הפקולטה למדעים ) 90002 ( " הסתברות למהנדסים -" בקורס

Comments

Transcription

הפקולטה למדעים ) 90002 ( " הסתברות למהנדסים -" בקורס
‫הפקולטה למדעים‬
‫מבחן סוף סמסטר בקורס ‪" -‬הסתברות למהנדסים" (‪)90002‬‬
‫המרצים‪ :‬ד"ר אלכס קפלונובסקי וד"ר אלעד שגב‬
‫סמסטר ב'‪ ,‬תשע"ד‪,‬‬
‫מועד א'‪,‬‬
‫תאריך המבחן ‪99.2.9002 :‬‬
‫הוראות המבחן‪:‬‬
‫‪ ‬משך המבחן ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫‪ ‬עליך לפתור סה''כ ‪( 2‬ארבע) שאלות מתוך ‪ .5‬הסבר‪/‬י ונמק‪/‬י את תשובותיך‪ .‬תשובה‬
‫מספרית יש לתת בשלוש ספרות אחרי הנקודה‪.‬‬
‫‪ ‬נא לרשום בראש המחברת אלו שאלות יש לבדוק‪.‬‬
‫‪ ‬חומר עזר מוגבל – חומר לימוד מהרצאות ודפי נוסחאות סטנדרטיים מודפסים מאתר‬
‫הקורס בכתובת‪http://www.hit.ac.il/ac/files/Eugene.Kanzieper/teaching/ps/ps.htm :‬‬
‫‪ ‬מותר להשתמש במחשבון פשוט‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫ברשותו של חובב אלקטרוניקה ‪ 5‬קבלים שונים (בעלי קיבול של ‪ 0,9,3,2,5‬פראד) ו‪5-‬‬
‫סלילים שונים (בעלי השראות של ‪ 0,9,3,2,5‬הנרי)‪ ,‬ברשותו של חובב האלקטרוניקה לוח עם‬
‫‪ 00‬מקומות המסודרים בשורה‪ ,‬ובכל מקום ניתן לחבר קבל או סליל לבחירתו‪ .‬חובב‬
‫האלקטרוניקה מסדר את הקבלים והסלילים בשורה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו מספר הסידורים השונים של קבלים וסלילים שניתן לסדר (להזכירכם‪ ,‬כל‬
‫הקבלים שונים זה מזה וכן כל הסלילים שונים זה מזה)? (‪ 00‬נק')‬
‫הקבלים והסלילים סודרו באופן אקראי‪ ,‬מהי ההסתברות שכל הקבלים סודרו סמוך‬
‫אחד לשני (‪ 00‬נק')‬
‫ידוע שרכיבי האלקטרוניקה (הקבלים והסלילים) סודרו כך שבין כל שני קבלים יש‬
‫סליל אחד‪ ,‬ובין כל שני סלילים יש קבל אחד‪ .‬ידוע גם שהקבל בעל ‪ 0‬פראד סודר‬
‫בקצה השורה‪ .‬מהי ההסתברות שהסליל בעל השראות של ‪ 0‬הנרי חובר בצמוד‬
‫אליו? (‪ 5‬נק')‬
‫פתרון‬
‫א‪Pn  n! , P10  10!  3,628, 800 .‬‬
‫ב‪ .‬נקבץ את הקבלים ונחשב את מספר הסידורים מוכפל במספר הסידורים הפנימיים‬
‫!‪A 6! 5‬‬
‫‪86, 400‬‬
‫של הקבלים‬
‫‪P  A ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.0238‬‬
‫‪‬‬
‫‪10! 3, 628,800‬‬
‫ג‪ .‬מספר הסידורים כ‬
‫ד‪ .‬ך שבין כל שני קבלים יש סליל אחד‪ ,‬ובין כל שני סלילים יש קבל אחד‪ ,‬וכן הקבל של‬
‫‪ 0‬פאראד נמצא בקצה‪ ,‬הוא ‪A  4! 5! 2  5,760‬‬
‫הפקולטה למדעים‬
‫‪ =B‬מספר הסידורים (מתוך ‪ )A‬אשר בהם הקבל של ‪ 0‬פראד נמצא בסמוך לסליל של‬
‫‪1,152‬‬
‫‪P  B | A ‬‬
‫‪ 0‬הנרי ‪ 0.2 B  4! 4! 2  1,152‬‬
‫‪5, 760‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫במאפיה עובדים שני אופים‪ ,‬היודעים לאפות רק עוגות משני סוגים‪ :‬עוגות גבינה ועוגות‬
‫שוקולד‪ 20% .‬מהעוגות במאפייה נאפות על ידי אופה א' מהן ‪ 20%‬עוגות שוקולד‪00% .‬‬
‫מהעוגות הנאפות על ידי אופה ב' הן עוגות שוקולד‪ .‬כל עוגה נארזת בקופסה‪ .‬אדם שבא‬
‫לקנות עוגה בוחר בקופסה אקראית‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מה ההסתברות שבחר בעוגת גבינה‪ 00( .‬נק')‬
‫אם הוא בחר בעוגת גבינה‪ ,‬מהי ההסתברות שהעוגה נאפתה על ידי אופה א'?‬
‫(‪ 00‬נק')‬
‫אדם שמעוניין בלפחות ‪ 3‬עוגות גבינה‪ ,‬בוחר ‪ 00‬קופסאות באופן אקראי‪ .‬מהי‬
‫ההסתברות שימצא את מבוקשו?(ניתן להניח כי יש כמות גדולה מאוד של עוגות‪,‬‬
‫וכי ההסתברות לבחירת עוגה מסויימת נשמרקבוע) (‪ 5‬נק')‬
‫פתרון‬
‫נגדיר ‪ -A1‬אופה א'‪ - A2,‬אופה ב'‪P  A1   0.6; P  A2   0.4 .‬‬
‫נגדיר ‪ B‬עוגות שוקולד‪ - B ,‬עוגות גבינה‪.‬‬
‫בנוסף נתון ‪P  B | A1   0.4; P  B | A2   0.7; P  B | A1   0.6; P  B | A2   0.3‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪P  B   P  B | A1   P  A1   P  B | A2   P  A2   0.6  0.6  0.3  0.4  0.48‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪0.6  0.6‬‬
‫;‪ 0.75‬‬
‫‪0.48‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪P  B | A1   P  A1 ‬‬
‫‪PB‬‬
‫‪P  A1 | B  ‬‬
‫; ‪X ~ Bin  n  10, p  0.48‬‬
‫‪P  X  3  1   P  X  0   P  X  1  P  X  2   ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1   C100  0.480  0.5210  C10‬‬
‫‪ 0.481  0.529  C102  0.482  0.528   0.930‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫מספר הפעמים שאדם מצטנן במהלך שנה הוא משתנה מקרי פואסוני עם ממוצע ‪5( =5‬‬
‫פעמים בשנה)‪.‬‬
‫א‪ .‬אדם נבחר באופן מקרי מהאוכלוסייה‪ .‬מה ההסתברות שהיה מצונן בדיוק פעמים‬
‫במשך השנה האחרונה? (‪ 00‬נק')‬
‫הפקולטה למדעים‬
‫חברת תרופות פיתחה חיסון המקטין את ממוצע מספר הפעמים שאדם מצטנן בשנה ל‪3-‬‬
‫(‪ (=3‬ל‪ 05% -‬מהמחוסנים‪ .‬על שאר ‪ 95%‬מהמחוסנים החיסון לא ישפיע‪ .‬החיסון ניתן‬
‫לכלל האוכלוסיה‪.‬‬
‫ב‪ .‬אדם נבחר באופן אקראי (מתוך האוכלוסיה המחוסנת)‪ ,‬מהי ההסתברות שהוא‬
‫הצטנן בדיוק פעמיים בשנה האחרונה? (‪ 00‬נק')‬
‫ג‪ .‬שלושה אנשים נבחרו באופן מקרי מהאוכלוסייה (המחוסנת)‪ .‬מה ההסתברות‬
‫שבדיוק אחד מהם היה מצונן פעמיים במשך השנה אם ידוע שלפחות אחד מהם היה‬
‫מצונן פעמיים במשך השנה החולפת? (‪ 5‬נק')‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬נסמן ב ‪ X‬את מספר הפעמים שאדם הצטנן במהלך שנה‪.‬‬
‫‪52 5‬‬
‫‪ P  x  2    e  0.0842‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪X ~ P    5‬‬
‫‪e‬‬
‫ב‪ .‬נגדיר את המאורע ‪ – A‬האוכלוסיה עליה החיסון משפיע‪,‬‬
‫‪k‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪Px  k ‬‬
‫‪X A ~ P    3 , X A ~ P    5 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪P  A  0.75, P A  0.25‬‬
‫‪32  e3‬‬
‫‪52  e5‬‬
‫‪ 0.75 ‬‬
‫‪ 0.25  0.189‬‬
‫!‪2‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪P( X  2)  P  X  2 | A  P  A   P  X  2 | A  P A ‬‬
‫ג‪ .‬נגדיר משתנה ‪ Y‬הסופר את מספר האנשים במדגם של ‪ 3‬שהצטננו בדיוק פעמיים‬
‫; ‪Y ~ Bin  n  3, p  0.189 ‬‬
‫‪P Y  1‬‬
‫‪P Y  1  Y  1‬‬
‫‪C31  0.1891  0.8112‬‬
‫‪ 0.799‬‬
‫‪P Y  1‬‬
‫‪1  P Y  0  1  C30  0.1890  0.8113‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫בעת איסוף התוצרת החקלאית מהשדה מכניס האיכר בדיוק ‪ 50‬עגבניות בכל ארגז‪ ,‬כאשר‬
‫לכל ארגז הוא מכניס בדיוק ‪ 05‬עגבניות סוג א'‪ 00 ,‬עגבניות סוג ב'‪ ,‬והיתר מסוג ג'‪ .‬מכל‬
‫ארגז דוגם החקלאי באקראי (ללא החזרה) ‪ 09‬עגבניות‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שבמדגם מסויים הוא יוצא בדיוק ‪ 2‬עגבניות מסוג א? (‪ 00‬נק')‬
‫ב‪ .‬הפרש מדגמי לארגז יוגדר כהפרש בין מספר העגבניות מסוג א' במדגם לבין מספר‬
‫העגבניות סוג ב' באותו מדגם‪ ,‬שנלקח מארגז מסוים‪ .‬מהי התוחלת של הפרש‬
‫מדגמי? (‪ 00‬נק')‬
‫ג‪ .‬נמצא כי מקדם המתאם בין מספר העגבניות מסוג א' לבין מספר העגבניות מסוג ב'‪,‬‬
‫בתוך אותו המדגם הנלקח מארגז מסוים‪ ,‬הוא (‪ .)-0.2‬חשב את השונות המשותפת‪:‬‬
‫)‪ 5( .cov(x,y‬נק')‬
‫‪‬‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪P Y  1| P Y  1  ‬‬
‫הפקולטה למדעים‬
‫‪X ~ Hyp  n  50, D  15, n  12 ‬‬
‫‪CDk CNn kD C156 C356‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.067‬‬
‫‪12‬‬
‫‪CNn‬‬
‫‪C50‬‬
‫‪P  X  6 ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ 12  3.6‬‬
‫‪N‬‬
‫‪50‬‬
‫‪D‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Y ~ Hyp  n  50, D  10, n  12  , E Y   n  12  2.4‬‬
‫‪N‬‬
‫‪50‬‬
‫‪E  Z   E  X  Y   E  X   E Y   3.6  2.4  1.2‬‬
‫‪EX   n‬‬
‫‪X ~ Hyp  n  50, D  15, n  12  ,‬‬
‫ג‪.‬‬
‫) ‪COV ( X , Y‬‬
‫‪ 0.6‬‬
‫] ‪VAR[ X ]  VAR[Y‬‬
‫‪15  15  50  12 ‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪  1.954‬‬
‫‪50  50  50  1 ‬‬
‫‪  x, y  ‬‬
‫*‪VAR  X   12‬‬
‫‪10  10  50  12 ‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪  1.489‬‬
‫‪50  50  50  1 ‬‬
‫*‪VAR Y   12‬‬
‫‪COV  X , Y     x, y  VAR[ X ]  VAR[Y ]  0.6  1.954  1.489  1.023‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫נמצא כי משקל הגברים בישראל מתפלג נורמאלית עם ממוצע של ‪ 07‬ק"ג עם וסטיית תקן‬
‫של ‪ 00‬ק"ג‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז הגברים השוקלים יותר מ ‪ 20‬ק"ג? (‪ 00‬נק')‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שבמדגם אקראי של ‪ 00‬גברים‪ .‬ימצאו בדיוק שני גברים במשקל של‬
‫מעל ל‪ 20‬ק"ג? (‪ 00‬נק')‬
‫ג‪ .‬למעלית בעלת כושר נשיאה של ‪ 200‬ק"ג נכנסו ‪ 5‬גברים‪ ,‬מהי ההסתברות שמשקלם‬
‫המשותף לא יעלה על ‪ 200‬ק"ג? (‪ 5‬נק')‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬נגדיר את ‪ X‬כמשקל לגבר בודד‬
‫‪X ~ N    78,  2  100 ‬‬
‫‪ 90  78 ‬‬
‫‪P  X  90   1  P  X  90   1   ‬‬
‫‪  1   1.2   0.115= 11.5%‬‬
‫‪ 10 ‬‬
‫ב‪ .‬נגדיר משתנה ‪ =Y‬סופר את מספר הגברים השוקלים מעל ‪20‬‬
‫הפקולטה למדעים‬
Y ~ Bin  n  10, p  0.115
P Y  2   C102 0.1152 1  0.115  0.2240
8
‫ גברים‬5 ‫ שסוכם את משקלם של‬,Z ‫ נגדיר משתנה‬.‫ג‬
E  Z   5  E  X   390, Var  Z   5 Var  X   500
Z ~ N    390,  2  500 
 410  390 
P  Z  410    
    0.89   0.8145
500 

!‫בהצלחה‬

Similar documents