פתרון שאלון 802 חורף תשע"ה 2015

‫‪1‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35802‬‬
‫א‪ .‬נתון גרף הפרבולה ‪ y  x 2  8 x‬והישר ‪. y  9‬‬
‫נציב ‪ y  9‬במשוואת הפרבולה‪ ,‬על מנת למצוא את הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪9  x2  8x‬‬
‫‪0  x2  8x  9‬‬
‫)‪(8)  (8) 2  4 1 (9‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪8  10‬‬
‫‪x1,2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8  10 18‬‬
‫‪x1 ‬‬
‫)‪  9  B(9, 9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8  10 2‬‬
‫‪x2 ‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ 1  A(1, 9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1,2 ‬‬
‫תשובה‪. B(9, 9) , A(1, 9) :‬‬
‫ב‪ .‬הנקודה ‪ D‬היא קדקוד הפרבולה‪ .‬נמצא את שיעור ה‪ x -‬שלה בשתי דרכים‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪, xkodkod  ‬‬
‫‪1  9 8‬‬
‫או כיוון שהנקודות )‪ B(9, 9)  A(1, 9‬הן נקודות סימטריות‪ ,‬הרי ש‪  4  -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. xkodkod ‬‬
‫נציב ‪ x  4‬במשוואת הפרבולה‪ , ykodkod  42  8  4  16 :‬ולכן שיעורי הקדקוד הם )‪. D(4,  16‬‬
‫תשובה‪. D(4,  16) :‬‬
‫ג‪ DE .‬מאונך ל‪. AB -‬‬
‫‪. yE  9‬‬
‫‪. DE  yE  yD  9  (16)  25‬‬
‫תשובה‪. DE  25 :‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪2‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35802‬‬
‫א‪ .‬השאלה מתארת סדרה חשבונית‪ ,‬בכל אחד מקירות התמיכה‪ ,‬שבה ההפרש הוא ‪, 0.3‬‬
‫משום שכל עמוד נמוך מהקודם לו ב‪ 0.3 -‬מטרים‪.‬‬
‫כלומר‪ a1  9 ,‬ו‪. d  0.3 -‬‬
‫האורך של העמוד הנמוך ביותר הוא ‪ 7.2‬מטרים‪ ,‬כלומר ‪. an  7.2‬‬
‫נשתמש בנוסחת האיבר הכללי‪ ,‬כאשר ‪ a1  9‬ו‪. d  0.3 -‬‬
‫‪an  a1  (n  1)d‬‬
‫)‪7.2  9  (n  1)  (0.3‬‬
‫)‪7.2  9  0.3(n  1‬‬
‫‪7.2  9  0.3n  0.3‬‬
‫‪7.2  9.3  0.3n‬‬
‫‪0.3n  9.3  7.2‬‬
‫‪0.3n  2.1 / : 0.3‬‬
‫‪n7‬‬
‫תשובה‪ :‬בקיר תמיכה אחד יש ‪ 7‬עמודים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נחשב כמה מטרים של צינור ברזל נדרשים לבניית קיר אחד‪ ,‬כלומר את ‪. S7‬‬
‫נשתמש בנוסחת הסכום‬
‫‪n  2a1  d (n  1)) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7  2  9  0.3  (7  1) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7 18  0.3  6‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪S7 ‬‬
‫‪S7 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7 16.2‬‬
‫‪S7 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S7  56.7‬‬
‫ולכן‪ ,‬עבור שני קירות נדרשים ‪ 113.4‬מטרים ‪. 2  56.7 ‬‬
‫תשובה‪ :‬לבניית שני קירות השתמשו ב‪ 113.4 -‬מטרים של צינור ברזל‪.‬‬
‫ג‪ .‬מחיר מטר אחד של צינור ברזל הוא ‪ 20‬שקלים‪.‬‬
‫התשלום המתאים הוא‪ 2, 268 :‬שקלים ‪. 113.4  20 ‬‬
‫תשובה‪ :‬שילמו ‪ 2, 268‬שקלים עבור צינורות הברזל לבניית שני הקירות‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪3‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35802‬‬
‫נוסחת הגדילה והדעיכה היא ‪M t  M 0  q t‬‬
‫שיעור הגדילה )או הדעיכה( ליחידת זמן הוא ‪ .q‬פרק הזמן הוא ‪.t‬‬
‫‪ - M 0‬הכמות ההתחלתית ‪ - M t ,‬כמות לאחר ‪ t‬תקופות זמן‪.‬‬
‫כאשר ‪ P‬הוא אחוז הגדילה )בכל תקופת זמן(‪ ,‬הרי ש‪:‬‬
‫‪100  P‬‬
‫‪100‬‬
‫‪q‬‬
‫א‪ .‬המשכורת של דותן ביום חתימת ההסכם הייתה ‪ 9, 000‬שקלים בחודש‪.‬‬
‫כעבור שנתיים הייתה משכורתו ‪ 10,112.4‬שקלים בחודש‪.‬‬
‫נחשב את שיעור הגדילה‪ ,‬כאשר ‪. t  2‬‬
‫‪/ : 9, 000‬‬
‫‪10,112.4  9, 000  q 2‬‬
‫‪1.1236  q 2‬‬
‫‪1.1236  q‬‬
‫‪t‬‬
‫‪q‬‬
‫‪M0‬‬
‫‪Mt‬‬
‫‪2‬‬
‫?‬
‫‪9, 000‬‬
‫‪10,112.4‬‬
‫‪q  1.06‬‬
‫נמצא את האחוז בו גדלה המשכורת ממדי שנה‪:‬‬
‫‪/ 100‬‬
‫‪100  P‬‬
‫‪100‬‬
‫‪106  100  P‬‬
‫‪1.06 ‬‬
‫‪p6‬‬
‫תשובה‪ :‬המשכורת של דותן גדלה ב‪ 6% -‬כל שנה‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫ב‪ (1) .‬המשכורת של שגיב ביום חתימת ההסכם הייתה ‪ 6,300‬שקלים בחודש‪.‬‬
‫משכורתו גדלה ב‪ 10% -‬מדי שנה‪.‬‬
‫נמצא את שיעור הגדילה השנתי'‪:‬‬
‫‪100  10 110‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪.q ‬‬
‫נמצא את משכורתו של שגיב כעבור שנתיים‪.‬‬
‫‪M 2  6,300 1.12‬‬
‫‪t‬‬
‫‪q‬‬
‫‪M0‬‬
‫‪Mt‬‬
‫‪M 2  7, 623‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪6,300‬‬
‫?‬
‫תשובה‪ :‬משכורתו של שגיב‪ ,‬כעבור שנתיים מחתימת ההסכם‪ ,‬תהיה ‪ 7, 623‬שקלים‪.‬‬
‫)‪ (2‬נמצא כעבור כמה שנים מחתימת ההסכם תהיה המשכורת של שגיב ‪ 8,385.3‬שקלים‪.‬‬
‫‪6,300 1.1t  8385.3‬‬
‫‪t‬‬
‫‪q‬‬
‫‪M0‬‬
‫‪Mt‬‬
‫?‬
‫‪1.1‬‬
‫‪6,300‬‬
‫‪8,385.3‬‬
‫נמצא את ‪. t‬‬
‫‪6,300 1.11  6,930  8,385.3‬‬
‫‪6,300 1.12  7, 623  8,385.3‬‬
‫‪6,300 1.13  8,385.3 o.k .‬‬
‫תשובה‪ :‬כעבור ‪ 3‬שנים מחתימת ההסכם תהיה המשכורת של שגיב ‪ 8,385.3‬שקלים‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪4‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35802‬‬
‫א‪ , AD  DC (1) .‬ולכן משולש ‪ ADC‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ DE‬הוא גובה לבסיס המשולש ‪ AC‬ולכן גם תיכון‪ ,‬כלומר‪ 12 :‬ס"מ ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪DCE‬‬
‫‪CE‬‬
‫‪DC‬‬
‫‪12‬‬
‫= ‪cos DCE‬‬
‫‪15‬‬
‫‪DCE = 36.87‬‬
‫= ‪cos DCE‬‬
‫תשובה‪. DCE = 36.87 :‬‬
‫)‪) DAC  DCE  36.87 (2‬זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים(‬
‫‪) ADC  180  36.87  36.87  106.26‬סכום זוויות במשולש ‪( 180‬‬
‫תשובה‪. ADC  106.26 :‬‬
‫ב‪) DAB  180  106.26  73.74 (1) .‬סכום זוויות על שוקי הטרפז ‪.( 180‬‬
‫תשובה‪DAB  73.74 :‬‬
‫)‪) CBA  73.74 (2‬זוויות בסיס שוות בטרפז שווה שוקיים(‪.‬‬
‫נוריד גובה ‪ CF‬לבסיס התחתון‬
‫‪CFB‬‬
‫‪CF‬‬
‫‪CB‬‬
‫‪CF‬‬
‫= ‪sin 73.74‬‬
‫‪/ 15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15sin 73.74  CF‬‬
‫= ‪sin B‬‬
‫‪ 14.4‬ס"מ = ‪CF‬‬
‫תשובה‪ :‬גובה הטרפז הוא ‪ 14.4‬ס"מ ‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪. AE  CE ‬‬
‫‪5‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35802‬‬
‫א‪ .‬ההסתברויות שהתרופה תרפא את החולה היא ‪. 70%  0.7‬‬
‫לכן ההסתברות ששלושה חולים‪ ,‬שלוקחים את התרופה‪ ,‬יחלימו היא‪P  0.7  0.7  0.7  0.343 :‬‬
‫תשובה‪ :‬ההסתברות ששלושת החולים יחלימו היא ‪. 0.343‬‬
‫ב‪ .‬ההסתברות שהחולה לא יחלים בעזרת התרופה היא ‪. 1  0.7  0.3‬‬
‫ההסתברות שאף חולה לא יחלים חולים היא ‪. P  0.3  0.3  0.3  0.027‬‬
‫תשובה‪ :‬ההסתברות שאף אחד מן החולים לא יחלים בעזרת התרופה היא ‪. 0.027‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪6‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף שאלון ‪35802‬‬
‫א‪ .‬נתון ש‪ 16% -‬מהפרות מניבות פחות מ‪ 24 -‬ליטר ביום‪.‬‬
‫נחשב משמאל לימין את האחוז המצטבר‪ ,‬עד שנקבל ‪. 0.5%  1.5%  5%  9%  16%‬‬
‫לכן‪ ,‬תנובה של ‪ 24‬ליטר נמצאת במרחק של סטיית תקן אחת מתחת לממוצע‪.‬‬
‫נתון ש‪ 2% -‬מהפרות מניבות פחות מ‪ 12 -‬ליטר ביום‪.‬‬
‫נחשב משמאל לימין את האחוז המצטבר‪ ,‬עד שנקבל ‪. 0.5%  1.5%  2%‬‬
‫לכן‪ ,‬תנובה של ‪ 12‬ליטר נמצאת במרחק של שתי סטיות תקן מתחת לממוצע‪.‬‬
‫נסכם‪ 12 :‬ליטר במרחק שתי סטיות תקן מתחת לממוצע ו‪ 24 -‬ליטר במרחק סטיית תקן אחת מתחת‪.‬‬
‫על סמך שני נתונים אלה‪ ,‬נקבל שסטיית תקן אחת היא בת ‪ 12‬ליטר‪.‬‬
‫כיוון ש‪ S  12 -‬הרי ש ‪. x  12  24  x  36‬‬
‫תשובה‪ :‬סטיית התקן של תנובת החלב היא ‪ 12‬ליטר והממוצע הוא ‪ 36‬ליטר‪.‬‬
‫ב‪ .‬על פי הסעיף הקודם‪s  12 :‬‬
‫‪x  36‬‬
‫‪3‬‬
‫תנובה של ‪ 18‬ליטר תהייה בדיוק באמצע שבין ‪ 24‬ליטר ל‪ 12 -‬ליטר‪ ,‬במרחק של‬
‫‪2‬‬
‫סטיות תקן‪.‬‬
‫האחוז משמאל הוא ‪ , 0.5%  1.5%  5%  7%‬ולכן האחוז מימין הוא ‪100%  7%  93%‬‬
‫תשובה‪ 93% :‬מהפרות מניבות יותר מ‪ 18 -‬ליטר ביום‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬