docמבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס 89-214 - Math-Wiki
download 
Report Transcription
מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס 89-214 - Math-Wiki
מבנים אלגבריים למדעי המחשב
מערכי תרגול קורס 89-214
ינואר ,2017גרסה 1.2
אוניברסיטת בר־אילן
סמסטר א’ תשע”ז
תוכן העניינים
מבוא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1מבוא לתורת המספרים . . . . . . . . . . .
2מבנים אלגבריים בסיסיים . . . . . . . . . .
3תת־חבורות . . . . . . . . . . . . . . . . .
4חבורת אוילר . . . . . . . . . . . . . . . .
5סדרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6חבורות ציקליות . . . . . . . . . . . . . .
7מכפלה ישרה של חבורות . . . . . . . . . .
8החבורה הסימטרית )על קצה המזלג( . . . . .
9מחלקות . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10חישוב פונקציית אוילר . . . . . . . . . . .
11תת־חבורה הנוצרת על ידי איברים . . . . . .
12נושאים נוספים בחבורה הסימטרית . . . . .
13מערכת הצפנה . . . . . . . . . . . . RSA
14חבורות מוצגות סופית . . . . . . . . . . . .
15הומומורפיזמים . . . . . . . . . . . . . . .
16תת־חבורות נורמליות . . . . . . . . . . . .
17חבורות מנה . . . . . . . . . . . . . . . .
18משפטי האיזומורפיזם של נתר . . . . . . . .
19פעולת ההצמדה . . . . . . . . . . . . . . .
20אלגוריתם מילר-רבין לבדיקת ראשוניות . . .
21חבורות אבליות סופיות . . . . . . . . . . .
22משוואת המחלקה . . . . . . . . . . . . . .
23תת־חבורת הקומוטטור . . . . . . . . . . .
24שדות סופיים . . . . . . . . . . . . . . . .
25בעיית הלוגריתם הבדיד ואלגוריתם דיפי-הלמן
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
8
11
13
13
14
17
18
20
24
26
27
29
31
33
36
38
40
44
48
50
52
54
55
58
מבוא
כמה הערות טכניות לתחילת הקורס:
• דף הקורס נמצא באתר .www.math-wiki.com
• שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר של הקורס.
• ישנה חובת הגשה לתרגילי הבית.
• החומר בקובץ זה נאסף מכמה מקורות ,ומבוסס בעיקרו על מערכי תרגול קודמים
בקורסים מבנים אלגבריים למדעי המחשב ואלגברה מופשטת למתמטיקה.
• נשתדל לכתוב בגופן הזה כשהגדרות ומושגים חשובים מופיעים בפעם הראשונה.
נוסיף בצד גם את השם באנגלית ,שעשוי לעזור כשמחפשים חומר נוסף שאינו
בעברית.
• נשמח לכל הערה על מסמך זה.
מחברים בשנת הלימודים תשע”ו :אבי אלון ,תומר באואר וגיא בלשר
מחברים בשנת הלימודים תשע”ז :תומר באואר ,עמרי מרכוס ואלעד עטייא
3
This font
1
מבוא לתורת המספרים
נסמן כמה קבוצות של מספרים:
• } N = {1, 2, 3, . . .המספרים הטבעיים.
• } Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .המספרים השלמים )מגרמנית.(Zahlen :
{
}
p
• } Q = q p ∈ Z, q ∈ Z\ {0המספרים הרציונליים.
• Rהמספרים הממשיים.
• Cהמספרים המרוכבים.
מתקיים .N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
הגדרה .1.1יהיו a, bמספרים שלמים .נאמר כי aמחלק את bאם קיים k ∈ Zכך
ש ,ka = b-ונסמן .a|bלמשל .−5|10
Divides
משפט ) 1.2משפט החילוק ,או חלוקה אוקלידית( .לכל d ̸= 0, n ∈ Zקיימים q, rיחידים
כך ש n = qd + r-וגם |.0 ≤ r < |d
Euclidean
division
המשפט לעיל מתאר ”מה קורה” כאשר מחלקים את nב .d-הבחירה בשמות
הפרמטרים במשפט מגיעה מלע”ז) quotient ,מנה( ו) remainder-שארית(.
הגדרה .1.3בהנתן שני מספרים שלמים n, mהמחלק המשותף המירבי )ממ”מ( שלהם
מוגדר להיות המספר
}gcd(n, m) = max {d ∈ N : d|n ∧ d|m
Greatest
common
divisor
לעיתים נסמן רק ) .(n, mלמשל .(6, 10) = 2נאמר כי n, mזרים אם .(n, m) = 1
למשל 2ו 5-הם זרים.
הערה .1.4אם d|aוגם ,d|bאזי dמחלק כל צירוף לינארי של aו.b-
טענה .1.5אם ,n = qm + rאז ).(n, m) = (m, r
הוכחה .נסמן ) ,d = (n, mוצ”ל כי ) .d = (m, rאנו יודעים כי d|nוגם .d|mאנו יכולים
להציג את rכצירוף לינארי של ,n, mולכן .d|r = n − qmמכך קיבלנו ).d ≤ (m, r
כעת ,לפי הגדרה (m, r)|rוגם ,(m, r)|mולכן (m, r)|nכי nהוא צירוף לינארי של
.m, rאם ידוע כי (m, r)|mוגם ,(m, r)|nאזי .(m, r) ≤ dסך הכל קיבלנו כי
).d = (m, r
משפט ) 1.6אלגוריתם אוקלידס(” .המתכון” למציאת ממ”מ בעזרת שימוש חוזר בטענה
1.5הוא אלגוריתם אוקלידס .ניתן להניח .0 ≤ m < nאם ,m = 0אזי .(n, m) = n
אחרת נכתוב n = qm + rכאשר 0 ≤ r < mונמשיך עם )) .(n, m) = (m, rהבינו
למה האלגוריתם חייב להעצר(.
4
Euclidean
algorithm
דוגמה .1.7נחשב את הממ”מ של 53ו 47-בעזרת אלגוריתם אוקלידס
](53, 47) = [53 = 1 · 47 + 6
](47, 6) = [47 = 7 · 6 + 5
(6, 5) = 1
דוגמה נוספת עבור מספרים שאינם זרים:
](224, 63) = [224 = 3 · 63 + 35
](63, 35) = [63 = 1 · 35 + 28
](35, 28) = [35 = 1 · 28 + 7
](28, 7) = [28 = 4 · 7 + 0
(7, 0) = 7
משפט ) 1.8אפיון הממ”מ כצירוף לינארי מזערי( .מתקיים לכל מספרים שלמים a, bכי
}(a, b) = min {au + bv ∈ N | u, v ∈ Z
בפרט קיימים s, t ∈ Zכך ש.(a, b) = sa + tb-
דוגמה .1.9כדי למצוא את המקדמים s, tכשמביעים את הממ”מ כצירוף לינארי כנ”ל
נשתמש באלגוריתם אוקלידס המורחב:
](234, 61) = [234=3·61+51 ⇒ 51 = 234 − 3 · 61
](61, 51) = [61=1·51+10 ⇒ 10 = 61 − 1 · 51 = 61 − 1 · (234 − 3 · 61) = −1 · 234 + 4 · 61
](51, 10) = [51=5·10+1 ⇒ 1 = 51 − 5 · 10 = 51 − 5 · (−1 · 234 + 4 · 61) = 6 · 234 − 23 · 61
(10, 1) = 1
ולכן .(234, 61) = 1 = 6 · 234 − 23 · 61
תרגיל .1.10יהיו a, b, cמספרים שלמים כך ש (a, b) = 1-וגם .a|bcהראו כי .a|c
פתרון .לפי אפיון הממ”מ כצירוף לינארי ,קיימים s, tכך ש .1 = sa + tb-נכפיל בc-
ונקבל .c = sac + tbcברור כי a|sacולפי הנתון גם .a|tbcלכן ) ,a| (sac + tbcכלומר
.a|c
טענה .1.11תכונות של ממ”מ:
.1יהי ) d = (n, mויהי eכך ש e|m-וגם ,e|nאזי .e|d
(an, am) = |a| (n, m) .2
.3אם pראשוני וגם ,p|abאזי p|aאו .p|b
5
Extended
Euclidean
algorithm
.1קיימים s, tכך ש .d = sn+tm-כיוון ש ,e|n, m-אז הוא מחלק
הוכחת התכונות.
גם את צירוף לינארי שלהם ,sn + tmז”א את .d
) .2חלק מתרגיל הבית(.
.3אם ,p ∤ aאז .(p, a) = 1לכן קיימים s, tכך ש .sa + tp = 1-נכפיל את השיוויון
האחרון ב b-ונקבל .sab + tpb = bברור כי pמחלק את אגף שמאל )הרי ,(p|ab
ולכן pמחלק את אגף ימין ,כלומר .p|b
הגדרה .1.12בהנתן שני מספרים שלמים n, mהכפולה המשותפת המזערית )כמ”מ(
שלהם מוגדרת להיות
}lcm(n, m) = min {d ∈ N : n|d ∧ m|d
לעיתים נסמן רק ] .[n, mלמשל [6, 10] = 30ו.[2, 5] = 10-
טענה .1.13תכונות של כמ”מ:
.1אם m|aוגם ,n|aאז .[n, m] |a
.[n, m] (n, m) = |nm| .2למשל .[6, 4] (6, 4) = 12 · 2 = 24 = 6 · 4
.1יהיו q, rכך ש a = q [n, m] + r-כאשר ].0 ≤ r < [n, m
הוכחת התכונות.
מהנתון כי n, m|aולפי הגדרה ] ,n, m| [n, mנובע כי .n, m|rאם r ̸= 0זו
סתירה למינימליות של ] .[n, mלכן ] ,a = q [n, mכלומר .[n, m] |a
.2נראה דרך קלה לחישוב הממ”מ והכמ”מ בעזרת הפירוק של מספר למכפלת
גורמים ראשוניים .נניח כי הפירוק הוא
pαi i = pα1 1 pα2 2 pα3 3 . . .
∞
∏
= ||m
...
pβ1 1 pβ2 2 pβ3 3
=
i=1
pβi i
∞
∏
= ||n
i=1
כאשר ) αi , βi ≥ 0והם כמעט תמיד אפס כי המכפלה סופית( .כעת צריך
להשתכנע כי
) max(αi ,βi
pi
∞
∏
) min(αi ,βi
pi
= ][n, m
i=1
∞
∏
= )(n, m
i=1
ומפני שלכל שני מספרים α, βמתקיים ) ,α + β = min(α, β) + max(α, βאז
|.[n, m] (n, m) = |nm
שאלה ) 1.14לבית( .אפשר להגדיר ממ”מ ליותר מזוג מספרים .יהי dהממ”מ של
המספרים .n1 , . . . , nkהראו שקיימים מספרים שלמים s1 , . . . , skהמקיימים s1 n1 +
.· · · + sk nk = dרמז :אינדוקציה על .k
6
Least
common
multiple
הגדרה .1.15יהי nמספר טבעי .נאמר כי a, b ∈ Zהם שקולים מודולו nאם .n|a − b
כלומר קיים k ∈ Zכך ש .a = b + kn-נסמן יחס זה ) a ≡ b (mod nונקרא זאת ”a
שקול ל b-מודולו .”n
Congruent
modulo n
טענה ) 1.16הוכחה לבית( .שקילות מודולו nהיא יחס שקילות )רפלקסיבי ,סימטרי
וטרנזיטיבי( .כפל וחיבור מודולו nמוגדרים היטב .כלומר אם ),a ≡ b, c ≡ d (mod n
אז ) ac ≡ bd (mod nוגם ).a + c ≡ b + d (mod n
צורת רישום .1.17את אוסף מחלקות השקילות מודולו nמקובל לסמן = Zn = Z/nZ
} .{[a] | a ∈ Zלמשל }] .Z4 = {[0] , [1] , [2] , [3לפעמים מסמנים את מחלקת השקילות
] [aבסימון ,aולעיתים כאשר ההקשר ברור פשוט .a
Congruence
class
תרגיל .1.18מצאו את הספרה האחרונה של .333333
פתרון .בשיטה העשרונית ,הספרה האחרונה של מספר Nהיא ) .N (mod 10נשים לב
כי .333333 = 3333 · 111333לכן
)111 ≡ 1 (mod 10) ⇒ 111333 ≡ 1333 ≡ 1 (mod 10
( )83
)3333 = 34·83+1 = 34 · 3 = 8183 · 3 ≡ 183 · 3 (mod 10
)333333 = 3333 · 111333 ≡ 3 (mod 10
ומכאן שהספרה האחרונה היא .3
תרגיל ) 1.19אם יש זמן( .מצאו 0 ≤ x ∈ Zכך ש.61x ≡ 1 (mod 234)-
פתרון .לפי הנתון ,קיים k ∈ Zכך ש .61x + 234k ≡ 1-ז”א 1הוא צירוף לינארי
)מינימלי במקרה זה( של 61ו .234-לפי איפיון ממ”מ קיבלנו כי .(234, 61) = 1כלומר
k, xהם המקדמים מן המשפט של איפיון הממ”מ כצירוף לינארי מזערי .לפי תרגיל
קודם .1 = 6 · 234 − 23 · 61לכן ) ,x ≡ −23 (mod 234וכדי להבטיח כי xאינו שלילי
נבחר .x = 211
משפט ) 1.20משפט השאריות הסיני( .אם n, mזרים ,אזי לכל a, b ∈ Zקיים xיחיד עד
כדי שקילות מודולו nmכך ש) x ≡ b (mod m) ,x ≡ a (mod n)-יחד!(.
הוכחה לא מלאה .מפני ש ,(n, m) = 1-אזי קיימים s, t ∈ Zכך ש .sn + tm = 1-כדי
להוכיח קיום של xכמו במשפט נתבונן ב .bsn + atm-מתקיים
)bsn + atm ≡ atm ≡ a · 1 ≡ a (mod n
)bsn + atm ≡ bsn ≡ b · 1 ≡ b (mod m
ולכן x = bsn + atmהוא פתרון אפשרי .ברור כי גם x′ = x + kmnלכל k ∈ Zהוא
פתרון תקף.
הוכחת היחידות של xמודולו nmתהיה בתרגיל הבית.
7
Chinese
remainder
theorem
דוגמה .1.21נמצא x ∈ Zכך ש x ≡ 1 (mod 3)-וגם ) .x ≡ 2 (mod 5ידוע כי
,(5, 3) = 1ולכן .−1 · 5 + 2 · 3 = 1במקרה זה n = 5, m = 3וכן ,s = −1, t = 2
ולפי משפט השאריות הסיני אפשר לבחור את .x = 1 · (−5) + 2 · 6 = 7אכן מתקיים
) 7 ≡ 1 (mod 3וגם ).7 ≡ 2 (mod 5
משפט השאריות הסיני הוא יותר כללי .הנה גרסה שלו למערכת משוואות של
שקילות מודולו:
משפט ) 1.22אם יש זמן( .תהא } {m1 , . . . , mkקבוצת מספרים טבעיים הזרים בזוגות
)כלומר כל זוג מספרים בקבוצה הוא זר( .נסמן את מכפלתם ב .m-בהנתן קבוצה כלשהי של
שאריות } ,{ai (modmi ) | 1 ≤ i ≤ kקיימת שארית יחידה xמודולו mהמהווה פתרון
למערכת המשוואות
x
≡
a
(mod
m
)
1
1
..
.
) x ≡ a (mod m
k
k
דוגמה .1.23נמצא y ∈ Zכך ש-ש y ≡ 2 (mod 5) ,y ≡ 1 (mod 3)-וגם y ≡ 3
) .(mod 7נשים לב שהפתרון y = 7מן הדוגמה הקודמת הוא נכון כדי כדי הוספה
של ) 3 · 5 = 15כי ) 15 ≡ 0 (mod 3וגם ) .(15 ≡ 0 (mod 5לכן את שתי המשוואות
) y ≡ 2 (mod 5) ,y ≡ 1 (mod 3ניתן להחליף במשוואה אחת ).y ≡ 7 (mod 15
נשים לב כי (15, 7) = 1ולכן אפשר להשתמש במשפט השאריות הסיני בגרסה לזוג
משוואות .בדקו כי y = 52מהווה פתרון.
2
מבנים אלגבריים בסיסיים
בהתאם לשם הקורס ,כעת נכיר כמה מבנים אלגבריים .מבנה אלגברי שמכירים כבר
באלגברה לינארית הוא שדה .אנו נגדיר כמה מבנים יותר ”פשוטים” ,כשהחשוב שבהם
הוא חבורה .במרבית הקורס נתרכז בחקר חבורות.
הגדרה .2.1פעולה בינארית על קבוצה Sהיא פונקציה דו־מקומית .∗ : S × S → S
עבור a, b ∈ Sכמעט תמיד במקום לרשום ) ∗(a, bנשתמש בסימון .a ∗ bמפני שתמונת
הפונקציה a ∗ bשייכת ל ,S-נאמר כי הפעולה היא סגורה.
Binary
operation
הגדרה .2.2אגודה )או חבורה למחצה( היא מערכת אלגברית )∗ (S,המורכבת מקבוצה
לא ריקה Sומפעולה בינארית קיבוצית על .Sקיבוציות )או אסוציטיביות( משמעה
שלכל a, b, c ∈ Sמתקיים ).(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c
Semigroup
דוגמה .2.3המערכת ) (N, +של מספרים טבעיים עם החיבור הרגיל היא אגודה.
דוגמה .2.4המערכת ) (Z, −אינה אגודה ,מפני שפעולת החיסור אינה קיבוצית .למשל
).(5 − 2) − 1 ̸= 5 − (2 − 1
8
Associative
Associativity
צורת רישום .2.5לעיתים נקצר ונאמר כי Sהיא אגודה מבלי להזכיר במפורש את
המערכת האלגברית .במקרים רבים הפעולה תסומן כמו כפל ,דהיינו abאו ,a · b
ובמקום לרשום מכפלה aa . . . aשל nפעמים aנרשום .an
הגדרה .2.6תהי )∗ (S,אגודה .איבר e ∈ Sנקרא איבר יחידה אם לכל a ∈ Sמתקיים
.a ∗ e = e ∗ a = a
Identity
element
הגדרה .2.7מונואיד )או יחידון( ) (M, ∗, eהוא אגודה בעלת איבר יחידה .eכאשר
הפעולה ואיבר היחידה ברורים מן ההקשר ,פשוט נאמר כי Mהוא מונואיד.
Monoid
הערה ) 2.8בהרצאה( .יהי ) (M, ∗, eמונואיד עם איבר יחידה .eהוכיחו כי איבר היחידה
הוא יחיד .הרי אם e, f ∈ Mהם איברי יחידה ,אז מתקיים .e = e ∗ f = f
הגדרה .2.9יהי ) (M, ∗, eמונואיד .איבר a ∈ Mיקרא הפיך משמאל אם קיים איבר
b ∈ Mכך ש .ba = e-במקרה זה bיקרא הופכי שמאלי של .a
באופן דומה ,איבר a ∈ Mיקרא הפיך מימין אם קיים איבר b ∈ Mכך ש.ab = e-
במקרה זה bיקרא הופכי ימני של .a
איבר יקרא הפיך אם קיים איבר b ∈ Mכך ש .ba = ab = e-במקרה זה bיקרה הופכי
של .a
תרגיל ) 2.10בהרצאה( .יהי a ∈ Mאיבר הפיך משמאל ומימין .הראו ש a-הפיך
וההופכי שלו הוא יחיד.
Left invertible
Left inverse
Right
invertible
Right inverse
Invertible
Inverse
פתרון .יהי bהופכי שמאלי כלשהו של ) aקיים כזה כי aהפיך משמאל( ,ויהי cהופכי
ימני כלשהו של ) aהצדקה דומה( .נראה כי b = cונסיק שאיבר זה הוא הופכי של .a
ודאו כי אתם יודעים להצדיק כל אחד מן המעברים הבאים:
c = e ∗ c = (b ∗ a) ∗ c = b ∗ (a ∗ c) = b ∗ e = b
לכן כל ההופכיים הימיניים וכל ההופכיים השמאליים של aשווים זה לזה .מכאן גם
שההופכי הוא יחיד ,ויסומן .a−1
שימו לב שאם איבר הוא רק הפיך מימין ולא משמאל ,אז יתכן שיש לו יותר מהופכי
ימני אחד )וכנ”ל בהיפוך הכיוונים(!
הגדרה .2.11חבורה ) (G, ∗, eהיא מונואיד שבו כל איבר הוא הפיך.
לפי ההגדרה לעיל על מנת להוכיח שמערכת אלגברית )∗ (G,היא חבורה צריך
להראות כי הפעולה ∗ היא סגורה ,קיבוצית ,שקיים איבר יחידה ושכל איבר הוא הפיך.
כמו כן מתקיים :חבורה ⇐ מונואיד ⇐ אגודה.
דוגמה .2.12המערכת ) (Z, +היא חבורה שאיבר היחידה בה הוא .0בכתיב חיבורי
מקובל לסמן את האיבר ההופכי של aבסימון .−aכתיב זה מתלכד עם המושג המוכר
של מספר נגדי ביחס לחיבור.
9
Group
דוגמה .2.13יהי Fשדה )למשל R ,Qאו .(Cאזי ) (F, +, 0עם פעולת החיבור של
השדה היא חבורה .באופן דומה גם )) (Mn,m (F ), +אוסף המטריצות בגודל n × m
מעל (Fעם פעולת חיבור מטריצות היא חבורה .איבר היחידה הוא מטריצת האפס.
דוגמה .2.14יהי Fשדה .המערכת )· (F,עם פעולת הכפל של השדה היא מונואיד
שאינו חבורה )מי לא הפיך?( .איבר היחידה הוא .1
דוגמה .2.15יהי Fשדה .נסמן } .F ∗ = F \ {0אזי ) (F ∗ , ·, 1היא חבורה .לעומת
זאת ,המערכת )· (Z∗ ,עם הכפל הרגיל של מספרים שלמים היא רק מונואיד )מי הם
האיברים ההפיכים בו?(.
דוגמה .2.16קבוצה בעלת איבר אחד ופעולה סגורה היא חבורה .לחבורה זו קוראים
החבורה הטריוויאלית.
הגדרה ) 2.17חבורת האיברים ההפיכים( .יהי Mמונואיד ויהיו a, b ∈ Mזוג איברים.
אם a, bהם הפיכים ,אזי גם a · bהוא הפיך במונואיד .אכן ,האיבר ההופכי הוא
.(a · b)−1 = b−1 · a−1לכן אוסף כל האיברים ההפיכים במונואיד מהווה קבוצה סגורה
ביחס לפעולה .כמו כן האוסף הנ”ל מכיל את איבר היחידה ,וכל איבר בו הוא הפיך.
מסקנה מיידית היא שאוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה חבורה ביחס לפעולה
המצומצמת .נסמן חבורה זו ב.U (M )-
Trivial group
Group of
units
הגדרה .2.18המערכת )· (Mn (R),של מטריצות ממשיות בגודל n×nעם כפל מטריצות
היא מונואיד .לחבורת ההפיכים שלו
}U (Mn (R)) = GLn (R) = {A ∈ Mn (R) | det A ̸= 0
קוראים החבורה הלינארית הכללית )ממעלה (nמעל .R
הגדרה .2.19נאמר כי פעולה דו־מקומית ∗ : G × G → Gהיא אבלית )או חילופית(
אם לכל שני איברים a, b ∈ Gמתקיים .a ∗ b = b ∗ aאם )∗ (G,חבורה והפעולה היא
אבלית ,נאמר כי Gהיא חבורה אבלית )או חילופית( .המושג נקרא על שמו של נילס
הנריק ָא ֶבּל ).(Niels Henrik Abel
דוגמה .2.20יהי Fשדה .החבורה )· (GLn (F ),אינה אבלית עבור .n > 1
דוגמה .2.21מרחב וקטורי Vיחד עם פעולת חיבור וקטורים הרגילה הוא חבורה אבלית.
הערה .2.22עבור קבוצה סופית אפשר להגדיר פעולה בעזרת לוח כפל .למשל ,אם
} S = {a, bונגדיר
∗ a b
a a a
b b b
אזי )∗ (S,היא אגודה כי הפעולה קיבוצית ,אך היא אינה מונואיד כי אין בה איבר
יחידה .נשים לב שהיא לא חילופית כי ,a ∗ b = aאבל .b ∗ a = bבבית תתבקשו למצוא
לוחות כפל עבור Sכך שיתקבל מונואיד שאינו חבורה ,שתתקבל חבורה וכו’.
10
General linear
group
Abelian (or
)commutative
Abelian
group
הערה ) 2.23אם יש זמן( .בקורס באלגברה לינארית כנראה ראיתם הגדרה של שדה
) (F, +, ·, 0, 1הכוללת רשימה ארוכה של דרישות .בעזרת ההגדרות שראינו נוכל לקצר
אותה .נסמן } .F ∗ = F \ {0נאמר כי Fהוא שדה אם ) (F, +, 0היא חבורה
חילופית (F ∗ , ·, 1) ,היא חבורה חילופית וקיום חוק הפילוג )לכל a, b, c ∈ Fמתקיים
.(a(b + c) = ab + ac
Distributive
law
תרגיל .2.24האם קיים מונואיד שיש בו איבר הפיך מימין שאינו הפיך משמאל?
פתרון .כן .נבנה מונואיד כזה .תהא Xקבוצה .נסתכל על קבוצת ההעתקות מX-
לעצמה המסומנת } .X X = {f | X → Xביחס לפעולת ההרכבה זהו מונואיד ,ואיבר
היחידה בו הוא העתקת הזהות.
ההפיכים משמאל הם הפונקציות החח”ע .ההפיכים מימין הם הפונקציות על )להזכיר
את הטענות הרלוונטיות מבדידה( .מה יקרה אם נבחר את Xלהיות סופית? )לעתיד:
לחבורה )◦ U (X X ,קוראים חבורת הסימטריה על Xומסמנים .SXאם }X = {1, . . . , n
מקובל לסמן את חבורת הסימטריה שלה בסימון ,Snולכן כל איבר הפיך משמאל .עבור
n ≥ 3זו חבורה לא אבלית(.
אם ניקח למשל X = Nקל למצוא פונקציה על שאינה חח”ע .הפונקציה שנבחר
היא ) .d(n) = max(1, n − 1לפונקציה זו יש הופכי מימין ,למשל ,u(n) = n + 1אבל
אין לה הפיך משמאל.
Symmetry
group on X
צורת רישום .2.25יהי nמספר שלם .נסמן את הכפולות שלו ב.nZ = {0, ±n, ±2n, . . . }-
למשל } .4Z = {. . . , −12, −8, −4, 0, 4, 8, 12, . . .
דוגמה .2.26נסתכל על אוסף מחלקות השקילות מודולו .Zn = {[a] : a ∈ Z} ,nכזכור
חיבור וכפל מודולו nמוגדר היטב .למשל ] [a]+[b] = [a + bכאשר באגף שמאל הסימן
+הוא פעולה בינארית הפועלת על אוסף מחלקות השקילות ) aהוא נציג של מחלקת
שקילות אחת ו b-הוא נציג של מחלקת שקילות אחרת( ובאגף ימין זו פעולת החיבור
הרגילה של מספרים )שלאחריה מסתכלים על מחלקת השקילות שבה a + bנמצא(.
אפשר לראות כי ) (Zn , +היא חבורה אבלית .נבחר נציגים למחלקות השקילות
}] .Zn = {[0] , [1] , . . . , [n − 1איבר היחידה הוא ]) [0הרי ][0] + [a] = [0 + a] = [a
לכל ] .([aקיבוציות הפעולה והאבליות נובעת מקיבוציות והאבליות של פעולת החיבור
הרגילה .האיבר ההופכי של ] [aהוא ].[n − a
מה ניתן לומר לגבי )· ?(Zn ,ישנה סגירות ,ישנה קיבוציות וישנו איבר יחידה ].[1
אך זו לא חבורה כי ל [0]-אין הופכי .נסמן }] .Z∗n = Zn \ {[0האם )· (Z∗n ,חבורה?
∈ ] ,[0ולכן
לא בהכרח .למשל עבור Z∗6נקבל כי ] .[2] [3] = [6] = [0לפי ההגדרה / Z∗n
)· (Z∗n ,אינה סגורה )כלומר אפילו לא אגודה(.
3
תת־חבורות
הגדרה .3.1תהי Gחבורה .תת־קבוצה H ⊆ Gהיא תת־חבורה ,אם היא מהווה חבורה
ביחס לפעולה המושרית מ.G-
11
Subgroup
דוגמה .3.2לכל חבורה Gיש שתי תת־חבורות באופן מיידי) {e} ≤ G :הנקראת
תת־החבורה הטריוויאלית( ,ו.G ≤ G-
דוגמה .3.3לכל .nZ ≤ Z ,n ∈ Zבהמשך נוכיח שאלו כל תת־החבורות של .Z
Trivial
subgroup
דוגמה ) 3.4בתרגיל( mZ ≤ nZ .אם ורק אם .n|m
דוגמה (Zn , +) .3.5אינה תת־חבורה של ) – (Z, +כי Znאינה מוכלת ב :Z-האיברים
ב Zn -הם מחלקות שקילות ,ואילו האיברים ב Z-הם מספרים.
דוגמה Un .3.6אינה תת־חבורה כפלית של )· – (Zn ,כי )· (Zn ,אינה חבורה.
דוגמה (GLn (R) , ·) .3.7אינה תת־חבורה של ) – (Mn (R) , +כי הפעולות בהן שונות.
טענה ) 3.8קריטריון מקוצר לתת־חבורה – מההרצאה( .תהי H ⊆ Gתת־קבוצה .אזי
Hתת־חבורה של Gאם ורק אם שני התנאים הבאים מתקיימים:
.e ∈ H .1
.h1 · h−1
.2לכל ,h1 , h2 ∈ Hגם 2 ∈ H
תרגיל .3.9יהי Fשדה .נגדיר
}SLn (F ) = {A ∈ GLn (F ) | det A = 1
הוכיחו כי ) SLn (F ) ≤ GLn (Fהיא תת־חבורה .קוראים לה החבורה הלינארית
המיוחדת מדרגה .n
הוכחה .ניעזר בקריטריון המקוצר לתת־חבורה.
.1ברור כי ) ,In ∈ SLn (Fכי .det In = 1
.2נניח ) .A, B ∈ SLn (Fצ”ל ) .AB −1 ∈ SLn (Fאכן,
(
)
det A
1
= det AB −1 = det A det B −1
= =1
det B
1
ולכן ) .AB −1 ∈ SLn (F
לפי הקריטריון המקוצר SLn (F ) ,היא תת־חבורה של ) .GLn (F
12
Special linear
group
4
חבורת אוילר
דוגמה .4.1עדין ניתן להציל את המקרה של הכפל מודולו .nנגדיר את חבורת אוילר
להיות ) Un = U (Znלגבי פעולת הכפל מודולו .nהן נקראות על שמו של לאונרד
אוֹילֶ ר ).(Leonhard Euler
נבנה את לוח הכפל של ) Z6בהתעלם מ [0]-שתמיד יתן במכפלה ]:([0
5
5
4
3
2
1
4
4
2
0
4
2
3
3
0
3
0
3
2
2
4
0
2
4
1
1
2
3
4
5
Multiplicative
group of
integers
modulo n
·
1
2
3
4
5
האיברים ההפיכים הם אלו שמופיע עבורם ) 1הפעולה חילופית ולכן מספיק לבדוק רק
עמודות או רק שורות( .כלומר }] .U6 = {[1] , [5במקרה זה ] [5הוא ההופכי של עצמו.
הערה .4.2אם pהוא מספר ראשוני ,אז .Up = Z∗p
טענה ) 4.3מההרצאה( .יהי .m ∈ Zאז [m] ∈ Unאם ורק אם .(n, m) = 1כלומר,
ההפיכים במונואיד )· (Zn ,הם כל האיברים הזרים ל.n-
דוגמה .U12 = {1, 5, 7, 11} .4.4
דוגמה .4.5לא קיים ל 5-הופכי כפלי ב ,Z10 -שכן אחרת 5היה זר ל 10-וזו סתירה.
5
סדרים
הגדרה .5.1תהי Gחבורה .נגדיר את הסדר של Gלהיות עוצמתה כקבוצה .במילים
יותר גשמיות ,כמה איברים יש בחבורה .נסמן זאת |.|G
Order of a
group
צורת רישום .5.2בחבורה כפלית נסמן את החזקה החיובית an = aa . . . aלכפל n
פעמים .בחבורה חיבורית נסמן .na = a + · · · + aחזקות שליליות הן חזקות חיוביות
של ההופכי של .aמוסכם כי .a0 = e
הגדרה .5.3תהי ) (G, ·, eחבורה ויהא איבר .g ∈ Gהסדר של איבר הוא המספר
הטבעי nהקטן ביותר כך שמתקיים .g n = eאם אין nכזה ,אומרים שהסדר של g
הוא אינסוף .בפרט ,בכל חבורה הסדר של איבר היחידה הוא ,1וזהו האיבר היחיד
מסדר .1סימון מקובל o(g) = nולפעמים |.|g
דוגמה .5.4בחבורה ).o (1) = o (5) = 6 ,o (3) = 2 ,o (2) = o (4) = 3 ,(Z6 , +
13
Order of an
element
דוגמה .5.5נסתכל על החבורה )· .(U10 ,נזכור כי }) U10 = {1, 3, 7, 9כי אלו המספרים
הזרים ל 10-וקטנים ממנו( .נחשב את ):o (7
)72 = 49 ≡ 9 (mod 10
)73 = 7 · 72 ≡ 7 · 9 = 63 ≡ 3 (mod 10
)74 = 7 · 73 = 7 · 3 = 21 ≡ 1 (mod 10
ולכן .o (7) = 4
– (GLחבורת המטריצות ההפיכות מגודל 2×2מעל .R
דוגמה .5.6נסתכל על))· ( 2 (R) ,
0
1
= :b
נחשב את הסדר של
−1 −1
(
()
( )
)
0
1
0
1
−1 −1
2
= b
=
̸= I
−1 −1
−1 −1
1
0
(
()
( )
)
0
1
−1 −1
1 0
3
2
= b =b·b
=
=I
−1 −1
1
0
0 1
לכן .o (b) = 3
תרגיל .5.7תהי Gחבורה .הוכיחו שלכל .o (a) = o (a−1 ) ,a ∈ G
הוכחה .נחלק לשני מקרים:
מקרה .1
נניח ∞ < .o (a) = nלכן .an = eראשית,
(
)n ⋆ ( )n
( )n
( )n
e = en = a−1 a = a−1 an = a−1 e = a−1
כאשר המעבר ⋆ מבוסס על כך ש a-ו a−1 -מתחלפים )באופן כללי(ab)n ̸= ,
n
.(an bnהוכחנו ש ,(a−1 ) = e-ולכן ).o (a−1 ) ≤ n = o (a
את אי-השוויון השני .אם נחליף את aב ,a−1 -נקבל
כעת ,צריך )להוכיח (
−1
) .o (a) = o (a−1לכן יש שוויון.
) < o (a−1
מקרה .2
6
נניח ∞ = ) ,o (aונניח בשלילה ∞ < ) .o (a−1לפי המקרה הראשון,
∞ < ) ,o (a) = o (a−1וקיבלנו סתירה .לכן ∞ < ) .o (a−1
חבורות ציקליות
הגדרה .6.1תהי Gחבורה ,ויהי .a ∈ Gתת־החבורה הציקלית הנוצרת על ידי aהיא
תת־החבורה
}
{
⟨a⟩ = ak k ∈ Z
14
Cyclic
subgroup
generated by
a
דוגמה .6.2עבור .⟨n⟩ = {kn | k ∈ Z} = nZ ,n ∈ Z
הגדרה .6.3תהי Gחבורה ויהי איבר .a ∈ Gאם ⟩ ,G = ⟨aאזי נאמר כי ” Gנוצרת
על ידי ”aונקרא ל G-חבורה ציקלית )מעגלית(.
Cyclic group
דוגמה .6.4החבורה ) (Z, +נוצרת על ידי ,1שכן כל מספר ניתן להצגה ככפולה )כחזקה(
של .1שימו לב כי יוצר של חבורה ציקלית לא חייב להיות יחיד ,למשל גם −1יוצר את
.Z
דוגמה .6.5החבורה ⟩ (Zn , +) = ⟨1היא ציקלית .וודאו כי בחבורה ) (Z2 , +יש רק
יוצר אחד )נניח על ידי טבלת כפל( .וודאו כי בחבורה ) (Z10 , +יש ארבעה יוצרים.
שניים די ברורים ) 1וגם ,(−1 ≡ 9האחרים ) (3, 7דורשים לבינתיים בדיקה ידנית.
הערה .6.6יהי .a ∈ Gאזי |⟩ .o (a) = |⟨aבמילים ,הסדר של איבר הוא סדר
תת־החבורה שהוא יוצר.
טענה .6.7שימו לב כי הסדר של יוצר בחבורה ציקלית הוא סדר החבורה .כלומר אנחנו
יודעים כי ) 5 ∈ (Z10 , +אינו יוצר כי הסדר שלו הוא | ,|5| = 2 < 10 = |Z10שהרי
).5 + 5 ≡ 0 (mod 10
טענה .6.8כל חבורה ציקלית היא אבלית.
הוכחה .תהי Gחבורה ציקלית ,ונניח כי ⟩ .G = ⟨aיהיו .g1 , g2 ∈ Gצ”ל .g1 g2 = g2 g1
Gציקלית ,ולכן קיימים i, jשעבורם g1 = aiו .g2 = aj -מכאן שמתקיים
g1 g2 = ai aj = ai+j = aj+i = aj ai = g2 g1
דוגמה .6.9לא כל חבורה אבלית היא ציקלית .למשל ,נסתכל על }.U8 = {1, 3, 5, 7
זו לא חבורה ציקלית ,כי אין בחבורה הזו איבר מסדר ) 4כל האיברים שאינם 1הם
מסדר – 2בדקו(.
דוגמה .6.10קבוצת שורשי היחידה מסדר nמעל Cהיא
{
}
2πk
n
Ωn = {z ∈ C | z = 1} = cis
k = 0, 1, . . . , n − 1
n
2π
זו תת־חבורה של ∗ .Cאם נסמן
n
תת־חבורה ציקלית ונוצרת על ידי .ωn
,ωn = cisנקבל ⟩ .Ωn = ⟨ωnכלומר Ωnהיא
טענה .6.11הוכיחו שאם Gציקלית ,אז כל תת־חבורה של Gהיא ציקלית.
15
n-th roots of
unity
הוכחה .תהי H ≤ Gתת־חבורה .נסמן ⟩ .G = ⟨aכל האיברים ב G-הם מהצורה ,ai
ולכן גם כל האיברים ב H-הם מהצורה הזו.
s
s
יהי s ∈ Nהמספר המינימלי שעבורו .a ∈ Hנרצה להוכיח ⟩ .H = ⟨aאכן,
יהי k ∈ Nשעבורו .ak ∈ Hלפי משפט החילוק עם שארית ,קיימים qו r-שעבורם
.0 ≤ r < s ,k = qs + rלכן,
ak = aqs+r = aqs · ar = (as )q · ar
במילים אחרות .ar = ak · (as )−q ,אבל ,as , ak ∈ Hולכן גם ) ar ∈ Hסגירות לכפל
ולהופכי(.
r
אם ,r ̸= 0קיבלנו סתירה למינימליות של – sכי a ∈ Hוגם ) 0 < r < sלפי
בחירת .(rלכן .r = 0 ,כלומר ,k = qs ,ומכאן .s|kלכן ⟩ ,ak ∈ ⟨asכדרוש.
מסקנה .6.12תת־החבורות של ) (Z, +הן בדיוק ) (nZ, +עבור }.n ∈ N ∪ {0
טענה ) 6.13מההרצאה( .תהי Gחבורה ,ויהי .a ∈ Gמתקיים an = eאם ורק אם
.o (a) |n
תרגיל .6.14תהי Gחבורה ,ויהי .a ∈ Gנניח ∞ < .o (a) = nהוכיחו שלכל d ≤ n
טבעי,
)( d
n
)o (a
= o a
=
)(d, n
))(d, o (a
הוכחה .היתכנות :נשים לב כי
n
)( d ) (d,n
d
a
= (an ) (d,n) = e
d
)הפעולות שעשינו חוקיות ,כי ∈ Z
)(d, n
( )t
גם
מינימליות :נניח , ad = eכלומר .adt = eלפי טענה ,6.13
) .n|dtלכן( ,
n
d
n dt
.
,
)שניהם מספרים שלמים – מדוע?( .מצד שני= 1 ,
)(d, n) (d, n
)(d, n) (d, n
n
,כמו שרצינו.
לפי תרגיל שהוכחנו בתרגול הראשוןt ,
)(d, n
(.
תרגיל ) 6.15אם יש זמן( .נסמן את קבוצת שורשי היחידה Ωn
∞
∪
= ∞ .Ωהוכיחו:
n=1
Ω∞ .1היא חבורה לגבי כפל) .איחוד חבורות הוא לא בהכרח חבורה!(
.2לכל ∞) o (x) < ∞ ,x ∈ Ωכלומר :כל איבר ב Ω∞ -הוא מסדר סופי(.
Ω∞ .3אינה ציקלית.
16
Roots of unity
לחבורה כזו ,שבה כל איבר הוא מסדר סופי ,קוראים חבורה מפותלת.
פתרון.
.1נוכיח שהיא חבורה על ידי זה שנוכיח שהיא תת־חבורה של ∗ .Cתרגיל לבית:
אוסף האיברים מסדר סופי של חבורה אבלית הוא תת־חבורה )ובמקרה זה
נקרא תת־חבורת הפיתול( .לפי הגדרת ∞ ,Ωרואים שהיא מכילה בדיוק את כל
האיברים מסדר סופי של החבורה האבלית ∗ ,Cולכן חבורה.
באופן מפורש ולפי הגדרה :ברור כי ∞ ,1 ∈ Ωולכן היא לא ריקה .יהיו ∈ g1 , g2
∞ .Ωלכן קיימים m, nשעבורם .g2 ∈ Ωn ,g1 ∈ Ωmנכתוב עבור l, k ∈ Z
מתאימים:
2πk
2πl
g1 = cis
,
g2 = cis
m
n
לכן
(
)
2πk
2πk 2πl
2πl
g1 g2 = cis
· cis
= cis
+
m
n
m
n
(
)
)2π (kn + lm
= cis
∞∈ Ωmn ⊆ Ω
mn
סגירות להופכי היא ברורה ,שהרי אם ,g ∈ Ωnאז גם ∞.g −1 ∈ Ωn ⊆ Ω
)אם יש זמן :לדבר שאיחוד של שרשרת חבורות ,ובאופן כללי יותר ,איחוד רשת
של חבורות ,היא חבורה(.
.2לכל ∞ x ∈ Ωקיים nשעבורו .x ∈ Ωnלכן.o (x) ≤ n ,
.3לפי הסעיף הקודם ,כל תת־החבורות הציקליות של ∞ Ωהן סופיות .אך ∞Ω
אינסופית ,ולכן לא ייתכן שהיא שווה לאחת מהן.
תרגיל ) 6.16אם יש זמן( .תהי Gחבורה ציקלית מסדר .nכמה איברים ב G-יוצרים
את ?G
פתרון .נניח כי ⟩ .G = ⟨aאזי
n
= n ⇐⇒ (k, n) = 1
)(k, n
⟩ ⟨
) (
⇒⇐ G = ak ⇐⇒ o ak = n
לכן ,מספר האיברים היוצרים את Gהוא | .|Un
7
מכפלה ישרה של חבורות
בנייה חשובה של חבורות חדשות מחבורות קיימות .לתרגיל הבית ,כולל מכפלות של
יותר מזוג חבורות .תהינה )∗ (G,ו (H, •)-חבורות .הזכרו ממתמטיקה בדידה בסימון
}G × H = {(g, h) | g ∈ G, h ∈ H
17
Torsion group
טענה .7.1נגדיר פעולה ⊙ על G × Hרכיב-רכיב ,כלומר
) (g1 , h1 ) ⊙ (g2 , h2 ) = (g1 ∗ g2 , h1 • h2
אז )⊙ (G × H,היא חבורה ,הנקראת המכפלה הישרה )החיצונית( של Gו .H-איבר
היחידה ב G × H-הוא ) .(eG , eH
דוגמה .7.2נסתכל על .U8 × Z3נדגים את הפעולה:
)(External
Direct
product
)(3, 2) ⊙ (5, 2) = (3 · 5, 2 + 2) = (15, 4) = (7, 1
)(5, 1) ⊙ (7, 2) = (5 · 7, 1 + 2) = (35, 3) = (3, 0
האיבר הניטרלי הוא ).(1, 0
הערה .7.3מעכשיו ,במקום לסמן את הפעולה של G × Hב ,⊙-נסמן אותה · בשביל
הנוחות.
תרגיל .7.4האם Zn × Znציקלית )עבור ?(n ≥ 2
פתרון .לא! נוכיח שהסדר של כל איבר (a, b) ∈ Zn × Znהוא לכל היותר :nאכן,
)(a, b)n = (a, b) · (a, b) · · · (a, b) = (a + · · · + a, b + · · · + b) = (na, nb) = (0, 0
כיוון שהסדר הוא המספר המינימלי mשעבורו ) ,(a, b)m = (0, 0בהכרח .m ≤ n
כלומר ,הסדר של כל איבר ב Zn × Zn -הוא לכל היותר .n
2
כעת ,נסיק כי החבורה הזו אינה ציקלית :כזכור מבדידה .|Zn × Zn | = n ,אילו
החבורה Zn × Znהייתה ציקלית ,היה בה איבר מסדר .n2אך אין כזה ,ולכן החבורה
אינה ציקלית.
הערה .7.5התרגיל הקודם אומר שמכפלה של חבורות ציקליות אינה בהכרח ציקלית.
לעומת זאת ,מכפלה של חבורות אבליות נשארת אבלית.
8
החבורה הסימטרית )על קצה המזלג(
הגדרה .8.1החבורה הסימטרית מדרגה nהיא
}Sn = {σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} | σ is bijective
זהו אוסף כל ההעתקות החח”ע ועל מהקבוצה } {1, 2, . . . , nלעצמה ,ובמילים אחרות –
אוסף כל שינויי הסדר של המספרים } Sn .{1, 2, . . . , nהיא חבורה ,כאשר הפעולה
היא הרכבת פונקציות .איבר היחידה הוא פונקציית הזהות .כל איבר של Snנקרא
תמורה.
הערה ) 8.2אם יש זמן( .החבורה Snהיא בדיוק חבורת ההפיכים במונואיד X Xעם
פעולת ההרכבה ,כאשר }.X = {1, 2, . . . , n
18
Symmetric
group
Permutation
דוגמה .8.3ניקח לדוגמה את .S3איבר σ ∈ S3הוא מהצורה σ (2) = j ,σ (1) = i
ו ,σ (3) = k-כאשר } i, j, k ∈ {1, 2, 3שונים זה מזה .נסמן בקיצור
(
)
1 2 3
=σ
i j k
נכתוב במפורש את האיברים ב:S3 -
(
)
1 2 3
= .id
.1
1 2 3
(
)
1 2 3
= .τ
.2
2 1 3
(
)
1 2 3
= .σ
.3
2 3 1
(
)
1 2 3
2
= .σ = σ ◦ σ
.4
3 1 2
(
)
1 2 3
= .στ = σ ◦ τ
.5
3 2 1
(
)
1 2 3
= .τ σ = τ ◦ σ
.6
1 3 2
מסקנה .8.4נשים לב ש S3 -אינה אבלית ,כי .στ ̸= τ σמכאן גם קל לראות ש Sn -אינה
ציקלית לכל ,n ≥ 3כי היא לא אבלית.
הערה .8.5הסדר הוא ! .|Sn | = nאכן ,מספר האפשרויות לבחור את ) σ (1הוא
.nאחר כך ,מספר האפשרויות לבחור את ) σ (2הוא .n − 1כך ממשיכים ,עד
שמספר האפשרויות לבחור את ) σ (nהוא ,1האיבר האחרון שלא בחרנו .בסך הכל,
!.|Sn | = n · (n − 1) · · · 1 = n
הגדרה .8.6מחזור )או עגיל( ב Sn -הוא תמורה המציינת מעגל אחד של החלפות של
מספרים שונים) a1 7→ a2 7→ a3 7→ · · · 7→ ak 7→ a1 :ושאר המספרים נשלחים לעצמם(.
כותבים את התמורה הזו בקיצור ) .(a1 a2 . . . akהאורך של המחזור ) (a1 a2 . . . ak
הוא .k
(
)
1 2 3 4 5
.
דוגמה .8.7ב ,S5 -המחזור ) (4 5 2מציין את התמורה
1 4 3 5 2
Length of a
cycle
משפט .8.8כל תמורה ניתנת לכתיבה כהרכבת מחזורים זרים ,כאשר הכוונה ב”מחזורים
זרים” היא מחזורים שאין להם מספר משותף שהם משנים את מיקומו.
Disjoint
cycles
19
Cycle
הערה .8.9שימו לב שמחזורים זרים מתחלפים זה עם זה )מדוע?( ,ולכן חישובים עם
מחזורים יהיו לעיתים קלים יותר מאשר חישובים עם התמורה עצמה.
(
)
1 2 3 4 5 6 7
= .σכדי
דוגמה .8.10נסתכל על התמורה הבאה ב:S7 -
4 7 3 1 5 2 6
לכתוב אותה כמכפלת מחזורים זרים ,לוקחים מספר ,ומתחילים לעבור על המחזור
המתחיל בו .למשל:
1 7→ 4 7→ 1
אז בכתיבה על ידי מחזורים יהיה לנו את המחזור ) .(1 4כעת ממשיכים כך ,ומתחילים
ממספר אחר:
2 7→ 7 7→ 6 7→ 2
אז נקבל את המחזור ) (2 7 6בכתיבה .נשים לב ששאר המספרים הולכים לעצמם,
כלומר ,5 7→ 5 ,3 7→ 3ולכן
)σ = (1 4) (2 7 6
נחשב את .σ 2אפשר ללכת לפי ההגדרה ,לעבור על כל מספר ולבדוק לאן σ 2תשלח
אותו; אבל ,כיוון שמחזורים זרים מתחלפים ,נקבל
)σ 2 = ((1 4) (2 7 6))2 = (1 4)2 (2 7 6)2 = (2 6 7
תרגיל .8.11יהי σ ∈ Snמחזור מאורך .kמהו )?o (σ
פתרון .נסמן ) .σ = (a0 a1 . . . ak−1נוכיח כי .o (σ) = k
מתקיים ש) σ k (a0 ) = ai mod k -שימו לב ,האינדקס מודולו kמאפשר לנו לעבוד
בטווח } .({0, 1, . . . , k − 1ראשית ,ברור כי :σ k = idלכל aiמתקיים
σ k (ai ) = σ k−1 (ai+1 ) = · · · = σ (ai−1 ) = ai
ולכל ) σ k (m) = m ,m ̸= aiכי .(σ (m) = mנותר להוכיח מינימליות .אבל אם
,l < kאז ,σ l (a0 ) = al ̸= a0כלומר .σ l ̸= id
9מחלקות
הגדרה .9.1תהי Gחבורה ,ותהי H ≤ Gתת־חבורה .לכל ,g ∈ Gנגדיר:
• המחלקה השמאלית של gלגבי Hהיא .gH = {gh | h ∈ H} ⊆ G
• המחלקה הימנית של gלגבי Hהיא }.Hg = {hg | h ∈ H
את אוסף המחלקות השמאליות נסמן .G/H
20
Left coset
Right coset
דוגמה .9.2ניקח את ,G = S3ונסתכל על תת־החבורה
})H = ⟨(1 2 3)⟩ = {id, (1 2 3) , (1 3 2
המחלקות השמאליות של Hב:G-
})= {id, (1 2 3) , (1 3 2
})= {(1 2) , (2 3) , (1 3
= {(1 3) , (1 2) , (2 3)} = (1 2) H
= {(2 3) , (1 3) , (1 2)} = (1 2) H
= {(1 2 3) , (1 3 2) , id} = id H
= {(1 3 2) , id, (1 2 3)} = id H
id H
(1 2) H
(1 3) H
(2 3) H
(1 2 3) H
(1 3 2) H
לכן
}S3 /H = {id H, (1 2) H
דוגמה .9.3ניקח את ) ,G = (Z, +ונסתכל על המחלקות השמאליות של :H = 5Z
} = H = {. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . .
} = {. . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . .
} = {. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . .
} = {. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . .
} = {. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . .
= {. . . , −5, 0, 5, 10, 15, . . . } = H
=1+H
=2+H
0+H
1+H
2+H
3+H
4+H
5+H
6+H
7+H
וכן הלאה .בסך הכל ,יש חמש מחלקות שמאליות של 5Zב ,Z-וכן
}Z/5Z = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H
דוגמה .9.4ניקח את ) ,G = (Z8 , +ונסתכל על } .H = ⟨2⟩ = {0, 2, 4, 6המחלקות
השמאליות הן
0 + H = H, 1 + H = {1, 3, 5, 7} , 2 + H = H
ובאופן כללי,
{
H,
= a+H
1 + H,
)if a ≡ 0 (mod 2
)if a ≡ 1 (mod 2
נשים לב ש.G = H ∪ (1 + H)-
21
הערה .9.5כפי שניתן לראות מהדוגמאות שהצגנו ,המחלקות השמאליות )או הימניות(
של Hיוצרות חלוקה של .Gנוסף על כך ,יחס השוויון בין המחלקות הנוצרות על ידי
שני איברים ב G-הינו יחס שקילות.
כלומר עבור a, b ∈ Gותת־חבורה ,H ≤ Gשוויון בין מחלקות aH = bHמשרה
יחס שקילות על ) Hשבו aו b-שקולים( .נסכם זאת בעזרת המשפט הבא:
משפט .9.6תהי Gחבורה ,ותהי H ≤ Gתת־חבורה a, b ∈ G .אזי
aH = bH .1אם ורק אם ,b−1 a ∈ H :בפרט .a ∈ H⇐⇒ aH = H
.2לכל שתי מחלקות g1 Hו ,g2 H-מתקיים g1 H = g2 Hאו ∅ = .g1 H ∩ g2 H
.3מתקיים | |aH| = |bH| = |Hלכל .a, b ∈ G
.4האיחוד של כל המחלקות הוא כל gH = G :G
∪
,וזהו איחוד זר.
gH∈G/H
הוכחה) .לבית( זה למעשה תרגיל ממתמטיקה בדידה .נוכיח רק את הסעיף הראשון:
)⇐( :אם aH = bHאזי לכל .ah ∈ bH ,h ∈ Hבפרט עבור איבר היחידה
.a = ae ∈ bHמכאן נובע שקיים h0 ∈ Hכך ש ,a = bh0 ∈ H-לכן בהכרח
.b−1 a = h0 ∈ H
−1
−1
)⇒( :נניח ש ,b a ∈ H-אזי קיים ,h0 ∈ Hכך ש .b a = h0 -לכן .a = bh0
עתה ,לכל h ∈ Hמתקיים ש ,ah = bh0 h ∈ bH-לכן .aH ⊆ bHאבל אם
,b = ah−1ונקבל באותו אופן ש .bH ⊆ aH-לכן בהכרח .bH = aH
,a = bh0אזי o
הערה .9.7קיימת התאמה חח”ע ועל בין המחלקות השמאליות } {gH | g ∈ Gלימניות
} ,{Hg | g ∈ Gלפי ):(Hg 7→ g −1 H
{
{ }
{ }
}
gH 7→ (gH)−1 = (gh)−1 h ∈ H = h−1 g −1 h ∈ H = kg −1 k ∈ H = Hg −1
לכן מספר המחלקות השמאליות שווה למספר המחלקות הימניות.
הגדרה .9.8נסמן את מספר המחלקות של Hב G-בסימון ] .[G : Hמספר זה נקרא
האינדקס של Hב.G-
דוגמה .9.9על פי הדוגמאות שראינו:
[Z : 5Z] = 5 .1
[S3 : ⟨(1 2 3)⟩] = 2 .2
[Z8 : ⟨2⟩] = 2 .3
תרגיל .9.10מצאו חבורה Gותת־חבורה ,H ≤ Gכך ש.[G : H] = ∞-
22
Index of a
subgroup
פתרון .תהי ) G = (Q, +ותת־חבורה .H = Z
ניקח שני שברים α1 , α2 ∈ Qשונים בין 0לבין ,1ונתבונן במחלקות שאיברים אלו
יוצרים .נקבל ש-
} {α1 + 0, α1 ± 1, α1 ± 2, . . . } = α1 H ̸= α2 H = {α2 + 0, α2 ± 1, α2 ± 2, . . .
לכן ,מספר המחלקות של Hב G-הוא לפחות ככמות המספרים ב Q-בין 0לבין ,1
שהיא אינסופית.
משפט ) 9.11לגראנז’( .תהי Gחבורה ,ותהי H ≤ Gתת־חבורה .אז |.|G| = [G : H]·|H
מסקנה .9.12עבור חבורה סופית ,הסדר של תת־חבורה מחלק את הסדר של החבורה:
Lagrange’s
theorem
||G
]= [G : H
||H
בפרט ,עבור ,a ∈ Gמפני ש ,⟨a⟩ ≤ G-אז | .|⟨a⟩| | |Gלכן מפני ש ,o(a) = |⟨a⟩|-הסדר
של כל איבר בחבורה מחלק את הסדר של החבורה .לכן גם לכל a ∈ Gמתקיים .a|G| = e
דוגמה .9.13עבור ,|Z10 | = 10הסדרים האפשריים של איברים ב Z10 -הם מהקבוצה
}.{1, 2, 5, 10
תרגיל .9.14האם לכל מספר mהמחלק את סדר החבורה הסופית Gבהכרח קיים
איבר מסדר ?m
פתרון .לא בהכרח! דוגמה נגדית :נבחן את החבורה .Z4 × Z4
סדר החבורה הינו 16אבל לא קיים איבר מסדר .16אילו היה קיים איבר כזה,
אזי זו חבורה ציקלית ,אבל הוכחנו שהחבורה Zn × Znאינה ציקלית עבור .n > 1
משפט ) 9.15משפט אוילר( .פונקציית אוילר φ : N → Nמוגדרת לפי | .φ(n) = |Un
עבור כל ,a ∈ Unמתקיים ).aφ(n) = 1 (mod n
Euler’s
theorem
Euler’s totient
function
משפט ) 9.17המשפט הקטן של פרמה( .זה מקרה פרטי של משפט אוילר :עבור pראשוני,
.|Up | = p − 1לכן לכל a ∈ Upמתקיים ש ,o(g)| (p − 1)-ובפרט ).ap−1 = 1 (mod p
Fermat’s little
theorem
דוגמה ,(3, 10) = 1 .9.16לכן .3 ∈ U10מאחר ש ,U10 = {1, 3, 7, 9}-אזי = )φ(10
.|U10 | = 4אכן מתקיים.3φ(10) = 34 = 81 = 1 (mod 10) :
תרגיל .9.18חשב את שתי הספרות האחרונות של המספר .909121
פתרון .נזכר ש mod n-הינו יחס שקילות .מפני ש ,909 ≡ 9 (mod 100)-אז נוכל לחשב
.9121
)φ(100
40
.9
כיוון ש ,(9, 100) = 1-אזי על פי משפט אוילר= 9 = 1 (mod 100) :
מכאן ש.9121 = (940 )3 · 9 ≡ 13 · 9 ≡ 9 (mod 100)-
23
דוגמה .9.19תהי Gחבורה מסדר pראשוני .יהי .e ̸= g ∈ Gלכן .o(g) > 1
מצד שני .o(g)| |G| = pלכן בהכרח ,o(g) = pמה שאומר ש .G = ⟨g⟩-מאחר
וזה נכון לכל ,e ̸= g ∈ Gנסיק ש G-נוצרת על ידי כל אחד מאיבריה שאינו איבר
היחידה.
טענה .9.20תהי ⟩ G = ⟨αציקלית מסדר ,nויהי .m|nאז ל G-יש תת־חבורה ציקלית
יחידה מסדר .m
⟨
⟩
הוכחה .נסמן .H = αn/mזו תת־חבורה מסדר ,mהמוכיח קיום .תהי Kתת־חבורה
ציקלית נוספת מסדר ,mונניח ⟩ .K = ⟨βלהוכחת היחידות נראה .K = H
מאחר ש α-יוצר של ,Gקיים b ≤ nכך ש .β = αb -לכן לפי תרגיל ,6.14
n
).o(β) = (n,b
n
n
.(n, b) = mלפי תכונת הממ”מ קיימים
) .m = (n,bלכן
אבל ⇐ o(β) = m
s, t ∈ Zכך ש .(n, b) = sn + tb -לכן
= α(n,b) = αsn+tb = (αn )s (αb )t = 1 · β t ∈ K
n/m
α
כלומר קיבלנו ש ,αn/m ∈ K-ולכן .H ⊆ Kאבל על פי ההנחה | ,|H| = |Kלכן
,H = Kכדרוש.
תרגיל ) 9.21לדלג( .כמה תת־חבורות לא טריוויאליות יש ב) ?Z30 -לא טריוויאלית
פירושו לא כולל את } {0ואת (.Z30
על פי התרגיל ,מאחר ומדובר בחבורה ציקלית ,מספר תת־החבורות הוא כמספר
המחלקים של המספר ,30כלומר.|{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}| = 8 :
מאחר והסדרים 1ו 30-מתאימים לתת־החבורות הטרוויאליות ,נותרנו עם שש
תת־חבורות לא טריוויאליות.
10
חישוב פונקציית אוילר
לצורך פתרון התרגיל הבא נפתח נוסחה נוחה לחישוב ) .φ (nכלומר ,בהנתן מספר
שלם כלשהו ,נוכל לחשב את מספר המספרים הקטנים ממנו בערך מוחלט וזרים לו.
על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה ,כל מספר שלם ניתן לפרק למכפלת חזקות
של מספרים ראשוניים )עד כדי סדר וסימן( .נניח
n = pk11 pk22 . . . pkmm
כעת נתבונן בנפרד בפונקציית אוילר של חזקה של מספר ראשוני כלשהו במכפלה,
שאותם קל לחשב:
(
)
)( k
1
k
k−1
k−1
k
φ p =p −p
=p
(p − 1) = p 1 −
p
24
ולכן ,עבור מספר שלם כלשהו:
) (
)
) ( ) (
(
φ (n) = φ pk11 pk22 . . . pkmm = φ pk11 φ pk22 . . . φ pkmm
(
()
( )
)
1
1
1
k1 k2
km
= p1 p2 . . . pm 1 −
1−
... 1 −
p1
p2
pk
(
()
( )
)
1
1
1
=n· 1−
1−
... 1 −
p1
p2
pk
ולסיכום
(
()
( )
)
1
1
1
φ (n) = n · 1 −
1−
... 1 −
p1
p2
pk
דוגמה .10.1נחשב את ):φ (60
(
()
()
)
1
1
1
φ (60) = 60 · 1 −
1−
1−
= 16
2
3
5
תרגיל .10.2חשבו את שתי הספרות האחרונות של .807327671999 + 2016
פתרון .נפעיל mod100ונקבל
(
)50
807327671999 + 2016 ≡ 671999 + 16 = 6750·40−1 + 16 = 6740 · 67−1 + 16
(
)50
= 67φ(100) · 67−1 + 16 ≡ (1)50 · 67−1 + 16 = 67−1 + 16
כעת נותר למצוא את ההופכי של 67בחבורה 67) U100זר ל 100-ולכן נמצא ב-
.(U100לצורך כך ,נשתמש באלגוריתם של אוקלידס לצורך מציאת פתרון למשוואה
).67x = 1 (mod 100
יש פתרון למשוואה אם ורק אם קיים k ∈ Zכך ש.100k + 67x = 1-
בעזרת אלגוריתם אוקלידס נמצא ביטוי של ) gcd (100, 67כצירוף לינארי של 67
ו:100-
](100, 67) = [100 = 1 · 67 + 33
](67, 33) = [67 = 2 · 33 + 1
(33, 1) = 1
ומהצבה לאחור נקבל ,1 = 67 − 2 · 33 = −2 · 100 + 3 · 67 :ולכן ,x = 3כלומר
ההופכי של 67הוא .3
לכן .67−1 + 16 = 3 + 16 = 19כלומר שתי הספרות האחרונות הם .19
תרגיל .10.3הוכיחו את הטענה הבאה :תהא Gחבורה סופית ,אזי Gמסדר זוגי ⇔
קיים ב G-איבר מסדר .2
)⇒( :על פי משפט לגראנז’ ,הסדר של איבר מחלק את סדר החבורה ולכן סדר
החבורה זוגי.
25
)⇐( :לאיבר מסדר 2תכונה יחודית -הוא הופכי לעצמו .נניח בשלילה שאין אף
איבר ב G-מסדר ,2כלומר שאין אף איבר שהופכי לעצמו ,פרט לאיבר היחידה.
אז ניתן לסדר את כל איברי החבורה בזוגות ,כאשר כל איבר מזווג לאיבר ההופכי
לו .ביחד עם איבר היחידה נקבל מספר אי זוגי של איברים ב G-בסתירה להנחה.
מסקנה .10.4לחבורה מסדר זוגי יש מספר אי זוגי של איברים מסדר .2
11
תת־חבורה הנוצרת על ידי איברים
הגדרה .11.1תהי Gחבורה ותהי S ⊆ Gתת־קבוצה לא ריקה איברים ב) G-שימו לב
ש S-אינה בהכרח תת־חבורה של .(G
Subgroup
תת־החבורה הנוצרת על ידי Sהינה תת־החבורה המינימלית המכילה את Sונסמנה
generated by
⟩ .⟨Sאם ⟩ G = ⟨Sאז נאמר ש G-נוצרת על ידי .Sאם קיימת Sסופית כך ש,G = ⟨S⟩-
S
נאמר כי Gנוצרת סופית .עבור קבוצה סופית של איברים ,נכתוב בקיצור ⟩ .⟨x1 , . . . , xk
הגדרה זו מהווה הכללה להגדרה של חבורה ציקלית .חבורה היא ציקלית אם היא S generates G
נוצרת על ידי איבר אחד .גם כל חבורה סופית נוצרת סופית.
Finitely
דוגמה .11.2ניקח {2, 3} ⊆ Zואת ⟩ .H = ⟨2, 3נוכיח בעזרת הכלה דו־כיוונית
ש.H = Z-
Hתת־חבורה של ,Zובפרט .H ⊆ Zכיוון ש 2 ∈ H-אזי גם (−2) ∈ Hומכאן
ש .(−2) + 3 = 1 ∈ H-כלומר איבר היחידה ,שהוא יוצר של ,Zמוכל ב .H-לכן
,Z = ⟨1⟩ ⊆ Hכלומר .Z ⊆ Hקיבלנו ש.H = Z-
דוגמה .11.3אם ניקח ,{4, 6} ⊆ Zאז נקבל.⟨4, 6⟩ = {4n + 6m | m, n ∈ Z} :
נטען ש) ⟨4, 6⟩ = gcd (4, 6) · Z = 2Z-כלומר תת־חבורה של השלמים המכילה רק
את המספרים הזוגיים( .נוכיח על ידי הכלה דו כיוונית,
)⊆( :ברור ש 2|4m + 6n-ולכן .⟨4, 6⟩ ⊆ 2Z
)⊇( :יהי .2k ∈ 2Zאזי ⟩ .2k = 4 (−k)+6k ∈ ⟨4, 6לכן גם מתקיים ⟩.2Z ⊆ ⟨4, 6
דוגמה .11.4בדומה לדוגמה האחרונה ,במקרה שהחבורה אבלית ,קל יותר לתאר את
תת־החבורה הנוצרת על ידי קבוצת איברים .למשל אם ניקח שני יוצרים a, b ∈ G
נקבל.⟨a, b⟩ = {ai bj | i, j ∈ Z} :
בזכות החילופיות ,ניתן לסדר את כל ה-a-ים יחד וכל ה-b-ים יחד .למשל
abaaab−1 bbba−1 a = a4 b3
באופן כללי ,בחבורה אבלית מתקיים:
}
⟨a1 , . . . , an ⟩ = ak11 . . . aknn ∀1 ≤ i ≤ n, ki ∈ Z
{
דוגמה .11.5נוח לעיתים לחשוב על איברי ⟩ ⟨Aבתור קבוצת ”המילים” שניתן לכתוב
באמצעות האותיות בקבוצה .Aמגדירים את האלפבית שלנו להיות A ∪ A−1כאשר
} .A−1 = {a−1 | a ∈ Aמילה היא סדרה סופית של אותיות מן האלפבית ,ועבור x ∈ A
מתקיים ,xx−1 = x−1 x = εכשהמילה הריקה εמייצגת את איבר היחידה ב.G-
26
generated
12
12.1
נושאים נוספים בחבורה הסימטרית
סדר של איברים בחבורה הסימטרית
הערה .12.1תזכורת :עבור מחזור σ ∈ Snמאורך kמתקיים.o (σ) = k :
טענה ) 12.2בתרגיל הבית( .תהי Gחבורה .יהיו a, b ∈ Gכך ש ab = ba-וגם = ⟩⟨a⟩∩⟨b
) eכלומר החיתוך בין תת־החבורה הציקלית הנוצרת על ידי aותת־החבורה הציקלית
הנוצרת על ידי bהיא טריוויאלית( .אז
))o (ab) = lcm (o(a), o(b
מסקנה .12.3סדר מכפלות מחזורים זרים ב Sn -הוא הכמ”מ ) (lcmשל אורכי המחזורים.
דוגמה .12.4הסדר של ) (193) (56הוא 6והסדר של ) (1234) (56הוא .4
תרגיל .12.5מצאו תת־חבורה מסדר 45ב.S15 -
פתרון .נמצא תמורה מסדר 45ב .S15 -נתבונן באיבר
)σ = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) (10, 11, 12, 13, 14
ונשים לב כי .o (σ) = [9, 5] = 45
כעת ,מכיוון שסדר האיבר שווה לסדר תת־החבורה שאיבר זה יוצר ,נסיק שתת־החבורה
⟩ ⟨σעונה על הדרוש.
שאלה .12.6האם קיים איבר מסדר 39ב?S15 -
פתרון .לא .וזאת מכיוון שאיבר מסדר 39לא יכול להתקבל כמכפלת מחזורים זרים
ב.S15 -
אמנם ניתן לקבל את הסדר 39כמכפלת מחזורים זרים ,האחד מאורך 13והאחר
מאורך , 3אבל 13 + 3 = 16ולכן ,זה בלתי אפשרי ב.S15 -
12.2
הצגת מחזור כמכפלת חילופים
הגדרה .12.7מחזור מסדר 2ב Sn -נקרא חילוף.
טענה .12.8כל מחזור ) (a1 , a2 , . . . , arניתן לרשום כמכפלת חילופים
) (a1 , a2 , . . . , ar ) = (a1 , a2 ) · (a2 , a3 ) . . . (ar−1 , ar
לכן:
⟩}Sn = ⟨{(i, j) | 1 ≤ i, j ≤ n
תרגיל .12.9כמה מחזורים מאורך 2 ≤ r ≤ nיש בחבורה ?Sn
27
Transposition
) (
פתרון .זו שאלה קומבינטורית .בוחרים rמספרים מתוך nויש nrאפשרויות כאלה.
כעת יש לסדר את rהמספרים ב r!-דרכים שונות .אבל ספרנו יותר מידי אפשרויות,
כי יש rמחזורים זהים ,שהרי
) (a1 , . . . , ar ) = (a2 , . . . , ar , a1 ) = · · · = (ar , a1 , . . . , ar−1
את המספר הכולל ב .r-נקבל שמספר המחזורים מאורך rב Sn -הינו
לכן נחלק )(n
!). r · (r − 1
תרגיל .12.10מה הם הסדרים האפשריים לאיברי ?S4
פתרון .ב S4 -הסדרים האפשריים הם:
.1סדר - 1רק איבר היחידה.
.2סדר - 2חילופים ) (i, jאו מכפלה של שני חילופים זרים ,למשל ).(12) (34
.3סדר - 3מחזורים מאורך ,3למשל ).(243
.4סדר - 4מחזורים מאורך ,4למשל ).(2431
וזהו! כלומר הצלחנו למיין בצורה פשוטה ונוחה את כל הסדרים האפשריים ב.S4 -
תרגיל .12.11מה הם הסדרים האפשריים לאיברי ?S5
פתרון .ב S5 -הסדרים האפשריים הם:
.1סדר - 1רק איבר היחידה.
.2סדר - 2חילופים ) (i, jאו מכפלה של שני חילופים זרים.
.3סדר - 3מחזורים מאורך .3
.4סדר - 4מחזורים מאורך .4
.5סדר - 5מחזורים מאורך .5
.6סדר - 6מכפלה של חילוף ומחזור מאורך ,3למשל ).(231) (54
וזהו! שימו לב שב Sn -יש איברים מסדר שגדול מ n-עבור .n ≥ 5
28
12.3
סימן של תמורה וחבורת החילופין )חבורת התמורות הזוגיות(
הגדרה .12.12יהי σמחזור מאורך ,kאזי הסימן שלו מוגדר להיות:
Sign
sign (σ) = (−1)k−1
עבור תמורות τ, σ ∈ Snנגדיר
) sign (στ ) = sign (σ) sign (τ
תכונה זו מאפשרת לחשב את הסימן של כל תמורה ב .Sn -יש דרכים שקולות אחרות
להגדיר סימן של תמורה.
נקרא לתמורה שסימנה 1בשם תמורה זוגית ולתמורה שסימנה −1בשם תמורה אי
זוגית.
דוגמה ) .12.13נקודה חשובה ומאוד מבלבלת(
Even
permutation
Odd
permutation
.1החילוף ) (35הוא תמורה אי זוגית.
.2התמורה הריקה היא תמורה זוגית.
.3מחזור מאורך אי זוגי הוא תמורה זוגית.
הגדרה .12.14חבורת החילופין )חבורת התמורות הזוגיות( Anהיא תת־החבורה הבאה
של :Sn
}An = {σ ∈ Sn | sign (σ) = 1
הערה .12.15הסדר של Anהינו
!n
2
Alternating
group
= | .|An
הגדרה .A3 = {id, (123) , (132)} .12.16
נשים לב כי ⟩) A3 = ⟨(123כלומר A3ציקלית.
13
מערכת הצפנה RSA
דוגמה לשימוש בתורת החבורות הוא מערכת הצפנה ,RSAהמממשת שיטה להצפנה
אסימטרית המובססת על רעיון המפתח הציבורי .נראה דוגמה להרצה של אלגוריתם
) RSAעל שם רון ריבסט ,עדי שמיר ולאונרד אדלמן( הנלקחה מויקיפדיה.
המטרה :בוב מעוניין לשלוח לאליס הודעה באופן מוצפן.
יצירת המפתחות :אליס בוחרת שני מספרים ראשוניים p, qבאופן אקראי )בפועל מאוד
גדולים( .היא מחשבת את המספרים n = pqואת ).φ(n) = (p − 1) (q − 1
בנוסף היא בוחרת מספר eהזר ל φ(n)-שנקרא המעריך להצפנה )בפועל = 65537
216 + 1או מספר די קטן אחר( .היא מוצאת הופכי כפלי dשל eבחבורה )Uφ(n
שיהווה את המפתח הסודי שלה .כלומר היא מוצאת מספר המקיים de ≡ 1
)) ,(mod φ(nלמשל על ידי אלגוריתם אוקלידס המורחב .זהו שלב שאין צורך
לחזור עליו.
29
RSA
cryptosystem
הפצת המפתח הציבורי :אליס שולחת באופן אמין ,אך לא בהכרח מוצפן ,את המפתח
הציבורי ) (n, eלבוב )או לעולם( .את המפתח הסודי dהיא שומרת בסוד לעצמה.
גם זהו שלב שאין צורך לחזור עליו.
הצפנה :בוב ישלח הודעה Mלאליס בצורת מספר mהמקיים 0 ≤ m < nוגם
.gcd(n, m) = 1כלומר יש רק φ(n) + 1סוגי הודעות שונות שבוב יכול לשלוח.
הוא ישלח את ההודעה המוצפנת ).c ≡ me (mod n
פענוח :אליס תשחזר את ההודעה mבעזרת המפתח הסודי m ≡ cd ≡ med ≡ m
).(mod n
דוגמה .13.1נציג דוגמה עם מספרים קטנים מאוד .אליס תבחר למשל את p = 61
ואת .q = 53היא תחשב
φ(n) = (p − 1) (q − 1) = 3120
n = pq = 3233
היא תבחר מעריך הצפנה ,e = 17שאכן זר ל .φ(n) = 3120-המפתח הסודי שלה הוא
)d ≡ e−1 ≡ 2753 (mod 3120
וכדי לסיים את שני השלבים הראשונים באלגוריתם היא תפרסם את המפתח הציבורי
שלה ).(n, e
נניח ובוב רוצה לשלוח את ההודעה m = 65לאליס .הוא יחשב את ההודעה
המוצפנת
17
)c ≡ m ≡ 2790 (mod 3233
וישלח את cלאליס .כעת אליס תפענח אותה על ידי חישוב
)m ≡ 27902753 ≡ 65 (mod 3233
החישובים בשלבי הביניים של חזקות מודולריות יכולים להעשות בשיטות יעילות
מאוד הנעזרות במשפט השאריות הסיני ,או על ידי חישוב חזקה בעזרת ריבועים )שיטה
הנקראת גם העלאה בינארית בחזקה( .למשל לחישוב m17נשים לב שבסיס בינארי
,17 = 100012ולכן במקום 17 − 1 = 16הכפלות מודלוריות נסתפק בחישוב:
)(mod 3233
m1 ≡ m · 1 ≡ 65
)m2 ≡ (m)2 ≡ 992 (mod 3233
( )2
)m4 ≡ m2 ≡ 1232 (mod 3233
( )2
)m8 ≡ m4 ≡ 1547 (mod 3233
( )2
)m16 ≡ m8 ≡ 789 (mod 3233
( )2
)m17 ≡ m m8 ≡ 2790 (mod 3233
30
נשים לב שכאשר כפלנו ב) m-שורה ראשונה ואחרונה( זה מקביל לסיביות הדלוקות
ב ,100012 -ואילו כאשר העלנו בריבוע ,זה מקביל למספר הסיביות )פחות .(1בקיצור
( k )2
⌋ m⌊ 2
kזוגי
k
( k )2
= m
⌋ m m⌊ 2
kאי זוגי
⌊
⌋
כלומר כאשר נחשב mkעבור kכלשהו נוכל להסתפק ב log2 k -פעולות של העלאה
⌊
⌋
בריבוע ולכל היותר ב log2 k -הכפלות מודולריות ,במקום k − 1הכפלות מודלוריות
ב .m-בבית תדרשו לחישוב של 27902753בעזרת שיטה זו.
הערה ) 13.2אזהרה!( .יש לדעת שלא כדאי להשתמש לצרכים חשובים בפונקציות קריפטוגרפיות
שמימשתם לבד .ללא בחינה מדוקדקת על ידי מומחים בתחום לגבי רמת בטיחות ונכונות
הקוד ,ישנן התקפות רבות שאפשר לנצל לגבי מימושים שכאלו ,כגון בחירת מפתחות לא
ראויה .בנוסף יש התקפות לגבי הפרוטוקול בו משתמשים כגון התקפת אדם באמצע,
התקפת ערוץ צדדי ועוד ועוד.
14
חבורות מוצגות סופית
נראה דרך לכתיבה של חבורות שנקראת ”יצוג על ידי יוצרים ויחסים” .בהנתן יצוג
Presentation
⟩G = ⟨X | R
נאמר ש G-נוצרת על ידי הקבוצה Xשל היוצרים עם קבוצת היחסים .Rכלומר כל
איבר בחבורה Gניתן לכתיבה )לאו דווקא יחידה( כמילה סופית ביוצרים והופכיהם,
ושכל אחד מן היחסים הוא מילה ששווה לאיבר היחידה.
דוגמה .14.1יצוג של חבורה ציקלית מסדר nהוא
∼ Zn
⟩ = ⟨x | xn
כל איבר הוא חזקה של היוצר ,xושכאשר רואים את תת־המילה xnאפשר להחליף
אותה ביחידה .לנוחות ,בדרך כלל קבוצת היחסים תכתב עם שיוויונות ,למשל .xn = e
באופן דומה ,החבורה הציקלית האינסופית ניתנת ליצוג
∼Z
⟩∅ | = ⟨x
ובדרך כלל משמיטים את קבוצת היחסים אם היא ריקה.
ודאו שאתם מבינים את ההבדל בין החבורות הלא איזומורפיות
∼ F2
⟩∅ | = ⟨x, y
∼Z×Z
= ⟨x, y | xy = yx⟩ ,
הגדרה .14.2ראינו שחבורה שיש לה קבוצת יוצרים סופית נקראת חבורה נוצרת סופית.
אם לחבורה יש יצוג שבו גם קבוצת היוצרים סופית וגם קבוצת היחסים סופית ,נאמר
שהחבורה מוצגת סופית.
31
Finitely
presented
דוגמה .14.3כל חבורה ציקלית היא מוצגת סופית ,וראינו מה הם היצוגים המתאימים.
כל חבורה סופית היא מוצגת סופית )זה לא טריוויאלי( .נסו למצוא חבורה נוצרת סופית
שאינה מוצגת סופית )זה לא כל כך קל(.
14.1
החבורה הדיהדרלית
הגדרה .14.4עבור מספר טבעי ,nהקבוצה Dnשל סיבובים ושיקופים המעתיקים מצולע
משוכלל בין nצלעות על עצמו ,היא החבורה הדיהדרלית מדרגה ,nיחד עם הפעולת של
הרכבת פונקציות.
מיוונית ,פירוש השם ”די-הדרה” הוא שתי פאות ,ומשה ירדן הציע במילונו את השם
חבורת הפאתיים ל.Dn -
2π
אם σהוא סיבוב ב n -ו τ -הוא שיקוף סביב ציר סימטריה כלשהו ,אז יצוג סופי
מקובל של Dnהוא
⟨
⟩
Dn = σ, τ σ n = τ 2 = id, στ = τ σ −1
הערה ) 14.5אם יש זמן( .פונקציה α : R2 → R2שהיא חח”ע ועל ושומרת מרחק
)כלומר )) (d(x, y) = d(α(x), α(yנקראת איזומטריה .אוסף האיזומטריות עם הפעולה
של הרכבת פונקציות הוא חבורה .תהי L ⊆ R2קבוצה כך שעבור איזומטריה α
מתקיים .α(L) = Lבמקרה זה αנקראת סימטריה של .Lאוסף הסימטריות של
Lהוא תת־חבורה של האיזומטריות .החבורה Dnהיא בדיוק אוסף הסימטריות של
מצולע משוכלל בן nצלעות.
דוגמה .14.6החבורה D3נוצרת על ידי סיבוב σשל ◦ 120ועל ידי שיקוף ,τכך
שמתקיימים היחסים הבאים בין היוצרים .τ στ = σ −1 ,σ 3 = τ 2 = id :כלומר
} ) D3 = {id, σ, σ 2 , τ, τ σ, τ σ 2להדגים עם משולש מה עושה כל איבר ,וכנ”ל עבור .(D5
מה לגבי האיבר ?στ ∈ D3הוא מופיע ברשימת האיברים תחת שם אחר ,שכן
τ στ = σ −1
στ = τ −1 σ −1 = τ σ 2
לכן .στ = τ σ 2כך גם הראנו כי D3אינה אבלית.
סיכום .14.7איברי Dnהם
{
}
id, σ, σ 2 , . . . , σ n−1 , τ, τ σ, τ σ 2 , . . . , τ σ n−1
בפרט נקבל כי |Dn | = 2nושעבור n > 2החבורה אינה אבלית כי ) .τ σ ̸= στלמי
∼ ,D3אבל עבור n > 3החבורות
שכבר מכיר איזומורפיזמים ודאו שאתם מבינים כי = S3
Dnו Sn -אינן איזומורפיות(.
32
Dihedral
group
Isometry
Symmetry
15
הומומורפיזמים
הגדרה .15.1תהינה )∗ (H, •) ,(G,חבורות .העתקה f : G → Hתקרא הומומורפיזם
של חבורות אם מתקיים
)f (x ∗ y) = f (x) • f (y
∀x, y ∈ G,
Group homomorphism
נכין מילון קצר לסוגים שונים של הומומורפיזמים:
.1הומומורפיזם שהוא חח”ע נקרא מונומורפיזם או שיכון .נאמר כי Gמשוכנת בH-
אם קיים שיכון .f : G ,→ H
Monomorphism
.2הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם .נאמר כי Hהיא תמונה אפימורפית
של Gאם קיים אפימורפיזם .f : G ↠ H
Epimorphism
.3הומומורפיזם שהוא חח”ע ועל נקרא איזומורפיזם .נאמר כי Gו H-איזומורפיות
∼ .G
אם קיים איזומורפיזם .f : G → Hנסמן זאת = H
.4איזומורפיזם f : G → Gנקרא אוטומורפיזם של .G
.5בכיתה נקצר את השמות של הומומורפיזם ,מונומורפיזם ,אפימורפיזם ,איזומורפיזם
ואוטומורפיזם להומ’ ,מונו’ ,אפי’ ,איזו’ ואוטו’ ,בהתאמה.
הערה .15.2העתקה f : G → Hהיא איזומורפיזם אם ורק אם קיימת העתקה g :
H → Gכך ש f ◦ g = idH -וגם .g ◦ f = idG
אפשר להוכיח )נסו!( שההעתקה gהזו היא הומומורפיזם בעצמה .כלומר כדי
להוכיח שהומומורפיזם fהוא איזומורפיזם מספיק למצוא העתקה הפוכה .g = f −1
אפשר גם לראות שאיזומורפיזם הוא יחס שקילות.
תרגיל .15.3הנה רשימה של כמה העתקות בין חבורות .קבעו האם הן הומומורפיזמים,
ואם כן מהו סוגן:
φ : R → R∗ .1המוגדרת לפי x 7→ exהיא מונומורפיזם .מה היה קורה אם היינו
מחליפים למרוכבים?
.2יהי Fשדה .אז ∗ det : GLn (F ) → Fהיא אפימורפיזם .הרי
)det(AB) = det(A) det(B
וכדי להוכיח שההעתקה על אפשר להסתכל על מטריצה אלכסונית עם ערכים
) (x, 1, . . . , 1באלכסון.
φ : R → R∗ .3המוגדרת לפי x 7→ xאינה הומומורפיזם כלל.
φ : Z2 → Ω2 .4המוגדרת לפי 1 7→ −1 ,0 7→ 1היא איזומורפיזם .הראתם
בתרגיל בית שכל החבורות מסדר 2הן למעשה איזומורפיות.
33
Epimorphic
image
Isomorphism
Isomorphic
groups
Automorphism
העובדה שהעתקה f : G → Hהיא הומומורפיזם גוררת כמה תכונות מאוד נוחות:
.f (eG ) = eH .1
f (g n ) = f (g)n .2לכל .n ∈ Z
,f (g −1 ) = f (g)−1 .3כמקרה פרטי של הסעיף הקודם.
.4הגרעין של ,fכלומר } ,ker f = {g ∈ G : f (g) = eHהוא תת־חבורה נורמלית
של ) Gבהמשך נסביר מה זה ”תת־חבורה נורמלית”(.
Kernel
.5התמונה של ,fכלומר } ,im f = {f (g) : g ∈ Gהיא תת־חבורה של .H
Image
∼ ,Gאז |.|G| = |H
.6אם = H
דוגמה .15.4התכונות האלו של הומומורפיזמים מזכירות ,ולא במקרה ,מה שלומדים
באלגברה לינארית .יהיו V, Wמרחבים וקטוריים מעל שדה .Fהעתקה לינארית
T : V → Wהיא )גם( הומומורפיזם של חבורות .נניח ,dim V = dim Wהאם
בהכרח Tאיזומורפיזם?
הערה .15.5ידוע שהעתקה לינארית נקבעת באופן יחיד על ידי תמונה של בסיס .באופן
דומה ,אם ⟩ ,G = ⟨Sאז תמונת הומומורפיזם f : G → Hנוצרת על ידי ).f (S
שימו לב שלא כל קביעה של תמונה של קבוצת יוצרים )אפילו של יוצר אחד( תגדיר
הומומורפיזם .למשל φ : Zn → Zהמוגדרת לפי φ([1]) = 1אינה מגדירה הומומורפיזם
ואינה מוגדרת היטב .מצד אחד
?
φ([n]) = φ([1] + · · · + [1]) = φ([1]) + · · · + φ([1]) = n
ומצד שני .φ([n]) = 0באופן כללי ,יש לבדוק שכל היחסים שמתקיימים בין היוצרים,
מתקיימים גם על תמונות היוצרים ,כדי שיוגדר הומומורפיזם.
תרגיל .15.6יהי f : G → Hהומומורפיזם .הוכיחו כי לכל g ∈ Gמסדר סופי מתקיים
).o(f (g))|o(g
הוכחה .נסמן ) .n = o(gלפי הגדרה .g n = eGנפעיל את fעל המשוואה ונקבל
) f (g n ) = f (g)n = eH = f (eG
ולכן .o(f (g))|n
תרגיל .15.7האם כל שתי חבורות מסדר 4הן איזומורפיות?
פתרון .לא! נבחר G = Z2 × Z2ואת .H = Z4נשים לב כי ב H-יש איבר מסדר .4
אילו היה איזומורפיזם ,f : G → Hאז הסדר של איבר מסדר ,4כמו ,1 ∈ Hהיה
מחלק את הסדר של המקור .בחבורה Gכל האיברים מסדר 1או ,2לכן הדבר לא
יתכן ,ולכן החבורות לא איזומורפיות.
בנוסף ,איזומורפיזם שומר על סדר האיברים ,ולכן בחבורות איזומורפיות הרשימות
של סדרי האיברים בחבורות ,הן שוות.
34
טענה ) 15.8לבית( .יהי f : G → Hהומומורפיזם .הוכיחו שאם Gאבלית ,אז im f
∼ ,Gאז Gאבלית אם ורק אם Hאבלית.
אבלית .הסיקו שאם = H
תרגיל .15.9יהי f : G → Hהומומורפיזם .הוכיחו שאם Gציקלית ,אז im fציקלית.
הוכחה .נניח ⟩ .G = ⟨aנטען כי ⟩) .im f = ⟨f (aיהי x ∈ im fאיבר כלשהו .לכן יש
איבר g ∈ Gכך ש) f (g) = x-כי im fהיא תמונה אפימורפית של .(Gמפני שG-
ציקלית קיים k ∈ Zכך ש .g = ak -לכן
x = f (g) = f (ak ) = f (a)k
וקיבלנו כי ⟩) ,x ∈ ⟨f (aכלומר כל איבר בתמונה הוא חזקה של ) .f (aהסיקו שכל
החבורות הציקליות מסדר מסוים הן איזומורפיות.
תרגיל .15.10האם קיים איזומורפיזם ?f : S3 → Z6
פתרון .לא ,כי S3לא אבלית ואילו Z6כן.
תרגיל .15.11האם קיים איזומורפיזם )?f : (Q+ , ·) → (Q, +
פתרון .לא .נניח בשלילה כי fהוא אכן איזומורפיזם .לכן ) .f (a2 ) = f (a) + f (aנסמן
) ,c = f (3ונשים לב כי .c = 2c + 2cמפני ש f -היא על ,אז יש מקור ל 2c -ונסמן אותו
.f (x) = 2c
קיבלנו אפוא את המשוואה
)f (x2 ) = f (x) + f (x) = c = f (3
√
∈. 3
ומפני ש f -היא חח”ע ,קיבלנו .x2 = 3אך זו סתירה כי / Q
תרגיל .15.12האם קיים אפימורפיזם f : H → Z3 × Z3כאשר ∗?H = ⟨5⟩ ≤ R
פתרון .לא .נניח בשלילה שקיים fכזה .מפני ש H-היא ציקלית ,אז גם im fהיא
ציקלית .אבל fהיא על ,ולכן נקבל כי .im f = Z3 × Z3אך זו סתירה כי החבורה
Z3 × Z3אינה ציקלית.
תרגיל .15.13האם קיים מונומורפיזם ?f : GL2 (Q) → Q10
פתרון .לא .נניח בשלילה שקיים fכזה .נתבונן בצמצום ,f : GL2 (Q) → im fשהוא
איזומורפיזם )להדגיש כי זהו אפימורפיזם ומפני ש f -חח”ע ,אז fהיא איזומורפיזם(.
ידוע לנו כי ,im f ≤ Q10ולכן im fאבלית .כלומר גם ) GL2 (Qאבלית ,שזו סתירה.
מסקנה .יתכנו ארבע הפרכות ברצף.
תרגיל .15.14מתי ההעתקה i : G → Gהמוגדרת לפי i(g) = g −1היא אוטומורפיזם?
35
פתרון .ברור שההעתקה הזו מחבורה לעצמה היא חח”ע ועל .כעת נשאר לבדוק שהיא
שומרת על הפעולה )כלומר הומומורפיזם( .יהיו g, h ∈ Gונשים לב כי
)i(gh) = (gh)−1 = h−1 g −1 = i(h)i(g) = i(hg
וזה יתקיים אם ורק אם .gh = hgכלומר iהיא אוטומורפיזם אם ורק אם Gאבלית.
כהערת אגב ,השם של ההעתקה נבחר כדי לסמן .inversion
תרגיל ) 15.15משפט קיילי( .תהי Gחבורה .הוכיחו שקיים מונומורפיזם .G ,→ SG
תזכורת :האוסף SXשל הפונקציות ההפיכות ב X X -יחד עם פעולת ההרכבה נקרא
חבורת הסימטריה על .X
Cayley’s
theorem
הוכחה .לכל g ∈ Gמוגדרת פונקציה חח”ע ועל lg ∈ SGלפי כפל משמאל .lg (a) = ga
נגדיר פונקציה Φ : G ,→ SGלפי .Φ(g) = lgתחילה נראה ש Φ-הומומורפיזם .כלומר
צריך להוכיח שלכל g, h ∈ Gמתקיים
lg ◦ lh = lgh
הפונקציות שוות אם ורק אם לכל a ∈ Gהן יסכימו על תמונת :a
)(lg ◦ lh ) (a) = lg (lh (a)) = lg (ha) = gha = lgh (a
ולכן Φהומומורפיזם .כדי להראות שהוא חח”ע ,נניח .lg = lhאז מתקיים
g = g · eG = lg (eG ) = lh (eG ) = h · eG = h
לכן ,g = hולכן Gמשוכנת ב.SG -
מסקנה .15.16כל חבורה סופית Gמסדר nאיזומורפית לתת־חבורה של .Sn
מסקנה .15.17יהי Fשדה .כל חבורה סופית Gמסדר nאיזומורפית לתת־חבורה של
) .GLn (F
רמז להוכחה :הראו ש Sn -איזומורפית לתת־חבורה של ) .GLn (F
אתגר :מצאו מונומורפיזם ) .G ,→ GLn−1 (Fקודם נסו לשכן את Snב.GLn−1 (F )-
∼ ,G
תרגיל ) 15.18רשות( .תהי Gחבורה מסדר .6הוכיחו שאם Gאבלית ,אז = Z6
∼ .G
ושאם Gלא אבלית ,אז = S3
16
תת־חבורות נורמליות
הגדרה .16.1תת־חבורה H ≤ Gנקראת תת־חבורה נורמלית אם לכל g ∈ Gמתקיים
.gH = Hgבמקרה זה נסמן .H ◁ G
משפט .16.2תהי תת־חבורה .H ≤ Gהתנאים הבאים שקולים:
36
Normal
subgroup
.H ◁ G .1
.2לכל g ∈ Gמתקיים .g −1 Hg = H
.3לכל g ∈ Gמתקיים .g −1 Hg ⊆ H
H .4היא גרעין של הומומורפיזם )שהתחום שלו הוא .(G
הוכחה חלקית .קל לראות כי סעיף 1שקול לסעיף .2ברור כי סעיף 2גורר את סעיף ,3
ובכיוון השני נשים לב כי אם g −1 Hg ⊆ Hוגם gHg −1 ⊆ Hנקבל כי
H = gg −1 Hgg −1 ⊆ g −1 Hg ⊆ H
קל להוכיח שסעיף 4גורר את האחרים ,ובכיוון השני יש צורך בהגדרת חבורות מנה.
דוגמה .16.3אם Gחבורה אבלית ,אז כל תת־החבורות שלה הן נורמליות .הרי אם
,h ∈ H ≤ Gאז .g −1 hg = h ∈ Hההפך לא נכון .ברמת האיברים נורמליות לא
שקולה לכך ש!gh = hg-
דוגמה .16.4מתקיים ) .SLn (F ) ◁ GLn (Fאפשר לראות זאת לפי הצמדה .יהי
) ,A ∈ SLn (Fאז לכל ) g ∈ GLn (Fמתקיים
det(g −1 Ag) = det(g −1 ) det(A) det(g) = det(g)−1 · 1 · det(g) = 1
ולכן ) .g −1 Ag ∈ SLn (F
דרך אחרת להוכחה היא לשים לב כי ) SLn (Fהיא הגרעין של ההומומורפיזם
∗ .det : GLn (F ) → Fאתגר :הסיקו מדוגמה זו כי .An ◁ Sn
דוגמה .16.5עבור ,n ≥ 3תת־החבורה ⟨τ ⟩ ≤ Dnאינה נורמלית כי .σ ⟨τ ⟩ ̸= ⟨τ ⟩ σ
טענה .16.6תהי H ≤ Gתת־חבורה מאינדקס .2אזי .H ◁ G
הוכחה .אנו יודעים כי יש רק שתי מחלקות שמאליות של Hבתוך ,Gורק שתי מחלקות
∈ ,aאז המחלקה השמאלית האחרת
ימניות .אחת מן המחלקות היא .Hאם איבר / H
היא ,aHוהמחלקה הימנית האחרת היא .Haמכיוון ש G-היא איחוד של המחלקות
נקבל
H ∪ aH = G = H ∪ Ha
ומפני שהאיחוד בכל אגף הוא זר נקבל .aH = Ha
מסקנה .16.7מתקיים ⟨σ⟩ ◁ Dnכי לפי משפט לגראנז’ = 2
2n
n
= ]⟩.[Dn : ⟨σ
הערה .16.8אם K ≤ H ≤ Gוגם ,K ◁ Gאז בוודאי .K ◁ Hההפך לא נכון .אם
K ◁ Hוגם ,H ◁ Gאז לא בהכרח !K ◁ Gלמשל ⟨τ ⟩ ◁ ⟨τ, σ 2 ⟩ ◁ D4לפי הטענה
הקודמת ,אבל ראינו כי ⟩ ⟨τלא נורמלית ב.D4 -
37
תרגיל .16.9תהי Gחבורה .יהיו H, N ≤ Gתת־חבורות .נגדיר מכפלה של תת־חבורות
להיות
} HN = {hn | h ∈ H, n ∈ N
הוכיחו כי אם ,N ◁ Gאז .HN ≤ Gאם בנוסף ,H ◁ Gאז .HN ◁ G
פתרון .חבורה היא סגורה להופכי ,כלומר ,H −1 = Hוסגורה למכפלה ולכן .HH = H
מפני ש N ◁ G-נקבל כי לכל h ∈ Hמתקיים ,hN = N hולכן .HN = N Hשימו
לב שזה לא אומר שבהכרח !nh = hnאלא שקיימים n′ ∈ Nוגם h′ ∈ Hכך
ש.nh = h′ n′ -
נשים לב כי ∅ ≠ HNכי .e = e · e ∈ HNנוסיף הסבר )מיותר( עם האיברים של
תת־החבורות בשורה השנייה ,שבו נניח hi ∈ Hוגם .ni ∈ Nנבדוק סגירות למכפלה
של :HN
HN HN = HHN N = HN
h1 n1 h2 n2 = h1 h′2 n′1 n2 = h3 n3
וסגירות להופכי
(HN )−1 = N −1 H −1 = N H = HN
−1
′ ′
(h1 n1 )−1 = n−1
1 h1 = n 2 h2 = h2 n 2
ולכן .HN ≤ G
אם בנוסף ,H ◁ Gאז לכל g ∈ Gמתקיים g −1 Hg = Hולכן
(
()
)
g −1 HN g = g −1 Hgg −1 N g = g −1 Hg g −1 N g = HN
ולכן .HN ◁ Gמה קורה אם לא Nולא Hנורמליות ב?G-
המ ְר ָכּז של חבורה Gלהיות
דוגמה .16.10הגדרנו בתרגיל בית את ֶ
Center
}Z(G) = {g ∈ G | ∀h ∈ G, gh = hg
דהיינו זהו האוסף של כל האיברים ב G-שמתחלפים עם כל איברי .Gשימו לב שתמיד
Z(G) ◁ Gוכי ) Z(Gאבלית .האם תת־חבורה נורמלית היא בהכרח אבלית? כבר
ראינו שלא ,למשל עבור ).SL2 (R) ◁ GL2 (R
17
חבורות מנה
נתבונן באוסף המחלקות השמאליות } G/H = {gH | g ∈ Gשל תת־חבורה .H ≤ G
אם )ורק אם( ,H ◁ Gאפשר להגדיר על אוסף זה את הפעולה הבאה כך שתתקבל
חבורה:
(aH) (bH) = aHHb = aHb = abH
כאשר בשיוויונות בצדדים השתמשנו בנורמליות .פעולה זו מוגדרת היטב )ודאו!( ,ואיבר
היחידה בחבורה זו הוא .eH = Hהחבורה G/Hנקראת חבורת המנה של Gביחס
ל ,H-ולעיתים נקרא זאת ” Gמודולו .”Hמקובל גם הסימון .G/H
38
Quotient
group, or
factor group
דוגמה Z .17.1היא חבורה ציקלית ,ובפרט אבלית .ברור כי .nZ ◁ Zנשים לב כי
}= {a + nZ | a ∈ Z} = {nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, . . . , (n − 1) + nZ
Z/nZ
כלומר האיברים בחבורה זו הם מן הצורה k + nZכאשר .0 ≤ k ≤ n − 1הפעולה
היא
(a + nZ) + (b + nZ) = (a + b) (mod n) + nZ
∼ Z/nZלפי ההעתקה ) .k + nZ 7→ k (mod nשימו לב כי Z/nZ
אפשר לראות כי = Zn
אינה תת־חבורה של ,Zלמשל כי האיברים שונים )או כי אין ב Z-איברים מסדר סופי,
פרט לאיבר היחידה(.
דוגמה .17.2לכל חבורה Gיש שתי תת־חבורות טריוויאליות } {eו ,G-ושתיהן נורמליות.
∼ .G/Gדרך אחרת לראות זאת היא לפי ההומומורפיזם
ברור כי ,[G : G] = 1ולכן }= {e
הטריוויאלי f : G → Gהמוגדר לפי .g 7→ eברור כי .ker f = G
מה לגבי } ?G/{eהאיברים הם מן הצורה } .g {e} = {gהעתקת הזהות id : G → G
היא איזומורפיזם ,שהגרעין שלו הוא } .{eאפשר גם לבנות איזומורפיזם f : G/{e} → G
לפי .g {e} 7→ gודאו שאתם מבינים למה זה אכן איזומורפיזם.
דוגמה .17.3תהי ׂ ,G = R × Rונתבונן ב .H = R × {0} ◁ G-האיברים בחבורת
המנה הם
}}G/H = {(a, b) + H | (a, b) ∈ G} = {R × {b
b∈R
כלומר אלו הם הישרים המקבילים לציר ה.x-
הערה .17.4עבור חבורה סופית Gותת־חבורה H ◁ Gמתקיים כי
||G
||H
= ]|G/H | = [G : H
תרגיל .17.5תהי Gחבורה )לאו דווקא סופית( ,ותהי H ◁ Gכך ש.[G : H] = n < ∞-
הוכיחו כי לכל a ∈ Gמתקיים כי .an ∈ H
פתרון .נזכיר כי אחת מן המסקנות מלגראנז’ היא שבחבורה סופית Kמתקיים לכל
k ∈ Kכי .k |K| = eיהי ,a ∈ Gאזי .aH ∈ G/Hידוע לנו כי .|G/H| = nולכן
an H = (aH)n = eG/H = H
כלומר קיבלנו .an ∈ H
תרגיל .17.6תהי H ≤ Gתת־חבורה מאינדקס .2הוכיחו כי G/Hהיא חבורה ואבלית.
פתרון .ראינו כבר שאם ,[G : H] = 2אז .H ◁ Gכמו כן .|G/H | = [G : H] = 2
החבורה היחידה מסדר ) 2שהוא ראשוני( ,עד כדי איזומורפיזם ,היא Z2שהיא אבלית.
לכן G/Hהיא חבורה אבלית.
39
תרגיל .17.7תהי Gחבורה ,ויהי Tאוסף האיברים מסדר סופי ב .G-בתרגיל בית
הראתם שאם Gאבלית ,אז .T ≤ Gהוכיחו:
.1אם ) T ≤ Gלמשל אם Gאבלית( ,אז .T ◁ G
.2בנוסף ,בחבורת המנה G/Tאיבר היחידה הוא היחיד מסדר סופי.
פתרון .נתחיל עם הסעיף הראשון .יהי ,a ∈ Tונניח .o(a) = nלכל g ∈ Gמתקיים כי
( −1 )n
g ag = g −1 agg −1 ag . . . g −1 ag = g −1 an g = e
ולכן .g −1 T g ⊆ Tכלומר .T ◁ G
עבור הסעיף השני ,נניח בשלילה כי קיים איבר eG/T ̸= xT ∈ G/Tמסדר סופי
∈ .xמתקיים ,(xT )n = Tונקבל
.o(xT ) = nאיבר היחידה הוא ,eG/T = Tולכן / T
כי .xn ∈ Tאם xnמסדר סופי ,אז קיים mכך ש .(xn )m = e-לכן ,xnm = eוקיבלנו
כי x ∈ Tשזו סתירה.
חבורה סופית ,אז ,T = Gוכבר ראינו ,G ◁ Gואז
G
אם
:T
דוגמאות ל≤ G-
∪
∼ .G/Tאם ∗ ,G = Cאז .T = Ω∞ = n Ωnכלומר כל מספר מרוכב לא אפסי
}= {e
עם ערך מוחלט השונה מ 1-הוא מסדר אינסופי.
18
משפטי האיזומורפיזם של נתר
משפט ) 18.1משפט האיזומורפיזם הראשון( .יהי הומומורפיזם .f : G → Hאז
∼
= im f
G/ker f
∼ .G/ker φ
בפרט ,יהי אפימורפיזם .φ : G → Hאז = H
תרגיל .18.2תהי ,G = R × Rותהי } .H = {(x, y) ∈ R × R | y = 3xהוכיחו כי
∼ .G/H
=R
הוכחה .ראשית ,נשים לב למשמעות הגיאומטרית H :היא ישר עם שיפוע 3במישור.
נגדיר f : R × R → Rלפי ) .f (x, y) = 3x( − yודאו שזהו הומומורפיזם.
fאפימורפיזם ,כי .f x3 , 0 = xכמו כן,
ker f = {(x, y) ∈ R × R | f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ R × R | 3x − y = 0} = H
לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ,נקבל את הדרוש.
∼ .R/Z
תרגיל .18.3נסמן } .T = {z ∈ C | |z| = 1זו חבורה כפלית .הוכיחו כי = T
40
First
isomorphism
theorem
הוכחה .נגדיר f : R → Tלפי .f (x) = e2πixזהו הומומורפיזם ,כי
)f (x + y) = e2πi(x+y) = e2πix+2πiy = e2πix · e2πiy = f (x) f (y
fהיא גם אפימורפיזם ,כי כל z ∈ Tניתן לכתוב כ e2πix -עבור x ∈ Rכלשהו .נחשב
את הגרעין:
2πix
{
}
ker f = x ∈ R e
=1 =Z
לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ,נקבל
∼
=T
R/Z
תרגיל .18.4יהי הומומורפיזם .f : Z14 → D10מה יכול להיות ?ker f
פתרון .נסמן .K = ker fמכיוון ש ,K ◁ Z14 -אז .|K| | |Z14 | = 14לכן ∈ ||K
} .{1, 2, 7, 14נבדוק עבור כל מקרה.
∼
Z
אם ,|K| = 1אז fהוא חח”ע וממשפט האיזומורפיזם הראשון נקבל . 14/K = im f
∼ .Z14ידוע לנו כי im f ≤ D10ולכן .|im f | | |D10 | = 20אבל 14אינו
לכן = im f
מחלק את ,20ולכן .|K| ̸= 1
אם ,|K| = 2אז בדומה לחישוב הקודם נקבל
| |Z14
=7
||K
= | |im f | = |Z14/K
ושוב מפני ש 7-אינו מחלק את 20נסיק כי .|K| ̸= 2
אם ,|K| = 7נראה כי קיים הומומורפיזם כזה .ניקח תת־חבורה } H = {id, τ
)כל תת־חבורה מסדר 2תתאים( של ,D10ונבנה אפימורפיזם .Z14 → H ≤ D10
המספרים האי זוגיים ישלחו ל ,τ -והזוגיים לאיבר היחידה .כמו כן ,כיוון שהגרעין הוא
∼ .K
מסדר ראשוני ,אז = Z7
אם ,|K| = 14אז נקבל .K = Z14תוצאה זאת מתקבלת עבור ההומומורפיזם
הטריוויאלי.
תרגיל .18.5תהיינה G1ו G2 -חבורות סופיות כך ש .(|G1 | , |G2 |) = 1-מצאו את כל
ההומומורפיזמים .f : G1 → G2
פתרון .נניח כי f : G1 → G2הומומורפיזם .לפי משפט האיזומורפיזם הראשון,
| |G1
∼
| = |G1/ker f | = |im f | ⇒ |im f | | |G1
⇒ = im f
| |ker f
G1/ker f
כמו כן ,im f ≤ G2 ,ולכן ,לפי משפט לגראנז’ .|im f | | |G2 | ,אבל ,(|G1 | , |G2 |) = 1
ולכן - |im f | = 1כלומר fהיא ההומומורפיזם הטריוויאלי.
41
תרגיל ) 18.6אם יש זמן( .מצאו את כל התמונות האפימורפיות של ) D4עד כדי
איזומורפיזם(.
פתרון .לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ,כל תמונה אפימורפית של D4איזומורפית
למנה ,D4/Hעבור .H ◁ D4לכן מספיק לדעת מיהן כל תת־החבורות הנורמליות של
.D4
קודם כל ,יש לנו את תת־החבורות הטריוויאליות ;{id} , D4 ◁ D4לכן ,קיבלנו את
∼ .D4/D4
∼ } D4/{idו= {id}-
התמונות האפימורפיות = D4
2
כעת ,אנו יודעים כי .Z (D4 ) = ⟨σ 2 ⟩ ◁ D4ננסה להבין מיהי ⟩ .D4/⟨σרעיון
לניחוש :אנחנו יודעים ,לפי לגראנז’ ,כי זו חבורה מסדר .4כמו כן ,אפשר לבדוק שכל
איבר ⟩ x ∈ D4/⟨σ2מקיים .x2 = eלכן ננחש שזו ) Z2 × Z2ובהמשך נדע להגיד זאת
בלי למצוא איזומורפיזם ממש( .נגדיר f : D4 → Z2 × Z2לפי ) .f (τ i σ j ) = (i, jקל
לבדוק שזהו אפימורפיזם עם גרעין ⟩ ,⟨σ 2ולכן ,לפי משפט האיזומורפיזם הראשון,
∼
= Z2 × Z2
⟩ D4/⟨σ 2
נשים לב כי ,⟨σ⟩ ◁ D4כי זו תת־חבורה מאינדקס .2אנחנו גם יודעים שכל
החבורות מסדר 2איזומורפיות זו לזו ,ולכן
∼
= Z2
⟩D4/⟨σ
גם ⟨σ 2 , τ ⟩ , ⟨σ 2 , τ σ⟩ ◁ D4מאותו נימוק ,וכן
∼
∼ ⟩= D4/⟨σ2 ,τ σ
= Z2
⟩ D4/⟨σ 2 ,τ
צריך לבדוק האם יש עוד תת־חבורות נורמליות .נזכור שבתרגיל הבית מצאתם
את כל תת־החבורות של .D4לפי הרשימה שהכנתם ,קל לראות שכתבנו את כל
תת־החבורות מסדר ,4ואת ⟩ .⟨σ 2תת־החבורות היחידות שעוד לא הזכרנו הן מהצורה
} .⟨τ σ i ⟩ = {id, τ σ iכדי שהיא תהיה נורמלית ,צריך להתקיים
) (
H ∋ τ τ σ i τ −1 = σ i τ = τ σ 4−i
לכן בהכרח .i = 2אבל אז
(
)
∈ σ τ σ 2 σ −1 = (στ ) σ = τ σ −1 σ = τ
/H
ולכן .H ̸◁ D4מכאן שכתבנו את כל תת־החבורות הנורמליות של ,D4ולכן כל
התמונות האפימורפיות של D4הן Z2 ,Z2 × Z2 ,D4ו.{id}-
תרגיל .18.7תהי Gחבורה .הוכיחו :אם ) G/Z(Gהיא ציקלית ,אזי Gאבלית.
הוכחה G/Z(G) .ציקלית ,ולכן קיים a ∈ Gשעבורו ⟩) .G/Z(G) = ⟨aZ (Gכמו כן ,אנחנו
יודעים כי
∪
=G
)gZ (G
g∈G
42
)כי כל חבורה היא איחוד המחלקות של תת־חבורה( .כעת ,gZ (G) ∈ G/Z(G) ,ולכן
קיים iשעבורו
i
i
)gZ (G) = (aZ (G)) = a Z (G
)לפי הציקליות( .אם כן ,מתקיים
)ai Z (G
∪
=G
i∈Z
כעת נראה ש G-אבלית .יהיו .g, h ∈ Gלכן קיימים i, j ∈ Zשעבורם
)g ∈ ai Z (G) , h ∈ aj Z (G
כלומר קיימים ) g ′ , h′ ∈ Z (Gשעבורם g = ai g ′ו .h = aj h′ -לכן,
gh = ai g ′ aj h′ = ai aj g ′ h′ = aj ai h′ g ′ = aj h′ ai g ′ = hg
הוכחנו שלכל g, h ∈ Gמתקיים ,gh = hgולכן Gאבלית.
מסקנה .18.8אם Gאבלית ,אז מתקיים ,Z (G) = Gומכאן ש .G/Z(G) = {e}-כלומר,
אם ) G/Z(Gציקלית ,אזי היא טריוויאלית.
הגדרה .18.9תהי Gחבורה ,ויהי .a ∈ Gהאוטומורפיזם γa : G → Gהמוגדר לפי
γa (g) = aga−1נקרא אוטומורפיזם פנימי .נסמן
}Inn (G) = {γa | a ∈ G
החבורה הזו נקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של .G
תרגיל .18.10הוכיחו כי ,γa ◦ γb = γabוכי .γa−1 = γa−1הסיקו כי ) Inn (Gהיא חבורה
עם פעולת ההרכבה.
הוכחה .לכל g ∈ Gמתקיים
(
)
)(γa ◦ γb ) (g) = γa (γb (g)) = a bgb−1 a−1 = (ab) g (ab)−1 = γab (g
לכן הוכחנו את החלק הראשון .נשים לב כי ,γe = idGולכן
γa ◦ γa−1 = γaa−1 = γe = idG
⇒ γa−1 = γa−1
γa−1 ◦ γa = γa−1 a = γe = idG
תרגיל .18.11הוכיחו כי לכל חבורה ,G
∼
)= Inn (G
43
)G/Z(G
{
Inner automorphism
Inner automorphism
group
הוכחה .נגדיר ) f : G → Inn (Gלפי .f (g) = γgזהו הומומורפיזם ,לפי התרגיל
שהוכחנו .מובן שהוא על )לפי הגדרת ) .(Inn (Gנחשב את הגרעין:
}ker f = {g ∈ G | γg = idG } = {g ∈ G | ∀h ∈ G : γg (h) = h
{
}
)= g ∈ G ∀h ∈ G : ghg −1 = h = {g ∈ G | ∀h ∈ G : gh = hg} = Z (G
לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ,נקבל
∼
)= Inn (G
19
)G/Z(G
פעולת ההצמדה
הגדרה .19.1תהי Gחבורה .אומרים שאיברים gו h-צמודים ,אם קיים a ∈ Gשעבורו
.h = aga−1זה מגדיר יחס שקילות על ,Gשבו מחלקת השקילות של כל איבר נקראת
מחלקת הצמידות שלו.
דוגמה .19.2בחבורה אבלית ,Gאין שני איברים שונים הצמודים זה לזה; נניח כי gוh-
צמודים .לכן ,קיים a ∈ Gשעבורו
h = aga−1 = gaa−1 = g
באופן כללי ,אם Gחבורה כלשהי אזי ) g ∈ Z (Gאם ורק אם מחלקת הצמידות של g
היא }.{g
תרגיל .19.3תהי Gחבורה ,ויהי g ∈ Gמסדר סופי .nהוכיחו:
.1אם h ∈ Gצמוד ל ,g-אזי .o (h) = n
.2אם אין עוד איברים ב G-מסדר ,nאזי ).g ∈ Z (G
הוכחה.
g .1ו h-צמודים ,ולכן קיים a ∈ Gשעבורו .h = aga−1נשים לב כי
(
)n
hn = aga−1 = aga−1 aga−1 . . . aga−1 = ag n a−1 = aa−1 = e
|
{z
}
n times
זה מוכיח ש .o (h) ≤ n-מצד שני ,אם ,o (h) = mאזי
(
)m
g m = a−1 ha = a−1 hm a = e
ולכן .o (g) = n ≤ mבסך הכל.o (h) = m = n ,
44
Conjugates
Conjugacy
class
.2יהי .h ∈ Gלפי הסעיף הראשון .o (hgh−1 ) = n ,אבל נתון ש g-הוא האיבר
היחיד מסדר nב ,G-ולכן .hgh−1 = gנכפול ב h-מימין ,ונקבל ש.hg = gh-
הוכחנו שלכל h ∈ Gמתקיים ,hg = ghולכן ).g ∈ Z (G
הערה .19.4הכיוון ההפוך בכל סעיף אינו נכון .למשל ,אפשר לקחת את .Z4שם
,o (1) = o (3) = 4אבל הם לא צמודים; כמו כן ,שניהם במרכז ,ולכל אחד מהם יש
איבר אחר מאותו סדר.
דוגמה .19.5בחבורה ,D3האיבר σצמוד לאיבר
τ στ −1 = τ στ = σ 2
אין עוד איברים צמודים להם ,כי אין עוד איברים מסדר 3ב.D3 -
תרגיל .19.6תהי ,σ ∈ Snויהי מחזור .(a1 , a2 , . . . , ak ) ∈ Snהוכיחו כי
)) σ (a1 , a2 , . . . , ak ) σ −1 = (σ (a1 ) , σ (a2 ) , . . . , σ (ak
הוכחה .נראה שהתמורות האלו פועלות באותו אופן על } .{1, 2, . . . , nראשית ,נניח כי
) m = σ (aiעבור איזשהו .1 ≤ i ≤ kהתמורה באגף ימין תשלח את mל.σ (ai+1 )-
נסתכל מה קורה באגף שמאל:
(
)
(
(
))
)) σ (a1 , a2 , . . . , ak ) σ −1 (m) = σ (a1 , a2 , . . . , ak ) σ −1 (σ (ai
) = σ ((a1 , a2 , . . . , ak ) (ai )) = σ (ai+1
ולכן התמורות פועלות אותו דבר על ) .σ (a1 ) , . . . , σ (akכעת נניח כי mאינו מהצורה
) σ (aiלאף ;1 ≤ i ≤ kלכן התמורה באגף ימין תשלח אותו לעצמו .לגבי אגף שמאל:
נשים לב כי σ −1 (m) ̸= aiלכל ,iולכן
(
)
(
(
))
(
)
σ (a1 , a2 , . . . , ak ) σ −1 (m) = σ (a1 , a2 , . . . , ak ) σ −1 (m) = σ σ −1 (m) = m
מכאן ששתי התמורות הדרושות שוות.
תרגיל .19.7נתונות ב S6 -התמורות ) σ = (1, 3) (4, 5, 6) ,a = (1, 5, 3, 6וτ =-
) .(2, 4, 5חשבו את:
.σaσ −1 .1
.τ aτ −1 .2
פתרון .לפי הנוסחה מתרגיל ,19.6
)σaσ −1 = (3, 6, 1, 4
)τ aτ −1 = (1, 2, 3, 6
45
מסקנה ) 19.8לבית(.Sn = ⟨(1, 2) , (1, 2, . . . , n)⟩ .
הגדרה .19.9תהי σ ∈ Snתמורה .נפרק אותה למכפלה של מחזורים זרים = σ
.σ1 σ2 . . . σkנניח כי האורך של σiהוא ,riוכי .r1 ≥ r2 ≥ · · · ≥ rkנגדיר את מבנה
המחזורים של σלהיות ה-k-יה הסדורה ) .(r1 , r2 , . . . , rk
דוגמה .19.10מבנה המחזורים של ) (1, 2, 3) (5, 6הוא ) ;(3, 2מבנה המחזורים של
) (1, 5) (4, 2, 3גם הוא ) ;(3, 2מבנה המחזורים של ) (1, 2, 3, 4) (5, 6) (7, 8הוא ).(4, 2, 2
מסקנה .19.11שתי תמורות צמודות ב Sn -אם ורק אם יש להן אותו מבנה מחזורים .למשל,
התמורה ) (1, 2, 3) (5, 6צמודה ל (4, 2, 3) (1, 5)-ב ,S8 -אבל הן לא צמודות לתמורה
) (1, 2, 3, 4) (5, 6) (7, 8ב.S8 -
הוכחה) .אם יש זמן ,או רק לעבור על הרעיון(
)⇐( תהיינה σ, τ ∈ Snשתי תמורות צמודות ב .Sn -נכתוב .τ = πσπנניח כי
σ = σ1 σ2 . . . σkהפירוק של σלמכפלה של מחזורים זרים; לכן
(
()
( )
)
τ = πσπ −1 = πσ1 σ2 . . . σk π −1 = πσ1 π −1 πσ2 π −1 . . . πσk π −1
−1
לפי התרגיל הקודם ,כל תמורה מהצורה πσi π −1היא מחזור; כמו כן ,קל לבדוק כי כל
שני מחזורים שונים כאלו זרים זה לזה )כי σ1 , σ2 , . . . , σkזרים זה לזה( .לכן ,קיבלנו
פירוק של τלמכפלה של מחזורים זרים ,וכל אחד מהמחזורים האלו הוא מאותו האורך
של המחזורים ב .σ-מכאן נובע של σ-ול τ -אותו מבנה מחזורים.
)⇒( תהיינה σ, τ ∈ Snעם אותו מבנה מחזורים .נסמן ,σ = σ1 σ2 . . . σk
,τ = τ1 τ2 . . . τkכאשר ) σi = (ai,1 , ai,2 , . . . , ai,miו,τi = (bi,1 , bi,2 , . . . , bi,mi )-
σ1 , σ2 , . . . , σkהם מחזורים זרים וגם τ1 , . . . , τkהם מחזורים זרים .נגדיר תמורה
πכך ,π (ai,j ) = bi,j :וכל שאר האיברים נשלחים לעצמם .נשים לב כי
= )) πσi π −1 = π (ai,1 , ai,2 , . . . , ai,mi ) π −1 = (π (ai,1 ) , π (ai,2 ) , . . . , π (ai,mi
= (bi,1 , bi,2 , . . . , bi,mi ) = τi
ולכן
(
()
( )
)
πσπ −1 = πσ1 σ2 . . . σk π −1 = πσ1 π −1 πσ2 π −1 . . . πσk π −1 = τ1 τ2 . . . τk = τ
מכאן ש σ-ו τ -צמודות ב.Sn -
מסקנה .19.12הוכיחו כי } Z (Sn ) = {idלכל .n ≥ 3
הוכחה .תהי ) ,a ∈ Z (Snונניח בשלילה כי .a ̸= idתהי a ̸= b ∈ Snתמורה שונה
מ a-עם אותו מבנה מחזורים כמו של .aלפי התרגיל שפתרנו ,קיימת σ ∈ Snשעבורה
.σaσ −1 = bאבל ) ,a ∈ Z (Snולכן נקבל
b = σaσ −1 = aσσ −1 = a
בסתירה לבחירה של .bלכן בהכרח ,a = idכלומר }.Z (Sn ) = {id
46
Cycle type
הגדרה .19.13חלוקה של nהיא סדרה לא עולה של מספרים טבעיים ≥ · · · ≥ n1
nk > 0כך ש .n = n1 + · · · + nk -את מספר החלוקות של nמסמנים ).ρ (n
Partition
מסקנה .19.14מספר מחלקות הצמידות ב Sn -הוא ).ρ (n
תרגיל .19.15כמה מחלקות צמידות יש ב?S5 -
פתרון .ניעזר במסקנה האחרונה ,ונכתוב את 5כסכומים של מספרים טבעיים:
5=5
5=4+1
5=3+2
5=3+1+1
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
ולכן .ρ (5) = 7
תרגיל .19.16יהיו ,σ, τ ∈ Anונניח של σ-ול τ -אותו מבנה מחזורים .האם σוτ -
צמודות ב?An -
פתרון .לא! למשל ,ניקח .n = 3אנחנו יודעים כי A3היא חבורה מגודל ,3ולכן היא
ציקלית ,ובפרט אבלית .לפי הדוגמה שראינו בתחילת התרגול ,נקבל כי כל איבר בA3 -
צמוד רק לעצמו .בפרט (1, 2, 3) , (1, 3, 2) ∈ A3 ,אינם צמודים ב .A3 -אבל הם צמודים
ב ,S3 -כי יש להם אותו מבנה מחזורים.
המ ַר ֵכּז של
הגדרה ) 19.17מתרגילי הבית( .תהי Gחבורה .עבור איבר a ∈ Gנגדיר את ְ
aלהיות
}CG (a) = {g ∈ G | ga = ag
תרגיל .19.18מצאו את ) CS5 (σעבור ).σ = (1, 2, 5
פתרון .במילים אחרות ,צריך למצוא את התמורות המתחלפות עם .σתמורה τמתחלפת
עם σאם ורק אם τ σ = στאם ורק אם .τ στ −1 = σלכן ,צריך למצוא אילו תמורות
משאירות את σבמקום כשמצמידים בהן .יש שני סוגים של תמורות כאלו:
.1תמורות שזרות ל - σ-יש רק אחת כזו ,והיא ).(3, 4
.2תמורות שמזיזות את σבמעגל (1, 2, 5) ,id -ו.(1, 5, 2)-
כמובן ,כל מכפלה של תמורות המתחלפות עם σגם הוא מתחלף עם ,σולכן מקבלים
שהרשימה המלאה היא
}){id, (3, 4) , (1, 2, 5) , (1, 2, 5) (3, 4) , (1, 5, 2) , (1, 5, 2) (3, 4
47
Centralizer
20
אלגוריתם מילר-רבין לבדיקת ראשוניות
בפרק זה נציג אלגוריתם נפוץ לבדיקת ראשוניות של מספרים טבעיים .האלגוריתם
המקורי הוא דטרמיניסטי ופותח בשנת 1976על ידי מילר .בשנת 1980הוצגה גרסה
הסתברותית של האלגוריתם על ידי רבין .הגרסה ההסתברותית היא מהירה יחסית.
היא תזהה כל מספר ראשוני ,אבל בהסתברות נמוכה )התלויה במספר האיטרציות
באלגוריתם( היא תכריז גם על מספר פריק כראשוני.
בפועל ,תוכנות לבדיקת ראשוניות של מספרים גדולים כמעט תמיד משתמשות
בגרסאות של אלגוריתם מילר-רבין ,או באלגוריתם Baillie-Pomerance-Selfridge-
Wagstaffהמכליל אותו .למשל בספריית OpenSSLהאלגוריתם ממומש עם כמה
שיפורים למהירות ,בקובץ הזה.
אחד הרעיונות בבסיס האלגוריתם הוא שהמשפט הקטן של פרמה מבטיח שאם p
ראשוני ,אז ) ap−1 ≡ 1 (modpלכל .a < pמספר פריק Nשעבורו כל aהזר לN -
מקיים ) aN −1 ≡ 1 (modNנקרא מספר קרמייקל .קיימים אינסוף מספרי קרמייקל,
אבל הם יחסית ”נדירים” .אלגוריתם מילר-רבין מצליח לזהות גם מספרים כאלו.
נניח כי N > 2ראשוני .נציג N −1 = 2s ·Mכאשר Mאי זוגי .השורשים הריבועיים
של 1מודולו Nהם רק ) ±1שורשים של הפולינום x2 + 1בשדה הסופי .(FNאם
) ,aN −1 ≡ 1 (modNאז השורש הריבועי שלו a(N −1)/2הוא .±1כעת ,אם (N − 1)/2
זוגי ,נוכל להמשיך לקחת שורש ריבועי .אז בהכרח יתקיים ) aM ≡ 1 (modNאו
j
) a2 M ≡ −1 (modNעבור 0 ≤ j ≤ sכלשהו .עבור Nכללי ,אם אחד מן השיוויונות
האלו מתקיים נאמר שהמספר aהוא עד חזק לראשוניות של .Nעבור Nפריק ,אפשר
להוכיח שלכל היותר רבע מן המספרים עד N − 1הם עדים חזקים של .N
טענה ) 20.1אלגוריתם מילר-רבין( .הקלט הוא מספר טבעי ,N > 3ופרמטר kהקובע
את דיוק המבחן.
הפלט הוא ”פריק” אם Nבטוח פריק ,ואחרת ”כנראה ראשוני” )כלומר Nראשוני
או בהסתברות הנמוכה מבערך 4−kהוא פריק(.
לולאת עדים נחזור בלולאה kפעמים על הבדיקה הבאה :נבחר מספר אקראי ∈ a
] [2, N − 2ונחשב .x = aM
אם xשקול ל 1-או ל −1-מודולו ,Nאז aהוא עד חזק לראשוניות של ,Nונוכל
להמשיך לאיטרציה הבאה של בלולאת העדים מייד.
אחרת ,נחזור בלולאה s − 1פעמים על הבדיקה הבאה:
נחשב .x = x2
אם ) ,x ≡ 1 (modNנחזיר את הפלט ”פריק”.
אחרת ,אם ) ,x ≡ −1 (modNנעבור לאיטרציה הבאה של לולאת העדים.
אם לא יצאנו מהלולאה הפנימית ,אז נחזיר ”פריק” ,כי אז
לאף .0 ≤ j ≤ s
jM
a2לא שקול ל−1-
רק במקרה שעברנו את כל kהאיטרציות לעיל נחזיר ”כנראה ראשוני”.
48
Carmichael
number
Strong
witness
Miller-Rabin
primality test
תרגיל ) 20.2רשות( .כתבו בשפת אסמבלי פונקציה מהירה לחישוב מספר הפעמים שN -
מתחלק ב .2-כלומר מצאו כמה אפסים רצופים יש בסוף ההצגה הבינארית של Nכדי
למצוא את .s
אם נשתמש בשיטת של העלאה בחזקה בעזרת ריבועים וחשבון מודולורי רגיל ,אז
סיבוכיות הזמן של האלגוריתם היא ) .O(k log3 Nאפשר לשפר את סיבוכיות הזמן על
ידי שימוש באלגוריתמים מתוחכמים יותר .העובדה שניתן לבדוק את הראשוניות של N
בזמן ריצה שהוא פולינומי ב) log N -למשל אלגוריתם AKSאו הגרסה הדטרמיניסטית
של מילר-רבין( מראה שזו בעיה שונה מפירוק מספרים לגורמים ראשוניים.
לאלגוריתם מילר-רבין היא לבדוק
דטרמיניסטית
תחת הנחת רימן
[
המוכללת⌋,גרסה ⌊
]
האם כל מספר טבעי בקטע ) 2, min(N − 1, 2 ln2 Nהוא עד חזק לראשוניות של
.Nישנם אלגוריתמים יותר יעילים למשימה זאת .עבור Nקטן מספיק לבדוק בדרך
כלל מספר די קטן של עדים.
דוגמה .20.3נניח N = 221ו .k = 2-נציג את .N − 1 = 220 = 22 · 55כלומר s = 2
ו.M = 55-
נבחר באופן אקראי )לפי ויקיפדיה האנגלית( את ] .a = 174 ∈ [2, 219נחשב כי
) = 17455 ≡ 47 (mod N
0M
aM = a2
נשים לב כי 47אינו ±1מודולו .211לכן נבדוק
) (mod N
= 174110 ≡ 220
1M
a2
ואכן ) .220 ≡ −1 (mod221קיבלנו אפוא שאו ש 221-הוא ראשוני ,או ש 174-הוא
”עד שקרן” לראשוניות של .221ננסה כעת עם מספר אקראי אחר .a = 137נחשב
) = 13755 ≡ 188 (mod N
0M
= 137110 ≡ 205
1M
) (mod N
a2
a2
בשני המקרים לא קיבלנו −1מודולו ,221ולכן 137מעיד על הפריקות של .221לבסוף
האלגוריתם יחזיר ”פריק” ,ואכן 221 = 13 · 17
דוגמה .20.4נניח .N = 781נציג את .N − 1 = 780 = 22 · 195אם נבחר באקראי
)לפי ויקיפדיה העברית( את ,a = 5נקבל כי
) (mod N
5195 ≡ 1
כלומר 5הוא עד חזק לראשוניות של .781כעת אם נבחר את ,a = 17נקבל כי
) 17195 ≡ −1 (mod N
ולכן גם 17הוא עד חזק .אם נבדוק את a = 2נגלה כי ,2780 ≡ 243 ̸= ±1ולכן 781
אינו ראשוני .אגב .781 = 11 · 71
49
21
חבורות אבליות סופיות
טענה .21.1תהי Gחבורה אבלית מסדר ,p1 p2 . . . pkמכפלת ראשוניים שונים .אזי
∼G
= Zp1 × Zp2 × · · · × Zpk
∼ .G
למשל אם Gאבלית מסדר ,154אז = Z2 × Z7 × Z11
טענה .21.2תהי Gחבורה אבלית מסדר חזקה של ראשוני .pnאזי קיימים מספרים
∼G
טבעיים m1 , . . . , mkכך ש m1 + · · · + mk = n-ומתקיים × · · · × = Zpm1 × Zpm2
.Zpmk
למשל אם Gאבלית מסדר ,27 = 33אזי Gאיזומורפית לאחת מהחבורות הבאות:
Z3 × Z3 × Z3 , Z3 × Z9 , Z27
שקל לראות שהן לא איזומורפיות אחת לשניה )לפי סדרים של איברים למשל(.
הערה ) .21.3תזכורת מתרגול שעבר(:
נאמר כי סדרה לא עולה של מספרים טבעיים
יהי ∑ .n ∈ N
nאם . ri=1 si = nנסמן את מספר החלוקות של nב.ρ(n)-
(si )ri=1
היא חלוקה של
הגדרה .21.4למשל ,ρ(4) = 5כי .4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
טענה .21.5מספר החבורות האבליות ,עד כדי איזומורפיזם ,מסדר pnהוא ).ρ(n
סיכום .21.6כל חבורה אבלית מסדר pk11 . . . pknnאיזומורפית למכפלה של חבורות
אבליות A1 × . . . Anכאשר Aiהיא מסדר .pki iפירוק כזה נקרא פירוק פרימרי.
למשל ,אם Gחבורה אבלית כך ש ,|G| = 45 = 32 · 5-אז Gאיזומורפית לZ9 × Z5 -
או ל.Z3 × Z3 × Z5 -
Primary decomposition
טענה .21.7מספר החבורות האבליות ,עד כדי איזומורפיזם ,מסדר pk11 . . . pknnהוא
) .ρ(k1 ) . . . ρ(kn
3
2
למשל ,מספר החבורות האבליות מסדר 200 = 2 · 5הוא .ρ(3)ρ(2) = 3 · 2 = 6
האם אתם יכולים למצוא את כולן?
∼ .Z200 × Z20
תרגיל .21.8הוכיחו כי = Z100 × Z40
פתרון .אפשרות אחת היא להביא את החבורות להצגה בצורה קנונית ,ולראות שההצגות
הן זהות .אפשרות אחרת היא להעזר בטענה )שראיתם בהרצאה( שאם ,(n, m) = 1
∼ .Znmלכן
אז = Zn × Zm
∼ Z200 × Z20
∼ = Z25 × Z8 × Z5 × Z4
∼ = Z25 × Z4 × Z8 × Z5
= Z100 × Z40
הגדרה .21.9תהי Gחבורה .נגדיר את האקספוננט )או ,המעריך( של החבורה )exp(G
להיות המספר הטבעי הקטן ביותר nכך שלכל g ∈ Gמתקיים .g n = eאם לא קיים
כזה ,נאמר ∞ = ).exp(G
קל לראות שהאקספוננט של Gהוא הכפולה המשותפת המזערית ) (lcmשל סדרי
האיברים שלה.
50
Exponent of a
group
תרגיל .21.10תנו דוגמא לחבורה לא ציקלית Gעבורה |.exp(G) = |G
פתרון .נבחר את .G = S3אנחנו יודעים שיש בה איבר מסדר ) 1איבר היחידה(,
איברים מסדר ) 2החילופים( ואיברים מסדר ) 3מחזורים מאורך .(3לכן
| exp(S3 ) = [1, 2, 3] = 6 = |S3
אם יש זמן הראו כי ].exp(Sn ) = [1, 2, . . . , n
תרגיל .21.11הוכיחו שאם Gחבורה אבלית סופית כך ש ,exp(G) = |G|-אז Gציקלית.
פתרון .נניח וישנו פירוק | .exp(G) = pk11 . . . pknn = |Gאנחנו יכולים לפרק את G
לפירוק פרימרי ,A1 ×· · ·×Anכאשר .|Ai | = pki iאנחנו יודעים מהו הסדר של איברים
במכפלה ישרה )הכפולה המשותפת המזערית של הסדרים ברכיבים( ,ולכן הגורם pki i
באקספוננט מגיע רק מאיברים שבהם ברכיב Aiבפירוק הפרימרי יש איבר לא אפסי.
∼ ) Aiאחרת האקספוננט יהיה
האפשרות היחידה שזה יקרה היא אם ורק אם = Zpki
i
(
)
k
קטן יותר( .ברור כי pki i , pj j = 1עבור ,i ̸= jולכן נקבל כי
∼G
|= Z|G
∼ = Zpk1 × Zpk2 × · · · × Zpknn
2
1
ולכן Gהיא ציקלית.
תרגיל .21.12הוכח או הפרך :קיימות 5חבורות לא איזומורפיות מסדר .8
פתרון .נכון .על פי טענה שראינו ,מספר החבורות האבליות ,עד כדי איזומורפיזם ,מסדר
pnהוא ) ,ρ(nולכן לחבורה מסדר 23יש ρ(3) = 3חבורות אבליות .אלו הן
Z8 , Z4 × Z2 , Z2 × Z2 × Z2
קיימות עוד שתי חבורות מסדר ,8שהן לא אבליות D4 :וחבורת הקווטרניונים.
הערה ) 21.13על חבורת הקווטרניונים( .המתמטיקאי האירי בן המאה ה ,19-וויליאם
המילטון ,הוא האחראי על גילוי חבורת הקווטרניונים .רגע התגלית נקרא לימים ”אקט
של וונדליזם מתמטי”.
בעודו מטייל עם אשתו ברחובות דבלין באירלנד ,הבריק במוחו מבנה החבורה,
ובתגובה נרגשת ,חרט את המשוואה i2 = j 2 = k 2 = ijk :על גשר ברום בדבלין.
המשוואה נמצאת שם עד היום.
בדומה לחבורה הדיהדרלית ,נוח לתאר את החבורה על ידי ארבעת היוצרים והיחסים
בינהם:
2
2
2
2
⟩Q8 = ⟨−1, i, j, k | (−1) = 1, i = j = k = ijk = −1
הדמיון למספרים המרוכבים אינו מקרי .בנסיון להכליל את שדה המרוכבים הדו
מימדי למרחב תלת מימדי ,הבין המילטון שיהיה עליו לעלות מימד נוסף -למרחב ארבע
מימדי .זה גם מקור השם )קווטרה פירושו ארבע בלטינית(.
קיים יצוג שקול וחסכוני יותר ,על ידי שני יוצרים בלבד
⟩ ⟨x, y | x2 = y 2 , y −1 xy = x−1
51
Quaternion
group
22
משוואת המחלקה
לפני שנציג את משוואת המחלקה נזכיר שלושה מושגים.
הגדרה .22.1המרכז של חבורה Gהוא הקבוצה
Center
}Z (G) = {x ∈ G | xy = yx, ∀y ∈ G
וכמו כן ,ראינו ש Z (G)-תת־חבורה נורמלית של .G
המ ַר ֵכּז של xהוא הקבוצה
הגדרה .22.2תהי Gחבורה .לכל ְ ,x ∈ G
Centralizer
}CG (x) = {y ∈ G | xy = yx
וכמו כן ,ראינו ש CG (x)-תת־חבורה של .G
הגדרה .22.3תהי Gחבורה .יהי .x ∈ Gנגדיר את מחלקת הצמידות של xלהיות
הקבוצה
{
}
−1
conj (x) = gxg
g∈G
Conjugacy
class
הערה .22.4לכל x ∈ Gמתקיים
|)[G : CG (x)] = |conj (x
תרגיל .22.5מצא את מספר התמורות ב Sn -המתחלפות עם ) ,β = (12) (34כלומר כל
התמורות γ ∈ Snהמקיימות .βγ = γβ
פתרון.
| |Sn
!n
= |)|CSn (β
!)= 1 (n)(n−2) = 8 (n − 4
|)|conj (β
2 2
2
למשל ,ב S4 -יש 8תמורות כאלו.
תרגיל .22.6תהי Gחבורה סופית כך ש .[G : Z (G)] = n-הראה כי מחלקת צמידות
ב G-מכילה לכל היותר nאיברים.
פתרון .לכל x ∈ Gמתקיים ) .Z (G) ≤ CG (xלכן
|)n = [G : Z (G)] ≥ [G : CG (x)] = |conj (x
משפט ) 22.7משוואת המחלקות( .תהי Gחבורה סופית .אזי
||G
|)|CG (x
∑
)x∈Z(G
/
rep.
|conj (x)| = |Z (G)| +
∑
x rep.
Class
equation
= ||G
הסבר לסכימה :סוכמים את גודל כל מחלקות הצמידות על ידי בחירת נציג מכל מחלקת
צמידות וחישוב גודל מחלקת הצמידות שהוא יוצר.
52
תרגיל .22.8רשום את משוואת המחלקות עבור S3ו.Z6 -
פתרון .נתחיל ממשוואת המחלקות של .Z6חבורת זו אבלית ולכן מחלקת הצמידות
של כל איבר כוללת איבר אחד בלבד .לכן משוואת המחלקות של Z6הינה = 6
.1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
כעת נציג את המשוואת המחלקות של :S3מחלקת צמידות ב Sn -מורכבת מכל
התמורות בעלות מבנה מחזורים זהה .כלומר נקבל .6 = 3 + 2 + 1פירוט החישוב:
• |conj (id)| = 1
• |conj (−−)| = 3
• |conj (− − −)| = 2
הגדרה .22.9יהי pראשוני .חבורה Gתקרא חבורת ,p-אם הסדר של כל איבר בה הוא
חזקה של .pהראו שאם Gסופית ,אז Gחבורת p-אם ורק אם |G| = pnעבור איזשהו
.n ∈ N
תרגיל .22.10הוכיחו שהמרכז של חבורת p-אינו טריוויאלי.
פתרון .תהי Gחבורת .p-על פי משוואת המחלקות מתקיים
∑ pn
∑
pn
n
= pn −
=
p
−
pn−ri
|) |CG (xi
pri
∑
|Z (G)| = pn −
נשים לב שאגף ימין של המשוואה מתחלק ב p-ולכן באגף שמאל pמחלק את הסדר
של ) .Z (Gמכאן נובע ש Z (G)-לא יכול להיות טריוויאלי.
תרגיל .22.11מיינו את החבורות מסדר p2על ידי זה שתראו שהן חייבות להיות אבליות.
פתרון .לפי התרגיל הקודם אנו יודעים שהמרכז לא טריוויאלי ,לכן לפי לגראנז’|Z (G)| ∈ :
} .{p, p2נזכר שחבורה אבלית פירושה בין היתר הוא ש ,Z (G) = G-כלומר שמרכז
החבורה מתלכד עם החבורה כולה .לכן עלינו להוכיח שבהכרח .|Z (G)| = p2
נניח בשלילה שלא .כלומר ש .|Z (G)| = p-כלומר תת־חבורה זו מסדר ראשוני וכן
ציקלית .לכן נציגה על ידי יוצר .|Z (G)| = ⟨a⟩ :נבחר ) .b ∈ G \ Z (Gכעת נתבונן
בתת־החבורה הנוצרת על ידי האיברים aו .b-ברור כי ,|⟨a, b⟩| > pולכן לפי לגראנז’,
.|⟨a, b⟩| = p2כלומר ⟩ ⟨a, bהיא כל .G
על מנת להראות שחבורה הנוצרת על ידי שני יוצרים אלו היא אבלית ,נראה
שהיוצרים שלה מתחלפים ,כלומר.ab = ba :
אכן זה נובע מכך ש .a ∈ Z (G)-לכן בהכרח )) .G = Z (Gבדרך אחרת :הראו
כי ) G/Z(Gהיא ציקלית ,ולכן Gאבלית(.
2
לפי משפט מיון חבורות אבליות ,נקבל שכל חבורה מסדר pאיזומורפית או לZp2 -
או ל.Zp × Zp -
53
p-group
23
תת־חבורת הקומוטטור
הגדרה .23.1תהא Gחבורה .הקומוטטור של זוג איברים a, b ∈ Gהוא האיבר = ][a, b
.aba−1 b−1
Commutator
הערה a, b .23.2מתחלפים אם ורק אם .[a, b] = eבאופן כללי.ab = [a, b] ba ,
הגדרה .23.3תת־חבורת הקומוטטור )נקראת גם תת־חבורת הנגזרת( הינה:
⟩G′ = [G, G] = ⟨[g, h] | g, h ∈ G
כלומר תת־החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של .G
Commutator
subgroup (or
derived
)subgroup
הערה G .23.4אבלית אם ורק אם }.G′ = {e
למעשה ,תת־חבורת הקומוטטור ”מודדת” עד כמה החבורה Gאבלית.
הערה = bab−1 a−1 = [b, a] .23.5
−1
) .[a, b]−1 = (aba−1 b−1
הערה .23.6אם H ≤ Gאז .H ′ ≤ G′
הערה .G′ ◁ G .23.7למשל לפי זה ש.g [a, b] g −1 = [gag −1 , gbg −1 ]-
תת־חבורת הקומוטטור מקיימת למעשה תנאי חזק הרבה יותר מנורמליות .לכל
הומומורפיזם f : G → Hמתקיים
])f ([a, b]) = [f (a), f (b
להוכחת הנורמליות של G′מספיק להראות שתנאי זה מתקיים לכל אוטומורפיזם פנימי
של .G
הגדרה .23.8חבורה Gתקרא חבורה פשוטה אם ל G-אין תת־חבורות נורמליות לא
טריוויאליות.
Simple group
דוגמה .23.9החבורה Anעבור n ≥ 5פשוטה .חבורה אבלית )לאו דווקא סופית( היא
פשוטה אם היא איזומורפית ל Zp -עבור pראשוני.
הגדרה .23.10חבורה Gנקראת מושלמת אם .G = G′
Perfect
מסקנה .23.11אם Gחבורה פשוטה לא אבלית ,אז היא מושלמת.
הוכחה .מתקיים G′ ◁ Gלפי ההערה הקודמת .מכיוון ש G-פשוטה ,אין לה תת־חבורות
נורמליות למעט החבורות הטריוויאליות Gו .{e}-מכיוון ש G-לא אבלית.G′ ̸= {e} ,
לכן בהכרח .G′ = G
′
דוגמה .23.12עבור ,n ≥ 5מתקיים .An = Anאבל Z5למשל היא פשוטה ולא
מושלמת ,כי היא אבלית.
משפט .23.13המנה ,G/G′שנקראת האבליניזציה של ,Gהיא המנה האבלית הגדולה ביותר
של .Gכלומר:
54
Abelinization
.1לכל חבורה ,Gהמנה G/G′אבלית.
.2לכל N ◁ Gמתקיים ש G/N -אבלית אם ורק אם ) G′ ≤ Nכלומר
איזומורפית לתת־חבורה של .(G/G′
G/N
∼ .A/G′
הערה .23.14אם Aאבלית ,אז = A
דוגמה .D4 = ⟨σ, τ ⟩ .23.15ראינו ש.{e, σ 2 } = Z (D4 ) ◁ G :
כמו כן ,המנה .|D4/Z(D4 )| = 4תת־חבורה זו אבלית )מכיוון שהסדר שלה הוא (p2
לפי תרגיל .22.11
לכן ,לפי תכונת המקסימליות של האבליניזציה .D4′ ≤ Z (D4 ) ,החבורה D4לא
אבלית ולכן } .D4′ ̸= {eלכן ) .D4′ = Z (D4
תרגיל .23.16מצא את Sn′עבור .n ≥ 5
פתרון .יהי .[a, b] = aba−1 b−1 ∈ Snנשים לב כי ) .sign(a) = sign(a−1לכן
sign([a, b]) = sign(a) sign(b) sign(a−1 ) sign(b−1 ) = sign(a)2 sign(b)2 = 1
כלומר קומוטטור הוא תמורה זוגית .גם כל מכפלה של קומוטטורים היא תמורה זוגית,
ולכן .Sn′ ≤ An
′
′
נזכר כי .An ≤ Snלכן ,על פי הערה שהצגנו קודם .An ≤ Sn ,מצד שני ,ראינו
′
∼ Sn/An
שעבור n ≥ 5מתקיים .An = Anכלומר קיבלנו .Sn′ = Anבדרך אחרת= Z2 ,
כלומר המנה אבלית .לכן ,לפי מקסימליות האבליניזציה ,נקבל .Sn′ = An
24
שדות סופיים
הגדרה .24.1שדה הוא מבנה אלגברי הכולל קבוצה Fעם שתי פעולות בינאריות ,להן
אפשר לקרוא ”חיבור” ו”כפל” ושני קבועים ,שאותם נסמן 0Fו ,1F -המקיים את התכונות
הבאות:
Field
.1המבנה ) (F, +, 0Fהוא חבורה חיבורית אבלית.
.2המבנה ) (F ∗ , ·, 1Fהוא חבורה כפלית אבלית.
.3מתקיים חוק הפילוג )דיסטריביוטיביות הכפל מעל החיבור( :לכל a, b, c ∈ F
מתקיים .a (b + c) = ab + ac
הגדרה .24.2סדר השדה הינו מספר האיברים בשדה.
הגדרה .24.3איזומורפיזם של שדות הוא העתקה חח”ע ועל בין שני שדות ששומרת על
שתי הפעולות.
55
Field order
Field
isomorphism
הערה .24.4הסדר של שדות סופיים הוא תמיד חזקה של מספר ראשוני .כמו כן ,עבור
כל חזקה של ראשוני קיים שדה סופי יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות מסדר זה.
לא נוכיח טענות אלו.
טענה .24.5לכל מספר ראשוני Fp = (Zp , + (modp) , · (modp)) ,pהוא שדה סופי
מסדר .pהאם אתם יכולים להראות שכל שדה סופי אחר מסדר pהוא איזומורפי
ל?Fp -
הגדרה .24.6המאפיין של שדה ,Fשסימונו ) ,char (Fהינו המספר המינימלי המקיים:
.1F +1F +· · · +1F = 0Fכלומר הסדר של 1Fבחבורה החיבורית של השדה )בחבורה
הכפלית זהו איבר היחידה(.
Characteristic
הערה .24.7עבור שדה סופי ,Fqסדר השדה הוא תמיד חזקה של מספר ראשוני ,כלומר
מתקיים q = pnעבור pראשוני כלשהו .לכן המאפיין של שדה סופי הוא בהכרח .p
הערה .24.8אם הסדר של 1Fהוא אינסופי ,מגדירים .char (F ) = 0למשל השדות
Q, R, Cהם ממאפיין אפס .כל שדה סופי הוא בהכרח עם מאפיין חיובי.
טענה .24.9החבורה הכפלית של השדה F∗q = Fq \ {0F } ,היא ציקלית מסדר .q − 1
∼ .F∗13
דוגמה F∗13 = {1F , 2, . . . , 12} .24.10חבורה ציקלית מסדר ,12כלומר = Z12
הגדרה .24.11יהי Eשדה .תת־קבוצה )לא ריקה( ,F ⊆ Eשהיא שדה ביחס לפעולות
המושרות נקראת תת־שדה .במקרה זה גם נאמר כי E/Fהוא הרחבת שדות .נגדיר את
הדרגה של E/Fלהיות המימד של Eכמרחב וקטורי מעל .F
דוגמה C/R .24.12היא הרחבת שדות מדרגה ,2ואילו R/Qהיא הרחבת שדות מדרגה
אינסופית .שימו לב ש Q/F13 -היא לא הרחבת שדות כי לא מדובר באותן פעולות
)ואפשר לומר גם שלא מדובר בתת־קבוצה(.
טענה .24.13אם E/Fהיא הרחבת שדות סופיים ,אז .|E| = |F |rכלומר = r
| ,log|F | |Eולמשל אם Fpn /Fpmהרחבת שדות ,אז .r = n/m
הוכחה .החבורה החיבורית של Eהיא למעשה מרחב וקטורי מעל Fממימד = r
∞ < ] .[E : Fיהי } {x1 , x2 , . . . , xrבסיס של Eמעל .Fאז כל איבר ב E-ניתן
לכתוב בדיוק בדרך אחת כצירוף לינארי )מעל (Fשל } .{x1 , x2 , . . . , xrלכן מספר
האיברים ב E-שווה למספר הצירופים הלינאריים השונים )מעל (Fשל } .{x1 , x2 , . . . , xr
אבל יש |F |rצירופים שונים כאלו ,ולכן .|E| = |F |r
הערה ) 24.14הרחבת שדות סופיים( .הרחבה של Fpמדרגה n ∈ Nמתבצעת על ידי
∈ αשל פולינום אי פריק ממעלה nמעל ) Fpכלומר שהמקדמים הם
הוספת שורש / Fp
מהשדה הזה(.
התוצאה של הרחבה זו ) Fp (αהיא שדה סופי מסדר q = pnשניתן לסמן אותה
על ידי .Fqכל ההרחבות מאותו מימד איזומורפיות ולכן הזהות הספציפית של αאינה
חשובה )עד כדי איזומורפיזם(.
56
Subfield
Field
extension
דוגמה .24.15השדה K = F3 (i) = F9כאשר iהוא שורש הפולינום x2 + 1הוא
הרחבה של השדה .F3קל לבדוק האם פולינומים ממעלה 2או 3הם אי פריקים מעל
שדה על ידי זה שנראה שאין להם שורשים מעל השדה.
כיצד נראים איברים בשדה החדש? } .K = {a + ib | a, b ∈ F3סדר השדה:
.32 = 9
זו לא תהיה הרחבה מעל F5מכיוון שהפולינום הזה מתפצל מעל x2 + 1 = :F5
)) (x − 2) (x + 2זכרו שהחישובים הם מודולו .(5כלומר שני השורשים 2, 3שייכים
כבר ל F5 -לכן סיפוחם לא מרחיב את השדה הקיים.
תרגיל .24.16לאילו שדות סופיים Fqיש איבר xהמקיים ?x4 = −1
פתרון .נשים לב שאפס אינו מקיים את המשוואה ,ולכן אנו מחפשים את הפתרון בחבורה
הכפלית .F∗q
2
אם x4 = −1אז ,x8 = (−1) = 1ולכן מתקיים .o (x) | 8מנגד ,אם המאפיין
של השדה איננו ,2אז x4 ̸= 1כי 1 ̸= −1לכן .o (x) ∤ 4
הפתרון הוא .o (x) = 8אם כן ,נדרוש שב F∗q -יהיה איבר xמסדר ,8ואז הוא יקיים
את המשוואה .מכיוון שסדר איבר מחלק את סדר החבורה )לגראנז’( ,נסיק שהסדר של
F∗qמתחלק ב.8-
האפשריים הם מהצורה pnעבור pראשוני,
בהתחשב בכך שסדרי השדות הסופיים
∗
אנו מחפשים מקרים בהם .8 | Fq = |Fq | − 1 = pn − 1
כלומר ) .pn ≡ 1 (mod 8במקרה זה ,פתרונות אפשריים הם השדות מסדרים:
9, 17, 25, 41וכן הלאה .שימו לב שלא מופיע ברשימה 33למרות ש.33 ≡ 1 mod 8-
הסיבה היא שאין שדה מסדר 33כיוון ש 33-אינו חזקה של מספר ראשוני.
כעת נחזור ונטפל במקרה הייחודי בו השדה ממאפיין .2במקרה זה מתקיים
,1 = −1ולכן .x4 = 1אכן האיבר 1מקיים את השוויון ולכן שדה ממאפיין 2עונה
על הדרישה בתרגיל.
n
לסיכום ,השדות האפשריים הם שדות ממאפיין 2או מסדר המקיים q = p ≡ 1
.mod 8
∏
תרגיל .24.17בשדה Fqמתקיים aq = aלכל a ∈ Fqוגם ).xq − x = a∈Fq (x − a
הוכחה .אם a = 0Fqזה ברור .אחרת ,a ∈ F∗q ,ואנו יודעים שזו חבורה מסדר .q − 1
המשמעות
לפי מסקנה ממשפט לגראנז’ נקבל .aq−1 = 1Fqנכפול ב a-ונקבל .aq = a
∏
q
היא שכל איברי Fqהם שורשים של הפולינום ,x − xולכן המכפלה )a∈Fq (x − a
מחלקת אותו .מפני שהדרגות של שני הפולינומים האלו שוות ,ושניהם מתוקנים )כלומר
המקדם של המונום עם המעלה הגבוהה ביותר הוא ,(1בהכרח הם שווים.
תרגיל .24.18הוכיחו כי Fqמשוכן ב Fq′ -אם ורק אם q ′ = q rעבור rכלשהו .בפרט,
עבור pראשוני Fpn ,הוא תת־שדה של Fpmאם ורק אם .n|m
הוכחה .נתחיל בדוגמה של סריג תת־השדות של :Fp24
57
Fp24
Fp12
Fp8
Fp6
Fp4
Fp3
p2
F
Fp
בכיוון אחד ,נניח כי Fqהוא תת־שדה של .Fq′אזי Fq′מרחב וקטורי מעל ,Fq
וראינו בטענה 24.13ש q ′ = q r -עבור rכלשהו.
בכיוון השני ,נניח ,q ′ = q rונראה כי ל Fq′ -יש תת־שדה מסדר .qמתקיים
( r
)
(
)( r
)
′
r
= xq − x = x xq −1 − 1 = x xq−1 − 1 xq −q + xq −2q + · · · + xq + 1
( r
)
r
= (xq − x) xq −q + xq −2q + · · · + xq + 1
( ′
)
′
ולכן ישנו חילוק פולינומים .(xq − x) | xq − xלפי התרגיל הקודם ,הפולינום xq −x
מתפצל לגורמים לינאריים שונים מעל ,Fq′ולכן גם xq − xמתפצל לגורמים לינאריים
שונים .כלומר בקבוצה } K = {x ∈ Fq′ | xq = xיש בדיוק qאיברים שונים ,וזה יהיה
תת־השדה הדרוש של .Fq′מספיק להראות סגירות לכפל וחיבור :אם ,x, y ∈ Kאז
xq = xוגם .y q = yנניח ,q = pnולכן
n
n
n
(x + y)q = (x + y)p = xp + y p = xq + y q = x + y
(xy)q = xq y q = xy
וקיבלנו .x + y, xy ∈ Kכלומר Kתת־שדה של Fq′מסדר .q
25
בעיית הלוגריתם הבדיד ואלגוריתם דיפי-הלמן
בעיה ) 25.1בעיית הלוגריתם הבדיד( .תהי Gחבורה .יהי g ∈ Gו .x ∈ N-המשימה
היא למצוא את xבהנתן .h = g xמסמנים את הפתרון ב .logg h-מסתבר שבחבורות
מתאימות ,אפילו אם ניתן לממש את הפעולה בחבורה באופן יעיל מאוד ,עדין קשה
מאוד )סיבוכיות זמן ריצה שהיא לפחות תת־מעריכית( למצוא את .x
הערה .25.2שימו לב שבעיית הלוגריתם הבדיד עוסקת למעשה רק בחבורה הציקלית
⟩ .⟨gלמרות שכל החבורות הציקליות מאותו סדר הן איזומורפיות ,דרך ההצגה של
החבורה תקבע את הקושי של פתרון הבעיה .בעיית הלוגריתם הבדיד היא הבעיה
הקשה בבסיס של בניות קריפטוגרפיות רבות ,כמו החלפת מפתחות ,הצפנה ,חתימות
דיגיטליות ופונקציות גיבוב קריפטוגרפיות.
58
Discrete
logarithm
problem
)(DLP
דוגמה .25.3דוגמה למה החבורה החיבורית Znהיא לא בחירה טובה לבעיית הלוגריתם
הבדיד .נניח ⟩ .Zn = ⟨gשימו לב שאם g = 1הבעיה היא טריוויאלית! הרי ≡ x · 1
) .x (modnשימו לב כי ה x-באגף שמאל הוא מספר טבעי ,ואילו באגף ימין זה איבר
של .Zn
התכונה הספציפית של ,Znשכפל וחיבור מודולו nמוגדרים היטב ,היא מה שמנצלים
לפתרון מהיר .נניח .g ̸= 1בהנתן h ∈ Znאנו רוצים למצוא xכך שx · g ≡-
) .h (modnידוע לנו כי ,(g, n) = 1ולכן קיים הופכי כפלי ,g −1שאותו ניתן לחשב
בעזרת אלגוריתם אוקלידס ביעילות .לכן הפתרון הוא ).x = hg −1 (modn
טענה ) 25.4פרוטוקול דיפי-הלמן( .תהי חבורה ציקלית ⟩ G = ⟨gמסדר ,nהידועה לכל.
מקובל לבחור את Upעבור pראשוני גדול מאוד )יותר מאלף ספרות בינאריות(.
לכל משתמש ברשת יש מפתח פרטי סודי ,מספר טבעי ] a ∈ [2, n − 1ומפתח ציבורי
) .g a (modnאיך שני משתמשים ,אליס ובוב ,יתאמו בינהן מפתח הצפנה שיהיה ידוע
רק להם?
.1אליס שולחת לבוב את המפתח הציבורי שלה ).g a (modn
.2בוב מחשב את מפתח ההצפנה המשותף שלהם ) ,(g a )b (modnואת מפתח
הפענוח ).(g a )−b (modn
( )a
.3אותו תהליך קורה בכיוון ההפוך שבו אליס מחשבת את ) g b (modnואת
( )−a
. gb
)(modn
.4כעת שני הצדדים יכולים להצפין הודעות עם ).g ab (modn
הערה .25.5בתהליך המפתח הסודי של אליס ובוב לא שודר ,וסודיותו לא נפגעה.
האלגוריתם הוא סימטרי ,כלומר ניתן לחשב ממפתח ההצפנה את מפתח הפענוח ולהפך.
יש לפחות מתקפה ברורה אחת והיא שתוקף יכול להתחזות בדרך לאליס או לבוב )או
לשניהם( ,ולכן בפועל משתמשים בפרוטוקולים יותר מתוחכמים יותר למניעת התקפה
זו.
דוגמה .25.6נריץ את האלגוריתם עם מספרים קטנים )באדיבות ויקיפדיה( .יהי .p = 23
נבחר יוצר ⟩.U23 = ⟨5
אליס בחרה ,a = 6ולכן תשלח לבוב את ) .56 ≡ 8 (mod23בוב בחר ,b = 15
ולכן ישלח לאליס את ) .515 ≡ 19 (mod23כעת אליס תחשב ) ,196 ≡ 2 (mod23ובוב
יחשב ).815 ≡ 2 (mod23
59
DiffieHellman key
exchange
