פונקציה הופכית

‫דף תרגילים ‪ – 31‬פונקציה חד חד ערכית‪ ,‬מונוטונית והפיכה‬
‫פונקציה חד‪-‬חד ערכית (חח"ע) מתאימה לאיברים שונים בתחום תמונות שונות‬
‫בטווח‪.‬‬
‫פונקציה מונוטונית – רק עולה או רק יורדת‪.‬‬
‫פונקציה מונוטונית ורציפה בהכרח חח"ע‪.‬‬
‫פונקציה הופכית לפונקציה נתונה היא פונקציה חדשה המוגדרת באופן הבא‪:‬‬
‫‪ .3‬התחום שלה הנו הטווח של הפונקציה המקורית‪,‬‬
‫‪ .2‬הטווח שלה הנו התחום של הפונקציה המקורית‪,‬‬
‫‪ .1‬כל ההתאמות הנן הפוכות ‪ -‬לכל איבר בטווח הפונקציה‬
‫המקורית מותאם איבר אחד ויחיד בתחומה‪.‬‬
‫פונקציה הפיכה – ניתן להגדיר לה פונקציה הופכית‪,‬‬
‫)‪ f (x‬חח"ע אם ורק אם )‪ f (x‬הפיכה‪,‬‬
‫במידה ופונקציה אינה הפיכה בכל תחום הגדרתה היא יכולה להיות הפיכה‬
‫בתחומה החלקי‪.‬‬
‫תרגילים‪ :‬עבור כל אחת מהפונקציות )‪ f (x‬הבאות מצא את‬
‫א‪ .‬תחום הגדרתן‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬תחומי ההפיכות ואת הנוסחה )‪ f ( x‬לפונקציה ההופכית‪,‬‬
‫ג‪ .‬תחום ההגדרה לפונקציה ההופכית וטווח ל‪ 2 -‬הפונקציות הנ"ל‪,‬‬
‫ד‪ .‬שרטט סקיצות לשתי הפונקציות – הנתונה ולהופכית שלה‪.‬‬
‫‪, y  f ( x)   x  4 .1 , y  f ( x)  3x  6 .2 , y  f ( x)  2 x  1 .3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪, y  f ( x)  x 2  2 x .6 , y  f ( x)  2 x  3 .5 , y  f ( x)    1 .4‬‬
‫‪, y  f ( x)  x 2  3 .9 , y  f ( x)  x 2  10x  3 .8 , y  f ( x)  x 2  2 x  3 .7‬‬
‫‪, y  f ( x)  5x 2  10x  3 .33 , y  f ( x)  x 2  x  1 .30‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.34 , y  f ( x) ‬‬
‫‪.31 , y  f ( x)   x 2  6 x  9 .32‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2x  1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.37 , y  f ( x) ‬‬
‫‪.36 , y  f ( x) ‬‬
‫‪.35‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪, y  f ( x)  3  x  2 .39 , y  f ( x)  x  3  1 .38‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, y  f ( x) ‬‬
‫‪, y  f ( x) ‬‬
, y  f ( x)   5  x  5 .23 , y  f ( x)   x  1  3 .20
, y  f ( x)   3  x  2 .21 , y  f ( x)   x  3  1 .22
, y  f ( x)  5  x  5 .25 , y  f ( x)  x  1  3 .24
x 1
1
1
, x  R ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)  2
‫תשובות‬
, x  R ‫ תחום מרבי‬.3
x3
x6
.5 , f 1 ( x)  4 x  4 .4 , f 1 ( x)   x  4 .1 , f 1 ( x) 
.2
2
3
1
1
, x  1 ‫ הוא‬f ( x ) ‫ תחום של‬, f ( x)  x  1  1 , x  1 ‫ תחום מרבי‬.6
, f 1 ( x) 
1
1
, x  4 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)  x  4  1 , x  1 ‫ תחום מרבי‬. 7
‫ הוא‬f 1 ( x) ‫ תחום של‬, f 1 ( x)  x  28  5 , x  5 ‫ תחום מרבי‬.8
, x  5 ‫ הוא‬f 1 ( x ) ‫ טווח של‬, x  28 ‫ הוא‬f (x) ‫ טווח של‬, x  28
1
1
, x  3 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)  x  3 , x  0 ‫ תחום מרבי‬.9
‫ הוא‬f 1 ( x) ‫ תחום של‬, f 1 ( x)  x  0.75  0.5 , x  0.5 ‫ תחום מרבי‬.30
, x  0.75
2 x
 1 , x  1 ‫תחום מרבי‬
5
1
1
, x  0 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)   x  3 , x  3 ‫תחום מרבי‬
x 1
1
1
, x  0 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, x  f ( x)  x , x  1 ‫תחום מרבי‬
2x  1
1
1
, x  1 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, x  f ( x)  1  x , x  2 ‫תחום מרבי‬
2x  2
1
1
, x  0 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, x  f ( x)  x , x  2 ‫תחום מרבי‬
x 1
1
1
, x  1 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, x  f ( x)  x  1 , x  1 ‫תחום מרבי‬
2x  1
1
1
, x  2 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, x  f ( x)  2  x , x  2 ‫תחום מרבי‬
1
1
2
, x  1 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)  x  2 x  2 , x  3 ‫תחום מרבי‬
1
1
, x  2 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x) 
, x  2 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)   x  4 x  1 , x  3
1
1
2
, x  3 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)  x  6 x  8 , x  1
1
1
2
, x  5 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)   x  10x  20 , x  5
1
1
2
, x  1 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)  x  2 x  2 , x  3
1
1
2
, x  2 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)   x  4 x  1 , x  3
1
1
2
, x  3 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)  x  6 x  8 , x  1
1
1
2
. x  5 ‫ הוא‬f ( x) ‫ תחום של‬, f ( x)   x  10x  20 , x  5
1
1
2
2
‫תחום מרבי‬
‫תחום מרבי‬
‫תחום מרבי‬
‫תחום מרבי‬
‫תחום מרבי‬
‫תחום מרבי‬
‫תחום מרבי‬
.33
.32
.31
.34
.35
.36
.37
.38
.39
.20
.23
.22
.21
.24
.25