השלמות בנושא חבורות

‫השלמות בנושא חבורות‬
‫‪ 1‬חבורות המנה ‪ Q=Z‬ו־ ‪R=Z‬‬
‫‪ .1‬חבורת המנה ‪Q=Z‬‬
‫תהי החבורה )‪ (Q; +‬ו־ ‪ G‬חבורת שורשי היחידה ב־ ‪ ,C‬כלומר ‪ G = fz 2 C : 9n 2 Z ; z n = 1g‬עם כפל‬
‫‪2im‬‬
‫‪ .'( m‬קל לוודא‬
‫מרוכב )ואיבר יחידה שהוא ‪ .(1‬נגדיר את ההעתקה הבאה‪ ' : Q ! G :‬ע״י ‪n ) = e n‬‬
‫ש־ ' היא אפימורפיזם )הומומורפיזם על(‪ .‬בנוסף הגרעין של ההומומורפיזם הוא אוסף המספרים השלמים‬
‫‪ ,Ker(') = Z‬והתמונה של ההומומורפיזם היא ‪.G‬‬
‫‪n‬‬
‫ ‪.Q=Ker(') = Q=Z‬‬
‫לכן ע״י שימוש במשפט היסודי נקבל ‪= G = fz 2 C : 9n 2 Z ; z = 1g‬‬
‫‪ .2‬חבורת המנה ‪R=Z‬‬
‫דרך ראשונה‪ :‬נביט על מעגל היחידה ב־ ‪ ,C‬כלומר על החבורה ‪) S = fz 2 C : jz j = 1g‬הפעולה היא כפל‬
‫שורש יחידה הוא מערך מוחלט ‪ 1‬אך הכיוון‬
‫קומפלקסים ואיבר היחידה הוא ‪ .(1‬שימו לב ש־ ‪ G S‬כי כל‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ e‬הוא מערך מוחלט ‪ 1‬אך איננו שורש‬
‫ההפוך איננו נכון בהכרח‪ ,‬למשל )‪= cos( 2) + i sin( 2‬‬
‫יחידה‪) .‬וודאו מדוע(‬
‫‬
‫‬
‫ ‪2ir‬‬
‫‪2ir‬‬
‫‬
‫‪ j'(r)j = e‬לכל‬
‫‪ .'(r ) = e‬נשים לב ש־ ‪= 1‬‬
‫נראה ש־ ‪ R=Z‬איזומורפית ל־ ‪ :S‬נגדיר ‪ ' : R ! S‬ע״י‬
‫‪r2R‬‬
‫ולכן‬
‫‪'(r) 2 S‬‬
‫כדרוש‪.‬‬
‫'‬
‫הומומורפיזם כי לכל‬
‫‪r; t 2 R‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫)‪'(r + t) = e2i(r+t) = e2ir e2it = '(r) '(t‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ ,S‬נגדיר ‪a‬‬
‫‪2R‬‬
‫כמו כן ' הוא על‪ ,‬כי בהינתן ‪3 z = a + i b‬‬
‫‪'() = e2i = ei = cos() + i sin() = a + i b = z‬‬
‫בנוסף‪ ker(') = Z ,‬כי ‪. r 2 Z () cos(2r) = 1 and sin(2r) = 1 () e2ir = 1 () '(r) = 1‬‬
‫ ‪ ,R=Z‬כלומר חבורת המנה ‪R=Z‬‬
‫)וודאו שהמעברים ברורים לכם(‪ .‬לפיכך‪ ,‬נשתמש במשפט היסודי ונקבל ‪= S‬‬
‫‪arctan‬‬
‫‪ , = 21‬אז‬
‫ומתקיים‬
‫איזומורפית לחבורת המספרים הקומפלקסים בעלי ערך מוחלט=‪.1‬‬
‫‪def‬‬
‫דרך שניה‪ :‬נביט על הקטע ‪ [0; 1) R‬ונגדיר עליו את פעולת החיבור ~ הבאה‪ ,r ~ t = fr + tg :‬כאשר‬
‫‪ +‬היא פעולת החיבור הרגילה של מספרים ממשיים ו־ ‪ fxg‬מסמן את החלק השברי של ‪) .x‬ראו הערה ‪.(1‬‬
‫הראו ש־ )‪ [0; 1‬עם הפעולה ~ מהווה חבורה אבלית )איבר היחידה הוא ‪ ,0‬ההופכי של ‪ r 6= 0‬הוא )‪.( (1 r‬‬
‫כעת נגדיר העתקה )‪ ' : R ! [0; 1‬ע״י ‪ .'(x) = fxg‬מההערה לעיל נקבל שאכן )‪ '(x) 2 [0; 1‬לכל ‪ x‬ממשי‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬מהתכונה של החלק השברי המצוטטת בהערה לעיל‪ ,‬נקבל ש־ ' הוא הומומורפיזם‪:‬‬
‫)‪'(x + y) = fx + yg = ffxg + fygg = f'(x) + '(y)g = '(x) ~ '(y‬‬
‫ברור ש־ ' הוא על ומההערה לעיל נובע ש־ ‪ .ker(') = Z‬לפיכך‪ ,‬מהמשפט היסודי נקבל ש־ ‪ R=Z‬איזומורפית‬
‫לחבורה )‪ [0; 1‬עם הפעולה ~‪.‬‬
‫תרגיל למחשבה‪ :‬נסו לחשב באופן ישיר את הקוסטים של ‪ Q=Z‬ו־ ‪ R=Z‬ובדקו מהו המבנה הכפלי של החבורות‬
‫המתקבלות‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪= 1 2 = 1 b3c = 3‬‬
‫‪f g=0‬‬
‫‪0f g 1‬‬
‫‪j k‬‬
‫ ‬
‫‪4‬‬
‫‪ . 21‬החלק השברי‬
‫;‬
‫;‬
‫;‬
‫‪1‬תזכורת‪ :‬יהי ‪ x‬ממשי‪ ,‬אזי ‪ x‬מסמן את החלק השלם התחתון של ‪ ,x‬למשל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫אמ״מ ‪ x‬שלם‪ .‬בנוסף‪ ,‬לכל ‪x; y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .‬כמו כן‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫<‬
‫‪ . x‬לכל ‪ x‬ממשי מתקיים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫של ‪ x‬מסומן ע״י ‪ x‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪) x y‬הוכחת התכונה הינה טכנית ומסתמכת על חלוקה למקרים(‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫ממשיים מתקיימת התכונה הבאה‪:‬‬
‫‪fg‬‬
‫‪bc‬‬
‫‪f g= b c‬‬
‫‪f + g = ff g + f gg‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=0‬‬
‫הומומורפיזם בחבורות צקליות‬
‫‪2‬‬
‫בחבורות צקליות קל יותר לאפיין את ההומומורפיזמים‪ ,‬נא השלימו את הפרטים בהוכחות‪.‬‬
‫‬
‫טענה ‪ .1‬אם ‪G‬‬
‫הוכחה‪ G :‬ו־ ‪ G‬צקליות ולכן קיימים ‪ g 2 G‬ו־ ‪ g 2 G‬כך ש־ ‪ G = hg i‬ו־ ‪ .G = hg i‬נגדיר את ההעתקה‬
‫‪ ' : G ! G‬ע״י ‪ .'(g ) = g‬לכן לכל ‪ x = g i 2 G‬נקבל ‪ .'(x) = '(g i ) = ('(g )i ) = (g )i‬וודא שההעתקה‬
‫ ‪ ,G‬ונשים לב שההוכחה נכונה גם כשהסדר אינסופי‪.‬‬
‫‪ ' : G ! G‬היא הומומורפזים‪ ,‬חח״ע ועל‪ .‬כלומר ‪= G‬‬
‫ו־‬
‫‪0‬‬
‫‪G‬‬
‫‪0‬‬
‫ ‪.G‬‬
‫חבורות צקליות מאותו סדר אזי הן איזומורפיות ‪= G‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫טענה ‪ .2‬נתונה‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו‬
‫‪G‬‬
‫אבלית‪ .‬ההעתקה‬
‫‪x; y 2 G‬‬
‫‪'(x) = xr‬‬
‫מהווה הומומורפיזם‬
‫ונבדוק את דרישת ההומומורפיזם עבור '‪,‬‬
‫‪':G!G‬‬
‫כאשר‬
‫‪r2Z‬‬
‫קבוע‪.‬‬
‫)‪'(xy) = (xy)r = (xy)(xy) : : : (xy) = xr yr = '(x)'(y‬‬
‫‬
‫טענה ‪ .3‬נתונה ‪ G‬צקלית‪ .‬כל הומומורפיזם ‪ ' : G ! G‬היא מהצורה ‪ '(x) = xr‬כאשר ‪r 2 Z‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי הנתון קיים ‪ g 2 G‬כך ש־ ‪ .G = hg i‬יהי הומומורפיזם ‪ ' : G ! G‬כלשהו ויהי ‪.x 2 G‬‬
‫‪ '(g ) = y = g r‬כאשר ‪ r 2 Z‬קבוע ) הסבר למה!( וכן ‪ x = g i‬כאשר ‪) i 2 Z‬הסבר למה!(‪ .‬לכן‪:‬‬
‫קבוע‪.‬‬
‫מתקיים‬
‫‪'(x) = '(gi ) = ('(g))i = (gr )i = gir = (gi )r = xr‬‬
‫‬
‫טענה ‪ .4‬נתונה‬
‫‪ r 2 Z‬קבוע‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫צקלית‪ .‬העתקה‬
‫‪':G!G‬‬
‫היא הומומורפיזם אמ״ם‬
‫'‬
‫היא מהצורה‬
‫‪'(x) = xr‬‬
‫כאשר‬
‫הוכחה‪ :‬נובע מיידית מטענות ‪ 2‬ו־ ‪.3‬‬
‫‬
‫טענה ‪ .5‬נתונה ‪ G‬צקלית מסדר ‪ .n‬העתקה‬
‫כאשר ‪ 0 r n 1‬שלם קבוע‪.‬‬
‫‪':G!G‬‬
‫הוכחה‪ :‬נובע מיידית מטענה ‪ 4‬ומהעובדה ש ־‬
‫‬
‫טענה ‪ .6‬נתונה‬
‫‪G‬‬
‫‪xn = e‬‬
‫צקלית מסדר ‪ .n‬קיימים בדיוק‬
‫היא הומומורפיזם אמ״ם‬
‫לכל‬
‫‪x2G‬‬
‫'‬
‫היא מהצורה‬
‫‪'(x) = xr‬‬
‫)הסבר!(‪.‬‬
‫הומומורפיזמים ‪.' : G ! G‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה‪ :‬מסקנה מיידית מטענה ‪.5‬‬
‫‬
‫‬
‫טענה ‪ .7‬נתונה ‪ G‬צקלית מסדר ‪ .n‬העתקה ‪' : G ! G‬‬
‫כאשר ‪ 1 r n 1‬שלם קבוע ו־ ‪.(r; n) = 1‬‬
‫‪r‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי טענה ‪ 5‬הומומורפיזם היא מהצורה ‪ '(x) = x‬כאשר ‪ 0 r n 1‬שלם קבוע‪ .‬בנוסף לפי‬
‫הנתון ‪ G = hg i‬לכן ‪ '(g ) = g r‬וכן ) ‪) o(g ) = o(g r‬הסבר למה!(‪ .‬כלומר ‪ g‬מסדר ‪ n‬אמ״ם ‪ g r‬מסדר ‪ .n‬מכיוון‬
‫ש־ ‪n‬‬
‫‪ o(g r ) = (r;n‬אזי ‪ g r‬מסדר ‪ n‬אמ״ם ‪.(r; n) = 1‬‬
‫)‬
‫היא איזומורפיזם אמ״ם‬
‫טענה ‪ .8‬נתונה‬
‫‪G‬‬
‫)‪'(n‬‬
‫צקלית מסדר ‪ .n‬קיימים בדיוק‬
‫'‬
‫היא מהצורה‬
‫‪'(x) = xr‬‬
‫איזומורפיזמים ‪.' : G ! G‬‬
‫הוכחה‪ :‬מסקנה מיידית מטענה ‪.7‬‬
‫דוגמה‪ :‬מצא את כל ההומומורפיזמים )‪.' : (Z; +) ! (Z; +‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)‪ ' : (Z; +) ! (Z; +‬היא צקלית ולכן לפי טענה ‪4‬‬
‫לכל ‪ x 2 G‬וכאשר ‪ r 2 Z‬קבוע )הסבר למה!(‪.‬‬
‫)‪' : (Z; +) ! (Z; +‬‬
‫היא הומומורפיזם אמ״ם‬
‫למשל עבור ‪ r = 0‬נקבל ‪ '(x) = 0‬לכל ‪ x 2 Z‬כלומר זהו ההומומורפיזם הטרויאלי‪ .‬בנוסף‬
‫ ‪.Z=Z‬‬
‫‪ Im' = f0g‬לכן לפי משפט ההומורפיזם היסודי נקבל ‪= f0g‬‬
‫למשל עבור ‪ r = 1‬נקבל ‪'(x) = x‬‬
‫ ‪.Z=f0g‬‬
‫ההומומורפיזם היסודי נקבל ‪= Z‬‬
‫לכל‬
‫‪2Z‬‬
‫‪x‬‬
‫כלומר‬
‫‪f0g‬‬
‫=‬
‫'‪Ker‬‬
‫ו־‬
‫‪Z‬‬
‫=‬
‫'‪.Im‬‬
‫ובאופן כללי עבור ‪ 0 6= r 2 Z‬נקבל ‪ '(x) = rx‬לכל ‪ x 2 Z‬כלומר ‪ Ker' = f0g‬ו־‬
‫ ‪ .Z=f0g‬מהם הקוסטים של ‪ Z=f0g‬במקרה זה?‬
‫לפי משפט ההומומורפיזם היסודי נקבל ‪= r Z‬‬
‫‪'(x) = rx‬‬
‫‪Ker' = Z‬‬
‫ו־‬
‫לכן לפי משפט‬
‫‪Im' = rZ‬‬
‫)הסבר!(‪ .‬לכן‬
‫אילו מההומומורפיזמים המתקבלים הם‪ :‬מונומורפיזם )הומומורפיזם חח״ע(? אפימורפיזם )הומומורפיזם על(?‬
‫ואילו מהם איזומורפיזם?‬
‫‪2‬‬
‫מיון חבורות מסדר ‪n = 6‬‬
‫‪3‬‬
‫כדי לבצע מיון של חבורות מסדר ‪) n = 6‬או מסדר ״קטן״ למשל‬
‫הומומורפיזם וטיעונים נוספים להלן‪ .‬נא השלימו את הפרטים‪.‬‬
‫טענה‪ :‬כל חבורה‬
‫‪G‬‬
‫מסדר‬
‫פתרון‪ :‬נפריד למקרים‪:‬‬
‫‬
‫‪G‬‬
‫‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪6‬‬
‫איזומורפית ל־‬
‫אבלית או‬
‫‪G‬‬
‫אבלית‪ .‬הסדר של כל איבר ב־‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪Z6‬‬
‫‪G‬‬
‫מסדר‬
‫‪n‬‬
‫‪ (10‬נשתמש בתכונות של‬
‫או ל־ ‪.S3‬‬
‫לא אבלית‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫הוא ‪ ,3 ,2 ,1‬או ‪.6‬‬
‫בחבורה מסדר זוגי יש תמיד איבר מסדר ‪) .2‬הוכח את הטענה(‪.‬‬
‫אם בחורה אבלית כל האיברים מסדר ‪ 2‬אזי יש תת חבורה מסדר ‪) 4‬הוכח(‪ ,‬אבל זו סתירה כי ‪,4 - 6‬‬
‫ולכן יש איבר מסדר ‪.3‬‬
‫אם בחבורה אבלית‬
‫ב־ ‪G‬‬
‫לכן ‪G‬‬
‫‪o(b) = 2‬‬
‫ו־ ‪ ,o(a) = 3‬אזי קיים איבר מסדר ‪) 6‬מיהו האיבר מסדר ‪(?6‬‬
‫יש איבר מסדר ‪ ,6‬כלומר‬
‫איזומורפית ל־ ‪.Z6‬‬
‫‪G‬‬
‫צקלית מסדר ‪.6‬‬
‫לא אבלית‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫כמו במקרה הקודם יש איבר‬
‫‪b2G‬‬
‫כך ש־ ‪.o(b) = 2‬‬
‫אם בחבורה ‪G‬‬
‫=‪,ab 6‬‬
‫קיימים ‪ a; b 2 G‬כך ש־ ‪ o(b) = 2‬ו־ ‪ .o(a) = 3‬וודא שמתקיים‪6= b :‬‬
‫‪ ,a2 b 6= e; a; a2 ; b; ab‬וכן ‪) ab 6= ba‬למה?(‪.‬‬
‫וודא שמתקיים‪ ,ba 6= e; a; a2 ; b; ab :‬ולכן מתקיים ‪.ba = a2 b‬‬
‫כלומר איברי החבורה ניתנים ע״י ‪ ,G = fe; a; a2 ; b; ab; ba = a2 bg‬וזוהי התאמה חח״ע ועל בין ‪ G‬ו־‬
‫‪ .D3 = S3‬מכיוון שנשמרים כל היחסים בין האיברים ב־ ‪ G‬וב־ ‪ S3‬אזי ההתאמה מהווה איזומורפיזם‪.‬‬
‫לכן ‪ G‬איזומורפית ל־ ‪.S3‬‬
‫כל האיברים מסדר ‪ 2‬אזי היא אבלית )הוכח את הטענה(‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫וזו סתירה כי ‪G‬‬
‫‪e; a; a2 ; b ,a2 6= b ,a‬‬
‫לא אבלית‪.‬‬