פרק 1 – יחסים (בינאריים) - Or-Alfa

‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫פרק ‪ – 3‬יחסים בינאריים‬
‫פרק זה מהווה המשך ישיר של הפרק הקודם – מבוא לתורת הקבוצות‪.‬‬
‫הוא עוסק בהגדרת המושג‪ :‬יחס בינארי – יחס המוגדר בין שתי קבוצות‪,‬‬
‫בסקירת תכונותיו וסוגיו השונים‪.‬‬
‫נציין (ונראה זאת בהמשך) כי המושג יחס בינארי מהווה הכללה של מושג יסודי‬
‫אחר במתמטיקה ‪ -‬פונקציה (המוגדרת אף היא בין שתי קבוצות)‪.‬‬
‫הגדרה‪ ,‬יצוג ותכונות יסודיות‬
‫‪‬‬
‫תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬קבוצות כלשהן‪ R .‬הוא יחס בינארי מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪B‬‬
‫אם"ם ‪. R  A  B‬‬
‫‪‬‬
‫תהי ‪ A‬קבוצה כלשהי‪ R .‬הוא יחס בינארי מעל קבוצה ‪ A‬אם"ם ‪ R‬הוא יחס‬
‫מקבוצה ‪ A‬לעצמה‪ ,‬משמע‪. R  A  A :‬‬
‫הערה‪ :‬מכאן ואילך נשמיט את המילה 'בינארי' ונאמר רק יחס‪ ,‬כאשר הכוונה‬
‫היא כמובן ליחס בינארי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בהינתן קבוצות ‪ A‬ו‪ B -‬כלשהן‪ ,‬מוגדרים היחסים (המיוחדים) הבאים‬
‫מ‪ A -‬ל‪:B -‬‬
‫□ היחס הריק ‪)   A  B (  -‬‬
‫□ היחס המלא ‪) A  B  A  B ( A  B -‬‬
‫אם ‪ , A  B‬אז ניתן להגדיר גם את היחס המיוחד הבא (מעל ‪:)A‬‬
‫□ יחס הזהות ‪) IA  A  A ( Id A  IA :  a,a  : a  A -‬‬
‫דוגמאות‪ :‬תהיינה ‪ A  1,2,3 , B  4,5‬שתי קבוצות‪.‬‬
‫‪ A  B ,  , S1  1, 4 ,  2, 4 ,  3,5 , R1  1,4  ,  2,5 o‬הם יחסים‬
‫מ‪ A -‬ל‪.B -‬‬
‫‪, R 2   4,1 , 5,2  o‬‬
‫‪ B  A ,  , S2   4,1 ,  4, 2 ,  5,3‬הם יחסים‬
‫מ‪ B -‬ל‪.A -‬‬
‫‪ V   , T  1,4  ,  2,3 ,  3,5 o‬אינם יחסים מ‪ A -‬ל‪ B -‬ואף אינם יחסים מ‪-‬‬
‫‪ B‬ל‪.A -‬‬
‫‪33‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪o‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫‪ R  1,1 ,  2,1 ,  3, 2 ‬הוא יחס מעל ‪( A‬מ‪ A -‬ל‪.)A -‬‬
‫‪o‬‬
‫‪ S  1,1 , 1, 2  , 1,3 ,  2, 2  ,  2,3 , 3,3‬הוא יחס מעל ‪( A‬מ‪ A -‬ל‪ ,)A -‬אשר‬
‫‪o‬‬
‫‪ U  1, 2  , 1,3 ,  2,3‬הוא יחס מעל ‪( A‬מ‪ A -‬ל‪ ,)A -‬אשר ניתן להגדרה‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪ ‬הוא יחס מעל ‪( A‬וגם מעל ‪.)B‬‬
‫‪ A  A  1,1 , 1, 2  , 1,3 ,  2,1 ,  2, 2  ,  2,3 , 3,1 , 3, 2  , 3,3 ‬הוא היחס‬
‫ניתן להגדרה באופן הבא‪( S   a, b   A  A : a  b :‬היחס ‪ ‬מעל ‪.)A‬‬
‫באופן הבא‪( U   a, b   A  A : a  b :‬היחס ‪ ‬מעל ‪.)A‬‬
‫המלא מעל ‪.A‬‬
‫‪ B  B   4, 4  ,  4,5 ,  5, 4  , 5,5 o‬הוא היחס המלא מעל ‪.B‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪‬‬
‫‪ IA  1,1 ,  2, 2  , 3,3‬הוא יחס הזהות מעל ‪.A‬‬
‫‪ IB   4, 4  ,  5,5‬הוא יחס הזהות מעל ‪.B‬‬
‫את עובדת היות ‪ a‬נמצא ביחס ‪( R‬נתון) עם ‪ ,b‬נסמן‪ a, b  R :‬או ‪ aRb‬או‬
‫‪a ‬‬
‫‪.    R‬‬
‫‪b‬‬
‫דוגמא‪ :‬בהינתן‪ A  1,2,3 , B  4,5 :‬שתי קבוצות ו‪ R -‬יחס מ‪ A -‬ל‪:B -‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ , R  1, 4 , 1,5 ,  2,5‬הרי ש‪ .    R , 1R4 , 1, 4   R :‬כמו כן‪, 1,3  R :‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪112 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪.R ‬‬
‫‪ .    R , 1R 3‬בנוסף‪ ,‬ניתן לרשום את ‪ R‬גם באופן המפורש הבא‪ :‬‬
‫‪ 455 ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫יחס ניתן ליצוג בשני אופנים עיקריים‪:‬‬
‫‪ ‬גרף מכוון – הזוג ‪ G   V, E ‬נקרא‪ :‬גרף מכוון‪ ,‬אם"ם ‪V  ‬‬
‫היא קבוצה סופית ו‪ E -‬היא קבוצה של זוגות סדורים‪ ,‬אשר‬
‫איבריהם נמצאים ב‪ ;V -‬מבחינה גיאומטרית‪ ,‬ייצוג יחס (בינארי)‬
‫בין שתי קבוצות כגרף מכוון מכיל אוסף של קודקודים (איברי‬
‫הקבוצות ביניהן מוגדר היחס) וקשתות (חיצים מכוונים המייצגים‬
‫את הזוגות הסדורים השייכים ליחס)‪.‬‬
‫‪ ‬מטריצת סמיכויות בינארית – מטריצה‪/‬טבלה מלבנית בה ערכו של‬
‫כל איבר הוא ‪ 0‬או ‪ ;1‬הערך ‪ 1‬מייצג את שייכותו של הזוג הסדור‬
‫(המתאים לאיבר בטבלה) ליחס‪ ,‬בעוד הערך ‪ 0‬מייצג את אי‪-‬שייכותו של‬
‫הזוג הסדור (המתאים לאיבר בטבלה) ליחס; אם היחס הוא מעל קבוצה‬
‫(‪ A‬כלשהי) אז המטריצה ריבועית‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫דוגמאות‪ :‬תהיינה ‪ A  1,2,3 , B  4,5‬שתי קבוצות‪.‬‬
‫‪ o‬נייצג את היחס‪ R  1,4  ,  2,4  ,  3,5 :‬מ‪ A -‬ל‪ B -‬בשני האופנים הנ"ל‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ o‬גם את היחס‪ S  1,1 , 1,2  ,  2,1 ,  2,3 :‬מעל ‪ A‬נייצג בשני האופנים הנ"ל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪35‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫יהי ‪ R‬יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪.B‬‬
‫נגדיר את תחום היחס ‪ R‬כקבוצת כל הרכיבים הראשונים בזוגות הסדורים‬
‫ביחס (נסמנו‪ ,) Domain  R  :‬ואת טווח היחס ‪ R‬כקבוצת כל הרכיבים‬
‫השניים בזוגות הסדורים ביחס (נסמנו‪.) Range  R  :‬‬
‫בלשון תורת הקבוצות נגדיר זאת באופן הבא‪:‬‬
‫‪Domain  R  : a  A :  b  B : aRb ‬‬
‫‪Range  R  : b  B :  a  A : aRb ‬‬
‫דוגמא‪ :‬תהיינה ‪ A  1, 2,3 , B  4,5,6‬שתי קבוצות‪ .‬נגדיר את היחס הבא‪:‬‬
‫‪ R  1,4  ,  2,5‬מ‪ A -‬ל‪ .B -‬מתקיים‪. Domain  R   1,2 , Range  R   4,5 :‬‬
‫הערה‪ :‬עבור יחס ‪ R‬כלשהו מעל קבוצה ‪ A‬נתונה מתקיים‪:‬‬
‫‪. Range R   B , Domain R   A‬‬
‫הגדרת יחס (בינארי) בין שתי קבוצות כתת‪-‬קבוצה של המכפלה הקרטזית‬
‫שלהן מאפשרת להתייחס ליחסים (בינאריים) כאל קבוצות‪.‬‬
‫באופן זה ניתן להגדיר בין שני יחסים יחסי זרות‪ ,‬שוויון‪ ,‬הכלה והכלה ממש‪ ,‬כמו‬
‫גם את הפעולות היסודיות‪ :‬איחוד‪ ,‬חיתוך‪ ,‬הפרש‪ ,‬הפרש סימטרי ומשלים‪ ,‬בדיוק‬
‫כפי שהוגדרו בין שתי קבוצות‪.‬‬
‫היחס ההפוך‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ R‬יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪( B‬לרבות המקרה‪.) A  B :‬‬
‫נגדיר את היחס ההפוך ל‪ ,R -‬שיסומן ‪ , R 1‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪. R 1 :  b, a   B  A :  a, b  R   b, a  B A : aRb‬‬
‫באופן שקול נגדיר‪( a  Ab  B :  a, b  R   b, a  R1 :‬או בסימול אחר‪:‬‬
‫‪.) a  Ab  B: aRb  bR 1a‬‬
‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1,2,3‬‬
‫‪1122 ‬‬
‫‪ R  1,1 , 1, 2  ,  2,1 ,  2,3  ‬המוגדר מעל ‪A‬‬
‫‪ o‬היחס ההפוך ליחס‪ :‬‬
‫‪1213 ‬‬
‫‪1213 ‬‬
‫‪. R 1  1,1 ,  2,1 , 1, 2  ,  3, 2   ‬‬
‫הוא‪ :‬‬
‫‪1122 ‬‬
‫‪ o‬היחס ההפוך ליחס הריק מעל ‪ A‬הוא היחס הריק עצמו‪. 1   :‬‬
‫‪ o‬היחס ההפוך ליחס המלא מעל ‪ A‬הוא היחס המלא עצמו‪.  A  A   A  A :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪36‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪123 ‬‬
‫‪. IA 1  I A  ‬‬
‫‪ o‬היחס ההפוך ליחס הזהות מעל ‪ A‬הוא יחס הזהות עצמו‪ :‬‬
‫‪123 ‬‬
‫בהנתן יצוג של היחס ‪ R‬כגרף מכוון או כמטריצת סמיכויות בינארית‪ ,‬היצוג של‬
‫היחס ההפוך‪ , R 1 ,‬מתקבל מהם ע"י היפוך הקשתות (החיצים המכוונים) בגרף‬
‫המכוון של ‪ R‬וע"י החלפת שורות מטריצת הסמיכויות הבינארית של ‪R‬‬
‫בעמודותיה‪.‬‬
‫‪1122‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ S  ‬מעל ‪.A‬‬
‫דוגמא‪ :‬נתבונן בשתי צורות היצוג של היחס‪ :‬‬
‫‪1213 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1213 ‬‬
‫‪ S1  ‬ושתי צורות היצוג שלו הן‪:‬‬
‫היחס ההפוך ל‪ S -‬הוא‪ :‬‬
‫‪1122 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪37‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫תכונות היחס ההפוך‪:‬‬
‫נסקור עתה מספר תכונות של היחס ההפוך‪.‬‬
‫נוכיח תכונות אלה באחת משיטות ההוכחה בה נקטנו (בפרק הקודם) כשהוכחנו‬
‫טענות לגבי קבוצות‪ ,‬שכן הגדרת יחס (בינארי) בין שתי קבוצות כתת‪-‬קבוצה‬
‫של המכפלה הקרטזית שלהן מאפשרת להתייחס ליחסים (בינאריים) כאל‬
‫קבוצות‪.‬‬
‫יהיו ‪ R‬ו‪ S -‬יחסים כלשהם מקבוצה ‪( A‬נתונה) לקבוצה ‪( B‬נתונה)‪.‬‬
‫א‪ R .‬‬
‫‪R ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫הוכחה‪ :‬צ"ל כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫כלשהו‪ .‬נראה כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .   a, b   A  B :  a, b   R   a, b    R 1 ‬יהי‬
‫‪1‬‬
‫‪ a, b   A  B‬‬
‫‪ .  a, b   R   a, b    R 1 ‬אכן‪:‬‬
‫‪a, b    R 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪definition‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪.  a, b   R R 1 definition  b, a   R 1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫□‬
‫‪ ‬‬
‫ב‪Domain R 1  Range  R   Range R 1  Domain  R  .‬‬
‫(הוכחה ‪ -‬עפ"י הגדרות‪ :‬תחום‪ ,‬טווח והגדרת היחס ההפוך‪).‬‬
‫ג‪R  S  R 1  S1 .‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח בנפרד כל כוון בתכונה‪.‬‬
‫‪ : ‬נתון‪ R  S :‬וצ"ל כי‪ . R 1  S1 :‬כלומר‪ ,‬צ"ל ש‪:‬‬
‫‪ .   a, b   A  B:  a, b   R 1   a, b   S1‬יהי ‪  a, b   A  B‬כלשהו‪ .‬נראה כי‪:‬‬
‫‪ .  a, b   R 1   a, b   S1‬אכן‪:‬‬
‫‪ R R S  b,a   S   a, b   S1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ a, b   R 1   b,a    R 1 ‬‬
‫‪ : ‬נתון‪ R 1  S1 :‬וצ"ל כי‪ . R  S :‬כלומר‪ ,‬צ"ל ש‪:‬‬
‫‪ .   a, b   A  B:  a, b   R   a, b   S‬יהי ‪  a, b   A  B‬כלשהו‪ .‬נראה כי‪:‬‬
‫‪ .  a, b   R   a, b   S‬אכן‪:‬‬
‫‪.  a, b   R   b,a   R 1 R 1 S1  b,a   S1   a, b   S1   S‬‬
‫‪1‬‬
‫‪38‬‬
‫□‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫ד‪.‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫‪R  S1  R 1  S1‬‬
‫את תכונה זו נוכיח תוך שימוש בסימון‪ aRb :‬במקום בסימון‪ ,  a, b   R :‬בו‬
‫השתמשנו בהוכחות התכונות עד כה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫הוכחה‪ :‬צ"ל כי‪ . a  Ab  B : a  R  S b  a R 1  S1 b :‬יהיו ‪a  A , b  B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלשהם‪ .‬נראה כי‪ . a  R  S b  a R 1  S1 b :‬אכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a  R  S b  R S 1 definition b  R  S a  definition bRa  bSa  R 1 , S1 definitions aR 1b  aS1b ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ definition a R  S1 b‬‬
‫□‬
‫‪R  S1  R 1  S1‬‬
‫ה‪.‬‬
‫(הוכחה – תרגיל)‬
‫כפל יחסים‬
‫מעבר לפעולות היסודיות בין קבוצות (איחוד‪ ,‬חיתוך‪ ,‬הפרש‪ ,‬הפרש‬
‫סימטרי ומשלים) המוגדרות בין שני יחסים‪ ,‬ניתן להגדיר ביניהם גם‬
‫פעולת כפל‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ R‬יחס מקבוצה ‪ A‬לקבוצה ‪ B‬ויהי ‪ S‬יחס מקבוצה ‪ B‬לקבוצה‬
‫‪ .C‬נגדיר‪. R  S  RS:  a, c  A  C :  b  B :  a, b  R   b, c  S :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫באופן שקול נגדיר‪a  Ac  C: aRSc  b  B: aRb  bSc :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪b‬‬
‫(או בסימול אחר‪.) a  Ac  C :    RS  b  B :    R     S :‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c ‬‬
‫‪39‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫ תשע"ג‬1 ‫מתמטיקה בדידה‬
:‫דוגמאות‬
. C  x, y,z, w , B  a, b, c, d , A  1,2,3 :‫ תהיינה‬o
1123 
 aac d 
.R 
 , S
 :‫ כך ש‬,C -‫ ל‬B -‫ יחס מ‬S -‫ ו‬B -‫ ל‬A -‫ יחס מ‬R ‫יהיו‬
 acdb 
 xyxw 
1  a  1 
     
 a  x   x 
1  a  1 
     
112 
 a  y   y 

:‫ כי‬, RS  
1  c  1 
 xyw 
     
 c  x   x 
 2  d   2 
     
 d  w   w 
. C  p,q, r, s, t , B  1,2,3,4,5,6,7 , A  a, b, c, d, e :‫ תהיינה‬o
 aa bbd 
1223345 
.R 
 , S
 :C -‫ ל‬B -‫ יחס מ‬S -‫ ו‬B -‫ ל‬A -‫ יחס מ‬R ‫יהיו‬
 23172 
 ppt q tpp 
 a aabdd 
RS  
  SR  
 pqt pp t 
.‫ פעולת כפל יחסים אינה פעולה חילופית‬:‫מסקנה‬
. C  p,q, r, s, t , B  1,2,3,4,5,6,7 , A  a, b, c, d, e :‫ תהיינה‬o
. R  A  B , S  B  C :C -‫ ל‬B -‫ יחס מ‬S -‫ ו‬B -‫ ל‬A -‫ יחס מ‬R ‫יהיו‬
RS  A  C  SR  
. C  p,q, r, s, t , B  1,2,3,4,5,6,7 , A  a, b, c, d, e :‫ תהיינה‬o
 ab 
 37 
. R    , S    :C -‫ ל‬B -‫ יחס מ‬S -‫ ו‬B -‫ ל‬A -‫ יחס מ‬R ‫יהיו‬
 21 
 pq 
RS    SR
 1233
 23aa 
.R  
, S

 :A ‫ יחסים מעל‬S -‫ ו‬R ‫ ויהיו‬A  1,2,3, a ‫ תהי‬o
 2a1a 
 a21a 
12233 
 3a 
  SR   
RS  
 a1a1a 
 a2
40
‫רפאל ברכאן‬
‫ תשע"ג‬1 ‫מתמטיקה בדידה‬
‫ באופן‬R ‫ נגדיר חזקה (טבעית) של היחס‬.‫ נתונה‬A ‫ יחס מעל קבוצה‬R ‫ יהי‬
, n 1
R
. n  : R n :  n 1
:‫הבא‬
R

R
,
n

1

1234


 :A ‫ יחס מעל‬R ‫ ויהי‬A  1,2,3,4 ‫ תהי‬:‫דוגמא‬
. R  
 4223 
:‫נשים לב כי‬
1234  1234  1234 
1234  1234  1234 
2
, R3  R 2  R  


 ,R  R R  



 3222   4223   2222 
 4223   4223   3222 
1234  1234  1234 
3
. R 4  R3  R  


R
 2222   4223   2222 
3
2
.R -‫ ו‬R ,R :‫ הן‬R ‫ניתן להוכיח כי החזקות השונות של‬
:‫תכונות כפל יחסים‬
.‫ נתונה‬A ‫ יחסים מעל קבוצה‬W ,T ,S ,R ‫יהיו‬
R  R   .‫א‬
RS1  S1R 1
.‫ב‬
).‫ (כפל יחסים אינו חילופי – הוכחה בעמוד הקודם‬RS  SR
.‫ג‬
RST  RST 
.‫ד‬
).‫(כפל יחסים הוא קיבוצי‬
‫ נראה‬.‫ כלשהם‬a,d  A ‫ יהיו‬. a,d  A : a  RS Td  aR ST  d :‫ צ"ל כי‬:‫הוכחה‬
:‫ אכן‬. a  RS Td  aR ST  d :‫כי‬
a  RS Td  c  A : a  RS c  cTd  c  A :  b  A : aRb  bSc   cTd 
□
 c, b  A :  aRb  bSc   cTd  c, b  A : aRb   bSc  cTd  
 b  A : aRb   c  A : bSc  cTd   b  A : aRb  b ST  d  aR ST  d
RI A  I A R  R .‫ה‬
R S  T  RS  RT
.‫ו‬
RS  T  RS  RT
.‫ז‬
R  S  RT  ST  TR  TS .‫ח‬
41
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫ט‪R  S  T  W  RT  SW .‬‬
‫הוכחה‪ :‬צ"ל כי‪ . a,c  A : aRTc  aSWc :‬יהיו ‪ a,c  A‬כלשהם‪ .‬נראה כי‪:‬‬
‫‪ . aRTc  aSWc‬אכן‪:‬‬
‫‪aRTc  b  A : aRb  bTc R STW b  A : aSb  bWc  aSWc‬‬
‫□‬
‫סווג יחסים‬
‫יהי ‪ R‬יחס מעל קבוצה ‪ A‬נתונה‪.‬‬
‫‪ .1‬יחס רפלקסיבי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרות (שקולות)‪:‬‬
‫□ ‪ R‬יחס רפלקסיבי אם"ם‪. a  A : aRa :‬‬
‫□ ‪ R‬יחס רפלקסיבי אם"ם‪. I A  R :‬‬
‫‪ ‬משמעות היצוג‪ :‬בגרף מכוון המייצג יחס רפלקסיבי תהיה לולאה בכל‬
‫קודקוד; במטריצת סמיכויות בינארית של יחס רפלקסיבי האלכסון‬
‫הראשי כולו ‪1‬ים‪.‬‬
‫‪ ‬תכונות יסודיות‪:‬‬
‫‪R  R2 ‬‬
‫‪n  : R  R n ‬‬
‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1, 2,3‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬הם רפלקסיביים‪:‬‬
‫‪1231 ‬‬
‫‪123121322 ‬‬
‫‪123 ‬‬
‫‪.R ‬‬
‫‪ , AA  ‬‬
‫‪ , IA  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1232 ‬‬
‫‪123213133 ‬‬
‫‪123 ‬‬
‫היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬אינם רפלקסיביים‪:‬‬
‫‪13 ‬‬
‫‪122 ‬‬
‫‪12 ‬‬
‫‪.S    , T  ‬‬
‫‪ , W  , ‬‬
‫‪ 21‬‬
‫‪123 ‬‬
‫‪12 ‬‬
‫‪ .2‬יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרות (שקולות)‪:‬‬
‫‪. a  A : aRa‬‬
‫□ ‪ R‬יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי אם"ם‪ :‬‬
‫□ ‪ R‬יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי אם"ם‪. R  I A   :‬‬
‫‪ ‬משמעות היצוג‪ :‬גרף מכוון המייצג יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי הוא נטול‬
‫לולאות; במטריצת סמיכויות בינארית של יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי האלכסון‬
‫הראשי כולו ‪0‬ים‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1, 2,3‬‬
‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬הם אנטי‪-‬רפלקסיביים‪:‬‬
‫‪132 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪.R  ‬‬
‫‪ , S  , ‬‬
‫‪ 223 ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬אינם אנטי‪-‬רפלקסיביים‪:‬‬
‫‪1232 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪.T  ‬‬
‫‪ , W ‬‬
‫‪1231 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫הערה‪ :‬יחס יכול להיות לא רפלקסיבי ולא אנטי‪-‬רפלקסיבי (‪ W‬בדוגמא‬
‫האחרונה)‪.‬‬
‫‪ .3‬יחס סמטרי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרות (שקולות)‪:‬‬
‫□ ‪ R‬יחס סמטרי אם"ם‪. a, b  A : aRb  bRa :‬‬
‫□ ‪ R‬יחס סמטרי אם"ם‪. R  R 1 :‬‬
‫‪ ‬משמעות היצוג‪ :‬גרף מכוון של יחס סמטרי הוא נטול קשתות חד‪-‬כווניות‬
‫(חיצים חד‪-‬כווניים); מטריצת סמיכויות בינארית של יחס סמטרי סמטרית‬
‫ביחס לאלכסון הראשי שלה‪.‬‬
‫‪ ‬תכונות יסודיות‪:‬‬
‫‪ R ‬סמטרי אם"ם ‪ R‬סמטרי‪.‬‬
‫‪ ‬בהנתן ש‪ R -‬ו‪ S -‬סמטריים (מעל ‪ RS ,)A‬סמטרי אם"ם‪.RS=SR :‬‬
‫‪ ‬לכל יחס ‪ R  R 1 , R  R 1 :R‬הם יחסים סמטריים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1, 2,3‬‬
‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬הם סמטריים‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪123 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪.R   , S‬‬
‫‪ , T    , A  A ,  , IA‬‬
‫‪ 21‬‬
‫‪ 213 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬אינם סמטריים‪:‬‬
‫‪11 ‬‬
‫‪11 ‬‬
‫‪1232 ‬‬
‫‪.W   , X   , Y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 23 ‬‬
‫‪12 ‬‬
‫‪1233 ‬‬
‫הערה‪ :‬אין תלות בין התכונות רפלקסיביות‪/‬אנטי‪-‬רפלקסיביות וסמטריות‪.‬‬
‫‪43‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪ .4‬יחס אנטי‪-‬סמטרי (חלש)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרות (שקולות)‪:‬‬
‫□ ‪ R‬יחס אנטי‪-‬סמטרי (חלש) אם"ם‪. a, b  A : aRb  bRa  a  b :‬‬
‫□ ‪ R‬יחס אנטי‪-‬סמטרי (חלש) אם"ם‪. R  R 1  I A :‬‬
‫‪ ‬משמעות היצוג‪ :‬גרף מכוון של יחס אנטי‪-‬סמטרי הוא נטול חיצים דו‪-‬‬
‫כווניים (יתכן ויכיל לולאות)‪.‬‬
‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1, 2,3‬‬
‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬הם אנטי‪-‬סמטריים‪:‬‬
‫‪11 ‬‬
‫‪13 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪. R    , S    , T    ,  , IA‬‬
‫‪ 23 ‬‬
‫‪ 23 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬אינם אנטי‪-‬סמטריים‪:‬‬
‫‪12 ‬‬
‫‪123 ‬‬
‫‪123 ‬‬
‫‪.W   , X ‬‬
‫‪ , Y‬‬
‫‪ , AA‬‬
‫‪ 21‬‬
‫‪132 ‬‬
‫‪ 232 ‬‬
‫הערה‪ :‬אין תלות בין התכונות‪ :‬רפלקסיביות‪/‬אנטי‪-‬רפלקסיביות‪ ,‬סמטריות‬
‫ואנטי‪-‬סמטריות‪.‬‬
‫‪ .5‬יחס טרנזיטיבי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרות (שקולות)‪:‬‬
‫□ ‪ R‬יחס טרנזיטיבי אם"ם‪. a, b,c  A : aRb  bRc  aRc :‬‬
‫□ ‪ R‬יחס טרנזיטיבי אם"ם‪. R 2  R :‬‬
‫‪ ‬תכונות יסודיות‪:‬‬
‫‪n  : R n1  R n ‬‬
‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪. A  1, 2,3‬‬
‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬הם טרנזיטיביים‪:‬‬
‫‪121‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪11 ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪.R ‬‬
‫‪ , S    , T    , W    ,  , A  A , IA‬‬
‫‪ 233 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 23 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ o‬היחסים הבאים (מעל ‪ )A‬אינם טרנזיטיביים‪:‬‬
‫‪12 ‬‬
‫‪123 ‬‬
‫‪12323 ‬‬
‫‪.X   , Y ‬‬
‫‪ , Z‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 21‬‬
‫‪ 213 ‬‬
‫‪12331 ‬‬
‫הערה‪ :‬אין תלות בין התכונות‪ :‬רפלקסיביות‪/‬אנטי‪-‬רפלקסיביות‪ ,‬סמטריות‪,‬‬
‫אנטי‪-‬סמטריות וטרנזיטיביות‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫דוגמאות נוספות‪ :‬תהי ‪ A  ‬קבוצה כלשהי ויהי ‪ R‬יחס מעליה‪.‬‬
‫‪( R   o‬היחס הריק מעל ‪ )A‬הוא יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי‪ ,‬סמטרי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי‬
‫וטרנזיטיבי‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫‪( R  A  A‬היחס המלא מעל ‪ )A‬הוא יחס רפלקסיבי‪ ,‬סמטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬
‫‪( R  I A o‬יחס הזהות מעל ‪ )A‬הוא יחס רפלקסיבי‪ ,‬סמטרי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי‬
‫וטרנזיטיבי‪.‬‬
‫‪ o‬תהי‬
‫‪ , A ‬נגדיר‪: a  b :‬‬
‫‪( R :  a, b   ‬או באופן שקול‪:‬‬
‫‪ R .) a, b  A : aRb  a  b‬הוא יחס רפלקסיבי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי וטרנזיטיבי‬
‫מעל ‪.A‬‬
‫‪ o‬תהי‬
‫‪ , A ‬נגדיר‪: a  b :‬‬
‫‪( R :  a, b   ‬או באופן שקול‪:‬‬
‫‪ R .) a, b  A : aRb  a  b‬הוא יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי‬
‫וטרנזיטיבי מעל ‪.A‬‬
‫‪ o‬נגדיר יחס ‪ R‬מעל ‪ P  A ‬באופן הבא‪R : X, Y : X, Y  P(A)  X  Y :‬‬
‫(או באופן שקול‪ R .) X, Y  P(A) : XRY  X  Y :‬הוא יחס רפלקסיבי‪,‬‬
‫אנטי‪-‬סמטרי וטרנזיטיבי מעל ‪. P  A ‬‬
‫‪ o‬נגדיר יחס ‪ R‬מעל ‪ P  A ‬באופן הבא‪R : X, Y : X, Y  P(A)  X  Y :‬‬
‫(או באופן שקול‪ R .) X, Y  P(A) : XRY  X  Y :‬הוא יחס אנטי‪-‬‬
‫רפלקסיבי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי וטרנזיטיבי מעל ‪. P  A ‬‬
‫‪ o‬תהי ‪ ‬קבוצת כל האותיות האנגליות הקטנות ( ‪ .)   a, b,c,..., z‬נסמן ב‪-‬‬
‫‪  ‬את קבוצת כל המילים‪/‬המחרוזות הסופיות הלא ריקות המורכבות מאיברי‬
‫‪( ‬למשל‪ .) abc  , zw  , c  :‬תהי ‪ ‬מחרוזת‪/‬מילה כלשהי ב‪  -‬‬
‫( ‪ .)  ‬נסמן ב‪  -‬את אורך המחרוזת‪/‬המילה ‪( ‬היינו‪ ,‬מספר האותיות‬
‫בה)‪ .‬נגדיר יחס ‪ R‬מעל ‪  ‬באופן הבא‪. ,  : R     :‬‬
‫(במילים‪ :‬שתי מחרוזות‪/‬מילים מ‪   -‬נמצאות ביחס ‪ R‬זו עם זו אם"ם אורכיהן‬
‫שווים‪).‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R‬הוא יחס רפלקסיבי‪ ,‬סמטרי וטרנזיטיבי מעל ‪. ‬‬
‫‪45‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ , A  ‬לא יתכן כי קיים יחס ‪ R‬מעל ‪ A‬שהוא גם רפלקסיבי וגם‬
‫אנטי‪-‬רפלקסיבי‪( .‬במילים אחרות‪ ,‬אם ‪ R‬יחס מעל ‪ A‬שהוא גם רפלקסיבי וגם‬
‫אנטי‪-‬רפלקסיבי‪ ,‬אז בהכרח ‪). A  ‬‬
‫הוכחה‪ :‬עפ"י ההגדרות ‪ -‬לא יתכן שאם ‪ , A  ‬אז מתקיים‪:‬‬
‫‪a  A :  a, a   R R reflexive  a  A :  a, a  R R anti reflexive x:P xx:Q x x:P x  Q x‬‬
‫□‬
‫‪ a  A :  a, a   R   a, a   R   a  A : F  A  F‬‬
‫טענה‪ :‬יהי ‪ R‬יחס כלשהו מעל ‪ R .A‬סמטרי ואנטי‪-‬סמטרי אם"ם‪. R  I A :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ : ‬נתון כי ‪ R‬סמטרי ואנטי‪-‬סמטרי וצ"ל כי‪ . R  I A :‬כלומר‪ ,‬צ"ל כי‪:‬‬
‫‪ . a, b  A : aRb  aIA b‬יהיו ‪ a, b  A‬כלשהם‪ .‬אכן‪:‬‬
‫‪. aRb R symmetric bRa aRb‬‬
‫‪ a  b  aIA b‬‬
‫‪R anti symmetric‬‬
‫‪ : ‬נתון כי‪ R  I A :‬וצ"ל כי ‪ R‬יחס סמטרי ואנטי‪-‬סמטרי‪ .‬עפ"י תכונות היחס‬
‫ההפוך ( ‪ ) S  T  S1  T1‬מתקיים‪. R  IA  R 1  IA 1  IA :‬‬
‫מחד נקבל‪ , R  IA  R 1  IA IA properties R  R 1 :‬ולכן ‪ R‬יחס סמטרי‪.‬‬
‫מאידך נקבל‪ , R  IA  R 1  IA  R  R 1  IA :‬ולכן ‪ R‬יחס אנטי‪-‬סמטרי‪.‬‬
‫□‬
‫סגור של יחס ביחס לתכונה מסוימת שלו‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ R‬יחס מעל קבוצה ‪ A‬כלשהי‪ .‬יחס ‪( S‬מעל ‪ )A‬הוא הסְ גֹור של ‪R‬‬
‫ביחס לתכונה מסוימת (כגון‪ :‬רפלקסיביות‪ ,‬סמטריות וכדומה) אם"ם מתקיימים‬
‫התנאים הבאים‪:‬‬
‫א‪R  S .‬‬
‫ב‪ S .‬מקיים את התכונה הנ"ל (רפלקסיביות‪ ,‬סמטריות וכדומה);‬
‫ג‪ S .‬מוכל בכל יחס אחר המכיל את ‪ R‬והמקיים את התכונה הנ"ל‪.‬‬
‫‪11 ‬‬
‫דוגמאות‪ :‬תהי ‪ A  1,2,3‬ויהי ‪ R   ‬יחס מעל ‪.A‬‬
‫‪ 23 ‬‬
‫‪11123 ‬‬
‫‪ , S1  ‬שכן הוא מקיים‬
‫‪ o‬הסגור הרפלקסיבי של ‪ R‬מעל ‪ A‬הוא היחס‪ :‬‬
‫‪ 23123 ‬‬
‫את התנאים א'‪-‬ג' דלעיל‪.‬‬
‫‪1123 ‬‬
‫‪ , S2  ‬שכן הוא מקיים את‬
‫‪ o‬הסגור הסמטרי של ‪ R‬מעל ‪ A‬הוא היחס‪ :‬‬
‫‪ 2311‬‬
‫התנאים א'‪-‬ג' דלעיל‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ R‬הוא יחס מעל קבוצה ‪ A‬כלשהי‪ ,‬המקיים תכונה מסוימת‪ ,‬אז הוא‬
‫הסגור של עצמו עבור אותה תכונה‪.‬‬
‫‪123 ‬‬
‫‪ R  ‬יחס מעליה‪ ,‬הרי שהסגור הרפלקסיבי‬
‫למשל‪ ,‬בהינתן ‪ A  1,2,3‬ו‪ -‬‬
‫‪123 ‬‬
‫של ‪ R‬הוא ‪ R‬עצמו‪.‬‬
‫יחסי שקילות‬
‫הגדרות ודוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫יהי ‪ R‬יחס מעל קבוצה ‪ R . A  ‬הוא יחס שקילות מעל ‪ A‬אם"ם ‪ R‬הוא‬
‫רפלקסיבי‪ ,‬סמטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ o‬תהי ‪ . A  1, 2,3‬היחסים הבאים הם יחסי שקילות מעל ‪:A‬‬
‫‪123 ‬‬
‫‪12312 ‬‬
‫‪12313 ‬‬
‫‪ 12323 ‬‬
‫‪.R ‬‬
‫‪ , S‬‬
‫‪ , T‬‬
‫‪ , U‬‬
‫‪ , V  AA‬‬
‫‪123 ‬‬
‫‪12321 ‬‬
‫‪12331 ‬‬
‫‪ 12332 ‬‬
‫‪ o‬עבור קבוצה ‪ A  ‬כלשהי‪ ,‬היחס המלא ויחס הזהות ( ‪ ) IA , A  A‬הם יחסי‬
‫שקילות מעל ‪.A‬‬
‫□ יחס המודולו‪ n-‬מעל ‪:‬‬
‫באופן הבא‪ :‬לכל ‪ a , a, b ‬נמצא‬
‫יהי ‪ n ‬כלשהו‪ .‬נגדיר יחס ‪ R‬מעל‬
‫ביחס ‪ R‬עם ‪ b‬אם"ם ל‪ a -‬ול‪ b -‬יש את אותה שארית חלוקה ב‪ .n -‬נהוג לסמן‬
‫ולהגדיר זאת באופן הבא‪ a, b  : aRb  a  mod n   b :‬או באופן הבא‪:‬‬
‫‪. a, b  : aRb  a n b‬‬
‫נראה כי ‪ R‬הוא אכן יחס שקילות מעל ‪.‬‬
‫רפלקסיביות מתקיימת‪ ,‬שכן לכל ‪ : a ‬ל‪ a -‬יש את אותה שארית חלוקה‬
‫ב‪ n -‬כמו לעצמו ( ‪.) aRa‬‬
‫סמטריות מתקיימת‪ ,‬שכן לכל ‪ : a, b ‬אם ל‪ a -‬יש את אותה שארית חלוקה‬
‫ב‪ n -‬כמו של‪ ,b -‬אז ל‪ b -‬יש את אותה שארית חלוקה ב‪ n -‬כמו של‪a -‬‬
‫( ‪.) aRb  bRa‬‬
‫טרנזיטיביות מתקיימת‪ ,‬שכן לכל ‪ : a, b,c ‬אם ל‪ a -‬יש את אותה שארית‬
‫חלוקה ב‪ n -‬כמו של‪ b -‬ול‪ b -‬יש את אותה שארית חלוקה כמו של‪ ,c -‬אז ל‪-‬‬
‫‪ a‬יש את אותה שארית חלוקה ב‪ n -‬כמו של‪.) aRb  bRc  aRc ( c -‬‬
‫‪47‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪2R4  2  mod 2   4  2 2 4‬‬
‫‪3R5  3  mod 2   5  3  2 5‬‬
‫עבור ‪ n  2‬מתקיים‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪21R124  21  mod 2   124  21  2 124‬‬
‫(שאריות החלוקה ב‪ 2 -‬הן ‪ 0‬ו‪ 1 -‬בלבד‪).‬‬
‫‪3R6  3  mod 3  6  3 3 6‬‬
‫עבור ‪ n  3‬מתקיים‪ ,‬למשל‪4R7  4  mod 3  7  4 3 7 :‬‬
‫‪5R8  5  mod 3  8  5 3 8‬‬
‫(שאריות החלוקה ב‪ 3 -‬הן ‪ 1 ,0‬ו‪ 2 -‬בלבד‪).‬‬
‫‪‬‬
‫תהי ‪ . A  ‬חלוקה של ‪ A‬היא קבוצת תת‪-‬קבוצות לא ריקות של ‪ A‬הזרות זו‬
‫לזו בזוגות (משמע‪ ,‬כל שתי תת‪-‬קבוצות זרות זו לזו)‪ ,‬ואשר איחודן הוא ‪.A‬‬
‫דוגמא‪ :‬חלוקות של הקבוצה ‪ A  1,2,3‬הן‪:‬‬
‫‪1,2,3‬‬
‫‪‬‬
‫‪1, 2,3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1,3,2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2,3,1 ‬‬
‫‪1, 2,3 ‬‬
‫הערה‪ :‬לכל קבוצה ‪ A  ‬קיימות שתי חלוקות טריוויאליות‪. a : a  A , A :‬‬
‫יהי ‪ R‬יחס שקילות מעל ‪. A  ‬‬
‫□‬
‫מחלקת השקילות של ‪ a  A‬ביחס ‪ R‬מוגדרת כקבוצת כל איברי ‪A‬‬
‫הנמצאים ביחס ‪ R‬עם ‪ ,a‬ומסומנת באופן הבא‪. a R : b  A : aRb :‬‬
‫□‬
‫קבוצת המנה של היחס ‪ R‬מוגדרת כקבוצת כל מחלקות השקילות של‬
‫היחס ‪ R‬מעל ‪ ,A‬ומסומנת באופן הבא‪. A : a R : a  A :‬‬
‫‪R‬‬
‫□‬
‫‪ A‬היא קבוצה סופית‪ ,‬מגדירים את האינדקס של יחס השקילות ‪R‬‬
‫אם‬
‫‪R‬‬
‫‪ . A‬אחרת‪ ,‬אומרים כי האינדקס של יחס השקילות ‪ R‬הוא אינסופי‪.‬‬
‫כ‪-‬‬
‫‪R‬‬
‫‪48‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪o‬‬
‫‪ 12312 ‬‬
‫‪ R  ‬הוא‪ ,‬כאמור לעיל‪ ,‬יחס שקילות מעל ‪. A  1,2,3‬‬
‫היחס ‪‬‬
‫‪ 12321 ‬‬
‫נחשב ונמצא את כל מחלקות השקילות של יחס זה‪ ,‬את קבוצת המנה ואת‬
‫‪‬‬
‫‪1R  1, 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2R  1, 2‬‬
‫‪‬‬
‫האינדקס שלו‪:‬‬
‫‪3R  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪A R  1R ,  2R , 3R  1R , 3R  1, 2 , 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪A 2‬‬
‫‪ R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫חלוקה של ‪" A‬המתאימה" ליחס זה‪. 1R , 3R  1, 2 , 3 :‬‬
‫‪o‬‬
‫‪123 ‬‬
‫‪ R  IA  ‬הוא‪ ,‬כאמור לעיל‪ ,‬יחס שקילות מעל ‪. A  1,2,3‬‬
‫היחס ‪‬‬
‫‪123 ‬‬
‫נחשב ונמצא את כל מחלקות השקילות של יחס זה‪ ,‬את קבוצת המנה ואת‬
‫‪‬‬
‫‪1R  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2R  2‬‬
‫‪‬‬
‫האינדקס שלו‪:‬‬
‫‪3R  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪A R  1R ,  2R , 3R  1 , 2 , 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪A 3‬‬
‫‪ R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫חלוקה של ‪" A‬המתאימה" ליחס זה‪. 1R ,  2R , 3R  1 , 2 , 3 :‬‬
‫הוא יחס‬
‫‪ o‬יהי ‪ n ‬כלשהו‪ .‬כאמור לעיל‪ ,‬היחס מודולו ‪ )  n ( n‬מעל‬
‫שקילות (מעל )‪ .‬עבור המקרה‪ , n  3 :‬נחשב ונמצא את כל מחלקות‬
‫השקילות של יחס זה‪ ,‬את קבוצת המנה ואת האינדקס שלו‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 03  ..., 9, 6, 3, 0,3, 6,9,...  3k : k  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪13  ..., 8, 5, 2,1, 4, 7,...  3k  1: k  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 23  ..., 7, 4, 1, 2,5,8,...  3k  2 : k  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0 , 1 ,  2  3k : k   , 3k  1: k   , 3k  2 : k  ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ R‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪49‬‬
‫‪‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫חלוקה של‬
‫רפאל ברכאן‬
‫"המתאימה" ליחס זה‪:‬‬
‫‪,3k  1: k   ,3k  2 : k   ‬‬
‫שימו לב!‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 , 1 ,  2  3k : k ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪R‬‬
‫‪.‬‬
‫שימו לב! בהינתן יחס שקילות ‪ R‬מעל קבוצה ‪ , A  ‬הרי שקבוצת המנה‬
‫היא‪ ,‬למעשה‪ ,‬החלוקה של ‪ ,A‬המושרית ע"י היחס ‪.R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪A‬‬
‫משפט ‪ :1‬תהי ‪ . A  ‬חלוקה של ‪ A‬משרה יחס שקילות ‪ R‬מעל ‪.A‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ P‬חלוקה נתונה של ‪( A‬לתת‪-‬קבוצות לא ריקות‪ ,‬זרות בזוגות‪ ,‬אשר‬
‫איחודן הוא ‪ ).A‬נגדיר את ‪ R‬באופן הבא‪ :‬לכל ‪ a , a, b  A‬ו‪ b -‬נמצאים ביחס ‪,R‬‬
‫אם"ם הם נמצאים באותה תת‪-‬קבוצה בחלוקה (‪ )P‬של ‪ .A‬נוכיח כי ‪ R‬יחס‬
‫שקילות מעל ‪ R .A‬רפלקסיבי‪ ,‬שכן כל איבר ב‪ A -‬נמצא עם עצמו באותה תת‪-‬‬
‫קבוצה בחלוקה של ‪ R .A‬סמטרי‪ ,‬שכן לכל ‪ : a, b  A‬אם ‪ a‬נמצא עם ‪ b‬באותה‬
‫תת‪-‬קבוצה בחלוקה של ‪ ,A‬אז גם ‪ b‬נמצא עם ‪ a‬באותה תת‪-‬קבוצה בחלוקה של‬
‫‪ R .A‬טרנזיטיבי‪ ,‬שכן לכל ‪ : a, b,c  A‬אם ‪ a‬נמצא עם ‪ b‬באותה תת‪-‬קבוצה‬
‫בחלוקה של ‪ ,A‬ואם ‪ b‬נמצא עם ‪ c‬באותה תת‪-‬קבוצה בחלוקה של ‪ ,A‬אז גם ‪a‬‬
‫נמצא עם ‪ c‬באותה תת‪-‬קבוצה בחלוקה של ‪ .A‬מכאן‪ R ,‬יחס שקילות מעל ‪ .A‬‬
‫משפט ‪( 2‬המשפט ההפוך)‪ :‬תהי ‪ A  ‬ויהי ‪ R‬יחס שקילות מעל ‪.A‬‬
‫‪ R‬משרה חלוקה של ‪.A‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה כי מחלקות השקילות של ‪ R‬הן תת‪-‬קבוצות היוצרות חלוקה של‬
‫‪ .A‬במילים אחרות‪ ,‬קבוצת המנה ‪ A‬היא החלוקה של ‪ ,A‬המושרית ע"י יחס‬
‫‪R‬‬
‫השקילות ‪ .R‬לשם כך יש להוכיח כי מחלקות השקילות של ‪ R‬אינן ריקות‪ ,‬זרות‬
‫בזוגות ואיחודן הוא ‪ .A‬אכן‪:‬‬
‫א‪ .‬ל‪ R -‬אין מחלקות שקילות ריקות לאור תכונת הרפלקסיביות שלו‪ ,‬שכן‪:‬‬
‫‪. a  A : aRa  a  A : a  a R  a  A : a R  ‬‬
‫ב‪ .‬איחוד כל מחלקות השקילות של ‪ R‬הוא ‪( A‬מכסה את ‪ ,)A‬לאור תכונת‬
‫הרפלקסיביות של ‪ ,R‬שכן‪. a  A : aRa  a  A : a  a R  a R  A :‬‬
‫‪aA‬‬
‫ג‪ .‬מחלקות השקילות של ‪ R‬זרות זו לזו בזוגות או מתלכדות זו עם זו‪.‬‬
‫נוכיח זאת ע"י כך שנראה שאם שתי מחלקות שקילות כלשהן של ‪R‬‬
‫אינן זרות‪ ,‬הרי שהן מתלכדות‪ .‬תהיינה‪ ,‬אפוא‪ a R ,  bR ,‬שתי‬
‫מחלקות שקילות כלשהן של ‪ .R‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪   c  A : c  a R   bR  c  aR  c  bR  cRa  cRb ‬‬
‫‪a R   bR‬‬
‫‪R is symmetric aRc  cRb  R is transitive aRb  R is symmetric bRa  *‬‬
‫נראה עתה כי מתחייב ש‪ , a R  bR :‬באמצעות הכלה דו‪-‬כוונית‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫נראה כי‪. x  A : x  a R  x   bR  x  bR  x  a R :‬‬
‫‪50‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫יהי ‪ x  A‬כלשהו‪ .‬אכן‪:‬‬
‫‪bRx symmetry xRb  x  b R‬‬
‫‪x  a R  xRa symmetry aRx * bRa , aRx‬‬
‫‪bRa aRx transitivity bRx‬‬
‫יהי ‪ x  A‬כלשהו‪ .‬אכן‪xRa  x  a R :‬‬
‫‪x   bR  xRb * bRa , xRb‬‬
‫‪xRb  bRa transitivity xRa‬‬
‫מכאן שמחלקות השקילות של ‪ R‬הן אכן תת‪-‬קבוצות היוצרות חלוקה של ‪.A‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬קבוצת המנה ‪ A‬היא החלוקה של ‪ ,A‬המושרית ע"י יחס‬
‫‪R‬‬
‫השקילות ‪.R‬‬
‫‪‬‬
‫יחסי סדר‬
‫הגדרות ודוגמאות‪:‬‬
‫יהי ‪ R‬יחס מעל קבוצה ‪. A  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R‬הוא יחס סדר חלקי (יס"ח) מעל ‪ A‬אם"ם ‪ R‬רפלקסיבי‪ ,‬אנטי‪-‬סמטרי‬
‫וטרנזיטיבי‪ .‬הזוג הסדור ‪  A, R ‬נקרא‪ :‬קבוצה סדורה חלקית (קס"ח)‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫הוא רפלקסיבי (שכן‪ ,) z  : z  z :‬אנטי‪-‬סמטרי (שכן‪:‬‬
‫‪ o‬היחס ‪ ‬מעל‬
‫‪ ) z, w  : z  w  w  z  z  w‬וטרנזיטיבי (שכן‪:‬‬
‫‪ ,) z, w, t  : z  w  w  t  z  t‬ולכן יס"ח מעל ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מכאן שהקבוצה ‪,  ‬‬
‫היא קס"ח‪.‬‬
‫הוא רפלקסיבי (שכן‪ ,) n  : n | n :‬אנטי‪-‬סמטרי (שכן‪:‬‬
‫‪ o‬היחס | מעל‬
‫‪ ) m, n  : m | n  n | m  m  n‬וטרנזיטיבי (שכן‪:‬‬
‫‪ ,) m, n, p  : m | n  n | p  m | p‬ולכן יס"ח מעל ‪.‬‬
‫מכאן שהקבוצה ‪,|‬‬
‫‪‬‬
‫היא קס"ח‪.‬‬
‫‪ o‬היחס ‪ ‬מעל ‪ P  A ‬הוא רפלקסיבי (שכן‪ ,) B  P  A  : B  B :‬אנטי‪-‬סמטרי‬
‫(שכן‪ ) B,C  P  A  : B  C  C  B  B  C :‬וטרנזיטיבי (שכן‪:‬‬
‫‪ ,) B,C, D  P  A  : B  C  C  D  B  D‬ולכן יס"ח מעל ‪. P  A ‬‬
‫מכאן שהקבוצה ‪  P  A  ,  ‬היא קס"ח‪.‬‬
‫‪51‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫יצוג יחס סדר חלקי (יס"ח) באמצעות דיאגרמת הסה‪:‬‬
‫מקובל לייצג קס"ח סופית ‪  A, R ‬באמצעות גרף הנקרא‪ :‬דיאגרמת הסה‪,‬‬
‫והנבנה עפ"י העקרונות הבאים‪:‬‬
‫‪ ‬קודקודי הגרף הם איברי ‪.A‬‬
‫‪ ‬הגם שהגרף לרוב אינו מכיל קשתות (צלעות מכוונות‪ ,‬חיצים)‪ ,‬התנועה בו‬
‫מכוונת – בד"כ "מלמטה כלפי מעלה"‪.‬‬
‫‪ ‬לכל ‪ a : a, b  A‬מחובר במסלול (אוסף של צלע אחת או יותר) ל‪b -‬‬
‫"שמעליו" אם"ם ‪( . aRb‬אומרים גם במקרה זה כי ‪ b‬מכסה את ‪).a‬‬
‫‪ ‬הגרף אינו מכיל לולאות (ולכן תכונת הרפלקסיביות של היחס ‪ R‬אינה באה‬
‫לידי ביטוי בו)‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ o‬תהי ‪ A‬קבוצת כל המחלקים הטבעיים של המספר ‪:60‬‬
‫‪ , A=1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60‬ונגדיר מעליה את היחס מחלק את (|)‪.‬‬
‫‪  A,|‬קס"ח (שכן‬
‫‪ A ‬והוכחנו לעיל כי ‪,|‬‬
‫ניתן לייצגה באמצעות דיאגרמת הסה הבאה‪:‬‬
‫‪52‬‬
‫‪‬‬
‫היא קס"ח)‪.‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪ o‬תהי ‪ A  1, 2,3‬ונתבונן בדיאגרמת הסה המייצגת את הקס"ח ‪:  P  A  ,  ‬‬
‫‪‬‬
‫תהי ‪  A, R ‬קס"ח‪ .‬איבר ‪ ) M  A ( m  A‬נקרא‪ :‬מינימלי (מקסימלי) ב‪-‬‬
‫‪  A, R ‬אם"ם‪.) a  A : MRa  a  M ( a  A : aRm  a  m :‬‬
‫הערה‪ :‬בדיאגרמת הסה של קס"ח סופית איבר מינימלי יאופיין כאיבר הנמצא‬
‫בתחתית הדיאגרמה – כזה שיוצאות ממנו צלעות‪ ,‬אך לא נכנסות אליו צלעות‬
‫(‪ 1‬בדיאגרמה העליונה ו‪  -‬בדיאגרמה התחתונה בעמוד זה)‪ ,‬בעוד שאיבר‬
‫מקסימלי יאופיין כאיבר הנמצא בראש הדיאגרמה – כזה שנכנסות אליו צלעות‪,‬‬
‫אך לא יוצאות ממנו צלעות (‪ 60‬בדיאגרמה העליונה ו‪ 1, 2,3 -‬בדיאגרמה‬
‫התחתונה בעמוד זה)‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בקס"ח יתכן אחד משלושת המקרים הבאים‪:‬‬
‫‪ )1‬קיים איבר מינימלי (מקסימלי) יחיד‪.‬‬
‫‪ )2‬קיים יותר מאיבר מינימלי (מקסימלי) אחד‪.‬‬
‫‪ )3‬לא קיים איבר מינימלי (מקסימלי)‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪o‬‬
‫בקס"ח ‪1, 2,3, 4,|‬‬
‫יש איבר מינימלי יחיד – ‪ ,1‬אבל אין איבר מקסימלי‬
‫יחיד‪ ,‬שכן יש בה שני איברים מקסימליים – ‪.4 ,3‬‬
‫‪ o‬בקס"ח ‪: z  0 ,  ‬‬
‫‪z ‬‬
‫יש איבר מקסימלי יחיד – ‪ ,0‬אבל אין איבר מינימלי‬
‫יחיד ואף לא איבר מינימלי‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫בקס"ח ‪,1,2,1, 2, ‬‬
‫יש איבר מינימלי יחיד ‪ ,  -‬ויש איבר‬
‫מקסימלי יחיד ‪. 1, 2 -‬‬
‫‪53‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪ o‬תהי ‪ P‬קבוצת המספרים הראשוניים‪ .‬בקס"ח ‪  P,|‬יש אינסוף איברים‬
‫מינימליים ואינסוף איברים מקסימליים‪ ,‬ולכן אין בה איבר מינימלי יחיד ואין‬
‫בה איבר מקסימלי יחיד‪.‬‬
‫‪ o‬בקס"ח‬
‫‪2,3, 4,|‬‬
‫בקס"ח ‪,  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אין איבר מינימלי יחיד ואין איבר מקסימלי יחיד‪ .‬גם‬
‫אין איבר מינימלי יחיד ואין איבר מקסימלי יחיד‪.‬‬
‫‪ R‬הוא יחס סדר מלא (יס"מ) מעל ‪ A‬אם"ם הוא יחס סדר חלקי (יס"ח)‬
‫המקיים‪ . a, b  A : aRb  bRa :‬הזוג הסדור ‪  A, R ‬נקרא‪ :‬קבוצה סדורה‬
‫בסדר מלא (קס"מ)‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ o‬היחס ‪ ‬הוא יחס סדר מלא (יס"מ) מעל ‪ ,‬שכן הוא יס"ח מעליה ומתקיים‪:‬‬
‫‪ . z, w  : z  w  w  z‬מכאן‪ ,‬הקבוצה ‪  ,  ‬היא קס"מ‪.‬‬
‫‪ o‬הקבוצה ‪,|‬‬
‫‪‬‬
‫אינה קס"מ‪ ,‬שכן היחס | אינו יס"מ מעל‬
‫‪ ,‬שהרי‪:‬‬
‫‪ , m, n  : m | n  n | m  m, n  : m | n  n | m‬למשל‪. m  2 , n  3 :‬‬
‫הערה‪ :‬קס"מ סופית מיוצגת ע"י דיאגרמת הסה כרשימה לינארית (סדרה‪/‬טור‬
‫של איברים‪ ,‬אשר בין כל איבר לאיבר שמעליו יש צלע אחת)‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫תהי ‪  A, R ‬קס"ח‪  A, R  .‬מקיימת את תנאי‪/‬עקרון המינימליות‬
‫(קמ"מ) אם"ם בכל ‪   B  A‬יש לפחות איבר מינימלי אחד‪.‬‬
‫דוגמאות‪,| :‬‬
‫‪‬‬
‫‪,  ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪  P  A  ,  ,‬הן קבוצות המקיימות את‬
‫תנאי‪/‬עקרון המינימליות (קמ"מ)‪ ,‬שכן בכל תת‪-‬קבוצה לא ריקה שלהן יש‬
‫איבר מינימלי‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬הקבוצה ‪  ,  ‬אינה קמ"מ‪ ,‬שכן ‪ ‬ואין‬
‫בה איבר מינימלי עפ"י היחס ‪. ‬‬
‫‪54‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫תהי ‪  A, R ‬קס"ח‪  A, R  .‬היא קבוצה סדורה היטב (קס"ה) אם"ם בכל‬
‫‪   B  A‬יש איבר מינימלי יחיד‪.‬‬
‫דוגמאות‪,   :‬‬
‫‪,1 ,1, 2 ,1, 2,3 , , ‬‬
‫הן קבוצות סדורות היטב (קס"ה)‪,‬‬
‫שכן בכל תת‪-‬קבוצה לא ריקה שלהן יש איבר מינימלי יחיד‪ .‬לעומת זאת‪,‬‬
‫הקבוצה ‪  ,|‬אינה קס"ה‪ ,‬שכן בתת‪-‬הקבוצה‪ 2,3  :‬אין איבר מינימלי‬
‫יחיד עפ"י היחס | ( ‪.) 2 | 3  3 | 2‬‬
‫הערה‪ :‬עפ"י ההגדרות דלעיל‪ ,‬אם ‪  A, R ‬קס"ה (בכל תת‪-‬קבוצה לא ריקה‬
‫שלה יש איבר מינימלי יחיד)‪ ,‬הרי שהיא לבטח קמ"מ (בכל תת‪-‬קבוצה לא ריקה‬
‫שלה יש לפחות איבר מינימלי אחד)‪ ,‬אך לא להיפך‪.‬‬
‫תכונות יסודיות‪:‬‬
‫‪ ‬בקס"ח יתכנו מספר איברים מינימליים‪/‬מקסימליים‪ ,‬כאשר איבר בקס"ח‬
‫יכול להיות מינימלי ומקסימלי בו‪-‬זמנית‪( .‬דוגמא‪) 2,3, 4,5,6 ,| :‬‬
‫‪ ‬בקס"מ יש לכל היותר איבר מינימלי‪/‬מקסימלי אחד‪.‬‬
‫(דוגמאות‪)  ,   ,  ,   :‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ A, R ‬קס"ח‪ A, R  .‬היא קס"ה אם"ם היא קס"מ וקמ"מ‪.‬‬
‫(ללא הוכחה)‬
‫תרשים מסכם‪:‬‬
‫קס"ח ‪ ‬קמ"מ ‪ ‬קס"ה ‪ ‬קס"מ ‪ ‬קס"ח‬
‫קס"מ‪+‬קמ"מ‬
‫‪55‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫שרשראות ואנטי‪-‬שרשראות‬
‫תהי ‪ A, R ‬קס"ח ותהיינה‪. B, C  A :‬‬
‫‪‬‬
‫נאמר ש‪ B -‬היא שרשרת ב‪ A, R  -‬אם"ם‪. x, y  B : xRy  yRx :‬‬
‫‪ o‬שרשראות‪ ,‬לדוגמא‪ ,‬בקס"ח‬
‫‪1, 2,3, 4,5,6,7,8,|‬‬
‫הן‪:‬‬
‫‪. 1, 2, 4,8 , 1, 4,8 , 1,3,6 , 2,8 , 3,6 , 3 , 5 , ‬‬
‫‪ ‬שרשראות באות לידי ביטוי בדיאגרמת הסה של קס"ח סופית כ"תת‪-‬רשימות‬
‫ליניאריות" בדיאגרמה (סדרות איברים אשר בין כל איבר לאיבר שמעליו יש‬
‫צלע אחת)‪ .‬למשל‪ 1, 2, 4 , 1,3,6,12 :‬הן שרשראות בקס"ח המתוארת ע"י‬
‫דיאגרמת הסה הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫נאמר ש‪ C -‬היא אנטי‪-‬שרשרת ב‪ A, R  -‬אם"ם‪:‬‬
‫‪. x, y  C : x  y  xRy  yRx‬‬
‫‪ o‬אנטי‪-‬שרשראות‪ ,‬לדוגמא‪ ,‬בקס"ח‬
‫‪1, 2,3, 4,5,6,7,8,|‬‬
‫הן‪:‬‬
‫‪. 2,3,5,7 , 5,6,7,8 , 3,8 , 2,3 , 1 , 5 , ‬‬
‫‪ ‬אנטי‪-‬שרשראות באות לידי ביטוי בדיאגרמת הסה של קס"ח סופית כקבוצות‬
‫איברים שאף שניים מהם אינם מחוברים באמצעות צלע אחת‪ .‬למשל‪:‬‬
‫‪ 6,10,15 , 4,6,10,15‬הן אנטי‪-‬שרשראות בקס"ח המתוארת ע"י דיאגרמת‬
‫הסה הבאה‪:‬‬
‫‪56‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫בהינתן ‪ A, R ‬קס"ח סופית‪ ,‬האורך של הקס"ח (מסומן‪ ) lA  :‬מוגדר‬
‫כמספר האיברים בשרשרת הארוכה ביותר בה‪.‬‬
‫‪ o‬למשל‪ ,‬אם נסמן‪ , A : 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 :‬ונתייחס לקס"ח ‪ ,  A,|‬הרי ש‪:‬‬
‫‪ , l  A   4‬שכן אורך השרשרת הארוכה ביותר בקס"ח זו‪ , 1, 2, 4,8 ,‬הוא ‪.4‬‬
‫‪‬‬
‫בהינתן ‪ A, R ‬קס"ח סופית‪ ,‬הרוחב של הקס"ח (מסומן‪ ) w A  :‬מוגדר‬
‫כמספר האיברים באנטי‪-‬השרשרת הארוכה ביותר בה‪.‬‬
‫‪ o‬למשל‪ ,‬אם נסמן‪ , A : 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 :‬ונתייחס לקס"ח ‪ ,  A,|‬הרי ש‪:‬‬
‫‪ , w  A   5‬שכן אורך השרשרת הארוכה ביותר בקס"ח זו‪ ,‬למשל‪:‬‬
‫‪ 5,6,7,8,9‬ויש יותר מאחת כזו‪ ,‬הוא ‪.5‬‬
‫תכונות יסודיות‪:‬‬
‫תהי ‪ A, R ‬קס"ח‪.‬‬
‫‪ ‬אוסף האיברים המינימליים ב‪ A, R  -‬הוא אנטי‪-‬שרשרת בה‪.‬‬
‫‪ ‬אוסף האיברים המקסימליים ב‪ A, R  -‬הוא אנטי‪-‬שרשרת בה‪.‬‬
‫‪ ‬יש חלוקה של ‪ A‬ל‪ lA  -‬אנטי‪-‬שרשראות אך אין ל‪ A -‬חלוקה למספר קטן‬
‫מזה של אנטי‪-‬שרשראות‪( .‬תזכורת‪ :‬חלוקה של קבוצה ‪ A‬היא משפחה של‬
‫תת‪-‬קבוצות של ‪ A‬שאינן ריקות‪ ,‬זרות בזוגות ושאיחודן הוא ‪).A‬‬
‫‪ ‬יש חלוקה של ‪ A‬ל‪ w A  -‬שרשראות אך אין ל‪ A -‬חלוקה למספר קטן מזה‬
‫של שרשראות‪.‬‬
‫‪57‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ 1‬תשע"ג‬
‫קבוצות סדורות חלקית – דוגמאות מתקדמות‬
‫‪o‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , cart ‬‬
‫‪ , cart ‬‬
‫ ‪  a, b  ,  c,d    :  a, b  cart  c,d   a  c  b  d‬‬‫קס"ח‪ ,‬לא קס"מ (שכן‪,)  2,3 cart  3, 2    3, 2  cart  2,3 :‬‬
‫לא קס"ה (שכן אינה קס"מ)‪ ,‬קמ"מ ; יש איבר מינימלי יחיד ( ‪,) 1,1‬‬
‫אין איברים מקסימליים‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫‪ , lex ‬‬
‫‪ , lex ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪:  a, b  lex  c,d   a  c   a  c  b  d  -‬‬
‫‪  a, b  ,  c,d   ‬‬
‫קס"ח‪ ,‬קס"מ‪ ,‬קס"ה‪ ,‬קמ"מ ; יש איבר מינימלי יחיד ( ‪ ,) 1,1‬אין‬
‫איברים מקסימליים‪.‬‬
‫‪ o‬יחס הרישא בין סדרות (סימון‪ – )  prefix :‬תהי ‪ ‬קבוצת כל האותיות‬
‫האנגליות הקטנות ( ‪ .)   a, b,c,..., z‬נסמן ב‪   -‬את קבוצת כל‬
‫המילים‪/‬המחרוזות הסופיות הלא ריקות המורכבות מאיברי ‪( ‬למשל‪:‬‬
‫‪ .) abc  , zw  , c ‬נסמן‪ , a : a1a 2 ...a m , b : b1b2 ...bn :‬כאשר‪:‬‬
‫‪, ai ,bj ‬‬
‫‪( i, j‬אינדקסים) ‪ a, b  ,‬כך ש‪:‬‬
‫‪ mn‬‬
‫‪.  m, n ‬‬
‫נגדיר‪. a : a1a 2a 3...a m prefix b : b1b2b3...bn i  m : a i  bi :‬‬
‫‪   , prefix ‬קס"ח‪ ,‬לא קס"מ (שכן‪ ,‬למשל‪,) ab prefix ac  ac prefix ab :‬‬
‫לא קס"ה (שכן אינה קס"מ)‪ ,‬קמ"מ ; איברים מינימליים – סדרות (מחרוזות)‬
‫בנות איבר אחד (אות אחת)‪ ,‬אין איברים מקסימליים‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫יחס מילוני (לקסיקוגרפי) בין סדרות (סימון‪– )  lex :‬‬
‫תהי ‪ ‬קבוצת כל הספרות בבסיס הדצימלי ( ‪ .)   0,1, 2,...,9‬נסמן ב‪ -‬‬
‫‪‬‬
‫את קבוצת כל הסדרות‪/‬המחרוזות הסופיות הלא ריקות המורכבות מאיברי ‪‬‬
‫(למשל‪ .) 012  , 65  , 7  :‬נסמן‪, a : a1a 2 ...a m , b : b1b2 ...bn :‬‬
‫כאשר‪, a i , b j   :‬‬
‫‪( i, j‬אינדקסים) ו‪ . a, b  -‬נאמר כי‪:‬‬
‫‪ a : a 1a 2 ...a m  lex b : b1b 2 ...b n‬אם"ם מתקיים לפחות אחד מהתנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ a ‬היא רישא של ‪( b‬כלומר ‪;) a  prefix b -‬‬
‫‪ ‬ל‪ a -‬ול‪ b -‬רישא באורך זהה – ‪ 0 ( k‬‬
‫‪ ,) k ‬אבל‪. a k 1  b k 1 :‬‬
‫‪   , lex ‬קס"ח‪ ,‬קס"מ‪ ,‬לא קס"ה‪ ,‬לא קמ"מ ; יש איבר מינימלי יחיד (‪,)0‬‬
‫אין איברים מקסימליים‪.‬‬
‫‪58‬‬