מסכם: בועז מתן. מרצה: ד;quot&ר אסף רינות. תורת הקבוצות, 202־88. 19.03

Transcription

מסכם: בועז מתן. מרצה: ד;quot&ר אסף רינות. תורת הקבוצות, 202־88. 19.03
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫‪ 19.03.14‬־ הרצאה שלישית‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫• אם )< ‪ (A,‬סדורה היטב ו־ ‪ f : A → A‬העתקה שומרת סדר‪ ,‬אז ‪ f (a) ≥ a‬לכל ‪.A 3 a‬‬
‫• אם }‪ B = b ↓= {a ∈ A | a < b‬רישא של ‪ A‬אז )< ‪.(B, <) (A,‬‬
‫• סדרים טובים הם צפידים‪ :‬אם ‪ f : A → A‬איזומורפיזם שומר סדר של סדר טוב )< ‪ ,(A,‬אז ‪ f‬העתקת הזהות‪.‬‬
‫• אם ) ‪ (B, <B‬סדר־איזומורפי ל־ )< ‪ (A,‬סדורה היטב‪ ,‬אזי קיים איזומורפיזם יחיד המעיד על כך‪.‬‬
‫טענה ‪ 0.1‬אם ‪ β ∈ α‬סודרים‪ ,‬אז ‪ β‬ריישא של )∈ ‪ ,(α,‬ולכן )∈ ‪.(β, ∈) (α,‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן בתחילית של )∈ ‪:(α,‬‬
‫}‪β ↓= {a ∈ α | a < β} = {a ∈ α | a ∈ β‬‬
‫כיוון ש־ ‪ β ∈ α‬ו־ ‪ α‬טרנזיטיבית ‪ ,β ⊆ α‬אז‪:‬‬
‫‪= {a ∈ β | a ∈ β} = β‬‬
‫∼ )∈ ‪ ,(α,‬אזי ‪.α = β‬‬
‫מסקנה ‪ 0.2‬אם ‪ α, β‬סודרים המקיימים )∈ ‪= (β,‬‬
‫הוכחה‪ :‬מחלקת הסודרים סדורה היטב‪.‬‬
‫אם ‪ α 6= β‬אז בלי הגבלת הכלליות ‪.β ∈ α‬‬
‫במקרה זה )∈ ‪ (β,‬היא ריישא של )∈ ‪.(α,‬‬
‫ואז מההנחה אודות האיזומורפיזם בין הסדרים‪ ,‬נקבל כי )∈ ‪ (α,‬איזומורפיזי לרישא של עצמו‪ ,‬וזאת סתירה‪.‬‬
‫משפט ‪ 0.3‬נניח ) ‪ (B, <B ) (A, <A‬סדרים טובים‪ .‬אז בדיוק אחד מהבאים מתקיים‪:‬‬
‫∼ ) ‪.(A, <A‬‬
‫‪= (B, <B ) .1‬‬
‫‪ (B, <B ) .2‬איזומורפיזי לרישא של ) ‪.(A, <A‬‬
‫‪ (A, <A ) .3‬איזומורפיזי לרישא של ) ‪.(B, <B‬‬
‫והאיזומורפיזם תמיד יחיד )מהצפידות של סדרים טובים(‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‬
‫∼ ) ‪f = {(a, b) ∈ A × B | (a ↓, <A‬‬
‫}) ‪= (b ↓, <B‬‬
‫תת־טענה ‪ f :1‬פונקציה‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫אחרת‪ ,‬קיימים ‪ a ∈ A‬ו־ ‪ b1 6= b2‬ב־ ‪ B‬כך ש־‬
‫∼ ) ‪(a ↓, <A‬‬
‫) ‪= (b1 ↓, <B‬‬
‫∼ ) ‪(a ↓, <A‬‬
‫) ‪= (b2 ↓, <B‬‬
‫∼ ) ‪.(b1 ↓, <B‬‬
‫בפרט‪= (b2 ↓, <B ) :‬‬
‫בלי הגבלת הכלליות‪ ,b1 <B b2 :‬אז קיבלנו כי ) ‪ (b2 ↓, <B‬איזומורפית לרישא של עצמה‪.‬‬
‫סתירה! מש"ל תת־טענה ‪.1‬‬
‫תת־טענה ‪ f :2‬חד־חד־ערכית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫גרסא‪ 8 :‬במאי ‪2014‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫∼‬
‫אחרת‪ ,‬באופן דומה לתת־טענה ‪ ,1‬ניתן יהיה למצוא ‪ a1 <A a2‬ב־ ‪ A‬כך ש־ ) ‪ .(a2 ↓, <A ) = (a1 ↓, <A‬סתירה!‬
‫מש"ל תת־טענה ‪.2‬‬
‫תת־טענה ‪ f :3‬שומרת סדר‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נניח ‪ (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) ∈ f‬ו־ ‪ .a1 <A a2‬נבקש להראות כי ‪.b1 <B b2‬‬
‫כיוון ש־ ↓ ‪ a1‬רישא של ↓ ‪ ,a2‬והאחרון איזומורפי ל־ ↓ ‪ ,b2‬הרי ש־ ↓ ‪ a1‬איזומורפי לרישא של ↓ ‪.b2‬‬
‫כיוון ש־ ↓ ‪ a1‬איזומורפי ל־ ↓ ‪ ,b1‬נסיק סך־הכל כי ↓ ‪ b1‬איזומורפי לרישא של ↓ ‪.b2‬‬
‫∼↓ ‪.b‬‬
‫תהי לכן ↓ ‪ b ∈ b2‬כך ש־ ↓ ‪= b1‬‬
‫אם ‪ b1 < b‬הרי ש־ ↓ ‪ b‬איזומורפי לרישא של עצמה )היא ↓ ‪.(b1‬‬
‫אם ‪ b < b1‬הרי ש־ ↓ ‪ b1‬איזומורפי לרישא של עצמה )היא ↓ ‪.(b‬‬
‫לכן‪ ,‬האפשרות היחידה היא כי ‪ ,b = b1‬כלומר ↓ ‪ ,b1 ∈ b2‬ואזי ‪ b1 <B b2‬כמבוקש‪ .‬מש"ל תת־טענה ‪.3‬‬
‫תת־טענה ‪ :4‬אם ‪ ,a <A a ,dom (f ) 3 a‬אז גם ) ‪.a ∈ dom (f‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נניח ‪.(a, b) ∈ f‬‬
‫ויהי ↓ ‪ π : a ↓↔ b‬איזומורפיזם שומר סדר‪.‬‬
‫‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫בהנתן ‪ a <A a‬נתבונן ב־ ‪ ,b = π a‬אז ↓ ‪ π a0‬איזומורפיזם סדר מ־ ↓ ‪ a‬ל־ ↓ ‪ .b‬מש"ל תת־טענה ‪.4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫תת־טענה ‪ :5‬אם ) ‪ b ∈ Im (f‬ו־ ‪ b <B b‬אז ) ‪.b ∈ Im (f‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫דומה להוכחת תת־טענה ‪ .4‬מש"ל תת־טענה ‪.5‬‬
‫נובע כי יש שלוש אפשרויות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫אם ‪ dom (f ) = A‬ו־ ‪Im (f ) = B‬‬
‫אם ‪ dom (f ) = A‬ו־ ‪ ,Im (f ) 6= B‬אז יהי ‪ b‬האיבר הראשון ב־ ) ‪ ,B\Im (f‬אזי מתת־טענה ‪,Im (f ) = b ↓ ,5‬‬
‫∼ ) ‪.(A, <A‬‬
‫אז ) ‪= (B, <B‬‬
‫ואז ‪ f‬מעידה כי ) ‪ (A, <A‬איזומורפיזית לרישא של ) ‪ (B, <B‬שהיא ↓ ‪.b‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ dom (f ) 6= A‬ו־ ‪ ,Im (f ) = B‬אז מתת־טענה ‪ ,4‬קיים ‪ a ∈ A‬כך ש־ ↓ ‪ ,dom (f ) = a‬ואז ‪ f −1‬מעידה‬
‫כי ) ‪ (B, <B‬איזומורפיזית לרישא של ) ‪ ,(A, <A‬היא ↓ ‪.a‬‬
‫• נשים לב‪ :‬לא ייתכן מצב בו ‪ dom (f ) 6= A‬וגם ‪ ,Im (f ) 6= B‬שכן אחרת קיימים ‪ b ∈ B ,a ∈ A‬כך ש־‬
‫∈ )‪.(a, b‬‬
‫∼ ) ‪ (a ↓, <A‬בסתירה לכך ש־ ‪/ f‬‬
‫↓ ‪ .Im (f ) = b ↓ ,dom (f ) = a‬אבל אז ‪ f‬מעידה כי ) ‪= (b ↓, <B‬‬
‫הגדרה ‪ 0.4‬סודר ‪ α‬נקרא סודר עוקב ⇒⇐ קיים ‪ β‬כך ש־ ‪ .α = β + 1‬אחרת ‪ α‬נקרא סודר גבולי‪.‬‬
‫הגשמת המספרים הטבעיים‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫∅ = ‪0‬‬
‫}‪n + 1 = n ∪ {n‬‬
‫אלו הם סודרים‪.‬‬
‫ההוכחה היא באינדוקציה‪:‬‬
‫• ‪ 0‬מספר טבעי לכן סודר‪.‬‬
‫• אם נניח כי ‪ n‬סודר אז גם ‪ n + 1‬סודר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫גרסא‪ 8 :‬במאי ‪2014‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫}‪is a natural number‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫‪.ω = {n | n‬‬
‫זאת קבוצה טרנזיטיבית של סודרים‪ ,‬ולכן היא בעצמה סודר‪.‬‬
‫∈ ‪ α‬אז היות וכל שני סודרים ברי השוואה‪ ,‬נקבל ‪.ω ≤ α‬‬
‫אם ‪ α‬סודר כאשר ‪/ ω‬‬
‫אבל אז ‪ ,ω ⊆ α‬כלומר ‪ α‬מכיל את הקבוצה האינסופית ‪.ω‬‬
‫מסקנה‪ :‬סודר הוא סופי ⇒⇐ שייך לקבוצה ‪.ω‬‬
‫נראה דוגמא לבנית המספרים הטבעיים הראשונים‪:‬‬
‫}∅{ = }∅{ ∪ ∅ = ‪1‬‬
‫}}∅{ ‪2 = {∅ ∪ {∅}} ∪ ∅ ∪ {∅} = {∅,‬‬
‫}}}∅{ ‪3 = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅} , {∅,‬‬
‫‪A set of 1element‬‬
‫‪A set of 2elements‬‬
‫‪A set of 3elements‬‬
‫במקרה הסופי‪ ,‬העוצמה של הסודר שווה לסודר עצמו‪.‬‬
‫‪ 3‬סודר עוקב‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ 0‬סודר גבולי‪.‬‬
‫‪=) ω‬אוסף כל המספרים הטבעיים( סודר גבולי‪.‬‬
‫}‪ ω + 1 = ω ∪ {ω‬סודר עוקב‪.‬‬
‫∼ )< ‪.(A,‬‬
‫משפט ‪ 0.5‬לכל קבוצה סדורה היטב )< ‪ (A,‬קיים סודר )יחיד( ‪ α‬כך ש־ )∈ ‪= (α,‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן ב־‬
‫∼ )∈ ‪f = {(a, β) | a ∈ A, β − ordinal, (β,‬‬
‫})< ‪= (a ↓,‬‬
‫נימוקים דומים לאלו שראינו בהוכחה קודמת‪ ,‬מבססים כי ‪ f‬היא פונקציה חד־חד־ערכית ושומרת סדר‪.‬‬
‫שימו לב כי ) ‪ Im (f‬היא קבוצה טרנזיטיבית של סודרים )כמו תת־טענה ‪ (5‬ולכן קיים סודר ‪ δ‬עבורו ‪.Im (f ) = δ‬‬
‫∼↓ ‪ ,a‬כלומר ‪.(a, δ) ∈ f‬‬
‫אם ‪ dom (f ) 6= A‬אז קיים ‪ a ∈ A‬כך ש־ ↓ ‪) dom (f ) = a‬כמו בתת־טענה ‪ , (4‬אבל אז‪= δ :‬‬
‫∈ ‪.a‬‬
‫בסתירה לכך ש־ ‪/ f‬‬
‫לכן‪ ,dom (f ) = A ,‬ואז ‪ f‬מהווה איזומורפיזם מ־‪ A‬כולה לסודר כלשהו‪ ,‬הוא ‪.δ‬‬
‫לכל קבוצה סדורה היטב )< ‪ ,(A,‬נסמן את טיפוס הסדר של הקבוצה בסימון )< ‪otp (A,‬‬
‫הגדרה ‪0.6‬‬
‫הסדר הטוב(‪.‬‬
‫)הנציג הקנוני של‬
‫∼ )< ‪.(A,‬‬
‫זהו הסודר היחיד ‪ α‬כך ש־ )∈ ‪= (α,‬‬
‫אריתמטיקה של סודרים‬
‫חיבור סודרים‬
‫בהנתן קבוצות סדורות חלקית ) ‪ ,(B, <B ) ,(A, <A‬נגדיר סדר ) ‪ (C, <C‬להיות‪:‬‬
‫‪def‬‬
‫) ‪(C, <C ) = (A, <A ) + (B, <B‬‬
‫באופן הבא‪:‬‬
‫)}‪C = (A × {0}) ] (B × {1‬‬
‫}‪= {(a, 0) | a ∈ A} ] {(b, 1) | b ∈ B‬‬
‫‪3‬‬
‫גרסא‪ 8 :‬במאי ‪2014‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫נגדיר את יחס הסדר על־ידי‪:‬‬
‫⇒⇐‬
‫‪i<j‬‬
‫‪or‬‬
‫)‪(x, i) <C (y, j‬‬
‫‪i = j = 0 ∧ x <A y‬‬
‫‪or‬‬
‫‪i = j = 1 ∧ x <B y‬‬
‫אם הסדרים ‪ <A , <B‬סדרים קוויים אז גם ‪ <C‬כזה‪ .‬אם הם סדרים טובים אז גם ‪ <C‬כזה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 0.7‬עבור סודרים ‪ α, β‬נגדיר‪:‬‬
‫))∈ ‪α + β = otp ((α, ∈) + (β,‬‬
‫הערה ‪ 0.8‬ראינו מקודם את ההגדרה }‪.α + 1 = α ∪ {α‬‬
‫שזה ‪ α‬ומוסיפים מעליו את }‪{α‬‬
‫‪α‬‬
‫_‬
‫‪α‬‬
‫_‬
‫בהגדרה שראינו עכשיו אז ‪ α + 1‬זה‪:‬‬
‫_∅‬
‫‪α‬‬
‫_‬
‫אכן ניתן לראות כי מדובר באותו טיפוס סדר‪ ,‬ולכן ההגדרות האלה מתלכדות‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.9‬חיבור סודרים היא לא פעולה חילופית!‬
‫עבור המקרה הסופי היא כן חילופית כי הסכום עבור הסודרים הסופיים מתלכד עם סכום רגיל של המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫עבור המקרה האינסופי‪:‬‬
‫_•‬
‫‪ω‬‬
‫_‬
‫‪ω+1>ω‬‬
‫‪There is a maximal element‬‬
‫_‬
‫‪ω‬‬
‫‪1+ω =ω‬‬
‫_‬
‫•‬
‫‪There is no maximal element‬‬
‫‪ω+1>1+ω‬‬
‫תכונות החיבור‬
‫‪.0 + α = α + 0 = α .1‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ β1 < β2‬אז ‪.α + β1 < α + β2‬‬
‫‪ .3‬אסוציאטיביות‪.α + (β + γ) = (α + β) + γ :‬‬
‫‪4‬‬
‫גרסא‪ 8 :‬במאי ‪2014‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח את התכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬ברור‪.‬‬
‫‪ .2‬כי ‪ α + β1‬איזומורפיזי לרישא של ‪.α + β2‬‬
‫‪ .3‬אם ניקח ) ‪ (Ai , <i‬קבוצות סדורות היטב כאשר מתקיים‪:‬‬
‫‪otp (A1 , <1 ) = α‬‬
‫‪otp (A2 , <2 ) = β‬‬
‫‪otp (A3 , <3 ) = γ‬‬
‫אז הסודר )‪ ,α + (β + γ‬וגם ‪ (α + β) + γ‬הם טיפוס הסדר של הקבוצה הסדורה היטב )< ‪,(A1 ∪ A2 ∪ A3 ,‬‬
‫כאשר הסדר < מסדר את הקבוצות אחת מעל השניה‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.10‬אם ‪ β1 < β2‬זה לא בהכרח אומר כי ‪.β1 + α < β2 + α‬‬
‫למשל‪ 2 < 5 :‬אבל ‪.2 + ω = 5 + ω‬‬
‫טענה ‪ 0.11‬אם ‪ β‬סודר גבולי‪ ,‬אז }‪.α + β = sup {α + γ | γ < β‬‬
‫הוכחה‪ :‬עבור ‪ γ < β‬מתקיים ‪,α + γ < α + β‬‬
‫כלומר‪.sup {α + γ | γ < β} ≤ α + β :‬‬
‫נניח בשלילה כי לא מתקיים שיוויון‪ .‬נסמן‬
‫‪sup {α + γ | γ < β} = δ‬‬
‫אז לפי ההנחה ‪.δ < α + β‬‬
‫היות ו־‪ 1 < β‬מתקיים ‪ α < δ‬ולכן‪.α < δ < α + β :‬‬
‫הסודר ‪ δ‬איזומורפי לרישא של ‪ ,α + β‬וזים קיים ‪.α + γ = δ :β > γ‬‬
‫אבל ‪ δ‬הוא הסופרמום של ‪ α + γ‬על פני כל ‪ β > γ‬ובפרט עבור ‪ γ = γ + 1‬ולכן‪ ,δ > α + γ :‬וקיבלנו סתירה‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫עבור סודרים ‪ α, β, γ‬כאשר ‪ ,γ > 0‬זה לא נכון לומר כי‪ α + γ = β + γ :‬גורר ‪.α = β‬‬
‫למשל‪:‬‬
‫‪α = 0‬‬
‫‪β = 1‬‬
‫‪γ = ω‬‬
‫כפל סודרים‬
‫תהיינה קבוצות סדורות חלקית ) ‪.(B, <B ) ,(A, <A‬‬
‫נגדיר את הקבוצה ) ‪ (C, <C‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪def‬‬
‫) ‪(C, <C ) = (A, <A ) × (B, <B‬‬
‫כאשר‬
‫}‪C = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B‬‬
‫‪5‬‬
‫גרסא‪ 8 :‬במאי ‪2014‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫‪i <B j‬‬
‫‪or‬‬
‫⇒⇐‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫)‪(x, i) <C (y, j‬‬
‫‪(i = j) x <A y‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫))∈ ‪α · β = otp ((α, ∈) × (β,‬‬
‫הערה ‪ 0.12‬אם ) ‪ (A, <A ) , (B, <B‬סדרים טובים אז מכפלתם סדר טוב‪.‬‬
‫הסבר‪:‬‬
‫בהינתן ‪ Z ⊆ C‬לא ריקה‪ ,‬יהי‬
‫}‪b? = min {b | ∃a ∈ A : (a, b) ∈ Z‬‬
‫‪<B‬‬
‫ניקח‬
‫}‪(a, b? ) ∈ Z‬‬
‫‪that‬‬
‫‪a? = min {a | such‬‬
‫‪<A‬‬
‫אז ) ?‪ (a? , b‬איבר ראשון ב־‪.Z‬‬
‫הערה ‪ 0.13‬תכונת דיסטריבוטיביות ‪ (α + β) · γ = α · γ + β · γ‬לא מתקיימת!‬
‫למשל‪:‬‬
‫‪α = β=1‬‬
‫‪γ = ω‬‬
‫‪(1 + 1) · ω = 2 · ω = ω‬‬
‫‪1·ω+1·ω = ω+ω‬‬
‫אבל‪ ,‬כן מתקיים‪:‬‬
‫‪α · (β + γ) = α · β + α · γ‬‬
‫הערה ‪ 0.14‬אם ‪ α > 0 ,β1 < β2‬אז ‪.αβ1 < αβ2‬‬
‫הסבר‪:‬‬
‫ניתן להגדיר איזומורפיזם‪:‬‬
‫))∈ ‪π : (α, ∈) × ((β, ∈) + (γ, ∈)) → ((α, ∈) × (β, ∈)) + ((α, ∈) × (γ,‬‬
‫)‪(a, (x, i)) 7→ ((a, x) , i‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫זה לא נכון כי אם ‪ α · γ = β · γ‬אז ‪ .α = β‬ניקח למשל‪:‬‬
‫‪α = 1‬‬
‫‪β = 2‬‬
‫‪γ = ω‬‬
‫‪6‬‬
‫גרסא‪ 8 :‬במאי ‪2014‬‬
‫תורת הקבוצות‪202 ,‬־‪.88‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר אסף רינות‪.‬‬
‫מסכם‪ :‬בועז מתן‪.‬‬
‫נחפש סודר הכי קטן ‪ γ‬המקיים ‪.ω + γ = γ‬‬
‫סודר זה הוא ‪.γ = ω · ω‬‬
‫‪ω + (ω · ω) = ω · (1 + ω) = ω · ω‬‬
‫למה זה הכי קטן? אם יש קטן יותר מהסודר הנ"ל‪ ,‬אז יש טבעיים ‪ n, m‬כך ש־ ‪ ,γ = ω · n + m‬ואז זה‬
‫לא יתקיים‪:‬‬
‫‪ω + (ω · n + m) = ω · (n + 1) + m‬‬
‫הערה ‪ 0.15‬איחוד ומכפלה קרטזית של קבוצות בנות מניה ישאיר אותנו עם קבוצה בת מניה‪ .‬לכן חיבור וכפל סודרים‬
‫בני מניה הוא שוב סודר בן מניה‪.‬‬
‫תכונות הכפל‬
‫‪.α · 0 = 0 · α = 0 .1‬‬
‫‪.α · 1 = 1 · α = α .2‬‬
‫‪) α · 2 = α + α .3‬אבל יש ‪α‬עבורם ‪.(2 · α 6= α + α‬‬
‫‪.α · (β · γ) = (α · β) · γ .4‬‬
‫‪.α · (β + γ) = α · β + α · γ .5‬‬
‫‪ .6‬אם ‪ β1 < β2‬ו־ ‪ α > 0‬אז‪.αβ1 < αβ2 :‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫הראו ‪.(ω + 1) + ω = ω + (1 + ω) = ω + ω‬‬
‫‪7‬‬
‫גרסא‪ 8 :‬במאי ‪2014‬‬