חדוא 3־ תרגיל בית 8

‫חדוא ‪3‬־ תרגיל בית ‪8‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו כי שתי ההגדרות של העתקה פתוחה הן שקולות‪.‬‬
‫תוכלו למצוא את שתי ההגדרות ברשימות המרצה בעמוד ‪.53‬‬
‫רעיון לפתרון‪ :‬אם אנחנו מניחים את הגדרה ‪ 3b1‬ויהי ‪ x ∈ X‬ו־ ‪ V‬סביבה של ‪ .x‬אז קיימת‬
‫‪ x ∈ U ⊂ V‬פתוחה‪ .‬עתה לפי ההגדרה ‪ 3b1‬מתקיים ש־ ) ‪ f (U‬פתוחה גם היא‪ ,‬כלומר ) ‪ f (V‬היא‬
‫סביבה של )‪ f (x‬כנדרש‪ .‬אם אנחנו מניחים את הגדרה ‪ 3b2‬תהי ‪ U‬קבוצה פתוחה‪ .‬עתה‪ ,‬לפי‬
‫הגדרה ‪ 3b2‬לכל ‪ x ∈ U‬קיימת קבוצה פתוחה ‪ x ∈ Ux ⊂ U‬כך ש־ ) ‪ f (x) ∈ f (Ux‬פתוחה‪ .‬עתה‬
‫[‬
‫= ) ‪f (U‬‬
‫) ‪f (Ux‬‬
‫‪x∈U‬‬
‫ולכן ) ‪ f (U‬קבוצה פתוחה כאיחוד של כאלו‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכיחו או הפריכו‪ :‬העתקה רציפה ‪ f : R → R‬היא העתקה פתוחה אם ורק אם היא מונוטונית‬
‫ממש‪.‬‬
‫רעיון לפתרון‪ :‬נכון‪ .‬היזכרו בהוכחה שעשינו בחדוא ‪ 1‬כדי להראות שהעתקה רציפה היא חד‬
‫חד ערכית אם ורק אם היא מונוטונית ממש‪ .‬אם ההעתקה אינה מונוטונית‪ ,‬אז יש שלוש נקודות‬
‫שמקיימות ‪ x < y < z‬אבל )‪ f (x) < f (y) > f (z‬או )‪ f (x) > f (y) < f (z‬ומכאן מתקבלת‬
‫הסתירה‪.‬‬
‫‪ .3‬הוכיחו כי קבוצה ‪ A‬במרחב מטריזבילי ‪ X‬היא פתוחה אם ורק אם כל קבוצה פתוחה בטופולוגיה‬
‫היחסית שמשרה ‪ ,A‬היא קבוצה פתוחה )ב־‪(X‬‬
‫רעיון לפתרון‪ :‬אם ‪ A‬פתוחה‪ ,‬אז כל קבוצה פתוחה בטופולוגיה היחסית היא חיתוך של שתי קבוצות‬
‫פתוחות ולכן פתוחה‪ .‬אם כל קבוצה פתוחה בטופולוגיה היחסית היא פתוחה ב־‪ ,X‬אז בפרט ‪A‬‬
‫פתוחה‪.‬‬
‫‪ .4‬יהיו ‪ X, Y‬מרחבים מטריזביליים‪ V ⊂ Y ,U ⊂ X ,‬ויהי ‪ f : U → V‬הומיאומורפיזם‪ U ,‬קבוצה‬
‫פתוחה‪ .‬הוכיחו כי ‪ f‬העתקה פתוחה אם ורק אם ‪ V‬קבוצה פתוחה‪.‬‬
‫רעיון לפתרון‪ :‬אם ‪ f‬העתקה פתוחה‪ ,‬אז ) ‪ V = f (U‬פתוחה כי ‪ U‬פתוחה‪ .‬אם ‪ V‬פתוחה‪ ,‬אז לכל‬
‫קבוצה פתוחה ‪ A ⊂ U‬מתקיים ש־ ‪ Ac‬סגורה בטופולוגיה היחסית‪ .‬משום ש־ ‪ f‬הומיאומורפיזם‬
‫הרי שהיא רציפה ותמונה של קבוצה סגורה היא סגורה‪ ,‬ולכן ) ‪ f (Ac‬קבוצה סגורה‪ .‬ואולם משום‬
‫שזו פונקציה חד חד ערכית אז )‪ f (Ac ) = V \ f (A‬ולכן ‪ f (A) = V ∩ (f (Ac ))c‬פתוחה כחיתוך‬
‫של שתי קבוצות פתוחות‪.‬‬
‫‪ .5‬תהי ‪ U ⊂ R‬קבוצה פתוחה‪ ,‬ותהי ‪ f : U → R‬העתקה רציפה וחד חד ערכית‪ .‬הראו ש־ ‪ f‬היא‬
‫העתקה פתוחה‪.‬‬
‫רעיון לפתרון‪ :‬נראה שלכל ‪ x ∈ U‬מתקיים ))‪ f ((x − δ, x + δ‬פתוחה לכל ‪ δ > 0‬קטן מספיק כך‬
‫ש־ ‪) [x − δ, x + δ] ⊂ U‬חשבו מדוע זה מספיק?(‪ .‬משום ש־ ‪ f‬מונוטונית הרי ש ))‪f ((x − δ, x + δ‬‬
‫אנטרוול‪ .‬עתה אם אינו פתוח אז אחד מהקצוות סגור‪ .‬נניח בלי הגבלת הכלליות שהימני סגור‪ ,‬אז‬
‫קיים )‪ y ∈ (x − δ, x + δ‬כך ש־ )‪ lim f (x0 + δ − h) = f (y‬מצד שני משום ש־ ‪ f‬רציפה הרי ש־‬
‫‪h→0‬‬
‫)‪ lim f (x0 + δ − h) = f (x0 + δ‬וזו סתירה לכך ש־ ‪ f‬חד חד ערכית‪.‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪ .6‬נסחו והוכיחו את משפט כופלי לגראנז במקרה שבו ‪ n = 3‬ו־ ‪ g : R3 → R2‬ללא שימוש במה‬
‫שעשינו בכיתה )כלומר רשמו את ההוכחה במדוייק‪ ,‬אל תאמרו ראינו בכיתה ש‪.(...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .7‬הרחיבו את משפט כופלי לגראנז למקרה שבו ‪ g : Rn → Rm‬אבל ‪ .m < n − 1‬נסחו את המשפט‬
‫והוכיחו אותו‪.‬‬
‫רמז‪ :‬קראו את ההוכחה של טענה ‪ 3e1‬עמוד ‪ 59‬ברישמות המרצה וחשבו איך להרחיבה למקרה‬
‫הכללי‪.‬‬
‫נבחר ‪ a1 , · · · , an−1−m‬כך ש־ ‪ ∇f (x0 ), ∇g1 (x0 ), · · · , ∇gm (x0 ), a1 , · · · , an−1−m‬הם בלתי‬
‫תלויים לינארית ונגדיר ‪ gj (x) = hx, aj i − const‬כאשר הקבוע הוא כלשהו‪ .‬עכשיו נשתמש‬
‫במה שהוכחנו בכיתה ונקבל את המסילה שרצינו‪ .‬המסילה תקיים תנאים נוספים שלא כפינו עליה‪,‬‬
‫אבל זה לא מפריע‪.‬‬
‫‪ .8‬נתבונן במישור האפיני המוגדר על ידי המשוואה ‪ .αx + βy + γz = c‬זהו מישור אפיני המוכל ב־‬
‫‪ .R3‬מצאו את הנקודה על המישור הזה‪ ,‬שהיא הכי קרובה לראשית‪.‬‬
‫רמז‪ :‬שימו לב מה היא פונקציית האילוצים ומהי הפונקציה שאנו מנסים למצוא לה אקסטרמום‪.‬‬
‫רעיון לפתרון‪ :‬הפונקציה היא ‪ f (x, yz) = x2 +y 2 +z 2‬האילוץ הוא ‪.g(x, y, z) = αx+βy+γz−c‬‬
‫התשובה הסופית היא‬
‫‪cβ‬‬
‫‪cγ‬‬
‫‪cα‬‬
‫‪,‬‬
‫‪y‬‬
‫=‬
‫‪,‬‬
‫‪z‬‬
‫=‬
‫‪α2 + β 2 + γ 2‬‬
‫‪α2 + β 2 + γ 2‬‬
‫‪α2 + β 2 + γ 2‬‬
‫הערך המינימלי הוא‬
‫|‪|c‬‬
‫‪α2 +β 2 +γ 2‬‬
‫=‪x‬‬
‫√‬
‫‪ .9‬מצאו נקודה על הישר בחיתוך הבא‪:‬‬
‫}‪{αx + βy + γz = c} ∩ {x + y + z = 1‬‬
‫שהכי קרובה לראשית‪.‬‬
‫רעיון לפתרון‪ :‬הפונקציה היא ‪ f (x, yz) = x2 + y 2 + z 2‬האילוץ הוא‬
‫)‪g(x, y, z) = (αx + βy + γz − c, x + y + z − 1‬‬
‫‪ .10‬הוכיחו את החלק השני של אי שיוויון הממוצעים באמצעות שימוש בכופלי לגראנז‪:‬‬
‫‪! n1‬‬
‫‪xj‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Y‬‬
‫≤‬
‫‪j=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪x−1‬‬
‫רמז‪j − 1 :‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪...‬‬
‫= ) ‪g(x1 , · · · , xn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪+ ··· +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x1‬‬