עבודת קיץ במתמטיקה לתלמידים העולים לכיתה י

‫עתיד ‪ -‬תיכון למדעים ‪ -‬לוד‬
‫עבודת קייץ‬
‫‪-‬‬
‫תשע"ד‬
‫קיץ ‪9002‬‬
‫עבודת‬
‫העולים לכיתה י'‬
‫לתלמידים‬
‫ משוואות‬, ‫אלגברה – ביטויים אלגבריים‬
:‫ הוכח את הזהויות‬.1
ac  bx  ax  bc
xc

ay  2bx  2ax  by 2 x  y
.‫א‬
ab2  ac 2
b 2  2bc  c 2 3a  (b  c )


b 2  2bc  c 2
3c  3b
(b 2  c 2 )
.‫ב‬
3
4
5
2  (2a 2  7ab  3b 2 )



a 2  2ab  b 2 a 2  2ab  b 2 a 2  b 2
(a  b) 2 (a  b) 2
.‫ג‬
: ‫ פשט את הביטויים‬.2
2
2
2
16x y
2x y 2
 (
) 
3
3a
a
 a4

 b
2
x
.‫ב‬
 ( a 5  b 3 ) 3  ( a 3 ) 2
 
 .‫ד‬
6
4
(
a

b
)

3
 y 4   x  y 3  
3
2
3x  15 x 2  7 x  10 x 2
:


x2  2x
x2  4
3x  6
4 3  (2 3  32 ) 2  6 4

9 2  (32 ) 3  212
0.3  1015
4 11 . ‫ב‬
30  1013 . ‫ד‬
85
2100
.‫ג‬
: ‫ חשב ללא מחשבון‬. 3
: ‫ > או = לקבלת טענה נכונה ונמק‬, < : ‫את הסמן‬
16 6
.‫א‬
- ‫ רשום ב‬. 4
32 3 . ‫א‬
3 60 . ‫ג‬
: ‫ פרק לגורמים‬. 5
4 x  28  a 2 x  7a 2  . ‫ב‬
a 4 16  . ‫א‬
: ‫ פתור את המשוואות‬. 6
2x  3 x  1
13  7 x

 2
.‫ב‬
3 x  6 x  3 3 x  15x  18
5  x 2 x 2  x  18 4  x


.‫א‬
x2
4  x2
x2
x 4  2 x 2  24  0 . ‫ד‬
5
x2
8x  6
 2

.‫ג‬
2 x  6 x  3x
18  2 x 2
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬נתונה המשוואה‪ a :‬‬
‫‪x  2x  1 2x  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x2  x  2‬‬
‫א ‪ .‬הסבירו מדוע המשוואה ‪ a‬‬
‫)‪2( x 2  2 x  1‬‬
‫שקולה למשוואה הנתונה‪.‬‬
‫‪ x2  x  2‬‬
‫ב ‪.‬הסבירו מדוע ‪ x = 1‬לא יכול להיות פתרון של המשוואה ‪ a‬‬
‫)‪2( x 2  2 x  1‬‬
‫ג ‪ .‬פתרו את המשוואה עבור ‪. a = 0‬‬
‫ד ‪ .‬הסבירו מדוע ‪ a‬לא יכול להיות ‪. –1‬‬
‫‪ . 8‬פתור את המערכות המשוואות הבאות ‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  5 y  2  3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12  8  2‬‬
‫‪ x  5 y  2‬‬
‫‪( x  3) 2  (3 y  2 x ) 2  6 y  7‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  3y  8  0‬‬
‫‪ x 2  y 2  0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ x  2 xy  y 2  36‬‬
‫‪ xy  450‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫()‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪420‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . 9‬פתור משוואות ומערכות משוואות עם פרמטר ( ‪ - x‬נעלם ‪ - a ,‬פרמטר )‬
‫וחקור את המקרים החריגים ‪:‬‬
‫א ‪a 2 x  4  a  16 x .‬‬
‫‪:‬‬
‫ב ‪6ax  a 2  5 x  10a  a 2 x  25 .‬‬
‫‪3 x  1 a  ax‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪xa xa‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪a  x a  x a  x2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪5 y  2ax  4a 2  15a‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪7 x  4 y  2a‬‬
‫‪a 2 x  25 y  2a  15‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  y  1‬‬
‫‪ . 11‬פתור משוואות ומערכות משוואות עם פרמטר( ‪ - x‬נעלם ‪ - m , a ,‬פרמטרים )‬
‫א ‪x 2  (2m  4) x  3  4m  m 2  0 .‬‬
‫ב ‪a  1, a  1x 2  (2a  3) x  2  0 .‬‬
‫‪ . 11‬במשוואות הבאות תחום ההצבה הוא ‪x  8‬‬
‫לאילו מהמשוואות הבאות אין פתרון? נמקו‪.‬‬
‫‪x 3  8x 2‬‬
‫‪ 0 .I‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪x 3  8x 2‬‬
‫‪ 1 .IV‬‬
‫‪8 x‬‬
‫‪x 3  8x 2‬‬
‫‪ 1 .II‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪x 3  8x 2‬‬
‫‪ 0 .III‬‬
‫‪8 x‬‬
‫‪( x  8) 2‬‬
‫‪ 0 .V‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪2 x 2  20x‬‬
‫‪x 2  20x  100‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . 12‬נתון הביטוי‪:‬‬
‫‪x 3  8 x 2  20x‬‬
‫‪2 x 2  200‬‬
‫א‪ .‬פשטו את הביטוי ורשמו את תחום ההצבה‬
‫ב‪ .‬חשבו את ערך הביטוי עבור ‪x = 4‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את ערך הביטוי עבור ‪x ‬‬
‫‪2‬‬
‫ד ‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ x‬ערך הביטוי הוא ‪? -2‬‬
‫ה‪ .‬האם ניתן למצוא את ערך הביטוי עבור ‪ ? x = –10‬נמקו‪.‬‬
‫‪ . 13‬פתור את אי ‪ -‬השוויונים הבאים ‪:‬‬
‫א ) ‪ x 2  10x  25  0‬‬
‫ד ) ‪ x 2  10x  25  0‬‬
‫ג ) ‪ x 2  10x  25  0‬‬
‫ב ) ‪ x 2  10x  25  0‬‬
‫‪( x  2) 2  x  10‬‬
‫‪x( x  1) ‬‬
‫ה)‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 14‬על מגרש מלבני שהיקפו ‪ 60‬מ' בנו מבנה מגורים מלבני‪.‬‬
‫הצלע הארוכה של המבנה היא ‪ 80%‬מהצלע הארוכה של המגרש‪ ,‬הצלע הקצרה של המבנה‬
‫היא ‪ 50%‬מהצלע הקצרה של המגרש‪ .‬שטחו של המבנה ‪ 80‬מ"ר‪.‬‬
‫מבנה מגורים‬
‫א‪ .‬מהן מידות המגרש? ציינו יחידות מידה מתאימות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה היקפו של מבנה המגורים?‬
‫ג‪ .‬על חלק המגרש שנותר אחרי בניית המבנה שתלו דשא‪ .‬מה שטח הדשא?‬
‫‪ . 15‬אוטובוס יצא מעיר ‪ A‬לעיר ‪ B‬בשעה ‪ 11:11‬בבוקר ונסע את כל הדרך במהירות ‪ 91‬קמ"ש‪.‬‬
‫באותה שעה רוכב אופניים יצא מעיר ‪ B‬לעיר ‪ A‬ונסע את כל הדרך במהירות ‪ 61‬קמ"ש‪.‬‬
‫הם נסעו באותו כביש‪ ,‬נפגשו בשעה ‪ 12:11‬והמשיכו בדרכם‪.‬‬
‫א ‪ .‬באיזו שעה הגיע האוטובוס לעיר ‪? B‬‬
‫ב ‪ .‬באיזו שעה הגיע רוכב האופניים לעיר ‪? A‬‬
‫ג ‪ .‬מיד אחרי הגעתו לעיר ‪ B‬האוטובוס הסתובב ונסע חזרה לעיר ‪. A‬‬
‫האם הספיק האוטובוס להשיג את רוכב האופניים בדרכו לעיר ‪ A‬לפני שהרוכב הגיע לשם?‬
‫‪ . 16‬ממקום מסוים יוצאים בו – זמנית שני הולכי רגל ‪ ,‬אחד צפונה והשני – מזרחה ‪.‬‬
‫כעבור ‪ 5‬שעות עובר הראשון ‪ 5‬ק''מ יותר מהשני ‪ ,‬והמרחק ביניהם מגיע ל – ‪ 25‬ק''מ ‪.‬‬
‫מהירויותיהם של הולכי הרגל הנ''ל לא השתנו בשעת ההליכה ‪.‬‬
‫מהי מהירותו לשעה של כל אחד מהולכי הרגל ?‬
‫‪ . 17‬מחירו המקורי של מוצר בתחילת העונה היה ‪ 211‬ש''ח ‪.‬‬
‫באמצע העונה הוזילו את המחיר המקורי ב – ‪ x‬אחוזים ‪.‬‬
‫בסוף העונה הוזילו את המחיר של אמצע העונה ב – ( ‪ ) x + 5‬אחוזים ‪.‬‬
‫א ‪ .‬הבע באמצעות ‪ x‬את מחיר המוצר בסוף העונה ‪.‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את ‪ , x‬אם נתון שבסוף העונה היה מחיר המוצר ‪ 115‬ש''ח ‪.‬‬
‫‪ . 18‬סכום של שני מספרים חיוביים הוא ‪ . 16‬סמן את המספר הקטן ב – ‪x‬‬
‫א ‪ .‬כתוב פונקציה המתארת את סכום ריבועי המספרים ‪.‬‬
‫ב ‪ .‬שרטט גרף של פונקציה ‪.‬‬
‫ג ‪ .‬מהם המספרים עבורם סכום הריבועים מינימלי ? נמק !‬
‫ד ‪ .‬מהם המספרים עבורם סכום הריבועים הוא ‪? 146‬‬
‫‪ . 19‬בתוך מלבן שצלעותיו ‪ 7‬ס''מ ו – ‪ 9‬ס''מ‬
‫חסומים ריבוע (מימין ) ומלבן מקווקוים ‪.‬‬
‫סמן צלע של ריבוע ב – ‪. x‬‬
‫א ‪ .‬כתוב פונקציה המתארת את השטח המקווקו‬
‫( סכום שטחי הריבוע והמלבן מקווקוים ) ‪.‬‬
‫ב ‪ .‬חשב מה צריך להיות האורך ‪ x‬של צלע הריבוע‬
‫כדי ששטח המקווקו יהיה מינימאלי ‪.‬‬
‫ג ‪ .‬מצא את השטח המקווקו המינימאלי ‪.‬‬
‫ד ‪ .‬ידוע כי שטח המקווקו הוא ‪ 39‬סמ''ר ‪ .‬מצא את ‪. x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪36‬‬
‫ד ‪a 44 .‬‬
‫‪ . 9‬א ‪x 11 y 18 .‬‬
‫‪.3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫תשובות ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x a‬‬
‫‪9‬‬
‫ג ‪( x  7)(2  a )(2  a ) .‬‬
‫ב ‪( x  1)(5 x  1) .‬‬
‫‪ . 5‬א ‪(a  2)(a  2)(a 2  4) .‬‬
‫ב ‪x  1 .‬‬
‫‪ . 6‬א ‪ .‬למשוואה אינסוף פתרונות ‪x  2‬‬
‫ד‪x  6 .‬‬
‫‪ . 7‬ג ‪x   1,2 .‬‬
‫ג ‪x  4 .‬‬
‫‪ . 8‬א ‪ (4,4), (8,16 / 3) .‬ב ‪ (1,4) .‬ג ‪(3,3), (3,3) .‬‬
‫ד ‪(15,30), (62.5,7.2) .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, x‬‬
‫‪ . 2‬א ‪ .‬כאשר ‪ , a  4‬למשוואה פתרון יחיד והוא‬
‫‪4a‬‬
‫כאשר ‪ a  4‬למשוואה אין פתרון ( ‪ , ) x ‬כאשר ‪ a  4‬למשוואה אינסוף פתרונות ( ‪. ) x  R‬‬
‫‪a5‬‬
‫ב ‪ .‬כאשר ‪ , a  1,5‬למשוואה פתרון יחיד והוא‬
‫‪a 1‬‬
‫כאשר ‪ a  1‬למשוואה אין פתרון ( ‪ , ) x ‬כאשר ‪ a  5‬למשוואה אינסוף פתרונות ( ‪. ) x  R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫ג ‪ .‬כאשר ‪ a  0, ‬למשוואה פתרון יחיד והוא ‪x ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪1‬‬
‫כאשר ‪ a  ‬למשוואה אין פתרון ( ‪ , ) x ‬כאשר ‪ a  0‬למשוואה אינסוף פתרונות ( ‪. ) x  R‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2a  1‬‬
‫‪x‬‬
‫ד ‪ .‬כאשר ‪ , a  1‬למשוואה פתרון יחיד והוא‬
‫‪3‬‬
‫כאשר ‪ a  1‬למשוואה אינסוף פתרונות ( ‪. ) x  R‬‬
‫‪, x‬‬
‫‪35‬‬
‫ה ‪ .‬כאשר‬
‫‪8‬‬
‫‪7 x  2a‬‬
‫‪35‬‬
‫‪ x , y ‬מספר ממשי כלשהו )‬
‫‪ a  ‬למערכת אינסוף פתרונות מהצורה (‬
‫כאשר‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 2 a  3‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫ו ‪ .‬כאשר ‪ , a  5‬למערכת פתרון יחיד ‪‬‬
‫‪ a  5 a  5‬‬
‫כאשר ‪ a  5‬למערכת אינסוף פתרונות מהצורה ( ‪ x , y  1  x‬מספר ממשי כלשהו )‬
‫כאשר ‪ , a  5‬למערכת אין פתרון‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  ‬‬
‫ב ‪, 2 .‬‬
‫‪ . 00‬א ‪x  m  3, m  1 .‬‬
‫‪ a 1 ‬‬
‫‪ , a  ‬למערכת פתרון יחיד ) ‪, ( 2a ,3a‬‬
‫‪ . 00‬למשוואה ‪IV‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ . 09‬א ‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x   10,0,2‬‬
‫ב‪1.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ד ‪x 1 .‬‬
‫ה ‪ .‬לא ‪ ,‬כי ‪ - 11‬לא שייך לתחום הצבה של הביטוי ‪.‬‬
‫‪ , x ‬ב ) ‪ , x  5‬ג ) ‪ , x  5‬ד ) ‪ , x  R‬ה ) ‪ x  3‬או ‪. x  2‬‬
‫‪ . 03‬א )‬
‫ג ‪ 121 .‬מ''ר ‪ . 05‬א ‪ 13:21 .‬ב ‪15:11 .‬‬
‫ב ‪ 42 .‬מ'‬
‫‪ . 01‬א ‪ 11 .‬מ' ‪ 21 ,‬מ'‬
‫‪ 4 . 06‬קמ''ש ‪ 3 ,‬קמ''ש ‪.‬‬
‫‪2 x 2  390x  19000‬‬
‫ב ‪ . 08 25% .‬א ‪f ( x)  2 x 2  32x  256 .‬‬
‫‪ . 07‬א ‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫ג ‪ . 8 , 8 .‬ד ‪. 5 , 11 .‬‬
‫‪ . 08‬א ‪f ( x)  2 x 2  16x  63 .‬‬
‫ג ‪ .‬לא ‪.‬‬
‫ב ‪ 4 .‬ס''מ ג ‪ 31 .‬סמ''ר‬
‫ד ‪ 2 .‬ס''מ או ‪ 6‬ס''מ ‪.‬‬
‫‪ . 02‬א ‪f ( x)  2 x 2  16x  63 .‬‬
‫ב ‪ 4 .‬ס''מ ג ‪ 31 .‬סמ''ר‬
‫ד ‪ 2 .‬ס''מ או ‪ 6‬ס''מ ‪.‬‬
‫הסתברות‬
‫‪ . 1‬בקופסה יש ‪ 21‬פתקים שעליהם המספרים ‪.21 – 1‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות להוציא באקראי מהקופסה פתק ועליו מספר זוגי?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות להוציא באקראי מהקופסה פתק ועליו מספר שמתחלק ב‪?5-‬‬
‫ג‪ .‬מוציאים מהקופסה שני פתקים זה אחר זה (ללא החזרה)‪.‬‬
‫מה ההסתברות שעל פתק אחד יהיה מספר זוגי ועל הפתק האחר יהיה מספר אי זוגי?‬
‫ד‪ .‬מוציאים מהקופסה שני פתקים זזה אחר זה (ללא החזרה)‪.‬‬
‫ידוע שעל הפתק הראשון היה מספר חד ספרתי‪.‬‬
‫מה ההסתברות שעל הפתק השני יהיה גם כן מספר חד ספרתי?‬
‫ה‪ .‬מוציאים מהקופסה שני פתקים זה אחר זה (ללא החזרה)‪.‬‬
‫ידוע שעל הפתק השני יש מספר חד ספרתי‪.‬‬
‫מה ההסתברות שעל הפתק הראשון היה גם כן מספר חד ספרתי?‬
‫‪ . 2‬בכד יש ‪ 3‬כדורים לבנים ו – ‪ 4‬כדורים שחורים ‪ .‬מוציאים באקראי כדור אחד ‪ ,‬ומשאירים‬
‫אותו בחוץ ‪ .‬מערבבים ומוציאים באקראי כדור שני ‪.‬‬
‫א ‪ .‬מהי ההסתברות ששני הכדורים שמוציאים יהיו שחורים ?‬
‫ב ‪ .‬מהי ההסתברות ששני הכדורים שמוציאים יהיו מאותו צבע ?‬
‫ג ‪ .‬מהי ההסתברות שהכדור הראשון יהיה לבן והכדור השני יהיה שחור ?‬
‫‪ . 3‬תרופה למחלה מסוימת מצליחה לרפא ‪ 81%‬מהחולים ‪ 3 .‬חולים לוקחים את התרופה ‪.‬‬
‫חשב את ההסתברויות האלה ‪:‬‬
‫א ‪ .‬בדיוק ‪ 3‬חולים יחלימו בעזרת התרופה ‪.‬‬
‫ב ‪ .‬לפחות חולה אחד יחלים בעזרת התרופה ‪.‬‬
‫ג ‪ .‬לכל היותר חולה אחד יחלים בעזרת התרופה ‪.‬‬
‫ד ‪ .‬לכל היותר שניים יחלימו בעזרת התרופה ‪.‬‬
‫‪ . 4‬כל הסטודנטים שלמדו בפקולטה מסוימת ניגשו למבחן במתמטיקה באחד משני מועדים‪75% .‬‬
‫ניגשו במועד א' והשאר ניגשו למועד ב'‪ 81% .‬מהסטודנטים שניגשו למועד א' הצליחו במבחן‪,‬‬
‫ו‪ 61%-‬מהסטודנטים שניגשו למועד ב' הצליחו במבחן‪.‬‬
‫בסה"כ בשני המועדים הצליחו ‪ 451‬סטודנטים‪.‬‬
‫א ‪ .‬כמה סטודנטים למדו בפקולטה?‬
‫ב ‪ .‬מה אחוז הסטודנטים בפקולטה שהצליחו במבחן?‬
‫ג ‪ .‬כמה סטודנטים צריכים להצליח במועד ג'‪ ,‬על מנת שאחוז הסטודנטים המצליחים‬
‫במבחן יהיה ‪( 85‬כלומר‪ 85% ,‬הצלחה)?‬
‫‪ . 5‬ההסתברות לפגוש אדם שאוהב לאכול פלאפל ברחוב במדינת ישראל היא ‪.0.7‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לפגוש ברחוב אדם אחד שאוהב לאכול פלאפל ואדם שני שאינו אוהב‬
‫לאכול פלאפל?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לפגוש ברחוב שני אנשים שאוהבים לאכול פלאפל אם ידוע שהאדם‬
‫הראשון שפגשו בו אוהב לאכול פלאפל?‬
‫‪4‬‬
‫‪ . 6‬בכד יש ‪ 31‬כדורים כחולים וצהובים‪ .‬ההסתברות להוציא באקראי כדור כחול מהכד היא‬
‫‪5‬‬
‫א‪ .‬כמה כדורים כחולים בכד?‬
‫ב‪ . .‬מה ההסתברות להוציא באקראי כדור צהוב‪ ,‬להחזיר לכד ולהוציא שוב באקראי‬
‫כדור צהוב?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות להוציא באקראי כדור כחול‪ ,‬לא להחזיר לכד ולהוציא באקראי‬
‫כדור צהוב?‬
‫‪ . 7‬במכונת משחק התוצאה היא מספר זוגי או מספר אי זוגי ‪.‬‬
‫ההסתברות ‪ ,‬שתוצאה מסוימת תחזור על עצמה גם במשחק העוקב ( הבא בתור )‬
‫היא ‪ . P‬כמו כן ידוע ‪ ,‬שאם במשחק הראשון יצאה תוצאה זוגית ‪ ,‬אז ההסתברות‬
‫‪5‬‬
‫שגם במשחק השלישי תצא תוצאה זוגית שווה ל ‪-‬‬
‫‪8‬‬
‫‪.‬‬
‫חשב את ‪ ( P‬מצא את שני הפתרונות האפשריים ) ‪.‬‬
‫‪ . 8‬זורקים שתי קוביות משחק רגילות‪ .‬מחברים את הסכום המתקבל על שתי הקוביות‪.‬‬
‫לאיזו מהתוצאות הבאות הסתברות גבוהה יותר להתקבל? נמקו‪.‬‬
‫(‪.8)3‬‬
‫(‪7 )2‬‬
‫(‪6 )1‬‬
‫תשובות ‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ . 0‬א ‪ 1.5 .‬ב ‪ 1.2 .‬ג ‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪19‬‬
‫‪19‬‬
‫‪ . 3‬א ‪ , 1.512 .‬ב ‪ , 1.992 .‬ג ‪ , 1.114 .‬ד ‪1.488 .‬‬
‫‪ . 5‬א ‪1.21 .‬‬
‫ב ‪1.7 .‬‬
‫‪ 1.25 . 7‬או ‪1.75‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ .9‬א‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ . 1‬א ‪ , 611 .‬ב ‪ , 75% .‬ג ‪61 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 6‬א ‪ , 24 .‬ב ‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫‪24‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪145‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ . 8‬לתוצאה ‪ ( 7‬ההסתברות היא‬
‫‪36‬‬
‫)‬
‫‪.‬‬
‫פונקציות‪.‬‬
‫‪ .1‬אילו מהגרפים הבאים הם גרפים של פונקציות ?‬
‫א)‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ה)‬
‫‪x‬‬
‫ב)‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫ג)‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ו)‬
‫ד)‬
‫ז)‬
‫‪y‬‬
‫ח)‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 x  19‬‬
‫‪17‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . 2‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5x  5 x  1 1  x‬‬
‫א ‪ .‬מצא את נקודת האפס של הפונקציה (כלומר פתור ‪)f(x) = 0‬‬
‫ב ‪ .‬מצא את נקודת החיתוך עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪ . 3‬לפניך שרטוט הגרפים של הפונקציות‬
‫‪f(x) = x+2‬‬
‫דרך נקודה ‪ E‬מעבירים ישר מקביל לציר ‪x‬‬
‫שחותך את גרף הפונקציה )‪ g(x‬בנקודה ‪. L‬‬
‫א‪ .‬מצא את שעורי הנקודות ‪L,K,E,C,B,N‬‬
‫ב‪ .‬רשום את התחום שבו ‪f (x) > g(x) > 0‬‬
‫ג‪ .‬רשום את התחום שבו ‪g(x) > f(x) > 0‬‬
‫ד‪ .‬מצא את אורך הקטעים ‪KE ,CB‬‬
‫ה‪ .‬מצא את שטחי המשולשים ‪ NKE‬ו‪NCB -‬‬
‫‪f :  R  1,1  R‬‬
‫‪g ( x )  23 x  4‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g‬‬
‫‪y‬‬
‫‪N‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫‪E‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ו‪ .‬מצא את שטח המרובע ‪CKEB‬‬
‫‪ . 4‬הישרים שבציור הם גרפים של הפונקציות ‪2 y  4 x  12 , 3 y  27  3 x :‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיפועו של כל אחד מהישרים וקבע איזו פונקציה עולה ואיזו יורדת‪.‬‬
‫ב‪ .‬זהה איזה גרף שייך לאיזו פונקציה‬
‫ג‪ .‬דרך הנקודה )‪ D(3,0‬העבירו ישר המקביל לציר ‪ .y‬מצא את‬
‫‪L‬‬
‫שעורי הנקודות ‪K,L,N,E,C,B,A‬‬
‫‪C‬‬
‫ד‪ .‬מצא את אורכי הקטעים‪. CK , LN , AB :‬‬
‫‪E‬‬
‫ה‪ .‬מצא את שטחי המשולשים‪. NEL , AEB :‬‬
‫‪N‬‬
‫‪K‬‬
‫ו‪ .‬מצא את משוואת הישר ‪. AN‬‬
‫ז‪ .‬מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודה ‪C‬‬
‫‪y  3x  0‬‬
‫ומקביל לישר‬
‫ח‪ .‬הוכח כי ‪ AKNB‬הוא טרפז ומצא את שטחו‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ . 5‬שרטטו במערכת הצירים את הגרפים של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪x 2  4x  4‬‬
‫‪, g(x) = x – 2 ,‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪m( x ) ‬‬
‫הסבירו את ההבדל בין שלושת הפונקציות ‪.‬‬
‫‪ . 6‬נתונה הפונקציה ‪. y  2( x  1) 2  18‬‬
‫( א ) תאר במילים את הפעולות שהתבצעו על הפונקציה ‪ y  x 2‬לקבלת הגרף‬
‫של הפונקציה הנתונה ‪.‬‬
‫( ב ) רשום את שיעורי קדקוד הפרבולה ‪.‬‬
‫( ג ) רשום את משוואת ציר הפרבולה ‪.‬‬
‫( ד ) מצא את נקודות האפס של הפונקציה ‪.‬‬
‫( ה ) מצא את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה ‪. y -‬‬
‫( ו ) שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪.‬‬
‫( ז ) עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה עולה ?‬
‫( ח ) רשום תחום בו הפונקציה יורדת ‪.‬‬
‫( ט ) רשום תחום בו הפונקציה חיובית ותחום בו הפונקציה שלילית ‪.‬‬
‫( י ) רשום תחום בו הפונקציה חיובית ויורדת ‪.‬‬
‫( יא ) רשום פונקציה ריבועית שהגרף שלה הוא שיקוף של גרף הפונקציה‬
‫הנתונה בנקודת הקדקוד ‪.‬‬
‫( יב ) מזיזים את הפרבולה ( הנתונה ) ימינה בשתי יחידות ‪.‬‬
‫רשום את משוואת הפונקציה שהתקבלה ‪.‬‬
‫( יג ) בכמה יחידות עלינו לעלות או להוריד את הפרבולה ( הנתונה ) כדי שתהיה לה‬
‫נקודת אפס אחת ?רשום את משוואת הפרבולה שהתקבלה ‪.‬‬
‫( יד ) רשום פונקציה קווית קבועה שיש לה נקודת חיתוך אחת עם הפרבולה הנתונה ‪.‬‬
‫‪ . 7‬בפונקציה ריבועית )‪ t(x‬נתון‪t(0) = t(–5) = 2 :‬‬
‫א‪ .‬מה שיעור ה‪ x -‬של קדקוד הפרבולה?‬
‫ב‪ .‬איזו מבין הפונקציות הבאות מתאימה לנתונים הנ"ל?‬
‫‪t(x) = x2 – 5x + 2 .I‬‬
‫‪t(x) = 2x2 + 10x + 2 .II‬‬
‫‪t(x) = x2 + 5x + 1 .III‬‬
‫‪t(x) = –2x2 – 10x – 2 .IV‬‬
‫‪ . 8‬נתונות הפונקציות‪ f(x) = (x – 3)2 – 5 :‬ו‪g(x) = 2x2 – 3x -‬‬
‫א‪ .‬האם לגרף פונקציה ‪ m(x) = (x – 3)2 + 5‬יש נקודות חיתוך עם גרף הפונקציה )‪ ? f(x‬נמקו‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם לגרף הפונקציה ‪ t(x) = 2x2 + 3x‬יש נקודות חיתוך עם גרף הפונקציה )‪ ? g(x‬נמקו‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם לגרף הפונקציה ‪ p(x) = –(x – 3)2 – 5‬יש נקודות חיתוך עם גרף הפונקציה )‪ ? f(x‬נמקו‪.‬‬
‫‪ . 9‬א‪ .‬השלימו מספרים כך שתתקבל פונקציה ריבועית שבה שיעור ה‪ x -‬של קדקוד הפרבולה יהיה ‪:x = 3‬‬
‫)___ – ‪f(x) = (x + ___)(x‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את שיעור ה‪ y -‬של נקודת הקדקוד בהתאם למספרים שהשלמתם‪.‬‬
‫‪ . 11‬נתונות שלוש פרבולות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  0.5x  2  4 .I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  3x  2  1 .III‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  2x  4 .II‬‬
‫א‪ .‬מהי נקודת החיתוך של כל אחת מהפרבולות עם ציר ה ‪? y -‬‬
‫ב‪ .‬כמה נקודות חיתוך לכל אחת מהפרבולות עם ציר ה– ‪ ( ? x‬אין צורך לחשב )‬
‫ג‪ .‬נתון שלישר ‪ y  k‬ולפרבולה ‪ I‬יש נקודה משותפת אחת בלבד‪.‬‬
‫כמה נקודות משותפות יש לישר זה עם הפרבולה ‪ ? II‬מהו ערך של ‪? k‬‬
‫‪ . 11‬בציור שלפניך מסורטטים הפרבולה ‪y   x 2  2 x  8‬‬
‫‪y‬‬
‫והקטע ‪ AB‬המקביל לציר ה ‪ . x -‬סמן נקודה ‪ – M‬קדקוד הפרבולה ‪.‬‬
‫א ‪ .‬חשב את שטח הטרפז ‪. ABKC‬‬
‫ב ‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ABK‬‬
‫ג ‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. CMK‬‬
‫‪x‬‬
‫ד ‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה שלילית ?‬
‫ה ‪ .‬פתור את אי השוויון ‪ x 2  2 x  8  0‬‬
‫ו ‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה יורדת ?‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪C‬‬
‫ז ‪ .‬רשום פונקציה קווית קבועה שאין לה נקודות חיתוך עם הפרבולה הנתונה ‪.‬‬
‫ח ‪ .‬רשום פונקציה קווית קבועה שיש לה נקודת חיתוך אחת עם הפרבולה הנתונה ‪.‬‬
‫‪ . 12‬בציור משורטטים הגרפים של הפונקציות ‪:‬‬
‫‪ f ( x)  x 2  4 x  3‬ו ‪. g ( x)   x  2 -‬‬
‫א ‪ .‬נקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה ) ‪. f ( x‬‬
‫‪y‬‬
‫והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה ) ‪. g (x‬‬
‫‪P‬‬
‫נתון כי הקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה ‪ y -‬ואורכו ‪. 3‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו – ‪. B‬‬
‫ב ‪ .‬נקודה ‪ C‬נמצאת על גרף הפונקציה ) ‪. f ( x‬‬
‫‪F‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Q‬‬
‫והנקודה ‪ D‬נמצאת על גרף הפונקציה ) ‪. g (x‬‬
‫נתון כי הקטע ‪ CD‬מקביל לציר ה ‪ x -‬ואורכו ‪. 3‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות ‪ C‬ו – ‪. D‬‬
‫ג ‪ .‬דרך הנקודה )‪ ) t  0 ( Q (t ,0‬מעבירים ישר המקביל לציר ה ‪ y -‬החותך את הפרבולה‬
‫בנקודה ‪ – F . P‬נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה ‪ ( x -‬ראה ציור ) ‪.‬‬
‫בטא את שטח המשולש ‪ PQF‬באמצעות ‪. t‬‬
‫תשובות ‪:‬‬
‫‪ . 9‬א ‪ , x  3 .‬ב ‪. (0,10.2) .‬‬
‫‪.0‬ג‪,‬ה‪,‬ו‪,‬ח‬
‫‪ . 3‬ב ‪ , x  6 .‬ג ‪ , 0  x  6 .‬ה ‪ , S NCB  16, S NKE  6 .‬ו ‪. S CKEB  10 .‬‬
‫‪ . 1‬ה ‪ S NEL  6, S AEB  24 .‬ו ‪ , y  x  3 .‬ז ‪ , y  3 x  9 .‬ח ‪. S AKNB  45 .‬‬
‫‪ . 6‬ב ‪ ) - 1 , 18 ( .‬ג ‪ x  1 .‬ד ‪ ) - 4 , 1 ( , ) 2 . 1 ( .‬ה ‪ ) 1 , 16 ( .‬ז ‪ x  1 .‬ח ‪x  1 .‬‬
‫יא ‪y  2( x  1) 2  18 .‬‬
‫יב ‪y  2( x  1) 2  18 .‬‬
‫י ‪1  x  2 .‬‬
‫יג ‪ .‬להוריד ב ‪ 12‬יחידות ‪ y  2( x  1) ,‬יד ‪y  18 .‬‬
‫‪ . 7‬א ‪ - 2.5 .‬ב ‪ .‬פונקציה ‪. II‬‬
‫‪ . 8‬א ‪ .‬אין נקודות חיתוך ‪ ,‬ב ‪ .‬נקודת חיתוך אחת ‪ ,‬ג‪ .‬נקודת חיתוך אחת ‪.‬‬
‫‪ . 2‬א ‪ ( x  1)( x  7) .‬ב ‪. y k  16 .‬‬
‫‪ . 00‬א ‪) 1 , 13 ( – III , ) 1 , - 32 ( - II , ) 1 , - 2 ( – I .‬‬
‫ב ‪ – I .‬שתי נק' חיתוך‪ - II ,‬נק' חיתוך אחת ‪ – III ,‬אין נק' חיתוך‬
‫ג ‪ , k  4 .‬שתי נקודות חיתוך ‪.‬‬
‫ג ‪27 .‬‬
‫‪ . 00‬א ‪ 32 .‬ב ‪8 .‬‬
‫ד ‪x  4, x  2 .‬‬
‫ו ‪x  1 .‬‬
‫ה‪4 x  2 .‬‬
‫ח ‪ .‬לדוגמא ‪y  12 :‬‬
‫ז‪y 9 .‬‬
‫ב ‪C (1,0), D( 2,0) , C ( 2,1), D(1,1) .‬‬
‫‪ . 09‬א ‪A( 2,1), B ( 2,4) , A(1,0), B (1,3) .‬‬
‫ג ‪0.5(t 3  7t 2  15t  9) .‬‬
‫‪2‬‬