קומבינטוריקה למדעי המחשב פתרון נוסחאות נסיגה

‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫פתרון נוסחאות נסיגה‬
‫‪1‬‬
‫פתרון נוסחאות נסיגה‬
‫נתונה סדרה ‪,a0 = 0‬‬
‫)‪(n ≥ 1‬‬
‫‪. an = 2an−1 + 1‬‬
‫נמצא נוסחה מפורשת ל־ ‪.an‬‬
‫‪1.1‬‬
‫שיטת הניחוש‬
‫‪1.2‬‬
‫שיטת הצבות חוזרות‬
‫‪2‬‬
‫החלפת משתנה הרקורסיה‬
‫נתונה‬
‫)‪(n ≥ 2‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (n) = 2f‬‬
‫‪f (1) = 0,‬‬
‫ונניח ש־‪ n‬היא חזקה טבעית של ‪) 2‬כלומר ‪.(n = 2k‬‬
‫‪3‬‬
‫פתרון משוואות נסיגה ‪ -‬שיטת משוואה אופיינית‬
‫עבור נוסחת נסיגה‬
‫‪b 6= 0‬‬
‫‪Sn = aSn−1 + bSn−2 ,‬‬
‫נגדיר את המשוואה האופיינית להיות‪:‬‬
‫‪x2 − ax − b = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3.1‬‬
‫משפט‬
‫א‪ .‬אם למשוואה האופיינית שני שורשים ממשיים שונים ‪ ,r1 , r2‬אזי הפתרון של נוסחת‬
‫הנסיגה הנ"ל הוא‬
‫‪Sn = c1 r1n + c2 r2n‬‬
‫כאשר ‪ c1 , c2‬קבועים הנקבעים ע"י ‪.S0 , S1‬‬
‫ב‪ .‬אם למשוואה אופיינית שורש אחד ממשי ‪, r‬מריבוי ‪ ,2‬אזי‬
‫‪Sn = c1 rn + c2 nrn−1‬‬
‫כאשר ‪ c1 , c2‬קבועים התלויים ב־ ‪.S0 , S1‬‬
‫הערה‪ :‬קיימת הרחבה של המשפט עבור שורשים מרוכבים‪ ,‬אך בקורס נתעסק אך ורק‬
‫בשורשים ממשיים‪.‬‬
‫‪3.2‬‬
‫דוגמא‬
‫נתונה נוסחת נסיגה הבאה‪:‬‬
‫)‪(n ≥ 2‬‬
‫)‪, F (n) = F (n − 1) + F (n − 2‬‬
‫‪. F (0) = F (1) = 1‬‬
‫מצא ביטוי מפורש ל־)‪.F (n‬‬
‫‪2‬‬