פרק 5 – מבוא לתורת הגרפים - Or-Alfa

Transcription

פרק 5 – מבוא לתורת הגרפים - Or-Alfa
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫פרק ‪ – 5‬מבוא לתורת הגרפים‬
‫גרפים כלליים ‪ -‬הגדרות ותכונות בסיסיות‬
‫מרכיבי הגרף ‪ -‬תהי ‪ V  ‬קבוצה סופית‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫הזוג ‪ G   V, E ‬נקרא‪ :‬גרף לא מכוון‪ ,‬אם"ם ‪ E‬היא קבוצה של זוגות לא‬
‫‪.2‬‬
‫סדורים‪ ,‬אשר איבריהם נמצאים ב‪.V -‬‬
‫הזוג ‪ G   V, E ‬נקרא‪ :‬גרף מכוון‪ ,‬אם"ם ‪ E‬היא קבוצה של זוגות סדורים‪,‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫אשר איבריהם נמצאים ב‪.V -‬‬
‫איברי ‪ V‬נקראים‪ :‬קודקודים או צמתים‪.‬‬
‫איברי ‪ E‬נקראים‪ :‬צלעות (בגרף לא מכוון) או קשתות (בגרף מכוון)‪.‬‬
‫צלע בין הקודקודים ‪ u‬ו‪ v -‬תסומן‪ u, v :‬וקשת בין הקודקודים ‪ u‬ו‪v -‬‬
‫תסומן‪.  u, v  :‬‬
‫‪.5‬‬
‫גרף הינו בלתי תלוי בצורתו הגיאומטרית‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬
‫‪‬‬
‫‪G2   V2 , E2  , V2  1,2,3,4 , E2  1,2  , 1,3 , 3,2  , 3,4  , 4,3‬‬
‫‪‬‬
‫הגרפים הבאים זהים‪:‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫מכאן ואילך נעסוק רק בגרפים לא מכוונים‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫אם ‪ V‬מכילה ‪ n‬איברים‪ ,‬נאמר שהגרף הוא מסדר ‪.n‬‬
‫לולאה בגרף ‪ G   V, E ‬היא צלע מהצורה‪ u, u :‬כאשר‪ , u  V :‬כלומר –‬
‫צלע מהקודקוד ‪ u‬לעצמו‪.‬‬
‫פסאודו‪-‬גרף או מולטי‪-‬גרף הוא גרף בו יש לולאות או ריבוי צלעות‬
‫(כלומר ‪ -‬כמה צלעות בין זוג קודקודים)‪.‬‬
‫גרף פשוט הוא גרף לא מכוון נטול לולאות וללא ריבוי צלעות‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הגרף דלהלן הוא גרף מסדר ‪ ,4‬שכן יש לו ‪ 4‬קודקודים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמא לפסאודו‪-‬גרף‪/‬מולטי‪-‬גרף‪:‬‬
‫דרגות של קודקודים וסוגים נפוצים של גרפים ‪ -‬מכאן ואילך נעסוק רק‬
‫בגרפים פשוטים‪.‬‬
‫‪ .11‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף‪ .‬נאמר ששני קודקודים‪ u, v  V :‬שכנים או סמוכים‪,‬‬
‫אם"ם קיימת צלע המחברת ביניהם‪ ,‬כלומר – אם ‪ . u, v  E‬במקרה זה‬
‫נאמר גם כי הצלע ‪ u, v‬חלה בקודקודים‪.v ,u :‬‬
‫‪ .11‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף‪ .‬הדרגה או הערכיות של קודקוד ‪ v  V‬היא מספר‬
‫הצלעות החלות ב‪ ,v -‬והיא מסומנת ע"י‪ degree(v) :‬או )‪.d(v‬‬
‫‪ .12‬אם ‪ ,degree(v)=0‬הקודקוד ‪ v‬נקרא‪ :‬מבודד‪.‬‬
‫‪ .13‬עבור גרף מכוון‪ ,‬נגדיר את דרגת הכניסה של ‪( v  V‬סימון‪)indegree(v) :‬‬
‫כמספר הקשתות הנכנסות אל ‪ v‬ואת דרגת היציאה של ‪v  V‬‬
‫(סימון‪ )outdegree(v) :‬כמספר הקשתות היוצאות מ‪.v -‬‬
‫נשים לב כי‪. v  V : in deg ree v  out deg ree v  deg ree v :‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬
‫דרגת‪/‬ערכיות הקודקוד ‪ 1‬היא ‪ .2‬לקודקוד ‪ 6‬יש שכן אחד בלבד –‬
‫קודקוד ‪ .4‬הצלע ‪ 2,5‬חלה בקודקודים‪.5 ,2 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪G2   V2 , E2  , V2  1,2,3,4 , E2  1,2  , 1,3 , 3,2  , 3,4  , 4,3‬‬
‫דרגת הקודקוד ‪ 1‬היא ‪ ,2‬כאשר דרגת הכניסה שלו היא ‪ 0‬ודרגת היציאה שלו‬
‫היא ‪ .2‬דרגת הקודקוד ‪ 3‬היא ‪ ,4‬כאשר דרגת הכניסה שלו היא ‪ 2‬ודרגת‬
‫היציאה שלו היא ‪.2‬‬
‫‪ .14‬למת לחיצות הידיים‪ :‬בגרף ‪ G   V, E ‬מתקיים‪.  d  v   2 E :‬‬
‫הוכחה‪ d  v  :‬סופר את הצלעות החלות ב‪.v -‬‬
‫‪ d  v‬‬
‫‪vV‬‬
‫סופר את הצלעות‬
‫‪vV‬‬
‫שחלות בכל קודקודי הגרף‪ .‬מאחר וכל צלע חלה בשני קודקודים שונים‪/‬זרים‪,‬‬
‫‪‬‬
‫הרי ש‪  d  v  -‬סופר כל צלע פעמיים‪ .‬מכאן‪.  d  v   2 E :‬‬
‫‪vV‬‬
‫‪vV‬‬
‫‪ .15‬מסקנה‪ :‬בגרף ‪ G   V, E ‬יש מספר זוגי של קודקודים שדרגתם אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה – נניח בשלילה כי המסקנה אינה נכונה‪ ,‬כלומר –‬
‫בגרף ‪ G‬יש מספר אי‪-‬זוגי של קודקודים שדרגתם אי‪-‬זוגית‪ .‬סכום דרגות כל‬
‫קודקודים אלו הוא מספר אי‪-‬זוגי‪ .‬סכום דרגות שאר קודקודי הגרף ‪ G‬הוא‬
‫מספר זוגי‪ ,‬ולכן סכום הדרגות הכולל בגרף יהיה מספר אי‪-‬זוגי‪ ,‬בסתירה‬
‫‪‬‬
‫ללמת לחיצות הידיים‪.‬‬
‫‪ .16‬הגרף הריק הוא גרף נטול צלעות‪ .‬גרף ריק מסדר ‪ n‬מסומן‪. N n :‬‬
‫‪ .17‬גרף שבו מופיעות כל הצלעות האפשריות נקרא‪ :‬גרף שלם‪.‬‬
‫גרף שלם מסדר ‪ n‬מסומן‪( . K n :‬הוא נקרא גם‪ :‬קליקה מסדר ‪ n‬או ‪-n‬‬
‫קליקה‪).‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫)‪n (n  1‬‬
‫‪ .18‬מספר הצלעות בגרף ‪ K n‬הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה‪ :‬משיקולים קומבינטוריים – מספר הצלעות בגרף שווה למספר‬
‫הזוגות הלא סדורים של קודקודים‪ ,‬אשר ניתן לבחור מתוך קבוצה בת ‪n‬‬
‫‪ n  n  n  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  ‬‬
‫קודקודים‪ ,‬והוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫גרף ריק מסדר ‪: N 5 - 5‬‬
‫‪‬‬
‫גרף שלם מסדר ‪: K 5 - 5‬‬
‫‪.19‬‬
‫יהי ‪ G   V, E ‬גרף ותהי ‪ . S  V‬נאמר ש‪ S -‬קבוצה בלתי תלויה של‬
‫קודקודים או אנטי‪-‬קליקה אם"ם‪( u, v  S: u, v  E :‬כלומר ‪ -‬אין צלעות‬
‫בין הקודקודים ב‪.)S -‬‬
‫‪ .21‬גרף המעגל מסדר ‪ ,n‬המסומן ע"י‪ , C n :‬הוא גרף בעל ‪ n‬קודקודים‪:‬‬
‫‪ V  0,1, 2,..., n  1‬ו‪ n -‬צלעות‪. E  i,i  1 mod n : i  0,1, 2,..., n  1 :‬‬
‫‪ .21‬גרף המסלול מסדר ‪ ,n‬המסומן ע"י‪ , Pn :‬הוא גרף בעל ‪ n‬קודקודים‪:‬‬
‫‪ V  1, 2,3,..., n‬ו‪ n  1 -‬צלעות‪. E  i,i  1 : i  1, 2,3,..., n  1 :‬‬
‫‪ .22‬גרף הקוביה ה‪ n -‬מימדית‪ ,‬המסומן ע"י‪ , Q n :‬הוא גרף שקבוצת קודקודיו‬
‫היא אוסף כל הסדרות הבינאריות באורך ‪ ,n‬אשר בין כל ‪ 1‬סדרות השונות‬
‫בדיוק בקואורדינטה אחת יש צלע מחברת‪.‬‬
‫‪ .23‬בגרף ‪ Q n‬יש ‪ 2n‬קודקודים ו‪ n  2n 1 -‬צלעות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מספר הקודקודים בגרף הוא כמספר הסדרות הבינאריות באורך ‪- n‬‬
‫‪ . 2n‬דרגת כל קודקוד היא ‪ ,n‬ולכן סכום דרגות כל קודקודי הגרף הוא‪. n  2n :‬‬
‫‪n  2n‬‬
‫עפ"י למת לחיצות הידיים‪ ,‬מספר הצלעות בגרף הוא‪ n  2n 1 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬
‫‪ S1  1,4 , S2  1,3 , S3  1,3,6‬הן אנטי‪-‬קליקות לדוגמא ב‪. G1 -‬‬
‫בגרף ‪ K n‬אין אנטי‪-‬קליקות (לא ריקות)‪( .‬הוא נקרא גם‪ ,‬כזכור‪ :‬קליקה מסדר‬
‫‪ n‬או‪-n :‬קליקה‪).‬‬
‫בגרף ‪ N n‬כל תת‪-‬קבוצה של קודקודי הגרף היא אנטי‪-‬קליקה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫גרף המעגל מסדר ‪: C5 - 5‬‬
‫‪‬‬
‫גרף המסלול מסדר ‪: P5 - 5‬‬
‫‪‬‬
‫גרף הקוביה התלת‪-‬מימדית ‪: Q3 -‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .24‬גרף ‪ G‬נקרא‪-d :‬רגולרי‪ ,‬אם"ם דרגת כל קודקודיו היא ‪.d‬‬
‫‪dn‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .25‬מספר הצלעות בגרף ‪-d‬רגולרי מסדר ‪ n‬הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף ‪-d‬רגולרי מסדר ‪ .n‬עפ"י למת לחיצות הידיים‪:‬‬
‫‪dn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪vV‬‬
‫‪vV‬‬
‫‪ .26‬מסקנה‪ :‬לא קיים גרף רגולרי מסדר אי‪-‬זוגי שדרגת הרגולריות שלו היא אי‪-‬‬
‫זוגית‪( .‬למשל‪ :‬לא קיים גרף ‪-1‬רגולרי מסדר ‪)... ,9 ,7 ,1‬‬
‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה – נניח שהמסקנה אינה נכונה‪ ,‬כלומר – קיים גרף‬
‫כזה‪ .‬נסמן ב‪ d -‬את דרגת הרגולריות של הגרף וב‪ n -‬את הסדר שלו‪ .‬נשים‬
‫‪dn‬‬
‫‪‬‬
‫‪ - 2 | d  2 | n  2 | d  n  E ‬סתירה!‬
‫לב כי‪ :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .27‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף‪ .‬הגרף המשלים של ‪ ,G‬המסומן‪ , G  V, E :‬מכיל את‬
‫‪. 2 E   d  v   d  d  n  E ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כל קודקודי ‪ G‬כך שלכל שני קודקודים ‪ , u, v  V‬הם שכנים ב‪ G -‬אם"ם הם‬
‫אינם שכנים ב‪( .G -‬במילים אחרות‪ ,‬אם ‪ G‬מסדר ‪ ,n‬הרי ש‪" G -‬משלים"‬
‫אותו ל‪). K n -‬‬
‫‪ .28‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף ויהי ‪ v  V‬קודקוד כלשהו‪ .‬הגרף‪ G \ v :‬הוא הגרף‬
‫המתקבל מ‪ G -‬ע"י הסרת הקודקוד ‪ v‬וכל הצלעות החלות בו‪ .‬אם ‪ , S  V‬אז‬
‫‪ G \ S‬הוא הגרף המתקבל מ‪ G -‬ע"י הסרת כל הקודקודים ב‪ S -‬והצלעות‬
‫החלות בהם‪ .‬באופן דומה‪ ,‬אם ‪ e  E‬צלע כלשהי‪ ,‬אז ‪ G \ e‬הוא הגרף‬
‫המתקבל מ‪ G -‬ע"י הסרת הצלע ‪( e‬ללא הקודקודים בהם היא חלה)‪.‬‬
‫‪ .29‬הגרף ‪ G '   V' , E' ‬נקרא‪ :‬תת‪-‬גרף של ‪ , G   V, E ‬אם"ם‪:‬‬
‫א‪E'  E , V'  V .‬‬
‫ב‪( u, v  E' : u, v  V' .‬כלומר – הצלעות ב‪ E ' -‬נפרשות ע"י הקודקודים‬
‫ב‪). V ' -‬‬
‫‪ .31‬תת‪-‬גרף '‪ G‬של ‪ G‬נקרא‪ :‬תת‪-‬גרף פורש‪ ,‬אם"ם‪. V  V' :‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫גרף ‪-2‬רגולרי מסדר ‪( 4‬מצולע‪/‬מעגל ‪:) C4 -‬‬
‫‪‬‬
‫גרף ‪-3‬רגולרי מסדר ‪( 8‬גרף הקוביה התלת‪-‬מימדית ‪:) Q3 -‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪‬‬
‫גרף ‪-3‬רגולרי מסדר ‪( 10‬גרף פטרסן – ‪:)Petersen's graph‬‬
‫‪‬‬
‫גרף ‪( G‬צלעותיו מודגמות בקוים מלאים) והגרף המשלים שלו ‪( G -‬צלעותיו‬
‫מודגמות בקוים מרוסקים)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמא לתת‪-‬גרף (מימין) שאינו פורש את הגרף (משמאל)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמאות לתת‪-‬גרפים פורשים של הגרף השלם מסדר ‪:) K 4 ( 4‬‬
‫‪117‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫תרגיל בית מס' ‪ - 13‬מבוא לתורת הגרפים ‪ -‬גרפים כלליים‬
‫ הגדרות ותכונות בסיסיות‬‫הערה‪ :‬השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים‪ ,‬אלא אם כן מצוין אחרת‬
‫בגוף השאלה‪.‬‬
‫‪ .1‬השלימו או סמנו נכון‪/‬לא נכון‪:‬‬
‫א‪ .‬בגרף ‪ K n‬סכום דרגות כל הקודקודים הוא __________‪.‬‬
‫ב‪ .‬כל מצולע הוא גרף _____‪-‬רגולרי‪.‬‬
‫ג‪ .‬הגרף ‪ C n‬הוא גרף _____‪-‬רגולרי‪.‬‬
‫ד‪ .‬הגרף ‪ Pn‬הוא גרף רגולרי‪[ .‬נכון‪/‬לא נכון]‬
‫ה‪ .‬הגרף ‪ Q n‬הוא גרף _____‪-‬רגולרי‪.‬‬
‫ו‪ .‬הגרף ‪ N n‬הוא גרף _____‪-‬רגולרי‪.‬‬
‫ז‪ .‬לכל ‪ N n : n ‬הוא תת‪-‬גרף פורש של ‪[ . K n‬נכון‪/‬לא נכון]‬
‫ח‪ .‬לכל ‪ C n : n ‬הוא תת‪-‬גרף פורש של ‪[ . K n‬נכון‪/‬לא נכון]‬
‫ט‪ .‬לכל ‪ Pn : n ‬הוא תת‪-‬גרף פורש של ‪[ . K n‬נכון‪/‬לא נכון]‬
‫י‪ .‬כל גרף ‪-3‬רגולרי הוא משולש‪[ .‬נכון‪/‬לא נכון]‬
‫‪ .2‬יהי ‪ G‬גרף המכיל ‪ 11‬צלעות‪ .‬ידוע כי לשלושה מקודקודיו ערכיות ‪ 1‬ולכל‬
‫השאר – ערכיות ‪ .1‬מהו הסדר של ‪? G‬‬
‫‪ .3‬יהי ‪ G‬גרף מסדר ‪ n‬המכיל ‪ n  4‬צלעות ואשר ערכיות כל קודקוד בו היא‬
‫לפחות ‪ .1‬הוכיחו כי‪. n  8 :‬‬
‫‪ .4‬הוכיחו‪/‬הפריכו כי‪:‬‬
‫א‪ .‬בגרף מסדר ‪ n‬לא יתכן שסכום דרגות כל קודקודיו יהיה‪. n  n :‬‬
‫ב‪ .‬קיים גרף מסדר ‪ 2n  1‬שהוא ‪ 2n  1‬רגולרי‪.‬‬
‫ג‪ .‬קיים גרף מסדר ‪ 1‬שדרגות קודקודיו הן‪.1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 :‬‬
‫ד‪ .‬קיים גרף מסדר ‪ 1‬שדרגות קודקודיו הן‪.1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 :‬‬
‫ה‪ .‬קיים גרף מסדר ‪ 1‬שדרגות קודקודיו הן‪.1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 :‬‬
‫ו‪ .‬קיים גרף מסדר ‪ 1‬שדרגות קודקודיו הן‪.7 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬הוכיחו‪/‬הפריכו כי‪:‬‬
‫א‪ .‬לא יתכן כי בקבוצה של ‪ 9‬אנשים כל אדם מכיר בדיוק ‪ 1‬אנשים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכל גרף מסדר גדול או שווה ל‪ 1 -‬יש לפחות ‪ 1‬קודקודים בעלי אותה‬
‫ערכיות‪.‬‬
‫‪ .6‬א‪ .‬מהו מספר האנטי‪-‬קליקות בגודל ‪ 2‬בגרף ‪ ? C n‬נמקו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו גודלה של האנטי‪-‬קליקה הגדולה ביותר בגרף ‪ ? Pn‬נמקו‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .7‬גרף פטרסן (‪ )Petersen's graph‬הוא גרף פשוט המוגדר באופן הבא‪:‬‬
‫תהי ‪ A  0,1, 2,3, 4‬קבוצה; לכל זוג איברים מ‪ A -‬מתאים קודקוד בגרף;‬
‫כל שני קודקודים ‪ u, v‬בגרף מחוברים ע"י צלע אם"ם הם מתאימים לזוגות‬
‫זרים של איברי ‪.A‬‬
‫א‪ .‬חשבו את‪ :‬סדר הגרף‪ ,‬מספר צלעותיו‪ ,‬דרגת כל קודקוד בו‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם הגרף רגולרי ? אם כן‪ ,‬מהי דרגת הרגולריות שלו ?‬
‫ג‪ .‬שרטטו את הגרף‪ .‬האם יש בגרף משולשים ו‪/‬או מרובעים ?‬
‫ד‪ .‬יהי ‪ v‬קודקוד כלשהו בגרף פטרסן‪ .‬צאו ממנו והתקדמו בכל פעם לקודקוד‬
‫שכן‪ ,‬מבלי לסגת מיד לקודקוד ממנו הגעתם‪ .‬כמה צעדים לפחות עליכם‬
‫לצעוד בגרף על‪-‬מנת להגיע חזרה לקודקוד המוצא ‪? v‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪119‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫מסלולים‪ ,‬מעגלים‪ ,‬יערות ועצים‬
‫מסלולים‪ ,‬מעגלים ומרחקים ‪ -‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף פשוט‪.‬‬
‫‪ .31‬סדרה של קודקודים‪  v0 , v1 ,..., vp  :‬כך ש‪ , i  0,1,..., p  1: vi , vi 1  E :‬וכך‬
‫שכל הצלעות‪ vi , vi 1 :‬שונות זו מזו‪ ,‬נקראת‪ :‬מסלול או מסילה‪.‬‬
‫אם ‪ , v 0  v p‬אז המסלול נקרא‪ :‬מעגל‪.‬‬
‫אם כל הקודקודים לאורך המסלול שונים זה מזה המסלול נקרא‪ :‬פשוט‪.‬‬
‫אם כל הקודקודים לאורך המעגל שונים זה מזה (פרט‪ ,‬כמובן‪ ,‬לקודקוד‬
‫ההתחלה והסיום) המעגל נקרא‪ :‬פשוט‪.‬‬
‫‪ .32‬אורך המסלול ‪  v0 , v1 ,..., vp ‬הוא ‪ ,p‬כלומר – אורך מסלול בגרף שווה‬
‫למספר הצלעות לאורכו‪ .‬מסלול (מסילה) באורך ‪ 0‬מוגדר כסדרת‬
‫קודקודים בגרף‪ ,‬המכילה קודקוד אחד בלבד‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫כל הנאמר להלן מתייחס לגרף הבא‪:‬‬
‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬
‫‪‬‬
‫מסלולים‪/‬מסילות לדוגמא ב‪: G1 -‬‬
‫‪.  3,4  , 1,5,2,3 , 1,2,3,4,6  , 6,4,5,1,2,3  , 6,4,5, 1,2,3,4 ‬‬
‫‪  6,1, 2 ,  6, 4,6 ,  3, 4,5, 2,1,5, 4‬אינם מסלולים (מסילות) ב‪. G1 -‬‬
‫בסדרת הקודקודים הראשונה (משמאל)‪  6,1, 2  :‬אין צלע מחברת בין‬
‫הקודקודים‪ .1 ,6 :‬בשתי סדרות הקודקודים האחרות‪ ,‬לא כל הצלעות שונות‪.‬‬
‫כך‪ ,‬למשל‪ ,‬בסדרה‪  3, 4,5, 2,1,5, 4 :‬הצלע‪ 4,5 :‬מופיעה יותר מפעם אחת‪.‬‬
‫‪‬‬
‫(שתי הסדרות האחרונות לפעמים מכונות בשם‪ :‬הילוכים‪).‬‬
‫מסלולים פשוטים לדוגמא ב‪. 1,5 , 1,5,2,3 , 1,2,3,4,6  , 6,4,5,1,2,3  : G1 -‬‬
‫מסלולים ב‪ G1 -‬שאינם פשוטים הם‪ ,‬למשל‪. 1,5, 4,3, 2,5 ,  5, 4,3, 2,5 :‬‬
‫מביניהם רק ‪  5,4,3,2,5‬הוא מעגל פשוט ב‪ 1,5, 4,3, 2,5 , G1 -‬כלל אינו‬
‫מעגל‪ .‬במידה וב‪ G1 -‬גם הקודקודים ‪ 3‬ו‪ 5 -‬היו שכנים (כלומר‪ ,‬היה מתקיים‬
‫שגם‪ ,) 3,5 E1 :‬הרי שסדרת הקודקודים‪ 1,5, 4,3,5, 2,1 :‬מהווה מעגל שאינו‬
‫‪‬‬
‫פשוט (שהוא גם‪ ,‬כמובן‪ ,‬מסלול שאינו פשוט)‪.‬‬
‫אורכי המסלולים‪  5 ,  4,5,1, 2,3, 4 ,  6, 4,5,1, 2,3, 4 ,  6, 4,5,1, 2,3 :‬ב‪ G1 -‬הם‪:‬‬
‫‪ 0 ,5 ,6 ,5‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪110‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .33‬יהיו ‪ u, v  V‬שני קודקודים‪ .‬המרחק ביניהם ב‪ ,G -‬המסומן‪ , d  u, v  :‬מוגדר‬
‫כאורך המסלול הקצר ביותר ביניהם‪ .‬אם אין מסלול בין ‪ u‬ל‪ v -‬בגרף ‪,G‬‬
‫מגדירים‪. d  u, v    :‬‬
‫‪ .34‬הקוטר של ‪ G‬הוא המרחק המירבי בגרף בין זוג קודקודים כלשהם‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬
‫‪ ; d 1,3 1,2,3 2 , d 1,6  1,5,4,6 3 , d 1,2   1 , d  4,4   0‬קוטר הגרף ‪ G1‬הוא ‪3‬‬
‫(בדקו)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪G2   V2 , E2  , V2  A,C, D, E , E 2  A,C, D, E‬‬
‫‪ ; d  A, D  d  C, D  d  A, E  d  C, E   , d  A,C   1  d  D, E ‬קוטר‬
‫הגרף ‪ G 2‬הוא ‪( ‬בדקו)‪.‬‬
‫‪ .35‬יהיו ‪ u, v, w  V‬קודקודים כלשהם‪ .‬פונקצית המרחק בין קודקודים נקראת‪:‬‬
‫מטריקה‪ ,‬שכן היא מקיימת את התכונות הבאות‪:‬‬
‫א‪ d  u, v   0 .‬ו‪u  v  d  u, v   0 -‬‬
‫ב‪d  u, v   d  v, u  .‬‬
‫ג‪ .‬אי‪-‬שוויון המשולש‪d  u, v   d  v, w   d  u, w  :‬‬
‫הוכחה‪ :‬תכונות‪ :‬א'‪ ,‬ב' ברורות מעצם הגדרת המושג‪ :‬מסלול בין שני‬
‫קודקודים (‪ u‬ו‪ )v -‬בגרף‪ .‬לצורך הוכחת תכונה ג' (אי‪-‬שוויון המשולש)‪ ,‬נבחין‬
‫בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ o‬אין מסלול בין ‪ u‬לבין ‪ v‬בגרף או אין מסלול בין ‪ v‬לבין ‪ w‬בגרף –‬
‫‪. d  u, v     d  v, w     d  u, v   d  v, w     d  u, w ‬‬
‫‪ o‬יש מסלול בין ‪ u‬לבין ‪ v‬בגרף ויש מסלול בין ‪ v‬לבין ‪ w‬בגרף – יש מסלול‬
‫בין ‪ u‬לבין ‪ w‬בגרף‪ ,‬העובר דרך ‪ ,v‬אולם יתכן שיש מסלול אחר בין ‪u‬‬
‫‪‬‬
‫לבין ‪ w‬בגרף‪ ,‬קצר יותר‪ ,‬אשר אינו עובר דרך ‪.v‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .36‬גרף נקרא‪ :‬קשיר‪ ,‬אם"ם יש בו מסלול בין כל זוג קודקודים‪.‬‬
‫כל הקודקודים בגרף‪ ,‬אשר בין כל שניים מהם יש מסלול‪ ,‬נמצאים באותו‬
‫רכיב קשירות‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬
‫‪ G1‬הוא גרף קשיר – כל הקודקודים בו נמצאים באותו רכיב קשירות‪ .‬יש לו‬
‫רכיב קשירות אחד בלבד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪G2   V2 , E2  , V2  A,C, D, E , E 2  A,C, D, E‬‬
‫‪ G 2‬אינו גרף קשיר – יש לו שני רכיבי קשירות‪. A,C , D, E :‬‬
‫‪ .37‬בכל גרף פשוט יש חלוקה של קודקודיו לרכיבי קשירות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף פשוט כלשהו‪ .‬נגדיר מעל ‪ V‬את היחס הבא‪:‬‬
‫‪v 2  there exists a path from v1 to v 2‬‬
‫‪ . v1, v 2  V : v1‬מספיק להראות כי‬
‫יחס זה הוא יחס שקילות מעל ‪ ,V‬שכן (כזכור) כל יחס שקילות משרה‬
‫חלוקה של הקבוצה מעליה הוא מוגדר‪.‬‬
‫‪ , v  V : v‬שכן לכל קודקוד ‪ v  V‬יש‬
‫רפלקסיביות מתקיימת‪ ,‬כלומר‪v :‬‬
‫מסלול באורך ‪ 0‬ממנו לעצמו‪ .  v, v  :‬סמטריות מתקיימת‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪v2  v2‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪ , v1 , v 2  V : v1‬שכן מאחר ו‪ G -‬אינו מכוון (פשוט)‪ ,‬הרי‬
‫שקיום מסלול מ‪ v1 -‬ל‪ v 2 -‬מחייב קיום מסלול מ‪ v 2 -‬ל‪( . v1 -‬באופן מפורש ‪-‬‬
‫אם קיים ב‪ G -‬המסלול‪  v1, v11, v12 , v13 ,..., v1n 1, v1n , v 2  :‬הרי שקיים ב‪ G -‬גם‬
‫המסלול‪ ).  v 2 , v1n , v1n1,..., v12 , v11 , v1  :‬טרנזיטיביות מתקיימת‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪v2  v2‬‬
‫‪v3  v1‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪ , v1, v 2 , v3  V : v1‬שכן קיום מסלולים ב‪ G -‬מ‪-‬‬
‫‪ v1‬ל‪ v 2 -‬ומ‪ v 2 -‬ל‪ v 3 -‬מחייב קיום מסלול ב‪ G -‬מ‪ v1 -‬ל‪( . v 3 -‬שימו לב כי‬
‫אם ‪ ‬הוא מסלול ב‪ G -‬מ‪ v1 -‬ל‪ v 2 -‬ו‪  -‬הוא מסלול ב‪ G -‬מ‪ v 2 -‬ל‪ , v 3 -‬אין‬
‫כל הכרח כי ההילוך הנוצר משרשור ‪ ‬ל‪   :  -‬יהווה מסלול מ‪ v1 -‬ל‪-‬‬
‫‪ , v 3‬שכן יתכן שלא כל הצלעות בהילוך זה שונות זו מזו‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫יחד עם זאת‪ ,‬כפי שתוכיחו להלן בשאלה ‪ 2‬בתרגיל בית מס' ‪ ,9‬ניתן "לייצר"‬
‫מהילוך זה מסלול ואפילו מסלול פשוט מ‪ v1 -‬ל‪ v 3 -‬ב‪ .G -‬למשל‪ ,‬בגרף ‪G1‬‬
‫שבעמוד הקודם‪ ,‬שרשור המסלול מ‪ 4 -‬ל‪  4,5, 2 :2 -‬למסלול מ‪ 1 -‬ל‪:4 -‬‬
‫‪ 1,5,4 ‬יוצר הילוך‪:‬‬
‫‪ 4,5, 2  1,5, 4,5, 2‬‬
‫‪ 1,5, 4‬שאינו מסלול מ‪ 1 -‬ל‪.2 -‬‬
‫עם זאת‪ ,‬ניתן "לייצר" ממנו מסלול מ‪ 1 -‬ל‪). 1,5,2  :2 -‬‬
‫‪ .38‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף כך ש‪, E  m  0 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . V  n ‬אם ‪ , m  n 1‬אז יש‬
‫ב‪ G -‬לפחות ‪ n  m‬רכיבי קשירות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על מספר הצלעות ‪. m   0 -‬‬
‫בסיס האינדוקציה – ‪ :m=0‬בגרף נטול צלעות (ריק) מסדר ‪ ,n‬יש‪n  0  n :‬‬
‫רכיבי קשירות‪ ,‬כלומר – בגרף ריק מסדר ‪ n‬יש אכן לפחות ‪ n‬רכיבי קשירות‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות ל‪ ) m  0 ( m -‬ונראה נכונות ל‪. m  1 -‬‬
‫יהי ‪ G‬גרף מסדר ‪ n‬עם ‪ m  1‬צלעות ותהי ‪ e‬צלע כלשהי ב‪ .G -‬בגרף ‪, G \ e‬‬
‫המתקבל מ‪ G -‬ע"י הסרת הצלע ‪ ,e‬יש ‪ m‬צלעות ולכן יש בו‪ ,‬עפ"י הנחת‬
‫האינדוקציה‪ ,‬לפחות ‪ n  m‬רכיבי קשירות‪ .‬נוסיף עתה את הצלע ‪ e‬לגרף‬
‫‪ G \ e‬לקבלת הגרף ‪ .G‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ o‬הצלע ‪ e‬מחברת בין שני קודקודים הנמצאים באותו רכיב קשירות של‬
‫‪ - G \ e‬הוספתה לא שינתה את מספר רכיבי הקשירות (שהיו ב‪-‬‬
‫‪ ,) G \ e‬ולכן גם ב‪ G -‬יש לפחות ‪ n  m‬רכיבי קשירות; מאחר ו‪:‬‬
‫‪ , n   m  1  n  m‬הרי שנכון גם לומר כי יש ב‪ G -‬לפחות ‪n   m  1‬‬
‫רכיבי קשירות‪.‬‬
‫‪ o‬הצלע ‪ e‬מחברת שני רכיבי קשירות שונים של ‪ - G \ e‬הוספתה מפחיתה‬
‫ב‪ 1 -‬את מספר רכיבי הקשירות‪ ,‬ולכן יש עתה ב‪ G -‬לפחות ‪n   m  1‬‬
‫( ‪ ) n  m  1  n   m  1‬רכיבי קשירות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .39‬מסקנה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף קשיר‪ .‬מתקיים בו‪. E  V  1 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה – נניח בשלילה כי המשפט אינו נכון‪ ,‬כלומר – ‪G‬‬
‫קשיר ומתקיים בו‪ . E  V  1 :‬נסמן‪ . V  n , E  m :‬מספר הצלעות‬
‫המירבי ב‪ G -‬הוא ‪ ,) m  n  1 ( n  2‬אלא שעפ"י המשפט האחרון‪ ,‬בגרף‬
‫מסדר ‪ n‬בעל לכל היותר ‪ n  2‬צלעות יש לפחות ‪ n   n  2   2‬רכיבי‬
‫קשירות‪ ,‬ולכן אינו קשיר ‪ -‬בסתירה להיות ‪ G‬קשיר‪.‬‬
‫‪ .41‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף קשיר‪ ,‬כך ש‪ V  3 :‬ו‪ . E  V -‬יש ב‪ G -‬מעגל‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‪, m  n  3 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . V  n , E  m , m, n ‬ההוכחה היא‬
‫באינדוקציה על מספר קודקודי הגרף – ‪. n  3‬‬
‫בסיס האינדוקציה – ‪ :n=3‬עבור ‪ 3  n  m‬יש רק גרף (פשוט) אחד כזה – ‪C3‬‬
‫(משולש)‪ ,‬המכיל כמובן מעגל (הוא עצמו)‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות ל‪ ) n  3 ( n -‬ונראה נכונות ל‪. n  1 -‬‬
‫יהי ‪ G‬גרף (קשיר) מסדר ‪ n  1‬כך ש‪ . m  n  1  4 :‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ - v  V : d  v   1 o‬נתבונן בגרף‪ , G \ v :‬המתקבל מ‪ G -‬ע"י הסרת‬
‫הקודקוד ‪ v‬הנ"ל והצלע החלה בו; ב‪ G \ v -‬יש ‪ n‬קודקודים ו‪m  1 -‬‬
‫צלעות (כי‪ ;) d  v   1 :‬מתקיים‪ , m  n  1  4  m  1  n  3 :‬ולכן עפ"י‬
‫הנחת האינדוקציה יש ב‪ G \ v -‬מעגל‪ ,‬שהוא כמובן גם מעגל ב‪.G -‬‬
‫‪o‬‬
‫‪ - v  V : d  v   2‬יהי ‪ v0  V‬קודקוד כלשהו ב‪ ;G -‬נתחיל לעבור על ‪,G‬‬
‫החל מקודקוד זה‪ ,‬מבלי לסגת מיידית לצלע ממנה הגענו זה עתה; מכיוון‬
‫שדרגת כל קודקוד ב‪ G -‬היא לפחות ‪ ,2‬הרי שלא נגיע למבוי סתום;‬
‫מאחר והגרף הוא סופי‪ ,‬הרי שבאיזשהו שלב נגיע לקודקוד בגרף בו כבר‬
‫‪‬‬
‫ביקרנו‪ ,‬מה שמוכיח קיום מעגל ב‪.G -‬‬
‫‪ .41‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף קשיר ותהי ‪ e  E‬צלע בו‪ .‬הגרף ‪ G \ e‬קשיר אם"ם‬
‫הצלע ‪ e‬שייכת למעגל פשוט כלשהו ב‪.G -‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח בנפרד כל כוון של הטענה‪.‬‬
‫‪ : ‬תהי ‪  x, y  V  e  x, y‬צלע כלשהי בגרף ‪ .G‬עפ"י הנתון‪G \ e ,‬‬
‫קשיר ולכן קיים מסלול פשוט מ‪ x -‬ל‪ y -‬בו (הוכחה – שאלה ‪ 2‬להלן בתרגיל‬
‫בית מס' ‪ .)9‬אם נוסיף לגרף ‪ G \ e‬את הצלע ‪ ,e‬נקבל עתה מעגל פשוט‬
‫בגרף ‪ ,G‬הכולל את ‪.e‬‬
‫‪ : ‬יהי ‪ C‬מעגל פשוט בגרף ‪ ,G‬הכולל את הצלע ‪ . e  x, y‬נוכיח ש‪-‬‬
‫‪ G \ e‬קשיר‪ ,‬כלומר – נראה שבין כל שני קודקודים ב‪ G \ e -‬יש מסלול‪.‬‬
‫יהיו ‪ u, v  V‬קודקודים כלשהם ב‪ . G \ e -‬מאחר ו‪ G -‬קשיר‪ ,‬הרי שיש‬
‫מסלול בין ‪ u‬לבין ‪ v‬ב‪ .G -‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ o‬מסלול זה אינו כולל את ‪ – e‬זהו גם מסלול ביניהם ב‪ - G \ e -‬סיימנו‪.‬‬
‫‪ o‬מסלול זה כולל את ‪ – e‬נחליף את הצעד מ‪ x -‬ל‪ y -‬במסלול זה‪ ,‬שנעשה‬
‫דרך הצלע ‪ ,e‬במעגל שמוביל מ‪ x -‬ל‪( y -‬ואשר קיים עפ"י הנתון)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בכל מקרה‪ ,‬נקבל ש‪ G \ e -‬קשיר‪.‬‬
‫יערות ועצים‬
‫‪ .42‬גרף פשוט (לא מכוון) אשר אינו מכיל מעגלים נקרא‪ :‬יער‪.‬‬
‫‪ .43‬יער קשיר נקרא‪ :‬עץ‪( .‬במילים אחרות‪ ,‬עץ הוא גרף פשוט‪/‬לא מכוון‪ ,‬קשיר‪,‬‬
‫אשר אינו מכיל מעגלים‪ ).‬עץ מסדר ‪( n‬בעל ‪ n‬קודקודים) מסומן‪. Tn :‬‬
‫‪ .44‬קודקוד בעץ שדרגתו ‪ 1‬נקרא‪ :‬עלה‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪G2   V2 , E2  , V2  A,C, D, E , E 2  A,C, D, E‬‬
‫‪ G 2‬הוא יער – יש לו שני רכיבי קשירות‪ ,‬אשר כל אחד מהם מהווה עץ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪G1   V1, E1  , V1  1,2,3,4,5,6 , E1  1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6‬‬
‫‪ G1‬אינו יער (ובפרט אינו עץ)‪ ,‬שכן הוא מכיל מעגל‪/‬ים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הגרף הבא הוא עץ (מסדר ‪:)7‬‬
‫הקודקודים‪ 7 ,5 ,3 ,1 :‬הם עלים בעץ הנ"ל‪.‬‬
‫‪ .45‬כל עץ מסדר ‪ n  2‬מכיל עלה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נצא מקודקוד כלשהו בעץ ונלך לאורך מסלול היוצא ממנו‪ ,‬מבלי‬
‫לסגת אל הצלע האחרונה ממנה הגענו‪ .‬מספר הקודקודים בעץ הוא סופי‪,‬‬
‫ואיננו מבקרים באותו קודקוד פעמיים‪ ,‬שכן עץ הוא חסר מעגלים וגם איננו‬
‫נסוגים (בהתאם לאמור לעיל)‪ .‬לכן‪ ,‬בדרך זו נגיע בהכרח לקודקוד שממנו‬
‫איננו יכולים להתקדם עוד – דרגתו של קודקוד כזה היא בהכרח ‪ ,1‬משמע‬
‫‪‬‬
‫זהו עלה‪.‬‬
‫‪ .46‬בעץ מסדר ‪ n‬יש ‪ n  1‬צלעות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ T‬עץ מסדר ‪ .n‬אם ‪ ,n=1‬הרי שיש בו‪ 1  1  0 :‬צלעות‪ .‬אם ‪,n=2‬‬
‫הרי שיש בו‪ 2  1  1 :‬צלעות‪ .‬יהי ‪ T‬עץ מסדר ‪ n  3‬שלו ‪ m‬צלעות‪ .‬מצד‬
‫אחד‪ T ,‬עץ ולכן גרף קשיר ‪ -‬עפ"י מסקנה ‪ 39‬לעיל‪ . m  n  1 :‬מצד שני‪ ,‬אם‬
‫‪ , m  n  3‬הרי שעפ"י משפט ‪ 41‬מתחייב שב‪ T -‬יש מעגל‪ ,‬בסתירה להיותו‬
‫עץ‪ .‬לכן‪ ,‬בהכרח‪ . m  n  1 :‬קיבלנו ש‪ . m  n 1  m  n 1  m  n 1 :‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫עצים מושרשים‪:‬‬
‫‪.74‬‬
‫‪.74‬‬
‫‪.74‬‬
‫‪.55‬‬
‫‪.51‬‬
‫‪.52‬‬
‫‪.53‬‬
‫עץ מושרש הוא עץ בו יש קודקוד אחד מיוחד (מתוייג) הנקרא‪ :‬שורש העץ‪.‬‬
‫יהי ‪ T‬עץ מושרש עם שורש ‪ u‬ויהי ‪ v  u‬קודקוד כלשהו ב‪ .T -‬כל קודקוד‬
‫(אחר) ‪ w‬הנמצא במסלול המחבר את ‪ u‬ל‪ v -‬נקרא‪ :‬אב קדמון של ‪.v‬‬
‫‪ v‬נקרא‪ :‬צאצא של כל קודקוד ‪ w‬כזה הנמצא באותו מסלול‪.‬‬
‫הקודקוד הנמצא "מיד לפני" ‪ v‬במסלול נקרא‪ :‬ההורה (או האב) של ‪ v‬ואילו‬
‫‪ v‬נקרא‪ :‬ילד (או בן) שלו‪.‬‬
‫השורש הוא הקודקוד היחיד ללא הורה (אב)‪.‬‬
‫קודקוד נטול ילדים (בנים) נקרא‪ :‬עלה‪ .‬קודקוד שאינו עלה נקרא‪ :‬קודקוד‬
‫פנימי‪.‬‬
‫דרגת קודקוד היא מספר הילדים (הבנים) שלו‪.‬‬
‫עומק קודקוד הוא אורך המסלול מהשורש אליו‪.‬‬
‫גובה העץ הוא אורך המסלול הארוך ביותר מהשורש לעלה כלשהו בעץ‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫נתון העץ הבא‪:‬‬
‫אם נתייחס לקודקוד ‪ 4‬כאל שורש העץ‪ ,‬הרי שנקבל עץ מושרש‪ .‬העלים בו הם‬
‫הקודקודים‪ .7 ,5 ,3 ,1 :‬שאר הקודקודים בעץ הם קודקודים פנימיים‪.‬‬
‫נתבונן למשל במסלול ‪ 4 :  4,6,7 ‬הוא אב קדמון של ‪ 7‬ו‪ 7 -‬הוא צאצא של ‪4 ,4‬‬
‫הוא ההורה (האב) של ‪ 6‬ו‪ 6 -‬הוא ילד (בן) של ‪.4‬‬
‫הדרגה של הקודקוד ‪ 2‬היא ‪ ,2‬שכן יש לו ‪ 2‬ילדים (‪ 1‬ו‪ .)3 -‬הדרגה של‬
‫הקודקוד ‪ 1‬היא ‪ ,0‬שכן הוא עלה (נטול ילדים)‪ .‬הדרגה של השורש ‪ 4‬היא ‪.3‬‬
‫עומק הקודקוד ‪ 7‬הוא ‪( 2‬מרחקו לשורש ‪ ,)4‬עומק הקודקוד ‪ 6‬הוא ‪ 1‬וגובה העץ‬
‫הוא ‪( 2‬אורך המסלול הארוך ביותר מהשורש ‪ 4‬לעלה כלשהו בעץ)‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫נתון העץ הבא‪:‬‬
‫שורש העץ הוא הקודקוד ‪ .8‬לעץ ‪ 9‬עלים‪ .‬דרגת הקודקוד ‪ 10‬היא ‪ .3‬עומק‬
‫הקודקוד ‪ 16‬הוא ‪ .3‬גובה העץ הוא ‪.4‬‬
‫‪ .54‬עצים נפוצים‪:‬‬
‫עץ ‪K‬י הוא עץ בו דרגת כל קודקוד היא לכל היותר ‪ 0 ( K‬‬
‫‪.) K ‬‬
‫עץ בינארי הוא עץ בו דרגת כל קודקוד היא לכל היותר ‪.2‬‬
‫עץ ‪K‬י מלא הוא עץ בו כל קודקוד הוא עלה או שדרגתו ‪.K‬‬
‫עץ בינארי מלא הוא עץ בו כל קודקוד הוא עלה או שדרגתו ‪.2‬‬
‫עץ ‪K‬י שלם הוא עץ בו כל העלים הם באותו עומק ולכל הקודקודים‬
‫הפנימיים דרגה ‪.K‬‬
‫עץ בינארי שלם הוא עץ בו כל העלים הם באותו עומק ולכל הקודקודים‬
‫הפנימיים דרגה ‪.2‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמא לעץ בינארי‪:‬‬
‫זהו עץ שאינו עץ בינארי מלא או שלם (דרגת הקודקוד הפנימי ‪ G‬היא ‪.)1‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמא לעץ בינארי מלא‪:‬‬
‫כל קודקוד בו הוא עלה או שדרגתו ‪.2‬‬
‫‪117‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫דוגמא לעץ בינארי שלם‪:‬‬
‫לכל העלים אותו עומק ולכל קודקוד פנימי דרגה ‪.2‬‬
‫‪kh 1‬‬
‫‪ .55‬בעץ ‪K‬י שלם בגובה ‪ ,h‬מספר הקודקודים הפנימיים הוא‪:‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k h 1  1‬‬
‫‪.‬‬
‫העלים הוא‪ k h :‬ומספר הקודקודים הכולל הוא‪:‬‬
‫‪k 1‬‬
‫(הוכחה – תרגיל‪ ,‬באינדוקציה ו‪/‬או עפ"י נוסחאות האיבר הכללי והסכום של‬
‫סדרה הנדסית)‬
‫‪ ,‬מספר‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫פתרונות לדוגמא של תרגילים במבוא לתורת הגרפים‬
‫תרגיל‪ :‬יהי ‪ G  V, E ‬גרף פשוט‪ .‬הוכיחו כי הטענות דלהלן שקולות זו לזו‪.‬‬
‫(‪ G )1‬הוא עץ (גרף פשוט‪/‬בלתי מכוון‪ ,‬קשיר‪ ,‬נטול מעגלים)‪.‬‬
‫(‪ )2‬בין כל שני קודקודים ב‪ G -‬קיים מסלול פשוט יחיד‪.‬‬
‫(‪ G )3‬קשיר ומינימלי בתכונה זו‪ ,‬כלומר ‪ -‬אם נסיר צלע כלשהי מ‪ ,E -‬הגרף‬
‫שיתקבל לא יהיה קשיר‪.‬‬
‫(‪ G )4‬קשיר ומתקיים‪. E  V  1 :‬‬
‫(‪ G )5‬נטול מעגלים ומתקיים‪. E  V  1 :‬‬
‫(‪ G )6‬נטול מעגלים ומקסימלי בתכונה זו‪ ,‬כלומר – אם נוסיף ל‪ E -‬צלע‬
‫כלשהי‪ ,‬הגרף שיתקבל יכיל מעגל‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬נראה כי‪. (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (1) :‬‬
‫)‪ : (1)  (2‬יהיו‪ u, v  V :‬קודקודים כלשהם ב‪ .G -‬מאחר ו‪ G -‬עץ‪ ,‬הרי שהוא קשיר‪,‬‬
‫ולכן בהכרח קיים מסלול (פשוט) בין ‪ u‬לבין ‪ .v‬כדי להראות כי מסלול זה יחיד‪,‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ u‬ו‪ v -‬מחוברים ע"י שני מסלולים פשוטים שונים‪ . p1 , p 2 :‬יהי‬
‫‪ w  V‬הקודקוד בו מתפצלים שני מסלולים אלה לראשונה‪ ,‬ויהי ‪ z  V‬הקודקוד‬
‫הראשון בו מתלכדים שני מסלולים אלה מחדש‪( .‬כלומר‪ w ,‬הוא הקודקוד הראשון‬
‫השייך ל‪ p 1 -‬וגם ל‪ p 2 -‬ואילו ‪ z‬הוא הקודקוד הראשון אחרי ‪ w‬השייך ל‪ p 1 -‬וגם ל‪-‬‬
‫‪ .) p 2‬יהי '‪ p‬תת‪-‬המסלול של ‪ p 1‬מ‪ w -‬ועד ‪ z‬ויהי ' '‪ p‬תת‪-‬המסלול של ‪ p 2‬מ‪ w -‬ועד‬
‫‪ .z‬למסלולים‪ p' , p' ' :‬אין קודקודים משותפים‪ ,‬מלבד קודקוד ההתחלה (‪ )w‬וקודקוד‬
‫הסיום (‪ .)z‬לפיכך‪ ,‬אם נשרשר את '‪ p‬עם "המסלול ההפוך" ל‪ , p' ' -‬נקבל מעגל –‬
‫סתירה להיות ‪ G‬עץ (גרף פשוט‪/‬בלתי מכוון‪ ,‬קשיר‪ ,‬נטול מעגלים)‪.‬‬
‫)‪ : (2)  (3‬אם כל שני קודקודים ב‪ G -‬מחוברים ע"י מסלול פשוט יחיד‪ ,‬אזי ‪G‬‬
‫בהכרח קשיר (עפ"י הגדרה)‪ .‬נותר להראות כי הוא מינימלי בתכונה זו (קשירות)‪.‬‬
‫תהי ‪ u, v E‬צלע כלשהי ב‪ .G -‬צלע זו מהווה מסלול מ‪ u -‬ל‪ .v -‬עפ"י הנתון‬
‫(תכונה ‪ ,)2‬צלע זו מהווה את המסלול היחיד מ‪ u -‬ל‪ ,v -‬ולכן אם נסלקה מ‪ G -‬לא‬
‫יהיה מסלול מ‪ u -‬ל‪ v -‬וכך ‪ G‬יהפוך להיות בלתי קשיר‪ .‬לכן‪ G ,‬מינימלי בתכונת‬
‫הקשירות‪.‬‬
‫)‪ : (3)  (4‬מקיומה של תכונה ‪ 3‬נובע באופן ישיר כי ‪ G‬קשיר‪ .‬עפ"י מסקנה ‪39‬‬
‫לעיל‪ ,‬ידוע כי‪ . E  V  1 :‬מספיק להוכיח‪ ,‬אפוא‪ ,‬כי‪ . E  V  1 :‬נוכיח זאת‬
‫באינדוקציה שלמה (מלאה) על‬
‫‪. V  n‬‬
‫בסיסי האינדוקציה‪ :‬עבור גרפים קשירים בהם‪ , V  2 , V  1 :‬ברור כי הם‬
‫מכילים ‪ V  1‬צלעות (‪ 0‬ו‪ 1 -‬בהתאמה)‪.‬‬
‫‪119‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות לכל ‪ 2  V  n‬ונראה נכונות ל‪. V  n  1 -‬‬
‫יהי ‪ G‬גרף מסדר ‪ . n  1‬הוצאתה של צלע כלשהי מ‪ G -‬תחלקו לשני רכיבי‬
‫קשירות‪ ,‬כאשר כל רכיב קשירות מקיים את תכונה ‪ – 3‬מינימלי בקשירותו (אחרת‬
‫– ‪ G‬עצמו לא היה מקיים אותה)‪ .‬עפ"י הנחת האינדוקציה‪ ,‬מספר הצלעות בשני‬
‫רכיבי קשירות אלה הוא לכל היותר ‪ . V  2‬נחזיר עתה את הצלע שהוצאנו ונקבל‬
‫שמספר הצלעות ב‪ G -‬הוא לכל היותר‪ , V  2  1  V  1 :‬משמע‪. E  V  1 :‬‬
‫)‪ : (4)  (5‬נניח כי ‪ G‬הוא גרף קשיר מסדר ‪ n‬המקיים‪ . E  V  1 :‬עלינו להראות‬
‫כי ‪ G‬אינו מכיל מעגלים‪ .‬נניח בשלילה כי ‪ G‬מכיל מעגל המורכב מ‪ k -‬קודקודים‪:‬‬
‫‪ . v1 , v 2 ,..., v k‬יהי ‪ G k  Vk , E k ‬תת‪-‬הגרף של ‪ G‬המורכב ממעגל זה‪ .‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪ . Vk  E k  k‬אם ‪ , k  V  n‬אז חייב להיות קודקוד ‪ , v k 1  V \ Vk‬הסמוך (שכן)‬
‫לקודקוד מסויים ( ‪ ) v i‬במעגל הנ"ל‪ ,‬שכן ‪ G‬קשיר‪ .‬נגדיר את ‪G k 1  Vk 1 , E k 1 ‬‬
‫כתת‪-‬גרף של ‪ ,G‬אשר בו‪ . E k 1  E k  v i , v k 1  , Vk 1  Vk  v k 1  :‬נשים לב‬
‫כי‪ . Vk 1  E k 1  k  1 :‬אם ‪ , k  1  V  n‬ניתן להמשיך בדרך זו ולהגדיר את‬
‫‪ G k  2‬וכן הלאה‪ ,‬עד שנקבל לבסוף את תת‪-‬הגרף ‪ , G n  Vn , E n ‬אשר בו‪:‬‬
‫‪ . E n  Vn  V  n , Vn  V‬מכיוון ו‪ G n -‬הוא תת‪-‬גרף של ‪ ,G‬הרי ש‪, E n  E :‬‬
‫ולכן‪( E  V :‬כי‪ ,) E n  V  E :‬בסתירה לנתון (להנחה) כי‪. E  V  1 :‬‬
‫)‪ : (5)  (6‬נראה תחילה כי‪. (5)  (1)  (2) :‬‬
‫נניח כי ‪ G‬אינו מכיל מעגלים ומקיים‪ . E  V  1 :‬יהי ‪ k‬מספר רכיבי הקשירות של‬
‫‪ .G‬עפ"י הגדרה‪ ,‬כל רכיב קשירות כזה הוא עץ‪ ,‬ומאחר ו‪ , (1)  (5) :‬הרי שסכום‬
‫כל הצלעות בכל רכיבי הקשירות של ‪ G‬הוא‪ . V  k :‬מכאן‪ ,‬נובע בהכרח ש‪:‬‬
‫‪ , k  1‬ולכן ‪ G‬הוא עץ (גרף פשוט‪/‬בלתי מכוון‪ ,‬קשיר‪ ,‬נטול מעגלים)‪ .‬מאחר ו‪:‬‬
‫)‪ , (1)  (2‬הרי שכל שני קודקודים ב‪ G -‬מחוברים ע"י מסלול פשוט יחיד‪ ,‬ולכן‬
‫הוספת צלע כלשהי ל‪ G -‬תיצור בהכרח מעגל (בדקו)‪.‬‬
‫)‪ : (6)  (1‬נניח ש‪ G -‬אינו מכיל מעגלים ואם נוסיף לו צלע כלשהי‪ ,‬נקבל מעגל‪.‬‬
‫מספיק להוכיח כי ‪ G‬קשיר‪ .‬יהיו ‪ u, v  V‬כלשהם‪ .‬מספיק להראות כי קיים ביניהם‬
‫מסלול (פשוט)‪ .‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ ‬אם ‪ u‬ו‪ v -‬שכנים‪ ,‬סיימנו (יש מסלול‪/‬צלע ב‪ G -‬בין ‪ u‬לבין ‪.)v‬‬
‫‪ ‬אם ‪ u‬ו‪ v -‬אינם שכנים‪ ,‬הרי שהוספת הצלע ‪ u, v‬תיצור מעגל‪ ,‬שבו כל‬
‫הצלעות מלבד ‪ u, v‬שייכות ל‪( E -‬ל‪ ;)G -‬לכן‪ ,‬קיים מסלול (פשוט) ב‪ G -‬בין‬
‫‪ u‬ל‪.v -‬‬
‫□‬
‫מכאן ש‪ G -‬קשיר‪.‬‬
‫‪110‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫תרגיל בית מס' ‪ – 17‬מבוא לתורת הגרפים ‪ -‬מסלולים‪,‬‬
‫מעגלים‪ ,‬יערות ועצים‬
‫הערה‪ :‬השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים‪ ,‬אלא אם כן מצוין אחרת‬
‫בגוף השאלה‪.‬‬
‫‪ .1‬השלימו‪:‬‬
‫א‪ .‬קוטרו של הגרף ‪ K n‬הוא ______‪.‬‬
‫ב‪ .‬קוטרו של הגרף ‪ N n‬הוא ______‪.‬‬
‫ג‪ .‬הקוטר המירבי של גרף קשיר מסדר ‪ n‬הוא ______‪.‬‬
‫ד‪ .‬המספר המינימלי של צלעות בגרף קשיר מסדר ‪ n‬הוא ______‪.‬‬
‫ה‪ .‬קוטרו של הגרף ‪ C n‬הוא ______‪.‬‬
‫ו‪ .‬קוטרו של הגרף ‪ Pn‬הוא ______‪.‬‬
‫ז‪ .‬קוטרו של הגרף ‪ Q n‬הוא ______‪.‬‬
‫ח‪ .‬מספר רכיבי הקשירות בגרף ‪ K n‬הוא ______‪.‬‬
‫ט‪ .‬מספר‬
‫י‪ .‬מספר‬
‫יא‪ .‬מספר‬
‫יב‪ .‬מספר‬
‫רכיבי‬
‫רכיבי‬
‫רכיבי‬
‫רכיבי‬
‫הקשירות‬
‫הקשירות‬
‫הקשירות‬
‫הקשירות‬
‫בגרף‬
‫בגרף‬
‫בגרף‬
‫בגרף‬
‫‪ N n‬הוא ______‪.‬‬
‫‪ C n‬הוא ______‪.‬‬
‫‪ Pn‬הוא ______‪.‬‬
‫‪ Q n‬הוא ______‪.‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף ויהיו ‪ u, v  V‬קודקודים בו‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי אם קיים הילוך (שאינו בהכרח מסלול) בין ‪ u‬לבין ‪ ,v‬הרי שקיים‬
‫מסלול בין ‪ u‬לבין ‪.v‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו כי אם קיים מסלול בין ‪ u‬לבין ‪ ,v‬הרי שקיים מסלול פשוט בין ‪u‬‬
‫לבין ‪.v‬‬
‫ג‪ .‬הסיקו‪ ,‬על‪-‬סמך סעיף ב'‪ ,‬כי ‪ G   V, E ‬גרף קשיר אם"ם לכל ‪u, v  V‬‬
‫יש מסלול פשוט בין ‪ u‬לבין ‪.v‬‬
‫‪ .3‬נתון גרף מסדר ‪ 100‬שלכל קודקוד בו לפחות ‪ 50‬שכנים‪ .‬הוכיחו כי‪:‬‬
‫ב‪ .‬יש בגרף מעגל (פשוט) באורך ‪.4‬‬
‫א‪ .‬הגרף קשיר‪.‬‬
‫‪ .4‬הוכיחו כי לכל גרף ‪ G‬מתקיים‪ G :‬קשיר או ‪( G‬הגרף המשלים של ‪ )G‬קשיר‪.‬‬
‫‪ .5‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף קשיר ותהי ‪ .   S  V‬הוכיחו כי קיים קודקוד ‪ u  S‬כך‬
‫שיש ל‪ u -‬שכן ב‪.S -‬‬
‫‪ .6‬נתון יער ‪ ,F‬המכיל ‪ n‬קודקודים ו‪ k -‬רכיבי קשירות‪ .‬כמה צלעות ב‪ ? F -‬נמקו‪.‬‬
‫‪ .7‬הוכיחו כי אם מסירים מעץ (מסדר גדול או שווה ל‪ )2 -‬עלה ואת הצלע שחלה‬
‫בו‪ ,‬מתקבל עץ‪.‬‬
‫‪ .8‬הוכיחו באינדוקציה כי בכל עץ מסדר ‪ n‬יש ‪ n  1‬צלעות‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .9‬הוכיחו כי גרף קשיר מסדר ‪ n‬בעל ‪ n  1‬צלעות הוא עץ‪( .‬שימו לב! טענה זו‬
‫"הפוכה" לטענה שבשאלה ‪ 8‬לעיל‪).‬‬
‫‪ .11‬יהי ‪ T‬עץ‪ .‬נבנה גרף חדש ע"י הוספת קודקוד נוסף ‪ x‬וחיבור ‪ x‬לקודקוד אחד‬
‫בדיוק ב‪ .T -‬הוכיחו כי הגרף החדש שמתקבל מפעולה זו אף הוא עץ‪.‬‬
‫‪ .11‬הוכיחו כי בכל עץ מסדר גדול או שווה ל‪ 2 -‬יש לפחות ‪ 2‬עלים‪.‬‬
‫‪ .12‬יהיו ‪ T1  V, E1  , T2  V, E 2 ‬שני עצים‪ .‬הוכיחו כי קיים קודקוד ב‪ ,V -‬אשר סכום‬
‫דרגותיו בשני העצים הנ"ל הוא לכל היותר ‪.3‬‬
‫‪ .13‬נתון עץ בינארי שלם בגובה ‪ .h‬השלימו‪:‬‬
‫א‪ .‬מספר העלים בו הוא ______‪.‬‬
‫ב‪ .‬מספר הקודקודים בו הוא ______‪.‬‬
‫ג‪ .‬מספר הצלעות בו הוא ______‪.‬‬
‫‪ .14‬יהי ‪ G‬גרף‪ .‬נגדיר‪ :‬עץ פורש ב‪ G -‬הוא תת‪-‬גרף פורש של ‪ G‬שהוא עץ‪.‬‬
‫הוכיחו כי ‪ G‬קשיר אם"ם יש לו עץ פורש‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫גרפים דו‪-‬צדדיים וזיווגים בגרפים‬
‫גרפים דו‪-‬צדדיים – נמשיך ונעסוק להלן בגרפים פשוטים‪.‬‬
‫‪ .56‬גרף ‪ G   V, E ‬נקרא‪ :‬דו‪-‬צדדי‪ ,‬אם"ם ניתן לחלק את קבוצת קודקודי הגרף‬
‫‪ V‬לשתי תת‪-‬קבוצות זרות‪ , V1  V2   , V  V1  V2 :‬כך שכל הצלעות‬
‫בגרף (אם ישנן) הן בין הקודקודים ב‪ V1 -‬לבין הקודקודים ב‪. V2 -‬‬
‫סימון‪. G   V1 , V2 , E  :‬‬
‫‪ .57‬גרף דו‪-‬צדדי ‪ G   V1 , V2 , E ‬נקרא‪ :‬שלם‪ ,‬אם"ם הוא מכיל את כל הצלעות‬
‫האפשריות בין ‪ V1‬לבין ‪ . V2‬אם ‪ , V1  m , V2  n‬אז מסמנים את הגרף‬
‫הדו‪-‬צדדי השלם ע"י‪. K m ,n :‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫גרף דו‪-‬צדדי ‪: G   U, V, E ‬‬
‫‪‬‬
‫גרף דו‪-‬צדדי נוסף‪:‬‬
‫‪‬‬
‫גרף דו‪-‬צדדי שלם – ‪: K 3,4‬‬
‫‪ .58‬בגרף ‪ K m ,n‬יש ‪ m  n‬צלעות‪.‬‬
‫‪ .59‬אם ‪ G   V1 , V2 , E ‬הוא גרף דו‪-‬צדדי רגולרי (שאינו ריק)‪ ,‬אז‪. V1  V2 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש‪ G -‬הוא ‪-d‬רגולרי ( ‪ .) d  0‬מכאן‪ ,‬מתחייב ש‪:‬‬
‫‪. E  d  V1  d  V2  V1  V2‬‬
‫‪111‬‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .61‬גרף הוא דו‪-‬צדדי אם"ם כל המעגלים בו (לאו דווקא הפשוטים) הם באורך‬
‫זוגי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח בנפרד כל כוון של המשפט‪.‬‬
‫‪ : ‬יהי ‪ G   V1 , V2 , E ‬גרף דו‪-‬צדדי‪ .‬במידה ואין בגרף מעגלים‪ ,‬הרי‬
‫שהמשפט (בכוון זה) מתקיים באופן ריק‪ .‬נניח‪ ,‬אפוא‪ ,‬שהגרף מכיל מעגלים‬
‫ונתבונן במעגל כלשהו בגרף‪ .‬יהי ‪ v1  V1‬קודקוד במעגל זה‪ .‬נצא ממנו‬
‫ונתחיל לטייל על‪-‬גבי המעגל‪ .‬כל צלע במעגל‪ ,‬בה אנו מבקרים‪ ,‬מעבירה‬
‫אותנו לצידו האחר של הגרף‪ .‬לכן‪ ,‬על‪-‬מנת שיהיה ניתן לחזור לקודקוד ממנו‬
‫התחלנו את המסע ( ‪ ) v1‬ולסגור את המעגל‪ ,‬מתחייב שיהיה במעגל זה‬
‫מספר זוגי של צלעות‪.‬‬
‫‪ : ‬יהי ‪ G '   V, E ‬גרף אשר כל המעגלים בו הם באורך זוגי‪ .‬לצורך‬
‫פשטות‪ ,‬נניח כי ' ‪ G‬קשיר (אחרת ‪ -‬נוכיח את כוון זה של המשפט עבור כל‬
‫רכיב קשירות בו בנפרד)‪ .‬יהי ‪ w  V‬קודקוד כלשהו ב‪ . G ' -‬נגדיר את ‪V1 , V2‬‬
‫באופן הבא‪ . V2  u  V : 2 | d  u, w  , V1  v  V : 2 | d  v, w  :‬מעצם‬
‫ההגדרה ברור כי‪( V  V1  V2 , V1  V2   :‬כלומר ‪ V1 , V2 -‬הן חלוקה של‬
‫‪ .)V‬נותר להראות כי ‪ G '   V1 , V2 , E ‬הוא אכן גרף דו‪-‬צדדי‪ ,‬כלומר – אין‬
‫צלעות בין קודקודים ב‪ V1 -‬ואין צלעות בין קודקודים ב‪ . V2 -‬נראה כי אין‬
‫צלע בין שני קודקודים ב‪( . V1 -‬ההוכחה עבור שני קודקודים מ‪V2 -‬‬
‫אנלוגית‪ ).‬נניח בשלילה כי קיימת צלע ‪ u, v‬בין שני קודקודים‪. u, v  V1 :‬‬
‫לאור הנחה זו‪ ,‬המסלול הקצר ביותר מ‪ w -‬ל‪ u -‬והמסלול הקצר ביותר מ‪w -‬‬
‫ל‪ ,v -‬יחד עם הצלע ‪ u, v‬יוצרים מעגל (לאו דווקא פשוט) שאורכו אי‪-‬זוגי‪,‬‬
‫בסתירה לנתון‪ .‬לכן‪ G '   V1 , V2 , E  ,‬הוא אכן גרף דו‪-‬צדדי‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫‪‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫◊‬
‫רפאל ברכאן‬
‫זיווגים בגרפים (פשוטים)‬
‫‪ .61‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף (פשוט)‪ .‬זיווג ב‪ G -‬הוא קבוצה ‪ M  E‬של צלעות‪ ,‬אשר‬
‫לאף שתיים מהן אין קודקוד משותף‪ .‬אם ‪ , u, v  M‬נאמר שהקודקודים ‪u‬‬
‫ו‪ v -‬מזווגים ע"י הזיווג ‪.M‬‬
‫‪ .62‬הזיווג ‪ M‬נקרא‪ :‬זיווג מושלם אם"ם כל קודקודי הגרף משתתפים בזיווג‪.‬‬
‫‪ .63‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף (פשוט) ותהי ‪ . S  V‬נסמן ב‪   S -‬את קבוצת השכנים‬
‫של הקודקודים ב‪.S -‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫בגרף זה זיווג ‪ ,M‬למשל‪ ,‬הוא קבוצת הצלעות האנכיות‪ ,‬המקשרות ‪ 3‬קודקודים‬
‫בקבוצת הקודקודים העליונה עם ‪ 3‬הקודקודים שממולם בקבוצת הקודקודים‬
‫התחתונה‪ M .‬אינו זיווג מושלם‪ .‬יתרה מזו‪ ,‬בגרף זה אין (בנמצא) זיווג מושלם‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בגרף זה ‪ M  a,1,b,4, d,2‬הוא זיווג שאינו מושלם‪ .‬גם בגרף זה אין‬
‫(בנמצא) זיווג מושלם‪ .‬נשים לב כי‪.  a,c,d  1, 2 ,  a, b  1,3, 4 :‬‬
‫‪‬‬
‫בגרף להלן יש זיווג מושלם‪:‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .47‬משפט החתונה של ‪( Hall‬תנאי מספיק והכרחי לקיום זיווג מושלם‬
‫בגרף דו‪-‬צדדי)‪:‬‬
‫בגרף דו‪-‬צדדי ‪ , G   V1 , V2 , E ‬המקיים‪ , V1  V2 :‬יש זיווג מושלם אם"ם‪:‬‬
‫‪. S  V1 :  S  S‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V1 , V2 , E ‬גרף דו‪-‬צדדי‪ ,‬המקיים‪ . V1  V2 :‬צ"ל את‬
‫הכרחיות ומספיקות התנאי‪ S  V1 :   S  S :‬לקיום זיווג מושלם בגרף‪.‬‬
‫ברור כי במידה והתנאי אינו מתקיים‪ ,‬כלומר‪( S  V1 :   S  S :‬קיימת‬
‫קבוצת קודקודים מ‪ V1 -‬שאוסף כל שכניהם ב‪ V2 -‬קטן ממספרם)‪ ,‬לא ניתן‬
‫לזווג באופן מושלם את קודקודי ‪ V1‬לקודקודי ‪ . V2‬במילים אחרות‪ ,‬אם נתון‬
‫כי יש זיווג מושלם ב‪ G -‬ובהנתן ‪ S  V1‬כלשהי‪ ,‬הרי שלכל קודקוד ‪ v  S‬יש‬
‫קודקוד ‪ u  V2‬המזווג לו‪ ,‬ולכן מתחייב ש‪ .  S  S :‬בזה הוכחנו את‬
‫הכרחיות התנאי (של ‪.)Hall‬‬
‫נעבור עתה להוכיח את מספיקותו‪ .‬נניח ש‪ S  V1 :  S  S -‬ונראה שיש‬
‫זיווג מושלם ‪ M‬ב‪ .G -‬נוכיח זאת באינדוקציה מלאה (שלמה) על‬
‫‪n  V1 ‬‬
‫(מספר קודקודי ‪ .) V1‬בסיס האינדוקציה – ‪ :n=1‬אם ‪ V1  V2  1‬והתנאי‬
‫מתקיים‪ ,‬הרי ש‪ G -‬מכיל שני קודקודים וצלע המחברת ביניהם‪ ,‬ולכן בהכרח‬
‫יש בו זיווג מושלם‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות לכל ‪ 1  k  V1  n‬ונראה נכונות עבור‬
‫‪ . V1  n  1‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ - S  V1 :  S  S  1‬יהי ‪ v  V1‬כלשהו‪ .‬לאור ההנחה‪ ,‬יש ל‪ v -‬זה‬
‫לפחות שני שכנים (ב‪ .) V2 -‬יהי ‪ u  V2‬אחד מהם‪ .‬הצלע ‪ v, u‬תהווה‬
‫מרכיב בזיווג המושלם שנמצא להלן ב‪ .G -‬נסמן‪ G '  G \ u, v :‬וב‪-‬‬
‫‪  '  S‬את קבוצת השכנים של קודקודי ‪ S‬בגרף ' ‪ . G‬נשים לב כי ב‪G ' -‬‬
‫מתקיים עתה‪ . S  V1 \ v :  '  S  S :‬עפ"י ה"א ( ‪ ,) V1 \ v  n‬יש ב‪-‬‬
‫' ‪ G‬זיווג מושלם‪ .‬נוסיף לזיווג מושלם זה את הצלע ‪ v, u‬ונקבל זיווג‬
‫‪‬‬
‫מושלם ב‪.G -‬‬
‫‪ - S  V1 :  S  S‬נגדיר את תת‪-‬הגרף הבא של ‪:G‬‬
‫‪ , GS  S,  S , ES ‬כאשר ‪ E S‬היא קבוצת כל הצלעות בין קודקודי ‪S‬‬
‫לקודקודי ‪ G S .   S‬מקיים את התנאי של ‪( Hall‬כי ‪ G‬מקיים אותו)‪,‬‬
‫ומאחר ומספר הקודקודים בו קטן מזה שב‪( G -‬שכן‪ ,) S  V1 :‬הרי‬
‫שעפ"י ה"א יש ב‪ G S -‬זיווג מושלם‪ .‬נסמנו ב‪ . M s -‬נתבונן עתה בגרף '' ‪, G‬‬
‫המוגדר באופן הבא‪ , G ''  G \  S    S  :‬כלומר ‪-‬‬
‫‪ . G ''   V1 \ S, V2 \  S , E '' ‬תהי ‪ H  V1 \ S‬כלשהי‪ .‬נסמן ב‪  ''  H  -‬את‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫קבוצת השכנים של קודקודי ‪ H‬בגרף '' ‪ . G‬נשים לב כי מתקיים‪:‬‬
‫‪ ,  ''  H   H‬אחרת – אם ‪ ,  ''  H   H‬הרי שב‪ G -‬היה מתקיים‪:‬‬
‫‪,   H  S   HS '' H S  ''  H    S    '' H   H H  S  HS H  S‬‬
‫‪ '' H S‬‬
‫‪ S   S‬‬
‫בסתירה לקיום תנאי ‪ Hall‬ב‪ G -‬עבור קבוצת הקודקודים‪ . H  S  V1 :‬לכן‪,‬‬
‫גם הגרף '' ‪ G‬מקיים את תנאי ‪ Hall‬ועפ"י ה"א יש בו זיווג מושלם – נסמנו‪:‬‬
‫'' ‪ . M‬לבסוף‪ ,‬קיים זיווג מושלם ‪ M‬בגרף (המקורי) ‪. M  MS  M '' :G‬‬
‫‪‬‬
‫בכל אחד משני המקרים הללו קיבלנו זיווג מושלם ‪ M‬בגרף ‪.G‬‬
‫‪ .65‬מסקנה‪ :‬אם ‪ G   V1 , V2 , E ‬הוא גרף דו‪-‬צדדי רגולרי‪ ,‬אז יש בו זיווג מושלם‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן את דרגת הרגולריות של ‪ G‬ב‪ .d -‬תהי ‪ S  V1‬קבוצת קודקודים‬
‫כלשהי ב‪ ,G -‬תהי ‪ E S‬קבוצת כל הצלעות החלות ב‪ S -‬ותהי ‪ E S‬קבוצת כל‬
‫הצלעות החלות ב‪ G .   S -‬הוא ‪-d‬רגולרי‪ ,‬ולכן‪, ES  d  S :‬‬
‫‪ . ES  d   S‬כל צלע שחלה בקודקוד מ‪ S -‬חלה בקודקוד מ‪,   S -‬‬
‫ולכן‪ . ES  ES :‬מכאן נובע כי‪. ES  ES  d  S  d    S  S    S :‬‬
‫קיבלנו‪ ,‬אפוא‪ ,‬ש‪ S  V1 : S    S :‬ועפ"י משפט ‪ ,Hall‬יש זיווג מושלם‬
‫בגרף ‪.G‬‬
‫‪‬‬
‫‪117‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫גרפים מישוריים וצביעה בגרפים‬
‫גרפים (פשוטים) מישוריים‬
‫‪ .66‬גרף (פשוט) ‪ G‬נקרא‪ :‬מישורי אם"ם ניתן לייצגו במישור מבלי שאף ‪2‬‬
‫צלעות שלו תיחתכנה (בנקודות פנימיות‪ ,‬שאינן קודקודי הגרף)‪.‬‬
‫‪ .67‬יהי ‪ G‬גרף מישורי‪ .‬כל אזור בהצגה שלו החסום ע"י צלעות הגרף נקרא‪:‬‬
‫פאה‪ .‬האזור שאינו חסום ע"י צלעות הגרף נקרא‪ :‬הפאה החיצונית (או‪:‬‬
‫הפאה האינסופית) של הגרף‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ K 3‬הוא‪ ,‬כמובן‪ ,‬גרף מישורי‪.‬‬
‫לגרף זה ‪ 2‬פאות – אחת מהן חיצונית‪/‬אינסופית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ K 4‬הוא גרף מישורי‪ ,‬שכן ניתן לייצגו במישור מבלי שאף ‪ 2‬צלעות שלו‬
‫נחתכות (בנקודות פנימיות‪ ,‬שאינן קודקודי הגרף)‪.‬‬
‫לגרף זה ‪ 4‬פאות – אחת מהן חיצונית‪/‬אינסופית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הגרף הבא הוא גרף מישורי‪:‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .68‬נוסחת אויילר‪ :‬יהי ‪ G‬גרף מישורי קשיר‪ .‬אם נסמן ב‪ n -‬את מספר קודקודיו‪,‬‬
‫ב‪ m -‬את מספר צלעותיו וב‪ f -‬את מספר פאותיו‪ ,‬אז מתקיים‪. n  m  f  2 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נ ְקבע את סדר הגרף ונוכיח את הנוסחא באינדוקציה על מספר‬
‫הצלעות של הגרף – ‪ .m‬מאחר ו‪ G -‬קשיר‪ ,‬הרי שעפ"י המסקנה מסעיף ‪39‬‬
‫לעיל מתחייב ש‪. m  n  1 :‬‬
‫בסיס האינדוקציה – ‪ :m=n-1‬עפ"י שאלה ‪ 9‬מתרגיל בית מס' ‪ G ,9‬הוא עץ‬
‫ולכן הפאה היחידה בו היא הפאה החיצונית (האינסופית)‪ ,‬כלומר‪. f  1 :‬‬
‫אכן‪ ,‬נוסחת אויילר מתקיימת כאן‪. n  m  f  n   n  1  1  2 :‬‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות ל‪  m  n  1 m -‬ונראה נכונות ל‪. m  1 -‬‬
‫כלומר‪ ,‬נראה כי בגרף מסדר ‪ n‬בעל ‪ m+1‬צלעות ו‪ f -‬פאות מתקיים‪:‬‬
‫‪ . n   m  1  f  2‬יהי ‪ G‬גרף מישורי קשיר בעל ‪ m  1  n‬צלעות ו‪ f -‬פאות‪.‬‬
‫עפ"י משפטים מסעיפים קודמים (‪ ,)41,41‬יש ב‪ G -‬צלע ‪ e‬שהשמטתה מ‪G -‬‬
‫אינה משנה את קשירותו‪ .‬נסמן‪ , G '  G \ e   V ', E ' :‬כאשר‪ m' ,n' :‬ו‪ f' -‬הם‬
‫מספרי קודקודיו‪ ,‬צלעותיו ופאותיו בהתאמה‪ G ' .‬קשיר (ומישורי)‪ ,‬מסדר ‪n‬‬
‫ומכיל ‪ m‬צלעות‪ .‬עפ"י ה"א מתקיים בו‪ . n ' m' f '  2 :‬נשים לב כי ב‪ G ' -‬יש‬
‫‪ f  1‬פאות (כי השמטת הצלע ‪ e‬מיזגה שתי פאות בהן ‪ e‬גבלה)‪ .‬לכן‪:‬‬
‫‪n '  n  m'  m  f '  f  1  2  n ' m' f '  n  m   f  1  2  n   m  1  f‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .69‬יהי ‪ G‬גרף (פשוט) מישורי קשיר עם ‪ n  3‬קודקודים ו‪ m -‬צלעות‪ .‬מתקיים‪:‬‬
‫‪. m  3n  2‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ G‬עץ מסדר ‪ ,3‬הרי שיש בו ‪ 2‬צלעות ומתקיים‪. 2  3   3  2 :‬‬
‫אחרת‪ ,‬נסכום את מספרי הצלעות סביב כל פאות הגרף‪ .‬מחד‪ ,‬כל צלע‬
‫תיספר באופן זה פעמיים בדיוק‪ ,‬בין אם היא גובלת בשתי פאות ובין אם היא‬
‫כולה נמצאת בתוך פאה אחת‪ .‬באופן כזה נקבל את הסכום‪ . 2 E :‬מאידך‪,‬‬
‫מהיות ‪ G‬גרף פשוט (נטול לולאות וללא ריבוי צלעות) ומסדר גדול או שווה‬
‫ל‪( 3 -‬ולכן אינו מכיל רק צלע אחת ואינו עץ מסדר ‪ ,)3‬הרי שבכל פאה בו‬
‫גובלות לפחות ‪ 3‬צלעות‪ .‬מכאן נובע שסכום מספרי הצלעות סביב פאות‬
‫הגרף הוא לפחות ‪ . 3 F‬לפיכך‪ ,‬נקבל כי‪:‬‬
‫‪2 E  3 F Euler: F  2 V  E 2 E  3 2  V  E   V  n, E  m 2m  6  3n  3m ‬‬
‫‪ m  3  n  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .71‬מסקנה‪ K 5 :‬אינו גרף מישורי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה – נניח בשלילה ש‪ K 5 -‬הוא מישורי‪ K 5 .‬מקיים את‬
‫‪5‬‬
‫תנאי הטענה שבסעיף הקודם‪ ,‬מספר קודקודיו ‪ 5‬ומספר צלעותיו‪.    10 :‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫לכן‪ ,‬עפ"י טענה זו מתקיים‪ - 10  3   5  2 :‬סתירה‪.‬‬
‫‪119‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .71‬בכל גרף מישורי קיים קודקוד שדרגתו היא לכל היותר ‪.1‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף מישורי (מסדר גדול או שווה ל‪ ,3 -‬שכן עבור‬
‫סדר נמוך יותר הטענה מתקיימת בבירור)‪ .‬מספיק להראות כי ממוצע דרגות‬
‫קודקודיו קטן מ‪ ,6 -‬ולכן חייב להיות בו לפחות קודקוד אחד שדרגתו אינו‬
‫עולה על הממוצע ולפיכך ‪ -‬קטנה מ‪( 6 -‬היינו‪ ,‬לכל היותר ‪ .)5‬ממוצע דרגות‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬עפ"י למת לחיצות הידיים והטענה מסעיף ‪69‬‬
‫קודקודי ‪ G‬הוא‪ d  v  :‬‬
‫‪V vV‬‬
‫‪2  3  V  2 6  V  2‬‬
‫‪2E‬‬
‫)‪(69‬‬
‫‪‬‬
‫לעיל מתקיים‪ V 3 6 :‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪d v ‬‬
‫‪vV‬‬
‫‪1‬‬
‫‪V‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫צביעה בגרפים (פשוטים)‬
‫‪ .72‬צביעה של קודקודי גרף תיקרא‪ :‬צביעה חוקית‪ ,‬אם"ם אין בגרף קודקודים‬
‫שכנים הצבועים באותו הצבע‪.‬‬
‫‪ .73‬מספר הצביעה של גרף ‪ ,G‬המסומן‪ ,   G  :‬מציין את מספר הצבעים‬
‫המינימלי הדרוש לצביעתו החוקית‪.‬‬
‫‪ .74‬גרף ‪ G‬נקרא‪-k :‬צביע אם"ם‪.   G   k :‬‬
‫‪.75‬‬
‫‪. n  :   K n   n‬‬
‫‪2 , 2 | n‬‬
‫‪.76‬‬
‫‪:   Cn   ‬‬
‫‪3 , 2 | n‬‬
‫‪ .77‬גרף הוא ‪-2‬צביע אם"ם אין בו מעגל באורך אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח בנפרד כל כוון של המשפט‪.‬‬
‫‪ : ‬אם יש בגרף מעגל באורך אי‪-‬זוגי‪ ,‬הרי שבפרט מעגל זה אינו ‪-2‬צביע‬
‫(עפ"י הסעיף הקודם)‪ ,‬ולכן בוודאי שהגרף המכיל אותו אינו ‪-2‬צביע‪.‬‬
‫‪ : ‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף שאין בו מעגל באורך אי‪-‬זוגי‪ .‬נניח‪ ,‬לשם הפשטות‪ ,‬כי‬
‫‪. n ‬‬
‫‪ G‬קשיר (אחרת – נוכיח כוון זה לכל רכיב קשירות שלו)‪ .‬יהי ‪ v  V‬קודקוד‬
‫כלשהו ב‪ .G -‬נראה כי ניתן לצובעו ב‪ 2 -‬צבעים בלבד (באופן חוקי‪ ,‬כמובן)‪.‬‬
‫נצבע את ‪ G‬באופן הבא‪ :‬את ‪ v‬נצבע בלבן‪ ,‬את שכניו – בשחור‪ ,‬את שכני‬
‫שכניו שאינם צבועים – בלבן וכך הלאה‪ .‬לאור צביעה זו‪ ,‬נשים לב שאל כל‬
‫קודקוד לבן ב‪ G -‬ניתן להגיע מ‪ v -‬במסלול באורך זוגי ואל כל קודקוד שחור‬
‫ב‪ G -‬ניתן להגיע מ‪ v -‬במסלול באורך אי‪-‬זוגי‪ .‬באמצעות צביעה זו צבענו את‬
‫כל קודקודי ‪ G‬ואין שני קודקודים שכנים הצבועים באותו הצבע‪ ,‬שכן אחרת –‬
‫המסלולים מ‪ v -‬לשני קודקודים אלו בתוספת הצלע המחברת ביניהם (שכן‬
‫הנחנו שהם שכנים) היו יוצרים מעגל באורך אי‪-‬זוגי‪ ,‬בסתירה לנתון‪ .‬לכן‪,‬‬
‫‪‬‬
‫צביעה זו היא חוקית והגרף הוא ‪-2‬צביע‪.‬‬
‫‪110‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .78‬כל גרף מישורי הוא ‪-6‬צביע‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף מישורי‪ .‬נוכיח באינדוקציה על‬
‫‪ V  n ‬שהוא‬
‫‪-6‬צביע‪ .‬בסיס האינדוקציה – ‪ :n=1‬ברור שגרף המכיל קודקוד אחד הוא ‪-6‬‬
‫צביע (עפ"י ההגדרה בסעיף ‪ 74‬לעיל)‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות ל‪ ) n  1 ( n -‬ונראה נכונות ל‪ . n  1 -‬עפ"י‬
‫הטענה מסעיף ‪ 71‬לעיל‪ ,‬יש קודקוד ‪ v  V‬ב‪ G -‬שדרגתו היא לכל היותר ‪.5‬‬
‫נתבונן בגרף‪ . G '  G \ v :‬ברור כי ' ‪ G‬מישורי ושהוא מסדר ‪ .n‬עפ"י ה"א‪,‬‬
‫' ‪-6 G‬צביע‪ .‬נוסיף עתה חזרה את הקודקוד ‪ v‬ואת הצלעות שחלו בו לקבלת‬
‫‪ .G‬ל‪ v -‬יש לכל היותר ‪ 5‬שכנים‪ ,‬ולכן ניתן לצבוע את ‪ v‬בצבע השונה מזה‬
‫‪‬‬
‫של ‪ 5‬שכניו‪ .‬באופן זה נקבל ש‪ G -‬הוא ‪-6‬צביע‪.‬‬
‫‪ .79‬כל גרף מישורי הוא ‪-5‬צביע‪.‬‬
‫‪ .81‬כל גרף מישורי הוא ‪-4‬צביע‪.‬‬
‫‪ .81‬יהיו ‪ . s, t ‬המספר ‪ R ‬הקטן ביותר‪ ,‬כך שבכל צביעה בשני צבעים‬
‫(שחור ולבן) של צלעות הגרף השלם ‪ , K R‬קיים תת‪-‬גרף שלם ‪ K s‬שצבוע‬
‫בשחור או שקיים תת‪-‬גרף שלם ‪ K t‬שצבוע בלבן‪ ,‬נקרא‪ :‬מספר רמזי‬
‫ומסומן‪. R  s, t  :‬‬
‫‪.82‬‬
‫‪R  3,3  6‬‬
‫הוכחה‪ , R  3,3  6 :‬שכן בפרק ‪ 4‬שדן בעקרון שובך היונים הוכחנו כי בכל‬
‫קבוצה של ‪ 6‬אנשים יש ‪ 3‬אנשים שמכירים זה את זה או ‪ 3‬אנשים שאינם‬
‫מכירים זה את זה‪ .‬באופן אנלוגי‪ ,‬אם נצבע את כל צלעות הגרף ‪ K 6‬בשחור‬
‫או בלבן‪ ,‬נקבל בו משולש שכל צלעותיו לבנות או משולש שכל צלעותיו‬
‫שחורות‪ .‬נותר להראות כי‪ . R  3,3  5 :‬לשם כך‪ ,‬מספיק להראות כי ניתן‬
‫לצבוע את כל צלעות הגרף ‪ K 5‬בשחור או בלבן‪ ,‬מבלי לקבל בו משולש‬
‫מונוכרומטי לבן או שחור (שכל צלעותיו לבנות או שחורות)‪ .‬צביעה כזו‬
‫אפשרית‪ :‬בכל קודקוד ב‪ K 5 -‬נצבע שתיים מהצלעות היוצאות ממנו בשחור‬
‫ואת השתיים הנותרות – בלבן‪ .‬ניתן להראות כי צביעה זו היא הצביעה‬
‫היחידה של ‪ K 5‬בה לא מתקבל משולש מונוכרומטי (שכן אם קיים קודקוד‬
‫ב‪ K 5 -‬ש‪ 3 -‬מצלעותיו צבועות בשחור או בלבן‪ ,‬נוכל לנקוט באותה שיטת‬
‫הוכחה שנקטנו ב‪ K 6 -‬ולהראות כי לבטח מתקבל משולש מונוכרומטי)‪ .‬‬
‫‪.83‬‬
‫‪R  3,9   36 , R  3, 6   18 , R  4, 4   18 , R 3, 7   23 ,‬‬
‫‪R  3, 4   9 , R  4,5   25 , R  3,8   28 , R 3,5   14‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫תרגיל בית מס' ‪ – 15‬מבוא לתורת הגרפים –‬
‫גרפים דו‪-‬צדדיים‪ ,‬זיווגים בגרפים‪ ,‬גרפים מישוריים‬
‫וצביעה בגרפים‬
‫הערה‪ :‬השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים‪ ,‬אלא אם כן מצוין אחרת‬
‫בגוף השאלה‪.‬‬
‫‪ .1‬מהו המספר המירבי של צלעות בגרף דו‪-‬צדדי בעל ‪ n‬קודקודים ? נמקו‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכיחו כי אם לכל המעגלים הפשוטים בגרף אורך זוגי‪ ,‬אז גם לכל המעגלים‬
‫הלא פשוטים בו אורך זוגי‪.‬‬
‫‪ .3‬הסיקו על‪-‬סמך השאלה הקודמת כי גרף הוא דו‪-‬צדדי אם"ם כל המעגלים‬
‫הפשוטים שלו הם באורך זוגי‪.‬‬
‫‪ ◊ .4‬הוכיחו כי אם כל ‪ k‬נשים מכירות ביחד לפחות ‪ 7k‬גברים‪ ,‬אזי קיים "שידוך"‬
‫שבו "זוכה" כל אישה ב‪ 7 -‬גברים‪.‬‬
‫‪ ◊ .5‬הוכיחו כי אם כל ‪ k‬גברים מכירים לפחות ‪ k  3‬נשים‪ ,‬אזי קיים "שידוך"‬
‫הממצה את כל הגברים‪ ,‬למעט לכל היותר ‪ 3‬מתוכם‪.‬‬
‫‪ .6‬הוכיחו כי בגרף מישורי קשיר מסדר ‪ , n  3‬אשר אין בו מעגל באורך ‪ ,3‬יש‬
‫לכל היותר ‪ 2n  4‬צלעות‪.‬‬
‫‪ .7‬הסיקו על‪-‬סמך השאלה הקודמת כי ‪ K 3,3‬אינו מישורי‪.‬‬
‫‪ .8‬הוכיחו כי אם הדרגה המקסימלית של קודקוד בגרף היא ‪ ,n‬אז הגרף הוא ‪-n+1‬‬
‫צביע‪.‬‬
‫‪ .9‬השלימו‪ :‬כל עץ הוא _____‪-‬צביע‪ .‬נמקו‪.‬‬
‫‪ .11‬הוכיחו כי ‪ G‬הוא גרף דו‪-‬צדדי אם"ם הוא גרף ‪-2‬צביע‪.‬‬
‫‪ .11‬נגדיר גרף ‪ G   V, E ‬שקבוצת קודקודיו היא‪ V  1, 2,3,...,100 :‬ושני‬
‫קודקודים בו שכנים אם"ם הפרשם (בערך מוחלט) הוא ‪ 1‬או ‪.2‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את ‪ .   G ‬נמקו‪.‬‬
‫א‪ .‬האם ‪ G‬מישורי ? נמקו‪.‬‬
‫‪ .12‬הראו כי ניתן לצבוע את כל צלעות הגרף ‪ K 5‬בשחור או בלבן‪ ,‬מבלי לקבל בו‬
‫משולש מונוכרומטי לבן או שחור (שכל צלעותיו לבנות או שחורות)‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫מסלולי‪/‬מעגלי אויילר והמילטון‬
‫נמשיך ונעסוק להלן בגרפים פשוטים‪.‬‬
‫בעיית הגשרים של ‪:)1735( Königsberg‬‬
‫עיר זו בפרוסיה שכנה (ועודנה שוכנת) משני צידי נהר ה‪ Pregel -‬והכילה שני‬
‫איים גדולים‪ ,‬אשר ‪ 7‬גשרים חיברו בין האיים וביניהם ליבשה (כמתואר‬
‫בשרטוט)‪ .‬הבעיה שהציבו פרנסי העיר בפני לאונרד אויילר היתה‪ :‬האם ניתן‬
‫למצוא מסלול לאורך העיר אשר יעבור על כל אחד מהגשרים הללו פעם‬
‫אחת בדיוק‪ .‬אויילר הוכיח כי לבעיה זו אין פתרון‪.‬‬
‫המודל הגרפי של הבעיה‪:‬‬
‫‪ .84‬מסלול‪/‬מעגל (לא בהכרח פשוט) המבקר בכל צלע בגרף בדיוק פעם אחת‬
‫נקרא‪ :‬מסלול‪/‬מעגל אויילר‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫בגרף הבא קיים מעגל אויילר (ולכן גם מסלול אויילר)‪:‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪‬‬
‫בגרף הבא קיים מסלול אויילר (אך לא מעגל אויילר)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫בגרף הבא לא קיים מסלול אויילר (ובוודאי שלא קיים בו מעגל אויילר)‪:‬‬
‫‪ .45‬תנאי הכרחי ומספיק לקיום מעגל אויילר בגרף‪:‬‬
‫א‪ .‬הגרף קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים);‬
‫ב‪ .‬דרגות כל הקודקודים בו זוגיות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח תחילה את ההכרחיות של התנאי – נניח כי בגרף ‪G   V, E ‬‬
‫קיים מעגל אויילר ונראה כי ‪ G‬קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים) וכי‬
‫לכל קודקודיו ערכיות זוגית‪ ,G .‬כאמור‪ ,‬מכיל מעגל אויילר‪ ,‬היינו – מעגל‬
‫המכיל את כל צלעות הגרף‪ ,‬ולכן גם את כל קודקודיו‪ ,‬פרט אולי לקודקודים‬
‫מבודדים‪ .‬לכן‪ G ,‬קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים)‪ .‬יהי ‪ v  V‬קודקוד‬
‫כלשהו בגרף‪ .‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ v ‬הוא קודקוד פנימי במעגל ‪ -‬כל מעבר של המעגל דרך ‪ v‬תורם ‪2‬‬
‫לדרגתו (צלע אחת בכניסה ל‪ v -‬וצלע אחת ביציאה ממנו); בנוסף‪ ,‬מכיוון‬
‫והמעגל מבקר בכל צלעות הגרף פעם אחת בדיוק‪ ,‬הרי שכל הצלעות‬
‫החלות ב‪ v -‬תיספרנה פעם אחת בדיוק; לכן‪ ,‬דרגת ‪ v‬זוגית‪.‬‬
‫‪ v ‬הוא הקודקוד "הראשון" במעגל – היציאה "הראשונה" ממנו תורמת ‪1‬‬
‫לדרגתו; כל פעם שחוזרים אליו ויוצאים ממנו תורמת לדרגתו ‪ ;2‬החזרה‬
‫אליו "בסיום" תורמת ‪ 1‬לדרגתו; בסה"כ דרגת ‪ v‬זוגית‪.‬‬
‫נוכיח עתה את המספיקות של התנאי – נתון כי ‪ G‬קשיר (פרט אולי‬
‫לקודקודים מבודדים) ודרגת כל קודקוד בו זוגית וצריך להראות כי קיים ב‪G -‬‬
‫מעגל אויילר‪ .‬נתאר אלגוריתם לבניית מעגל אויילר ‪ C‬בגרף הנתון (‪:)G‬‬
‫‪ .a‬יהי ‪ u 0  V‬קודקוד כלשהו ב‪ .G -‬נבנה ב‪ G -‬מעגל ‪ , C1‬המתחיל ומסתיים‬
‫ב‪ , u 0 -‬באופן שאינו עובר על שום צלע ב‪ G -‬יותר מפעם אחת‪:‬‬
‫‪ . C1   u 0 , u1 , u 2 ,..., uk , u0 ‬בניה כזו של ‪ C1‬אפשרית‪ ,‬שכן בהתחילנו את‬
‫המעגל מ‪ , u 0 -‬ערכיותו אי‪-‬זוגית‪ ,‬ובהגיענו לשכנו הראשון ‪ , u1 -‬מובטח‬
‫לנו שנוכל "לצאת" ממנו‪ ,‬בגלל שערכיותו זוגית (נתון)‪ .‬דבר זה אמור גם‬
‫לגבי שאר הקודקודים ב‪ u 2 , u 3 , u 4 ,..., u k : C1 -‬ובלבד שנעבור על כל צלע‬
‫פעם אחת בדיוק‪ .‬המעגל ‪ C1‬נסגר ב‪ , u 0 -‬שנותר עד כה עם ערכיות אי‪-‬‬
‫זוגית (ועתה ערכיותו זוגית)‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪.b‬‬
‫‪.c‬‬
‫‪.d‬‬
‫‪.e‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫אם ‪ C1‬מכיל את כל צלעות ‪ ,G‬סיימנו (שכן הוא מעגל אויילר ב‪.)G -‬‬
‫אחרת – נתבונן בתת‪-‬הגרף ‪ G1‬המתקבל מ‪ G -‬ע"י השמטת כל הצלעות‬
‫שב‪. C1 -‬‬
‫לתת‪-‬הגרף ‪ G1‬ולמעגל ‪ C1‬יש לפחות קודקוד אחד משותף‪ ,‬שכן ‪G‬‬
‫קשיר‪ ,‬פרט אולי לקודקודים מבודדים‪ ,‬שאינם "משחקים תפקיד" ביצירת‬
‫מעגל אויילר‪( .‬אחרת – אילו לא היו ל‪ G1 -‬ול‪ C1 -‬קודקודים משותפים‪G ,‬‬
‫היה מכיל לפחות שני רכיבי קשירות ‪ G1 -‬ו‪ , C1 -‬בסתירה לנתון‪ ).‬יהי ‪u 01‬‬
‫קודקוד משותף כלשהו ל‪ G1 -‬ול‪. C1 -‬‬
‫דרגת כל קודקוד ב‪ G1 -‬היא זוגית (לרבות ‪ ,)0‬שכן כל קודקודי ‪ G1‬הם‬
‫קודקודי ‪ ,G‬אשר עפ"י הנתון הם בעלי דרגה זוגית‪ ,‬והשמטת המעגל ‪C1‬‬
‫מ‪ G -‬הקטינה את ערכיותם (אם בכלל) במספר זוגי‪ .‬לכן‪ G1 ,‬קשיר (פרט‬
‫אולי לקודקודים מבודדים) ומכיל מעגל‪.‬‬
‫נבנה מעגל ‪ C 2‬ב‪ , G1 -‬המתחיל ומסתיים בקודקוד ‪ , u 01‬ואשר אינו עובר‬
‫על שום צלע ב‪ G1 -‬יותר מפעם אחת‪. C2   u 01 , u 02 , u 03 ,..., u0m , u01  :‬‬
‫‪ .f‬נאחד את שני המעגלים‪ C 2 , C1 :‬למעגל אחד באופן הבא‪:‬‬
‫‪ . C1  C2   u 0 , u1 ,..., u 01 , u 02 ,..., u 01 ,..., u 0 ‬אם מעגל זה מכיל את כל‬
‫צלעות הגרף‪ ,‬סיימנו‪ .‬אחרת – נחזור על התהליך הנ"ל שוב ושוב‪ ,‬עד‬
‫שנקבל מעגל אויילר‪ .‬מובטח שלבסוף נקבל מעגל אויילר (‪ )C‬ב‪,G -‬‬
‫שכן‪ G :‬הוא סופי; דרגת כל קודקוד בו זוגית; לכן‪ ,‬בתת‪-‬הגרף הנותר‬
‫מהשמטת מעגל בכל פעם‪ ,‬דרגת כל קודקוד נותרת זוגית וניתן לבנות‬
‫‪‬‬
‫מעגל חדש‪.‬‬
‫‪ .86‬תנאי הכרחי ומספיק לקיום מסלול אויילר בגרף‪:‬‬
‫א‪ .‬הגרף קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים);‬
‫ב‪ .‬דרגות כל הקודקודים‪ ,‬פרט אולי ל‪ 1 -‬בו‪ ,‬זוגיות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬הכרחיות תנאי זה מוכחת באופן דומה מאוד להכרחיות התנאי‬
‫שבסעיף הקודם‪ .‬בפרט‪ ,‬זוגיות הדרגה של כל הקודקודים לאורך המסלול‬
‫נכונה בוודאות לכל קודקוד פנימי במסלול‪ .‬עם זאת‪ ,‬היא עשויה להיות לא‬
‫נכונה עבור קודקוד ההתחלה וקודקוד הסיום במסילה (אלא אם כן זהו אותו‬
‫קודקוד)‪ .‬נוכיח עתה את מספיקות התנאי‪ .‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף המקיים תנאי‬
‫זה‪ .‬אם דרגות כל קודקודיו זוגיות‪ ,‬הרי שעפ"י הסעיף הקודם יש בו מעגל‬
‫אויילר ובפרט מסלול אויילר‪ .‬אחרת ‪ -‬יהיו ‪ u, v  V‬שני קודקודים ב‪G -‬‬
‫שדרגתם אי‪-‬זוגית‪ .‬נוסיף קודקוד חדש ‪ w‬ל‪ G -‬ונחברו לקודקודים‪.v ,u :‬‬
‫התקבל גרף חדש – קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים)‪ ,‬אשר דרגות כל‬
‫קודקודיו זוגיות‪ .‬עפ"י הסעיף הקודם‪ ,‬קיים בו מעגל אויילר המתחיל ומסתיים‬
‫ב‪ .u -‬נשמיט ממעגל זה את הקודקוד ‪ w‬ואת הצלעות החלות בו (שהוספנו)‬
‫‪‬‬
‫ונקבל מסלול אויילר המתחיל ב‪ u -‬ומסתיים ב‪.v -‬‬
‫‪ .87‬מסלול‪/‬מעגל המבקר בכל קודקוד בגרף בדיוק פעם אחת נקרא‪:‬‬
‫מסלול‪/‬מעגל המילטון‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ – The icosian game‬המשחק הומצא בשנת ‪ 1857‬ע"י ויליאם המילטון‪,‬‬
‫במסגרתו יש למצוא מסלול מעגלי (מעגל) לאורך צלעות דודקהדרון (גוף‬
‫תלת‪-‬מימדי בעל ‪ 12‬פיאות‪ ,‬דמוי כדורגל)‪ ,‬כך שבכל קודקוד בו מבקרים פעם‬
‫אחת בלבד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בגרף הבא קיים מעגל המילטון (ולכן גם מסלול המילטון)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫בגרף הבא (גרף פטרסן) קיים מסלול המילטון (אך לא מעגל המילטון)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫בגרף הבא לא קיים מסלול המילטון (וכמובן – גם לא מעגל המילטון)‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .44‬תנאי מספיק (של ‪ )Ore‬לקיום מעגל המילטון בגרף‪:‬‬
‫אם בגרף ‪ G   V, E ‬מסדר ‪ n  3‬מתקיים לכל שני קודקודים‪u, v  V :‬‬
‫שאינם שכנים‪ , d  u   d  v   n :‬אז יש בו מעגל המילטון‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נחשוב על קודקודי הגרף ‪ G   V, E ‬מסדר ‪ n‬כמייצגים ‪ n‬אנשים‬
‫ועל צלעות הגרף כמייצגות הכרויות בין אנשים אלו‪ .‬קיום מעגל המילטון‬
‫בגרף הנתון משול להושבת ‪ n‬אנשים סביב שולחן עגול‪ ,‬כך שכל שניים‬
‫היושבים זה לצד זה מכירים‪ .‬מספיק כי נראה כי עבור כל סידור ישיבה של ‪n‬‬
‫אנשים סביב שולחן עגול‪ ,‬בו לא כל שניים היושבים זה לצד זה מכירים‪ ,‬ניתן‬
‫לשפר את סדר הישיבה באופן שיגדיל לפחות ב‪ 1 -‬את מספר ההכרויות‬
‫לאורך המעגל‪ ,‬כך שסדרה של שיפורים אלה תוביל בסופו של דבר לסידור‬
‫המבוקש‪ ,‬בו כל שניים היושבים זה לצד זה מכירים‪.‬‬
‫נניח‪ ,‬אפוא‪ ,‬כי נתון הסידור המעגלי‪  v1 , v 2 ,..., vi ,..., vn , v1  :‬בו לא כל שניים‬
‫סמוכים מכירים‪ .‬בה"כ‪ ,‬נניח כי ‪ v1‬ו‪ v n -‬אינם מכירים‪ .‬נגדיר את הקבוצות‬
‫הבאות‪ . A : 1  i  n : vi knows vn  , B : 1  i  n : vi1 knows v1 :‬במילים –‬
‫‪ A‬היא קבוצת אינדקסי מכרי ‪ v n‬ו‪ B -‬היא קבוצת אינדקסי מכרי ‪ . v1‬לכן‪:‬‬
‫‪ . A  d  vn  , B  d  v1 ‬עפ"י הנתון‪ d  vn   d  v1   A  B  n :‬ועפ"י עקרון‬
‫שובך היונים מתחייב כי‪:‬‬
‫‪. 1 A  n  B  A  n  2  B  n  2  1  i  n : i  A  i  B‬‬
‫כלומר – יש ‪ ) 2  i  n  1 ( v i‬שמכיר את ‪ v n‬ויש ‪ ) 1  i  n  2 ( v i1‬את ‪. v1‬‬
‫נשנה את הסידור המעגלי המקורי באופן הבא‪:‬‬
‫‪ .  v1 , v 2 ,..., vi , vn , vn1 ,..., vi1 , v1 ‬ביחס לסידור המקורי‪ ,‬הגדלנו בסידור זה את‬
‫מספר ההכרויות ב‪ 2 -‬ו"הפסדנו" לכל היותר הכרות אחת – בין ‪ v i‬לבין ‪. vi 1‬‬
‫בסה"כ גדל מספר ההכרויות סביב השולחן ב‪ .1 -‬נמשיך לפעול באופן זה‬
‫ולהגדיל בכל סידור את מספר ההכרויות עד לקבלת הסידור המבוקש‪,‬‬
‫‪‬‬
‫האנלוגי למעגל המילטון בגרף הנתון‪.‬‬
‫‪ .44‬מסקנה ‪ -‬תנאי מספיק לקיום מסלול המילטון בגרף‪:‬‬
‫אם בגרף ‪ G   V, E ‬מסדר ‪ n  3‬מתקיים לכל שני קודקודים‪u, v  V :‬‬
‫שאינם שכנים‪ , d  u   d  v  n  1 :‬אז יש בו מסלול המילטון‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוסיף ל‪ G -‬קודקוד חדש ‪ w‬ונחברו לכל קודקודיו המקוריים של ‪.G‬‬
‫קיבלנו גרף חדש ' ‪ , G‬אשר לכל שני קודקודים‪ v ,u :‬בו שאינם שכנים (ולכן‪,‬‬
‫גם אינם שכנים ב‪ )G -‬מתקיים‪:‬‬
‫‪dG '  u   dG '  v   dG  u   1   dG  v  1  dG  u  dG  v  2  n  1 2  n  1‬‬
‫קיבלנו שלכל שני קודקודים שאינם שכנים ב‪ G ' -‬מתקיים שסכום דרגותיהם‬
‫גדול מסדר הגרף ( ‪ .) n  1‬עפ"י הסעיף הקודם‪ ,‬יש ב‪ G ' -‬מעגל המילטון‪.‬‬
‫נסיר ממעגל זה את ‪ w‬ואת כל הצלעות החלות בו ונקבל מסלול המילטון ב‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪.G‬‬
‫‪117‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .45‬תנאי הכרחי לקיום מעגל המילטון בגרף‪:‬‬
‫אם ‪ G‬גרף קשיר שיש בו מעגל המילטון‪ ,‬אז מספר רכיבי הקשירות בגרף‬
‫' ‪ , G‬המתקבל מ‪ ,G -‬ע"י השמטת ‪ ) k  ( k‬קודקודים‪ ,‬אינו עולה על ‪.k‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G   V, E ‬גרף ובו מעגל המילטון‪ .‬נרצה להראות כי ' ‪, G‬‬
‫המתקבל מ‪ ,G -‬ע"י השמטת ‪ k‬הקודקודים‪ , v1 , v2 ,..., vk  V :‬מכיל לכל‬
‫היותר ‪ k‬רכיבי קשירות‪ .‬יהי ‪ C‬מעגל המילטון בגרף ‪ C .G‬מכיל את כל‬
‫קודקודי הגרף ‪ - G‬כל קודקוד בדיוק פעם אחת‪ .‬כל מעגל המילטון‪ ,‬מעצם‬
‫הגדרתו‪ ,‬הוא מעגל פשוט‪ ,‬ולכן השמטת קודקוד אחד ממנו הופכת אותו‬
‫למסלול‪ .‬השמטת שני קודקודים ממנו‪ ,‬תהפוך אותו למסלול או לשני‬
‫מסלולים זרים‪ ,‬תלוי אם שני הקודקודים שכנים או לא בהתאמה‪ .‬לפיכך‪,‬‬
‫השמטת הקודקודים‪ v1 , v2 ,..., vk :‬מ‪ C -‬תהפוך אותו לכל היותר ל‪k -‬‬
‫מסלולים זרים (ובדיוק ל‪ k -‬מסלולים זרים‪ ,‬אם אין בין ‪ k‬קודקודים אלה‬
‫שניים שהם שכנים)‪ .‬נסמן ב‪ C ' -‬את תת‪-‬הגרף של ‪ C‬שהתקבל לאחר‬
‫השמטת ‪ k‬הקודקודים הנ"ל מ‪ .C -‬נוסיף ל‪ C ' -‬את כל הצלעות ב‪G -‬‬
‫שמלכתחילה לא היו ב‪ ,C -‬ונקבל את ' ‪ . G‬מאחר וב‪ C ' -‬יש לכל היותר ‪k‬‬
‫רכיבי קשירות‪ ,‬הוא הדין גם לגבי ' ‪ , G‬שכן הוספת צלעות לגרף עשויה רק‬
‫‪‬‬
‫להקטין את מספר רכיבי הקשירות‪.‬‬
‫‪ .41‬התנאי המספיק של ‪ Dirac‬לקיום מעגל המילטון בגרף‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫אם ‪ G‬הוא גרף מסדר ‪ , n  3‬אשר דרגת כל קודקוד בו היא לפחות ‪ ,‬אז יש‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ G -‬מעגל המילטון‪.‬‬
‫‪ ‬בעיית הסוכן הנוסע (‪ )TSP - Traveling Salesperson Problem‬היא בעיה‬
‫ידועה בתורת הגרפים ובתורת החישוביות והסיבוכיות‪ .‬הבעיה עוסקת בסוכן‬
‫נוסע‪ ,‬אשר במסגרת תפקידו עליו לעבור בערים רבות‪ ,‬המקושרות ביניהן ברשת‬
‫כבישים‪ ,‬כאשר יש למצוא עבורו את המסלול הקצר ביותר שיעבור בין כל‬
‫הערים‪ .‬ניסוח הבעיה במונחי תורת הגרפים‪ :‬בהינתן גרף פשוט משוקלל‪ ,‬יש‬
‫למצוא בו מסלול המילטוני שמשקלו הוא הקטן ביותר‪ .‬פתרון פשוט לבעיה הוא‬
‫בדיקת כל המסלולים האפשריים‪ .‬אלא‪ ,‬שבהינתן ‪ n‬ערים‪ ,‬פתרון זה מצריך‬
‫בדיקת סדר גודל של !‪ n‬אפשרויות‪ ,‬ולכן דרך זו הופכת מהר מאוד לבלתי‬
‫מעשית ולבלתי יעילה‪ .‬בתורת החישוביות והסיבוכיות הוכח כי בעיה זו היא‬
‫בעיית ‪-NP‬קשה‪ ,‬והצגתה כבעיית הכרעה ("האם קיים מסלול שאורכו פחות מ‪-‬‬
‫‪ d‬ק"מ?") היא בעיית ‪-NP‬שלמה‪ .‬ניתן אף להוכיח כי הוספת הדרישה שבתום‬
‫המסע יחזור הסוכן הנוסע לעיר שממנה יצא (מציאת מעגל המילטוני שמשקלו‬
‫הוא הקטן ביותר) אינה משנה את סיבוכיות הבעיה‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫תרגיל בית מס' ‪ – 14‬מבוא לתורת הגרפים –‬
‫מסלולי‪/‬מעגלי אויילר והמילטון‬
‫הערה‪ :‬השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים‪ ,‬אלא אם כן מצויין אחרת‬
‫בגוף השאלה‪.‬‬
‫‪ .1‬תנו דוגמא לגרף המכיל‪:‬‬
‫א‪ .‬מעגל אויילר אך לא מעגל המילטון‬
‫ב‪ .‬מעגל המילטון אך לא מעגל אויילר‬
‫‪ .2‬השלימו‪:‬‬
‫א‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ n‬יש בגרף ‪ K n‬מעגל אויילר ? ________‬
‫ב‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ n‬יש בגרף ‪ K n‬מעגל המילטון ? ________‬
‫‪ .3‬השלימו‪:‬‬
‫א‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ m‬ו‪ n -‬יש בגרף‬
‫‪ K m,n‬מעגל אויילר ? __________‬
‫ב‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ m‬ו‪ n -‬יש בגרף ‪ K m,n‬מעגל המילטון ? _________‬
‫ג‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ m‬ו‪ n -‬יש בגרף ‪ K m,n‬מסלול אויילר ? __________‬
‫ד‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ m‬ו‪ n -‬יש בגרף ‪ K m,n‬מסלול המילטון ? ________‬
‫‪ .4‬סדרת דה‪-‬ברויין מוגדרת כסדרה בינארית מעגלית באורך ‪ , 2n‬כך‬
‫שכל סדרה בינארית באורך ‪ n‬מופיעה כתת‪-‬סדרה שלה‪ .‬על‪-‬מנת לבנות את‬
‫הסדרה‪ ,‬נגדיר גרף מכוון בן ‪ 2n 1‬קודקודים‪ ,‬שקודקודיו הם כל הסדרות‬
‫הבינאריות באורך ‪ . n  1‬מכל קודקוד בגרף‪  x1 , x 2 ,..., xn 1  :‬נעביר צלע לכל‬
‫אחד מהקודקודים‪.  x 2 , x3 ,..., xn 1 , 0 ,  x2 , x3 ,..., xn1 ,1 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הוכיחו כי הגרף (מסדר ‪ ) 2n 1‬המתקבל באופן הנ"ל מכיל מעגל‬
‫אויילר‪.‬‬
‫ציירו את הגרף המתאים למקרה‪ , n  3 :‬מצאו מעגל אויילר בו וקבעו‬
‫באמצעותו את סדרת דה‪-‬בוריין המתאימה לו‪.‬‬
‫ציירו את הגרף המתאים למקרה‪ , n  4 :‬מצאו מעגל אויילר בו וקבעו‬
‫באמצעותו את סדרת דה‪-‬בוריין המתאימה לו‪.‬‬
‫‪n 1‬‬
‫הוכיחו כי באמצעות מעבר על הגרף המכוון מסדר ‪ , 2‬באופן שהדגמתם‬
‫בסעיפים‪ :‬ב'‪ ,‬ג' לעיל‪ ,‬אכן ניתן לייצר סדרת דה‪-‬בוריין‪.‬‬
‫‪ .5‬יהי ‪ G‬גרף מסדר‬
‫‪ 2n‬‬
‫‪ ,  n ‬אשר דרגות כל קודקודיו אי‪-‬זוגיות‪ .‬הוכיחו כי‬
‫קיימים ב‪ n G -‬מסלולים שונים שכל צלע ב‪ G -‬מופיע בדיוק באחד מהם‬
‫ובדיוק פעם אחת‪.‬‬
‫‪ .6‬הוכיחו כי גרף קשיר‪ ,‬אשר לא כל דרגות קודקודיו זוגיות‪ ,‬ניתן לציור‬
‫במספר משיכות קולמוס השווה למחצית מספר הקודקודים מערכיות אי‪-‬‬
‫זוגית בו‪.‬‬
‫‪119‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .7‬בכמה משיכות קולמוס ניתן לצייר מצולע בעל ‪ 100‬קודקודים עם כל‬
‫אלכסוניו ? נמקו‪.‬‬
‫‪ .8‬הראו כי התנאי של ‪ Ore‬אינו תנאי הכרחי לקיום מעגל המילטון בגרף‪.‬‬
‫‪ .9‬שאלה זו עוסקת בצופן גריי‪ .‬נרצה למצוא מסלול המילטון על הקוביה ה‪-n -‬‬
‫מימדית‪ .‬כלומר – נרצה למצוא סידור של כל ‪ 2n‬הסדרות הבינאריות‪ ,‬כך‬
‫שבמעבר מסדרה אחת לשניה משתנה קואורדינטה אחת בלבד‪ .‬בניית‬
‫המסלול תעשה באופן האינדוקטיבי הבא ‪ -‬נניח שמצאנו מסלול כזה בקוביה‬
‫ה‪-n -‬מימדית‪ ,‬המסתיים בקודקוד‪/‬בסדרה‪ ;  x1 , x 2 ,..., xn  :‬במעבר לקוביה ה‪-‬‬
‫‪- n  1‬מימדית ניקח את המסלול הקודם שמצאנו בקוביה ה‪-n -‬מימדית ונוסיף‬
‫לכל קודקוד בו קואורדינטה ‪ 0‬במקום ה‪ n  1 -‬י‪ .‬מסלול זה יסתיים‪ ,‬אפוא‪,‬‬
‫בקוביה ה‪- n  1 -‬מימדית בקודקוד‪ .  x1 , x 2 ,..., xn , 0 :‬עתה ניקח שוב את‬
‫המסלול שמצאנו בקוביה ה‪-n -‬מימדית ונוסיף לכל קודקוד בו קואורדינטה ‪1‬‬
‫במקום ה‪ n  1 -‬י‪ ,‬אלא שהפעם נעבור על מסלול זה מהסוף (המקורי שלו)‬
‫להתחלה (המקורית שלו)‪ .‬כלומר – קודקוד ההתחלה במסלול החדש שנוצר‬
‫יהיה‪ .  x1 , x 2 ,..., xn ,1 :‬על‪-‬מנת לחבר את שני תת‪-‬המסלולים שנוצרו בקוביה‬
‫ה‪- n  1 -‬מימדית‪ ,‬נחבר את הקודקוד ‪  x1 , x 2 ,..., x n ,0 ‬אל הקודקוד‬
‫‪ .  x1 , x 2 ,..., x n ,1‬מצאו מסלולי המילטון על הקוביה ה‪-n -‬מימדית‪ ,‬עבור‪:‬‬
‫א‪n  2 .‬‬
‫ב‪n  3 .‬‬
‫ג‪n  4 .‬‬
‫‪ .11‬הוכיחו כי לא ניתן לכסות לוח שחמט בגודל ‪ , m  n‬עבור ‪ m‬ו‪ n -‬אי‪-‬‬
‫זוגיים שונים‪ ,‬באמצעות צעדי פרש‪ ,‬כאשר אסור לפרש לבקר באותה‬
‫משבצת בלוח יותר מפעם אחת‪ ,‬ובסיום עליו לחזור למשבצת בה התחיל את‬
‫מסעו‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪110‬‬