פרק 5 – מבוא לתורת הגרפים - Or-Alfa
Transcription
פרק 5 – מבוא לתורת הגרפים - Or-Alfa
רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג פרק – 5מבוא לתורת הגרפים גרפים כלליים -הגדרות ותכונות בסיסיות מרכיבי הגרף -תהי V קבוצה סופית. .1 הזוג G V, E נקרא :גרף לא מכוון ,אם"ם Eהיא קבוצה של זוגות לא .2 סדורים ,אשר איבריהם נמצאים ב.V - הזוג G V, E נקרא :גרף מכוון ,אם"ם Eהיא קבוצה של זוגות סדורים, .3 .4 אשר איבריהם נמצאים ב.V - איברי Vנקראים :קודקודים או צמתים. איברי Eנקראים :צלעות (בגרף לא מכוון) או קשתות (בגרף מכוון). צלע בין הקודקודים uו v -תסומן u, v :וקשת בין הקודקודים uוv - תסומן. u, v : .5 גרף הינו בלתי תלוי בצורתו הגיאומטרית. דוגמאות: G1 V1, E1 , V1 1,2,3,4,5,6 , E1 1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6 G2 V2 , E2 , V2 1,2,3,4 , E2 1,2 , 1,3 , 3,2 , 3,4 , 4,3 הגרפים הבאים זהים: 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג מכאן ואילך נעסוק רק בגרפים לא מכוונים. .6 .7 .8 .9 אם Vמכילה nאיברים ,נאמר שהגרף הוא מסדר .n לולאה בגרף G V, E היא צלע מהצורה u, u :כאשר , u V :כלומר – צלע מהקודקוד uלעצמו. פסאודו-גרף או מולטי-גרף הוא גרף בו יש לולאות או ריבוי צלעות (כלומר -כמה צלעות בין זוג קודקודים). גרף פשוט הוא גרף לא מכוון נטול לולאות וללא ריבוי צלעות. דוגמאות: הגרף דלהלן הוא גרף מסדר ,4שכן יש לו 4קודקודים. דוגמא לפסאודו-גרף/מולטי-גרף: דרגות של קודקודים וסוגים נפוצים של גרפים -מכאן ואילך נעסוק רק בגרפים פשוטים. .11יהי G V, E גרף .נאמר ששני קודקודים u, v V :שכנים או סמוכים, אם"ם קיימת צלע המחברת ביניהם ,כלומר – אם . u, v Eבמקרה זה נאמר גם כי הצלע u, vחלה בקודקודים.v ,u : .11יהי G V, E גרף .הדרגה או הערכיות של קודקוד v Vהיא מספר הצלעות החלות ב ,v -והיא מסומנת ע"י degree(v) :או ).d(v .12אם ,degree(v)=0הקודקוד vנקרא :מבודד. .13עבור גרף מכוון ,נגדיר את דרגת הכניסה של ( v Vסימון)indegree(v) : כמספר הקשתות הנכנסות אל vואת דרגת היציאה של v V (סימון )outdegree(v) :כמספר הקשתות היוצאות מ.v - נשים לב כי. v V : in deg ree v out deg ree v deg ree v : 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג דוגמאות: G1 V1, E1 , V1 1,2,3,4,5,6 , E1 1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6 דרגת/ערכיות הקודקוד 1היא .2לקודקוד 6יש שכן אחד בלבד – קודקוד .4הצלע 2,5חלה בקודקודים.5 ,2 : G2 V2 , E2 , V2 1,2,3,4 , E2 1,2 , 1,3 , 3,2 , 3,4 , 4,3 דרגת הקודקוד 1היא ,2כאשר דרגת הכניסה שלו היא 0ודרגת היציאה שלו היא .2דרגת הקודקוד 3היא ,4כאשר דרגת הכניסה שלו היא 2ודרגת היציאה שלו היא .2 .14למת לחיצות הידיים :בגרף G V, E מתקיים. d v 2 E : הוכחה d v :סופר את הצלעות החלות ב.v - d v vV סופר את הצלעות vV שחלות בכל קודקודי הגרף .מאחר וכל צלע חלה בשני קודקודים שונים/זרים, הרי ש d v -סופר כל צלע פעמיים .מכאן. d v 2 E : vV vV .15מסקנה :בגרף G V, E יש מספר זוגי של קודקודים שדרגתם אי-זוגית. הוכחה :על דרך השלילה – נניח בשלילה כי המסקנה אינה נכונה ,כלומר – בגרף Gיש מספר אי-זוגי של קודקודים שדרגתם אי-זוגית .סכום דרגות כל קודקודים אלו הוא מספר אי-זוגי .סכום דרגות שאר קודקודי הגרף Gהוא מספר זוגי ,ולכן סכום הדרגות הכולל בגרף יהיה מספר אי-זוגי ,בסתירה ללמת לחיצות הידיים. .16הגרף הריק הוא גרף נטול צלעות .גרף ריק מסדר nמסומן. N n : .17גרף שבו מופיעות כל הצלעות האפשריות נקרא :גרף שלם. גרף שלם מסדר nמסומן( . K n :הוא נקרא גם :קליקה מסדר nאו -n קליקה). 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג )n (n 1 .18מספר הצלעות בגרף K nהוא: 2 הוכחה :משיקולים קומבינטוריים – מספר הצלעות בגרף שווה למספר הזוגות הלא סדורים של קודקודים ,אשר ניתן לבחור מתוך קבוצה בת n n n n 1 . קודקודים ,והוא: 2 2 . דוגמאות: גרף ריק מסדר : N 5 - 5 גרף שלם מסדר : K 5 - 5 .19 יהי G V, E גרף ותהי . S Vנאמר ש S -קבוצה בלתי תלויה של קודקודים או אנטי-קליקה אם"ם( u, v S: u, v E :כלומר -אין צלעות בין הקודקודים ב.)S - .21גרף המעגל מסדר ,nהמסומן ע"י , C n :הוא גרף בעל nקודקודים: V 0,1, 2,..., n 1ו n -צלעות. E i,i 1 mod n : i 0,1, 2,..., n 1 : .21גרף המסלול מסדר ,nהמסומן ע"י , Pn :הוא גרף בעל nקודקודים: V 1, 2,3,..., nו n 1 -צלעות. E i,i 1 : i 1, 2,3,..., n 1 : .22גרף הקוביה ה n -מימדית ,המסומן ע"י , Q n :הוא גרף שקבוצת קודקודיו היא אוסף כל הסדרות הבינאריות באורך ,nאשר בין כל 1סדרות השונות בדיוק בקואורדינטה אחת יש צלע מחברת. .23בגרף Q nיש 2nקודקודים ו n 2n 1 -צלעות. הוכחה :מספר הקודקודים בגרף הוא כמספר הסדרות הבינאריות באורך - n . 2nדרגת כל קודקוד היא ,nולכן סכום דרגות כל קודקודי הגרף הוא. n 2n : n 2n עפ"י למת לחיצות הידיים ,מספר הצלעות בגרף הוא n 2n 1 : . 2 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג דוגמאות: G1 V1, E1 , V1 1,2,3,4,5,6 , E1 1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6 S1 1,4 , S2 1,3 , S3 1,3,6הן אנטי-קליקות לדוגמא ב. G1 - בגרף K nאין אנטי-קליקות (לא ריקות)( .הוא נקרא גם ,כזכור :קליקה מסדר nאו-n :קליקה). בגרף N nכל תת-קבוצה של קודקודי הגרף היא אנטי-קליקה. גרף המעגל מסדר : C5 - 5 גרף המסלול מסדר : P5 - 5 גרף הקוביה התלת-מימדית : Q3 - 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .24גרף Gנקרא-d :רגולרי ,אם"ם דרגת כל קודקודיו היא .d dn . .25מספר הצלעות בגרף -dרגולרי מסדר nהוא: 2 הוכחה :יהי G V, E גרף -dרגולרי מסדר .nעפ"י למת לחיצות הידיים: dn 2 vV vV .26מסקנה :לא קיים גרף רגולרי מסדר אי-זוגי שדרגת הרגולריות שלו היא אי- זוגית( .למשל :לא קיים גרף -1רגולרי מסדר )... ,9 ,7 ,1 הוכחה :על דרך השלילה – נניח שהמסקנה אינה נכונה ,כלומר – קיים גרף כזה .נסמן ב d -את דרגת הרגולריות של הגרף וב n -את הסדר שלו .נשים dn - 2 | d 2 | n 2 | d n E סתירה! לב כי : 2 .27יהי G V, E גרף .הגרף המשלים של ,Gהמסומן , G V, E :מכיל את . 2 E d v d d n E כל קודקודי Gכך שלכל שני קודקודים , u, v Vהם שכנים ב G -אם"ם הם אינם שכנים ב( .G -במילים אחרות ,אם Gמסדר ,nהרי ש" G -משלים" אותו ל). K n - .28יהי G V, E גרף ויהי v Vקודקוד כלשהו .הגרף G \ v :הוא הגרף המתקבל מ G -ע"י הסרת הקודקוד vוכל הצלעות החלות בו .אם , S Vאז G \ Sהוא הגרף המתקבל מ G -ע"י הסרת כל הקודקודים ב S -והצלעות החלות בהם .באופן דומה ,אם e Eצלע כלשהי ,אז G \ eהוא הגרף המתקבל מ G -ע"י הסרת הצלע ( eללא הקודקודים בהם היא חלה). .29הגרף G ' V' , E' נקרא :תת-גרף של , G V, E אם"ם: אE' E , V' V . ב( u, v E' : u, v V' .כלומר – הצלעות ב E ' -נפרשות ע"י הקודקודים ב). V ' - .31תת-גרף ' Gשל Gנקרא :תת-גרף פורש ,אם"ם. V V' : דוגמאות: גרף -2רגולרי מסדר ( 4מצולע/מעגל :) C4 - גרף -3רגולרי מסדר ( 8גרף הקוביה התלת-מימדית :) Q3 - 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג גרף -3רגולרי מסדר ( 10גרף פטרסן – :)Petersen's graph גרף ( Gצלעותיו מודגמות בקוים מלאים) והגרף המשלים שלו ( G -צלעותיו מודגמות בקוים מרוסקים): דוגמא לתת-גרף (מימין) שאינו פורש את הגרף (משמאל): דוגמאות לתת-גרפים פורשים של הגרף השלם מסדר :) K 4 ( 4 117 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג תרגיל בית מס' - 13מבוא לתורת הגרפים -גרפים כלליים הגדרות ותכונות בסיסיותהערה :השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים ,אלא אם כן מצוין אחרת בגוף השאלה. .1השלימו או סמנו נכון/לא נכון: א .בגרף K nסכום דרגות כל הקודקודים הוא __________. ב .כל מצולע הוא גרף _____-רגולרי. ג .הגרף C nהוא גרף _____-רגולרי. ד .הגרף Pnהוא גרף רגולרי[ .נכון/לא נכון] ה .הגרף Q nהוא גרף _____-רגולרי. ו .הגרף N nהוא גרף _____-רגולרי. ז .לכל N n : n הוא תת-גרף פורש של [ . K nנכון/לא נכון] ח .לכל C n : n הוא תת-גרף פורש של [ . K nנכון/לא נכון] ט .לכל Pn : n הוא תת-גרף פורש של [ . K nנכון/לא נכון] י .כל גרף -3רגולרי הוא משולש[ .נכון/לא נכון] .2יהי Gגרף המכיל 11צלעות .ידוע כי לשלושה מקודקודיו ערכיות 1ולכל השאר – ערכיות .1מהו הסדר של ? G .3יהי Gגרף מסדר nהמכיל n 4צלעות ואשר ערכיות כל קודקוד בו היא לפחות .1הוכיחו כי. n 8 : .4הוכיחו/הפריכו כי: א .בגרף מסדר nלא יתכן שסכום דרגות כל קודקודיו יהיה. n n : ב .קיים גרף מסדר 2n 1שהוא 2n 1רגולרי. ג .קיים גרף מסדר 1שדרגות קודקודיו הן.1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 : ד .קיים גרף מסדר 1שדרגות קודקודיו הן.1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 : ה .קיים גרף מסדר 1שדרגות קודקודיו הן.1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 : ו .קיים גרף מסדר 1שדרגות קודקודיו הן.7 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 : 2 .5הוכיחו/הפריכו כי: א .לא יתכן כי בקבוצה של 9אנשים כל אדם מכיר בדיוק 1אנשים. ב .בכל גרף מסדר גדול או שווה ל 1 -יש לפחות 1קודקודים בעלי אותה ערכיות. .6א .מהו מספר האנטי-קליקות בגודל 2בגרף ? C nנמקו. ב .מהו גודלה של האנטי-קליקה הגדולה ביותר בגרף ? Pnנמקו. 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .7גרף פטרסן ( )Petersen's graphהוא גרף פשוט המוגדר באופן הבא: תהי A 0,1, 2,3, 4קבוצה; לכל זוג איברים מ A -מתאים קודקוד בגרף; כל שני קודקודים u, vבגרף מחוברים ע"י צלע אם"ם הם מתאימים לזוגות זרים של איברי .A א .חשבו את :סדר הגרף ,מספר צלעותיו ,דרגת כל קודקוד בו. ב .האם הגרף רגולרי ? אם כן ,מהי דרגת הרגולריות שלו ? ג .שרטטו את הגרף .האם יש בגרף משולשים ו/או מרובעים ? ד .יהי vקודקוד כלשהו בגרף פטרסן .צאו ממנו והתקדמו בכל פעם לקודקוד שכן ,מבלי לסגת מיד לקודקוד ממנו הגעתם .כמה צעדים לפחות עליכם לצעוד בגרף על-מנת להגיע חזרה לקודקוד המוצא ? v בהצלחה! 119 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג מסלולים ,מעגלים ,יערות ועצים מסלולים ,מעגלים ומרחקים -יהי G V, E גרף פשוט. .31סדרה של קודקודים v0 , v1 ,..., vp :כך ש , i 0,1,..., p 1: vi , vi 1 E :וכך שכל הצלעות vi , vi 1 :שונות זו מזו ,נקראת :מסלול או מסילה. אם , v 0 v pאז המסלול נקרא :מעגל. אם כל הקודקודים לאורך המסלול שונים זה מזה המסלול נקרא :פשוט. אם כל הקודקודים לאורך המעגל שונים זה מזה (פרט ,כמובן ,לקודקוד ההתחלה והסיום) המעגל נקרא :פשוט. .32אורך המסלול v0 , v1 ,..., vp הוא ,pכלומר – אורך מסלול בגרף שווה למספר הצלעות לאורכו .מסלול (מסילה) באורך 0מוגדר כסדרת קודקודים בגרף ,המכילה קודקוד אחד בלבד. דוגמא: כל הנאמר להלן מתייחס לגרף הבא: G1 V1, E1 , V1 1,2,3,4,5,6 , E1 1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6 מסלולים/מסילות לדוגמא ב: G1 - . 3,4 , 1,5,2,3 , 1,2,3,4,6 , 6,4,5,1,2,3 , 6,4,5, 1,2,3,4 6,1, 2 , 6, 4,6 , 3, 4,5, 2,1,5, 4אינם מסלולים (מסילות) ב. G1 - בסדרת הקודקודים הראשונה (משמאל) 6,1, 2 :אין צלע מחברת בין הקודקודים .1 ,6 :בשתי סדרות הקודקודים האחרות ,לא כל הצלעות שונות. כך ,למשל ,בסדרה 3, 4,5, 2,1,5, 4 :הצלע 4,5 :מופיעה יותר מפעם אחת. (שתי הסדרות האחרונות לפעמים מכונות בשם :הילוכים). מסלולים פשוטים לדוגמא ב. 1,5 , 1,5,2,3 , 1,2,3,4,6 , 6,4,5,1,2,3 : G1 - מסלולים ב G1 -שאינם פשוטים הם ,למשל. 1,5, 4,3, 2,5 , 5, 4,3, 2,5 : מביניהם רק 5,4,3,2,5הוא מעגל פשוט ב 1,5, 4,3, 2,5 , G1 -כלל אינו מעגל .במידה וב G1 -גם הקודקודים 3ו 5 -היו שכנים (כלומר ,היה מתקיים שגם ,) 3,5 E1 :הרי שסדרת הקודקודים 1,5, 4,3,5, 2,1 :מהווה מעגל שאינו פשוט (שהוא גם ,כמובן ,מסלול שאינו פשוט). אורכי המסלולים 5 , 4,5,1, 2,3, 4 , 6, 4,5,1, 2,3, 4 , 6, 4,5,1, 2,3 :ב G1 -הם: 0 ,5 ,6 ,5בהתאמה. 110 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .33יהיו u, v Vשני קודקודים .המרחק ביניהם ב ,G -המסומן , d u, v :מוגדר כאורך המסלול הקצר ביותר ביניהם .אם אין מסלול בין uל v -בגרף ,G מגדירים. d u, v : .34הקוטר של Gהוא המרחק המירבי בגרף בין זוג קודקודים כלשהם. דוגמאות: G1 V1, E1 , V1 1,2,3,4,5,6 , E1 1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6 ; d 1,3 1,2,3 2 , d 1,6 1,5,4,6 3 , d 1,2 1 , d 4,4 0קוטר הגרף G1הוא 3 (בדקו). G2 V2 , E2 , V2 A,C, D, E , E 2 A,C, D, E ; d A, D d C, D d A, E d C, E , d A,C 1 d D, E קוטר הגרף G 2הוא ( בדקו). .35יהיו u, v, w Vקודקודים כלשהם .פונקצית המרחק בין קודקודים נקראת: מטריקה ,שכן היא מקיימת את התכונות הבאות: א d u, v 0 .וu v d u, v 0 - בd u, v d v, u . ג .אי-שוויון המשולשd u, v d v, w d u, w : הוכחה :תכונות :א' ,ב' ברורות מעצם הגדרת המושג :מסלול בין שני קודקודים ( uו )v -בגרף .לצורך הוכחת תכונה ג' (אי-שוויון המשולש) ,נבחין בין שני מקרים: oאין מסלול בין uלבין vבגרף או אין מסלול בין vלבין wבגרף – . d u, v d v, w d u, v d v, w d u, w oיש מסלול בין uלבין vבגרף ויש מסלול בין vלבין wבגרף – יש מסלול בין uלבין wבגרף ,העובר דרך ,vאולם יתכן שיש מסלול אחר בין u לבין wבגרף ,קצר יותר ,אשר אינו עובר דרך .v 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .36גרף נקרא :קשיר ,אם"ם יש בו מסלול בין כל זוג קודקודים. כל הקודקודים בגרף ,אשר בין כל שניים מהם יש מסלול ,נמצאים באותו רכיב קשירות. דוגמאות: G1 V1, E1 , V1 1,2,3,4,5,6 , E1 1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6 G1הוא גרף קשיר – כל הקודקודים בו נמצאים באותו רכיב קשירות .יש לו רכיב קשירות אחד בלבד. G2 V2 , E2 , V2 A,C, D, E , E 2 A,C, D, E G 2אינו גרף קשיר – יש לו שני רכיבי קשירות. A,C , D, E : .37בכל גרף פשוט יש חלוקה של קודקודיו לרכיבי קשירות. הוכחה :יהי G V, E גרף פשוט כלשהו .נגדיר מעל Vאת היחס הבא: v 2 there exists a path from v1 to v 2 . v1, v 2 V : v1מספיק להראות כי יחס זה הוא יחס שקילות מעל ,Vשכן (כזכור) כל יחס שקילות משרה חלוקה של הקבוצה מעליה הוא מוגדר. , v V : vשכן לכל קודקוד v Vיש רפלקסיביות מתקיימת ,כלומרv : מסלול באורך 0ממנו לעצמו . v, v :סמטריות מתקיימת ,כלומר: v2 v2 v1 , v1 , v 2 V : v1שכן מאחר ו G -אינו מכוון (פשוט) ,הרי שקיום מסלול מ v1 -ל v 2 -מחייב קיום מסלול מ v 2 -ל( . v1 -באופן מפורש - אם קיים ב G -המסלול v1, v11, v12 , v13 ,..., v1n 1, v1n , v 2 :הרי שקיים ב G -גם המסלול ). v 2 , v1n , v1n1,..., v12 , v11 , v1 :טרנזיטיביות מתקיימת ,כלומר: v2 v2 v3 v1 v3 , v1, v 2 , v3 V : v1שכן קיום מסלולים ב G -מ- v1ל v 2 -ומ v 2 -ל v 3 -מחייב קיום מסלול ב G -מ v1 -ל( . v 3 -שימו לב כי אם הוא מסלול ב G -מ v1 -ל v 2 -ו -הוא מסלול ב G -מ v 2 -ל , v 3 -אין כל הכרח כי ההילוך הנוצר משרשור ל : -יהווה מסלול מ v1 -ל- , v 3שכן יתכן שלא כל הצלעות בהילוך זה שונות זו מזו. 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג יחד עם זאת ,כפי שתוכיחו להלן בשאלה 2בתרגיל בית מס' ,9ניתן "לייצר" מהילוך זה מסלול ואפילו מסלול פשוט מ v1 -ל v 3 -ב .G -למשל ,בגרף G1 שבעמוד הקודם ,שרשור המסלול מ 4 -ל 4,5, 2 :2 -למסלול מ 1 -ל:4 - 1,5,4 יוצר הילוך: 4,5, 2 1,5, 4,5, 2 1,5, 4שאינו מסלול מ 1 -ל.2 - עם זאת ,ניתן "לייצר" ממנו מסלול מ 1 -ל). 1,5,2 :2 - .38יהי G V, E גרף כך ש, E m 0 : . V n אם , m n 1אז יש ב G -לפחות n mרכיבי קשירות. הוכחה :באינדוקציה על מספר הצלעות . m 0 - בסיס האינדוקציה – :m=0בגרף נטול צלעות (ריק) מסדר ,nישn 0 n : רכיבי קשירות ,כלומר – בגרף ריק מסדר nיש אכן לפחות nרכיבי קשירות. שלב האינדוקציה :נניח נכונות ל ) m 0 ( m -ונראה נכונות ל. m 1 - יהי Gגרף מסדר nעם m 1צלעות ותהי eצלע כלשהי ב .G -בגרף , G \ e המתקבל מ G -ע"י הסרת הצלע ,eיש mצלעות ולכן יש בו ,עפ"י הנחת האינדוקציה ,לפחות n mרכיבי קשירות .נוסיף עתה את הצלע eלגרף G \ eלקבלת הגרף .Gנבחין בין שני מקרים: oהצלע eמחברת בין שני קודקודים הנמצאים באותו רכיב קשירות של - G \ eהוספתה לא שינתה את מספר רכיבי הקשירות (שהיו ב- ,) G \ eולכן גם ב G -יש לפחות n mרכיבי קשירות; מאחר ו: , n m 1 n mהרי שנכון גם לומר כי יש ב G -לפחות n m 1 רכיבי קשירות. oהצלע eמחברת שני רכיבי קשירות שונים של - G \ eהוספתה מפחיתה ב 1 -את מספר רכיבי הקשירות ,ולכן יש עתה ב G -לפחות n m 1 ( ) n m 1 n m 1רכיבי קשירות. .39מסקנה :יהי G V, E גרף קשיר .מתקיים בו. E V 1 : הוכחה :על דרך השלילה – נניח בשלילה כי המשפט אינו נכון ,כלומר – G קשיר ומתקיים בו . E V 1 :נסמן . V n , E m :מספר הצלעות המירבי ב G -הוא ,) m n 1 ( n 2אלא שעפ"י המשפט האחרון ,בגרף מסדר nבעל לכל היותר n 2צלעות יש לפחות n n 2 2רכיבי קשירות ,ולכן אינו קשיר -בסתירה להיות Gקשיר. .41יהי G V, E גרף קשיר ,כך ש V 3 :ו . E V -יש ב G -מעגל. הוכחה :נסמן, m n 3 : . V n , E m , m, n ההוכחה היא באינדוקציה על מספר קודקודי הגרף – . n 3 בסיס האינדוקציה – :n=3עבור 3 n mיש רק גרף (פשוט) אחד כזה – C3 (משולש) ,המכיל כמובן מעגל (הוא עצמו). 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג שלב האינדוקציה :נניח נכונות ל ) n 3 ( n -ונראה נכונות ל. n 1 - יהי Gגרף (קשיר) מסדר n 1כך ש . m n 1 4 :נבחין בין שני מקרים: - v V : d v 1 oנתבונן בגרף , G \ v :המתקבל מ G -ע"י הסרת הקודקוד vהנ"ל והצלע החלה בו; ב G \ v -יש nקודקודים וm 1 - צלעות (כי ;) d v 1 :מתקיים , m n 1 4 m 1 n 3 :ולכן עפ"י הנחת האינדוקציה יש ב G \ v -מעגל ,שהוא כמובן גם מעגל ב.G - o - v V : d v 2יהי v0 Vקודקוד כלשהו ב ;G -נתחיל לעבור על ,G החל מקודקוד זה ,מבלי לסגת מיידית לצלע ממנה הגענו זה עתה; מכיוון שדרגת כל קודקוד ב G -היא לפחות ,2הרי שלא נגיע למבוי סתום; מאחר והגרף הוא סופי ,הרי שבאיזשהו שלב נגיע לקודקוד בגרף בו כבר ביקרנו ,מה שמוכיח קיום מעגל ב.G - .41יהי G V, E גרף קשיר ותהי e Eצלע בו .הגרף G \ eקשיר אם"ם הצלע eשייכת למעגל פשוט כלשהו ב.G - הוכחה :נוכיח בנפרד כל כוון של הטענה. : תהי x, y V e x, yצלע כלשהי בגרף .Gעפ"י הנתוןG \ e , קשיר ולכן קיים מסלול פשוט מ x -ל y -בו (הוכחה – שאלה 2להלן בתרגיל בית מס' .)9אם נוסיף לגרף G \ eאת הצלע ,eנקבל עתה מעגל פשוט בגרף ,Gהכולל את .e : יהי Cמעגל פשוט בגרף ,Gהכולל את הצלע . e x, yנוכיח ש- G \ eקשיר ,כלומר – נראה שבין כל שני קודקודים ב G \ e -יש מסלול. יהיו u, v Vקודקודים כלשהם ב . G \ e -מאחר ו G -קשיר ,הרי שיש מסלול בין uלבין vב .G -נבחין בין שני מקרים: oמסלול זה אינו כולל את – eזהו גם מסלול ביניהם ב - G \ e -סיימנו. oמסלול זה כולל את – eנחליף את הצעד מ x -ל y -במסלול זה ,שנעשה דרך הצלע ,eבמעגל שמוביל מ x -ל( y -ואשר קיים עפ"י הנתון). בכל מקרה ,נקבל ש G \ e -קשיר. יערות ועצים .42גרף פשוט (לא מכוון) אשר אינו מכיל מעגלים נקרא :יער. .43יער קשיר נקרא :עץ( .במילים אחרות ,עץ הוא גרף פשוט/לא מכוון ,קשיר, אשר אינו מכיל מעגלים ).עץ מסדר ( nבעל nקודקודים) מסומן. Tn : .44קודקוד בעץ שדרגתו 1נקרא :עלה. 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג דוגמאות: G2 V2 , E2 , V2 A,C, D, E , E 2 A,C, D, E G 2הוא יער – יש לו שני רכיבי קשירות ,אשר כל אחד מהם מהווה עץ. G1 V1, E1 , V1 1,2,3,4,5,6 , E1 1,2, 1,5, 2,3, 2,5, 3,4, 4,5,4,6 G1אינו יער (ובפרט אינו עץ) ,שכן הוא מכיל מעגל/ים. הגרף הבא הוא עץ (מסדר :)7 הקודקודים 7 ,5 ,3 ,1 :הם עלים בעץ הנ"ל. .45כל עץ מסדר n 2מכיל עלה. הוכחה :נצא מקודקוד כלשהו בעץ ונלך לאורך מסלול היוצא ממנו ,מבלי לסגת אל הצלע האחרונה ממנה הגענו .מספר הקודקודים בעץ הוא סופי, ואיננו מבקרים באותו קודקוד פעמיים ,שכן עץ הוא חסר מעגלים וגם איננו נסוגים (בהתאם לאמור לעיל) .לכן ,בדרך זו נגיע בהכרח לקודקוד שממנו איננו יכולים להתקדם עוד – דרגתו של קודקוד כזה היא בהכרח ,1משמע זהו עלה. .46בעץ מסדר nיש n 1צלעות. הוכחה :יהי Tעץ מסדר .nאם ,n=1הרי שיש בו 1 1 0 :צלעות .אם ,n=2 הרי שיש בו 2 1 1 :צלעות .יהי Tעץ מסדר n 3שלו mצלעות .מצד אחד T ,עץ ולכן גרף קשיר -עפ"י מסקנה 39לעיל . m n 1 :מצד שני ,אם , m n 3הרי שעפ"י משפט 41מתחייב שב T -יש מעגל ,בסתירה להיותו עץ .לכן ,בהכרח . m n 1 :קיבלנו ש . m n 1 m n 1 m n 1 : 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג עצים מושרשים: .74 .74 .74 .55 .51 .52 .53 עץ מושרש הוא עץ בו יש קודקוד אחד מיוחד (מתוייג) הנקרא :שורש העץ. יהי Tעץ מושרש עם שורש uויהי v uקודקוד כלשהו ב .T -כל קודקוד (אחר) wהנמצא במסלול המחבר את uל v -נקרא :אב קדמון של .v vנקרא :צאצא של כל קודקוד wכזה הנמצא באותו מסלול. הקודקוד הנמצא "מיד לפני" vבמסלול נקרא :ההורה (או האב) של vואילו vנקרא :ילד (או בן) שלו. השורש הוא הקודקוד היחיד ללא הורה (אב). קודקוד נטול ילדים (בנים) נקרא :עלה .קודקוד שאינו עלה נקרא :קודקוד פנימי. דרגת קודקוד היא מספר הילדים (הבנים) שלו. עומק קודקוד הוא אורך המסלול מהשורש אליו. גובה העץ הוא אורך המסלול הארוך ביותר מהשורש לעלה כלשהו בעץ. דוגמאות: נתון העץ הבא: אם נתייחס לקודקוד 4כאל שורש העץ ,הרי שנקבל עץ מושרש .העלים בו הם הקודקודים .7 ,5 ,3 ,1 :שאר הקודקודים בעץ הם קודקודים פנימיים. נתבונן למשל במסלול 4 : 4,6,7 הוא אב קדמון של 7ו 7 -הוא צאצא של 4 ,4 הוא ההורה (האב) של 6ו 6 -הוא ילד (בן) של .4 הדרגה של הקודקוד 2היא ,2שכן יש לו 2ילדים ( 1ו .)3 -הדרגה של הקודקוד 1היא ,0שכן הוא עלה (נטול ילדים) .הדרגה של השורש 4היא .3 עומק הקודקוד 7הוא ( 2מרחקו לשורש ,)4עומק הקודקוד 6הוא 1וגובה העץ הוא ( 2אורך המסלול הארוך ביותר מהשורש 4לעלה כלשהו בעץ). 111 מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג רפאל ברכאן נתון העץ הבא: שורש העץ הוא הקודקוד .8לעץ 9עלים .דרגת הקודקוד 10היא .3עומק הקודקוד 16הוא .3גובה העץ הוא .4 .54עצים נפוצים: עץ Kי הוא עץ בו דרגת כל קודקוד היא לכל היותר 0 ( K .) K עץ בינארי הוא עץ בו דרגת כל קודקוד היא לכל היותר .2 עץ Kי מלא הוא עץ בו כל קודקוד הוא עלה או שדרגתו .K עץ בינארי מלא הוא עץ בו כל קודקוד הוא עלה או שדרגתו .2 עץ Kי שלם הוא עץ בו כל העלים הם באותו עומק ולכל הקודקודים הפנימיים דרגה .K עץ בינארי שלם הוא עץ בו כל העלים הם באותו עומק ולכל הקודקודים הפנימיים דרגה .2 דוגמאות: דוגמא לעץ בינארי: זהו עץ שאינו עץ בינארי מלא או שלם (דרגת הקודקוד הפנימי Gהיא .)1 דוגמא לעץ בינארי מלא: כל קודקוד בו הוא עלה או שדרגתו .2 117 מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג רפאל ברכאן דוגמא לעץ בינארי שלם: לכל העלים אותו עומק ולכל קודקוד פנימי דרגה .2 kh 1 .55בעץ Kי שלם בגובה ,hמספר הקודקודים הפנימיים הוא: k 1 k h 1 1 . העלים הוא k h :ומספר הקודקודים הכולל הוא: k 1 (הוכחה – תרגיל ,באינדוקציה ו/או עפ"י נוסחאות האיבר הכללי והסכום של סדרה הנדסית) ,מספר 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג פתרונות לדוגמא של תרגילים במבוא לתורת הגרפים תרגיל :יהי G V, E גרף פשוט .הוכיחו כי הטענות דלהלן שקולות זו לזו. ( G )1הוא עץ (גרף פשוט/בלתי מכוון ,קשיר ,נטול מעגלים). ( )2בין כל שני קודקודים ב G -קיים מסלול פשוט יחיד. ( G )3קשיר ומינימלי בתכונה זו ,כלומר -אם נסיר צלע כלשהי מ ,E -הגרף שיתקבל לא יהיה קשיר. ( G )4קשיר ומתקיים. E V 1 : ( G )5נטול מעגלים ומתקיים. E V 1 : ( G )6נטול מעגלים ומקסימלי בתכונה זו ,כלומר – אם נוסיף ל E -צלע כלשהי ,הגרף שיתקבל יכיל מעגל. פתרון :נראה כי. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) : ) : (1) (2יהיו u, v V :קודקודים כלשהם ב .G -מאחר ו G -עץ ,הרי שהוא קשיר, ולכן בהכרח קיים מסלול (פשוט) בין uלבין .vכדי להראות כי מסלול זה יחיד, נניח בשלילה כי uו v -מחוברים ע"י שני מסלולים פשוטים שונים . p1 , p 2 :יהי w Vהקודקוד בו מתפצלים שני מסלולים אלה לראשונה ,ויהי z Vהקודקוד הראשון בו מתלכדים שני מסלולים אלה מחדש( .כלומר w ,הוא הקודקוד הראשון השייך ל p 1 -וגם ל p 2 -ואילו zהוא הקודקוד הראשון אחרי wהשייך ל p 1 -וגם ל- .) p 2יהי ' pתת-המסלול של p 1מ w -ועד zויהי ' ' pתת-המסלול של p 2מ w -ועד .zלמסלולים p' , p' ' :אין קודקודים משותפים ,מלבד קודקוד ההתחלה ( )wוקודקוד הסיום ( .)zלפיכך ,אם נשרשר את ' pעם "המסלול ההפוך" ל , p' ' -נקבל מעגל – סתירה להיות Gעץ (גרף פשוט/בלתי מכוון ,קשיר ,נטול מעגלים). ) : (2) (3אם כל שני קודקודים ב G -מחוברים ע"י מסלול פשוט יחיד ,אזי G בהכרח קשיר (עפ"י הגדרה) .נותר להראות כי הוא מינימלי בתכונה זו (קשירות). תהי u, v Eצלע כלשהי ב .G -צלע זו מהווה מסלול מ u -ל .v -עפ"י הנתון (תכונה ,)2צלע זו מהווה את המסלול היחיד מ u -ל ,v -ולכן אם נסלקה מ G -לא יהיה מסלול מ u -ל v -וכך Gיהפוך להיות בלתי קשיר .לכן G ,מינימלי בתכונת הקשירות. ) : (3) (4מקיומה של תכונה 3נובע באופן ישיר כי Gקשיר .עפ"י מסקנה 39 לעיל ,ידוע כי . E V 1 :מספיק להוכיח ,אפוא ,כי . E V 1 :נוכיח זאת באינדוקציה שלמה (מלאה) על . V n בסיסי האינדוקציה :עבור גרפים קשירים בהם , V 2 , V 1 :ברור כי הם מכילים V 1צלעות ( 0ו 1 -בהתאמה). 119 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג שלב האינדוקציה :נניח נכונות לכל 2 V nונראה נכונות ל. V n 1 - יהי Gגרף מסדר . n 1הוצאתה של צלע כלשהי מ G -תחלקו לשני רכיבי קשירות ,כאשר כל רכיב קשירות מקיים את תכונה – 3מינימלי בקשירותו (אחרת – Gעצמו לא היה מקיים אותה) .עפ"י הנחת האינדוקציה ,מספר הצלעות בשני רכיבי קשירות אלה הוא לכל היותר . V 2נחזיר עתה את הצלע שהוצאנו ונקבל שמספר הצלעות ב G -הוא לכל היותר , V 2 1 V 1 :משמע. E V 1 : ) : (4) (5נניח כי Gהוא גרף קשיר מסדר nהמקיים . E V 1 :עלינו להראות כי Gאינו מכיל מעגלים .נניח בשלילה כי Gמכיל מעגל המורכב מ k -קודקודים: . v1 , v 2 ,..., v kיהי G k Vk , E k תת-הגרף של Gהמורכב ממעגל זה .נשים לב כי: . Vk E k kאם , k V nאז חייב להיות קודקוד , v k 1 V \ Vkהסמוך (שכן) לקודקוד מסויים ( ) v iבמעגל הנ"ל ,שכן Gקשיר .נגדיר את G k 1 Vk 1 , E k 1 כתת-גרף של ,Gאשר בו . E k 1 E k v i , v k 1 , Vk 1 Vk v k 1 :נשים לב כי . Vk 1 E k 1 k 1 :אם , k 1 V nניתן להמשיך בדרך זו ולהגדיר את G k 2וכן הלאה ,עד שנקבל לבסוף את תת-הגרף , G n Vn , E n אשר בו: . E n Vn V n , Vn Vמכיוון ו G n -הוא תת-גרף של ,Gהרי ש, E n E : ולכן( E V :כי ,) E n V E :בסתירה לנתון (להנחה) כי. E V 1 : ) : (5) (6נראה תחילה כי. (5) (1) (2) : נניח כי Gאינו מכיל מעגלים ומקיים . E V 1 :יהי kמספר רכיבי הקשירות של .Gעפ"י הגדרה ,כל רכיב קשירות כזה הוא עץ ,ומאחר ו , (1) (5) :הרי שסכום כל הצלעות בכל רכיבי הקשירות של Gהוא . V k :מכאן ,נובע בהכרח ש: , k 1ולכן Gהוא עץ (גרף פשוט/בלתי מכוון ,קשיר ,נטול מעגלים) .מאחר ו: ) , (1) (2הרי שכל שני קודקודים ב G -מחוברים ע"י מסלול פשוט יחיד ,ולכן הוספת צלע כלשהי ל G -תיצור בהכרח מעגל (בדקו). ) : (6) (1נניח ש G -אינו מכיל מעגלים ואם נוסיף לו צלע כלשהי ,נקבל מעגל. מספיק להוכיח כי Gקשיר .יהיו u, v Vכלשהם .מספיק להראות כי קיים ביניהם מסלול (פשוט) .נבחין בין שני מקרים: אם uו v -שכנים ,סיימנו (יש מסלול/צלע ב G -בין uלבין .)v אם uו v -אינם שכנים ,הרי שהוספת הצלע u, vתיצור מעגל ,שבו כל הצלעות מלבד u, vשייכות ל( E -ל ;)G -לכן ,קיים מסלול (פשוט) ב G -בין uל.v - □ מכאן ש G -קשיר. 110 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג תרגיל בית מס' – 17מבוא לתורת הגרפים -מסלולים, מעגלים ,יערות ועצים הערה :השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים ,אלא אם כן מצוין אחרת בגוף השאלה. .1השלימו: א .קוטרו של הגרף K nהוא ______. ב .קוטרו של הגרף N nהוא ______. ג .הקוטר המירבי של גרף קשיר מסדר nהוא ______. ד .המספר המינימלי של צלעות בגרף קשיר מסדר nהוא ______. ה .קוטרו של הגרף C nהוא ______. ו .קוטרו של הגרף Pnהוא ______. ז .קוטרו של הגרף Q nהוא ______. ח .מספר רכיבי הקשירות בגרף K nהוא ______. ט .מספר י .מספר יא .מספר יב .מספר רכיבי רכיבי רכיבי רכיבי הקשירות הקשירות הקשירות הקשירות בגרף בגרף בגרף בגרף N nהוא ______. C nהוא ______. Pnהוא ______. Q nהוא ______. .2יהי G V, E גרף ויהיו u, v Vקודקודים בו. א .הוכיחו כי אם קיים הילוך (שאינו בהכרח מסלול) בין uלבין ,vהרי שקיים מסלול בין uלבין .v ב .הוכיחו כי אם קיים מסלול בין uלבין ,vהרי שקיים מסלול פשוט בין u לבין .v ג .הסיקו ,על-סמך סעיף ב' ,כי G V, E גרף קשיר אם"ם לכל u, v V יש מסלול פשוט בין uלבין .v .3נתון גרף מסדר 100שלכל קודקוד בו לפחות 50שכנים .הוכיחו כי: ב .יש בגרף מעגל (פשוט) באורך .4 א .הגרף קשיר. .4הוכיחו כי לכל גרף Gמתקיים G :קשיר או ( Gהגרף המשלים של )Gקשיר. .5יהי G V, E גרף קשיר ותהי . S Vהוכיחו כי קיים קודקוד u Sכך שיש ל u -שכן ב.S - .6נתון יער ,Fהמכיל nקודקודים ו k -רכיבי קשירות .כמה צלעות ב ? F -נמקו. .7הוכיחו כי אם מסירים מעץ (מסדר גדול או שווה ל )2 -עלה ואת הצלע שחלה בו ,מתקבל עץ. .8הוכיחו באינדוקציה כי בכל עץ מסדר nיש n 1צלעות. 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .9הוכיחו כי גרף קשיר מסדר nבעל n 1צלעות הוא עץ( .שימו לב! טענה זו "הפוכה" לטענה שבשאלה 8לעיל). .11יהי Tעץ .נבנה גרף חדש ע"י הוספת קודקוד נוסף xוחיבור xלקודקוד אחד בדיוק ב .T -הוכיחו כי הגרף החדש שמתקבל מפעולה זו אף הוא עץ. .11הוכיחו כי בכל עץ מסדר גדול או שווה ל 2 -יש לפחות 2עלים. .12יהיו T1 V, E1 , T2 V, E 2 שני עצים .הוכיחו כי קיים קודקוד ב ,V -אשר סכום דרגותיו בשני העצים הנ"ל הוא לכל היותר .3 .13נתון עץ בינארי שלם בגובה .hהשלימו: א .מספר העלים בו הוא ______. ב .מספר הקודקודים בו הוא ______. ג .מספר הצלעות בו הוא ______. .14יהי Gגרף .נגדיר :עץ פורש ב G -הוא תת-גרף פורש של Gשהוא עץ. הוכיחו כי Gקשיר אם"ם יש לו עץ פורש. בהצלחה! 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג גרפים דו-צדדיים וזיווגים בגרפים גרפים דו-צדדיים – נמשיך ונעסוק להלן בגרפים פשוטים. .56גרף G V, E נקרא :דו-צדדי ,אם"ם ניתן לחלק את קבוצת קודקודי הגרף Vלשתי תת-קבוצות זרות , V1 V2 , V V1 V2 :כך שכל הצלעות בגרף (אם ישנן) הן בין הקודקודים ב V1 -לבין הקודקודים ב. V2 - סימון. G V1 , V2 , E : .57גרף דו-צדדי G V1 , V2 , E נקרא :שלם ,אם"ם הוא מכיל את כל הצלעות האפשריות בין V1לבין . V2אם , V1 m , V2 nאז מסמנים את הגרף הדו-צדדי השלם ע"י. K m ,n : דוגמאות: גרף דו-צדדי : G U, V, E גרף דו-צדדי נוסף: גרף דו-צדדי שלם – : K 3,4 .58בגרף K m ,nיש m nצלעות. .59אם G V1 , V2 , E הוא גרף דו-צדדי רגולרי (שאינו ריק) ,אז. V1 V2 : הוכחה :נניח ש G -הוא -dרגולרי ( .) d 0מכאן ,מתחייב ש: . E d V1 d V2 V1 V2 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .61גרף הוא דו-צדדי אם"ם כל המעגלים בו (לאו דווקא הפשוטים) הם באורך זוגי. הוכחה :נוכיח בנפרד כל כוון של המשפט. : יהי G V1 , V2 , E גרף דו-צדדי .במידה ואין בגרף מעגלים ,הרי שהמשפט (בכוון זה) מתקיים באופן ריק .נניח ,אפוא ,שהגרף מכיל מעגלים ונתבונן במעגל כלשהו בגרף .יהי v1 V1קודקוד במעגל זה .נצא ממנו ונתחיל לטייל על-גבי המעגל .כל צלע במעגל ,בה אנו מבקרים ,מעבירה אותנו לצידו האחר של הגרף .לכן ,על-מנת שיהיה ניתן לחזור לקודקוד ממנו התחלנו את המסע ( ) v1ולסגור את המעגל ,מתחייב שיהיה במעגל זה מספר זוגי של צלעות. : יהי G ' V, E גרף אשר כל המעגלים בו הם באורך זוגי .לצורך פשטות ,נניח כי ' Gקשיר (אחרת -נוכיח את כוון זה של המשפט עבור כל רכיב קשירות בו בנפרד) .יהי w Vקודקוד כלשהו ב . G ' -נגדיר את V1 , V2 באופן הבא . V2 u V : 2 | d u, w , V1 v V : 2 | d v, w :מעצם ההגדרה ברור כי( V V1 V2 , V1 V2 :כלומר V1 , V2 -הן חלוקה של .)Vנותר להראות כי G ' V1 , V2 , E הוא אכן גרף דו-צדדי ,כלומר – אין צלעות בין קודקודים ב V1 -ואין צלעות בין קודקודים ב . V2 -נראה כי אין צלע בין שני קודקודים ב( . V1 -ההוכחה עבור שני קודקודים מV2 - אנלוגית ).נניח בשלילה כי קיימת צלע u, vבין שני קודקודים. u, v V1 : לאור הנחה זו ,המסלול הקצר ביותר מ w -ל u -והמסלול הקצר ביותר מw - ל ,v -יחד עם הצלע u, vיוצרים מעגל (לאו דווקא פשוט) שאורכו אי-זוגי, בסתירה לנתון .לכן G ' V1 , V2 , E ,הוא אכן גרף דו-צדדי. 111 מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג ◊ רפאל ברכאן זיווגים בגרפים (פשוטים) .61יהי G V, E גרף (פשוט) .זיווג ב G -הוא קבוצה M Eשל צלעות ,אשר לאף שתיים מהן אין קודקוד משותף .אם , u, v Mנאמר שהקודקודים u ו v -מזווגים ע"י הזיווג .M .62הזיווג Mנקרא :זיווג מושלם אם"ם כל קודקודי הגרף משתתפים בזיווג. .63יהי G V, E גרף (פשוט) ותהי . S Vנסמן ב S -את קבוצת השכנים של הקודקודים ב.S - דוגמאות: בגרף זה זיווג ,Mלמשל ,הוא קבוצת הצלעות האנכיות ,המקשרות 3קודקודים בקבוצת הקודקודים העליונה עם 3הקודקודים שממולם בקבוצת הקודקודים התחתונה M .אינו זיווג מושלם .יתרה מזו ,בגרף זה אין (בנמצא) זיווג מושלם. בגרף זה M a,1,b,4, d,2הוא זיווג שאינו מושלם .גם בגרף זה אין (בנמצא) זיווג מושלם .נשים לב כי. a,c,d 1, 2 , a, b 1,3, 4 : בגרף להלן יש זיווג מושלם: 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .47משפט החתונה של ( Hallתנאי מספיק והכרחי לקיום זיווג מושלם בגרף דו-צדדי): בגרף דו-צדדי , G V1 , V2 , E המקיים , V1 V2 :יש זיווג מושלם אם"ם: . S V1 : S S הוכחה :יהי G V1 , V2 , E גרף דו-צדדי ,המקיים . V1 V2 :צ"ל את הכרחיות ומספיקות התנאי S V1 : S S :לקיום זיווג מושלם בגרף. ברור כי במידה והתנאי אינו מתקיים ,כלומר( S V1 : S S :קיימת קבוצת קודקודים מ V1 -שאוסף כל שכניהם ב V2 -קטן ממספרם) ,לא ניתן לזווג באופן מושלם את קודקודי V1לקודקודי . V2במילים אחרות ,אם נתון כי יש זיווג מושלם ב G -ובהנתן S V1כלשהי ,הרי שלכל קודקוד v Sיש קודקוד u V2המזווג לו ,ולכן מתחייב ש . S S :בזה הוכחנו את הכרחיות התנאי (של .)Hall נעבור עתה להוכיח את מספיקותו .נניח ש S V1 : S S -ונראה שיש זיווג מושלם Mב .G -נוכיח זאת באינדוקציה מלאה (שלמה) על n V1 (מספר קודקודי .) V1בסיס האינדוקציה – :n=1אם V1 V2 1והתנאי מתקיים ,הרי ש G -מכיל שני קודקודים וצלע המחברת ביניהם ,ולכן בהכרח יש בו זיווג מושלם. שלב האינדוקציה :נניח נכונות לכל 1 k V1 nונראה נכונות עבור . V1 n 1נבחין בין שני מקרים: - S V1 : S S 1יהי v V1כלשהו .לאור ההנחה ,יש ל v -זה לפחות שני שכנים (ב .) V2 -יהי u V2אחד מהם .הצלע v, uתהווה מרכיב בזיווג המושלם שנמצא להלן ב .G -נסמן G ' G \ u, v :וב- ' Sאת קבוצת השכנים של קודקודי Sבגרף ' . Gנשים לב כי בG ' - מתקיים עתה . S V1 \ v : ' S S :עפ"י ה"א ( ,) V1 \ v nיש ב- ' Gזיווג מושלם .נוסיף לזיווג מושלם זה את הצלע v, uונקבל זיווג מושלם ב.G - - S V1 : S Sנגדיר את תת-הגרף הבא של :G , GS S, S , ES כאשר E Sהיא קבוצת כל הצלעות בין קודקודי S לקודקודי G S . Sמקיים את התנאי של ( Hallכי Gמקיים אותו), ומאחר ומספר הקודקודים בו קטן מזה שב( G -שכן ,) S V1 :הרי שעפ"י ה"א יש ב G S -זיווג מושלם .נסמנו ב . M s -נתבונן עתה בגרף '' , G המוגדר באופן הבא , G '' G \ S S :כלומר - . G '' V1 \ S, V2 \ S , E '' תהי H V1 \ Sכלשהי .נסמן ב '' H -את 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג קבוצת השכנים של קודקודי Hבגרף '' . Gנשים לב כי מתקיים: , '' H Hאחרת – אם , '' H Hהרי שב G -היה מתקיים: , H S HS '' H S '' H S '' H H H S HS H S '' H S S S בסתירה לקיום תנאי Hallב G -עבור קבוצת הקודקודים . H S V1 :לכן, גם הגרף '' Gמקיים את תנאי Hallועפ"י ה"א יש בו זיווג מושלם – נסמנו: '' . Mלבסוף ,קיים זיווג מושלם Mבגרף (המקורי) . M MS M '' :G בכל אחד משני המקרים הללו קיבלנו זיווג מושלם Mבגרף .G .65מסקנה :אם G V1 , V2 , E הוא גרף דו-צדדי רגולרי ,אז יש בו זיווג מושלם. הוכחה :נסמן את דרגת הרגולריות של Gב .d -תהי S V1קבוצת קודקודים כלשהי ב ,G -תהי E Sקבוצת כל הצלעות החלות ב S -ותהי E Sקבוצת כל הצלעות החלות ב G . S -הוא -dרגולרי ,ולכן, ES d S : . ES d Sכל צלע שחלה בקודקוד מ S -חלה בקודקוד מ, S - ולכן . ES ES :מכאן נובע כי. ES ES d S d S S S : קיבלנו ,אפוא ,ש S V1 : S S :ועפ"י משפט ,Hallיש זיווג מושלם בגרף .G 117 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג גרפים מישוריים וצביעה בגרפים גרפים (פשוטים) מישוריים .66גרף (פשוט) Gנקרא :מישורי אם"ם ניתן לייצגו במישור מבלי שאף 2 צלעות שלו תיחתכנה (בנקודות פנימיות ,שאינן קודקודי הגרף). .67יהי Gגרף מישורי .כל אזור בהצגה שלו החסום ע"י צלעות הגרף נקרא: פאה .האזור שאינו חסום ע"י צלעות הגרף נקרא :הפאה החיצונית (או: הפאה האינסופית) של הגרף. דוגמאות: K 3הוא ,כמובן ,גרף מישורי. לגרף זה 2פאות – אחת מהן חיצונית/אינסופית. K 4הוא גרף מישורי ,שכן ניתן לייצגו במישור מבלי שאף 2צלעות שלו נחתכות (בנקודות פנימיות ,שאינן קודקודי הגרף). לגרף זה 4פאות – אחת מהן חיצונית/אינסופית. הגרף הבא הוא גרף מישורי: 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .68נוסחת אויילר :יהי Gגרף מישורי קשיר .אם נסמן ב n -את מספר קודקודיו, ב m -את מספר צלעותיו וב f -את מספר פאותיו ,אז מתקיים. n m f 2 : הוכחה :נ ְקבע את סדר הגרף ונוכיח את הנוסחא באינדוקציה על מספר הצלעות של הגרף – .mמאחר ו G -קשיר ,הרי שעפ"י המסקנה מסעיף 39 לעיל מתחייב ש. m n 1 : בסיס האינדוקציה – :m=n-1עפ"י שאלה 9מתרגיל בית מס' G ,9הוא עץ ולכן הפאה היחידה בו היא הפאה החיצונית (האינסופית) ,כלומר. f 1 : אכן ,נוסחת אויילר מתקיימת כאן. n m f n n 1 1 2 : שלב האינדוקציה :נניח נכונות ל m n 1 m -ונראה נכונות ל. m 1 - כלומר ,נראה כי בגרף מסדר nבעל m+1צלעות ו f -פאות מתקיים: . n m 1 f 2יהי Gגרף מישורי קשיר בעל m 1 nצלעות ו f -פאות. עפ"י משפטים מסעיפים קודמים ( ,)41,41יש ב G -צלע eשהשמטתה מG - אינה משנה את קשירותו .נסמן , G ' G \ e V ', E ' :כאשר m' ,n' :ו f' -הם מספרי קודקודיו ,צלעותיו ופאותיו בהתאמה G ' .קשיר (ומישורי) ,מסדר n ומכיל mצלעות .עפ"י ה"א מתקיים בו . n ' m' f ' 2 :נשים לב כי ב G ' -יש f 1פאות (כי השמטת הצלע eמיזגה שתי פאות בהן eגבלה) .לכן: n ' n m' m f ' f 1 2 n ' m' f ' n m f 1 2 n m 1 f .69יהי Gגרף (פשוט) מישורי קשיר עם n 3קודקודים ו m -צלעות .מתקיים: . m 3n 2 הוכחה :אם Gעץ מסדר ,3הרי שיש בו 2צלעות ומתקיים. 2 3 3 2 : אחרת ,נסכום את מספרי הצלעות סביב כל פאות הגרף .מחד ,כל צלע תיספר באופן זה פעמיים בדיוק ,בין אם היא גובלת בשתי פאות ובין אם היא כולה נמצאת בתוך פאה אחת .באופן כזה נקבל את הסכום . 2 E :מאידך, מהיות Gגרף פשוט (נטול לולאות וללא ריבוי צלעות) ומסדר גדול או שווה ל( 3 -ולכן אינו מכיל רק צלע אחת ואינו עץ מסדר ,)3הרי שבכל פאה בו גובלות לפחות 3צלעות .מכאן נובע שסכום מספרי הצלעות סביב פאות הגרף הוא לפחות . 3 Fלפיכך ,נקבל כי: 2 E 3 F Euler: F 2 V E 2 E 3 2 V E V n, E m 2m 6 3n 3m m 3 n 2 .71מסקנה K 5 :אינו גרף מישורי. הוכחה :על דרך השלילה – נניח בשלילה ש K 5 -הוא מישורי K 5 .מקיים את 5 תנאי הטענה שבסעיף הקודם ,מספר קודקודיו 5ומספר צלעותיו. 10 : 2 לכן ,עפ"י טענה זו מתקיים - 10 3 5 2 :סתירה. 119 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .71בכל גרף מישורי קיים קודקוד שדרגתו היא לכל היותר .1 הוכחה :יהי G V, E גרף מישורי (מסדר גדול או שווה ל ,3 -שכן עבור סדר נמוך יותר הטענה מתקיימת בבירור) .מספיק להראות כי ממוצע דרגות קודקודיו קטן מ ,6 -ולכן חייב להיות בו לפחות קודקוד אחד שדרגתו אינו עולה על הממוצע ולפיכך -קטנה מ( 6 -היינו ,לכל היותר .)5ממוצע דרגות 1 .עפ"י למת לחיצות הידיים והטענה מסעיף 69 קודקודי Gהוא d v : V vV 2 3 V 2 6 V 2 2E )(69 לעיל מתקיים V 3 6 : V V V d v vV 1 V . צביעה בגרפים (פשוטים) .72צביעה של קודקודי גרף תיקרא :צביעה חוקית ,אם"ם אין בגרף קודקודים שכנים הצבועים באותו הצבע. .73מספר הצביעה של גרף ,Gהמסומן , G :מציין את מספר הצבעים המינימלי הדרוש לצביעתו החוקית. .74גרף Gנקרא-k :צביע אם"ם. G k : .75 . n : K n n 2 , 2 | n .76 : Cn 3 , 2 | n .77גרף הוא -2צביע אם"ם אין בו מעגל באורך אי-זוגי. הוכחה :נוכיח בנפרד כל כוון של המשפט. : אם יש בגרף מעגל באורך אי-זוגי ,הרי שבפרט מעגל זה אינו -2צביע (עפ"י הסעיף הקודם) ,ולכן בוודאי שהגרף המכיל אותו אינו -2צביע. : יהי G V, E גרף שאין בו מעגל באורך אי-זוגי .נניח ,לשם הפשטות ,כי . n Gקשיר (אחרת – נוכיח כוון זה לכל רכיב קשירות שלו) .יהי v Vקודקוד כלשהו ב .G -נראה כי ניתן לצובעו ב 2 -צבעים בלבד (באופן חוקי ,כמובן). נצבע את Gבאופן הבא :את vנצבע בלבן ,את שכניו – בשחור ,את שכני שכניו שאינם צבועים – בלבן וכך הלאה .לאור צביעה זו ,נשים לב שאל כל קודקוד לבן ב G -ניתן להגיע מ v -במסלול באורך זוגי ואל כל קודקוד שחור ב G -ניתן להגיע מ v -במסלול באורך אי-זוגי .באמצעות צביעה זו צבענו את כל קודקודי Gואין שני קודקודים שכנים הצבועים באותו הצבע ,שכן אחרת – המסלולים מ v -לשני קודקודים אלו בתוספת הצלע המחברת ביניהם (שכן הנחנו שהם שכנים) היו יוצרים מעגל באורך אי-זוגי ,בסתירה לנתון .לכן, צביעה זו היא חוקית והגרף הוא -2צביע. 110 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .78כל גרף מישורי הוא -6צביע. הוכחה :יהי G V, E גרף מישורי .נוכיח באינדוקציה על V n שהוא -6צביע .בסיס האינדוקציה – :n=1ברור שגרף המכיל קודקוד אחד הוא -6 צביע (עפ"י ההגדרה בסעיף 74לעיל). שלב האינדוקציה :נניח נכונות ל ) n 1 ( n -ונראה נכונות ל . n 1 -עפ"י הטענה מסעיף 71לעיל ,יש קודקוד v Vב G -שדרגתו היא לכל היותר .5 נתבונן בגרף . G ' G \ v :ברור כי ' Gמישורי ושהוא מסדר .nעפ"י ה"א, ' -6 Gצביע .נוסיף עתה חזרה את הקודקוד vואת הצלעות שחלו בו לקבלת .Gל v -יש לכל היותר 5שכנים ,ולכן ניתן לצבוע את vבצבע השונה מזה של 5שכניו .באופן זה נקבל ש G -הוא -6צביע. .79כל גרף מישורי הוא -5צביע. .81כל גרף מישורי הוא -4צביע. .81יהיו . s, t המספר R הקטן ביותר ,כך שבכל צביעה בשני צבעים (שחור ולבן) של צלעות הגרף השלם , K Rקיים תת-גרף שלם K sשצבוע בשחור או שקיים תת-גרף שלם K tשצבוע בלבן ,נקרא :מספר רמזי ומסומן. R s, t : .82 R 3,3 6 הוכחה , R 3,3 6 :שכן בפרק 4שדן בעקרון שובך היונים הוכחנו כי בכל קבוצה של 6אנשים יש 3אנשים שמכירים זה את זה או 3אנשים שאינם מכירים זה את זה .באופן אנלוגי ,אם נצבע את כל צלעות הגרף K 6בשחור או בלבן ,נקבל בו משולש שכל צלעותיו לבנות או משולש שכל צלעותיו שחורות .נותר להראות כי . R 3,3 5 :לשם כך ,מספיק להראות כי ניתן לצבוע את כל צלעות הגרף K 5בשחור או בלבן ,מבלי לקבל בו משולש מונוכרומטי לבן או שחור (שכל צלעותיו לבנות או שחורות) .צביעה כזו אפשרית :בכל קודקוד ב K 5 -נצבע שתיים מהצלעות היוצאות ממנו בשחור ואת השתיים הנותרות – בלבן .ניתן להראות כי צביעה זו היא הצביעה היחידה של K 5בה לא מתקבל משולש מונוכרומטי (שכן אם קיים קודקוד ב K 5 -ש 3 -מצלעותיו צבועות בשחור או בלבן ,נוכל לנקוט באותה שיטת הוכחה שנקטנו ב K 6 -ולהראות כי לבטח מתקבל משולש מונוכרומטי) . .83 R 3,9 36 , R 3, 6 18 , R 4, 4 18 , R 3, 7 23 , R 3, 4 9 , R 4,5 25 , R 3,8 28 , R 3,5 14 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג תרגיל בית מס' – 15מבוא לתורת הגרפים – גרפים דו-צדדיים ,זיווגים בגרפים ,גרפים מישוריים וצביעה בגרפים הערה :השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים ,אלא אם כן מצוין אחרת בגוף השאלה. .1מהו המספר המירבי של צלעות בגרף דו-צדדי בעל nקודקודים ? נמקו. .2הוכיחו כי אם לכל המעגלים הפשוטים בגרף אורך זוגי ,אז גם לכל המעגלים הלא פשוטים בו אורך זוגי. .3הסיקו על-סמך השאלה הקודמת כי גרף הוא דו-צדדי אם"ם כל המעגלים הפשוטים שלו הם באורך זוגי. ◊ .4הוכיחו כי אם כל kנשים מכירות ביחד לפחות 7kגברים ,אזי קיים "שידוך" שבו "זוכה" כל אישה ב 7 -גברים. ◊ .5הוכיחו כי אם כל kגברים מכירים לפחות k 3נשים ,אזי קיים "שידוך" הממצה את כל הגברים ,למעט לכל היותר 3מתוכם. .6הוכיחו כי בגרף מישורי קשיר מסדר , n 3אשר אין בו מעגל באורך ,3יש לכל היותר 2n 4צלעות. .7הסיקו על-סמך השאלה הקודמת כי K 3,3אינו מישורי. .8הוכיחו כי אם הדרגה המקסימלית של קודקוד בגרף היא ,nאז הגרף הוא -n+1 צביע. .9השלימו :כל עץ הוא _____-צביע .נמקו. .11הוכיחו כי Gהוא גרף דו-צדדי אם"ם הוא גרף -2צביע. .11נגדיר גרף G V, E שקבוצת קודקודיו היא V 1, 2,3,...,100 :ושני קודקודים בו שכנים אם"ם הפרשם (בערך מוחלט) הוא 1או .2 ב .חשבו את . G נמקו. א .האם Gמישורי ? נמקו. .12הראו כי ניתן לצבוע את כל צלעות הגרף K 5בשחור או בלבן ,מבלי לקבל בו משולש מונוכרומטי לבן או שחור (שכל צלעותיו לבנות או שחורות). בהצלחה! 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג מסלולי/מעגלי אויילר והמילטון נמשיך ונעסוק להלן בגרפים פשוטים. בעיית הגשרים של :)1735( Königsberg עיר זו בפרוסיה שכנה (ועודנה שוכנת) משני צידי נהר ה Pregel -והכילה שני איים גדולים ,אשר 7גשרים חיברו בין האיים וביניהם ליבשה (כמתואר בשרטוט) .הבעיה שהציבו פרנסי העיר בפני לאונרד אויילר היתה :האם ניתן למצוא מסלול לאורך העיר אשר יעבור על כל אחד מהגשרים הללו פעם אחת בדיוק .אויילר הוכיח כי לבעיה זו אין פתרון. המודל הגרפי של הבעיה: .84מסלול/מעגל (לא בהכרח פשוט) המבקר בכל צלע בגרף בדיוק פעם אחת נקרא :מסלול/מעגל אויילר. דוגמאות: בגרף הבא קיים מעגל אויילר (ולכן גם מסלול אויילר): 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג בגרף הבא קיים מסלול אויילר (אך לא מעגל אויילר): בגרף הבא לא קיים מסלול אויילר (ובוודאי שלא קיים בו מעגל אויילר): .45תנאי הכרחי ומספיק לקיום מעגל אויילר בגרף: א .הגרף קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים); ב .דרגות כל הקודקודים בו זוגיות. הוכחה :נוכיח תחילה את ההכרחיות של התנאי – נניח כי בגרף G V, E קיים מעגל אויילר ונראה כי Gקשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים) וכי לכל קודקודיו ערכיות זוגית ,G .כאמור ,מכיל מעגל אויילר ,היינו – מעגל המכיל את כל צלעות הגרף ,ולכן גם את כל קודקודיו ,פרט אולי לקודקודים מבודדים .לכן G ,קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים) .יהי v Vקודקוד כלשהו בגרף .נבחין בין שני מקרים: v הוא קודקוד פנימי במעגל -כל מעבר של המעגל דרך vתורם 2 לדרגתו (צלע אחת בכניסה ל v -וצלע אחת ביציאה ממנו); בנוסף ,מכיוון והמעגל מבקר בכל צלעות הגרף פעם אחת בדיוק ,הרי שכל הצלעות החלות ב v -תיספרנה פעם אחת בדיוק; לכן ,דרגת vזוגית. v הוא הקודקוד "הראשון" במעגל – היציאה "הראשונה" ממנו תורמת 1 לדרגתו; כל פעם שחוזרים אליו ויוצאים ממנו תורמת לדרגתו ;2החזרה אליו "בסיום" תורמת 1לדרגתו; בסה"כ דרגת vזוגית. נוכיח עתה את המספיקות של התנאי – נתון כי Gקשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים) ודרגת כל קודקוד בו זוגית וצריך להראות כי קיים בG - מעגל אויילר .נתאר אלגוריתם לבניית מעגל אויילר Cבגרף הנתון (:)G .aיהי u 0 Vקודקוד כלשהו ב .G -נבנה ב G -מעגל , C1המתחיל ומסתיים ב , u 0 -באופן שאינו עובר על שום צלע ב G -יותר מפעם אחת: . C1 u 0 , u1 , u 2 ,..., uk , u0 בניה כזו של C1אפשרית ,שכן בהתחילנו את המעגל מ , u 0 -ערכיותו אי-זוגית ,ובהגיענו לשכנו הראשון , u1 -מובטח לנו שנוכל "לצאת" ממנו ,בגלל שערכיותו זוגית (נתון) .דבר זה אמור גם לגבי שאר הקודקודים ב u 2 , u 3 , u 4 ,..., u k : C1 -ובלבד שנעבור על כל צלע פעם אחת בדיוק .המעגל C1נסגר ב , u 0 -שנותר עד כה עם ערכיות אי- זוגית (ועתה ערכיותו זוגית). 111 מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .b .c .d .e רפאל ברכאן אם C1מכיל את כל צלעות ,Gסיימנו (שכן הוא מעגל אויילר ב.)G - אחרת – נתבונן בתת-הגרף G1המתקבל מ G -ע"י השמטת כל הצלעות שב. C1 - לתת-הגרף G1ולמעגל C1יש לפחות קודקוד אחד משותף ,שכן G קשיר ,פרט אולי לקודקודים מבודדים ,שאינם "משחקים תפקיד" ביצירת מעגל אויילר( .אחרת – אילו לא היו ל G1 -ול C1 -קודקודים משותפיםG , היה מכיל לפחות שני רכיבי קשירות G1 -ו , C1 -בסתירה לנתון ).יהי u 01 קודקוד משותף כלשהו ל G1 -ול. C1 - דרגת כל קודקוד ב G1 -היא זוגית (לרבות ,)0שכן כל קודקודי G1הם קודקודי ,Gאשר עפ"י הנתון הם בעלי דרגה זוגית ,והשמטת המעגל C1 מ G -הקטינה את ערכיותם (אם בכלל) במספר זוגי .לכן G1 ,קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים) ומכיל מעגל. נבנה מעגל C 2ב , G1 -המתחיל ומסתיים בקודקוד , u 01ואשר אינו עובר על שום צלע ב G1 -יותר מפעם אחת. C2 u 01 , u 02 , u 03 ,..., u0m , u01 : .fנאחד את שני המעגלים C 2 , C1 :למעגל אחד באופן הבא: . C1 C2 u 0 , u1 ,..., u 01 , u 02 ,..., u 01 ,..., u 0 אם מעגל זה מכיל את כל צלעות הגרף ,סיימנו .אחרת – נחזור על התהליך הנ"ל שוב ושוב ,עד שנקבל מעגל אויילר .מובטח שלבסוף נקבל מעגל אויילר ( )Cב,G - שכן G :הוא סופי; דרגת כל קודקוד בו זוגית; לכן ,בתת-הגרף הנותר מהשמטת מעגל בכל פעם ,דרגת כל קודקוד נותרת זוגית וניתן לבנות מעגל חדש. .86תנאי הכרחי ומספיק לקיום מסלול אויילר בגרף: א .הגרף קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים); ב .דרגות כל הקודקודים ,פרט אולי ל 1 -בו ,זוגיות. הוכחה :הכרחיות תנאי זה מוכחת באופן דומה מאוד להכרחיות התנאי שבסעיף הקודם .בפרט ,זוגיות הדרגה של כל הקודקודים לאורך המסלול נכונה בוודאות לכל קודקוד פנימי במסלול .עם זאת ,היא עשויה להיות לא נכונה עבור קודקוד ההתחלה וקודקוד הסיום במסילה (אלא אם כן זהו אותו קודקוד) .נוכיח עתה את מספיקות התנאי .יהי G V, E גרף המקיים תנאי זה .אם דרגות כל קודקודיו זוגיות ,הרי שעפ"י הסעיף הקודם יש בו מעגל אויילר ובפרט מסלול אויילר .אחרת -יהיו u, v Vשני קודקודים בG - שדרגתם אי-זוגית .נוסיף קודקוד חדש wל G -ונחברו לקודקודים.v ,u : התקבל גרף חדש – קשיר (פרט אולי לקודקודים מבודדים) ,אשר דרגות כל קודקודיו זוגיות .עפ"י הסעיף הקודם ,קיים בו מעגל אויילר המתחיל ומסתיים ב .u -נשמיט ממעגל זה את הקודקוד wואת הצלעות החלות בו (שהוספנו) ונקבל מסלול אויילר המתחיל ב u -ומסתיים ב.v - .87מסלול/מעגל המבקר בכל קודקוד בגרף בדיוק פעם אחת נקרא: מסלול/מעגל המילטון. 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג דוגמאות: – The icosian gameהמשחק הומצא בשנת 1857ע"י ויליאם המילטון, במסגרתו יש למצוא מסלול מעגלי (מעגל) לאורך צלעות דודקהדרון (גוף תלת-מימדי בעל 12פיאות ,דמוי כדורגל) ,כך שבכל קודקוד בו מבקרים פעם אחת בלבד. בגרף הבא קיים מעגל המילטון (ולכן גם מסלול המילטון): בגרף הבא (גרף פטרסן) קיים מסלול המילטון (אך לא מעגל המילטון): בגרף הבא לא קיים מסלול המילטון (וכמובן – גם לא מעגל המילטון) 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .44תנאי מספיק (של )Oreלקיום מעגל המילטון בגרף: אם בגרף G V, E מסדר n 3מתקיים לכל שני קודקודיםu, v V : שאינם שכנים , d u d v n :אז יש בו מעגל המילטון. הוכחה :נחשוב על קודקודי הגרף G V, E מסדר nכמייצגים nאנשים ועל צלעות הגרף כמייצגות הכרויות בין אנשים אלו .קיום מעגל המילטון בגרף הנתון משול להושבת nאנשים סביב שולחן עגול ,כך שכל שניים היושבים זה לצד זה מכירים .מספיק כי נראה כי עבור כל סידור ישיבה של n אנשים סביב שולחן עגול ,בו לא כל שניים היושבים זה לצד זה מכירים ,ניתן לשפר את סדר הישיבה באופן שיגדיל לפחות ב 1 -את מספר ההכרויות לאורך המעגל ,כך שסדרה של שיפורים אלה תוביל בסופו של דבר לסידור המבוקש ,בו כל שניים היושבים זה לצד זה מכירים. נניח ,אפוא ,כי נתון הסידור המעגלי v1 , v 2 ,..., vi ,..., vn , v1 :בו לא כל שניים סמוכים מכירים .בה"כ ,נניח כי v1ו v n -אינם מכירים .נגדיר את הקבוצות הבאות . A : 1 i n : vi knows vn , B : 1 i n : vi1 knows v1 :במילים – Aהיא קבוצת אינדקסי מכרי v nו B -היא קבוצת אינדקסי מכרי . v1לכן: . A d vn , B d v1 עפ"י הנתון d vn d v1 A B n :ועפ"י עקרון שובך היונים מתחייב כי: . 1 A n B A n 2 B n 2 1 i n : i A i B כלומר – יש ) 2 i n 1 ( v iשמכיר את v nויש ) 1 i n 2 ( v i1את . v1 נשנה את הסידור המעגלי המקורי באופן הבא: . v1 , v 2 ,..., vi , vn , vn1 ,..., vi1 , v1 ביחס לסידור המקורי ,הגדלנו בסידור זה את מספר ההכרויות ב 2 -ו"הפסדנו" לכל היותר הכרות אחת – בין v iלבין . vi 1 בסה"כ גדל מספר ההכרויות סביב השולחן ב .1 -נמשיך לפעול באופן זה ולהגדיל בכל סידור את מספר ההכרויות עד לקבלת הסידור המבוקש, האנלוגי למעגל המילטון בגרף הנתון. .44מסקנה -תנאי מספיק לקיום מסלול המילטון בגרף: אם בגרף G V, E מסדר n 3מתקיים לכל שני קודקודיםu, v V : שאינם שכנים , d u d v n 1 :אז יש בו מסלול המילטון. הוכחה :נוסיף ל G -קודקוד חדש wונחברו לכל קודקודיו המקוריים של .G קיבלנו גרף חדש ' , Gאשר לכל שני קודקודים v ,u :בו שאינם שכנים (ולכן, גם אינם שכנים ב )G -מתקיים: dG ' u dG ' v dG u 1 dG v 1 dG u dG v 2 n 1 2 n 1 קיבלנו שלכל שני קודקודים שאינם שכנים ב G ' -מתקיים שסכום דרגותיהם גדול מסדר הגרף ( .) n 1עפ"י הסעיף הקודם ,יש ב G ' -מעגל המילטון. נסיר ממעגל זה את wואת כל הצלעות החלות בו ונקבל מסלול המילטון ב- .G 117 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .45תנאי הכרחי לקיום מעגל המילטון בגרף: אם Gגרף קשיר שיש בו מעגל המילטון ,אז מספר רכיבי הקשירות בגרף ' , Gהמתקבל מ ,G -ע"י השמטת ) k ( kקודקודים ,אינו עולה על .k הוכחה :יהי G V, E גרף ובו מעגל המילטון .נרצה להראות כי ' , G המתקבל מ ,G -ע"י השמטת kהקודקודים , v1 , v2 ,..., vk V :מכיל לכל היותר kרכיבי קשירות .יהי Cמעגל המילטון בגרף C .Gמכיל את כל קודקודי הגרף - Gכל קודקוד בדיוק פעם אחת .כל מעגל המילטון ,מעצם הגדרתו ,הוא מעגל פשוט ,ולכן השמטת קודקוד אחד ממנו הופכת אותו למסלול .השמטת שני קודקודים ממנו ,תהפוך אותו למסלול או לשני מסלולים זרים ,תלוי אם שני הקודקודים שכנים או לא בהתאמה .לפיכך, השמטת הקודקודים v1 , v2 ,..., vk :מ C -תהפוך אותו לכל היותר לk - מסלולים זרים (ובדיוק ל k -מסלולים זרים ,אם אין בין kקודקודים אלה שניים שהם שכנים) .נסמן ב C ' -את תת-הגרף של Cשהתקבל לאחר השמטת kהקודקודים הנ"ל מ .C -נוסיף ל C ' -את כל הצלעות בG - שמלכתחילה לא היו ב ,C -ונקבל את ' . Gמאחר וב C ' -יש לכל היותר k רכיבי קשירות ,הוא הדין גם לגבי ' , Gשכן הוספת צלעות לגרף עשויה רק להקטין את מספר רכיבי הקשירות. .41התנאי המספיק של Diracלקיום מעגל המילטון בגרף: n אם Gהוא גרף מסדר , n 3אשר דרגת כל קודקוד בו היא לפחות ,אז יש 2 ב G -מעגל המילטון. בעיית הסוכן הנוסע ( )TSP - Traveling Salesperson Problemהיא בעיה ידועה בתורת הגרפים ובתורת החישוביות והסיבוכיות .הבעיה עוסקת בסוכן נוסע ,אשר במסגרת תפקידו עליו לעבור בערים רבות ,המקושרות ביניהן ברשת כבישים ,כאשר יש למצוא עבורו את המסלול הקצר ביותר שיעבור בין כל הערים .ניסוח הבעיה במונחי תורת הגרפים :בהינתן גרף פשוט משוקלל ,יש למצוא בו מסלול המילטוני שמשקלו הוא הקטן ביותר .פתרון פשוט לבעיה הוא בדיקת כל המסלולים האפשריים .אלא ,שבהינתן nערים ,פתרון זה מצריך בדיקת סדר גודל של ! nאפשרויות ,ולכן דרך זו הופכת מהר מאוד לבלתי מעשית ולבלתי יעילה .בתורת החישוביות והסיבוכיות הוכח כי בעיה זו היא בעיית -NPקשה ,והצגתה כבעיית הכרעה ("האם קיים מסלול שאורכו פחות מ- dק"מ?") היא בעיית -NPשלמה .ניתן אף להוכיח כי הוספת הדרישה שבתום המסע יחזור הסוכן הנוסע לעיר שממנה יצא (מציאת מעגל המילטוני שמשקלו הוא הקטן ביותר) אינה משנה את סיבוכיות הבעיה. 111 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג תרגיל בית מס' – 14מבוא לתורת הגרפים – מסלולי/מעגלי אויילר והמילטון הערה :השאלות דלהלן מתייחסות לגרפים פשוטים ,אלא אם כן מצויין אחרת בגוף השאלה. .1תנו דוגמא לגרף המכיל: א .מעגל אויילר אך לא מעגל המילטון ב .מעגל המילטון אך לא מעגל אויילר .2השלימו: א .עבור איזה ערך של nיש בגרף K nמעגל אויילר ? ________ ב .עבור איזה ערך של nיש בגרף K nמעגל המילטון ? ________ .3השלימו: א .עבור אילו ערכי mו n -יש בגרף K m,nמעגל אויילר ? __________ ב .עבור אילו ערכי mו n -יש בגרף K m,nמעגל המילטון ? _________ ג .עבור אילו ערכי mו n -יש בגרף K m,nמסלול אויילר ? __________ ד .עבור אילו ערכי mו n -יש בגרף K m,nמסלול המילטון ? ________ .4סדרת דה-ברויין מוגדרת כסדרה בינארית מעגלית באורך , 2nכך שכל סדרה בינארית באורך nמופיעה כתת-סדרה שלה .על-מנת לבנות את הסדרה ,נגדיר גרף מכוון בן 2n 1קודקודים ,שקודקודיו הם כל הסדרות הבינאריות באורך . n 1מכל קודקוד בגרף x1 , x 2 ,..., xn 1 :נעביר צלע לכל אחד מהקודקודים. x 2 , x3 ,..., xn 1 , 0 , x2 , x3 ,..., xn1 ,1 : א. ב. ג. ד. הוכיחו כי הגרף (מסדר ) 2n 1המתקבל באופן הנ"ל מכיל מעגל אויילר. ציירו את הגרף המתאים למקרה , n 3 :מצאו מעגל אויילר בו וקבעו באמצעותו את סדרת דה-בוריין המתאימה לו. ציירו את הגרף המתאים למקרה , n 4 :מצאו מעגל אויילר בו וקבעו באמצעותו את סדרת דה-בוריין המתאימה לו. n 1 הוכיחו כי באמצעות מעבר על הגרף המכוון מסדר , 2באופן שהדגמתם בסעיפים :ב' ,ג' לעיל ,אכן ניתן לייצר סדרת דה-בוריין. .5יהי Gגרף מסדר 2n , n אשר דרגות כל קודקודיו אי-זוגיות .הוכיחו כי קיימים ב n G -מסלולים שונים שכל צלע ב G -מופיע בדיוק באחד מהם ובדיוק פעם אחת. .6הוכיחו כי גרף קשיר ,אשר לא כל דרגות קודקודיו זוגיות ,ניתן לציור במספר משיכות קולמוס השווה למחצית מספר הקודקודים מערכיות אי- זוגית בו. 119 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה ,2תשע"ג .7בכמה משיכות קולמוס ניתן לצייר מצולע בעל 100קודקודים עם כל אלכסוניו ? נמקו. .8הראו כי התנאי של Oreאינו תנאי הכרחי לקיום מעגל המילטון בגרף. .9שאלה זו עוסקת בצופן גריי .נרצה למצוא מסלול המילטון על הקוביה ה-n - מימדית .כלומר – נרצה למצוא סידור של כל 2nהסדרות הבינאריות ,כך שבמעבר מסדרה אחת לשניה משתנה קואורדינטה אחת בלבד .בניית המסלול תעשה באופן האינדוקטיבי הבא -נניח שמצאנו מסלול כזה בקוביה ה-n -מימדית ,המסתיים בקודקוד/בסדרה ; x1 , x 2 ,..., xn :במעבר לקוביה ה- - n 1מימדית ניקח את המסלול הקודם שמצאנו בקוביה ה-n -מימדית ונוסיף לכל קודקוד בו קואורדינטה 0במקום ה n 1 -י .מסלול זה יסתיים ,אפוא, בקוביה ה- n 1 -מימדית בקודקוד . x1 , x 2 ,..., xn , 0 :עתה ניקח שוב את המסלול שמצאנו בקוביה ה-n -מימדית ונוסיף לכל קודקוד בו קואורדינטה 1 במקום ה n 1 -י ,אלא שהפעם נעבור על מסלול זה מהסוף (המקורי שלו) להתחלה (המקורית שלו) .כלומר – קודקוד ההתחלה במסלול החדש שנוצר יהיה . x1 , x 2 ,..., xn ,1 :על-מנת לחבר את שני תת-המסלולים שנוצרו בקוביה ה- n 1 -מימדית ,נחבר את הקודקוד x1 , x 2 ,..., x n ,0 אל הקודקוד . x1 , x 2 ,..., x n ,1מצאו מסלולי המילטון על הקוביה ה-n -מימדית ,עבור: אn 2 . בn 3 . גn 4 . .11הוכיחו כי לא ניתן לכסות לוח שחמט בגודל , m nעבור mו n -אי- זוגיים שונים ,באמצעות צעדי פרש ,כאשר אסור לפרש לבקר באותה משבצת בלוח יותר מפעם אחת ,ובסיום עליו לחזור למשבצת בה התחיל את מסעו. בהצלחה! 110