תורת הקבוצות — תרגיל בית 4 פתרונות

‫תורת הקבוצות — תרגיל בית ‪4‬‬
‫פתרונות‬
‫חיים שרגא רוזנר‬
‫י"ג בניסן תשע"ד‬
‫תקציר‬
‫אריתמטיקה של סודרים‪ :‬חיבור סודרים‪ ,‬כפל סודרים וחזקות סודרים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫חיבור סודרים‬
‫בתרגיל זה‪ ,‬כל המשתנים הרשומים ביוונית הם סודרים‪ .‬אותיות לטיניות קטנות הן פונקציות‪.‬‬
‫הגדרה פונקציית סודרים תיקרא מונוטונית אם לכל ‪ ,α1 ≤ α2‬מתקיים ) ‪.f (α1 ) ≤ f (α2‬‬
‫הגדרה פונקציית סודרים תיקרא רציפה אם לכל ‪ β‬גבולי מתקיים‬
‫}‪f (β) = sup {f (γ) : γ < β‬‬
‫תרגיל ‪ 1‬נניח כי ‪ f‬מונוטונית ורציפה‪ β > 0 ,‬גבולי‪ ,‬ו־‪ B ⊆ β‬מקיימת ‪ .sup B = β‬הוכיחו‬
‫)‪.sup {f (γ) : γ ∈ B} = f (β‬‬
‫פתרון מכיוון ש־ ‪ f‬רציפה‪ ,‬יש להראות כי }‪.sup {f (γ) : γ ∈ B} = sup {f (γ) : γ < β‬‬
‫מכיוון שהקבוצה משמאל מוכלת בקבוצה מימין‪ ,‬הסופרמום שלה איננו גדול משל‬
‫הקבוצה מימין‪ .‬נראה כי הוא איננו קטן ממנו‪ ,‬ולכן שווה לו‪.‬‬
‫נראה‪ ,‬אפוא‪ ,‬כעת כי }‪ .sup {f (γ) : γ ∈ B} ≥ sup {f (γ) : γ < β‬יהי ‪γ < β‬‬
‫נתון‪ .‬עלינו למצוא ‪ γ 0 ∈ B‬כך ש־)‪ .f (γ 0 ) ≥ f (γ‬מכיוון ש־‪ ,sup B = β‬קיים‬
‫‪ B 3 γ 0‬כך ש־‪ ,γ 0 ≥ γ‬ומכיוון ש־ ‪ f‬מונוטונית‪ ,‬מתקיים )‪ .f (γ 0 ) ≥ f (γ‬אם כן‪ ,‬אגף‬
‫שמאל איננו קטן מאגף ימין‪ ,‬ולפי ההאמור לעיל גם איננו גדול ממנו‪ ,‬ולכן שווה לו‪ .‬‬
‫תרגיל ‪ 2‬נניח כי ‪ α, β, γ‬סודרים‪ .‬הפריכו‪ ,‬על ידי דוגמאות נגדיות‪,‬את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ ,β < γ‬אז ‪.β + α < γ + α‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ β‬גבולי‪ ,‬אז }‪.β + α = sup {γ + α : γ < β‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ β‬גבולי‪ ,‬אז ‪ β + α‬גבולי‪.‬‬
‫‪ .4‬הפונקציה ‪ f (α) = α + β‬מונוטונית ורציפה‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,1 < 2 .1‬אבל ‪.1 + ω = ω ≮ ω = 2 + ω‬‬
‫‪ .2‬ניקח ‪) β = ω ,α = 1‬העיקר ש־‪ α‬עוקב ו־‪ β‬גבולי(‪ .‬ואז‬
‫}‪ω + 1 6= ω = sup {γ + 1 : γ < ω‬‬
‫‪ .3‬ניקח ‪.α = 1‬‬
‫‪ .4‬הדוגמא הנגדית בסעיף ‪ .2‬‬
‫הגדרה יהיו ‪ .α ≤ β‬נגדיר חיסור סודרים כדלהלן‪.β − α = otp (β \ α) :‬‬
‫תרגיל ‪ 3‬הוכיחו את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪.α + (β − α) = β .1‬‬
‫‪.β − α = 0 ⇐⇒ α = β .2‬‬
‫‪.β − α > 0 ⇐⇒ α < β .3‬‬
‫פתרון‬
‫‪U‬‬
‫‪ .1‬נגדיר איזומורפיזם סדר מ־)‪ α (β − α‬ל־‪:β‬‬
‫(‬
‫‪γ‬‬
‫‪i=0‬‬
‫= )‪f (γ, i‬‬
‫‪α+γ i=1‬‬
‫ברור שזו פונקציה מוגדרת היטב שומרת סדר‪ ,‬ולכן גם חח"ע‪ .‬נותר להראות כי‬
‫זו פונקציה על‪ .‬יהי ‪ .γ ∈ β‬אם ‪ γ < α‬אז ‪ .f (γ, 0) = γ‬אחרת‪.α ≤ γ < β ,‬‬
‫אם כן‪ ,γ \ α ⊆ β \ α ,‬ו־‪ γ \ α‬היא רישא ב־‪ .β \ α‬נחפש ב־‪ β \ α‬את‬
‫האיבר המתאים ל־‪ ,γ \ α‬ונסמן את תמונתו על ידי ‪ otp‬בסימון ‪ .δ‬אם כן‪,‬‬
‫‪ ,f (δ, 1) = α + δ‬ובאינדוקציה על ‪ γ‬ניתן להראות כי ‪:α + δ = γ‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫אם ‪ γ < α‬זה נכון באופן ריק‪.‬‬
‫‪ ,γ = α‬ואז ‪.δ = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ γ ,α < γ < β‬עוקב )‪ :(γ = γ + 1‬קיים ‪ δ‬מתאים ל־ ‪ ,γ‬כך שעל פי‬
‫הנחת האינדוקציה ‪ ,γ 0 = α + δ 0‬ואז ‪.γ = γ 0 + 1 = α + δ 0 + 1 = α + δ‬‬
‫‪ γ ,α < γ < β‬גבולי‪ :‬בגלל רציפות מתקיים‬
‫‪α + δ = sup {α + δ 0 : δ 0 < δ} = sup {γ 0 : γ 0 < γ} = γ‬‬
‫ובכך הוכחנו את הטענה‪.‬‬
‫‪ .2‬נתון כי ‪ ,α ≤ β‬דהיינו ‪ .α ⊆ β‬מתקיים‬
‫‪β − α = 0 ⇐⇒ otp (β \ α) = 0 ⇐⇒ β \ α = ∅ ⇐⇒ α ⊇ β‬‬
‫בהתחשב בהכלה בכיוון ההפוך‪ ,‬מצאנו כאן שויון ‪.α = β‬‬
‫‪ .3‬מכיון שנתון ‪ ,α ≤ β‬אז סעיף זה הוא שלילת סעיף ‪ .2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כפל סודרים‬
‫תרגיל ‪ 4‬הפריכו‪ ,‬על ידי דוגמא נגדית‪ ,‬את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪.2 · α = α + α .1‬‬
‫‪ .2‬נניח ‪ β > 0‬גבולי‪.β · α = sup {γ · α : γ < β} .‬‬
‫‪ .3‬נניח ‪.γ · α < β · α .γ < β, α > 0‬‬
‫‪ .4‬נניח ‪ ,β > 0‬ו־‪ B ⊆ β‬המקיימת ‪.sup {γ · α : γ ∈ B} = β · α .sup B = β‬‬
‫פתרון‬
‫‪.2 · ω = ω 6= ω + ω .1‬‬
‫‪.ω · 3 = ω + ω + ω 6= ω = sup {γ · 3 : γ < ω} .2‬‬
‫‪.2 · ω = ω = 3 · ω .3‬‬
‫‪ .4‬ניקח ‪ .β = B = ω ,α = 3‬החישוב מופיע בסעיף ‪ .2‬‬
‫תרגיל ‪ 5‬הוכיחו שלכל ‪ α‬ולכל ‪ β‬גבולי‪ α · β ,‬גבולי‪ ,‬וגם ‪ β · α‬גבולי‪.‬‬
‫פתרון נניח כי ‪ β‬גבולי‪ .‬נניח בשלילה כי ‪ α · β‬עוקב‪ .‬אם כן‪ ,‬יש בו איבר אחרון‪α · β .‬‬
‫ניתן לתיאור כקבוצה ‪ ,α × β‬עם הסדר המילוני הימני‪ ,‬ואנו נסמן את האיבר האחרון‬
‫המתאים על ידי )‪ .(γ, δ‬אבל במקרה זה‪ ,‬גם ‪ ,(γ, δ + 1) ∈ α × β‬וזה איבר גדול‬
‫יותר‪ ,‬כי ‪ β‬גבולי‪ ,‬ובסתירה לכך שלקבוצה הסדורה ‪ α × β‬יש איבר אחרון‪.‬‬
‫הדרך להראות כי ‪ β · α‬דומה‪ .‬‬
‫משפט )חילוק סודרים( יהיו ‪ α, β‬סודרים‪ .β > 0 ,‬אזי קיימים ויחידים ‪ γ, δ‬כך ש‪:‬‬
‫• ‪,α = βγ + δ‬‬
‫• ‪.δ < β‬‬
‫במקרה זה נסמן ‪.δ = α mod β‬‬
‫תרגיל ‪ 6‬חשבו את ‪.ω + ω mod ω ,ω mod 5‬‬
‫פתרון מתקיים ‪ ω = 5ω + 0‬וכן ‪ ,ω + ω = ω · 2 + 0‬ולכן שתי השאריות בשאלה הן ‪ .0‬‬
‫‪3‬‬
‫חזקות סודרים‬
‫תרגיל ‪ 7‬נגדיר ברקורסיה על הטבעיים את הסדרות הבאות‪:‬‬
‫• ‪.α0 = β0 = ω‬‬
‫• ‪.αn+1 = ω αn‬‬
‫‪βnω‬‬
‫= ‪.βn+1‬‬
‫‪ .1‬חשבו את }‪.sup {βn : n ∈ ω‬‬
‫‪ .2‬מסמנים }‪ . = sup {αn : n ∈ ω‬מי מהגבולות יותר גדול?‬
‫‪3‬‬
‫‪ .3‬הוכיחו כי הוא הסודר ‪ α‬הראשון המקיים ‪.ω α = α‬‬
‫פתרון‬
‫‪ .1‬נחשב את האיברים הראשונים בסדרה‪:‬‬
‫‪ω‬‬
‫=‬
‫‪β0‬‬
‫‪ωω‬‬
‫=‬
‫‪β1‬‬
‫=‬
‫‪β2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ω‬‬
‫) ‪(ω ω ) = ω ω·ω = ω (ω‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ω‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫) ‪ω (ω‬‬
‫) ‪= ω (ω )·ω = ω (ω‬‬
‫‪β3‬‬
‫‪n‬‬
‫ניתן לנחש כי האיבר ה־‪ n‬בסדרה הוא ) ‪ ,βn = ω (ω‬ואז להראות זאת‬
‫‪ω‬‬
‫באינדוקציה‪ .‬אם כן‪ ,‬הגבול של סדרה זו הוא ) ‪.ω (ω‬‬
‫‪ .2‬לפי האמור בסעיף הקודם‪ ,‬הגבול של הסדרה ‪ βn‬הוא ‪ ,α2‬ולכן ברור ש־ גדול‬
‫יותר‪.‬‬
‫‪ .3‬ברור ש־ הוא גבולי‪ ,‬ולכן } < ‪ .ω = sup {ω γ : γ‬מכיוון שפונקציית החזקה‬
‫)עבור בסיס גדול מ־‪ (1‬היא פונקציה מונוטונית ורציפה‪ ,‬מתקיים‬
‫ = }‪ω = sup {ω αn : n ∈ ω} = sup {αn : n ∈ ω‬‬
‫אם כן הראנו ש־ מקיים הדרוש‪ .‬נותר להראות כי הוא הקטן ביותר המקיים‬
‫זאת‪.‬‬
‫נניח בשלילה כי קיים ‪ > η‬המקיים ‪ .ω η = η‬ברור ש־‪ .ω < η‬מכיוון ש־‪, > η‬‬
‫קיים ‪ n‬כך ש־ ‪ .αn < η ≤ αn+1‬מכיוון שהחזקה היא מונוטונית במובן החזק‬
‫)עבור בסיס גדול מ־‪ ,(1‬מתקיים‬
‫‪αn+1 = ω αn < ω η‬‬
‫ביחד מצאנו ‪ ,η ≤ αn+1 < ω η‬ובסתירה להנחה‪ .‬‬
‫‪4‬‬