docמושגי יסוד 1. כתוב הגדרה של קבוצת נקודות חסומה. 2. כתוב הגדרה של קבוצת נק
download 
Report Transcription
מושגי יסוד 1. כתוב הגדרה של קבוצת נקודות חסומה. 2. כתוב הגדרה של קבוצת נק
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
מושגי יסוד
.1כתוב הגדרה של קבוצת נקודות חסומה.
.2כתוב הגדרה של קבוצת נקודות פתוחה וקבוצת נקודה סגורה.
כל
.3מצא וצייר את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות .בכל סעיף קבע האם תחום ההגדרה הוא קבוצה חסומה
או לא ,סגורה או לא.
p
3+x+y
√ = )) p(x, yב( ) f (x, y) = 1 − x2 − y 2ג( )|g(x, y) = ln(1 − |x| − |y
)א(
x − 2y + 4
p
√
)ד( )) h(x, y) = 1 − x2 − y 2 + ln(x − yה( ) k(x, y) = 1 − x2ו( )u(x, y) = ln(xy
√
)ז( v(x, y) = xy − 1
.4צייר קווי גובה של הפונקציות הבאות
הזכ
x−y
)א( ) f (x, y) = x2 + y2ב(
x+y
= )) g(x, yג( h(x, y) = xy
.5נתונה הפונקציה .f (x, y) = x2 − xyכתוב משוואה של קוו גובה שלה העובר דרך הנקודה ).(2, −1
ות
וי
שמ
ות
ור
1
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
גבול ורציפות של פונקציה סקלרית
.6הוכח שגבולות הבאים לא קיימים
x2 − 2y
)א(
(x,y)→(0,0) x + 3y
lim
x2 + y 2
)ב(
(x,y)→(0,0) x + y
lim
x2 + y 3
p
) .7א( הוכח ש = 0 -
)(x,y)→(0,0
x2 + y 2
lim
כל
x3 + y 3
) .8א( הוכח ש = 0 -
(x,y)→(0,0) x + y
lim
sin x + sin y
)ג(
x
)(x,y)→(0,0
lim
x4 + y 4
)ב( הוכח ש = 0 -
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
x4 + y 4
)ב( הוכח שהגבול
(x,y)→(0,0) x + y
.9נתונה הפונקציה
lim
.
לא קיים.
sin(xy) , x 6= 0
x
= )g(x, y
0, x = 0
הזכ
מצא את כל הנקודות בהן הפונקציה הנתונה לא רציפה.
.10עבור איזה ערך של מספר bהפונקציה
x + 2y
, x 6= y
x−y
= )g(x, y
b, x = y
ות
וי
רציפה בנקודות )?(2, −1), (3, 3
שמ
ות
ור
2
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
נגזרות
.11נתונה הפונקציה
x − 2y, x 6= y
= )f (x, y
2x + 3y, x = y
כל
)א( חשב ) f~v0 (1, 1כאשר ).~v = (2, 2
)ב( הוכח שהנגזרת ) f~v0 (1, 1לא קיימת כאשר ).~v = (1, 2
)ג( הוכח שלכל וקטור ) ~v = (a, bשמקיים את התנאי a 6= bהנגזרת ) f~v0 (1, 1לא קיימת.
)ד( חשב ) fx0 (2, −1ו־ ).fy0 (−1, 2
הזכ
)ה( מצא את כל הנקודות בהן הנגזרת fxלא קיימת .נמק.
ות
וי
שמ
ות
ור
3
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית
.12נתון שהפונקציה ) g(x, yמקיימת את השוויון
)g(1 + ∆x, ∆y) − g(1, 0) = 2∆x − 3∆y + ∆y sin2 (∆x
הוכח ש־ ) g(x, yדיפרנציאבילית בנקודה ).(1, 0
כל
√
.13הוכח שהפונקציה z = 4 − xyדיפרנציאבילית בנקודה ).(0, 0
.14נתונה הפונקציה .h(x, y) = α(x, y)x + β(x, y)y
)א( הוכח שאם β(x, y) = 0
α(x, y) = 0,
lim
)(x,y)→(0,0
lim
)h(x, y
p
אז = 0
)(x,y)→(0,0
x2 + y 2
lim
)(x,y)→(0,0
.
)ב( תן דוגמה שמראה שטענה הפוכה לא נכונה.
הזכ
.15בדוק האם הפנקציה y
√
3
f (x, y) = x +דיפרנציאבילית בנקודות ) (0, 0ו־ ).(0, 1
√
.16בדוק האם הפונקציה g(x, y) = x 3 yדיפרנציאביתי בנקודה ) .(0, 0האם נגזרות חלקיות שלה קיימות ורציפות
בנקודה הזאת?
x+y
.17מצא קירוב ליניארי של הפונקציה
1 + xy
f (x, y) = arctanבנקודה ) (a, bשקרובה לראשית הצירים.
ות
וי
.18הוכח שאם הפונקציה ) u(x, yמקיימת משוואת לפלס
∂2u ∂2u
+ 2 =0
∂x2
∂y
אז גם הפנקציה
x
y
, 2
2
2
x + y x + y2
v = uמקיימת משוואה הזאת.
.19המשוואה x + y − z = ln zמגדירה פונקציה ) z = f (x, yבסביבת הנקודה ) .(1, 0, 1חשב ) f~v0 (1, 0כאשר
).~v = (3, 4
)א( מצא ) f~v0 (2, 1כאשר ).~v = (−4, 3
)ב( מצא ) fx0 (2, 1ו־ ).fy0 (2, 1
ות
ור
שמ
.20נתון שמישור 2x − y + 4z − 15 = 0משיק לגרף של פונקציה
דיפרנציאבילית ) z = f (x, yבנקודה ).M (2, 1, 3
.21תהי ) z = f (x, yפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה ) .M (2, −1נתון ש־ f~v0 (M ) = 4כאשר ) ~v = (−4, 3ו־
fw~0 (M ) = −3כאשר ) .w~ = (12, 5מצא את משוואת מישור המשיק לגרף של הפונקציה הנתונה בנקודה
).(2, −1, 5
.22הראה שהפונקציה ) u = f (x2 +y 2כאשר fפונקציה גזירה בתחום )∞ (−∞, +מקיימת את השוויון yu0x −xu0y = 0
4
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
פונקציה סתומה
.23נתונות שתי משוואות
)(1
x5 − 2x + 1 = 0
)(2
1.1x5 − 0.9x + 1 = 0
כל
ידוע ש־ x = 1אחד מהפתרונות של משוואה ) .(1מצא קירוב לינארי של אחד מהפתרונות של משוואה ).(2
הדרכה :נדון במשוואה .F (a, b, x) = ax5 + bx + 1 = 0הסבר מדוע בסביבת הנקודה ) (1, −2, 1היא מגדירה
פונקציה דיפרנציאבילית ) .x = x(a, bהשתמש בעובדה הזאת על מנת למצוא קירוב לינארי של )x(1.1, −0.9
בעזרת .x(1, −2) = 1
הזכ
ות
וי
שמ
ות
ור
5
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
מינימום ומקסימום של פונקציה סקלרית
.24מצא פולינום טיילור מדרגה שתיים בנקודה ) (0, 0של פונקציות הבאות
)א( f (x, y) = ex cos y
)ב( g(x, y) = ey sin x
כל
)ג( )ex ln(1 + y
.25נתון שפולינום טיילןר מדרגה 2של הפונקציה ) f (x, yשווה 1 − xyושל הפונקציה ) g(x, yשווה .x + y2הוכח
שפולינום טיילור של הפונקציה ) h(x, y) = f (x, y)g(x, yשווה .x + y2
.26הוכח שאם נקודה ) (a, bהיא נקודת קיצון של הפונקציה ) f (x, yאז x = aנקודת קיצון של הפונקציה
) g(x) = f (x, bו־ y = bנקודת קיצון של הפונקציה ).h(y) = f (a, y
הזכ
.27מצא נקודות קיצון של הפונקציות הבאות
)א( f (x, y) = |x − 2| + 5
)ב( h(x, y) = x3 + y 2
)ג( ) k(x, y) = ln(1 + x2 + y 2
ות
וי
.28תהי ) z = f (x, yפונקציה של שני משתנים .נתון ש־
f (2 + x, 3 + y) − f (2, 3) = x2 + y 4
הסבר מדוע הנקודה ) M (2, 3נקודת קיצון של הפונקציה הנתונה .האם נקודה Mנקודת מקסימום מקומי או
נקודת מינימום מקומי?
.29נתונה הפונקציה | .f (x, y) = |x| − |yהוכח שלפונקציה הנתונה אין נקודות קיצון.
שמ
.30נתונה הפונקציה .f (x, y) = x2 + y2 + x − 2yמצא את הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של הפונקציה הנתונה
בתחום סגור שחסום ע״י המעגל x2 + y2 = 16והישר ) .x + y = 0התחום נמצא מעל הישר הנתון(.
.31נתונה הפונקציה
f (x, y) = x2 − y 2 + 2x − y
ונתון האילוץ )תנאי(
ות
ור
xy = 1, 0.5 ≤ x ≤ 2
הראה שהנקודה ) (1, 1אינה נקודת מינימום או מקסימום של הפונקציה הנתונה עם האילוץ הנ״ל.
6
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
אינטגרל קווי של פונקציה סקלרית ופונקציה וקטורית
.32נתון עקום .L : x = cos t, y = sin t, z = t
√
√
)א( מצא וקטור משיק ל־ Lבנקודה ).A( 2/2, 2/2, π/4
)ב( מצא על העקום Lאת כל הנקודות בהן וקטור משיק מקביל לוקטור משיק בנקודה .A
כל
)ג( מצא את כל הנקודות על העקום Lבהן וקטור משיק מאונך לרדיוס־וקטור.
.33לפניך שרטוט של קווי גובה של הפונקציה ) f (x, yושל עקום .L
הזכ
ות
וי
מצא בעזרת סכום רימן ערך מקורב של האינטגרל f (x, y)dl
.34חשב את האינטגרל F~ d~r
R
L
R
L
.
כאשר ) F~ = (0, y 2 , 0ו־ Lמסלול כלשהו מנקודה ) A(1, 5, 3לנקודה ).B(−5, 2, 7
.35חשב עבודה שמבצע כוח ) F~ = (x2 + x, y2 − y, z 2לאורך המסלול שמורכב משני קטעים ישרים :מנקודה
) A(1, 2, −1לנקודה ) B(1, 4, −1ואז מנקודה Bלנקודה ).C(−3, 4, −1
.36תהי ) u = f (x, y, zפונקציה סקלרית דיפרנציאבילית לכל ) .(x, y, zהוכח ש־ )~ d~r = f (B) − f (A
∇f
L
שמ
נקודה התחלתית של מסלול Lו־ Bנקודה סופית שלו.
R
כאשר A
.37זבוב מתחיל לעוף מראשית הצירם במסלול ˆ ~r(t) = cos(t)ˆi + sin(t)ˆj + tkכאשר משתנה tמסמן זמן בשניות.
)א( כעבור כמה זמן הזבוב יעלה לגובה 8מ׳?
)ב( כעבור כמה זמן הזבוב יתרחק מראשית הצירים למרחק 8מ׳?
ות
ור
)ג( כעבור כמה זמן הזבוב יעבור מרחק 8מ׳?
ˆ p~(t) = y1 (t)ˆi + y2 (t)ˆj + y3 (t)k,
.38נתונים שני עקומות ]ˆ t ∈ [a, b
.~r(t) = x1 (t)ˆi + x2 (t)ˆj + x3 (t)k,
)א( הוכח שאם ) ~s(t) = ~r(t) + p~(tאז ).~s0 (t) = ~r0 (t) + p~0 (t
)ב( הוכח שאם ) ~s(t) = ~r(t) · p~(tאז ).~s0 (t) = ~r0 (t) · p~(t) + ~r(t) · p~0 (t
)ג( הוכח שאם |~r(t)| = cלכל ] t ∈ [a, bכאשר cמספר חיובי קבוע אז ~r0 (t) · ~r(t) = 0לכל ] .t ∈ [a, bמה
משמעות גיאומטרית של השוויון הנ״ל?
7
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
.39חשב את האינטגרל x2 dx + xydy
R
L
כאשר עקום Lהוא שפת הריבוע ) A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1בכיוון
נגד שעון.
.40לפניך שרטוט של שדה קבוע ~ Fועקום .L
כל
הזכ
הסבר מדוע F~ d~r > 0
R
כאשר Lמסלול שמתחיל בנקודה Aומסתיים בנקודה .B
L
ות
וי
שמ
ות
ור
8
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
אינטגרל כפול
.41חשב מסה של לוחית דקה בצורת משולש עם קודקודים ) (0, 0), (1, 0), (0, 2בעלת צפיפות .f (x, y) = x2
.42חשב נפח של גוף שחסום ע״י משטחים .z = 1, z = 3, y = 1, y = x2
dxdy
.43חשב את האינטגרל
x+y
D
s
כאשר תחום Dחסום ע״י קווים x = 0, y = 0, x + y = 1, x + y = 4בשתי דרכים.
כל
)א( ע״י חלוקה של התחום הנתון
x = s − st
)ב( ע״י הצבה
y = st
.44חשב מסה של לוחית דקה עגולה x2 + y2 = 16בעלת צפיפות | |xyעם חור .x2 − 2x + y2 − 2y + 1 = 0
הזכ
.45נתון תחום חסום Dבמישור כאשר שפה שלו היא עקום שמוגדר ע״י הצגה קוטבית
הוכח ששטח של תחום Dשווה
r = f (θ), a ≤ θ ≤ b
2
))(f (θ
dθ
2
b
Z
a
ות
וי
שמ
ות
ור
9
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
שטף של שדה דו־־מימדי ,משפט גרין ,שדה דו־־מימדי משמר
.46חשב שטף של שדה ~ Fדרך עקום Lכאשר
)א( }]F~ = (x − y)ˆi + 2yˆj, L : {(x, y) : x = cos t, y = 2 sin t, t ∈ [0, π/2
)ב( }F~ = (x − y)ˆi + 2yˆj, L : {(x, y) : |x| + |y| = 4
כל
.47נתון שדה וקטורי F~ = (y − 2x)ˆi + (x + 5y)ˆjועקום .L : x2 + 4y2 = 1
H
חשב את האינטגרל L F~ · nˆ dlכאשר ~nוקטור נורמל לעקום הנתון.
.48חשב את האינטגרל (x2 − y)dx + (x + y 2 )dy
H
L+
כאשר
)א( עקום Lשפת המשולש עם הקודקודים ).A(1, 2), B(−1, 3), C(0, −3
הזכ
)ב( עקום Lשפת הטבעת .1 ≤ x2 + y2 ≤ 9
.49הוכח בעזרת משפט גרין ששטח של תחום שחסום ע״י עקום סגור }]L : {(x, y) : x = x(t), y = y(t), t ∈ [0, 2π
R
ניתן לחשב ע״י נוסחה . 21 02π (x(t)y0 (t) − x0 (t)y(t)) dt
ˆi + ˆj
.50נתון שדה וקטורי
||x| + |y
= ~F
)א( מצא באיזה תחום השדה הנתון משמר.
ות
וי
)ב( חשב את העבודה של השדה הנתון לאורך שפת הריבוע ABCD
בכיוון נגד כיוון השעון כאשר ).A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0, −1
)ג( חשב את העבודה של השדה הנתון לאורך המסלול .~r(t) = ˆi cos t + ˆj sin t, t : 0 → 2π
שמ
ות
ור
10
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
אינטגרל משטחי של פונקציה סקלרית ופונקציה וקטורית
.51חשב שטף של שדה וקטורי
ˆ2
F~ = zˆi + x k
דרך משטח
2
2
S = z = x + y , −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1
כל
s
.52חשב את האינטגרל S F~ d~σכאשר ) F~ = (y, −x, 4ו־ Sהוא צד עליון של המשטח
z = 1 − x2 − y 2 , x ≥ 0, y ≥ 0
הזכ
.53חשב שטף של שדה וקטורי ) F~ = (0, 0, 1דרך משטח Sכאשר Sהוא חלק מהגרף z = 1 − x2 − y2הנמצא
מעל המישור .z = 2x + 1
ות
וי
שמ
ות
ור
11
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
משפט סטוקס .שדה משמר תלת מימדי
.54חשב את האינטגרל L F~ d~rכאשר F~ = −y3 , x3 , −z 3ומסלול Lמוגדר כחיתוך של גליל x2 + y2 = 1ומישור
x + y + z = 1בכיוון תנועה על מסלול Lנגד שעון )במבט מנקודה ).((5, 5, 5
H
.55חשב את האינטגרל rotF~ d~σ
S
s
בכיוון נורמל למשטח Sכלפי מטה כאשר
כל
)rotF~ = (x + y, x + z, y + z
ומשטח Sמוגדר כך:
o
n
p
S = (x, y, z) : z = x2 + y 2 , z ≤ 1
L
הזכ
.56חשב את האינטגרל F~ d~r
R
כאשר
ˆF~ = 2xyzˆi + x2 zˆj + x2 y k
ומסלול Lמוגדר כך
ˆ t : 0 → π/2
~r(t) = cos tˆi + sin tˆj + tk,
ות
וי
.57חשב עבודה של כוח
p
1
F~ = (x, y, z), r = x2 + y 2 + z 2
r
לאורך המסלול מנקודה ) A(0, 1, 0לנקודה ).B(1, 2, 3
רמז :הראה ש־ ~~ = F
∇uכאשר .u = r
שמ
ות
ור
12
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
משפט גאוס
.58חשב את האינטגרל F~ d~s
S
v
בכיוון נורמל למשטח Sכלפי חוץ כאשר
)א( F~ = x3 , y3 , z 3ומשטח סגור Sמוגדר ע״י משוואות .x2 + y2 = 4, z = 0, z = 3
)ב( F~ = x2 + y, xy, −2xz − yומשטח סגור Sמוגדר ע״י משוואות .x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0
כל
)ג(
F~ = x2 , y 2 , z 2ומשטח סגור Sמוגדר ע״י משוואות x2 + y 2 , z = 1
.59חשב את האינטגרל F~ d~s
S
s
p
= .z
בכיוון נורמל למשטח Sכלפי מעלה כאשר
)א( ) F~ = (x, y, 2zומשטח Sמוגדר ע״י משוואה .z ≥ 0 ,z = 1 − x2 − y2
)ב( F~ = 0, 0, z 2ומשטח Sמוגדר ע״י משוואה 1 − x2 − y 2
p
)ג( ) F~ = (x, y, 2zומשטח Sחלק מחרוט z = x2 + y2שנמצא בין המישורים .z = 1, z = 2
p
= .z
הזכ
ות
וי
שמ
ות
ור
13
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
תשובות
√
כל
11 .x2 − xy = 6 .5א .9 .5/ 2 .בנקודות ) (0, bכאשר .b 6= 0
.10בנקודה ) (3, 3לאף ערך של .bבנקודה ) (2, −1עבור .b = 0
11ד11 .fx0 (2, −1) = 1, fy0 (−1, 2) = −2 .ה .בנקודות ) (a, aכאשר .a 6= 0
.15לא דיפרנציאבילית ב־ ) (0, 0וכן דיפרנציאבילית ב־ ).(0, 1
.16כן דיפרנציאבילית .הנגזרות החלקיות כן קיימות .הנגזרת לפי yלא רציפה ונגזרת לפי xכן רציפה.
20 .f~v0 (1, 0) = 0.7 .19 .a + b .17א20 ..f~v0 (2, 1) = 11/20 .ב.fx0 (1, 2) = −1/2, fy0 (1, 2) = 1/4 .
24 14/15 .23 .−217x + 84y − 56z + 798 = 0 .21א24 .1 + x + 1/2(x2 − y2 ) .ב24 .x + xy .ג.y + xy − 1/2y2 .
27א27 .(2, y) .ב .אין נקודות קיצון27 .ג.(0, 0) .
√
√
√
.30ערך מקסימלי .f 8, − 8 = 16 + 3 8 :ערך מינימלי.f (−0.5, 1) = −1.25 :
√
√
√ √
√
32א32 .(− 2, 2, 2) .ב32 .( 2/2, 2/2, π/4 + πn) .ג37 .22/3 .35 .−39 .34 .(1, 0, 0) .א 8 .שניות37 .ב63 .
√
שניות37 .ג 8/ 2 .שניות38 .ג .העקום ) ~r(tנמצא על פני כדור עם רדיוס cומשיק לעקום הזה מאונך לוקטור רידיוס
בנקודת ההשקה46 .128 − π .44 .3 .43 .8/3 .42 .1/6.41 .1/2 .39 .א46 .3π/2 − 2 .ב48 .3π/2 .47 .24 .א48 .11 .ב.
50 .16πא50 .{(x, y) : xy > 0} , {(x, y) : xy < 0} .ב50 .0 .ג.π .53 .π .52 .4/3 .51 .0 .
√
58 . 14 − 1 .57 .0 .56 .−π .55 .3π/2 .54א58 .108π .ב58 .1/24 .ג59 .π/2 .א59 .2π .ב59 .π/2 .ג.14π/3 .
הזכ
ות
וי
שמ
ות
ור
14
אלכס גולדוורד
שאלות בחדו״א וקטורי
איור :1תשובות לתרגיל 3
כל
הזכ
איור :2
איור :3
3א ,לא חסום ,פתוח
3ב ,חסום וסגור
ות
וי
איור :4
3ג ,חסום ופתוח
איור :5
3ד ,חסום ,לא סגור ולא פתוח
איור :6
3ה ,לא חסום ,סגור
שמ
3ו ,לא חסום ,פתוח
15
ות
ור
איור :7
איור :8
3ז ,לא חסום ,סגור
