תורת הקבוצות — תרגיל בית 2 פתרונות

‫תורת הקבוצות — תרגיל בית ‪2‬‬
‫פתרונות‬
‫חיים שרגא רוזנר‬
‫י"ח באדר ב' תשע"ד‬
‫תקציר‬
‫קבוצות סדורות‪ ,‬סדר צפוף‪ ,‬טיפוסי סדר‪ ,‬חיבור טיפוסי סדר‪ ,‬טיפוסי סדר של קבוצות‬
‫סדורות מפורסמות‪.‬‬
‫הגדרה תהי )< ‪ (A,‬קבוצה סדורה‪ .‬נאמר ש־< הוא סדר צפוף על ‪ A‬אם‬
‫‪∀a, b ∈ A, a < b → ∃c ∈ A, a < c < b‬‬
‫נתאר את הקבוצה ‪ A‬כקבוצה סדורה בצפיפות על ידי <‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1‬הפריכו את הטענה הבאה‪ ,‬ותקנו אותה‪:‬‬
‫תהי )< ‪ (A,‬סדורה בצפיפות לא ריקה‪ .‬אזי ‪ A‬אינסופית‪.‬‬
‫פתרון נביט בקבוצה ‪ A‬בת איבר יחיד‪ .‬אז באופן ריק‪ A ,‬סדורה בצפיפות ולא ריקה‪ ,‬אבל‬
‫סופית‪ .‬התיקון הוא‪:‬‬
‫תהי )< ‪ (A,‬סדורה בצפיפות‪ .|A| ≥ 2 ,‬אזי ‪ A‬אינסופית‪.‬‬
‫נוכיח זאת‪ .‬נניח בשלילה ‪ .|A| = n ≥ 2‬כל קבוצה סופית היא סדורה היטב‪ ,‬ולפי‬
‫העוצמה של ‪ A‬ניתן לבחור את שני האיברים הראשונים שלה‪ a ,‬ו־‪ .b‬אזי אין איברים‬
‫‪ c ∈ A‬כך ש־‪ ,a < c < b‬ולכן ‪ A‬איננה סדורה בצפיפות‪ .‬‬
‫הגדרה תהיינה ‪ A, B‬קבוצות סדורות‪ .‬פונקציה ‪ f : A → B‬היא שומרת סדר אם‬
‫))‪∀x, y ∈ A (x < y → f (x) < f (y‬‬
‫פונקציה שומרת סדר היא איזומורפיזם סדר אם היא הפיכה‪.‬‬
‫שהקבוצות איזומורפיות זו לזו‪ ,‬או שהן מאותו טיפוס סדר‪.‬‬
‫במקרה זה נאמר‬
‫תרגיל ‪ 2‬הראו כי פונקציה שומרת סדר היא חח"ע‪.‬‬
‫פתרון נשתמש בסימוני ההגדרה‪ .‬נניח )‪ .f (x) = f (y‬לפי כללי שקילות לוגית‪ f ,‬מקיימית‬
‫גם את התכונה‬
‫)‪∀x, y ∈ A (f (x) ≮ f (y) → x ≮ y‬‬
‫במקרה שלפנינו‪ ,‬ידוע כי )‪ ,f (x) ≮ f (y‬ולכן גם ‪ .x ≮ y‬באופן דומה מקבלים‬
‫‪ .x ≯ y‬ביחד נקבל ‪ ,x = y‬כנדרש‪ .‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל ‪ 3‬הפריכו את ההכללה הבאה של משפט קנטור־ברנשטיין‪:‬‬
‫תהיינה ‪ A, B‬קבוצות סדורות‪ ,‬ותהיינה ‪ g: B → A ,f : A → B‬פונקציות‬
‫שומרות סדר‪ .‬אזי ‪ A‬ו־‪ B‬מאותו טיפוס סדר‪.‬‬
‫בהמשך הקורס נראה כי המשפט הזה נכון עבור קבוצות סדורות היטב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫→ ‪ x‬היא פונקציה‬
‫‪7‬‬
‫פתרון ניקח את הקטעים הפתוח והסגור ]‪ [−1, 1‬ו־)‪ .(−1, 1‬אזי ‪2‬‬
‫שומרת סדר בשני הכיוונים‪ ,‬אבל לא קיים איזומורפיזם סדר בין קבוצות אלו‪ ,‬כי‬
‫לאחת יש איבר ראשון ולאחרת אין‪ .‬‬
‫משפט קבוצה סדורה ‪ A‬היא מטיפוס הסדר של )< ‪) (N,‬להלן‪ :‬טיפוס הסדר ‪ (ω‬א‪.‬ם‪.‬ם‪.‬‬
‫• אין לה איבר אחרון;‬
‫• לכל איבר ‪ ,a ∈ A‬קבוצת קודמי ‪ a‬היא סופית; ו־‬
‫• ∅ =‪.A 6‬‬
‫משפט קבוצה סדורה ‪ A‬היא מטיפוס הסדר של )< ‪ (Z,‬א‪.‬ם‪.‬ם‪.‬‬
‫• אין לה איבר ראשון ולא איבר אחרון;‬
‫• לכל ‪ ,a, b ∈ A‬הקבוצה }‪ {x ∈ A: a < x < b ∨ b < x < a‬היא סופית; ו־‬
‫• ∅ =‪.A 6‬‬
‫משפט קבוצה סדורה ‪ A‬היא מטיפוס הסדר של )< ‪ (Q,‬א‪.‬ם‪.‬ם‪.‬‬
‫• אין לה איבר ראשון ולא איבר אחרון;‬
‫• ‪ A‬סדורה בצפיפות; ו־‬
‫• ‪.0 6= |A| ≤ ℵ0‬‬
‫משפט קבוצה סדורה ‪ A‬היא מטיפוס הסדר של )< ‪ (R,‬א‪.‬ם‪.‬ם‪.‬‬
‫• אין לה איבר ראשון ולא איבר אחרון;‬
‫• לכל תת־קבוצה חסומה של ‪ A‬יש חסם עליון ב־‪;A‬‬
‫• קיימת ‪ B ⊆ A‬בת מניה הצפופה ‪ 1‬ב־‪ ;A‬ו־‬
‫• ∅ =‪.A 6‬‬
‫הגדרה תהיינה ‪ A, B‬קבוצות‪ .‬אזי האיחוד הזר שלהן הוא‬
‫‪B = {0} × A ∪ {1} × B‬‬
‫]‬
‫‪A‬‬
‫סדורות‪ (A, <A ) ,‬ו־) ‪ ,(B, <B‬ניתן להגדיר סדר מתאים על‬
‫במידה והקבוצות הן‬
‫‪U‬‬
‫‪U‬‬
‫‪ A B‬כדלהלן‪ :‬יהיו ‪ (i, x) , (j, y) ∈ A B‬נתונים‪ .‬נאמר ש־)‪ (i, x) < (j, y‬אם‬
‫מתקיים אחד הבאים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫תת־קבוצה ‪ B‬של קבוצה סדורה ‪ A‬היא צפופה ב־‪ ,A‬אם ‪.∀x, y ∈ A∃z ∈ B, x < y → x < z < y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ i = j = 0 .1‬וגם ‪;x <A y‬‬
‫‪ i = j = 1 .2‬וגם ‪;x <B y‬‬
‫‪.i < j .3‬‬
‫‪ U‬ידי ‪ α‬ואת‬
‫ניתן להראות כי זהו סדר שלם‪ .‬אם סימנו את טיפוס הסדר של ) ‪ (A, <A‬על‬
‫טיפוס הסדר של ) ‪ (B, <B‬על ידי ‪ ,β‬אז נסמן את טיפוס הסדר של )< ‪ (A B,‬על ידי‬
‫‪.α + β‬‬
‫תרגיל ‪ 4‬מצאו תת־קבוצה ‪ ,A ⊆ Q‬עם הסדר הנורש מהרציונליים‪ ,‬אשר טיפוס הסדר שלה‬
‫הוא‬
‫‪) .ω + 1 .1‬תזכורת‪ ω :‬הוא טיפוס הסדר של הטבעיים‪ 1 ,‬הוא טיפוס הסדר של‬
‫קבוצה סדורה עם איבר יחיד(‪.‬‬
‫‪.ω + ω .2‬‬
‫↓‬
‫‪) .ω ↓ + ω .3‬תזכורת‪ ω :‬הוא טיפוס הסדר של השלמים השליליים(‪.‬‬
‫‪.ω + ω ↓ .4‬‬
‫פתרון‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‬
‫‬
‫}‪. − n1 : n ∈ N ∪ {0‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪. − n1 : n ∈ N ∪ 1 − n1 : n ∈ N‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫לפי אותו רעיון‪ . n1 : n ∈ N ∪ 1 − n1 : n ∈ N ,‬פתרון אחר‪ ,‬פשוט יותר הוא‬
‫‪.Z‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‬
‫‪ . ±n: n ∈ N‬‬
‫תרגיל ‪ 5‬הוכיחו או הפריכו‪:‬‬
‫‪ .1‬קיימת )‪ A ⊆ P (N‬מעוצמה ‪ ℵ0‬כך ש־)⊂ ‪ (A,‬קבוצה סדורה‪.‬‬
‫‪ .2‬קיימת )‪ B ⊆ P (N‬מעוצמה ‪ 2ℵ0‬כך ש־)⊂ ‪ (B,‬קבוצה סדורה‪.‬‬
‫∗∗‬
‫∼ ‪I+I‬‬
‫‪ .3‬נסמן }‪ ,I = {x ∈ Q: 0 < x < 1‬עם הסדר הנורש מהממשיים‪ .‬מתקיים =‬
‫‪.I‬‬
‫‪ .4‬נסמן }‪ ,I = {x ∈ R: 0 < x < 1‬עם הסדר הנורש מהממשיים‪ .‬מתקיים ∼‬
‫= ‪I+I‬‬
‫‪.I‬‬
‫‪∼ R .5‬‬
‫= ‪.R \ Q‬‬
‫פתרון‬
‫‪ .1‬נכון‪ .‬נסמן }‪ A = {An : n ∈ N‬עבור }‪ .An = {m ∈ N: m < n‬ואז לכל ‪,n‬‬
‫‪.An ⊂ An+1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .2‬נכון‪ .‬תהי ‪ ,f : N → Q‬פונקציה הפיכה )קיימת לפי שויון עוצמות(‪ .‬אזי = ‪B‬‬
‫}‪ {Br : r ∈ R‬עבור }‪ ,Br = {m ∈ N: f (m) < r‬ואז לכל ‪ r1 < r2‬מתקיים‬
‫‪.Br1 ⊂ Br2‬‬
‫‪ .3‬נכון‪ .‬המשפט דלעילח מתקיים‪.‬‬
‫∼‬
‫‪ .4‬לא נכון‪ .‬מתקיים )‪ .I + I = {x ∈ R: 0 < |x| < 1} = (−1, 0) ∪ (0, 1‬לקבוצה‬
‫זו יש תת־קבוצה לא ריקה )‪ (−1, 0‬שאין לה חסם עליון בקבוצה )כי אם ‪ x‬חסם‬
‫מלעיל‪ ,‬אז )‪ x ∈ (0, 1‬ובמקרה זה ‪ x2‬חסם מלעיל קטן יותר‪.‬‬
‫‪ .5‬לא נכון‪ .‬לקבוצה משמאל אין תכונת החסם העליון‪ ,‬נניח עבור הקבוצה‬
‫‪ (−∞, 0) \ Q‬‬
‫∗∗‬
‫תרגיל ‪ 6‬הציגו את ‪ Q‬כאיחוד של אינסוף תת־קבוצות זרות‪ ,‬שכל אחת מה ן צפופה ב־‪.Q‬‬
‫‪ 2k m‬כאשר ‪ m ∈ Z ,k ∈ Z‬אי־זוגי‪ ,‬ו־‬
‫פתרון לכל ‪ ,q ∈ Q‬ניתן לרשום את ‪ q‬בצורה ‪n‬‬
‫‪ n ∈ N‬אי־זוגי‪ k .‬נקבע באופן יחיד על ידי ‪ ,q‬ונסמנו על ידי )‪ .ξ (q‬לדוגמא‪,‬‬
‫‪ ξ .ξ 23‬היא פונקציה ‪ .ξ: Q → Z‬נחלק את ‪ Q‬לפי המקורות של כל מספר‬
‫‪24 = −3‬‬
‫שלם‪ .Ak = ξ −1 (k) ,‬זו הצגה של הרציונליים כאיחוד של אינסוף תת־קבוצות זרות‪,‬‬
‫באופן טריוויאלי‪ .‬נותר להראות כי לכל ‪ k‬שלם‪ Ak ,‬צפופה ב־‪.Q‬‬
‫ראשית נראה זאת עבור ‪ .k = 0‬יהיו ‪ q1 < q2‬מספרים רציונליים‪ .‬נחפש מספר טבעי‬
‫אי־זוגי ‪ n‬כך ש־ ‪ .q2 − q1 > n2‬לפיכך קיימים שני שברים )לפחות( שהמכנה שלהם הוא‬
‫‪,q1 < m‬‬
‫‪ n‬בין ‪ q1‬לבין ‪ .q2‬המונה של אחד מהם הוא אי־זוגי‪ ,‬נסמנו ‪ .m‬ואז ‪n < q2‬‬
‫‪.m‬‬
‫וכן ‪n ∈ A0‬‬
‫‪−k‬‬
‫‪−k‬‬
‫כעת נראה זאת לכל ‪ .k‬יהיו ‪ ,q1 < q2‬אזי נביט ב־ ‪ .2 q1 < 2 q2‬לפי מה‬
‫‪−k‬‬
‫‪ .2−k q1 < m‬נכפיל ב־ ‪ ,2k‬ונקבל‬
‫‪ m‬המקיים ‪q2‬‬
‫‪n < 2‬‬
‫שהראנו‪ ,‬יש שם איבר ‪n ∈ A0‬‬
‫‪ ,2k m‬כנדרש‪ .‬‬
‫∈‬
‫‪ ,q1 < 2k m‬כאשר ‪Ak‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n < q2‬‬
‫‬
‫‬
‫תרגיל ‪ 7‬מצאו תת־קבוצה ‪ A‬של ‪ Q‬כך ש־)< ‪ (A,‬וגם < ‪ A{ ,‬אינן איזומורפיות סדר‬
‫ל־‪.Q‬‬
‫פתרון ניקח ‪ .A = ((−2, 0) ∪ (0, 2) ∪ {3, 4}) ∩ Q‬ואז ‪ A‬איננה צפופה‪ ,‬כי אין ‪x ∈ A‬‬
‫המקיים ‪ .3 < x < 4‬מנגד‪ ,‬ב־ {‪ A‬אין ‪ x‬כך ש־‪ .0 < x < 2‬‬
‫‪4‬‬