פתרון תרגיל מספר 7

‫פתרון תרגיל מספר ‪7‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪exp‬‬
‫‪) , ‬‬
‫‪ E ( X i )  1000‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪)  e 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪. Xi‬‬
‫‪ . P( X i  1000)  1  (1  e‬כעת‪ ,‬מספר הסוללות (בהנחה שהן בלתי תלויות)‬
‫‪1‬‬
‫ש"יחיו" מעבר לממוצע (נסמנו ב‪ )Y-‬מתפלג בינומית ) ‪Bin(10,‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ , Y‬ולכן‬
‫‪10   1   1 ‬‬
‫‪P(Y  7)     1    0.027‬‬
‫‪ 7  e   e ‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.2‬האוטובוס עובר בתחנה אחת לשעה‪ ,‬בזמן קבוע‪ ,‬אתה מגיע לתחנה בזמן אקראי‪ ,‬כלומר לפי התפלגות‬
‫אחידה ‪ ‬זמן ההמתנה‪ ,X ,‬מתפלג אחיד רציף על הקטע [‪( ]60,0‬אם בוחרים בסקאלה של דקות)‪.‬‬
‫שימו לב –‬
‫ראשית‪ ,‬זמן זה גודל רציף‪ ,‬לכן וודאי שזמן ההמתנה מקבל כל ערך אפשרי בין ‪ 0‬ו‪( 60 -‬או בין ‪ 0‬ו‪ 1 -‬אם‬
‫בוחרים בסקאלה של שעות‪ ,‬וכך הלאה)‪.‬‬
‫זמן ההמתנה תלוי כמובן בזמן ההגעה (או ליתר דיוק‪ ,‬במרחק של זמן ההגעה משעת הגעת האוטובוס)‪,‬‬
‫ולכן מתפלג אף הוא ]‪.U[0,60‬‬
‫קל להבין זאת אם מציירים את מרחב המדגם בצורה ‪-‬‬
‫זמן הגעת‬
‫האוטובוס‬
‫זמן ההמתנה‬
‫לאוטובוס‪X ,‬‬
‫זמן‬
‫הגעה‬
‫לתחנה‬
‫היקף המעגל = ‪60‬‬
‫זמן ההגעה – זמן אקראי על המעגל‪,‬‬
‫לכן ‪ X‬זמן ההמתנה לאוטובוס מתפלג‬
‫]‪( U[0,60‬אם בוחרים בסקאלה של דקות)‪.‬‬
‫ולכן –‬
‫פונקצית הצפיפות ‪-‬‬
‫‪f(x) = 1/60, 0 < x < 60‬‬
‫אחרת‬
‫‪0‬‬
‫פונקצית ההתפלגות המצטברת ‪-‬‬
‫= )‪F(x‬‬
‫‪x<0‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪0 <= x < 60‬‬
‫‪x/60‬‬
‫‪x >= 60‬‬
‫‪1‬‬
‫½ = )‪P(X>30) = 1 – P(X<=30) = 1 – F(30‬‬
‫= )‪For t < 30: P(X>t+30|X>t) = P(X>t+30 and X>t) / P(X>t‬‬
‫]‪P(X>t+30) / P(X>t) = [1 – (t+30)/60] / [1 – t/60] = [30-t]/[60-t‬‬
‫מחוסר זכרון של משתנה מקרי מעריכי – אם )‪:Y ~ exp(1/30‬‬
‫‪P(Y  t  30 | Y  t )  P(Y  30 )  1  FY (30 )  1  (1  e 30 / 30 )  1 / e‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪1 40.25 9 40.125 1 1 9  12‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ e‬‬
‫‪ e  e  0.58‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪(1  e100.25 )  (1  e100.125 )  0.73‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪P( x  4) ‬‬
‫‪P( x  10) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫) ‪(1  et 0.25 )  (1  et 0.125 )  1  ( et 0.25  et 0.125‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪, FX (t ) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪f X (t )  (1  ( et 0.25  et 0.125 )) '  et 0.25  et0.125‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪40‬‬
‫‪80‬‬
‫‪1 100.25 9 100.125‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ e‬‬
‫‪P( x  5, x  10) P( x  10) 1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10 | x  5) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (1  et 0.25 )  (1  et0.125 )  10‬‬
‫)‪ 0.52  P( x  5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9 50.125‬‬
‫)‪P( x  5‬‬
‫‪P( x  5) 10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪50.25‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ e‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫תכונת חוסר הזיכרון אינה נשמרת – ההתפלגות "המשולבת" אינה מעריכית‪ .‬אורך זקן של תיש מעיד על‬
‫צבעו‪( .‬ככל שהזקן ארוך יותר‪ ,‬כך יש יותר סיכוי שצבעו שחור)‬
‫‪.4‬מהתיאור עולה שמדובר בתהליך פואסון‪.‬‬
‫א‪ .‬כפי שראינו הזמן עד התקלה הראשונה מתפלג מעריכית עם ‪.   0.5‬‬
‫כמו שראיתם בשיעור‪ T 2 ,‬מתפלג גמא עם פרמטרים ‪ 2‬ו‪.0.5 -‬‬
‫לכן ‪-‬‬
‫‪(1  0.5  2)  2e 1‬‬
‫‪0.52‬‬
‫‪P(T2  2)  1  FT 2 (2)  e‬‬
‫או לחלופין להיעזר בעובדה ש‪ -‬האירוע השני קרה אחרי זמן ‪" = "T=2‬עד זמן ‪ T=2‬קרו פחות מ‪2 -‬‬
‫אירועים"‬
‫) ‪2 sec onds 0 events or 1 event‬‬
‫)‪2 sec onds‬‬
‫‪after‬‬
‫‪happened‬‬
‫‪event‬‬
‫‪P(until‬‬
‫‪ P(sec ond‬‬
‫ולקבל אותה תוצאה‪.‬‬
‫‪P (T  5) 3.5e 2.5‬‬
‫‪P (T2  3  2 | T2  3) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.4e 1‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪P (T  3) 2.5e‬‬
‫ורואים שעבור מ"מ גמא כנ"ל לא מתקיים חוסר זיכרון‪.‬‬
‫גם כפי שראיתם בשיעור‪ ,‬זמנים בין מאורעות סמוכים מתפלגים מעריכית‪ ,‬עם פרמטר ‪ .0.5‬נסמן ‪ T‬הזמן‬
‫בין פליטת החלקיק השני לפליטת החלקיק השלישי‪ .‬מקבלים‬
‫‪ P(T  2)  1  FX (2)  e 0.52  e 1‬ומחוסר זיכרון זו גם ההסתברות השניה המבוקשת‪.‬‬
‫כדי לחשב את ההסתברות נזכור שבתהליך פואסון מספר האירועים עד זמן ‪ t‬מתפלג פואסונית עם פרמטר‬
‫‪ . t‬המאורע "האירוע השלישי קרה אחרי זמן ‪ "2‬שקול למאורע "עד זמן ‪ 2‬קרו פחות משלושה אירועים"‪,‬‬
‫ולכן נוכל לחשב את ההסתברות המבוקשת באמצעות הסתברות המאורע השקול‪ ,‬תוך שימוש בכך שמספר‬
‫האירועים עד זמן ‪ ,2‬שנסמן ב‪ ,X -‬מתפלג פואסונית עם פרמטר ‪ .1=2* 0.5‬כלומר ‪-‬‬
‫‪ P (T3  2)  P ( X  3)  P ( X  0)  P ( X  1)  P ( X  2)  e 1 (1  1  12 / 2!)  2.5e 1‬ו‬
‫באופן כללי‪ ,‬תוך שימוש באותה שיטה – נסמן ‪ Y‬מספר האירועים עד זמן ‪ ,t>0‬ונקבל ‪-‬‬
‫)!‪ ,t>0( P (T3  t )  P (Y  3)  e 0.5t (1  (0.5t )  (0.5t ) 2 / 2‬אחרת ההסתברות ‪)1‬‬
‫עבור ‪ , T k‬באופן דומה‪ ,‬כאשר ‪ Z‬מספר האירועים עד זמן ‪- t>0‬‬
‫‪P(Tk  t )  P(Z  k )  P(Z  0)  ... P(Z  k  1) ‬‬
‫]!)‪e 0.5t [1  (0.5t )  (0.5t ) 2 / 2!... (0.5t ) k 1 /(k  1‬‬
‫(עבור ‪ ,t>0‬אחרת ההסתברות ‪)1‬‬
‫‪P(Tk  t )  1  P(Tk  t ) ‬‬
‫]!)‪1  e0.5t [1  (0.5t )  (0.5t )2 / 2! ...  (0.5t ) k 1 /(k 1‬‬
‫ע"י גזירה פונקצית הצפיפות שנקבל היא }‪t K 1 exp{t‬‬
‫‪K‬‬
‫!)‪( K  1‬‬
‫‪ fTK (t ) ‬שזו צפיפות של מ"מ גמא‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫נסמן ‪ X‬משקל התינוק שנבחר‪ .‬נתון – )‪.X~N(10,1.5^2‬‬
‫‪P(9.5  X  10 .5)  2 P(10  X  10 .5)  2[ FX (10 .5)  FX (10 )]  2 FX (10 .5)  1‬‬
‫כאשר השיוויון הראשון נובע מכך שאנחנו מחפשים הסתברות קטע סימטרי סביב התוחלת (‪ )10‬ומ"מ‬
‫נורמלי הוא סימטרי סביב תוחלתו‪ ,‬והשוויון האחרון נובע גם כן מהסימטריה סביב התוחלת – היא גוררת‬
‫שההסתברות שמ"מ נורמלי יהיה קטן מהתוחלת שלו היא ‪.0.5‬‬
‫כעת כדי למצוא )‪ FX (10 .5‬נתקנן ונעבור למ"מ נורמלי סטנדרטי‪ ,‬כך שנוכל להיעזר בטבלת ההתפלגות‬
‫‪X  10‬‬
‫הנורמלית‪ .‬נסמן ‪-‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ Z ‬מ"מ נורמלי סטנדרטי‪  ,‬פונקצית ההתפלגות המצטברת של מ"מ‬
‫נורמלי סטנדרטי (זה הסימון המקובל)‪ ,‬ואז ‪-‬‬
‫‪X  10 0.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪)  P( Z  )   ( )  0.6293 ‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪P (9.5  X  10 .5)  0.2586‬‬
‫( ‪P ( X  10 .5)  P‬‬
‫(כאמור‪ ,‬ע"י שימוש בטבלת ההתפלגות הנורמלית)‪.‬‬
‫שימו לב כי מטעמי הסימטריה נובע ‪.P(9.5 < X < 10) = P(10 < X < 10.5) -‬‬
‫מחפשים ‪ a‬כך ש ‪ . P( X  a)  0.05 -‬נתקנן כנ"ל ונקבל ‪-‬‬
‫‪a  10‬‬
‫)‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ . 0.05  P( X  a)  P( Z ‬אם ננסה כעת להשתמש בטבלה‪ ,‬לא נמצא את ההסתברות‬
‫‪ ,0.05‬כי הטבלה נותנת ערכים מ‪ 0.5 -‬ומעלה‪ .‬אבל זה מספיק‪ ,‬כי אפשר להשתמש בסימטריה של ‪ Z‬סביב‬
‫אפס (=התוחלת שלו)‪ ,‬כלומר בכך ש‪ , P( Z  t )  P( Z  t ) -‬ולקבל‬
‫‪a  10‬‬
‫‪10  a‬‬
‫‪10  a‬‬
‫‪10  a‬‬
‫‪)  P( Z ‬‬
‫(‪)  1  ‬‬
‫(‪)  ‬‬
‫‪)  0.95‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ 0.05  P( Z ‬כעת‬
‫מסתכלים בטבלה ורואים שערך ‪ t‬עבורו ‪ (t )  0.95‬הוא ‪ t=1.645‬ומכאן‬
‫‪10  a‬‬
‫‪ 1.645  a  7.5325‬‬
‫‪1.5‬‬
‫בהינתן שמשקל התינוק הוא בקטע )‪ (9.5,10.5‬אזי הסיכוי שהוא גדול מ‪ 10‬זה בדיוק ‪ 0.5‬כיוון‬
‫שההתפלגות סימטרית סביב ‪.10‬‬
‫‪10.5  10 X  10 10.2  10‬‬
‫(‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.2586‬‬
‫)‪P(10.5  X  10.2‬‬
‫‪P( X  10.2 9.5  X  10.5) ‬‬
‫‪‬‬
‫)‪P(9.5  X  10.5‬‬
‫‪P(0.3  Z  0.133)  (0.3)   (0.133) 0.6179  0.5517‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.255‬‬
‫‪0.2586‬‬
‫‪0.2586‬‬
‫‪0.2586‬‬
‫‪‬‬
‫‪X  10 9.5  10‬‬
‫‪‬‬
‫‪)  P( Z  0.3)   (0.3)  1   (0.3)  1  0.6915  0.3085‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫נסמן ב ‪ Y‬את מס' הבחירות שנעשה עד שנקבל תינוק ששוקל מתחת ל‪.9.5 -‬‬
‫)‪Y ~ G (0.3085‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3.24‬‬
‫‪0.3085‬‬
‫‪E (Y ) ‬‬
‫‪1  0.3085‬‬
‫‪ 7.26‬‬
‫‪0.39852‬‬
‫‪V (Y ) ‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫נסמן ב‪ W‬את מס' הבחירות עד שנקבל ‪ 5‬תינוקות ששוקלים מתחת ל‪ 9.5‬אזי ‪:‬‬
‫)‪W ~ NB (5, 0.3085‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 16.2‬‬
‫‪0.3085‬‬
‫)‪5(1  0.3085‬‬
‫‪ 36.32‬‬
‫‪0.30852‬‬
‫ט‪.‬נחפש ‪ ‬כך ש‪-‬‬
‫)‬
‫‪0.5‬‬
‫‪‬‬
‫(‪)  1 ‬‬
‫כלאמר ‪)  0.8‬‬
‫‪E (W ) ‬‬
‫‪V (W ) ‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪)  P( Z ‬‬
‫‪0.5‬‬
‫( ‪ ‬לפי הטבלה רואים ‪ Z 0.8  0.845 :‬ולכן נקבל ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪X  10‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‪0.2  P( X  10.5)  P‬‬
‫כלאמר ‪.   0.59‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ 1.43)  0.9236‬‬
‫‪ 1.67)  0.9525‬‬
‫‪ 2.82)  1  P( Z  2.82)  1  0.9976  0.0024‬‬
‫‪ 0.55)  1  P( Z  0.55)  1  0.7088  0.2912‬‬
‫‪P( Z‬‬
‫‪P( Z‬‬
‫‪P( Z‬‬
‫‪P( Z‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.845 ‬‬
‫(‪P( X  9.5)  P‬‬
P( Z  0.98)  1  P( Z  0.98)  1  (1  P( Z  0.98))  P( Z  0.98)  0.8365
P( Z  2.46)  1  P( Z  2.46)  1  0.9931  0.0069
P(0.52  Z  1.52)  P( Z  1.52)  P( Z  0.52)  0.9357  0.6985  0.2372
P(2.34  Z  0.75)  P( Z  0.75)  P( Z  2.34)  1  P( Z  0.75)  1  P( Z  2.34)
 0.9904  0.7734  0.217
P(0.52  Z  2.59)  P( Z  2.59)  P( Z  0.52)  P( Z  2.59)  1  P( Z  0.52) 
 0.9952  1  0.6985  0.6937
.7
Z 0.999  3.09 Z 0.99  2.326 Z 0.95  1.645 Z 0.9  1.282 Z 0.8  0.84
Z 0.3  Z 0.7  0.52 Z 0.05  Z 0.95  1.645