פרק 4 - עקרון שובך היונים - Or-Alfa

‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫פרק ‪ - 4‬עקרון שובך היונים‬
‫תיאוריה ושימושים‬
‫משפט‪ :‬אם מכניסים ‪ n+1‬יונים ל‪ n -‬שובכים‪ ,‬אז קיים שובך שבו יש לפחות ‪2‬‬
‫יונים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה ‪ -‬נניח בשלילה כי בכל שובך יש לכל היותר יונה‬
‫אחת‪ .‬לכן‪ ,‬מספר היונים הכולל הוא לכל היותר ‪ ,n‬בסתירה לנתון ש"קיימות"‬
‫‪‬‬
‫‪ n+1‬יונים‪.‬‬
‫שימושים פשוטים‪:‬‬
‫‪ )6‬בכל שלשה של אנשים תמיד ניתן למצוא זוג בני אותו מין (גברים או נשים)‪.‬‬
‫‪ )2‬בקבוצה בת ‪ 31‬אנשים יהיו שניים שנולדו באותו חודש (לועזי) בשנה (שכן יש‬
‫‪ 32‬חודשים לועזיים בשנה)‪.‬‬
‫‪ )3‬בקבוצה בת ‪ 133‬אנשים יהיו שניים שנולדו באותו יום בשנה (שכן יש ‪133‬‬
‫ימים בשנה)‪.‬‬
‫‪ )4‬ישנם שני תושבים בראשל"צ אשר להם אותו מספר שערות על הראש (שכן‬
‫ידוע כי לאדם יש לכל היותר ‪ 3300000‬שערות על הראש וכי בראשל"צ‪ ,‬נכון‬
‫לשנת ‪ ,2002‬ישנם כ‪ 2000000 -‬תושבים)‪.‬‬
‫‪ )5‬במגירה נמצאים ‪ 3‬זוגות גרביים בצבעים שונים‪ .‬אם נוציא ממנה ‪ 7‬גרביים‬
‫בודדים‪ ,‬אזי לבטח יהיו בידינו זוג גרביים תואמים (באותו הצבע)‪( .‬במקרה זה‪,‬‬
‫צבעי הגרביים ‪ 3 -‬במספר ‪ -‬מהווים את השובכים והגרביים המוצאים מן‬
‫המגירה ‪ 7 -‬במספר – את היונים‪).‬‬
‫‪ )1‬במגירה גרביים לבנים ואדומים ביחס של ‪, x  y  x : y‬‬
‫‪ .  x, y ‬אדם שעיניו‬
‫מכוסות מוציא גרביים מן המגירה‪ .‬עליו להוציא ‪ 1‬גרביים כדי לקבל בוודאות‬
‫זוג גרביים באותו הצבע‪.‬‬
‫שימושים נוספים‪:‬‬
‫א‪ .‬טענה‪ :‬בין כל שלושה מספרים שלמים יש שניים שסכומם הוא מספר זוגי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬כל מספר שלם הוא מספר זוגי או מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬אך לא שניהם‪.‬‬
‫בין כל שלושה מספרים שלמים יש לפחות שני מספרים זוגיים או לפחות שני‬
‫מספרים אי‪-‬זוגיים‪ .‬בהתבסס על התכונה הידועה שסכום שני מספרים‬
‫זוגיים‪/‬אי‪-‬זוגיים הוא מספר זוגי‪ ,‬הרי שקיימים בין שלושת המספרים הנ"ל‬
‫□‬
‫שניים שסכומם הוא מספר זוגי‪.‬‬
‫‪601‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫ב‪ .‬טענה‪ :‬תהי ‪ . A  0,1, 2,...,9‬בכל תת‪-‬קבוצה של ‪ A‬שבה ‪ 3‬מספרים‪ ,‬יש שני‬
‫מספרים שסכומם ‪.2‬‬
‫הוכחה‪ :‬נחלק את הקבוצה ‪ A‬ל‪ 3 -‬זוגות (תת‪-‬קבוצות)‪ ,‬כך שסכום שני‬
‫האיברים בכל זוג הוא ‪ . 0,9 ,1,8 ,2, 7 ,3, 6 , 4,5 :2‬זוגות (תת‪-‬קבוצות)‬
‫אלו מהווים את השובכים וכל אחד מששת המספרים שנבחר מתוך ‪ A‬יהווה‬
‫יונה אחת‪ .‬נכניס כל אחד מששת המספרים (היונים) שנבחרו לתוך התת‪-‬‬
‫קבוצה (השובך) המתאימה לו‪ .‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬המספר ‪ 1‬יוכנס לתת‪-‬‬
‫הקבוצה‪ . 3, 6 :‬ישנן ‪ 3‬יונים ורק ‪ 3‬שובכים‪ ,‬ולכן בהכרח יהיה שובך אחד בו‬
‫תמצאנה ‪ 2‬יונים‪ .‬כלומר‪ ,‬יהיו שם שני מספרים שסכומם ‪ ,2‬כנדרש‪.‬‬
‫□‬
‫ג‪ .‬טענה‪ :‬כל מספר רציונלי ניתן להצגה עשרונית כשבר מחזורי אינסופי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0.333... : 0.3 ,  0.25000... : 0.250 ,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 0.142857142857... : 0.142857 ,‬‬
‫‪ 0.272727... : 0.27‬‬
‫‪7‬‬
‫‪11‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ q ‬כלשהו‪ ,‬ובה"כ נניח כי ‪ q‬הוא שבר מצומצם‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ . q  , m  , n  , g.c.d  m , n  1‬נתעלם לעת עתה‪ ,‬לצורך הפשטות‪,‬‬
‫‪n‬‬
‫מהסימן של ‪ .m‬כדי לקבל את ההצגה העשרונית של ‪ ,q‬נחלק את ‪ m‬ב‪.n -‬‬
‫שאריות החלוקה המתקבלות הן איברי הקבוצה‪ . 0,1, 2,3,..., n  1 :‬מאחר‬
‫וקבוצה זו היא קבוצה סופית‪ ,‬הרי שלאחר ‪ n‬חלוקות לכל היותר‪ ,‬תתקבל‬
‫שארית אשר כבר התקבלה בשלב קודם‪ .‬משלב זה ואילך (ממקום זה ואילך‬
‫בשבר העשרוני) השאריות חוזרות על עצמן באופן מחזורי (הספרות חוזרות‬
‫□‬
‫על עצמן מחזורית)‪.‬‬
‫הרחבת עקרון שובך היונים‪ :‬אם מכניסים ‪ kn+1‬יונים לתוך ‪ n‬שובכים‪ ,‬אז קיים‬
‫שובך שבו יש לפחות ‪ k+1‬יונים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה ‪ -‬נניח בשלילה שבכל שובך יש לכל היותר ‪ k‬יונים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מכאן‪ ,‬בכל השובכים יחד יש לכל היותר ‪ kn‬יונים – בסתירה לנתון‪.‬‬
‫מסקנה מיידית‪ :‬אם מכניסים ‪ m‬יונים לתוך ‪ n‬שובכים‪ ,‬אז קיים שובך שבו יש‬
‫‪m‬‬
‫לפחות ‪  ‬יונים‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה ‪ -‬נניח בשלילה כי המסקנה אינה נכונה‪ ,‬ונניח כי‬
‫‪m‬‬
‫בשובך ה‪ i -‬יש ‪ C i‬יונים‪ .‬לכן‪ . 1  i  n : C i    :‬אולם‪ C i ,‬הוא מספר שלם‪,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ . Ci    Ci Ci ‬מכאן‪ - m   Ci     n  m :‬סתירה! ‪‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1 n‬‬
‫מסקנה מיידית – עקרון דיריכלה‪ :‬אם לשתי קבוצות סופיות עוצמה שונה‪,‬‬
‫הרי שלא קיימת פונקציית שקילות ביניהן‪.‬‬
‫‪601‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫עקרון שובך היונים – הגירסא הגיאומטרית‪ :‬נסמן ב‪ A -‬את המידה של‬
‫קבוצה ‪( A‬אורך‪ ,‬שטח‪ ,‬נפח וכדומה)‪ .‬אם ‪ A1 , A 2 ,..., A n‬הן קבוצות בעלות מידה‬
‫‪n‬‬
‫המוכלות ממש בקבוצה ‪ ,B‬וסכום מידותיהן מקיים‪ ,  A i  B :‬אז קיימות‬
‫‪i 1‬‬
‫לפחות ‪ 2‬קבוצות מתוך‪ A1 , A 2 ,..., A n :‬שאינן זרות‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫(בניסוח מתמטי‪) A1 , A2 ,..., A n  B   Ai  B  i  j : Ai  A j   :‬‬
‫‪i 1‬‬
‫פתרונות לדוגמא של תרגילים בעקרון שובך היונים‬
‫‪ .6‬צלף קולע ‪ 3‬חיצים לעבר מטרה שצורתה משולש שווה‪-‬צלעות‪ ,‬שאורך צלעו‬
‫‪ 2‬מטרים‪ .‬הוכיחו כי אם כל החיצים פוגעים במטרה‪ ,‬אז יש בהכרח שני‬
‫חיצים בה הנמצאים במרחק של מטר אחד לכל היותר זה מזה‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬נחלק את המשולש ל‪ 0 -‬משולשים קטנים שווי‪-‬צלעות‪ ,‬שאורך צלעם‬
‫מטר‪ .‬קל לראות שהמרחק בין כל ‪ 2‬נקודות בכל אחד מהמשולשים הקטנים‬
‫הוא לכל היותר מטר אחד‪ .‬עפ"י עקרון שובך היונים‪ ,‬לפחות ‪ 2‬חיצים נמצאים‬
‫□‬
‫במשולש קטן אחד (או על שפתו)‪ ,‬ומכאן מתקבלת התוצאה המבוקשת‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכיחו כי אם ‪ 3‬אנשים נפגשים באקראי במסיבה‪ ,‬הרי שישנם ‪ 1‬מביניהם‬
‫המכירים זה את זה או שישנם ‪ 1‬מביניהם שאינם מכירים זה את זה‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬נכנה את האנשים בשמות‪ :‬א'‪ ,‬ב'‪ ,‬ג'‪ ,‬ד'‪ ,‬ה'‪ ,‬ו'‪ .‬נבחר אקראית אחד‬
‫מהם‪ ,‬ובה"כ נניח כי זה א'‪ .‬נחלק את ‪ 3‬האנשים הנותרים לשתי קבוצות‪ :‬כאלה‬
‫המכירים את א'‪ ,‬וכאלה שאינם מכירים את א'‪ .‬לפי עקרון שובך היונים‪ ,‬הרי‬
‫שבאחת מהקבוצות הללו יש לפחות ‪ 1‬אנשים‪ .‬נניח‪ ,‬תחילה‪ ,‬כי קבוצה זו היא‬
‫קבוצת המכרים של א'‪ .‬אם יש בקבוצה זו שני אנשים המכירים זה את זה‪ ,‬הרי‬
‫שיחד עם א' קיבלנו קבוצה של ‪ 1‬אנשים שכל אחד בה מכיר את האחר‪ .‬אחרת‬
‫– קיבלנו קבוצה של ‪ 1‬אנשים שאינם מכירים זה את זה‪.‬‬
‫באופן דומה מטפלים גם במקרה השני‪ ,‬בו קבוצת הלא‪-‬מכירים את א' מונה‬
‫לפחות ‪ 1‬אנשים‪ .‬אם יש שניים מביניהם שאינם מכירים זה את זה‪ ,‬אז יחד עם א'‬
‫קיבלנו קבוצה של ‪ 1‬אנשים שאינם מכירים זה את זה‪ .‬אחרת – שלושתם מכירים‬
‫□‬
‫זה את זה‪ ,‬וקיבלנו קבוצה של ‪ 1‬אנשים שמכירים זה את זה‪.‬‬
‫‪601‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .3‬בהינתן לוח שחמט תיקני‪ ,‬אשר הוסרו ממנו שתי המשבצות הקיצוניות באחד‬
‫מהאלכסונים הראשיים שלו‪ ,‬הוכיחו כי לא ניתן לכסותו באמצעות אבני‬
‫דומינו תקניות (המורכבות משני ריבועים התואמים למשבצות הלוח)‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬שתי המשבצות שהוסרו הן מאותו הצבע (שחור או לבן)‪ ,‬לכן מספר‬
‫המשבצות הלבנות גדול ב‪ 2 -‬ממספר המשבצות השחורות בלוח‪ ,‬או להיפך‪ .‬כל‬
‫אבן דומינו תקנית מכסה בדיוק שתי משבצות בלוח שצבען שונה‪ .‬כל סידור של‬
‫אבני דומינו אלה על‪-‬גבי לוח שחמט תיקני (מלא) יוצר‪ ,‬למעשה‪ ,‬פונקציית‬
‫שקילות בין קבוצת המשבצות הלבנות בו לקבוצת המשבצות השחורות בו‪ .‬אם‬
‫לשתי הקבוצות עוצמה שונה‪ ,‬הרי שעפ"י עקרון דיריכלה‪ ,‬לא תיתכן פונקציית‬
‫□‬
‫שקילות ביניהן‪.‬‬
‫תרגילים (תרגילי כיתה)‬
‫‪ .6‬נתונים ‪ 21‬מספרים דו‪-‬ספרתיים שונים‪ .‬הוכיחו כי ניתן לבחור מתוכם ‪2‬‬
‫מספרים‪ ,‬כך שההפרש ביניהם הוא מספר דו‪-‬ספרתי ששתי ספרותיו‬
‫זהות‪.‬‬
‫‪ .2‬קודקודיו של מחומש הם נקודות סריג במישור (נקודות במישור אשר‬
‫הקואורדינטות שלהן הן מספרים שלמים)‪ .‬הוכיחו כי קיימים לפחות ‪2‬‬
‫קודקודים של המחומש שנקודת האמצע שלהם היא עצמה נקודת סריג‬
‫במישור‪.‬‬
‫‪ n .3‬אנשים נפגשו במסיבה וחלקם לחצו ידיים זה לזה‪ .‬הוכיחו כי קיימים ‪2‬‬
‫אנשים שלחצו את אותו מספר ידיים‪.‬‬
‫‪ .4‬הוכיחו כי קיימת כפולה של ‪ 1229‬שיצוגה העשרוני כולל רק ספרות‬
‫בינאריות‪.‬‬
‫‪ .5‬נתונות ‪ 6‬נקודות במישור‪ ,‬אשר אף ‪ 1‬מהן אינן על ישר אחד‪ .‬מחברים כל ‪1‬‬
‫נקודות בקטע ישר וצובעים אותו באחד משני הצבעים‪ :‬כחול או אדום‪.‬‬
‫הוכיחו כי בכל צביעה כזו נוצר לפחות משולש אחד שכל צלעותיו צבועות‬
‫באותו הצבע‪.‬‬
‫‪ 12 .1‬נקודות מפוזרות בריבוע ששטחו ‪ 1‬מ"ר‪ .‬הוכיחו כי ‪ 3‬מתוכן נמצאות בתוך‬
‫‪1‬‬
‫מ'‪.‬‬
‫עיגול שרדיוסו‬
‫‪7‬‬
‫‪601‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫תרגיל בית מס' ‪ – 12‬עקרון שובך היונים‬
‫‪ .6‬הוכיחו כי בקרב כל ‪ n  1‬מספרים טבעיים קיימים שניים שהפרשם מתחלק‬
‫ב‪.n -‬‬
‫‪ .2‬נתונה הקבוצה‪ . A  1,2,3,...,2n :‬הוכיחו כי בכל בחירה של ‪ n  1‬מספרים‬
‫מ‪ ,A -‬ישנם שניים הזרים זה לזה (כלומר – המחלק המשותף הגדול ביותר‬
‫שלהם הוא ‪.)3‬‬
‫‪ .3‬נתונה הקבוצה‪ . A  1,2,3,...,2n :‬הוכיחו כי בכל בחירה של ‪ n  1‬מספרים‬
‫מ‪ ,A -‬ישנם שניים כך שהאחד מחלק את השני (ללא שארית)‪.‬‬
‫(הדרכה ‪ -‬השתמשו בטענת העזר הבאה‪ :‬כל מספר טבעי ‪ n‬ניתן להצגה‬
‫באופן יחיד כמכפלה של מספר אי‪-‬זוגי במספר שהוא חזקה שלמה של ‪,2‬‬
‫כלומר‪). n  i, j   0 : n  2i  2j  1 :‬‬
‫‪ .4‬נתון כי סכום של ‪ 2‬מספרים טבעיים הוא ‪ .20‬הוכיחו כי קיימים ביניהם ‪1‬‬
‫מספרים שסכומם הוא לפחות ‪.10‬‬
‫‪ .5‬מסדרים את המספרים‪ 1,2,3,…,10 :‬על‪-‬גבי מעגל בסדר כלשהו‪ .‬הוכיחו כי‬
‫קיימים על‪-‬גבי המעגל ‪ 1‬מקומות סמוכים שסכום מספריהם גדול או שווה ל‪-‬‬
‫‪.37‬‬
‫‪ .1‬במישור נתונות ‪ 37‬נקודות‪ ,‬אשר אף ‪ 1‬מהן אינן על ישר אחד‪ .‬מחברים כל ‪2‬‬
‫נקודות בקטע וצובעים את כל הקטעים באחד משלושת הצבעים‪ :‬ירוק‪ ,‬כחול‬
‫או לבן‪ .‬הוכיחו כי באיור (בגרף השלם) שהתקבל יש משולש שכל צלעותיו‬
‫צבועות באותו הצבע‪.‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו כי בכל בחירה של ‪ 5‬נקודות מתוך ריבוע במימדים‪ , 1cm  1cm :‬קיימות ‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫נקודות אשר המרחק ביניהן אינו עולה על‬
‫‪2 cm‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו כי בעיגול שרדיוסו ‪ 2‬לא ניתן לסמן ‪ 303‬נקודות כך שהמרחק בין כל‬
‫שתיים מהן גדול מ‪.2 -‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו כי‪. k  m, n  : m  n  2m  2n  2009k :‬‬
‫‪ .60‬הוכיחו כי קיימת חזקה טבעית של ‪ 3‬המסתיימת בספרות ‪( 001‬בבסיס ‪.)10‬‬
‫(במילים אחרות‪ ,‬הוכיחו כי קיים ‪ n ‬כך שהייצוג העשרוני של ‪ 3n‬מסתיים‬
‫בספרות‪).001 :‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪660‬‬