תורת הסיבוכיות ־ תרגיל בית מס` 2

‫תורת הסיבוכיות ־ תרגיל בית מס' ‪2‬‬
‫נא לא לרשום את השם‪ ,‬אלא רק ת‪.‬ז‪!.‬‬
‫• ההגשה היא ביחידים‪ ,‬לתא שלי )יובל דגן( בקומה ‪.5‬‬
‫• תאריך הגשה‪ :‬ראשון‪ 8 ,‬במאי ‪.2016‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שפה ‪ L‬ניתנת לרדוקציה עצמית אם קיימת מכונת טיורינג פולינומית עם אוב ‪ M L‬המקבלת את ‪ L‬כך שלכל קלט ‪ ,x‬המכונה ‪ M L‬שואלת את האוב‬
‫רק שאלות ‪ y‬כך ש־|‪.|y| < |x‬‬
‫נגדיר את מחלקת השפות הבאה‪ L} :‬ניתנת לרדוקציה עצמית |‪.SR ={L‬‬
‫נאמר כי ‪ L‬היא ‪SR‬־שלמה אם היא ב־‪SR‬‬
‫הוכיחו כי ‪ TQBF‬היא ‪SR‬־שלמה‪.‬‬
‫וכל שפה ‪ L0 ∈ SR‬ניתנת לרדוקציה פולינומית אליה‪.‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫הוכיחו שקיימים אובות ‪ A, A0‬כך ש־ ‪NPA = coNPA‬‬
‫וגם ‪.NPA 6= coNPA‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫‪Σn‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.ΣpA‬‬
‫‪ ΣpA‬ו־‬
‫ההיררכייה הפולינומית עם אוב לשפה ‪ A‬מוגדרת באופן הבא‪:‬‬
‫‪n+1 = NP‬‬
‫‪0 =P‬‬
‫‪pA‬‬
‫נסמן ב־ ‪PHA‬‬
‫‪p‬‬
‫‪.ΣpL‬‬
‫נאמר ששפה ‪ L ∈ NP‬היא ‪n‬־נמוכה אם ‪n = Σn‬‬
‫‪S‬‬
‫נסמן ב־ ‪ Cn‬את מחלקת השפות ב־‪ NP‬שהן ‪n‬־נמוכות וכן ‪.LH = n≥0 Cn‬‬
‫‪.ΣpA‬‬
‫את איחוד כל הרמות של ‪n‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו או הפריכו‪ :‬לכל שפת אוב ‪.PHA ⊆ PH ,A‬‬
‫‪ .2‬הוכיחו כי לכל ‪.Cn ⊆ Cn+1 ,n‬‬
‫‪.3‬‬
‫הוכיחו כי אם ‪LH = NP‬‬
‫אז ההיררכייה הפולינומית קורסת‪.‬‬
‫‪ .4‬לאיזו מחלקה מוכרת שווה ‪ ?C0‬הוכיחו תשובתכם‪.‬‬
‫‪ .5‬הוכיחו כי ‪.C1 = NP ∩ coNP‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‬
‫‬
‫מכונת טיורינג עם אוב ‪ M‬תיקרא איתנה )‪ (Robust‬אם לכל שתי שפות אוב ‪) L M A = L M B ,A, B‬השפה ש־ ‪ M‬מקבלת אינה תלויה באוב(‪.‬‬
‫‬
‫אם ‪ M‬איתנה‪ ,‬נסמן ∅ ‪) L (M ) = L M‬כלומר‪ L (M ) ,‬היא השפה שאותה ‪ M‬מקבלת עם אוב כלשהו‪ ,‬שימו לב שריצת המכונה על קלט מסוים‬
‫יכולה להשתנות לפי האוב(‪.‬‬
‫בהינתן מכונת טיורינג איתנה עם אוב ‪ M‬נאמר כי שפה ‪ A‬עוזרת ל־ ‪ M‬אם ‪ M A‬מכריעה את ) ‪ L (M‬בזמן פולינומי )אין הכרח לכך שבלעדי ‪M ,A‬‬
‫לא מכריעה את ) ‪ L (M‬בזמן פולינומי(‪.‬‬
‫נסמן ב־)‪ Phelp (A‬את קבוצת כל השפות שניתנות להכרעה בידי מכונת טיורינג איתנה ש־‪ A‬עוזרת לה‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫∗‬
‫עבור מחלקת שפות ‪ C‬נגדיר )‪ .Phelp (C) = A∈C Phelp (A‬כמו כן נסמן ‪.Phelp , Phelp 2Σ‬‬
‫‪ M‬כך ש־‪ L (M ) = SAT‬ודוגמה לשתי שפות אוב ‪ A, B‬כך שעל כל קלט ‪SAT‬‬
‫‪ .1‬תנו דוגמה למכונת טיורינג איתנה עם אוב‬
‫בזמן ))‪ O (p (n‬עבור פולינום ‪ p‬כלשהו ו־ ‪ M B‬רצה בזמן )‪ Ω 2q(n‬עבור פולינום )‪ q (n‬כלשהו‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכיחו כי ‪.Phelp = NP ∩ coNP‬‬
‫‪ .3‬הוכיחו כי ‪.Phelp (BPP) ⊆ ZPP‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫בשאלה זו נבחן את הקשרים שבין המחלקות ‪NP‬‬
‫ו־‪ .BPP‬הוכיחו את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪.BPPBPP ⊆ BPP .1‬‬
‫‪.NPBPP ⊆ BPPNP .2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫אז ‪.NP=RP‬‬
‫אם ‪NP ⊆ BPP‬‬
‫אם ‪ NP⊆BPP‬אז ההיררכייה הפולינומית קורסת‪.‬‬
‫∈ ‪ M A ,x‬רצה‬