פתרון שאלון 801 חורף תשע"ה 2015 (שאלון גנוז)

‫‪1‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף גנוז שאלון ‪35801‬‬
‫הגדרות‬
‫‪ - x‬מחיר הארון )שקלים(‪.‬‬
‫‪ - y‬מחיר ההובלה )שקלים(‪.‬‬
‫התשלום עבור ארון וההובלה שלו הוא ‪ 9,300‬שקלים‪.‬‬
‫המשוואה המתאימה היא‪x  y  9300 :‬‬
‫אם יעלה המחיר של הארון ב‪ 20% -‬ומחיר ההובלה לא ישתנה‪,‬‬
‫ישלם הקונה בסה"כ ‪ 11,100‬שקלים‪.‬‬
‫כאשר המחיר ‪ x‬מתייקר ב‪ P -‬אחוזים‬
‫‪100  P‬‬
‫המחיר החדש הוא ‪ x‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100  20‬‬
‫במקרה זה‪ P = 20 ,‬ולכן מחיר הארון ‪ x  1.2 x‬‬
‫‪100‬‬
‫המשוואה המתאימה‪1.2 x  y  11100 :‬‬
‫נפתור מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים‪:‬‬
‫‪ x  y  9300‬‬
‫‪‬‬
‫)‪1.2 x  y  11100 / ( 1‬‬
‫‪ x  y  9300‬‬
‫‪‬‬
‫‪1.2 x  y  11100‬‬
‫)‪ 0.2 x  1800 / : (0.2‬‬
‫‪x  9000‬‬
‫‪9000  y  9300‬‬
‫‪y  300‬‬
‫תשובה‪ :‬מחיר הארון הוא ‪ 9, 000‬שקלים‪.‬‬
‫ב‪ .‬תשובה‪ :‬מחיר ההובלה הוא ‪ 300‬שקלים‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪2‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף גנוז שאלון ‪35801‬‬
‫א‪ .‬בחודש ה‪ 3 -‬השמש זרחה בשעה ‪) 6.00‬בבוקר(‪.‬‬
‫ב‪ .‬השמש זרחה הכי מאוחר בחודשים ה‪ 1 -‬וה‪. 13 -‬‬
‫ג‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בחודש ה‪) 19 -‬כ‪ 14 -‬שעות(‪.‬‬
‫ד‪ .‬בין החודש ה‪ 6 -‬לחודש ה‪ 18 -‬עברו ‪ 12‬חודשים )שנה( בין שני ערכי המינימום של גרף הזריחה ) ‪ 4.15‬בבוקר(‪.‬‬
‫ה‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בין החודש ה‪ 1 -‬לחודש ה‪ 2 -‬הימים הולכים ומתארכים )כחצי שעת אור נוספת(‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪3‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף גנוז שאלון ‪35801‬‬
‫א‪ .‬הבעיה המילולית מתארת סדרה חשבונית‪,‬‬
‫שבה ההפרש הוא ‪ , 1.5‬משום שכל שלב קצר מהשלב שמתחתיו ב‪ 1.5 -‬ס"מ ‪ ,‬כלומר ‪. d  1.5‬‬
‫השלב התחתון הוא האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫בסולם יש ‪ 15‬שלבים‪ ,‬כאשר אורכו של השלב האחרון בסולם )השלב העליון( הוא ‪ 59‬ס"מ‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬האיבר האחרון בסדרה הוא ‪. a15  59‬‬
‫נשתמש בנוסחת האיבר הכללי ‪. an  a1  (n  1)d‬‬
‫‪a15  59‬‬
‫)‪59  a1  (15  1)  (1.5‬‬
‫)‪59  a1  14  (1.5‬‬
‫‪59  a1  21‬‬
‫‪a1  80‬‬
‫תשובה‪ :‬אורכו של השלב הראשון בסולם הוא ‪ 80‬ס"מ ‪.‬‬
‫ב‪ .‬נמצא את האורך הכולל של כל השלבים בסולם‪.‬‬
‫נשתמש בנוסחת הסכום‬
‫‪n  2a1  d  (n  1) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪15  2  80  1.5  (15  1) ‬‬
‫‪. Sn ‬‬
‫‪S15 ‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪15(160  1.5 14‬‬
‫‪S15 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪15 139‬‬
‫‪S15 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S15  1042.5‬‬
‫תשובה‪ :‬האורך הכולל של כל השלבים בסולם הוא ‪ 1042.5‬ס"מ‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪4‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף גנוז שאלון ‪35801‬‬
‫א‪ .‬נמצא את שיעורי הנקודה ‪ M‬נקודת החיתוך בין אלכסוני המקבילית‪ ,‬החוצים זה את זה‪,‬‬
‫באמצעות נוסחת אמצע הקטע שבנוסחאון‪:‬‬
‫‪xB  xD 8  0 8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪xM‬‬
‫‪yB  yD 2  3 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪yM‬‬
‫תשובה‪ :‬שיעורי נקודת החיתוך בין אלכסוני המקבילית הם )‪. (4, 2.5‬‬
‫ב‪ .‬נמצא את שיעורי הקדקוד ‪ , C‬באמצעות נוסחת אמצע הקטע שבנוסחאון‪,‬‬
‫כאשר מצאנו כבר את שיעורי נקודה ‪ , M‬שהיא גם נקודת האמצע של אלכסון ‪. AC‬‬
‫‪yA  yC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1  yC‬‬
‫‪2.5 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5  1  yC‬‬
‫‪xA  xC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3  xC‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8  3  xC‬‬
‫‪yC  4‬‬
‫‪xC  5‬‬
‫= ‪xM‬‬
‫= ‪yM‬‬
‫תשובה‪ :‬שיעורי הקדקוד ‪ C‬הם )‪. (5, 4‬‬
‫ג‪ (1) .‬נחשב אורך הצלע ‪. AD‬‬
‫‪d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2‬‬
‫‪d AD  (3  0) 2  (1  3) 2‬‬
‫‪d AD  13‬‬
‫תשובה‪ :‬אורך הצלע ‪ AD‬הוא ‪13‬‬
‫יח'‪.‬‬
‫)‪ (2‬נחשב אורך הצלע ‪. AB‬‬
‫‪d AB  (3  8) 2  (1  2) 2‬‬
‫‪d AD  26‬‬
‫אורך הצלע ‪ AD‬אינו שווה לאורך הצלע ‪ AB‬ולכן המקבילית ‪ ABCD‬אינה מעוין‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬המקבילית ‪ ABCD‬אינה מעוין‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪5‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף גנוז שאלון ‪35801‬‬
‫א‪ .‬נתונים אורכי הניצבים וניתן למצוא את הזווית המבוקשת במשולש הגדול‪.‬‬
‫‪ABC‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪7.7‬‬
‫= ‪tan BAC‬‬
‫‪9.7‬‬
‫‪tan BAC  0.7938‬‬
‫= ‪tan BAC‬‬
‫‪BAC = 38.44‬‬
‫תשובה‪ :‬גודל זווית ‪ BAC‬הוא ‪. 38.44‬‬
‫ב‪ AD .‬הוא חוצה זווית‪ ,‬כלומר מחלק אותה לשני חלקים שווים‪.‬‬
‫‪38.44‬‬
‫‪2‬‬
‫‪CAD = 19.22‬‬
‫= ‪CAD‬‬
‫נמצא את האורך של ‪: CD‬‬
‫‪ACD‬‬
‫‪CD‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪CD‬‬
‫= ‪tan19.22‬‬
‫‪/ 9.7‬‬
‫‪9.7‬‬
‫‪9.7 tan19.22  CD‬‬
‫= ‪tan CAD‬‬
‫‪ 3.382‬ס"מ = ‪CD‬‬
‫תשובה‪ :‬האורך של ‪ CD‬הוא ‪ 3.382‬ס"מ ‪.‬‬
‫ג‪ .‬נמצא את האורך של הקטע ‪ BD‬על ידי הפרש קטעים‪.‬‬
‫‪BD  BC  CD‬‬
‫‪BD  7.7  3.382‬‬
‫‪ 4.318‬ס"מ ‪BD ‬‬
‫תשובה‪ :‬האורך של ‪ BD‬הוא ‪ 4.318‬ס"מ ‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬
‫‪6‬‬
‫בגרות עה ינואר ‪ 15‬מועד חורף גנוז שאלון ‪35801‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫השעונים מחולקים‪ ,‬כל אחד‪ ,‬לגזרות שוות– לכן‪ )  :‬מספר בשעון ‪ P(I‬ו‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ) ‬מספר בשעון א ‪. P(II‬‬
‫כאשר מסובבים את שני השעונים‪ ,‬הסתברות לכל אפשרות היא‪:‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3 4 12‬‬
‫‪ ) ‬מספר בשעון ‪ )  P(I‬מספר בשעון ‪ = P(II‬מספר בשעון ‪, II‬מספר בשעון ‪P(I‬‬
‫אורי מנצח אם מכפלת המספרים‪ ,‬שמראים השעונים של שני השעונים‪ ,‬היא חיובית‪,‬‬
‫כלומר באפשרויות הבאות‪(5, 5), (5, 1), (4, 4), (4, 1), (2,  3), (2,  3) :‬‬
‫‪1 1‬‬
‫ל‪ 6 -‬אפשרויות אלו הסתברות שווה‪ ,‬לכן הסיכוי שאורי ינצח הוא‪ :‬‬
‫‪12 2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫אם הסיכוי שאורי ינצח הוא ‪ ,‬אז הסיכוי שאסף ינצח הוא ‪‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 6‬‬
‫‪.1 ‬‬
‫תשובה‪ :‬לשניהם יש אותו סיכוי לנצח‪.‬‬
‫דרך פתרון אחרת – בעזרת טבלה דו ממדית‬
‫כיוון שהגזרות על כל שעון שוות‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫אז ההסתברות למספר מסויים בשעון שווה ‪ )  -‬מספר בשעון ‪ P(I‬ו‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ) ‬מספר בשעון ‪. P(II‬‬
‫נרשום את סימני המכפלות בכל אחת מ‪ 12 -‬האפשרויות‪ ,‬שוות ההסתברות‪.‬‬
‫שעון ‪I‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫חיובית‬
‫חיובית‬
‫שלילית‬
‫שלילית‬
‫‪2‬‬
‫שלילית‬
‫שלילית‬
‫חיובית‬
‫חיובית‬
‫‪4‬‬
‫שלילית‬
‫שלילית‬
‫חיובית‬
‫חיובית‬
‫‪5‬‬
‫שעון ‪II‬‬
‫תשובה‪ :‬לשניהם יש אותו סיכוי לנצח‪ ,‬כי כל אחד ינצח ב‪ 6 -‬מתוך ‪ 12‬האפשרויות‪.‬‬
‫נכתב ע"י עפר ילין‬