docתורת הקבוצות — תרגיל בית 7 פתרונות
download 
Report Transcription
תורת הקבוצות — תרגיל בית 7 פתרונות
תורת הקבוצות — תרגיל בית 7
פתרונות
חיים שרגא רוזנר
י"ב באייר תשע"ד
תקציר
אקסיומות
1
ZFC
)לא כולל אקסיומת הבחירה(.
מערכת אקסיומות
ZFC
אנו מציגים מערכת אקסיומות ,ובעזרתן מגדירים את המושג קבוצה .אם הצלחנו לתאר אובייקט כלשהו
שאיננו מקיים את אחת האקסיומות האלו ,הרי שנאמר שאובייקט זה איננו קבוצה.
1.1
אקסיומת
הקבוצה הריקה
אקסיומת ההיקפיות
סכמת אקסיומות
ההפרדה
אקסיומת הקבוצה הריקה ,אקסיומת ההיקפיות וסכמת ההפרדה
אקסיומה קיימת קבוצה ריקה.
אקסיומה קבוצות נקבעות על ידי איבריהן .לשון אחר x = y :א.ם.ם .לכל zמתקיים .z ∈ x ↔ z ∈ y
סכמת אקסיומות אם Aקבוצה ,ו־ ϕתכונה ,אזי אוסף האיברים ב־ Aהמקיימים את התכונה ϕהוא
קבוצה .לשון אחר :תהי ) ϕ (x, yנוסחה )אולי עם עוד פרמטרים( ותהי Aקבוצה .אזי האוסף
}) {x ∈ A: ϕ (x, Aהוא קבוצה.
מסקנה 1.1הקבוצה הריקה ∅ היא יחידה.
תרגיל תהיינה A, Bקבוצות .הראו כי האוסף הבא הוא קבוצהx ∈ B} :
or
.A ∩ B = {x: x ∈ A
פתרון ננסח את התכונה המתאימה ] .ϕ (x, A, B) = [x ∈ A ∧ x ∈ Bאזי לפי סכמת ההפרדה
}) {x ∈ A: ϕ (x, A, Bהוא קבוצה .דרך נוספת :נגדיר את הקבוצה כמופרדת מקבוצה B
במקום מקבוצה .Aדרך נוספת :ננסח את התכונה הבאה ,χ (x, B) = [x ∈ B] :ואז נפריד
מ־ .A ∩ B = {x ∈ A: χ (x, B)} :A
∈x
תרגיל תהיינה A, Bקבוצות .הראו כי האוסף הבא הוא קבוצה/ B} :
and
.A \ B = {x: x ∈ A
∈ ,ϕ (x, B) = [xונפריד מ־ .A \ B = {x ∈ A: ϕ (x, B)} :A
פתרון ננסח ]/ B
תרגיל נסמן על ידי Vאת מחלקת כל הקבוצות .הוכיחו כי Vאיננה קבוצה.
1
פתרון )הפרדוקס של ראסל( נניח בשלילה כי קיימת הקבוצה ,Vקבוצת כל הקבוצות .נסמן נוסחה
∈ .ϕ (x) = [xאזי לפי סכמת ההפרדה קיימת הקבוצה }) .B = {x ∈ V : ϕ (xכעת נבדוק
]/ x
האם B ∈ Bאו לא B .היא קבוצה ,ולכן היא שייכת לקבוצת כל הקבוצות .Vלפיכך מתקיים
.B ∈ Vכל שנותר לבדוק הוא האם ) ϕ (Bאו לא .ראשית נניח כי ) .ϕ (Bבמקרה כזהB ,
∈ .ϕ (B) = [B
מקיימת את כל התנאים כדי להיכלל ב־ ,Bולכן ,B ∈ Bובסתירה להנחה ]/ B
∈ ,B
לכן ההנחה כי ) ϕ (Bאיננה נכונה .כעת נניח כי ) .¬ϕ (Bבמקרה כזה ברור שמתקיים / B
כי Bאיננה מקיימת את הדרישה שלפיה הגדרנו את הקבוצה .Bאלא שפירוש הנוסחא )¬ϕ (B
הוא הפוך ,שהרי הוא קובע .B ∈ Bולכן גם הנחה זו מביאה לסתירה .אם כן ,הגענו כאן לכך
שכל אפשרות בשאלה האם B ∈ Bמביאה אותנו לסתירה ,ולכן אין אפשרות נכונה .לפיכך
ההנחה שהנחנו בשלילה מובילה לסתירה ואינה נכונה ,ו־ Vאיננה קבוצה .
תרגיל מצאו את הסתירה בדרך ההוכחה הבאה ,הוכחה שכל הקבוצות הקיימות הן ריקות.
∈ .B = {x ∈ A: x
תהי ∅ = A 6קבוצה ,ונגדיר תת־קבוצה Bשל Aעל ידי }/ B
קבוצה זו הוגדרה בעזרת סכמת ההפרדה ,כאשר הנוסחא ϕהיא .¬x ∈ Bמכיוון ש־A
לא ריקה ,ניתן לבחור x ∈ Aכלשהו .נבדוק האם x ∈ Bאו לא .נניח .x ∈ Bאזי
∈ xאז xמקיים את הדרוש
∈ ,xוזו סתירה .מנגד ,אם / B
מהגדרת Bאנו יודעים כי / B
מאיברי ,Bולכן ,x ∈ Bוגם זו סתירה .מצאנו ,אם כן כי כל האפשרויות לענות לשאלה
"האם xהוא איבר של "?Bאינן נכונות ,וכך מצאנו סתירה להנחה בשלילה כי קיימת
∅ = .A 6המסקנה העולה היא כי כל קבוצה היא ריקה .לפי אקסיומת ההיקפיות ניתן
לקבוע כי יש רק קבוצה אחת ,והיא הקבוצה הריקה.
פתרון בנוסחא ϕהצבנו את הקבוצה שאותה אנו מנסים להגדיר .B ,לכן ההגדרה היא סיבובית ,ולא
ניתן להראות כי Bשהצבנו היא קבוצה.
לשון אחר :ההנחה ש־ Bמוגדרת היטב מבוססת על כך שההפרדה בוצעה כראוי ,וכדי להפריד
כראוי יש להציב רק קבוצות בנוסחא; אולם בשלב שבו בוצעה ההפרדה טרם הוכחנו כי Bהיא
אכן קבוצה .
תרגיל תהי Aקבוצה ותהי ) ϕ (xנוסחא .הוכיחו את קיום הקבוצות
})= {x ∈ A: ϕ (x
A1
})= {x ∈ A: ¬ϕ (x
A2
הראו כי לכל איבר aב־ Aמתקיים בדיוק אחד מהשניים:
• a ∈ A1
• .a ∈ A2
הסיקו כי על ידי ההפרדה ניתן להפריד את Aלשתי קבוצות זרות ,זו שמקיימת את ϕוזו שאינה
מקיימת את .ϕ
פתרון הקבוצות מוגדרות לפי אקסיומת ההפרדה .יהי ,a ∈ Aאזי מתקיים בדיוק אחד מהשנים )ϕ (x
או ) ,¬ϕ (xובהתאם מתקיים בדיוק a ∈ A1או .a ∈ A2
1.2
אקסיומת הזוגות
אקסיומות בנייה :הזוגות ,האיחוד ,ההחלפה ,החזקה.
אקסיומה תהיינה x, yקבוצות .אזי האוסף } {x, yהוא קבוצה.
2
הגדרה 1.2זוג סדור ha, biהוא הקבוצה }} .ha, bi = {a, {a, bלזוג זה התכונה ha1 , b1 i = ha2 , b2 i
א.ם.ם a1 = a2 .וכן .b1 = b2הזוג הסדור מוגדר בעזרת שימוש חוזר באקסיומת הזוגות.
תרגיל נביט בנסיון אחר להגדיר את הזוג הסדור .ננסה להגדיר }} .ha, bi = {a, {bבעזרת הגדרה
נסיונית זו ,מצאו דוגמא נגדית לתכונה ha1 , b1 i = ha2 , b2 iא.ם.ם a1 = a2 .וכן .b1 = b2
פתרון ניקח }}∅{{ = .a2 = b2 = {∅} ,b1 = ∅ ,a1ואז
ha1 , b1 i = {{{∅}} , {∅}} = {{∅} , {{∅}}} = ha2 , b2 i
אקסיומת האיחוד
אך על אף זאת ,מתקבלת הסתירה .b1 6= b2 ,a1 6= a2
S
אקסיומה תהי Fקבוצה .אזי } F = {x: ∃y, x ∈ y ∧ y ∈ Fהיא קבוצה.
תרגיל בנו קבוצה בת 3איברים.
פתרון דרך ההיסק נתונה בטבלה .אנו משתמשים כאן חזור והשתמש באקסיומת הזוגות ,וכן במסקנה
1.1ובאקסיומת האיחוד.
מספר צעד
1
2
3
4
5
6
7
תוצאה
∅
}∅{
}}∅{{
}}}∅{{{
}}∅{ {∅,
}}}∅{ {{{{∅}}} , {∅,
}}∅{ {{{∅}} , ∅,
נימוק
מסקנה
זיווג של 1עם .1
זיווג של 2עם .2
זיווג של 3עם .3
זיווג של 1עם .2
זיווג של 4עם .5
איחוד של .6
1.1
מצאנו ,אם כן ,כי קיימת הקבוצה }}∅{ .{{{∅}} , ∅,בקבוצה זו יש שלושה איברים שונים ,כנדרש.
תרגיל בנו קבוצה בת 4איברים .מומלץ להמשיך את המספור מהשאלה הקודמת.
פתרון נמשיך את הספירה מהפתרון הסמוך.
מספר צעד
8
9
10
תוצאה
}}}∅{ {{{{∅}} , ∅,
}}}∅{ {{{{{∅}} , ∅, {∅}}} , {{{∅}} , ∅,
}}}∅{ {∅, {∅} , {{∅}} , {{{∅}} , ∅,
נימוק
זיווג של 7עם 7
זיווג של 7עם .8
איחוד של .9
בשלב 10מצאנו קבוצה בת ארבעה איברים ,כמבוקש .
סכמת אקסיומות
ההחלפה
סכמת אקסיומות תהי Aקבוצה ,ותהי ) ϕ (x, yנוסחה ,אשר היא כלל התאמה חד־ערכי על איברי .A
לשון אחר ,לכל x ∈ Aקיים ויחיד yכך ש־) .ϕ (x, yאזי תמונת ,ϕהאוסף }),{y: ∃x ∈ A, ϕ (x, y
הוא קבוצה.
תרגיל נניח כי ) ϕ (x, yהיא נוסחא המקיימת :לכל xקיים לכל היותר yאחד כך ש־) .ϕ (x, yלשון
אחר:
)∀x∀y∀z (ϕ (x, y) ∧ ϕ (x, z) → y = z
הוכיחו כי לכל קבוצה Aקיימת הקבוצה Bכך שלכל x ∈ Aאם קיים y ∈ Aכך ש־)ϕ (x, y
אזי קיים y ∈ Aכך ש־) ϕ (x, yוגם .y ∈ B
3
פתרון נפריד מ־ Aאת הקבוצה של x־ים עבורם קיים yכזה ,ואז נחליף אותם .ניזקק לנוסחא
])) .φ (x) = [∃y (ϕ (x, yנפריד באמצעותה את הקבוצה }) .X = {x ∈ A: ϕ (xכעת ,על
הקבוצה Xמתקיים לכל x ∈ Xקיים ויחיד yכך ש־) .ϕ (x, yלכן ניתן להחליף קבוצה זו,
ולקבל
})B = {y: ∃x ∈ Aϕ (x, y
קבוצה זו מקיימת הדרוש .
אקסיומת קבוצת
החזקה
אקסיומה תהי Aקבוצה .אזי האוסף } P (A) = {x: x ⊆ Aהוא קבוצה.
תרגיל בנו ,בדרך מהירה ככל האפשר ,קבוצה בת 128איברים .בנו ,בדרך מהירה ככל האפשר ,קבוצה
בת 127איברים.
פתרון
מספר צעד
1
2
3
4
5
6
7
8
קבוצה
∅ = X1
)∅( X2 = P (X1 ) = P
))∅( X3 = P (X2 ) = P (P
)))∅( X4 = P (X3 ) = P (P (P
))))∅( X5 = P (X4 ) = P (P (P (P
∈ ∅ X6 = {x ∈ X5 :
}/ x ∧ ∅ 6= x
) X7 = P (X6
}∅ =X8 = {x ∈ X7 : x 6
מספר איברים
0
0
2 =1
21 = 2
22 = 4
24 = 16
16 ÷ 2 − 1 = 7
27 = 128
128 − 1 = 127
נימוק לקיומה של הקבוצה
מסקנה 1.1
הפרדה מ־ 5באמצעות נוסחא.
הפרדה מ־ 7באמצעות נוסחא.
השתמשנו בכך שעבור Xסופית .|P (X)| = 2|X| ,בשלבים 6ו־ 8הפרדנו באמצעות נוסחא .יש
להסביר את החשבון שהביאנו למספר האיברים המתאים .ובכן ,לכל איברי ) P (4מתחלקים לשני
Sהמכילים את הקבוצה הריקה ואלו שאינם .קל לייצר התאמה חח"ע ועל ביניהם ,על ידי
סוגים :אלו
∈ ∅ מחלק את העוצמה בשניים .בין ) 8או (128האיברים הנותרים,
}}∅{ .x 7→ {x,לכן התנאי / x
הורדנו איבר ספציפי ,את ∅ .
תרגיל הראנו בכיתה כי לכל .P (X) * X ,Xהסיקו כי לא קיימת קבוצת כל הקבוצות .V
פתרון נניח בשלילה קיום .Vאזי לפי אקסיומת קבוצת החזקה קיימת גם הקבוצה ) .P (Vכל איבר
בקבוצה זו ) Y ∈ P (Vהוא תת־קבוצה של .Vבפרט הוא קבוצה ,ומקיים .Y ∈ Vהראנו כאן
כי ,P (V ) ⊆ Vובניגוד לטענה מהכיתה .
1.3
אקסיומות נוספות
בסעיף זה נביא אקסיומות שהן פחות אינטואיטיביות .חלקן מוגדרות בעזרת מושגים מהאקסיומות
הקודמות.
אקסיומת האינסוף
אקסיומה קיימת קבוצה Iכך ש־ ∅ ∈ Iוכן לכל a ∈ Iגם .S (a) = a ∪ {a} ∈ I
מסקנה 1.3בעזרת הפרדה מקבוצה זו ,ניתן להראות כי קיימת קבוצת הסודרים הטבעיים .ω
4
אקסיומת היסוד
אקסיומה לכל קבוצה לא ריקה Aקיים איבר מינימלי ליחס השייכות.
לשון אחר :בכל קבוצה לא ריקה Aקיים איבר a ∈ Aכך שאין איבר b ∈ Aהמקיים .b ∈ a
בניסוח פורמלי:
∈ ∀A [A = ∅ ∨ ∃a ∈ A∀b ∈ A (b
])/ a
אקסיומת היסוד נועדה למנוע מצבים מוזרים ומקרים פתולוגיים.
תרגיל הראו ,לכל אחת מהקבוצות הבאות ,כי הן מקיימות את אקסיומת היסוד:
.∅ .1
.{∅} .2
.{{∅} , {∅, {∅}}} .3
שימו לב! נתבקשתם להוכיח כי האקסיומה מתקיימת עבור הקבוצות האלו ,אין צורך להראות
כי כל האיברים מקיימים את האקסיומה.
פתרון
.1באופן ריק ,כי האקסיומה טוענת רק על קבוצות לא ריקות.
∈ .b
∈ bמתקיים / ∅ = a
.2ניקח }∅{ ∈ ∅ = ,aובאמת לכל }∅{ /
∈ .b
.3ניקח }∅{ = ,aובאמת לכל bבקבוצה הנתונה ,b 6= ∅ ,ולכן / {∅} = a
תרגיל האם תיתכן הקבוצה } A = {A0 , A1 , A2 , . . . , Ai , . . . : i ∈ ωכך שלכל i ∈ ωמתקיים ∈ Ai+1
?Ai
∈ .yאם כן ,יהי xזה נתון .אזי הוא
פתרון לא .לפי אקסיומת היסוד ,קיים x ∈ Aכך שלכל / x ,y ∈ A
∈ ,¬ (Ai+1ובסתירה לאקסיומת
שווה ל־ ,Aiעבור iמסוים .כעת Ai+1 ∈ A ,איננו מקיים ) / Ai
היסוד .אי לכך ,קבוצה זו אינה מקיימת את אקסיומת היסוד ואיננה קיימת במערכת .ZFC
תרגיל הוכיחו ,בעזרת אקסיומת היסוד ,כי לא קיימת קבוצת כל הקבוצות .Vשימו לב להבדל בין
הוכחה זו לבין הפרדוקס של ראסל והתרגיל לפי קבוצת החזקה.
פתרון נניח בשלילה קיום .Vאזי לפי אקסיומת הזוגות קיימת } .{Vנפעיל על קבוצה זו את אקסיומת
היסוד ,ונקבל כי ,a = Vאבל גם ,b = Vכי זו קבוצה עם איבר יחיד ,ומתקיים .b = V ∈ V = a
אם כן ,מצאנו כאן סתירה לאקסיומת היסוד ,ולכן לא קיימת הקבוצה .V
תרגיל האם קיימות קבוצות A, Bהמקיימות ?A ∈ B ∈ A
הדרכה השתמשו באקסיומת הזוגות.
פתרון יהיו A, Bנתונות .אזי לפי זיווג קיימת } .C = {A, Bנפעיל עליה את אקסיומת היסוד ,ונגלה
כי יש שתי אפשרויות ל־.a
∈ .B
∈ .bבפרט/ A ,
• .a = Aואז לכל / a ,b ∈ C
∈ .A
∈ .bבפרט/ B ,
• .a = Bואז לכל / a ,b ∈ C
∈ ,Bובסתירה לשאלה שלנו .
∈ Aאו / A
לסיכום ,מתקיים / B
אקסיומת הבחירה
אקסיומה Sלכל קבוצה Fשל קבוצות לא ריקות ,יש פונקציית בחירה על ,Fכלומר פונקציה → f : F
Fהמקיימת :לכל .f (A) ∈ A ,A ∈ F
5
![1, .., sn] :טלק :Knapsack](http://s1.doczz.net/store/data/006635840_1-30b96d0b589007e12fb9061d866bc894-70x70.png "1, .., sn] :טלק :Knapsack")
