= . מכאן ש , הפרבולה , נקודה על המקום הגיאומטרי נסמן א . y 16 x

‫‪1‬‬
‫בגרות עד אפריל ‪ 14‬דוגמאות שאלון ‪35807‬‬
‫א‪ .‬נסמן ) ‪ P( s, t‬נקודה על המקום הגיאומטרי‪ ,‬הפרבולה ‪ , y 2  16 x‬מכאן ש‪. t 2  16 s -‬‬
‫) ‪ P( s, t‬היא מרכז המעגל המשיק לישר ‪ (0  R  a ) x  R  a‬מימין לישר‪,‬‬
‫ולכן רדיוס המעגל‪ ,‬שמרכזו ) ‪ , P( s, t‬הוא ‪. s  ( R  a )  s  R  a‬‬
‫מעגל זה משיק גם למעגל ‪ , ( x  a ) 2  y 2  R 2‬שמרכזו בנקודה )‪ (a, 0‬ורדיוסו ‪. R‬‬
‫לכן רדיוס המעגל‪ ,‬שמרכזו ) ‪ , P( s, t‬שווה גם להפרש בין אורך קטע המרכזים לרדיוס המעגל ‪. R‬‬
‫‪( s  a ) 2  (t  0) 2  R  s  R  a‬‬
‫‪( s  a)2  t 2  s  a‬‬
‫‪x  Ra‬‬
‫‪( s  a ) 2  16 s  s  a  t 2  16 s‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y  16 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( ( s  a ) 2  16 s ) 2  ( s  a) 2‬‬
‫‪sRa‬‬
‫‪( s  a ) 2  16 s  ( s  a ) 2‬‬
‫) ‪P( s, t‬‬
‫‪s 2  2as  a 2  16 s  s 2  2as  a 2‬‬
‫‪2as  16 s  2as / : s  0‬‬
‫‪2a  16  2a‬‬
‫‪16  4a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪R‬‬
‫)‪(a, 0‬‬
‫‪a4‬‬
‫נבדוק גם עבור ‪ : s  0‬במקרה זה מרכז המעגל ) ‪ P( s, t‬הוא ראשית הצירים‪,‬‬
‫כאשר מרחקו מהישר ‪ x  R  a‬הוא ‪. a  R‬‬
‫אורך קטע המרכזים הוא ‪, a‬‬
‫ורדיוס המעגל הקנוני‪ ,‬מהראשית לנקודת ההשקה שבין המעגלים שווה גם ל‪. a  R -‬‬
‫ומתקבל ש‪ , a  R  a  R -‬כלומר פסוק אמת‪.‬‬
‫נעיר שגם )‪ , P(0, 0‬נמצאת על הפרבולה ‪. y 2  16 x‬‬
‫ועוד‪ :‬הפרמטר של הפרבולה ‪ y 2  16 x‬הוא ‪, P  8‬‬
‫והמוקד שלה )‪ F(4, 0‬הוא מרכז המעגל ‪ , ( x  4) 2  y 2  R 2‬והמדריך הוא ‪. x  4‬‬
‫דרך פיתרון חליפית‬
‫פרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקיהן מישר )המדריך( ומנקודה קבועה )המוקד( שווה‪.‬‬
‫במקרה זה הנקודה הקבועה היא )‪ (a, 0‬והישר הוא ‪) x   a‬לא הישר הנתון(‪,‬‬
‫ששניהם נמצאים במרחק של ‪ r  R‬מנקודה ) ‪: P( s, t‬‬
‫אורך קטע המרכזים והמרחק מהמדריך ‪. s  ( R  a )  r  s  ( a )  r  R -‬‬
‫לכן‪ ,‬עבור הפרבולה ‪ , y 2  16 x‬הישר הוא המדריך ‪ x  4‬והנקודה הקבועה היא המוקד )‪, F(4, 0‬‬
‫ולכן התשובה המיידית לתרגיל היא ‪. a  4‬‬
‫תשובה‪. a  4 :‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫ב‪ .‬שני מעגלים שמרכזיהם ‪ P‬ו‪ M -‬משיקים מבחוץ למעגל ולישר הנתונים‪.‬‬
‫רדיוס כל אחד מהמעגלים האלה הוא ‪ , 5  R‬והוא שווה למרחק המרכז מהישר‪ ,‬כלומר ל‪. s  R  4 -‬‬
‫נקבל ‪ s  R  4  5  R‬ומכאן ש‪. s  1 -‬‬
‫מרכזי המעגלים נמצאים‪ ,‬על פי התיאור‪ ,‬על הפרבולה ‪y 2  16 x‬‬
‫ולכן אם נציב ‪ , x  1‬נקבל שמרכזי המעגלים הם )‪. (1, 4) , (1,  4‬‬
‫הערה ‪ -‬נקודת חיתוך של שני משיקים‪ ,‬העוברים בנקודות סימטריות לציר ה‪ , x -‬תהייה תמיד על ציר ה‪. x -‬‬
‫נמצא את שיעורי נקודת החיתוך‪.‬‬
‫משוואת משיק לפרבולה‪ ,‬בנקודה שעל הפרבולה‪ ,‬היא ) ‪. yy0  P( x  x0‬‬
‫עבור ‪ P  8‬ו‪ x0  1 -‬נקבל שמשוואות המשיקים הן‪:‬‬
‫)‪ y  4  8( x  1‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ y  (4)  8( x  1‬‬
‫אם נחסיר את המשוואה השנייה מהראשונה‪ ,‬נקבל ‪. y  0‬‬
‫נציב ‪ y  0‬במשוואה הראשונה ונקבל )‪ 0  8( x  1‬ולכן ‪. x  1‬‬
‫תשובה‪ :‬שיעורי נקודת המפגש בין שני הישרים המשיקים הם )‪. (1, 0‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪2‬‬
‫בגרות עד אפריל ‪ 14‬דוגמאות שאלון ‪35807‬‬
‫א‪ .‬נקודה ‪ A‬נמצאת במישור ‪.  1 : x  z  2  0‬‬
‫מישור זה מקביל לציר ה‪ , y -‬כי שיעור ה‪ y -‬בווקטור המקדמים של המישור )‪ n  (1, 0,  1‬הוא ‪. 0‬‬
‫לכן ישר המאונך למישור זה‪ ,‬מאונך גם לציר ה‪ y -‬והזווית המבוקשת היא ‪. 90‬‬
‫ניתן‪ ,‬כמובן‪ ,‬גם על ידי חישוב בעזרת נוסחת הזווית בין שני וקטורים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 0    90‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪000‬‬
‫‪1 0 1 0 1 0‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(1, 0,  1)(0, 1, 0‬‬
‫)‪(1, 0,  1) (0, 1, 0‬‬
‫‪cos  ‬‬
‫תשובה‪. 90 :‬‬
‫ב‪ .‬נקודה ‪ B‬ונקודה ‪ C‬נמצאות במישור ‪.  2 : x  z  12  0‬‬
‫נשים לב שגם מישור זה מקביל לציר ה‪ y -‬וגם‪ ,‬כמובן‪ ,‬למישור ‪.  1 : x  z  2  0‬‬
‫הישר ‪ AC‬מקביל לישר שההצגה הפרמטרית שלו היא )‪, x  t (2, 0,  2‬‬
‫כלומר ווקטור הכיוון הוא )‪ , x  (1, 0,  1‬כווקטור המקדמים של המישורים הנתונים‪,‬‬
‫ולכן אורך הקטע ‪ AC‬שווה למרחק בין שני המישורים‪ ,‬והישר עצמו מאונך למישורים‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫)‪2  (12‬‬
‫‪1 0 1‬‬
‫‪AC ‬‬
‫תשובה‪ :‬אורכו של ‪ AC‬הוא ‪. 5 2‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם‪. BC  (2,  1, c) :‬‬
‫‪ ‬‬
‫ראינו ש‪ AC -‬מאונך למישורים הנתונים‪ ,‬לכן‪. BC  AC  0 :‬‬
‫‪(1, 0,  1)(2,  1, c)  0‬‬
‫‪20c  0‬‬
‫‪‬‬
‫)‪c  2  BC  (2,  1, 2‬‬
‫משולש ‪ ABC‬ישר זווית ) ‪( ACB  90‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC  22  (1) 2  22  3‬‬
‫‪AC  BC 5 2  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 7.5 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪SABC‬‬
‫תשובה‪ :‬שטח משולש ‪ ABC‬הוא ‪. 7.5 2‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪3‬‬
‫בגרות עד אפריל ‪ 14‬דוגמאות שאלון ‪35807‬‬
‫א‪ z .‬הוא מספר מרוכב שונה מ‪. 0 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z ,‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ z ,‬הם איברים עוקבים בסדרה חשבונית‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן‪2( z  )  z  :‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z2 1  0‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z  i , z  i‬‬
‫תשובה‪. z  i, z  i :‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬נתון‬
‫‪z‬‬
‫‪ z ‬ו‪) 0  arg( z )  90 -‬הזווית של המספר המרוכב היא חדה‪ z ,‬ברביע הראשון של מישור גאוס(‬
‫‪1 cis 0 1‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן‪ z  r cis :‬ולכן ) ‪ z  r cis (‬וגם‪ cis ( ) :‬‬
‫‪z r cis  r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫לכן ‪ z  r‬ו‪ .  -‬מכאן ש‪-‬‬
‫‪r‬‬
‫‪z r‬‬
‫‪1‬‬
‫נקבל ש‪ cis   cis (  ) :‬‬
‫‪z‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ r ‬והערך המוחלט של ‪ z‬הוא ‪. 1‬‬
‫‪ , z ‬שהוא סכום של שני מספרים צמודים‪.‬‬
‫כידוע סכום של שני מספרים צמודים הוא מספר ממשי‪ ,‬ונמחיש ע"י ההצגה ‪. z  x  iy‬‬
‫‪. x  iy  ( x  iy )  2 x‬‬
‫‪1‬‬
‫כיוון ש‪ , 0  arg( z )  90 -‬הרי ש‪ x  0 -‬ולכן‬
‫‪z‬‬
‫‪ z ‬על הקרן החיובית של ציר ה‪ x -‬והזווית המתאימה היא ‪. 0‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובה‪. arg( z  )  0 :‬‬
‫‪z‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪4‬‬
‫בגרות עד אפריל ‪ 14‬דוגמאות שאלון ‪35807‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ a  0 ) f ( x)  ( x 3  ax 2 )e  x‬פרמטר(‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬תחום ההגדרה כל ‪. x‬‬
‫ב‪ .‬גרף הפונקציה ‪ f ( x)  ( x 3  ax 2 )e  x‬חותך את ציר ה‪ x -‬בראשית הצירים ובנקודה ‪. A‬‬
‫נמצא את שיעורי הנקודה ‪ , A‬שבה מתקיים ‪. y  0‬‬
‫‪/ : e x‬‬
‫‪0  ( x 3  ax 2 )e  x‬‬
‫)‪. 0  x 2 ( x  a‬‬
‫‪x  0, x  a‬‬
‫ולכן נקודת ההשקה היא )‪. A(a, 0‬‬
‫הציור באדיבות אתר משרד החינוך‬
‫נמצא את שיפוע המשיק‪ ,‬בנקודה )‪, A(a, 0‬‬
‫שחותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ) ‪. B(0, yB‬‬
‫)‪f '( x)  (3 x 2  2ax)e  x  ( x 3  ax 2 )e  x (1‬‬
‫) ‪f '( x)  e  x (3 x 2  2ax  x 3  ax 2‬‬
‫) ‪mAB  f '(a )  e  a (3a 2  2a  a  a 3  a  a 2‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪ f '(a )  a‬‬
‫‪e‬‬
‫‪mAB‬‬
‫נמצא את שיעורה‪ y -‬של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪ea‬‬
‫‪ yB  ‬‬
‫‪a 2 yB  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ea‬‬
‫‪0a‬‬
‫‪8‬‬
‫שטח המשולש שיוצר המשיק עם הצירים הוא‬
‫‪ea‬‬
‫‪OA  OB‬‬
‫‪2‬‬
‫‪/ 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪SABO ‬‬
‫‪a3‬‬
‫) ‪(a  0)(0  ( a‬‬
‫‪8‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ea‬‬
‫‪2‬‬
‫‪16 a 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ea ea‬‬
‫‪16  a 4 / 4‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪a2‬‬
‫תשובה‪. a  2 :‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫ג‪ .‬נציב ‪ a  2‬ונקבל שהפונקציה היא ‪. f ( x)  ( x 3  2 x 2 )e  x‬‬
‫נמצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬כאשר את סוגם נקבע על פי הגרף הנתון‪.‬‬
‫)‪f '( x)  (3 x 2  4 x)e  x  ( x 3  2 x 2 )e  x (1‬‬
‫) ‪f '( x)  e  x (3 x 2  4 x  x 3  2 x 2‬‬
‫‪5 x 2  4 x  x3‬‬
‫‪f '( x) ‬‬
‫‪ex‬‬
‫)‪0  5 x 2  4 x  x 3   x( x 2  5 x  4‬‬
‫)‪0   x( x  1)( x  4‬‬
‫)‪x  0  y  0  (0, 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x  1  y  (13  2 12 )e 1  ‬‬
‫) ‪ (1, ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪32‬‬
‫‪32‬‬
‫) ‪x  4  y  (43  2  42 )e 4  4  (4, 4‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪32‬‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫‪,‬‬
‫מינימום‬
‫‪(1,‬‬
‫‪‬‬
‫תשובה‪ (0, 0) :‬מקסימום ‪) ,‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e4‬‬
‫ד‪ .‬נקודות האפס של פונקציית הנגזרת הן‪ , (4, 0) , (1, 0) , (0, 0) :‬על פי הסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ (4,‬מקסימום‪.‬‬
‫נסרטט סקיצה של גרף הנגזרת‪,‬‬
‫על פי תחומי החיוביות ) ‪ 1  x  4‬או ‪ ( x  0‬והשליליות ) ‪ x  4‬או ‪ ( 0  x  1‬שלה‪,‬‬
‫הזהים בהתאמה לתחומי העלייה והירידה של הפונקציה ‪, f ( x)  ( x 3  2 x 2 )e  x‬‬
‫כאשר ציר ה‪ x -‬הוא אסימפטוטה אופקית של גרף הנגזרת‪ ,‬על פי הנתון‪.‬‬
‫הערה – תיתכנה יותר משלוש נקודות קיצון לגרף הנגזרת‪ ,‬אולם לא חישבנו נקודות פיתול‪,‬‬
‫ולכן לא ניתן לדעת האם קיימות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ה‪ .‬נחשב תחילה את השטח הכחול‪S   (0  f '( x)) dx   f ( x) ]   f (1)  ( f (0))  f (0)  f (1) :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נחשב את השטח האפור ‪S   ( f '( x)  0) dx  f ( x) ]  f (4)  f (1) :‬‬
‫‪1 32 32 2‬‬
‫ובהתאם גודל השטח המבוקש הוא‪f (0)  f (1)  f (4)  f (1)  f (0)  2 f (1)  f (4)  0  2  ( )  4  4  :‬‬
‫‪e e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪32 2‬‬
‫תשובה‪. 4  :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪5‬‬
‫בגרות עד אפריל ‪ 14‬דוגמאות שאלון ‪35807‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה ‪ f ( x)  x‬היא אי‪ -‬שלילית ונקודת האפס של הפרבולה היא ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a 1‬‬
‫הפונקציה )‪ g ( x)   n (ax‬מוגדרת עבור ‪ x  0‬והיא פונקציה עולה ) ‪  0‬‬
‫‪ax x‬‬
‫‪.( g '( x) ‬‬
‫נמצא את נקודת האפס שלה‪:‬‬
‫‪ n (ax)  0‬‬
‫‪ax  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן )‪ g ( x)   n (ax‬חיובית עבור‬
‫‪a‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪1‬‬
‫הישר ‪ x  k‬עובר בין שתי נקודות החיתוך של הפונקציות ולכן ערכי ‪ k‬בהכרח גדולים מ‪-‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובה‪ :‬הראינו כי ערכי ‪ k‬אינם יכולים להיות בתחום‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.0  k ‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה שיש להביא למקסימום היא היקף המלבן ‪. ABCD‬‬
‫שיעור ה‪ x -‬של הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הוא ‪. k‬‬
‫בהתאם שיעורי הנקודה ‪ A‬שעל ‪ f ( x)  x 2‬הם ) ‪ , A(k , k 2‬ושל ‪ B‬שעל )‪ g ( x)   n (ax‬הם )) ‪, B(k ,  n (ak‬‬
‫מכיוון ו‪ AB -‬מקביל לציר ה‪ , y -‬הרי ש‪AB  yB  yA   n (ak )  k 2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪PABCD  2(k   n (ak )  k 2 ) k ‬‬
‫‪a‬‬
‫) ‪ 2k‬‬
‫‪ak‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪(P) '(k )  2(1   2k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪(P) '(k )  2(1 ‬‬
‫‪k  1  2k 2‬‬
‫(‪(P) '(k )  2‬‬
‫)‬
‫‪k‬‬
‫‪0  k  1  2k 2‬‬
‫‪0  2 k 2  k  1‬‬
‫‪1  3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪k 1  k  0‬‬
‫‪k1,2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2)  0    max‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪(P) ''(k )  2(‬‬
‫תשובה‪ , k  1 :‬עבורו היקף המלבן ‪ ABCD‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫ג‪ .‬עבור ‪ k  1‬שיעורי הנקודה ‪ B‬הם ) ‪(1,  n a‬‬
‫‪1‬‬
‫שיפוע המשיק לפונקציה )‪ g ( x)   n (ax‬בנקודה זו הוא ‪ g '(1)   1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ax x‬‬
‫‪g '( x) ‬‬
‫המשיק עובר בנקודה )‪. (0, 0‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪ n a0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪1 n a‬‬
‫‪ae‬‬
‫והפונקציה היא ‪ , g ( x)   n ex‬או לאחר פישוט‪. g ( x)   n e   n x  g ( x)  1   n x :‬‬
‫תשובה‪ g ( x)   n ex :‬או ‪. g ( x)  1   n x‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬