כללי מניה בסיסיים - Or-Alfa

‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫פרק ‪ – 3‬קומבינטוריקה‬
‫כללי מניה בסיסיים‬
‫עקרון הסכום‪ :‬אם ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות סופיות זרות‪ ,‬אז‪. A  B  A  B :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ - A    B   )1‬בלי הגבלת הכלליות (בה"כ)‪ ,‬נניח כי‪ . A   :‬אכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB  B  B‬‬
‫‪.A    ‬‬
‫‪ AB  A  B‬‬
‫‪‬‬
‫‪A  B    B  B‬‬
‫‪ - A    B   )2‬תהיינה‪ . B  b1 , b 2 , b 3 ,..., b n  , A  a 1 , a 2 , a 3 ,..., a m  :‬מאחר‬
‫ו‪ , A  B   -‬הרי ש‪ , A  B  a 1 , a 2 , a 3 ,..., a m , b1 , b 2 , b 3 ,..., b n  :‬כאשר כל‬
‫האיברים הללו שונים זה מזה‪ .‬לכן‪. A  B  m  n  A  B :‬‬
‫‪‬‬
‫מסקנה ‪ :1‬אם ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות סופיות המקיימות‪ , A  B :‬אז‪. B \ A  B  A :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתון כי‪ . A  B :‬ידוע כי מתקיים גם‪ . B \ A  B :‬מאחר ו‪:‬‬
‫‪ , A   B \ A  B  A   B \ A  ‬הרי שעפ"י עקרון הסכום‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪. B  A   B \ A  A  B \ A  B \ A  B  A‬‬
‫‪‬‬
‫מסקנה ‪ :2‬אם ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות סופיות‪ ,‬אז‪. A  B  A  B  A  B :‬‬
‫הוכחה‪ :‬ידוע כי‪ , A  B  A \ B  B \ A  A  B :‬כאשר‪:‬‬
‫‪ A \ B , B \ A , A  B‬זרות בזוגות‪( .‬המשמעות של זרות בזוגות היא‪:‬‬
‫‪).  A \ B   B \ A      A \ B    A  B      B \ A    A  B   ‬‬
‫כמו כן‪ ,‬עפ"י מסקנה ‪:1‬‬
‫‪A \ B  A \  A  B  ABA A \ B  A  A  B‬‬
‫‪B \ A  B \  A  B  ABB B \ A  B  A  B‬‬
‫‪.‬‬
‫עפ"י הכללה של עקרון הסכום ל‪ 3-‬קבוצות (הוכחה ‪ -‬תרגיל)‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪A  B   A \ B   B \ A   A  B   A  A  B    B  A  B   A  B ‬‬
‫‪ A  B  AB‬‬
‫עקרון הסכום המוכלל‪ :‬אם ‪ A1 , A 2 ,..., A n‬קבוצות סופיות זרות בזוגות‪ ,‬אז‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪.  Ai   Ai‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪( n‬תרגיל)‪.‬‬
‫‪95‬‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫עקרון המכפלה‪ :‬אם ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות סופיות‪ ,‬אז‪. A  B  A  B :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ - A    B   )1‬בלי הגבלת הכלליות (בה"כ)‪ ,‬נניח כי‪ . A   :‬אכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB  B    0‬‬
‫‪.A    ‬‬
‫‪ AB  A  B‬‬
‫‪‬‬
‫‪  B  0 B  0‬‬
‫‪ - A    B   )2‬תהיינה‪ . B  b1 , b 2 , b 3 ,..., b n  , A  a 1 , a 2 , a 3 ,..., a m  :‬לכן‪,‬‬
‫מתקיים‪, A  B  a 1 , b1 ,..., a 1 , b n , a 2 , b1 ,..., a 2 , b n ,..., a m , b1 ,..., a m , b n  :‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר כל האיברים הללו שונים זה מזה‪ .‬לכן‪. A  B  m  n  A  B :‬‬
‫עקרון המכפלה המוכלל‪ :‬אם ‪ A1 , A 2 ,..., A n‬קבוצות סופיות‪ ,‬אז‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. A1  A 2  ...  A n   A i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪( n‬תרגיל)‪.‬‬
‫כללי מניה בסיסיים – תרגילים (פתורים חלקית)‬
‫‪ .1‬בכיתה מסוימת ‪ 06‬תלמידים לומדים את הקורס‪ :‬מתמטיקה בדידה ‪ 1‬ו‪41 -‬‬
‫תלמידים לומדים את הקורס‪ :‬חשבון אינפיניטסימלי ‪ 9 .1‬תלמידים בכיתה‬
‫אינם לומדים אף לא אחד משני קורסים אלו‪ .‬קבעו את מספר התלמידים‬
‫בכיתה‪ ,‬אם‪:‬‬
‫א‪ .‬אין תלמידים הלומדים את שני הקורסים יחד‪.‬‬
‫‪ ‬עפ"י עקרון הסכום המוכלל‪. 20  14  5  39 :‬‬
‫ב‪ 0 .‬תלמידים לומדים את שני הקורסים יחד‪.‬‬
‫‪ ‬עפ"י מסקנה ‪ 2‬לעיל ועקרון הסכום המוכלל‪.  20  14  6  5  33 :‬‬
‫ג‪ .‬כל תלמיד הלומד את הקורס‪ :‬חשבון אינפיניטסימלי ‪ 1‬לומד גם את‬
‫הקורס‪ :‬מתמטיקה בדידה ‪.1‬‬
‫‪ ‬עפ"י עקרון הסכום‪. 20  5  25 :‬‬
‫‪ .2‬בחדר ‪ 1‬דלתות ו‪ 8 -‬חלונות‪ .‬לחדר נכנסים דרך דלת ויוצאים דרך חלון‪.‬‬
‫בכמה דרכים (שונות) ניתן לעשות זאת ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרון המכפלה‪:‬‬
‫‪W  w : w is a window  w1, w 2 , w 3 ,..., w 8 ‬‬
‫‪D  d : d is a door  d1,d 2 ,d 3 ,d 4 ‬‬
‫‪D  W   d, w  : d  D  w  W  D  W  D  W  4  8  32‬‬
‫‪06‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .3‬בחדר ‪ n‬דלתות‪ .‬מהו מספר האפשרויות (השונות) להכנס לחדר דרך דלת‬
‫אחת ולצאת ממנו דרך דלת אחרת ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרון המכפלה‪:‬‬
‫‪D  d : d is a door  d1 ,d 2 ,d 3 ,...,d n ‬‬
‫‪D   D \ d i  1in  d,d '  : d  D  d '  D \ d i  ‬‬
‫‪ D   D \ d i   D  D \ d i   n   n  1‬‬
‫‪ .4‬במערכת מחשב מסוימת מקצים לכל משתמש שם משתמש בן ‪ 9‬אותיות‬
‫(קטנות) באנגלית‪ .‬כמה שמות משתמש שונים ניתן לקבוע‪ ,‬אם‪:‬‬
‫א‪ .‬מותר שאות תחזור על עצמה באותו שם משתמש ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרון המכפלה‪26  26  26  26  26  265 :‬‬
‫ב‪ .‬אסור שאות תחזור על עצמה באותו שם משתמש ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרון המכפלה‪26  25  24  23 22 :‬‬
‫‪ .5‬מספר (טבעי) אינו יכול להתחיל בספרה ‪.6‬‬
‫א‪ .‬כמה מספרים דו‪-‬ספרתיים קיימים ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרונות הסכום והמכפלה‪( 9  10  90 :‬הספרה הראשונה‬
‫משמאל אינה יכולה להיות ‪ 9 – 0‬אפשרויות‪ ,1-9 :‬לזו שאחריה – ‪10‬‬
‫אפשרויות‪ ;)0-9 :‬לחילופין‪99  10  1  90 :‬‬
‫ב‪ .‬כמה מספרים דו‪-‬ספרתיים הם אי‪-‬זוגיים ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרונות הסכום והמכפלה‪( 9  5  45 :‬הספרה הראשונה‬
‫משמאל אינה יכולה להיות ‪ 9 – 0‬אפשרויות‪ ,1-9 :‬לזו שאחריה – ‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫אפשרויות‪ ;)9 ,7 ,5 ,3 ,1 :‬לחילופין‪ 90  45 :‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬כמה מספרים דו‪-‬ספרתיים מתחלקים ב‪( 9 -‬ללא שארית) ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרונות הסכום והמכפלה‪( 9  2  18 :‬הספרה הראשונה‬
‫משמאל אינה יכולה להיות ‪ 9 – 0‬אפשרויות‪ ,‬לזו שאחריה – ‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫אפשרויות‪ ;)5 ,0 :‬לחילופין‪ 90  18 :‬‬
‫‪5‬‬
‫ד‪ .‬כמה מספרים דו‪-‬ספרתיים אינם מתחלקים ב‪? 9 -‬‬
‫‪ ‬עפ"י עקרונות הסכום והמכפלה‪( 9  8  72 :‬הספרה הראשונה‬
‫משמאל אינה יכולה להיות ‪ 9 – 0‬אפשרויות‪ ,‬לזו שאחריה – ‪8‬‬
‫אפשרויות‪ ;)9 ,8 ,7 ,6 ,4 ,3 ,2 ,1 :‬לחילופין ('עקרון המשלים')‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪90  18  72   1    90   90‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 5‬‬
‫'עקרון המשלים'‪ :‬רצוי = סה"כ פחות לא רצוי‬
‫ה‪ .‬בכמה מספרים דו‪-‬ספרתיים אי‪-‬זוגיים הספרות שונות זו מזו ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרונות הסכום והמכפלה‪( 5  8  40 :‬לספרת היחידות יש ‪5‬‬
‫אפשרויות‪ ,9 ,7 ,5 ,3 ,1 :‬לספרת העשרות – ‪ 8‬אפשריות‪ :‬כל הספרות‬
‫למעט ‪ 0‬ולמעט ספרת היחידות); לחילופין ('עקרון המשלים')‪:‬‬
‫‪ – 45( 45  5  40‬הסה"כ‪ ,‬עפ"י סעיף ב' לעיל; ‪" – 5‬הלא רצויים"‪ :‬דו‪-‬‬
‫ספרתיים אי‪-‬זוגיים שספרותיהם זהות)‬
‫‪04‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫ו‪ .‬כמה מספרים ‪-1‬ספרתיים קיימים ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרונות הסכום והמכפלה‪ ; 9  10  10  10  9  10 :‬לחילופין‪:‬‬
‫‪9999  1000  1  9000‬‬
‫ז‪ .‬בכמה מספרים ‪-1‬ספרתיים הספרה ‪ 4‬אינה מופיעה ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרונות הסכום והמכפלה‪( 8  9  9  9  8  93 :‬ספרת האלפים‬
‫אינה יכולה להיות לא ‪ 0‬ולא ‪ .1‬שאר הספרות אינן יכולות להיות ‪).1‬‬
‫ח‪ .‬בכמה מספרים ‪-1‬ספרתיים אין ספרות צמודות זהות ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרונות הסכום והמכפלה‪( 9  9  9  9  94 :‬ספרת האלפים אינה‬
‫יכולה להיות ‪ .0‬כל ספרה אחרת אינה יכולה להיות זהה לסמוכה לה‬
‫משמאל‪).‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .6‬בכיתה ‪ 20‬בנים‪ .‬כל בן מכיר ‪ 9‬בנות וכל בת מכירה ‪ 8‬בנים‪ ,‬כאשר הכרות‬
‫היא פעולה הדדית‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה בנות מונה הכיתה ?‬
‫‪ ‬מספר ההכרויות הכולל מצד הבנים ומצד הבנות צריך להיות שווה‪.‬‬
‫נסמן ב‪ x -‬את מספר הבנות‪ .‬לכן‪. 32  5  8  x  x  20 :‬‬
‫ב‪ .‬כמה זוגות מעורבים (שלא מאותו מין) ניתן ליצור בכיתה‪ ,‬אם אין‬
‫חשיבות להכרות בין בני זוג ?‬
‫‪ ‬עפ"י עקרון המכפלה‪32  20  640 :‬‬
‫‪ .7‬סיסמת מחשב בנויה מ‪ 9 -‬תוים‪ 0 :‬אותיות (קטנות) באנגלית ו‪ 2 -‬ספרות‪.‬‬
‫כמה סיסמאות מחשב שונות תיתכנה ?‬
‫‪262  103 ‬‬
‫‪ .8‬מהו מספר הדרכים למלא טופס טוטו (‪ 40‬משחקים בסימונים‪ 0 ,4 :‬או ‪? )X‬‬
‫‪3  3  3  ...16 times  3  316 ‬‬
‫‪ .9‬מטילים ‪ 2‬קוביות משחק שונות (למשל‪ ,‬בצבעים שונים)‪ .‬כמה תוצאות שונות‬
‫תיתכנה ?‬
‫‪6  6  6  216 ‬‬
‫‪ .11‬מהו מספר האפשרויות לסידור ‪ n‬אנשים בשורה ?‬
‫‪ ‬במקום הראשון משמאל ניתן להושיב כל אחד מ‪ n -‬האנשים (‪n‬‬
‫אפשרויות)‪ .‬במקום השני משמאל ניתן להושיב כל אחד מ‪ n  1 -‬האנשים‬
‫שנותרו (שכן הושבנו כבר איש אחד)‪ .‬במקום השלישי משמאל ניתן‬
‫להושיב כל אחד מ‪ n  2 -‬האנשים שנותרו (שכן הושבנו כבר ‪ 2‬אנשים)‪.‬‬
‫באופן זה‪ ,‬במקום ה‪k -‬י משמאל ניתן להושיב כל אחד מ‪-‬‬
‫‪ n   k  1  n  k  1‬האנשים שנותרו (שכן‪ ,‬הושבו כבר ‪ k  1‬אנשים)‪.‬‬
‫במקום האחרון‪ ,‬הראשון מימין‪ ,‬ניתן להושיב רק איש אחד‪ .‬עפ"י עקרון‬
‫המכפלה‪ ,‬נקבל‪ n   n  1   n  2  ...   n  k  1  ...  1  n! :‬אפשרויות‪.‬‬
‫‪ .11‬כמה מחלקים טבעיים שונים יש למספר ‪? 5666‬‬
‫‪00‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .12‬כמה מילים שונות בנות ‪ 0‬אותיות‪ ,‬אשר לפחות אחת מהן היא‪ ,A :‬ניתן ליצור‬
‫מהאותיות‪( A-Z :‬האותיות האנגליות הגדולות) ?‬
‫‪ .13‬במסיבה ‪ n‬משתתפים‪ .‬כל אחד אומר לשני שלום ולוחץ את ידו‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה אמירות שלום נאמרו במסיבה ?‬
‫ב‪ .‬כמה לחיצות ידיים נלחצו במסיבה ?‬
‫‪ .14‬בכמה אופנים שונים ניתן להציב על‪-‬גבי לוח שחמט ריק שני צריחים‪ ,‬באופן‬
‫שלא יאיימו זה על זה‪ ,‬אם‪:‬‬
‫א‪ .‬לשני הצריחים צבעים שונים ?‬
‫ב‪ .‬לשני הצריחים אותו צבע ? (הניחו כי גם צריחים מאותו הצבע מאיימים‬
‫זה על זה‪).‬‬
‫(תזכורת‪ :‬לוח שחמט הוא לוח מסדר ‪ 8x8‬משובץ שחור‪/‬לבן לסירוגין‪.‬‬
‫צריחים מאיימים זה על זה אם"ם הם נמצאים באותה שורה או באותה עמודה‬
‫על‪-‬גבי לוח שחמט‪ .‬שני כלים אינם רשאים לעמוד על‪-‬גבי אותה משבצת‬
‫בלוח‪).‬‬
‫‪ .15‬מהו מספר האפשרויות השונות לבחירת ועד בן ‪ 2‬אנשים מתוך ‪ 26‬אנשים‪,‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫א‪ .‬בוועד ‪ 2‬תפקידים שונים ?‬
‫ב‪ .‬אין הבדלי תפקידים בין חברי הוועד ?‬
‫(הערה‪ :‬כמובן‪ ,‬כל איש בוועד ממלא תפקיד אחד בלבד‪).‬‬
‫‪ .16‬מושיבים ‪ n‬אנשים על‪-‬גבי ספסל‪ .‬מהו מספר האפשרויות לסידורם‪ ,‬אם‪:‬‬
‫א‪ .‬חיים ומשה (שניים מתוכם) חייבים לשבת זה לצד זה ?‬
‫ב‪ .‬אסור שחיים ומשה (שניים מתוכם) יישבו זה לצד זה ?‬
‫ג‪ .‬חיים‪ ,‬משה‪ ,‬פנינה ורוזנבלום (ארבעה מתוכם) חייבים לשבת זה לצד זה ?‬
‫ד‪ .‬על ‪ k‬מתוכם תמיד לשבת זה לצד זה ? מהו התנאי לפתרון בעיה זו ?‬
‫‪ .17‬מהו מספר האפשרויות לסידור ‪ n‬אנשים סביב שולחן עגול ?‬
‫‪ .18‬מושיבים ‪ 9‬זוגות סביב שולחן עגול‪ .‬מהו מספר האפשרויות לסידורם‪ ,‬באופן‬
‫שבין כל ‪ 0‬נשים יישב גבר ?‬
‫‪ .19‬א‪ .‬בכמה מספרים ‪-46‬ספרתיים כל הספרות שונות זו מזו ?‬
‫ב‪ .‬בכמה מספרים ‪-n‬ספרתיים כל הספרות שונות זו מזו ? (רמז‪ :‬הבחינו‬
‫בין שני מקרים‪).‬‬
‫‪ .21‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬שתי קבוצות סופיות‪ ,‬כך ש‪) m, n   0 ( . A  m , B  n :‬‬
‫א‪ .‬כמה פונקציות שונות ‪ f : A  B‬תיתכנה ?‬
‫ב‪ .‬כמה מהפונקציות שבסעיף א' הן חח"ע ? (רמז‪ :‬הבחינו בין שני מקרים‪).‬‬
‫‪02‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫קומבינטוריקה – כללי מניה בסיסיים ‪ -‬תרגיל בית מס' ‪6‬‬
‫‪ .1‬א‪ .‬הוכיחו באינדוקציה את עקרון הסכום המוכלל‪ ,‬האומר כי אם‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ A1 , A 2 ,..., A n‬קבוצות סופיות זרות בזוגות‪ ,‬אז‪.  A i   A i :‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו באינדוקציה את עקרון המכפלה המוכלל‪ ,‬האומר כי‬
‫אם‪ A1 , A 2 ,..., A n :‬קבוצות סופיות‪ ,‬אז‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. A1  A 2  ...  A n   A i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫(שימו לב! הפעולה‪ x :‬אינה פעולה קיבוצית‪).‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬כמה ‪ Bytes‬שונים יש ?‬
‫ב‪ .‬כמה ‪ Bytes‬שונים יש‪ ,‬המתחילים ב‪ 4 -‬ומסתיימים ב‪? 464 -‬‬
‫ג‪ .‬כמה ‪ Bytes‬שונים יש‪ ,‬המתחילים ב‪ 4 -‬ואינם מסתיימים ב‪? 464 -‬‬
‫‪ .3‬בכמה מספרים בין ‪ 4666‬לבין ‪ 46666‬מופיעות‪:‬‬
‫א‪ .‬הספרות‪ 8 ,7 ,9 ,2 :‬בלבד ?‬
‫ב‪ .‬הספרות‪ 8 ,7 ,9 ,2 ,6 :‬בלבד ?‬
‫‪ .4‬נתבונן באוסף כל המספרים ה‪-5 -‬ספרתיים (כזכור‪ ,‬הם אינם‬
‫מתחילים ב‪.)0 -‬‬
‫א‪ .‬כמה מספרים כאלה קיימים ?‬
‫ב‪ .‬כמה מהם מכילים את הספרה ‪ 2‬בדיוק פעם אחת ?‬
‫ג‪ .‬כמה מתוך המספרים שנמנו בסעיף ב' מתחלקים ב‪( 9 -‬ללא שארית) ?‬
‫ד‪ .‬כמה מתוך המספרים ה‪-5 -‬ספרתיים אינם מתחלקים ב‪? 7 -‬‬
‫‪ .5‬נתבונן באוסף כל המספרים ה‪-0 -‬ספרתיים‪.‬‬
‫א‪ .‬בכמה מהם מופיעה הספרה ‪ 6‬פעם אחת בדיוק ?‬
‫ב‪ .‬בכמה מהם מופיעה הספרה ‪ 6‬פעם אחת לפחות ?‬
‫ג‪ .‬בכמה מהם מופיעה הספרה ‪ 1‬פעם אחת לפחות ?‬
‫ד‪ .‬בכמה מהם מופיעה הספרה ‪ 1‬פעם אחת בדיוק ?‬
‫ה‪ .‬כמה מהם‪ ,‬המורכבים מהספרות‪ ,5 ,2 ,0 :‬הם זוגיים ?‬
‫‪ .6‬כמה מספרים טבעיים‪ ,‬שאינם מתחלקים לא ב‪ 9 -‬ולא ב‪ ,7 -‬יש בין ‪ 4‬לבין‬
‫‪( 466‬כולל ‪ 4‬ו‪? )466 -‬‬
‫‪ .7‬כמה מחלקים טבעיים שונים יש למספר ‪( ? 100800‬רמז‪)7!=5040 :‬‬
‫‪ .8‬א‪ .‬מהו מספר הפונקציות החח"ע השונות‪? f : {1,2,3,..., m}  {1,2,3,..., n} :‬‬
‫ב‪ .‬מהו מספר הפונקציות השונות‪) m, n  ( ? f : {0,1}m  {0,1}n :‬‬
‫(תזכורות‪:‬‬
‫‪ o‬תהיינה ‪ f1 , f 2‬שתי פונקציות המוגדרות על אותו תחום‪ .‬נאמר שהפונקציות‬
‫‪ f1 , f 2‬שונות‪ ,‬אם"ם קיים איבר ‪ x‬בתחומן שעבורו‪). f1 (x)  f 2 ( x) :‬‬
‫‪o‬‬
‫‪, 0,1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ - n ‬אוסף כל הסדרות הבינאריות באורך ‪)n‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪01‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫כללי מניה מתקדמים א'‬
‫משפט ‪ – 1‬בחירה עם חזרות ועם חשיבות לסדר‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סופית‪ ,‬כך‬
‫ש‪ , A  n  :‬ויהי ‪ . k   0‬מספר הסדרות באורך ‪ k‬שניתן לבנות מאיברי‬
‫‪ ,A‬ללא כל הגבלה‪ ,‬הוא‪. n k :‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ ‬אם ‪ , A  ‬נאמר כי מספר הסדרות באורך ‪ k‬הניתנות לבניה מאיבריה הוא ‪.6‬‬
‫‪ ‬אם ‪ A  ‬ו‪ , k  0 -‬נאמר כי מספר הסדרות באורך ‪ k  0‬הניתנות לבניה‬
‫מאיברי ‪ A‬הוא ‪( 4‬הסדרה הריקה)‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫הוכחה‪ :‬אוסף הסדרות באורך ‪ k‬הוא‪ ,‬כזכור‪ ,‬הקבוצה‪ k ...  A :‬פעמים‪. A  A  A  ...‬‬
‫לכן‪ ,‬לפי עקרון המכפלה המורחב‪ ,‬נקבל‪. A k  A  n k :‬‬
‫‪k‬‬
‫הגדרה ‪ :1‬תהי ‪ A‬קבוצה לא ריקה‪ ,‬כך ש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . A  n ‬סדרה באורך ‪ n‬של‬
‫איברי ‪ A‬ללא חזרות נקראת‪ :‬תמורה (פרמוטציה‪ )Permutaion ,‬של ‪.A‬‬
‫הערה‪ :‬בתורת הפונקציות מגדירים תמורה כפונקציית שקילות (פונקציה‬
‫הפיכה) מקבוצה סופית אל עצמה (חח"ע ועל עצמה)‪.‬‬
‫הגדרה ‪ :2‬המכפלה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ i  1  2  3  ...  n‬‬
‫נקראת‪ n :‬עצרת‪ ,‬ומסומנת‪.n! :‬‬
‫‪i 1‬‬
‫הערה‪ :‬כזכור‪ ,‬הגדרנו את הפונקציה‪ n! :‬באופן הרקורסיבי הבא‪:‬‬
‫‪,n0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. n!:  0  , n! ‬‬
‫‪n (n  1)! , n  0‬‬
‫אכן‪ ,‬מגדירים‪( . 0! 1 :‬כזכור‪ ,‬בפרק ‪ 3‬הראנו‪ ,‬באמצעות אינדוקציה מתמטית‪ ,‬כי‬
‫שתי ההגדרות הנ"ל שקולות‪).‬‬
‫משפט ‪ – 2‬בחירה ללא חזרות ועם חשיבות לסדר‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סופית‪,‬‬
‫כך ש‪ , A  n  :‬ויהי ‪ 0  k  n‬מספר שלם (אי‪-‬שלילי)‪ .‬מספר הסדרות ללא‬
‫!‪n‬‬
‫חזרות‪ ,‬באורך ‪ ,k‬שניתן לבנות מאיברי ‪ A‬הוא‪:‬‬
‫!‪n  k ‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתייחס לאיבר הראשון משמאל בסדרה כאיבר הראשון‪ ,‬לאיבר השני‬
‫משמאל בסדרה כאיבר השני וכן הלאה‪ .‬את האיבר הראשון בסדרה באורך ‪ k‬ניתן‬
‫לבחור ב‪ n -‬דרכים‪ ,‬את האיבר השני באותה סדרה ניתן לבחור ב‪ n  1 -‬דרכים‬
‫(שכן ניתן לבחור מתוך איברי ‪ A‬את כל האיברים‪ ,‬למעט האיבר שנבחר כבר‬
‫כאיבר הראשון)‪ ,‬את האיבר השלישי באותה סדרה ניתן לבחור ב‪ n  2 -‬דרכים וכן‬
‫הלאה‪ .‬לכן‪ ,‬את האיבר ה‪ k -‬בסדרה ניתן לבחור ב‪ n  k  1  n  k  1 -‬דרכים‬
‫(שכן כבר בחרנו לפניו ‪ k  1‬איברים)‪ .‬עפ"י עקרון המכפלה המורחב‪ ,‬סה"כ‬
‫האפשרויות הוא‪ ,‬אפוא‪:‬‬
‫!‪n  k !  n‬‬
‫‪‬‬
‫‪. nn  1n  2...n  k  1  n n  1n  2...n  k  1 ‬‬
‫!‪n  k ! n  k ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪09‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫כללי מניה מתקדמים א' ‪ -‬תרגילים (פתורים חלקית)‬
‫‪ .1‬נתון אלפבית סופי המכיל את כל הספרות‪ 6-5 :‬ואת כל האותיות האנגליות‪:‬‬
‫'‪.'a'-'z‬‬
‫א‪ .‬כמה מחרוזות באורך ‪ ) k  ( k‬ניתן לייצר מאלפבית זה ?‬
‫‪ ‬עפ"י משפט ‪n  10  26  36  n k  36k :1‬‬
‫ב‪ .‬כמה מחרוזות באורך ‪ ,) k  ( k‬המתחילות באות אנגלית‪ ,‬ניתן לייצר‬
‫מאלפבית זה ?‬
‫‪k 1‬‬
‫‪ ‬עפ"י משפט ‪ 1‬ועקרון המכפלה‪26  36 :‬‬
‫‪ .2‬בתחרות שש‪-‬בש אזורית מעניקים לזוכים (היחידים) במקומות‪ :‬הראשון‪,‬‬
‫השני והשלישי מדליות‪ :‬זהב‪ ,‬כסף וארד בהתאמה‪ .‬אם בתחרות מתמודדים‬
‫‪ 46‬שחקנים‪ ,‬כמה רשימות זוכים במדליות תיתכנה ?‬
‫!‪n‬‬
‫!‪10‬‬
‫‪n  10 , k  3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬עפ"י משפט ‪ 10  9  8 :2‬‬
‫!‪ n  k ! 7‬‬
‫‪ .3‬הוכיחו כי‪:‬‬
‫א‪ .‬מספר התמורות של הקבוצה‪ 1,2,3,..., n :‬הוא‪. n! :‬‬
‫‪ ‬הוכחה‪ :‬כאמור‪ ,‬כל תמורה של איברי ‪ 1,2,3,..., n‬היא סדרה באורך ‪n‬‬
‫של האיברים ללא חזרות‪ .‬במקום הראשון בסדרה יכול להימצא כל‬
‫אחד מ‪ n -‬האיברים‪ .‬במקום השני – כל אחד מ‪ n  1 -‬האיברים‬
‫הנותרים‪ ,‬לאחר שהאיבר הראשון בסדרה כבר נבחר‪ .‬במקום ה‪k -‬י‬
‫( ‪ – ) 1  k  n‬כל אחד מ‪ n   k  1  n  k  1 -‬האיברים הנותרים‪,‬‬
‫לאחר ש‪ k  1 -‬האיברים הראשונים בסדרה כבר נבחרו‪ .‬באופן זה‪,‬‬
‫למקום ה‪n -‬י יוכל להיבחר רק איבר אחד‪ .‬עפ"י עקרון המכפלה‪,‬‬
‫סה"כ התמורות‪/‬הסדרות באורך ‪ n‬האפשריות הוא‪:‬‬
‫□‬
‫!‪. n   n  1   n  2  ...   n  k  1  ...  1  n‬‬
‫‪00‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫ב‪ .‬הוכיחו כי מספר הפונקציות החח"ע מהקבוצה הסופית ‪ A‬אל עצמה הוא‪:‬‬
‫!‪. A‬‬
‫‪ ‬הוכחה‪ :‬ראשית‪ ,‬נשים לב כי‪ . A    A  0  A !  0!  1 :‬אכן‪ ,‬כפי‬
‫שנראה בקורס ההמשך‪ ,‬יש רק פונקציה אחת (שהיא חח"ע) מקבוצה‬
‫ריקה לעצמה והיא הפונקציה הריקה‪ .‬נניח‪ ,‬אפוא‪ ,‬כי‪. A   , A  n  :‬‬
‫נסמן‪ . A  a1 ,a 2 ,a 3 ,...,an  :‬כל פונקציה חח"ע ‪ f‬מ‪ A -‬לעצמה ניתנת‬
‫לתיאור באמצעות ‪ 0‬טורים של איברי ‪ A‬הנמצאים זה מול זה וחיצים‬
‫היוצאים מאיברי טור אחד (חץ אחד מכל איבר) ונכנסים לאיברי הטור‬
‫השני (חץ אחד לכל איבר)‪ .‬למעשה‪ ,‬כל פונקציה חח"ע ‪ f‬מ‪ A -‬לעצמה‬
‫משולה לסידור של איברי ‪ A‬בטור או בשורה‪ .‬כלומר‪ ,‬כל פונקציה חח"ע ‪f‬‬
‫מ‪ A -‬לעצמה יוצרת תמורה (פרמוטציה) של איברי ‪ .A‬בסעיף הקודם‬
‫הוכחנו כי לקבוצה בת ‪ n‬איברים יש !‪ n‬תמורות‪ .‬לכן‪ ,‬ישנן !‪ n‬פונקציות‬
‫□‬
‫חח"ע מ‪ A -‬לעצמה‪.‬‬
‫(הערה‪ :‬באופן דומה ניתן להוכיח כי מספר הפונקציות מקבוצה סופית ‪A‬‬
‫על עצמה הוא‪ A ! :‬וכי מספר הפונקציות ההפיכות מקבוצה סופית ‪A‬‬
‫לעצמה גם הוא‪). A ! :‬‬
‫‪ .4‬מתוך ‪ n‬תלמידי כיתה יש לבחור ועד המורכב מ‪ k -‬תלמידים‪ .‬בכמה דרכים‬
‫ניתן לעשות זאת‪ ,‬אם‪:‬‬
‫א‪ .‬יש הבדלי תפקידים בין ‪ k‬חברי הוועד (כמובן‪ ,‬כל תלמיד מאייש תפקיד‬
‫אחד בלבד) ?‬
‫!‪n‬‬
‫‪ ‬עפ"י משפט ‪ n  n  1 n  2  ...  n  k  1 :2‬‬
‫‪.‬‬
‫!‪ n  k ‬‬
‫ב‪ .‬אין הבדלי תפקידים בין ‪ k‬חברי הוועד ?‬
‫‪ ‬בניגוד לסעיף א'‪ ,‬כאן אין חשיבות לסדר בין חברי הוועד‪ .‬לכן‪ ,‬כל !‪k‬‬
‫בחירות של אותם ‪ k‬חברי ועד הן‪ ,‬למעשה‪ ,‬בחירה אחת‪ .‬לפיכך‪ ,‬התוצאה‬
‫!‪n‬‬
‫‪.‬‬
‫המבוקשת היא תוצאת סעיף א' מחולקת ב‪: k! -‬‬
‫!‪ n  k ! k‬‬
‫‪07‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫כללי מניה מתקדמים ב'‬
‫משפט ‪ – 3‬בחירה ללא חזרות וללא חשיבות לסדר‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סופית‪,‬‬
‫כך ש‪ , A  n  :‬ויהי ‪ 0  k  n‬מספר שלם (אי‪-‬שלילי)‪ .‬מספר תת‪-‬הקבוצות‬
‫!‪n‬‬
‫של ‪ A‬בגודל ‪ k‬הוא‪:‬‬
‫!‪k!n  k ‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן באוסף כל הסדרות באורך ‪( k‬ללא חזרות)‪ ,‬שניתן לבנות מתוך‬
‫!‪n‬‬
‫‪ .‬מכל תת‪-‬קבוצה של ‪A‬‬
‫איברי ‪ .A‬לפי משפט ‪ 2‬דלעיל‪ ,‬מספרן הוא‪:‬‬
‫!‪n  k ‬‬
‫בגודל ‪ k‬ניתן ליצור !‪ k‬סדרות שונות (תמורות)‪ .‬לכן‪ ,‬כשנספור את כל הסדרות‬
‫הללו באורך ‪ ,k‬נספור למעשה כל תת‪-‬קבוצה בגודל ‪ k‬של ‪ k! A‬פעמים‪ .‬מכאן‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫תת‪-‬קבוצות שונות של ‪A‬‬
‫הסדרות הללו יתקבצו ל‪-‬‬
‫ש‪-‬‬
‫!‪n  k ‬‬
‫!‪k!n  k ‬‬
‫‪‬‬
‫בגודל ‪.k‬‬
‫‪.‬‬
‫המחשת ההוכחה‪ :‬נתונה קבוצה בת ‪ 1‬איברים‪ . a, b,c,d :‬כמה תת‪-‬קבוצות‬
‫בגודל ‪ 2‬יש לה ?‬
‫‪ ‬ראשית‪ ,‬נחשב כמה סדרות באורך ‪ 2‬ניתן ליצור מאיבריה‪ .‬עפ"י משפט ‪:2‬‬
‫!‪n‬‬
‫!‪4‬‬
‫‪  24‬‬
‫‪ . n  4 , k  3 ‬נרשום אותן‪:‬‬
‫!‪ n  k ! 1‬‬
‫‪a, b,c a, b,d a,c,d b,c,d‬‬
‫‪a,c, b a,d, b a,d,c b,d,c‬‬
‫‪b,a,c b,a,d c,a,d c, b,d‬‬
‫‪b,c,a b,d,a c,d,a c,d, b‬‬
‫‪c,a, b d,a, b d,a,c d, b,c‬‬
‫‪c, b,a d, b,a d,c,a d,c, b‬‬
‫עתה‪ ,‬נשים לב כי בכל טור הסדרות מורכבות מאותם האיברים‪ .‬לכן‪ ,‬בבואנו‬
‫לספור את מספר תת‪-‬הקבוצות בגודל ‪ 2‬של הקבוצה הנ"ל‪ ,‬כל טור יגדיר תת‪-‬‬
‫קבוצה אחת‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬כל ‪ 0‬סדרות תצטמצמנה לכדי תת‪-‬קבוצה אחת‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬כדי לקבל את מספר תת‪-‬הקבוצות בגודל ‪ 2‬יש לחלק את מספר הסדרות‬
‫באורך ‪ 2‬במספר הסידורים הפנימיים של כל תת‪-‬קבוצה‪/‬סדרה ( ‪.) 3!  6‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪ n  k ! ‬‬
‫!‪n‬‬
‫!‪4‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל‪ 4 :‬‬
‫‪.n  4 , k  3‬‬
‫!‪k‬‬
‫!‪k!  n  k ! 3! 1‬‬
‫!‪n‬‬
‫הגדרה ‪ :3‬הביטוי‪:‬‬
‫!‪k!n  k ‬‬
‫‪n‬‬
‫ומסומן‪.   :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ ,‬כאשר‪ , 0  k  n :‬נקרא‪ :‬מקדם בינומי‪,‬‬
‫‪08‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ניסוח אחר למשפט ‪ – 3‬בחירה ללא חזרות וללא חשיבות לסדר‪ :‬תהי‬
‫‪ A‬קבוצה סופית‪ ,‬כך ש‪ , A  n  :‬ויהי ‪ 0  k  n‬מספר שלם (אי‪-‬שלילי)‪.‬‬
‫מספר האפשרויות לבחור ‪ k‬איברים מתוך ‪ n‬איברי ‪ A‬ללא חזרות (בבחירה)‬
‫‪n‬‬
‫וללא חשיבות לסדר הוא‪.   :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫משפט ‪ – 4‬תמורות עם חזרות‪ :‬מספר התמורות עם חזרות של‬
‫‪ k1  k 2  ...  k m  n‬עצמים‪ ,‬שמתוכם‪ k 1 :‬הם עצמים זהים מסוג ‪ k 2 ,4‬הם‬
‫עצמים זהים מסוג ‪ k m , ... ,0‬הם עצמים זהים מסוג ‪ ,m‬הוא‪:‬‬
‫‪k  k 2  ...  k m ! ‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪. 1‬‬
‫! ‪k 1!k 2 !...  k m‬‬
‫! ‪k 1!k 2 !...  k m‬‬
‫‪‬‬
‫הוכחת משפט ‪ 4‬היא בדומה להוכחת משפט ‪( 3‬תרגיל)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫!‪n‬‬
‫הביטוי‪:‬‬
‫! ‪k 1!k 2 !...  k m‬‬
‫נקרא‪ :‬מקדם מולטינומי ומסומן גם באופן הבא‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k1 , k 2 , k3 ,..., km ‬‬
‫משפט ‪ – 5‬בחירה עם חזרות וללא חשיבות לסדר‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סופית‪,‬‬
‫כך ש‪ . A  n  :‬מספר הדרכים לבחור ‪ k‬איברים מתוך איברי ‪ ,A‬כאשר‬
‫‪ n 1 k ‬‬
‫מותרות חזרות בבחירה והסדר אינו חשוב‪ ,‬הוא‪ :‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ n 1 ‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתרגם את הבעיה המוצגת במשפט – בחירת ‪ k‬איברים מתוך איברי ‪A‬‬
‫(‪ n‬במספר)‪ ,‬כאשר מותרות חזרות בבחירה והסדר אינו חשוב – לבעיה אחרת ‪-‬‬
‫פיזור ‪ k‬כדורים זהים ב‪ n -‬תאים שונים‪ ,‬ללא הגבלה על מספר הכדורים בכל‬
‫תא‪ .‬כלומר‪ ,‬נראה כי מספר האפשרויות לפיזור ‪ k‬כדורים זהים ב‪ n -‬תאים שונים‪,‬‬
‫ללא הגבלה על מספר הכדורים בכל תא‪ ,‬שווה למספר האפשרויות לבחירת ‪k‬‬
‫איברים מתוך איברי ‪ n( A‬במספר)‪ ,‬כאשר מותרות חזרות בבחירה והסדר אינו‬
‫חשוב‪ .‬נשים לב כי ניתן להסתכל על כל פיזור של ‪ k‬כדורים זהים ב‪ n -‬תאים‬
‫שונים (ללא הגבלה על מספר הכדורים בכל תא) כעל ‪ k‬בחירות של תאים‬
‫מתוך ‪ n‬התאים השונים‪ ,‬כאשר מותר לבחור בתא מסוים אפס‪ ,‬אחת או יותר‬
‫פעמים‪ .‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬פיזור במסגרתו הושמו בתא מס' ‪ 4‬שלושה כדורים זהים‪,‬‬
‫משול לבחירה בתא מס' ‪ 4‬שלוש פעמים‪( .‬באופן דומה ניתן להסתכל על כל‬
‫בחירה של ‪ k‬איברים מתוך ‪ n‬איברים שונים‪ ,‬עם חזרות וללא חשיבות לסדר‪,‬‬
‫כעל פיזור של ‪ k‬כדורים זהים בין ‪ n‬תאים שונים‪ ,‬ללא הגבלה על מספר‬
‫הכדורים בכל תא‪).‬‬
‫את הבעיה של פיזור ‪ k‬כדורים זהים ב‪ n -‬תאים שונים‪ ,‬ללא הגבלה על מספר‬
‫הכדורים בכל תא‪ ,‬נפתור באמצעות משפט ‪ 4‬דלעיל (תמורות עם חזרות)‪.‬‬
‫נשים לב כי ‪ n‬התאים השונים מורכבים מ‪ n  1 -‬מחיצות פנימיות זהות‪ .‬מחיצות‬
‫אלו‪ ,‬למעשה‪ ,‬הן שקובעות ומגדירות את התאים השונים‪.‬‬
‫‪05‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫לכן‪ ,‬פיזור ‪ k‬כדורים זהים ב‪ n -‬תאים שונים כמוהו כסידור ‪ k‬כדורים זהים ו‪n  1 -‬‬
‫מחיצות פנימיות זהות בשורה ולהיפך‪ .‬נדגים זאת ‪ -‬בטבלה דלהלן מופיעים כל‬
‫הפיזורים האפשריים של ‪ 2‬כדורים זהים בין ‪ 0‬תאים שונים‪ ,‬ללא הגבלה על‬
‫מספר הכדורים בכל תא‪ ,‬כשלצד כל פיזור כזה מופיע הסידור המתאים לו של ‪2‬‬
‫כדורים זהים ומחיצה פנימית אחת‪.‬‬
‫פיזור ‪ 3‬כדורים זהים ב‪ 2 -‬תאים שונים סידור ‪ 3‬כדורים זהים (‪0‬ים) ומחיצה‬
‫פנימית אחת (‪)1‬‬
‫‪001‬‬
‫‪00‬‬
‫‪100‬‬
‫‪00‬‬
‫‪010‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫עפ"י משפט ‪ 4‬דלעיל (תמורות עם חזרות)‪ ,‬מספר האפשרויות לסידור ‪ k‬כדורים‬
‫זהים ו‪ n  1 -‬מחיצות זהות בשורה הוא‪n  1  k !   n  1  k    n  1  k  :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n  1!k!  n  1   k ‬‬
‫עפ"י הנאמר לעיל‪ ,‬זהו גם מספר הדרכים לבחור ‪ k‬איברים מתוך איברי ‪,A‬‬
‫כאשר מותרות חזרות בבחירה והסדר אינו חשוב‪.‬‬
‫(בדוגמא שבטבלה לעיל – מספר האפשרויות ליצירת סדרה בינארית באורך ‪,2‬‬
‫!‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪).‬‬
‫המורכבת משני ‪6‬ים ומ‪ 4 -‬אחד הוא‪ ,‬עפ"י משפט ‪ 3 :4‬‬
‫!‪2! 1‬‬
‫טבלה מסכמת ‪-‬‬
‫מספר הדרכים לבחירת ‪ k‬איברים מתוך ‪ n‬איברים‪:‬‬
‫ללא חזרות‬
‫עם חשיבות לסדר‬
‫ללא חשיבות לסדר‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n  k ‬‬
‫עם חזרות‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫(משפט ‪)2‬‬
‫(משפט ‪)1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ n 1 k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n 1 ‬‬
‫(משפט ‪)3‬‬
‫(משפט ‪)5‬‬
‫‪76‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫כללי מניה מתקדמים ב' ‪ -‬תרגילים (פתורים חלקית)‬
‫‪ .1‬בכמה דרכים ניתן לבחור זוג אנשים מתוך ‪ n‬אנשים ?‬
‫‪ ‬זוג פירושו תת‪-‬קבוצה בגודל ‪( 0‬אין חשיבות לסדר האיברים בזוג)‪ .‬לכן‪,‬‬
‫עפ"י משפט ‪ ,3‬מספר הדרכים (לבחירת תת‪-‬קבוצה בגודל ‪ 0‬מתוך‬
‫‪n‬‬
‫קבוצה בת ‪ n‬איברים) הוא‪.   :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬בכיתה ‪ 1‬בנות ו‪ 5 -‬בנים‪ .‬בכמה דרכים ניתן לבחור ועד שיכלול ‪ 0‬בנות ו‪2 -‬‬
‫בנים ?‬
‫‪4‬‬
‫‪ ‬נבחר תחילה את ‪ 0‬הבנות ב‪   -‬אפשרויות (עפ"י משפט ‪ .)3‬נבחר עתה‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫את ‪ 2‬הבנים ב‪   -‬אפשרויות (שוב‪ ,‬עפ"י משפט ‪ .)3‬עפ"י עקרון‬
‫‪3‬‬
‫‪ 4 9‬‬
‫המכפלה נקבל את מספר האפשרויות הכולל‪.      :‬‬
‫‪ 2 3‬‬
‫‪ .3‬בחינה מורכבת מ‪ 2 -‬חלקים‪ :‬בחלק א' יש לענות על ‪ 2‬שאלות מתוך ה‪,9 -‬‬
‫בחלק ב' יש לענות על ‪ 1‬שאלות מתוך ה‪ 0 -‬ובחלק ג' יש לענות על ‪ 0‬שאלות‬
‫מתוך ה‪ .2 -‬בכמה דרכים (שונות) יוכל נבחן לבחור את השאלות עליהן‬
‫יענה ?‬
‫‪5‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬עפ"י משפט ‪ ,3‬מספר האפשרויות לענות על חלק א' הוא‪ ,   :‬על חלק‬
‫‪ 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫ב' ‪   -‬ועל חלק ג' ‪ .   -‬עפ"י עקרון המכפלה נקבל את מספר‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 5  6   3 ‬‬
‫האפשרויות הכולל לבחירת השאלות ע"י נבחן‪.         :‬‬
‫‪ 3  4   2 ‬‬
‫‪ .4‬מהו מספר הסדרות הבינאריות המורכבות מ‪ x -‬אפסים ו‪ y -‬אחדים ?‬
‫‪ ‬עפ"י משפט ‪ ,3‬מעוניינים לבחור מתוך ‪ x+y‬מקומות בסדרה ‪ x‬מקומות‬
‫עבור האפסים (ואז "אוטומטית" ‪ y‬המקומות הנותרים יאוכלסו ע"י ‪y‬‬
‫‪x  y‬‬
‫‪ . ‬כמובן‪ ,‬ניתן לנקוט‬
‫אחדים)‪ .‬מספר האפשרויות לכך הוא‪ :‬‬
‫‪ x ‬‬
‫בבחירה ראשונית של ‪ y‬מקומות עבור ‪ y‬האחדים‪ ,‬ואז ‪ x‬האפסים יאכלסו‬
‫‪x  y‬‬
‫‪ . ‬מכאן מתקבלת הזהות‪:‬‬
‫"אוטומטית" את ‪ x‬המקומות שנותרו ‪ -‬‬
‫‪ y ‬‬
‫‪ x  y  x  y  n  n ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x   y   k  n  k‬‬
‫‪74‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫גישת פתרון אחרת עושה שימוש במשפט ‪ – 4‬מתבקשים‪ ,‬למעשה‪ ,‬לסדר ‪x+y‬‬
‫איברים בשורה‪ ,‬כאשר ‪ x‬מתוכם איברים זהים מסוג ‪( 4‬אפסים) ו‪ y -‬מתוכם‬
‫איברים זהים מסוג ‪( 0‬אחדים)‪ .‬מספר האפשרויות לכך הוא (עפ"י משפט ‪:)4‬‬
‫!‪ x  y   x  y   x  y ‬‬
‫!‪ x  y ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬בדקו (אלגברית) כי אכן מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫!‪x! y‬‬
‫!‪x! y‬‬
‫‪ x   y ‬‬
‫‪ .5‬כמה מילים שונות בנות ‪ 5‬אותיות (לאו דווקא בעלות משמעות)‪ ,‬ניתן ליצור‬
‫מ‪a 7 -‬ים ו‪b 0 -‬ים ?‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪   ‬‬
‫!‪9‬‬
‫‪ ‬עפ"י משפט ‪ ;      :3‬עפ"י משפט ‪:4‬‬
‫!‪7! 2‬‬
‫‪ 2 7‬‬
‫‪ .6‬בכמה דרכים שונות ניתן לסדר על‪-‬גבי מדף‪ 9 :‬עותקים זהים של רב‪-‬המכר‬
‫"מתמטיקה בדידה להמונים"‪ 7 ,‬עותקים זהים של הרומן "אינפי' למביני עניין"‬
‫ו‪ 1 -‬עותקים זהים של השלאגר "איך לשרוד את שנה א'" ?‬
‫‪5  7  4 7  4  4‬‬
‫‪ ‬עפ"י משפט ‪ 5  7  4  ! :4‬‬
‫‪‬‬
‫; עפ"י משפט ‪   :3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5   7   4‬‬
‫!‪5! 7! 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .7‬נתונים ‪ n‬אחדים ו‪ m -‬אפסים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו מספר האפשרויות השונות לסדרם בשורה‪ ,‬כך שאין שני אחדים‬
‫סמוכים ?‬
‫‪ ‬כמובן‪ ,‬תנאי לפתרון הבעיה הוא‪( n  m  1 :‬בררו לעצמכם מדוע)‪.‬‬
‫נציב את ‪ m‬האפסים בשורה‪ ,‬באופן שבין כל שני אפסים סמוכים יהיה‬
‫מרווח אחד‪ .‬נקבל ‪ m  1  2  m  1‬מקומות פוטנציאליים חוקיים‬
‫להצבת ‪ n‬האחדים‪ ,‬כך שלא יהיו שני אחדים סמוכים‪ .‬עלינו לבחור‬
‫מתוך ‪ m+1‬המקומות הפוטנציאליים הללו‪ n ,‬מקומות עבור האחדים‪.‬‬
‫‪ m  1‬‬
‫‪ ‬אפשרויות‪.‬‬
‫עפ"י משפט ‪ ,3‬ניתן לעשות זאת ב‪ -‬‬
‫‪ n ‬‬
‫ב‪ .‬מהו מספר האפשרויות השונות לסדרם בשורה‪ ,‬כך שיש לפחות זוג אחד‬
‫של אפסים סמוכים ?‬
‫‪ ‬ננקוט ב'שיטת המשלים' – סה"כ האפשרויות לסידור של ‪ n‬אחדים ו‪-‬‬
‫‪m  n m  n‬‬
‫‪;‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m‬אפסים בשורה הוא (עפ"י שאלה ‪ 4‬לעיל)‪ :‬‬
‫‪ n   m ‬‬
‫סה"כ האפשרויות לסידור לא רצוי (אין אף זוג של אפסים סמוכים)‪,‬‬
‫‪ n  1‬‬
‫‪ ; ‬מכאן‪ ,‬סה"כ‬
‫עפ"י סעיף א' (בהחלפת ‪ m‬ו‪ ,)n -‬הוא‪ :‬‬
‫‪ m ‬‬
‫האפשרויות לסידור רצוי (יש לפחות זוג אחד של אפסים סמוכים)‬
‫‪ m  n   n  1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הוא‪ :‬‬
‫‪ m   m ‬‬
‫‪70‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .8‬בהנתן קבוצה בת ‪ n‬איברים‪ ,‬כמה תת‪-‬קבוצות בגודל של לפחות ‪ k‬יש לה ?‬
‫‪ .9‬מהו מספר הדרכים לחלוקת קבוצה בת ‪ 1‬איברים לשתי תת‪-‬קבוצות זרות‬
‫ומשלימות ?‬
‫‪ .11‬מעוניינים לאחסן ‪ 46‬ספרים ב‪ 0 -‬קופסאות‪ ,‬אשר בכל אחת מהן מקום ל‪0 -‬‬
‫ספרים‪ .‬בכמה דרכים ניתן לעשות זאת‪ ,‬אם‪:‬‬
‫א‪ 0 .‬הקופסאות שונות זו מזו ?‬
‫ב‪ 0 .‬הקופסאות זהות ?‬
‫‪ .11‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 1‬נשים ו‪ 46 -‬גברים ל‪ 0 -‬קבוצות בנות ‪ 7‬אנשים כל‬
‫אחת‪ ,‬כך שבכל קבוצה תהיה לפחות אישה אחת ?‬
‫‪ .12‬בכמה דרכים (שונות) ניתן לחלק ‪ 2n‬אנשים ל‪ n -‬זוגות‪:‬‬
‫א‪ .‬עם חשיבות לסדר בין הזוגות ?‬
‫ב‪ .‬ללא חשיבות לסדר בין הזוגות ?‬
‫‪ .13‬בכמה דרכים (שונות) ניתן לפזר ‪ k‬כדורים זהים ב‪ n -‬תאים שונים‪ ,‬כאשר אין‬
‫הגבלה על מספר הכדורים בכל תא ?‬
‫‪ ‬כאמור (הוכחת משפט ‪ ,)5‬פיזור ‪ k‬כדורים זהים ב‪ n -‬תאים שונים‪ ,‬כמוהו‬
‫כסידור בשורה של ‪ k‬כדורים זהים ו‪ n  1 -‬מחיצות פנימיות זהות‪ .‬עפ"י‬
‫משפט ‪ ,4‬ניתן לבצע זאת ב‪ k  n  1!   n  1  k    n  1  k  -‬‬
‫דרכים‬
‫‪k!  n  1!  n  1   k ‬‬
‫שונות‪.‬‬
‫‪ .14‬בכמה דרכים ניתן לבחור ‪ k‬עצמים מתוך ‪ n‬סוגי עצמים‪ ,‬כאשר כל העצמים‬
‫השייכים לאותו סוג זהים ? מהו התנאי לפתרון בעיה זו ?‬
‫‪ ‬נדמה את ‪ n‬סוגי העצמים ל‪ n -‬תאים שונים ואת ‪ k‬העצמים ל‪ k -‬כדורים‬
‫זהים (שכן קודם לבחירת ‪ k‬העצמים מתוך ‪ n‬סוגי העצמים השונים‪ ,‬ניתן‬
‫להניח שהם זהים)‪ .‬לכן‪ ,‬פתרון שאלה זו זהה לפתרון שאלה ‪ ,13‬והוא‪:‬‬
‫‪ k  n  1!   n  1  k    n  1  k ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k!  n  1!  n  1   k ‬‬
‫‪ .15‬מטילים ‪ k‬קוביות משחק זהות‪ .‬כמה תוצאות (סדרות מספרים) שונות‬
‫תיתכנה ?‬
‫‪ .16‬כמה פתרונות שלמים אי‪-‬שליליים למשוואה‪? x1  x 2  x 3  ...  x n  k :‬‬
‫‪ .17‬כמה פתרונות שלמים אי‪-‬שליליים יש לאי‪-‬השוויון‪? x1  x 2  x 3  ...  x n  k :‬‬
‫‪72‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .18‬בכמה דרכים (שונות) ניתן לפזר ‪ k‬כדורים זהים ב‪ n -‬תאים שונים‪ ,‬כאשר‬
‫בכל תא יהיה לפחות כדור אחד ?‬
‫‪ .19‬כמה פתרונות טבעיים יש למשוואה‪? x1  x 2  x 3  ...  x n  k :‬‬
‫‪ .21‬בכמה דרכים (שונות) ניתן לפזר ‪ 06‬כדורים זהים ב‪ 1 -‬תאים שונים‪ ,‬כאשר‪:‬‬
‫בתא השני יהיו לפחות ‪ 2‬כדורים‪ ,‬בתא השלישי יהיו לפחות ‪ 0‬כדורים ובתא‬
‫הרביעי יהיו לפחות ‪ 9‬כדורים ?‬
‫‪ .21‬כמה פתרונות שלמים יש למשוואה‪ , x1  x 2  x 3  x 4  20 :‬המקיימים‪:‬‬
‫‪? 5  x 4  20 , 2  x 3  20 , 3  x 2  20 , 0  x1  20‬‬
‫‪ .22‬בתכנית אל"צ (אקדמיה לפני צבא) לומדים לתואר במדעי המחשב משך ‪9‬‬
‫שנים‪.‬‬
‫א‪ .‬בכמה דרכים ניתן לבחור ועד של ‪ 46‬תלמידים ליצוג תלמידי אל"צ מכל‬
‫‪ 9‬המחזורים (השנים)‪ ,‬כאשר הדגש הוא על כמה נציגים נבחרו מכל‬
‫מחזור ולא על מי הם הנציגים עצמם ?‬
‫ב‪ .‬בכמה דרכים ניתן לבחור את הוועד הנ"ל‪ ,‬אם על הוועד לכלול‪ :‬לפחות‬
‫תלמיד אחד משנה א'‪ ,‬לפחות תלמיד אחד משנה ב'‪ ,‬לפחות שני‬
‫תלמידים משנה ג'‪ ,‬לפחות תלמיד אחד משנה ד' ולפחות שני תלמידים‬
‫משנה ה' ?‬
‫‪71‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫טבלה מסכמת ‪-‬‬
‫מספר הדרכים לבחירת ‪ k‬איברים מתוך ‪ n‬איברים‪:‬‬
‫ללא חזרות‬
‫עם חשיבות לסדר‬
‫ללא חשיבות לסדר‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n  k ‬‬
‫עם חזרות‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫(משפט ‪)2‬‬
‫(משפט ‪)1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ n 1 k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n 1 ‬‬
‫(משפט ‪)3‬‬
‫(משפט ‪)5‬‬
‫טבלה מסכמת ‪-‬‬
‫מספר הדרכים לחלוקת ‪ k‬כדורים ל‪ n -‬תאים שונים‪:‬‬
‫בכל תא (לא ריק)‬
‫כדור אחד‬
‫הכדורים שונים‬
‫הכדורים זהים‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n  k ‬‬
‫ללא הגבלה על מספר‬
‫הכדורים בתא‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫(משפט ‪)2‬‬
‫(משפט ‪)1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ n 1 k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n 1 ‬‬
‫(משפט ‪)3‬‬
‫(משפט ‪)5‬‬
‫‪79‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫קומבינטוריקה – כללי מניה מתקדמים ‪-‬‬
‫תרגיל בית מס' ‪7‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו את המשפט האומר כי מספר התמורות עם חזרות של‬
‫‪ k1  k 2  ...  k m  n‬עצמים‪ ,‬שמתוכם‪ k 1 :‬הם עצמים זהים מסוג ‪,4‬‬
‫‪ k 2‬הם עצמים זהים מסוג ‪ k m , ... ,0‬הם עצמים זהים מסוג ‪ ,m‬הוא‪:‬‬
‫‪k  k 2  ...  k m ! ‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪. 1‬‬
‫! ‪k 1!k 2 !...  k m‬‬
‫! ‪k 1!k 2 !...  k m‬‬
‫‪ .2‬כמה מילים בנות ‪ 1‬אותיות ניתן ליצור מהאלפבית האנגלי (אותיות‬
‫קטנות בלבד)‪ ,‬כאשר‪:‬‬
‫א‪ .‬מותר שבמילה אחת תופיע אותה אות יותר מפעם אחת ?‬
‫ב‪ .‬אסור שבמילה אחת תופיע אותה אות יותר מפעם אחת ?‬
‫‪ .3‬בכמה דרכים ניתן לסדר את אותיות המילה‪? MISSISSIPPI :‬‬
‫‪ .4‬על מדף מונחים ‪ 8‬ספרים שונים בטורקית‪ 7 ,‬ספרים שונים בפלמית ו‪9 -‬‬
‫ספרים שונים בפינית‪.‬‬
‫א‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לבחור ספר אחד ?‬
‫ב‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לבחור ‪ 2‬ספרים – אחד מכל שפה ?‬
‫ג‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן ליצור שורה של ‪ 2‬ספרים (עם חשיבות לסדר)‪,‬‬
‫באופן שבדיוק שפה אחת לא תהיה מיוצגת ?‬
‫ד‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לסדר את הספרים על מדף אחר‪ ,‬כך שכל‬
‫הספרים באותה שפה יימצאו זה לצד זה ?‬
‫ה‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לסדר את הספרים בשורה אחת‪ ,‬אם אין‬
‫חשיבות לסדר הספרים הכתובים באותה שפה ?‬
‫‪ 44 .5‬השחקנים של קבוצת הכדורגל 'עירוני באר‪-‬טוביה' רוצים להצטלם בשתי‬
‫שורות‪ ,‬כאשר ‪ 0‬שחקנים עומדים בשורה האחורית ו‪ 9 -‬עומדים בשורה‬
‫הקדמית‪ .‬אם השוער (המהווה חלק מה‪ )44 -‬צריך לעמוד במרכזה של‬
‫השורה הקדמית‪ ,‬בכמה אופנים הם יכולים להסתדר לפני המצלמה ?‬
‫‪ .6‬בכמה דרכים שונות ניתן להרכיב ועדה של שני גברים ושלוש נשים מתוך‬
‫קבוצה של ארבעה גברים ושש נשים‪ ,‬אם ידוע כי יש זוג אחד (גבר ואישה)‬
‫שאינם יכולים להיות יחד בוועדה ?‬
‫‪ .7‬מטילים ‪ n‬קוביות משחק הוגנות‪.‬‬
‫א‪ .‬אם הקוביות שונות‪ ,‬כמה תוצאות שונות תיתכנה ?‬
‫ב‪ .‬אם הקוביות זהות‪ ,‬כמה תוצאות שונות תיתכנה ?‬
‫‪70‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .8‬בכנסת ישראל החליטו לצוות ‪ 06‬עוזרים פרלמנטרים ל‪ 9 -‬ח"כים‪.‬‬
‫א‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לעשות זאת‪ ,‬ללא מגבלות כלשהן ?‬
‫ב‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לעשות זאת‪ ,‬אם שני ח"כים מקבלים ‪ 7‬עוזרים‬
‫פרלמנטרים (כל אחד) ו‪ 2 -‬ח"כים מקבלים ‪ 0‬עוזרים פרלמנטרים (כל‬
‫אחד) ?‬
‫ג‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לעשות זאת‪ ,‬אם כל ח"כ מקבל ‪ 1‬עוזרים‬
‫פרלמנטרים ?‬
‫‪ .9‬קרן מלגות מעוניינת לחלק מלגות ל‪ 46 -‬סטודנטים בערך כולל של‬
‫‪.₪ 46666‬‬
‫א‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לבצע זאת‪ ,‬אם ערך כל מלגה הוא מספר טבעי‬
‫של ‪? ₪‬‬
‫ב‪ .‬בכמה דרכים שונות ניתן לבצע זאת‪ ,‬אם ערך כל מלגה הוא כפולה‬
‫שלמה חיובית של ‪? ₪ 4666‬‬
‫‪ .11‬נתון‪ , x  y  z  w  10 :‬כאשר‪. x, y, z, w :‬‬
‫א‪ .‬כמה פתרונות שונים יש למשוואה זו ?‬
‫ב‪ .‬כמה פתרונות שונים יש למשוואה זו‪ ,‬אם ידוע כי ‪ x‬מספר אי‪-‬זוגי ?‬
‫‪ .11‬נתון אוסף בן ‪ 2n‬עצמים‪ ,‬אשר ‪ n‬מתוכם זהים ו‪ n -‬מתוכם שונים זה מזה‪.‬‬
‫בכמה דרכים שונות ניתן ליצור תת‪-‬אוספים בני ‪ n‬עצמים מתוך ‪ 2n‬העצמים‬
‫הנ"ל ?‬
‫שאלות‪ 12-13 :‬מתייחסות לשרטוט הבא‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .12‬בכמה דרכים שונות‪ ,‬בכוונים מעלה וימינה בלבד‪ ,‬ניתן להגיע מהנקודה ‪A‬‬
‫לנקודה ‪? B‬‬
‫‪ .13‬אם הקואורדינטות של הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הן‪  0, 0  :‬ו‪  4, 4  -‬בהתאמה‪ .‬בכמה‬
‫דרכים שונות‪ ,‬בכוונים מעלה וימינה בלבד‪ ,‬העוברות דרך הנקודה‪,  2, 2  :‬‬
‫ניתן להגיע מהנקודה ‪ A‬לנקודה ‪? B‬‬
‫‪ .14‬נתונה הקבוצה‪ . A  1,2,3,..., n :‬בכמה דרכים שונות ניתן לבחור מתוכה ‪k‬‬
‫מספרים שונים‪ ,‬באופן שאין ביניהם שני מספרים עוקבים ?‬
‫בהצלחה!‬
‫‪77‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫הבינום של ניוטון והוכחת זהויות משיקולים קומבינטוריים‬
‫‪ a, b ‬כלשהם‪.‬‬
‫משפט (הבינום של ניוטון)‪ :‬יהיו‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪:  a  b      a k b n k     a n k bk‬‬
‫‪k 0  k ‬‬
‫‪k 0  k ‬‬
‫‪. n ‬‬
‫הוכחה קומבינטורית‪:‬‬
‫מכל גורם‪ a  b  :‬במכפלה‪ a  b  :‬בוחרים את ‪ a‬או את ‪.b‬‬
‫קיימת התאמה בזוגות (פונקציה חח"ע ועל) בין קבוצת כל הבחירות האפשריות‬
‫לבין קבוצת כל המחרוזות באורך ‪ ,n‬המורכבות מהאותיות‪ a :‬ו‪.b -‬‬
‫נקבץ יחד את כל המחוברים שבהם ‪ k‬מהגורמים הם ‪ a‬ו‪ n  k -‬האחרים הם ‪.b‬‬
‫כל מחובר כזה הוא מהצורה‪ . a k b n k :‬מספר המחוברים הללו הוא כמספר כל‬
‫‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪(   ‬עפ"י‬
‫המחרוזות הכוללות ‪ k‬פעמים ‪ a‬ו‪ n  k -‬פעמים ‪ ,b‬שהוא‪:‬‬
‫!‪ k   n  k !k‬‬
‫‪n‬‬
‫משפט ‪ 3‬או לחילופין – עפ"י משפט ‪ .)4‬תרומתם של איברים אלו לסכום הכולל‬
‫‪n‬‬
‫היא‪ ,‬אפוא‪ ,  a k b n  k :‬אבל ‪ k‬נע בין ‪ 6‬ל‪ ,n -‬ומכאן נובעת נכונות המשפט‪ .‬‬
‫‪k‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬נוכיח משיקולים אלגבריים וקומבינטוריים את הזהויות הבאות‪:‬‬
‫‪n n‬‬
‫א‪      1 .‬‬
‫‪0  n‬‬
‫‪n  n ‬‬
‫‪   ‬‬
‫ב‪  n .‬‬
‫‪1   n  1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪ ‬א‪ .‬הוכחה אלגברית‪ 0   0! n!  1   n   n! 0! :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה קומבינטורית‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה בת ‪ n‬איברים‪ -   .‬מספר תת‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫הקבוצות של ‪ A‬בגודל ‪ – 0‬יש רק אחת כזו‪ -   .  :‬מספר תת‪-‬‬
‫‪n‬‬
‫□‬
‫הקבוצות של ‪ A‬בגודל ‪ – n‬יש רק אחת כזו‪.A :‬‬
‫‪78‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪n‬‬
‫‪ n ‬‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫! ‪ 1  1! n  1‬‬
‫ב‪ .‬הוכחה אלגברית‪ n  1  n  1 ! 1! :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה קומבינטורית‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה בת ‪ n‬איברים‪ -   .‬מספר תת‪-‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪ - ‬מספר תת‪-‬הקבוצות‬
‫הקבוצות של ‪ A‬בגודל ‪ – 1‬יש ‪ n‬כאלה‪ .‬‬
‫‪ n  1‬‬
‫של ‪ A‬בגודל ‪ – n  1‬יש ‪ n‬כאלה (בכל בחירה‪/‬יצירה של תת‪-‬קבוצה‬
‫□‬
‫כזו‪ ,‬נשמיט איבר אחד מ‪ ,A -‬כדי לקבלה)‪.‬‬
‫‪n  n ‬‬
‫‪ .2‬נוכיח משיקולים קומבינטוריים כי‪ :‬‬
‫‪. 0  k  n :    ‬‬
‫‪k n  k‬‬
‫‪ ‬הוכחה‪ :‬תהי ‪ A  1,2,3,..., n‬קבוצה‪ .‬אגף שמאל סופר את כל תת‪-‬‬
‫הקבוצות של ‪ A‬בגודל ‪ .k‬אגף ימין סופר את כל תת‪-‬הקבוצות של ‪A‬‬
‫בגודל ‪ . n  k‬נסמן ב‪ A k -‬את אוסף כל תת‪-‬הקבוצות של ‪ A‬בגודל ‪ k‬וב‪-‬‬
‫‪ A n k‬את אוסף כל תת‪-‬הקבוצות של ‪ A‬בגודל ‪ . n  k‬נראה כי‪:‬‬
‫‪ . A k  A n k‬כדי להראות זאת‪ ,‬מספיק להראות כי קיימת פונקציית‬
‫שקילות‪/‬פונקציה הפיכה (חח"ע ועל)‪ . f : A k  A n k :‬נגדיר פונקציה זו‬
‫באופן הבא‪ . B  A k : f Bk   A \ Bk :‬ברור כי‪ . A \ B k  A n k :‬במילים‪:‬‬
‫לכל תת‪-‬קבוצה בגודל ‪ k‬של ‪ A‬נתאים את תת‪-‬הקבוצה המשלימה אותה‬
‫ל‪( .A -‬בדקו כי ‪ f‬זו היא אכן פונקציית שקילות‪/‬פונקציה הפיכה‪ ).‬מכאן‬
‫‪n  n ‬‬
‫נובע ש‪ , A k  A n k :‬ולכן‪ :‬‬
‫□‬
‫‪.    ‬‬
‫‪k n  k‬‬
‫‪ .3‬נוכיח משיקולים קומבינטוריים את זהות פסקל‪:‬‬
‫‪ n   n   n  1‬‬
‫‪     ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 1  k  n : ‬‬
‫‪ k  1  k   k ‬‬
‫‪ ‬הוכחה‪ :‬נרצה לבחור ועד בן ‪ k‬אנשים מתוך ‪ n‬גברים ואישה אחת (ללא‬
‫חזרות וללא חשיבות לסדר)‪.‬‬
‫אגף ימין סופר זאת מבלי להתחשב במין הנבחרים – בחירת ועד בן ‪k‬‬
‫אנשים מתוך ‪ n  1‬אנשים‪.‬‬
‫באגף שמאל מבחינים בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ n ‬‬
‫א‪ .‬בחירת ועד הכולל אישה – זאת ניתן לעשות ב‪ -‬‬
‫‪ ‬אפשרויות‪.‬‬
‫‪ k 1‬‬
‫‪n‬‬
‫ב‪ .‬בחירת ועד נטול אישה – זאת ניתן לעשות ב‪   -‬אפשרויות‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ n  n‬‬
‫עפ"י עקרון הסכום‪ ,‬מספר האפשרויות הכולל הוא‪    :‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ k  1  k ‬‬
‫אכן‪ ,‬שני האגפים סופרים את אותו מספר אפשרויות‪.‬‬
‫‪75‬‬
‫□‬
‫רפאל ברכאן‬
‫ תשע"ג‬,2 ‫מתמטיקה בדידה‬
:‫ בהתבסס על זהות פסקל‬,‫הוכחה אלגברית של הבינום של ניוטון‬
.n ‫באינדוקציה על‬
1
n
1
 a  b      a k bnk  a  b :n=1 – ‫בסיס האינדוקציה‬
k 0  k 
:‫ נשים לב כי‬.n+1 ‫ ) ונראה נכונות עבור‬n  1 ( n -‫ נניח נכונות ל‬:‫שלב האינדוקציה‬
n
n
n 1
n
 a  b    a  b  a  b  induction hypothesis  a  b     a k b n k 
k 0  k 
n
n
n 1 n
 n 

n
n
 
    a k 1b n  k     a k b n k 1    a n 1     a k 1b n k  
k 0  k 
k 0  k 
k 0  k 
 n 

n
n
 n 

n
 n  i n i 1 n  n  k n k 1
   b n 1     a k b n  k 1   i  k 1  a n 1  b n 1    
   a b

a b
0
k
i

1
k
k

1
i

1
k

1










k i
n
n
 n  k n k 1
n
  a n 1  b n 1    
a b
    a k b n k 1 

k 1  k  1 
k 1  k 
n
 n   n  
 n  1 n 1 n  n  1 k n  k 1  n  1 n 1
  a n 1  b n 1    a k b n  k 1 



    Pascal equation  0  a    k  a b
b 
k 1
k 1 



 0 
 k  1  k  
n 1 n  1

 k n 1 k
 
a b
k 0  k 
□
n
n
.     2 n :‫ נוכיח משיקולים אלגבריים וקומבינטוריים כי‬.4
k 0  k 
. a  b  1 :‫ מקרה פרטי של הבינום של ניוטון בהצבת‬:‫ הוכחה אלגברית‬
n
n
n
n
n
1  1    1k1n k  2 n     :‫אכן‬
.a  b 1 n n

 a  b     nk a k bn  k
k 0  k 
k 0  k 
k 0
n
-‫ מספר תת‬-   .‫ איברים‬n ‫ קבוצה בת‬A ‫ תהי‬:‫הוכחה קומבינטורית‬
k
n
n
.A ‫הקבוצות של‬-‫ מספר (כל) תת‬-    .k ‫ בגודל‬A ‫הקבוצות של‬
k 0  k 
□ . 2 n :‫) הוא‬A( ‫ איברים‬n ‫הקבוצות של קבוצה בת‬-‫הוכחנו כי מספר תת‬
n
n
.  (1) k    0 :‫ נוכיח משיקולים אלגבריים וקומבינטוריים כי‬.5
k 0
k
:‫ מקרה פרטי של הבינום של ניוטון בהצבת‬:‫ הוכחה אלגברית‬
:‫ אכן‬. a  1 , b  1
n
n
n
n
n
k
k
a  1 , b  1  n n
1  1      1 1n k  0      1


 a  b     nk a k bn  k
k 0  k 
k 0  k 
k 0
86
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫הוכחה קומבינטורית‪ :‬מספיק להוכיח כי‪:‬‬
‫‪n n n‬‬
‫‪n n n‬‬
‫‪ .          ...           ...‬הוכחנו לעיל (דוגמא ‪ )4‬כי‪:‬‬
‫‪0  2 4‬‬
‫‪1   3   5 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪   2 n‬‬
‫‪:‬‬
‫כי‬
‫להוכיח‬
‫מספיק‬
‫ולכן‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 0  ‬‬
‫‪k 0  k ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫אחרות‪ ,‬מספיק להוכיח כי‪(     2 n 1 :‬כאשר ידוע כי‪:‬‬
‫‪k  0  2k ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.) k  n :    0‬‬
‫‪k‬‬
‫אגף שמאל סופר את מספר תת‪-‬הקבוצות בגודל זוגי של קבוצה בת ‪n‬‬
‫איברים‪ .‬באגף ימין – לכל אחד מ‪ n -‬איברי הקבוצה‪ ,‬פרט ל"אחרון"‪ ,‬שתי‬
‫אופציות‪ :‬להשתייך לתת‪-‬קבוצה או לא להשתייך אליה‪ ,‬בעוד לאיבר‬
‫"האחרון" – רק אופציה אחת‪ :‬אם כבר נבחר מספר זוגי של איברים הוא‬
‫לא ישתייך אליה‪ ,‬אחרת – הוא ישתייך אליה‪ .‬בסה"כ נקבל ‪ 2 n 1‬תת‪-‬‬
‫□‬
‫קבוצות‪ .‬אכן‪ ,‬שני האגפים סופרים את אותו מספר תת‪-‬קבוצות‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫עבור ‪ k‬זוגי‪ ,‬או במילים‬
‫‪n‬‬
‫‪ 2n ‬‬
‫‪ .6‬נוכיח משיקולים קומבינטוריים כי‪.       :‬‬
‫‪k 0  k ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n  n ‬‬
‫‪ ‬הוכחה‪ :‬עפ"י הזהות‪ :‬‬
‫‪(    ‬דוגמא ‪ 2‬לעיל)‪ ,‬מספיק להוכיח כי‪:‬‬
‫‪k n  k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n  n   2n ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪ .   ‬נרצה לבחור משלחת בת ‪ n‬אנשים מתוך קבוצה‬
‫‪k  0  k  n  k ‬‬
‫‪n‬‬
‫בת ‪ 2n‬אנשים‪ ,‬המונה ‪ n‬גברים ו‪ n -‬נשים (ללא חזרות וללא חשיבות‬
‫לסדר)‪.‬‬
‫אגף ימין סופר את מספר האפשרויות לכך עפ"י הגדרה (בחירת ‪n‬‬
‫איברים מתוך ‪ 2n‬איברים ללא חזרות וללא חשיבות לסדר)‪.‬‬
‫באגף שמאל – נבחר תחילה ‪ k‬נשים למשלחת מתוך ‪ n‬הנשים הנתונות‪,‬‬
‫ונשלים את המשלחת בבחירת ‪ n  k‬גברים מתוך ‪ n‬הגברים הנתונים‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n  n ‬‬
‫‪ k‬עצמו יכול לקבל כל ערך שבין ‪ 0‬לבין ‪ ,n‬ומכאן נקבל‪ :‬‬
‫‪.   ‬‬
‫‪k  0  k  n  k ‬‬
‫□‬
‫אכן‪ ,‬שני האגפים סופרים את אותו מספר אפשרויות‪.‬‬
‫‪84‬‬
‫‪n‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ n  k   n  n  m ‬‬
‫‪ .7‬נוכיח משיקולים קומבינטוריים כי‪ :‬‬
‫‪. 0  m  k  n :      ‬‬
‫‪ k  m   m  k  m ‬‬
‫‪ ‬הוכחה‪ :‬נרצה לבחור מועצה בת ‪ k‬סטודנטים מתוך ‪ n‬סטודנטים‪ ,‬ומתוך‬
‫המועצה הנבחרת נרצה לבחור ‪ m‬סטודנטים לוועד (בחירות ללא חשיבות‬
‫לסדר וללא חזרות)‪.‬‬
‫אגף שמאל סופר את מספר האפשרויות לכך בסדר הנ"ל‪.‬‬
‫באגף ימין נבצע את הבחירות בסדר הפוך‪ :‬נבחר תחילה את ‪ m‬חברי‪-‬‬
‫‪n ‬‬
‫הוועד – ב‪   -‬אפשרויות‪ ,‬לאחר מכן נשלים את בחירת ‪ k‬חברי‬
‫‪m‬‬
‫‪n  m‬‬
‫המועצה – ב‪ -‬‬
‫‪ ‬אפשרויות‪ .‬אכן‪ ,‬שני האגפים סופרים את אותו‬
‫‪k  m‬‬
‫□‬
‫מספר אפשרויות‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ m  n   m  n ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ .8‬נוכיח משיקולים קומבינטוריים כי‪ :‬‬
‫‪.   ‬‬
‫‪i  0  i  k  i ‬‬
‫‪ k ‬‬
‫‪ ‬הוכחה‪ :‬נרצה לבחור משלחת בת ‪ k‬אנשים מתוך קבוצה בת ‪m  n‬‬
‫אנשים‪ ,‬המונה ‪ m‬גברים ו‪ n -‬נשים (ללא חשיבות לסדר וללא חזרות)‪.‬‬
‫אגף ימין סופר את מספר האפשרויות לכך עפ"י הגדרה (בחירת ‪k‬‬
‫איברים מתוך ‪ m+n‬איברים ללא חזרות וללא חשיבות לסדר)‪.‬‬
‫באגף שמאל – נבחר תחילה ‪ i‬גברים למשלחת מתוך ‪ m‬הגברים‬
‫הנתונים‪ ,‬ונשלים את המשלחת בבחירת ‪ k  i‬נשים מתוך ‪ n‬הנשים‬
‫הנתונות‪ i .‬עצמו יכול לקבל כל ערך שבין ‪ 0‬לבין ‪ ,k‬ומכאן‬
‫‪k‬‬
‫‪ m  n ‬‬
‫נקבל‪ :‬‬
‫‪ .   ‬אכן‪ ,‬שני האגפים סופרים את אותו מספר‬
‫‪i  0  i  k  i ‬‬
‫□‬
‫אפשרויות‪.‬‬
‫‪ 2n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .9‬נוכיח משיקולים קומבינטוריים כי‪.    2   n 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬הוכחה‪ :‬נרצה לבחור זוג איברים מתוך ‪ 2n‬איברים נתונים (ללא חשיבות‬
‫לסדר וללא חזרות)‪.‬‬
‫אגף שמאל סופר את מספר האפשרויות לכך עפ"י הגדרה (בחירת ‪0‬‬
‫איברים מתוך ‪ 2n‬איברים ללא חזרות וללא חשיבות לסדר)‪.‬‬
‫באגף ימין נפעל עפ"י עקרון הסכום – נחלק את ‪ 2n‬האיברים לשתי‬
‫קבוצות בנות ‪ n‬איברים כל אחת‪ ,‬נחשב את מספר הזוגות "הפנימיים"‬
‫‪n‬‬
‫בכל אחת מהן (ללא חשיבות לסדר)‪ ,   :‬את מספר הזוגות "המעורבים"‬
‫‪2‬‬
‫‪n n‬‬
‫(בהם האיברים הם מקבוצות שונות)‪ ,       n 2 :‬ונחבר את התוצאות‬
‫‪1  1 ‬‬
‫‪ 2n ‬‬
‫‪n‬‬
‫לקבלת סה"כ מספר הזוגות הרצוי‪ .    2   n 2 :‬אכן‪ ,‬שני האגפים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫□‬
‫סופרים את אותו מספר אפשרויות‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪n‬‬
‫‪ k  i   n  k  1‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ .11‬נוכיח משיקולים קומבינטוריים כי‪ :‬‬
‫‪.  ‬‬
‫‪i 0  k ‬‬
‫‪ k 1 ‬‬
‫‪ ‬הוכחה‪ :‬אגף ימין סופר את מספר האפשרויות לפיזור ‪ n‬כדורים זהים ב‪-‬‬
‫‪ k+2‬תאים שונים (בקרב ‪ k+1‬מחיצות פנימיות זהות)‪.‬‬
‫נראה כי אגף שמאל סופר את אותו מספר אפשרויות‪ .‬נבחין‪ ,‬לשם כך‪,‬‬
‫בין ‪ n+1‬מקרים שונים (ביחס למספר הכדורים בתא הראשון‪ ,‬למשל)‪:‬‬
‫‪ ‬בתא הראשון ‪ 0‬כדורים – מספר האפשרויות לפיזור אותם כדורים בין‬
‫‪k  n‬‬
‫אותם תאים‪ :‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ k ‬‬
‫‪ ‬בתא הראשון כדור אחד – מספר האפשרויות לפיזור אותם כדורים בין‬
‫‪ k  n  1‬‬
‫אותם תאים‪ :‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ k ‬‬
‫‪ ‬בתא הראשון ‪ 2‬כדורים – מספר האפשרויות לפיזור אותם כדורים בין‬
‫‪ k  n  2‬‬
‫אותם תאים‪ :‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪ ‬בתא הראשון ‪ n‬כדורים ‪ -‬מספר האפשרויות לפיזור אותם כדורים בין‬
‫‪k‬‬
‫אותם תאים‪.   :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ k  n   k  n  1  k  n  2 ‬‬
‫‪k n k  i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ k ‬‬
‫עפ"י עקרון הסכום‪  ...   k     k  :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  i 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫□‬
‫אכן‪ ,‬שני האגפים סופרים את אותו מספר אפשרויות‪.‬‬
‫תרגיל כיתה‪:‬‬
‫הוכיחו משיקולים אלגבריים וקומבינטוריים כי‪:‬‬
‫‪ n  1‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪  (k  1)‬‬
‫א‪ .‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ k ‬‬
‫‪ k  1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ 2n ! ‬‬
‫!‪2n  n‬‬
‫‪ 0 :‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ k  k!  (n  1)!1‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪82‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫משולש פסקל‬
‫‪ n   n   n  1‬‬
‫‪     ‬‬
‫באמצעות זהות פסקל‪ :‬‬
‫‪( 1  k  n : ‬דוגמא ‪ 3‬דלעיל)‪ ,‬ניתן‬
‫‪ k  1  k   k ‬‬
‫לבנות את משולש פסקל‪ .‬משולש פסקל הוא כלי שימושי לחישוב המקדמים‬
‫הבינומיים בדרך קלה ורקורסיבית‪ .‬כל שורה במשולש מיוצגת ע"י ‪n   0‬‬
‫וכל עמודה בה (משמאל לימין) מיוצגת ע"י ‪ , k   0‬כך ש‪. 0  k  n :‬‬
‫‪n‬‬
‫אם נסמן לכל ‪ n, k   0‬כך ש‪ , f  n, k  :   : k  n -‬הרי שנקבל‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  n, k  1  f  n, k , n, k ‬‬
‫‪. f  n  1, k   ‬‬
‫‪, n   0   k  0  k  n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫את בסיסי הרקורסיה ניתן לקבל מהסתכלות בקודקוד העליון של המשולש‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫שם נמצא המקדם הבינומי‪ ,    1 :‬ובכל שורה אחרת ( ‪ ) n ‬האיבר השמאלי‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫ביותר יהיה המקדם הבינומי‪    1 :‬ואילו האיבר הימני ביותר יהיה המקדם‬
‫‪0 ‬‬
‫‪n‬‬
‫הבינומי‪ .    1 :‬כל איבר אחר במשולש הוא סכום של שני המקדמים‬
‫‪n‬‬
‫הבינומיים שנמצאים בשורה מעליו‪ ,‬משני צידיו‪ .‬כדי לחשב את ערכו של המקדם‬
‫‪n‬‬
‫הבינומי‪ ,   :‬יש להתמקד בשורה ה‪n -‬ית ( ‪ ) n  0‬ובמקום ה‪k -‬י בה‬
‫‪k‬‬
‫( ‪.) 0  k  n‬‬
‫למשל‪ ,‬משולש פסקל מסדר ‪:n=2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1   1‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪ 0   1‬‬
‫‪ 2  2  2‬‬
‫‪     ‬‬
‫‪ 0  1   2 ‬‬
‫נשים לב כי בשורה ה‪n-‬ית במשולש נמצאים המקדמים של הביטוי‪ . a  b  :‬כך‪,‬‬
‫למשל‪ ,‬ערכי המקדמים הבינומיים בשורה‪ n  4 :‬במשולש הם (משמאל לימין)‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .1,4,6,4,1‬לכן‪. a  b  a 4  4a 3 b  6a 2 b 2  4ab 3  b 4 :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪81‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫להלן משולש פסקל מסדר ‪:n=16‬‬
‫תכונות נבחרות של משולש פסקל‪:‬‬
‫‪ .1‬משולש פסקל מסדר ‪( n‬‬
‫מהספרה ‪ 1‬בלבד‪.‬‬
‫‪ ) n ‬הוא משולש שווה שוקיים ששוקיו מורכבות‬
‫‪ .2‬האלכסון הצמוד לשוק במשולש פסקל מורכב מסדרת המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫‪ .3‬האלכסון הצמוד לאלכסון הצמוד לשוק במשולש פסקל מורכב מסדרת‬
‫‪n  n  1‬‬
‫‪.) 1,3,6,10,15,...,‬‬
‫המספרים המשולשיים ( ‪,...‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  n ‬‬
‫‪. 0  k  n :    ‬‬
‫‪ .4‬המשולש סימטרי ביחס לגובה לבסיסו – אכן‪ :‬‬
‫‪k n  k‬‬
‫‪ .5‬סכום המספרים בכל שורה ‪n‬ית ( ‪ ) n   0‬במשולש פסקל הוא ‪. 2 n‬‬
‫‪ .6‬כל שורה ‪n‬ית ( ‪ ) n  2‬במשולש פסקל מורכבת מסדרה אונימודלית (סדרה‬
‫סופית העולה תחילה ואח"כ יורדת)‪.‬‬
‫‪ .7‬הקשר בין משולש פסקל לבין סדרת פיבונאצ'י מודגם להלן‪:‬‬
‫‪89‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫תרגילי כיתה‪:‬‬
‫‪ .1‬פתחו את הביטויים‪. 2x  3 , x  y :‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .2‬מהו המקדם של ‪ x 7 y 4‬בפיתוח של‪? x  y  :‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ .3‬מהו המקדם של ‪ x 4 y7‬בפיתוח של‪? x  y  :‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ .4‬כמה איברים רציונליים יש בפיתוח של‪:‬‬
‫‪80‬‬
‫‪‬‬
‫‪80‬‬
‫‪34 7‬‬
‫‪‬‬
‫?‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫פיתוח מולטינומי‬
‫משפט‪ :‬יהיו‬
‫‪n! i j k‬‬
‫‪ a, b,c ‬כלשהם‪a b c .‬‬
‫!‪0 i, j,k n i! j!k‬‬
‫‪‬‬
‫‪: a  b  c  ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪i  j k  n‬‬
‫הוכחה‪ :‬משיקולים קומבינטוריים; נשים לב כי‪:‬‬
‫‪  a  b  c a  b  c a  b  c ...n times... a  b  c‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. a  b  c‬‬
‫מכפלה זו מורכבת מכל האיברים האפשריים שצורתם הכללית היא‪, a b c :‬‬
‫כאשר‪ . i  j  k  n :‬כל איבר מהצורה הזו מופיע‪ ,‬כאשר עם פתיחת הסוגריים‬
‫בוחרים מתוך ‪ i‬סוגריים את הגורם ‪ ,a‬מתוך ‪ j‬סוגריים את הגורם ‪ b‬ומתוך ‪ k‬סוגריים‬
‫את הגורם ‪ .c‬כל בחירה כזו היא‪ ,‬למעשה‪ ,‬סידור של ‪a i‬ים‪b j ,‬ים ו‪c k -‬ים בשורה‪,‬‬
‫!‪n‬‬
‫(עפ"י משפט ‪ )4‬וזהו‬
‫כאשר‪ . i  j  k  n :‬כידוע‪ ,‬מספר סידורים זה הוא‪:‬‬
‫!‪i! j!k‬‬
‫‪j k‬‬
‫‪i‬‬
‫המקדם של ‪ a i b j c k‬בפיתוח של‪ . a  b  c :‬כדי לקבל את נכונות המשפט‪ ,‬נותר‬
‫לסכום את כל מספרי הסידורים הללו – כלומר‪ ,‬לעבור על כל האינדקסים‪k ,j ,i :‬‬
‫‪‬‬
‫המקיימים‪0  i, j, k  n  i  j  k  n :‬‬
‫‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫הערה‪ :‬כזכור‪ ,‬המקדם‪:‬‬
‫!‪i! j!k‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪.‬‬
‫גם‪ :‬‬
‫‪ i, j, k ‬‬
‫נקרא‪ :‬מקדם מולטינומי‪ .‬לעיתים הוא מסומן‬
‫תרגילי כיתה‪:‬‬
‫‪ .1‬מהו המקדם של ‪ xy 2 z 2‬בפיתוח של‪? x  y  z  :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .2‬מהו המקדם של ‪ x 3 y 2‬בפיתוח של‪? x  y  z  :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .3‬מהו מספר האיברים בפיתוח של‪? x  y  z  :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .4‬מהו סכום המקדמים בפיתוח של‪? x  y  z  w  :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪87‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫קומבינטוריקה – מקדמים בינומיים ומולטינומיים‪ ,‬הוכחת‬
‫זהויות משיקולים קומבינטוריים‪ -‬תרגיל בית מס' ‪8‬‬
‫‪.  3x  2y ‬‬
‫‪ .1‬מצאו את המקדם של ‪ x 5 y13‬בפיתוח הבינום של‬
‫‪18‬‬
‫‪ .2‬מצאו את המקדם של ‪ x 3 y 4‬בפיתוח הבינום של ‪.  2x  y2 ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .3‬מהו המקדם של ‪ x 2‬בפיתוח הבינום של ‪.  x  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬מצאו את המחובר הכולל את ‪ x11 y4‬בפיתוח המולטינום של‬
‫‪6‬‬
‫‪.  2x 3  3xy2  z 2 ‬‬
‫‪ .5‬בכל אחד מהספים הבאים הוכיחו את הזהות הנתונה‪:‬‬
‫בדרך אלגברית‬
‫‪.i‬‬
‫בדרך קומבינטורית‬
‫‪.ii‬‬
‫‪n n‬‬
‫א‪   3 .‬‬
‫‪k‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪n-2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n-k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ k  k  1  k   n  n  1 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪k 2‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪2  n ‬‬
‫‪n  m n  m‬‬
‫‪    ‬‬
‫ג‪  m  n  m  .‬‬
‫‪ 2  2   2 ‬‬
‫‪ 2  m  n‬‬
‫ד‪ .‬לכל ‪ n,e,f,g ‬כך ש‪ n  1  e  f  g -‬מתקיים‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  n 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ e  1, f , g   e, f  1, g   e, f , g  1  e, f , g ‬‬
‫‪ 2n  1‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪‬‬
‫ה‪  2 .‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .6‬הוכיחו כי‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪ 2n ! ‬‬
‫!‪2n n‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪. n  ,‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪88‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫עקרון ההכלה וההדחה‬
‫משפט‪ :‬תהיינה‪ A1 , A 2 ,..., A n :‬קבוצות סופיות‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫‪ A j  A k  ...  (1) n 1 A1  A 2  ...  A n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1i  j k  n‬‬
‫‪Aj ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1i  j n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  Ai ‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪A‬‬
‫‪i 1‬‬
‫הוכחה‪ :‬על‪-‬מנת להראות את השוויון בין שני האגפים במשפט‪ ,‬נתבונן באיבר‬
‫‪n‬‬
‫‪ x   A i‬ונראה שבאגף ימין של השוויון ‪ x‬נספר בדיוק פעם אחת כנדרש‪.‬‬
‫‪i 1‬‬
‫נניח ש‪ x -‬שייך בדיוק ל‪ t -‬מתוך הקבוצות‪ , A1 , A 2 ,..., A n :‬כאשר‪. 1  t  n :‬‬
‫‪t‬‬
‫מספר הדרכים לבחור ‪ r‬קבוצות מתוך אותן ‪ t‬הקבוצות הוא‪ .   :‬לכן‪ ,‬אם ‪x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪t‬‬
‫שייך ל‪ t -‬קבוצות‪ ,‬הוא שייך גם לכל אחד מ‪   -‬החיתוכים של ‪ r‬הקבוצות‬
‫‪r‬‬
‫האלה‪ .‬לכן‪ ,‬בסה"כ ‪ x‬נספר באגף ימין‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ +   ‬פעמים במחובר ‪.  A i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪   ‬פעמים במחובר ‪ A j‬‬
‫‪1i  j n‬‬
‫‪ 2‬‬
‫קבוצות‪.‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪ +  ‬פעמים במחובר ‪  A i  A j  A k‬שכולל את כל החיתוכים של‬
‫‪1i  j k  n‬‬
‫‪ 3‬‬
‫שלוש קבוצות‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫‪A‬‬
‫שכולל את כל החיתוכים של שתי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫וכך הלאה עד ל‪ (1) t 1   -‬פעמים במחובר ה‪. t -‬‬
‫‪t‬‬
‫בכל המחוברים הבאים‪ ,‬הכוללים חיתוכים של יותר מ‪ t -‬קבוצות‪ x ,‬אינו‬
‫נספר כלל (שכן אינו נמצא בחיתוכים אלה)‪.‬‬
‫בסה"כ קיבלנו שבאגף ימין ‪ x‬נספר‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t t  t ‬‬
‫‪i 1  t ‬‬
‫‪i t‬‬
‫‪i t‬‬
‫‪t 1  t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1    1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1  2   3 ‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 0‬‬
‫‪     ‬‬
‫‪  i1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪i t‬‬
‫‪ 1    1   1  0  1‬‬
‫‪i 0‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪n‬‬
‫אם ‪ , x   A i‬אזי הוא אינו נספר ממילא לא באגף ימין ולא באגף שמאל‪.‬‬
‫‪i 1‬‬
‫לפיכך‪ ,‬יש שוויון בין שני האגפים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪85‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫תרגילי כיתה מקדמיים‪:‬‬
‫‪ .1‬ב'כיתת השאנטי' כל תלמיד הוא בעל צמה או פירסינג בגבה‪ .‬ידוע כי ‪26‬‬
‫מתלמידי הכיתה הינם בעלי צמה וכי ל‪ 10 -‬מתוכם יש פירסינג בגבה‪ .‬אם ל‪-‬‬
‫‪ 06‬תלמידים יש צמה ופירסינג בגבה‪ ,‬כמה תלמידים בכיתה ?‬
‫‪ .2‬בקרב ‪ 466‬אמנים‪ 26 ,‬מנגנים‪ 09 ,‬מציירים ו‪ 8 -‬מנגנים ומציירים‪ .‬כמה מתוך‬
‫אותם אמנים אינם מנגנים ואינם מציירים ?‬
‫‪ .3‬א‪ .‬כמה מספרים בין ‪ 4‬ל‪ 2666 -‬אינם מתחלקים לא ב‪ 2 -‬ולא ב‪? 9 -‬‬
‫ב‪ .‬כמה מספרים בין ‪ 4‬ל‪ 2666 -‬אינם מתחלקים לא ב‪ ,2 -‬לא ב‪ 9 -‬ולא ב‪-‬‬
‫‪?7‬‬
‫‪ .4‬בכמה מספרים ‪-1‬ספרתיים יש לפחות ספרה אחת שהיא ‪ ,0‬לפחות ספרה‬
‫אחת שהיא ‪ 2‬ולפחות ספרה אחת שהיא ‪? 1‬‬
‫תרגיל‪ :‬כמה מספרים טבעיים הקטנים מ‪ 26 -‬זרים ל‪( ? 26 -‬תזכורת‪ :‬שני‬
‫מספרים טבעיים ‪ m‬ו‪ n -‬נקראים‪ :‬זרים אם"ם‪). gcd m, n   1 :‬‬
‫‪ ‬הגורמים הראשוניים של ‪ 30‬הם‪ .9 ,2 ,0 :‬נסמן‪:‬‬
‫‪. U : 1,2,3,...,30 , A 2 : n  U : 2 | n  , A 3 :  n  U : 3 | n  , A 5 :  n U : 5 | n‬‬
‫אנו מתבקשים לחשב את‪ . A2  A3  A5 :‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ 15 , A3 ‬‬
‫‪ 10 , A5 ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫עפ"י עקרון ההכלה וההדחה מתקיים‪:‬‬
‫‪A 2  A3  A5  U \  A 2  A 3  A5   U  A 2  A 3  A 5 ‬‬
‫‪. U  30 , A2 ‬‬
‫‪A 2  A 3  A5  D.M‬‬
‫‪ U   A 2  A3  A5  A 2  A 3  A 2  A5  A 3  A 5  A 2  A 3  A 5  ‬‬
‫‪30  15  10  6  5  3  2  1  8‬‬
‫‪30‬‬
‫‪5‬‬
‫‪23‬‬
‫‪30‬‬
‫‪A 2  A5   3‬‬
‫‪25‬‬
‫‪30‬‬
‫‪A 3  A5   2‬‬
‫‪35‬‬
‫‪30‬‬
‫‪A 2  A 3  A5 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪235‬‬
‫‪A 2  A3 ‬‬
‫‪‬‬
‫משפט ‪ -‬פונקציית אויילר‪( :‬ללא הוכחה)‬
‫יהי ‪ 2  n ‬כלשהו‪ .‬מספר המספרים הזרים ל‪ n -‬והקטנים ממנו נתון ע"י‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫הפונקציה הבאה‪ , n   n1  1  1  ...1   :‬כאשר‪:‬‬
‫‪ p1  p 2  p 3   p k ‬‬
‫‪ p1 , p 2 , p 3 ,..., p k‬הם הגורמים הראשוניים (בפירוק לגורמים ראשוניים) של ‪.n‬‬
‫(ההוכחה היא באמצעות עקרון ההכלה והדחה – הכללה של התרגיל האחרון‪).‬‬
‫‪ 1  1  1 ‬‬
‫‪ 1  1 ‬‬
‫דוגמאות‪. 30  301  1  1    8 , 100  1001  1    40 :‬‬
‫‪ 2  3  5 ‬‬
‫‪ 2  5 ‬‬
‫‪56‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫אי‪-‬סדר מלא (תמורות ללא נקודות שבת)‬
‫הגדרה‪ :‬תמורה של ‪ n‬מספרים מעל ‪ A  1,2,3,..., n‬נקראת‪ :‬אי‪-‬סדר מלא (או‪:‬‬
‫תמורה ללא נקודות שבת)‪ ,‬אם אף מספר אינו נמצא במקומו (הטבעי)‪.‬‬
‫‪123  123 ‬‬
‫‪ , ‬‬
‫דוגמא‪ :‬התמורות הבאות מעל הקבוצה‪ 1,2,3 :‬הן אי‪-‬סדר מלא‪ :‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ 231  312 ‬‬
‫התמורות הבאות מעל הקבוצה‪ 1,2,3 :‬אינן אי‪-‬סדר מלא‪:‬‬
‫‪ 123  123   123   123 ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 123   132   321  213 ‬‬
‫משפט‪ :‬מספר התמורות מעל ‪ A  1,2,3,..., n‬שהן אי‪-‬סדר מלא הוא‪:‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. n! 1     ...  ( 1)n ‬‬
‫‪n! ‬‬
‫!‪ 1! 2! 3‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫!‪1  n n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n! 1     ...  ( 1) n  ‬‬
‫הערה‪  0.37n! :‬‬
‫‪n! ‬‬
‫‪e‬‬
‫!‪ 1! 2! 3‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ב‪ A i -‬את קבוצת התמורות בהן המספר ‪ i‬נמצא במקומו הטבעי‪.‬‬
‫נשים לב כי‪ . A i  (n  1)! :‬באמצעות ‪ A i  A j‬נסמן את קבוצת התמורות בהן‬
‫המספרים ‪ i‬ו‪ j -‬נמצאים במקומותיהם הטבעיים‪ .‬נשים לב כי‪. A i  A j  (n  2)! :‬‬
‫באופן דומה נגדיר את ‪ A i  A j  A k‬ונקבל‪ A i  A j  A k  (n  3)! :‬וכן הלאה‪.‬‬
‫קבוצת התמורות שהן אי‪-‬סדר מלא היא‪ ,‬אפוא‪. A1  A 2  A 3  ...  A n :‬‬
‫עפ"י עקרון ההכלה וההדחה‪:‬‬
‫‪A1  A 2  A 3  ...  A n  U  A1  A 2  A 3  ...  A n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ n!  n(n  1)!   (n  2)!   (n  3)! ...  ( 1) n    1  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n!  1     ...  ( 1) n ‬‬
‫‪n! ‬‬
‫!‪ 1! 2! 3‬‬
‫תרגיל‪ :‬מזכירה מכניסה ‪ n‬מכתבים לתוך ‪ n‬מעטפות ממוענות‪ ,‬כל מכתב‬
‫למעטפה אחת‪ ,‬מבלי לקרוא את הכתובות‪ .‬מהו מספר האפשרויות שאף מכתב‬
‫לא יגיע ליעדו ?‬
‫‪ ‬מספר האפשריות שאף מכתב לא יגיע ליעדו שווה למספר התמורות של‬
‫‪n‬מספרים (מכתבים)‪ ,‬בהן אף מספר אינו רשום במקומו הטבעי‪ .‬לכן‪ ,‬מספר‬
‫האפשרויות האלה הוא כמספר מקרי אי‪-‬הסדר המלא של ‪ n‬איברים‪ ,‬והוא‪:‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. n! 1     ...  ( 1) n ‬‬
‫‪n! ‬‬
‫!‪ 1! 2! 3‬‬
‫‪54‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫קומבינטוריקה – עקרון ההכלה וההדחה ‪-‬‬
‫תרגיל בית מס' ‪9‬‬
‫‪ .1‬מטילים ‪ n‬קוביות משחק שונות‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו מספר התוצאות האפשריות להטלה זו ?‬
‫ב‪ .‬מהו מספר התוצאות האפשריות בהטלה זו‪ ,‬בהן מופיע כל אחד‬
‫מהמספרים‪ 4-0 :‬לפחות פעם אחת ?‬
‫‪ .2‬הוכיחו כי מספר האפשרויות לפזר ‪ n‬כדורים שונים ב‪ k -‬תאים שונים‪ ,‬באופן‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1  k ‬‬
‫‪n‬‬
‫שלפחות תא אחד נשאר ריק‪ ,‬הוא‪.   1  k  i  :‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪ .3‬בכמה דרכים ניתן לפזר ‪ 86‬כדורים זהים ב‪ 9 -‬תאים שונים‪ ,‬כך שבאף תא לא‬
‫יהיו יותר מ‪ 01 -‬כדורים ?‬
‫‪ .4‬נתונות ‪ 0‬קבוצות סופיות‪ A :‬ו‪ .B -‬נתון כי‪. A  n , B  m , m, n  N  0 :‬‬
‫כמה פונקציות ‪ f : A  B‬שהן על ‪ B‬קיימות ?‬
‫‪ .5‬הסיקו על‪-‬סמך השאלה הקודמת את זהות אויילר‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪: n!  n n  n  n  1     n  2      n  3  ...  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪ .6‬כמה פתרונות שלמים המקיימים‪ 1  x1 , x 2 , x3 ,..., x6  4 :‬יש למשוואה‪:‬‬
‫‪ 20‬‬
‫‪6‬‬
‫‪i‬‬
‫‪x‬‬
‫?‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ .7‬בכמה דרכים שונות ניתן לקבל את הסכום ‪ 18‬בסדרה של ‪ 1‬הטלות של‬
‫קוביית משחק ?‬
‫‪ .8‬מזכירה מכניסה לתוך ‪ n‬מעטפות ממוענות ‪ n‬מכתבים ו‪ n -‬חשבוניות (בכל‬
‫מעטפה מכתב אחד וחשבונית אחת)‪ .‬לכל מכתב מתאימה חשבונית אחת‬
‫ויחידה ולהיפך‪ .‬אם המזכירה מכניסה את המכתבים והחשבוניות למעטפות‬
‫מבלי לקרוא את הכתובות‪ ,‬מהו מספר האפשרויות שאף מכתב וגם אף‬
‫חשבונית לא יגיעו ליעדם ?‬
‫בהצלחה!‬
‫‪50‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫נספח לפרק ‪ - 3‬פתרון נוסחאות נסיגה‬
‫שיטת האיטרציה (הצבה חוזרת)‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪, T n    n ‬‬
‫תרגיל לדוגמא‪ :‬נתונה נוסחת הנסיגה הבאה‪:‬‬
‫‪2T  2   1 , n  1‬‬
‫‪  ‬‬
‫כאשר ‪ n‬חזקה שלמה של ‪.2‬‬
‫א‪ .‬מצאו נוסחא מפורשת (לא רקורסיבית) ל‪. T  n  -‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו את נכונות הנוסחא שמצאתם בסעיף א' לעיל‪ ,‬באמצעות אינדוקציה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬ננחש את הפתרון (הנוסחא המפורשת) באמצעות איטרציה (הצבה חוזרת)‪:‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T  n   2T    1  2  2T    1  1  4T    2  1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 4  2T    1  2  1  8T    4  2  1  ... ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 8 ‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪ 2k T  k   2k 1  2k 2  ...  2  1  k lg n  2lg n  T  lg n   ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   2    1‬‬
‫‪ n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2lg n 1  2lg n  2  ...  2  1  nT 1  2lg n 1  2lg n  2  ...  2  1 ‬‬
‫‪lg n‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪n n n‬‬
‫‪   ...  2  1  a  qn 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2 4 8‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪T10‬‬
‫‪q 1‬‬
‫ב‪ .‬נוכיח את נכונות הפתרון שמצאנו באינדוקציה מלאה (שלמה) על‬
‫(חזקה שלמה של ‪.)2‬‬
‫בסיס האינדוקציה – ‪. T 1  1  1  0 :n=1‬‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות לכל ‪ 1  k  n‬ונראה נכונות עבור ‪.n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n ‬‬
‫אכן‪. T  n   2T    1  2   1  1  n  1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪52‬‬
‫‪n‬‬
‫□‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫פתרון נוסחאות נסיגה ליניאריות הומוגניות‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫נוסחת נסיגה ליניארית עם מקדמים קבועים ממעלה ‪ k‬היא נוסחת‬
‫נסיגה מהצורה‪:‬‬
‫‪ , f  n   p1f  n  1  p2 f  n  2  p3 f  n  3  ...  pk f  n  k  g n‬כאשר‪:‬‬
‫‪, k‬‬
‫‪. p1 , p2 , p3 ,..., pk ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g  n ‬נקראת‪ :‬פונקציית התוספת (התלויה ב‪.)n -‬‬
‫‪‬‬
‫נוסחת הנסיגה הנ"ל נקראת‪ :‬הומוגנית‪ ,‬אם"ם‪. n  : g  n   0 :‬‬
‫שיטה לפתרון נוסחאות נסיגה ליניאריות הומוגניות‪:‬‬
‫נציג להלן שיטה עבור המקרה‪ . k  2 :‬ניתן להכלילה גם עבור המקרים‪, k  3 :‬‬
‫במגבלות החישוב הקיימות ו‪/‬או תוך שימוש בשיטות נומריות לפתרון משוואות‬
‫ממעלה גבוהה מ‪ .2 -‬השיטה מתבססת על שני השלבים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫מציאת הפולינום האופייני של נוסחת הנסיגה ‪ -‬נתונה נוסחת הנסיגה‬
‫הליניארית ההומוגנית‪ ; f  n   p1f  n  1  p2f  n  2  :‬הפולינום האופייני שלה‬
‫הוא‪ . x 2  p1x  p2 :‬פתרון כללי של נוסחא זו הוא‪ , f  n   a1x1n  a 2 x 2 n :‬כאשר‬
‫‪ x1  x 2‬הם שורשי הפולינום האופייני; במקרה בו ‪ x1  x 2‬הם שורשי‬
‫הפולינום האופייני‪ ,‬אז פתרון כללי של נוסחא זו הוא‪. f  n   a1x1n  n  a 2 x 2 n :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫קביעת הפתרון הספציפי של נוסחת הנסיגה – את המקדמים‪ a1 , a 2 :‬נחשב‬
‫ע"י פתרון מערכת משוואות‪ ,‬המתקבלת מיישום תנאי ההתחלה (תנאי‬
‫העצירה); למשל‪ ,‬אם תנאי ההתחלה של הנוסחא מתייחסים ל‪ f  0  -‬ול‪-‬‬
‫‪a1x10  a 2 x 2 0  f  0 ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ , f 1‬הרי שתתקבל מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪51‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫ תשע"ג‬,2 ‫מתמטיקה בדידה‬
:‫דוגמאות‬
, n  0,1

1
. f n  
:‫ נתונה נוסחת הנסיגה הבאה‬.1
f
n

1

2f
n

2
,
n

2






. x1  1 , x 2  2 :‫ ששורשיו הם‬, x 2  x  2 :‫ הפולינום האופייני שלה הוא‬.‫א‬
. f  n   a1   1  a 2  2n :‫ פתרון כללי של נוסחא זו הוא‬,‫לכן‬
n
:‫ עפ"י תנאי ההתחלה‬a1 , a 2 ‫ נחשב את‬.‫ב‬
a1   10  a 2  20  f  0   1 e1: a  a  1
1
2

e1 e2 3a 2  2 

1
1
e2
:

a

2a

1
1
2

a


1

a

2

f
1

1

 1  
2
2
1
 a 2  e1 a1 
3
3
 1  2n 1 :‫קיבלנו‬
1
2
n
: f  n    1   2n 
3
3
3
n
. n 
0
, n0

, n  1 :‫ נתונה נוסחת הנסיגה הבאה‬.2
. f  n   1
f n  1  f n  2 , n  2
 

 
:‫ ששורשיו הם‬, x 2  x  1 :‫ הפולינום האופייני שלה הוא‬.‫א‬
1 5
1 5
:‫ פתרון כללי של נוסחא זו הוא‬,‫ לכן‬. x1 
, x2 
2
2
n
n
 1 5 
 1 5 
. f  n   a1  
  a 2  

 2 
 2 
:‫ עפ"י תנאי ההתחלה‬a1 , a 2 ‫ נחשב את‬.‫ב‬
0
  1  5 0
 1 5 
a 1  
  a 2  
  f  0   0
  2 
 2 
e1: a1  a 2  0  a1  a 2




1
1
e2
:
1

5
a

1

5
a

2
1
2
 1 5 
  1 5 

  a 2  
  f 1  1
a1  
 2 
  2 
1
1
e1e2 5  1 a 2  1  5 a 2  2  2 5  a 2  2  a 2 
e1 a1  
5
5






:‫קיבלנו‬
n
n

1  1 5 
1  1 5 
1   1 5   1 5  
: f  n  


 
 

 

5  2 
5  2 
5   2   2  


n
. n 
 
n
59
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪0‬‬
‫‪, n0‬‬
‫‪‬‬
‫‪. f  n   1‬‬
‫‪ .3‬נתונה נוסחת הנסיגה הבאה‪, n  1 :‬‬
‫‪4f n  1  4f n  2 , n  2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫א‪ .‬הפולינום האופייני שלה הוא‪ , x 2  4x  4   x  2  :‬ששורשיו הם‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . x1  x 2  2‬לכן‪ ,‬פתרון כללי של נוסחא זו הוא‪. f  n   a1  2n  n  a 2  2n :‬‬
‫ב‪ .‬נחשב את ‪ a1 , a 2‬עפ"י תנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪a1  20  0  a 2  20  f  0   0 e1: a1  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪e1e2 2a 2  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e2 : 2a1  2a 2  1‬‬
‫‪a1  2  1 a 2  2  f 1  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ a2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫קיבלנו‪. n  : f  n   0  2n  n   2n  n  2n 1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪50‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫פתרון נוסחאות נסיגה ליניאריות לא הומוגניות‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪f  n   p1f  n 1  p2f  n  2   p3f  n  3  ...  p k f  n  k   g  n ‬‬
‫נוסחת נסיגה ליניארית עם מקדמים קבועים ממעלה ‪ .k‬נוסחת הנסיגה הנ"ל‬
‫נקראת‪ :‬לא הומוגנית אם"ם‪( n  : g  n   0 :‬פונקציית התוספת שלה אינה‬
‫מתאפסת לכל‬
‫‪.) n ‬‬
‫שיטה לפתרון נוסחאות נסיגה ליניאריות לא הומוגניות‪:‬‬
‫נציג להלן שיטה עבור המקרה‪ . k  2 :‬ניתן להכלילה גם עבור המקרים‪, k  3 :‬‬
‫במגבלות החישוב הקיימות ו‪/‬או תוך שימוש בשיטות נומריות לפתרון משוואות‬
‫ממעלה גבוהה מ‪ .2 -‬השיטה מתבססת על שיטת הפתרון הקודמת (עבור‬
‫נוסחאות נסיגה הומוגניות)‪ .‬פתרון נוסחת נסיגה לא הומוגנית מורכב ממחובר‬
‫שצורתו כצורת הפתרון של הנוסחא ההומוגנית המתאימה וממחוברים נוספים‬
‫(אחד או יותר) שצורתם כצורת המרכיבים של התוספות הלא הומוגניות‬
‫בנוסחא‪ .‬שלבי הפתרון של נוסחת נסיגה לא הומוגנית הם‪:‬‬
‫א‪ .‬פתרון כללי (ללא התחשבות בתנאי ההתחלה) של נוסחת הנסיגה‬
‫ההומוגנית המתאימה‬
‫ב‪ .‬תיקון הפתרון של הנוסחא ההומוגנית והתאמתו לנוסחא הלא הומוגנית –‬
‫אם ‪ , g  n   x n  q  n ‬כאשר ‪ x‬אינו שורש של הפולינום האופייני של הנוסחא‬
‫ההומוגנית המתאימה ( ‪ q  n ‬פולינום)‪ ,‬הרי שהתרומה הלא הומוגנית לפתרון‬
‫תהיה מחובר מהצורה‪ r  n  ( x n  r  n  :‬פולינום)‪ ,‬כאשר מתקיים‪:‬‬
‫‪ . deg  q   deg  r ‬במידה ו‪ x -‬הוא שורש מריבוי ‪ ) t  ( t‬של הפולינום‬
‫האופייני של הנוסחא ההומוגנית המתאימה‪ ,‬הרי שהתרומה הלא הומוגנית‬
‫לפתרון תהיה מחובר מהצורה‪ , x n  n t  r  n  :‬כאשר מתקיים‪ ,‬שוב‪:‬‬
‫‪. deg  q   deg  r ‬‬
‫ג‪ .‬קביעת הפתרון הספציפי של נוסחת הנסיגה (הלא הומוגנית) – את‬
‫המקדמים‪ a1 , a 2 :‬נחשב ע"י פתרון מערכת משוואות‪ ,‬המתקבלת מיישום‬
‫תנאי ההתחלה (תנאי העצירה)‪ .‬למשל‪ ,‬אם תנאי ההתחלה של הנוסחא‬
‫מתייחסים ל‪ f  0  -‬ול‪ , f 1 -‬הרי שתתקבל מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫‪a1x10  a 2 x 2 0  f  0 ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a1x1  a 2 x 2  f 1‬‬
‫‪57‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪, n0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪. f n  ‬‬
‫‪ .1‬נתונה נוסחת הנסיגה הבאה‪:‬‬
‫‪2f‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬הפולינום האופייני של נוסחת הנסיגה ההומוגנית המתאימה‬
‫( ‪ ) f  n   2f  n  1‬הוא‪ , x 2  2x :‬ששורשיו הם‪ . x1  0 , x 2  2 :‬לכן‪,‬‬
‫פתרון כללי של נוסחא זו הוא‪. f  n   a1  0n  a 2  2n  a 2  2n :‬‬
‫ב‪ .‬התוספת הלא הומוגנית היא‪ x  1 . g  n   1  11n  q  n   1 , x  1 :‬אינו‬
‫שורש של הפולינום האופייני מסעיף א'‪ , x 2  2x :‬ולכן התרומה הלא‬
‫הומוגנית לפתרון תהיה מחובר מהצורה‪ ) r  n   c , c  ( c 1n  c :‬ואכן‬
‫מתקיים‪ . deg  q   deg  r  :‬נחפש‬
‫‪: c  1n  2 c 1n 1  1 c  2c 1‬‬
‫‪ c ‬המקיים‪:‬‬
‫‪: f  n   2f  n  1  1   n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ c  1‬‬
‫‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬פתרון כללי של נוסחא (לא הומוגנית) זו הוא‪:‬‬
‫‪. f  n   a 2  2n   1  a 2  2n  1‬‬
‫ג‪ .‬נחשב את ‪ a 2‬עפ"י תנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪. a 2  20  1  f  0  0  a 2  1  0  a2  1‬‬
‫קיבלנו‪. n  : f  n   2n  1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, n0‬‬
‫‪‬‬
‫‪. f  n   2‬‬
‫‪ .2‬נתונה נוסחת הנסיגה הבאה‪, n  1 :‬‬
‫‪f n  1  2f n  2  2  3n  2 , n  2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫א‪ .‬הפולינום האופייני של נוסחת הנסיגה ההומוגנית המתאימה‬
‫( ‪ ) f  n   f  n  1  2f  n  2 ‬הוא‪ , x 2  x  2 :‬ששורשיו הם‪:‬‬
‫‪ . x1  1 , x 2  2‬לכן‪ ,‬פתרון כללי של נוסחא זו הוא‪:‬‬
‫‪. f  n   a1   1  a 2  2n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬התוספת הלא הומוגנית היא‪. g  n   2  3n  2   3n  q  n   , x  3 :‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  3‬אינו שורש של הפולינום האופייני מסעיף א'‪ , x  x  2 :‬ולכן‬
‫התרומה הלא הומוגנית לפתרון תהיה מחובר מהצורה‪c  3n :‬‬
‫( ‪ ) r  n   c , c ‬ואכן מתקיים‪ . deg  q   deg  r  :‬נחפש ‪ c ‬המקיים‪:‬‬
‫‪: f  n   f  n  1  2f  n  2   2  3n 2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫לכן‪ ,‬פתרון כללי של נוסחא (לא הומוגנית) זו הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. f  n   a1   1  a 2  2n   3n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪: c  3n  c  3n 1  2  c  3n 2  2  3n 2 :3n2 9c  5c  2  c ‬‬
‫‪58‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪.‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫ תשע"ג‬,2 ‫מתמטיקה בדידה‬
:‫ עפ"י תנאי ההתחלה‬a1 , a 2 ‫ נחשב את‬.‫ג‬
1 0
1
0


0
a1   1  a 2  2  2  3  f  0   1 e1: a1  a 2  2  1

e1 e2

a   11  a  21  1  31  f 1  2
e2 : a  2a  3  2
1
2
1
2
2
2


1
1
 3a 2  1  a 2  e1 a1 
3
6
 1  2n 1  3n1 :‫קיבלנו‬
1
1
1
n
: f  n    1   2n   3n 
6
3
2
6
n
. n 
55
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫תרגיל בית מס' ‪ - 11‬פתרון נוסחאות נסיגה‬
‫בשאלות‪ ,1-3 :‬פתרו את נוסחאות הנסיגה באמצעות שיטת ההצבה החוזרת‬
‫(האיטרציה)‪.‬‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , Tn     n ‬עבור ‪ n‬חזקה שלמה של ‪.2‬‬
‫‪ .1‬נתון‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪  ‬‬
‫א‪ .‬הציגו נוסחא מפורשת (לא רקורסיבית) ל‪. Tn  -‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו את נכונות הנוסחא שמצאתם בסעיף א' באמצעות אינדוקציה‪.‬‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬נתון‪:‬‬
‫‪: T n  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪T  n  1  2n  1 , n  1‬‬
‫א‪ .‬הציגו נוסחא מפורשת (לא רקורסיבית) ל‪. Tn  -‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו את נכונות הנוסחא שמצאתם בסעיף א' באמצעות אינדוקציה‪.‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪, n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. n  2 , k   0 : T  n   ‬‬
‫‪ .3‬נתון‪:‬‬
‫‪T n  lg2  n  , n  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬הציגו נוסחא מפורשת (לא רקורסיבית) ל‪. Tn  -‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו את נכונות הנוסחא שמצאתם בסעיף א' באמצעות אינדוקציה‪.‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪ ‬‬
‫בשאלות‪ 4-7 :‬נתונות נוסחאות נסיגה ליניאריות הומוגניות‪ .‬פתרו אותן‪ ,‬שלא‬
‫באמצעות שיטת האיטרציה‪.‬‬
‫‪2f n  1 , n  1‬‬
‫‪f n   ‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3f n  1  4f n  2 , n  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f n   5‬‬
‫‪, n  1 .5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪,n0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2f n  2  f n  4 , n  4‬‬
‫‪f n   ‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪,0n4‬‬
‫‪n‬‬
‫‪5f n  1  8f n  2  4f n  3 , n  3‬‬
‫‪f n   ‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪, 0n3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪466‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫בשאלות‪ 8-11 :‬נתונות נוסחאות נסיגה ליניאריות לא הומוגניות‪ .‬פתרו אותן‪,‬‬
‫שלא באמצעות שיטת האיטרציה‪.‬‬
‫‪3f n  1  3 n , n  0‬‬
‫‪f n   ‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪,n0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3f n  1   2 , n  0‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪f n   ‬‬
‫‪,n0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪5f n  1  6f n  2  7 , n  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f n   2‬‬
‫‪, n  1 .11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,n0‬‬
‫‪‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪464‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫פתרון בעיות קומבינטוריות באמצעות נוסחאות נסיגה‬
‫לעיתים תכופות קשה לפתור בעיות קומבינטוריות בדרך ישירה – באמצעות‬
‫השיטות שנלמדו בקורס הקודם (מתמטיקה בדידה ‪ .)1‬לא אחת נוח יותר לפתור‬
‫בעיות אלו ע"י ניסוח הפתרון באמצעות נוסחת נסיגה ופתרונה של זו באחת‬
‫מהשיטות שהוצגו לעיל‪.‬‬
‫נדגים זאת באמצעות הבעיות דלהלן‪ ,‬כאשר עבור כל אחת מהבעיות נציג את‬
‫נוסחת הנסיגה הפותרת אותה‪ .‬ברוב הדוגמאות נשאיר את פתרון נוסחת הנסיגה‬
‫כתרגיל לקוראים‪.‬‬
‫דוגמא ‪:1‬‬
‫נחשב את מספר תת‪-‬הקבוצות של הקבוצה‪ , A  1, 2,3,..., n :‬אשר אינן מכילות‬
‫זוג מספרים עוקבים‪.‬‬
‫נסמן ב‪ f  n  -‬את המבוקש – מספר תת‪-‬הקבוצות של ‪ ,A‬שאינן מכילות זוג‬
‫מספרים עוקבים‪ .‬תנאי ההתחלה הם‪ . f  0  1   , f 1  2 1 ,  :‬עבור ‪n  1‬‬
‫נחלק את תת‪-‬הקבוצות החוקיות של ‪( A‬שאינן מכילות זוג מספרים עוקבים)‬
‫לשני סוגים‪:‬‬
‫א‪ .‬כאלה שאינן מכילות את ‪ – n‬יש בדיוק ‪ f  n  1‬כאלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כאלה המכילות את ‪ – n‬תת‪-‬הקבוצות החוקיות של ‪ A‬המכילות את ‪ n‬הן‪,‬‬
‫למעשה‪ ,‬תת‪-‬הקבוצות החוקיות של ‪ A‬שאינן מכילות את ‪ n‬ואת ‪( n  1‬יש‬
‫בדיוק ‪ f  n  2 ‬כאלה)‪ ,‬אשר לכל אחת מהן הוספנו את ‪ ;n‬פעולת‬
‫ההוספה האחרונה לא פגעה בחוקיותן וכמובן שלא שינתה את מספרן‪.‬‬
‫תוך שילוב תנאי ההתחלה ושימוש בעקרון הסכום‪ ,‬נקבל את נוסחת הנסיגה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, n0‬‬
‫‪‬‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪. n   0 : f  n   2‬‬
‫‪f n  1  f n  2 , n  1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫דוגמא ‪:2‬‬
‫נתון שביל באורך ‪ n‬מ'‪ ,‬אותו מעוניינים לרצף באמצעות אריחים כחולים באורך ‪2‬‬
‫מ' כל אחד‪ ,‬אריחים אדומים באורך ‪ 2‬מ' כל אחד ואריחים ירוקים באורך ‪ 1‬מ' כל‬
‫אחד‪ .‬נחשב את מספר הדרכים השונות בהן ניתן לבצע זאת‪.‬‬
‫נסמן ב‪ f  n  -‬את מספר הדרכים המבוקש‪ .‬תנאי ההתחלה הם‪:‬‬
‫‪ . f  0  1   , f 1  1 green‬עבור שביל באורך ‪ n  1‬מ'‪ ,‬נבחין בין ‪ 3‬דרכים‬
‫בהן ניתן להתחיל את ריצופו‪:‬‬
‫א‪ .‬באמצעות אריח כחול – נותרו עוד ‪ n  2‬מ' לריצוף‪ ,‬אותם ניתן לרצף ב‪-‬‬
‫‪ f  n  2 ‬דרכים שונות‪.‬‬
‫ב‪ .‬באמצעות אריח אדום – נותרו עוד ‪ n  2‬מ' לריצוף‪ ,‬אותם ניתן לרצף ב‪-‬‬
‫‪ f  n  2 ‬דרכים שונות‪.‬‬
‫ג‪ .‬באמצעות אריח ירוק – נותרו עוד ‪ n  1‬מ' לריצוף‪ ,‬אותם ניתן לרצף ב‪-‬‬
‫‪ f  n  1‬דרכים שונות‪.‬‬
‫‪460‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫תוך שילוב תנאי ההתחלה ושימוש בעקרון הסכום‪ ,‬נקבל את נוסחת‬
‫הנסיגה‪:‬‬
‫‪, n  0,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. n   0 : f  n   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  n  1  2f  n  2  , n  1‬‬
‫‪462‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫תרגיל בית מס' ‪ - 11‬פתרון בעיות קומבינטוריות‬
‫באמצעות נוסחאות נסיגה‬
‫‪ .1‬נתונה קבוצה ‪ ,A‬כך ש‪. A  n   0 :‬‬
‫א‪ .‬מצאו נוסחת נסיגה לתיאור מספר תת‪-‬הקבוצות של ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬מהו הפתרון של נוסחת נסיגה זו ? (כלומר – הציגו את הפונקציה‬
‫שבנוסחת הנסיגה‪ ,‬אותה מצאתם בסעיף הקודם‪ ,‬באופן מפורש‪).‬‬
‫‪ .2‬נתון א"ב‪ ,‬המכיל את האותיות הבאות‪ :‬כ‪ ,‬ך‪ ,‬מ‪ ,‬ם‪ ,‬פ‪ ,‬ף‪ ,‬צ‪ ,‬ץ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו נוסחת נסיגה לתיאור מספר המילים באורך ‪ ,n‬מעל ה‪ -‬א"ב הנ"ל‪,‬‬
‫אשר אינן מכילות שתי אותיות סופיות סמוכות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו הפתרון של נוסחת נסיגה זו ? (כלומר – הציגו את הפונקציה‬
‫שבנוסחת הנסיגה‪ ,‬אותה מצאתם בסעיף הקודם‪ ,‬באופן מפורש‪).‬‬
‫‪ .3‬מהו מספר המחרוזות באורך ‪ ,n‬המכילות‪ 1 ,0 :‬או ‪ 2‬ואשר‪:‬‬
‫א‪ .‬לא מופיע בהן אף לא אחד מהרצפים‪? 20 ,12 ,01 :‬‬
‫ב‪ .‬לא מופיע בהן אף לא אחד מהרצפים‪? 21 ,20 ,10 :‬‬
‫‪ .4‬כששמים חיידק בודד במבחנה הוא מתחלק לשניים כעבור שניה‪ .‬כל חיידק‬
‫חדש שנוצר מתחלק אף הוא לשניים‪ ,‬שניה לאחר היווצרותו (ורק אז)‪ .‬נסמן‬
‫ב‪ gn  -‬את מספר החיידקים במבחנה לאחר ‪ n‬שניות מרגע הכנסת חיידק‬
‫בודד לתוכה (כשהיא ריקה)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו נוסחת נסיגה ל‪. gn  -‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי מבחנה ריקה מתמלאת בתוך דקה‪ ,‬מרגע שהוכנס לתוכה חיידק‬
‫בודד‪ .‬תוך כמה זמן תתמלא מבחנה ריקה‪ ,‬אם מלכתחילה נכניס לתוכה‬
‫שני חיידקים ?‬
‫‪ .5‬בנאי מטפס על סולם בן ‪ 06‬שלבים‪ .‬בכל צעד שלו הוא מטפס שלב אחד או‬
‫שני שלבים (בבת אחת)‪ .‬בכמה דרכים שונות יכול הבנאי לטפס על‬
‫הסולם ?‬
‫‪ n .6‬אנשים יושבים במעגל‪ .‬מקימים אותם ומסדרים אותם מחדש‪ .‬נסמן ב‪-‬‬
‫‪ f n ‬את מספר האפשרויות לסידורם מחדש‪ ,‬כך שאף אחד לא מתרחק‬
‫ביותר מכסא אחד ממקום ישיבתו המקורי‪ .‬מצאו נוסחת נסיגה ל‪ f n  -‬ופתרו‬
‫אותה‪.‬‬
‫‪ .7‬לכמה תחומים מחלקים את המישור ‪ 466‬ישרים שאף שניים מהם אינם‬
‫מקבילים זה לזה ואף שלושה מהם אינם נחתכים בנקודה אחת ?‬
‫‪ .8‬לכמה תחומים לכל היותר מחלקים את המישור ‪ 466‬מעגלים ?‬
‫‪461‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .9‬נגדיר ב‪ pn, k  -‬את מספר החלוקות של קבוצה בת ‪ n‬איברים ל‪ k -‬תתי‪-‬‬
‫קבוצות זרות ולא ריקות‪ ,‬כאשר‪ .1  k  n :‬הוכיחו ישירות (משיקולים‬
‫קומבינטוריים) כי‪:‬‬
‫ב‪pn, n   1 .‬‬
‫א‪pn,1  1 .‬‬
‫‪n‬‬
‫ד‪pn, n  1    .‬‬
‫ג‪pn,2  2 n 1  1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .11‬כמה מחרוזות באורך ‪ n‬המורכבות מהספרות‪ 1,2,3,4,5 :‬ניתן ליצור‪ ,‬כך‬
‫שהספרה ‪ 5‬תופיע במחרוזת מספר זוגי של פעמים ?‬
‫בהצלחה!‬
‫‪469‬‬