הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות

‫מדינת ישראל‬
‫סוג הבחינה‪:‬‬
‫משרד החינוך‬
‫מועד הבחינה‪:‬‬
‫מספר השאלון‪:‬‬
‫א‪ .‬בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬
‫ב‪ .‬בגרות לנבחנים אקסטרניים‬
‫חורף תשע"ד‪2014 ,‬‬
‫‪315 ,035805‬‬
‫הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות‬
‫מתמטיקה‬
‫‪ 4‬יחידות לימוד – שאלון שני‬
‫הוראות לנבחן‬
‫א‪.‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שעה ושלושה רבעים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שני פרקים‪:‬‬
‫פרק ראשון‬
‫—‬
‫סדרות‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‬
‫פרק שני‬
‫—‬
‫גדילה ודעיכה‪ ,‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫—‬
‫‪1‬‬
‫‪33 3 #1‬‬
‫—‬
‫‪1‬‬
‫‪ 33 3‬נקודות‬
‫של פונקציות טריגונומטריות‪,‬‬
‫פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬
‫ופונקציות חזקה‬
‫ג‪.‬‬
‫—‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪33 3 #2‬‬
‫—‬
‫‪ 66 3‬נקודות‬
‫סה"כ‬
‫—‬
‫‪ 100‬נקודות‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬
‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬
‫הוראות מיוחדות‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬
‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬
‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫(‪)3‬‬
‫לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬
‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬
‫פרק ראשון – סדרות‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‬
‫‪1‬‬
‫( ‪ 33 3‬נקודות)‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬
‫‪-2-‬‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪. 2-1‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫סדרות‬
‫‪.1‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית עולה‪:‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪a1 , a2 , a3 , ... , a n , ...‬‬
‫‪. a1 $ a 4 = (a2) 2‬‬
‫א‪.‬‬
‫הראה כי האיבר הראשון בסדרה החשבונית שווה להפרש הסדרה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ )1‬שלושת האיברים ‪ a 4 , a6 , a9‬בסדרה החשבונית הנתונה מהווים סדרה הנדסית‪.‬‬
‫( ‪ a 4‬הוא האיבר הראשון בסדרה ההנדסית‪).‬‬
‫מצא את מנת הסדרה ההנדסית‪.‬‬
‫(‪ )2‬סכום שלושת האיברים שבתת־סעיף ב(‪ )1‬הוא ‪. 133‬‬
‫מצא את הפרש הסדרה החשבונית הנתונה‪.‬‬
‫(‪ )3‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה הנתונה מקיים ‪. S n 211, 977‬‬
‫מצא את ‪ n‬הקטן ביותר המקיים אי־שוויון זה‪.‬‬
‫טריגונומטריה במרחב‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע‬
‫תשובה לשאלה ‪1‬‬
‫וגובהה ‪. SO‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪( BC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪a 4 = a1 + 3d‬‬
‫א‪ .‬האיבר הרביעי בסדרה החשבונית הוא‪:‬‬
‫הזווית בין ‪ SE‬לבסיס הפירמידה היא ‪. 75o‬‬
‫השניהוא ‪. a‬‬
‫הבסיס‬
‫אורך צלע‬
‫‪a2 = a1 + d‬‬
‫בסדרה החשבונית הוא‪:‬‬
‫האיבר‬
‫‪F‬‬
‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ a‬את האורך של ‪. SE‬‬
‫‪2‬‬
‫במשוואה‬
‫)‪aA1 $ (a1 + 3d) = (a1B+ d‬‬
‫ונקבל‪:‬שטח המעטפת‬
‫הנתונה‪ a‬את‬
‫באמצעות‬
‫נציב הבע‬
‫(‪)2‬‬
‫של הפירמידה ‪. SABCD‬‬
‫‪O‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ F‬נמצאת על הגובה ‪ SO‬כך ש־ ‪. FO = SO‬‬
‫‪a12 + 3a1 d = a12 + 2a1 d + d32‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫בפירמידה הישרה ‪ FABCD‬חשב את הזווית‬
‫‪0‬‬
‫בין מקצוע צדדי לבסיס‪.‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫‪S‬‬
‫‪d (a1 - d) = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫הסדרה היא סדרה חשבונית עולה‪ ,‬לכן ‪: d ! 0‬‬
‫‪a1 - d = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a1 = d‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫‪-3‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫מנת הסדרה ההנדסית היא‪:‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q = a6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a + 5d‬‬
‫‪q = a1 + 3d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪q = 1.5‬‬
‫נציב ‪ d = a1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪a 4 + a6 + a9 = 133‬‬
‫(‪)2‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫(‪)3‬‬
‫סכום ‪ n‬האיברים הראשונים‬
‫‪0‬‬
‫‪4d + 6d + 9d = 133‬‬
‫‪0‬‬
‫‪d=7‬‬
‫בסדרה חשבונית הוא‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S n = 2 ^2a1 + d (n - 1)h‬‬
‫‪0‬‬
‫נציב ‪ , a1 = d = 7‬ונקבל‪:‬‬
‫‪7n‬‬
‫)‪S n = 2 (1 + n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7n‬‬
‫‪2 (1 + n) 211, 977‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n2 + n - 3422 2 0 , n 2 0‬‬
‫‪0‬‬
‫מפתרון האי־שוויון נקבל‪:‬‬
‫‪n 2 58‬‬
‫מכאן ש־ ‪ n‬הקטן ביותר‬
‫המקיים את האי־שוויון הוא‪:‬‬
‫‪n = 59‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫מצא את הפרש הסדרה החשבונית הנתונה‪.‬‬
‫(‪ )3‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה הנתונה מקיים ‪. S n 211, 977‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬
‫מצא את ‪ n‬הקטן ביותר המקיים אי־שוויון זה‪- 4 - .‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫טריגונומטריה במרחב‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע‬
‫וגובהה ‪. SO‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪( BC‬ראה ציור)‪.‬‬
‫הזווית בין ‪ SE‬לבסיס הפירמידה היא ‪. 75o‬‬
‫אורך צלע הבסיס הוא ‪. a‬‬
‫א‪ )1( .‬הבע באמצעות ‪ a‬את האורך של ‪. SE‬‬
‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ a‬את שטח המעטפת‬
‫‪B‬‬
‫של הפירמידה ‪. SABCD‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ F‬נמצאת על הגובה ‪ SO‬כך ש־ ‪. FO = 3 SO‬‬
‫בפירמידה הישרה ‪ FABCD‬חשב את הזווית‬
‫בין מקצוע צדדי לבסיס‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫תשובה לשאלה ‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪B SEO = 75 o‬‬
‫(‪ )1‬לפי ההגדרה של זווית בין ישר למישור נקבל‪:‬‬
‫במשולש ישר־הזווית ‪ SOE‬מתקיים‪:‬‬
‫‪OE‬‬
‫‪cos (B SEO) = SE‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SE‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪cos 75 o‬‬
‫‪0‬‬
‫‪SE = 1.93a‬‬
‫(‪ )2‬שטח המעטפת הוא‪:‬‬
‫‪ = 4 $ S3SBC‬שטח מעטפת‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S3SBC = 2 $ SE $ BC = 2 $1.93a $ a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ = 4 $ 2 $1.93a $ a‬שטח מעטפת‬
‫‪0‬‬
‫‪ = 3.86a2‬שטח מעטפת‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬
‫‪-5‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫לפי ההגדרה של זווית בין ישר למישור‬
‫נקבל כי הזווית המבוקשת היא למשל‪:‬‬
‫‪B FBO‬‬
‫במשולש ישר־הזווית ‪ FOB‬מתקיים‪:‬‬
‫‪FO‬‬
‫‪tg BFBO = BO‬‬
‫במשולש ‪ SOE‬מתקיים‪:‬‬
‫‪SO‬‬
‫)‪EO = tg (BSEO‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪SO = 2 $ tg75 o‬‬
‫‪1‬‬
‫‪FO = 3 SO‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫‪a tg75 o‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ BO‬הוא ‪ 2‬אלכסון הבסיס‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫מהצבת ‪ FO‬ו־ ‪ BO‬נקבל‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪FO‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪BO = 2‬‬
‫‪a tg75 o‬‬
‫‪6‬‬
‫= )‪tg (BFBO‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2 tg75 o‬‬
‫‪6‬‬
‫= )‪tg (BFBO‬‬
‫‪0‬‬
‫‪BFBO = 41.3 o‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬
‫ופונקציות חזקה‬
‫( ‪ 66 3‬נקודות)‬
‫‪1‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 5-3‬לכל שאלה — ‪ 33 3‬נקודות)‪.‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬
‫‪-6‬‬‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪.‬‬
‫יובל פתח חשבון חדש בבנק והפקיד בו ‪ 10,000‬שקל‪.‬‬
‫גדל בכל חודש ב־ ‪. 2%‬‬
‫הסכום שהפקיד ֵ‬
‫כעבור שנה מרגע ההפקדה משך יובל מחשבונו ‪ 5000‬שקל‪.‬‬
‫(הסכום שנשאר ממשיך לגדול בכל חודש ב־ ‪).2%‬‬
‫כעבור כמה חודשים מרגע המשיכה‪ ,‬שוב יהיו בחשבונו של יובל ‪ 10,000‬שקל?‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2x‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪f (x) = 2x + 3‬‬
‫‪y‬‬
‫בתחום ‪. x 2 0‬‬
‫העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודת הקיצון שלה‪ ,‬והעבירו את‬
‫‪1‬‬
‫הישר ‪ y = 2 6‬החותך את גרף הפונקציה‬
‫בין היתר בנקודה שבה ‪x = 1‬‬
‫‪x‬‬
‫(הנקודה הקרובה לציר ה־ ‪.) y‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על ידי שני הישרים‪ ,‬על ידי גרף הפונקציה )‪ f(x‬ועל ידי ציר ה־ ‪, y‬‬
‫השטח המקווקו בציור‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬
‫תשובה לשאלה ‪3‬‬
‫א‪.‬‬
‫הסכום בבנק כעבור ‪ 12‬חודשים‪:‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫‪10, 000 #1.0212‬‬
‫‪0‬‬
‫הסכום בבנק לאחר המשיכה‪:‬‬
‫כעבור ‪ x‬חודשים כדי שיהיו בבנק‬
‫שוב ‪ 10,000‬שקלים צריך להתקיים‪:‬‬
‫‪10, 000 #1.0212 - 5000‬‬
‫‪^10, 000 #1.0212 - 5000h 1.02 x = 10, 000‬‬
‫‪0‬‬
‫על ידי הפעלת ‪,n‬‬
‫על שני אגפי המשוואה נקבל‪:‬‬
‫‪10, 000‬‬
‫‪m‬‬
‫‪10, 000 $1.0212 - 5000‬‬
‫‪,n1.02‬‬
‫‪,n c‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 13.3‬חודשים = ‪x‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬
‫‪-7‬‬‫המשך תשובה שאלה ‪.3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2x2 3‬‬
‫הנגזרת של )‪: f(x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪ x = - 2‬לא בתחום ( ‪x = 2‬‬
‫&‬
‫‪f' (x) = -‬‬
‫‪x 2 0 , f' (x) = 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪fb 2 l = 2‬‬
‫שיעור ה־ ‪ y‬של נקודת הקיצון‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y=2‬‬
‫משוואת הישר המשיק בנקודת הקיצון‪:‬‬
‫השטח המבוקש מורכב משני שטחים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫שטח מלבן הנוצר ממשיק‪ ,‬מהישר ‪, y = 2 6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S I = (2 6 - 2) $1 = 6‬‬
‫מהאנך ‪ x = 1‬ומציר ה־ ‪: y‬‬
‫שטח המוגבל על ידי הגרף של )‪, f(x‬‬
‫‪6f (x) - 2@ dx‬‬
‫על ידי המשיק ועל ידי האנך ‪: x = 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪#‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪S II‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪S II = ; 2 ,nx + 3 - 2xE = 2 ,n 2 - 12 = 0.02486‬‬
‫‪1‬‬
‫השטח המבוקש הוא‪:‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪S I + S II = 2 ,n 2 - 12 = 0.1915‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬
‫‪-8-‬‬
‫מס' ‪ + 315 ,035805‬נספח‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪,‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‪-4‬‬‫‪.4‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬
‫‪5r‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f (x) = - 2 cos (2x) + a‬בתחום ‪. 0 # x # 6‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר המקיים ‪. 0 1 a 1 2‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של נקודות המקסימום המוחלט והמינימום המוחלט של הפונקציה )‪f(x‬‬
‫(הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון כי הישר ‪ y = 3‬משיק לגרף הפונקציה )‪ f(x‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫הצב ‪ , a = 1‬וענה על הסעיפים ג ו־ ד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫בתחום הנתון סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על ידי המשיק ‪y = 3‬‬
‫ועל ידי ציר ה־ ‪. y‬‬
‫‪.5‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪, f (x) = (a - 3x) e3x‬‬
‫א‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר‪.‬תשובה לשאלה ‪4‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫)‪f' (x) = 4 sin (2x‬‬
‫הנגזרת של )‪: f(x‬‬
‫ידוע כי שיעור ה־ ‪ x‬של נקודת הקיצון של הפונקציה )‪ f(x‬הוא ‪. 1‬‬
‫מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫‪sin (2x) = 0‬‬
‫הצב ‪ , a = 4‬וענה על הסעיפים ג ו־ ד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫&‬
‫‪f' (x) = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪. f(x‬‬
‫מצא‪5‬את‬
‫(‪)1‬‬
‫‪#x#‬‬
‫=‪x‬‬
‫הפונקציה ‪0 ,‬‬
‫תחומי‪: 0‬העלייה והירידה של ‪x = 2‬‬
‫בתחום ‪6‬‬
‫(‪ )2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים‪.‬‬
‫(‪ )3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫נתון הישר ‪. k # 0 , y = k‬‬
‫‪5r‬‬
‫‪6‬‬
‫‪a -1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a+2‬‬
‫‪a-2‬‬
‫כמה נקודות חיתוך יש לישר זה עם גרף הפונקציה )‪ ? f(x‬נמק‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a - 2 1 a - 11 a + 2‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪0‬‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫‪r‬‬
‫החינוך‪a 2 , a +‬‬
‫ברשות משרד ‪2 k‬‬
‫בנקודה‪:‬‬
‫מוחלט‬
‫מקסימום‬
‫לפונקציה )‪ f(x‬יש‬
‫לפרסם אלא‬
‫להעתיק או‬
‫אין‬
‫לפונקציה )‪ f(x‬יש מינימום מוחלט בנקודה‪:‬‬
‫‪^ 0 , a - 2h‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬
‫‪-9-‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬
‫המשך תשובה לשאלה ‪.4‬‬
‫ב‪.‬‬
‫שיפוע הישר ‪ y = 3‬הוא ‪, 0‬‬
‫‪f' (x) = 0‬‬
‫כלומר הוא משיק לפונקציה בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x= 2‬‬
‫‪ y = 3‬בנקודה שבה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪fa 2 k = 3‬‬
‫‪0‬‬
‫מצאנו כי ‪ , f a 2 k = a + 2‬לכן‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a+2=3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a =1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪5r‬‬
‫‪6‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-1‬‬
‫השטח המבוקש הוא השטח המקווקו בציור‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(2 + 2 cos (2x)) dx‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪#‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪(3 - f (x)) dx‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪#‬‬
‫‪0‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪0‬‬
‫‪S=r‬‬
‫‪r‬‬
‫&‬
‫‪S = 62x + sin (2x)@ 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬
‫ג‪.‬‬
‫בתחום הנתון סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על ידי המשיק ‪y = 3‬‬
‫‪- 10 -‬‬
‫ועל ידי ציר ה־ ‪. y‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫‪.5‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ a , f (x) = (a - 3x) e3x‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪.‬‬
‫ידוע כי שיעור ה־ ‪ x‬של נקודת הקיצון של הפונקציה )‪ f(x‬הוא ‪. 1‬‬
‫מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫הצב ‪ , a = 4‬וענה על הסעיפים ג ו־ ד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫(‪ )2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים‪.‬‬
‫(‪ )3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫נתון הישר ‪. k # 0 , y = k‬‬
‫כמה נקודות חיתוך יש לישר זה עם גרף הפונקציה )‪ ? f(x‬נמק‪.‬‬
‫תשובה לשאלה ‪5‬‬
‫א‪.‬‬
‫הפונקציה מוגדרת לכל ‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫ב‪.‬‬
‫נגזרת הפונקציה )‪: f(x‬‬
‫‪f' (x) = - 3e3x + (a - 3x) e3x $ 3‬‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬
‫‪0‬‬
‫)‪f' (x) = 3e3x (a - 3x - 1‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪f' (1) = 3e3 (a - 3 - 1‬‬
‫יש קיצון ב־ ‪ , x = 1‬לכן‪:‬‬
‫‪f' (1) = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a - 3 - 1 = 0 , 3e3 2 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a=4‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬
‫‪- 11 -‬‬
‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪315 ,035805‬‬
‫המשך תשובה לשאלה ‪.5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫)‪f' (x) = 3e3x (3 - 3x‬‬
‫קיבלנו‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x 21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 11‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪f'(x‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪4‬‬
‫(‪)2‬‬
‫הפונקציה )‪ f(x‬עולה עבור‪:‬‬
‫‪x 11‬‬
‫הפונקציה )‪ f(x‬יורדת עבור‪:‬‬
‫‪x 21‬‬
‫‪f (x) = (4 - 3x) e3x‬‬
‫קיבלנו‪:‬‬
‫‪f (0) = 4‬‬
‫&‬
‫‪x=0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x= 3‬‬
‫&‬
‫‪f (x) = 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪b 3 , 0l‬‬
‫חיתוך עם ציר ה־ ‪: x‬‬
‫‪^ 0 , 4h‬‬
‫חיתוך עם ציר ה־ ‪: y‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y=k‬‬
‫לפי הסרטוט‪ :‬הישר חותך את הגרף של )‪ f(x‬בנקודה אחת עבור ‪k # 0‬‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬