תרגול 5 ־ מבוא לחוגים ושדות אידיאלים ראשוניים

‫תרגול ‪ 5‬־ מבוא לחוגים ושדות‬
‫אידיאלים ראשוניים‬
‫בתרגול הזה כל החוגים הם קומוטטיבים עם יחידה וההומומורפיזמים הם עם יחידה‪.‬‬
‫במובן מסויים החוגים שהכי קל להבין הם שדות‪ .‬כאשר חוג ‪ R‬הוא לא שדה אז מנסים להבין אותו ע"י מציאת‬
‫שדות שהם "קרובים" ל ‪ .R‬שתיים מהצורות למצוא שדות כאלו הם לחפש תתי שדות )למשל ‪ F‬בתוך חוג פולינומים‪,‬‬
‫חוג מטריצות וכו'( ודרך שנייה זה ע"י חוגי מנה‪ .‬אנחנו נתרכז בחוגי מנה‪.‬‬
‫משפט ‪) 0.1‬מההרצאה( יהא ‪ R‬חוג קומוטטיבי עם יחידה‪.‬‬
‫‪ R .1‬הוא שדה אמ"מ כל אידיאל ב ‪ R‬הוא טריוויאלי )כלומר ‪ 0‬או ‪.(R‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ I E R‬אידיאל‪ ,‬אז ‪ R/I‬שדה אמ"מ ‪ I‬אידיאל מקסימלי ב ‪.R‬‬
‫הוכחה‪ (1) :‬להוכיח לבד‪ (2) .‬נובע מ )‪ (1‬כי האידיאלים ב ‪ R/I‬מתאימים לאידיאלים ב ‪ R‬שמכילים את ‪ ,I‬ולכן ב‬
‫‪ R/I‬אין אידיאלים לא טריוויאלים אמ"מ ‪ I‬אידיאל מקסימלי‪.‬‬
‫הסוג השני של חוגים שהיינו מעדיפים לעבוד איתם הם חוגי שלמות‪ ,‬כלומר חוגים שלא מכילים מחלקי אפס‪ .‬כמו‬
‫עם שדות‪ ,‬בהינתן חוג ‪ R‬ננסה להבין אותו ע"י הבנת החוגי מנה שלו שהם תחומי שלמות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 0.2‬אידיאל ‪ P E R‬נקרא ראשוני אם ‪ R/P‬הוא תחום שלמות‪.‬‬
‫כל שדה הוא בפרט תחום שלמות ולכן נקבל ש‬
‫מסקנה ‪ 0.3‬אם ‪ I E R‬מקסימלי‪ ,‬אז הוא גם ראשוני‪.‬‬
‫במקרה של שדות‪ ,‬החוג ‪ R/I‬הוא שדה אמ"מ ‪ I‬הוא אידיאל מקסימלי‪ ,‬ומקסימליות זה אפיון של האידיאל )ולא של‬
‫החוג מנה(‪ .‬דבר דומה קורה עם אידיאלים ראשוניים‪.‬‬
‫טענה ‪ 0.4‬יהא ‪ P E R‬אידיאל‪ .‬הראו ש ‪ P‬ראשוני אמ"מ לכל ‪ a, b ∈ R‬כך ש ‪ ab ∈ P‬מתקיים ש ‪ a ∈ P‬או‬
‫‪) b ∈ P‬כלומר אם מכפלה נמצאת ב ‪ P‬אז אחד הגורמים נמצא ב ‪.(P‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהא ‪ P E R‬אידיאל‪.‬‬
‫• האידיאל ‪ P‬הוא ראשוני אמ"מ ‪ R/P‬הוא תחום שלמות‪.‬‬
‫• ‪ R/P‬הוא תחום שלמות אמ"מ אין מחלקי אפס לא טריוויאלים‪ ,‬כלומר אם ‪ [ab] = [a] [b] = 0‬אז ‪[a] = 0‬‬
‫או ‪.[b] = 0‬‬
‫• מאחר ו ‪ [x] = 0‬שקול ל ‪ ,x ∈ P‬אז התנאי הקודם שקול לכך שאם ‪ ab ∈ P‬אז ‪ a ∈ P‬או ‪.b ∈ P‬‬
‫טענה ‪) 0.5‬לבד( יהא ‪ I E R‬אידיאל כלשהו‪ .‬אז יש לנו התאמה בין אידיאלים בחוג מנה לאידיאלים ב ‪ R‬שמכילים‬
‫את ‪ I‬המוגדרת ע"י ‪ I ⊆ J E R‬עובר ל ‪.J/I‬‬
‫הראו ש ‪ J‬אידיאל ראשוני ב ‪) R‬בהתאם מקסימלי( אמ"מ ‪ J/I‬ראשוני ב ‪) R/I‬בהתאם מקסימלי(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪ .1‬בחוג השלמים ‪ ,Z‬האידיאלים הראשוניים ‪ P E Z‬הם בדיוק }‪ P = {0‬ו ‪ P = hpi‬כאשר ‪ p ∈ Z‬ראשוני‪.‬‬
‫שימו לב שהאידיאלים מהצורה ‪ hpi‬הם מקסימלים בעוד שאידיאלים האפס הוא ראשוני אך לא מקסימלי‪.‬‬
‫‪ .2‬בחוג הפולינומים ]‪ C [x‬המצב דומה לשלמים ־ האידיאלים המקסימליים )ובפרט ראשוניים( הם מהצורה‬
‫‪ hx − αi‬ואידיאל האפס הוא ראשוני אך לא מקסימלי‪.‬‬
‫∼‬
‫‪ .3‬בחוג ]‪ C [x, y‬האידיאל ‪ hxi‬הוא ראשוני אך לא מקסימלי ־ זאת מאחר ו ]‪= C [y‬‬
‫שלמות שאינו שדה‪.‬‬
‫‪C[x,y]/hxi‬‬
‫הוא תחום‬
‫טענה ‪ 0.6‬אם ‪ P E S‬ראשוני ו ‪ ϕ : R → S‬הומומורפיזם אז ) ‪ ϕ−1 (P‬ראשוני ב ‪.R‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ב ‪ π : S → S/P‬את ההטלה הטבעית‪ .‬נסתכל על ההעתקה ‪ π ◦ ϕ : R → S → S/P‬כאשר לפי הנתון‬
‫‪−1‬‬
‫‪ S/P‬הוא תחום שלמות‪ .‬הגרעין של ההעתקה הזאת הוא בדיוק ) ‪(π ◦ ϕ) (0) = ϕ−1 π −1 (0) = ϕ−1 (P‬‬
‫ולכן‬
‫∼ )‪= R/(π◦ϕ)−1 (0) = R/ker(π◦ϕ‬‬
‫‪= Im (π ◦ ϕ) ≤ S/P‬‬
‫) ‪R/ϕ−1 (P‬‬
‫קיבלנו שניתן לשכן את ) ‪ R/ϕ−1 (P‬בתוך תחום שלמות ‪ S/P‬ולכן ) ‪ R/ϕ−1 (P‬הוא גם תחום שלמות‪ .‬מכאן נסיק ש‬
‫) ‪ ϕ−1 (P‬הוא אידיאל ראשוני‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.7‬הטענה הקודמת אינה נכונה אם מחליפים את המילה "ראשוני" ב "מקסימלי"‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 0.8‬אם ‪ R ⊆ S‬תת חוג ו ‪ P E S‬ראשוני אז ‪ R ∩ P‬ראשוני‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ניתן להוכיח ישירות‪ ,‬או להשתמש בתרגיל הקודם‪ :‬אם ‪ ι : R → S‬זו העתקת השיכון‪ ,‬אז ‪.ι−1 (P ) = R∩P‬‬
‫טענה ‪ 0.9‬מצאו את כל האידיאלים הראשוניים השונים מאפס ב‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.Z‬‬
‫הוא שאנחנו כבר "מכירים" את הראשוניים ב ‪ Z‬ולכן ננסה להשתמש במיון שלהם כדי למיין את‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫הרעיון ‬
‫‬
‫הראשוניים ב ‪.Z 21‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫יהא ‪ P E Z 2‬ראשוני ונסמן ‪ ,Q = P ∩ Z‬אז ממה שראינו ‪ Q‬הוא ראשוני‪ P .‬שונה מאפס ולכן מכיל ‪2n‬‬
‫עבור ‪ 0 6= a ∈ Z, n ∈ N‬כלשהם‪ ,‬ולכן הוא גם מכיל את ‪ ,a = 2n 2an ∈ Z‬כלומר ‪ 0 6= a ∈ Q‬גורר ש ‪ Q‬אינו‬
‫אידיאל האפס‪.‬‬
‫‪ , Q‬אז מאחר ו ‪2‬‬
‫כל‬
‫= ‬
‫האידיאלים ראשוניים שאינם ‬
‫ ‬
‫אפס ב ‪ Z‬הם מהצורה )‪ (q‬עבור מספר ראשוני ‪ .q‬אם )‪ (2‬‬
‫הפיך ב ‪ Z 12‬נקבל בסתירה ש ‪ .P = Z 12‬לכן )‪ Q = (q‬עבור ראשוני ‪ q‬שונה מ ‪ .2‬נסמן ‪ , P 0 = q · Z 12‬אז‬
‫ ‬
‫‪ P 0 ⊆ P‬הם אידיאלים ב ‪ .Z 12‬מכאן נקבל הומומורפיזם על ‪ .ϕ : Z[ 12 ]/P 0 → Z[ 21 ]/P‬קל לראות ש‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫‪Z[ 12 ]/q·Z[ 1 ] = Z/qZ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫איברים‪ .‬לשדה אין אידיאלים לא טריוויאלים ולכן ‪ϕ‬‬
‫אבל ‪ 21‬כבר נמצא בשדה! ולכן ‪ Z[ 12 ]/P 0‬הוא השדה עם ‪q‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫היא חח"ע ובנוסף לכך שהיא על נקבל איזומורפיזם‪ ,‬ובפרט ‪.P = P 0 = q · Z 2‬‬
‫‬
‫טענה ‪) 0.10‬לבד( מצאו את כל האידיאלים בחוג ‪2 - b‬‬
‫‪| a, b ∈ Z,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪.R = Z‬‬