שאלות בסגנון בחינות הבגרות, ואיסטרטגיות פתירה

‫תרגילי הסתברות "לבגרות"‬
‫מבוא‬
‫בדפים שלהלן שאלות בהסתברות מן הסוג העשוי להופיע בבחינות הבגרות במתמטיקה בשאלון ‪) 005‬ל‪ 4-‬ול‪-‬‬
‫‪ 5‬יח"ל(‪ ,‬ופתרונות לשאלות אלה‪.‬‬
‫גם אם פתרת בעיה בכוחות עצמך כדאי לקרוא גם את הפתרון המוצע כאן ולהשוותו לפתרון שלך‪ .‬ובכלל‪,‬‬
‫מחשבה נוספת על הפתרון הבאה אחרי הפתירה‪ ,‬עוזרת להפוך אותו לנכס מחשבתי המסיע לפתירת בעיות‬
‫נוספות‪.‬‬
‫גוף הפתרון יופיע להלן באות רגילה ואילו הדיונים על הפתרון‪ ,‬כולל השיקולים שלפני הפתירה‬
‫ואחריה‪ ,‬יופיעו באות אחרת‪.‬‬
‫בעיה ‪:1‬‬
‫ההסתברות להצלחה בנסיון א היא ‪ , 0.7‬הסתברות ההצלחה בנסיון ב היא ‪ 0.6‬ואילו לנסיון ג הסתברות‬
‫הצלחה ‪. 0.5‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להצלחה אחת לפחות אם מבצעים את כל שלושת הנסיונות?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להצלחה כאשר נסיון ב מבוצע רק אם נסיון א נכשל ונסיון ג מבוצע רק אם נסיון ב‬
‫נכשל?‬
‫ג‪ .‬מבצעים את שלושת הנסיונות‪ .‬מה ההסתברות לכך שבדיוק שנים מהם יצליחו?‬
‫הערה‪ :‬סוג הנסיונות אינו חשוב לעניננו‪ .‬השאלה יכולה לדבר על שלושה לוחמים היורים טילים על טנק אויב‬
‫או על גנן‪-‬חובב המנסה להרכיב עץ מזן אחד על עץ מזן אחר בשלוש שיטות שונות‪.‬‬
‫פתרון ל‪-‬א‪.‬‬
‫המאורע "יש הצלחה" מתפרק להרבה אפשרויות‪" ,‬הצלחה בנסיון א בלבד"‪" ,‬הצלחה בנסיונות‬
‫א ו‪-‬ב אך לא בנסיון ג" ועוד‪ .‬במקרה כזה כדאי לבדוק אם לא קל יותר לחשב את ההסתברות‬
‫של המאורע המשלים ולהשתמש במשפט )‪ . P(A)=1-P(A‬ואמנם‪,‬‬
‫= )כשלון ב‪-‬ג(‪).P‬כשלון ב‪-‬ב(‪).P‬כשלון ב‪-‬א(‪) = 1-P‬אין הצלחה(‪)=1-P‬יש הצלחה(‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪=1 - 0.3 0.4 0.5 = 1-0.06 = 0.94‬‬
‫פתרון ל‪-‬ב‪.‬‬
‫הדרך בה פתרנו את א מתאימה גם ל‪-‬ב‪ .‬הפתרון הוא אותו פתרון‪.‬‬
‫דבר זה אינו מפתיע‪ .‬ההבדל שבין א ו‪-‬ב הוא רק בשאלה אם מתכננים להמשיך בנסיונות אחרי‬
‫שהושגה הצלחה אחת‪ .‬זה אינו משנה את ההסתברות לכך שהצלחה אחת אמנם תושג‪.‬‬
‫פתרון אחר ל‪-‬ב‬
‫= )כשלונות ב‪-‬א וב‪-‬ב והצלחה ב‪-‬ג(‪) + P‬כשלון ב‪-‬א והצלחה ב‪-‬ב(‪) + P‬הצלחה ב‪-‬א(‪)= P‬יש הצלחה(‪P‬‬
‫‪= 0.7 + 0.3 . 0.6 + 0.3 . 0.4 . 0.5 = 0.7 + 0.18 + 0.06 = 0.94‬‬
‫עיון יראה שגם דרך פתירה זאת טובה גם בשביל א אבל הדרך הקודמת צריכה פחות חישובים‪.‬‬
‫פתרון ל‪-‬ג‬
‫=)בדיוק שתי הצלחות(‪P‬‬
‫=)כשלון הצלחה הצלחה(‪) + P‬הצלחה כשלון הצלחה(‪)+P‬הצלחה ב‪-‬א הצלחה‪-‬ב וכשלון ב‪-‬ג(‪=P‬‬
‫‪= 0.7 . 0.6 . 0.5 + 0.7 . 0.4 . 0.5 + 0.3 . 0.6 . 0.5 = 0.21 + 0.14 + 0.09 = 0.44‬‬
‫את ג אפשר לפתור גם על‪-‬ידי בנית דיאגרמת‪-‬עץ וחיבור ההסתברויות של המסלולים הכוללים‬
‫בדיוק שתי הצלחות‪ .‬בדיאגרמה המצורפת נכתבו ההסתברויות של כל המסלולים‪ .‬אם היינו‬
‫‪- 71 -‬‬
‫מחשבים רק את ההסתברויות של המסלולים הכוללים בדיוק שתי הצלחות היה מהלך החישוב‬
‫זהה לזה שפירטנו‪.‬‬
‫‪0.7‬‬
‫התוצאה ב‪-‬א‬
‫‪0.3‬‬
‫הצלחה‬
‫‪0.6‬‬
‫כשלון‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.6‬‬
‫התוצאה ב‪-‬ב‬
‫כשלון הצלחה‬
‫הצלחה‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5‬‬
‫(‪P‬‬
‫התוצאה ב‪-‬ג הצלחה כשלון הצלחה כשלון הצלחהכשלון הצלחה כשלון‬
‫‪0.06 0.06 0.09 0.09 0.14 0.14 0.21 0.21‬‬
‫כשלון‬
‫כיצד היינו יכולים לפתור את א בעזרת הדיאגרמה? )יש שתי דרכים‪ .‬קצרה וארוכה‪(.‬‬
‫הערה‪ :‬דיאגרמה מלאה בשביל ב תֵ ראה כך‪:‬‬
‫‪0.7‬‬
‫התוצאה ב‪-‬א‬
‫התוצאה ב‪-‬ב‬
‫התוצאה ב‪-‬ג‬
‫הצלחה‬
‫‪0.7‬‬
‫‪0.3‬‬
‫כשלון‬
‫‪0.6‬‬
‫הצלחה‬
‫‪0.18‬‬
‫‪0.4‬‬
‫כשלון‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫הצלחה כשלון‬
‫‪0.06 0.06‬‬
‫‪ .2‬כאשר אדם מתכנן שוד הוא מכין לעצמו שקרים מתאימים ולכן ההסתברות שהוא יורשע היא ‪,1/5‬‬
‫ואילו לאדם שאינו אשם אין כל מושג על הטיעונים המפלילים שבידי המשטרה‪ ,‬לכן קשה לו להתגונן‪ ,‬לכן‬
‫ההסתברות שהוא יורשע היא ‪.2/5‬‬
‫אדם עומד לדין באשמת שוד‪ .‬איננו יודעים אם הוא שדד או לא‪ ,‬אך מסיבות שונות אנו מעריכים שההסתברות‬
‫שהוא אשם היא ‪. 3 / 4‬‬
‫האיש הורשע‪ .‬מהי כעת ההסתברות שהוא באמת אשם?‬
‫הערה‪ :‬שאלה בנוסח כזה לא תופיע בבחינות הבגרות משום שיש בה רכיב מבלבל‪ .‬נדון בו אחרי‬
‫הפתרון‪.‬‬
‫פתרון‬
‫בבעיה מופיע נתון על הסתברות מותנית אחת‪) ,‬שדד | יורשע(‪ , P‬ומבוקשת ההסתברות המותנית‬
‫ההפוכה )יורשע | שדד(‪ . P‬במקרה כזה משתמשים במשפט בייס‪ ,‬המקבל בשביל בעיתנו את‬
‫הנוסח‬
‫)יורשע | שדד(‪) . P‬יורשע(‪) = P‬שדד | יורשע(‪) . P‬שדד(‪P‬‬
‫נתון ש‪)=3/4 -‬שדד(‪ P‬ו‪)=1/5 -‬שדד | יורשע(‪ P‬ואילו )יורשע | שדד( ‪ P‬מבוקש ויסומן ‪. x‬‬
‫נותר אפוא למצוא את )יורשע(‪ . P‬מומלץ למצוא אותו בעזרת דיאגרמת עץ )המלצה זאת טובה‬
‫להרבה מקרים בהם אנו צריכים את הכופל של הנעלם שאצל שימוש בנוסחת בייס(‪.‬‬
‫‪- 72 -‬‬
‫‪3/4‬‬
‫שדד‬
‫‪1/5‬‬
‫‪4/5‬‬
‫ובסך הכל ‪) = 2/20 + 3/20 = 5/20 = 1/ 4‬יורשע(‪P‬‬
‫יורשע‬
‫‪3/20‬‬
‫ומכאן המשוואה‬
‫‪3⋅1 = 1 x‬‬
‫‪4 5 4‬‬
‫יזוכה‬
‫‪1/4‬‬
‫לא שדד‬
‫‪3/5‬‬
‫‪2/5‬‬
‫יורשע‬
‫‪2/20‬‬
‫יזוכה‬
‫ופתרונה ‪ = x = 3‬ההסתברות ששדד אם הורשע בדין ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫שאלה למחשבה‪ :‬מה בנתוני הבעיה הביא למסקנה המוזרה שהרשעה בדין מקטינה את‬
‫ההסתברות שהאיש אמנם שדד?‬
‫הערה‪ :‬מחברי הבחינות אינם מעוניינים בהכשלת הנבחנים ולכן הם נמנעים משאלות‬
‫שהתשובות הנכונות להן עושות רושם שהן שגויות‪ .‬אם קיבלת במבחן תשובה מוזרה – חזור‬
‫ובדוק את פתרונך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתון ש‪-‬‬
‫‪(5043) =99884400‬‬
‫חשב את‬
‫)‪( 5044‬‬
‫פתרון א‪:‬‬
‫) ( )(‬
‫בנוסחת‪-‬הנסיגה ‪ nr = r n− 1 ⋅ n − r + 1‬השתמשנו בעיקר כדי להגיע לנוסחה המפורשת‬
‫‪r‬‬
‫!‪n‬‬
‫= ‪ . nr‬רק הנוסחה המפורשת נכללת בתוכנית החובה‪ .‬והיא תופיע‪ ,‬מן הסתם‪ ,‬בדפי‬
‫!) ‪r !⋅ (n − r‬‬
‫הנוסחאות המצורפים לשאלון‪ .‬אך אם אתה זוכר את נוסחת הנסיגה תוכל להשתמש בה באופן‬
‫ישיר כך‪:‬‬
‫‪50 = 50 ⋅ 50 - 44 + 1 = 99884400 × 7 = 15890700‬‬
‫‪44‬‬
‫‪43‬‬
‫‪44‬‬
‫‪44‬‬
‫פתרון ב‪:‬‬
‫‪50‬‬
‫‪ 50‬לפי הנוסחה המפורשת ולחפש קשר‬
‫אם לא אז הדבר הטבעי הוא לכתוב את ‪ 43‬ואת ‪44‬‬
‫ביניהם‪.‬‬
‫!‪50 = 50‬‬
‫!‪50 = 50‬‬
‫ואילו !‪43 43!⋅ 7‬‬
‫!‪44 44!⋅ 6‬‬
‫נחפש קשר בין המקומות שהביטויים שונים זה מזה ונמצא ש‪ 44!=43!.44 -‬ו‪ . 7!=6!.7 -‬ומכאן‬
‫‪50 = 50! = 50! ⋅ 7 = 50 ⋅ 7 = 99884400 ⋅ 7 = 15890700‬‬
‫הפתרון‬
‫‪44 44!⋅ 6! 43!⋅ 44 ⋅ 7! 43 44‬‬
‫‪44‬‬
‫פתרון ג )דומה לפתרון ב(‪:‬‬
‫נתון‪ 50 ⋅ 45 ⋅ ... ⋅ 8 = 99884400 :‬ומבוקש ‪ . 50 ⋅ 49 ⋅ ... ⋅ 7‬מכאן כמקודם‪.‬‬
‫‪1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 44‬‬
‫‪1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 43‬‬
‫)(‬
‫) ( ) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪ .4‬שני חלקי השאלה הנוכחית עוסקים בהטלת ‪ 10‬מטבעות תקינות‪.‬‬
‫‪63‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬הראה בלי עזרת מחשבון או טבלה‪-‬מוכנה שההסתברות לקבלת "ציור" בדיוק ‪ 5‬פעמים‪ ,‬היא ⋅ ‪.‬‬
‫‪64 4‬‬
‫ב‪ .‬מה נובע מהעובדה שההסתברות הנ"ל קטנה במקצת מ‪ 1/4 -‬על ההסתברות לקבלת "ציור" יותר מ‪5-‬‬
‫פעמים?‬
‫‪- 73 -‬‬
‫פתרון ל‪-‬א‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫)(‬
‫לפי נוסחת ברנולי‪,‬‬
‫‪63‬‬
‫‪28‬‬
‫‪10−1−1−1‬‬
‫=‬
‫)(‬
‫‪1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10 ⋅ 1‬‬
‫‪(1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5) ⋅ (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5) 2‬‬
‫‪= 10! ⋅ 1‬‬
‫‪5!⋅ 5! 2‬‬
‫‪10‬‬
‫=‬
‫‪10‬‬
‫) () (‬
‫‪1‬‬
‫‪P10,1/ 2 ( x = 5) = 10‬‬
‫‪5 ⋅ 2‬‬
‫)(‬
‫‪= 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10 ⋅ 1‬‬
‫‪(1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5) ⋅ (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5) 2‬‬
‫)שים לב למשמעות הצמצומית של הקטנת המעריך ב‪( 1-‬‬
‫פתרון ל‪-‬ב‪:‬‬
‫האם אתה מנחש שההסתברות ליותר מ‪" 5-‬ציור" שוה להסתברות לפחות מ‪" 5-‬ציור"?‬
‫ניחוש יכול לשמש שתי מטרות‪ .‬הוא יכול להצביע על דבר שכדאי לנסות להוכיח אותו‪ ,‬והוא‬
‫יכול לתת נקודות במבחן גם אם לא הצלחת להוכיח אותו‪ .‬ותחילה ניגש להוכחה‪.‬‬
‫בהטלת מטבע אחד ההסתברות ל"ציור" שוה להסתברות ל"מספר"‪ ,‬לכן בהטלת ‪ 10‬מטבעות ההסתברות ל‪6-‬‬
‫"ציור" )למשל( שווה להסתברות ל‪" 6-‬מספר"‪ ,‬כלומר‪ ,‬ל‪" 4-‬ציור"‪ .‬באופן דומה נקבל שההסתברות ל‪7-‬‬
‫"ציור" שוה להסתברות ל‪" 3-‬ציור"‪ ,‬וכן הלאה‪.‬‬
‫מכיוון שההסתברות ל‪" 5-‬ציור" קטנה מ‪ ¼ -‬הרי ש ¾> )פחות מ‪)+ P(5-‬יותר מ‪P( 5-‬‬
‫לכן ‪) >3/8‬יותר מ‪. P(5-‬‬
‫‪:‬ומה אם לא היינו מצליחים להראות ש‪) -‬פחות מ‪)= P(5-‬יותר מ‪ ? P( 5-‬גם במקרה זה כדאי‬
‫לכתוב את שאר הפתרון וזאת בגלל השיקולים הבאים )שאינם שיקולים מתמטיים אלא שיקולי‪-‬‬
‫בחינה(‪ .‬ראשית‪ ,‬יתכן שהבוחן יחשוב שהשוויון הנ"ל ברור מאליו ויתן לך את מלוא הנקודות‪.‬‬
‫שנית‪ ,‬גם תשובה חלקית מזכה בנקודות‪ .‬שלישית‪ ,‬אין לך מה להפסיד כי העדר תשובה אינו‬
‫גרוע מתשובה שגויה )זה נכון רק במבחן‪ ,‬ורק אם אינך יכול לבחור בשאלה אחרת(‪ ,‬ורביעית‪,‬‬
‫מתקבל על הדעת שהשוויון נכון כי אלמלא כן היתה השאלה קשה מדי בשביל בחינת בגרות‪.‬‬
‫‪ .5‬לניסוי מסוים שתי תוצאות אפשריות‪ ,‬הצלחה וכשלון‪ .‬הסתברויותיהן שונות מ‪ , 0-‬ואם חוזרים על הנסיון‬
‫מספר פעמים אז הסתברות ההצלחה בכל חזרה אינה תלויה בתוצאות החזרות הקודמות‪.‬‬
‫חישבו ומצאו שבסידרה בת ‪ 5‬חזרות על ניסוי זה‪ ,‬ההסתברות ל‪ 3-‬הצלחות שווה להסתברות ל‪ 4-‬הצלחות‪ .‬מה‬
‫הסתברות ההצלחה בנסיון יחיד?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן את הסתברות ההצלחה בנסיון יחיד ב‪ p-‬ואת הסתברות הכשלון ב‪. q-‬‬
‫לרוב נח יותר לסמן כך ולזכור ש‪ p+q=1-‬מאשר לסמן את הסתברות הכשלון ב‪. 1-p -‬‬
‫מנוסחת ברנולי נקבל שב‪ 5-‬חזרות‪ ,‬ההסתברות ל‪ 3-‬הצלחות היא ‪ 10p3q2‬וההסתברות ל‪ 4-‬הצלחות היא‬
‫‪ . 5p4q‬לכן ‪ 10p3q2=5p4q‬לכן ‪ 2q=p‬לכן ‪ p=2/3‬ו‪. q=1/ 3 -‬‬
‫האם התוצאה סבירה?‬
‫אילו‪ ,‬למשל‪ ,‬היה ‪ p=q=1/ 2‬אז היתה ההסתברות ל‪ 4-‬הצלחות קטנה מההסתברות ל‪ 3-‬הצלחות‪.‬‬
‫כדי שיהיה שויון צריכה הסתברות ההצלחה להיות גדולה מהסתברות הכשלון‪.‬‬
‫ניצול ההצלחה‪ :‬פתור את בעייתנו בשינוי של נתון אחד‪ .‬למשל‪ ,‬הנח שההסתברות ל‪ 3-‬הצלחות‬
‫גדולה כפלים מההסתברות ל‪ 4-‬הצלחות‪ ,‬או הנח שמדובר בסידרה בת ‪ 6‬ניסויים‪.‬‬
‫‪ .6‬מה יוולד?‬
‫אשה עומדת ללדת‪ ,‬והיא עברה בדיקות ויודעת אם היא עומדת ללדת בן או בת‪ .‬הוריה מצפים לידיעה‪.‬‬
‫‪- 74 -‬‬
‫אומר הסבא‪-‬לעתיד‪ :‬בלידה רגילה‪ ,‬ההסתברות לבן היא ‪ . 0.51‬זה כל מה שאנחנו יודעים‪.‬‬
‫אומרת הסבתא‪-‬לעתיד‪ :‬אני עומדת לטלפן אליה ‪ .‬אם זה בן אז ההסתברות שתספר לי על כך היא ‪ 0.2‬ואילו‬
‫אם זו בת אז ההסתברות שתספר היא ‪ . 0.7‬גם אם לא תספר מאומה נדע יותר ממה שאנחנו יודעים עכשיו‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שהאשה תספר להוריה מה היא עומדת ללדת?‬
‫ב‪ .‬האשה לא סיפרה לאמה את התוצאה‪ .‬מהי כעת ההסתברות שתלד בן?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪) =0.102 + 0.343 = 0.445‬תספר(‪P‬‬
‫)לא תספר | בן(‪) P‬לא תספר(‪) = P‬בן | לא תספר(‪) P‬בן(‪P‬‬
‫‪0.51‬‬
‫‪0.8‬‬
‫=‬
‫‪0.555‬‬
‫‪X‬‬
‫‪0.408‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪= 0.7351‬‬
‫‪0.555‬‬
‫‪0.51‬‬
‫‪0.49‬‬
‫בן‬
‫בת‬
‫‪0.7 0.8‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.2‬‬
‫תספר לא תספר לא‬
‫תספר‬
‫תספר‬
‫‪0.147 0.343 0.408 0.102‬‬
‫‪ .7‬בעית שלושת הדלתות‬
‫במשחק‪-‬טלביזיה שלוש דלתות‪ .‬מאחרי אחת מהן יש פרס‪ .‬מנהל המשחק יודע היכן הפרס‪ .‬השחקן מתבקש‬
‫לבחור בדלת‪ ,‬ואם ימצא שם הפרס הוא זוכה בו‪ .‬אחרי הבחירה אך לפני פתיחת הדלת שבחר השחקן פותח‬
‫המנהל דלת אחת שאין מאחריה פרס ושאינה זו שבחר השחקן )יש לפחות דלת אחת כזאת(‪ ,‬מראה לשחקן‬
‫שאין שם פרס‪ ,‬ומציע לשחקן אפשרות )לא חובה( לשנות את בחירתו הראשונה‪ .‬השחקן בחר בדלת ג ומנהל‬
‫המשחק פתח את דלת א והראה שאין שם כלום‪ .‬האם כדאי לשחקן לשנות את בחירתו מ‪-‬ג ל‪-‬ב‪ ,‬ומה תהיה‬
‫הסתברות הזכיה אם יעשה זאת?‬
‫דיון איכותי‪:‬‬
‫אחרי שהשחקן בחר ג אך לפני שהמנהל פתח את א היו הסתברויות שוות לכך שהפרס נמצא ב‪-‬‬
‫ב או ב‪-‬ג‪.‬‬
‫‪ )=1‬הפרס ב‪-‬ב | המנהל יפתח את א(‪P‬‬
‫באותו מצב‪,‬‬
‫‪ )=0.5‬הפרס ב‪-‬ג | המנהל יפתח את א(‪P‬‬
‫ואילו‬
‫לכן העובדה שהמנהל פתח את א משנה את ההסתברויות של מקום הפרס לטובת ב‪.‬‬
‫פתירה בעזרת בייס‪:‬‬
‫נעמוד במצב שאחרי שהשחקן בחר ג אך לפני שהמנהל פתח את א‪ ,‬ונסמן‬
‫‪ = A‬המנהל יפתח דלת א‬
‫‪ = B‬הפרס ב‪-‬ב‬
‫והמבוקש הוא )‪ P(B|A‬שנסמנו ‪.x‬‬
‫)‪P(B|A) ·P(A) = P(A|B) ·P(B‬‬
‫‪x · 1/2 = 1 · 1/3‬‬
‫‪⇒ x = 2/3‬‬
‫‪ .8‬מחשב בחר באקראי מספר שלם שבין ‪ 1‬ו‪) 1000 -‬באקראי = בהסתברויות שוות לכל התוצאות‬
‫האפשריות(‪.‬‬
‫מספר זה סומן ‪ .r‬ניבדק ונמצא ש‪ r-‬אינו מתחלק ב‪ . 4-‬מה ההסתברות ש‪ r-‬זוגי?‬
‫פתירה בעזרת טבלת שכיחויות‬
‫זוגי‬
‫לא זוגי‬
‫ס "ה‬
‫מתחלק ב‪4-‬‬
‫‪250‬‬
‫‪0‬‬
‫‪250‬‬
‫לא מתחלק ב‪4-‬‬
‫‪250‬‬
‫‪500‬‬
‫‪750‬‬
‫ס"ה‬
‫‪500‬‬
‫‪500‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪- 75 -‬‬
‫הידיעה ש‪ r-‬אינו מתחלק ב‪ 4-‬השאירה ‪ 750‬אפשרויות שכולן שוות הסתברות ומתוכן ‪ 250‬זוגיים לכן‬
‫ההסתברות המבוקשת היא ‪. 250/750=1/3‬‬
‫בשביל שני הפתרונות הבאים נסמן ב‪ A-‬את "‪ r‬לא מתחלק ב‪ "4-‬ונסמן ב‪ B-‬את "‪ r‬זוגי"‪.‬‬
‫פתירה בעזרת עקרון ההסתברות המותנית‬
‫‪P ( B ∩ A) 1/ 4 1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫= )‪P ( B | A‬‬
‫)‪P ( A‬‬
‫‪3/ 4 3‬‬
‫פתרון בעזרת בייס‬
‫)‪P( B | A) P ( A) = P( A | B) P ( B‬‬
‫לכן ‪. x=1/3‬‬
‫כלומר‪,‬‬
‫‪x⋅ 3 = 1 ⋅1‬‬
‫‪4 2 2‬‬
‫)צריך‪ ,‬כמובן‪ ,‬לנסח תשובה במלים‪(.‬‬
‫‪ .9‬בכל חזרה על ניסוי מסויים הסתברות ההצלחה היא ‪ . 0.2‬כמה חזרות יש לבצע אם רוצים שההסתברות‬
‫לקבל לפחות שתי הצלחות תהיה גדולה‪-‬או‪-‬שוה ל‪? 0.95 -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫לכאורה רוצים אנו לפתור את אי‪-‬השוויון‬
‫‪ n) ≥ 0.95‬הצלחות(‪ 3) + .. + P‬הצלחות(‪ 2) + P‬הצלחות(‪P‬‬
‫כאשר ‪ n‬הוא מספר הניסויים המבוקש‪ ,‬אך ‪ n‬עדין אינו ידוע לכן מספר המחוברים אינו ידוע לכן‬
‫‪) ≤ 0.05‬הצלחה אחת(‪ 0) + P‬הצלחות(‪P‬‬
‫כדאי לעבור למשלים‪ ,‬כלומר‪ ,‬לאי השוויון‬
‫ההסתברות להצלחה אחת או פחות‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪−‬‬
‫‪n 0.8 + n ⋅ 0.2 ⋅ 0.8 = 0.8 + n ⋅ 0.2 ⋅ 0.8 1 ≤ 0.05‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.8n-1(0.8+0.2n) ≤0.05‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫קשה לראות דרך אלגברית לפתרון אי‪-‬השויון הזה‪ ,‬אך מכיוון שהגדלת ‪ n‬מקטינה את ההסתברות‬
‫שמספר ההצלחות לא יעבור את אחד‪ ,‬לכן אפשר לחפש את הפתרון על‪-‬ידי שורת נסיונות‪.‬‬
‫)‪0.8n-1(0.8+0.2n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪5 0.4096 .1.8 = 0.73728‬‬
‫‪10 0.13421. 2.8 = 0.3758..‬‬
‫‪20 0.011441. 4.8 =0.069175..‬‬
‫…‪22 0.0092233. 5.2=0.04796‬‬
‫כלומר‪ n=22 ,‬כבר טוב‪ .‬ובדיקה נוספת תראה ש‪ n=21 -‬עדיין לא מספיק‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬מספר החזרות הדרוש הוא ‪ 22‬או יותר‪.‬‬
‫)(‬
‫)(‬
‫‪ .10‬בכד ‪ 5‬כדורים לבנים ו‪ 2-‬כדורים שחורים‪ .‬מוציאים ממנו בזה אחר זה שני כדורים )בלי להחזירם לכד(‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהראשון יהיה שחור והשני לבן?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהראשון יהיה לבן והשני שחור?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪) = 2/7 5/6 = 10/42 = 5/21‬ראשון שחור | שני לבן(‪) P‬ראשון שחור(‪) = P‬ראשון שחור ושני לבן(‪P‬‬
‫‪) = 5/7 . 2/6 = 10/42 = 5/21‬ראשון לבן | שני שחור(‪) . P‬ראשון לבן(‪) = P‬ראשון לבן ושני שחור(‪P‬‬
‫שאלה לביקורת על סבירות התשובה‪ :‬האם סביר ששתי התשובות תהיינה שוות?‬
‫התשובה היא כן! לכל אחד מהשניים שנבחרו היתה הסתברות שוה להבחר לפני חברו‪.‬‬
‫‪- 76 -‬‬
‫‪ .11‬בכד א ‪ 5‬כדורים לבנים ו‪ 2-‬שחורים ובכד ב ‪ 3‬לבנים ו‪ 4-‬שחורים‪.‬‬
‫א‪ .‬אם מוציאים מכד א שני כדורים )בלי להחזירם(‪ ,‬מה ההסתברות לכך שהראשון יהיה שחור והשני לבן?‬
‫ב‪ .‬כנ"ל לכד ב‪.‬‬
‫ג‪ .‬בחרו באקראי כד אחד בלי לדעת איזה הוא‪ ,‬והוציאו ממנו שני כדורים‪ .‬הראשון היה שחור והשני לבן‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהכד שנבחר היה כד א?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫אצל כד א‪,‬‬
‫‪) = 2/7 . 5/6 = 10/42 = 5/21‬ראשון שחור | שני לבן(‪) . P‬ראשון שחור(‪) = P‬ראשון שחור ושני לבן(‪P‬‬
‫אצל כד ב‪,‬‬
‫‪) = 4/7 . 3/6 = 12/42 = 6/21‬ראשון שחור | שני לבן(‪) . P‬ראשון שחור(‪) = P‬ראשון שחור ושני לבן(‪P‬‬
‫חלק ג הופך כעת לשאלת‪-‬בייס רגילה‪.‬‬
‫נכתוב את תוצאת א ב‪) =5/21 -‬א | ש‪-‬ל(‪ P‬ואת תוצאת ב ב‪)=6/21 -‬ב | ש‪-‬ל(‪. P‬‬
‫עוד נתון ש‪) = 1/2 -‬א(‪ P‬ומבוקש )ש‪-‬ל | א(‪ P‬שנסמנו ‪.x‬‬
‫נמצא את )ש‪-‬ל(‪ P‬ע"י עץ‪:‬‬
‫‪1/2‬‬
‫‪1/2‬‬
‫‪) = 11/42‬ש‪-‬ל(‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫וכעת )ש‪-‬ל | א(‪) P‬ש‪-‬ל(‪) = P‬א | ש‪-‬ל(‪) P‬א(‪P‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫‪1/2 . 5/21 = 11/42 . x‬‬
‫‪5/21‬‬
‫‪6/21‬‬
‫ההסתברות שהכד הוא א לאור התוצאה = ‪x=5/11‬‬
‫ש‪-‬ל‬
‫‪5/42‬‬
‫תוצאה אחרת‬
‫ש‪-‬ל תוצאה אחרת‬
‫‪6/42‬‬
‫האם התוצאה סבירה? כן! סביר שהתוצאה ש‪-‬ל תקטין את ההסתברות שהכד הוא א אך לא‬
‫בהרבה‪.‬‬
‫‪ .12‬לאיבריה של אוכלוסיה מסוימת יש‪ ,‬בין השאר‪ ,‬שתי תכונות אפשריות‪ ,‬שאחת חשובה ותסומן ‪ A‬ואחת‬
‫נבדקת בקלות והיא תסומן ‪.B‬‬
‫) דוגמא אחת‪ :‬האוכלוסיה היא אוכלוסית בני אדם באזור מסוים‪ .‬תכונה ‪ A‬היא "ערמומיות" ) מי שאינו‬
‫ערמומי יחשב בעל התכונה ‪ ( A‬ותכונה ‪ B‬היא שיער ג'ינג'י )שחור או צהוב הוא ‪( B‬‬
‫דוגמה אחרת‪ :‬האוכלוסיה היא של גרגרי אפונה‪-‬ריחנית‪ A .‬הוא התכונה להצמיח פרחים אדומים )ו‪- A -‬‬
‫להצמיח פרחים בצבע אחר( ‪ B ,‬היא התכונה קליפה חלקה )ו‪ - B -‬קליפה מקומטת( (‪.‬‬
‫א‪ .‬בחרו ִמדגם בן ‪ 1000‬איברים מתוך האוכלוסיה ‪ ,‬בדקו את התכונות והתקבלו התוצאות שחלקן מפורטות‬
‫בטבלה הבאה‪ .‬השלם את הטבלה!‬
‫ב‪ .‬בהנחה שהמדגם הוא מדגם מייצג )כלומר‪ ,‬הפרופורציות של‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫ס" ה‬
‫הקבוצות שבמדגם שוות לאלה שבאוכלוסיה השלמה(‬
‫‪400‬‬
‫‪B 200‬‬
‫מצא את )‪ P(A‬את )‪ P(A|B‬ואת )‪ P(A|B‬בשביל בחירה‬
‫‪B‬‬
‫אקראית מהאוכלוסיה‪..‬‬
‫‪ 300‬ס"ה‬
‫‪1000‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ס" ה‬
‫‪400‬‬
‫‪600‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪A‬‬
‫‪200‬‬
‫‪500‬‬
‫‪700‬‬
‫‪A‬‬
‫‪200‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B 100‬‬
‫‪ 300‬ס"ה‬
‫‪P(A) = 300/1000 = 0.3‬‬
‫‪P(A|B) = 200/400 = 0.5‬‬
‫…‪P(A|B) = 100/600 = 0.1666‬‬
‫שים לב לכך ש‪ P(A) -‬נמצא בין )‪ P(A|B‬ו‪. P(A|B) -‬‬
‫‪- 77 -‬‬
‫התוכל להסביר מדוע זה היה צפוי מראש‪ ,‬לא רק בשביל המספרים שבבעיתנו?‬
‫‪ .13‬נתון ש‪ . P(A|B) = P(A|B) -‬הוכח שהם שוים ל‪. P(A) -‬‬
‫)לא נראה לי ששאלה כזאת תופיע בזמן הקרוב בבחינות הבגרות(‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬הדרך הישירה היא לכתוב את ההגדרות ולראות מה אפשר לקבל מהן‪ .‬ובכן‪,‬‬
‫)‪P(A ∩ B) P(A ∩ B‬‬
‫‪ .‬מכאן נובע )בדרך אלגברית שלא נפרט כאן( ששני האגפים‬
‫על‪-‬פי הנתון‪,‬‬
‫=‬
‫)‪P(B‬‬
‫)‪P(B‬‬
‫)‪P(A‬‬
‫)‪P(A ∩ B)+P(A ∩ B‬‬
‫וזה שווה ל‪-‬‬
‫שוים ל‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪P(B)+P(B‬‬
‫פתרון אחר‪:‬‬
‫נחפש שוויון שבו מעורבים )‪ P(A|B‬ו‪ . P(A|B) -‬שוויון כזה הוא "נוסחת ההסתברות השלמה" ‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪P( A) = P( A ∩ B) + P ( A ∩ B ) = P ( B) ⋅ P( A | B) + P( B ) ⋅ P( A | B‬‬
‫נחליף את )‪ P(A|B‬ב‪ P(A|B) -‬ונקבל‬
‫)‪= P( B ) ⋅ P ( A | B ) + P( B ) ⋅ P ( A | B) = ( P ( B) + P ( B )) ⋅ P( A | B) =1⋅ P( A | B‬‬
‫‪ .14‬התפלגות התכונות ‪ A‬ו‪ B -‬באוכלוסיה בת ‪ 600‬איברים מתוארת‪ ,‬תיאור חלקי‪ ,‬בטבלה הבאה‪.‬‬
‫א‪ .‬אילו שני תאים ניתן להשלים ללא כל נתון נוסף?‬
‫ב‪ .‬השלם את הטבלה באופן שבבחירה אקראית של איבר מן האוכלוסיה‪ ,‬המאורע ‪) A‬ביתר פירוט‪ ,‬המאורע‬
‫"נבחר איבר בעל התכונה ‪ ( "A‬לא יהיה תלוי במאורע ‪.B‬‬
‫ס"ה‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪240‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 360‬ס"ה‬
‫‪600‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬את התא האמצעי בעמודת ‪) A‬ע"י ‪ (120‬ואת התא האמצעי בשורת הס"ה התחתונה )ע"י ‪.(240‬‬
‫ב‪ .‬לפי הנתון בטבלה‪ ,‬מספרם הכולל של בעלי התכונה ‪ A‬הוא ‪ ,360‬לכן ‪.P(A) = 360/600‬‬
‫)‪ P(A|B‬צריך להיות שוה גם הוא למספר זה‪ .‬אבל ‪ P(A|B)=240/x‬כאשר ‪ x‬הוא המספר הכולל של בעלי‬
‫התכונה ‪ . B‬לכן ‪ 360 = 240‬לכן ‪ x = 600‬לכן ‪ . x = 600 ⋅ 240 = 400‬נכתוב זאת בטבלה ונשלים‪:‬‬
‫‪360‬‬
‫‪240 360‬‬
‫‪600‬‬
‫‪x‬‬
‫ס"ה‬
‫‪400‬‬
‫‪200‬‬
‫‪600‬‬
‫‪A‬‬
‫‪160‬‬
‫‪80‬‬
‫‪240‬‬
‫‪A‬‬
‫‪240‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B 120‬‬
‫‪ 360‬ס"ה‬
‫עיון בתוצאה‪ :‬שים לב לכך ששלושת השורות שבטבלה פרופורציוניות זו לזו‪ ,‬וגם שלושת‬
‫העמודים פרופורציוניים זה לזה‪ .‬זה יקרה בכל מקרה שבו אין ‪ A‬ו‪ B-‬תלויים זה בזה‪.‬‬
‫‪- 78 -‬‬
‫‪.15‬‬
‫מי מן השאלות הבאות יכולה להחשב נוסח אחר של דוגמת הסימפטום והמחלה שבספר?‬
‫א‪.‬‬
‫‪ 5%‬מתושבי המדינה הם מתנחלים‪ 7% ,‬מתושבי המדינה לובשים באביב חולצות פלנל משובצות‪ ,‬ואילו אצל‬
‫המתנחלים ‪ 75%‬לובשים חולצות כאלה‪ .‬פגשת אדם לבוש חולצת פלנל משובצת‪ .‬מה ההסתברות שהוא‬
‫מתנחל?‬
‫ב‪.‬‬
‫נתוני החולצות והמתנחלים הם כמו ב‪-‬א‪ .‬שיחת טלפון בבוקר אביבי בינך ובין משה מתנהלת כך‪:‬‬
‫משה‪" :‬מה נשמע אצלך? המון זמן לא טלפנת אלי"‬
‫אתה‪ " :‬מה זה לא טלפנתי? הטלפון שלך מנותק!"‬
‫משה‪" :‬אה – כן ‪ -‬שכחתי לספר לך‪ .‬לפני חמש שנים עברתי להתנחלות בצפון השומרון‪ .‬מקום עצום!"‬
‫מה ההסתברות שמשה לובש חולצת פלנל משובצת?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א הוא נוסח אחר כזה‪ ,‬עם התנחלות בהקבלה למחלה וחולצת פלנל משובצת בהקבלה לסימפטום‪.‬‬
‫) ו‪) -‬מתנחל|משובץ(‪ P‬מקביל ל‪) -‬חולה|סימפטום(‪.( .P‬‬
‫ההקבלה תקפה מבחינה מתמטית ללא קשר עם השאלה האם התנחלות היא מחלה או גילוי של‬
‫בריאות‪.‬‬
‫ב אינו כזה‪ .‬בשאלה ב אין צורך בנתון על אחוז המתנחלים בכלל תושבי המדינה‪.‬‬
‫‪) = 0.75‬משה מתנחל | משה לובש פלנל משובץ(‪P‬‬
‫כדאי לדעת שבדרך כלל אין שאלות בבחינות הבגרות כוללות נתונים מספריים מיותרים‪ ,‬כי‬
‫כותבי הבחינה אינם מעוניינים בכשלונות‪ ,‬לכן תמיד כדאי לבדוק אם השתמשת בכל הנתונים‪.‬‬
‫אם יש נתון שלא השתמשת בו נסה לחשוב איך הוא נוגע לעניין‪) .‬אבל נתונים כמו זה ששם‬
‫החבר הוא משה‪ ,‬מופיעים חופשי‪-‬חופשי‪(.‬‬
‫‪) .16‬שאלה מסובכת מדי לבחינות הבגרות(‬
‫נתונות שתי השערות מתחרות שיסומנו ‪ H‬ו‪ H -‬ונתון ניסוי שבו יכולה להתקבל התוצאה ‪ , A‬והקשר שבין‬
‫הניסוי וההשערות הוא כזה שההסתברות לקבלת ‪ A‬אם ‪ H‬נכונה גדולה מההסתברות לקבלת ‪ A‬אם ‪ H‬נכונה‪.‬‬
‫הראה שקבלת התוצאה ‪ A‬מגדילה את ההסתברות ש‪ H-‬היא ההשערה הנכונה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫שאלה המדברת על הסתברותה של השערה לאור תוצאת ניסוי "מבקשת" שימוש בנוסחת בייס‪.‬‬
‫צריך להוכיח ש‪ , P(H|A) > P(H) -‬כאשר )‪ P(H‬היא ההסתברות המיוחסת להשערה ‪ H‬לפני הניסוי‪.‬‬
‫לפי בייס‪ P(A).P(H|A) = P(H).P(A|H) ,‬לכן צריך להוכיח ש‪. P(A)<P(A|H) -‬‬
‫עיון בשאלה יראה שהטענה האחרונה היא מסקנה סבירה מהנתונים‪ .‬אם אינך רואה כיצד אפשר‬
‫להוכיח אותה מהנתונים כתוב "וזה נתון בבעיה" וקווה שהבודק יקבל זאת )לפחות יתן חלק‬
‫מהנקודות(‪.‬‬
‫והרי הוכחה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫=)‪P(A) = P(A ∩ H)+P(A ∩H ) = P(H) P(A|H)+P( H ) P(A| H )< P(H) P(A|H)+P( H ).P(A|H‬‬
‫)‪=( P(H) +P( H )).P(A|H) = P(A|H‬‬
‫‪ .17‬פתור את בעית תחרות השחמט שבראש הספר בשביל מצב שבו לדוד ארבעה נצחונות וליצחק רק שנים‪.‬‬
‫הנחיה‪ :‬אפשר להשתמש בדיאגרמת עץ‪.‬‬
‫‪- 79 -‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הנחיות כאלה ניתנות בבחינות הבגרות כאשר יש גם מסלול אחר המוביל לפתרון‪ ,‬או נראה‬
‫כמוביל לפתרון‪ ,‬אבל הוא פחות נוח‪.‬‬
‫ענין נוסף‪ :‬לפעמים כדאי לפתור )כטיוטא( בעיה דומה לבעיה שלפניך אך קלה ממנה‪ ,‬בתקוה‬
‫שפתרונה יסייע לבעיה שלפניך‪.‬‬
‫נפתור אפוא תחילה את בעיית‪-‬תחרות‪-‬השחמט הישנה בעזרת דיאגרמת‪-‬עץ‪.‬‬
‫‪1/2‬‬
‫המנצח במשחק ראשון‬
‫‪1/2‬‬
‫דוד‬
‫‪1/2‬‬
‫המנצח במשחק שני‬
‫יצחק‬
‫‪1/2‬‬
‫‪1/2‬‬
‫יצחק‬
‫‪1/4‬‬
‫דוד‬
‫‪1/4‬‬
‫שנים ממצבי הסיום הם אלה‬
‫שבהם דוד מוכרז אלוף‬
‫וההסתברות‬
‫‪1+1=3‬‬
‫שלהם היא‬
‫‪2 4 4‬‬
‫וההסתברות שיצחק‬
‫יהיה אלוף היא‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫מכאן כבר רואים איך להמשיך אל בעייתנו‪:‬‬
‫מהדיאגרמה שמשמאל עולה שיצחק‬
‫מוכרז אלוף רק במקרה המתואר בענף‬
‫השמאלי הקיצוני‪ ,‬והסתברותו היא‬
‫‪. 1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1/2‬‬
‫המנצח במשחק ראשון‬
‫‪1/2‬‬
‫דוד‬
‫‪1/2‬‬
‫המנצח במשחק שני‬
‫המנצח במשחק שלישי‬
‫יצחק‬
‫‪1/2‬‬
‫דוד‬
‫‪1/4‬‬
‫‪1/2‬‬
‫יצחק‬
‫‪1/2‬‬
‫דוד‬
‫‪1/8‬‬
‫‪1/2‬‬
‫יצחק‬
‫‪1/8‬‬
‫פתרון אחר‪:‬‬
‫המשתמש בפתרון הבעיה הישנה‬
‫אם דוד ינצח במשחק הראשון – הוא יהיה האלוף‪ ,‬אם יצחק ינצח במשחק זה אז יהיה המצב ‪ 4 – 3‬ואת‬
‫ההסתברויות במצב זה כבר חישבנו בעבר‪ .‬לאור זה‪:‬‬
‫=)יצחק מנצח במשחק הראשון|יצחק אלוף(‪). P‬יצחק מנצח במשחק הראשון(‪) = P‬יצחק אלוף(‪P‬‬
‫‪=1⋅1=1‬‬
‫‪2 4 8‬‬
‫ניצול ההצלחה‬
‫הצעד המוצע כעת אינו מוצע בשביל המבחן עצמו אלא בשביל ההכנה למבחן‪.‬‬
‫אם פתרת בעיה בדרך מסויימת כדאי שתשאל את עצמך איזו בעיה נוספת אפשר לפתור בדרך‬
‫זאת‪ .‬במקרה שלנו עולה בדרך הטבע השאלה מה ההסתברות שדוד יהיה האלוף אם המצב הוא‬
‫‪ 3 – 2‬לטובת דוד‪.‬‬
‫והרי פתרון המשלב את שתי הדרכים שבהם פתרנו את הבעיה הראשונה‪:‬‬
‫‪1/2‬‬
‫דוד מנצח‬
‫‪1/8‬‬
‫‪7/8‬‬
‫דוד אלוף יצחק אלוף‬
‫‪1/16‬‬
‫‪- 80 -‬‬
‫‪1/2‬‬
‫יצחק מנצח‬
‫‪1/2‬‬
‫‪1/2‬‬
‫לוף‬
‫א‬
‫דוד‬
‫יצחק אלוף‬
‫‪1/4‬‬
‫אם דוד ינצח במשחק הראשון יהיה יחס‬
‫הנצחונות ‪ 4 – 2‬ואז‪ ,‬כפי שכבר ראינו‪,‬‬
‫ההסתברות שיצחק יהיה האלוף היא ‪. 1/8‬‬
‫אם יצחק ינצח יהיה יחס הנצחונות ‪3 – 3‬‬
‫ואז לכל אחד הסתברות ‪.1/2‬‬
‫בס"ה יש ליצחק ההסתברות‬
‫‪ 1/4 + 1/16 = 5/16‬לזכות באליפות‪.‬‬
‫‪ .18‬חישבו ומצאו שבסידרה בת ‪ 27‬ניסויים לא תלויים עם הסתברות הצלחה ‪ 0.3‬בכל אחד‪ ,‬ההסתברות‬
‫שמספר ההצלחות יהיה ‪ 10‬הצלחות היא ‪. 0.115886‬‬
‫מה ההסתברות לכך שבסידרת ניסויים כנ"ל יהיה מספר ההצלחות ‪? 11‬‬
‫)אין להשתמש במקשים הנותנין באופן ישיר עצרות או מקדמים בינומיים או הסתברויות‪ ,‬אך מותר להשתמש‬
‫במחשבון לפעולות חיבור‪ ,‬חיסור‪ ,‬כפל‪ ,‬חילוק‪ ,‬חזקות ושורשים‪(.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נרשום לפנינו ביטוי מספרי בשביל מה שנתון וביטוי בשביל מה שמבוקש ונראה כיצד אפשר‬
‫לעבור מן האחד אל חברו‪.‬‬
‫‪11 16‬‬
‫‪10‬‬
‫‪17‬‬
‫‪27‬‬
‫‪27‬‬
‫נתון ש‪ 10 0.3 0.7 = 0.115886 -‬ומבוקש ‪11 0.3 0.7‬‬
‫וביתר פירוט‪ ,‬נתון ש‪27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅19 ⋅18 0.3100.717 = 0.115886 -‬‬
‫‪1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10‬‬
‫‪27 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21⋅ 20 ⋅19 ⋅18 ⋅17 0.3110.716‬‬
‫ומבוקש‬
‫‪1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10 ⋅11‬‬
‫הביטוי המבוקש מתקבל מן הנתון על‪-‬ידי כפל ב‪ , 17-‬חילוק ב‪ , 11 -‬כפל ב‪ 0.3 -‬וחילוק ב‪ . 0.7 -‬לכן המספר‬
‫‪.‬‬
‫המבוקש הוא ‪0.115886 ⋅ 17 ⋅ 0.3 = 0.076756‬‬
‫‪11 ⋅ 0.7‬‬
‫הצעה א )גם כשאתה במבחן( אם בידך מחשבון סטטיסטי בדוק את התוצאה‪.‬‬
‫הצעה ב )רק בזמן הלימוד אך לא בזמן מבחן( חשב מכאן את ההסתברות ל‪ 13 -‬הצלחות )שני‬
‫צעדים קדימה(‪ .‬תרגיל כזה עוזר להפוך את הפתרון לרכוש מחשבתי יציב שלך‪.‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪ .19‬משמאל טבלת ההסתברויות שבסידרת ‪ 12‬ניסויים לא תלויים עם הסתברות‬
‫הצלחה ‪ 1/3‬בכל אחד יהיה מספר ההצלחות ‪ x‬קטן או שווה ל‪ , r -‬בשביל כל ‪ r‬מ‪0 -‬‬
‫ועד ‪. 12‬‬
‫א‪ .‬הסבר מניין שהערך בשביל ‪ r=12‬הוא הערך המדויק ואילו הערך בשביל ‪r=11‬‬
‫הוא ערך מעוגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬בשביל סידרת ניסויים כזאת‪ ,‬מהו )‪? P(x=5‬‬
‫מהו )‪? P(x>6‬‬
‫מהו )‪? P(2≤x≤8‬‬
‫ג‪ .‬בסידרת ‪ 12‬ניסויים לא תלויים עם הסתברות הצלחה ‪ 2/3‬בכל אחד מהי‬
‫ההסתברות ל‪ 4 -‬הצלחות?‬
‫‪r‬‬
‫)‪P(x≤r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.008‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.054‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.181‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.393‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0.632‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0.822‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0.934‬‬
‫‪7‬‬
‫‪0.981‬‬
‫‪8‬‬
‫‪0.996‬‬
‫‪9‬‬
‫‪0.999‬‬
‫‪10 1.000‬‬
‫‪11 1.000‬‬
‫‪12 1.000‬‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬בשביל ‪ 12‬נסיונות‪ P(x≤12)=1 ,‬כי מספר ההצלחות יהיה בהכרח קטן או שוה ל‪. 12-‬‬
‫ומצד שני‪ ,‬מכיוון שיתכן שיהיו ‪ 12‬הצלחות הרי שההסתברות לכך איננה ‪) 0‬היא אמנם מספר קטן( לכן‬
‫ההסתברות ל‪ 11-‬הצלחות או פחות איננה ‪ 1‬אלא )קצת( פחות מזה‪.‬‬
‫‪P(x=5) = P(x≤5)-P(x≤4) = 0.822-0.632 = 0.190‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪P(x>6) = 1-P(x≤6) = 1-0.934 = 0.066‬‬
‫‪P(2≤x≤8) = P(x≤8) – P(x≤1) = 0.996 - 0.054 = 0.942‬‬
‫ג‪ .‬צריך למצוא קשר בין סידרת ניסויים עם הסתברות הצלחה ‪ 1/3‬ובין סידרת ניסויים עם‬
‫הסתברות הצלחה ‪ . 2/3‬אם אצל הסידרה מהסוג השני נקרא להצלחה בשם כשלון ולכשלון בשם הצלחה‬
‫אז הסידרה מהסוג השני תהפוך לסידרה מהסוג הראשון‪ ,‬כלומר‪ ,‬עם הסתברות הצלחה ‪ 1/3‬בכל ניסוי‪,‬‬
‫ושאלתנו תהפוך לשאלה מהי ההסתברות ל‪ 4 -‬כשלונות‪ ,‬כלומר‪ ,‬ל‪ 8-‬הצלחות‪.‬‬
‫התשובה תהיה ‪. 0.996-0.981 = 0.015‬‬
‫‪- 81 -‬‬
‫‪ .20‬סביבון‪-‬חץ אחד )רוליטה( מחולק לארבע גזרות שוות‬
‫שמספרי הנקודות שבהן הם מ‪ 1-‬עד ‪ . 4‬חברו מחולק לשמונה‬
‫גזרות שוות שמספרי הנקודות שבהן הם מ‪ 1-‬עד ‪. 8‬‬
‫מסובבים את שניהם‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לקבל בדיוק ‪ 7‬נקודות?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לקבל מספר נקודות זוגי?‬
‫ג‪ .‬לאיזה מספר נקודות יש הסתברות גדולה ביותר?‬
‫ד‪ .‬מהי ההסתברות לכך שהמכפלה של המספרים תהיה גדולה מ‪? 10-‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬לכל תוצאה בסביבון‪-‬החץ האחד הסתברות ‪ ,1/4‬ולכל תוצאה בסביבון השני הסתברות ‪ . 1/8‬מכיוון שאין‬
‫תלות‪ ,‬ההסתברות לכל זוג תוצאות היא ‪. 1/32‬‬
‫הסכום ‪ 7‬יכול להתקבל בצורות הבאות‪ 3-4 , 2-5 , 1-6 :‬ו‪ 4-3 -‬לכן הסתברותו ‪. 4/32 = 1/8‬‬
‫ב‪ .‬בכל אחד משני הסביבונים הסתברות ‪ 1/2‬למספר זוגי וגם הסתברות ‪ 1/2‬למספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫התוצאה "סכום זוגי" מורכבת מ‪" -‬זוגי – זוגי" ו‪" -‬אי זוגי – אי זוגי" לכן הסתברותה‬
‫‪1⋅1 + 1⋅1 = 1‬‬
‫‪2 2 2 2 2‬‬
‫ג‪ .‬נלך לבדוק בכמה צורות שונות יכול להתקבל כל מספר‪.‬‬
‫שום מספר אינו יכול להתקבל ביותר מארבעה אופנים כי לסביבון הראשון ארבע תוצאות אפשריות בלבד‪.‬‬
‫המספרים היכולים להתקבל בארבעה אופנים הם אלה היכולים להתקבל כסכום של כל מספר מ‪ 1-‬עד ‪4‬‬
‫ומספר נוסף מתאים מ‪ 1-‬עד ‪ ,8‬והם ‪ 8 ,7 ,6 ,5‬ו‪ . 9-‬לכולם הסתברות שוה והיא המקסימלית‪.‬‬
‫ד‪ .‬מספר התוצאות "הטובות" מספיק קטן‪ ,‬כך שצריך רק למצוא דרך שיטתית לספור אותן‪.‬‬
‫למספר ‪ 1‬שבסביבון‪ 4-‬אין בן זוג בסביבון‪ 8-‬הנותן מכפלה גדולה מ‪.10-‬‬
‫למספר ‪ 2‬מתאימים בני הזוג ‪ 7 , 6‬ו‪.8-‬‬
‫למספר ‪ 3‬מתאימים ‪ ,7 ,6 ,5 ,4‬ו‪. 8-‬‬
‫למספר ‪ 4‬מתאימים ‪ 7 ,6 ,5 ,4 ,3‬ו‪. 8-‬‬
‫ס"ה ‪ 14‬זוגות טובים מתוך ‪ 32‬זוגות שווי הסתברות‪ .‬לכן ההסתברות המבוקשת היא ‪. 14/32 = 7/16‬‬
‫‪ .21‬על השולחן עשר קופסאות גפרורים‪ .‬באחת גפרור אחד‪ ,‬בשתים שני גפרורים‪ ,‬בשלוש שלושה‬
‫גפרורים ובארבע ארבעה גפרורים‪ .‬בוחרים באקראי שתי קופסאות‪ .‬מה ההסתברות שיהיו בהן שבעה‬
‫גפרורים?‬
‫מבוא לפתרון‬
‫עצה כללית‪ :‬בבעיות כגון זו נוח להניח ששתי הקופסאות נבחרות בזו אחר זו וניתן להבדיל‬
‫ביניהן‪ ,‬ולא בבת אחת באופן שאינו מבדיל בין ראשונה לשניה‪ .‬בדרך זו יש לכל זוג אותה‬
‫הסתברות )כמו אצל הטלת שתי מטבעות(‬
‫פתרון א‪ .‬הקופסא הראשונה נבחרת מתוך ‪ 10‬לכן יש ‪ 10‬אפשרויות‪ .‬עם כל קופסא ראשונה יכולה הקופסה‬
‫השניה להבחר ב‪ 9-‬אפשרויות‪ .‬יש אפוא ‪ 90‬זוגות‪-‬קופסאות )שניה‪ ,‬ראשונה( אפשריות‪.‬‬
‫זוג מהצורה )‪ (4,3‬יכול להבחר ב‪ 12-‬אפשרויות כי בשביל כל קופסת‪ 4-‬שנבחרה ראשונה יש ‪ 3‬קופסות‪3-‬‬
‫אפשריות‪ .‬מסיבה דומה יכול זוג )‪ (3,4‬להבחר ב‪ 12-‬אפשרויות‪ .‬רק זוגות כאלה נותנים סכום ‪ 7‬לכן‬
‫ההסתברות לסכום ‪ 7‬היא ‪. 24/90 = 4/15=0.2666666‬‬
‫פתרון ב‪.‬‬
‫= )ראשון ‪ 4‬ושני ‪) + P(3‬ראשון ‪ 3‬ושני ‪) = P(4‬הסכום ‪P(7‬‬
‫= )ראשון ‪ | 4‬שני ‪) . P(3‬ראשון ‪) + P(4‬ראשון ‪ | 3‬שני ‪) . P(4‬ראשון ‪= P(3‬‬
‫‪- 82 -‬‬
‫‪= 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = 2 ⋅ 12 = 4‬‬
‫‪10 9 10 9‬‬
‫‪90 15‬‬
‫צורה אחרת לכתיבת פתרון ב‪:‬‬
‫)עץ עם פירוט מינימלי(‬
‫‪12/90+12/90 = 4/315‬‬
‫)לפתרון כזה יש להוסיף הסבר(‬
‫‪3/10 4/10‬‬
‫אחר‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3/9‬‬
‫‪4/9‬‬
‫אחר‬
‫‪ 3‬אחר ‪4‬‬
‫‪12/90‬‬
‫‪12/90‬‬
‫‪.22‬‬
‫בערימה גרעינים כהים ובהירים‪ ,‬חלקים ומחוספסים‪ ,‬שמספריהם כבטבלה שלהלן‪ .‬בוחרים באקראי גרעין‬
‫אחד )באקראי = לכולם אותה בסתברות(‪.‬‬
‫בהיר‬
‫כהה‬
‫א‪ .‬האם "כהה" תלוי ב"חלק"?‬
‫‪111‬‬
‫‪75‬‬
‫חלק‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות של "כהה" ∪ "חלק"‬
‫‪74‬‬
‫מחוספס ‪50‬‬
‫פתרון‪ :‬בשאלות כגון זו כדאי להוסיף לטבלה עמודות‪-‬ס"ה‪.‬‬
‫ס "ה‬
‫בהיר‬
‫כהה‬
‫‪186‬‬
‫‪111‬‬
‫‪75‬‬
‫חלק‬
‫‪124‬‬
‫‪74‬‬
‫‪50‬‬
‫מחוספס‬
‫‪310‬‬
‫‪185‬‬
‫‪125‬‬
‫ס"ה‬
‫א‪.‬‬
‫נזכור את ההגדרה‪ A :‬אינו תלוי ב‪ B-‬אם )‪ . P(A|B)=P(A‬לאור זה נחשב‪:‬‬
‫‪) = 125/310‬כהה(‪P‬‬
‫‪) =75/186‬חלק | כהה(‪P‬‬
‫‪125‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬זה שקול לשאלה האם ‪ 75 310 ≠ 125 186‬והתשובה שלילית‪.‬‬
‫לכן השאלה היא האם ‪≠ 75‬‬
‫‪310 186‬‬
‫ב‪") = 75 + 50 + 111 = 236 .‬כהה" ∪ "חלק"(‪P‬‬
‫‪310‬‬
‫‪310‬‬
‫הערה‪ :‬בשאלון "חשיבה סטטיסטית בחיי יום‪-‬יום" היתה שאלה א יכולה להיות מנוסחת בצורה‬
‫"האם יש קשר סטטיסטי בין "כהה" ובין "חלק" ‪ ,‬והגישה המוצעת שם היא לבדוק האם‬
‫)מחוספס | כהה(‪ P‬שוה ל‪) -‬חלק | כהה(‪. P‬‬
‫‪- 83 -‬‬
‫דוגמאות שבחוזר מפמ"ר ס"ד ‪1‬‬
‫דוגמאות אלה נועדו רק לשנת תשס"ד‪ ,‬שבה עדין לא כלל המבחן את כל החומר שבתוכנית הלימודים‪.‬‬
‫ד‪1‬‬
‫בחורשת עצים יש עצי אורן ‪ ,‬עצי אלון ועצי ברוש ‪ .‬מחלה פגעה ב‪ 40% -‬מהעצים‪ .‬המחלה פגעה בשליש‬
‫מעצי האורן‪,‬חצי מעצי האלון ורבע מעצי הברוש‪ .‬ידוע כי רבע מהעצים הפגועים הם עצי אורן ‪.‬‬
‫א‪ .‬מה אחוז עצי האורן בחורשה?‬
‫ב‪ .‬מה אחוז עצי הברוש בחורשה?‬
‫פתרון‬
‫אוסף הנתונים נראה כמו משחק אחוזים "מלא את הטבלה"‪ .‬ננסה אפוא לזרום עם צורת‬
‫החשיבה של מחברי השאלה ‪.‬‬
‫נסמן נעלמים ‪ y ,x‬ו‪ z -‬ונמלא נתונים )באחוזים( בטבלה‬
‫ס"ה‬
‫‪40‬‬
‫ברוש‬
‫‪z/4‬‬
‫אלון‬
‫‪y/2‬‬
‫אורן‬
‫‪x/3 = 40/4‬‬
‫‪100‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫חולה‬
‫בריא‬
‫ס"ה‬
‫בשביל משבצת האורנים החולים קיבלנו שני נתונים ומהם נובע ‪ ,x=10‬כלומר‪ ,‬האורנים הם ‪ 10%‬של עצי‬
‫החורשה‪.‬‬
‫‪y/2 + z/4 = 30‬‬
‫לאור זה נקבל מהשורה הראשונה את המשוואה‬
‫‪y + z = 70‬‬
‫ומהשורה התחתונה‬
‫נפתור ונקבל ש‪ ,z=20 -‬כלומר‪ ,‬הברושים הם ‪ 20%‬של עצי החורשה‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬השאלון בהסתברות יכול להכיל שאלות שאין להן קשר עם הסתברות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אפשר לנסח את הפתרון גם במינוח הסתברותי‪:‬‬
‫‪)=0.4‬חולה(‪P‬‬
‫‪ )=1/4‬ברוש | חולה(‪P‬‬
‫‪ )=1/2‬אלון | חולה(‪P‬‬
‫‪)=1/3‬אורן | חולה(‪P‬‬
‫‪ )=1/4‬חולה | אורן(‪P‬‬
‫מבוקשים )אורן(‪ P‬ו‪) -‬ברוש(‪P‬‬
‫לפי בייס‪) ,‬אורן(‪ 1/4 . 0.4 = 1/3 . P‬לכן ‪)=0.3‬אורן(‪ P‬כלומר‪ ,‬בחורשה ‪ 30%‬אורנים‪.‬‬
‫אבל מציאת )ברוש(‪ P‬בדרך זאת נראה לי מלאכותי מדי ואיני מצרף אותה כאן‪.‬‬
‫ד‪.2‬‬
‫בין המועמדים למשלחת תלמידים לחו"ל מטעם משרד החוץ‪ 40% ,‬הם דוברי אנגלית‪ 5 8 .‬מבין דוברי‬
‫האנגלית הם חברי תנועת נוער‪ .‬מחצית מחברי תנועת הנוער‪ ,‬שבין המועמדים למשלחת‪ ,‬הם דוברי‬
‫אנגלית‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שמועמד כלשהו הוא חבר תנועת נוער ?‬
‫ב‪ .‬כדי להתקבל למשלחת‪ ,‬דרוש שהמועמד יהיה בעל לפחות אחד משני הכישורים הנ"ל‪.‬‬
‫מהי ההסתברות לכך ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫שוב "מלא את הטבלה" באחוזים‪.‬‬
‫‪- 84 -‬‬
‫ס"ה‬
‫‪40‬‬
‫לא תנועה‬
‫תנועה‬
‫‪5/8 40 =1/2 . x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫אנגלית‬
‫לא אנגלית‬
‫ס "ה‬
‫‪100‬‬
‫ומכאן ‪ x/2=25‬לכן ‪x=50‬‬
‫נציב בטבלה ואחר כך נשלים אותה‪:‬‬
‫תנועה‬
‫לא תנועה‬
‫ס"ה‬
‫אנגלית‬
‫‪25‬‬
‫‪15‬‬
‫‪40‬‬
‫לא אנגלית‬
‫‪25‬‬
‫‪35‬‬
‫‪60‬‬
‫ס "ה‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪100‬‬
‫ומכאן שהממלאים לפחות אחד משני הכישורים הם ‪(25+15+25)%‬‬
‫כלומר‪ ,‬בבחירה אקראית מתוך המועמדים ההסתברות לקבל מי שממלא לפחות אחת מן הדרישות היא‬
‫‪. 0.65‬‬
‫הערה‪ :‬גם הפעם ניתן להשתמש בכלי‪-‬חשיבה הסתברותיים ולפתור כך‪:‬‬
‫‪)=0.4‬אנגלית(‪ )=5/8 P‬אנגלית | תנועה(‪ )=1/2 P‬תנועה |אנגלית(‪ P‬לכן לפי בייס‬
‫‪)=1/2‬תנועה(‪.P‬‬
‫אבל ההמשך יהיה בעזרת טבלה‪.‬‬
‫ד‪3‬‬
‫בכיתה ‪ 20‬תלמידים מתוכם ‪ 6‬בנות ‪ .‬בוחרים שלושה תלמידים באופן אקראי מבין‬
‫תלמידי הכתה‪ .‬התלמיד שנבחר ראשון יסייע לשרת ‪ ,‬התלמיד שנבחר שני יסייע לשומר ‪,‬‬
‫והתלמיד שנבחר שלישי יסייע למזכירה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שבדיוק אחד מהתלמידים שנבחרו הוא בן?‬
‫ב‪ .‬חוזרים על הבחירה במשך ‪ 5‬ימים ‪ .‬מה ההסתברות שרק באחד מהימים נבחר בדיוק בן אחד ‪.‬‬
‫פתרון‬
‫האם נשתמש בדיאגרמת עץ או בנוסחת ברנולי?‬
‫חלק ב הוא של ‪ 5‬שלבים לכן עץ יהיה מסורבל מדי ולא מתאים לבחינת בגרות ואילו עץ בשביל‬
‫חלק א לא יהיה ארוך מדי ‪ .‬מצד שני‪ ,‬שלושת הבחירות הנעשות ביום אחד אינן בלתי‪-‬תלויות‬
‫כי בחירה ראשונה משנה את הרכב הקבוצה שמתוכה תיבחר הבחירה השניה‪ ,‬לכן נוסחת ברנולי‬
‫אינה מתאימה לחלק א‪ .‬אבל אחרי שנמצא תשובה לחלק א הנוסחא תתאים לחלק ב‪.‬‬
‫א‪ .‬נבנה עץ )לא נמשיך ענפים עם שני בנים(‪:‬‬
‫המאורע "בדיוק בן אחד" מכיל בן‪-‬בת‪-‬בת‪,‬‬
‫‪6/20‬‬
‫‪14/20‬‬
‫בת‪-‬בן‪-‬בת ו‪ -‬בת‪-‬בת‪-‬בן‪.‬‬
‫בת‬
‫בן‬
‫מהדיאגרמה רואים שהסתברות כל אחת‬
‫‪14/19‬‬
‫‪6/19‬‬
‫‪5/19‬‬
‫מהתוצאות האלה היא‬
‫בן‬
‫בת‬
‫בן‬
‫‪5 ⋅ 6 ⋅14 = 0.06140‬‬
‫בת‬
‫‪18 ⋅19 ⋅ 20‬‬
‫‪5/18‬‬
‫‪5/18‬‬
‫‪14/18‬‬
‫לכן ההסתברות לבן אחד בדיוק היא ‪0.1842‬‬
‫בת‬
‫בן‬
‫בת‬
‫ג‪ .‬נסמן את ההסתברות לבן אחד בדיוק ב‪-‬‬
‫‪ p=0.1842‬ובהתאם ‪ q=1-p=0.8158‬ואז ההסתברות המבוקשת היא ‪= 0.4079‬‬
‫‪(15) p q‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪- 85 -‬‬
‫ד‪.4‬‬
‫ידוע כי בניסוי כלשהו ‪ ,‬ההסתברות למאורע ‪ A‬היא ‪ P(A) = 0.8‬וההסתברות למאורע ‪ B‬היא‬
‫‪. P(B) = 0.5‬‬
‫א‪ .‬יש להוכיח כי ‪0.3 ≤ P(A∩B) ≤0.5 :‬‬
‫ב‪ .‬יש להוכיח כי ‪0.8 ≤ P(A∪B) ≤ 1 :‬‬
‫פתרון‪ :‬נענה תחילה לשאלות הקלות‪:‬‬
‫כל האיברים של ‪ A∩B‬נמצאים ב‪ B-‬לכן סכום ההסתברויות שלהם אינו יכול לעבור את סכום ההסתברויות‬
‫של כל איברי ‪ , B‬שהוא ‪. 0.5‬‬
‫כל האיברים של ‪ A‬נמצאים ב‪ A∪B-‬לכן סכום ההסתברויות שלהם אינו יכול לעבור את סכום ההסתברויות‬
‫של כל איברי ‪ ,A∪B‬שהוא ‪. . 0.8‬‬
‫כעת נעבור לשאלת ‪ .A∩B‬הקבוצה ‪ A∩B‬מתקבלת מ‪ A-‬על ידי סילוק האיברים שאינם ב‪ ,B -‬לכן‬
‫)‪ P(A∩B‬מתקבל מ‪ P(A) -‬על‪-‬ידי חיסור ההסתברויות של האיברים שאינם ב‪ .B-‬סכום ההסתברויות של‬
‫אלה אינו יותר מ‪ ,0.5 -‬לכן נותרים ב‪ A∩B -‬איברים שסכום הסתברויותיהם לכל הפחות ‪. 0.8-0.5‬‬
‫ד‪5‬‬
‫בגלגל רולטה ‪ 3‬גזרות‪ .‬על אחת הגזרות כתוב המספר '‪,' 1‬על השנייה '‪ ' 2‬ועל השלישית המספר '‪ . ' 3‬מסובבים‬
‫את מחוג גלגל הרולטה‪ .‬ההסתברות שהמחוג ייעצר על גזרה כלשהי שווה לשטח היחסי של הגזרה משטח הגלגל‪.‬‬
‫א‪ .‬איזה חלק תהווה כל גזרה אם ידוע כי לכל גזרה הסתברות שווה שהמחוג ייעצר בה ?‬
‫ב‪ .‬איזה חלק של הגלגל תהווה כל גזרה אם ידוע כי ההסתברות שהמחוג ייעצר על גזרה שעליה מספר זוגי‬
‫גדולה פי ‪ 2‬מההסתברות שהמחוג ייעצר על גזרה שעליה מספר אי זוגי ?‬
‫ג‪ .‬מדוע לא ניתן לחלק את גלגל הרולטה כך שההסתברות שהמחוג ייעצר על גזרה שעליה המספר ‪n‬‬
‫)‪ (n = 1,2,3‬תהיה )‪. 1/(3n‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪ .‬שליש‪ ,‬שליש ושליש‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם הכוונה היא ש‪ P(2)-‬גדול פי שנים הן מ‪ P(1) -‬והן מ‪) P(3) -‬זו כנראה כוונת מנסחי השאלה( אז החלקים‬
‫הם רבע‪ ,‬חצי ורבע‪.‬‬
‫ג‪ .‬כי ‪1 + 1 + 1 = 6 + 3 + 2 < 1‬‬
‫‪3 ⋅1 3 ⋅ 2 3 ⋅ 3‬‬
‫‪18‬‬
‫ד‪) 6‬הוצעה בשביל חשיבה סטטיסטית בחיי יומיום(‬
‫‪ .‬על מנת להתקבל ללהקה צבאית יש להביא המלצה מביה"ס ‪.‬‬
‫לבחינות ניגשו ‪ 500‬בוגרי י"ב ‪.‬‬
‫‪ 200‬מתוכם הביאו המלצות טובות ‪.‬‬
‫‪ 50%‬מבין אלו שהביאו המלצות טובות התקבלו ללהקה צבאית ‪.‬‬
‫בסך הכל התקבלו ‪ 350‬מהפונים ‪.‬‬
‫‪ - G‬קבוצת הנבחנים שהביאו המלצות טובות ‪.‬‬
‫נגדיר ‪:‬‬
‫‪ - H‬קבוצת הנבחנים שהתקבלו ללהקה צבאית‬
‫א‪ .‬יש להציג את הנתונים בעזרת פרופורציות מתאימות ‪.‬‬
‫ב‪ .‬ענת התקבלה ללהקה צבאית ‪ .‬מה ההסתברות שענת קיבלה המלצות טובות מביה"ס ?‬
‫הועלתה הטענה כי הסיכוי להתקבל ללהקה צבאית גדול יותר כאשר אין המלצות טובות מביה"ס ‪ .‬על אלו חישובים‬
‫מתבססת טענה זו?‬
‫פתרון‬
‫‪- 86 -‬‬
‫על יד האותיות שהוגדרו מומלץ לכתוב בטבלה גם את פירושן‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪) G‬הומלצו(‬
‫ה‬
‫"‬
‫ס‬
‫‪G‬‬
‫‪) H‬התקבלו(‬
‫‪100‬‬
‫‪200‬‬
‫‪H‬‬
‫ס"ה‬
‫‪350‬‬
‫‪500‬‬
‫נשלים‪:‬‬
‫‪) G‬הומלצו(‬
‫ה‬
‫"‬
‫ס‬
‫‪G‬‬
‫‪) H‬התקבלו(‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪200‬‬
‫‪150‬‬
‫‪50‬‬
‫‪300‬‬
‫‪H‬‬
‫ס"ה‬
‫‪350‬‬
‫‪150‬‬
‫‪500‬‬
‫וכדי לקבל טבלת פרופורציות נחלק את כל המספרים ב‪500-‬‬
‫‪) = P(G|H) = 100/200=0.5‬התקבלה | הומלצה(‪P‬‬
‫נשוה את )‪ P(H|G‬עם ) ‪ P(H|G) =100/350 .P(H| G‬ואילו ‪P(H| G =100/150‬‬
‫ד‪) 7‬הוצעה בשביל "חשיבה סטטיסטית ‪ " ...‬וכאן הוספתי לה חלק ד המכיל רכיב של חשיבה ביקורתית(‬
‫מחברי הספר "חשיבה הסתברותית בחיי היומיום " מאמינים כי בעזרת הוראת הנושא אפשר לשפר את איכות‬
‫החשיבה ואת יכולת הניתוח של מידע‪ .‬כדי לבדוק זאת הם העבירו מבחן שבודק את יכולתם של תלמידים‬
‫לנתח ולהעריך מידע‪ .‬במבחן השתתפה קבוצה גדולה של תלמידים ‪ ,‬מחציתם למדו קודם לכן את הקורס‬
‫"חשיבה הסתברותית בחיי היומיום" ומחציתם לא למדו את הקורס‪ .‬מניתוח תוצאות המבחן התברר כי מבין‬
‫אלו שלמדו את הקורס ‪ %70 ,‬עברו בהצלחה את המבחן‪ .‬ומבין אלה שעברו בהצלחה את המבחן ‪%87.5 ,‬‬
‫למדו את הקורס‪.‬‬
‫נגדיר ‪ – A :‬קבוצת התלמידים שלמדו בקורס "חשיבה הסתברותית בחיי היומיום " ‪.‬‬
‫‪ - B‬קבוצת התלמידים שעברו בהצלחה את המבחן ‪.‬‬
‫א‪ .‬יש להציג את הנתונים בעזרת פרופורציות מתאימות ‪.‬‬
‫ב‪ .‬נבחר באופן מקרי אחד מהתלמידים שהשתתפו במבחן והתברר כי הוא נכשל בו‪ .‬מהי ההסתברות שהוא‬
‫למד את קורס " חשיבה ביקורתית" ? הסבירו כל שלב בחישוב ‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם קיים קשר סטטיסטי בין הצלחה במבחן לבין השתתפות בקורס ? יש לנמק בעזרת חישובים מתאימים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מי‪ ,‬להערכתך‪ ,‬כתב את שאלון המבחן‪ ,‬מחברי "חשיבה הסתברותית" או מומחי‪-‬חשיבה שאינם מתמקדים‬
‫בניתוח מידע סטטיסטי דווקא?‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬נתחיל במילוי הטבלה לפי הנתונים בשאלה‪ ,‬ומכיוון שבשאלה נתבקשנו לכתוב פרופורציות‬
‫)ולא אחוזים( נתאר את קבוצת כל הנבחנים ב‪) 1-‬במקום ‪.( 100%‬‬
‫אלה שגם למדו בקורס וגם הצליחו במבחן הם ‪ 0.7‬של לומדי הקורס והם ‪ 0.875‬של מצליחי‬
‫המבחן‪ .‬נסמן את חלק‪-‬המצליחים‪-‬מתוך‪-‬הנבחנים ב‪ x-‬ותתקבל הטבלה‪:‬‬
‫‪) A‬למדו בקורס(‬
‫ס"ה‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪) B 0.7 1/2 = 0.875 x‬הצליחו במבחן(‬
‫‪x‬‬
‫‪1-x‬‬
‫‪B‬‬
‫ס"ה‬
‫‪1/2‬‬
‫‪1/2‬‬
‫‪1‬‬
‫נפתור ונקבל ‪ .x=0.4‬נציב בטבלה ונשלים‪:‬‬
‫‪) A‬למדו בקורס(‬
‫ס"ה‬
‫‪A‬‬
‫‪) B‬הצליחו במבחן(‬
‫‪0.35‬‬
‫‪0.05‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪0.45‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪B‬‬
‫ס"ה‬
‫‪1/2‬‬
‫‪1/2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪- 87 -‬‬
‫ב‪ .‬השאלה היא מהו )נכשל במבחן|למד קורס(‪ P‬היינו‪ ,‬איזה חלק של הנכשלים הם אלה מתוכם שלמדו בקורס‪.‬‬
‫ולפי הטבלה זהו ‪0.15/0.6 = 1/4‬‬
‫ג‪ .‬תמיד כדאי להסתכל בדף הנוסחאות המצורף לשאלון‪ .‬הוא אומר "מה יש לכותב המבחן‬
‫בראש"‪ .‬בשבילנו כתוב שם שיש לבדוק אם )למדו | הצליחו(‪ P‬ו‪) -‬לא למדו | הצליחו(‪ P‬שוים‪.‬‬
‫לפי הטבלה רואים שהראשון גדול מהשני‪.‬‬
‫ד‪ 70% .‬של לומדי הקורס הצליחו במבחן ואילו מאלה שלא למדו בקורס הצליחו רק ‪ . 10%‬זה לא יכול‬
‫לקרות במבחן כללי על ניתוח והערכת מידע אלא רק במבחן על שיטות שנלמדו בקורס מסויים‪ ,‬וגם זה רק אם‬
‫המבחן נוסח בעזרת המונחים המיוחדים של הקורס ולא במונחים המוכרים לכל אדם תרבותי ונבון‪.‬‬
‫נוסח השאלה נוגד אפוא את המטרה לטפח חשיבה ביקורתית כי הוא כולל נסיון להטמעת נתוני‪-‬שוא‪.‬‬
‫‪- 88 -‬‬