– פתיחה 1- שיעור הכרת המעגל והעיגול

‫אורלי אלבז‬
‫בס"ד‬
‫מתווה ליחידת ההוראה לכיתה ו'‬
‫נושא‪:‬מעגל ועיגול‬
‫מטרת היחידה‪:‬‬
‫‪ .1‬התלמידים יסבירו את המושגים הבאים‪ :‬מעגל‪ ,‬עיגול‪ ,‬רדיוס‪ ,‬מיתר‪ ,‬קוטר ופאי‪.‬‬
‫‪ .2‬התלמידים יסבירו קשרים ‪ :‬בין רדיוס קוטר‪ ,‬היקף המעגל לקוטרו–פיי ‪‬‬
‫‪ .3‬התלמידים יסבירו את נוסחת מציאת היקף המעגל ‪-‬קוטר* ‪ = ‬היקף‬
‫‪.4‬‬
‫התלמידים יבנו ויסבירו את "נוסחת" שטח עיגול בעזרת שימוש ב"נוסחת" שטח מלבן ‪/‬‬
‫מקבילית‪.‬‬
‫ידע קודם‪:‬‬
‫חישוב שטחים של מצולעים – ריבוע‪ ,‬מלבן‪ ,‬מקבילית‪ ,‬משולש‪.‬‬
‫יחידות אורך ושטח – ס"מ‪ ,‬מטר‪ ,‬סמ"ר‪ ,‬מ"ר‪.‬‬
‫גופים – גליל וחרוט – זיהוי ושיום‪.‬‬
‫יישומונים‪http://www.galim.org.il/math/Geogebra/pages/3212/6319‬‬
‫‪http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=116‬‬
‫שיעור‬
‫נושא‬
‫שיעור ‪-1‬‬
‫הכרת המעגל‬
‫והעיגול‬
‫מעגל‬
‫ועיגול‬
‫הכרות‪-‬‬
‫פתיחה –‬
‫מקטע‪66611‬‬
‫מעגל ועיגול‪ ,‬היכן‬
‫הרובוט‪.‬‬
‫סבב הקניות‪:1‬‬
‫דפרנציאליות‪,‬‬
‫קבוצות הומוגניות‪.‬‬
‫היכרות המעגל‬
‫מטרה‬
‫פעילות‬
‫פתיחה – צפייה בסרטון‪,‬‬
‫לדוד אריק נעלם הרובוט הגוזם את הדשא‪.‬‬
‫היכן הרובוט ?‬
‫ידוע כי הוא נמצא במרחק ‪ 01‬מטרים מהנקודה‬
‫בה עומד אריק‪ ,‬אך לא ידוע מה הכיוון‪.‬‬
‫הגברת הביאה לו לעזר ‪ 4‬שרטוטים ואמרה‪,‬‬
‫בוא ונבחר אחד מהם ונחפש‪.‬‬
‫אריק התבונן וטען כי אם רוצים לדעת בוודאות‬
‫היכן הרובוט‪ ,‬ניתן לבחור רק אפשרות אחת‪.‬‬
‫מה אתם אומרים ?‬
‫דגש – מה אנו יודעים – ‪ 01‬מטר מכל נקודה בה‬
‫יהיה‪.‬‬
‫לא יודעים – לאיזה כיוון‪.‬‬
‫דיון – מה יבחר ? מדוע ?‬
‫התלמיד יסביר כי חיבור לפתיחה – מה דעתכם ?‬
‫מעגל הינו קו עקום אריק בבעיה‪ ,‬מה בעייתו ? למה ?‬
‫סגור בו מרחק כל מה הוא יודע ?(לאיזה כיוון שילך יצעד ‪ 01‬מ')‬
‫מה לא יודע ?(לאיזה כיוון ילך)‪ ,‬אז אם הוא‬
‫הנקודות על‬
‫עומד בנקודה זו‪ ,‬מצביעה על נקודה‪ .‬איך יוכל‬
‫המעגל במרחק‬
‫למצוא את הרובוט‪.‬‬
‫שווה ממרכזו‪.‬‬
‫קחו דפים ‪ ,‬בהם מצויינת הנקודה בה עומד‬
‫התלמיד יסביר כי אריק‪ ,‬אני מבקשת לשרטט את השביל שאם‬
‫אריק ילך בו בטוח כי יתקל ברובוט‪.‬‬
‫רדיוס‪ ,‬הינו קטע‬
‫(להעלות לדיון גם את הצורות מהפתיחה)‬
‫המחבר את מרכז‬
‫התלמידים בעזרת האמצעים העומדים‬
‫המעגל עם כל‬
‫נקודה הנמצאת על לרשותם משרטטים צורות ‪.‬‬
‫הדיון – האם השרטוט עומד בתנאים ‪?.‬‬
‫המעגל‪.‬‬
‫מדוע ? איזה שרטוט יעמוד בתנאים ? (מעגל )‬
‫עזרי הוראה‬
‫שרטוטים‬
‫בהם נקודת מרכז ‪-‬‬
‫על השולחן ;‬
‫מחוגה‪ ,‬מקלות‬
‫ארטיק‪ ,‬מנקה‬
‫מקטרות‪ ,‬חוטים‪,‬‬
‫קשיות‪,‬‬
‫סרגלים‪,‬טוש‬
‫מחובר לחוט‪.‬‬
‫דפים בהם מסומן‬
‫המקום בו עומד‬
‫אריק‪.‬‬
‫אורלי אלבז‬
‫בס"ד‬
‫שיעור ‪-2‬‬
‫מושגים‬
‫סבב הקניות ‪2‬‬
‫מעגל‬
‫ועיגול –‬
‫מושגים‬
‫; מעגל‪,‬‬
‫עיגול‪,‬‬
‫רדיוס‪,‬‬
‫קוטר‪,‬‬
‫מיתר‪,‬‬
‫קשת‪,‬‬
‫גזרה‬
‫שיעור ‪-3‬‬
‫היקף המעגל‬
‫היקף‬
‫המעגל‬
‫דפרנציאליות‪,‬‬
‫קבוצות הומוגניות‪.‬‬
‫מקטע‪66611‬‬
‫מעגל ועיגול‪ ,‬היכן‬
‫הרובוט‪.‬‬
‫חוברת עבודה –‬
‫ע"מ ‪33-36‬‬
‫דף עבודה‬
‫מקטע ‪– 66612‬‬
‫היקף המעגל‬
‫תעלומת המעגלים‬
‫המסתוריים‪.‬‬
‫אחרי הפתיחה –‬
‫הילדים עובדים‬
‫בחוברת‪ ,‬ע"מ ‪35-‬‬
‫‪61‬‬
‫רק בסיום ההקנייה‬
‫עובדים במקטע‬
‫סבב הקניות ‪3‬‬
‫מדוע ? (מרחקים שווים מהמרכז‪.‬‬
‫אם כך‪ ,‬מהו מעגל ?‬
‫פתיחה‪ :‬סיכום של אתמול‪ :‬מה דיברנו‬
‫אתמול? מדוע המפה הזו לא? וזו כן? מדוע? איך‬
‫קוראים למרחק הזה לכל כיוון שעליו היה‬
‫ללכת? (רדיוס) ואיך קוראים לזה? (קוטר)‬
‫התלמידים יסבירו‪ ,‬מניחה בפני הילדים שרטוטים שונים‪ ,‬מה דומה‬
‫? מה שונה ?‬
‫רדיוס‪ ,‬קוטר‪,‬‬
‫המעגל– מה ייחודו ? (מרחקים שווים)‬
‫מיתר‪ ,‬קשת‪.‬‬
‫יסבירו את הקשר נותנת מעגלים שונים‪ ,‬מבקשת למצוא את מרכז‬
‫בין רדיוס לקוטר – המעגל‪( ,‬קיפול‪ ,‬מחוגה)‪ ,‬לרשום מרכז‪.‬‬
‫מבקשת לשרטט קו ממרכז המעגל לנקודה על‬
‫‪ =2r‬קוטר‪,‬‬
‫המעגל‪ ,‬שרטטו קו נוסף ‪ ,‬מה דומה ? מה שונה‬
‫יסביר את הקשר‬
‫בין קוטר למיתר ‪( ? -‬שווים)‪ ,‬שרטטו עוד קו‪ ,‬גם הוא זהה ? כיצד‬
‫קוטר הוא המיתר יתכן ? ‪ ,‬כמה קווים כאלה ניתן לשרטט ? (אין‬
‫סוף)‪ ,‬מדוע ? וכולם שווים ? משהו יודע איך‬
‫הארוך ביותר‬
‫קוראים להם ? (רדיוס) ואם אשרטט קו כזה‪,‬‬
‫בעיגול‪.‬‬
‫(קוטר)‪ ,‬גם אותו ניתן לשרטט אין סוף פעמים ?‬
‫יסבירו ההבדל‬
‫מדדו את אורך הרדיוס שלכם‪.‬‬
‫מעגל ועיגול‪.‬‬
‫מה אתם יכולים לומר על הקו הזה ? (‪ ,)rr‬האם‬
‫תוכלו לדעת מה אורכו מבלי למדוד? כיצד?‬
‫שרטטו‪ ,‬שרטטו אחד נוסף‪ ,‬שווים ? כיצד יתכן?‬
‫שיום‪ -‬קוטר ‪ ,‬מיתר‪.‬‬
‫אז כל הקווים שווים במעגל ? ( כן‪/‬לא)‬
‫משרטטת מיתר‪ ,‬מה אתם יכולים לומר על הקו‬
‫הזה ? שווה לקודמו ? קטן ? גדול ? למה ?‬
‫שרטטו‪ ,‬שרטטו אחד נוסף ‪ ,‬הם שווים ? כיצד‬
‫יתכן ? האם יתכן כי יהיו מיתרים שאינם שווים‬
‫? מהו מיתר ?‬
‫הרדיוס‪ ,‬מיתר ? והקוטר ?‬
‫אם כך יש הרבה מיתרים במעגל ? כמה ?‬
‫וכולם שווים ? אילו מיתרים תמיד יהיו שווים‬
‫? (קוטר)‪ ,‬מה מיוחד בהם ? (הארוכים ביותר)‪,‬‬
‫אם לא יגיעו‪ ,‬אשאל תאמרו בבקשה אפשר‬
‫לשרטט מיתר ארוך מהקוטר ? מדוע ?‬
‫ועכשיו שאלה קשה‪ ,‬אם ארצה לקחת את‬
‫הרדיוס של מעגל א למעגל ב אפשרי ? קוטר ?‬
‫מדוע ? (‪=r2‬קוטר)‬
‫אז מהו מעגל ? רדיוס? קוטר?‬
‫מראה מעגל‪ ,‬עיגול‪ ,‬מבקשת דומה שונה ‪.‬‬
‫התלמיד יסביר כי‬
‫בכל מעגל היחס‬
‫בין קוטרו להיקפו‬
‫זהה –‪π‬‬
‫היקף‪/‬קוטר=‪π‬‬
‫פתיחה ‪ -‬הבלש בלופ נקרא לחווה כדי‬
‫לעזור בתעלומה מסתורית‪ ,‬נמצא קו מסתורי‪,‬‬
‫מהו הקו? (קוטר) לכל המעגלים קוטר ? מה‬
‫חשב הבלש ? ( שיש קשר בין היקף לקוטר)‪,‬‬
‫מה אתם אומרים ?‬
‫התבוננו במעגלים שעל השולחנות ‪ ,‬יש קשר?‬
‫(הקטרים שווים?‪ ,‬במה תלוי גודלם ? אז ככל‬
‫שההיקף גדול יותר הקוטר גדול יותר ? פי כמה‬
‫? ) השערות משאירה פתוח‪.‬‬
‫על השולחן‬
‫מעגלים שונים‪,‬‬
‫בהם משורטט‬
‫קוטר‪.‬‬
‫דברנו על הרדיוס והקוטר וראינו שהקוטר גדול פי על השולחן‬
‫בס"ד‬
‫עבודה דפי עבודה‬
‫חוברת ע"מ ‪62-65‬‬
‫אורלי אלבז‬
‫‪ 2‬מהרדיוס ‪.‬‬
‫האם גם ההיקף גדול פי ‪ 2‬מהקוטר?‬
‫תשובות צפויות ‪:‬‬
‫ כן הקוטר נכנס פעמיים בהיקף ‪.‬‬‫ אולי קצת יותר ‪.2‬‬‫ ‪ 3‬פעמים וכו'‬‫תוכיחו‬
‫על גבי השולחן עיגולים שונים עם קוטר מסומן ‪,‬‬
‫מדבקות ‪ ,‬חוטים‪ ,‬סרגלים ‪ ,‬קשיות ‪ ,‬אטבים‬
‫‪,‬מחוגות ‪ ,‬מחשבונים וכלים עגולים שונים‬
‫התלמידים מנסים למצוא את הקשר בין ההיקף‬
‫לקוטר ולהפך‬
‫מה עשיתם ? התלמידים מציגים את דרך עשיתם‬
‫מה קיבלתם ? בעקבות ההתנסות מהי התוצאה ‪,‬‬
‫כמה פעמים נכנס הקוטר בהיקף ‪.‬‬
‫תשובות צפויות ‪:‬‬
‫‬‫‪-‬‬
‫הקוטר נכנס בהיקף קצת יותר מ‪3 -‬‬
‫פעמים‪.‬‬
‫ההיקף גדול מהקוטר פי ‪. 3‬‬
‫אני‪ :‬לכולכם יצא שהקוטר נכנס בהיקף ‪ 3‬פעמים‬
‫וקצת ‪ ,‬תראו מה יצא לי ‪5‬‬
‫מראה מעגל וקוטר עם יחידות מידה שונות ‪.‬‬
‫איך יתכן ? בואו נבדוק‪ ,‬סופרת איתם‪ ,‬צודקת או‬
‫לא ? מה אעשה ?‬
‫המורה מבקשת מהתלמידים לאתר את הבעיה‬
‫ולהגיע למסקנה שיחידות המידה חייבות להיות‬
‫זהות ‪ .‬לאחר תיקון הטעות התלמידים מגלים שגם‬
‫במעגל הנוכחי הקוטר נכנס בהיקף קצת יותר מ‪-‬‬
‫חקר היקף המעגל ‪-‬‬
‫כ תה ו‪doc.‬‬
‫‪3‬‬
‫טבלת אקסל מוכנה בה יבדקו הקשרים‪,‬‬
‫שקופית ‪.r‬‬
‫הילדים יבדקו קשרים וימצאו בעזרת דיאגרמה‬
‫את הקשרים‪.‬‬
‫לחזקים‪ :‬ידוע לנו שאורך קוטר כדור הארץ‬
‫הוא ‪ 04,444‬ק"מ ‪.‬‬
‫האם נוכל למצוא את היקף כדור הארץ ?‬
‫האם נשתמש בחוט ? אטבים ? סרגל ?‬
‫האם התשובה שלכם מדויקת? מדוע לא ?‬
‫תשובות צפויות ‪:‬‬
‫ התשובה לא תהייה מדויקת אלא‬‫באומדן משום שאנחנו לא יודעים מהו‬
‫הקצת ‪.‬‬
‫ אפשר למצוא בערך את היקף כדור‬‫הארץ ‪ ,‬אם נכפול את הקוטר ב‪. 3 -‬‬
‫לחלשים‪:‬‬
‫אז אם עכשיו נתון שקוטר המעגל הוא ‪ 4‬ס"מ‬
‫האם תוכלו לדעת את היקפו? כיצד? לכפול פי‬
‫כמה? וזה מדויק? מדוע לא?‬
‫לדבר על כך שהמידה היא בדיוק ‪.4.04‬‬
‫מדבקות‪ ,‬עיגולים‪,‬‬
‫סרגלים‪ ,‬אטבים‪,‬‬
‫קשיות‪ ,‬מחוגות‬
‫ועוד‪.‬‬
‫התלמידים‬
‫מוצאים את‬
‫הקשר‪.‬‬
‫מדגימים על‬
‫אקסל(שקופית ‪)r‬‬
‫ובמה עוד‬
‫אורלי אלבז‬
‫בס"ד‬
‫ליחידה זו קוראים פאי‪ -‬להציג את הסמל‪.‬‬
‫להגיע ל‪ :‬קוטר ‪ = π X‬היקף המעגל‬
‫‪ = π‬היקף המעגל‬
‫קוטר‬
‫שיעור ‪-4‬‬
‫שטח המעגל‬
‫שטח עיגול‬
‫מקטע ‪66613‬‬
‫חוברת ע"מ ‪– 66-‬‬
‫‪ ,66‬מציאת שטח‬
‫בדרך אחרת(כיסוי‬
‫ריבועים)‬
‫עבודה – ‪.57-53‬‬
‫‪ – 54‬הגדרות‬
‫המשך עבודה – ‪53-‬‬
‫‪55‬‬
‫סבב הקניות ‪4‬‬
‫שטח‬
‫עיגול‬
‫‪.0‬התלמיד יחקור‪,‬‬
‫דרך פעילות‬
‫המבוססת על‬
‫ניסוי ותהייה את‬
‫שטח העיגול ללא‬
‫שימוש בנוסחאות‪.‬‬
‫‪.r‬התלמיד ישלב‬
‫בין תכונות‬
‫מצולעים לתכונות‬
‫המעגל‪ ,‬וימצא את‬
‫הקשר בין תכונות‬
‫המצולע לשטח‬
‫העיגול‪.‬‬
‫‪.4‬התלמיד ילמד‬
‫תוך התנסות‬
‫שהיחס שבין שטח‬
‫העיגול לבין‬
‫רדיוסו הוא קבוע‬
‫בכל העיגולים‪.‬‬
‫פתיחה‪ :‬דוד אריק חוקר את העיגול‪,‬‬
‫והילדים שואלים מה יש לחקור בעיגול ?‬
‫הוא נותן להם שני עיגולים ומבקש לבדוק‬
‫מספר דברים‪,‬‬
‫מה הוא מבקש ? ( רדיוס‪ ,‬קוטר‪ ,‬היקף‪ ,‬ומחצית‬
‫ההיקף דיון במושגים השונים‪ ,‬מה הרדיוס ?‬
‫מה ההיקף ? אם יודעים רדיוס מבינים היקף ?‬
‫מה יהיה בעיגולים השונים ?‬
‫וההיקף ? מהו ההיקף ? רגע ההיקף הוא ? עיגול‬
‫או מעגל ?‬
‫אם כך מדוע הוא אומר עיגול ? מה הוא רוצה‬
‫לבדוק ? (שטח)‬
‫רגע ומה שיש לנו כאן ? יעזור למציאת שטח‬
‫(רעיונות)‬
‫הקנייה – שטח עיגול ע"פ התנסות‪,‬‬
‫יש לנו עיגול איך אפשר למצוא שטח ?‬
‫מראה ריבוע‪ ,‬מלבן‪ ,‬איך אמצע שטח ?‬
‫מקבילית ? ( גיאוגברה)‬
‫מחלקת את המקבילית לשניים ושואלת‪ ,‬מה‬
‫עשיתי ? איזו צורה קיבלתי ? (משולש)‬
‫אם כך אם אמצא שטח מקבילית מלבן ריבוע‬
‫אוכל למצוא שטח משולש ?‬
‫אם כך מה עשיתי למלבן ולמקבילית ?‬
‫(פירקתי)‬
‫ואם אקח את שני המשולשים ואניחם באופן‬
‫אחר השטח ישאר זהה ? (כן) כיצד יתכן ?‬
‫הנה העיגול‪(,‬מראה עיגול)‬
‫איך אמצא את שטחו ?‬
‫מה אני יכולה לעשות ? (לפרק)‬
‫לפרק ? למה ? (ריבועים משולשים)‬
‫ואם אפרק אותם אוכל להניח אחרת ?‬
‫נותנת עיגולי שברים‪ ,‬מבקשת מכל אחד‬
‫להרכיב עיגול‪( ,‬בחירת חלקים שווים)‬
‫מה דומה ? מה שונה ?‬
‫כמה חלקים יש לכם ? כולם זהים ?‬
‫תאמרו לי אני יכולה למצוא את שטח העיגול‬
‫הזה ?‬
‫אם מתקשים – (מזכירה את המקבילית‪,‬‬
‫המשולשים)‪.‬‬
‫אם תניחו את החלקים באופן אחר השטח‬
‫ישתנה ? ( אפשרי להראות את דרך הפתרון של נטע‬
‫(מה עוד‪))2,3( ,‬‬
‫מה אתם אומרים על מה שעשתה ?‬
‫נכון ? לא נכון ? מדוע ?‬
‫עיגולי שברים‪,‬‬
‫סרגל‪ ,‬חוטים‪,‬‬
‫חקר שטח‬
‫העיגול‪doc.‬‬
‫‪r‬‬
‫( ‪)πr‬‬
‫בס"ד‬
‫אורלי אלבז‬
‫השטח השתנה ? כיצד יתכן ?‬
‫חזרו לשקופית ‪ – 1‬צרו בעזרת פירוק צורה ששטחה‬
‫זהה ‪.‬‬
‫מה יצרתם ? מה זה מזכיר לכם ?‬
‫השטח שווה קטן גדול לצורה לפני הפירוק ? מדוע ?‬
‫מכאן דיון – משמעות‪ ,‬האורך‪ ,‬הרוחב‪,‬‬
‫בלתי מיומנים – שקופית –‪ -8-9‬לצאת מהמלבן‪.‬‬
‫)‬
‫מה אנחנו יודעים לחשב ?‬
‫ואם נסדר בצורה כזו ?‬
‫איזו צורה הסידור מזכיר ? (מקבילית)‬
‫ואיך מוצאים שטח מקבילית ?‬
‫(בסיס*גובה)‬
‫הנה העיגול – בסיס המקבילית‬
‫שיצרנו = למה ? (חצי היקף)‬
‫והגובה ? (רדיוס‬
‫כלומר; אם נכפיל היקף‪ r/‬ב – רדיוס‪ ,‬נקבל‬
‫שטח ?(כן)‬
‫כותבת הכל על הלוח‪.‬‬
‫מהו ההיקף ? ‪*π‬קוטר = היקף‬
‫שיעור ‪-3‬‬
‫שאלות‬
‫אינטגרטיביו‬
‫ת בנושא‬
‫המעגל‬
‫והעיגול‬
‫מקטע ‪66614‬‬
‫שאלות‬
‫אינטגרטיביות‬
‫בנושא מעגל ועיגול‬
‫הקניות ‪-‬‬
‫התלמיד יישם את פתיחה –מסך ‪ , 0‬שקופית ‪ ,0-4‬במרכז‬
‫המושגים שלמד‬
‫הספורט מתכוננים לאליפות בענפי הספורט‬
‫ועיגול‬
‫בנושא מעגל‬
‫השונים‪ .‬לצורך העניין צובעים את מגרש‬
‫בבעיות‬
‫הספורט ומקימים משטח החלקה‪ .‬משטח‬
‫אינטגרטיביות‪.‬‬
‫ההחלקה הכרח שיבנה באולם עגול בעל רדיוס‬
‫‪ r1‬מ'‪ ,‬צריך להיות גדול ככל האפשר ושיישאר‬
‫התלמיד ישווה בין מקום לקהל‪.‬‬
‫היקפים ושטחים‬
‫היא פנתה לשלושה מהנדסים ואלה נתנו‬
‫ועיגולים‪,‬‬
‫במעגלים‬
‫רעיונות‪( .‬שקופית ‪ .)4‬מי המתאימה ביותר ?‬
‫תוך שימוש מושכל‬
‫בנתונים‪.‬‬
‫(לכוון להבדלים בשטח‪ ,‬לא לחשב‪ -‬לשוחח על‬
‫הרדיוס הגדול ביותר‪ ,‬הקטן ביותר ומכאן‬
‫התלמיד יסביר את לצאת)‬
‫בחירותיו תוך‬
‫שימוש במושגים ;‬
‫רדיוס‪ ,‬קוטר‪,‬‬
‫היקף‪ ,‬שטח‪π ,‬‬
‫ועוד‪..‬‬
‫מסך ‪ 0‬שקופית א – שאלות אינטגרטיביות‪.‬‬
‫לקחת מהחוברת‪.‬‬
‫חשוב לשלב שטחים של צורות שונות‪.‬‬
‫יישומון במה עוד‬