1 תרגילים לקבלת בונוס

‫חדוא ‪3‬־ תרגיל בית ‪6‬‬
‫תרגילים לקבלת בונוס‬
‫‪1‬‬
‫‪1.1‬‬
‫הנגזרת ודפרנציאביליות‬
‫‪ .1‬תהי ‪ f : R → Rm‬הוכיחו כי ‪ f‬דיפרנציאבילית בנקודה ‪ x0‬לפי ההגדרה שנלמדה בכיתה )עם ‪(o‬‬
‫אם ורק אם קיים הגבול‬
‫‬
‫) ‪f (x) − f (x0‬‬
‫ ‪d‬‬
‫‪f (x) = f 0 (x0 ) = lim‬‬
‫‬
‫‪x→x0‬‬
‫‪dx x=x0‬‬
‫‪x − x0‬‬
‫במקרה זה מתקיים‪:‬‬
‫; ) ‪(Df )x0 : h 7→ hf 0 (x0‬‬
‫)‪f 0 (x0 ) = (Df )x0 (1‬‬
‫‪ .2‬תהי ‪ f : R → R‬פונקציה דיפרנציאבילית ב־ ‪ ,x0‬כך ש־ ‪ .(Df )x0 > 0‬הוכיחו או הפריכו את‬
‫הטענות הבאות‪:‬‬
‫)א( ) ‪∃ε > 0∀x ∈ (x0 , x0 + ε)f (x) > f (x0‬‬
‫)ב( ‪ f‬מונוטונית עולה בסביבת ‪.x0‬‬
‫‪ .3‬בדקו דיפרנציאביליות של הפונקציות הבאות המוגדרות מ־ ‪ Rn‬ל־ ‪ .R‬אם הן דיפרנציאביליות‬
‫חשבו את הדפרנציאל ‪:‬‬
‫)א( ||‪x 7→ ||x‬‬
‫)ב( ‪x 7→ ||x||2‬‬
‫)ג( ‪x 7→ ||x − a||p , a ∈ Rn , p > 0‬‬
‫‪ .4‬תהי ‪ ,f : Rn → Rm‬כך ש־ ) ‪ f = (f1 , f2 , · · · , fm‬ולכל ‪ .fj : Rn → Rm j‬הוכיחו או הפריכו‬
‫)א( אם ‪ f‬דיפרנציאבילית בנקודה אז לכל ‪ j‬גם ‪ fj‬דיפרנציאבילית בה‪.‬‬
‫)ב( אם ‪ fj‬דיפרנציאבילית בנקודה לכל ‪ j‬אז ‪ f‬דיפרנציאבילית בה‪.‬‬
‫)ג( אם ‪ f‬דיפרנציאבילית בנקודה‪ ,‬אז כל הנגזרות החלקיות שלה קיימות‪.‬‬
‫)ד( אם כל הנגזרות החלקיות של ‪ f‬בנקודה קיימות אז ‪ f‬דיפרנציאבילית בה‪.‬‬
‫)ה( איזה תנאי מספיק )אך לא הכרחי( להוסיף כדי ש)ד( יהיה נכון?‬
‫‪1.2‬‬
‫נגזרת לאורך וקטור‬
‫‪ .1‬הוכיחו או הפריכו‪:‬‬
‫‬
‫)א( אם לכל ‪ h‬קיימת )‪ dtd t=0 f (x0 + t · h‬אז היא חייבת להיות לינארית ב־ ‪h‬‬
‫‬
‫)ב( אם לכל ‪ h‬קיימת )‪ dtd t=0 f (x0 + t · h‬והיא לינארית ב־ ‪ h‬אז ‪ f‬דפרנציאבילית ב־ ‪.x0‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪2‬‬
‫‪2.1‬‬
‫‪ o‬ו־ ‪O‬‬
‫נזכר בהגדרות‪ :‬נאמר ש־ )‪ f = o(g‬כאשר ‪ x → x0‬אם‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪=0‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫נאמר ש־)‪ f = O(g‬כאשר ‪ x → x0‬אם קיים קבוע ‪ C > 0‬שלכל ‪ x‬מספיק קרוב ל־ ‪ x0‬מתקיים‬
‫)‪ .f (x) ≤ C · g(x‬אם לא רשום לאן ‪ x‬שואף נניח שהוא שואף ל־‪) 0‬לפעמים נרצה שהוא ישאף לאנסוף‪,‬‬
‫אבל זה יהיה ברור מההקשר(‪.‬‬
‫‪ .1‬יהי ‪ T : Rn → Rm‬אופרטור לינארי‪ ,‬כך ש־ )|‪ .T (x) = o(|x‬הוכיחו כי ‪.T = 0‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ P : Rn → R‬פולינום מדרגה ‪ ≤ k‬כך ש־ ) ‪ .P (·) = o(|·|k‬הוכיחו כי ‪.P = 0‬‬
‫‪) .3‬א( הוכיחו ש־ )‪ f (·) = o(1‬אם ‪ f (0) = 0‬וגם ‪ f‬רציפה ב־‪.0‬‬
‫)ב( הוכח או הפרך‪ ,‬אם )‪ f (·) = o(1‬אז ‪ f‬רציפה בסביבת ‪.0‬‬
‫‪ .4‬תהי )·(‪ f (·) = O‬ותהי ) ‪ .g(·) = o(|·|q‬הוכיחו או הפריכו‪:‬‬
‫)א( ))·(‪ f (g‬בהכרח )·(‪.o‬‬
‫)ב( ))·(‪ f (g‬בהכרח )·(‪.O‬‬
‫‪2.2‬‬
‫דיפרנציאביליות במרחבים אפיניים‬
‫הזכרו בהגדרה מרשימות המרצה‪.‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו שמתקיימת לינאריות של הנגזרת‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכיחו שמתקיים כלל השרשרת‪.‬‬
‫‪ .3‬הוכיחו שמתקיים כלל המכפלה‪.‬‬
‫‪2‬‬