
‫]‪S : ~r(u, v) = f (v) cos uî + f (v) sin uĵ + v k̂, u ∈ [0, 2π], v ∈ [a, b‬‬
‫בחתך של המשטח הנתון ע״י מישור אופקי ‪ z = v‬מתקבל מעגל עם רדיוס )‪.f (v‬‬
‫כל‬
‫‪p‬‬
‫)א( הוכח ששטח של משטח ‪ S‬ניתן לחשב ע״י הנוסחה ‪f (v) 1 + f 0 (v)2 dv‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2π‬‬
‫)ב( חשב בעזרת נוסחה הנ״ל שטח פנים של ספרה עם רדיוס ‪.R‬‬
‫)ג( נתונה חצי ספרה ‪ .z ≥ 0, x2 + y2 + z 2 = R2‬נחתוך אותה ל־‪ 10‬רצועות ע״י מישורים אופקיים‬
‫‪ .z = 0.1R, z = 0.2R, . . . , z = 0.9R‬מצא רצועה בעלת שטח הגדול ביותר‪.‬‬
‫הזכ‬
‫תשובה‪ :‬ב‪ 4πR2 .‬ג‪ .‬לכל הרצועות יש אותו שטח‬
‫‪ .2‬חשב שטף של השדה ̂‪ F~ = xî + yĵ + 0k‬דרך הרצועה ‪.S = (x, y, z) : x2 + y2 + z 2 = R2 , 0.3R ≤ z ≤ 0.6R‬‬
‫‬
‫‬
‫תשובה‪0.474πR3 :‬‬
‫‪ .3‬חשב שטף של שדה ̂‪ F~ = 2xî − yĵ + z k‬דרך משטח סגור שמוגדר ע״י הצגה פרמטרית‬
‫‪0 ≤ u < 2π, 0 ≤ v ≤ 1‬‬
‫‪~r(u, v) = v cos uî + v sin uĵ + v k̂,‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫בשתי דרכים‪ .‬רמז לאחת מהן‪ :‬נפח של חרוט עם רדיוס ‪ R‬וגובה ‪ h‬שווה ‪. 31 πR2 h‬‬
‫תשובה‪2π/3 :‬‬
‫‪~ 1, G‬‬
‫‪) rotG‬רכיבים של ‪~ 2‬‬
‫‪~ 1 = rotG‬‬
‫‪ .4‬נתון ש־ ‪~ 2‬‬
‫‪ G‬פונקציות עם נגזרות חלקיות רציפות לכל )‪.((x, y, z‬‬
‫‪~1 − G‬‬
‫הוכח ש־ ‪~ 2 = ∇u‬‬
‫‪ G‬כאשר ‪ u‬פונקציה סקלרית‪.‬‬
‫‪ .5‬נתון שדה וקטורי ̂‪.F~ = (z − y)î + (x − z)ĵ + (y − x)k‬‬
‫שמ‬
‫‪ G‬כך ש־ ~‪~ = F‬‬
‫)א( הראה שהשדה הנתון סולנואידלי ומצא פוטנציאל וקטורי שלו )שדה וקטורי ~‬
‫‪.(rotG‬‬
‫)ב( מצא שדה וקטורי נוסף ̂‪ B~ = î + Qĵ + Rk‬כך ש־ ~‪.rotB~ = F‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪~ = 0î + (xy − 1/2x2 )ĵ + (xz + yz − 1 x2 − 1 y 2 )k̂ .‬‬
‫‪G‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬אחת מהתשובות האפשריות‪.B~ = î + (xy − 1/2x2 )ĵ + (xz + yz − 12 x2 − 12 y2 )k̂ :‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫תשובה כללית‪~ + ∇u :‬‬
‫‪ B~ = G‬כאשר ‪ u‬פונקציה סקלרית כך ש־ ̂‪.∇u = î + u0y ĵ + u0z k‬‬
‫‪1‬‬