פתרון - הטכניון

‫הפקולטה להנדסת תעשייה וניהול‬
‫הטכניון ‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬
‫מרצה ‪ :‬פרופסור אבישי מנדלבאום‬
‫מתרגלת‪ :‬ניצן כרמלי‬
‫תאריך הבחינה‪15.7.2012 :‬‬
‫מס' סטודנט ______________________‬
‫שם ____________________________‬
‫הנדסת מערכות שירות – ‪096324‬‬
‫מועד א' – סמסטר אביב תשע"ב ‪2012‬‬
‫פתרון‬
‫‪-‬‬
‫המבחן נמשך שלוש שעות‪ .‬באחריותך להחזירו במועד‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫המבחן בחומר סגור‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫מותר להשתמש במחשבון‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫המבחן כולל ‪ 32‬עמודים‪ ,‬כולל עמוד זה ועמוד ‪) 32‬התפלגויות מהקורס בהסתברות(‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫כאשר נדרשים חישובים‪ ,‬ניתן לעגלם באופן שאינו פוגע בהבנת התשובה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫מלאו את הפרטים הנדרשים בראש העמוד‪ ,‬בכתב ברור בבקשה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫על התשובות יש לענות במקומות המיועדים‪ ,‬שאמורים להספיק‪ :‬מלל מיותר יגרע ניקוד‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫יש לתת הסברים או הוכחות רק אם התבקשתם במפורש לעשות זאת‪.‬‬
‫ניקוד‪ :‬שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫______ מתוך ‪ 10‬נקודות‬
‫______ מתוך ‪ 10‬נקודות‬
‫______ מתוך ‪ 20‬נקודות‬
‫______ מתוך ‪ 10‬נקודות‬
‫סה"כ‬
‫_____ מתוך ‪ 50‬נקודות‬
‫הרצאות\תרגולים\בחינות קודמות‬
‫תרגילי בית‬
‫יישום‬
‫תיאוריה‬
‫בהצלחה!‬
‫‪1‬‬
‫שאלה ‪ - 1‬תרגילי כיתה‪/‬הרצאות‪/‬מבחנים קודמים )‪ 10‬נקודות(‬
‫חלק ‪ – 1‬מופעים‪ ,‬תחזיות ו‪SEESTAT -‬‬
‫‪ 1.1.1‬הגרף הבא מציג את סך השיחות הנכנסות למוקד טלפוני ביום בתקופה ‪1/7/2002-‬‬
‫‪ .30/8/2002‬אילו מסקנות )בעלות משמעות תפעולית( ניתן להסיק מהגרף?‬
‫)התייחסו בתשובתכם למגמות‪ ,‬מחזוריות‪ ,‬ימים חריגים ועוד(‪.‬‬
‫גרף ‪1‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫ניתן לראות כי יש הבדל משמעותי בין ימי חול לסוף השבוע‪ .‬ימי שני הם העמוסים ביותר בעוד‬
‫שבימי שבת וראשון מספר השיחות הנכנסות נמוך באופן משמעותי משאר ימי השבוע‪.‬‬
‫ניתן לראות כי אין מגמה כללית כלשהי‪ ,‬כלומר‪ ,‬אין עליה או ירידה לאורך זמן בכמות השיחות‬
‫הנכנסות‪ .‬ה‪ 4.7.2002-‬הינו יום חריג‪ ,‬זהו יום העצמאות של ארה"ב ולפיכך כמות השיחות‬
‫הנכנסות בו קטנה מימי אמצע שבוע אחרים‪.‬‬
‫לאבחנות אלו יש כמובן משמעות תפעולית בהקשר של החלטות איוש או כל היבט אחר‬
‫בהתמודדות עם עומס‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1.1.2‬להלן מתוארים שלושה ניסיונות לחזות קצב מופע למוקד שירות טלפוני בארה"ב‪ .‬התחזית‬
‫היא למספר המופעים החל משעה ‪ .12:00‬הנקודות מתארות את המספר האמיתי‪ .‬סכמו בקצרה‬
‫את המסקנות העיקריות הנובעות מדוגמה זו‪.‬‬
‫גרף ‪2‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫נתונים מהבוקר )‪ (7:00-10:00‬מאפשרים לשפר את איכות החיזוי בצורה משמעותית )ביחס‬
‫לתחזיות ע"פ נתונים עד יום קודם(‪ .‬אין הבדל משמעותי בין תחזיות על סמך נתונים עד ‪ 10‬בבוקר‬
‫ותחזיות על סמך נתונים עד ‪ 12‬בצהריים‪ .‬ז"א‪ ,‬השעות ‪ 10:00-12:00‬לא מוסיפות אינפורמציה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫בגרפים הבאים מתוארים מופעים למוקד שירות טלפוני בארץ‪ ,‬בימים שונים של השבוע‪ :‬הגרף‬
‫הראשון מתאר מספר מופעים לחצי שעה והשני את מספר מופעים זה ביחס לממוצע היומי‬
‫)באחוזים(‪.‬‬
‫גרף ‪3‬‬
‫גרף ‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 1.1.3‬בהנחה שהמופע למוקד הוא פואסון לא הומוגני בזמן‪ ,‬באיזה מודל מתמטי לקצב המופע‬
‫‪  (t ), t  0‬הייתם ממליצים להשתמש‪ ,‬ובאילו שיטות הייתם חוזים אותו?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫אנו ממליצים על שימוש במודל ) ‪  (t )  C % (t‬כאשר המ"מ ‪ C‬הינו מספר המופעים ביום מסוים‬
‫והפונקציה ) ‪ % (t‬היא הצורה של המופעים ששונה עבור ימי חול‪ ,‬ימי שבת וימי ראשון‪.‬‬
‫אפשר לחזות את ‪ C‬ע"פ שיטות פשוטות כגון שיטת הממוצע הנע‪:‬‬
‫‪N j 7,k  N j 14,k  N j  21,k  N j  28,k‬‬
‫‪4‬‬
‫‪Fj ,k ‬‬
‫או ‪Fj ,k  N j 7,k :Most Recent Observation‬‬
‫או ע"פ שיטות מתחום סדרות עתיות‪.‬‬
‫על פי "צורת" היום המתקבלת בגרף השני ניתן למצוא את ) ‪ , % (t‬בהתאם ליום המסוים בשבוע‪.‬‬
‫‪ 1.1.4‬נניח כי דוח ה – ‪ ACD‬המופיע בעמוד הבא מתאר את ההגעות לאותו מוקד טלפוני ב‪-‬‬
‫‪ .1.7.2002‬כיצד ניתן לבדוק‪ ,‬בעזרת הדוח הנ"ל‪ ,‬את ההשערה הבאה‪" :‬המופעים בין השעה ‪ 7:00‬ל‪-‬‬
‫‪ 24:00‬ב‪ 1.7.2002-‬מתאימים לתהליך פואסון לא הומוגני בזמן "? הסבירו תשובתכם במילים )אין‬
‫צורך בנוסחאות מתמטיות‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫כדי לבדוק זאת‪ ,‬יש לחלק את היממה למקטעים קטנים שבהם ניתן להניח שהקצב קבוע )לדוגמה‬
‫קטעים באורך ‪ 10‬שניות(‪ .‬נבצע בעזרת שיטת ‪ ,Brown‬טרנספורמציה של הזמנים הבין מופעיים בכל‬
‫אינטרוול לזמנים עם קצב ‪) 1‬בכל אינטרוול הטרנספורמציה תהיה בהתאם לקצב הממוצע‬
‫באינטרוול( ונבדוק‪ ,‬בעזרת ‪ ,QQ Plot‬האם קיבלנו זמנים )בין מופעיים( המתפלגים מעריכית עם‬
‫קצב ‪.1‬‬
‫הערה‪ :‬ליתר דיוק‪ ,‬ההשערה אותה בודקים היא לתהליך פואסון‪ ,‬לא הומוגני בזמן‪ ,‬עם קצב מופע‬
‫קבוע למקוטעין‪.‬‬
‫‪5‬‬
6
‫‪ 1.1.5‬להלן היסטוגרמה המתארת את משכי השהייה )אשפוז( במחלקה פנימית בבית חולים גדול‬
‫בארץ‪ .‬כיצד ניתן להסביר את הצורה המיוחדת של היסטוגרמה זו?‬
‫גרף ‪5‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫ניתן לראות כי יש ‪ Peak‬בהיסטוגרמה בערך כל ‪ 24‬שעות‪ .‬הגרף למעשה מדגים את ההשפעה שיש‬
‫למדיניות השחרור מהמחלקות הפנימיות על משכי השהייה בהן‪ .‬שחרור חולים מהמחלקה מתבצע‬
‫פעם ביום‪ ,‬באותה השעה‪ ,‬ולכן להתפלגות משכי השהייה יש פיקים במרווחים של ‪ 24‬שעות‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫חלק ‪ –2‬תחומים תפעוליים‬
‫בעמוד ‪ 10‬נתונות ‪ 3‬דוגמאות של דו"חות ‪ ACD‬ממוקד שירות טלפוני בארץ‪.‬‬
‫‪ 1.2.1‬התאימו לכל דוח את התחום התפעולי המתאים מבין‪ ED ,QED :‬ו‪ .QD -‬נמקו בקצרה אך‬
‫במדויק ככל שתוכלו‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫דוח‬
‫מדיניות‬
‫נימוק קצר‬
‫‪1‬‬
‫‪ED‬‬
‫אחוז נטישות גבוה‪ ,‬בין ‪ 20%‬ל‪ ,40%-‬ממוצע זמן ההמתנה מסדר גודל של‬
‫זמן שרות‪ ,‬אחוז הלקוחות המקבלים שירות מיידי אפסי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪QD‬‬
‫‪3‬‬
‫‪QED‬‬
‫נטישות והמתנות זניחות‪ ,‬כולם נענים מיידית‪.‬‬
‫קיימות נטישות אך באחוזים נמוכים‪ ,‬בין ‪ 2%‬ל‪ ,6%-‬ממוצע זמן ההמתנה‬
‫מסדר גודל אחז פחות מזמן שרות‪ ,‬אחוז הלקוחות הנענים מיידית נע בין‬
‫‪ 25%‬ל‪ - 75% -‬לא קרוב ל‪ 0%-‬ולא ל‪.100%-‬‬
‫בסעיפים הבאים נתמקד בשורה השנייה בכל דוח )מודגשת(‪ :‬בדוח מספר ‪ ,22:30-23:00 – 1‬בדוח‬
‫מספר ‪ ,14:00-14:30 – 2‬ובדוח מספר ‪.13:30-14:00 – 3‬‬
‫‪ 1.2.2‬כתבו את כלל איוש שנראה מתאים ביותר לכל דו"ח‪ ,‬המקשר בין העומס המוצע ‪ R‬ומספר‬
‫השרתים ‪ .n‬חשבו את דרגות השירות )ערכי הפרמטרים של כללי האיוש( עבור השורה השניה של‬
‫כל דוח‪.‬‬
‫דרגת השירות‬
‫דוח‬
‫כלל איוש‬
‫‪1‬‬
‫‪n  R   R,   0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 0.363‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  R   R,   0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 1  0.791‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n  R   R , - < <‬‬
‫‪nR‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪8‬‬
‫‪  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.2.3‬נניח כי מספר המופעים היה גדל פי ‪ 9‬וגם מספר המוקדנים )שרתים( היה גדל פי ‪) 9‬כל שאר‬
‫הפרמטרים נשארים כפי שהיו(‪.‬‬
‫תנו הערכתכם לממוצע זמן ההמתנה תחת תרחיש חדש זה‪ .‬נמקו בקצרה ובמדויק ככל שתוכלו‪.‬‬
‫דוח‬
‫ממוצע זמן‬
‫ההמתנה הנוכחי‬
‫ממוצע זמן ההמתנה‬
‫החדש‬
‫‪1‬‬
‫‪ 163.2‬שניות‬
‫‪ 163.2‬שניות –‬
‫לא משתנה‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 17.1‬שניות‬
‫‪5.7‬‬
‫נימוק קצר‬
‫אחוז הנוטשים אינו משתנה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (1  P( Ab))   N  P  Ab   1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ N ‬‬
‫‪‬‬
‫ומכיוון שתוחלת הסבלנות אינה משתנה‬
‫ומתקיים הקשר ] ‪ P ( AB)   E[Wq‬גם זמן‬
‫ההמתנה הממוצע לא ישתנה‪.‬‬
‫מערכת גדולה יותר‪ ,‬סביר שלא תהיה גרועה‬
‫יותר‬
‫‪ ‬היה שווה קודם ל‪ 0-‬ונשאר שווה ל‪.0-‬‬
‫) ‪f (  , , ‬‬
‫במדיניות ‪QED‬‬
‫‪n‬‬
‫‪E[Wq ] ‬‬
‫מכיוון ש ‪  ,  ,  -‬אינם משתנים ממוצע זמן‬
‫ההמתנה יקטן פי ‪.3‬‬
‫‪9‬‬
10
‫שאלה ‪ – 2‬תרגילי בית )‪ 10‬נקודות(‬
‫חוק ‪Little‬‬
‫חולים הפונים לחדר מיון בבית חולים מסוים עוברים את תהליך הטיפול לפי התרשים המצורף‪.‬‬
‫התהליך מתחיל בהרשמה‪ .‬אחרי ההרשמה‪ ,‬החולים עוברים בדיקה אצל אחיות שמסווגות אותם‬
‫לחולים משתחררים פוטנציאלים )הנשלחים לרופא "רגיל"‪ ,‬מקבלים הוראות וטיפול ולא‬
‫מאושפזים( או מאושפזים פוטנציאלים )הנשלחים לטיפול דחוף ובסוף הטיפול יאושפזו(‪ .‬שני סוגי‬
‫החולים מחכים בתורים נפרדים לקראת בדיקת רופא‪ .‬הרופא בודק את החולים‪ .‬לאחר בדיקת‬
‫הרופא‪ ,‬החולים המאושפזים נשלחים למחלקות בבית‪-‬החולים; החולים המשתחררים מקבלים‬
‫טיפול והוראות להמשכו )למשל מרשמים( ואז משתחררים לביתם‪ .‬נניח‪ ,‬בשלב זה‪ ,‬שאחיות המיון‬
‫לא עושות טעויות וממינות ‪ 100%‬של החולים בצורה נכונה‪.‬‬
‫מדידות מראות שממוצע קצב הגעת חולים למיון הוא ‪ 50‬חולים בשעה‪ ,‬מתוכם בסופו של דבר‬
‫מאושפזים ‪ 10%‬מהפונים‪ .‬תהליך הרשמה של חולה נמשך ‪ 2‬דקות בממוצע‪ .‬בדיקת אחות אורכת‬
‫‪ 3‬דקות בממוצע‪ .‬משך זמן בדיקת רופא משתנה בין שני סוגי החולים‪ 5 :‬דקות למשתחררים‬
‫פוטנציאליים ו‪ 30 -‬דקות למאושפזים פוטנציאליים‪ ,‬בממוצע‪.‬‬
‫נמצא גם כי בממוצע ‪ 20‬חולים ממתינים בתור להרשמה ו‪ 5-‬חולים ממתינים בתור לאחות‪ .‬בנוסף‪,‬‬
‫תור החולים המשתחררים )הרגילים( לקראת בדיקת רופא הוא ‪ 15‬חולים בממוצע ותור החולים‬
‫המאושפזים )הדחופים( הוא חולה אחד בממוצע‪.‬‬
‫כניסת‬
‫חולים‬
‫‪90%‬‬
‫תור‬
‫להרשמה‬
‫הרשמה‬
‫תור‬
‫לאחיות‬
‫אחות‬
‫‪10%‬‬
‫‪11‬‬
‫תור‬
‫לרופא‬
‫רגיל‬
‫תור‬
‫לרופא‬
‫מהיר‬
‫בדיקת‬
‫רופא‬
‫בדיקת‬
‫רופא‬
‫משתחררים‬
‫)‪(90%‬‬
‫מאושפזים‬
‫)‪(10%‬‬
‫‪ 2.1‬כמה זמן בממוצע ישהה חולה בחדר המיון?‬
‫תשובה‪ :‬נחלק את חדר המיון לשש מערכות‪ – 1 :‬תור להרשמה‪ – 2 ,‬הרשמה‪ – 3 ,‬תור לאחיות‪– 4 ,‬‬
‫בדיקת אחיות‪ – 5 ,‬תור לרופאים‪ – 6 ,‬בדיקת רופא‪.‬‬
‫נחשב את זמני השהיה בכל שלב ונסכם אותם‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪  customers per min‬‬
‫‪ 24 min‬‬
‫‪L1‬‬
‫‪‬‬
‫‪L1  20,W1 ‬‬
‫‪W2  2 min‬‬
‫‪ 6 min‬‬
‫‪L3‬‬
‫‪‬‬
‫‪L3  5, W3 ‬‬
‫‪W4  3min‬‬
‫‪ 19.2 min‬‬
‫‪L5‬‬
‫‪‬‬
‫‪L5  15  1  16,W5 ‬‬
‫‪W6  5  90%  30 10%  7.5 min‬‬
‫‪W  W1  W2  W3  W4  W5  W6  61.7 min‬‬
‫‪ 2.2‬כמה חולים בממוצע יהיו סה"כ בחדר המיון?‬
‫תשובה‪ :‬על סמך חוק ‪:Little‬‬
‫‪5‬‬
‫‪L  W   61.7  51.4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 2.3‬כמה זמן בממוצע ישהו מאושפזים פוטנציאליים בחדר המיון?‬
‫תשובה‪ :‬ההבדל בזמני השהיה של חולים מאושפזים למשתחררים נובע רק משלבים ‪ 5‬ו‪ 6 -‬ולכן‪:‬‬
‫‪ 12 min‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10%‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪Lhosp‬‬
‫‪5‬‬
‫‪hosp‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪hosp‬‬
‫‪5‬‬
‫‪W‬‬
‫‪W6hosp  30 min‬‬
‫‪W  W1  W2  W3  W4  W5hosp  W6hosp  77 min‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ 2.4‬מהו מספר הפקידים המינימלי בעמדת ההרשמה שיאפשר מצב שבו נצילותם לא תעלה על‬
‫‪.80%‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫נחשב את ה‪R   E[ S ]   2  min :offered load -‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪R 5‬‬
‫לכן‪ ,‬מספר הפקידים המינימלי הוא ‪ .3‬הנצילות שלהם תהיה ‪  55.5%‬‬
‫‪n 9‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 2.5‬מהו מספר הרופאים המינימלי שנדרש כדי להבטיח את יציבות המערכת?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫נחשב את ה‪ offered load -‬בנפרד למשתחררים ולמתאשפזים‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Rhosp   10%  E[ S ]   0.1  30  2.5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Rdis    90%  E[ S ]   0.9  5  3.75‬‬
‫‪6‬‬
‫לכן‪ ,‬מספר הרופאים המינימלי הוא ‪ 7‬רופאים‪.‬‬
‫בבדיקה נוספת התגלה כי למרות שרק ‪ 90%‬מהחולים משתחררים )ולכן אינם דחופים(‪ ,‬האחות‬
‫מסווגת ‪ 92%‬מחולים כרגילים‪ .‬הרופא שמבצע את הבדיקה הרגילה הוא שמגלה את הטעות‬
‫בסיווג של ‪ 2%‬הנותרים‪ .‬כתוצאה מכך‪ ,‬תור החולים הרגילים לקראת בדיקת רופא הוא ארוך‬
‫יותר ומונה ‪ 21‬חולים בממוצע‪) .‬תור החולים הדחופים נשאר חולה אחד בממוצע‪(.‬‬
‫החולים שמסווגים בטעות כרגילים שוהים אצל הרופא הרגיל ‪ 10‬דקות בממוצע‪ ,‬לאחר מכן הם‬
‫נשלחים להמשך טיפול אצל הרופא הדחוף‪ .‬משך זמן בדיקת רופא דחוף נשאר ‪ 30‬דקות‪ .‬שימו לב‬
‫כי החולים שמסווגים באופן שגוי מחכים בפועל בשני תורים )לרופאים(‪ .‬הניחו כי כל שאר‬
‫הנתונים נשארו זהים למה שנמצא קודם לכן‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪ 2.6‬השלם את האיור כך שיתאר את המצב החדש‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪92%‬‬
‫כניסת‬
‫חולים‬
‫תור‬
‫להרשמה‬
‫הרשמה‬
‫תור‬
‫לאחיות‬
‫תור‬
‫לרופא‬
‫רגיל‬
‫משתחררים‬
‫)‪(90%‬‬
‫בדיקת‬
‫רופא‬
‫‪2%‬‬
‫אחות‬
‫‪8%‬‬
‫תור‬
‫לרופא‬
‫דחוף‬
‫מאושפזים‬
‫)‪(10%‬‬
‫בדיקת‬
‫רופא‬
‫‪ 2.7‬כמה זמן בממוצע ישהה חולה בחדר המיון?‬
‫תשובה‪.:‬‬
‫הזמנים שהשתנו הם זמן ההמתנה לרופא והזמן הממוצע שלוקח ביקור רופא‪ .‬נחשב אותם ונסכם‬
‫את הזמנים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪Lhosp‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 12 min‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10%‬‬
‫‪6‬‬
‫‪rel‬‬
‫‪L‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ 27.39 min‬‬
‫‪W5rel  5rel ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 92%‬‬
‫‪6‬‬
‫‪W5  27.39  90%  12 10%  39.39  2%  26.4 min‬‬
‫‪hosp‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪hosp‬‬
‫‪5‬‬
‫‪W‬‬
‫‪W6  5  90%  30  8%  40* 2%  7.7 min‬‬
‫‪W  W1  W2  W3  W4  W5  W6  24  2  6  3  26.4  7.7  69.1min‬‬
‫‪14‬‬
‫שאלה ‪ – 3‬יישום )‪ 20‬נקודות(‬
‫תכנון שדות תעופה‬
‫להלן כתבה שהתפרסמה ב –‪ YNET‬ב – ‪ ,7.5.2010‬אין צורך לקרוא את הכתבה‪ ,‬כל המידע הדרוש‬
‫יופיע בשאלות עצמן‪.‬‬
‫יוסי‪ ,‬העובד בחברת האדריכלות שזכתה במכרז לתכנון טרמינל הנוסעים בשדה החדש‪ ,‬נדרש‬
‫לקבוע את השטח הדרוש לאזור ה – ‪ Check-in‬של טיסות פנים‪ .‬לצורך כך עליו להעריך את כמות‬
‫הנוסעים הצפויה לשהות בזמן נתון‪ ,‬באזור דלפקי ה – ‪ Check-in‬של שתי החברות המפעילות‬
‫טיסות פנים – אל‪-‬על וארקיע‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫בשלב הראשון‪ ,‬יוסי מעוניין להעריך את כמות הנוסעים בטיסות מקומיות‪ ,‬הצפויה לשהות באזור‬
‫ה – ‪ Check in‬של חברת אל‪-‬על‪ .‬החברה תפעיל ‪ 3‬טיסות ביום )ב‪ 14:00 ,7:00-‬ו‪ (19:00-‬משדה‬
‫התעופה לתל‪-‬אביב‪ .‬החברה תאייש ‪ 4‬דלפקים החל משעתיים לפני הטיסה‪.‬‬
‫ראשית‪ ,‬לשם הפשטות‪ ,‬מנתח יוסי את מערכת התור לפני טיסת אל‪-‬על אחת בודדת‪ .‬הוא מעריך‬
‫כי נוסעים יגיעו לאזור הדלפקים של החברה בטווח של בין שעתיים לפני הטיסה ועד חצי שעה‬
‫לפני הטיסה‪ .‬שוב לפשטות‪ ,‬הוא מניח כי ההגעות בטווח זמן זה הינן לפי תהליך פואסון עם קצב‬
‫של ‪ 100‬נוסעים בשעה וכי משך השירות בכל אחד מהדלפקים מתפלג מערכית עם תוחלת של ‪2.25‬‬
‫דקות לנוסע‪ .‬בנוסף מניח יוסי כי המערכת מגיעה במהירות למצב יציב‪.‬‬
‫‪ 3.1‬איזה מודל מתמטי מתאים לתיאור מערכת התור בטווח של שעתיים עד חצי שעה לפני טיסת‬
‫אל‪-‬על? מהן הנחות המודל? מהם הפרמטרים של המודל?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫המודל המתמטי המתאים הוא מודל ‪ .M/M/n – Erlang C‬הנחות המודל והפרמטרים‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫הגעות לפי תהליך פואסון עם קצב של ‪   100‬נוסעים לשעה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫‪2.25‬‬
‫משכי שירות מפולגים )‪0.0375 , exp(   26.667‬‬
‫‪60‬‬
‫‪-‬‬
‫‪ 4‬שרתים‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫כמו כן מניחים כי אין נטישות ולא קיימת תלות בין תהליך ההגעה למשכי השירות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫שעות‪.‬‬
‫‪ 3.2‬שרטטו על גבי הגרף המצורף את קצב הגעת נוסעים לטיסות אל‪-‬על לתל אביב לאורך כל שעות‬
‫היום‪ .‬האם הגעת הנוסעים לטיסות אל‪-‬על לתל אביב במשך יממה אחת מהווה תהליך פואסון‬
‫הומוגני בזמן? נמקו את תשובתכם‪) .‬הקפידו על היחידות המתאימות(‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫קצב הגעה לטיסת פנים של אל‪-‬על‬
‫‪λ‬‬
‫‪00:00‬‬
‫‪23:00‬‬
‫‪22:00‬‬
‫‪21:00‬‬
‫‪20:00‬‬
‫‪19:00‬‬
‫‪18:00‬‬
‫‪17:00‬‬
‫‪16:00‬‬
‫‪15:00‬‬
‫‪14:00‬‬
‫‪13:00‬‬
‫‪12:00‬‬
‫‪11:00‬‬
‫‪10:00‬‬
‫‪09:00‬‬
‫‪08:00‬‬
‫‪07:00‬‬
‫‪06:00‬‬
‫‪05:00‬‬
‫‪04:00‬‬
‫‪03:00‬‬
‫‪02:00‬‬
‫‪01:00‬‬
‫‪00:00‬‬
‫)‪Time (resolution = 30 min‬‬
‫‪Arrival rate‬‬
‫‪100‬‬
‫‪90‬‬
‫‪80‬‬
‫‪70‬‬
‫‪60‬‬
‫‪50‬‬
‫‪40‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫התהליך אינו תהליך פואסון הומוגני בזמן‪ .‬ישנן שעות )שעתיים עד חצי שעה לפני טיסה( בהן קצב‬
‫ההגעה הוא ‪ 100‬נוסעים לשעה בעוד שבשאר השעות קצב ההגעה הינו ‪ .0‬בגרף הנ"ל קצב המופע‬
‫הוא ממוצע מספר מופעים לחצי שעה‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫שימו לב‪ :‬פונקציית ‪ Garnett‬ודפי הרצאה רלוונטיים לפתרון הסעיפים הבאים מופיעים בסוף‬
‫השאלה‪.‬‬
‫‪ 3.3‬מהי ההסתברות שנוסע שהגיע לטיסת פנים של אל‪-‬על בטווח שבין שעתיים לחצי שעה לפני‬
‫הטיסה ייאלץ להמתין?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪2.25‬‬
‫העומס המוצע‪ 3.75 :‬‬
‫‪60‬‬
‫‪R   E[ S ]  100 ‬‬
‫‪n  R 4  3.75‬‬
‫‪‬‬
‫דרגת השירות‪ 0.129 :‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3.75‬‬
‫‪‬‬
‫מכיוון שאין נטישות‪ ,‬אנו מסתכלים בפונקציית ‪ Halfin-Whitt‬על הגרף של ‪ Garnett‬ומקבלים כי‬
‫עבור ה ‪  -‬הנתונה ‪. P Wait  0  0.9‬‬
‫)ניתן לחשב גם ישירות מנוסחת ‪ , E2,n‬אך חישוב זה מסורבל(‪.‬‬
‫‪ 3.4‬מהו אורך התור הממוצע לדלפקי ה ‪ Check-in -‬של חברת אל‪-‬על )בטווח הזמן של שעתיים‬
‫עד חצי שעה לפני הטיסה(?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫בסעיף הקודם מצאנו כי ההסתברות להמתנה הינה‪. E2,n  P Wait  0  0.9 :‬‬
‫בתור ‪:M/M/n‬‬
‫‪0.9375‬‬
‫‪‬‬
‫‪100‬‬
‫‪  ‬ולכן‪ 0.9  13.5 :‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ 0.9375‬‬
‫‪1  0.9375‬‬
‫‪n 4  26.667‬‬
‫דרך נוספת‪:‬‬
‫בתור ‪:M/M/n‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E2,n  ‬‬
‫‪ 0.9 ‬‬
‫ולכן‪ 0.135 :‬‬
‫‪ 4 1  0.9375‬‬
‫‪26.67‬‬
‫‪n 1 ‬‬
‫ומחוק ‪E[ Lq ]   E[Wq ]  100  0.135  13.5 :Little‬‬
‫‪17‬‬
‫‪E[Wq ] ‬‬
‫‪E2, n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪E[ Lq ] ‬‬
‫כעת יוסי מעוניין לעדן מספר הנחות שעשה בניתוח הראשוני‪ .‬ידוע כי ‪ 30%‬מהנוסעים הינם‬
‫לקוחות עסקיים המגיעים לדלפק ה – ‪ Check in‬ללא מזוודות למסירה‪ .‬עבור נוסעים אלו משך‬
‫השירות בדלפק מתפלג מעריכית עם ממוצע של חצי דקה בלבד‪ 70% .‬מהנוסעים הם תיירים ומשך‬
‫השירות שלהם מתפלג מעריכית עם ממוצע של ‪ 3‬דקות‪.‬‬
‫ההנחה לגבי תהליך ההגעה אינה משתנה לעת עתה‪.‬‬
‫‪ 3.5‬איזה מודל מתמטי מתאים לתיאור המערכת כעת? מהן הנחות המודל?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫המודל המתמטי המתאים הוא מודל ‪ .M/PH/n‬הנחות המודל והפרמטרים‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫הגעות לפי תהליך פואסון עם קצב של ‪   100‬נוסעים לשעה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫משכי שירות מפולגים ‪) PH‬משך שירות היפר‪-‬מעריכי(‪ ,‬עם שתי פאזות במקביל‪ :‬מעריכית עם‬
‫‪1‬‬
‫ממוצע‬
‫‪2‬‬
‫דקה בסיכוי ‪ ,0.3‬ומעריכית עם ממוצע ‪ 3‬דקות בסיכוי ‪.0.7‬‬
‫‪-‬‬
‫‪ 4‬שרתים‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫כמו כן מניחים כי אין נטישות ולא קיימת תלות בין תהליך ההגעה למשכי השירות‪.‬‬
‫חלק זה של העמוד נשאר ריק‬
‫‪18‬‬
‫‪ 3.6‬מה יהיה כעת אורך התור הממוצע לדלפקי ה ‪ Check-in -‬של חברת אל‪-‬על )בטווח הזמן של‬
‫שעתיים עד חצי שעה לפני הטיסה(? השוו אותו לאורך התור הממוצע שקיבלתם בסעיף ‪ .3.3‬האם‬
‫תוצאה זו הייתה צפויה? נמקו תשובתכם‪.‬‬
‫תזכורת‪ :‬אם ) ‪ X  exp(‬אזי‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪E[ X 2 ]  ( E[ X ]) 2  Var ( X ) ‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫כאמור‪ ,‬משך השירות מתפלג כעת לפי התפלגות ‪ .(Hyper-exponential) PH‬ניתן לתאר את משך‬
‫השירות באופן הבא‪:‬‬
‫נחשב את תוחלת ושונות משך השירות‪:‬‬
‫‪E[ S ]  0.3  0.5  0.7  3  2.25 min  0.0375hour‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E[ S 2 ]  0.3 exp(120)   0.7 exp(20)   0.3 ‬‬
‫‪ 0.7  2  0.0035‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪120‬‬
‫‪20‬‬
‫‪Var ( S )  E[ X 2 ]  ( EX ) 2  0.003  0.03752  0.00213‬‬
‫מכיוון שתוחלת משך השירות לא השתנתה וקצב ההגעה לא השתנה‪ ,‬נשתמש ב‪Allen-Cunneen -‬‬
‫) ‪Var ( s‬‬
‫‪ ,Approximation‬כאשר כל שעלינו לעשות הוא לחשב את‬
‫‪( E ( S )) 2‬‬
‫‪ C ( S ) 2 ‬ולהציבו בנוסחא;‬
‫כל השאר נשאר כפי שהיה בתור ‪.M/M/n‬‬
‫‪0.00213‬‬
‫‪ 1.518‬‬
‫‪0.03752‬‬
‫‪C ( S )2 ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1  C ( S )2‬‬
‫‪1  1.518‬‬
‫‪ 0.135‬‬
‫‪ 0.17 ‬‬
‫‪E2,n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E[Wq ] ‬‬
‫ומחוק ‪:Little‬‬
‫‪. E[ Lq ]   E[Wq ]  100  0.17  17‬‬
‫קיבלנו שממוצע אורך התור גדל‪ .‬תוצאה זו הייתה צפויה שכן בהתפלגות ‪Hyper-exponential‬‬
‫‪ ,C>1‬כלומר‪ ,‬יש יותר אקראיות במערכת ולכן‪ ,‬עם אותו מספר שרתים )ועם אותה תוחלת משך‬
‫שירות ואותו קצב הגעה( נקבל משכי המתנה ארוכים יותר ואורכי תורים ארוכים יותר‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫במחשבה נוספת‪ ,‬יוסי מבין כי על מנת שיוכל להעריך את השטח הדרוש לאזור ה – ‪,Check in‬‬
‫עליו לאמוד את המספר המקסימאלי של לקוחות בתור ולא את הממוצע‪ .‬כמו כן‪ ,‬הוא בודק את‬
‫נתוני ההגעות של לקוחות אל‪-‬על לטיסות פנים היוצאות משדה התעופה באילת ומגלה כי ההנחות‬
‫הראשוניות שעשה אינן מדוייקות‪.‬‬
‫בפועל‪ ,‬נוסעים אכן מגיעים לאזור ה – ‪ Check in‬החל משעתיים לפני הטיסה אך לא ע"פ תהליך‬
‫פואסון‪ .‬קצב ההגעה משתנה כפונקציה של הזמן עד הטיסה‪ .‬הנוסע האחרון יגיע ‪ 15‬דקות לפני‬
‫הטיסה‪.‬‬
‫כמו כן מתברר לו כי אמנם החברה פותחת את הדלפקים החל משעתיים לפני הטיסה אך‬
‫מתחילים לקבל נוסעים רק שעה וחצי לפני הטיסה‪.‬‬
‫על סמך נתונים אלו יוסי משרטט את הגרף הבא‪:‬‬
‫גרף ‪6‬‬
‫‪20‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫ציר ה – ‪ X‬מתאר את הזמן עד ליציאת הטיסה‪.‬‬
‫)‪ = A(t‬כמות הנוסעים המצטברת באזור ה – ‪ Check in‬עד זמן ‪.t‬‬
‫)‪ = D(t‬כמות הנוסעים המצטברת שנכנסה ל – ‪ Check in‬עד זמן ‪.t‬‬
‫בשאלות הבאות בטאו את תשובותיכם בעזרת ‪ t A , t B , tC , t D , t E‬מהגרף‪.‬‬
‫‪ 3.7‬באילו זמנים קיים תור במערכת?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫קיים תור במערכת מזמן ‪ t A‬עד זמן ‪ . t B‬בזמן זה נוסעים מתחילים להגיע לאזור ה – ‪Check in‬‬
‫אך הדלפקים אינם פתוחים‪ .‬כמו כן קיים תור מזמן ‪ tC‬עד זמן ‪. t E‬‬
‫‪ 3.8‬מה ניתן לומר על היחס בין קצב ההגעה לקצב השירות החל מפתיחת הדלפקים )‪ 90‬דקות לפני‬
‫הטיסה( ועד ל‪ 65-‬דקות לפני הטיסה )מי גדול ממי(? מה ניתן לומר על נצילות הפקידים החל מזמן‬
‫‪ t B‬ועד ‪ 65‬דקות לפני הטיסה?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫קצב השירות בזמן שבין ‪ 90‬דקות לפני הטיסה ועד ‪ t B‬גבוה מקצב ההגעה‪ .‬עם פתיחת הדלפקים‬
‫ניתן לומר כי קצב השירות גבוה בהרבה מקצב ההגעה שכן הפקידים מצליחים להתמודד‬
‫במהירות עם התור שהצטבר טרם הפתיחה וכן לטפל בכל הלקוחות שהגיעו לאחר הפתיחה‪ .‬החל‬
‫מזמן ‪ t B‬ועד ‪ 65‬דקות לפני הטיסה נצילות הפקידים קטנה מ‪ ;100%-‬ניתן לראות כי השיפוע של‬
‫)‪ D(t‬בזמן זה קטן מהשיפוע של )‪ D(t‬כאשר יש תור במערכת‪ ,‬כלומר קצב השירות המקסימאלי‬
‫גבוה מקצב השירות הנדרש בפועל ומקבלים כי קצב השירות זהה לקצב הכניסה‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ 3.9‬באיזה אינטרוול זמן קצב ההגעה הוא הגבוה ביותר? מתי מתקבל אורך התור הארוך ביותר?‬
‫זמן ההמתנה הארוך ביותר? הסבירו את התופעה המתקבלת‪.‬‬
‫סמנו את אורך התור המקסימאלי ‪ , qmax -‬ואת זמן ההמתנה המקסימאלי ‪ , wmax -‬על גבי גרף ‪.6‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫קצב ההגעה הוא הגבוה ביותר בין ‪ tC‬ל ‪ , t D -‬ניתן לראות שהשיפוע של )‪ A(t‬הוא התלול ביותר‬
‫בזמן זה‪ .‬התור המקסימאלי מתקבל בזמן ‪ t D‬וכך גם זמן ההמתנה הארוך ביותר‪ .‬ראינו תופעה זו‬
‫גם בהרצאות ובתרגולים כאשר ה – ‪ Peak Congestion‬מפגר בזמן אחרי ה – ‪ .Peak Load‬מרגע‬
‫שקצב ההגעה עולה על קצה השירות המקסימאלי‪ ,‬מתחיל להיווצר תור‪ .‬התור ימשיך לגדול עד‬
‫אשר קצב ההגעה ישתווה שוב לקצב השירות המקסימאלי ו‪/‬או ירד מתחתיו‪ .‬לפיכך‪ ,‬אם קצב‬
‫ההגעה עולה מעל קצב השירות המקסימאלי ואז יורד שוב‪ ,‬ברגע שקצב ההגעה ישתווה לקצב‬
‫השירות המקסימאלי נקבל את אורך התור המקסימאלי ובהתאמה גם את משך ההמתנה הגבוה‬
‫ביותר‪.‬‬
‫הגרפים הבאים ממחישים את התופעה‪:‬‬
‫) ‪ -  (t‬קצב הכניסה‪ -  (t )   ,‬קצב השירות המקסימאלי‪.‬‬
‫לסימונים המתאימים ראו גרף ‪.6‬‬
‫‪22‬‬
‫‪ 3.10‬מה מתאר השטח המקווקו בגרף? בטאו את השטח המקווקו ‪ S‬באמצעות )‪ A(t‬ו – )‪.D(t‬‬
‫כיצד ניתן לחשב את אורך התור הממוצע ומשך ההמתנה הממוצע על סמך ‪?S‬‬
‫רשמו את הנוסחאות המתאימות תוך שימוש בסימוני הגרף‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪tE‬‬
‫‪ – S‬זמן ההמתנה הכולל במערכת )של כל הלקוחות שהגיעו למערכת(‪S    A(t )  D(t )  dt .‬‬
‫‪tA‬‬
‫נסמן ב – ‪ W‬את משך ההמתנה הממוצע‪.‬‬
‫נסמן ב – ‪ N‬את סך מספר הנוסעים שהגיעו לאזור ה – ‪ Check in‬עד הטיסה )ע"פ גרף ‪ 6‬ערך זה‬
‫שווה לגובה הגרף בנקודה ‪ ,E‬נסמנו גם כן ב – ‪.(E‬‬
‫נסמן ב – ‪ L‬את אורך התור הממוצע‪.‬‬
‫משך ההמתנה הממוצע מתקבל מחלוקת זמן ההמתנה הכולל בסך מספר האנשים שנכנסו‬
‫‪S S‬‬
‫‪‬‬
‫למערכת‪:‬‬
‫‪N E‬‬
‫אורך התור הממוצע מתקבל מחלוקת סך משך ההמתנה באינטרוול הזמן הרלוונטי‪ ,‬במקרה שלנו‬
‫‪.W ‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪‬‬
‫אינטרוול הזמן הוא ‪ , T  t E  t A‬ואורך התור הממוצע הוא‪:‬‬
‫‪T tE  t A‬‬
‫חלק זה של העמוד נשאר ריק‬
‫‪23‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ 3.11‬גבי‪ ,‬העובד גם הוא בחברת האדריכלות המתכננת את השדה החדש‪ ,‬אחראי לתכנון מסלולי‬
‫הנחיתה של טיסות פנים‪ .‬על‪-‬פי ההנחיות‪ ,‬יוקצה רק מסלול אחד לנחיתות של טיסות פנים‪.‬‬
‫תהליך ההגעה של טיסות פנים הינו תהליך פואסון עם קצב של ‪ ‬טיסות בשעה‪ .‬כאשר מטוס‬
‫נוחת במסלול הוא תופס אותו לזמן קבוע ‪ .D‬טיסות פנים אשר מגיעות בזמן שהמסלול תפוס יופנו‬
‫למסלול אחר‪ .‬כיצד מתפלג הזמן מרגע תחילת נחיתה במסלול המיועד לטיסות פנים ועד לרגע‬
‫תחילת הנחיתה הבאה במסלול זה?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫נסמן ‪ – Y‬הזמן בין שתי נחיתות עוקבות של טיסות פנים )לאו דווקא במסלול המוקצה לטיסות‬
‫פנים(‪.‬‬
‫) ‪Y  exp(‬‬
‫נסמן ‪ – X‬הזמן בין שתי נחיתות עוקבות במסלול לטיסות פנים‪ .‬זמן זה מורכב מזמן קבוע ‪ D‬שבו‬
‫המסלול חסום מרגע נחיתת המטוס הראשון והזמן מרגע ‪ D‬ועד שתנחת טיסת הפנים הבאה‪.‬‬
‫נסמן‪. X  D  RD :‬‬
‫נשים לב כי במהלך הזמן שהמסלול חסום מגיעות טיסות פנים נוספות המופנות למסלולים‬
‫אחרים‪ RD .‬מבטא למעשה את "שארית משך החיים" של ‪ Y‬בנקודת זמן ‪ .D‬נקודת זמן זו נופלת‬
‫באקראי במקום כלשהו ב‪ Y -‬ומתכונת חוסר זיכרון גם ) ‪. RD  exp(‬‬
‫כעת נמצא את פונקציית ההתפלגות של ‪ .X‬עבור ‪ D  t‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪P ( X  t )  P( D  RD  t )  P( RD  t  D)  1  e  ( t  D‬‬
‫כלומר‪ X ,‬מתפלג לפי התפלגות מעריכית מוזזת עם הפרמטרים ‪ ‬ו‪) D -‬הזזה בגובה ‪.(D‬‬
‫‪ 3.12‬מהו אחוז טיסות הפנים שמופנות למסלולים אלטרנטיביים? ניתן גם לחשב תשובה זו ע"פ‬
‫נוסחה שנלמדה בקורס – מהי הנוסחה?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫על סמך התשובה מהסעיף הקודם‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. E( X )  D ‬‬
‫מתוך זמן זה המסלול חסום ‪ D‬יחידות זמן‪.‬‬
‫ע"פ ‪ % ,PASTA‬טיסות מופנות = ‪ %‬הזמן שהמסלול תפוס =‬
‫‪D‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D 1‬‬
‫כמודל ‪ ,(Erlang B) M/D/1/1‬נוסחת ‪ Erlang B‬תשחזר את הביטוי הנ"ל‪.‬‬
‫‪24‬‬
25
26
27
28
‫שאלה ‪ – 4‬תיאוריה )‪ 10‬נקודות(‬
‫‪ 4.1‬במערכת שירות ‪ , M t | G | ‬המופע הוא פואסוני לא הומוגני בזמן עם קצב מופע‬
‫}‪ , { (t ), t  0‬ומשכי השירות ‪ S‬הם בלתי‪-‬תלויים‪ ,‬שווי התפלגות‪ ,‬ובלתי תלויים במופע‪ .‬נסמן ב‪-‬‬
‫)‪ L(t‬את מספר האנשים במערכת בזמן ‪ t‬ויהי )‪ R(t‬ממוצע מספרם‪. R(t )  EL(t ) :‬‬
‫ניתן להראות ש‪ R (t ) -‬נתון על ידי כל אחד משני הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪‬‬
‫)) ‪R (t )  E    (u )du   E ( S )  E ( (t  Se‬‬
‫‪t S‬‬
‫‪‬‬
‫מטרת שני הסעיפים הבאים היא להוכיח את הנוסחאות הנ"ל במקרה פרטי של משך שירות‬
‫דטרמיניסטי‪.‬‬
‫‪ 4.1.1‬נניח שמשך השירות ‪ S‬הוא דטרמיניסטי ‪ .S=D :D‬הוכיחו את השוויון בין שתי ההצגות‬
‫של ) ‪ R (t‬למקרה זה‪ ,‬ז"א‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫)) ‪  (u )du  D  E ( (t  Se‬‬
‫‪tD‬‬
‫כאשר ‪ Se‬הוא זמן שארית השירות המתאים ל‪ S -‬דטרמיניסטי ‪.D‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ Se‬מתפלג אחיד על ]‪. Se  U (0, D) . [0, D‬‬
‫‪t‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪1‬‬
‫‪RHS  D  E ( (t  Se ))  D     (t  x)dx    (t  x)dx    (u )du  LHS‬‬
‫‪u t  x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t D‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ 4.1.2‬הוכיחו שמתקיים‪R (t )    (u )du :‬‬
‫‪tD‬‬
‫‪tD‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪tD‬‬
‫רמז‪  (u )du    (u )du    (u )du :‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫נסמן ) ‪ = A(t‬מספר המופעים המצטבר עד זמן ‪ .t‬אזי )‪ , L(t )  A(t )  A(t  D‬כי בזמן ‪ t‬נמצאים‬
‫‪d‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫במערכת כל המופעים באינטרוול הזמן ] ‪ . (t  D, t‬בנוסף‪ , A(t )  Poisson    (u )du  ,‬ולכן‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪tD‬‬
‫‪t‬‬
‫‪tD‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R (t )  E ( L(t ))    (u )du    (u )du    (u )du‬‬
‫‪29‬‬
‫‪ 4.2‬בכתה הוסבר ש‪ R(t) -‬הנ"ל משמש כהגדרת העומס המוצע )‪ (Offered Load‬למערכת‬
‫שירות בזמן ‪ , t‬כאשר המופע אליה ומשכי השירות בה הם כמתואר בחלק ‪ 1‬הנ"ל‪) .‬כזכור‪R(t) ,‬‬
‫נמדד ב‪.(Erlang -‬‬
‫הסבירו בקצרה מדוע אכן ההגדרה מתאימה‪ .‬את הסברכם חלקו לשלושה חלקים‪:‬‬
‫‪ 4.2.1‬המקרה הפרטי של מופע פואסוני בקצב קבוע ) ‪ : ( (t )  ‬מהו )‪ R(t‬במקרה זה ומדוע‬
‫הגדרתו מתאימה?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫במקרה זה ‪ , R(t )   E[ S ]  R‬אינו תלוי ב – ‪!t‬‬
‫‪ = ‬מספר ממוצע של מופעים ליחידת זמן‪ .‬כל מופע מביא עמו בממוצע )‪ E(S‬יחידות עבודה‪,‬‬
‫הנמדדת ביחידות זמן שירות‪ .‬לכן ‪ = R‬כמות העבודה המגיעה למערכת ליחידת זמן‪ ,‬כאשר עבודה‬
‫נמדדת ביחידות זמן שירות‪.‬‬
‫‪ 4.2.2‬דוגמא ‪ -‬חדר מיון בבית חולים‪ ,‬שבו משך השהייה הממוצע ‪ 6‬שעות‪ :‬מדוע ההגדרה מסעיף‬
‫‪ 4.2.1‬איננה מתאימה למקרה שכזה?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫כאשר ‪ S‬מקבל ערכים יחסית גדולים‪ ,‬כמות העבודה בזמן ‪ t‬במערכת כוללת עבודה שהגיעה זמן‬
‫רב יחסית לפני ‪ ,t‬ואם קצב המופע משתנה‪ ,‬כמו בחדר מיון‪ ,‬קצב מופע העבודה לפני זמן רב יכול‬
‫להיות שונה בהרבה מקצב המופע בזמן ‪.t‬‬
‫‪ 4.2.3‬המקרה הכללי‪ :‬מדוע הגדרת )‪ R(t‬בחלק ‪ 4.1‬הנ"ל אכן מתאימה?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫בהמשך ל‪ = R (t ) ,4.2.2 -‬כמות העבודה הנמצאת במערכת בזמן ‪ ;t‬עבודה נמדדת ביחידות זמן‬
‫שירות‪ ,‬או לחילופין מספר יחידות זמן‪-‬שרת הנדרשות לטיפולה‪ .‬לכן ) ‪. R (t )  E ( L(t‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪‬‬
‫הביטוי ‪ R (t )  E    (u )du ‬ממחיש יפה את העובדה שכמות העבודה בזמן ‪ t‬כוללת עבודה‬
‫‪ t S‬‬
‫‪‬‬
‫שהגיעה לפני כן‪ ,‬בקצב תלוי זמן ) ‪.  (t‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ 4.3‬ניתן להראות )על ידי שינוי משתני אינטגרציה בלבד( שמתקיים‪:‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪E    (u )du     (u )[1 G (t  u )]du‬‬
‫‪ t S‬‬
‫‪ ‬‬
‫כאשר )‪ G (‬היא פונקצית ההתפלגות של משך השירות ‪ .S‬שימו לב ליחס‪:‬‬
‫}‪1  G (t  u )  P{S  t  u‬‬
‫היעזרו בעובדות אלו כדי לחדד את הסברכם בסעיף ‪ ,4.2.3‬ז"א תנו הסבר מדויק יותר לעובדה ש‪-‬‬
‫)‪ R(t‬הוא אכן ההגדרה המתאימה לעומס המוצע )‪ (Offered Load‬בזמן ‪.t‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪ =  (u ) .1‬קצב המופע בזמן ‪ . u‬לכן ) ‪   (u‬ממוצע מספר המופעים במשך ) ‪. (u, u  du‬‬
‫‪ % = 1  G (t  u ) .2‬המופעים בזמן ‪ u‬שעדיין נמצאים במערכת בזמן ‪. t  u‬‬
‫‪  [ (u )du ]  [1  G (t  u )] .3‬כמות העבודה במערכת בזמן ‪ ,t‬שמקורה במופעים שהתרחשו‬
‫במשך ) ‪. (u, u  du‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ =   (u )[1  G (t  u )]du .4‬כמות העבודה במערכת בזמן ‪. t  0 ,t‬‬
‫‪‬‬
‫שאלת בונוס‪ :‬עשו חלק זה רק אחרי שסיימתם את יתר הבחינה‪.‬‬
‫‪ 4.4‬הסבירו כיצד ניתן להרחיב את המקרה הדטרמיניסטי ב‪ 4.1.1 -‬הנ"ל למקרה של ‪ S‬כללי‪,‬‬
‫דהיינו כיצד מוכיחים שאכן‪:‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪‬‬
‫)) ‪E    (u )du   E ( S )  E ( (t  Se‬‬
‫‪ t S‬‬
‫‪‬‬
‫רמז‪ :‬ניתן לקרב כל משתנה מקרי‪ ,‬בדיוק רב כרצונכם‪ ,‬על ידי משתנה מקרי המקבל מספר סופי‬
‫של ערכים )מ"מ דיסקרטי(‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫נסמן ‪ , S  Di w. p. pi‬מ"מ דיסקרטי‪.‬‬
‫‪pi Di‬‬
‫על סמך אמידה מוטה‬
‫) ‪E (S‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ Se  U i w. p.‬כאשר ) ‪. U i  U (0, Di‬‬
‫לכן‪,‬‬
‫)) ‪ D E ( (t  U‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i (u )du ‬‬
‫‪4.1.1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪t  Di‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ (u )du ‬‬
‫‪i   pi‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪t  Di‬‬
‫‪pi Di‬‬
‫‪E ( (t  U i ))  E ( S ) E ( (t  Se ))  RHS‬‬
‫) ‪E (S‬‬
‫‪31‬‬
‫‪LHS   pi‬‬
‫‪ E ( S )‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
32