להורדת שאלון הבחינה

‫מבחן בגרות מספר ‪6‬‬
‫חורף תשע"א‪2011 ,‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫נהג יצא מעיר ‪ A‬לכיוון עיר ‪ . B‬המרחק בין שתי הערים הוא ‪ 120‬ק"מ‪.‬‬
‫בהתחלה נסע הנהג במהירות קבועה כפי שתכנן‪ ,‬אבל כעבור ‪ 3‬שעה‬
‫‪4‬‬
‫מתחילת נסיעתו הייתה תקלה ברכבו‪.‬‬
‫הנהג חזר מיד לכיוון ‪ , A‬ונסע ‪ 10‬ק"מ במהירות של ‪ 50‬קמ"ש עד‬
‫למוסך הנמצא בדרך ל‪. A -‬‬
‫המוסך טיפל בתקלה במשך ‪ 33‬דקות‪ ,‬ומיד לאחר הטיפול יצא הנהג‬
‫לכיוון ‪ B‬במהירות הקטנה ב‪ 10 -‬קמ"ש ממהירות נסיעתו עד התקלה‪.‬‬
‫הוא הגיע ל‪ B -‬באי חור של שעה אחת לעומת השעה המתוכננת‪.‬‬
‫מה הייתה מהירות הנסיעה של הנהג עד התקלה?‬
‫‪.2‬‬
‫בסדרה שכל איבריה שונים מאפס ומאחד נתון כי סכום של כל שני‬
‫איברים עוקבים שווה למכפלתם‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא נוסחת נסיגה המביעה את ‪ a n 1‬באמצעות ‪. a n‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי עבור כל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. a n  2  a n :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי ‪ n , a 31  3‬הוא מספר זוגי‪.‬‬
‫מצא נוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫משפחה יצאה לטיול במכונית הנוסעת על ‪ 4‬גלגלים חדשים‪.‬‬
‫בתא המטען של המכונית יש גלגל רזרבי אחד‪.‬‬
‫ההסתברות שיהיה נקר )פנצ'ר( בגלגל חדש בזמן הטיול היא ‪. 0.05‬‬
‫ההסתברות שיהיה נקר בגלגל הרזרבי בזמן הטיול היא ‪. 0.25‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שיהיה נקר בדיוק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים‬
‫החדשים?‬
‫‪22‬‬
‫ב‪ .‬בתחילת הטיול היה נקר בגלגל אחד‪ ,‬והמשפחה החליפה את הגלגל‬
‫בגלגל הרזרבי‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל הרזרב י‬
‫מבין ארבעת הגלגלים?‬
‫) ‪ ( 2‬מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל אחד מבין‬
‫ארבעת הגלגלים?‬
‫) ‪ ( 3‬ידוע כי אחרי ההחלפה היה נקר רק בגלגל אחד מבין ארבעת‬
‫הגלגלים‪.‬‬
‫מהי ההסתברו ת שהנקר היה בגלגל הרזרבי?‬
‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫מנקודה ‪ A‬יוצאים למעגל חותך ‪AF‬‬
‫וישר המשיק למעגל בנקודה ‪. N‬‬
‫החותך נפגש עם המע גל בנקודות ‪ D‬ו‪. E -‬‬
‫מנקודה ‪ F‬יוצא ישר המשיק למעגל‬
‫‪E‬‬
‫בנקודה ‪ , M‬ונפגש עם המשך המשיק ‪AN‬‬
‫בנקודה ‪) B‬ראה ציור(‪ .‬נת ון‪. AD  DE  EF :‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AN  MF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. ADN  FEM :‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪ :‬במרובע ‪ MNDE‬יש שתי צלעות מקבילות זו לזו‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫משולש חד‪ -‬זוויות ‪ ABC‬חסום במעגל‬
‫שמרכזו ‪ CF . O‬הוא קוטר במעגל‪,‬‬
‫והמשך הרדיוס ‪ BO‬חותך את הצלע ‪AC‬‬
‫בנקודה ‪ , D‬כמתואר בציור‪ .‬נתון‪. ABD   :‬‬
‫‪ BC‬ארוכה פי ‪ 2‬מהקשת ‪‬‬
‫הקשת ‪‬‬
‫‪. FB‬‬
‫א‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. BAC‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס בין שטח‬
‫המשולש ‪ BAD‬לשטח המשולש ‪. BAC‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם כי‪AD  2 :‬‬
‫‪ .‬מצא את ‪. ‬‬
‫‪AB 3‬‬
‫‪23‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬
‫טריגונומטריות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪x2  a‬‬
‫נתונה ה פונקציה ‪ 1‬‬
‫‪x 2  3a‬‬
‫א‪ .‬מצא )הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪:‬‬
‫‪ a . f (x) ‬הוא פרמטר‪. a  0 ,‬‬
‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬את שי עורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול של הפונקציה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬אסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬הסבר את השינויים בגרף הפונקציה )‪ f (x‬עבור ‪a  0‬‬
‫לעומת גרף הפונקציה עבור ‪: a  0‬‬
‫) ‪ ( 1‬בתחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬בנקודות הפיתול של הפונקציה‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונות הפונקציות ‪ x  4‬‬
‫‪, f (x) ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪) g(x)   x  4‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של‬
‫‪x‬‬
‫כל אחת מהפונקציות הנתונות‪.‬‬
‫לפונקציות יש משיק משותף‪ ,‬המשיק‬
‫לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה שבה ‪. x  x 0‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ x 0‬את השיעורים של הנקודה שבה המשיק‬
‫המשותף משיק לגרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים של נקודת ההשקה שהבעת בתת‪ -‬סעיף ב' ) ‪( 1‬‬
‫)ערכים מספריים(‪.‬‬
‫ג‪ .‬השטח המוגבל על ידי המשיק המשותף‪ ,‬על ידי הגרף של‬
‫הפונקציה )‪ g(x‬ועל ידי ציר ה‪ , x -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)  2 tan 2 x‬בתחום ‪.  3  x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬בתחום הנתון‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את ערכי ה‪ x -‬שעבורם הפונקציה )‪ f (x‬אינה מוגדרת‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון ש ל הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את פונקציית הנגזרת של הפונקציה ‪. g(x)  tan x  x‬‬
‫‪ 0  x  ‬מצא את השטח המוגבל על ידי הישר ‪, y  2‬‬
‫) ‪ ( 2‬בתחום ‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫על ידי הישר ‪ , x  2‬על ידי הגרף של הפונקציה )‪f (x‬‬
‫ועל ידי ציר ה‪ . x -‬היעזר בפונקציית הנגזרת של )‪. g(x‬‬
‫תשובות ל מ בחן בגרות מספר ‪ – 6‬חורף תשע"א‪: 2011 ,‬‬
‫‪an‬‬
‫‪ 80 . 1‬קמ"ש‪ . 2 .‬א‪.‬‬
‫‪an 1‬‬
‫‪. a n 1 ‬‬
‫ג‪. 2.25n .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 6859 .‬ב‪. 19 ( 3 ) . 2527 ( 2 ) . 6859 ( 1 ) .‬‬
‫‪28‬‬
‫‪8000‬‬
‫‪32000‬‬
‫‪40000‬‬
‫‪sin  cos ‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 60 .‬ב‪.‬‬
‫)‪sin(30  )sin(120  ‬‬
‫ג‪. 40.89 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 6‬א‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬עלייה‪ ; x  0 :‬ירידה‪. x  0 :‬‬
‫) ‪. (0; 1 1 ) ( 4 ) . x   a , x  a ( 3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪. y  0 (5‬‬
‫ג‪3a ( 1 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ( 2 ) . x   3a , x ‬אין נקודות פיתול‪.‬‬
‫‪ . 7‬א‪. x  4 : g(x) . x  4 : f (x) .‬‬
‫ב‪ ( 1) .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. x0 ;  x0  4‬‬
‫) ‪ . (8; 2) ( 2‬ג‪. 2 2  .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. x   3 , x   ‬‬
‫‪ . 8‬א‪2 , x  2 , x  2 ( 2 ) . x   2 , x   2 , x  2 , x  2 ( 1 ) .‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ ( ;0) ( 3‬מינימום‪ (0;0) ,‬מינימום‪ ( ;0) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(4‬‬
‫ב‪2    0.8056 ( 2 ) . g '(x)  tan 2 x ( 1 ) .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3 9‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬