1 מטריקה וטופולוגיה

‫חדוא ‪3‬־ תרגיל בית ‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫מטריקה וטופולוגיה‬
‫‪ .1‬יהי )‪ (X, ρ‬מרחב מטרי‪ .‬הראו כי ‪ τ‬המורכבת מקבוצות פתוחות )במובן שראינו בשיעור הראשון(‬
‫היא טופולוגיה‪.‬‬
‫‪ .2‬הראו כי ‪ d1 , d2‬שתי מטריקות המוגדרות על קבוצה ‪ X‬הן שקולות אם ורק אם לכל סדרה‬
‫‪ {xn } ⊂ X‬מתקיים ש־‬
‫‪d1 (xn , x) → 0 ⇐⇒ d2 (xn , x) → 0‬‬
‫‪ .3‬נתייחס לקבוצה כלשהי ‪ X ⊂ Rn‬כמרחב מטריזבילי עם המטריקה שאנו יורשים מהמטריקה‬
‫המוגדרת על ‪ .Rn‬נגדיר קבוצה פתוחה ב־‪ X‬להיות קבוצה פתוחה במובן עליו דיברנו בשבוע‬
‫הראשון‪ .‬על מנת למנוע בלבול‪ ,‬קבוצה כזו נקרא פתוחה יחסית )ב־‪ .(X‬הגדרה דומה קיימת‬
‫לקבוצות סגורות‪ .‬נשים לב ש־ ‪ X‬עצמה היא קבוצה סגורה וגם פתוחה בטופולוגיה היחסית‪.‬‬
‫)א( הוכיחו שקבוצה ‪ U ⊂ X‬היא פתוחה יחסית אם רק אם קיימת קבוצה פתוחה ‪ G ⊆ Rn‬כך‬
‫ש־ ‪.U = G ∩ X‬‬
‫)ב( נסחו והוכיחו טענה דומה עבור קבוצות סגורות‪.‬‬
‫‪ .4‬הגדירו את המונחים הבאים עבור מרחב מטריזבילי כללי‪:‬‬
‫)א( התכנסות של סדרה‪.‬‬
‫)ב( גבול של סדרה‪.‬‬
‫)ג( רציפות של פונקציה‪.‬‬
‫)ד( נקודת הצטברות של קבוצה‪.‬‬
‫)ה( קבוצה סגורה‪.‬‬
‫)ו( סגור של קבוצה‪.‬‬
‫)ז( שפה של קבוצה‪.‬‬
‫)ח( פנים של קבוצה‪.‬‬
‫)ט( קבוצה פתוחה‪.‬‬
‫‪ .5‬נגדיר אתה קבוצה }‪.A = {arctan(n) : n ∈ Z‬‬
‫)א( האם ‪ Z‬הומיאומורפית לקבוצה ‪?A‬‬
‫)ב( תארו את כל הקבוצות הפתוחות יחסית ב־ ‪.A‬‬
‫)ג( נסמן )∞ ‪ .B := A ∩ [0,‬האם ‪ A‬הומיאומורפית ל־ ‪?B‬‬
‫רמז‪ :‬שימו לב מהי פונקציה רציפה בין שתי הקבוצות‪.‬‬
‫)ד( האם ̄‪ A‬הומיאומורפית ל־ ̄‪ ?B‬תארו את כל הקבוצות הפתוחות יחסית ב־ ̄‪.A‬‬
‫‪ .6‬הוכיחו שקבוצה ב־ ‪ R‬היא קשירה אם ורק אם היא אנטרוול כלשהו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .7‬אלו מהקבוצות הבאות הן קשירות ב־ ‪?R2‬‬
‫)א( }‪.A := {(x, y); x2 · y 2 = 1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)ב( ‪.B := x, sin x1 : x 6= 0‬‬
‫)ג( })‪.C := B ∪ {(0, 0‬‬
‫‪ .8‬תהי ‪ G‬קבוצה פתוחה וקשירה‪ ,‬והזכרו בהגדרה של ‪ dG‬מתרגול )או מרשימות ההרצאה עמוד ‪.(24‬‬
‫החסימות של המרחב המטרי ) ‪ (G, ρG‬אינה גוררת את החסימות של המרחב ) ‪.(G, dG‬‬
‫)א( מצאו דוגמא נגדית שבה החסימות של מרחב ) ‪ (G, ρG‬אינה גוררת את החסימות של המרחב‬
‫) ‪.(G, dG‬‬
‫רמז‪ :‬התבוננו בקבוצות שבתרגיל הקודם‪.‬‬
‫)ב( תהי ‪ K ⊂ G‬היא קבוצה קומפקטית ב־ ‪ ,Rn‬הראו שהיא קבוצה חסומה ב־ ) ‪.(G, dG‬‬
‫רמז‪ :‬נסו להוכיח בשלילה‪.‬‬
‫)ג( תהי ‪ K ⊂ G‬קבוצה קומפקטית ב־ ‪ .Rn‬הראו כי־‬
‫)‪dG (x, y‬‬
‫∞<‬
‫||‪x,y∈K ||x − y‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪x6=y‬‬
‫‪ .9‬תהיינה ‪ f, g‬שתי פונקציות על מרחב מטריזבילי ‪ .X‬נאמר שהן שוות ליד נקודה נתונה ‪x ∈ X‬‬
‫אם קיימת סביבה של ‪ x ∈ X‬כך שהן שוות עליה‪ .‬להיות שווה ליד נקודה נתונה זהו יחס שקילות‪.‬‬
‫מחלקות השקילות שלו נקראות ‪ .germs‬נסמן את ה־ ‪ germ‬של פונקציה ‪ f‬ב־‪ x‬ב־ ‪ .[f ]x‬ונאמר‬
‫ש־ ‪ [f ]x‬רציפה אם ‪ f‬רציפה ליד ‪ .x‬האם רציפות ורציפות ליד נקודה ורציפות בנקודה הם אותו‬
‫הדבר?‬
‫‪ .10‬נסמן ב־ ‪ ρG‬את המטריקה האוקלידית‪.‬‬
‫)א( הוכיחו ש־ ‪ ρG ∼ dG‬במילים אחרות ש־‬
‫‪dG (xn , x) → 0 ⇐⇒ |xn − x| → 0‬‬
‫)ב( הראו ש־‬
‫‪|xk − yk | → 0 6⇒ ρG (xk , yk ) → 0‬‬
‫נשים לב שזוהי דוגמא נגדית נוספת לשאלה הראשונה שנפתרה בתרגול‪.‬‬
‫‪2‬‬