Document

‫אוניברסיטת בן־גוריון בנגב ‪ -‬המחלקה למתמטיקה‬
‫חדו"א להנדסת מכונות ‪ - (201-1-9711) 1‬סמסטר א' תשע"ה‬
‫פתרון תרגיל ‪2‬‬
‫‪ .1‬מצאו את התמונה של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫)א( ‪ .f (x) = x2 − 2x + 2 ,f : [−2, 3] → R‬לפונקציה זו אין שורשים ממשיים‪ .‬נראה כי ‪f (x) ≥ 1‬‬
‫וכי הערך ‪ 1‬מתקבל בתחום הנתון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f (x) ≥ 1 ⇐⇒ x − 2x + 2 ≥ 1 ⇐⇒ x − 2x + 1 ≥ 0 ⇐⇒ (x − 1)2 ≥ 0‬וזה כמובן‬
‫מתקיים‪ .‬בנוסף‪ ,‬קל לראות שהערך ‪ 1‬הוא הערך המינימלי שהפונקציה יכולה לקבל‪ ,‬ושערך זה‬
‫מתקבל בנקודה ‪ 1‬שנמצאת בתחום הנתון‪ .‬הערך המקסימלי של הפונקציה מתקבל באחד הקצוות‪.‬‬
‫מהצבה נקבל ש ‪ f (−2) = 10, f (3) = 5‬זאת אומרת שהערך המקסימלי שהפונקציה מקבלת‬
‫בקטע הוא ‪ .10‬היות שגרף הפונקציה הוא קו רציף‪ ,‬נובע שהפונקציה מקבלת כל ערך בין ‪ 1‬ל־‪,10‬‬
‫ולכן התמונה שלה היא ]‪.[1, 10‬‬
‫)ב( ‪ .f (x) = x2 − 200x + 7 ,f : [−5, 5] → R‬יהיו ‪ .−5 ≤ x1 < x2 ≤ 5‬אזי‬
‫‪ .f (x2 ) − f (x1 ) = x22 − x21 − 200(x2 − x1 ) = (x2 − x1 )(x2 + x1 − 200) < 0‬לכן הפונקציה ‪f‬‬
‫היא מונוטונית יורדת ממש בתחום הנתון‪ .‬לכן הערך המקסימלי שלה מתקבל בקצה הימני‪ ,‬והערך‬
‫המינימלי שלה מתקבל בקצה הימני‪ .‬ע''י הצבה‪ ,‬נקבל שהתמונה היא ]‪.[−968, 1032‬‬
‫)ג( ‪ .f (x) = x3 + 2 ,f : {3, 4, 5} → Q‬ע''י הצבת שלושת איברי התחום בפונקציה‪ ,‬נקבל שהתמונה‬
‫היא }‪.{29, 66, 127‬‬
‫‪ .2‬בכל אחד מהסעיפים הבאים‪ ,‬רישמו ביטוי מפושט עבור הפונקציות ‪ f ◦ g‬ו־ ‪ ,g ◦ f‬וכן את תחומי ההגדרה‬
‫הטבעיים של ‪ :g ◦ f ,f ◦ g,g,f‬נסמן ))‪ ,G(x) = g(f (x)), F (x) = f (g(x‬ונסמן ב־ ‪ Df‬את תחום‬
‫ההגדרה הטבעי של הפונקציה ‪.f‬‬
‫√‬
‫)א( ‪g(x) = x2 ,f (x) = x‬‬
‫)∞ ‪.Df = [0, ∞), Dg = R, F (x) = |x|, DF = R, G(x) = x, DG = [0,‬‬
‫)ב( )‪g(x) = 2x ,f (x) = log4 (x‬‬
‫√‬
‫)∞ ‪.Df = [0, ∞), Dg = R, F (x) = x2 , DF = R, G(x) = x, DG = [0,‬‬
‫)ג( )‪g(x) = x2 ,f (x) = log10 (x‬‬
‫)∞ ‪.Df = [0, ∞), Dg = R, F (x) = 2 log10 |x|, DF = R\{0}, G(x) = log210 x, DG = (0,‬‬
‫)ד( )‪g(x) = arcsin(x) ,f (x) = sin(5x + 1‬‬
‫‪Df = R, Dg = [−1, 1], F (x) = sin(5 arcsin(x) + 1), DF = [−1, 1],‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2πk‬‬
‫‪5x + 1 + 2πk,‬‬
‫‪− 10‬‬
‫‪− 15 + 2πk‬‬
‫‪5 ≤ x ≤ 10 − 5 + 5‬‬
‫{ = ))‪G(x) = arcsin(sin(5x+1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2πk‬‬
‫‪(2k + 1)π − (5x + 1), 10‬‬
‫‪− 15 + 2πk‬‬
‫‪5 ≤ x ≤ 10 − 5 + 5‬‬
‫עבור ‪ k‬שלם‪.‬‬
‫‪π π‬‬
‫הסבר‪ :‬לכל ‪ ,x‬נסמן ‪ .y = 5x + 1‬הפונקציה ‪ arcsin‬הופכית ל־‪ sin‬רק בקטע ] ‪.[− 2 , 2‬‬
‫‪ [ π2 , 3π‬כך ש־ ‪ y − 2πk‬נמצא באחד הקטעים‬
‫לכן‪ ,‬צריך למצוא נקודה ‪ a‬בקטע זה‪ ,‬או בקטע ] ‪2‬‬
‫הללו‪ .‬ואז‪ ,‬מממחזוריות פונקציית הסינוס‪ ,‬נובע ש ‪.sin y = sin a‬‬
‫אם ] ‪ a ∈ [− π2 , π2‬אז ‪arcsin(sin y) = arcsin(sin a) = a‬‬
‫‪ a ∈ [ π2 , 3π‬אז ‪ arcsin(sin y) = arcsin(sin a) = arcsin(sin(π − a)) = π − a‬כאשר‬
‫ואם ] ‪2‬‬
‫השיוויון האמצעי נובע מסימטריה של פונקצית הסינוס ביחס לישר ‪.x = π2‬‬
‫כעת נותר לבודד את ‪ .x‬למשל‪ ,‬במקרה ש ] ‪ a = y − 2πk = 5x + 1 − 2πk ∈ [− π2 , π2‬נבודד את‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2πk‬‬
‫‪ − 10‬ואז ‪.arcsin(sin(5x + 1)) = 5x + 1 + 2πk‬‬
‫‪− 15 + 2πk‬‬
‫‪ x‬ונקבל ש ‪5 ≤ x ≤ 10 − 5 + 5‬‬
‫המקרה השני דומה‪.‬‬
‫‪.DG = R‬‬
‫)ה( )‪g(x) = cos(x) ,f (x) = arcsin(x‬‬
‫‪Df = [−1, 1], Dg = R,‬‬
‫‪π‬‬
‫‪0 + 2πk ≤ x ≤ π + 2πk‬‬
‫‪2 − x + 2πk,‬‬
‫{ = )) ‪F (x) = arcsin(cos(x)) = arcsin(sin(x+ π2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−(2k + 1)π − 2 + x, π + 2πk ≤ x ≤ 2π + 2πk‬‬
‫עבור ‪ k‬שלם‪.‬‬
‫‪.DF = R‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫]‪.G(x) = 1 − x , DG = [−1, 1‬‬
‫‪ .3‬עבור כל אחת מהפונקציות הבאות בדקו אם הפונקציה חד־חד ערכית בתחום הגדרתה‪ .‬במידה וכן‪,‬‬
‫מצאו את הפונקציה ההופכית ואת תחום הגדרתה‪ ,‬שיסומן ב־‪:D‬‬
‫)א(‬
‫‪−y‬‬
‫√‬
‫= ‪ y = f (x) = −x2 ⇐⇒ x‬ולכן ]‪−x, D = (−∞, 0‬‬
‫√‬
‫‪f (x) = −x2 , x ≥ 0,‬‬
‫= )‪.f −1 (x‬‬
‫√ ‪1 − x2 , 0 ≤ x‬‬
‫‪≤ 1,‬‬
‫)ב(‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫‪ y = f (x) = 1 − x2 ⇐⇒ x = 1 − y 2‬ולכן ]‪.f −1 (x) = 1 − x2 , D = [0, 1‬‬
‫)ג(‬
‫‪y−1‬‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫= ‪+ 1 ⇐⇒ x‬‬
‫)ד(‬
‫‪= R.‬‬
‫‪x2 ), D‬‬
‫‪1+‬‬
‫√‬
‫‪x3‬‬
‫= )‪ y = f (x‬ולכן ‪x − 1, D = R‬‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫‪f (x) = x3 + 1,‬‬
‫=‬
‫)‪.f −1 (x‬‬
‫‪∈ R,‬‬
‫‪= ln(x +‬‬
‫√‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)‪f −1 (x‬‬
‫‪ex −e−x‬‬
‫‪,x‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪f (x) = cos(x), −3π ≤ x ≤ −2.5π,‬‬
‫)ה(‬
‫)‪f −1 (x‬‬
‫‪= 2π − arccos x, D = [−1, 0].‬‬
‫√‬
‫)ו( ) ‪ 0 ≤ x ≤ 5 ,f (x) = sin( π4 x2‬לא חח''ע‪.‬‬
‫‪ .4‬עבור כל אחת מהפונקציות הבאות‪ ,‬קבעו האם הפונקציה היא מונוטונית עולה‪ ,‬מונוטונית יורדת‪ ,‬מונוטונית‬
‫עולה ממש‪ ,‬מונוטונית יורדת ממש‪ ,‬או שאינה מונוטונית‪:‬‬
‫)א( ‪ f : R → R, f (x) = x2‬לא מונוטונית‪ ,‬כי )‪.f (−1) > f (0) < f (1‬‬
‫)ב( ‪f : [0, ∞) → [0, ∞), f (x) = x2‬‬
‫מונוטונית עולה ממש‪ ,‬כי אם ‪ 0 ≤ x1 < x2‬אז‬
‫‪ f (x2 ) − f (x1 ) = x22 − x21 = (x2 − x1 )(x2 + x1 ) > 0‬היות שזו מכפלת מספרים חיוביים‪.‬‬
‫)ג( )‪ f : R → R, f (x) = sin(x‬לא מונוטונית‪ ,‬כי )‪.f (0) < f ( π2 ) > f (π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f : (−2, ∞) → (0, ∞), f (x) = 2x+4‬‬
‫)ד(‬
‫מונוטונית יורדת ממש‪ ,‬כי אם ‪ −2 ≤ x1 < x2‬אז‬
‫) ‪1 −x2‬‬
‫‪.f (x2 ) − x(x1 ) = 2x21+4 − 2x11+4 = (2x22(x‬‬
‫‪+4)(2x1 +4) < 0‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן להוכיח כי אם ‪ f‬פונקציה עולה ו ‪ f (x) 6= 0‬לכל ‪ ,x ∈ D‬אז הפונקציה‬
‫מונוטונית יורדת בתחום ‪.D‬‬
‫‪p‬‬
‫)ה( )‪f : [0, π2 ] → R, f (x) = sin(x‬‬
‫מונוטונית עולה ממש‪ ,‬כי סינוס עולה בתחום זה‪ ,‬ולכן אם ‪ 0 ≤ x1 < x2 ≤ π2‬אז‬
‫) ‪ 0 ≤ sin(x1 ) < sin(x2‬והיות שפונקציית השורש היא פונקציה עולה‪ ,‬נקבל ש ) ‪.f (x1 ) < f (x2‬‬
‫היא‬
‫)ו( ‪ f : R → R, f (x) = bxc‬פונקציה זו נקראת ''פונקציית הערך השלם''‪ ,‬והיא מתאימה לכל מספר‬
‫ממשי את המספר השלם המקסימלי הקטן או שווה לו‪.‬‬
‫מונוטונית עולה‪ :‬אם ‪ x1 < x2‬אז מהגדרה‪ ,‬השלם המקסימלי הקטן או שווה ל ‪ x1‬הוא קטן‬
‫או שווה לשלם המקסימלי הקטן או שווה ‪ .x2‬נשים לב שפונקציה זו אינה עולה ממש‪ ,‬כי למשל‬
‫‪.b1c = 1 = b1.5c‬‬
‫‪ .5‬עבור כל אחת מהפונקציות הבאות‪ ,‬קבעו האם הפונקציה מחזורית‪ ,‬ואם כן‪ ,‬חשבו את המחזור שלה‪.‬‬
‫)א( ‪ f : R → R, f (x) = x2‬לא מחזורית‪ ,‬כי בחלק החיובי‪ ,‬ככל ש־‪ x‬גדל ערך הפונקציה גדל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫)ב( )‪ f : R → R, f (x) = sin(3x‬מחזורית‪ ,‬עם מחזור‬
‫‪2π‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪.T‬‬
‫)ג( ) ‪ f : R → R, f (x) = cos( x4‬מחזורית‪ ,‬עם מחזור ‪.T = 8π‬‬
‫)ד( ) ‪ f : R → R, f (x) = sin(3x) + cos( x4‬מחזורית‪ ,‬עם מחזור ‪.T = 8π‬‬
‫)ה( ‪ f : R → R, f (x) = bxc‬לא מחזורית‪ ,‬כי ככל ש־‪ x‬גדל ערך הפונקציה גדל‪.‬‬
‫)ו( ‪ f : R → R, f (x) = bxc − x‬מחזורית‪ ,‬עם מחזור ‪.T = 1‬‬
‫‪ .6‬הוכיחו באינדוקציה את הטענה הבאה‪ :‬אם ‪ f : R → R‬פונקציה מחזורית בעלת מחזור ‪ ,T‬אז לכל‬
‫מספר טבעי ‪ n‬ולכל ‪ x‬ממשי מתקיים )‪ .f (x + nT ) = f (x‬נוכיח את הטענה באינדוקציה על ‪ .n‬יהי‬
‫‪ x‬ממשי כלשהו‪ .‬עבור ‪ n = 1‬מתקיים )‪ ,f (x + T ) = f (x‬ע''פ ההנחה ש ־ ‪ f‬מחזורית בעלת מחזור ‪.T‬‬
‫נניח ל־ ‪ n − 1‬ונוכיח ל־‪ ,f (x + nT ) = f ((x + (n − 1)T ) + T ) = f (x + (n − 1)T ) = f (x) :n‬כאשר‬
‫השיוויון השני נובע מכך ש ־ ‪ f‬מחזורית בעלת מחזור ‪ ,T‬והשיוויון השלישי נובע מהנחת האינדוקציה‪.‬‬
‫∞} ‪ {an‬סידרה המתכנסת ל־ ‪ .1‬הוכיחו שקיים ‪ N‬כך שלכל ‪ n ≥ N‬מתקיים כי ‪.an < 4‬‬
‫‪ .7‬תהי ‪n=1‬‬
‫מכך שהסדרה מתכנסת ל־‪ ,1‬נובע שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬טבעי‪ ,‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים < |‪.|an − 1‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם ניקח ‪ = 3‬נקבל שקיים ‪ N‬טבעי‪ ,‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪ ,|an − 1| < 3‬כלומר‬
‫‪ −2 < an < 4‬כנדרש‪.‬‬
‫‪ .8‬חשבו את הגבולות הבאים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−2008n+3‬‬
‫‪ limn→∞ 2n +23n‬וזה מתקבל ע''י כך שנכפיל את המונה והמכנה ב־‬
‫)א( ‪= 25‬‬
‫‪5n3 +n2 +2‬‬
‫באריתמטיקה של גבולות ובעובדה ש ‪.limn→∞ n1 = 0‬‬
‫)ב( ‪= 1‬‬
‫‪n2 +n+10‬‬
‫‪n2 −2008n−1‬‬
‫∞→‪limn‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n3‬‬
‫ונשתמש‬