docתורת הקבוצות
download 
Report Transcription
תורת הקבוצות
מרצה :ד"ר אסף רינות. תורת הקבוצות202 ,־.88 מסכם :בועז מתן. 26.02.14 מנהלות מרצה: אסף רינות־ [email protected] מתרגל: חיים רוזנר־ [email protected] שעות קבלה :ימי ג' מ־ ,14:00בתאום מראש .חדר 107בניין מתמטיקה. אתר הקורס־ settheory.assf rinot.com ספר מומלץ.Jech − Hrbacek/introduction to set theory : תורת הקבוצות תזכורת־ )< (A,קבוצה סדורה חלקית )קס"ח( ) (Posetאם: < .1אנטי־רפלקסיבי ) ¬ (a < aלכל .a ∈ A < .2טרנזיטיבי אם ) (a < bו־ ) (b < cאז ) (a < cלכל .a, b, c ∈ A דוגמאות (N, <) .1כאשר < הוא הסדר הרגיל ,ו־ } N = {0,1,2,. . .המספרים הטבעיים. (R, <) , (Q, <) , (Z, <) .2 אמנם N, Z, Qהם מאותו "גודל" ,אבל קבוצות סדורות אלה מייצגות סוגים שונים של אינסוף. כלומר ,במובן של סדר" Z ,גדול" מ־ .N באותו האופן" Q ,גדול" מ־ .Z המטרה שלנו היא לפתח את המחלקה הנכונה של סדרים ,שבה אפשר להשוות למשל סדרים בני־מניה. .3בהינתן קבוצה לא ריקה (P (X) , $) ,Xקס"ח. (N, |) .4כאשר ⇐⇒ n | mקיים .m = n · k ,k > 1 הגדרה 0.1קס"ח )< (A,היא קבוצה סדורה קווית אם לכל a, b ∈ Aשונים מתקיים (a < b) :או ).(b < a שימו לב כי לא ייתכן קיום בו־זמנית של שתי האלטרנטיביות ,שכן מטרנזיטיביות נהיה חייבים להסיק כי b < b בסתירה לאנטי־רפלקסיביות. .5תהי f : Q ↔ Nפונקציית שקילות )חד־חד־ערכית ועל(.(bijection) . לכל r ∈ Rנגדיר }Ar = {f (q) | Q 3 q < r נשים לב כי ) ({Ar | r ∈ R} , $סדורה קווית. זוהי תת־קבוצה של ) ,P (Nוכיוון ש־ ) (P (N) , $קס"ח ,גם ) ({Ar | r ∈ R} , $קס"ח. נוודא את קריטריון ה"קוויות" )לינאריות(: 0 נניח r 6= rממשיים. 0 בה"כ.r < r , 0 יהי q ∈ Qכך ש־ ,r < q < rאז qמעיד כי ,Ar $ Ar0 n o 1 .{q | q < r} $ q | q < r 0 שהרי, 1השתמשנו בידע כי )< (R,סדורה קווית. 1 תורת הקבוצות202 ,־.88 מסכם :בועז מתן. מרצה :ד"ר אסף רינות. הגדרה 0.2נניח )< (A,קס"ח .קבוצה A ⊇ Dנקראת "שולטת" ) (Dominating/conalאם לכל ,a ∈ Aקיים d ∈ Dכך ש־ a = dאו .a < d למשל־ Nקבוצה שולטת ב־ ) Rמה שנקרא ארכימדיות־ לכל מספר טבעי יש מספר ממשי גדול ממנו(. }) {Nסינגלטון( קופינלי ב־ )) .(P (N) , $קופינלי=שולטת(. אבחנה־ אם )< (A,קס"ח ,ו־ mאיבר אחרון ב־ )< ,(A,אז } {mשולטת ב־ )< 2 .(A, הערה 0.3בקבוצה סדורה קווית ,אנחנו מקבלים שולטת ⇒⇐ לא חסומה. בקס"ח כללי ,זה לא נכון .לדוגמא ,סכום זר של )< (N,עם )<.(N, למה 0.4 Rasiowa-Sikorski אם )< (A,קס"ח ,ו־ ) (Dn | n ∈ Nסדרה בת־מנייה של קבוצות שולטות בקס"ח ,אז קיימת A ⊇ Gהסדורה קווית על־ידי < ,ומקיימת ∅ = G ∩ Dn 6לכל .n ∈ N הוכחה :נבנה סדרה } {gn | n ∈ Nבאינדוקציה )רקורסיה ,ליתר דיוק .יובהר בהמשך הקורס(. בסיס האינדוקציה: יהי g0 ∈ D0כלשהו. צעד האינדוקציה: נניח } {gi | i ≤ nכבר הוגדרה עבור nטבעי כלשהו. כיוון ש־ Dn+1שולטת ,ניתן למצוא d ∈ Dn+1כך ש־ gn = dאו .gn < d נקח gn+1להיות .d אז קיבלנו סדרה } {gn | n ∈ Nכך שלכל :n ∈ N .gn ∈ Dn .1 gn = gn+1 .2או .gn < gn+1 מטרנזיטיביות של < G ,סדורה קווית, וכמובן ∅ = G ∩ Dn 6לכל .n ∈ N הגדרה 0.5איבר a ∈ Aנקרא איבר ראשון בקס"ח )< ⇐⇒ (A,לכל } b ∈ A\ {aמתקיים .a < b הגדרה 0.6איבר a ∈ Aנקרא איבר אחרון בקס"ח )< ⇐⇒ (A,לכל } b ∈ A\ {aמתקיים .b < a סדר חלקי על פונקציות :נניח Fמשפחה של פונקציות. עבור פונקציות ,f, g ∈ Fנגדיר יחס⇐⇒ f ≺ g : .dom (f ) $ dom (g) .1 f (x) = g (x) .2לכל ) .x ∈ dom (f שימו לב כי )≺ (F,קס"ח .אם חושבים על פונקציה כאוסף של זוגות סדורים )כלומר מזהים אותה עם הגרף שלה(, אז ≺מתלכד עם ⊂. הגדרה 0.7קס"ח )< (A,נקראת צפופה אם לכל a < bב־ Aקיים c ∈ Aכך ש־ .a < c < b 2הגדרה של "איבר אחרון" מופיעה בהמשך. 2 מרצה :ד"ר אסף רינות. תורת הקבוצות202 ,־.88 מסכם :בועז מתן. דוגמא (Q, <) .1קבוצה סדורה קווית ,צפופה ,ללא איבר ראשון וללא איבר אחרון ,ובת־מניה. (R, <) .2קבוצה סדורה קווית ,צפופה ,ללא איבר ראשון וללא איבר אחרון ,אבל לא בת־מניה. משפט 0.8משפט קנטור אם ) (A, /סדורה קווית ,צפופה ,ללא איבר ראשון וללא איבר אחרון ,ובת־מנייה ,אז ) (A, /איזומורפית־סדר ל־ )< .(Q, כלומר ,קיימת g : Q ↔ Aחד־חד־ערכית ועל ,ולכל .g (a) < g (b) ⇐⇒ a < b :a, b ∈ Q הוכחה :תהי Fאוסף כל הפונקציות f : X → Yכאשר: X .1תת־קבוצה סופית של .Q Y .2תת־קבוצה סופית של .A f .3איזומורפיזם ,כלומר fחד־חד־ערכית ,על ושומרת סדר. כזכור (F, ≺) ,קס"ח. טענה :1 עבור q ∈ Qנסמן }) Dq = {f ∈ F | q ∈ dom (f Dqשולטת. הוכחה: נניח f : X → Yאיבר כלשהו ב־ ,Fונבקש למצוא d ∈ Dqכך ש־ d = fאו .f < d כמובן ,שאם ) ,q ∈ dom (fהרי ש־ f ∈ Dqוסיימנו. ∈ .q נניח כעת כי ) / dom (f נסתכל על }X0 = {x ∈ X | x < q }X1 = {x ∈ X | q < x כיוון ש־ Qסדורה קווית על־ידי היחס < ,כך גם תת־הקבוצות הסופיות X0ו־ ,X1 ולכן ניתן להגדיר ∅ =X0 6 whenever ) m0 = max (X0 ∅ =X1 6 whenever ) m1 = min (X1 < < כעת ,כיוון ש־ ) (A, /צפופה ,ניתן לבחור a ∈ Aכך ש־ f (m0 ) / aכאשר ∅ = ,x0 6ובנוסף ) a / f (m1כאשר ∅ =.x1 6 נגדיר } d : X ∪ {q} → Y ∪ {aעל־ידי ( f (p) , p ∈ X = )d (p a, p=q 3 מרצה :ד"ר אסף רינות. תורת הקבוצות202 ,־.88 מסכם :בועז מתן. הבחירה של aמבטיחה כי הפונקציה dחח"ע ,על ,שומרת סדר, אזי ,d ∈ Dqו־ .f ≺ dמש"ל טענה .1 טענה :2 לכל = {d ∈ F | a ∈ Im (d)} ,a ∈ A Da שולטת. הוכחה: נימוק דואלי המשתמש בכך ש־ )< (Q,סדר צפוף .מש"ל טענה .2 כיוון ש־ A, Qבנות־מנייה ,ניתן להשתמש בלמה של .Rasiowa-Sikorski כלומר ,קיימת F ⊇ Gסדורה קווית על־ידי ≺, ובנוסף: ∅ = G ∩ Dq 6לכל ,q ∈ Q ∅ = G ∩ Da 6לכל .a ∈ A נגדיר g : Q → Aעל־ידי: ⇐⇒ g (q) = aקיימת f ∈ Gכך ש־ .f (q) = a טענה g :3מוגדרת היטב. הוכחה: בהנתן ,q ∈ Qכיוון ש־ ∅ = ,G ∩ Dq 6נובע כי קיים f ∈ Gעם ) .q ∈ dom (f 0 0 0 כעת ,אם ,f ∈ Gו־ ,q ∈ dom fיש להראות כי ).f (q) = f (q 0 נניח f, f ∈ G ∩ Dqשונות. 0 היות ו־ Gסדורה קווית ,מתקיים בה"כ ש־ .f ≺ f 0 0 ואז ,מהגדרת ≺ q ∈ dom (f ) $ dom f ,ו־ ) .f (q) = f (qמש"ל טענה .3 טענה g :4על. הוכחה: נובע מכך ש־ ∅ = G ∩ Da 6לכל .a ∈ Aמש"ל טענה .4 טענה g :5חד־חד־ערכית ,שומרת סדר. הוכחה: נניח q1 < q2ב־.Q יהיו f1 , f2 ∈ Gכך ש־ ) .q2 ∈ dom (f2 ) ,q1 ∈ dom (f1 אם ,f1 ≺ f2הרי ש־ ) ,q1 , q2 ∈ dom (f2ואז ) g (q1 ) = f2 (q1 ) / f2 (q2 ) = g (q2 f2שומרת סדר ,אז " gמקבלת" את זה ממנה. מקרה שני f2 ≺ f1 ,או :f2 = f1 אז ) g (q1 ) = f1 (q1 ) / f1 (q2 ) = g (q2 f1שומרת סדר ,אז " gמקבלת" את זה ממנה. תרגיל :שנו את ההוכחה הנ"ל והראו כי לכל קס"ח בן־מניה ) (A, Cקיימת העתקה חח"ע שומרת סדר מ־)(A, C ל־)< .(Q, 4 תורת הקבוצות202 ,־.88 מרצה :ד"ר אסף רינות. מסכם :בועז מתן. משפט 0.9משפט קנטור )המפורסם( אם Aקבוצה בת־מניה של פונקציות מ־ Nל־ } ,{0, 1אז קיימת פונקציה } g : N → {0, 1כך ש־ g 6= fלכל .f ∈ A יתר על כן־ }) {n | g (n) 6= f (nאינסופית לכל .f ∈ A הוכחה :תהי Fמשפחת כל הפונקציות מהצורה } f : X → {0, 1כך ש־ X ⊆ Nסופית. לכל f ∈ Aוכל n ∈ Nנתבונן בקבוצה השולטת: })D (f, n) = {d ∈ F | ∃k > n : {0, ..., k} = dom (d) , d (k) 6= f (k אם ניקח G ⊆ Fסדורה קווית לפי ≺ ,ו־ ∅ = G ∩ D (f, n) 6לכל f ∈ Aו־ ,n ∈ N אז נוכל להגדיר } g : N → {0, 1כמו מקודם, ומתקיים כי }) {n | f (n) 6= g (nאינסופי לכל .f ∈ A הגדרה 0.10קבוצה סדורה קווית )< (A,סדורה היטב well-orderedאם לכל תת־קבוצה לא ריקה של Aיש איבר ראשון. הבחנה אם )< (A,סדורה היטב ו־ , A ⊇ Bאז )< (B,סדורה היטב. הההכלה ההפוכה איננה נכונה (N, <) :סדורה היטב ,אך )< (Z,־ איננו סדר טוב. הערה 0.11קבוצה סדורה קווית היא סדורה היטב ⇒⇐ איננה מכילה עותק של ).Z ∩ (−∞, 0 המטרה־ למצוא נציגים קנוניים של סדרים טובים. נציגים של טיפוסי סדר טובים. מה שבסוף יוביל אותנו למושג שנקרא "סודר". קבוצות טרנזיטיביות הגדרה 0.12קבוצה Aנקראת טרנזיטיבית אם לכל x ∈ Aולכל y ∈ xמתקיים .y ∈ A )(y ∈ x ∈ A → y ∈ A דוגמא }}∅{ A = {∅, זוהי קבוצה עם שני אברים ,האיבר הראשון קבוצה ריקה ,האיבר השני קבוצה המכילה איבר אחד ־ הוא הקבוצה ריקה. Aקבוצה טרנזיטיבית .הוכחה :נניח x ∈ A .1אם ∅ = xאז ודאי )באופן ריק( כי לכל y ∈ xמתקיים .y ∈ A .2אם ,y ∈ x ,{∅} = xאז אכן .y ∈ A 5 תורת הקבוצות202 ,־.88 מסכם :בועז מתן. מרצה :ד"ר אסף רינות. טענה 0.13אם Aטרנזיטיבית אז גם } A ∪ {Aטרנזיטיבית. הוכחה :נניח } x ∈ A ∪ {Aו־ .y ∈ x .1אם ,x ∈ Aאז היות ו־ Aטרנזיטיבית ,ומתקיים ,y ∈ x ∈ Aהרי ש־ }.y ∈ A ⊆ A ∪ {A .2אם ,x = Aאז היות ו־ ,A = x 3 yהרי ש־ .A ∪ {A} ⊇ A 3 y טענה A 0.14טרנזיטיבית ⇒⇐ לכל .x ⊆ A ,x ∈ A טענה A 0.15טרנזיטיבית ⇒⇐ לכל .x ∈ P (A) ,x ∈ A טענה A 0.16טרנזיטיבית ⇒⇐ ).A ⊆ P (A טענה 0.17אם Fמשפחה של קבוצות טרנזיטיביות ,אז }F = {x | ∀A ∈ F : x ∈ A T טרנזיטיבית. T הוכחה :יהי ,x ∈ Fונניח .y ∈ x T נבקש להראות כי . F 3 y לשם כך ,נקבע A ∈ Fשרירותית ,ונבקש להראות כי .y ∈ A T כיוון ש־ ,x ∈ A ,x ∈ F כיוון ש־ Aטרנזיטיבית ,y ∈ Aכמבוקש. טענה 0.18אם Fמשפחה של קבוצות טרנזיטיביות ,אז }F = {x | ∃A ∈ F : x ∈ A הוכחה :נניח F S ∈ xו־ .y ∈ x יהי A ∈ Fכך ש־ .x ∈ A היות ו־ Aטרנזיטיבית ,מתקיים ,y ∈ Aואז F S ∈ .y S טענה A 0.19טרנזיטיבית ⇒⇐ . A ⊆ A 6 S טרנזיטיבית.
