docמבחן מתכונת מס` 1
download 
Report Transcription
מבחן מתכונת מס` 1
בחינת מתכונת במתמטיקה מועד קיץ תשע"ה 1025 סמל שאלון 804 הפתרון נכתב על ידי עדו מרבך ,ארז כהן ורן יחיאלי מצוות מורי רשת החינוך אנקורי מת כונת מבחן משך הבחינה :שלוש שעות וחצי. מבנה השאלון ומפתח הערכה :בשאלון זה שלושה פרקים. פרק א :אלגברה ,גאומטריה אנליטית ,הסתברות: 20 2 40 נקודות פרק ב :גיאומטריה וטריגונומטריה במישור: 20 1 20 נקודות פרק ג :חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 20 2 40 נקודות 100 נקודות סה"כ פרק א' – אלגברה ,גאומטריה אנליטית ,הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות .1-3 כל שאלה בחלק זה .1 20 נקודות. C החתך הצירי של גליל ישר הוא מלבן ששטחו 80 D סמ"ר. ידוע כי גובה הגליל גדול ב 2 5 % -מקוטר בסיס הגליל. מצא את רדיוס בסיס הגליל. א. חשב את נפח הגליל. ב. ג. .2 מצא את שטח הפנים של הגליל. הנקודות A 5, 8 ו- C 1, 2 A B הן שני קדקודים של ריבוע ABCD שצלעותיו מקבילות לצירים. א. מצא את הקדקודים ב. מצא את משוואת המעגל שהאלכסון ג. האם הנקודה B B ו- D של הריבוע ,אם ידוע שהקדקוד AC B נמצא ברביע השני. הוא קוטר בו. שמצאת בסעיף א' נמצאת על המעגל שמצאת בסעיף ב'? נמק. .3 לדני יש בכיס ימין חמישה פיסטוקים ושלושה בוטנים ובכיס שמאל ארבעה פיסטוקים וארבעה בוטנים. דני בוחר כיס באקראי ,ומוציא ממנו בזה אחר זה שני פיצוחים. א. ב. ג. מהי ההסתברות שדני יוציא שני בוטנים מכיס ימין? מהי ההסתברות שדני יוציא שני בוטנים? ידוע שדני הוציא שני בוטנים .מהי ההסתברות שהם הוצאו מכיס ימין? פרק ב' – גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על שאלה אחת מבין השאלות .4-5 כל שאלה בחלק זה .4 מרובע 20 נקודות. ABCD חסום במעגל שמרכזו ורדיוסו . Rנתון: BC CD הרדיוס ממרכז המעגל לנקודה את צלע AD א. הוכח: || B C ב. הוכח: ~ DCE ג. הוכח: ED ד. נתון: O C . AB C חותך בנקודה . E k הבע ע"י k B E D A .AD O . OCD .CD . AB ו- R את . C E A .5 נתון משושה משוכלל ABCDEF B שאורך צלעו . a א. הבע באמצעות a את שטח המשולש . B D E ב. הבע באמצעות a את שטח המשושה. ג. נתון כי שטח משולש BDE הוא 54 . F E C 3 .1 .2 .3 מצא את aואת שטח המשושה. מצא את רדיוס המעגל שחוסם את המשושה. מצא את רדיוס במעגל שחסום במשושה. .4 מצא את רדיוס המעגל שחסום במשולש . B E D D פרק ג' – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות ,של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות .6-8 כל שאלה בחלק זה .6 .7 20 נקודות. נתונה הפונקציה: x x 1 .y א. ב. ג. ד. ה. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. רשום את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה. מצא אסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה. y - ו. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. בחצי מעגל שרדיוסו 20 ס"מ חסום מלבן ,כך שצלע אחת של המלבן מונחת על קוטר המעגל ושני הקדקודים האחרים מונחים על המעגל. מצא את שטח המלבן ששטחו מקסימלי. C D 20 B O A .8 2 a נתונה הפונקציה: א. a 2 x a 0 , f x נתון ששיפוע הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה בה x a הוא . 1 מצא את הפרמטר .a ב. ג. )(1 מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. )(2 מצא את נקודת החיתוך של הגרף עם הצירים. )(3 מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. )(4 מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. נתונה הפונקציה ) g(x המקיימת ) f (x ) .g(x מי מבין הגרפים הבאים מתאר את גרף הפונקציה ) . g ( x y (2 (1 y ) ) x x y (3 ) x ד. נתונה הפונקציה נתון: ) p(x p ( x 1) b המקיימת . p '( x ) f x , 1) c . p(x הבע בעזרת הפרמטרים bו c -את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה , f x ציר ה , x -והישרים x 1 ו- 1 .x מ בחן פת רון מס' מתכונת 1 פתרון שאלה 1 א. החתך הצירי הוא המלבן . A B C D הצלע AB היא קוטר בבסיס ,לכן הצלע BC שווה לגובה הגליל. נתון כי הגובה גדול ב- 25% C 2r D . AB מהקוטר ,לכן: B C 2 r 2 5 % 2 r 2 r 0 .2 5 2 r 2 .5 r נתון כי שטח המלבן ABCD הוא 80 סמ"ר. B שטח מלבן הוא מכפלת צלעותיו, לכן: AB BC A .80 8 0 2 r 2 .5 r נציב את הידוע לנו ונקבל: 2 /:5 / 80 5r 16 2 r r 4 r ב. הוא רדיוס ולכן חייב להיות חיובי ,כלומר: נפח גליל נתון ע"י הנוסחה: h 2 4 ס"מ .r V r במקרה שלנו ,הגובה הוא . B Cנחשב אותו לפי תוצאת סעיף א': 1 0ס"מ B C 2 .5 r 2 .5 4 נציב בנוסחה של הנפח ,ונקבל: ג. 160 סמ"ק שטח הפנים של גליל נתון ע"י הנוסחה: נציב את הגובה ואת הרדיוס .נקבל: 10 2r h 112 סמ"ר 2 2 4 2r .V .P 2 4 10 2 2 4 .P פתרון שאלה 2 א. מקביל לציר , xומכאן שלכל הנקודות עליו יש אותו שיעור . yלכן: הישר AB הישר CD מקביל גם הוא לציר , xומכאן ש- הישר AD מקביל לציר , yומכאן שלכל הנקודות עליו יש אותו שיעור . xלכן: הישר BC מקביל גם הוא לציר ב. שלב א' - x C 1 D 5 , 2 , B 1, 8 לסיכום ,הקדקודים הם: AC y ולכן yC 2 8 .yB .yD 5 .xD .xB . הוא קוטר במעגל המבוקש ,לכן אמצע הקטע AC הוא מרכז המעגל .נרצה למצוא את אמצע . A C נשתמש בנוסחת אמצע קטע: 51 2 2 ) (2, 5 8 2 5 2 xA xC 2 yA yC 2 ומכאן שמשוואת המעגל הכללית תהיה: שלב ב' - AC 2 xM yM R 2 ) ( y 5 2 )(x 2 הוא קוטר במעגל המבוקש ,לכן נקודות הקצה שלו A,C . נמצאות על המעגל. כלומר ,אם נציב במשוואת המעגל את הנקודה , A 5, 8 נוכל למצוא את . yנקבל: 2 R 2 2 8 5 9 9 18 2 R 18 לכן ,משוואת המעגל היא: ג. דרך א' :לפי הנתון ,זווית שווה ל ." 9 0 -זווית B 5 2 2 y 5 2 2 . x היא בת . 9 0 ניזכר במשפט" :זווית היקפית הנשענת על קוטר B נשענת על הקוטר ושווה ל , 9 0 -ומכאן שהיא זווית היקפית נמצאת על המעגל . דרך ב' :נציב את הנקודה 18 2 B 8 5 2 במשוואת המעגל ,ונבדוק האם אנו מקבלים פסוק אמת: 1 2 9 9 18 18 18 קיבלנו פסוק אמת ,לכן הנקודה B נמצאת על המעגל . פתרון שאלה 3 נראה את הנתונים בדיאגרמת עץ: בחירת כיס: א. 2 2 כיס ימין פיצוח ראשון: פיצוח שני: 1 1 כיס שמאל 5 3 4 4 8 8 8 8 בוטן פיסטוק בוטן פיסטוק 4 3 5 2 3 4 4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 פיסטוק בוטן פיסטוק בוטן פיסטוק בוטן פיסטוק 3 ההסתברות שדני יוציא שני בוטנים מכיס ימין היא: 7 56 ב. ההסתברות שדני יוציא שני בוטנים היא: ג. ההסתברות שהם הוצאו מכיס ימין: 9 7 56 שני בוטנים שני בוטנים מכיס ימין שני בוטנים P 56 8 1 2 8 2 7 P שני בוטנים 3 8 P 2 1 P 2 שני בוטנים מכיס ימין 3 3 1 56 9 9 3 3 4 2 3 1 P בוטן P פתרון שאלה 4 נעביר בניית עזר: אלכסון AC C במרובע . A B C D B E D A O נסמן: ACB . טענה א. נימוק CAD CAB ACB זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים מ.ש.ל .א' A D || B C ב. זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות C AD 2 COD 2 C O D 2 BOC זווית מרכזית גדולה פי 2מזווית היקפית הנשענת על אותה הקשת AO C 4 2 AOC חיבור זוויות CDA EDC C O D 2 OCD זווית היקפית קטנה פי 2מזווית מרכזית הנשענת על אותה הקשת 2 CDA AOB זוויות מרכזיות הנשענות על קשתות שוות זווית משותפת EDC ECD OCD ~ DCE זווית משותפת לפי זווית זווית מ.ש.ל .ב' ג. נרשום את יחס הפרופורציה של הצלעות המתאימות: OD DE ד. CE OD R ידוע כי: k נתון: CD OC DC , O Cולכן: DC DE ,מש"ל. . AB נציב ביחס הפרופורציה את הנתונים ונזכיר כי 2 k CD DE k CE k R : AB CE R k פתרון שאלה 5 כדי לטפל במצולעים משוכללים מומלץ מאד לחסום אותם בתוך מעגל .זאת על סמך המשפט א. הקובע ,כי כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל .כל זווית מרכזית במעגל (למשל שווה: 60 360 DOE ) A . 6 לפי המשפט :זווית היקפית שווה למחצית מהזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת, נקבל: D 90 60 30 1 1 DOE 2 B 30° a 2a 1 s in 3 0 O B 2 60° C נתבונן במשולש : B D E DE F BE DE s in 3 0 D BE 2 3 2 3 a 2 ב. SBDE a 2a 2 2 נחשב שטח של "פרוסה" אחת (למשל AFO D E B E s in 6 0 2 AFO SBDE בציור) ונכפול ב. 6 - הוא שווה צלעות (כי כל זוויותיו :) 6 0 2 3 4 a a a s in 6 0 2 S AFO E SABCDEF 3a 2 2 3 : 6 -נכפול ב :'לפי סעיף א a 2 3 54 2 SABCDEF a 2 36 a 6 3 36 2 3 54 :' לפי סעיף ב,כעת 3 2 . F O A נתבונן במשולש A .2 AF a 6 P EP PA 3 F s in 3 0 r R .1 30 PA R R FO A 30 PA R 3 s in 3 0 6 0 .5 אפשר כמובן לקצר בעזרת העובדה שמשולש .הוא מש"צ . F O A נתבונן במשולש O ta n 3 0 PA PA r r ta n 3 0 3 3 .3 3 3 3 ED a 6 B ,משולש ישר זווית 30 שווה 30 r 60 ולכן.למחצית מהיתר :בעזרת פיתגורס נקבל M r r משולש הניצב מול זווית. 3 0 , 6 0 , 9 0 EB 12 E BED .62 BD 2 12 2 90 BD : BED D 144 36 108 6 3 נרכיב את השטח של משולש SBED SM EB SM ED SM DB SBED r BE 2 r BD r ED 2 2 BD ED 2 r 2 r 2 BE BD ED BE BD ED .4 .ג r BD ED BE BD ED 6 12 6 3 6 3 6 3 3 3 2 .1 9 6 פתרון שאלה 6 נתונה הפונקציה: א. x x 1 .y תחום ההגדרה: הגדרת השורש: x הגדרת המכנה: x 1 0 .0 x 1 0 x 1 לכן ,תחום ההגדרה הוא: ב. חיתוך עם ציר :x נציב y 0 בפונקציה: x 0 x 0 x 1 נקודת החיתוך היא 0 , 0 וזו גם נקודת החיתוך עם ציר . y ג. נקודות קיצון: u ' .v v ' u u ' 2 v v נגזור את הפונקציה בעזרת כלל המנה: אצלינו: u x u'1 1 x v x 1 v' 2 x והנגזרת: 1 x x 1 2 2 x 1 x נצמצם ונקבל: 1 y' x 1 2 2 x 1 1 y' x x 2 2 x 1 x 1 2 2 x 1 y' 1 0 נשווה את המונה לאפס ונפתור: x 2 x 2 x 4 1 0 x 2 נציב בפונקציה המקורית: 4 4 2 1 4 y 4 x 1 כעת נציב את הערכים בטבלה: 9 4 2 0 1 0 .5 x 'y y . הנגזרת שלילית בתחום שבין 0 ל- 4 וחיובית בתחום שגדול מ , 4 -ולכן זו נקודת מינימום. נוסיף את נקודת קצה התחום 0, 0 מקסימום. לסיכום 4, 4 :מינימום 0, 0 ,מקסימום . ד. לפי הטבלה בסעיף ג': הפונקציה יורדת עבור הפונקציה עולה עבור ה. 0 x 1 1 x 4 או 4 x לפי סעיף א' ,לפונקציה אסימפטוטה אנכית עבור: ו. y 4 x 4 1 x 1 פתרון שאלה 7 נתון: 20 ס"מ CO .R y AB BC פונקציית המטרה היא השטח של המלבן: נסמן את OB ב. x - ממשפט פיתגורס במשולש כעת ,נשים לב ש- OBC 2 BC 2 2 BC 2 2 נקבל: OB 2 x 400 x BCO 2 OC 20 BC . A D Oמכאן מכאן שפונקציית המטרה היא: 2 BO 400 x , A Oולכן: y 2x כעת נגזור ונמצא את השטח המקסימלי: 2x 2 2x 400 x 2 400 x y' 2 2 נצמצם: 2 2x 2 2 400 x 2 800 4x 2 400 x 2 400 x 2x 2 2 y' 2 2 400 x 400 x נשווה לאפס ונפתור: 2 800 4x 2 400 x 0 0 :4 2 800 4x 800 2 4x y' AB 2BO 2x 200 x חייב להיות חיובי ולכן: 200 x 200 x 2 x נראה שאכן קיבלנו מקסימום: 8x מקסימום סי y " מן 0 200 8 200 סי y " מן כעת נחשב את השטח המקסימלי: 200 400 השטח המקסימלי הוא: 400 200 400 200 2 2 200 200 סמ"ר . פתרון שאלה 8 ) (a 0 2a x a 2 f (x ) א. f '( x a ) 1 2x ) ( 1 2a 2 a 2 f '( x ) x 4a a 2 1 ) (a a 2 2 ) (a 0 2 4a )( a 1 1 2 a ( a 1) 4 2 a 1 2 (מתבטל שכן )a > 0 a 1 או a 1 2 a 1 2 a 3 3 0 ב. )(1 תחום הגדרה: )(2 חיתוך עם ציר :)y = 0( x x 3 אין נקודות חיתוך עם ציר .x 6 x 3 2 2 x 0 0 6 y 2 חיתוך עם ציר :)x = 0( y 6 03 f (0 ) ) (0, 2 12x )(3 2 )( x 3 2 f '( x ) 12x 0 x 0 0 3 3 ) m ax (0, 2 )(4 אסימפטוטה אופקית: y 0 (החזקה הגבוהה ביותר במכנה גבוהה מזו שבמונה). 3 0 אסימפטוטה אנכית: 3 ג. נתון: ) f (x 2 x x ) .g(x נסרטט את גרף הפונקציה ) : f ( x y x מכיוון שכפלנו כל yבפונקציה ) f(xב- )( 1 (כדי לקבל את ) ,)g(xהרי שהתחום שבו הגרף של ) f(xמעל ציר ,xכעת יהיה מתחת לציר ,x והתחום שבו הגרף של ) f(xמתחת לציר ,xכעת יהיה מעליו: y x ע"פ סעיף ג' ,הגרף המתאר נכונה את הפונקציה ) g(xהוא גרף ). (2 ד. ) P '( x ) f ( x נתון: P ( x 1) b P ( x 1) c 1 1 1 ( P '( x ) d x P ( x ) 1 1 0 f (x ) dx S 1 P (1) P ( 1) P (1) P ( 1) c b
