תרגול 1

‫אלגברה מתקדמת‬
‫חוברת תירגולים‬
‫מתרגלת‪ :‬גב' שירה גילת‬
‫אתר הקורס‪.algebra.asaf.rinot.com :‬‬
‫מייל‪[email protected] :‬‬
‫ספר הקורס‪ :‬יהונתן גולן‪ ,‬עיונים באלגברה מודרנית‪.‬‬
‫כתיבה ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תרגול ‪:1‬‬
‫הגדרות יסודיות‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫חבורה היא מונואיד שבה כל איבר הוא הפיך‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫לפעולה שהיא לא אסוציאטיבית‪ ,‬נבנה לוח כפל (לא באמת פעולת כפל‪ ,‬פשוט‬
‫נשתמש במונח בתור שם גנרי)‪ A  a, b .‬כגון‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪* a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫נשים לב כי הפעולה סגורה‪/‬מוגדרת‪ .‬אין אסוציאטיביות שכן מצד אחד‬
‫מתקיים‪  a * b  * b  b * b  a :‬אך מצד שני‪ a *  b * b   a * a  b :‬וברור‪. a  b :‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫המבנה ‪  ,  ‬היא סגורה ואסוציאטיבית‪ .‬היחידה היא ‪ 0‬וההופכי של ‪ n‬הוא ‪. n‬‬
‫לכן קיבלנו חבורה‪.‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫פעולה * היא קומוטטיבית (חילופיות) אם‪ a * b  b * a :‬כאשר‪. a, b  A :‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫אגודה עם פעולה קומוטטיבית נקראת אבלית‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫המבנה‪  , :‬הוא בעל יחידון ‪ , 1‬אבל אין כאן לכל אחד איבר הפיך ולכן לא מדובר‬
‫בחבורה‪ .‬לכן מדובר במונואיד אבלי‪.‬‬
‫באופן דומה נוכל לדבר על ‪. , ,‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫מטריצה ריבועית בגודל ‪ n‬בשדה ‪ F‬תסומן באופן הבא‪. M n  F  :‬‬
‫המבנה‪  M n  F  ,   :‬הוא חבורה אבלית והיחידה שלה היא מטריצת האפס‪.‬‬
‫המבנה‪  M n  F  ,  :‬הוא מונואיד לא אבלי אבל עם מטריצת יחידה ‪. I n‬‬
‫‪1‬‬
‫חבורת השאריות‪:‬‬
‫עבור ‪ n  N , a, b  Z‬נסמן‪ a  b  mod n  :‬אם‪n a  b :‬‬
‫כלומר קיים ‪ k  Z‬כך ש ‪. a  b  kn‬‬
‫נסמן ב‪ i  -‬את קבוצת כל המספרים השקולים ל ‪. i -‬‬
‫למשל עבור ‪ n  5‬נקבל‪. 1  ..., 9, 4,1,6,11,... :‬‬
‫נסמן‪ , Zn  0 , 1 ,...,  n 1 :‬יש לנו סה"כ ‪ n‬איברים בקבוצה זו‪.‬‬
‫אפשר להגדיר על ‪ Z n‬סכום וכפל מודולו ‪.  a  b   ab ,  a  b   a  b : n‬‬
‫וזה מוגדר היטב (ואפילו חבורה)‪.‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫המבנה ‪  Z n ,  ‬הוא חבורה אבלית‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫א‪ .‬לעניין מוגדרות‪ :‬נניח שזה מוגדר היטב (צריך להוכיח אבל לא נעשה כאן)‪.‬‬
‫ב‪ .‬לגבי אסוציאטיביות (סכום הוא אסוציאטיבי כאן) – יש לנו אסוציאטיביות‬
‫מאסוציאטיביות של השלמים‪. i    j    k   i    j    k  :‬‬
‫ג‪ .‬איבר אדיש‪/‬יחידה‪ :‬היחידה היא ‪.  0‬‬
‫ד‪ .‬הופכי‪  a   n  a   0 :‬שכן‪.  n  a   a  :‬‬
‫ה‪ .‬לגבי כפל‪  Z n ,  :‬הוא מונואיד‪ .‬אם ‪ n‬מספר ראשוני‪ ,‬אז זו חבורה‪.‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫תהי ‪ X‬קבוצה ונסמן ‪ p  X ‬קבוצת כל תתי הקבוצות של ‪. X‬‬
‫(דוגמא‪ X  1, 2,3 :‬נקבל‪.) p  X    , X , 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1,3 , 2,3 :‬‬
‫הוכח ש‪ -‬‬
‫‪  p  X  ,‬מונואיד‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ .1‬סגירות (חיתוך של תתי קבוצות הוא תת קבוצה) מתקיים (ראינו בהרצאה)‪.‬‬
‫‪ .2‬אסוציאטיבית – כנ"ל‪.‬‬
‫‪ .3‬אדיש הוא כל הקבוצה‪. A X  A , A  X , A  p  X  :‬‬
‫‪ .4‬קומוטטיביות ‪. A B  B A‬‬
‫‪2‬‬