הורדה

‫תורת הקבוצות‬
‫מבוסס על הרצאות פרופ' עזריאל לוי‬
‫בקורס "תורת הקבוצות" )‪(80200‬‬
‫האוניברסיטה העברית‪ ,‬סמסטר א' ‪2014‬‬
‫להערות‪[email protected] :‬‬
‫נחי‬
‫תודה לכל מי ששלח הערות ותיקונים‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪I‬‬
‫‪6‬‬
‫עובדות בסיסיות‬
‫‪ II‬מושגי־יסוד‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫אקסיומות תורת הקבוצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.1‬‬
‫אקסיומת ההיקפיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.2‬‬
‫אקסיומות הקיום הבסיסיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.3‬‬
‫האנטינומיה של ראסל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.4‬‬
‫דוקטרינת הגבלת הגודל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫מחלקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫השפה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3.1‬‬
‫רשימת הגדרות ומושגים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3.2‬‬
‫הזוג הסדור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪11‬‬
‫‪3.3‬‬
‫מושג היחס )הדו־מקומי( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪11‬‬
‫‪3.4‬‬
‫מושג הפונקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪14‬‬
‫סיכום והרחבת הדיון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ III‬קבוצות סופיות ובנות מניה‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪16‬‬
‫‪18‬‬
‫עוצמות סופיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪18‬‬
‫‪5.1‬‬
‫עקרון האינדוקציה לקבוצות סופיות ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪19‬‬
‫‪5.2‬‬
‫קבוצות חסומות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪21‬‬
‫קבוצות בנות־מניה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪23‬‬
‫‪6.1‬‬
‫עוצמת קבוצת השלמים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z‬‬
‫‪24‬‬
‫‪6.2‬‬
‫עוצמת הקבוצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N × N‬‬
‫‪24‬‬
‫‪6.3‬‬
‫עוצמת קבוצות חלקיות ל‪. . . . . . . . . . . . . . . . . N-‬‬
‫‪25‬‬
‫‪6.4‬‬
‫עוצמת קבוצת הרציונליים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . Q‬‬
‫‪27‬‬
‫‪6.5‬‬
‫‪n‬־יות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪27‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6.6‬‬
‫‪7‬‬
‫עוצמת קבוצת המספרים האלגבריים ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫סיכום והרחבת הדיון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ IV‬השוואת קבוצות‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫‪32‬‬
‫‪8‬‬
‫עוצמת המספרים הממשיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪32‬‬
‫‪9‬‬
‫השוואת קבוצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪34‬‬
‫‪9.1‬‬
‫משפט קנטור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪36‬‬
‫‪9.2‬‬
‫משפט קנטור־ברנשטיין ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪36‬‬
‫‪9.3‬‬
‫למת הסנדוויץ' ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪37‬‬
‫‪9.4‬‬
‫‪10‬‬
‫הקבוצה‬
‫‪AB‬‬
‫‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫סיכום והרחבת הדיון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ V‬העוצמות‬
‫‪39‬‬
‫‪41‬‬
‫‪43‬‬
‫‪11‬‬
‫יחס סדר חלקי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪43‬‬
‫‪12‬‬
‫עוצמה‪/‬מונה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪44‬‬
‫‪13‬‬
‫הסדר החלקי של העוצמות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪45‬‬
‫‪14‬‬
‫חשבון עוצמות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪46‬‬
‫‪14.1‬‬
‫חיבור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪47‬‬
‫‪14.2‬‬
‫כפל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪49‬‬
‫‪14.3‬‬
‫חזקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪50‬‬
‫‪14.4‬‬
‫פעולות החשבון ויחס הסדר על המספרים הטבעיים ‪. . . . .‬‬
‫‪54‬‬
‫‪ VI‬אקסיומת הבחירה‬
‫‪56‬‬
‫‪15‬‬
‫מבוא ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪56‬‬
‫‪16‬‬
‫אקסיומת הבחירה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪58‬‬
‫‪17‬‬
‫שימושים של אקסיומת הבחירה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪58‬‬
‫‪17.1‬‬
‫‪18‬‬
‫סכום וכפל אינסופיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫סיכום והרחבת הדיון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪59‬‬
‫‪61‬‬
‫‪ VII‬סדר טוב‬
‫‪62‬‬
‫‪19‬‬
‫מבוא ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪62‬‬
‫‪20‬‬
‫סדר טוב ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪63‬‬
‫‪21‬‬
‫‪20.1‬‬
‫אינדוקציה שלמה )או טרנספיניטית( ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪64‬‬
‫‪20.2‬‬
‫הגדרה רקורסיבית של פונקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪65‬‬
‫‪20.3‬‬
‫איזומורפיזם )או העתקת דמיון( ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪65‬‬
‫‪20.4‬‬
‫משפט הסידור הטוב )אה"ב( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪69‬‬
‫‪20.5‬‬
‫סדר מילוני )או לקסיקוגרפי( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪70‬‬
‫סיכום והרחבת הדיון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ VIII‬המספרים הסודרים‬
‫‪70‬‬
‫‪77‬‬
‫‪22‬‬
‫מבוא ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪77‬‬
‫‪23‬‬
‫סודר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪78‬‬
‫‪23.1‬‬
‫תכונות יסודיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪79‬‬
‫‪23.2‬‬
‫מיון כל הסודרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪81‬‬
‫‪23.3‬‬
‫מיון כל הקבוצות הסדורות היטב ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪82‬‬
‫‪23.4‬‬
‫משפט הרטוגס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪83‬‬
‫‪ IX‬צורות שקולות של אקסיומת הבחירה‬
‫‪84‬‬
‫‪24‬‬
‫משפט הסידור הטוב )אה"ב( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪84‬‬
‫‪25‬‬
‫משפט השוואת העוצמות‪/‬הקבוצות )אה"ב( ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪85‬‬
‫‪26‬‬
‫הלמה של צורן )אה"ב( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪85‬‬
‫‪26.1‬‬
‫קיום בסיס למרחב ווקטורי )שימוש בלמה של צורן( ‪. . . . .‬‬
‫‪ X‬הסודרים כעוצמות‬
‫‪27‬‬
‫‪28‬‬
‫‪88‬‬
‫מונים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪27.1‬‬
‫‪87‬‬
‫מושג העוצמה )גישה מחודשת( ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הפונקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ℵ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪88‬‬
‫‪88‬‬
‫‪89‬‬
‫‪28.1‬‬
‫חיבור אלפים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪90‬‬
‫‪28.2‬‬
‫כפל אלפים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪92‬‬
‫‪28.3‬‬
‫חזקת אלפים )או‪ :‬השערת הרצף( ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪93‬‬
‫‪28.4‬‬
‫חיבור וכפל אינסופיים )או‪ :‬אי־שוויון צרמלו־קניג; אה"ב( ‪. . .‬‬
‫‪93‬‬
‫‪5‬‬
‫חלק‬
‫‪I‬‬
‫עובדות בסיסיות‬
‫מחלקת העצמים בעלי התכונה ‪ Φ‬מסומנת })‪.{x|Φ (x‬‬
‫לא כל מחלקה היא קבוצה‪ ,‬ולכן המחלקות מתחלקות לשני סוגים‪:‬‬
‫‪ .1‬מחלקות שהן קבוצות‪ ,‬ומתוקף כך הן עצמן עצמים מתמטיים‪.‬‬
‫‪ .2‬מחלקות ממש‪ ,‬שהן המחלקות שאינן קבוצות‪ .‬מחלקות אלו אינן עצמים מתמטיים‬
‫ואינן יכולות להיות איברים של מחלקות‪.‬‬
‫אקסיומות הקיום הבאות לקוחות מאקסיומות הקיום הבסיסיות‪ ,‬והן קובעות שמחלקות‬
‫מסוימות הן גם קבוצות‪:‬‬
‫אקסיומת הזוג‪ :‬המחלקה }‪ {x, y‬היא קבוצה‪.‬‬
‫אקסיומת האיחוד‪ :‬אם ‪ A‬קבוצה אז גם מחלקת האיחוד שלה ‪A‬‬
‫‪S‬‬
‫היא‬
‫קבוצה‪1 .‬‬
‫אקסיומת האינסוף‪ :‬מחלקת המספרים הטבעיים ‪ N‬היא קבוצה‪.‬‬
‫אקסיומת ההפרדה‪ :‬מחלקה חלקית לקבוצה‪ ,‬היא‬
‫קבוצה‪2 .‬‬
‫אקסיומת ההחלפה‪ :‬אם ‪ F‬פונקציה ו‪ A-‬קבוצה חלקית לתחום ‪ ,F‬אז גם ]‪ F [A‬היא‬
‫קבוצה‪3 .‬‬
‫אקסיומת קבוצת החזקה‪ :‬אם ‪ A‬קבוצה אז גם קבוצת החזקה )‪ P (A‬קבוצה‪.‬‬
‫‪1‬ראו להלן בפרק ‪ 2.3.1‬את הגדרת המושג "מחלקת איחוד"‪.‬‬
‫‪2‬ראו להלן בפרק ‪ 2.3.1‬את ההגדרה למושג "חלקיות"‪.‬‬
‫‪3‬ראו להלן בפרק ‪ 2.3.4‬את הגדרת המושגים "פונקציה"‪" ,‬תחום" ו"טווח"‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫חלק‬
‫‪II‬‬
‫מושגי־יסוד‬
‫• המושג האינטואיטיבי של הקבוצה‪ :‬אוסף כלשהו של עצמים היכול לשמש בעצמו‬
‫עצם מתמטי‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.1‬‬
‫אקסיומות תורת הקבוצות‬
‫אקסיומת ההיקפיות‬
‫אם לקבוצות ‪ A, B‬אותם האיברים‪ ,‬כלומר אם לכל ‪ x‬מתקיים ‪ x ∈ A‬אמ"מ ‪,x ∈ B‬‬
‫אז ‪ ,A = B‬כאשר השיוויון מסמן זהות‪.‬‬
‫אקסיומה זאת אומרת שקבוצה נקבעת לגמרי ע"י זהות איבריה ולא ע"י אף גורם אחר‪,‬‬
‫כגון הגדרת הקבוצה‪ .‬כך למשל קבוצת כל המשולשים שווי השוקיים שווה )זהה( לקבוצת‬
‫המשולשים בעלי שתי זוויות שוות‪ ,‬למרות שמדובר כאן בשתי הגדרות שונות של הקבוצה‪.‬‬
‫‪1.2‬‬
‫אקסיומות הקיום הבסיסיות‬
‫בהינתן תכונה ‪ Φ‬קיימת קבוצה המכילה בדיוק את כל העצמים בעלי התכונה ‪.Φ‬‬
‫ההבדלים בין תכונה לקבוצה הם שתכונה היא יצור של השפה בעוד שקבוצה היא עצם‬
‫מתמטי‪ ,‬וגם שקבוצה "יודעת" רק מי נמצא בה ומי אינו נמצא בה‪ ,‬בעוד שתכונה "יודעת"‬
‫משהו נוסף על עצמים המקיימים אותה‪.‬‬
‫בשפה המתמטית איננו יכולים לדבר במרוכז על כל התכונות‪ ,‬כפי שנראה בהמשך‪ ,‬ולכן‬
‫אנו זקוקים לאקסיומת קיום נפרדת לכל תכונה ‪ , Φ‬ולכן קיימות אקסיומות רבות של‬
‫קיום קבוצות‪.‬‬
‫משפט‪ :‬לתכונה ‪ Φ‬קיימת‪ ,‬לפי אקסיומת ההיקפיות‪ ,‬לכל היותר קבוצה אחת המכילה‬
‫בדיוק את כל העצמים שהם בעלי התכונה ‪ ,Φ‬ולכן‪ ,‬לאור אקסיומות הקיום‬
‫הבסיסיות קיימת בדיוק קבוצה אחת המכילה בדיוק את כל העצמים ‪ x‬שהם‬
‫בעלי התכונה ‪ .Φ‬קבוצה זאת מסומנת ב‪ ,{x | Φ (x)}-‬כאשר )‪ Φ (x‬היא הטענה‬
‫ש‪ x-‬הוא בעל התכונה ‪.Φ‬‬
‫‪1.3‬‬
‫האנטינומיה של ראסל‬
‫∈ ‪ .x‬כלומר‪ ,‬הקבוצה‬
‫לא קיימת קבוצה ‪ Y‬המכילה בדיוק את הקבוצות ‪ x‬המקיימות ‪/ x‬‬
‫∈ ‪ {x|x‬אינה קיימת‪.‬‬
‫}‪/ x‬‬
‫‪7‬‬
‫∈ ‪ ,Y‬וזאת‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ Y‬היא כזאת‪ ,‬אז מהגדרתה נובע שמתקיים ‪ Y ∈ Y‬אמ"מ ‪/ Y‬‬
‫סתירה‪ .‬‬
‫‪1.4‬‬
‫דוקטרינת הגבלת הגודל‬
‫האנטינומיה של ראסל סותרת את אקסיומות הקיום הבסיסיות עבור התכונה ‪ Φ‬המוגדרת‬
‫∈ ‪ .x‬לכן נשתמש בהן רק היכן שלא נראה שתיגרמנה בעיות‪ .‬זאת נעשה על־ידי כך‬
‫‪/x‬‬
‫שנשתמש רק במספר אקסיומות מתוכן‪.‬‬
‫קו־מנחה בבחירת אקסיומות אלו יהיה דוקטרינה של הגבלת גודל‪ ,‬האומרת שאפשר‬
‫להשתמש באקסיומת קיום כל עוד היא נותנת קבוצה שאינה "גדולה מדי" בהשוואה‬
‫לקבוצות קיימות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מחלקות‬
‫∈ ‪ (x‬נוכל לדון על‬
‫גם היכן שתכונה ‪ Φ‬אינה קובעת קבוצה )כמו במקרה ש‪ Φ-‬היא ‪/ x‬‬
‫מחלקת כל העצמים שהם בעלי התכונה ‪.Φ‬‬
‫בניגוד לקבוצה‪ ,‬מחלקה אינה בהכרח עצם מתמטי‪ .‬הדיבור על מחלקה הוא בעצם דיבור‬
‫על תכונה שמוגדרת באמצעות השפה‪ ,‬אולם אנו מעדיפים להשתמש במחלקות במקום‬
‫בתכונות היכן שאנו מעוניינים לא בניסוח של התכונה אלא בעצמים המקיימים אותה‪.‬‬
‫את מחלקת העצמים בעלי התכונה ‪ Φ‬נסמן ב‪.{x | Φ (x)}-‬‬
‫חלק מן המחלקות הן קבוצות‪ ,‬ולמחלקות שאינן קבוצות נקרא מחלקות ממש‪.‬‬
‫נראה בהמשך מספר אקסיומות האומרות שלתכונות ‪ Φ‬מסויימות אמנם מתאימות‬
‫קבוצות‪ ,‬כלומר המחלקות })‪ {x | Φ (x‬המתאימות לתכונות מסויימות ‪ Φ‬הן קבוצות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫השפה‬
‫מכיוון שהתכונות אותן אנו יכולים להביע תלויות בשפה בה אנו משתמשים‪ ,‬חשוב לומר‬
‫משהו על השפה‪ .‬אם לא נבהיר במה מותר ובמה אסור להשתמש בשפת תורת הקבוצות‪,‬‬
‫אנו עלולים להיתקל לא רק בביטויים חסרי משמעות‪ ,‬כמו "קבוצת כל הקבוצות הירוקות"‬
‫אלא אף להגיע לסתירה בדרך הבאה‪ :‬נתבונן בביטוי "המספר הטבעי הקטן ביותר שאי־‬
‫אפשר להגדירו בפחות מעשרים מילים בשפה העברית"‪ .‬מכיוון שיש אינסוף מספרים‬
‫טבעיים ואילו מספר הביטויים בעלי פחות מעשרים מילים בשפה העברית הוא סופי‪,‬‬
‫בהכרח קיימים מספרים טבעיים שאי אפשר להגדירם בפחות מעשרים מילים בשפה‬
‫העברית‪ .‬בקבוצה לא ריקה של מספרים טבעיים קיים מספר מינימלי‪.‬‬
‫כעת נשים לב להגדרה הבאה‪" :‬המספר המינימלי של קבוצת המספרים הטבעיים שאי־‬
‫אפשר להגדירם בפחות מעשרים מילים‪ ".‬מתקבלת סתירה‪ ,‬שכן הגדרנו בפחות מעשרים‬
‫‪8‬‬
‫מילים מספר ששייך לקבוצת המספרים שאי־אפשר להגדירם בפחות מ‪ 20-‬מילים‪.‬‬
‫סתירה זאת נובעת מכך שהשפה לא הוגדרה היטב‪ ,‬במובן שזה לא חד משמעי מה בדיוק‬
‫אפשר להביע בשפה העברית‪ .‬כדי למנוע סתירות כאלו נגדיר כאן היטב את השפה‪.‬‬
‫השפה בה נשתמש מכילה את המושגים הבאים‪:‬‬
‫• משתנים‪A, B, . . . , x, y, . . . :‬‬
‫• סימני יחס‪∈, =, ⊆ :‬‬
‫• קשרים לוגיים‪" :‬או" ∨‪" ,‬וגם" ∧‪" ,‬אם ‪ -‬אז" →‪" ,‬אם ורק אם" )"אמ"מ"( ↔‪,‬‬
‫ו‪"-‬לא" ¬‬
‫• כמתים‪" :‬לכל" ∀ ו‪"-‬קיים" ∃‬
‫• התכונה "קבוצה"‬
‫לשפה זאת נקרא "שפת תורת הקבוצות" ונעשיר אותה ע"י הגדרות של מושגים חדשים‬
‫שנכניס לשפה‪.‬‬
‫השפה תכיל בנוסף את המילים "מספר ‪ -‬טבעי‪ ,‬שלם‪ ,‬רציונלי‪ ,‬אלגברי‪ ,‬ממשי‪ ,‬מרוכב"‪,‬‬
‫ואת הסימנים עבור יחס הסדר ופעולות החשבון במספרים אלו‪.‬‬
‫את כל הרכיבים הנוספים הללו אפשר להגדיר בשפת תורת הקבוצות ולכן אין צורך בהם‬
‫בשפה הבסיסית‪ .‬בהמשך נביא לפחות חלק מהגדרות אלו‪.‬‬
‫‪3.1‬‬
‫רשימת הגדרות ומושגים‬
‫שוויון‪ :‬אנו אומרים שהמחלקות ‪ A, B‬שוות‪ ,‬וכותבים ‪ ,A = B‬אם יש להן בדיוק את‬
‫אותם האיברים‪.‬‬
‫הכלה‪ :‬אנו אומרים שמחלקה ‪ A‬היא מחלקה חלקית של מחלקה ‪ ,B‬או תת מחלקה של‬
‫‪ ,B‬אם כל איבר של ‪ A‬הוא איבר של ‪ ,B‬ומסמנים זאת ב־ ‪ .A ⊆ B‬אם ‪ A‬היא‬
‫קבוצה אנו אומרים שהיא קבוצה חלקית של ‪ ,B‬או תת־קבוצה של ‪B‬‬
‫חלקיות‪ :‬אנו אומרים שמחלקה ‪ A‬היא מחלקה חלקית ממש של מחלקה ‪ ,B‬אם ‪A‬‬
‫חלקית ל‪ B-‬אבל אינה שווה לה‪ ,‬ומסמנים זאת ב‪.A $ B-‬‬
‫אקסיומות ההפרדה‪ :‬בהינתן תכונה ‪ Φ‬קיימת לכל קבוצה ‪ A‬קבוצה ‪ B‬המכילה בדיוק‬
‫את אותם איברי ‪ A‬שהם בעלי התכונה ‪ .Φ‬נוסח אחר של אקסיומות אלו הוא‬
‫שכל מחלקה חלקית לקבוצה גם היא קבוצה‪.‬‬
‫אקסיומות אלו הן אקסיומות קיום הלקוחות מתוך קבוצת אקסיומות הקיום‪ .‬הן‬
‫מהוות את השימוש המיידי ביותר של דוקטרינת הגבלת הגודל‪ :‬אם ‪ A‬אינה גדולה‬
‫מדי אז כל מחלקה ‪ B‬החלקית לה בוודאי אינה גדולה מדי‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫משפט‪ :‬המחלקה המכילה את כל הקבוצות היא מחלקה ממש‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬לא‬
‫קיימת קבוצה שהיא קבוצת כל הקבוצות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אילו היתה מחלקה זו קבוצה‪ ,‬אז מטענה קודמת נובע שגם המחלקה החלקית‬
‫∈ ‪ {x | x‬של אנטינומיית ראסל היתה קבוצה‪ .‬‬
‫לה }‪/ x‬‬
‫• נגדיר כעת מספר מחלקות‪ .‬בהמשך נראה שחלקן הן גם קבוצות‪.‬‬
‫המחלקה הריקה‪∅ = {x | x 6= x} :‬‬
‫מחלקת יחידה‪{a} = {x | x = a} :‬‬
‫זוג )לא סדור(‪ x = b} :‬או ‪{a, b} = {x | x = a‬‬
‫איחוד מחלקות‪ x ∈ B} :‬או ‪A ∪ B = {x|x ∈ A‬‬
‫חיתוך מחלקות‪ x ∈ B} :‬וגם ‪A ∩ B = {x|x ∈ A‬‬
‫∈ ‪ x‬וגם ‪A \ B = {x|x ∈ A‬‬
‫הפרש מחלקות‪/ B} :‬‬
‫מחלקת האיחוד‪ x} :‬הוא איבר של איבר כלשהו של ‪A = {x | A‬‬
‫‪T‬‬
‫מחלקת החיתוך‪ x} :‬הוא איבר של כל איבר של ‪A = {x | A‬‬
‫‪S‬‬
‫משפט‪ :‬לכל המחלקות ‪ A, B, C‬מתקיים‪:‬‬
‫‪∅ ⊆ A .1‬‬
‫‪A ⊆ A .2‬‬
‫‪ .A, B ⊆ A ∪ B .3‬אם ‪ A ⊆ C‬ו‪ B ⊆ C -‬אז ‪A ∪ B ⊆ C‬‬
‫‪ .A ∩ B ⊆ A, B .4‬אם ‪ C ⊆ A‬ו‪ C ⊆ B -‬אז ‪C ⊆ A ∩ B‬‬
‫)ההוכחה מושארת כתרגיל(‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬מחלקה לא ריקה של קבוצות אז ‪A‬‬
‫‪T‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ u‬היא איבר של ‪ A‬אז ‪ , A ⊆ u‬ולפי אקסיומת ההפרדה ‪ A‬היא קבוצה‪,‬‬
‫כי היא קבוצת כל איברי ‪ u‬הנמצאים גם בכל האיברים האחרים של ‪ .A‬‬
‫קבוצה‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫אקסיומות קיום‪ :‬האקסיומות הבאות הן אקסיומות קיום‪ ,‬שהן אקסיומות מתוך קבוצת‬
‫אקסיומות הקיום‪.‬‬
‫‪ .1‬אקסיומת הזוג‪ :‬לכל העצמים ‪ a, b‬קיימת קבוצה המכילה בדיוק את ‪ a‬ואת‬
‫‪ .b‬במילים אחרות‪ :‬לכל העצמים ‪ a, b‬המחלקה }‪ {a, b‬היא קבוצה‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ .2‬אקסיומת האיחוד‪ :‬אם ‪ A‬היא קבוצה אז גם ‪ A‬היא קבוצה‪.‬‬
‫‪ .3‬אקסיומת האינסוף‪ :‬מחלקת המספרים הטבעיים ‪ N‬היא קבוצה‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬המחלקה הריקה ∅ היא קבוצה‪.‬‬
‫]נובע מאקסיומות ההפרדה‪ ,‬עם התכונה ‪ ,x 6= x‬כאשר קיום קבוצה כלשהי‬
‫נובע‪ ,‬למשל‪ ,‬מאקסיומת האינסוף[‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A, B‬קבוצות אז ‪ A ∪ B‬קבוצה‪.‬‬
‫]לפי אקסיומות הזוג והאיחוד‪ ,‬כי }‪{A, B‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪[.A ∪ B‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ A‬קבוצה ו‪ B-‬מחלקה‪ ,‬אז ‪ A ∩ B‬קבוצה‪.‬‬
‫]לפי סעיף ד' במשפט שלפני האחרון‪ ,‬ואקסיומות ההפרדה‪[.‬‬
‫בהמשך ייעשה שימוש באקסיומות קיום נוספות‪ ,‬אבל לא נזכיר זאת במפורש‪.‬‬
‫‪3.2‬‬
‫הזוג הסדור‬
‫פעולת הזוג הסדור היא פעולה היוצרת מעצמים ‪ x, y‬כלשהם עצם ‪ ,hx, yi‬המצביע על ‪x‬‬
‫כעצם הנמצא במקום הראשון ועל ‪ y‬כעצם הנמצא במקום השני‪.‬‬
‫כלומר בניגוד לקבוצות שבהן }‪ ,{x, y} = {y, x‬עבור זוג סדור מתקיים ‪.hx, yi6=hy, xi‬‬
‫תכונת הזוג הסדור‪ :‬אם ‪ x, y, u, v‬הם עצמים המקיימים ‪ hx, yi = hu, vi‬אזי מתקיים‬
‫‪ x = u‬וגם ‪.y = v‬‬
‫מבחינתנו זוג סדור הוא זוג המקיים את תכונת הזוג הסדור‪ .‬לכן ניתן להגדיר את‬
‫פעולת הזוג הסדור מן הפעולות שכבר יש בידינו‪:‬‬
‫הגדרה‪hx, yi = {{x} , {x, y}} :‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ x, y, u, v‬הם עצמים כך ש‪ hx, yi = hu, vi-‬אז ‪ x = u‬וגם ‪ .y = v‬כלומר‬
‫הגדרה זו מקיימת את תכונת הזוג הסדור‪.‬‬
‫מבחינת התכלית שמעניינת אותנו‪ ,‬אפשר להחליף את ההגדרה הזו בכל הגדרה אחרת‬
‫של הפעולה ‪ hx, yi‬המקיימת את תכונת הזוג הסדור‪.‬‬
‫‪3.3‬‬
‫מושג היחס )הדו־מקומי(‬
‫יחס הוא מחלקה של זוגות איברים‪ .‬אם ‪ R‬הוא יחס כלשהו‪ ,‬אז שני עצמים ‪ x, y‬יכולים‬
‫להיות או לא להיות ביחס ‪.R‬‬
‫נכתוב ‪ xRy‬כשנרצה לומר כי ‪ x‬נמצא ביחס ‪ R‬ל‪ .y-‬כלומר הזוג ‪.hx, yi ∈ R‬‬
‫נגדיר את מושג היחס באמצעות הכלים שברשותנו כך‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪ .1‬יחס הוא מחלקה שכל איבריה זוגות סדורים‪ .‬מחלקה זאת יכולה להיות‬
‫קבוצה‪ ,‬ואז היחס הוא עצם מתמטי‪.‬‬
‫‪ .2‬נסמן ‪ xRy‬כאשר ‪.hx, yi ∈ R‬‬
‫‪ .3‬תחום היחס ‪ ,R‬המסומן ב‪ Dom (R)-‬הוא המחלקה }קיים ‪ y‬כך ש‪{x | -‬‬
‫‪.xRy‬‬
‫‪ R‬הוא המחלקה }קיים ‪ x‬כך ש‪{y | -‬‬
‫‪ .4‬טווח היחס ‪ ,R‬המסומן ב‪ּ ange (R)-‬‬
‫‪.xRy‬‬
‫ההגדרה התיקנית של יחס‪ :‬תהי )‪ Φ (x, y‬תבנית פסוק האומרת משהו על ‪ x‬ו‪ ,y-‬אז‬
‫המחלקה }קיימים ‪ x, y‬כך ש‪ {hx, yi |Φ (x, y)-‬היא היחס ‪ R‬כך שלכל ‪ x, y‬קיים‬
‫‪ xRy‬אמ"מ מתקיים )‪.Φ (x, y‬‬
‫את היחס הזה נכתוב כ‪ {hx, yi | Φ (x, y)}-‬ולהגדרה כזאת של ‪ R‬נקרא ההגדרה‬
‫התיקנית של היחס‪.‬‬
‫הגדרה‪ A × B :‬הוא היחס }‪.{hx, yi | x ∈ A , y ∈ B‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ A, B‬קבוצות אז גם ‪ A × B‬היא קבוצה‪.‬‬
‫מזה נובע שאם ‪ A, B‬קבוצות ו‪ R-‬הוא יחס כך ש‪ Dom (R) ⊆ A-‬ו‪Range (R) ⊆ -‬‬
‫‪ ,B‬אז גם ‪ R‬הוא קבוצה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬באופן כללי‪ ,‬יהיו ‪ x, y ∈ C‬ל‪ C-‬קבוצה‪ .‬נסיק‪:‬‬
‫‪{x} , {x, y} ⊆ C‬‬
‫⇓‬
‫)‪{x} , {x, y} ∈ P (C‬‬
‫⇓‬
‫)‪hx, yi = {{x} , {x, y}} ⊆ P (C‬‬
‫⇓‬
‫))‪hx, yi ∈ P (P (C‬‬
‫לכן לכל ‪ hx, yi ∈ A × B‬מתקיים ‪ x, y ∈ A ∪ B‬ולכן ))‪,hx, yi ∈ P (P (A ∪ B‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫))‪A × B ⊆ P (P (A ∪ B‬‬
‫מכיוון ש‪ A, B-‬קבוצות אז אגף ימין הוא קבוצה‪ ,‬ולכן ‪ A × B‬שהיא מחלקה‬
‫חלקית לה‪ ,‬גם היא קבוצה‪ .‬‬
‫הגדרה‪ :‬יחס ‪ R‬נקרא יחס על מחלקה ‪ ,A‬אם הוא קיים רק בין איברים של ‪ ,A‬כלומר‬
‫אם ‪.R ⊆ A × A‬‬
‫‪12‬‬
‫הגדרה‪ :‬יחס ‪ R‬נקרא יחס שקילות על מחלקה ‪ A‬אם הוא מקיים את התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬רפלקסיביות‪ :‬לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים ‪.xRx‬‬
‫‪ .2‬סימטריות‪ :‬לכל ‪ ,x, y ∈ A‬אם ‪ xRy‬אז גם ‪.yRx‬‬
‫‪ .3‬טרנזיטיביות‪ :‬לכל ‪ ,x, y, z ∈ A‬אם ‪ xRy‬ו‪ yRz-‬אז גם ‪.xRz‬‬
‫הגדרה‪ :‬מחלקה ‪ P‬של קבוצות חלקיות למחלקה ‪ A‬נקראת חלוקה של ‪ A‬אם היא‬
‫מקיימת את התנאים הבאים‪:‬‬
‫∈ ∅‪ ,‬כלומר כל קבוצה ב‪ P -‬אינה ריקה‪.‬‬
‫‪/ P .1‬‬
‫‪ .2‬כל איבר של ‪ A‬נמצא בקבוצה יחידה של ‪.P‬‬
‫את דרישת היחידות אפשר לנסח גם כך‪ :‬לכל שני איברים ‪ B, C‬שונים של‬
‫‪ P‬הם זרים‪ ,‬כלומר ∅ = ‪.B ∩ C‬‬
‫הגדרה‪ :‬אם ‪ R‬יחס שקילות על מחלקה ‪ ,A‬אז לכל ‪ z ∈ A‬המחלקה }‪D = {x ∈ A | zRx‬‬
‫נקראת מחלקת השקילות של ‪ z‬ביחס ‪.R‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ּ‪ R‬יחס שקילות על קבוצה ‪ ,A‬אז קבוצת מחלקות השקילות של ‪R‬‬
‫)כלומר מחלקות השקילות של איברי ‪ A‬ביחס ‪ (R‬היא חלוקה של ‪.A‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ P‬היא חלוקה של מחלקה ‪ ,A‬אז היחס ‪ R‬המוגדר ע"י ‪ xRy‬אם ‪ x‬ו‪y-‬‬
‫נמצאים באותה קבוצה של ‪ ,P‬הוא יחס שקילות על ‪.A‬‬
‫ובניסוח סימבולי‪ :‬היחס })‪ R = {hx, yi | (∃D ∈ P ) (x, y ∈ D‬הוא יחס‬
‫שקילות‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬מחלקת שקילות אינה ריקה‪ ,‬כי מחלקת השקילות של ‪ z‬מכילה את ‪ z‬כי‬
‫היחס ‪ R‬הוא רפלקסיבי‪.‬‬
‫אם ‪ z‬נמצא במחלקת השקילות של ‪ u‬אז קיים ‪ zRu‬וכתוצאה מן הסימטריה‬
‫והטרנזיטיביות של ‪ ,R‬העצמים ‪ x‬המקיימים ‪ xRz‬הם בדיוק העצמים‬
‫המקיימים ‪ xRu‬ולכן מחלקת השקילות של ‪ u‬שווה למחלקת השקילות‬
‫של ‪ ,x‬ולכן מחלקת השקילות של ‪ z‬היא מחלקת השקילות היחידה המכילה‬
‫את ‪.z‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ x ∈ A‬אז ‪ x‬נמצא בקבוצה ‪ D‬שהיא אחת מקבוצות החלוקה ‪ ,P‬ולכן‬
‫קיים ‪.xRx‬‬
‫אם ‪ xRy‬אז קיימת ‪ D ∈ P‬כך ש‪ ,x, y ∈ D-‬ולכן גם ‪.yRx‬‬
‫אם ‪ xRy‬ו‪ yRz-‬אז גם ‪ x‬וגם ‪ z‬נמצאים בקבוצת החלוקה ‪ D‬המכילה את‬
‫‪) y‬מכיוון ש‪ P -‬חלוקה יש רק אחת כזאת(‪ ,‬ולכן ‪ .xRz‬‬
‫‪13‬‬
‫‪3.4‬‬
‫מושג הפונקציה‬
‫פונקציה היא משהו המתאים לעצמים ‪ x‬מסויימים עצמים ‪ ,y‬כך שלכל עצם ‪ x‬מותאם‬
‫לכל היותר עצם ‪ y‬אחד‪.‬‬
‫אם הפונקציה ‪ F‬מתאימה עצם ל‪ ,x-‬אז עצם זה מסומן ב‪ .F (x)-‬אם הפונקציה ‪F‬‬
‫אינה מתאימה עצם ל‪ ,x-‬אז אנו אומרים שהביטוי )‪ F (x‬אינו מוגדר‪.‬‬
‫לאור הכוונה שלנו לנסח מושגים בשפה בכלי תורת הקבוצות הנמצאים כבר ברשותנו‪,‬‬
‫נגדיר את מושג הפונקציה כדלקמן‪.‬‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪ .1‬פונקציה היא יחס חד ערכי‪ .‬כלומר יחס ‪ F‬כך שלכל ‪ ,x, y, z‬אם ‪xF y‬‬
‫ו‪ xF z-‬אז ‪.y = z‬‬
‫‪ .2‬בהתאם למושג הפונקציה‪ ,‬אם ) ‪ x ∈ Dom (F‬אנו מסמנים ב‪ F (x)-‬את‬
‫ה‪ y-‬היחיד המקיים ‪.xF y‬‬
‫∈ ‪ x‬אז אנו אומרים ש‪ F (x)-‬אינו מוגדר‪.‬‬
‫אם ) ‪/ Dom (F‬‬
‫‪ .3‬אנו כותבים ‪ ,F : A → B‬ואומרים גם ש‪ F -‬היא העתקה מ‪ A-‬ל‪ ,B-‬אם ‪F‬‬
‫היא פונקציה שתחומה ‪ A‬וטווחה חלקי ל‪) B-‬כלומר לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים‬
‫‪.(F (x) ∈ B‬‬
‫‪ .4‬אנו אומרים שהפונקציה ‪ F‬היא על מחלקה ‪ ,B‬אם ‪.Range (F ) = B‬‬
‫כלומר אם לכל ‪ y ∈ B‬מתקיים ) ‪ x ∈ Dom (F‬כך ש‪.F (x) = y-‬‬
‫‪ .5‬פונקציה ‪ F‬נקראת חד־חד ערכית )חח"ע(‪ ,‬אם לכל ) ‪ ,x, y ∈ Dom (F‬אם‬
‫= )‪ ,F (x‬ובאופן שקול‪ :‬אם )‪ F (x) = F (y‬אז ‪.x = y‬‬
‫‪ x 6= y‬אז )‪6 F (y‬‬
‫‪ .6‬עבור ) ‪ A ⊆ Dom (F‬אנו מסמנים ב‪ F [A]-‬את }‪ ,{F (x) | x ∈ A‬שהיא‬
‫מחלקת הערכים ש‪ F -‬מקבלת עבור איברי ‪.A‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ F‬פונקציה ו‪ .A ⊆ Dom (F )-‬נסמן ב‪ F A-‬את הפונקציה ‪ G‬המוגדרת‬
‫ע"י ‪ ,Dom (G) = A‬ולכל ‪ x ∈ A‬מתקיים )‪.G (x) = F (x‬‬
‫‪ G = F A‬נקראת ההגבלה של ‪ F‬ל‪ .A-‬לפי הגדרה זו מתקיים = ]‪F [A‬‬
‫)‪Range (F A‬‬
‫ההגדרה התיקנית של פונקציה‪ :‬תהי ‪ A‬מחלקה ותהי )‪ Φ (x, y‬תבנית פסוק‪ ,‬כך שלכל‬
‫‪ x ∈ A‬ישנו בדיוק ‪ y‬אחד המקיים )‪.Φ (x, y‬‬
‫אז היחס })‪ F = {hx, yi | x ∈ A ∧ Φ (x, y‬הוא פונקציה המקיימת = ) ‪Dom (F‬‬
‫‪ ,A‬ולכל ‪ ,x ∈ A‬האיבר )‪ F (x‬הוא ה‪ y-‬המקיים את התכונה )‪ ,Φ (x, y‬והוא‬
‫הפונקציה היחידה המקיימת תנאים אלו‪.‬‬
‫בשם הגדרה תיקנית של פונקציה ‪ F‬נקרא להגדרה מהצורה‪,Dom(F ) = A :‬‬
‫ולכל ‪ x ∈ A‬מתקיים כי )‪ F (x‬הוא ה‪ y-‬המקיים )‪.Φ (x, y‬‬
‫‪14‬‬
‫טענה‪ :‬תהי ‪ F‬פונקציה חד־חד ערכית‪ ,‬אז לכל מחלקה ) ‪ ,A ⊆ Dom (F‬גם ‪ F A‬היא‬
‫חד־חד ערכית‪) .‬ההוכחה מושארת כתרגיל(‪.‬‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל מחלקה ‪ ,A‬פונקצית הזהות ‪ 1A‬על ‪ A‬היא הפונקציה הנתונה ע"י‬
‫‪ ,Dom (1A ) = A‬ולכל ‪ x ∈ A‬מתקיים ‪.1A (x) = x‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ F : A → B‬על ו‪ G : B → C-‬על‪ ,‬אז ההרכבה של פונקציות אלו היא‬
‫הפונקציה ‪ ,GF : A → C‬גם היא על‪ ,‬הנתונה ע"י ‪ ,Dom (GF ) = A‬ולכל‬
‫‪ x ∈ A‬מתקיים ))‪.(GF ) (x) =: G (F (x‬‬
‫ההפוכה ‪,F −1 : B → A‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ F : A → B‬חד חד ערכית ועל‪ ,‬אז הפונקציה‬
‫‬
‫גם היא חח"ע ועל‪ ,‬היא הפוקציה הנתונה ע"י ‪ Dom F −1 = B‬ולכל‬
‫‪ y ∈ B‬מתקיים כי )‪ F −1 (y‬הוא ה‪ x-‬כך ש‪.F (x) = y-‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ 1A .1‬היא העתקה חד חד ערכית של ‪ A‬על ‪.A‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ F : A → B‬על ‪ B‬ו‪ G : B → C -‬על ‪ ,C‬אז ‪ GF : A → C‬היא‬
‫העתקה על ‪.C‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ F : A → B‬ו‪ G : B → C-‬הן חד חד ערכיות‪ ,‬אז גם ‪ GF‬חד חד‬
‫ערכית‪.‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ F‬היא העתקה חד חד ערכית של ‪ A‬על ‪ ,B‬אז ‪ F −1‬היא העתקה חד‬
‫חד ערכית של ‪ B‬על ‪ ,A‬ומתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‪F −1 −1 = F‬‬
‫‪F F −1 = 1B‬‬
‫‪F −1 F = 1A‬‬
‫הגדרה‪ :‬אנו אומרים שהפונקציות ‪ F, G‬מתיישבות אם לכל )‪x ∈ Dom (F ) ∩ Dom (G‬‬
‫מתקיים )‪.F (x) = G (x‬‬
‫למה‪:‬‬
‫‪ .1‬הפונקציות ‪ F, G‬מתיישבות אמ"מ ‪ F ∪ G‬היא פונקציה‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ F, G‬פונקציות שתחומיהן זרים )כלומר ∅ = )‪(Dom (F ) ∩ Dom (G‬‬
‫אז הן מתיישבות ו‪ F ∪ G-‬היא פונקציה‪.‬‬
‫‪ F ∪ G .3‬היא חד־חד ערכית אמ"מ גם ‪ F‬וגם ‪ G‬הן חד־חד ערכיות והטווחים‬
‫של ‪ F‬ו‪ G-‬זרים‪ .‬כלומר ∅ = )‪.Range (F ) ∩ Range (G‬‬
‫‪S‬‬
‫היא פונקציה אמ"מ כל שתי‬
‫‪ .4‬תהי ‪ W‬מחלקה של פונקציות‪ .‬אז ‪W‬‬
‫פונקציות ב‪ W -‬מתיישבות‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫הגדרה‪ :‬לפונקציה ‪ a‬שתחומה הוא קבוצת המספרים הטבעיים נקרא גם בשם סדרה‪,‬‬
‫ואת הערך שלה עבור ‪ n‬נסמן גם ב‪.an -‬‬
‫את הסדרה נכתוב גם כ‪ ,han | n ∈ Ni-‬ובאופן לא פורמלי גם כ‪.ha0 , a1 , a2 , . . . i-‬‬
‫את טווח הסדרה נכתוב כ‪ ,{an | n ∈ N}-‬ובאופן לא פורמלי כ‪.{a0 , a1 , a2 , . . . }-‬‬
‫לפי טענה קודמת כל סדרה‪ ,‬וגם הטווח שלה‪ ,‬היא קבוצה‪.‬‬
‫אקסיומת ההחלפה‪ :‬אם ‪ F‬פונקציה ו‪ ,A ⊆ Dom (F )-‬אז אם ‪ A‬קבוצה גם ]‪F [A‬‬
‫קבוצה‪.‬‬
‫באופן שקול‪ :‬אם )‪ A = Dom (F A‬קבוצה‪ ,‬אז )‪F [A] = Range (F A‬‬
‫קבוצה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫סיכום והרחבת הדיון‬
‫נאלצנו לוותר על הרעיון הגלום באקסיומות הקיום הבסיסיות‪ ,‬שכל תכונה קובעת קבוצה‪.‬‬
‫כאן אנו נאלצים להיכנע לעליונותה של הלוגיקה ולהסכים לכך שלא כל תכונה קובעת‬
‫קבוצה‪ .‬כך גם אלו המאמינים שאלוהים הוא כל יכול נאלצים להיכנע לכך שאלוהים לא‬
‫יכול לברוא אבן שהיא כל כך כבדה שהוא אינו יכול להרים אותה‪ .‬הוויתור שנאלצנו‬
‫לעשות הוא שמתוך אקסיומות הקיום הבסיסיות אנו מקבלים רק את אלו המתיישבות‬
‫עם דוקטרינת הגבלת הגודל‪ .‬מה שמצדיק את הבחירה הזאת אינו בהכרח שיקול רעיוני‬
‫כלשהו אלא העובדה שבחירה זאת מאפשרת לנו לפתח בלי מגבלות את המתמטיקה‬
‫המוכרת לנו‪.‬‬
‫כדי להתמודד עם העובדה שלא כל תכונה קובעת קבוצה הבאנו לעולם את מושג‬
‫המחלקה‪ ,‬כך שכל תכונה של העצמים המתמטיים קובעת מחלקה‪ .‬מחלקה אמורה להיות‬
‫כמו קבוצה‪ ,‬פרט לכך שאם היא מחלקה ממש היא אינה עצם מתמטי‪ ,‬ולכן היא אינה‬
‫יכולה להיות איבר של מחלקה כלשהי‪ ,‬כי רק עצם מתמטי יכול להיות איבר של מחלקה‪.‬‬
‫כך יצרנו עולם עם שני סוגי עצמים בעלי זכויות שונות‪ .‬מכיוון שהדמוקרטיה עדיין לא‬
‫השתלטה על המתמטיקה מצב כזה יתכן‪ ,‬אבל הוא איננו אסתטי והוא גם מכביד על‬
‫חקר תורת הקבוצות‪ .‬לכן הדרך הטובה להתבונן במחלקות היא זאת שהזכרנו בקצרה‬
‫כשעסקנו במחלקות‪ ,‬והיא שהמחלקות אינן עצמים כלל אלא הן המצאה שלנו לנוחיות‬
‫הדיבור‪ .‬כאשר אנו מדברים על מחלקה ‪ A‬אנו מתכוונים למחלקה })‪ {x|Φ(x‬כלשהי‪,‬‬
‫ואז את מה שאנו אומרים על המחלקה })‪ {x | Φ (x‬אנו יכולים להגיד מבלי להזכיר‬
‫מחלקות כלל‪.‬‬
‫לא ניתן כאן את הדרך המלאה כיצד לפרש כל פסוק המדבר על מחלקות כפסוק המדבר‬
‫רק על עצמים מתמטיים‪ ,‬ונסתפק בשתי דוגמאות‪ .‬הדוגמה הראשונה היא הפסוק ‪.A ∈ z‬‬
‫‪ A‬מייצגת את המחלקות })‪ {x | Φ (x‬ולכן עלינו לפרש את הפסוק ‪.{x | Φ (x)} ∈ z‬‬
‫הפירוש של פסוק זה הוא הפסוק "קיים איבר ‪ y‬של הקבוצה ‪ z‬כך ש‪ y-‬הוא קבוצה‬
‫‪16‬‬
‫שאיבריה הם בדיוק כל העצמים שהם בעלי התכונה ‪ ."Φ‬פירוש זה אינו מדבר כלל על‬
‫מחלקות‪.‬‬
‫הדוגמה השניה היא משפט שהזכרנו האומר שאם המחלקות ‪ A‬ו‪ B-‬הן קבוצות אז גם‬
‫‪ A ∪ B‬היא קבוצה‪ A .‬מייצגת מחלקה })‪ {x | Φ (x‬ו‪ B-‬מייצגת מחלקה })‪.{x | Ψ (x‬‬
‫בהתייחס למחלקות אלו‪ ,‬המשפט אומר שאם })‪ {x | Φ (x‬ו‪ {x | Ψ (x)}-‬הן קבוצות‪ ,‬אז‬
‫גם })‪ {x | Φ (x)}∪{x | Ψ (x‬היא קבוצה‪ .‬הפירוש של פסוק זה הוא "אם קיימת קבוצה‬
‫‪ u‬שאיבריה הם בדיוק כל העצמים בעלי התכונה ‪ Φ‬ואם קיימת קבוצה ‪ v‬שאיבריה הם‬
‫בדיוק כל העצמים בעלי התכונה ‪ ,Ψ‬אז קיימת קבוצה ‪ w‬שאיבריה הם בדיוק העצמים‬
‫שהם בעלי התכונה ‪ Φ‬או בעלי התכונה ‪".Ψ‬‬
‫‪17‬‬
‫חלק‬
‫‪III‬‬
‫קבוצות סופיות ובנות מניה‬
‫‪5‬‬
‫עוצמות סופיות‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪ .1‬אנו אומרים שהקבוצה ‪ A‬שוות עוצמה לקבוצה ‪ ,B‬ואנו כותבים ‪,A ≈ B‬‬
‫אם קיימת פונקציה ‪ F : A → B‬שהיא חד־חד ערכית ועל ‪.B‬‬
‫יחס זה מאפשר לקבוע מתי שתי קבוצות הן באותו הגודל גם אם הן קבוצות‬
‫אינסופיות‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ F‬פונקציה חד־חד ערכית ו‪ A-‬קבוצה חלקית ל‪ DomF -‬אז ‪.F [A] ≈ A‬‬
‫משפט‪ :‬יחס שוויון העוצמה ≈ הוא יחס שקילות‪ ,‬כלומר רפלקסיבי )‪ 4 ,(A ≈ A‬סימטרי‬
‫)אם ‪ 5 (B ≈ A ⇔ A ≈ B‬וטרנזיטיבי )אם ‪ A ≈ B,B ≈ C‬אז ‪6 .(A ≈ C‬‬
‫המספרים הטבעיים‪ :‬נתייחס למספרים הטבעיים כידועים לנו‪ ,‬כולל‪ :‬יחס הסדר הסטנדרטי‬
‫שלהם‪ ,‬הוכחה באינדוקציה‪ ,‬פעולות החשבון בהם‪ ,‬והגדרת פונקציות עליהם‬
‫ברקורסיה‪ .‬בדרך־כךך האותיות ‪ k, l, m, n‬יסמנו מספרים טבעיים‪.‬‬
‫מאוחר יותר נגדיר את המספרים הטבעיים ונטפל לפחות בחלק מן הדברים בהם‬
‫אנו משתמשים עתה‪.‬‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪.Nn = {m | m ∈ N, m < n} .1‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ ,n ∈ N‬אומרים כי קבוצה ‪ A‬היא בת ‪ n‬איברים אם ‪.A ≈ Nn‬‬
‫‪ .3‬קבוצה ‪ A‬נקראת סופית אם היא בת ‪ n‬איברים ל‪ n ∈ N-‬כלשהו‪.‬‬
‫‪ .4‬קבוצה שאינה סופית‪ ,‬כלומר קבוצה ‪ A‬כך שלא קיים ‪ n‬המקיים ‪,A ≈ Nn‬‬
‫נקראת אינסופית‪.‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ A‬קבוצה בת ‪ n‬איברים אז קבוצה ‪ B‬גם היא בת ‪ n‬איברים אמ"מ‬
‫‪.B ≈ A‬‬
‫‪4‬נשתמש בפונקציית הזהות‪.‬‬
‫‪5‬נשתמש בפונקציה ההפוכה‪.‬‬
‫‪6‬נשתמש בהרכבת הפונקציות‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ .2‬קבוצה שוות עוצמה לקבוצה סופית‪ ,‬היא סופית‪.‬‬
‫‪ .3‬קבוצה שוות עוצמה לקבוצה אינסופית גם היא אינסופית‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬הקבוצה הריקה ∅ היא סופית‪.‬‬
‫]נשתמש בפונקציה הריקה כדי להגדיר יחס חח"ע ועל בין ∅ לבין ‪ ,N0‬שכן‬
‫∅ = }‪[.N0 = {m|m ∈ N, m < 0‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A‬היא קבוצה בת ‪ n‬איברים ו‪ ,x 6∈ A-‬אז }‪ A ∪ {x‬היא קבוצה סופית‬
‫בת ‪ n + 1‬איברים‪.‬‬
‫]כי אם ‪ F : A → Nn‬חח"ע ועל‪ ,‬נגדיר פונקציה‪:‬‬
‫‪F ∪ {hy, ni} : A ∪ {y} → Nn ∪ {n} = Nn+1‬‬
‫וגם היא חח"ע ועל‪[.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ A‬היא קבוצה סופית אז לכל ‪ ,x‬הקבוצה }‪ A ∪ {x‬היא סופית‪.‬‬
‫‪ .4‬קבוצה ‪ A‬חלקית ל‪ Nn -‬היא קבוצה בת ‪ m‬איברים ל‪ m ≤ n-‬כלשהו‪.‬‬
‫]באינדוקציה על ‪ .n‬ל‪ n + 1-‬תהי ‪ ,B = A ∩ Nn‬ואז ‪ A = B‬או‬
‫}‪ ,A = B ∪ {n‬ואז משתמשים בהנחת האינדוקציה על ‪ B‬ובסעיף ‪[.2‬‬
‫‪ .5‬קבוצה חלקית לקבוצה סופית היא סופית‪ .‬קבוצה המקיפה קבוצה אינסופית‬
‫היא אינסופית‪.‬‬
‫‪5.1‬‬
‫עקרון האינדוקציה לקבוצות סופיות‬
‫תהי ‪ Φ‬תכונה‪ ,‬כך ש‪:‬‬
‫בסיס האינדוקציה‪ :‬הקבוצה הריקה ∅ היא בעלת התכונה ‪.Φ‬‬
‫∈ ‪ ,x‬אם ‪ A‬היא בעלת התכונה ‪ Φ‬אז גם‬
‫וצעד האינדוקציה‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬ועצם ‪/ A‬‬
‫}‪ A ∪ {x‬היא בעלת התכונה ‪Φ‬‬
‫אז מסקנת האינדוקציה‪ :‬כל קבוצה סופית היא בעלת התכונה ‪.Φ‬‬
‫∈ ‪ ,x‬כי אם ‪ x ∈ A‬אז ‪A ∪ {x} = A‬‬
‫הערה‪ :‬די להוכיח את צעד האינדוקציה עבור ‪/ A‬‬
‫ולכן ברור שאם ‪ A‬בעלת התכונה ‪ Φ‬אז גם ‪ A ∪ {x} = A‬בעלת התכונה ‪.Φ‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A, B‬קבוצות סופיות )לאו דווקא זרות( אז ‪ A ∪ B‬גם היא סופית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח באינדוקציה על ‪.A‬‬
‫התכונה ‪ Φ‬של ‪ A‬שאנו עוסקים בה היא‪" :‬לכל קבוצה סופית ‪ ,B‬הקבוצה ‪A ∪ B‬‬
‫סופית"‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫בסיס האינדוקציה‪ :‬ל‪ A = ∅-‬תכונה זאת מתקיימת כי ‪ ,∅ ∪ B = B‬וזאת קבוצה‬
‫סופית מהגדרתה‪.‬‬
‫הנחת האינדוקציה‪ :‬נניח כי ‪ A ∪ B‬סופית‪.‬‬
‫צעד האינדוקציה‪ (A ∪ {x}) ∪ B = (A ∪ B) ∪ {x} :‬סופית‪ ,‬לפי טענה קודמת‪.‬‬
‫לכן מסקנת האינדוקציה‪ :‬לכל קבוצות ‪ A, B‬סופיות ‪ A ∪ B‬סופית‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ F‬פונקציה‪ .‬אם ‪ DomF‬קבוצה סופית אז גם ) ‪ Range (F‬קבוצה סופית‪.‬‬
‫)ההוכחה מושארת כתרגיל‪ .‬יש להשתמש באינדוקציה על ‪.(A‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סופית ו‪ B-‬מחלקה כלשהי‪ ,‬אז קיימת פונקציה חח"ע ‪F : A → B‬‬
‫או שקיימת פונקציה חח"ע ‪.G : B → A‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.A‬‬
‫עבור ∅ = ‪ A‬קיימת הפונקציה הריקה ‪ ,F : ∅ → B‬שהיא חח"ע‪.‬‬
‫נניח את הטענה עבור ‪ A‬ונוכיח עבור }‪ .A ∪ {x‬נדון בשני מקרים‪:‬‬
‫ אם קיימת ‪ G : B → A‬חח"ׂע‪ ,‬אז }‪ G : B → A ∪ {x‬מקיימת את הנדרש‪.‬‬‫ אם קיימת ‪ F : A → B‬חח"ע‪ ,‬אז ייתכנו שתי אפשרויות ‪ F -‬על ‪ B‬או ‪ F‬אינה‬‫כזאת‪.‬‬
‫אם ‪ F‬חח"ע ועל‪ ,‬אז קיימת ‪ F −1 : B → A‬שהיא חח"ע ועל ‪ ,A‬ומכיוון ש‪-‬‬
‫}‪ A ⊆ A ∪ {x‬הפונקציה מקיימת את הנדרש‪.‬‬
‫∈ ‪ .z‬במקרה זה‬
‫אם ‪ F‬חח"ׂע ואינה על ‪ ,B‬אז קיימת ‪ z ∈ B‬כך ש‪/ Range (F )-‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪F ∪ {hx, zi} : A ∪ {x} → B‬‬
‫וקיבלנו פונקציה חח"ע‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬לכל ‪ n‬טבעי‪ ,‬אם ‪ A ⊆ Nn‬אז ‪ A ≈ Nm‬עבור ‪ m‬טבעי כלשהו המקיים ‪.m ≤ n‬‬
‫∈ ‪ u‬מתקיים }‪A ∪ {u} ≈ B ∪ {v‬‬
‫∈ ‪/ A, v‬‬
‫למה‪ :‬אם ‪ A ≈ B‬אז עבור ‪/ B‬‬
‫הוכחת הלמה‪ :‬נניח כי ‪ F : A → B‬חח"ע ועל‪ .‬נגדיר את הפונקציה‪:‬‬
‫}‪F ∪ {hu, vi} : A ∪ {u} → B ∪ {v‬‬
‫וניתן לראות שגם היא חח"ע ועל‪ .‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫אם ‪ ,n = 0‬לכל ‪ A ⊆ N0‬מתקיים ∅ = ‪ ,A‬ולכן ‪.A ≈ N0‬‬
‫נניח את הטענה עבור ‪ ,n‬ותהי ‪.A ⊆ Nn+1‬‬
‫‪20‬‬
‫∈ ‪ n‬אז ‪ A ⊆ Nn‬ומהנחת האינדוקציה קיים ‪ m ≤ n‬ובפרט ‪,m < n + 1‬‬
‫אם ‪/ A‬‬
‫המקיים ‪.A ≈ Nm‬‬
‫אם ‪ n ∈ A‬אז ‪ A\ {n} ⊆ Nn‬ומהנחת האינדוקציה קיים ‪ m ≤ n‬המקיים‬
‫‪.A\ {n} ≈ Nm‬‬
‫נוסיף לאגף שמאל את ‪ n‬ולאגף ימין את ‪ ,m‬ונקבל כי ‪ .A ≈ Nm+1‬‬
‫מסקנה‪ :‬קבוצה חלקית לקבוצה סופית היא קבוצה סופית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סופית בת ‪ n‬איברים‪ .‬משמע ‪ ,A ≈ Nn‬וקיימת ‪F : A → Nn‬‬
‫חח"ע ועל‪.‬‬
‫תהי ‪ ,B ⊆ A‬אזי מתקיים כי ‪ ,F [B] ⊆ Nn‬ומהמשפט האחרון נסיק כי ≈ ]‪F [B‬‬
‫‪ Nm‬עבור ‪ m ≤ n‬כלשהו‪.‬‬
‫לכן קיימת הפונקציה ‪ g : F [B] → Nm‬שהיא חח"ע ועל‪.‬‬
‫לכן קיימות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫]‪F B : B → F [B‬‬
‫שהיא חח"ע ועל‪ ,‬מכך ש‪.A ≈ Nn -‬‬
‫‪G : F [B] → Nm‬‬
‫שהיא חח"ע ועל‪ ,‬מכך ש‪.F [B] ≈ Nm -‬‬
‫נרכיב את הפונקציות ונקבל‪:‬‬
‫‪G ◦ F B : B → Nm‬‬
‫שהיא פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬
‫הארה‪ :‬ניזכר במשפט קודם שהוכחנו כי עבור ‪ A‬קבוצה סופית ו‪ B-‬מחלקה כלשהי‪ ,‬אזי‬
‫‪ F : A → B‬חח"ׂע או ‪ G : B → A‬חח"ע‪.‬‬
‫נניח שמתקיימת האפשרות השנייה‪ .‬נשים לב כי )‪ G : B → Range (G‬היא‬
‫פונקציה חח"ׂע ועל‪ .‬ולכן מכך ש‪ A-‬סופית נובע כי ‪ Range (G) ⊆ A‬סופית‪.‬‬
‫לכן אפשרות זו קיימת רק כאשר ‪ B‬קבוצה סופית‪ .‬אולם אם ‪ B‬קבוצה אינסופית‬
‫או מחלקה ממש‪ ,‬בהכרח מתקיימת האפשרות הראשונה‪.‬‬
‫‪5.2‬‬
‫קבוצות חסומות‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה של מספרים טבעיים‪ A .‬נקראת חסומה ע"י המספר הטבעי ‪,m‬‬
‫ו‪ m-‬נקרא חסם של ‪ ,A‬אם לכל ‪ n ∈ A‬מתקיים ‪.n ≤ m‬‬
‫‪ A‬נקראת חסומה אם היא חסומה ע"י מספר טבעי כלשהו‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬כל קבוצה של מספרים טבעיים החסומה ע"י מספר טבעי ‪ n‬היא בת ‪m‬‬
‫איברים עבור ‪ m ≤ n + 1‬כלשהו‪.‬‬
‫‪ .2‬כל קבוצה סופית של מספרים טבעיים היא חסומה‪.‬‬
‫‪ .3‬כל קבוצה לא חסומה של מספרים טבעיים‪ ,‬ובמיוחד ‪ N‬עצמה‪ ,‬היא אינסופית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬את הטענה הראשונה הוכחנו לעיל‪ .‬נוכיח את הטענה השנייה באינדוקציה על‬
‫הקבוצה‪.‬‬
‫ברור כי ∅ חסומה‪ ,‬כי לכל ∅ ∈ ‪ a‬מתקיים ‪ a ≤ 0‬באופן ריק‪.‬‬
‫נניח כי ‪ A‬חסומה‪ .‬נראה כי }‪ A ∪ {k‬חסומה‪.‬‬
‫מהנתון כי ‪ A‬חסומה נובע ‪ .A ⊆ Nn‬אם ‪ k ≤ n‬סיימנו‪ ,‬ואם ‪ k > n‬אזי‬
‫‪ A ∪ {k} ⊆ Nk+1‬וסיימנו‪ .‬‬
‫למה‪ :‬תהי ‪ F : A → B‬חח"ׂע ועל‪ ,‬ויהיו ‪ ,u ∈ A, v ∈ B‬אזי קיימת ‪ G : A → B‬חח"ע‬
‫ועל כך ש‪.G (u) = v-‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ ,F (u) = v‬אז נגדיר ‪ G = F‬וסיימנו‪.‬‬
‫לכן נניח ‪ .F (u) 6= v‬נגדיר את הפונקציה‪:‬‬
‫
‬
‫ ‬
‫
‬
‫‬
‫)‪G = F A\ u, F −1 (u‬‬
‫)‪∪ hu, vi , F −1 (v) , F (u‬‬
‫מסקנה‪ :‬לכל זוג קבוצות ‪) A, B‬סופיות או לא( אם ‪ z ∈ B ,y ∈ A‬ו‪ ,A ≈ B-‬אז‬
‫}‪.A\ {y} ≈ B\ {z‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי למה קודמת קיימת העתקה ‪ F‬חח"ע של ‪ A‬על ‪ B‬כך ש‪ .F (y) = z-‬ברור‬
‫כי }‪ F A \ {y‬היא העתקה חח"ע של }‪ A \ {y‬על }‪ ,B \ {z‬כנדרש‪ .‬‬
‫מסקנה‪ :‬קבוצה סופית ‪ A‬אינה שוות־עוצמה לקבוצה חלקית ממש שלה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על הקבוצה הסופית ‪.A‬‬
‫אם ∅ = ‪ A‬הטענה נכונה באופן ריק כי לקבוצה הריקה אין קבוצות חלקית ממש‪.‬‬
‫∈ ‪.y‬‬
‫נניח עתה כי המשפט מתקיים ל‪ A-‬ונוכיח אותו ל‪ A ∪ {y}-‬עבור ‪/ A‬‬
‫תהי ‪ F : A ∪ {y} → B‬חח"ע כאשר }‪ .B $ A ∪ {y‬נדון בשני מקרים‪.‬‬
‫ אם ‪ y ∈ B‬אז לפי למה קודמת מתקיים ‪.A = (A ∪ {y})\{y} ≈ B\{y} ⊆ A‬‬‫}‪ B \ {y‬חלקית ממש ל‪ ,A-‬כי אילו ‪ B \ {y} = A‬אז }‪ B = A ∪ {y‬בניגוד לכך‬
‫ש‪.B & A ∪ {y}-‬‬
‫‪22‬‬
‫אם כך מצאנו כי }‪ A ≈ B \ {y‬בסתירה להנחת האינדוקציה‪.‬‬
‫∈ ‪ y‬אז ‪ .B ⊆ A‬לפי למה קודמת })‪.A = (A ∪ {y})\{y} ≈ B\{F (y‬‬
‫ אם ‪/ B‬‬‫נשים לב כי })‪ B \{F (y‬קבוצה חלקית ממש ל‪ A-‬כי היא אינה מכילה את )‪,F (y‬‬
‫בסתירה להנחת האינדוקציה‪ .‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם קבוצה היא שוות־עוצמה לקבוצה חלקית ממש שלה‪ ,‬אז היא אינסופית‪.‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ ,m 6= n‬מתקיים כי ‪ Nn‬ו‪ Nm -‬אינן שוות עוצמה‪) .‬כי אם ‪ m < n‬אז‬
‫‪.(Nm & Nn‬‬
‫‪ .3‬כל קבוצה סופית היא בת ‪ n‬איברים ל‪ n-‬טבעי יחיד‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A, B‬קבוצות סופיות‪ ,‬אז גם ‪ A × B‬סופית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪ .B‬כלומר ‪ A‬קבוצה סופית קבועה‪ ,‬והתכונה שנבחן היא תכונה‬
‫של ‪.B‬‬
‫אם ∅ = ‪ B‬אז ∅ = ‪ ,A × B‬והיא סופית‪.‬‬
‫∈ ‪ ,y‬יש להוכיח כי × ‪A‬‬
‫הנחת האינדוקציה היא כי ‪ A × B‬סופית‪ .‬יהי ‪/ B‬‬
‫)}‪ (B ∪ {y‬סופית‪ .‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬
‫)}‪A × (B ∪ {y}) = (A × B) ∪ (A × {y‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪nite‬‬
‫נשאר להראות כי }‪ A × {y‬סופית וממשפט קודם ינבע שהאיחוד סופי‪.‬‬
‫נגדיר פונקציה }‪ F : A → A × {y‬המוגדרת ‪ .F (x) = hx, yi‬ניתן לבדוק שזו‬
‫פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬
‫‪6‬‬
‫קבוצות בנות־מניה‬
‫הגדרה‪ :‬קבוצה ‪ A‬נקראת בת־מניה אם היא שוות עוצמה ל‪.N-‬‬
‫בסימון שהזכרנו אפשר לכתוב כל קבוצה בת מניה כ‪ ,{an | n ∈ N}-‬ובאופן לא‬
‫פורמלי כ‪.{a0 , a1 , a3, . . . }-‬‬
‫במובן שנראה מאוחר יותר‪ ,‬הקבוצות בנות המניה הן הקבוצות האינסופיות‬
‫הקטנות ביותר‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ N .1‬היא בת־מניה‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫כל קבוצה בת־מניה היא אינסופית‪.‬‬
‫אם ‪ A‬קבוצה בת־מניה‪ ,‬אז קבוצה ‪ B‬היא בת־מניה אמ"מ היא שוות עוצמה‬
‫ל‪.A-‬‬
‫לכל ‪ n ∈ N‬הקבוצה ‪ {m | n ≤ m} = N \ Nn‬היא בת־מנייה‪.‬‬
‫אם ‪ A‬קבוצה בת־מניה אז }‪ A ∪ {x‬בת מניה‪.‬‬
‫איחוד של קבוצה בת־מניה ‪ A‬וקבוצה סופית ‪ B‬הוא קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫קבוצת הטבעיים הזוגיים וקבוצת הטבעיים האי־זוגיים הן בנות־מניה‪.‬‬
‫איחוד של שתי קבוצות בנות־מניה זרות הוא קבוצה בת־מניה‪) .‬יותר מאוחר‬
‫נראה שתנאי הזרות מיותר(‪.‬‬
‫הוכחה‪ (6) :‬נניח כי ∅ = ‪ ,A ∩ B‬וכן ‪ b : Nk → B‬חח"ע ועל וגם ‪ a : N → A‬חח"ע ועל‪.‬‬
‫נגדיר את הפונקציה ‪ c : N → A ∪ B‬באופן הבא‪:‬‬
‫(‬
‫‪bn‬‬
‫‪n≤k‬‬
‫= ‪cn‬‬
‫‪an+k n > k‬‬
‫ניתן לראות כי ‪ c‬פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬
‫‪6.1‬‬
‫עוצמת קבוצת השלמים ‪Z‬‬
‫קבוצת המספרים השלמים ‪ Z‬היא בת מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ Z :‬היא איחוד של שתי הקבוצות בנות המנייה ‪ N -‬וקבוצת השלמים השליליים‪.‬‬
‫‬
‫‪6.2‬‬
‫עוצמת הקבוצה ‪N × N‬‬
‫‪ N × N‬היא קבוצה בת מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נציג את כל איברי ‪ N × N‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪h0, 0i h1, 0i h2, 0i . . .‬‬
‫‪h0, 1i h1, 1i h2, 1i . . .‬‬
‫‪h0, 2i h1, 2i h2, 2i . . .‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫ספירת איברי ‪ N × N‬לאורך האלכסונים בשריג הנקודות שהצגנו במישור הקרטזי‪,‬‬
‫)‪. (k+l+1)(k+l‬‬
‫נותנת לנקודה בעלת הקואורדינטות ‪ k, l‬את המספר‬
‫‪2‬‬
‫בדיקה ישירה מראה שהפונקציה‬
‫‪ N × N‬על ‪ .N‬‬
‫)‪(k+l+1)(k+l‬‬
‫‪2‬‬
‫‪24‬‬
‫= )‪ F (k, l‬היא העתקה חח"ע של‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ A ≈ C‬ו‪ B ≈ D-‬אז ‪.A × B ≈ C × D‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A‬ו‪ B-‬הן בנות מניה אז ‪ A × B‬בת מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ (2) :‬תהי ‪ F : N × N → N‬חח"ע ועל‪ ,‬ויהיו ‪ G : A → N, H : B → N‬חח"ע‬
‫ועל‪.‬‬
‫נגדיר פונקציה ‪ J : A × B → N‬שתהיה חח"ע ועל‪ ,‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪J (a, b) = F (G (a) , H (b)) ∈ N‬‬
‫ניתן לוודא שזו פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬
‫‪6.3‬‬
‫עוצמת קבוצות חלקיות ל‪N-‬‬
‫כל ‪ B ⊆ N‬היא סופית או בת־מניה‪.‬‬
‫למעשה נסיק יותר מכך‪ ,‬שכל ‪ B ⊆ N‬היא סופית אמ"מ היא חסומה‪ ,‬והיא בת־מניה‬
‫אמ"מ היא אינה חסומה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ B‬חסומה אז היא סופית לפי טענה קודמת‪ .‬נניח כי ‪ B‬לא חסומה ונוכיח‬
‫כי היא בת־מניה‪.‬‬
‫נגדיר ברקורסיה פונקציה ‪ F‬על ‪ N‬באופן הבא‪:‬‬
‫)‪ F (0‬הוא האיבר המזערי של ‪) B‬יש כזה כי ‪ B‬אינה ריקה‪ ,‬וזאת כי ‪ B‬לא‬
‫חסומה(‪.‬‬
‫)‪ F (n + 1‬הוא האיבר המזערי של ‪ B‬הגדול מ‪) F (n)-‬יש כזה כי ‪ B‬אינה‬
‫חסומה(‪.‬‬
‫קל לראות כי ‪ F : N → B‬וכן שמתקיים )‪ F (n) < F (n + 1‬לפי בחירת‬
‫הערכים‪ .‬נותר להוכיח כי ‪ F‬חח"ע ועל ‪.B‬‬
‫נראה כי היא חח"ע‪ :‬קל לראות כי ‪ F‬פונקציה עולה ממש ולכן ודאי חח"ע‪.‬‬
‫נראה כי היא על‪ :‬כדי להוכיח כי ‪ F‬על ‪ ,B‬ראשית מוכיחים באינדוקציה על ‪ n‬כי‬
‫)‪ n ≤ F (n‬לכל ‪ n‬טבעי‪ .‬הדבר נובע מכך שלכל ‪ n‬מתקיים )‪.F (n) < F (n + 1‬‬
‫יהי ‪ k ∈ B‬כלשהו‪ ,‬וככלל מתקיים )‪ .k ≤ F (k‬יהי ‪ m‬המספר המזערי המקיים‬
‫)‪ .k ≤ F (m‬נוכיח כי ‪ F (m) = k‬ומכך ינבע כי )‪ ,k ∈ range (B‬כלומר ‪ F‬על‬
‫‪.B‬‬
‫אם ‪ m = 0‬אז מהגדרת ‪ F‬נובע כי )‪ F (m‬המספר המינימלי ב‪ ,B-‬ומכך ש‪-‬‬
‫)‪ B 3 k ≤ F (m‬נובע כי )‪ k = F (m‬וסיימנו‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫אם ‪ 0 < m‬אז מתקיים )‪ F (m − 1) < k ≤ F (m‬לפי בחירת ‪ m‬כאיבר‬
‫המינימלי המקיים את התכונה הנ"ל‪.‬‬
‫אבל נשים לב שמהגדרת ‪ F‬נובע כי )‪ F (m‬הוא המספר המזערי ב‪ B-‬שמקיים‬
‫)‪ F (m − 1) < F (m‬ולכן בהכרח ‪ .F (m) = k‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫‪ .1‬כל קבוצה חלקית ל‪ N-‬היא סופית אמ"מ חסומה‪ ,‬ובת־מניה אמ"מ אינה חסומה‪.‬‬
‫‪ .2‬קבוצה חלקית של קבוצה בת־מניה היא סופית או בת־מניה‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ A‬ו‪ B-‬בנות מניה אז ‪ A ∪ B‬בת־מניה )גם אם אינן זרות(‪.‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ A, B‬סופיות או בנות־מניה שתיהן‪ ,‬אז גם ‪ A ∪ B‬סופית או בת־מניה‬
‫בהתאמה‪ .‬אם אחת מהן בת־מניה והאחרת סופית‪ ,‬אז איחודן בן־מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ A ∪ B (3) :‬היא האיחוד של הקבוצות הזרות ‪ A‬ו‪ .B \ A-‬מתקיים כי ‪B \ A‬‬
‫סופית או בת־מניה כי היא חלקית ל‪ .B-‬מטענה שהוכחנו לעיל נובע כי איחוד של‬
‫שתי קבוצות זרות ובנות־מניה הוא קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ F : N → A‬פונקציה על‪ ,‬אז ‪ A‬סופית או בת־מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן ביחס ‪ R‬המוגדר באמצעות ‪ F‬כך ‪ .F (k) = F (l) ⇔ kRl‬ניתן לראות‬
‫שזה יחס שקילות המחלק את ‪ N‬למחלקות שקילות‪.‬‬
‫נחפש קבוצה ‪) D ⊆ N‬מטענה קודמת ‪ D‬סופית או בת־מניה( כך ש‪F D :-‬‬
‫‪ D → A‬תהיה חח"ע ועל‪ ,‬ומכך נקבל מיד כי ‪ A‬סופית או בת־מניה‪.‬‬
‫נרצה כי ‪ D‬תכיל לא יותר מאיבר אחד מכל מחלקה כדי שתהיה חח"ע‪ ,‬וכן נרצה‬
‫כי ‪ D‬תכיל לפחות איבר אחד מכל מחלקה כדי שתהיה על‪.‬‬
‫לכן נגדיר את ‪ D‬להיות קבוצת האיברים המינימליים במחלקות השקילות של ‪.R‬‬
‫‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ F : A → B‬פונקציה על‪ ,‬ו‪ A-‬בת־מניה‪ ,‬אז ‪ B‬סופית או בת־מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ G : N → A‬חח"ע ועל‪ .‬ניתן לראות שההרכבה מהצורה הבאה נותנת‬
‫פונקציה על‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫‪N −→ A −→ B‬‬
‫ממשפט קודם נסיק את הנדרש‪ .‬‬
‫‪26‬‬
‫‪6.4‬‬
‫עוצמת קבוצת הרציונליים ‪Q‬‬
‫משפט‪ :‬קבוצת המספרים הרציונליים ‪ Q‬היא בת מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ F : Q → Z × N‬הפונקציה המקיימת שלכל מספר רציונלי‬
‫‪ ,F (z) = hk, li‬כאשר ‪ ,l 6= 0 ,k ∈ Z, l ∈ N‬וכן ‪ k, l‬זרים‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪l‬‬
‫= ‪ z‬מתקיים‬
‫‪ F‬חח"ע כי ‪ k, l‬זרים ולכן נקבעים ביחידות‪ ,‬ולכן ‪ Q‬שוות עוצמה ל‪.Range (F )-‬‬
‫נשים לב כי ‪ Range (F ) ⊆ Z × N‬ולכן היא סופית או בת מניה לפי טענות‬
‫קודמות‪ .‬מכאן שגם ‪ Q‬כזאת‪.‬‬
‫ברור ש‪ Q-‬אינה סופית‪ ,‬למשל כי ‪ ,N ⊆ Q‬ולכן ‪ Q‬בת־מניה‪ .‬‬
‫‪n 6.5‬־יות‬
‫הגדרה‪ :‬בשם ‪n‬־יה או ‪n‬־יה סדורה‪ ,‬נקרא לפונקציה שתחומה הוא‬
‫‪7 .N‬‬
‫‪n‬‬
‫עבור ‪n‬־יה ‪ ,a‬נקרא בשם רכיבי ה‪n-‬־יה לערכים )‪.a (0) , a (1) , ..., a (n − 1‬‬
‫נסמן אותם גם ‪.a0 , a1 , ..., an−1‬‬
‫‪n‬־יה שכל הרכיבים שלה הם איברים של ‪ ,A‬נקראת ‪n‬־יה של איברי ‪.A‬‬
‫לקבוצה ‪ A‬נסמן ב‪ An -‬את קבוצת ה־‪n‬־יות של איבריה‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬מושג ה‪2-‬־יה אינו זהה למושג הזוג הסדור‪ ,‬כי ה‪2-‬־יה שרכיביה הם ‪ x‬ו‪y-‬‬
‫היא }‪ {h0, xi , h1, yi‬והזוג הסדור עם אותם רכיבים הוא ‪.hx, yi‬‬
‫עם זאת ה‪2-‬־יה ממלאת אחר תכונת הזוג הסדור ולכן היא יכולה לשמש‬
‫במקום הזוג הסדור‪ ,‬ומכאן ואילך לא נבחין בין הזוג הסדור ‪ hx, yi‬לבין‬
‫ה‪2-‬־יה }‪.{h0, xi , h1, yi‬‬
‫‪ .2‬נשים לב שישנה בדיוק ‪0‬־יה אחת ‪ ,hi‬והיא הקבוצה הריקה‪.‬‬
‫‪ .3‬פעמים רבות לא נבחין בין העצם ‪ x‬לבין ה‪1-‬־יה ‪ ,hxi‬למרות שמדובר‬
‫בעצמים שונים‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬סדרה סופית היא ‪n‬־יה עבור ‪ n ∈ N‬כלשהו‪ .‬אורך הסדרה הוא ה‪ n-‬המתאים‪.‬‬
‫סדרה סופית של איברי ‪ A‬היא סדרה סופית שכל רכיביה הם איברי ‪.A‬‬
‫הגדרה‪ :‬לכל פונקציה ‪ F‬ו‪n-‬־יה ‪ ha0 , ..., an−1 i‬נסמן ) ‪ F (a0 , ..., an−1‬עבור )‪.F (ha0 , ..., an−1 i‬‬
‫הגדרה‪ :‬נסמן ב‪ A∗ -‬את מחלקת כל הסדרות הסופיות של איברי ‪.A‬‬
‫‪7‬נזכיר‪.Nn =: {0, 1, ..., n − 1} :‬‬
‫‪27‬‬
‫למה‪ :‬אם ‪ A ≈ B‬אז לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪.An ≈ B n‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ F : A → B‬פונקציה חח"ע ועל‪ .‬נגדיר פונקציה ‪ G : An → B n‬להיות‪:‬‬
‫‪G (ha0 , ..., an−1 i) = hF (a0 ) , ..., F (an−1 )i‬‬
‫ניכר מיד שזו פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬בת־מניה‪ ,‬אז ‪ An‬בת־מניה לכל ‪ n‬טבעי חיובי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬לצורך הפשטות נדון ב‪ .N-‬תהי ‪ F : N × N → N‬פונקציה חח"ע ועל‪ .‬נגדיר‬
‫ברקורסיה פונקציה ‪ Fn : Nn → N‬להיות‪:‬‬
‫‪F1 (hki) = k‬‬
‫) ‪Fn+1 (a0 , ..., an ) = F (Fn (a0 , ..., an−1 ) , an‬‬
‫ניתן להוכיח באינדוקציה שזו פונקציה חח"ע ועל‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬בת־מניה‪ ,‬אז ∗‪ A‬בת־מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬לצורך הפשטות נדון ב‪ .N-‬נתעלם מה‪0-‬־יה‪ ,‬שכן איחוד של קבוצה בת־מניה‬
‫עם איבר אחד‪ ,‬היא קבוצה בת־מניה‪.‬‬
‫נגדיר העתקה חח"ע ‪ F ∗ : N∗ → N‬ומכך ינבע לפי טענה קודמת כי ∗‪ N‬סופית‬
‫או בת־מניה‪ .‬ברור כי ∗‪ N‬אינה סופית ולכן היא תהיה בת־מניה‪.‬‬
‫כל ∗‪ a ∈ N‬הוא ‪n‬־יה של איבר ‪ N‬עבור ‪ 1 ≤ n‬כלשהו )מתעלמים מה‪0-‬־יה(‪.‬‬
‫נגדיר עבורו‪:‬‬
‫))‪F ∗ (a) = F (n − 1, Fn (a‬‬
‫כאשר ‪ F, Fn‬הן הפונקציות שהגדרנו בהוכחה האחרונה‪ .‬נשים לב כי ‪,F ∗ ∈ N‬‬
‫ומכך ש‪ F, Fn -‬חח"עׂ נובע כי גם ∗ ‪ F‬חח"ע‪ .‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ A ≈ B‬אז ∗ ‪.A∗ ≈ B‬‬
‫מכאן שאם ‪ A‬בת־מניה אז ∗‪ A‬בת־מניה‪.‬‬
‫‪6.6‬‬
‫עוצמת קבוצת המספרים האלגבריים‬
‫קבוצת המספרים האלגבריים היא בת מניה‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫הוכחה‪ :‬מספר אלגברי הוא שורש של פולינום ‪ p‬עם מקדמים שלמים ממעלה ‪n > 0‬‬
‫כלשהי‪ .‬ל‪ p-‬יש לכל היותר ‪ n‬שורשים‪ ,‬נסמן את מספרם ב‪.mp -‬‬
‫נסדר אותם בסדר שיטתי כלשהו )למשל‪ ,‬לפי הסדר של הרכיב הממשי שלהם‪,‬‬
‫ואת השורשים עם אותו רכיב ממשי נסדר לפי הרכיב הדמיוני( ותהי ‪ fp‬הפונקציה‬
‫המעתיקה את קבוצת המספרים }‪ {0, . . . , mp − 1‬על קבוצת שורשי ‪ p‬לפי הסדר‬
‫שלהם‪.‬‬
‫תהי ‪ W‬קבוצת הזוגות ‪ ha, ki‬היכן ש‪ a-‬היא סדרה באורך גדול מ‪ 1-‬של מספרים‬
‫שלמים‪ ,‬שרכיבה הראשון אינו ‪ 0‬ו‪ k-‬מספר טבעי קטן ממספר השורשים של‬
‫הפולינום שסדרת מקדמיו היא ‪.a‬‬
‫תהי ‪ F‬הפונקציה שתחומה ‪ W‬ושלכל ‪ ha, ki ∈ W‬מתקיים כי )‪ F (a, k‬הוא‬
‫השורש ה‪k-‬־י של הפולינום ‪ p‬שסידרת מקדמיו היא ‪ .a‬כלומר )‪.F (a, k) = fp (k‬‬
‫נשים לב כי ‪ F‬היא העתקה של ‪ W‬על קבוצת המספרים האלגבריים‪W ⊆ .‬‬
‫‪ ,Z∗ × N‬היכן ש‪ Z∗ -‬היא קבוצת כל הסדרות של המספרים השלמים‪Z∗ × N .‬‬
‫היא בת מניה‪ ,‬לפי טענות קודמות‪.‬‬
‫ברור ש‪ W -‬אינה סופית ולכן ‪ W‬היא בת מניה‪ .‬לפי טענה קודמת קבוצת‬
‫המספרים האלגבריים היא סופית או בת מניה‪ ,‬אולם היא אינה סופית כי היא‬
‫מקיפה את ‪ .N‬‬
‫‪7‬‬
‫סיכום והרחבת הדיון‬
‫הגדרנו שקבוצה היא סופית אם היא בת ‪ n‬איברים למספר טבעי ‪ n‬כלשהו‪ ,‬כלומר אם‬
‫היא שוות עוצמה לקבוצת המספרים הטבעיים הקטנים מ־‪ .n‬ישנה גם אפשרות פשוטה‬
‫להגדרת מושג הקבוצה הסופית ללא תלות במושג המספר הטבעי‪ ,‬ונראה עתה כיצד‬
‫לעשות זאת‪.‬‬
‫מטרתנו היא להגדיר שקבוצה ‪ A‬היא סופית אם היא מתקבלת מן הקבוצה הריקה ע"י‬
‫הוספת איבר כל פעם )כולל ‪ 0‬הוספות(‪ .‬הבעיה היא איך לנסח באופן מתמטי את‬
‫התכונה האינטואיטיבית "מתקבלת מן הקבוצה הריקה ע"י הוספת איבר כל פעם"‪.‬‬
‫תהי ‪ B‬קבוצה כלשהי של קבוצות חלקיות ל‪ .A-‬נאמר ש‪ B-‬היא קבוצה אינדוקטיבית‬
‫אם הקבוצה הריקה נמצאת ב‪ ,B-‬ולכל קבוצה ‪ P‬ב‪ B-‬ולכל איבר ‪ x‬של ‪ ,A‬גם }‪P ∪ {x‬‬
‫נמצאת ב־‪.B‬‬
‫קבוצה אינדוקטיבית ‪ B‬של קבוצות חלקיות ל‪ A-‬מכילה‪ ,‬כמובן‪ ,‬את כל הקבוצות שאליהן‬
‫ניתן להגיע מן הקבוצה הריקה ע"י הוספת איבר של ‪ A‬כל פעם‪ .‬לכן אם ל‪ A-‬עצמה‬
‫אפשר להגיע ע"י הוספת איבר כל פעם‪ ,‬אז גם ‪ A‬עצמה נמצאת ב־‪.B‬‬
‫מצד שני‪ ,‬נסמן ב‪ C-‬את קבוצת הקבוצות החלקיות ל‪ A-‬אליהן ניתן להגיע מן הקבוצה‬
‫הריקה ע"י הוספת איבר כל פעם‪ .‬ברור ש‪ C-‬עצמה היא אינדוקטיבית‪ ,‬ואם ‪ A‬אינה‬
‫‪29‬‬
‫מתקבלת מן הקבוצה הריקה ע"י הוספת איבר כל פעם אז ‪ A‬אינה ב־‪ .C‬כך קיבלנו ש‪A-‬‬
‫מתקבלת מן הקבוצה הריקה ע"י הוספת איבר כל פעם אמ"מ ‪ A‬נמצאת בכל קבוצה‬
‫אינדוקטיבית של קבוצות חלקיות ל‪.A-‬‬
‫התכונה ש‪ A-‬נמצאת בכל קבוצה אינדוקטיבית של קבוצות חלקיות לה היא תכונה‬
‫מתמטית מנוסחת היטב‪ ,‬ונשתמש בה להגדרת הסופיות‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬קבוצה ‪ B‬נקראת קבוצה אינדוקטיבית ב‪ A-‬אם היא קבוצה של קבוצות חלקיות‬
‫ל‪ ,A-‬כך ש‪ ,∅ ∈ B-‬ולכל קבוצה ‪ P ∈ B‬ו‪ P ∪ {x} x ∈ A-‬נמצאת ב־‪.B‬‬
‫קבוצה ‪ A‬נקראת סופית אם היא נמצאת בכל קבוצה אינדוקטיבית ב‪.A-‬‬
‫דוגמה לקבוצה שאינה סופית‪ :‬קבוצת כל הקבוצות החסומות של המספרים הטבעיים‬
‫היא אינדוקטיבית בקבוצת המספרים הטבעיים ‪ ,‬אבל היא אינה מכילה את ‪.N‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬הקבוצה הריקה ∅ היא סופית‪.‬‬
‫‪ .2‬אם הקבוצה ‪ A‬סופית ו‪ y-‬עצם כלשהו‪ ,‬אז גם }‪ A ∪ {y‬סופית‪.‬‬
‫]רמז‪ :‬תהי ‪ B‬קבוצה אינדוקטיבית ב‪ .A ∪ {y}-‬נסמן ב‪ C-‬את הקבוצה של‬
‫אותן קבוצות ב‪ B-‬שהן חלקיות ל־‪ .A‬מתקיים ‪ C‬אינדוקטיבית ב‪ A-‬ולכן‬
‫‪[.A ∈ C ⊆ B‬‬
‫עקרון האינדוקציה לקבוצות סופיות‬
‫אם ‪ Φ‬היא תכונה אינדוקטיבית‪ ,‬כלומר אם ∅ היא בעלת התכונה ‪ ,Φ‬ולכל קבוצה ‪A‬‬
‫ולכל עצם ‪ x‬אם ‪ A‬היא בעלת התכונה ‪ Φ‬אז גם }‪ A ∪ {x‬היא בעלת התכונה ‪ ,Φ‬אז כל‬
‫קבוצה סופית היא בעלת התכונה ‪.Φ‬‬
‫]רמז‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬קבוצת כל הקבוצות החלקיות ל‪ A-‬שהן בעלות התכונה ‪ Φ‬היא‬
‫קבוצה אינדוקטיבית ב‪[.A-‬‬
‫כעת נוכיח כי מושג הסופיות שהוגדר כאן זהה למושג הסופיות שהוגדר לעיל באמצעות‬
‫המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫ראשית‪ ,‬נראה כי כל קבוצה סופית‪ ,‬כפי שהוגדר כאן היא קבוצה בת ‪ n‬איברים עבור‬
‫מספר טבעי כלשהו‪ ,‬ע"י שנראה שהתכונה להיות קבוצה בת ‪ n‬איברים עבור מספר טבעי‬
‫‪ n‬כלשהו היא תכונה אינדוקטיבית‪.‬‬
‫הקבוצה הריקה ∅ היא בת ‪ 0‬איברים‪ .‬אם קבוצה ‪ A‬היא בת ‪ n‬איברים‪ ,‬למספר טבעי‬
‫‪ n‬אז }‪ A ∪ {x‬היא בת ‪ n + 1‬איברים‪.‬‬
‫בכוון ההפוך‪ ,‬נראה כי כל קבוצה בת ‪ n‬איברים היא סופית לפי ההגדרה כאן‪ ,‬ונעשה‬
‫זאת באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫‪30‬‬
‫קבוצה בת ‪ 0‬איברים היא ∅ ולכן היא סופית‪ .‬תהי ‪ A‬קבוצה בת ‪ n + 1‬איברים‪ ,‬ויהי ‪x‬‬
‫איבר כלשהו של ‪ .A‬אז }‪ A ∪ {x‬היא קבוצה בת ‪ n‬איברים ולכן היא סופית לפי הנחת‬
‫האינדוקציה‪.‬‬
‫לפי חלק ב' של המשפט דלעיל גם }‪ A = (A \ {x}) ∪ {x‬סופית‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬להוכיח בשיטות של הדיון כאן שכל קבוצה חלקית של קבוצה סופית היא סופית‪,‬‬
‫בשתי דרכים‪ :‬האחת היא ע"י שימוש ישיר בהגדרת הסופיות והשניה באינדוקציה‪.‬‬
‫תכונה של קבוצות אינסופיות‬
‫מטענה קודמת נובע שאם לקבוצה ‪ A‬ישנה העתקה חד־חד ערכית לקבוצה חלקית ממש‬
‫שלה‪ ,‬אז ‪ A‬היא אינסופית‪.‬‬
‫האם לכל קבוצה אינסופית ‪ A‬קיימת העתקה חד־חד ערכית על תת־קבוצה חלקית שלה?‬
‫בשלב זה איננו יכולים לענות על שאלה זאת‪ ,‬ומה שאנו יכולים כבר לומר זהו המשפט‬
‫הבא‪.‬‬
‫משפט‪ :‬לקבוצה ‪A‬ישנה העתקה חד־חד ערכית על קבוצה חלקית ממש שלה אמ"מ יש‬
‫ל‪ A-‬תת קבוצה בת מניה‪.‬‬
‫]רמז‪ :‬תהי ‪ F‬העתקה חד־חד ערכית של ‪ A‬על קבוצה חלקית ממש שלה‪ .‬יהי‬
‫‪ .w ∈ A \ RangeF‬נגדיר ברקורסיה ‪ ,w0 = w‬ולכל ‪ n‬נגדיר אותה להיות‬
‫) ‪.wn+1 = F (wn‬‬
‫‪31‬‬
‫חלק‬
‫‪IV‬‬
‫השוואת קבוצות‬
‫• בפרק זה נראה קבוצות אינסופיות שהן גדולות יותר בעוצמתן מן הקבוצות בנות‬
‫המנייה‪ .‬הפופולרית ביותר מבין קבוצות אלו היא קבוצת המספרים הממשיים‪,‬‬
‫ונתחיל בהתבוננות בקבוצה זאת‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫עוצמת המספרים הממשיים‬
‫משפט‪ :‬הקבוצות הבאות של מספרים ממשיים שוות עוצמה זו לזו‪.‬‬
‫‪ .1‬קבוצת המספרים הממשיים ‪.R‬‬
‫‪ .2‬כל הקטעים הפתוחים מהצורה‪:‬‬
‫}‪(a, b) =: {x ∈ R | a < x < b‬‬
‫‪ .3‬כל הקרניים הפתוחות מהצורה‪:‬‬
‫}‪(a, ∞) =: {x ∈ R | a < x‬‬
‫}‪(−∞, a) =: {x ∈ R | x < a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .4‬כל הקטעים הסגורים מהצורה‪:‬‬
‫}‪[a, b] =: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b‬‬
‫כאשר ‪ a < b‬ממש‪.‬‬
‫‪ .5‬כל הקרניים הסגורות מהצורה‪:‬‬
‫}‪[a, ∞) =: {x ∈ R | a ≤ x‬‬
‫}‪(−∞, a] =: {x ∈ R | x ≤ a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ .6‬כל הקטעים החצי־פתוחים מהצורה‪:‬‬
‫}‪[a, b) =: {x ∈ R | a ≤ x < b‬‬
‫}‪(a, b] =: {x ∈ R | a < x ≤ b‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח חלק משוויונות העוצמות הללו‪.‬‬
‫‪ f (x) = c + x−a‬המוגבלת ל‪ (a, b)-‬מעתיקה את )‪ (a, b‬על‬
‫הפונקציה )‪b−a (d − c‬‬
‫)‪ .(c, d‬לכן כל הקטעים מהצורה של ‪ 2‬שווי־עוצמה זה לזה‪.‬‬
‫הפונקציה ‪ g (x) = x1 − 1‬מוגבלת ל‪ (0, 1)-‬מעתיקה את )‪ (0, 1‬על הקרן )∞ ‪.(0,‬‬
‫לכן ‪ 2‬שוות־עוצמה ל‪.3-‬‬
‫נבנה משתי פונקציות הדומות ל‪ g-‬הנ"ל פונקציה המעתיקה את )‪ (−1, 1‬על ‪.R‬‬
‫לכן ‪ 2‬שוות עוצמה ל‪.1-‬‬
‫הפונקציה ‪ h‬הבאה‪ ,‬שתחומה ]‪ [−1, 1‬מעתיקה את ]‪ [−1, 1‬על )‪:(−1, 1‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫}‪−n |n ∈ N‬‬
‫‪2 |x| ∈ {2‬‬
‫= )‪h (x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫לכן ‪ 2‬שוות־עוצמה ל‪ .4-‬‬
‫משפט‪ :‬קבוצת המספרים הממשיים ‪ R‬אינה בת־מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מהמשפט הקודם נובע שמספיק להוכיח שהקטע )‪ (0, 1‬אינו קבוצה בת מניה‪.‬‬
‫לשם־כך נוכיח שכל העתקה )‪ F : N → (0, 1‬איננה על )‪ .(0, 1‬נעשה זאת בכך‬
‫שנבנה לכל העתקה ‪ F‬כזאת מספר ממשי ‪ 0 < b < 1‬כלשהו‪ ,‬שאינו בטווח ‪.F‬‬
‫תהי )‪ F : N → (0, 1‬העתקה כנ"ל‪ .‬לכל ‪ n‬תהי ‪ 0.an,0 an,1 ...‬ההצגה של‬
‫)‪ F (n) ∈ (0, 1‬כשבר עשרוני אינסופי‪.‬‬
‫נבנה מספר )‪ b ∈ (0, 1‬באמצעות הצגה העשרונית ‪ 0.b1 b2 ...‬כך שנבטיח שהוא‬
‫יהיה שונה מכל המספרים ‪ .F (0) , F (1) , ...‬נעשה זאת באופן הבא‪:‬‬
‫כדי ש‪ b-‬יהיה שונה מ‪ F (n)-‬נבחר את הסיפרה ‪ bn‬כך שהיא תהיה שונה מן‬
‫הסיפרה ‪ an,n‬הנמצאת באותו מקום בהצגת )‪.F (n‬‬
‫את הסיפרה ‪ bn‬נבחר כסיפרה בין ‪ 1‬ל‪ 8-‬שהיא ‪ an,n + 1‬או ‪ .an,n − 1‬כך ההצגה‬
‫העשרונית של ‪ b‬שונה מכל ההצגות העשרוניות של ‪.F (0) , F (1) , . . .‬‬
‫‪33‬‬
‫הטבלה הבאה ממחישה את בחירת הספרות בייצוג העשרוני של ‪ .b‬נניח שנתון‬
‫כל טווח הפונקציה באופן הבא‪:‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪a0,4‬‬
‫‪a1,4‬‬
‫‪a2,4‬‬
‫‪a3,4‬‬
‫‪a4,4‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a0,3‬‬
‫‪a1,3‬‬
‫‪a2,3‬‬
‫‪a3,3‬‬
‫‪a4,3‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a0,2‬‬
‫‪a1,2‬‬
‫‪a2,2‬‬
‫‪a3,2‬‬
‫‪a4,2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a0,1‬‬
‫‪a1,1‬‬
‫‪a2,1‬‬
‫‪a3,1‬‬
‫‪a4,1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a0,0‬‬
‫‪a1,0‬‬
‫‪a2,0‬‬
‫‪a3,0‬‬
‫‪a4,0‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0.‬‬
‫‪0.‬‬
‫‪0.‬‬
‫‪0.‬‬
‫‪0.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫= )‪(0‬‬
‫= )‪(1‬‬
‫= )‪(2‬‬
‫= )‪(3‬‬
‫= )‪(4‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ b‬יהיה המספר שבייצוג העשרוני שלו ‪ b = 0.b0 b1 b2 ...‬מתקיים ‪ bn 6= ann‬לכל‬
‫‪ n‬טבעי‪ .‬כלומר הספרות שמופיעות באלכסון המרכזי נפסלות מלהופיע בייצוג‬
‫העשרוני של ‪.b‬‬
‫מכיוון שהספרות ‪ 0, 9‬אינן מופיעות בהצגה של ‪ ,b‬הרי ש‪ b-‬מקיים ‪ 0 < b < 1‬ול‪b-‬‬
‫ישנה הצגה יחידה כשבר עשרוני אינסופי )למספרים שיש להם שתי הצגות כשבר‬
‫עשרוני אינסופי מופיעה בהצגה אחת הסיפרה ‪ 9‬בכל מקום ממקום מסויים ואילך‪,‬‬
‫ובשניה מופיעה הסיפרה ‪ 0‬ממקום מסויים ואילך(‪ .‬לכן המצב של‪ b-‬ול‪ F (n)-‬יש‬
‫ספרות שונות במקום המתאים ל‪ n-‬מבטיח ש‪ b 6= F (n)-‬לכל ‪ .n ∈ N‬‬
‫שיטת הבניה של ‪ b‬נקראת שיטת האלכסון כי אנו בונים את ‪ b‬ע"י שאנו הולכים לאורך‬
‫האלכסון בהצגה שלעיל ובוחרים בכל מקום סיפרה השונה מן הסיפרה שהאלכסון עובר‬
‫דרכה‪.‬‬
‫• ראינו זה עתה שקבוצת המספרים הממשיים גדולה בעוצמתה מן הקבוצות בנות‬
‫המניה‪ .‬נראה עתה דרך לקבל מכל קבוצה ‪ A‬קבוצה הגדולה בעוצמתה מ‪.A-‬‬
‫‪9‬‬
‫השוואת קבוצות‬
‫הגדרות‪ :‬יהיו ‪ A, B‬קבוצות‪.‬‬
‫‪ .1‬נסמן ‪ A B‬אם קיימת ‪ F : A → B‬חד־חד ערכית‪ .‬במקרה זה אומרים‬
‫ש‪ A-‬קטנה או שווה בעוצמתה מ‪ ,B-‬וש‪ B-‬גדולה או שווה בעוצמתה מ‪.A-‬‬
‫‪ .2‬נסמן ‪ A ≺ B‬אם ‪ A B‬וגם ‪ .A 6≈ B‬במקרה זה אומרים ש‪ A-‬קטנה‬
‫בעוצמתה מ‪ ,B-‬וש‪ B-‬גדולה בעוצמתה מ‪.A-‬‬
‫הערה‪ :‬מכיוון ש‪ N ⊆ R-‬וגם ‪ ,N 6≈ R‬אז ‪.N ≺ R‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪34‬‬
‫‪ A B .1‬אמ"מ ישנה ‪ C ⊆ B‬כך ש‪.A ≈ C-‬‬
‫]הוכחה‪ :‬אם ‪ A B‬אז יש ‪ F : A → B‬חח"ע‪ .‬מתקיים כי הקבוצה‬
‫‪ Range (F ) ⊆ B‬מקיימת )‪.A ≈ range (G‬‬
‫אם יש ‪ C ⊆ B‬כך ש‪ ,A ≈ C-‬אז קיימת ‪ F : A → C‬חח"ע ועל‪ ,‬ובפרט‬
‫‪ F : A → B‬חח"ע‪[.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A ⊆ B‬אז ‪) A B‬על־ידי פונקציית הזהות‪ ,‬למשל(‪ ,‬ולכן תמיד‬
‫‪ .A A‬מכאן שהיחס רפלקסיבי‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ A ≈ B‬אז ‪ ,A 6≺ B‬ולכן תמיד ‪ .A 6≺ A‬מכאן שהיחס ≺ אי־רפלקסיבי‪.‬‬
‫‪ .4‬היחס הוא טרנזיטיבי‪ :‬אם ‪ A B‬ו‪ B C-‬אז ‪.A C‬‬
‫]כי הרכבת פונקציות חח"ע נותנת פונקציה חח"ע‪[.‬‬
‫‪ .5‬נניח כי ‪ A0 ≈ A‬ו‪ .B 0 ≈ B-‬אם ‪ A B‬אז ‪ ,A0 B 0‬ואם ‪ A ≺ B‬אז‬
‫‪.A0 ≺ B 0‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ B‬סופית ו‪ ,A B-‬אז גם ‪ A‬סופית‪.‬‬
‫]לפי מה שהראינו כי ‪ A B‬אמ"מ קיימת ‪ C ⊆ B‬כך ש‪[.A ≈ C-‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A‬אינסופית ו‪ A B-‬אז גם ‪ B‬אינסופית‪.‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ m, n ∈ N‬מתקיים ‪ Nm Nn‬אמ"מ ‪.m ≤ n‬‬
‫‪ .4‬לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪.Nn ≺ N‬‬
‫אקסיומת קבוצת החזקה‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬קיימת קבוצה המכילה את כל הקבוצות‬
‫החלקיות ל‪) A-‬במילים אחרות‪ :‬מחלקת הקבוצות החלקיות ל‪ A-‬היא קבוצה(‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬קבוצת כל הקבוצות החלקיות ל‪ A-‬נקראת קבוצת החזקה של ‪) A‬נראה מאוחר‬
‫יותר מהיכן בא שם זה( ואנו מסמנים אותה ב‪.P (A)-‬‬
‫הערה‪ :‬אקסיומת קבוצת החזקה שייכת לקבוצת אקסיומות הקיום הבסיסיות )‪ .(2‬היא‬
‫נכנסת תחת המטריה של דוקטרינת הגבלת הגודל‪ ,‬כי במובן מסויים אפשר לומר‬
‫שהקבוצה )‪ P (A‬אינה גדולה "מדי" בהשוואה ל‪.A-‬‬
‫עם זאת כדאי לשים לב שכאן אנחנו מתחככים בגבול של דוקטרינה זאת‪ ,‬וכדי להבין‬
‫את זה די לנו להתבונן בקבוצות הסופיות‪ .‬קל להוכיח כי אם ‪ A‬קבוצה סופית בת ‪n‬‬
‫איברים אז )‪ P (A‬היא קבוצה בת ‪ 2n‬איברים‪.‬‬
‫בעובדה ש‪ 2n -‬הוא הרבה יותר גדול מ‪ ,n-‬נוכח השח הפרסי כאשר ממציא משחק‬
‫השחמט ביקש ממנו‪ ,‬כשכר המצאתו‪ ,‬לשים במשבצת הראשונה של לוח השחמט גרגיר‬
‫חיטה אחד‪ ,‬ובכל משבצת שאחריה גרגירים במספר כפול ממספר הגרגירים במשבצת‬
‫שלפניה‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪9.1‬‬
‫משפט קנטור‬
‫לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים )‪ A ≺ P (A‬ממש‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ברור כי הפונקציה )‪ G : A → P (A‬המוגדרת על־ידי }‪ G (x) = {x‬היא‬
‫העתקה חד־חד ערכית של ‪ A‬לתוך )‪ .P (A‬נראה שלא קיימת העתקה כנ"ל‬
‫שתהיה על )‪.P (A‬‬
‫כמו בטכניקה הלכסון ששימשה להוכחה שקבוצת המספרים הממשיים ‪ R‬אינה‬
‫בת־מניה‪ ,‬גם כאן נצביע על פעולה היוצרת מכל העתקה )‪ F : A → P (A‬איבר‬
‫)‪ u ∈ P (A‬שאינו בטווח ‪.F‬‬
‫∈ ‪B =: {x ∈ A | x‬‬
‫בהינתן )‪ ,F : A → P (A‬נגדיר תת־קבוצה של ‪ A‬להיות ∈ })‪/ F (x‬‬
‫∈ ‪ B‬ולכן ‪ F‬אינה על )‪.P (A‬‬
‫)‪ .P (A‬נוכיח כי ) ‪/ Range (F‬‬
‫נניח בשלילה כי קיים ‪ w ∈ A‬כך ש‪ .B = F (w)-‬נבדוק האם )‪.w ∈ F (w‬‬
‫∈ ‪.w‬‬
‫∈ ‪ ,w‬ולכן )‪/ F (w‬‬
‫אם )‪ ,w ∈ F (w‬אז לפי הגדרת ‪ B‬מתקיים )‪/ B = F (w‬‬
‫∈ ‪ w‬אז לפי הגדרת ‪ B‬מתקיים )‪ ,w ∈ B = F (w‬ולכן )‪.w ∈ F (w‬‬
‫אם )‪/ F (w‬‬
‫∈ ‪ ,w‬וזו סתירה‪ .‬‬
‫קיבלנו כי )‪ w ∈ F (w‬אמ"מ )‪/ F (w‬‬
‫מסקנה‪ :‬לכל ‪ m‬טבעי מתקיים‪:‬‬
‫[‬
‫≺ ‪N ≺ P (N) ≺ P 2 (N) ≺ ... ≺ pm (N) ≺ ...‬‬
‫)‪P k (N‬‬
‫‪k∈N‬‬
‫‪9.2‬‬
‫משפט קנטור־ברנשטיין‬
‫אנו עוסקים עתה בהשוואת קבוצות‪ ,‬ולעיל אמרנו שאם ‪ A ≺ B‬אומרים ש‪ A-‬קטנה‬
‫מ‪ .B-‬השאלה בה עוסק המשפט שלפנינו היא האם יתכן שבאותו זמן גם ‪B ≺ A‬‬
‫וגם ‪ ,A ≺ B‬כלומר גם ‪ A‬קטנה מ‪ B-‬וגם ‪ B‬קטנה מ־‪ .A‬זה כמובן איננו מה שאנו‬
‫מתכוונים לו במונח "השוואה"‪ .‬המשפט הבא מבטיח לנו שמצב זה אינו אפשרי‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A B‬וגם ‪ ,B A‬אז ‪.A ≈ B‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהיינה ‪ F : A → B‬ו‪ G : B → A-‬פונקציות חד־חד ערכיות‪ .‬מצב המתואר‬
‫בציור הבא‪:‬‬
‫‪36‬‬
‫מכיוון ש‪ F -‬ו‪ G-‬חד־חד ערכיות‪ ,‬גם ההרכבה שלהן ‪ GF‬חד־חד ערכית‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫]) ‪A ≈ Range (F ) ≈ Range (GF ) = G [Range (F‬‬
‫כמו־כן נשים לב כי מכיוון ש‪ Range (F ) ⊆ B-‬אז מתקיים ⊆ )‪G [Range (F )] ⊆ Range (G‬‬
‫‪.A‬‬
‫נשים לב כי משתי תובנות אלה נובע כי בשלשה זאת‪ ,‬הקבוצות הקיצוניות ]) ‪G [Range (F‬‬
‫ו‪ A-‬שוות־עוצמה‪.‬‬
‫אם נוכיח שקבוצת הביניים )‪ Range (G‬שוות־עוצמה לשתי קבוצות אלו )ובפרט ל‪(A-‬‬
‫נסיים‪ ,‬כי ‪) Range (G) ≈ B‬כי ‪ G‬חד־חד ערכית( ונוכל להסיק כי ‪ .A ≈ B‬‬
‫נוכיח טענה זו באופן כללי במשפט הבא‪.‬‬
‫‪9.3‬‬
‫למת הסנדוויץ'‬
‫תהיינה ‪ A, B, C‬קבוצות כך ש‪ C ⊆ B ⊆ A-‬וכן ‪ ,C ≈ A‬אז גם ‪.B ≈ A‬‬
‫הוכחה ראשונה‪ :‬תהי ‪ F : A → C ⊆ B‬העתקה חד־חד ערכית ועל‪ .‬נגדיר עתה‬
‫העתקה ‪ G : A → B‬חד־חד ערכית ועל‪.‬‬
‫הרעיון של בניית ‪ G‬הוא שנצא מפונקצית הזהות ‪ ,B : B → B‬ונגדיל את תחומה‬
‫ל‪ A-‬ע"י הוספת הקבוצה ‪ A \ B‬לתחום מבלי לשנות את הטווח ‪.B‬‬
‫נתבונן על ‪ B‬כעל מלון בו כל דייר גר בחדרו‪ .‬כלומר כל דייר ‪ x ∈ B‬משוכן‬
‫בחדר ‪) x‬פונקציית הזהות(‪.‬‬
‫כעת מגיעה למלון קבוצת האורחים ‪ A \ B‬שנסמנה ב‪ .P0 -‬למען האורחים האלו‬
‫אנו מוכנים להוציא דיירים מחדריהם אם צריך‪ ,‬ומשכנים את האורחים במלון לפי‬
‫הפונקציה ‪ .F‬כלומר כל אורח חדש ‪ x ∈ A\B‬משוכן במקום ה‪.F (x)-‬‬
‫‪37‬‬
‫קבוצת החדרים שאליהם נכנסו אורחים אלו היא ] ‪ ,F [A \ B] = F [P0‬ונסמנה‬
‫ב‪.P1 -‬‬
‫הדיירים שהיו קודם בחדרים אלו נשארו ללא מחסה‪ ,‬ולכן נשתמש בפונקציה ‪F‬‬
‫כדי לשכנם והם יעברו לקבוצת החדרים ] ‪ F [P1‬שנסמנה ב‪.P2 -‬‬
‫וכך לכל מספר טבעי ‪ n‬מגדירים ] ‪.Pn+1 = F [Pn‬‬
‫לכל דייר נמצא מקום כי לכל ‪ ,n‬הדיירים הקודמים של ‪ Pn‬שוכנו כולם ב‪.Pn+1 -‬‬
‫תהי ‪ P‬הקבוצה שהיא האיחוד של כל הקבוצות ‪ .Pn‬כך כל אורח ודייר ‪ x‬בקבוצה‬
‫‪ P‬שוכן בחדר )‪ ,F (x‬וכל יתר הדיירים נשארו במקומם‪ .‬הפונקציה ‪ G‬המבוקשת‬
‫מתוארת בשרטוט הבא‪:‬‬
‫נבטא באופן פורמלי את ההתאמה שתיארנו‪.‬‬
‫נתון שקיימת ‪ F : A → C‬חח"ע ועל‪ .‬מגדירים באופן רקורסיבי‪:‬‬
‫[‬
‫= ‪P0 = A\B Pn+1 = F [Pn ] P‬‬
‫‪Pj‬‬
‫‪j∈N‬‬
‫מייצרים את ההתאמה מהצורה ‪ G : A → B‬המוגדרת להיות‪:‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫‪x ∈ A\P‬‬
‫= )‪G (x‬‬
‫)‪F (x‬‬
‫‪x∈P‬‬
‫נותר להוכיח כי ‪ G‬חח"ע ועל ‪.B‬‬
‫‪38‬‬
‫• נוכיח כי ‪ G‬חד־חד ערכית‪ :‬יהיו ‪.x 6= y ,x, y ∈ A‬‬
‫ אם ‪ x, y ∈ P‬אז )‪ G (x) = F (x) 6= F (y) = G (y‬כי ‪ F‬חד־חד‬‫ערכית‪.‬‬
‫ אם ‪ x, y ∈ A \ P‬אז )‪.G (x) = x 6= y = G (y‬‬‫ אם‪ ,‬ללא הגבלת הכלליות‪ x ∈ P ,‬ו‪ ,y ∈ A \ P -‬אז ‪G (x) = F (x) ∈ P‬‬‫ו‪ ,G (y) = y ∈ A \ P -‬ולכן )‪.G (x) 6= G (y‬‬
‫• נוכיח כי ‪ G‬על ‪ :B‬יהי ‪.y ∈ B ⊆ A‬‬
‫ אם ‪ y ∈ P‬אז ] ‪ y ∈ Pn = F [Pn−1‬עבור ‪ 0 < n‬כלשהו‪ ,‬ומכאן כי‬‫)‪ y = F (x‬עבור ‪ x ∈ Pn−1‬מסויים כי ‪ F‬על‪ ,‬ולכן )‪.y = G (x‬‬
‫∈ ‪ y‬אז ‪ y ∈ A \ P‬ומתקיים )‪ .y = G (y‬‬
‫ אם ‪/ P‬‬‫הוכחה שנייה‪ :‬הוכחה זאת דומה להוכחה הראשונה אבל היא אינה משתמשת במספרים‬
‫הטבעיים‪.‬‬
‫נשים לב שהקבוצה ‪ P‬שהוגדרה בהוכחה הראשונה מקיפה את ‪ ,A\B‬והיא סגורה‬
‫תחת ‪ .F‬כלומר אם ‪ x ∈ P‬אז גם ‪.F (x) ∈ P‬‬
‫ברור גם כי כל קבוצה ‪ Q ⊆ A‬המקיפה את ‪ A \ B‬וסגורה תחת ‪ F‬מקיפה את כל‬
‫ה‪Pn‘ -‬־ים‪ ,‬ולכן גם את ‪ .P‬לכן בהוכחה הנוכחית נגדיר ישירות את ַ ‪ P‬כקבוצה‬
‫החלקית ל‪ A-‬ה"מזערית" המקיפה את ‪ A \ B‬והסגורה תחת ‪.F‬‬
‫תהי ‪ W‬קבוצת כל הקבוצות ‪ Q‬המקיימות ‪ Q ⊇ A \ B‬והסגורות תחת ‪.F‬‬
‫מתקיים כי ‪ W‬אינה ריקה כי ‪.A ∈ W‬‬
‫‪T‬‬
‫תהי ‪ .P = W‬ברור כי ‪ P ⊇ A \ B‬וכי ‪ P‬סגורה תחת ‪ .F‬נגדיר את ‪ G‬כמו‬
‫בהגדרה הראשונה‪.‬‬
‫ההוכחה ש‪ G-‬היא העתקה חד־חד ערכית של ‪ A‬על ‪ B‬שונה ממה שנעשה בהוכחה‬
‫הראשונה רק בפרט הבא‪:‬‬
‫יהי ‪ y ∈ B‬ו‪ y ∈ P -‬ועלינו להראות ש‪ y = F (x)-‬עבור ‪ x ∈ P‬מסויים‪ .‬נניח‬
‫שלא ואז גם הקבוצה }‪ P \ {y‬מקיפה את ‪ A \ B‬והיא סגורה תחת ‪ ,F‬בסתירה‬
‫לכך שכל קבוצה בעלת תכונות אלו מקיפה את ‪ .P‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם ‪ A B ≺ C‬או ‪ ,A ≺ B C‬אז ‪.A ≺ C‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה ‪ .A ≈ C‬נקבל כי ‪ A B ≺ C ≈ A‬ולפי משפט קנטור־ברנשטיין‬
‫מתקיים ‪ ,B ≈ A ≈ C‬וזו סתירה לנתון‪ .‬‬
‫‪9.4‬‬
‫הקבוצה ‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫הגדרה‪ :‬נסמן ב־ ‪ A B‬את קבוצת כל הפונקציות מ‪ A-‬ל‪.B-‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫‪39‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ A B‬אז )‪ .P (A) P (B‬אם ‪ A ≈ B‬אז )‪.P (A) ≈ P (B‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A C‬ו‪ B D-‬אז ‪ .A B C D‬אם ‪ A ≈ C‬ו‪ B ≈ D-‬אז‬
‫‪.A B ≈C D‬‬
‫הגדרה‪ :‬הפונקציה האופיינית של ‪ B ⊆ A‬ביחס ל‪ ,A-‬היא פונקציה מהצורה → ‪†B : A‬‬
‫} ‪ {T, F‬עבור שני עצמים שונים ‪ T, F‬כלשהם‪ ,‬המוגדרת להיות‪:‬‬
‫(‬
‫‪T x∈B‬‬
‫= )‪†B (x‬‬
‫∈‪F x‬‬
‫‪/B‬‬
‫משפט‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬ולכל שני עצמים שונים ‪ T, F‬מתקיים } ‪.P (A) ≈ A {T, F‬‬
‫הוכחה‪ :‬עבור כל )‪ B ∈ P (A‬נתונה הפונקציה האופיינית ‪.†B‬‬
‫נגדיר פונקציה } ‪ H : P (A) → A {T, F‬להיות ‪ ,H (B) = †B‬ונראה כי היא‬
‫העתקה חד־חד ערכית של )‪ P (A‬על } ‪.A {T, F‬‬
‫‪ H‬חח"ע‪ :‬לכל ‪ B, C ⊆ A‬כאשר ‪ ,B 6= C‬קיים ללא הגבלת הכלליות ‪.y ∈ B \ C‬‬
‫לכן מתקיים )‪ †B (y) = T 6= F = †C (y‬ולכן )‪.H (B) = †B 6= †C = H (C‬‬
‫‪ H‬על } ‪ :A {T, F‬תהי } ‪ g ∈ A {T, F‬נגדיר ‪.B = {x ∈ A | g (x) = T } ⊆ A‬‬
‫עבור כל ‪ ,x ∈ A‬אם ‪ g (x) = T‬אז ‪ ,x ∈ B‬ולכן )‪ ,†B (x) = T = g (x‬ואם‬
‫‪ g (x) = F‬אז ‪ x 6∈ B‬ולכן )‪.†B (x) = F = g (x‬‬
‫מכאן נסיק כי )‪ ,g = †B = H (B‬כלומר ‪ g‬בטווח של ‪ .H‬‬
‫משפט‪R ≈ P (N) :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש במשפט קנטור־ברנשטיין‪.‬‬
‫• הכיוון )‪ :R P (N‬נוכיח כי )‪ R P (Q‬כאשר ‪ Q‬היא קבוצת הרציונליים‪.‬‬
‫הוכחנו כי ‪ ,N ≈ Q‬וכן ניתן כתרגיל להוכיח כי שוויון העוצמות הנ"ל גורר‬
‫)‪ ,P (Q) ≈ P (N‬ולכן הטענה הנ"ל תספיק‪.‬‬
‫נגדיר )‪ F : R → P (Q‬על־ידי )‪.F (x) = {r ∈ Q | r < x} ∈ P (Q‬‬
‫מכיוון שבין כל שני ממשיים שונים יש מספר רציונלי‪ F ,‬היא חד־חד ערכית‪,‬‬
‫ולכן נקבל )‪.R P (Q) ≈ P (N‬‬
‫• הכיוון ‪ :P (N) R‬תהיינה ‪ k, l‬שתי ספרות שונות מבין הספרות ‪.1, ..., 8‬‬
‫לפי טענה קודמת }‪ P (Q) ≈ Q {k, l} ≈ N {k, l‬ולכן די להוכיח }‪N {k, l‬‬
‫‪.R‬‬
‫‪N‬‬
‫נגדיר פונקציה ‪ G : {k, l} → [0, 1] ≈ R‬באמצעות התאמת כל פונקציה‬
‫}‪ g ∈ N {k, l‬למספר הממשי שמיוצג עשרונית על־ידי ‪.0.g (0) g (1) g (2) ...‬‬
‫‪40‬‬
‫נשים לב שהצגת מספר ממשי כשבר עשרוני אינסופי היא יחידה‪ ,‬פרט למקרה‬
‫בו יש למספר ממשי שתי הצגות כאלו‪ :‬באחת מופיע ‪ 0‬ממקום מסויים ואילך‬
‫= }‪{k, l‬‬
‫ובשניה מופיע ‪ 9‬ממקום מסויים ואילך‪ .‬מכיוון שכאן בחרנו }‪6 {0, 9‬‬
‫זה לא יכול לקרות עבור ערכי ‪ ,G‬ולכן ‪ G‬חח"ע‪ .‬‬
‫‪10‬‬
‫סיכום והרחבת הדיון‬
‫עסקנו עד כה בדי הרבה קבוצות והסתפקנו באמירה שאלו הן קבוצות‪ .‬אמנם לא נעשה‬
‫נזק והלכנו בדרך סלולה‪ ,‬אבל כדאי לראות כיצד מוכיחים שאלו הן באמת קבוצות‪.‬‬
‫לשם כך נשתמש‪ ,‬בנוסף על האקסיומות שראינו בפרק א' באקסיומת קבוצת החזקה‬
‫ובקבוצת האקסיומות הבאה‪:‬‬
‫אקסיומת ההחלפה‪ :‬תהי ‪ F‬פונקציה‪ .‬אם ‪ DomF‬קבוצה אז גם ‪ RangeF‬קבוצה‪.‬‬
‫מדובר כאן על אקסיומות ולא על אקסיומה אחת‪ ,‬כי ישנה כאן אקסיומה נפרדת לכל‬
‫מחלקה ‪ F‬הנתונה כ‪.{x | Φ (x)}-‬‬
‫אקסיומות אלו תואמות לגמרי את דוקטרינת הגבלת הגודל כי אינטואיטיבית‪ ,‬המחלקה‬
‫‪ RangeF‬איננה גדולה יותר מ־ ‪.DomF‬‬
‫אקסיומות אלו נקראות אקסיומות ההחלפה כי הן אומרות שאם אנחנו יוצאים מקבוצה‬
‫‪ ,A‬שהיא התחום של פונקציה ‪ ,F‬ומחליפים כל איבר ‪ x‬שלה בעצם )‪ F (x‬המחלקה‬
‫‪ RangeF‬המתקבלת היא קבוצה‪.‬‬
‫תחילה נראה מה אנו יכולים להוכיח בעזרת אקסיומת קבוצת החזקה‪ .‬נזכור שהגדרנו את‬
‫הזוג הסדור ‪ hu, vi‬כקבוצה }}‪ ,{{u} , {u, v‬לכן אם ‪ A‬היא קבוצה אז המחלקה ‪,A × A‬‬
‫שהיא מחלקת כל הזוגות הסדורים של איברי ‪ ,A‬היא מחלקה חלקית ל‪ ,P (P (A))-‬ולכן‪,‬‬
‫לפי אקסיומת ההפרדה‪ ,‬היא קבוצה‪.‬‬
‫כל יחס ‪ R‬על ‪ ,A‬כלומר יחס ‪ R‬שהתחום והטווח שלו חלקיים ל‪ ,Aְֵ-‬הוא מחלקה חלקית‬
‫ל‪ A × A-‬ולכן גם הוא קבוצה‪ .‬הוכחנו כי אם ‪ A‬ו‪ B-‬הן קבוצות אז גם ‪ A ∪ B‬קבוצה‪,‬‬
‫ולכן גם ‪ A × B‬החלקית ל‪ (A ∪ B) × (A ∪ B)-‬היא קבוצה‪.‬‬
‫כל פונקציה מ‪ A-‬ל‪ B-‬היא קבוצה חלקית ל‪ ,A × B-‬ולכן היא קבוצה‪ .‬המחלקה‬
‫המוגדרת לעיל היא לכן חלקית ל‪ P (A × B)-‬והיא קבוצה‪.‬‬
‫‪AB‬‬
‫בהגדרות המקובלות של המספרים השלמים‪ ,‬הרציונליים והממשיים בתורת הקבוצות‪,‬‬
‫אפשר להוכיח‪ ,‬ע"י שימוש באקסיומות של פרק א' ובאקסיומת קבוצת החזקה‪ ,‬כי קבוצות‬
‫אלו הן אמנם קבוצות‪.‬‬
‫למה שעשינו כאן עד כה ישנם שני חסרונות‪ .‬הראשון הוא שהשתמשנו בקלות דעת‬
‫באקסיומת קבוצת החזקה‪ ,‬שהיא נשק יום הדין‪ ,‬לקבלת מסקנות די צמחוניות‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫החסרון השני שהסתמכנו ללא צורך על הדרך בה הגדרנו את המושגים השונים‪ .‬כבר‬
‫עבור הזוג הסדור השתמשנו בכך שהוא הוגדר כ‪ ,{{u} , {u, v}}-‬למרות שאפשר להגדיר‬
‫מושג זה גם בכל דרך שתקיים את תכונת הזוג הסדור‪.‬‬
‫לקבוצות של המספרים השלמים‪ ,‬הרציונליים והממשיים בוודאי היינו צריכים להסתמך‬
‫על הגדרות מסויימות שלהם בתורת הקבוצות‪.‬‬
‫נסקור עתה כיצד אפשר לעשות את כל מה שעשינו לעיל מבלי להסתמך על ההגדרות‬
‫המסויימות של הזוג הסדור וקבוצות המספרים השונות‪ ,‬תוך שימוש באקסומות ההחלפה‪,‬‬
‫ושימוש באקסיומת קבוצת החזקה רק היכן שהדבר חיוני‪.‬‬
‫תהי ‪ A‬קבוצה‪ ,‬ויהי ‪ .y ∈ A‬תהי ‪ Fy‬הפונקציה על ‪ A‬המוגדרת ע"י ‪Fy (x) = hx, yi‬‬
‫לכל ‪.x ∈ A‬‬
‫לפי אקסיומת ההחלפה המחלקה ‪ Ay = {hx, yi | x ∈ A} = RangeFy‬היא קבוצה‪.‬‬
‫על־ידי ‪ .G (y) = Ay‬לפי אקסיומת ההחלפה‬
‫תהי ‪ G‬הפונקציה על ‪ A‬המוגדרת ‪S‬‬
‫‪ RangeG‬היא קבוצה‪ ,‬ולכן ‪ A × A = RangeG‬היא קבוצה‪ .‬לכן גם ⊆ ‪A × B‬‬
‫)‪ (A ∪ B) × (A ∪ B‬היא קבוצה‪.‬‬
‫טווח הפונקציה ‪ F‬על ‪ N‬הנתונה ע"י ‪ F (n) = −n‬לכל ‪ ,n ∈ N‬היא מחלקת המספרים‬
‫האי־חיוביים‪ ,‬ולכן לפי אקסיומת ההחלפה היא קבוצה‪ ,‬והאיחוד שלה עם ‪ ,N‬שהוא‬
‫מחלקת המספרים השלמים‪ ,‬הוא קבוצה‪.‬‬
‫כדי לקבל שמחלקת המספרים הרציונליים היא קבוצה‪ ,‬מראים תחילה שלכל ‪n ∈ N‬‬
‫‪ S‬הוא ‪ ,n‬היא‬
‫המחלקה ‪ Qn‬של המספרים הרציונליים שהמכנה שלהם בהצגה המצומצמת‬
‫קבוצה‪ .‬אז מראים שמחלקת המספרים הרציונליים היא }‪ ,Q = {Qn | n ∈ N‬ולכן‬
‫היא קבוצה‪.‬‬
‫לפי אקסיומת קבוצת החזקה המחלקה )‪ P (Q‬היא קבוצה‪ .‬תהי )‪ W ⊆ P (Q‬קבוצת‬
‫הקבוצות ‪ B ⊆ Q‬שהן לא ריקות וחסומות‪ .‬תהי ‪ H‬הפונקציה שתחומה ‪ W‬ולכל‬
‫‪ B ∈ W‬מתקיים ׁ‪ .H (B) = sup B‬לכן מחלקת המספרים הממשיים ‪R = RangeH‬‬
‫היא קבוצה‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫חלק‬
‫‪V‬‬
‫העוצמות‬
‫‪11‬‬
‫יחס סדר חלקי‬
‫נגדיר עתה שני מושגים שונים זה מזה של יחס סדר חלקי‪ ,‬האחד במובן של "קטן או‬
‫שווה" והשני במובן של "קטן"‪ ,‬ולשני מושגים אלו נקרא "סדר חלקי"‪.‬‬
‫זה לא יוצר בעיה כי שני המושגים הללו קשורים מאוד אחד בחברו‪ ,‬ובכל פעם שנשתמש‬
‫בהם יהיה ברור לגמרי לאיזה מושג אנו מתכוונים‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬יחס ≤ על מחלקה ‪ ,A‬כלומר יחס חלקי ל‪ ,A × A-‬נקרא יחס סדר חלקי )במובן‬
‫"קטן או שווה"( על ‪ A‬אם הוא מקיים את התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬רפלקסיביות‪ :‬לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים ‪x ≤ x‬‬
‫‪ .2‬אנטי־סימטריה‪ :‬לכל ‪ x, y ∈ A‬אם ‪ x ≤ y‬וגם ‪ y ≤ x‬אז ‪.x = y‬‬
‫‪ .3‬טרנזיטיביות‪ :‬לכל ‪ x, y, z ∈ A‬אם ‪ x ≤ y‬וגם ‪ y ≤ z‬אז ‪.x ≤ z‬‬
‫הגדרה‪ :‬יחס < על מחלקה ‪ A‬כלומר יחס חלקי ל‪ ,A × A-‬נקרא יחס סדר חלקי )במובן‬
‫"קטן"( על ‪ A‬אם הוא מקיים את התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬אי־רפלקסיביות‪ :‬לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים ‪.x 6< x‬‬
‫‪ .2‬טרנזיטיביות‪ :‬לכל ‪ x, y, z ∈ A‬אם ‪ x < y‬וגם ‪ y < z‬אז ‪.x < z‬‬
‫ומשני תנאים אלו נובע כי קיים גם‪:‬‬
‫‪ .3‬א־סימטריה‪ :‬לכל ‪ x, y ∈ A‬לא יתכן שקיים גם ‪ x < y‬וגם ‪] .y < x‬כי אם‬
‫‪ x < y < x‬אז לפי ב' ‪ ,x < x‬בסתירה ל‪-‬א'‪[.‬‬
‫למה‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ≤ יחס סדר חלקי על ‪ ,A‬אז היחס < על ‪ A‬המוגדר ע"י ‪ x < y‬אם‬
‫= ‪ x‬הוא יחס סדר חלקי על ‪.A‬‬
‫‪ x ≤ y‬וגם ‪6 y‬‬
‫‪ .2‬אם < יחס סדר חלקי על ‪ A‬אז היחס ≤ על ‪ A‬המוגדר ע"י ‪ x ≤ y‬אם‬
‫‪ x < y‬או ‪ x = y‬הוא יחס סדר חלקי על ‪.A‬‬
‫דוגמאות‪ :‬היחס ⊆ בין קבוצות‪ .‬היחס "‪ m‬מחלק את ‪ "n‬בין המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫‪43‬‬
‫‪12‬‬
‫עוצמה‪/‬מונה‬
‫הרעיון הבסיסי הוא למצוא "מספר" לכל קבוצה‪ ,‬ולא רק לקבוצות הסופיות שעבורן כבר‬
‫יש לנו מספרים טבעיים‪ .‬כמובן נרצה שלשתי קבוצות שוות עוצמה יהיה אותו מספר‪,‬‬
‫ולקבוצות שאינן שוות עוצמה צריכים להיות מספרים שונים‪.‬‬
‫אקסיומה ‪ :1‬נסמן את המספר של קבוצה ‪ ,A‬שנקרא לו העוצמה של ‪ A‬ב‪ ,|A|-‬ואת‬
‫הדרישות שהזכרנו זה עתה נבטא‪:‬‬
‫‪|A| = |B| ⇐⇒ A ≈ B‬‬
‫בהינתן קבוצה ‪ ,A‬נסמן ב‪ ΦA (x)-‬את התכונה שהקבוצה ‪ x‬שוות עוצמה ל‪.A-‬‬
‫לתכונה זאת מתאימה כמובן המחלקה }‪.{x | x ≈ A‬‬
‫לפני שהיה ידוע על האנטינומיה של ראסל‪ ,‬מחלקה זו נחשבה לקבוצה ולכן היה‬
‫אפשר להגדיר את |‪ |A‬כקבוצה זאת‪ ,‬והגדרה זאת בוודאי מקיימת את הדרישה‬
‫שהזכרנו‪ .‬כך אכן עשה ‪ Frege‬בשנת ‪ .1884‬אולם כעת שאנו יודעים שלפי הגדרה‬
‫זאת |‪ |A‬היא מחלקה‪ ,‬וקל להוכיח שזאת מחלקה ממש‪ ,‬היא אינה עונה על מטרתנו‬
‫שהעוצמה של קבוצה תהיה עצם מתמטי‪.‬‬
‫לכן בשלב זה נוותר על הגדרת העוצמה‪ .‬נתייחס לפעולה הנותנת לכל קבוצה‬
‫את העוצמה שלה כאל מושג יסודי חדש ונקבע את הדרישה שהזכרנו כאקסיומה‪.‬‬
‫פירושו של דבר הוא שלקבוצה ‪ A‬איננו יודעים דבר על העצם |‪ ,|A‬פרט לכך‬
‫שהוא העוצמה של ‪ .A‬בכך ניתן להסתפק בשלב זה‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬עצם כלשהו נקרא עוצמה או מספר מונה‪ ,‬או בקיצור מונה‪ ,‬אם הוא עוצמה של‬
‫קבוצה כלשהי‪ .‬בדרך־כלל האותיות ‪ a, b, c, d, e‬יסמנו עוצמות‪.‬‬
‫אקסיומה ‪ :2‬בניגוד לסתם קבוצה ‪ ,A‬שבשלב זה אין לנו סיבה מיוחדת לבחור בעצם‬
‫מסוים כעוצמה שלה )וליתר דיוק‪ ,‬היתה לנו סיבה כזאת אבל היא הביאה אותנו‬
‫למחלקה שאינה קבוצה( הרי לקבוצה ‪ A‬סופית‪ ,‬ובמיוחד לקבוצה ‪ ,Nn‬יש מועמד‬
‫מתאים למספר האיברים הידוע לנו עוד מכיתה א'‪ ,‬והוא המספר ‪ .n‬לכן נוסיף‬
‫את האקסיומה ‪.|Nn | = n‬‬
‫אקסיומה זו אינה מתנגשת עם האקסיומה הראשונה שהזכרנו‪ ,‬כי הוכחנו ש‪-‬‬
‫‪ m 6= n‬אמ"מ ‪.Nm 6≈ Nn‬‬
‫בהמשך נוכל‪ ,‬בהנחות מסויימות‪ ,‬להגדיר את מושג העוצמה כך שנוכל להוכיח את שתי‬
‫האקסיומות שהזכרנו‪ ,‬ואז הן כמובן ייהפכו מאקסיומות למשפטים‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪44‬‬
‫‪ .1‬לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים כי ‪ A‬סופית אמ"מ ‪|A| ∈ N‬‬
‫‪ .2‬לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים כי ‪ |A| = 0‬אמ"מ ∅ = ‪A‬‬
‫סימון‪:‬‬
‫‪|N| = ℵ0 .1‬‬
‫‪|R| = 2ℵ0 .2‬‬
‫בשלב זה יש לראות ב‪ 2ℵ0 -‬סימון בלבד ולא חזקה‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫הסדר החלקי של העוצמות‬
‫הגדרה‪ :‬למונים ‪ a, b‬מתקיים ‪ a ≤ b‬אם קיימות קבוצות ‪ A, B‬כך ש‪|B| = b ,|A| = a-‬‬
‫ו‪.A B-‬‬
‫למונים ‪ a, b‬מתקיים ‪ a < b‬אם ‪ a ≤ b‬וגם ‪.a 6= b‬‬
‫למה‪:‬‬
‫ארבעת התנאים הבאים הם איפיונים שקולים להגדרת הסדר החלקי של העוצמות‪:‬‬
‫‪) a ≤ b .1‬במובן שהגדרנו(‬
‫‪ .2‬קיימות קבוצות ‪ A, B‬כך ש‪ |B| = b ,|A| = a-‬וכן ‪A ⊆ B‬‬
‫‪ .3‬לכל קבוצה ‪ B‬כך ש‪ |B| = b-‬קיימת קבוצה ‪ A ⊆ B‬כך ש‪|A| = a-‬‬
‫‪ .4‬לכל הקבוצות ‪ A, B‬המקיימות ‪ |B| = b ,|A| = a‬מתקיים ‪A B‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫)‪ (2 ⇐ 1‬נתון שקיימות קבוצות ‪ A, B‬וקיימת העתקה ‪ f : A → B‬חח"ע‪ .‬נבחר‬
‫את ‪ Range (f ) ⊆ B‬ונקבל את הנדרש‪.‬‬
‫)‪ (3 ⇐ 2‬תהי ‪ .|B| = b‬מהנחת ‪ 2‬נובע שיש ‪ A0 , B 0‬כך ש‪|A0 | = a, |B 0 | = b-‬‬
‫המקיימות ‪ .A0 ⊆ B 0‬צ"ל שקיימת ‪ A ⊆ B‬המקיימת ‪.|A| = a‬‬
‫מההנחה נובע ‪ B 0 ≈ B‬ולכן יש העתקה ‪ g : B 0 → B‬חח"ׂע ועל‪ .‬נתבונן בהעתקה‬
‫‪ ,g A0 : A0 → g [A0 ] ⊆ B‬ונשים לב שהיא חח"ע ועל ולכן ] ‪ ,A0 ≈ g [A0‬ומכאן‬
‫שקיימת פונקציה כנדרש‪ ,‬שכן ‪.|A0 | = a‬‬
‫)‪ (4 ⇐ 3‬יהיו ‪) |A| = a , |B| = b‬קיימות מהנחת ‪ .(3‬מהנחת ‪ 3‬נובע שיש‬
‫‪ A0 ⊆ B‬כך ש‪ ,|A0 | = a-‬ולכן יש העתקה ‪ h : A → A0‬חח"ע ועל‪ .‬אבל מהנתון‬
‫‪ A0 ⊆ B‬נסיק כי ‪ A B‬כנדרש‪.‬‬
‫)‪ (1 ⇐ 4‬אם התנאי מתקיים לכל ‪ A, B‬כנ"ל‪ ,‬אז ברור שבפרט קיימות ‪A, B‬‬
‫כנ"ל‪ .‬‬
‫‪45‬‬
‫למה‪ :‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪a < b .1‬‬
‫‪ .2‬קיימות קבוצות ‪ A, B‬כך ש‪ |B| = b ,|A| = a-‬וכן ‪A ≺ B‬‬
‫‪ .3‬לכל הקבוצות ‪ A, B‬המקיימות ‪ |B| = b ,|A| = a‬מתקיים ‪A ≺ B‬‬
‫הוכחה‪ :‬באופן דומה להוכחה הקודמת‪.‬‬
‫משפט‪ :‬היחסים ≤ ו‪ <-‬בין העוצמות הם יחסי סדר חלקיים‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫רפלקסיביות‪ :‬לכל ‪ |A| = a‬מתקיים ‪ A ≈ A‬וכמובן ‪ A A‬ולכן ‪.a ≤ a‬‬
‫טרנזיטיביות‪ :‬נניח כי ‪ a ≤ b‬וגם ‪ .b ≤ c‬אזי קיימות ‪ A B‬וגם ‪ B C‬כך‬
‫ש‪.|A| = a, |B| = b, |C| = c-‬‬
‫מכך ש‪ a ≤ b-‬נסיק כי ‪ A B‬ומכך ש‪ b ≤ c-‬נסיק כי ‪ .B C‬מטרנזיטיביות‬
‫יחס הסדר על קבוצות נסיק כי ‪ A C‬ולכן ‪.a ≤ c‬‬
‫אנטיסימטריות‪ :‬נניח כי ‪ a ≤ b‬וגם ‪ .b ≤ a‬כלומר קיימות ‪ |A| = a, |B| = b‬כך‬
‫ש‪ A B-‬וגם ‪ B A‬ולכן ממשפט קנטור־ברנשטיין ‪ ,A ≈ B‬ומכאן כי ‪.a = b‬‬
‫‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪14‬‬
‫לכל ‪ n‬סופי‪ ,‬אם ‪ a ≤ n‬אז גם ‪ a‬עוצמה סופית ו‪.a ∈ Nn+1 -‬‬
‫]כי אם ‪ a ≤ n‬אז יש ‪ A ⊆ Nn‬כך ש‪ ,|A| = a-‬וקבוצה חלקית לקבוצה‬
‫סופית היא סופית‪[.‬‬
‫לכל ‪ n‬סופי ולכל עוצמה אינסופית ‪ a‬מתקיים ‪.n < a‬‬
‫]כי אם ‪ a‬אינסופית אז יש ‪ |A| = a‬כך ש‪ A-‬אינסופית‪ ,‬וכן לכל ‪ n‬מתקיים‬
‫‪ Nn A‬ומכאן ‪[.n < a‬‬
‫לכל עוצמה ‪ ,a‬אם ‪ a < ℵ0‬אז ‪ a‬עוצמה סופית‪.‬‬
‫‪] ℵ0 < 2ℵ0‬כי הוכחנו ש‪[.N ≺ R-‬‬
‫חשבון עוצמות‬
‫למה‪:‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ F‬העתקה חח"ע של ‪ A‬על ‪ C‬ו‪ G-‬העתקה חח"ע של ‪ B‬על ‪ .D‬נניח‬
‫גם ∅ = ‪ A ∩ B‬ו‪ ,C ∩ D = ∅-‬אז ‪ F ∪ G‬היא העתקה חח"ע של ‪A ∪ B‬‬
‫על ‪.C ∪ D‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A ∩ B = ∅ ,B ≈ D ,A ≈ C‬וכן ∅ = ‪ ,C ∩ D‬אז ‪.A ∪ B ≈ C ∪ D‬‬
‫‪46‬‬
‫חיבור‬
‫‪14.1‬‬
‫הגדרה‪ :‬נניח כי ‪ |B| = b ,|A| = a‬וכן ∅ = ‪ .A ∩ B‬נגדיר |‪.a + b = |A ∪ B‬‬
‫כדי לראות שהחיבור מוגדר לכל זוג עוצמות והוא מוגדר היטב עלינו להוכיח את הדברים‬
‫הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬כדי שהחיבור יהיה מוגדר לכל ‪ a, b‬עלינו לראות כי לכל ‪ a, b‬יש קבוצות ‪A, B‬‬
‫כמו בהגדרה‪.‬‬
‫אכן לפי הגדרת מושג העוצמה קיימות קבוצות ‪ A, B‬כך ש‪.|B| = b ,|A| = a-‬‬
‫אם הן אינן זרות נחליף אותן ב‪ {0} × A-‬וב‪ {1} × B-‬שהן זרות ושוות עוצמה‬
‫ל‪ A-‬ול‪ ,B-‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪ .2‬צריך להראות שהסכום שהוגדר כאן אינו תלוי בבחירת הקבוצות ‪.A, B‬‬
‫| ‪,|B 0‬‬
‫תהיינה גם ‪ A0 , B 0‬קבוצות כאלו‪ ,‬כלומר |‪= b = |B| ,|A0 | = a = |A‬‬
‫ולכן ‪ .B 0 ≈ B ,A0 ≈ A‬מכיוון ש‪ A ∩ B = ∅-‬ו‪ A0 ∩ B 0 = ∅-‬נסיק שמתקיים‬
‫‪ ,A0 ∪B 0 ≈ A∪B‬ומכאן ‪ ,|A0 ∪B 0 | = |A∪B| = a+b‬והחלפת ‪ A, B‬ב‪A0 , B 0 -‬‬
‫אינה משנה את ‪.a + b‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬חוק החילוף‪] a + b = b + a :‬כי איחוד קבוצות אינו תלוי בסדר‪[.‬‬
‫‪ .2‬חוק הקיבוץ‪] a+(b+c) = (a+b)+c :‬כי איחוד קבוצות הוא אסוציאטיבי‪[.‬‬
‫‪] a + 0 = a .3‬כי לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים ‪[.A ∪ ∅ = A‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪a + b ≥ a .1‬‬
‫]כי עבור ‪ A, B‬זרות מתקיים ‪ ,A ⊆ A ∪ B‬ולפי האיפיון השני לסדר של‬
‫העוצמות נקבל את המבוקש‪[.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ a ≤ b‬אז קיים מונה ‪ c‬כך ש‪a + c = b-‬‬
‫]לפי האיפיון השני לסדר של העוצמות קיימות זוג קבוצות מתאימות המקיימות‬
‫‪ ,A ⊆ B‬ולכן |‪[.|A| + |B \ A| = |B‬‬
‫‪ .3‬מונוטוניות‪ :‬אם ‪ a ≤ b‬אז ‪c + a ≤ c + b‬‬
‫]לפי ‪ 2‬קיים ‪ d‬כך ש‪ ,a + d = b-‬ולפי ‪ 1‬נסיק = ‪c + a ≤ (c + a) + d‬‬
‫‪.[c + (a + d) = c + b‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪47‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪ℵ0 + n = ℵ0‬‬
‫]כי מתקיים ‪[.{m ∈ N|n ≤ m} ∪ Nn = N‬‬
‫‪ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 .2‬‬
‫]למשל כי גם עוצמת הזוגיים היא וגם עוצמת האי־זוגיים היא ‪[.ℵ0‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ ℵ0 ≤ a‬אז ‪ ,a + ℵ0 = a‬וכן לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪.a + n = a‬‬
‫]כי קיימת עוצמה ‪ b‬כך ש‪ ,ℵ0 + b = a-‬ולכן‪:‬‬
‫‪a+ℵ0 = (ℵ0 + b)+ℵ0 = ℵ0 +(ℵ0 + b) = (ℵ0 + ℵ0 )+b = ℵ0 +b = a‬‬
‫כנדרש‪[.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ ℵ0 ≤ a‬אז לכל ‪ n‬טבעי מתקיים ‪.a + n = a‬‬
‫]כי ‪[a ≤ a + n ≤ a + ℵ0 = a‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ b ≤ a‬וכן ‪ ,b + b = b‬אז ‪.a + b = a‬‬
‫]באופן דומה להוכחת ‪[.1‬‬
‫משפט‪ ,2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0 + ℵ0 = 2ℵ0 + n = 2ℵ0 :‬לכל ‪.n ∈ N‬‬
‫הוכחה‪ :‬קל לראות שמתקיים האי־שוויון ‪ .2ℵ0 + 2ℵ0 ≥ 2ℵ0 + ℵ0 ≥ 2ℵ0 + n ≥ 2ℵ0‬לכן‬
‫מספיק להראות שמתקיים השוויון ‪ ,2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0‬וממשפט קנטור ברנשטיין‬
‫נקבל את המבוקש‪.‬‬
‫כזכור הראינו שכל קטע ממשי שווה בעוצמתו לכל הממשיים‪ ,‬ולכן נקבל כי‬
‫‪ (−∞, 0] ∪ (0, ∞) = R‬ומכאן כי ‪ .2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬לא קיים חילוץ בחיבור מונים‪ ,‬ולכן אי אפשר להגדיר חיסור של מונים‬
‫הדומה לחיסור של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫]למשל כי ‪ ℵ0 + 0 = ℵ0 + 1‬אולם ‪[.0 6= 1‬‬
‫‪ .2‬הכוון ההפוך של מונוטוניות החיבור לא קיים‪.‬‬
‫]למשל כי ‪ ,ℵ0 + 1 ≤ ℵ0 + 0‬אולם ‪[.1 6≤ 0‬‬
‫‪ .3‬לא קיימת המונוטוניות החזקה של החיבור‪.‬‬
‫]למשל כי ‪ 0 < 1‬בעוד ‪[.ℵ0 + 0 = ℵ0 + 1‬‬
‫‪ .4‬על השאלה אם ‪ c + a < c + b‬גורר כי ‪ a < b‬אין תשובה בשלב זה‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫כפל‬
‫‪14.2‬‬
‫למה‪ :‬אם ‪ A ≈ A0‬ו‪ B ≈ B 0 -‬אז ‪.A × B ≈ A0 × B 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ F : A → A0‬חח"ע ועל וכי ‪ G : B → B 0‬חח"ע ועל‪ ,‬אזי ההעתקה‬
‫‪ H : A × B → A0 × B 0‬המוגדרת להיות ‪ ,H (x, y) = hF (x) , G (y)i‬היא‬
‫העתקה חח"ע ועל‪ .‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהיינה ‪ A, B‬קבוצות כך ש‪ .|B| = b ,|A| = a-‬המכפלה ‪ a · b‬מוגדרת להיות‬
‫|‪.|A × B‬‬
‫כדי לראות שהכפל מוגדר היטב עלינו להוכיח שהמכפלה שהוגדרה כאן אינה‬
‫תלויה בבחירת הקבוצות ‪.A, B‬‬
‫תהיינה גם ‪ A0 , B 0‬קבוצות כאלו‪ ,‬משמע |‪ |A0 | = a = |A‬וכן |‪|B 0 | = b = |B‬‬
‫ולכן ‪ A0 ≈ A‬ו‪ .B 0 ≈ B-‬מהלמה נובע כי ‪ A0 × B 0 ≈ A × B‬ומכאן = | ‪|A0 × B 0‬‬
‫‪ ,|A × B| = a · b‬ומכאן שהחלפת ‪ A, B‬ב־ ‪ A0 , B 0‬אינה משנה את ‪.a · b‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬חוק החילוף‪a · b = b · a :‬‬
‫]הוכחה‪ :‬צ"ל כי עבור ‪ |A| = a, |B| = b‬מתקיים ‪ .A × B ≈ B × A‬נגדיר‬
‫העתקה ‪ F : A × B → B × A‬להיות )‪ .F (x, y) = (y, x‬קל לראות שזו‬
‫העתקה חח"ע ועל‪[.‬‬
‫‪ .2‬חוק הקיבוץ‪a · (b · c) = (a · b) · c :‬‬
‫]הוכחה‪ :‬צ"ל כי עבור ‪ |A| = a, |B| = b, |C| = c‬מתקיים × )‪(A × B‬‬
‫)‪ .C ≈ A × (B × C‬נגדיר העתקה )‪F : (A × B) × C → A × (B × C‬‬
‫להיות ))‪ .F (((x, y) , z)) = (x, (y, z‬קל לראות שזו העתקה חח"ע ועל‪[.‬‬
‫‪a · 1 = a ,a · 0 = 0 .3‬‬
‫]כי ∅ = ∅ × ‪ A‬וכן ‪[.A × {x} ≈ A‬‬
‫‪ .4‬חוק הפילוג‪a · (b + c) = a · b + a · c :‬‬
‫]הוכחה‪ :‬נשאיר כתרגיל להוכיח שעבור ‪|A| = a, |B| = b, |C| = c‬‬
‫מתקיים )‪[8 .A × (B ∪ C) ≈ (A × B) ∪ (A × C‬‬
‫‪ a · b = 0 .5‬אמ"מ ‪ a = 0‬או ‪.b = 0‬‬
‫‪ .6‬מונוטוניות הכפל‪ :‬אם ‪ a ≤ b‬אז ‪.c · a ≤ c · b‬‬
‫]הוכחה‪ a ≤ b :‬ולכן יש ‪ d‬כך ש‪ .a + d = b-‬מכאן נסיק לפי חוק הפילוג‪:‬‬
‫‪ca ≤ ca + cd = c (a + d) = cb‬‬
‫‪8‬נשים לב שלמעשה מדובר בשוויון ממש במקרה זה‪ ,‬ולא רק בשקילות עוצמה‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ 0 6= n ∈ N‬מתקיים ‪.ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 · n = ℵ0‬‬
‫]הוכחה‪ :‬קל לראות שמתקיים אי השוויון ‪ .ℵ0 · ℵ0 ≥ ℵ0 · n ≥ ℵ0‬נותר‬
‫אם־כן להראות את השוויון ‪ .ℵ0 · ℵ0 = ℵ0‬שוויון זה נובע למשל מכך‬
‫שמתקיים ‪[.N × N ≈ N‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ 0 6= n ∈ N‬מתקיים ‪.2ℵ0 · ℵ0 = 2ℵ0 · n = 2ℵ0‬‬
‫]הוכחה‪ :‬קל לראות שמתקיים אי השוויון ‪ .2ℵ0 · ℵ0 ≥ 2ℵ0 · n ≥ 2ℵ0‬נותר‬
‫אם־כן להראות את השוויון ‪.2ℵ0 · ℵ0 = 2ℵ0‬‬
‫נגדיר פונקציה מהצורה ‪ F : (0, 1) × N → R‬להיות ‪.F (t, m) = t + m‬‬
‫זו פונקציה חח"ע‪ ,‬ולכן ‪ .2ℵ0 · ℵ0 ≤ 2ℵ0‬קל לייצר פונקציה חח"ע בכיוון‬
‫ההפוך‪ ,‬ולכן ממשפט קנטור ברנשטיין נסיק את השוויון‪[.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪ .1‬לא קיים חילוץ בכפל מונים‪ ,‬ולכן אי אפשר להגדיר פעולה הדומה לחילוק‬
‫עם שארית של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫]למשל כי ‪ ℵ0 · 1 = ℵ0 · 2‬אולם ‪[.1 6= 2‬‬
‫‪ .2‬הכיוון ההפוך של מונוטוניות הכפל לא קיים‪.‬‬
‫]למשל כי ‪ ,ℵ0 · 2 ≤ ℵ0 · 1‬אולם ‪[.2 6≤ 1‬‬
‫‪ .3‬לא קיימת המונוטוניות החזקה של הכפל‪.‬‬
‫]למשל כי ‪ 1 < 2‬בעוד ‪[.ℵ0 · 1 = ℵ0 · 2‬‬
‫‪ .4‬על השאלה אם ‪ c · a < c · b‬גורר כי ‪ a < b‬אין תשובה בשלב זה‪.‬‬
‫‪14.3‬‬
‫חזקה‬
‫הגדרה‪ :‬בהינתן ‪ A, B‬קבוצות כלשהן‪ ,‬נגדיר את‬
‫מהצורה ‪.f : B → A‬‬
‫‪BA‬‬
‫למה‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ A ≈ C‬ו‪ B ≈ D-‬אז ‪≈ D C‬‬
‫‪= {∅} .2‬‬
‫‪BA‬‬
‫‪∅A‬‬
‫∅‪B‬‬
‫‪ .3‬אם ∅ =‪ B 6‬אז ∅ =‬
‫חשוב לב לשים להבדל בין }∅{ לבין ∅‪.‬‬
‫‪ .4‬אם ∅ = ‪ B ∩ C‬אז ‪≈ B A ×C A‬‬
‫‪× B) ≈ C A ×C B .5‬‬
‫‪C (A‬‬
‫‪50‬‬
‫‪B∪C A‬‬
‫להיות קבוצת כל הפונקציות‬
‫‪≈ C×B A .6‬‬
‫‬
‫‪C BA‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ F : A → C‬חח"ע ועל וכן ‪ G : B → D‬חח"ע ועל‪.‬‬
‫∈ ‪,j‬‬
‫נגדיר את ההעתקה ‪ H : B A →D C‬להיות כך שעבור פונקציה‬
‫המוגדרת ע"י ‪.H (j) = F ◦j ◦G−1‬‬
‫הפונקציה ‪ H (j) ∈ D C‬היא הפונקציה‬
‫‪−1‬‬
‫כלומר )‪ H (j‬מעתיקה כל ‪ x ∈ D‬ל‪.F j G (x) -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ H‬חח"ע כי היא הרכבה של פונקציות חח"ע‪ :‬עבור ‪ j ∈ A‬מתקיים‬
‫‪.j = F −1 H (j) G‬‬
‫היא על ‪ ,D C‬כי עבור ‪ k ∈ D C‬נבחר את ‪ F −1 ◦ k ◦ G ∈ B A‬ונקבל כי‬
‫‪ H‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪.H F ◦ k ◦ G = k‬‬
‫‪BA‬‬
‫‪ .2‬ההוכחה מושארת כתרגיל‪.‬‬
‫‪ .3‬ההוכחה מושארת כתרגיל‪.‬‬
‫‪ .4‬נגדיר העתקה ‪ H : B∪C A →B A × C A‬המוגדרת עבור ‪ j ∈B∪C A‬להיות‬
‫‪.H (j) = hj B, j Ci‬‬
‫‪B∪C‬‬
‫∈ ‪ j‬מתקיים ‪.j = j B ∪ j C‬‬
‫‪ H‬חח"ע כי עבור פונקציה ‪A‬‬
‫‪B∪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫∈ ‪f ∪g‬‬
‫כמו־כן ‪ H‬על ‪ ,B A ×C A‬כי אם ‪ f ∈ A‬ו‪ ,g ∈ A-‬אז ‪A‬‬
‫ו‪.H (f ∪ g) = hf, gi-‬‬
‫‪ .5‬נסמן ב‪ 1st -‬את הפונקציה שתחומה הוא מחלקת כל הזוגות הסדורים מ‪-‬‬
‫)‪ ,(A × B‬שנותנת כערך את הרכיב הראשון של הזוג‪ .‬כלומר = )‪1st (x, y‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪nd‬‬
‫נסמן ב‪ 2 -‬את הפונקציה שתחומה הוא מחלקת כל הזוגות הסדורים מ‪-‬‬
‫)‪ ,(A × B‬שנותנת כערך את הרכיב השני של הזוג‪ .‬כלומר ‪.2nd (x, y) = y‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ H : C (A‬להיות כך שאת ∈ ‪j‬‬
‫נגדיר‬
‫→ ‪
st× B)nd‬‬
‫העתקה ‪ A × B‬‬
‫‪st‬‬
‫)‪ C (A × B‬היא מעתיקה ל‪) H (j) = 1 j, 2 j -‬נשים לב כי ‪ 1 j‬ו‪-‬‬
‫‪ 2nd j‬הכתובות כאן הן הרכבות של פונקציות(‪.‬‬
‫‪ H‬היא חח"ע ועל ‪ ,C A × C B‬כי אם ‪ hf, gi ∈ C A × C B‬אז הפונקציה‬
‫)‪ j ∈ C (A × B‬היחידה המקיימת ‪ H (j) = hf, gi‬היא ‪ j‬הנתונה ע"י‬
‫‪ j(x) = hf (x) , g (x)i‬לכל ‪.x ∈ C‬‬
‫‬
‫‪ .6‬נגדיר העתקה ‪ H : C B A → C×B A‬להיות כך שאת הפונקציה ∈ ‪j‬‬
‫‪ C B A‬היא תעתיק לפונקציה )‪ H (j‬שתחומה ‪ C × B‬והמקיימת לכל‬
‫‪ ,y ∈ B ,x ∈ C‬כי )‪.H (j) (x, y) = j (x) (y‬‬
‫‪ H‬היא חח"ע כי אם ) ‪ H (j1 ) = H (j2‬אז לכל ‪ y ∈ B ,x ∈ C‬מתקיים כי‬
‫)‪.j1 (x) (y) = H (j1 ) (x, y) = H (j2 ) (x, y) = j2 (x) (y‬‬
‫מכיוון שהתחום של )‪ j1 (x‬ו‪ j2 (x)-‬הוא ‪ B‬לכן )‪ j1 (x) = j2 (x‬לכל‬
‫‪ ,x ∈ C‬ולכן ‪.j1 = j2‬‬
‫‪51‬‬
‫‬
‫‪ H‬היא על ‪ ,C×B A‬כי עבור כל ‪ w ∈ C×B A‬תהי ‪ j ∈ C B A‬הפונקציה‬
‫שתחומה ‪ C‬ולכל ‪ x ∈ C‬הפונקציה )‪ j(x‬היא הפונקציה שתחומה ‪ B‬כך‬
‫שלכל ‪ y ∈ B‬מתקיים כי ‪.j (x) (y) = w (x, y) ∈ A‬‬
‫לכל ‪ x ∈ C‬ולכל ‪ y ∈ B‬מתקיים כי )‪,H (j) (x, y) = j (x) (y) = w (x, y‬‬
‫ולכן ‪ H (j) = w‬ו‪ H-‬היא על ‪.C×B A‬‬
‫תהיינה ‪ A, B‬קבוצות כך ש‪ .|B| = b ,|A| = a-‬החזקה ‪ ab‬מוגדרת להיות‬
‫הגדרה‪ :‬‬
‫‪.B A‬‬
‫כדי לראות שהחזקה מוגדרת היטב עלינו להוכיח שהחזקה שהוגדרה כאן אינה‬
‫תלויה בבחירת הקבוצות ‪.A, B‬‬
‫תהיינה גם ‪ C, D‬קבוצות כאלו ואז |‪ |C| = a = |A‬ו‪ .|D| = b = |B|-‬לכן‬
‫‪ C ≈ A‬וכן ‪.D ≈ B‬‬
‫מהלמה שהוכחנו נובע שמתקיים ‪ ,D C ≈ B A‬ומכאן כי ‪ ,|D C| = |B A| = ab‬ולכן‬
‫החלפת ‪ A, B‬ב‪ C, D-‬אינה משנה את ‪.ab‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫הערה‪ :‬היכן שכתוב ‪ ab‬ללא סוגריים הכוונה היא ל‪.a(b ) -‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪] a0 = 1 .1‬כי }∅{ = ‪[.∅ A‬‬
‫‪ ab = 0 .2‬אמ"מ ‪ b 6= 0‬וגם ‪.a = 0‬‬
‫]בכיוון ראשון זה נובע מכך שאם ∅ ≈ ‪ B A‬אז בהכרח ∅ =‪ ,B 6‬כי אחרת‬
‫היה }∅{ ≈ ‪ ,B A‬ומכאן שהאפשרות היחידה היא ∅ = ‪ .A‬בכיוון שני ראינו‬
‫שאם ∅ =‪ B 6‬אז ∅ = ∅ ‪[.B‬‬
‫‪1a = 1 ,a1 = a .3‬‬
‫]כי ‪ ,{t} A ≈ {f = a}a∈A ≈ A‬כלומר אוסף הפונקציות הקבועות = )‪f (t‬‬
‫‪ a‬עבור כל ‪ a ∈ A‬שווה־עוצמה ל‪.A-‬‬
‫השוויון השני הוא מכך ש‪ ,A {t} ≈ {f = 1} ≈ {t}-‬כלומר אוסף הפונקציות‬
‫הקבועות ‪ f (a) = t‬עבור כל ‪ a ∈ A‬מכיל בדיוק פונקציה אחת‪[.‬‬
‫‪ .4‬לכל ‪ n ≥ 1‬מתקיים ‪ℵn0 = ℵ0‬‬
‫]הוכחה‪ :‬נוכיח באינדוקציה על ‪ .n‬מהטענה האחרונה נובע בפרט כי = ‪ℵ10‬‬
‫‪ .ℵ0‬נניח כי עבור ‪ n‬מתקיים ‪ ,ℵn0 = ℵ0‬ונסיק‪:‬‬
‫‪ℵn+1‬‬
‫‪= ℵn0 · ℵ10 = ℵ0 · ℵ0 = ℵ0‬‬
‫‪0‬‬
‫נוכיח מיד את כלל החזקה בו השתמשנו בהוכחה זו‪[.‬‬
‫כללי החזקה‬
‫‪52‬‬
‫‪ab+c = ab · ac .1‬‬
‫]כי הוכחנו שמתקיים ‪[.B∪C A ≈ B A ×C A‬‬
‫‪(a · b) c = ac · bc .2‬‬
‫]כי הוכחנו שמתקיים ‪[.C (A × B) ≈ C A ×C B‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ab = ab·c .3‬‬
‫‬
‫]כי הוכחנו שמתקיים ‪[.C B A ≈ C×B A‬‬
‫טענה‪ :‬מונוטוניות החזקה‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ a ≤ b‬וכן ‪ ,c 6= 0‬אז ‪.ca ≤ cb‬‬
‫]כי אם ‪ a ≤ b‬אז יש ‪ d‬כך ש‪ .a + d = b-‬מכאן נובע =‬
‫‪[.ca · cd ≥ ca‬‬
‫‪cb = ca+d‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ a ≤ b‬אז ‪.ac ≤ bc‬‬
‫]לפי האיפיון השני לסדר על עוצמות נסיק כי ‪ ,A ⊆ B‬ולכן ‪[.C A ⊆ C B‬‬
‫משפט‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים |‪ .|P (A)| = 2|A‬זהו ההסבר לכך מדוע )‪ P (A‬נקראת‬
‫"קבוצת החזקה" של ‪.A‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו שמתקיים |‪ .P (A) ≈ A{T,F } ≈ 2|A‬‬
‫הערה‪ :‬הוכחנו כי ‪ ,|R| = |P (N)| = 2ℵ0‬ומכאן ההצדקה לסימון ‪.|R| = 2ℵ0‬‬
‫משפט‪ :‬לכל מונה ‪ a‬מתקיים ‪ ,a < 2a‬ולכן לכל מונה ‪ 2 ≤ b‬מתקיים ‪] .a < ba‬ממשפט‬
‫קנטור ומונוטוניות החזקה‪[.‬‬
‫תרגיל‪ :‬להוכיח זאת ישירות ללא שימוש במשפט קנטור‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪= 2 ℵ0‬‬
‫‪ℵ 0‬‬
‫‪ , 2ℵ0‬ובפרט ‪.2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ 0 < n‬מתקיים ‪= 2ℵ0‬‬
‫‪ℵ‬‬
‫]כי ‪ , 2ℵ0 0 = 2ℵ0 ·ℵ0 = 2ℵ0‬לפי כללי החזקה ומכך ש‪[.N × N ≈ N-‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ a+a = a‬אז לכל ‪ 1 ≤ b ≤ 2a‬מתקיים ‪ ,b·2a = 2a‬ובפרט ‪.a·2a = 2a‬‬
‫]כי ‪ ,2a = 1 · 2a ≤ b · 2a ≤ 2a · 2a = 2a+a = 2a‬לפי מונוטוניות הכפל‬
‫וכללי החזקה‪[.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ a · a = a‬אז לכל ‪ 2 ≤ b ≤ 2a‬מתקיים ‪.ba = 2a‬‬
‫]כי ‪ ,2a = ba ≤ (2a )a = 2a·a = 2a‬לפי מונוטוניות הכפל וכללי החזקה‪[.‬‬
‫‪2ℵ0‬‬
‫‪ℵ‬‬
‫‪ℵ‬‬
‫‪. 2 ℵ0‬‬
‫‪= ℵ20 0 = 22 0 .4‬‬
‫]מכיוון ש‪ ,2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 -‬זהו מקרה פרטי של ‪ ,3‬עבור ‪[.a = b = 2ℵ0‬‬
‫‪53‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬עוצמת קבוצת כל הפונקציות הממשיות ‪ R R‬היא‬
‫‪ℵ0‬‬
‫‪] .22‬מהמשפט הקודם‪[.‬‬
‫‪ .2‬עוצמת קבוצת כל הפונקציות הממשיות הרציפות היא ‪.2ℵ0‬‬
‫הוכחה‪) :‬של ‪ (2‬תהי ‪ W‬קבוצת כל הפונקציות הממשיות הרציפות‪ .‬נשתמש במשפט‬
‫קנטור־ברנשטיין‪.‬‬
‫תהי ‪ F : R → W‬כך שלכל ‪ z ∈ R‬נגדיר את )‪ F (z‬להיות הפונקציה הקבועה‬
‫‪ .z‬כלומר ‪ F (z) (x) = z‬לכל ‪ .x ∈ R‬קל לראות ש‪ F -‬חח"ע ולכן | ‪.2ℵ0 ≤ |W‬‬
‫כעת תהי ‪ G : W → Q R‬הפונקציה הנתונה ע"י ‪ ,G (f ) = f Q‬כאשר ‪ Q‬קבוצת‬
‫הרציונליים‪ G .‬היא חח"ע כי כל הערכים של פונקציה ממשית רציפה נקבעים ע"י‬
‫ערכיה על הרציונליים‪ .‬לכן נסיק מהמשפט הקודם כי‪:‬‬
‫‪ ℵ0‬‬
‫ ‬
‫‪|W | ≤ Q R = 2ℵ0‬‬
‫‪= 2ℵ0‬‬
‫‬
‫‪14.4‬‬
‫פעולות החשבון ויחס הסדר על המספרים הטבעיים‬
‫הגדרנו את פעולות החשבון ויחס הסדר החלקי לכל העוצמות‪ ,‬כולל המספרים הטבעיים‬
‫שמהווים עוצמות סופיות‪ ,‬אבל על המספרים הטבעיים יש לנו כבר פעולות חשבון ויחס‬
‫סדר מוכרות‪ ,‬ועלינו לבדוק אם בתחום המספרים הטבעיים הפעולות והיחס שהגדרנו‬
‫עתה זהות לאלו המוכרות לנו מכבר‪.‬‬
‫פעולת החיבור‪ :‬כאשר למדנו את פעולת החיבור בכיתה א' למדנו אותה באמצעות איחוד‬
‫קבוצות זרות‪ ,‬בדיוק כפי שהגדרנו אותה כעת לעוצמות‪ ,‬אבל ההגדרה המתמטית‬
‫המקובלת אינה באמצעות קבוצות‪ .‬לכן נסמן‪ ,‬לצורכי הוכחה זאת בלבד‪ ,‬את‬
‫פעולת החיבור המוכרת לנו של המספרים הטבעיים ב‪.⊕-‬‬
‫תחילה נראה שלכל ‪ k‬טבעי ‪ .k ⊕ 1 = k + 1‬לפי האקסיומה ‪ |Nn | = n‬ומכיוון‬
‫שהקבוצות ‪ Nk‬ו‪ {k}-‬זרות‪ ,‬מתקיים‪:‬‬
‫‪k ⊕ 1 = |Nk⊕1 | = |Nk ∪ {k}| = |Nk | + |{k}| = k + 1‬‬
‫כעת נוכיח באינדוקציה על ‪ n‬שלכל ‪ n‬טבעי ‪.m ⊕ n = m + n‬‬
‫ל‪ n = 0-‬מתקיים ‪ .m ⊕ 0 = m = m + 0‬בשלב האינדוקציה אנו יוצאים מהנחת‬
‫האינדוקציה ‪ m ⊕ n = m + n‬ועלינו להוכיח זאת ל‪ ,n ⊕ 1-‬כלומר עלינו להוכיח‬
‫‪54‬‬
‫)‪ .m⊕(n⊕1) = m+(n⊕1‬לפי הנחת האינדוקציה‪ ,‬לפי השיוויון ‪,k ⊕1 = k +1‬‬
‫ולפי אסוציאטיביות ⊕ ו‪ +-‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪m⊕(n ⊕ 1) = (m ⊕ n)⊕1 = (m + n)⊕1 = (m + n)+1 = m+(n + 1) = m+(n ⊕ 1‬‬
‫פעולת הכפל‪ :‬פעולת הכפל במספרים הטבעיים מוגדרת כחיבור חוזר ברקורסיה‪.‬‬
‫כפל העוצמות ממלא אחר הגדרה זאת כי לפי כללי הכפל שהוכחנו‪ ,‬לכל ‪m‬‬
‫מתקיים ‪ m · 0 = 0‬ולכל ‪ n‬מתקיים ‪.m · (n + 1) = m · n + m‬‬
‫פעולת החזקה‪ :‬פעולת החזקה במספרים הטבעיים מוגדרת ככפל חוזר ברקורסיה‪.‬‬
‫חזקת העוצמות ממלאת אחר הגדרה זאת כי לפי כללי החזקה שהוכחנו‪ ,‬לכל ‪m‬‬
‫מתקיים ‪ m0 = 1‬ולכל ‪ n‬מתקיים ‪.mn+1 = mn · m‬‬
‫יחס הסדר‪ ≤ :‬מסמן את יחס הסדר החלקי של העוצמות שהגדרנו‪ .‬נסמן ב‪ 5-‬את יחס‬
‫הסדר הרגיל על המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫אם ‪ m 5 n‬אז לפי תכונת הסדר של המספרים הטבעיים קיים מספר טבעי ‪k‬‬
‫כך ש‪ ,m ⊕ k = n-‬ולכן ‪ ,m + k = n‬ולפי תכונות יחס הסדר לעוצמות מתקיים‬
‫‪.m ≤ n‬‬
‫בכיוון ההפוך‪ ,‬אם ‪ m ≤ n‬אז‪ ,‬לפי טענה שהוכחנו קיימת עוצמה ‪ c‬כך ש‪-‬‬
‫‪ ,m + c = n‬לכן לפי תכונות יחס הסדר לעוצמות מתקיים ‪ c ≤ n‬וכן גם ‪ c‬הוא‬
‫מספר טבעי‪ .‬מכאן כי ‪ ,m ⊕ c = n‬ולפי תכונות יחס הסדר לטבעיים מתקיים‬
‫‪.m 5 n‬‬
‫‪55‬‬
‫חלק‬
‫‪VI‬‬
‫אקסיומת הבחירה‬
‫‪15‬‬
‫מבוא‬
‫הוכחנו כי ‪ ℵ0‬היא עוצמה אינסופית מינימלית במובן שכל עוצמה הקטנה ממנה היא‬
‫סופית‪ .‬האם היא גם העוצמה האינסופית המינימלית במובן שלכל עוצמה אינסופית ‪a‬‬
‫קיים ‪?ℵ0 ≤ a‬‬
‫כדי להוכיח זאת עלינו להוכיח כי לכל קבוצה אינסופית ‪ A‬מתקיים ‪ .N A‬כלומר‬
‫שקיימת סדרה ‪ a : N → A‬חח"ע‪.‬‬
‫נגדיר ברקורסיה סדרה ‪ a‬כזאת כדלקמן‪ :‬מכיוון ש־־‪ A‬אינסופית היא אינה ריקה‪ ,‬ולכן‬
‫יש בה איבר ‪ .w‬נגדיר ‪ .a0 = w‬עבור ‪ 0 < n‬הקבוצה ‪An = {a0 , . . . , an−1 } ⊆ A‬‬
‫אינה כל ‪ ,A‬כי היא סופית בעוד ‪ A‬אינסופית‪ .‬לכן נקח ל‪ an -‬איבר כלשהו של ‪ .A\An‬קל‬
‫לראות כי סדרה ‪ a‬זאת היא חח"ע ולכן היא העתקה חח"ע של ‪ N‬על ‪,{an | n ∈ N} ⊆ A‬‬
‫כלומר ‪.N A‬‬
‫בהוכחה שהבאנו השתמשנו בסדרה ‪ a‬שהגדרנו ברקורסיה‪ ,‬אולם כדי להגדיר סדרה‪,‬‬
‫שהיא פונקציה‪ ,‬עלינו להראות שאפשר לתת לה הגדרה תיקנית כיחס )‪ .Φ (x, y‬איננו‬
‫אומרים בזאת שפונקציות שאינן באות מהגדרה תיקנית אינן קיימות‪ ,‬אלא שאנחנו‬
‫יכולים לטעון שפונקציות אלו קיימות רק אם הוכחנו את קיומן מן האקסיומות הקיימות‬
‫או שאנחנו מוסיפים אקסיומות שמהן אפשר להוכיח את קיומן‪ .‬כאן הגדרנו את הסדרה‬
‫‪ a‬ברקורסיה‪ ,‬ונראה אם אנו יכולים להוכיח את קיומה באמצעות אקסיומות הקיום‬
‫הבסיסיות‪.‬‬
‫לא נתעמק כאן בדיון מהן הפונקציות המוגדרות ברקורסיה שאפשר להוכיח את קיומן‬
‫מאקסיומות הקיום הבסיסיות‪ ,‬אלא נסתפק בדוגמה בודדת‪ :‬נגדיר סדרה ‪b : N → N‬‬
‫ברקורסיה כך‪ ,b0 = 3 :‬ולכל ‪ n ∈ N‬נגדיר )‪.bn+1 = bn · (bn − 1‬‬
‫כדי לקבל ש‪ b-‬היא אמנם סדרה עלינו להראות שאפשר לתת לה הגדרה תיקנית‪ ,‬כלומר‬
‫להציג יחס )‪ Φ (x, y‬כך שהזוג ‪ hx, yi‬מקיים את היחס אמ"מ ‪ x ∈ N‬ו‪.y = bx -‬‬
‫לפונקציה ‪ b‬זאת נבחר את )‪ Φ (x, y‬כיחס הבא‪ ,‬שתחילה נתאר אותו בצורה לא פורמלית‪:‬‬
‫"נאמר ש‪ y-‬הוא המספר המתקבל בשלב האחרון של חישוב בן ‪ x + 1‬צעדים‪ ,‬בו בצעד‬
‫הראשון אנו מקבלים את המספר ‪ ,3‬ובכל צעד אם קיבלנו באותו צעד את המספר ‪ u‬אז‬
‫אנו מקבלים בצעד הבא את המספר )‪."u · (u − 1‬‬
‫ברור שיש כאן תיאור של היחס ‪ ,Φ‬וזה אפילו מתכון לחישוב ‪ y‬כאשר נתון ‪.x‬‬
‫‪56‬‬
‫ההגדרה הפורמלית של )‪ Φ(x, y‬היא‪:‬‬
‫∧‪x ∈ N ∧ ∃g[g : Nx+1 → N ∧ g (0) = 3‬‬
‫]‪(∀n < x) (g (n + 1) = g (n) · (g (n) − 1)) ∧ g (x) = y‬‬
‫זה אומר‪ x" :‬הוא מספר טבעי‪ ,‬וקיימת פונקציה ‪ g‬מקבוצת המספרים הטבעיים הקטנים‬
‫או שווים ל‪ x-‬לתוך קבוצת המספרים הטבעיים כך ש‪ g (0) = 3-‬ולכל מספר ‪ n‬הקטן‬
‫מ‪ x-‬קיים )‪ g (n + 1) = g (n) · (g (n) − 1‬ו‪".g (x) = y-‬‬
‫כעת יש להוכיח ש‪ Φ(x, y)-‬אמנם מגדיר פונקציה שתחומה ‪ ,N‬ולשם כך עלינו להוכיח‬
‫שעבור כל ‪ x ∈ N‬קיים ‪ y‬יחיד המקיים את )‪ .Φ (x, y‬נוסף על כך יש להוכיח שהסדרה‬
‫‪ b‬אמנם מקיימת את ההגדרה הרקורסיבית שלה‪ .‬לא נעשה זאת כאן‪.‬‬
‫אם ננסה לנסח יחס )‪ Φ (x, y‬עבור הסדרה ‪ a‬הדומה ליחס שהגדרנו לעיל‪ ,‬נאמר ש‪y-‬‬
‫הוא המספר המתקבל בשלב האחרון של תהליך בן ‪ x+1‬צעדים‪ ,‬בו בצעד הראשון אנחנו‬
‫בוחרים איבר כלשהו של ‪ A‬ובכל צעד אנחנו בוחרים איבר כלשהו של ‪ A‬השונה מכל‬
‫איברי ‪ A‬שבחרנו בצעדים הקודמים‪ .‬ברור שיחס זה לא יהיה פונקציה‪ ,‬כי כדי שהיחס‬
‫יהיה פונקציה צריך שיהיה איבר ‪ y‬יחיד של ‪ A‬המתקבל בסופם של כל התהליכים שהם‬
‫כנדרש ב‪ ,Φ(x, y)-‬וברור שבניגוד לדוגמה הקודמת בה כל חישוב המקיים את הדרישות‬
‫מן החישוב יוביל לאותו מספר‪ ,‬כלומר עבור ‪ x‬הנתון יש ‪ y‬יחיד המקיים את )‪,Φ(x, y‬‬
‫בדוגמה הנוכחית כל איבר ‪ y‬של ‪ A‬יכול להתקבל בסוף תהליך כפי שתואר‪ .‬ולכן אם‬
‫ננסח יחס )‪ Φ (x, y‬כפי שתואר כאן יחס זה לא יהיה פונקציה‪.‬‬
‫נראה עתה דוגמה ציורית של פונקציה שאיננו יכולים להוכיח את קיומה כי איננו יכולים‬
‫∞) ‪ (Hn‬סדרה של זוגות נעליים‪ ,‬כלומר לכל ‪ n‬האיבר ‪Hn‬‬
‫לנסח יחס מתאים‪ .‬תהי ‪n=1‬‬
‫∞‬
‫הוא זוג נעליים‪ .‬אנו רוצים סדרה ‪ a‬הבוחרת נעל מכל זוג נעליים שבתחום ‪ .(Hn )n=1‬קל‬
‫מאוד להגיע לסדרה כזאת‪ ,‬כי לכל ‪ n ∈ N‬נוכל להגדיר ‪.an = the right shoe of Hn‬‬
‫זו הגדרה תקנית כמו בדוגמה הנ"ל‪ ,‬וכמובן שקיימת סדרה ‪ a‬כזאת‪.‬‬
‫∞) ‪ (Hn‬סדרה אינסופית של זוגות גרביים‪ ,‬ואנו מעוניינים בסדרה ‪ a‬הבוחרת‬
‫כעת תהי ׁ ‪n=1‬‬
‫∞) ‪ .(Hn‬הדרישה שלכל ‪ n ∈ N‬יתקיים ‪ an ∈ Hn‬היא‬
‫שבטווח‬
‫גרביים‬
‫גרב מכל זוג‬
‫‪n=1‬‬
‫תנאי שאנו רוצים שהסדרה ‪ a‬תקיים‪ ,‬אבל היא עדיין אינה הגדרה של ‪ ,a‬ולא נראית‬
‫לעין כל הגדרה לסדרה כזאת‪.‬‬
‫לכן אם אנו רוצים‪ ,‬למשל‪ ,‬לקבל סדרה ‪ a‬כך שלכל ‪ n ∈ N‬האיבר ‪ an‬יהיה גרב‬
‫אחת מתוך זוג הגרביים ‪ ,Hn‬עלינו להוסיף במפורש אקסיומה האומרת שקיימת פונקציה‬
‫כזאת‪.‬‬
‫‪57‬‬
‫‪16‬‬
‫אקסיומת הבחירה‬
‫הגדרה‪ :‬לקבוצה ‪ ,A‬פונקציה ‪ C‬שתחומה ‪ A‬נקראת פונקצית בחירה על ‪ ,A‬אם לכל‬
‫‪ X ∈ A‬שהיא קבוצה לא ריקה מתקיים ‪.C (X) ∈ X‬‬
‫אקסיומת הבחירה‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬קיימת פונקציה בחירה ‪ C‬שתחומה ‪.A‬‬
‫הערה‪ :‬במשפטים ומסקנות בהם נשתמש באקסיומת הבחירה נציין ")אה"ב("‪.‬‬
‫משפט‪ :‬ניסוח שקול של אקסיומת הבחירה הוא‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬ופונקציה ‪ F‬שתחומה‬
‫‪ A‬קיימת פונקציה ‪ G‬שתחומה ‪ ,A‬כך שלכל ‪ x ∈ A‬שעבורו )‪ F (x‬היא קבוצה‬
‫לא ריקה מתקיים )‪.G (x) ∈ F (x‬‬
‫הוכחה‪ :‬בכיוון ראשון‪ :‬נניח את אקסיומת הבחירה‪ .‬בהינתן ‪ A‬ו‪ F -‬כנ"ל‪ ,‬תהי ‪ C‬פונקצית‬
‫בחירה על הטווח של ‪ .F‬נבחר ‪ G = CF‬ונקבל כי )‪.G (x) = C (F (x)) ∈ F (x‬‬
‫בכיוון שני‪ :‬נניח את הנוסח שבמשפט‪ .‬בהינתן קבוצה ‪ ,A‬תהי ‪ F‬פונקצית הזהות‬
‫‪ 1A‬על ‪ .A‬מההנחה קיימת פונקציה ‪ C‬שתחומה ‪ A‬כך שלכל ‪ x ∈ A‬קיים‬
‫‪ .C (x) ∈ 1A (x) = x‬‬
‫‪17‬‬
‫שימושים של אקסיומת הבחירה‬
‫משפט )אה"ב(‪ :‬לכל קבוצה אינסופית ‪ A‬יש תת־קבוצה בת מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ C‬פונקצית בחירה שתחומה )‪ .P (A‬נגדיר ברקורסיה ‪ a : N → A‬כדלקמן‪:‬‬
‫)} ‪) .an = C (A \ {a0 , a1 , ..., an−1‬עבור ‪ n = 0‬זה אומר )‪ .(a0 = C (A‬לכן‬
‫‪ an‬הוא איבר של ‪ A‬השונה מכל ‪ a0 , a1 , ..., an−1‬והסדרה ‪ a‬היא חח"ע‪ .‬הקבוצה‬
‫}‪ {an | n ∈ N‬היא כמובן בת־מניה והיא חלקית ל‪.A-‬‬
‫מסקנה )אה"ב(‪ ℵ0 :‬הוא המונה האינסופי המזערי‪ ,‬במובן זה שלכל מונה אינסופי ‪a‬‬
‫מתקיים ‪.ℵ0 ≤ a‬‬
‫מסקנה )אה"ב(‪ :‬קבוצה ‪ A‬היא סופית אמ"מ לא קיימת העתקה חח"ע שלה על תת־‬
‫קבוצה ממש שלה‪.‬‬
‫משפט )אה"ב(‪ :‬אם ‪ F : A → B‬על ‪ ,B‬אז קיימת תת־קבוצה ‪ D ⊂ A‬כך ש‪F D-‬‬
‫היא העתקה חח"ע של ‪ D‬על ‪ ,B‬ולכן |‪.|B| ≤ |A‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן ביחס ‪ xRy‬על ‪ A‬הנתון ע"י ‪ .F (x) = F (y) ⇐⇒ x ∼ y‬ברור‬
‫ש‪ R-‬הוא יחס שקילות על ‪ ,A‬ומחלקת השקילות שלו המכילה את ‪ y‬היא‬
‫})‪.{x ∈ A | F (x) = F (y‬‬
‫הקבוצה ‪ D‬בה אנו מעוניינים אינה יכולה להכיל שני איברים שונים של אותה‬
‫מחלקת שקילות‪ ,‬כי ‪ F‬נותנת לשני האיברים את אותו הערך ועל ‪ F D‬להיות‬
‫‪58‬‬
‫חח"ע‪ .‬מצד שני‪ ,‬מכיוון ש‪ F D-‬אמורה להיות על ‪ ,B‬ועבור ‪ y ∈ A‬מתקיים‬
‫‪ ,F (y) ∈ B‬אז ‪ D‬אמורה להכיל איבר ‪ x‬המקיים )‪ ,F (x) = F (y‬כלומר איבר‬
‫הנמצא במחלקת השקילות })‪ .{x ∈ A | F (x) = F (y‬אם כך ‪ D‬אמורה להכיל‬
‫בדיוק איבר אחד מכל מחלקת שקילות‪ ,‬ואם היא כזאת אז היא כנדרש במשפט‪.‬‬
‫למטרה זאת מתאימה בדיוק אקסיומת הבחירה‪ :‬תהי ‪ C‬פונקצית בחירה על‬
‫קבוצת מחלקות השקילות של ‪ ,R‬אז נבחר‪:‬‬
‫})})‪D = {y ∈ A | y = C ({x ∈ A | F (x) = F (y‬‬
‫ברור ש‪ D-‬היא כנדרש במשפט‪ .‬‬
‫‪17.1‬‬
‫סכום וכפל אינסופיים‬
‫דוגמה נוספת לשימוש ישיר באקסיומת הבחירה היא ההגדרה של פעולות החיבור והכפל‬
‫האינסופיות של העוצמות‪.‬‬
‫הגדרנו את החיבור והכפל של שתי עוצמות‪ ,‬ואפשר להגדיר באותה הדרך את החיבור‬
‫והכפל של מספר סופי כלשהו של עוצמות‪ .‬למשל‪ ,‬אפשר להגדיר את הסכום ‪a + b + c‬‬
‫של שלוש העוצמות ‪ a, b, c‬להיות |‪ |A ∪ B ∪ C‬עבור ‪ A, B, C‬קבוצות זרות הדדית‬
‫המקיימות ‪.|C| = c ,|B| = b ,|A| = a‬‬
‫עם זאת‪ ,‬אין צורך בהגדרה מיוחדת של החיבור והכפל של מספר סופי של עוצמות‪ ,‬כי‬
‫לאור האסוציאטיביות של פעולות החיבור והכפל של שתי עוצמות אפשר להגדיר את‬
‫החיבור והכפל של מספר סופי של עוצמות כחזרה על אותן פעולות בשתי עוצמות‪ .‬למשל‪,‬‬
‫את הסכום ‪ a + b + c‬של שלוש עוצמות אפשר להגדיר להיות ‪ (a + b) + c‬השווה גם‬
‫ל‪.a + (b + c)-‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬החיבור והכפל של מספר אינסופי של עוצמות זקוקים להגדרות ישירות‪,‬‬
‫שיהיו הכללות של הגדרות החיבור והכפל של שתי עוצמות‪.‬‬
‫סכום אינסופי‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ I‬קבוצה כלשהי ותהי ‪ a‬פונקציה מ‪ I-‬לתוך מחלקת העוצמות‪ .‬כלומר לכל‬
‫‪ i ∈ I‬הערך ‪ ai‬היא עוצמה כלשהי‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‬
‫נגדיר את הסכום של אוסף העוצמות ‪ {ai }i∈I‬להיות ‪,Σi∈I ai =: i∈I Ai‬‬
‫כאשר ‪ A‬היא פונקציה שתחומה ‪ I‬ולכל ‪ i ∈ I‬מתקיים ‪) |Ai | = ai‬מסמנים‬
‫בקיצור ‪ ,(A (i) = Ai‬וכל הקבוצות ‪ Ai‬זרות בזוגות‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫כלומר סכום העוצמות הללו הוא העוצמה |)‪.| Range (A‬‬
‫כדי שהגדרה זאת תהיה תקפה עלינו להוכיח שני דברים‪ :‬ראשית שתמיד קיימת פונקציה‬
‫‪ A‬כנדרש‪ ,‬ושנית שהסכום מוגדר היטב‪ ,‬כלומר שהוא אינו תלוי בבחירת הפונקציה ‪.A‬‬
‫‪59‬‬
‫‪ .1‬לצורך הוכחת קיום פונקציה ‪ A‬כנדרש‪ ,‬אנו צריכים להניח את קיומה של עוצמה‬
‫‪ b‬הגדולה או שווה מכל העוצמות ‪ ai‬לכל ‪ .i ∈ I‬קיום עוצמה כזאת מוכח ע"י‬
‫שימוש לא ישיר באקסיומת הבחירה שנראה אותו מאוחר יותר‪.‬‬
‫תהי ‪ B‬קבוצה שעוצמתה ‪ b‬כנ"ל‪ .‬הוכחנו שבמקרה כזה לכל ‪ i ∈ I‬קיימת קבוצה‬
‫חלקית ל‪ B-‬שעוצמתה ‪ ,ai‬ולכן הקבוצה } ‪ {D ⊆ B | |D| = ai‬אינה ריקה‪.‬‬
‫תהי ‪ C‬פונקצית בחירה על ))‪ .P (P (B‬נגדיר את הקבוצה )} ‪Di = C ({D ⊆ B | |D| = ai‬‬
‫שעוצמתה ‪ .ai‬נבחר באופן כזה את כל ‪.{Di }i∈I‬‬
‫נגדיר עתה את הפונקציה ‪ A‬שתחומה ‪ I‬ע"י ‪ Ai = {i} × Di‬לכל ‪.i ∈ I‬‬
‫ברור כי לכל ‪ i ∈ I‬מתקיים ‪ |Ai | = |Di | = ai‬ועבור כל ‪ ,i, j ∈ A‬אם ‪i 6= j‬‬
‫אז ∅ = ‪ Ai ∩ Aj‬כי הגדרנו את הטווח ע"י ‪ {i} × Di‬ולא ע"י ‪ .Di‬לכן ‪ A‬היא‬
‫פונקציה כנדרש‪.‬‬
‫‪ .2‬כדי להראות שהחיבור מוגדר היטב‪ ,‬יש להראות כי אם ‪ A, B‬פונקציות כנדרש‬
‫אז שתיהן נותנות את אותו הסכום‪.‬‬
‫יהיו ‪ A, B‬פונקציות כנדרש‪ .‬מהגדרתן נובע שלכל ‪ i ∈ I‬מתקיים = ‪|Ai | = ai‬‬
‫| ‪ ,|Bi‬ולכן ‪ ,Ai ≈ Bi‬משמע הקבוצה ‪ Hi‬של כל הפונקציות החח"ע מ‪ Ai -‬על ‪Bi‬‬
‫אינה ריקה‪.‬‬
‫לפי נוסח שקול של אקסיומת הבחירה קיימת פונקציה ‪ G‬שתחומה ‪ I‬כך שלכל‬
‫‪ i ∈ I‬קיים ‪ ,Gi ∈ Hi‬כלומר‪ Gi ,‬היא העתקה חח"ע של ‪ Ai‬על ‪.Bi‬‬
‫‪S‬‬
‫מכיוון שהקבוצות ‪ Ai‬זרות הדדית האיחוד ‪ F = i∈I Gi‬הוא פונקציה‪ ,‬ומכיוון‬
‫שכל פונקציה ‪ Hi‬היא חח"ע והקבוצות ‪ Bi‬זרות הדדית ‪ F‬חח"ע‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫לכן ‪ F‬היא העתקה חח"ע של ‪ i∈I Ai‬על ‪ i∈I Bi‬והפוקציות ‪ A‬ו‪ B-‬נותנות‬
‫את אותו הסכום של העוצמות‪.‬‬
‫למה‪ :‬תהי ‪ b‬עוצמה ו‪ I-‬קבוצה‪ ,‬אזי |‪) .Σi∈I b = b · |I‬ההוכחה מושארת כתרגיל(‪.‬‬
‫כפל אינסופי‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ I‬קבוצה ו‪ A-‬פונקציה שתחומה ‪ ,I‬כך שלכל ‪ i ∈ I‬מתקיים כי ‪ Ai‬היא‬
‫קבוצה‪.‬‬
‫המכפלה הקרטזית שמסומנת ‪ ×i∈I Ai‬מוגדרת להיות קבוצת הפונקציות ‪ s‬שתחומן‬
‫‪ ,I‬כך שלכל ‪ i ∈ I‬מתקיים ‪.si ∈ Ai‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ I‬קבוצה כלשהי ותהי ‪ a‬פונקציה מ‪ I-‬לתוך מחלקת העוצמות‪ .‬כלומר לכל‬
‫‪ i ∈ I‬הערך ‪ ai‬היא עוצמה כלשהי‪.‬‬
‫נגדיר את המכפלה של אוסף העוצמות ‪ {ai }i∈I‬להיות | ‪, Πi∈I ai =: |×i∈I Ai‬‬
‫כאשר ‪ A‬היא פונקציה שתחומה ‪ I‬ולכל ‪ i ∈ I‬מתקיים ‪.|A (i)| = ai‬‬
‫‪60‬‬
‫נראה שזו אכן הגדרה תקפה‪ .‬כשהגדרנו סכום אינסופי הוכחנו שתמיד קיימת פונקציה‬
‫‪ A‬כנדרש‪ .‬לכן נותר להוכיח שהמכפלה אינו תלויה בבחירת הפונקציה ‪ .A‬כלומר יש‬
‫להראות שאם ‪ A, B‬פונקציות כנדרש אז שתיהן נותנות את אותה המכפלה‪.‬‬
‫לשם כך נגדיר פונקציה חח"ע ועל מהצורה ‪ .F : ×i∈I Ai → ×i∈I Bi‬מכך ינבע כי‬
‫| ‪ ,| ×i∈I Ai | = | ×i∈I Bi‬משמע המכפלה אינה משתנה כאשר אנחנו מחליפים את ‪A‬‬
‫ב‪.B-‬‬
‫לכל ‪ i ∈ I‬נגדיר את ‪ Gi‬להיות העתקה חח"ע של ‪ Ai‬על ‪ Bi‬כפי שהגדרנו לסכום‬
‫אינסופי‪ .‬כעת נגדיר את ‪ :F‬לכל ‪ s ∈ ×i∈I Ai‬נקבע ‪.F (s) = hGi (si ) | i ∈ Ii‬‬
‫נוכיח כי ‪ F‬היא חח"ע‪ .‬יהיו ‪ .s 6= t ,s, t ∈ ×i∈I Ai‬קיים ‪ j ∈ I‬כך ש‪ .sj 6= tj -‬מכיוון‬
‫ש‪ Gj -‬חח"ע אז ) ‪ ,F (sj ) = Gj (sj ) 6= Gj (tj ) = F (tj‬ולכן )‪.F (s) 6= F (t‬‬
‫‪
−1‬‬
‫‬
‫נוכיח כי ‪ F‬על ‪ .×i∈I Bi‬יהי ‪ .w ∈ ×i∈I Bi‬אז יהי ‪.s = Gi (wi ) | i ∈ I ∈ ×i∈I Ai‬‬
‫קל לראות כי ‪.F (s) = w‬‬
‫למה‪ :‬יהיו ‪ a, b‬עוצמות ו‪ B-‬קבוצה שעוצמתה ‪ ,b‬אזי ‪ Σi∈B a = a · b‬וכן ‪.Πi∈B a = ab‬‬
‫)ההוכחה מושארת כתרגיל(‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫סיכום והרחבת הדיון‬
‫נחזור לדוגמה של זוגות הגרביים‪ .‬מה קורה אם במקום סדרה אינסופית של זוגות גרביים‬
‫יש לנו סדרה בת שלושה זוגות גרביים‪ ,‬כלומר ‪ H‬היא פונקציה שתחומה ‪?N3‬‬
‫במקרה זה אנו יכולים להוכיח קיום פונקציה ‪ F‬כנדרש גם אם איננו יכולים להצביע‬
‫על פונקציה מסויימת כזאת‪ ,‬באופן הבא‪ :‬נניח כי )‪,a ∈ H (0) , b ∈ H (1) , c ∈ H (2‬‬
‫נגדיר באופן מפורש‪:‬‬
‫‪F (0) = a F (1) = b F (2) = c‬‬
‫כך הוכחנו שלכל ‪ a, b, c‬כנ"ל קיימת פונקציה ‪ F‬המקיימת )‪ F (n) ∈ H (n‬לכל ‪.n ∈ N2‬‬
‫מכיוון שכל אחת מהקבוצות )‪ H (0) , H (1) , H (2‬היא בת שתי גרביים היא לא ריקה‪,‬‬
‫לכן קיימים ‪ a, b, c‬כנ"ל כך שיש פונקציה ‪ F‬המקיימת )‪ F (n) ∈ H (n‬לכל ‪.n ∈ N2‬‬
‫פונקציה זאת מוגדרת באמצעות יחס )‪ Φ (x, y‬שהמשתנים ‪ a, b, c‬מופיעים בו כפרמטרים‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬נסחו ולהוכיח לפעולות החיבור והכפל המוכללות חוקי חילוף וחוקי קיבוץ‪.‬‬
‫‪61‬‬
‫חלק‬
‫‪VII‬‬
‫סדר טוב‬
‫‪19‬‬
‫מבוא‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫‪ .1‬הגדרנו כי יחס < הוא יחס סדר חלקי על מחלקה ‪ ,A‬אם הוא יחס על ‪A‬‬
‫שמקיים את התנאים הבאים‪:‬‬
‫אי־רפלקסיביות‪ :‬לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים ‪ ,x ≮ x‬טרנזיטיביות‪ :‬אם ‪ x < y‬וגם‬
‫‪ y < z‬אז ‪.x < z‬‬
‫‪ .2‬היחס < נקרא יחס סדר )או יחס סדר קווי או יחס סדר מלא( על מחלקה‬
‫‪ ,A‬אם הוא יחס סדר חלקי על ‪ A‬המקיים גם את תנאי ההשוואה‪ ,‬שאומר‪:‬‬
‫לכל ‪ ,x 6= y ,x, y ∈ A‬אז ‪ x < y‬או ‪) .y < x‬אם נדבר על יחס סדר ≤‬
‫על ‪ ,A‬אז תנאי ההשוואה הוא שלכל ‪ x, y ∈ A‬יתקיים ‪ x ≤ y‬או ‪.(y ≤ x‬‬
‫דוגמאות‪ N, Z, Q, R :‬עם יחס הסדר הסטנדרטי עליהן‪ .‬דוגמה נוספת היא קבוצת‬
‫המילים שאפשר לכתוב באותיות עבריות‪ ,‬עם הסדר כמו שהן מסודרות במילון‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬אם ‪ A‬קבוצה סופית לא ריקה ו‪ <-‬יחס סדר חלקי על ‪ ,A‬אז קיים ‪y ∈ A‬‬
‫מינימלי ביחס ל‪ ,<-‬וקיים ‪ z ∈ A‬מקסימלי ביחס ל‪ .<-‬כלומר לא קיים ‪x ∈ A‬‬
‫המקיים ‪ x < y‬או ‪.x > z‬‬
‫הגדרה‪ :‬נניח כי < יחס סדר על ‪.A‬‬
‫אז ‪ B‬נקראת רישא של ‪) A‬ביחס ל‪ (<-‬אם לכל ‪ ,y ∈ B‬לכל ‪ x ∈ A‬אם ‪x < y‬‬
‫אז ‪.x ∈ B‬‬
‫אם ‪ B‬שונה מ‪ A-‬היא נקראת רישא ממש של ‪.A‬‬
‫כמו־כן ‪ B‬נקראת סיפא של ‪) A‬ביחס ל‪ (<-‬אם לכל ‪ ,y ∈ B‬לכל ‪ x ∈ A‬אם‬
‫‪ x > y‬אז ‪.x ∈ B‬‬
‫אם ‪ B‬שונה מ‪ A-‬היא נקראת סיפא ממש של ‪.A‬‬
‫תרגיל‪ :‬אם היחס < הוא יחס סדר על ‪ ,A‬אז המחלקות היחידות שהן גם רישא וגם‬
‫סיפא של ‪ A‬הן המחלקה הריקה ו‪ A-‬עצמה‪.‬‬
‫יש לנו ענין ביחסי סדר על קבוצות המאפשרים לנו לטפל באיברי הקבוצות איבר איבר‬
‫לפי הסדר‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫כל יחס סדר על קבוצה סופית הוא כזה‪ .‬אם ‪ A‬קבוצה סופית לא ריקה אז הראינו שיש‬
‫לה איבר ראשון ואנו מטפלים בו‪ .‬אם יש בקבוצה עוד איברים אז קבוצת יתר האיברים‬
‫חלקית ל‪ A-‬ולכן סופית‪ ,‬ולכן גם לה יש איבר ראשון ואנו מטפלים בו‪ .‬נמשיך הלאה עד‬
‫שלא ייוותרו איברים‪.‬‬
‫דוגמה ליחס סדר על קבוצה אינסופית המאפשר טיפול באיבריה זה אחר זה‪ ,‬הוא יחס‬
‫הסדר הרגיל של המספרים הטבעיים‪ .‬אנחנו מתחילים את הטיפול ב‪ ,0-‬ואם כבר טיפלנו‬
‫במספרים מ‪ 0-‬עד ‪ n‬אנו מטפלים ב‪ .n + 1-‬כך מטופלים כל המספרים הטבעיים‪ .‬סדר‬
‫זה אינו בלעדי‪ .‬כך למשל ניתן להתבונן בסדר ‪ .0, 2, 4, ..., 1, 3, 5, ...‬גם בסדר זה אנחנו‬
‫מתחילים את הטיפול ב‪ ,0-‬אחרי כל מספר זוגי ‪ n‬אנחנו מטפלים במספר הזוגי הבא‬
‫‪ n + 2‬וכך הלאה‪ .‬כאשר מסיימים את הטיפול בכל המספרים הזוגיים‪ ,‬המספר הראשון‬
‫אחריהם הוא ‪ 1‬וכעת אנחנו מטפלים במספרים האי־זוגיים לפי הסדר עד שמסתיים‬
‫הטיפול בכל המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫דוגמה ליחס סדר על קבוצה אינסופית שאינו מאפשר טיפול באיבריה בזה אחר זה לפי‬
‫הסדר‪ ,‬הוא יחס הסדר הטבעי על המספרים הרציונליים‪ .‬שם גם אין מספר ראשון‬
‫בשביל להתחיל בו את הטיפול‪ ,‬וגם אם כבר טיפלנו בכל המספרים השליליים וב‪ ,0-‬אין‬
‫מספר חיובי ראשון שיש לטפל בו‪.‬‬
‫נרצה להגדיר תכונה של יחסי סדר המאפשרת טיפול איבר איבר לפי הסדר‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫סדר טוב‬
‫הגדרה‪ :‬יחס < על קבוצה ‪ A‬נקרא יחס סדר טוב על ‪ ,A‬אם הוא יחס סדר קווי על ‪A‬‬
‫= ∅ שאינה ריקה יש איבר מינימלי ביחס ל‪ .<-‬כלומר‬
‫כך שלכל קבוצה ‪6 B ⊆ A‬‬
‫איבר ‪ y ∈ B‬כך שלכל ‪ x ∈ B‬מתקיים ‪.y ≤ x‬‬
‫קבוצה סדורה היטב היא הזוג ‪ hA, <i‬כך ש‪ <-‬הוא יחס המסדר היטב את‬
‫הקבוצה ‪.A‬‬
‫הגדרה שקולה‪ :‬קבוצה סדורה קווית ‪ A‬תיקרא מנומסת אם לכל סיפא לא ריקה שלה‬
‫יש איבר מינימלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ההגדרה השנייה היא מקרה פרטי של ההגדרה הראשונה‪ .‬נראה שהיא גם גוררת‬
‫את הראשונה‪.‬‬
‫תהי ‪ .∅ 6= B ⊆ A‬נגדיר את הקבוצה }‪ .D = {y ∈ A|∃x∈B x ≤ y‬קל לראות‬
‫כי ‪ D‬סיפא של ‪ ,A‬ולכן יש לה איבר מינימלי ‪.z ∈ D‬‬
‫נשים לב כי ‪ ,B ⊆ D‬ולכן אם נראה כי ‪ ,z ∈ B‬ממינימליות ‪ z‬ב‪ D-‬תנבע‬
‫המינימליות שלו ב‪ ,B-‬כלומר ל‪ B-‬יש איבר מינימלי‪.‬‬
‫מכיוון ש‪ z ∈ D-‬נובע שיש ‪ u ∈ B‬כך ש‪ .u ≤ z-‬נשים לב כי ‪,u ∈ B ⊆ D‬‬
‫וממינימליות ‪ z‬ב‪ D-‬נובע כי ‪ ,z ≤ u‬מכאן כי ‪ ,z = u‬כלומר ‪ z ∈ B‬כנדרש‪ .‬‬
‫‪63‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫אם < יחס סדר חלקי על ‪ ,A‬אז ההגבלה ל‪ B ⊆ A-‬של היחס <‪ ,‬כלומר‬
‫‪ ,< ∩B × B‬היא סדר חלקי על ‪.B‬‬
‫אם < יחס סדר על ‪ A‬וכן ‪ ,B ⊆ A‬אז ‪ < ∩B × B‬יחס סדר על ‪.B‬‬
‫אם < יחס סדר טוב על ‪ A‬ו‪ B ⊆ A-‬אז ‪ < ∩B × B‬יחס סדר טוב על ‪.B‬‬
‫‪20.1‬‬
‫אינדוקציה שלמה )או טרנספיניטית(‬
‫משפט‪ :‬תהי )< ‪ (A,‬קבוצה סדורה היטב ותהי ‪ Φ‬תכונה‪.‬‬
‫אם קיים צעד האינדוקציה‪ :‬לכל ‪ ,x ∈ A‬אם כל ‪ y ∈ A‬המקיים ‪ y < x‬הוא‬
‫בעל התכונה ‪ Φ‬אז גם ‪ x‬הוא בעל התכונה ‪ ,Φ‬אז קיימת מסקנת האינדוקציה‪ :‬כל‬
‫איברי ‪ A‬הם בעלי התכונה ‪.Φ‬‬
‫הסבר‪ :‬צעד האינדוקציה על ‪ x‬מתחלק לשני חלקים‪ :‬החלק "כל ‪ y‬המקיים ‪ y < x‬הוא‬
‫בעל התכונה ‪ "Φ‬נקרא הנחת האינדוקציה‪ ,‬והחלק "‪ x‬הוא בעל התכונה ‪ "Φ‬נקרא‬
‫מסקנת צעד האינדוקציה‪.‬‬
‫כאשר נתונה קבוצה )< ‪ (A,‬סדורה היטב ורוצים להוכיח שכל איברי ‪ A‬הם בעלי‬
‫התכונה ‪ ,Φ‬משפט ההוכחה באינדוקציה מבטיח שאם נוכיח את צעד האינדוקציה‬
‫אז נדע כבר שכל איברי ‪ A‬הם בעלי התכונה ‪ .Φ‬כדי להוכיח את צעד האינדוקציה‬
‫אנו מניחים ל‪ x-‬כלשהו את הנחת האינדוקציה ומוכיחים ממנה את מסקנת צעד‬
‫האינדוקציה‪.‬‬
‫נשים לב שהאנלוג ל"הנחת האינדוקציה" באינדוקציה רגילה )המקרה הראשון‬
‫שהוא בד"כ "‪ ,("n = 0‬חבוי כבר בצעד האינדוקציה השלמה‪ .‬שכן נניח כי ‪a ∈ A‬‬
‫הוא האיבר המינימלי ביחס‪ ,‬אז מכיוון של‪ a-‬אין קודמים‪ ,‬נכון באופן ריק שכל‬
‫קודמיו הם בעלי התכונה ‪ .Φ‬לכן צעד האינדוקציה אומר ישירות ש‪ a-‬הוא בעל‬
‫התכונה ‪) Φ‬ולשם כך לא היינו זקוקים למשפט האינדוקציה(‪.‬‬
‫כמובן שכאשר אנו מוכיחים את צעד האינדוקציה עלינו לוודא שהוכחה זאת‬
‫תקפה לכל ‪ x‬וגם ל‪ x-‬שהוא האיבר הראשון ב־‪ .A‬אם אנו מוכיחים את צעד‬
‫האינדוקציה רק עבור איברים ‪ x‬של ‪ A‬שיש להם קודמים ב־‪ A‬אז לא הוכחנו‬
‫את צעד האינדוקציה לכל איברי ‪ ,A‬ואיננו יכולים להשתמש במשפט ההוכחה‬
‫באינדוקציה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה שלא כל איברי ‪ A‬הם בעלי התכונה ‪ .Φ‬תהי ‪ B‬קבוצת איברי ‪A‬‬
‫שאינם בעלי התכונה ‪ ,Φ‬ומההנחה בשלילה נובע כי ‪ B‬אינה ריקה‪.‬‬
‫‪ A‬סדורה היטב ולכן קיים ‪ b ∈ B‬מינימלי‪ .‬נשים לב כי ‪ b ∈ B‬ולכן הוא אינו‬
‫בעל התכונה ‪ ,Φ‬ומהמינימליות שלו ב‪ B-‬נובע שכל איבר ב‪ A-‬הקטן ממנו הוא‬
‫בעל התכונה ‪.Φ‬‬
‫‪64‬‬
‫אם־כך קיבלנו סתירה לצעד האינדוקציה‪ ,‬האומר שאם כל הקודמים לאיבר כלשהו‬
‫‪ x‬הם בעלי התכונה ‪ Φ‬אז גם ‪ x‬עצמו הוא בעל תכונה זאת‪ .‬‬
‫‪20.2‬‬
‫הגדרה רקורסיבית של פונקציה‬
‫כאשר מגדירים ברקורסיה פונקציה ‪ F : A → B‬עבור קבוצה סדורה היטב ‪ ,A‬מגדירים‬
‫את הערך )‪ F (y‬לכל ‪ y ∈ A‬בתלות בערכי ‪ F‬על איברי ‪ A‬הקודמים ל‪.y-‬‬
‫כל המידע על ערכי ‪ F‬באיברי ‪ A‬הקודמים ל‪ y-‬מצוי בפונקציה }‪.F {x ∈ A | x < y‬‬
‫נתבונן במחלקת כל הפונקציות שתחומן חלקי ל‪ A-‬וטווחן מוכל ב‪ ,B-‬ותהי ‪ H‬פונקציה‬
‫שתחומה הוא מחלקה זו כך ש‪.Range (H) ⊆ B-‬‬
‫לכל ‪ ,y ∈ A‬קיימת פונקציה יחידה ‪ F‬במחלקה הנ"ל שתחומה הוא }‪{x ∈ A|x < y‬‬
‫והמקיימת )}‪ .F (y) = H (F {x ∈ A|x < y‬לכן הצורה הכללית ביותר של הגדרת‬
‫‪ F‬ברקורסיה היא‪:‬‬
‫)}‪∀x∈A F (x) = H (F {y ∈ A | y < x‬‬
‫הערה‪ :‬זו אינה הגדרה מפורשת של ‪ ,F‬כי בהגדרה מפורשת של הפונקציה ‪ F‬היא עצמה‬
‫לא יכולה להופיע בצד ימין של שוויון ההגדרה‪.‬‬
‫כדי שזו תהיה הגדרה לגיטימית יש להוכיח שאכן קיימת פונקציה ‪ F‬המקיימת את‬
‫השוויון וכי היא יחידה‪ ,‬ואז אנו יכולים להגדיר את ‪ F‬להיות הפונקציה היחידה‬
‫הזו‪.‬‬
‫אכן אין יותר מפונקציה ‪ F‬אחת המקיימת את השוויון הנ"ל‪ ,‬כי אם ‪ F1 , F2‬הן‬
‫שתי פונקציות המקיימות את השוויון אז קל להוכיח באינדוקציה כי לכל ‪x ∈ A‬‬
‫מתקיים )‪.F1 (x) = F2 (x‬‬
‫ההוכחה שאמנם קיימת פונקציה ‪ F‬כנ"ל ארוכה יותר‪ .‬אנו נקבל כאן את עקרון‬
‫ההגדרה ברקורסיה ללא הוכחה‪.‬‬
‫‪20.3‬‬
‫איזומורפיזם )או העתקת דמיון(‬
‫הגדרה‪ :‬אם ‪ A, B‬קבוצות סדורות וקיימת פונקציה ‪ ,F : A → B‬אומרים ש‪ F -‬שומרת‬
‫סדר‪ ,‬אם לכל ‪ x, y ∈ A‬אם ‪ x < y‬אז )‪.F (x) < F (y‬‬
‫קל לראות שכל פונקציה שומרת סדר מקבוצה סדורה לקבוצה סדורה היא חד‬
‫חד ערכית‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬לפונקציה שומרת סדר מקבוצה סדורה ‪ A‬על קבוצה סדורה ‪ B‬אנו קוראים‬
‫איזומורפיזם מ‪ A-‬ל‪ B-‬או גם העתקת דמיון מ‪ A-‬ל‪.B-‬‬
‫‪65‬‬
‫במקרה שקיימת איזומורפיזם כנ"ל אומרים כי ‪ A, B‬איזומורפיות או דומות‪.‬‬
‫קל לראות כי אם ‪ F : A → B‬איזומורפיזם אז ‪ F −1 : B → A‬איזומורפיזם‪ .‬כך‬
‫אם גם ‪ G : B → C‬איזומורפיזם אז ‪ G ◦ F : A → C‬איזומורפיזם‪.‬‬
‫כתוצאה מכך יחס הדימיון הוא יחס שקילות‪ .‬כלומר‪ ,‬רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬
‫כמובן שאם שתי קבוצות סדורות הן איזומורפיות אז הן בפרט גם שוות עוצמה‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A, B‬קבוצות סדורות ו‪ F : A → B-‬איזומורפיזם‪ ,‬אזי לכל רישא ‪C ⊆ A‬‬
‫מתקיים כי )‪ F (C‬רישא של ‪.B‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי )‪ F (x) ∈ F (C‬עבור ‪ x ∈ C‬כלשהו‪ .‬יהי )‪ ,u < F (x‬נרצה להראות כי‬
‫)‪.u ∈ F (C‬‬
‫מכיוון ש‪ u ∈ B-‬אז יש ‪ z ∈ A‬כך ש‪ .F (z) = u-‬אילו ‪ x ≤ z‬אז ≤ )‪F (x‬‬
‫‪ F (z) = u‬בסתירה להנחה )‪ ,u < F (x‬לכן ‪.z < x‬‬
‫מהיות ‪ C‬רישא נובע כי ‪ z < x ∈ C‬אז ‪ z ∈ C‬ולכן )‪ ,u = F (z) ∈ F (C‬כלומר‬
‫)‪ F (C‬אכן רישא‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה היטב ו‪ F : A → A-‬שומרת סדר‪ ,‬אז לכל ‪ x ∈ A‬מתקיים‬
‫)‪.x ≤ F (x‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח באינדוקציה על ‪ .x‬נניח‪ .‬הנחת האינדוקציה תהיה שלכל ‪ y < x‬מתקיים‬
‫)‪ y ≤ f (y‬ונראה שזה גורר כי )‪.x ≤ f (x‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ .f (x) < x‬מכיוון ש‪ f -‬שומרת סדר יחס זה נשמר כאשר נפעיל‬
‫את ‪ f‬על שני אגפיו‪ ,‬ולכן נקבל )‪.f (f (x)) < f (x‬‬
‫זו סתירה‪ ,‬כי הרי ‪ f (x) < x‬ולכן צריך לפי הנחת האינדוציה צריך להתקיים‬
‫))‪ .f (x) ≤ f (f (x‬‬
‫מסקנה ‪ :1‬אם ‪ A, B‬קבוצות סדורות היטב‪ ,‬אז יש ל‪ A-‬איזומורפיזם לכל היותר לרישא‬
‫אחת של ‪.B‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ C, D ⊆ B‬שתי רישות שונות‪ .‬ברור כי ללא הגבלת הכלליות ‪.C $ D‬‬
‫יהי ‪ ,z ∈ D\C‬ונניח בשלילה שקיימים ‪ G : A → D ,F : A → C‬איזומורפיזמים‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫נשים לב כי ‪ F G−1 (z) ∈ C‬ולכן בהכרח ‪ .F G−1 (z) < z‬אולם מצד‬
‫שני ‪ F ◦ G−1 : B → B‬העתקה שומרת סדר‪ ,‬ולכן מהמשפט נובע כי < ‪z‬‬
‫)‪ ,F G−1 (z‬וזו סתירה‪ .‬‬
‫הערה‪ :‬ממסקנה זו נובע בפרט כי קבוצה סדורה היטב ‪ A‬אינה איזומורפית לאף רישא‬
‫ממש שלה‪ ,‬שכן העתקת הזהות היא איזומורפיזם של ‪ A‬על עצמה‪ ,‬ו‪ A-‬היא רישא‬
‫של עצמה‪.‬‬
‫מסקנה ‪ :2‬אם ‪ A, B‬קבוצות סדורות היטב‪ ,‬אז יש לכל היותר איזומורפיזם אחד ביניהן‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ F, G : A → B‬שני איזומורפיזמים שונים‪ ,‬כך שקיים ‪ z ∈ A‬שעבורו‬
‫)‪ G (z) < F (z‬ללא הגבלת הכלליות‪.‬‬
‫לכן מתקיים ))‪ F −1 (G (z)) < F −1 (F (z‬ומכאן ‪ .F −1 (G (z)) < z‬אולם‬
‫מצד שני ‪ F −1 ◦ G : B → B‬העתקה שומרת סדר‪ ,‬ולכן מהמשפט נובע כי‬
‫))‪ ,z < F −1 (G (z‬וזו סתירה‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬לכל שתי קבוצות סדורות היטב ‪ ,A, B‬קיים איזומורפיזם של אחת מהן על רישא‬
‫של השניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬רעיון ההוכחה הוא להעתיק את האיבר הראשון של ‪ A‬לאיבר הראשון של ‪,B‬‬
‫את האיבר השני של ‪ A‬לאיבר השני של ‪ B‬וכן הלאה‪ ,‬עד שבאחת משתי הקבוצות‬
‫לא נותרים איברים‪.‬‬
‫∈ }‪ {end‬יחידון‬
‫נגדיר ברקורסיה פונקציה }‪ ,F : A → B ∪ {end‬כאשר ‪/ B‬‬
‫כלשהו‪.‬‬
‫לכל ‪ ,y ∈ A‬אם ‪ F [{x ∈ A|x < y}] $ B‬ממש אז )‪ F (y‬יהיה האיבר המינימלי‬
‫של ]}‪ ,B\F [{x ∈ A|x < y‬ואם ‪ F [{x ∈ A|x < y}] = B‬אז }‪.F (y) = {end‬‬
‫כדי להראות שאכן פונקציה זו היא איזומורפיזם מ‪ A-‬או ‪ B‬על רישא של האחרת‪,‬‬
‫נפריד בין שני מקרים‪:‬‬
‫∈ ‪end‬‬
‫• מקרה א'‪ :‬הקבוצה ‪ B‬לא נגמרה תוך כדי הגדרת ‪ ,F‬כלומר ‪/‬‬
‫) ‪ ,Range (F‬ואז ברור כי ‪ .Range (F ) ⊆ B‬נוכיח כי היא איזומורפיזם של‬
‫‪ A‬על רישא של ‪.B‬‬
‫– נראה כי ‪ F‬שומרת סדר‪ .‬נניח כי ‪ z < x ,x, z ∈ A‬ונראה כי‬
‫)‪.F (z) < F (x‬‬
‫נשים לב כי )‪ F (x‬מהגדרתה שונה מכל )‪ F (y‬עבור ‪ ,y < x‬ובפרט‬
‫)‪ F (x) 6= F (z‬וכן }‪ F (x) ∈ {F (y) | y < z‬ולכן }‪.F (x) ∈ {B \ F (y) | y < z‬‬
‫נשים לב כי )‪ F (z‬מהגדרתו הוא האיבר הראשון של }‪B\{F (y) | y < z‬‬
‫המכילה את )‪ F (x‬וכן )‪ ,F (z) 6= F (x‬לכן )‪ ,F (z) < F (x‬כלומר‬
‫‪ F‬שומרת סדר‪.‬‬
‫– נראה כי טווח ‪ F‬הוא רישא של ‪ .B‬נניח כי ) ‪u < v ∈ Range(F‬‬
‫ונוכיח כי גם ) ‪.u ∈ Range(F‬‬
‫מכיוון ש‪ v ∈ Range(F )-‬קיים ‪ x ∈ A‬כך ש‪ .v = F (x)-‬מהגדרת‬
‫)‪ F (x‬הוא האיבר הראשון של }‪ ,B \ {F (y) | y < x‬ולכן מכיוון‬
‫ש‪ u < F (x)-‬משמע ‪u‬אינו בקבוצה זאת‪ ,‬ומכיוון ש‪ u ∈ B-‬בהכרח‬
‫}‪ .u ∈ {F (y) | y < x‬לכן קיים ‪ y < x‬כך ש‪ ,u = F (y)-‬ולכן‬
‫) ‪ u ∈ Range(F‬וטווח ‪ F‬הוא רישא של ‪.B‬‬
‫• מקרה ב'‪ .end ∈ Range(F ) :‬נראה שקיים איזומורפיזם שתחומו ‪ B‬על‬
‫רישא של ‪.A‬‬
‫‪67‬‬
‫– נניח כי ‪ u‬מינימלי של ‪ A‬כך ש‪ ,F (u) = end-‬ואז לכל ‪ x < u‬מתקיים‬
‫‪ ,F (x) ∈ B‬כלומר ‪.{F (y) | y < u} ⊆ B‬‬
‫מהגדרת )‪ F (u‬מתקיים ∅ = }‪ B \ {F (y) ∈ B | y < u‬ולכן מתקיים‬
‫כי ‪ ,{F (y) ∈ B | y < u} = B‬כלומר = )}‪Range(F {y | y < u‬‬
‫‪.B‬‬
‫נסמן }‪ .G = F {y ∈ A | y < u‬תחום ‪ G‬הוא הרישא‬
‫}‪ {y ∈ A | y < u‬של ‪ ,A‬וטווחה הוא ‪.B‬‬
‫– נראה כי ‪ G‬שומרת סדר‪ .‬יהיו ‪ z < x‬בתחום ‪ ,G‬כלומר ‪.z < x < u‬‬
‫מכיוון ש‪ x < u-‬ומהגדרת )‪ F (x‬ברור כי )‪ F (x) 6= F (y‬לכל ‪,y < x‬‬
‫ובפרט )‪ F (x) 6= F (z‬וגם }‪ .F (x) 6∈ {F (y) | y < z‬לכן ∈ )‪F (x‬‬
‫}‪.B \ {F (y) | y < z‬‬
‫מכיוון ש‪ z < u-‬נובע מהגדרת )‪ F (z‬כי הוא האיבר הראשון של‬
‫הקבוצה }‪ B \ {F (y) | y < z‬המכילה את )‪ ,F (x‬וכן גם =‪F (z) 6‬‬
‫)‪ F (x‬ולכן )‪ .F (z) < F (x‬כלומר )‪ G (z) < G (x‬ו‪ G-‬היא שומרת‬
‫סדר‪.‬‬
‫אם כך קבלנו במקרה זה איזומורפיזם ‪ G‬של רישא של ‪ A‬על ‪ ,B‬ולכן‬
‫הפונקציה ‪ G−1‬היא איזומורפיזם של ‪ B‬על רישא של ‪.A‬‬
‫‬
‫הערה‪ :‬בהוכחת המשפט הגדרנו ברקורסיה פונקציה ‪ ,F‬ועל פניה הגדרת ‪ F‬אינה‬
‫במתכונת של ההגדרה לפונקציה רקורסיבית‪ ,‬שהוא המשפט המתיר לנו להשתמש‬
‫בהגדרה ברקורסיה‪ .‬נראה כיצד משתלבת ההגדרה בהוכחה ממשפט ההגדרה‬
‫ברקורסיה‪.‬‬
‫בהינתן קבוצה סדורה היטב ‪ B‬ועצם ‪ ,end 6∈ B‬נגדיר פונקציה ‪ H‬שתחומה היא‬
‫מחלקת כל הפונקציות ע"י שנקבע לכל פונקציה ‪ f‬את הערך ) ‪ H (f‬כדלקמן‪ :‬אם‬
‫∅ =‪ B \ Range (F ) 6‬אז ) ‪ H (f‬הוא האיבר הראשון של קבוצה זאת‪ ,‬ואחרת‬
‫‪.H (f ) = end‬‬
‫במתכונת ההגדרה ברקורסיה אנו משתמשים ב‪ .H (F {y ∈ A | y < x})-‬מכיוון‬
‫ש–}‪ Range (F {y ∈ A | y < x}) = {F (y) | y < x‬לכן עבור ‪ H‬כפי שבחרנו‬
‫זה עתה מתכונת ההגדרה ברקורסיה נותנת ש‪ F (x)-‬הוא האיבר הראשון של‬
‫}‪ B \ {F (y) | y < x‬אם קבוצה זאת אינה ריקה ו‪ F (x) = end-‬אחרת‪ .‬זאת‬
‫בדיוק ההגדרה בה השתמשנו במשפט‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬להוכיח את המשפט ללא שימוש בהגדרה ברקורסיה‪ ,‬כדלקמן‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬תהי ‪ W‬קבוצת כל ההעתקות שומרות הסדר מרישא של ‪ A‬על רישא של‬
‫התחומים‬
‫‪ B‬ותהיינה ‪ .F, G ∈ W‬באינדוקציה על ‪ x‬להראות שאם ‪ x‬בחיתוך ‪S‬‬
‫של ‪ F, G‬אז )‪ ,F (x) = G (x‬כלומר ‪ F, G‬מתיישבות‪ .‬לכן האחוד ‪H = W‬‬
‫של כל איברי ‪ W‬הוא פונקציה‪.‬‬
‫‪68‬‬
‫כעת להוכיח כי גם ‪ H‬היא פונקציה שומרת סדר מרישא של ‪ A‬לרישא של ‪,B‬‬
‫ולאחר מכן כי תחום ‪ H‬הוא ‪ A‬או טווח ‪ H‬הוא ‪ ,B‬כי אחרת ניתן להרחיב את‬
‫‪ H‬לפונקציה שתחומה מקיף ממש את תחום ‪ H‬וגם היא ב‪ .W -‬‬
‫מהמשפט נובע שאם ‪ A, B‬קבוצות סדורות היטב אז ‪ A B‬או ‪ .B A‬נשים לב שלא‬
‫יכולנו להוכיח זאת לסתם שתי קבוצות ‪ A‬ו‪ ,B-‬בניגוד לאינטואיציה הפשוטה האומרת‬
‫שמכיוון שהעוצמות מייצגות כמויות‪ ,‬אז אם שתי כמויות אינן שוות אז אחת מהן צריכה‬
‫להיות גדולה מחברתה‪.‬‬
‫אם נצליח להוכיח שכל קבוצה ניתנת לסידור היטב נדע שכל שתי עוצמות ניתנות‬
‫להשוואה‪ .‬נראה כי טענה זו אפשר להוכיח זאת תוך שימוש באקסיומת הבחירה‪.‬‬
‫‪20.4‬‬
‫משפט הסידור הטוב )אה"ב(‬
‫על כל קבוצה ‪ A‬קיים יחס < המסדר את ‪ A‬היטב‪.‬‬
‫קווים כלליים להוכחה‪ :‬באופן גס‪ ,‬הרעיון הוא לבחור איבר כלשהו של ‪ A‬בתור איבר‬
‫ראשון‪ ,‬איבר אחר כלשהו של ‪ A‬כאיבר שני ולהמשיך כך עד שלא נותרים איברים‬
‫ב‪ .A-‬הבעייה היא שאיננו יכולים לתאר במדוייק את התהליך הזה‪.‬‬
‫כדי שנוכל לתאר את התהליך הזה אנו זקוקים לפונקצית בחירה ‪ C‬על קבוצת‬
‫החזקה של ‪ .A‬בהינתן פונקציית בחירה ‪ C‬אנו יכולים לבנות סדר טוב ל‪-‬‬
‫‪ A‬באופן שיטתי כדלקמן‪ :‬האיבר הראשון של ‪ A‬יהיה )‪ ,C (A‬השני יהיה‬
‫)})‪ ,C (A \ {C (A‬וכן הלאה‪ .‬באופן כללי‪ ,‬כל איבר ‪ x‬של ‪ A‬יהיה האיבר‬
‫הנבחר ע"י ‪ C‬מקבוצת האיברים שעדיין לא הוכנסו לסדר‪.‬‬
‫גם ההוכחה הנוכחית וגם ההוכחה שנביא מאוחר יותר יוצרות את הסדר שתארנו‬
‫כאן אינטואיטיבית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בשם קבוצה סדורה שיטתית נקרא לקבוצה ‪ B ⊆ A‬עם יחס סדר טוב ‪ ,R‬אשר‬
‫בו כל ‪ x ∈ B‬הוא האיבר הנבחר מבין כל איברי ‪ A‬שלא נכנסו לפני ‪ .x‬כלומר‪,‬‬
‫לכל ‪ x ∈ B‬מתקיים )}‪.x = C (A \ {y ∈ A | yRx‬‬
‫כעת יש ללכת בצעדים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל שתי קבוצות סדורות שיטתית‪ ,‬אחת מהן היא רישא של חברתה לפי‬
‫משפט קודם‪.‬‬
‫‪ .2‬איחוד כל הקבוצות הסדורות שיטתית עם איחוד יחסי הסדר שלהן הוא‬
‫קבוצה סדורה שיטתית‪ ,‬שהיא כמובן הקבוצה הסדורה שיטתית המקסימלית‪.‬‬
‫‪ .3‬קבוצה סדורה שיטתית זאת היא הקבוצה ‪ A‬כולה‪ ,‬כי אחרת ניתן להרחיב‬
‫אותה לאיבר נוסף של ‪ A‬בסתירה למקסימליות שלה‪.‬‬
‫‪69‬‬
‫סדר מילוני )או לקסיקוגרפי(‬
‫‪20.5‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה ע"י היחס ‪ <A‬ותהי ‪ B‬קבוצה סדורה ע"י היחס ‪.<B‬‬
‫יהי < היחס המוגדר על הקבוצה ‪ A × B‬על־ידי ‪ ha, bi < ha0 , b0 i‬כאשר ‪a <A a0‬‬
‫או כאשר ‪ a = a0‬ו‪.b <B b0 -‬‬
‫יחס זה הוא יחס סדר על ‪ A × B‬והוא נקרא הסדר המילוני )הלקסיקוגרפי( כי‬
‫זהו הסדר בו מסודרות המילים במילון‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה ע"י היחס <‪.‬‬
‫יהי < היחס המוגדר על הקבוצה ∗‪ A‬של הסדרות הסופיות של איברי ‪ ,A‬הנתון‬
‫ע"י ‪ ha0 , . . . , ak i < hb0 , . . . , bl i‬אם קיים ‪ m ≤ k, l‬כך ש‪ ai = bi -‬לכל ‪i < m‬‬
‫וגם ‪ ,am < bm‬או שמתקיים ‪ k < l‬ולכל ‪ i < k‬מתקיים ‪.ai = bi‬‬
‫יחס זה הוא יחס סדר על ∗‪ A‬והוא נקרא הסדר המילוני )הלקסיקוגרפי(‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ A, B‬קבוצות סדורות היטב‪ ,‬אז הסדר המילוני של ‪ A × B‬הוא סדר‬
‫טוב שלה‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A‬קבוצה סדורה היטב אז לכל ‪ ,n ∈ N‬הסדר המילוני של ‪ An‬הוא‬
‫סדר טוב שלה‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה‪ .‬מצאו תנאי הכרחי ומספיק על ‪ A‬לכך ש‪ A∗ -‬הסדורה‬
‫בסדר המילוני תהיה סדורה היטב‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫סיכום והרחבת הדיון‬
‫תרגיל‪ :‬להוכיח את שתי הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬כל קבוצה סדורה בת ‪ n‬איברים איזומורפית לקבוצה ‪ Nn‬הסדורה בסדר‬
‫הרגיל‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A‬קבוצה סדורה בת ‪ n‬איברים ו‪ B-‬קבוצה סדורה בת לפחות ‪ n‬איברים‬
‫)כלומר ‪ ( |B| ≥ n‬אז קיימת העתקה שומרת סדר של ‪ A‬לתוך ‪.B‬‬
‫תרגיל‪ :‬בקבוצת המספרים הממשיים ‪ R‬הסדורה בסדר הרגיל של הממשיים‪ ,‬הקבוצות‬
‫הבאות כולן איזומורפיות‪ R :‬עמה‪ ,‬כל הקטעים הפתוחים )‪ (a, b‬כאשר ‪ ,a < b‬כל‬
‫הקרניים הפתוחות )∞ ‪ (a,‬ו‪.(−∞, a)-‬‬
‫אותו דבר נכון גם לקבוצת המספרים הרציונליים הסדורה בסדר הרגיל‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫הגדרה‪ :‬הסדר של קבוצה סדורה ‪ A‬נקרא סדר צפוף‪ ,‬והקבוצה נקראת קבוצה צפופה‪,‬‬
‫אם יש ב‪ A-‬לפחות שני איברים ולכל ‪ x, y ∈ A‬כך ש‪ x < y-‬קיים ‪ z ∈ A‬כך‬
‫ש‪.x < z < y-‬‬
‫קבוצת המספרים הרציונליים וקבוצת המספרים הממשיים‪ ,‬סדורות בסדר הרגיל‪,‬‬
‫הן צפופות‪ .‬אף קבוצה סדורה היטב איננה צפופה )מדוע?(‪.‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה צפופה כך שקיימת פונקצית בחירה ‪ C‬על )‪ ,P (A‬ותהי‬
‫‪ B‬קבוצה סדורה בת־מניה כלשהי‪ ,‬אזי קיימת העתקה שומרת סדר של ‪ B‬לתוך‬
‫‪.A‬‬
‫הערה‪ :‬במקרה הכללי נצטרך להשתמש באקסיומת הבחירה‪ ,‬אבל אם ‪ A‬היא קבוצה‬
‫בת־מניה קיימת פונקצית בחירה כזאת גם בלי לאקסיומת הבחירה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשים לב שמספיק לטפל במקרה בו אין ל‪ A-‬איבר ראשון ואיבר אחרון‪ ,‬כי‬
‫אחרת נחליף את ‪ A‬בקבוצה ‪ A0‬המתקבלת מ‪ A-‬ע"י הוצאת האיבר הראשון‬
‫והאחרון‪ ,‬וההעתקה המתקבלת תהיה לתוך ‪.A0‬‬
‫‪ .1‬תהי } ‪ ,B = {b0 , b1 , . . .‬עבור ‪ b‬סדרה חח"ע‪ .‬נגדיר ברקורסיה סדרה‬
‫‪ hfn | n ∈ Ni‬של פונקציות כך ש‪ fn : {b0 , b1 , . . . , bn } → A-‬היא פונקציה‬
‫שומרת סדר‪.‬‬
‫נקבע }‪ .f0 = {hb0 , C (A)i‬פונקציה זאת שומרת סדר באופן טריוויאלי‪.‬‬
‫בשלב הרקורסיה אנו יוצאים מ‪ fn : {b0 , . . . , bn } → A-‬שומרת סדר‪ .‬יהיו‬
‫‪ c0 , . . . , cn‬האיברים ‪ b0 , . . . , bn‬של ‪ B‬כשהם מסודרים לפי הסדר שלהם‬
‫ב‪.B-‬‬
‫‪ bn+1‬שונה מ‪ c0 , . . . , cn -‬שהם ‪ ,b0, . . . , bn‬ולכן ייתכנו רק האפשרויות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫)א( אם ‪ bn+1 < c0‬אז נבחר )}) ‪fn+1 (bn+1 ) = C ({y ∈ A | y < fn (c0‬‬
‫)ב( אם קיים ‪ 0 ≤ k < n‬כך ש‪ ,ck < bn+1 < ck+1 -‬אז נבחר = ) ‪fn+1 (bn+1‬‬
‫)}) ‪C ({y ∈ A | fn (ck ) < y < fn (ck+1‬‬
‫)ג( אם ‪ ,cn < bn+1‬אז נבחר )}) ‪fn+1 (bn+1 ) = C ({y ∈ A | y > fn (cn‬‬
‫כלומר נבחר את ‪ fn+1‬להיות }‪ ,fn ∪{hbn+1 , fn+1 (bn+1 )i‬כאשר ) ‪fn+1 (bn+1‬‬
‫נקבע כך שמיקומו ביחס ל‪ fn (b0 ) , . . . , fn (bn )-‬יהיה כמו המיקום של‬
‫‪ bn+1‬ביחס ל‪.c0 , . . . , cn -‬‬
‫‪ .2‬נראה עתה כי ‪ fn+1‬שומרת סדר‪ .‬נעשה זאת למקרה ב'‪ ,‬כאשר בשני‬
‫המקרים האחרים ההוכחה דומה‪.‬‬
‫יהיו } ‪.x < y ,x, y ∈ {b0 , . . . , bn+1‬‬
‫אם } ‪ x, y ∈ {b0 , . . . , bn‬אז מכיוון ש‪ fn -‬שומרת סדר‪fn+1 (x) = ,‬‬
‫)‪.fn (x) < fn (y) = fn+1 (y‬‬
‫‪71‬‬
‫אם ‪ x = bn+1‬אז ‪ y = cm‬עבור ‪ k +1 ≤ m ≤ n‬מסויים‪ ,‬ולכן < )‪fn+1 (x‬‬
‫)‪.fn (ck+1 ) ≤ fn (cm ) = fn (cm ) = fn (y) = fn+1 (y‬‬
‫אם ‪ y = bn+1‬אז ‪ x = cm‬עבור ‪ 0 ≤ m ≤ k‬מסויים ואז = )‪fn+1 (x‬‬
‫)‪.fn+1 (cm ) = fn (cm ) ≤ fn (ck ) < fn+1 (bn+1 ) = fn+1 (y‬‬
‫‪ k S‬מתקיים ‪,fk ⊆ fl‬‬
‫כך קבלנו שלכל ‪ n‬טבעי ‪ ,fn ⊆ fn+1‬ולכן לכל ‪< l‬‬
‫והפונקציות ‪ fk , fl‬מתיישבות‪ .‬לכן }‪ F = {fn | n ∈ N‬היא פונקציה‬
‫לתוך ‪ A‬שתחומה הוא איחוד התחומים של הפונקציות ‪ ,fn‬כלומר ‪.B‬‬
‫‪ .3‬נראה כי ‪ F‬שומרת סדר‪ :‬יהיו ‪ x < y ,x, y ∈ B‬ויהיו ‪y = bl ,x = bk‬‬
‫ויהיו ‪ .n ≥ k, l‬מתקיים )‪ .F (x) = fn (x) < fn (y) = F (y‬לכן ‪ F‬היא‬
‫הפונקציה שקיומה נדרש במשפט‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬תהיינה ‪ A, B‬קבוצות סדורות‪ ,‬צפופות‪ ,‬בנות־מניה ןבלי איבר ראשון ואחרון‪,‬‬
‫אזי הן איזומורפיות‪.‬‬
‫דוגמה לקבוצה כזאת היא קבוצת המספרים הרציונליים בסדר הרגיל‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחת משפט זה דומה מאוד להוכחת המשפט הקודם‪ ,‬רק שכאן אנו עובדים‬
‫בשני הכיוונים ‪.B → A ,A → B -‬‬
‫תהיינה } ‪ ,B = {b0 , b1 , . . . } A = {a0 , a1 , . . .‬כאשר ‪ a, b‬סדרות חח"ע‪.‬‬
‫נגדיר ברקורסיה סדרה ‪ hfn | n ∈ Ni‬של פונקציות כך ש‪ fn -‬פונקציה שומרת‬
‫סדר עם תחום סופי המקיים ‪ {b0 , b1 , . . . , bn } ⊆ Domfn ⊆ B‬והמקיימת‬
‫‪.{a0 , a1 , . . . , an } ⊆ Rangefn ⊆ A‬‬
‫נקבע }‪ .f0 = {hb0 , a0 i‬בהינתן ‪ fn‬נגדיר תחילה פונקציה ‪ fn+‬כך‪ :‬אם ∈ ‪bn+1‬‬
‫∈ ‪ bn+1‬נקבע את ‪ fn+‬כמו שקבענו את‬
‫‪ Domfn‬נבחר ‪ .fn+ = fn‬אם ‪/ Domfn‬‬
‫‪ fn+1‬בהוכחת המשפט הקודם‪.‬‬
‫יהיו ‪ c0 , . . . , cj‬האיברים של ‪ Domfn‬כשהם מסודרים לפי הסדר שלהם ב‪.B-‬‬
‫נמצא את המקום של ‪ bn+1‬בין האיברים ‪ .c0 , . . . , cj‬נטפל כאן רק באותו‬
‫מקרה בו טיפלנו בהוכחת המשפט הקודם‪ ,‬והוא שקיים ‪ 0 ≤ k < n‬כך ש‪-‬‬
‫‪ .ck < bn+1 < ck+1‬במקרה זה נקבע את ‪ fn+‬להיות }‪fn ∪ {hbn+1 , fn+ (bn+1 )i‬‬
‫כאשר ) ‪ fn+ (bn+1‬הוא ‪ ai‬עם ה‪ i-‬המזערי המקיים ) ‪.fn (ck ) < ai < fn (ck+1‬‬
‫ההוכחה ש‪ fn+ -‬שומרת סדר היא כמו ההוכחה ש‪ fn+1 -‬שומרת סדר במשפט‬
‫הקודם‪.‬‬
‫כעת נקבע את ‪ fn+1‬כך‪ :‬אם ‪ an+1 ∈ Rangefn+‬נקבע ‪ ,fn+1 = fn+‬ואם‬
‫∈ ‪ an+1‬יהיו ‪ d0 , . . . , dm‬האיברים של ‪ Rangefn+‬כשהם מסודרים‬
‫‪/ Rangefn+‬‬
‫לפי הסדר שלהם ב‪ .A-‬נמצא כעת את המקום של ‪ an+1‬בין האיברים הללו ונקבע‬
‫את ‪ fn+1‬להיות ֵ}‪ fn+ ∪ {hbr , an+1 i‬כאשר ‪ r‬הוא המספר המזערי כך ש‪ br -‬נמצא‬
‫במקום המתאים ביחס לתחום של ‪ fn+‬כמו ‪ an+1‬בין האיברים ‪.d0 , . . . , dm‬‬
‫‪72‬‬
‫קל לראות שהפונקציה ‪ fn+1‬שהתקבלה היא פונקציה שומרת סדר עם תחום סופי‬
‫המקיים ‪ {b0 , b1 , . . . , bn+1 } ⊆ Domfn+1 ⊆ B‬והמקיימת ⊆ } ‪{a0 , a1 , . . . , an+1‬‬
‫‪.Rangefn+1 ⊆ A‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪ ,F‬ופונקציה זאת היא‬
‫כמו בהוכחת משפט קודם נקבע }‪{fn | n ∈ N‬‬
‫העתקה שומרת סדר של ‪ B‬על ‪ .A‬‬
‫כעת נעבור לדון במושג הסדר הטוב‪ ,‬ותחילה נרחיב אותו גם למחלקות ממש‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬יחס < על מחלקה ‪ A‬נקרא יחס סדר טוב על ‪ ,A‬אם הוא יחס סדר על ‪A‬‬
‫המקיים את שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל קבוצה ‪ w ⊆ A‬שאינה ריקה יש איבר ראשון‪ ,‬כלומר איבר ‪ y‬כך שלכל‬
‫‪ x ∈ w‬מתקיים ‪.y ≤ x‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ ,y ∈ A‬מחלקת איברי ‪ A‬הקודמים ל‪ y-‬היא קבוצה‪.‬‬
‫תנאי ב' מתקיים אוטומטית כאשר ‪ A‬היא קבוצה‪ ,‬ולכן עבור קבוצה ‪ A‬ההגדרה הנוכחית‬
‫שקולה להגדרה הרגילה‪.‬‬
‫מתנאי ב' נובע שכל רישא ממש של מחלקה סדורה היטב היא קבוצה‪ .‬נרחיב עתה‬
‫למחלקות את משפט ההוכחה באינדוקציה‪.‬‬
‫משפט ההוכחה באינדוקציה על מחלקה סדורה היטב‪ :‬תהי ‪ A‬מחלק שהיא סדורה היטב‬
‫ע"י היחס <‪ ,‬ותהי ‪ Φ‬תכונה‪.‬‬
‫אם מתקיים צעד האינדוקציה‪ :‬לכל ‪ ,x ∈ A‬אם כל ‪ y ∈ A‬המקיים ‪ y < x‬הוא‬
‫בעל התכונה ‪) Φ‬כלומר‪ ,‬אם כל הקודמים ל‪ x-‬ביחס < הם בעלי התכונה ‪ (Φ‬אז‬
‫גם ‪ x‬הוא בעל התכונה ‪,Φ‬‬
‫אז קיימת מסקנת האינדוקציה‪ :‬כל איברי ‪ A‬הם בעלי התכונה ‪.Φ‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח את המשפט בדרך השלילה‪ ,‬ולשם כך נניח שלא כל איברי ‪ A‬הם בעלי‬
‫התכונה ‪.Φ‬‬
‫יהי ‪ y ∈ A‬שאינו בעל התכונה ‪ .Φ‬נראה שקיים איבר ‪ b ∈ A‬שהוא הראשון‬
‫מבין איברי ‪ A‬שאינו בעל התכונה ‪ .Φ‬אם ‪ y‬אינו הראשון שאינו בעל התכונה‬
‫‪ Φ‬אז המחלקה ‪ B‬של איברי ‪ A‬הקודמים ל‪ y-‬שאינם בעלי התכונה ‪ Φ‬אינה‬
‫ריקה‪ .‬מחלקה זאת חלקית למחלקת איברי ‪ A‬שהיא קבוצה לפי תנאי א' ולכן‬
‫היא קבוצה ויש לה איבר ראשון ‪ .b‬לפי בחירת ‪ b‬כל איברי ‪ A‬הקודמים ל‪ b-‬הם‬
‫בעלי התכונה ‪ ,Φ‬בניגוד ל‪ b-‬שאינו בעל התכונה ‪.Φ‬‬
‫כך קבלנו סתירה לצעד האינדוקציה האומר שאם כל הקודמים לאיבר כלשהו ‪x‬‬
‫הם בעלי התכונה ‪ Φ‬אז גם ‪ x‬עצמו הוא בעל תכונה זאת‪ .‬‬
‫‪73‬‬
‫ראינו את משפט ההגדרה של פונקציה על קבוצה סדורה היטב מבלי שהוא הוכח באופן‬
‫מלא‪ .‬כאן נביא את המשפט הכללי יותר של הגדרה ברקורסיה על מחלקה סדורה היטב‬
‫ונוכיח אותו‪.‬‬
‫הגדרת פונקציה ברקורסיה על מחלקה סדורה היטב‪ :‬תהי ‪ A‬מחלקה סדורה היטב ותהי‬
‫‪ H‬פונקציה שתחומה היא מחלקת כל הקבוצות שהן פונקציות שתחומן חלקי ל‪.A-‬‬
‫אז קיימת פונקציה ‪ F‬יחידה שתחומה ‪ A‬המקיימת‪:‬‬
‫)}‪∀x∈A F (x) = H (F {y ∈ A|y < x‬‬
‫הוכחה‪ :‬לצורך הוכחה זאת נקרא בשם "פונקציה טובה" לפונקציה ‪ f‬שתחומה הוא רישא‬
‫של ‪) A‬ולכן תחום ‪ f‬ו‪ f -‬עצמה הם קבוצות( והמקיימת לכל ‪ x‬בתחומה את תנאי‬
‫הרקורסיה שהוא )}‪.f (x) = H (F {y ∈ A|y < x‬‬
‫את הפונקציה ‪ F‬נגדיר ע"י היחס )‪ Φ (x, y‬הנתון ע"י "קיימת פונקציה טובה ‪f‬‬
‫אשר ‪ x‬נמצא בתחומה והמקיימת ‪."f (x) = y‬‬
‫כעת עלינו להוכיח כי היחס הנתון ע"י )‪ Φ (x, y‬הוא פונקציה שתחומה ‪ A‬ושפונקציה‬
‫זאת מקיימת את תנאי הרקורסיה‪.‬‬
‫תהיינה ‪ f, g‬פונקציות טובות‪ .‬נוכיח שאחת מהן מקיפה את חברתה ולכן הן‬
‫בוודאי מתיישבות‪.‬‬
‫מכיוון שהתחומים של ‪ f, g‬הם רישות של ‪ A‬אז אחד מהם מקיף את חברו‪ .‬נניח‬
‫כי ‪ Domf ⊆ Domg‬ונוכיח כי ‪ .f ⊆ g‬לשם כך עלינו להוכיח כי לכל ‪x ∈ Domf‬‬
‫מתקיים )‪ .f (x) = g (x‬נוכיח את זה באינדוקציה‪.‬‬
‫הנחת האינדוקציה היא )‪ f (y) = g (y‬לכל ‪ ,y < x‬ולכן = }‪f {y ∈ A | y < x‬‬
‫}‪ .g {y ∈ A | y < x‬מכיוון ש‪ f, g-‬מקיימות את תנאי הרקורסיה אז‪:‬‬
‫)‪f (x) = H (f {y ∈ A | y < x}) = H (g {y ∈ A | y < x}) = g(x‬‬
‫ובכך הוכחה מסקנת צעד האינדוקציה‪.‬‬
‫ממה שכבר ראינו נראה כי נובע שלכל ‪ x ∈ A‬קיים לכל היותר ‪ y‬אחד המקיים‬
‫)‪ .Φ (x, y‬לשם כך נניח שקיימים ‪ z, y‬כך ש‪ .Φ (x, z) Φ (x, y)-‬אז קיימות‬
‫פונקציות טובות ‪ f, g‬כך ש‪ .g (x) = z ,f (x) = y-‬אבל מכיוון שכל שתי‬
‫פונקציות טובות מתיישבות מתקיים ‪.y = f (x) = g(x) = z‬‬
‫כדי להוכיח שלכל ‪ x ∈ A‬קיים ‪ y‬כך ש‪ ,Φ (x, y)-‬די להוכיח שלכל ‪ x ∈ A‬קיימת‬
‫פונקציה טובה שתחומה מכיל את ‪ .x‬נעשה זאת באינדוקציה על ‪.x‬‬
‫הנחת האינדוקציה היא שלכל ‪ u < x‬קיימת פונקציה טובה ‪ g‬שתחומה מכיל את‬
‫‪ .u‬נגדיר את הפונקציה ‪ j‬על }‪ {u ∈ A | u < x‬על־ידי )‪ j (u) = g (u‬כאשר ‪g‬‬
‫‪74‬‬
‫פונקציה טובה כלשהי שתחומה מכיל את ‪ .u‬בכך נתנו ל‪ j (u)-‬ערך יחיד כי כל‬
‫שתי פונקציות טובות מתיישבות‪.‬‬
‫נוכיח עתה כי ‪ j‬היא פונקציה טובה‪ .‬תהי ‪ g‬פונקציה טובה שתחומה מכיל את ‪u‬‬
‫ולכן גם את כל ‪ v‬כך ש‪.v < u-‬‬
‫כל ‪ v ≤ u‬מקיים ‪ v < x‬ולכן‪ ,‬מכיוון ש‪ g-‬היא פונקציה טובה שתחומה מכיל את‬
‫‪ ,v‬מתקיים )‪.j (v) = g (v‬‬
‫לכן }‪ j {y ∈ A | y < u} = g {y ∈ A | y < u‬ומתקיים‪:‬‬
‫)}‪j (u) = g (u) = H (g {y ∈ A | y < u}) = H (j {y ∈ A | y < u‬‬
‫כך ראינו ש‪ j-‬פונקציה טובה‪ .‬לכן גם }‪ j ∪ {hx, H (j)i‬היא פונקציה טובה‬
‫שתחומה מכיל את ‪ ,x‬ובזה סיימנו את הוכחת שלב האינדוקציה‪.‬‬
‫אם כך ראינו שהיחס )‪ Φ (x, y‬מגדיר פונקציה ‪ F‬שתחומה ‪ ,A‬ונותר להוכיח כי‬
‫‪ F‬זאת ממלאת אחר תנאי הרקורסיה‪.‬‬
‫יהי ‪ x ∈ A‬ותהי ‪ g‬פונקציה טובה שתחומה מכיל את ‪.x‬‬
‫))‪ ,Φ (x, g (x‬וגם לכל ‪ y < x‬מתקיים ))‪.Φ (y, g (y‬‬
‫ברור שמתקיים‬
‫מכיוון ש‪ F -‬היא הפונקציה המוגדרת על־ידי היחס )‪ Φ (x, y‬זה אומר ש‪F (x) =-‬‬
‫)‪ ,g (x‬ולכל ‪ y < x‬מתקיים )‪ ,F (y) = g (y‬ולכן‪:‬‬
‫}‪F {y ∈ A | y < x} = g {y ∈ A | y < x‬‬
‫מכיוון ש‪ g-‬פונקציה טובה מתקיים‪:‬‬
‫)}‪F (x) = g (x) = H (g {y ∈ A | y < x}) = H (F {y ∈ A | y < x‬‬
‫וזהו תנאי הרקורסיה ל‪ .F -‬‬
‫המשפט הבא הוא ההכללה למחלקות‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל שתי מחלקות סדורות היטב ‪ ,A, B‬קיים איזומורפיזם מאחת מהן על‬
‫רישא של השניה‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A‬או ‪ B‬היא קבוצה והשניה מחלקה ממש אז האיזומורפיזם היא מן‬
‫הקבוצה על רישא של המחלקה‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ A, B‬מחלקות ממש‪ ,‬האיזומורפיזם היא מאחת מהן על השניה‪ ,‬ולכן כל‬
‫שתי מחלקות ממש סדורות היטב איזומורפיות‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪75‬‬
‫‪ .1‬ההוכחה זהה להוכחת המשפט לקבוצות‪.‬‬
‫‪F −1‬‬
‫היתה העתקה חח"ע‬
‫‪ .2‬אילו היתה העתקת הדימיון ‪ F‬לתוך קבוצה‪ ,‬אז‬
‫של ‪ ,RangeF‬שהיא קבוצה‪ ,‬על ‪ ,DomF‬ולפי אקסיומת ההחלפה היתה‬
‫‪ DomF‬קבוצה ולא מחלקה ממש‪.‬‬
‫‪ .3‬אילו העתקת הדימיון היתה מ‪ A-‬על רישא ממש של ‪ ,B‬אז מכיוון שכל‬
‫רישא ממש של מחלקה סדורה היטב היא קבוצה‪ ,‬זאת היתה איזומורפיזם‬
‫של מחלקה ממש לתוך קבוצה‪ ,‬וראינו ב‪-‬ב' שזה לא יתכן‪ .‬‬
‫‪76‬‬
‫חלק‬
‫‪VIII‬‬
‫המספרים הסודרים‬
‫‪22‬‬
‫מבוא‬
‫הוכחנו שאנו יכולים תמיד להשוות שתי קבוצות סדורות היטב‪ .‬כאשר אנו באים להשוות‬
‫שתי קבוצות סופיות מצבנו נוח‪ ,‬כי איננו צריכים להשוות אותן ישירות זו לזו אלא אנו‬
‫עושים זאת באמצעות ספירת האיברים של כל אחת מהן‪.‬‬
‫במספרים הסודרים נעשה שינוי קטן‪ ,‬והוא שנתחיל את הספירה במספר ‪ .0‬לאיבר‬
‫הראשון נצמיד את המספר הסודר ‪ ,0‬לשני את המספר הסודר ‪ ,1‬וכן הלאה‪ .‬המספר‬
‫הסודר של הקבוצה כולה יהיה המספר העוקב למספרים הסודרים של איברי הקבוצה‪.‬‬
‫כך המספרים הסודרים של איברי קבוצה סדורה בת ‪ 3‬איברים הם ‪ ,0, 1, 2‬והמספר‬
‫הסודר של הקבוצה הוא ‪ .3‬השוואת הקבוצות נעשית עתה ע"י השוואת המספרים‬
‫הסודרים שלהן‪.‬‬
‫ניגש עתה לעשות את אותו הדבר גם לקבוצות סדורות היטב אינסופיות‪ ,‬כלומר נגדיר‬
‫מושג של מספר סודר גם לקבוצות כאלו‪ ,‬ואז נדע כי הקבוצה ‪ A‬איזומורפית לרישא של‬
‫‪ B‬אמ"מ המספר הסודר של ‪ A‬קטן או שווה לזה של ‪.B‬‬
‫ניגש עתה לספירת קבוצת כל המספרים הטבעיים לפי הסדר באותו האופן בו ספרנו את‬
‫איברי הקבוצות הסופיות‪ .‬בספירת המספרים הטבעיים המספר הסודר של כל מספר הוא‬
‫המספר עצמו ובתום הספירה עלינו לתת לקבוצה את המספר העוקב למספרים הסודרים‬
‫של איבריו‪ .‬הבעיה בספירת קבוצת כל המספרים הטבעיים היא שלא קיים מספר טבעי‬
‫העוקב לכל המספרים הטבעיים‪ ,‬למטרה זאת נמציא מספר סודר חדש ונסמנו ‪) ω‬אומגה(‪.‬‬
‫זה יהיה המספר העוקב לכל המספרים הטבעיים והוא יהיה המספר הסודר של קבוצת‬
‫המספרים הטבעיים‪ .‬נתבונן עתה בקבוצה הסדורה היטב )‪ (1, 2, ..., −1‬ונספור את‬
‫איבריה‪ ,‬כאשר עברנו על כל המספרים הטבעיים נגמרו לנו מספרים אלו ועלינו להתאים‬
‫ל‪ −1-‬הבא אחריהם את המספר הבא‪ ,‬שהוא יהיה ‪.ω‬‬
‫לקבוצה כולה עלינו להתאים את המספר העוקב ל‪ ω-‬ומכיוון שאין לנו מספר כזה‬
‫עלינו להמציא אותו‪ .‬נראה עתה דרך שיטתית ליצירת כל המספרים הדרושים‪ .‬לשם‬
‫כך נתבונן בדרך בה נעשה הדבר לקבוצות סופיות‪ .‬עד עתה קיבלנו בקורס זה את‬
‫המספרים הטבעיים כעצמים שבאו לתורת הקבוצות מבחוץ‪ .‬כעת נראה שאנו יכולים גם‬
‫להגדיר אותם כקבוצות מסויימות‪ ,‬בהתאם לרצון לפתח את כל המתמטיקה בתוך תורת‬
‫הקבוצות‪.‬‬
‫ארנסט צרמלו הגדיר את המספרים הטבעיים באופן הבא‪ .∅, {∅} , {{∅}} , ... :‬כלומר‬
‫הם מתחילים במספר ‪ 0‬שמוגדר כקבוצה הריקה ∅‪ ,‬ולכל מספר טבעי ‪ ,n‬העוקב שלו‬
‫הוא קבוצת היחידון }‪ .{n‬קשה למצוא יחס סדר בקבוצה זו )אך זה אפשרי(‪ .‬אנו נעדיף‬
‫‪77‬‬
‫את ההגדרה הבאה של המספרים הטבעיים‪ ,‬שאותה נוכל להרחיב באופן טבעי לצורך‬
‫ההגדרה של מספרים סודרים‪.‬‬
‫ג'ון פון־נוימן הגדיר את המספרים הטבעיים באופן הבא‪ .∅, {∅} , {∅, {∅}} , ... :‬כלומר‬
‫כל מספר טבעי ‪ n‬הוא הקבוצה }‪.{0, 1, 2, ..., n − 1‬‬
‫הגדרה זו מאפשרת להמשיך להגדיר מספרים סודרים מעל למספרים הטבעיים באופן‬
‫הבא‪:‬‬
‫המספר הראשון שמעבר לכל המספרים הטבעיים יהיה קבוצת כל המספרים הטבעיים‬
‫שנסמן }‪ .ω = {0, 1, 2, ...‬העוקב של ‪ ω‬יהיה‪ ,‬כהמשך טבעי להגדרה של פון־נוימן‪,‬‬
‫האיבר }‪ ,ω 0 = {0, 1, 2, ..., ω‬העוקב של ‪ ω 0‬יהיה } ‪ ,ω 00 = {0, 1, 2, ..., ω, ω 0‬וכן הלאה‪.‬‬
‫למספרים האלה שנקבל נקרא מספרים סודרים‪ ,‬או בקיצור סודרים‪.‬‬
‫נראה כעת מהן התכונות של המספרים של פון נוימן ונלמד מהן כיצד להגדיר את מושג‬
‫המספר הסודר‪.‬‬
‫האיברים של מספר ‪ n‬הם כל המספרים ‪ m‬הקטנים ממנו‪ ,‬והאיברים של מספר ‪ m‬הם‬
‫מספרים הקטנים מ‪ ,m-‬ולכן קטנים גם מ‪ n-‬ומכאן כי הם איברים של ‪ .n‬כלומר‪ ,‬איבר‬
‫של איבר של ‪ n‬הוא איבר של ‪ .n‬נרצה לשמור על תכונה זו בהגדרת המספרים הסודרים‪.‬‬
‫כלומר נרצה להשתמש ביחס ה"איברות"‪ ,‬כלומר היחס ∈‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫סודר‬
‫הגדרה‪ :‬מחלקה ‪ A‬נקראת טרנזיטיבית אם כל איבר של איבר של ‪ A‬הוא איבר של ‪.A‬‬
‫כלומר אם לכל ‪ a ∈ A‬מתקיים ‪.a ⊂ A‬‬
‫איפיון־שקול‪ :‬מחלקה ‪ A‬היא טרנזיטיבית אם מתקיימים שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬כל איבר של ‪ A‬הוא‬
‫קבוצה‪9 .‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ ,a ∈ A‬אם ‪ x ∈ a‬אז ‪.x ∈ A‬‬
‫‪S‬‬
‫ו‪A-‬‬
‫‪T‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ A‬קבוצה של קבוצות טרנזיטיביות‪ ,‬אז גם ‪A‬‬
‫קבוצות טרנזיטיביות‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ u ∈ a ∈S A‬אז יש ‪ B ∈ A‬כך ש‪ u ∈ a ∈ B ∈ A-‬ומטרנזיטיביות ‪B‬‬
‫נובע כי ‪.u ∈ B ⊆ A‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ ,u ∈ a ∈ B‬ומטרנזיטיביות ‪B‬‬
‫מתקיים‬
‫‪B‬‬
‫∈‬
‫‪A‬‬
‫לכל‬
‫אז‬
‫‪u‬‬
‫∈‬
‫‪a‬‬
‫∈‬
‫אם ∅ =‪A 6‬‬
‫‪T‬‬
‫נובע כי ‪ .u ∈ B‬זה מתקיים לכל ‪ B ∈ A‬ולכן ‪ .u ∈ A‬‬
‫)בהנחה שאינה ריקה(‬
‫‪9‬עקרונית כל איבר בכל קבוצה הוא קבוצה‪ ,‬אלא שבקורס זה לא ראינו זאת‪.‬‬
‫‪78‬‬
‫הגדרה‪ :‬נאמר כי קבוצה ‪ y‬היא מספר סודר או בקיצור סודר‪ ,‬אם מתקיים‪:‬‬
‫‪ y .1‬קבוצה טרנזיטיבית‬
‫‪ y .2‬קבוצה סדורה היטב על־ידי היחס ∈‬
‫נסמן סודרים בדרך־כלל באותיות ‪.α, β, γ, δ‬‬
‫‪23.1‬‬
‫תכונות יסודיות‬
‫משפט‪ :‬כל איבר של סודר הוא סודר‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ α‬סודר ויהי ‪ .b ∈ α‬מטרנזיטיביות ‪ α‬נובע כי ‪ ,b ⊆ α‬ומכאן כי היחס ∈‬
‫מצומצם ל‪ b-‬מסדר היטב את ‪ ,b‬ולכן מתקיים התנאי השני להגדרת סודר‪.‬‬
‫נותר להראות כי ‪ b‬קבוצה טרנזיטיבית‪ .‬נשים לב שכל איבר ב‪ b-‬הוא איבר ב‪,α-‬‬
‫ולכן הוא קבוצה‪ .‬יהיו ‪ .u ∈ v ∈ b ∈ α‬מטרנזיטיביות ‪ α‬נובע ‪ u ∈ v ∈ α‬ולכן‬
‫‪ ,u ∈ α‬כלומר ‪ u, v, b ∈ α‬ומטרנזיטיביות ∈ נובע ‪ .u ∈ b‬‬
‫משפט‪ ∅ :‬הוא סודר‪) .‬כל התכונות הנדרשות מתקיימות באופן ריק(‪.‬‬
‫משפט‪ :‬כל קבוצה טרנזיטיבית חלקית ממש לסודר ‪ ,α‬היא איבר של ‪ .α‬בפרט אם‬
‫‪ β ⊆ α‬אז ‪ β = α‬או ‪.β ∈ α‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ b $ α‬טרנזיטיבית‪ ,‬ויהי ‪ β‬האיבר הראשון של ‪ .α\b‬נוכיח כי ‪b = β‬‬
‫באמצעות הכלה הדדית‪ ,‬ומכך נסיק כי ‪.b = β ∈ α‬‬
‫נראה את ההכלה ‪ :β ⊆ b‬מתקיים כי ‪ β ∈ α‬ולכן ‪ .β ⊂ α‬נשים לב שמכך ש‪β-‬‬
‫∈ ‪ ,x‬מכאן כי ‪ x ∈ b‬ולכן ‪.β ⊆ b‬‬
‫הראשון ב‪ α\b-‬אז לכל ‪ x ∈ β‬מתקיים ‪/ α\b‬‬
‫נראה את ההכלה ‪ :b ⊆ β‬יהי ‪ .x ∈ b ⊆ α‬מתקיים כי ‪ x, β ∈ α‬ולכן הם ניתנים‬
‫להשוואה ב‪ .∈-‬אם ‪ β ∈ x‬או ‪ β = x‬אז מטרנזיטיביות ‪ b‬נובע כי ‪β ∈ x ∈ b‬‬
‫ולכן ‪ ,β ∈ b‬בסתירה לבחירת ‪ .β‬מכאן כי ‪ x ∈ β‬ולכן ‪ .b ⊆ β‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ α‬סודר אז }‪ α ∪ {α‬סודר‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬הקבוצה }‪ α ∪ {α‬היא קבוצה טרנזיטיבית של סודרים‪ ,‬ולכן מטענה קודמת היא‬
‫סודר‪ .‬‬
‫∈ ‪ α‬לכל סודר ‪.α‬‬
‫משפט‪/ α :‬‬
‫∈ ‪ ,β‬כי ∈ הוא יחס סדר ולכן אי־רפלקסיבי‪ .‬נניח‬
‫הוכחה‪ :‬לכל ‪ β ∈ α‬מתקיים ‪/ β‬‬
‫∈ ‪ ,α‬וזו‬
‫∈ ‪ .α‬לכן ‪ α ∈ α‬גורר ‪/ α‬‬
‫בשלילה כי ‪ ,α ∈ α‬נסיק כי בפרט ‪ α‬מקיים ‪/ α‬‬
‫סתירה‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬לכל זוג סודרים ‪ α, β‬מתקיים כי ‪ β $ α‬אמ"מ ‪.β ∈ α‬‬
‫‪79‬‬
‫הוכחה‪) :‬כיוון ראשון( נניח ‪ ,β $ α‬מטרנזיטיביות ‪ β‬כסודר נובע מטענה קודמת כי‬
‫‪.β ∈ α‬‬
‫)כיוון שני( נניח כי ‪ ,β ∈ α‬אז מטרנזיטיביות ‪ α‬נובע כי ‪ ,β ⊆ α‬אבל ידוע כי‬
‫∈ ‪ β‬ולכן בהכרח ‪ .β $ α‬‬
‫‪/β‬‬
‫משפט‪ :‬כל שני סודרים ניתנים להשוואה ביחס ∈‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ α, β‬שני סודרים‪ .‬מתקיים כי ‪ α ∩ β‬טרנזיטיבית וחלקית לשתיהן ולכן היא‬
‫סודר‪.‬‬
‫אם ‪ α ∩ β ∈ α‬וגם ‪ ,α ∩ β ∈ β‬אז נקבל כי ‪ ,α ∩ β ∈ α ∩ β‬בסתירה לכך שסודר‬
‫אינו שייך לעצמו‪.‬‬
‫לכן בהכרח מתקיימת אחת משתי האפשרויות הבאות‪:‬‬
‫ ‪ α ∩ β = α‬וגם ‪ ,α ∩ β = β‬ואז ‪ α = β‬וסיימנו‪.‬‬‫ ‪ α ∩ β = α‬וגם ‪ α ∩ β ∈ β‬ואז ‪ ,α ∈ β‬או באופן סימטרי ‪ ,β ∈ α‬וסיימנו‪ .‬‬‫‪T‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬מחלקה לא ריקה של סודרים‪ ,‬אז ‪ A‬היא סודר‪ ,‬והיא האיבר המינימלי‬
‫של ‪ A‬תחת הסדר ∈‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ α =:‬הוא סודר‪ ,‬שכן הוכחנו שחיתוך כזה הוא קבוצה‬
‫הוכחה‪ :‬מתקיים כי ‪A‬‬
‫טרנזיטיבית והצמצום של היחס ∈ ל‪ α-‬הוא סדר טוב‪.‬‬
‫נשים לב שלכל ‪ β ∈ A‬מתקיים ‪ ,α ⊆ β‬ולכן ממשפט קודם נובע כי ‪ α = β‬או‬
‫‪.α ∈ β‬‬
‫האיבר המינימלי של ‪ ,A‬אחרת מתקיים‬
‫אם יש ‪ β ∈ A‬כך ש‪ α = β-‬אז ‪T β‬‬
‫‪ α ∈ β ∈ A‬לכל ‪ β ∈ A‬ולכן ‪ ,α ∈ A = α‬בסתירה לכך שסודר לא שייך‬
‫לעצמו‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬מחלקת כל הסודרים שנסמן ‪ On‬סדורה היטב על־ידי ∈‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬כדי להראות שקבוצה סדורה היטב יש להראות כי מוגדר עליה יחס סדר‪,‬‬
‫כלומר אי־רפלקסיבי וטרנזיטיבי‪ ,‬וכן שהסדר הזה מלא‪ ,‬כלומר כל זוג איברים‬
‫ניתן להשוואה‪ ,‬וכן שלכל תת־קבוצה שלה יש איבר מינימלי‪.‬‬
‫ יחס הסדר שמוגדר על ‪ On‬באמצעות ∈ הוא אי־רפלקסיבי כי הוכחנו שתמיד‬‫∈ ‪ α‬וטרנזיטיבי מטרנזיטיביות הסודרים‪ ,‬שכן אם ‪ α ∈ β ∈ γ‬אז ‪.α ∈ γ‬‬
‫‪/α‬‬
‫ הוכחנו שכל זוג סודרים ניתן להשוואה ביחס ∈‪ ,‬ולכן זה סדר מלא‪.‬‬‫‪T‬‬
‫ קיום איבר מינימלי נובע מכך שהוכחנו כי ‪ A‬מינימלי לכל קבוצה ‪ A‬לא ריקה‬‫של סודרים‪ .‬‬
‫מסקנה‪ :‬כל קבוצה טרנזיטיבית של סודרים היא סודר‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫הוכחה‪ :‬הטרנזיטיביות נתונה‪ ,‬ומכיוון שהיא חלקית למחלקת הסודרים‪ ,‬צמצום הסדר ∈‬
‫של מחלקת הסודרים אליה מהווה סידור היטב שלה ב‪ .∈-‬‬
‫‪S‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם ‪ A‬מחלקה לא ריקה של סודרים‪ ,‬אז ‪ A‬היא סודר‪ ,‬והיא החסם העליון‬
‫של ‪ A‬תחת הסדר ∈‪ .‬כלומר הוא הסודר הראשון שגדול או שווה מכל הסודרים‬
‫ב‪.A-‬‬
‫‪S‬‬
‫הוכחה‪ :‬מתקיים כי ‪ A‬הוא סודר‪ ,‬שכן הוכחנו שאיחוד של קבוצות טרנזיטיביות הוא‬
‫קבוצה טרנזיטיבית‪ ,‬ומכיוון שכל איבריה סודרים נסיק ממשפט קודם שהיא סודר‪.‬‬
‫קל לראות שזה חסם מלעיל‪ ,‬נראה שהוא חסם מלעיל מינימלי‪ .‬אם ‪ β‬סודר‬
‫⊆ ‪ γ‬לכל ‪ ,γ ∈ A‬ולכן‬
‫המקיים‪ γ ∈ βS‬לכל ‪ ,γ ∈ A‬נובע מטענה קודמת כי ‪S β‬‬
‫‪ . A ⊆ β‬שוב לפי אותה טענה קודמת נסיק כי ‪ . A ∈ β‬‬
‫מסקנה‪ :‬מחלקת הסודרים ‪ On‬היא מחלקה ממש‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬לו ‪ On‬הייתה קבוצה אז היא הייתה סודר‪ ,‬שכן היא טרנזיטיבית ומוגדר עליה‬
‫יחס סדר טוב ∈‪ .‬לכן היא עצמה מוכלת בקבוצת כל הסודרים ‪ ,On‬כלומר‬
‫‪ ,On ∈ On‬וזאת בסתירה לכך שאף סודר לא מוכל בעצמו‪ .‬‬
‫‪23.2‬‬
‫מיון כל הסודרים‬
‫הסודרים כולם מתחלקים לשלושת הסוגים הבאים‪:‬‬
‫• הסודר ∅‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫• כל הסודרים העוקבים‪ .‬כלומר }‪α ∈ On|∃β∈On α = β ∪ {β‬‬
‫• כל הסודרים הגבוליים‪ .‬כלומר כל הסודרים שאינם ∅ ואינם עוקבים‪.‬‬
‫משפט‪ α :‬סודר גבולי אמ"מ ∅ =‪ α 6‬וגם לכל ‪ β ∈ α‬קיים ‪ γ‬כך שמתקיים ‪β ∈ γ ∈ α‬‬
‫)שלושתם שונים(‪.‬‬
‫הוכחה‪) :‬כיוון ראשון( נניח כי ‪ α‬סודר גבולי‪ .‬כלומר ∅ =‪ α 6‬והוא לא עוקב של אף סודר‬
‫אחר‪.‬‬
‫= }‪,β ∪ {β‬‬
‫מאחר ו‪ α 6= ∅-‬קיים סודר ‪ .β ∈ α‬מאחר ו‪ α-‬אינו עוקב נובע כי ‪6 α‬‬
‫ולכן בהכרח ‪ .β ∪ {β} ∈ α‬לכן תחת הסימון במשפט נקבל }‪.γ = β ∪ {β‬‬
‫)כיוון שני( נניח שעבור סודר ‪ α‬מתקיים התנאי במשפט‪ .‬ראשית נתון כי ∅ =‪α 6‬‬
‫ולכן נותר להראות ש‪ α-‬אינו עוקב‪.‬‬
‫נניח בשלילה ש‪ α-‬עוקב‪ ,‬כלומר }‪ α = β ∪ {β‬ל‪ β-‬סודר כלשהו‪ .‬לכן מתקיים‬
‫‪ ,β ∈ α‬ומהתנאי במשפט נובע שקיים סודר ‪ γ‬כך שמתקיים ‪ β ∈ γ ∈ α‬ושלושתם‬
‫שונים‪ ,‬וזאת בסתירה לכך ש‪ α-‬העוקב של ‪ .β‬‬
‫‪81‬‬
‫הגדרה‪ :‬סודר נקרא מספר טבעי אם הוא ∅ או אם כל סודר קטן ממנו הוא ∅ או עוקב‪.‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ n‬מספר טבעי קל לראות כי ‪ n + 1‬גם מספר טבעי‪.‬‬
‫אם ‪ n‬מספר טבעי קל לראות שכל ‪ m < n‬מספר טבעי‪.‬‬
‫מיון כל הקבוצות הסדורות היטב‬
‫‪23.3‬‬
‫נראה כי מיון כל הקבוצות הסדורות היטב זהה למיון כל הסודרים‪.‬‬
‫משפט‪ :‬כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית לסודר יחיד ‪ .α‬סודר זה מכונה טיפוס‬
‫הסדר של ‪.A‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה היטב‪ .‬נגדיר ברקורסיה פונקציה ‪F : A → On‬‬
‫להיות }‪ .F (x) = {F (y) |y < x‬כלומר‪ ,‬האיבר המינימלי של ‪ A‬מועתק‬
‫ל‪ ,∅-‬והאיבר )‪ F (x‬הוא אוסף כל הסודרים המתאימים לאיברים קטנים‬
‫מ‪.x-‬‬
‫נוכיח ש‪ F (x)-‬סודר לכל ‪ .x ∈ A‬ראשית לכל ‪ y < x‬הקבוצה )‪F (y‬‬
‫היא סודר מהנחת האינדוקציה‪ ,‬ולכן }‪ F (x) = {F (y) |y < x‬היא קבוצת‬
‫סודרים‪ .‬זו קבוצה טרנזיטיבית‪ ,‬כי איבר כללי של )‪ F (x‬הוא )‪ F (y‬עבור‬
‫‪ y < x‬כלשהו‪ ,‬ולכן מההגדרה נובע‪:‬‬
‫)‪F (y) = {F (z) |z < y} ⊂ {F (z) |z < x} = F (x‬‬
‫הקבוצה ) ‪ Range (F‬היא קבוצה טרנזיטיבית שאיבריה סודרים‪ ,‬ולכן היא‬
‫עצמה סודר‪.‬‬
‫מתקיים כי ‪ F‬שומרת סדר‪ ,‬שכן אם ‪ y < x‬אז )‪ F (y) ⊂ F (x‬כפי שנובע‬
‫מההגדרה‪ .‬לכן ‪ F‬איזומורפיזם של ‪ A‬על הסודר ) ‪ Range (F‬שנסמן ‪.α‬‬
‫‪ .2‬נראה כי ‪ α‬יחיד‪ .‬נניח בשלילה כי ‪ A‬איזומורפית לזוג סודרים ‪α, β‬‬
‫המקיימים ‪ .β ∈ α‬באופן כללי מתקיים כי ‪ β‬היא קבוצה סדורה היטב‬
‫ולכן היא איזומורפית לרישא ממש של הקבוצה הסדורה היטב ‪ ,α‬ומכאן‬
‫נקבל כי ‪ A‬איזומורפית גם ל‪ α-‬וגם לרישא ממש של ‪ ,α‬וזאת סתירה‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬יהיו ‪ A, B‬קבוצות סדורות היטב‪ ,‬שאיזומורפיות לסודרים ‪ α, β‬בהתאמה‪.‬‬
‫אזי ‪ B‬איזומורפית לרישא )ממש( של ‪ A‬אמ"מ ‪) β ∈ α‬ממש‪ ,‬בהתאמה(‪.‬‬
‫למה‪ :‬אם ‪ F : A → B‬איזומורפיזם של קבוצות סדורות היטב ונניח כי ‪A0 ⊂ A‬‬
‫רישא ממש של ‪ ,A‬אז ] ‪ F [A0‬רישא ממש של ‪.B‬‬
‫‪82‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נראה כי ] ‪ F [A0‬רישא של ‪ .B‬יהיו ] ‪ ,u < v ∈ G [A0‬נרצה‬
‫להראות ] ‪.u ∈ F [A0‬‬
‫מהנתון ] ‪ v ∈ F [A0‬נובע שיש ‪ x ∈ A0‬כך ש‪ .v = F (x)-‬מכיוון ש‪ F -‬על‬
‫‪ B‬נובע שיש ‪ y ∈ A‬כך ש‪.u = f (y)-‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ ,x ≤ y‬אז נקבל כי ‪ ,v = F (x) ≤ F (y) = u‬בסתירה‬
‫להנחה ‪ ,u < v‬ולכן בהכרח ‪ .y < x‬מהנתון ש‪ A0 -‬רישא נובע כי ∈ ‪y < x‬‬
‫‪ A0‬אז ‪ y ∈ A0‬ולכן ] ‪ ,u = F (y) ∈ F [A0‬כנדרש‪ .‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ G : β → B ,F : α → A‬איזומורפיזמים‪.‬‬
‫‪.F G−1‬‬
‫מתקיים כי‬
‫ראשון( אם ‪ ,β ∈ α‬נתבונן באיזומורפיזם ‪: B → A‬‬
‫)כיוון‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫]‪ .F G [B] = G F [B] = G [β‬מהלמה נובע כי ]‪ G [β‬רישא של ‪ ,B‬ולכן‬
‫‪ GF −1‬היא איזומורפיזם של ‪ B‬על רישא של ‪.A‬‬
‫)כיוון שני( נניח כי ‪ H : B → A0‬איזומורפיזם‪ ,‬כאשר ‪ A0 ⊂ A‬רישא‪ .‬מתקיים כי‬
‫)‪ ,Range (G) = B = Dom (H‬ולכן ההעתקה ‪ HG : β → α0‬היא איזומורפיזם‪,‬‬
‫כאשר ‪ α0‬היא טיפוס הסדר של ‪ ,A0‬ולכן ‪ ,α0 ∈ α‬ומכאן כי ‪ β‬הוא טיפוס הסדר‬
‫של רישא של ‪ .α‬‬
‫‪23.4‬‬
‫משפט הרטוגס‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ <A‬יחס כלשהו על ‪ ,A‬ותהי ‪ F : A → B‬העתקה חח"ע ועל‪.‬‬
‫נאמר כי היחס המושרה על ‪ B‬על־ידי ‪ <A‬באמצעות ‪ ,F‬הוא היחס המסומן ‪<B‬‬
‫המוגדר להיות‪:‬‬
‫}‪<B = {F (x) <B F (y) |x <A y‬‬
‫במקרה שבו ‪ <A‬יחס סדר טוב על ‪ ,A‬אז היחס המושרה ‪ <B‬הוא יחס סדר טוב‬
‫על ‪.B‬‬
‫משפט‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬קיים סודר ‪ α‬כך ש‪ .α A-‬כלומר א"א לשכן את ‪ α‬בתוך ‪.A‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬נתבונן בקבוצה ‪ W‬המוגדרת להיות קבוצת כל הסודרים של‬
‫הסידורים הטובים של קבוצות חלקיות ל‪.A-‬‬
‫‪S‬‬
‫נגדיר ‪ β = W‬וכן }‪ .α = β ∪ {β‬מתקיים כי ‪ α‬גדול מכל איברי ‪ ,W‬שכן ‪β‬‬
‫הוא חסם עליון שלהם‪.‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ ,α A‬כלומר יש העתקה חח"ע מהצורה ‪.F : α → B ⊂ A‬‬
‫נתבונן ביחס הסדר הטוב המושרה על־ידי ‪ F‬בקבוצה ‪ ,B‬ותחת יחס זה מתקיים‬
‫כי ‪ F‬היא איזומורפיזם של הסודר ‪ α‬על קבוצה ‪ B‬סדורה היטב‪ ,‬ולכן ‪ α‬הוא‬
‫טיפוס הסדר של ‪ ,B ⊂ A‬ומכאן כי ‪ ,α ∈ W‬בסתירה לכך ש‪ α-‬גדול מכל איברי‬
‫‪ .W‬‬
‫‪83‬‬
‫חלק‬
‫‪IX‬‬
‫צורות שקולות של אקסיומת הבחירה‬
‫בפרק זה נראה שאקסיומת הבחירה מופיעה בצורות שונות‪ ,‬מה שמצביע על כך שזאת‬
‫אקסיומה טבעית של תורת הקבוצות המופיעה בהקשרים רבים ושונים זה מזה‪.‬‬
‫כפי שראינו בפרק הקודם‪ ,‬עולם הקבוצות שאפשר לסדרן בסדר טוב הוא עולם הרבה‬
‫יותר נוח מאשר עולם כל הקבוצות‪ .‬כאשר יש סדר טוב על קבוצה הוא מאפשר לנו‬
‫לטפל באיבריה טיפול אינדיבידואלי בזה אחר זה‪ ,‬וזה מתבטא במיוחד במשפטי ההוכחה‬
‫באינדוקציה וההגדרה ברקורסיה‪ .‬יתר על כן‪ ,‬כאשר יש סדר טוב על שתי קבוצות אז‬
‫הן ניתנות להשוואה במובן שקיימת העתקה חד חד ערכית של אחת מהן לתוך השניה‪,‬‬
‫וכתוצאה מזה הסדר החלקי של העוצמות הופך להיות סדר מלא‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫משפט הסידור הטוב )אה"ב(‬
‫לכל קבוצה יש סדר טוב‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה ותהי ‪ C‬פונקציית בחירה על קבוצת החזקה )‪ ,P (A‬ויהי ‪ α‬סודר‬
‫∈ ‪.end‬‬
‫המקיים ‪ .α ⊀ A‬קיים כזה ממשפט הרטוגס‪ .‬יהי ‪/ A‬‬
‫נגדיר ברקורסיה פונקציה }‪ ,F : α → A ∪ {end‬כך שלכל סודר ‪:β ∈ α‬‬
‫(‬
‫‪C (A\ {F (γ) |γ ∈ β}) {F (γ) |γ ∈ β} $ A‬‬
‫= )‪F (β‬‬
‫‪end‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫לא ייתכן שלכל ‪ β ∈ α‬מתקיים ‪ ,{F (γ) |γ ∈ β} $ A‬כי אז ‪ F‬חח"ע‪ ,‬כלומר‬
‫היא שיכון של ‪ α‬בתוך ‪ ,A‬בסתירה לבחירת ‪ .α‬לכן קיים ‪ δ ∈ α‬סודר מינימלי‬
‫המקיים ‪.F (δ) = end‬‬
‫לפי הגדרת )‪ F (δ‬מתקיים כי }‪ ,A ⊆ {F (γ) |γ ∈ δ‬ולכן נקבל כי ‪ F δ‬היא‬
‫שיכון של ‪ δ‬על ‪ .A‬לכן הסדר הטוב של הסודר ‪ δ‬משרה סדר טוב על ‪ ,A‬כלומר‬
‫‪ A‬סדורה היטב‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬משפט הסידור הטוב גורר את אקסיומת הבחירה‪.‬‬
‫תהי ‪ A‬קבוצה‪ .‬ממשפט הסידור הטוב נובע שקיים יחס < שמסדר היטב את‬
‫הוכחה‪S :‬‬
‫‪. A‬‬
‫לכל ‪ ∅ 6= X ∈ A‬נגדיר פונקציה ‪ ,C (X) = minimum of X‬ואם ∅ = ‪ X‬אז‬
‫∈ ‪ a‬כלשהו‪ .‬קל לראות כי ‪ C‬פונקציית בחירה‪ ,‬כנדרש‪ .‬‬
‫‪ C (X) = a‬עבור ‪/ A‬‬
‫מסקנה‪ :‬משפט הסידור הטוב שקול לאקסיומת הבחירה‪.‬‬
‫‪84‬‬
‫‪25‬‬
‫משפט השוואת העוצמות‪/‬הקבוצות )אה"ב(‬
‫כל זוג קבוצות ניתנות להשוואה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ממשפט הסידור הטוב‪ ,‬ששקול לאקסיומת הבחירה‪ ,‬נובע כי ניתן לסדר את‬
‫‪ A, B‬היטב‪ .‬נניח כי ‪ α, β‬הם טיפוסי הסודרים המתאימים‪ ,‬ידוע כי מחלקת כל‬
‫הסודרים סדורה היטב‪ ,‬ולכן ‪ α, β‬ניתנים להשוואה‪ ,‬והיחס עליהם יקבע בהתאמה‬
‫את היחס על ‪ .A, B‬‬
‫משפט‪ :‬משפט השוואת העוצמות‪/‬הקבוצות גורר את אקסיומת הבחירה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח שהוא גורר את משפט הסידור הטוב‪.‬‬
‫תהי ‪ A‬קבוצה כלשהי ויהי ‪ α‬סודר המקיים ‪ .α ⊀ A‬קיים כזה ממשפט הרטוגס‪.‬‬
‫ממשפט השוואת העוצמות‪/‬קבוצות נובע אם־כן שמתקיים ‪ ,A ≺ α‬כלומר קיים‬
‫שיכון ‪ .F : A → α‬אם כך ‪ F −1‬משרה סדר טוב על ‪ ,A‬כנדרש‪ .‬‬
‫מסקנה‪ :‬משפט השוואת העוצמות‪/‬קבוצות שקול לאקסיומת הבחירה‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫הלמה של צורן )אה"ב(‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה חלקית‪ .‬אומרים כי קבוצה חלקית ‪ B ⊆ A‬היא שרשרת‪,‬‬
‫אם ‪ B‬סדורה מלא ביחס הסדר המצומצם אליה‪.‬‬
‫טענה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה חלקית‪ ,‬ישנה שרשרת מקסימלית ‪ B ⊆ A‬סדורה היטב‪.‬‬
‫כלומר תת־קבוצה סדורה קווית היטב‪ ,‬שאינה חסומה מלעיל ממש בתוך ‪.A‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ∅ = ‪ A‬נבחר ∅ = ‪ .B‬אם ‪ A‬אינה ריקה‪ ,‬תהי ‪ C‬פונקציית בחירה על‬
‫)‪ ,P (A‬וכן עבור כל תת־קבוצה ‪ D ⊆ A‬נגדיר את )‪ H (D‬להיות קבוצת החסמים‬
‫מלעיל ממש של ‪.D‬‬
‫∈ ‪ end‬ונגדיר ברקורסיה‬
‫ממשפט הרטוגס קיים סודר ‪ γ‬המקיים ‪ .γ ⊀ A‬יהי ‪/ A‬‬
‫פונקציה מהצורה }‪ F : γ → A ∪ {end‬להיות‪:‬‬
‫(‬
‫∅ =‪C (H (F [β])) for F [β] ⊆ A H (F [β]) 6‬‬
‫= )‪F (β‬‬
‫‪end‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫נגדיר את ‪ δ‬להיות הסודר המינימלי המקיים ‪ δ ≤ γ‬וגם ‪ F [δ] = end‬אם אכן‬
‫קיים סודר שמקיים שני תנאים אלה‪ ,‬ואחרת נגדיר ‪ .δ = γ‬נוכיח שהפונקציה‬
‫‪ F δ‬היא שיכון של ‪ δ‬בתוך ‪.A‬‬
‫ממינימליות ‪ δ‬נובע שקיים סודר ‪ λ < δ‬המקיים ‪ F [λ] ∈ A‬ולכן ‪.F [λ] ⊆ A‬‬
‫מתקיים כי )‪ F (λ‬חסם מלעיל ממש של הקבוצה }‪ ,{F (α) |α < λ‬ולכן לכל‬
‫‪85‬‬
‫‪ β < λ‬מתקיים )‪ .F (β) < F (λ‬קל לראות כי ‪ F δ‬פונקציה שומרת סדר‪,‬‬
‫ולכן ]‪ F [δ‬היא שרשרת סדורה היטב וכן היא חח"ע‪.‬‬
‫כעת נשים לב שמבחירת ‪ γ‬שיקיים ‪ γ ⊀ A‬נובע שלא ייתכן ‪ δ = γ‬ולכן ‪.δ < γ‬‬
‫אבל הראינו כי ‪ F (δ) = end‬ולכן ]‪ F [δ‬היא שרשרת לא חסומה מלעיל ממש‬
‫ב‪ .A-‬‬
‫טענה )הלמה של צורן(‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה סדורה חלקית שבה לכל שרשרת יש חסם מלעיל‪,‬‬
‫אזי יש ב‪ A-‬איבר מקסימלי‪.‬‬
‫הערה היסטורית‪" :‬הלמה של צורן" אינה "למה"‪ ,‬שכן כפי שנראה היא שקולה לאקסיומת‬
‫הבחירה‪ ,‬והיא גם לא של המתמטיקאי מקס צורן‪ ,‬שכן מי שהבין לראשונה‬
‫את השקילות בינה לבין אקסיומת הבחירה היה המתמטיקאי פליקס האוסדורף‪,‬‬
‫בתחילת המאה ה־‪ .20‬עקרון זה מכונה "הלמה של צורן" מכיוון ששימש בשנות‬
‫ה‪ 30-‬של המאה ה־‪ 20‬את מקס צורן בהוכחת טענות שונות באלגברה‪ ,‬למשל‬
‫שלכל מרחב ווקטורי יש בסיס‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מהטענה הקודמת נובע שקיימת ‪ B ⊆ A‬שהיא שרשרת סדורה היטב שאינה‬
‫חסומה מלעיל ממש ב‪.A-‬‬
‫מצד שני‪ ,‬מההנחה בלמה של צורן נובע שלכל שרשרת סדורה היטב יש חסם‬
‫מלעיל‪ ,‬ולכן קיים ‪ x ∈ A‬חסם מלעיל של ‪ .B‬לכן בהכרח ‪ x‬הוא חסם מלעיל לא‬
‫ממש‪ .‬כלומר הוא מקסימום של השרשרת הסדורה היטב ‪.B‬‬
‫כעת נשים לב ש‪ x-‬הוא בהכרח מקסימלי ב‪ ,A-‬שכן לא היה ‪ x < y‬אז ‪ y‬היה‬
‫בפרט גם חסם מלעיל ממש של ‪ .B‬‬
‫משפט‪ :‬הלמה של צורן גוררת את אקסיומת הבחירה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח שהלמה של צורן גוררת את משפט השוואת העוצמות‪/‬קבוצות ששקול‬
‫לאקסיומת הבחירה‪.‬‬
‫‪ .1‬יהיו ‪ A, B‬קבוצות‪ ,‬נרצה למצוא פונקציה חח"ע ‪ .F : A → B‬נגדיר את‬
‫‪ D‬להיות קבוצת כל הפונקציות החח"ע שתחומן חלקי ל‪ A-‬וטווחן בתוך ‪,B‬‬
‫ונגדיר סדר חלקי על קבוצה זו באמצעות יחס ההכלה‪.‬‬
‫‪ .2‬נוכיח שמתקיים התנאי הנדרש בלמה של צורן‪ ,‬שבקבוצה ‪ D‬לכל שרשרת‬
‫יש חסם מלעיל‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ S ⊆ S‬שרשרת‪ ,‬נראה כי ‪ S‬הוא חסם מלעיל של ‪ .S‬קל לראות‬
‫תהי ‪D‬‬
‫כי ‪ S‬מקיפה‪S‬כל פונקציה ב‪ ,S-‬לכן נותר להראות שהיא עצמה פונקציה‬
‫משמע קיימות פונקציות ‪G1 , G2 ∈ S‬‬
‫חח"ע‪ .‬יהיו ‪.hx, yi , hx, zi ∈ SS‬‬
‫‪S‬‬
‫המקיימות ‪ hx, yi ∈ G1 ∈ S‬וכן ‪ ,hx, zi ∈ G2 ∈ S‬ולכן אם נניח‬
‫ללא הגבלת הכלליות ‪) G1 ⊆ G2‬שכן שתיהן שייכות לשרשרת סדורה קווית‬
‫על־ידי הכלה( נסיק כי ‪ hx, yi , hx, zi ∈ G2‬ולכן מחח"ע ‪ G2‬ינבע כי ‪.y = z‬‬
‫‪86‬‬
‫‪ .3‬אם כך‪ ,‬מהלמה של צורן נובע שיש ב‪ D-‬איבר מקסימלי‪ .‬כלומר קיימת‬
‫פונקציה חח"ׂע ‪ F‬המקיימת ‪ Dom (f ) ⊆ A‬וכן ‪ .Range (F ) ⊆ B‬מהמקסימליות‬
‫של ‪ F‬נובע שבהכרח מתקיים ‪ Dom (f ) = A‬או ‪ ,Range (F ) = B‬כלומר‬
‫‪ F‬היא הפונקציה המבוקשת‪ .‬‬
‫מסקנה‪ :‬הלמה של צורן שקולה לאקסיומת הבחירה‪.‬‬
‫‪26.1‬‬
‫קיום בסיס למרחב ווקטורי )שימוש בלמה של צורן(‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪ .1‬יהי ‪ V‬מרחב ווקטורי‪ .‬נגדיר את ‪ v‬כצירוף לינארי של קבוצה ‪ ,W ⊆ V‬אם‬
‫הוא ניתן לביטוי כסכום סופי של ווקטורים מ‪.W -‬‬
‫‪ .2‬קבוצה ‪ W ⊆ V‬נקראת בלתי־תלויה אם כל ‪ v ∈ W‬אינו צרוף לינארי של‬
‫}‪.W \ {v‬‬
‫קל לראות שתת־קבוצה ‪ W ⊆ V‬היא בלתי־תלויה אמ"מ כל תת־קבוצה‬
‫סופית שלה היא בלתי־תלויה‪.‬‬
‫‪ .3‬תת־קבוצה ‪ W ⊆ V‬נקראת בסיס של ‪ ,V‬היא היא בלתי תלויה‪ ,‬וכל ‪v ∈ V‬‬
‫הוא צרוף לינארי של ‪.W‬‬
‫משפט )אה"ב(‪ :‬לכל מרחב ווקטורי יש בסיס‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ Q‬קבוצת כל תת הקבוצות הבלתי־תלויות במרחב ‪ ,V‬ונגדיר עליה יחס‬
‫סדר חלקי על־ידי יחס ההכלה‪.‬‬
‫‪ .2‬נוכיח שמתקיים בה התנאי הנדרש בלמה של צורן‪ ,‬שלכל שרשרת יש חסם‬
‫מלעיל‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫תהי ‪ S‬שרשרת ב‪ .Q-‬נוכיח כי ‪ S‬חסם מלעיל של ‪ .S‬ראשית קל לראות כי‬
‫בלתי־תלויה ב‪ ,Q-‬לכן נותר להראות שהיא עצמה‬
‫‪ S‬מקיפה כל תת־קבוצה ‪S‬‬
‫קבוצה בלתי־תלויה‪ .‬תהי ‪ ,{s1 , s2 , ..., sn } ⊆ S‬נוכיח כי קבוצה זו בלתי־‬
‫תלויה‪ .‬נשים לב שלכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬קיימת קבוצה ‪ Ti‬המקיימת ‪.si ∈ Ti ∈ S‬‬
‫אם כך הקבוצה ‪ {T1 , T2 , ..., Tn } ⊆ S‬ולכן סדורה ויש לה איבר מקסימלי‬
‫‪ Tj‬שמכיל את כל ‪ ,si‬כך שמתקיים ‪ ,{s1 , s2 , ..., sn } ⊆ Tj ∈ S‬ומכיוון‬
‫ש‪ S-‬בלתי־תלויה נובע כי } ‪ {s1 , s2 , ..., sn‬בלתי־תלויה‪.‬‬
‫‪ .3‬אם כך‪ ,‬מהלמה של צורן נובע שיש ב‪ Q-‬איבר מקסימלי שנסמן ‪ .P‬מתקיים‬
‫כי ‪ P ∈ Q‬ולכן ‪ P‬קבוצה בלתי־תלויה‪ .‬נוכיח כי ‪ P‬היא בסיס של ‪.V‬‬
‫יהי ‪ .v ∈ V‬נניח בשלילה כי ‪ v‬אינו צירוף לינארי של איברים ב‪ ,P -‬אזי‬
‫הקבוצה }‪ P ∪ {v‬בלתי־תלויה‪ ,‬אבל היא מקיפה את ‪ P‬ולכן זו סתירה‬
‫למקסימליות ‪ .P‬‬
‫‪87‬‬
‫חלק‬
‫‪X‬‬
‫הסודרים כעוצמות‬
‫‪27‬‬
‫מונים‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ A‬קבוצה‪ |A| .‬הוא הסודר המינימלי ששווה־עוצמה ל‪.A-‬‬
‫קל לראות שלכל ‪ ,A‬הסודר |‪ |A‬אינו שווה־עוצמה לאף סודר קטן ממנו‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬סודר מונה או בקיצור מונה‪ ,‬הוא סודר שאינו שווה־עוצמה לאף סודר קטן ממנו‪.‬‬
‫קל לראות שהמונים הם העוצמות |‪ |A‬שהגדרנו‪.‬‬
‫משפט‪ :‬כל סודר סופי הוא מונה‪ ,‬וכן ‪ ω‬מונה‪.‬‬
‫משפט‪ :‬כל מונה אינסופי הוא סודר גבולי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ α‬מונה אינסופי‪ ,‬ונניח בשלילה כי ‪ .α = β + 1‬הסודר ‪ β‬בהכרח אינסופי‬
‫שכן ‪ α‬אינסופי‪ .‬לכן ‪ ω ∈ β‬ומכאן ‪.ω ⊆ β‬‬
‫מכיוון ש‪ β-‬מקיף קבוצה בת־מניה נובע כי ‪ ,α = β + 1 = β ∪ {β} ≈ β‬כלומר‬
‫‪ α‬שווה־עוצמה לסודר קטן ממנו‪ ,‬בסתירה להיות ‪ α‬מונה‪ .‬‬
‫משפט‪ :‬לכל מונה ‪ α‬קיים מונה ‪.α < β‬‬
‫הוכחה‪ :‬ממשפט הרטוגס נובע שקיים סודר ‪ γ‬שאינו משתכן ב‪ .α-‬נבחר |‪ .β = |γ‬לא‬
‫ייתכן ‪ β ≤ α‬שכן קיימת העתקה חח"ע של ‪ γ‬על ‪ ,β‬ולכן היינו יכולים לשכן את‬
‫‪ γ‬בתוך ‪ ,α‬בסתירה לבחירת ‪ .γ‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ A‬קבוצה של מונים אז החסם העליון ‪ A‬מונה‪ .‬נהוג לסמן ‪. A = sup A‬‬
‫‪S‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ .α = A‬אם ‪ α ∈ A‬סיימנו‪ .‬אם לא‪ ,‬נסמן |‪ β = |α‬ונוכיח כי ‪.α = β‬‬
‫אם לכל ‪ γ ∈ A‬מתקיים ‪ ,γ ≤ β‬אז גם ‪ α ≤ β‬ולכן בהכרח ‪ ,α = β‬כלומר ‪α‬‬
‫מונה‪.‬‬
‫אם לעומת זאת קיים ‪ γ ∈ A‬המקיים ‪ ,β < γ‬נקבל כי ‪ ,β < γ ≤ α‬ומכיוון‬
‫ש‪ α ≈ β-‬נסיק כי ‪ ,γ ≈ β‬בסתירה להיות ‪ γ‬מונה‪ .‬‬
‫‪27.1‬‬
‫מושג העוצמה )גישה מחודשת(‬
‫אם מניחים את אקסיומת הבחירה ששקולה למשפט הסידור הטוב‪ ,‬אז כל קבוצה ניתנת‬
‫לסידור טוב‪ .‬מכיוון שקיים איזומורפיזם בין כל קבוצה סדורה היטב לסודר שלה‪ ,‬משמע‬
‫כל קבוצה שוות־עוצמה לסודר שלה‪ ,‬ומכאן שהיא שוות־עוצמה למונה המתאים‪.‬‬
‫‪88‬‬
‫לכן אנחנו יכולים להגדיר את העוצמה של קבוצה ‪ ,A‬שנסמן |‪ ,|A‬כעוצמת המונה היחיד‬
‫ששווה־עוצמה ל‪.A-‬‬
‫‪28‬‬
‫הפונקציה ‪ℵ‬‬
‫הגדרה‪ :‬נגדיר ברקורסיה פונקציה ‪ ℵ‬ממחלקת הסודרים למחלקת המונים באופן הבא‪:‬‬
‫‪ .ℵ0 = ω‬לכל סודר ‪ ,α‬אם ‪ α‬עוקב נסמן ‪ α = β + 1‬ונגדיר‪S‬את ‪ ℵα‬להיות‬
‫= ‪10 .ℵ‬‬
‫המונה המינימלי שגדול מ‪ ,ℵβ -‬ואם ‪ α‬גבולי נגדיר }‪{ℵβ |β < α‬‬
‫‪α‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ F : On → On‬פונקציה המקיימת )‪ F (α) < F (α + 1‬לכל סודר‬
‫‪ ,α‬ולכל סודר גבולי ‪ β‬מקיימת )‪ F (α) ≤ F (β‬עבור כל ‪ ,α < β‬אזי ‪F‬‬
‫פונקציה עולה )שומרת סדר(‪.‬‬
‫‪ .2‬תהי ‪ F : On → On‬פונקציה עולה‪ ,‬אזי לכל סודר ‪ α‬מתקיים )‪α ≤ F (α‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נוכיח באינדוקציה על ‪ γ‬שלכל ‪ α < γ‬מתקיים )‪.F (α) < F (γ‬‬
‫במקרה ש‪ γ-‬עוקב נסמן ‪ .γ = β + 1‬לכן לכל ‪ α < γ‬מתקיים ‪α ≤ β‬‬
‫ומהנחת האינדוקציה ומהנתון על ‪ F‬מתקיים = )‪F (α) ≤ F (β) < F (β + 1‬‬
‫)‪.F (γ‬‬
‫במקרה ש‪ γ-‬גבולי אז לכל ‪ α < γ‬מתקיים ‪ α + 1 < γ‬ולכן נסיק < )‪F (α‬‬
‫)‪.F (α + 1) ≤ F (γ‬‬
‫‪ .2‬נוכיח באינדוקציה על ‪ .α‬עבור ‪ α = 0‬ודאי מתקיים )‪.0 ≤ F (0‬‬
‫במקרה ש‪ α-‬עוקב נסמן ‪ .α = β + 1‬מהנחת האינדוקציה נובע ≤ ‪β‬‬
‫)‪ F (β) < F (β + 1) = F (α‬ומכיוון ש‪ α-‬עוקב נובע ≤ ‪α = β + 1‬‬
‫)‪.F (α‬‬
‫במקרה ש‪ α-‬גבולי‪ ,‬מהנחת האינדוקציה לכל ‪ β < α‬מתקיים < )‪β ≤ F (β‬‬
‫)‪ F (α‬ולכן )‪ .α ≤ F (α‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫‪ .1‬הפונקציה ‪ ℵ‬עולה‪ ,‬שכן מתקיים ‪ ℵα < ℵα+1‬לפי ההגדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬לכל סודר ‪ α‬מתקיים ‪.α ≤ ℵα‬‬
‫‪10‬ביטוי זה אכן מגדיר מונה‪ ,‬כפי שהוכחנו בטענה קודמת‪.‬‬
‫‪89‬‬
‫משפט‪ :‬הטווח של הפונקציה ‪ ℵ‬הוא מחלקת כל המונים האינסופיים‪ .‬כלומר כל מונה‬
‫אינסופי הוא ‪ ℵα‬לסודר אינסופי ‪ α‬כלשהו‪.‬‬
‫ברור שכל ‪ ℵα‬לסודר אינסופי ‪ α‬כלשהו הוא מונה אינסופי‪ ,‬ולכן נסיק ממשפט‬
‫זה שיש זהות בין מחלקת המונים האינסופיים לבין מחלקת האלפים‪.‬‬
‫אם מניחים את אקסיומת הבחירה‪ ,‬אז כל העוצמות הן מונים ולכן כל העוצמות‬
‫הן בעצם האלפים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ α‬מונה אינסופי‪ .‬מטענה קודמת מתקיים ‪ α ≤ ℵα‬ולכן הקבוצה } ‪{β|α ≤ ℵβ‬‬
‫אינה ריקה‪ .‬יהי ‪ β‬הסודר המינימלי המקיים ‪ .α ≤ ℵβ‬נוכיח כי ‪ α = ℵβ‬וזה‬
‫יספיק כי )‪ .α = ℵβ ∈ Range (ℵ‬נדון בשלושה מקרים‪:‬‬
‫ אם ‪ β = 0‬אז ‪ α ≤ ℵ0 = ω‬ומאינסופיותו נובע כי ‪.α = ω = ℵ0‬‬‫ אם ‪ β‬עוקב נסמן ‪ ,β = γ + 1‬ומהגדרתו כמינימלי מתקיים ‪ ,ℵγ < α‬ולכן נסיק‬‫מההגדרה כי הסודר ‪ ℵγ+1 = ℵβ‬הוא המונה המינימלי שגדול מ‪ ℵγ -‬ומכאן כי‬
‫‪ .ℵβ = ℵγ+1 ≤ α‬אבל מתקיים גם אי השוויון ההפוך ולכן ‪.α = ℵβ‬‬
‫ אם ‪ β‬גבולי‪ ,‬לכל ‪ γ < β‬מתקיים ‪ ,ℵγ < α‬שכן אם היה ‪ γ < β‬המקיים‬‫‪ α ≤ ℵγ‬זו הייתה‪ S‬סתירה למינימליות ‪ β‬ביחס לתכונה הנ"ל‪ .‬לכן מתקיים‬
‫‪ ,ℵβ = {ℵγ |γ < β} ≤ α‬ושוב מאי השוויון ההפוך נקבל כי ‪ .ℵβ = α‬‬
‫חיבור אלפים‬
‫‪28.1‬‬
‫משפט‪ :‬לכל סודר ‪ α‬מתקיים ‪ ,ℵα + ℵα = ℵα‬או במילים אחרות ‪.ℵα · 2 = ℵα‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ℵα = ℵα · 1 ≤ ℵα · 2 ≤ ℵα · ℵα = ℵα‬‬
‫כאשר השוויון האחרון נובע מהמשפט הבא‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬לכל זוג סודרים ‪ α, β‬מתקיים }‪ ,ℵα + ℵβ = ℵmax{α,β‬ולכל ‪ n‬טבעי מתקיים‬
‫‪.ℵα + n = ℵα‬‬
‫למה‪ :‬תהי ‪ hA, <i‬קבוצה סדורה היטב‪ .‬נגדיר יחס סדר ∗< על הקבוצה ‪ A × A‬באופן‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪ hx, yi <∗ hu, vi‬אם מתקיים }‪ 11 max {x, y} < max {u, v‬או כאשר = }‪max {x, y‬‬
‫}‪ max {u, v‬אם מתקיים ‪ hx, yi < hu, vi‬בסדר המילוני השמאלי‪.‬‬
‫מתקיים כי ∗< שהגדרנו הוא סדר טוב על ‪.A × A‬‬
‫הוכחה נוספת‪ :‬נראה שכל סודר גבולי הוא איחוד של שתי קבוצות סודרים זרות‪,‬‬
‫שאיזומורפיות לסודר‪ .‬מכיוון שכל מונה הוא סודר גבולי נסיק כי ‪.ℵα = ℵα + ℵα‬‬
‫‪11‬כאשר בוחרים את הגדול מבין השנים באמצעות הסדר <‪.‬‬
‫‪90‬‬
‫הגדרה‪ :‬לכל סודר ‪ α‬ו‪ n-‬טבעי‪ ,‬נגדיר את ‪ α + n‬ברקורסיה על ‪ n‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪ ,α+0 = α‬וכן }‪ .α+(n ∪ {n}) = (α + n)∪{α + n‬אמנם ניתן להגדיר‬
‫באופן כללי חיבור בין סודרים‪ ,‬ולא רק חיבור של סודרים סופיים‪ ,‬אולם לא‬
‫נצטרך יותר מזה כאן‪.‬‬
‫למה‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ α‬ולכל ‪ m < n‬טבעיים מתקיים ‪.α + m < α + n‬‬
‫]הוכחה באינדוקציה על ‪[.n‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ α < β‬סודרים כאשר ‪ β‬סודר גבולי‪ ,‬לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‬
‫‪.α + n < β‬‬
‫]הוכחה באינדוקציה על ‪ ,n‬ונזכור שסודר ‪ α‬הוא גבולי אמ"מ לכל‬
‫‪ γ < α‬קיים סודר ‪ δ‬המקיים ‪[.γ < δ < α‬‬
‫הגדרה‪ :‬נגדיר ברקורסיה פונקציה ‪ lim‬שתחומה הוא מחלקת הסודרים‪ :‬לכל‬
‫סודר ‪ α‬שהוא ‪ 0‬או גבולי‪ ,‬נגדיר ‪ ,lim (α) = α‬ואם ‪ α‬סודר עוקב נסמן‬
‫‪ α = β + 1‬ונגדיר )‪.lim (α) = lim (β‬‬
‫נגדיר ברקורסיה פונקציה ‪ Fin‬שתחומה הוא מחלקת הסודרים‪ :‬לכל סודר ‪α‬‬
‫שהוא ‪ 0‬או גבולי‪ ,‬נגדיר ‪ ,Fin (α) = 0‬ואם ‪ α‬סודר עוקב נסמן ‪α = β + 1‬‬
‫ונגדיר ‪.Fin (α) = Fin (β) + 1‬‬
‫הרעיון של ההגדרות הללו הוא ש‪ lim (α)-‬הוא המספר הגבולי הגדול ביותר שקטן‬
‫או שווה ל‪ ,α-‬וכן )‪ Fin (α‬הוא השארית‪ ,‬כלומר המרחק של ‪ α‬מסודר גבולי זה‪.‬‬
‫למה‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל סודר ‪ α‬מתקיים )‪.α = lim (α) + Fin (α‬‬
‫]הוכחה באינדוקציה על ‪[.α‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ α, β‬סודרים מתקיים ‪ lim (α) < lim (β)] ⇐⇒ α < β‬או אם‬
‫)‪ lim (α) = lim (β‬וגם )‪[Fin (α) < Fin (β‬‬
‫]נובע מהלמה הקודמת‪[.‬‬
‫משפט‪ :‬כל סודר גבולי ‪ λ‬הוא איחוד של שתי קבוצות סודרים זרות‪ ,‬שכל אחת‬
‫מהן היא מטיפוס הסודר ‪.λ‬‬
‫הוכחה‪ :‬עבור }‪ i ∈ {0, 1‬נגדיר פונקציה ‪.Fi (α) = lim (α) + 2 · Fin (α) + i‬‬
‫כל אחת משתי הפונקציות הללו שומרת סדר לפי הלמה הקודמת‪ ,‬ולכן היא‬
‫איזומורפיזם של ‪ λ‬על ) ‪ ,Range (Fi‬ומכאן שטיפוס הסדר של ) ‪Range (Fi‬‬
‫הוא ‪.λ‬‬
‫נשים לב שטווחי שתי הפונקציות חלקיים ל‪ λ-‬לפי חלק ‪ 2‬של הלמה הראשונה‪,‬‬
‫ומחלק ‪ 2‬של הלמה השנייה נובע כי אלו קבוצות זרות‪ .‬מחלק ‪ 1‬של הלמה‬
‫השנייה נובע שאיחוד של שתיהן הוא כל ‪ .λ‬‬
‫הערה‪ :‬למעשה כל סודר ‪ λ‬הוא איחוד של שתי קבוצות סודרים זרות שכל אחת‬
‫מהן היא מטיפוס הסודר ‪ λ‬אמ"מ ‪ λ‬הוא ‪ 0‬או גבולי‪.‬‬
‫‪91‬‬
‫המשפט האחרון הראה את הכיוון ⇒‪ .‬נראה שאם ‪ λ‬הוא איחוד של שתי‬
‫קבוצות סודרים שכל אחת מהם מטיפוס הסודר ‪ λ‬אז הן בהכרח לא זרות‪.‬‬
‫נניח כי ‪ F0 , F1 : λ → λ‬שתי פונקציות שומרות סדר בעלות טווחים זרים‪.‬‬
‫הראינו שמתקיים עבור פונקציות כאלה )‪ .α ≤ Fi (α‬אם ‪ λ‬הוא עוקב‬
‫נסמן ‪ ,λ = µ + 1‬ואז מתקיים ‪ ,µ ≤ Fi (µ) < λ‬ולכן בהכרח )‪,µ = Fi (µ‬‬
‫כלומר ‪ µ‬איבר משותף בטווחי שתי הפונקציות‪ ,‬בסתירה לכך שהם זרים‪ .‬‬
‫‪28.2‬‬
‫כפל אלפים‬
‫משפט‪ℵα · ℵα = ℵα :‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪ .α‬נרצה לסדר את כל איברי ‪ ℵα × ℵα‬בטיפוס סדר ‪ ,ℵα‬ומכך‬
‫ינבע המשפט‪.‬‬
‫נגדיר סדר טוב על ‪ ℵα × ℵα‬באמצעות יחס הסדר ∗< שהגדרנו‪.‬‬
‫תהי ‪ F : ℵα × ℵα → γ‬איזומורפיזם ל‪ γ-‬סודר כלשהו‪ ,‬ויהי ‪ .δ < γ‬מתקיים‬
‫כי )‪ δ = F (ξ, η‬עבור ‪ . (ξ, η) ∈ ℵα × ℵα‬נגדיר ‪ ζ = max {ξ, η} + 1‬ונגדיר‬
‫את ‪ W‬להיות קבוצת איברי ‪ ℵα × ℵα‬הקטנים מהזוג )‪ (ξ, η‬בסדר ∗<‪ .‬נשים לב‬
‫שמתקיים ‪.W ⊆ ζ × ζ‬‬
‫אם ‪ ζ‬סופי אז גם ‪ W‬סופית‪.‬‬
‫אם ‪ ζ‬אינסופי‪ ,‬אז מתקיים כי ‪ ζ = β + 1‬או ‪ ζ = η + 1‬ולכן ‪ .ζ < ℵα‬לכן‬
‫עבור ‪ λ < α‬כלשהו מתקיים ‪ |ζ| = ℵλ‬ולכן נסיק כי ‪.|W | ≤ |ζ| · |ζ| = ℵλ · ℵλ‬‬
‫מהנחת האינדוקציה נסיק כי ‪ ,ℵλ · ℵλ = ℵλ‬ולכן ‪.|W | ≤ ℵλ < ℵα‬‬
‫מכאן שבכל מקרה מתקיים ‪ |W | < ℵα‬ולכן ‪ |δ| < ℵα‬כלומר ‪.δ < ℵα‬‬
‫מכאן שמתקיים ‪ Range (F ) = γ ≤ ℵα‬ומכאן כי ‪ ,ℵα · ℵα ≤ ℵα‬ולכן בהכרח‬
‫מתקיים שוויון‪ .‬‬
‫מסקנה‪ :‬לכל זוג סודרים ‪ α, β‬מתקיים }‪.ℵα · ℵβ = ℵmax{α,β‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ β ≤ α‬ולכל ‪ 2 ≤ n‬מתקיים‪:‬‬
‫ ‪ ℵα‬‬
‫ ‪ℵ β‬‬
‫‪n‬‬
‫‪= 2ℵβ‬‬
‫‪= 2 ℵα‬‬
‫‪= 2ℵα = (2n )ℵα = 2ℵα‬‬
‫‪ℵα‬‬
‫‪ℵα‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ α‬ולכל ‪ 2 ≤ a ≤ 2ℵα‬מתקיים ) ‪.a(2 ) = 2(2‬‬
‫‪92‬‬
‫‪ ℵα‬‬
‫‪2 ℵα‬‬
‫‬
‫‪28.3‬‬
‫חזקת אלפים )או‪ :‬השערת הרצף(‬
‫בניגוד לחיבור וכפל של אלפים שנתנו תוצאות ברורות‪ ,‬פעולת החזקה שונה לגמרי‪.‬‬
‫השאלה התעוררה ביחס ל‪ 2ℵ0 -‬שהיא עוצמת המספרים הממשיים‪ .‬ממשפט קנטור נובע‬
‫שמתקיים ‪ ,ℵ0 < 2ℵ0‬אולם לא ברור האם ‪ ,2ℵ0 = ℵ1‬כלומר שהעוצמה ‪ 2ℵ0‬היא העוקב‬
‫של ‪ ℵ0‬ואין עוצמה ביניהן‪.‬‬
‫השערת הרצף אומרת שמתקיים ‪ ,2ℵ0 = ℵ1‬כלומר עוצמת ‪ 2ℵo‬היא עוצמת המונה העוקב‬
‫של ‪ ℵ0‬ולא גדולה ממנו‪ .‬השערת הרצף המוכללת אומרת שלכל ‪ α‬מתקיים ‪.2ℵα = ℵα+1‬‬
‫מייסד תורת הקבוצות גאורג קנטור השקיע מאמצים בניסיון להוכיח את השערת הרצף‪,‬‬
‫אך נכשל‪ .‬בשנות ה־‪ 40‬של המאה ה־‪ 20‬הוכיח קורט גדל שמאקסיומות תורת הקבוצות‬
‫אי־אפשר לסתור את השערת הרצף המוכללת‪ ,‬ובשנות ה־‪ 60‬הוכיח פול כהן שמאקסיומות‬
‫תורת הקבוצות אי־אפשר להוכיח את השערת הרצף המוכללת‪ .‬כלומר השערת הרצף‬
‫המוכללת אינה תלויה באקסיומות תורת הקבוצות‪.‬‬
‫‪28.4‬‬
‫חיבור וכפל אינסופיים )או‪ :‬אי־שוויון צרמלו־קניג; אה"ב(‬
‫תהי ‪ I‬קבוצת אינדקסים‪ ,‬ויהיו ‪ {bi }i∈I ,{ai }i∈I‬סודרים‪ .‬אם מתקיים ‪ ai < bi‬לכל‬
‫‪ ,i ∈ I‬אז‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫< ‪ai‬‬
‫‪bi‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫הערה‪ :‬זו הכללה של משפט קנטור‪ ,‬שכן בהינתן קבוצה ‪ ,A‬נבחר ‪ bj = 2 ,aj = 1‬לכל‬
‫‪ j ∈ A‬ונקבל‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪Y‬‬
‫= |‪|A‬‬
‫=‪1‬‬
‫< ‪aj‬‬
‫= ‪bj‬‬
‫|‪2 = 2|I‬‬
‫‪j∈A‬‬
‫‪j∈A‬‬
‫‪j∈A‬‬
‫‪j∈A‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח שלכל ‪ i ∈ I‬הקבוצות ‪ Bi ,Ai‬זרות ומקיימות ‪.|Bi | = bi ,|Ai | = ai‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫כדי להראות ‪ i∈I ai < Si∈I bi‬יש להראות שלא קיימת העתקה על מהצורה‬
‫‪ . i∈I Ai → ×i∈I Bi‬תהי ‪ F‬העתקה כנ"ל ונראה שהיא לא יכולה להיות על‪.‬‬
‫לשם כך נבנה בשיטת האלכסון איבר ‪ w ∈ ×i∈I bi‬שאינו בתמונה של ‪ .F‬כלומר‬
‫∈ ‪.w‬‬
‫] ‪/ F [Ai‬‬
‫לכל ‪ i ∈ I‬נגדיר את הפונקציה ‪ gi‬שמצומצמת לתחום ‪ Ai‬ושמעתיקה כל איבר‬
‫לרכיב ה‪ i-‬של התמונה של ‪ F‬שלו‪ .‬כלומר כל ‪ x ∈ Ai‬מועתק על־ידי ‪ F‬לווקטור‬
‫אינסופי שנסמן )‪ ,(F (x)1 , F (x)2 , ...‬אז עבור ‪ gi‬נגדיר ‪.gi (x) = F (x)i ∈ Bi‬‬
‫אם־כך התמונה של ‪ gi‬הוא קבוצת הרכיבים ה‪i-‬־ים של ] ‪.F [Ai‬‬
‫‪93‬‬
‫מהנתון שמתקיים | ‪ |Ai | < |Bi‬נובע שבהכרח הפונקציה ‪ gi‬אינה על‪ ,‬ולכן‬
‫∅ =‪ .Bi \Range (gi ) 6‬באמצעות פונקציית בחירה נקבע את ‪ w‬להיות הווקטור‬
‫האינסופי )‪ (w1 , w2 , ...‬כך שלכל ‪ i ∈ I‬יתקיים ) ‪ .wi ∈ Bi \Range (gi‬קל לראות‬
‫∈ ‪ w‬ולכן ‪ F‬אינה על‪ .‬‬
‫שמתקיים כי ] ‪/ F [Ai‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫‪ .1‬מתקיים ‪ ,ℵω < ℵℵω0‬שכן לכל ‪ n ∈ ω‬מתקיים ‪ ,ℵn < ℵω‬ולכן נסיק לפי‬
‫א"ש צרמלו־קניג‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫= ‪ℵω‬‬
‫< ‪ℵn‬‬
‫‪ℵω = ℵℵω0‬‬
‫‪n∈ω‬‬
‫‪n∈ω‬‬
‫‪ℵ‬‬
‫‪ .2‬מתקיים ‪ ,2ℵ0 6= ℵω‬שכן מצד אחד ‪ 2ℵ0 0 = 2ℵ0 ·ℵ0 = 2ℵ0‬כפי שהראינו‬
‫לעיל‪ ,‬אולם מצד שני מהמסקנה האחרונה נובע ‪ ,ℵℵω0 > ℵω‬ולכן לא יכול‬
‫להיות ‪.ℵω = 2ℵ0‬‬
‫‪94‬‬