הרצאה 1

‫אלגברה מתקדמת‬
‫ד"ר אסף רינות‬
‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬המחלקה למתמטיקה‪ .‬סיכומי קורס ‪.2014-2015‬‬
‫אתר הקורס‪.algebra.assafrinot.com :‬‬
‫מייל‪[email protected] :‬‬
‫ספר הקורס‪ :‬יהונתן גולן‪ ,‬עיונים באלגברה מודרנית‪.‬‬
‫כתיבה ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫הרצאה ‪:1‬‬
‫הקדמה כללית‪:‬‬
‫האלגברה מתפתחת מתוך תצפיות על הטבע תוך מעקב אחרי חוקים שונים‪.‬‬
‫דברים שאנו יודעים לטעון בוודאות גבוהה מכלים תמצית של כללים אשר ניתן‬
‫להפוך אותם למושגים ומודלים‪.‬‬
‫באלגברה נבודד את התכונות האבסטרקטיות של תכונות מסוימות ונראה כיצד הן‬
‫מביאות אותנו לתובנות בתוך המודלים שלנו‪.‬‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫מבנה אלגברי – מבנה אלגברי מונה ‪ 3‬רכיבים‪:‬‬
‫קבוצה ‪ A‬המהווה את אוסף העצמים שכל הדיון יכול לחול אך ורק עליהם‪.‬‬
‫אוסף פעולות על ‪ , A‬כגון חיבור כפל וכו'‪ .‬בשלב זה נסתכל עליהם כאל "סמלים" בעלי‬
‫משמעות כלשהי בין האיברים שבקבוצה‪.‬‬
‫תכונות שהפעולות מקיימות‪.‬‬
‫דוגמאות למבנים‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬קבוצת המספרים הטבעיים‬
‫בה מתקיימת פעולת החיבור‪m  n :‬‬
‫‪.  m, n ‬‬
‫כתיבה באופן כללי היא באמצעות הזוג הסדור הבא‪.  ,   :‬‬
‫זו דוגמה לפעולה דו‪-‬מקומית‪.‬‬
‫‪ .2‬מבנה אחר הוא קבוצת המספרים הרציונליים‪ , :‬‬
‫כאשר‬
‫‪p int‬‬
‫‪ p‬‬
‫היא‪:‬‬
‫‪ q  0  q 1‬‬
‫‪.  ‬‬
‫פעולת הכפל הרגילה היא‪a  b :‬‬
‫‪.  a, b ‬‬
‫‪ .3‬קבוצת המספרים הרציונליים‪.  ,2  :‬‬
‫כאשר הפעולה‪x 2 :‬‬
‫‪ x‬היא פעולה חד מקומית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תכונות של מבנים אלגבריים‪:‬‬
‫סגירות של מבנה אלגברי‪:‬‬
‫אם ‪  A, ‬הוא מבנה אלגברי ו‪  -‬היא פעולה מקומית כלשהי‬
‫אז דורשים כי לכל ‪ a1 , a2 , a3 ,...  A‬יתקיים כי‪(   a1 , a2 , a3 ,...  A :‬שייך ל‪.) A -‬‬
‫אגודה‪:‬‬
‫מבנה אלגברי ‪  A, ‬נקרא אגודה (‪ )semigroup‬אם"ם ‪ ‬היא פעולה בינארית‬
‫(דו מקומית) ה מקיימת סגירות ומקיימת את חוק הקיבוץ ואת חוק הפילוג‪.‬‬
‫ז"א שלכל ‪ a, b, c  A‬מתקיים‪ a  b   c  a  b  c  :‬‬
‫או בצורת תוכנה‪.    a, b  , c     a,   b, c   :‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬קבוצת המספרים הרציונליים עם פעולת הכפל‪  , :‬נקראת אגודה‪.‬‬
‫‪ .2‬המבנה ‪  ,  ‬למשל אינו אגודה‪.‬‬
‫אמנם חיסור היא פעולה המקיימת סגירות אבל‪.  3  2  1  0  2  3   2 1 :‬‬
‫‪.3‬‬
‫המבנה‪ ,  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫אינו אגודה‪ ,‬שכן‪.  22   26  28  2  :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .4‬נניח כי ‪ X‬היא קבוצה‪ .‬נסמן ב‪ A -‬את אוסף כל תתי‪-‬הקבוצות של ‪. X‬‬
‫(למשל עבור‪ X  1,3,5 :‬אז ‪.) A   , 1,3,5 , 1,3 , 1,5 , 3,5 , 1 , 3 , 5‬‬
‫הפעולה שניקח היא פעולה בינארית של חיתוך‪.  A,  :‬‬
‫נבדוק האם פעולה זו היא אגודה או שלא באופן הבא‪:‬‬
‫א‪ .‬נוכיח כי מקיימת סגירות‪:‬‬
‫נניח שיש לנו‪ . a1 , a2  A :‬מההנחה כי‪ a1  A :‬נובע כי‪. a1  X :‬‬
‫מההנחה כי‪ a2  A :‬נובע כי‪. a2  X :‬‬
‫כדי לוודא כי ‪ a1 a2  A‬יש לבדוק כי‪. a1 a2  X :‬‬
‫במילים אחרות נרצה לבדוק כי לכל ‪ a1 a2  z‬מתקיים‪. z  X :‬‬
‫ואכן מכך ש‪ a1 a2  z -‬נובע כי ‪ a1  z‬ומכך ש‪ a1  A -‬נובע כי ‪ z  X‬כנדרש‪.‬‬
‫ב‪ .‬בתור תרגיל נבדוק אסוציאטיביות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫איבר אדיש‪:‬‬
‫נניח ‪  A, ‬אגודה‪ .‬האיבר ‪ e  A‬נקרא אדיש‪ ,‬ניטרלי או יחידה‪ ,‬אם מתקיים‬
‫כי לכל איבר כלשהו ‪. e  a  a  e  a : a  A‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬האיבר ‪ 0‬הוא אדיש במבנה ‪  ,  ‬ו‪ 1-‬הוא איבר אדיש במבנה ‪.  ,‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A‬היא אוסף תתי ‪-‬הקבוצות של ‪ X‬נתונה אז ‪ X‬הוא האדיש‬
‫ל‪  A,  -‬ו‪  -‬אדיש ל ‪.  A,  -‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫באגודה ‪  A, ‬יש איבר אדיש אחד לכל היותר‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נניח כי ‪ e1 , e2‬אדישים באגודה הנ"ל‪ ,‬אז‪e1  e1  e2  e2 :‬‬
‫כאשר בשוויון הראשון ‪ e2‬אדיש ובשוויון האחרון ‪ e1‬אדיש‪ .‬כלומר‪. e1  e2 :‬‬
‫מונואיד‪:‬‬
‫אגודה עם איבר אדיש נקראת אדישון (מונואיד ‪ -‬יחידון)‪.‬‬
‫נהוג לסמן את האדישון ‪  A, ‬כ ‪ 1 A, -‬או בקיצור ‪.1A‬‬
‫תת‪-‬יחידון‪:‬‬
‫נניח ‪  A, ‬יחידון עם איבר אדיש ‪ , 1A‬ונניח גם כי‪. B  A :‬‬
‫נאמר כי ‪ B‬תת‪-‬יחידון של ‪ A‬אם"ם ‪ B‬יחידון ו‪.1B  1A -‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫המבנה ‪  ,‬הוא תת יחידון של המבנה ‪.  ,‬‬
‫הפיכות‪:‬‬
‫נניח כי ‪  A, ‬יחידון עם אדיש ‪ , 1A‬ונניח גם כי‪. a, b  A :‬‬
‫נאמר כי ‪ b‬הופכי של ‪ a‬אם"ם ‪ . a  b  b  a  1A‬במקרה זה נאמר כי ‪ a‬הפיך‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬ביחידון ‪  ,  ‬האדיש הוא אפס‪ . 1  0 :‬כאן כל האיברים הם הפיכים שכן‬
‫לכל ‪ n‬יש ‪ . n‬ההופכי של ‪ 0‬הוא ‪ 0‬ואכן באופן כללי נובע מההגדרה של יחידון‬
‫כי יחידון הוא הפיך והוא ההופכי של עצמו‪.‬‬
‫‪ .2‬לגבי‪  , :‬האדיש הוא ‪ 1‬והוא גם הפיך‪ ,‬האיבר ההפיך הנוסף הוא ‪ -1‬וזהו‪.‬‬
‫‪3‬‬