תורת הגרפים - Notes

‫תורת הגרפים‬
‫על פי הרצאות מאת פרופ' אהוד פרידגוט‬
‫‪ 11‬ביולי ‪2010‬‬
‫רשם‪ :‬שיר פלד‪ ,‬באמצעות ‪ LYX‬גרסה ‪1.6.1‬‬
‫תיקונים יתקבלו בברכה במהלך ההפסקות או בכתובת מייל ‪shirpeled@cs‬‬
‫במבחן‪ :‬להוכיח משפט אחד מתוך שניים ולפתור שניים מתוך שלושה תרגילים )שיתפרסמו‬
‫במהלך הסמסטר(‪.‬‬
‫ביבליוגרפיה‪Graph T heory/Diestel :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.1‬‬
‫מבוא והגדרות‬
‫הגדרות‬
‫הגדרה ‪ 1.1‬גרף ‪ G‬הוא זוג )‪ ,(V, E‬קבוצת הצלעות וקבוצת הקודקודים )או קשתות וצמתים(‪.‬‬
‫‪ V‬היא קבוצה כלשהי‪ ,‬ו ‪ E‬היא קבוצה של זוגות לא סדורים של איברים מ ‪ .v‬לעיתים‬
‫נתעצל לכתוב את הצלע }‪ {i, j‬ונכתוב ‪ ij‬במקום זאת‪.‬‬
‫צלעות מרובות ־ מרשים ‪ (ij) 1, (ij) 2‬וכן הלאה‪ ,‬לרוב לא נעסוק באלו‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.2‬צלעות מנוונות הן לולאה‪ ,‬כלומר צלע מקודקוד לעצמו ‪.ii‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.3‬גרף ללא צלעות מרובות וללא לולאות יקרא גרף פשוט‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.4‬גרף מכוון הוא גרף אשר בו הצלעות הן זוגות סדורים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.5‬בהיפר גרף הצלעות הן קבוצות של קודקודים‪ ,‬לאו דווקא בגודל ‪.2‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.6‬גרפים ) ‪ G1 = (V1 , E1‬ו ) ‪ G2 = (V2 , E2‬הם איזומורפיים אם יש ‪ϕ : V1 → V2‬‬
‫חח"ע ועל המשמרת צלעות‪ ,‬כלומר‬
‫‪{ϕ (i) , ϕ (j)} ∈ E2 ⇔ {i, j} ∈ E1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.7‬גרף יקרא מישורי אם ניתן לצייר אותו במישור ללא חיתוכים של הצלעות‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.8‬הגרף השלם על ‪ n‬קודקודים יסומן ‪ ,Kn‬והוא הגרף שבו יש ‪ n‬קודקודים וכל ‪2‬‬
‫קודקודים יוצרים צלע‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.9‬גרף דו צדדי שלם יסומן ‪ Kn,m‬והוא גרף דו"צ שקבוצת קודקודיו היא ∪}‪{1, ..., n‬‬
‫}‪ {1′ , 2′ , ..., m‬ובקבוצת הצלעות יהיו כל הזוגות } ‪) {ij ′‬כלומר יש ‪ n · m‬צלעות(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הערה ‪ K3,2 1.10‬מישורי בעוד ש ‪ K3,3,‬איננו מישורי‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.11‬מסילות הן גרפים בצורת שרוך‪ ,‬שיסומנו ‪ P3‬למשל עבור גרף בן ‪ 4‬קודקודים‬
‫המחוברים בזה אחר זה בצלעות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.12‬מעגלים הן מסילות שבהן הקודקוד הראשון מחובר לאחרון ויסומנו ‪ C3‬למשל‪,‬‬
‫עבור משולש‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.13‬נאמר ש ‪ x, y ∈ V‬שכנים‪ ,‬ונסמן ‪ ,x ∼ y‬אם ‪.{x, y} ∈ E‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.14‬הילוך על גרף סדרת קודקודים ‪ x1 , ..., xn‬כך ש ‪ xi ∼ xi+1‬עבור ‪i = 1, ..., n−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.15‬הילוך בו אף צלע אינה חוזרת פעמיים נקרא מסילה‪ .‬אם בנוסף אף קודקוד‬
‫אינו חוזר פעמיים‪ ,‬נאמר שהמסילה פשוטה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.16‬מסילה סגורה )קודקוד ראשון = קודקוד אחרון( תקרא מעגל‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.17‬לפעמים נוח לחשוב על מסילות )או הילוכים( כסדרה של צלעות ולא כסדרה של‬
‫קודקודים‪ .‬בדרך כלל יהיה ברור מההקשר למה הכוונה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫תרגיל‬
‫אם יש הילוך מ ‪ x‬ל ‪ ,y‬אז יש מסילה פשוטה מ ‪ x‬ל ‪.y‬‬
‫הגדרה ‪ 1.18‬נגדיר יחס שקילות על קודקודי הגרף‪ x :‬שקול ל ‪ y‬אם יש הילוך מ ‪ x‬ל ‪ .y‬קל‬
‫לראות שזה רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי וטרנזיטיבי‪ .‬נקרא למחלקת השקילו של קודקוד ‪" :x‬מרכיב‬
‫הקשירות של ‪."x‬‬
‫גרף ובו מרכיב קשירות יחיד יקרא גרף קשיר‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.19‬אם )‪ G = (V, E‬גרף‪ ,‬ו ) ‪ H = (V ′ , E ′‬כך ש ‪ V ′ ⊆ V‬וגם ‪ E ′ ⊆ E‬אז נאמר‬
‫ש ‪ H‬תת גרף של ‪ .G‬אם ‪ E ′‬מכיל כל מ ‪ E‬ששני איבריה ב ‪ ,V ′‬אז נאמר ש ‪ H‬הוא תת‬
‫גרף מושרה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.20‬הדרגה של קודקוד ‪ x‬היא מספר הצלעות שלהן ‪ x‬שייך‪ ,‬לעיתים מסומן )‪d (x‬‬
‫ולעיתים )‪ .deg (x‬בגרף מכוון יש דרגת כניסה ))‪ (indeg (x‬ודרגת יציאה ))‪,(outdeg (x‬‬
‫שאינן בהכרח שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.21‬מעגל בגרף המכיל את כל הצלעות נקרא מעגל אוילר )מסילה ‪ ...‬וכו' ‪ ...‬מסילת‬
‫אוילר(‬
‫מעגל המכיל את כל הקודקודים‪ ,‬כל קודקוד פעם אחת בלבד‪ ,‬יקרא מעגל המילטון‬
‫)מסילה ‪ ...‬וכו' ‪ ...‬מסילת המילטון(‬
‫זהו גרף פטרסון‪:‬‬
‫זהו גרף הדודקהדרון‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫שאלה‪ :‬מי מהם המילטוני? תשובה ־ גרף הדודקהדרון‪ ,‬וההילוך עליו נתון במספור‬
‫הקודקודים‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬הוכיחו שבגרף פטרסון אין מעגל המילטון‬
‫‪n‬‬
‫‪ .2‬בגרף המינג של }‪) {0, 1‬שיוגדר להלן( יש מעגל המילטון‬
‫‪n‬‬
‫הגדרה ‪ 1.22‬גרף המינג של }‪ {0, 1‬מוגדר כך שקודקודיו הם כל הסדרות הבינאריות באורך‬
‫‪ n‬ויש צלע בין שתי סדרות שנבדלות בביט אחד בדיוק‪.‬‬
‫למצוא מעגל המילטון בגרף זו בעיה שהיא ‪ N P‬קשה‪ ,‬ולעומת זאת קל מאד להכריע האם‬
‫יש מעגל אוילר בגרף‪.‬‬
‫‪1.2‬‬
‫זוגיות‬
‫משפט ‪ 1.23‬לחיצות הידיים ־ בכל מסיבה סופית‪ ,‬מספר האנשים שלחצו ידיים מספר אי־זוגי‬
‫של פעמים‪ ,‬הוא זוגי‪ .‬באופן פורמלי ־ בכל גרף פשוט וסופי‪ ,‬מספר הקודקודים בעלי דרגה‬
‫אי־זוגית‪ ,‬הוא זוגי‪.‬‬
‫למה ‪ 1.24‬בגרף סופי פשוט ־ סכום הדרגות הוא בדיוק פעמיים מספר הצלעות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬הלמה ־ כל צלע נספרת פעמיים עבור סכום הדרגות‪ ,‬פעם עבור כל קודקוד שהיא‬
‫משתתפת בו‪.‬‬
‫המשפט ־ סכום הדרגות בעלי דרגה זוגית הוא בוודאי זוגי‪ ,‬ואם נוסיף לו את סכום‬
‫הדרגות בעלי דרגה אי־זוגית נקבל את סכום הדרגות הכולל‪ ,‬שהוא זוגי‪ ,‬ומכאן שסכום‬
‫הדרגות האי־זוגיות הוא זוגי בעצמו )ולכן מספר המחוברים בו זוגי כנדרש(‪.‬‬
‫למה ⇐משפט‪ ,‬ונראה בעתיד כי המשפט גורר את הלמה של שפרנר‪ ,‬הלמה של טאקר‪ ,‬תיבות‬
‫עם מקצועות שלמים‪ .‬הלמה של טאקר גוררת את משפט בורסוק־אולם‪ ,‬ומשפט בורסוק‬
‫אולם וגם הלמה של שפרנר גוררים את משפט בראוור‪ .‬כמו כן בורסוק אולם גורר את‬
‫השערת קנסר )משפט לובס(‪.‬‬
‫כל הנ"ל מלבד המשפט על תיבות עם מקצועות שלמים יגיעו בהמשך‪.‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫נתונה תיבה ב ‪) Rd‬כך ש ‪ (d ≥ 1‬וחלוקה שלה לתיבות שלכל אחת מהן יש כיוון אחד בו‬
‫ארכה הוא מספר שלם‪ ,‬אזי גם לתיבה הגדולה יש כיוון בו ארכה הוא מספר שלם‪.‬‬
‫רקע היסטורי‪:‬‬
‫בעיר קניגסברג‪ ,‬שממנה בא אוילר‪ ,‬היה נהר‪ ,‬איים וגשרים באופן הבא‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫ונשאלה השאלה ־ האם אפשר לטייל‪ ,‬ובמהלך הטיול לעבור על כל גשר בדיוק פעם אחת‪,‬‬
‫אפשר בקלות להפוך את הבעיה לגרף )הגשרים הם צלעות‪ ,‬והאיים ־ קודקודים( ולשאול ־‬
‫האם יש מעגל אוילר? התשובה היא שלא‪.‬‬
‫וההוכחה לכך ־ ממשפט אוילר שיובא להלן‪:‬‬
‫משפט ‪ 1.25‬ב)מולטי(גרף סופי קשיר יש מעגל אוילר אם"ם כל הדרגות הן זוגיות‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 1.26‬בגרף סופי קשיר יש מסילת אוילר פתוחה אם"ם יש בו בדיוק ‪ 2‬קודקודים‬
‫שדרגתם אי־זוגית‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מסקנה ‪) 1.27‬הכללה( בגרף סופי קשיר ניתן לכסות את הצלעות ע"י ‪ k‬מסילות זרות בצלעות‬
‫אם יש בדיוק ‪ 2k‬קודקודים בדרגה אי־זוגית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נראה שהמשפט גורר את מסקנה א'‪ ,‬ומסקנה ב' ניתנת להיסק בדרך דומה‪:‬‬
‫נוסיף קודקוד לגרף ונחבר אותו לשני הקודקודים שדרגתם אי־זוגית‪ .‬קיבלנו גרף שבו כל‬
‫הדרגות זוגיות ולכן עפ"י המשפט ־ יש מעגל אוילר‪ .‬כעת נסיר את שתי הצלעות העוקבות‬
‫שהוספנו ־ ונקבל מסילה פתוחה‪.‬‬
‫את מסקנה ב' נראה באופן דומה ע"י הוספה של ‪ k‬קודקודים חדשים‪.‬‬
‫למה ‪ 1.28‬למשפט אוילר‪ :‬במסילה )לא סגורה( דרגת שני הקצוות היא אי־זוגית ודרגת כל‬
‫שאר הקודקודים היא זוגית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬למשפט אוילר‪:‬‬
‫כיוון אחד קל ־ אם ‪ G‬קשיר סופי‪ ,‬בעל מעגל אוילר‪ ,‬אזי כל הדרגות זוגיות‪ ,‬הולכים‬
‫לאורך המעגל‪ ,‬מכל קודקוד גם נכנסים וגם יוצאים ולכן דרגתו זוגית‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫בכיוון השני ־‬
‫יהי ‪ G‬גרף קשיר‪ ,‬סופי‪ ,‬בו כל הדרגות הן זוגיות‪ .‬ניקח ב ‪ G‬הילוך ללא חזרה על‬
‫צלעות בעל אורך מקסימלי‪ .‬הילוך זה הוא בהכרח מעגל‪ .‬מדוע? אחרת לקצוותיו היו דרגות‬
‫אי־זוגיות‪ ,‬לפי הלמה‪ ,‬ולכן אפשר להאריך את ההילוך בעוד צעד לפחות )כי לא כל הצלעות‬
‫של קודקוד הסיום מנוצלות(‪.‬‬
‫מעגל זה חייב להכיל את כל הצלעות‪ ,‬אחרת ניתן להאריכו‪ .‬מדוע? אם יש צלע שאינה‬
‫במעגל‪ ,‬וקודקוד אחד שלה לפחות שייך למעגל‪ ,‬אזי אפשר להוסיף עוד צעד להילוך‪ ,‬בסתירה‬
‫למקסימליות‪ .‬אם קודקודי הצלע אינם המעגל‪ ,‬אזי מקשירות ־ ניתן למצוא מסילה מאחד‬
‫מהקודקודים הנ"ל לקודקוד במעגל‪ ,‬והמסילה הזו‪ ,‬כיוון שמתחילה מחוץ למעגל ומסתיימת‬
‫בתוכו‪ ,‬מכילה בהכרח צלע שקודקוד אחד שלה במעגל וקודקוד אחד מחוץ למעגל‪ ,‬ואותה‬
‫ניתן לצרף להילוך כמקודם‪ ,‬בסתירה למקסימליות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.29‬גרף מכוון יקרא קשיר חזק אם לכל ‪ x, y ∈ V‬יש מסילה מכוונת מ ‪ x‬ל ‪.y‬‬
‫משפט ‪ 1.30‬אוילר המכוון‪ :‬גרף סופי קשיר חזק מכיל מעגל אוילר מכוון אם"ם בכל קודקוד‬
‫דרגת הכניסה שווה לדרגת היציאה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.31‬סדרות דה־ברוין )‪ B (n, k) (De Bruijn‬היא סדרה מעגלית של ‪k n‬סימנים‬
‫מתוך הקבוצה ‪ 1...k‬כך שכל אחת מ ‪ k n‬המילים באורך ‪ n‬מופיעה פעם אחת על המעגל‪.‬‬
‫דוגמאות והסבר‬
‫‪4‬‬
‫נניח שיש קוד כניסה בן ‪ 4‬ספרות )מתוך הספרות ‪ (9...0‬שצריך לנחש‪ .‬יש סה"כ ‪10‬‬
‫אפשרויות‪ ,‬וכל אפשרות היא באורך ‪ ,4‬ולכן לכאורה צריך ‪ 40, 000‬לחיצות‪ .‬למעשה אפשר‬
‫לסדר את הספרות על פני מעגל באורך ‪ 10, 000‬בסדרת דה־ברוין‪ ,‬ואז להקיש על כל הספרות‬
‫לפי סדר המעגל‪ ,‬ואז לעבור לאופסט ‪ 1‬ואז לאופסט ‪ 2‬ו ‪.3‬‬
‫סדרת דה־ברוין הראשונה שהוגדרה היתה )‪ B (3, 2‬שהוגדרה ע"י משוררי סנסקריט כדי‬
‫לזכור את כל הצירופים של הברות ארוכות וקצרות ע"י ‪ SLLLSLSSSL‬ובעצם אפשר לקצץ‬
‫שתי האותיות האחרונות ולקבל ‪ SLLLSLSS‬וכל צירוף בן ‪ 3‬אותיות של ‪ S, L‬מתקבל אם‬
‫קושרים את הסוף להתחלה כדי ליצור מעגל‪.‬‬
‫בסה"כ יש‬
‫)‪(n−1‬‬
‫‪k!k‬‬
‫‪kn‬‬
‫סדרות דה ברוין‪.‬‬
‫שימוש למשפט אוילר המכוון‬
‫נניח שנרצה למצוא את )‪ ,B (2, 2‬נרצה לראות את הרצפים ‪.00, 11, 01, 10‬‬
‫אחרי ‪ 00‬נוכל לראות את ‪ ,01‬אחריו נוכל לראות את ‪ 11‬או ‪ ,10‬אחרי ‪ 11‬אפשר לראות‬
‫את ‪ 10‬או את ‪ 11‬שוב‪ ,‬ואחרי ‪ 10‬אפשר לראות את ‪ 00‬או את ‪ .01‬כמובן אפשר לבנות מזה‬
‫גרף‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫ואם נמצא בזה המילטוניאן ־ נוכל למצוא את הסדרה המבוקשת‪.‬‬
‫אבל זה קשה‪ ,‬ולכן נעדיף לתאר את הבעיה באופן כזה שנחפש מעגל אוילר‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫גרף דה ברוין על ⟩‪ ,⟨1...k‬קודקודיו הן כל המילים באורך ‪ n‬מהא"ב }‪ ,{1, ..., k‬ושתי‬
‫מילים הן שכנות בגרף דה ברוין אם ‪ y‬מתקבלת מ ‪ x‬ע"י הסרת האות הראשונה והוספת‬
‫אות בסוף‪.‬‬
‫את הצלע בין ‪ x1 x2 ...xn‬ובין ‪ x2 x3 ...xn y‬נסמן ע"י ‪ ,x1 x2 x3 ...xn y‬מעגל אוילר בגרף‬
‫זה מניב סדרת דה־ברוין‪.‬‬
‫למה יש מעגל אוילר בגרף דה ברוין? כי דרגת הכניסה והיציאה של כל קודקוד היא ‪,k‬‬
‫ולכן ממשפט אוילר המכוון ־ יש מעגל אוילר‪.‬‬
‫‪1.3‬‬
‫הלמה של שפרנר‬
‫)לא לבלבל עם משפט שפרנר(‬
‫סימפלקס ‪d‬־ממדי הוא הקמור של ‪ d + 1‬נקודות בלתי תלויות אפינית ב ‪.Rd‬‬
‫‪ v0 , v1 , ..., vk ∈ Rk‬ב"ת אפינית אם ‪ v1 − v0 , v2 − v0 , ..., vk − v0‬ב"ת ליניארית‪ ,‬וזה‬
‫אם"ם הסימפלקס ה ‪ k‬מימדי שהוא הקמור שלהן אינו מנוון‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.32‬שילוש של סימפלקס היא חלוקתו למשולשים כך שהחיתוך של כל שניים הוא‬
‫סימפלקס ממימד נמוך יותר )או ריק(‪ ,‬המכונה גם פאה‪.‬‬
‫משפט ‪ 1.33‬הלמה של שפרנר ־ יהי ‪ T‬שילוש של סימפלקס ‪ k‬מימדי‪ ,‬הקמור של } ‪.{v0 , ..., vk‬‬
‫ותהי ‪ λ‬צביעה של קודקודי השילוש )קודקודי כל הסימפלקסים המופיעים בשילוש( ע"י צבעים‬
‫‪.0, 1, 2, ..., k‬‬
‫‪ λ‬מקיימת את התכונה הבאה‪:‬‬
‫לכל קודקוד בשילוש יש פאה קטנה ביותר המכילה אותו ו ‪ λ (x) = i‬גורר שפאה זו‬
‫עבור ‪ x‬מכילה את ‪.i‬‬
‫אזי קיים סימפלקס בשילוש אשר נצבע ע"י כל ה ‪ k + 1‬צבעים‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.1‬‬
‫שפרנר ובראואר‬
‫הלמה של שפרנר‬
‫הגדרה ‪ 2.1‬אם ‪ p1 , ..., pn‬נקודות‪ ,‬אזי הקמור שלהן יסומן ) ‪ conv (p1 ...pn‬הוא הקבוצה‪:‬‬
‫‪{ n‬‬
‫}‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∧ ‪αi pi |α ≥ 0‬‬
‫‪αi = 1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2‬נאמר ש ‪ p0 , ..., pn‬בת"ל אפינית אם ‪ p1 −p0 , p2 −p0 , ..., pn −p0‬בת"ל ליניארית‪.‬‬
‫והמשמעות האינטואיטיבית היא שהקמור של הנקודות הללו הוא ממימד מקסימלי‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.3‬סימפלקס ‪ n‬מימדי הוא קמור של נקודות ‪ p0 , ..., pn‬בת"א‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.4‬פאה של סימפלקס )שאף היא סימפלקס( היא הקמור של תת קבוצה של הנקודות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.5‬אם ‪ x‬היא נקודה בסימפלקס הנפרש ע"י ‪ ,p0 , ..., pn‬התומך של ‪ x‬יסומן‬
‫)‪ ,supp (x‬והוא הפאה הקטנה ביותר לה ‪ x‬שייך‪.‬‬
‫אם‬
‫∑‬
‫=‪x‬‬
‫‪αi pi‬‬
‫אז התומך של ‪ x‬הוא הקמור של ה ‪ pi‬שעבורם ‪.αi > 0‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6‬שילוש )טריאנגולציה( של גוף כלשהו הוא חלוקה לסימפלקסים כך שכל שניים‬
‫נחתכים בפאה )זה כולל קודקוד‪ ,‬שכן הוא פאה ממימד ‪ (0‬או בקבוצה ריקה‪.‬‬
‫דוגמה לשילוש‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫משפט ‪ 2.7‬הלמה של שפרנר‪:‬‬
‫יהי ‪ S‬סימפלקס‪ ,‬שהוא הקמור של ‪.(n ≥ 0) p0 , ..., pn‬‬
‫יהי ‪ T‬שילוש של ‪.S‬‬
‫תהי }‪ λ : {T ′ s vertices} → {0, 1, ..., n‬צביעה של קודקודי ‪ T‬שמקיימת שלכל קודקוד‬
‫‪ t ∈ T‬מתקיים )‪ pλ(t) ∈ supp (t‬כלומר צובעים את ‪t‬בצבע המתאים לאחד מהקודקודים‬
‫בתומך שלו‪.‬‬
‫אזי יש סימפלקס בשילוש שבו מופיעים כל הצבעים‪.‬‬
‫למעשה מספר הסימפלקסים הנ"ל הוא אי־זוגי‪ ,‬ובפרט אינו אפס‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫עבור ‪ n = 0‬הסימפלקס הוא נקודה אחת‪ ,‬והטענה נכונה‪.‬‬
‫נניח נכונות עבור ‪) n − 1‬עבור ‪.(n ≥ 1‬‬
‫ניקח סימפלקס ‪ n‬מימדי‪ ,‬נוסיף קודקוד ‪ p‬ש"נצבע" ב ‪.n‬‬
‫נרחיב את השילוש של ‪ S‬לשילוש של )‪ conv (p0 , ..., pn , p‬ע"י הוספת ‪ p‬לכל אחד‬
‫מהסימפלקסים ה ‪ n − 1‬מימדיים שבפאה ) ‪.conv (p0 , ..., pn−1‬‬
‫נגדיר גרף שקודקודיו הם סימפלקסי השילוש‪.‬‬
‫יש קודקודים המתאימים לסימפלקסים הישנים )אלו שב ‪ (T‬וקודקודים שמתאימים‬
‫לסימפלקסים ה ‪ p‬הוא קודקוד שלהם‪ ,‬סימפלקסים חדשים‪.‬‬
‫יש צלע בין שני סימפלקסים } ‪ {s1 , s2‬אם"ם הפאה המשותפת להם צבועה בצבעים‬
‫}‪ {0, 1, 2, ..., n − 1‬בדיוק‪ ,‬בפרט אם אין להם פאה משותפת ־ אז אין צלע‪.‬‬
‫אין צלעות בין קודקודים המתאימים לסימפלקסים חדשים‪ ,‬שכן הפאות ה ‪ n−1‬מימדיות‬
‫המשותפות להם מכילות את הנקודה ‪ ,p‬שצבועה בצבע ‪.n‬‬
‫מהנחת האינדוקציה יש מספר אי־זוגי של קודקודים חדשים מדרגה ‪ .1‬מדוע? בפאה‬
‫שחיברנו ל ‪ p‬יש מה"א מספר אי־זוגי של סימפלקסים שצבועים בצבעים }‪,{0, 1, ..., n − 1‬‬
‫וכל אחד מאלו מהווה את פאת החיתוך בין סימפלקס ישן לסימפלקס חדש כלשהו‪) .‬כדאי‬
‫לצייר את המקרה הדו־מימדי כדי להשתכנע(‪ .‬הדרגה של הקודקוד הזה היא ‪ 1‬שכן כל שכניו‬
‫האחרים הם חדשים גם כן‪ ,‬ולכן אין ביניהם צלע‪.‬‬
‫ממשפט לחיצות הידיים‪ ,‬מספר הקודקודים שדרגתם אי זוגית הוא זוגי‪ ,‬ולכן יש מספר‬
‫אי־זוגי של קודקודים ישנים בדרגה אי־זוגית‪ ,‬לכל אחד מהם יש בהכרח פאה שצבועה ב‬
‫}‪{0, 1, ..., n − 1‬‬
‫אם המספרים ‪ 0, 1, ..., n − 1‬מופיעים על סימפלקס‪ ,‬אז דרגתו היא ‪ 1‬או ‪ ,2‬בהתאם אם‬
‫מופיע או לא מופיע הצבע ‪ .n‬מדוע? ניקח קודקוד‪ ,‬הוא צבוע ב ‪ n + 1‬צבעים )לא בהכרח‬
‫שונים( כאשר חלקם הוא }‪ ,{0, 1, ..., n − 1‬ואז אם צבעו של הקודקוד האחרון הוא ‪ n‬־ אז‬
‫דרגת הקודקוד ‪ ,1‬ואחרת יש לו שתי צלעות‪ ,‬כי יש שתי דרכים לבחור עבורו את הצבעים‬
‫}‪.{0, .., n − 1‬‬
‫מכאן שהדרגות בגרף הן רק ‪ 0, 1, 2‬וקיים קודקוד שדרגתו היא ‪ ,1‬וממשפט לחיצות‬
‫הידיים נובע שיש מספר אי זוגי של קודקודים שכאלו‪ ,‬כנדרש‪.‬‬
‫‪2.2‬‬
‫נקודת השבת של בראוור‬
‫משפט ‪ 2.8‬נקודת השבת של בראוור‪:‬‬
‫לכל העתקה רציפה של ‪) B n‬הכדור ה ‪ n‬מימדי הסגור( לעצמו‪ ,‬יש נקודת שבת‪.‬‬
‫קל להשתכנע שלא מוכרחים לקחת כדור סגור‪ ,‬ואפשר לקחת משהו הומיאומורפי‪ ,‬למשל‬
‫סימפלקס ‪n‬־מימדי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ S‬הקמור של ‪ n‬נקודות )זהו קמור ‪ n−1‬מימדי( הבסיס הסטנדרטי ‪.e1 , e2 , ..., en‬‬
‫‪9‬‬
‫‪∑n‬‬
‫ואז }‪ , S = {t| i=1 ti = 1, ti ≥ 0‬נקבל בשלושה מימדים משולש דו־מימדי שיושב‬
‫באלכסון למרכז הצירים )פחות או יותר(‪.‬‬
‫תהי ‪ f : S → S‬רציפה‪.‬‬
‫ניקח שילוש של ‪ ,S‬למשל את החלוקה הבריצנטרית‪.‬‬
‫)ניקח בהמשך שילושים כך שקוטר הסימפלקסים ישאף לאפס(‪.‬‬
‫לכל פאה ) ‪ conv (pi1 , ..., pik‬נתאים את מרכז הכובד שלה‪ .‬בשילוש שמגדירה החלוקה‬
‫הבריצנטרית יש בדיוק !‪ n‬סימפלקסים‪:‬‬
‫לכל סדרה של ‪) pi1 ̸= pi2 ...pin‬פרמוטציה של הקודקודים( נתאים את הסימפלקס‬
‫שקודקודיו הם‪:‬‬
‫־ מרכז הכובד של ‪pi1‬‬
‫־ מרכז הכובד של ‪pi1 , pi2‬‬
‫‪...‬‬
‫־ מרכז הכובד של ‪pi1 , ..., pin‬‬
‫לא קשה להתרשם שזהו אכן שילוש )תרגיל(‬
‫כמו כן הקוטר של הסימפלקסים החדשים קטן יותר‪ :‬אורך מקצוע של סימפלקס חדש‬
‫‪ n−1‬מהתיכון של הסימפלקס המקורי )קטע שמחבר קודקוד למרכז הכובד של‬
‫הוא קטן מ ‪n‬‬
‫שאר הקודקודים(‪ ,‬מתכונות התיכון‪.‬‬
‫‪T‬שילוש של ‪.S‬‬
‫} ‪Mi = {s ∈ S|si > [f (s)]i‬‬
‫לכל קודקוד ‪ t ∈ T‬נבחר צבע ‪ i‬כך ש ‪t ∈ Mi‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫∑ ‪Mi‬אלא אם מתקיים )‪ .t = f (t‬אם יש נקודת שבת אז סיימנו‪.‬‬
‫שייך לאיזהשהו‬
‫‪t‬‬
‫‪ .1‬כל ∑‬
‫= ‪ti = 1‬‬
‫‪[f (t)]i‬‬
‫∈ ‪ ei‬אם"ם ‪ 0 = ti‬ואז מתקיים ) ‪¬ (ti > [f (t)]i‬‬
‫‪ .2‬זו צביעת שפרנר כי )‪/ supp (t‬‬
‫לכן אם אף אחד מקודקודי השילוש אינו נקודת שבת‪ ,‬אז יש סימפלקס רב צבעי‪ .‬נשלש‬
‫אותו ע"י חלוקה בריצנטרית‪.‬‬
‫נמשיך בתהליך זה‪ ,‬ונקבל סדרה אינסופית של סימפלקסים מוכלים זה בזה שהולכים‬
‫וקטנים‪:‬‬
‫)‬
‫‪(1‬‬
‫‪conv t1 , ..., t1n‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪conv t21 , ..., t2n‬‬
‫‪...‬‬
‫זוהי סדרת סימפלקסים סגורים בעלי קוטר ששואף לאפס‪ ,‬ועל פי הלמה של קנטור ־ יש‬
‫להם נקודה משותפת‪ ,‬בפרט יש ‪ t‬יחיד הנמצא בכולם‪.‬‬
‫ולכן ‪:‬‬
‫‪t11 , t12 , t13 , ... → t‬‬
‫‪t21 , t22 , t23 , ... → t‬‬
‫‪...‬‬
‫‪10‬‬
‫‪tn1 , tn2 , ... → t‬‬
‫מרציפות של ‪f‬מתקיים ‪ ,x1 ≥ [f (x)]1‬כנ"ל לכל הקואורדינטות של ‪ .x‬וכיוון שסכום הקוא'‬
‫הוא בדיוק ‪ ,1‬אזי כל הקוא' שוות‪ .‬לכן יש שוויון ו ‪ x‬נקודת שבת‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משפט בורסוק אולם‬
‫נראה כי משפט בורסוק אולם גורר את משפט נקודת השבת של בראוור‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.1‬בורסוק אולם‪ :‬אין העתקה רציפה מהכדור הדו מימדי לשפה שלו‪ ,‬שהיא קבועה‬
‫על השפה‪.‬‬
‫טענה ‪ 3.2‬בורסוק אולם ⇐בראוור‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ f : B → B‬רציפה ללא נקודות שבת‪.‬‬
‫נגדיר ‪ g‬בסתירה לבורסוק אולם‪ .‬לכל )‪ f (x‬ניקח את ‪ x‬ונמתח ישר מ )‪f (x‬ל ‪ .x‬את‬
‫)‪ g (x‬נקבע להיות הנקודה שעל שולי המעגל בקצה הקרן‪ .‬במידה ש ‪ x‬על שולי המעגל ־‬
‫נקבל ש ‪ g (x) = x‬כפי שדרשנו‪ .‬וההעתקה שדרשנו אכן רציפה‪.‬‬
‫הגדרה ‪3.3‬‬
‫{‬
‫}‬
‫∑‬
‫| ‪S n = x ∈ Rn+1‬‬
‫‪x2i = 1‬‬
‫{‬
‫}‬
‫∑‬
‫| ‪B n = x ∈ Rn‬‬
‫‪x2i ≤ 1‬‬
‫{‬
‫}‬
‫∑‬
‫| ‪Sˆn = x ∈ Rn+1‬‬
‫‪|xi | = 1‬‬
‫{‬
‫}‬
‫∑‬
‫| ‪Bˆn = x ∈ Rn‬‬
‫‪|xi | ≤ 1‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.4‬העתקה קוטבית מקיימת )‪) −f (x) = f (−x‬אנטיפודלית(‬
‫נשתמש מעתה באופן חופשי במונחים קבוצה פתוחה‪ ,‬קבוצה סגורה‪ ,‬קבוצה קומפקטית‪ ,‬מרחק‬
‫מקבוצה‪ ,‬קוטר של קבוצה כפי שהם מוגדרים ב ‪.Rn‬‬
‫לעיתים נתבונן בטופולוגיה יחסית‪ ,‬כלומר הקבוצות שהן סגורות או פתוחות ביחס לקבוצה‬
‫כלשהי שמכילה אותן‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪3.0.1‬‬
‫בורסוק אולם בניסוחים שונים‬
‫‪ .1‬אם ‪ f : S n → Rn‬רציפה‪ ,‬אזי קיימת ‪ x‬כך ש )‪f (x) = f (−x‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ f : S n → Rn‬וקוטבית‪ ,‬אזי קיימת ‪ x‬כך ש ‪.f (x) = 0‬‬
‫‪ .3‬אין העתקה ‪ f : S n → S n−1‬רציפה וקוטבית‪.‬‬
‫‪ .4‬אין ‪ f : B n → S n−1‬רציפה קוטבית על השפה‪.‬‬
‫‪ .5‬אין כיסוי של ‪ S n‬ע"י ‪ n + 1‬קבוצות סגורות בקוטר קטן מ ‪ .2‬כלומר בכל כיסוי של‬
‫‪ S n‬ע"י קבוצות סגורות ‪ F1 , ..., Fn+1‬קיים ‪ i‬וקיימת ‪ x‬כך ש ‪ x ∈ Fi‬וגם ‪.−x ∈ Fi‬‬
‫‪ .6‬בכל כיסוי של ‪ S n‬ע"י ‪ n + 1‬קבוצות פתוחות ‪ ,A1 , ..., An+1‬קיים ‪ i‬וקיים ‪ x‬כך ש‬
‫‪ x ∈ Ai‬ו ‪−x ∈ Ai‬‬
‫‪ .7‬בכל כיסוי ע"י קבוצות פתוחות וסגורות ‪) ...‬אותו הדבר כמקודם(‬
‫ברור שניתן לכסות את ‪ S n‬ע"י ‪ n + 2‬קבוצות סגורות ־ אם אתה כולא בתוכו סימפלקס‬
‫ומטיל אותו לכל הכיוונים‪.‬‬
‫בורסוק שאל האם כל קבוצה קמורה ב ‪ Rd‬ניתנת לחלוקה ל ‪ d + 2‬קבוצות מקוטר קטן‬
‫יותר‪.‬‬
‫בורסוק הוכיח זאת עבור ‪.d = 2‬‬
‫אחרים הוכיחו זאת עבור ‪ d = 3‬וכן לכל ‪ d‬עבור קבוצות חלקות‪ ,‬לקבוצות סימטרית‬
‫מרכזית‪ ,‬ולגופי סיבוב‪.‬‬
‫‪ 93‬הוכיחו קלעי וקהן כי התשובה לשאלתו של בורסוק היא שלילית‪ ,‬ובמימד גדול דיו‬
‫ב‬
‫√‬
‫צריך ‪ C d‬חלקים‪ ,‬ובפרט לא ליניארי ב ‪ ,d‬הדוגמה הקונקרטית הכי קטנה שאנחנו מכירים‬
‫היא ממימד ‪.256‬‬
‫‪3.0.2‬‬
‫שקילויות‬
‫‪ 1 ⇒ 2‬טריויאלי‪ ,‬שכן ‪. f (x) = f (−x) = −f (−x) = 0‬‬
‫‪ 2 ⇒ 1‬בהנתן ‪ f‬כמו ב ‪ 1‬נפעיל את ‪ 2‬על )‪ g (x) = f (x) − f (−x‬ונקבל את הדרוש‪.‬‬
‫‪ 2 ⇒ 3‬כיוון ש ‪ 3‬הוא מקרה פרטי של ‪.2‬‬
‫‪ 3 ⇒ 2‬בהנתן דוגמה נגדית ל ‪ 2‬־ ניתן לנרמל אותה ולקבל דוגמה נגדית ל ‪ :3‬אם ‪f‬‬
‫)‪(x‬‬
‫|)‪g (x) = |ff (x‬‬
‫דוגמה נגדית ל ‪ ,2‬אז נתבונן ב‬
‫‪ 3 ⇔ 4‬תרגיל‪ .‬עבור ‪ n = 2‬אומר סעיף ‪ 3‬שאי אפשר להעתיק את הספירה לקו המשווה‪,‬‬
‫ו ‪ 4‬אומר שאי אפשר להעתיק את העיגול לקו המשווה‪ ,‬ואז לשם השקילות מספיק להציג‬
‫העתקה מתאימה בין ‪B n‬ל ‪.S n‬‬
‫‪ 1 ⇒ 5‬נניח ש ‪ F1 , ..., Fn+1‬כיסוי של ‪ S n‬ע"י קבוצות סגורות‪ .‬נתבונן ב ‪f : S n → Rn‬‬
‫המוגדרת ע"י‪:‬‬
‫)) ‪f (x) = (d (x, F1 ) , d (x, F2 ) , ..., (x, Fn‬‬
‫ואז לפי ‪ 1‬קיים ‪ x‬כך ש )‪ ,f (x) = f (−x‬כלומר שהמרחק של ‪ x‬מכ"א מהקבוצות הוא‬
‫כמו המרחק של ‪ −x‬מאותן קבוצות‪ .‬אם קיים ‪ i‬כך ש ‪ [f (x)]i = 0‬אזי ‪[f (−x)]i = 0‬‬
‫ולכן שניהם שייכים לאותה קבוצה‪ .‬ובהכרח קיים ‪ i‬שכזה‪ ,‬שכן הקבוצות מהוות כיסוי‪.‬‬
‫‪5⇒3‬‬
‫‪12‬‬
‫יש כיסוי של ‪ S n−1‬ע"י ‪ n + 1‬קבוצות סגורות ללא ‪ x, −x‬השייכות לאותה קבוצה‪ .‬ולו‬
‫היתה ‪ f‬המהווה דוגמא נגדית ל‪ 3‬אזי התמונות ההפוכות של הכיסוי הנ"ל היו נותנות דוגמא‬
‫נגדית ל ‪) 5‬מסתמכים על כך שתמונה הפוכה של קב' סגורה היא סגורה(‬
‫‪ 6 ⇒ 5‬נראה ש ‪: ¬5 ⇒ ¬6‬‬
‫כיסוי ע"י סגורות ללא ‪ x, −x‬השייכות לאותה קבוצה‪ ,‬פירושו שכל הקבוצות הסגורות‬
‫הן עם קוטר קטן ממש מ ‪ ,2‬כי בקבוצה סגורה הקוטר מתקבל )אנחנו במרחב קומפקטי(‪.‬‬
‫ולכן קיים ‪ α < 2‬כך שכל ‪ F1 , ..., Fn+1‬עם קוטר קטן ‪ .α‬אז אם נרפד אותן ב ‪ ε‬כך ש‬
‫‪ α + 2ε < 2‬נקבל קבוצות פתוחות עם קוטר קטן מ ‪ 2‬בסתירה ל ‪.6‬‬
‫לרפד הכוונה לבנות קבוצה פתוחה מכילה וקרובה בגודלה ע"י‪:‬‬
‫}‪Fi ⊆ Fi + ε = {x|d (x, Fi ) < ε‬‬
‫‪:5 ⇒ 6‬‬
‫בהנתן ‪ C1 , ..., Cn+1‬קב' פתוחות המכסות את ‪ ,S n‬ניצור ‪ F1 , ..., Fn+1‬המכסות את‬
‫‪ S n‬כך ש ‪. Fi ⊂ Ci‬‬
‫לכל ‪ x ∈ S n‬נבחר ‪ i‬כך ש ‪ x ∈ Ci‬ונבחר ‪ ε‬כך ש ‪ , Bε (x) ⊂ Ci‬זהו כדור סגור‪.‬‬
‫אוסף הכדורים הפתוחים המקבילים לזה הוא כיסוי‪ ,‬מקומפקטיות יש תת כיסוי סופי‪ ,‬נגדיר‬
‫כל ‪ Fi‬להיות אוסף הכדורים הסגורים המשוייכים ל ‪ .Ci‬האוסף הסופי הזה ‪F1 , ..., Fn+1‬‬
‫הוא האוסף המבוקש‪.‬‬
‫‪ 7‬־ תרגיל‪.‬‬
‫‪3.1‬‬
‫המשך בורסוק אולם‬
‫עד כה עבדנו בנורמה ‪ L2‬והתבוננו בכדור היחידה‪ ,‬מסתבר שיהיה נוח יותר להתבונן בכדור‬
‫היחידה ב ‪) L1‬בדו מימד זהו ריבוע שמונח על קודקודו(‪ ,‬אותו נסמן ע"י ‪ˆ 2‬‬
‫‪.B‬‬
‫נרצה להוכיח שאין ‪ f : B n → S n−1‬רציפה וקוטבית על השפה‪ ,‬ונעשה זאת בהתייחס‬
‫לנורמה ‪ ,L1‬כלומר שאין ˆ‬
‫‪ f ; Bˆn → S n−1‬כנ"ל‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.5‬הלמה של טאקר ־ יהי ‪ T‬שילוש של ‪ Bˆn‬סימטרי על השפה )כלומר מה שקורה‬
‫בפאה אחת קורה גם בפאה שמולה(‬
‫בדומה ללמה של שפרנר נגדיר צביעה של הנקודות בשילוש בצבעי הקודקודים‪ ,‬נבחין כי‬
‫במקרה דנן יש יותר קודקודים‪ ,‬למשל במקרה הדו ממדי יש ארבעה‪ ,‬ולכן קודקודי ‪ Bˆn‬הם‬
‫‪n‬‬
‫‪{±ei }i=1‬‬
‫תהי }‪λ : V (T ) → {±1, ..., ±n‬‬
‫כך ש ‪ λ‬קוטבית על השפה‪.‬‬
‫אזי יש צלע )חד מימדית בשילוש( שקודקודיה צבועים ב ‪ i‬ו ‪. −i‬‬
‫‪.‬‬
‫טענה ‪ 3.6‬בורסוק־אולם ⇐טאקר‬
‫הוכחה‪ :‬נניח שנתון שילוש וצביעה המפרים את הלמה של טאקר‪.‬‬
‫הצביעה מגדירה פונקציה מקודקודי השילוש לקודקודי ‪) Sˆn−1‬קודקודי ‪ˆ n‬‬
‫‪ .(B‬אם אין‬
‫צלע המסומנת ‪ +i, −i‬הרי התמונה של כל סימפלקס בשילוש תחת הצביעה‪ ,‬היא סימפלקס‬
‫)אולי ממימד נמוך יותר( על השפה של ‪ . Sˆn−1‬מדוע? כל תת קבוצה של }‪{±1, .., ±n‬‬
‫שאינה מכילה שני קודקודים נגדיים ־ מגדירה פאה בסימפלקס ממימד כלשהו‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫נרחיב זאת לינארית‪ ,‬כלומר נשלח כל קודקוד בשילוש לקודקוד של ‪ ,Sˆn−1‬ונרחיב‬
‫לינארית את זה להעתקה שסותרת את ‪ ,BU‬ע"י מתיחה של כל סימפלקס לפאה המתאימה‬
‫ב ‪.Sˆn−1‬‬
‫טענה ‪ 3.7‬טאקר ⇐בורסוק־אולם‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה קיום ˆ‬
‫‪ f : Bˆn → S n−1‬רציפה וקוטבית על השפה‪ f .‬רציפה במידה‬
‫שווה‪ ,‬ולכן קיים ‪ δ‬כך ש‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫< | ‪⇒ ∀i : |f (x)i − f (y)i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫< ∞))‪d (x, y) < δ ⇒ d (f (x) , f (y‬‬
‫אין בעיה עם דרישת הקרבה בנורמה ∞ כיוון שכל הנורמות ב ‪ Rn‬שקולות‪.‬‬
‫ניקח שילוש של ‪ Bˆn‬עם קוטר קטן מ ‪) δ‬למשל ־ נוסיף קודקוד ב ‪ ,0‬נחבר אליו את‬
‫כל תתי הקבוצות שאינן מכילות קוד' נגדיים מ }‪ {±1, ..., ±n‬ואז נמשיך באמצעות חלוקה‬
‫בריצנטרית(‪.‬‬
‫נגדיר צביעה של קודקודי השילוש בצבעים ‪ ±1, ..., ±n‬באמצעות ‪:f‬‬
‫בהנתן ‪ x‬־ נתבונן ב )‪ f (x‬ונצבע את ‪ x‬עפ"י הקוא' בעלת הערך המוחלט הגדול ביותר‪,‬‬
‫ומחליטים על דרך סטנדרטית לשבור תיקו‪ .‬למשל אם הקוא' ה ‪ 17‬היתה מקסימלית בערך‬
‫מוחלט ־ אם היא חיובית ניתן לקודקוד את הצבע ‪ 17‬ואחרת ־ את הערך ‪17‬־ ‪ .‬במילים‬
‫אחרות צבענו לפי הקודקוד של ‪ Bˆn‬שהכי קרוב ל )‪ f (x‬בנורמת אינסוף‪.‬‬
‫כמובן שצביעה זו היא קוטבית‪.‬‬
‫לפי טאקר קיימים שני קודקודים שכנים בשילוש כך שהם צבועים ב ‪ .+i, −i‬נניח‬
‫קודקודים אלו הם ‪ .x, y‬על פי הנחתנו ‪ d (x, y) < δ‬אבל )‪ f (x‬קרוב ל ‪ ei‬ו )‪ f (y‬קרוב‬
‫ל ‪ .−ei‬כמה קרוב? העובדה ש )‪ f (x‬הכי קרוב ל ‪ i‬משמעו שהקוא' ה ‪ i‬בו חיובית והכי‬
‫דומיננטית‪ .‬באופן דומה ־ הקוא' ה ‪ i‬ב ‪ y‬היא שלילית והכי דומיננטית‪ ,‬ולכן מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫> ∞|)‪|f (x) − f (y‬‬
‫בסתירה לרציפות במ"ש כפי שהנחנו‪.‬‬
‫‪ .‬הוכחה‪) :‬הלמה של טאקר(‬
‫נחלק את ‪ Bˆn‬ל ‪2n‬סימפלקסים ע"י הוספת קודקוד ב ‪ 0‬וחיבורו לכל תתי הקבוצות של‬
‫הקודקודים שאינן מכילות קודקודים נגדיים‪.‬‬
‫נוכיח את הלמה של טאקר לשילושים שמעדנים שילוש זה‪.‬‬
‫ע"מ להוכיח את בורסוק אולם ־ בחרנו בחלוקה שמכבדת עיקרון זה‪ ,‬ולכן אם נוכיח זאת‬
‫־ נוכיח את בורסוק אולם‪ ,‬ומהגרירה הראשונה נובעת מכך הלמה של טאקר עבור המקרה‬
‫הכללי‪.‬‬
‫בהנתן שילוש כנ"ל וצביעה קוטבית על השפה נגדיר גרף שיוכיח קיומה של צלע הצבועה‬
‫ב ‪.+i, −i‬‬
‫לכל סימפלקס ‪ σ‬בשילוש‪ ,‬נגדיר )‪ = Λ (σ‬הצבעים המופיעים על קודקודי ‪.σ‬‬
‫נגדיר גם )‪=S (σ‬לוקחים נקודה פנימית ב ‪ σ‬ורושמים עם סימן אילו קוא' אינן ‪) 0‬זה‬
‫מוגדר היטב(‪ .‬למשל עבור שילוש בשני מימדים ־ צלע שיושבת בדיוק על ציר ה ‪ y‬באיזור‬
‫השלילי תיתן ‪ −2‬ב ‪ ,S‬וסימפלקס דו מימדי כלשהו בתוך הסימפלקס הגדול‪ ,‬אם הוא ברביע‬
‫הימני העליון‪ ,‬יתן ‪ 1, 2‬למשל‪.‬‬
‫נאמר ש ‪ σ‬שמח אם ‪ ,S ⊆ Λ‬כלומר אם הקוא' בנקודות הפנימיות שאינן אפס‪ ,‬בתוספת‬
‫סימן‪ ,‬אכן באות לידי ביטוי בצבעים של קודקודי הסימפלקס‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫נבחין כי אם |)‪ k = |S (σ‬אז ‪ ,dim (σ) ≤ k‬כיוון שנובע שיש בו קוא' שאינן אפסות ב‬
‫‪ k‬מקומות‪ .‬אם הוא שמח אז |)‪ ,k ≤ |Λ (σ‬ואז לסימפלקס לפחות ‪ k‬תויות‪ ,‬ולכן הוא ‪k − 1‬‬
‫מימדי לפחות‪ ,‬כלומר ‪.dim (σ) ≥ k − 1‬‬
‫אם ‪ dim (σ) = k − 1‬ו )‪ ,Λ (σ) = S (σ‬נאמר ש ‪ σ‬שמח והדוק‪ ,‬כלומר בדיוק התויות‬
‫הדרושות כדי לשמח אותו מופיעות עליו‪ ,‬כל אחת ־ פעם אחת‪.‬‬
‫נשים לב ש ‪ σ‬שמח ועל השפה הוא גם הדוק‪ .‬וכן ־ }‪ {0‬הוא שמח ורופף )באופן ריק ־‬
‫כיוון שאין לו נקודה פנימית(‪.‬‬
‫קודקודי הגרף שנגדיר הם הסימפלקסים השמחים )מכל המימדים( ושני קודקודים‬
‫המתאימים ל ‪ σ‬ול ‪ τ‬הם שכנים אם אחד מהבאים מתקיים‪:‬‬
‫‪ σ .1‬ו ‪ τ‬הם אנטיפודליים על השפה‪.‬‬
‫‪ τ .2‬פאה של ‪ σ‬ותויות קודקודי ‪ τ‬מספיקות בכדי לשמח את ‪.σ‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫אם אין צלע בשילוש שמתוייגת ב ‪ +i, −i‬אזי בגרף הנ"ל כל הדרגות הן ‪ 2‬למעט דרגת‬
‫הקודקוד המתאים לסימפלקס }‪ {0‬שהיא ‪ ,1‬וזו סתירה‪ ,‬כי אין גרף שכזה‪.‬‬
‫דרגת הקודקוד המתאים ל }‪ {0‬היא ‪ 1‬־ קל‪ .‬הסימפלקס שמח באופן ברור‪ ,‬ויש צלע בינו‬
‫לבין צלע שנמצאת על אחד הצירים‪ ,‬המתאימה לתיוג של }‪ ,{0‬ורק היא קיימת עבור }‪.{0‬‬
‫קודקודים אחרים‪ :‬הדוק ושמח‬
‫‪ 1.1‬על השפה ־ ‪ 2‬שכנים‪ ,‬האחד ־ התאום הקוטבי לו‪ .‬השני ־ סימפלקס ממימד גבוה‬
‫יותר‪ ,‬שדורש אותן תויות בשביל להיות שמח‪.‬‬
‫‪ 1.2‬הדוק ושמח לא על השפה‪ :‬במקרה זה הוא פאה של ‪ 2‬סימפלקסים ממימד גבוה יותר‬
‫שאותם הוא משמח‪.‬‬
‫‪ 2.1‬שמח ורופף ־ )‪) S (σ) = Λ (σ‬יש תוית שמופיעה פעמיים( ולכן יש שתי פאות של ‪σ‬‬
‫המשמחות אותה ואלו שכניה היחידים‬
‫‪ 2.2‬שמח ורופף ־ )‪) S (σ) ( Λ (σ‬יש תוית שאין צורך בה( אז יש שני שכנים ־‬
‫שכן אחד הוא הפאה המתוייגת ע"י )‪ ,S (σ‬כמו כן נניח }‪ ,Λ (σ) \ S (σ) = {i‬ומכאן ש‬
‫∈ ‪) −i‬הנחנו שאין צלע של ‪ +i, −i‬וזה אומר ש ‪ σ‬חי בעל־מישור ‪ xi = 0‬ולכן‬
‫)‪/ S (σ) , Λ (σ‬‬
‫‪ σ‬פאה של סימפלקס ממימד גבוה יותר‪ ,‬נכנה אותו ∗ ‪ ,σ‬כך ש }‪ S (σ ∗ ) = S (σ) ∪ {i‬ולכן‬
‫‪ σ‬משמחת אותו ־ ויש צלע } ∗ ‪.{σ, σ‬‬
‫‪3.2‬‬
‫השערת קנסר )משפט לובס(‪:‬‬
‫גרף קנסר )‪ K (n, k‬כך ש ‪2k + 1 ≤ n‬‬
‫הקודקודים = ה ‪k‬־יות המוכלות ב ]‪ ,[n‬כלומר יש‬
‫‪ 2‬קודקודים שכנים אם"ם הקבוצות המתאימות זרות‪.‬‬
‫להלן )‪:K (5, 2‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪15‬‬
‫קודקודים‪.‬‬
‫)מתוך ויקיפדיה(‬
‫צביעה של גרף ב ‪ l‬צבעים היא‪:‬‬
‫}‪C : V (G) → {1, ..., l‬‬
‫כך ש ‪ i ∼ j‬אז )‪c (i) ̸= c (j‬‬
‫מספר הצביעה של ‪ G‬יסומן )‪ χ (G‬והוא ה ‪ l‬המינימלי כך שיש צביעה חוקית ב ‪ l‬צבעים‪.‬‬
‫אם ‪ G‬אינו טריוויאלי‪ ,‬אזי קל לראות ש ‪ χ (G) = 2‬אם"ם אין בו מעגלים באורך אי־זוגי‬
‫)כלומר הוא דו־צדדי(‪.‬‬
‫השאלה האם ‪ χ (G) ≥ 3‬באופן כללי היא ‪ N P‬קשה‪.‬‬
‫נוכל לצבוע ב ‪ 3‬צבעים את הגרף )‪ K (5, 2‬לעיל ע"י צביעת כל הזוגות המכילים את ‪1‬‬
‫בצהוב‪ ,‬כל הזוגות המכילים את ‪ 2‬וטרם נצבעו בכחול וכל השאר בירוק‪.‬‬
‫מדוע כשהגענו ל"כל השאר" הנחנו שיהיה בסדר‪ ,‬כי הבחנו שנותרה שלישיה‪ ,‬וכל שני‬
‫זוגות מתוכה יחתכו בהכרח ולכן אין שני זוגות מתוכה שיש ביניהם צלע‪.‬‬
‫זה מעלה אלגוריתם כללי לצביעת )‪ K (n, k‬ב ‪ n − 2k + 2‬צבעים ע"ׁי‪:‬‬
‫‪ .1‬על מי שמכיל את ‪n‬‬
‫‪ .2‬כל מי שמכיל את ‪n − 1‬‬
‫‪... .3‬‬
‫‪ n − 2k + 1‬כל מי שמכיל את ‪2k‬‬
‫ובצבע ‪ n − 2k + 2‬את כל השאר‪.‬‬
‫קנסר)‪ :(55‬האם ניתן לצבוע את )‪ K (n, k‬באופן חוקי ב ‪ n − 2k + 1‬צבעים?‬
‫‪ χ (K (n, k)) = n − 2k + 2‬או קטן יותר?‬
‫האם‬
‫משפט ‪ 3.8‬לובס)‪ (78‬אכן ‪ χ (K (n, k)) = n − 2k + 2‬תוך שימוש מהפכני בבורסוק אולם‪.‬‬
‫הוכחה‪) :‬גרין מ ‪(2002‬‬
‫נניח בשלילה צביעה של )‪ K (n, k‬ב ‪ n − 2k + 1 < n − 2k + 2‬צבעים‪ ,‬נגדיר = ‪d‬‬
‫‪ ,n − 2k + 1‬נמקם ‪ n‬נקודות על פני הספירה ‪ S d‬במצב כללי )כלומר אין ‪ d + 1‬מהן שחיות‬
‫ב ‪.(S d−1‬‬
‫‪16‬‬
‫נגדיר קבוצות פתוחות ש ‪ C1 , ..., Cd‬כך ש ‪ x ∈ Ci‬אם בחצי הספירה הפתוחה שמרכזה‬
‫ב ‪ x‬יש ‪k‬־יה שהקודקוד המתאים לה נצבע בצבע ‪ .i‬ברור ש ‪ Ci‬פתוחות‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫)‬
‫‪( d‬‬
‫∪‬
‫‪d‬‬
‫\ ‪F =S‬‬
‫‪Ci‬‬
‫‪i=1‬‬
‫סגורה‪.‬‬
‫מבורסוק אולם ־ קיים ‪ x, −x‬ששייכים ל ‪ Ci‬כלשהי )אפשרות א'( או ל ‪) F‬אפשרות ב'(‪.‬‬
‫א‪ .‬יש הפרדה בין שתי ‪k‬־יות בעלות אותו צבע‪ ,‬אבל הן זרות ולכן מתקבלת צלע בגרף‪,‬‬
‫בסתירה לצביעה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כיוון ש ‪ x‬וגם ‪ −x‬אינן באחת ה ‪Ci‬־ים‪ ,‬בהכרח בהמיספירה שמכילה כ"א מהן יש‬
‫לכל היותר ‪ k − 1‬איברים מתוך ה ‪ ,n‬כלומר כל שאר ה ‪ n − 2 (k − 1) = d + 1‬הנקודות‬
‫נמצאות על "קו המשווה" שבין ‪ x‬ל ‪ ,−x‬בסתירה להנחת המצב הכללי‪.‬‬
‫‪ 4‬עצים‬
‫עץ הוא גרף קשיר חסר מעגלים‬
‫משפט ‪ 4.1‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ .1‬קשיר חסר מעגלים‬
‫‪ .2‬קשיר מינימלי‬
‫‪ .3‬חסר מעגלים מקסימלי‬
‫‪ .4‬קשיר ו ‪) |V | = |E| + 1‬בגרף סופי(‬
‫‪ .5‬חסר מעגלים ו ‪)|V | = |E| + 1‬בגרף סופי(‬
‫‪ .6‬בין כל ‪ 2‬קודקודים יש מסילה פשוטה יחידה‪.‬‬
‫| ‪|V‬‬
‫נתבונן פעמים רבות על הצלעות בגרף כוקטורים בינאריים במרחב ‪ ,F2‬כאשר וקטור‬
‫צלע מקבל ‪ 1‬בשני המקומות המתאימים לקודקודים שהוא מחבר ביניהם‪ ,‬וזה מוכל בתת‬
‫מרחב ‪ W‬שמוגדר ע"י הוקטורים שהקוא' שלהן מסתכמות ל ‪.0‬‬
‫* אוסף של וקטורי צלע הוא פורש את ‪ W‬אם"ם הצלעות יוצרות גרף קשיר‬
‫* אוסף צלעות כנ"ל בת"ל אם"ם הגרף שנוצר על ידיהן הוא חסר מעגלים‬
‫הרעיון הזה מוכיח בעצם את כל השקילויות ונוכיח אותו בתרגיל הבית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח רק את ‪2 ⇒ 3‬‬
‫יהי ‪ G‬גרף קשיר מינימלי‪ ,‬תהי )‪ ,e ∈ E (G‬אם ‪ e‬שייכת למעגל הרי השמטתה לא תפגע‬
‫בקשירות‪ ,‬שהרי כל הילוך שישתמש ב ‪ e‬יוכל להשתמש בשאר המעגל‪.‬‬
‫בסתירה למינימליות‪ ,‬ולכן ‪ G‬חסר מעגלים‪.‬‬
‫∈ }‪ ,{x, y‬אזי מקשירות‬
‫נראה מקסימליות ביחס לתכונה זו ־ יהיו ‪ x, y ∈ V‬כך ש ‪/ E‬‬
‫יש מסילה פשוט מ ‪ x‬ל ‪) y‬שאיננה צלע( ואז הוספת הצלע }‪ {x, y‬יוצרת מעגל‪ ,‬ולכן הגרף‬
‫חסר מעגלים מקסימלי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.2‬עלה בעץ הוא קודקוד מדרגה ‪.1‬‬
‫טענה ‪ 4.3‬בכל עץ סופי עם צלע אחת לפחות יש עלה‬
‫‪17‬‬
‫הוכחה‪ :‬מתחילים מקודקוד שרירותי ולוקחים מסילה פשוטה באורך מקסימלי המתחילה‬
‫בקודקוד זה‪ .‬מסילה זו חייבת להסתיים בעלה‪ ,‬אחרת היה אפשר להמשיך‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.4‬בכל עץ סופי בעל צלע אחת לפחות יש לפחות שני עלים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬כמקודם‪ ,‬רק מתחילים בעלה שמובטח מההוכחה הקודמת‪.‬‬
‫‪ .‬הוכחה‪) :‬אלטרנטיבית‪ ,‬לקיום שני עלים( בעץ עם ‪ n‬קודקודים יש ‪ n − 1‬צלעות‪ ,‬ולכן סכומן‬
‫הוא ‪ .2n − 2‬מקשירות כל הדרגות הן חיוביות ממש‪ ,‬אבל לו היו ‪ 0‬או ‪ 1‬קודקודים מדרגה‬
‫‪ ,1‬אזי סכום הדרגות היה לפחות ‪ .2n − 1‬מכאן נובע שיש לפחות ‪ 2‬קודקודים מדרגה ‪,1‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫נתבונן בסדרת הדרגות של עץ על ‪ n‬קודקודים‪ ,‬נסמנה )‪.d (1) , d (2) , ..., d (n‬‬
‫יודעים כי‪:‬‬
‫∑‬
‫• ‪d (i) = 2n − 2‬‬
‫• לכל ‪ i‬מתקיים ש ‪d (i) > 0‬‬
‫שאלה‪ :‬בהנתן סדרה )‪ ,d (1) , ..., d (n‬כמה עצים יש על קבוצת הקודקודים ‪ 1, ..., n‬שזו‬
‫סדרת הדרגות שלהם? במקרה של )‪ (1, 3, 1, 1‬יש בדיוק עץ אחד‬
‫במקרה של )‪ (1, 2, 2, 1‬יש שני עצים‪ ,‬שניהם איזומורפים אבל שונים כעצים מסומנים‪.‬‬
‫התשובה‪nn−2 :‬‬
‫שאלה קשורה‪ :‬כמה עצים מסומנים שונים יש על קבוצת קודקודים?‬
‫הוכחה עם סדרות־דרגות )אפשר למצוא בספר של ליניאל ופרנס(‬
‫הוכחה שניה של פיטמן )‪ (pitman‬אפשר למצוא באינטרנט‪.‬‬
‫בהנתן סדרה ‪ d1 , ..., dn‬נסמן ב ‪ Td1 ,d2 ,...,n‬את מספר העצים עם סדרת דרגות זו‪ .‬אם‬
‫הסדרה היא באורך ‪ ,1‬אז ‪ d1 = 0‬ונקבל ‪.T0 = 1‬‬
‫אחרת ־ יש עץ עם לפחות צלע אחת ונוכל לפי המשפט הקודם לקבל שבעץ הזה יש עלה‪.‬‬
‫בה"כ נאמר שהעלה הזה מזוהה עם הקודקוד ה ‪n‬־י ולכן ‪.dn = 1‬‬
‫הסרת עלה והצלע המחוברת עליו שומרת על היות הגרף העץ‪ ,‬וכדי להבין איך נראה‬
‫שאר הגרף ־ נצטרך לדעת מיהו שכנו של ‪.n‬‬
‫נמיין את מספר הדרכים להשלים את העץ לפי "מיהו שכנו היחיד של ‪."?n‬‬
‫נקבל ‪:‬‬
‫‪Td1 ,d2 ,...,dn−1 ,1 = Td1 −1,d2 ,...,dn−1 Td1 ,d2 −1,...,dn−1 + ... + Td1 ,d2 ,...,dn−1 −1‬‬
‫זה מזכיר את נוסחת הנסיגה של המקדמים המולטינומיים‪.‬‬
‫() (‬
‫( )‬
‫)‬
‫‪m m − c1‬‬
‫‪m − c1 − c2 − ... − ck−1‬‬
‫!‪m‬‬
‫=‬
‫·‪·...‬‬
‫=‬
‫‪c1‬‬
‫‪c2‬‬
‫‪ck‬‬
‫! ‪c1 !c2 !...ck‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪m‬‬
‫‪c1 , c2 , c3 , ..., ck‬‬
‫וזהו מספר הדרכים לחלק ‪ m‬עצמים כך ש ‪ c1‬יצבעו בצבע ‪ c2 ,1‬יצבעו בצבע ‪ 2‬וכן הלאה‬
‫)וסכום ה ‪ ci‬הוא כל העצמים(‪.‬‬
‫אם אחד מה ‪ ci‬אינו שלם ואי שלילי‪ ,‬נגדיר את ערך המקדם המולטינומי להיות ‪.0‬‬
‫כמו כן אם סכום ה ‪ ci‬לא שווה ל ‪ m‬אז נגדיר אותו כ ‪.0‬‬
‫‪18‬‬
‫‪4.1‬‬
‫שלוש תכונות של המקדמים המולטינומיים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫!‪0‬‬
‫!‪0!0‬‬
‫‪.2‬‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫‪0, 0‬‬
‫=‪=1‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪m‬‬
‫‪c1 , c2 , ..., ck , 0‬‬
‫‪.3‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪m−1‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪+...+‬‬
‫‪c1 , c2 − 1, ..., ck‬‬
‫‪c1 , c2 , ..., ck − 1‬‬
‫)‬
‫=‬
‫( )‬
‫‪+‬‬
‫(‬
‫(‬
‫‪m‬‬
‫‪c1 , c2 , ..., ck‬‬
‫(‬
‫‪m−1‬‬
‫‪c1 − 1, c2 , ..., ck‬‬
‫)‬
‫=‬
‫(‬
‫‪m‬‬
‫‪c1 , c2 , ..., ck‬‬
‫)המקרה הכללי של זהות פסקל(‬
‫‪.4‬‬
‫)‬
‫‪xc11 xc22 · ... · xckk‬‬
‫‪m‬‬
‫‪c1 , ..., ck‬‬
‫( ∑‬
‫=‬
‫‪m‬‬
‫) ‪(x1 + x2 + ... + xk‬‬
‫‪c1 ,...,ck‬‬
‫ואם מציבים ‪ 1‬לכל המשתנים זה נותן‪:‬‬
‫)‬
‫‪m‬‬
‫‪c1 , ..., ck‬‬
‫(∑‬
‫= ‪km‬‬
‫וזה לא כל כך מפתיע‪ ,‬כי זה משקף את סך כל הדרכים לצבוע ‪ m‬חפצים ב ‪ k‬צבעים‬
‫באיזו דרך שנרצה‪.‬‬
‫שמים לב ש ‪ T‬מאד דומה למקדם המולטינומי ומגיעים לניחוש‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪n−2‬‬
‫= ‪Td1 ,d2 ,...,dn‬‬
‫‪d1 − 1, d2 − 1, ..., dn − 1‬‬
‫)‪(0‬‬
‫ומוכיחים באינדוקציה כאשר הבסיס הוא ‪T1,1 = 0,0 = 1‬‬
‫שלב המעבר‪:‬‬
‫(‬
‫( )‬
‫)‬
‫‪n−3‬‬
‫‪n−3‬‬
‫}‪Td1 ,d2 ,...,1 |{z‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ...‬‬
‫‪d1 − 2, d2 − 1, ..., dn−1 − 1‬‬
‫‪d1 − 1, d2 − 2, ..., dn−1 − 1‬‬
‫‪I.H.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪n−2‬‬
‫‪n−2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪d1 − 1, ..., dn−1 − 1 |{z} d1 − 1, ..., dn−1 − 1, dn − 1‬‬
‫‪dn =1‬‬
‫ולכן מספר העצים על ‪ n‬קודקודים מסומנים הוא‪:‬‬
‫)‬
‫( ∑‬
‫‪n−2‬‬
‫‪= nn−2‬‬
‫‪d1 − 1, ..., dn − 1‬‬
‫‪d1 ,...,dn‬‬
‫עץ הוא קשיר חסר מעגלים‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪multinom‬‬
‫= ‪Td1 ,...,dn‬‬
‫∑‬
‫‪d1 ,...,dn‬‬
‫הגדרה ‪ 4.5‬יער = גרף חסר מעגלים כלשהו‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.6‬עץ משורש ־ עץ עם קודקוד מיוחס‬
‫נתבונן ביער של עצים משורשים‪.‬‬
‫אם ‪ C‬הוא מספר העצים על ‪ n‬קודקודים מסומנים‪ ,‬הרי מספר העצים המשורשים על ‪n‬‬
‫קודקודים מסומנים הוא ‪.n · C‬‬
‫הגדרה ‪ 4.7‬גיזום ‪ :‬לוקחים עץ משורש‪ ,‬מסירים צלע }‪ ,{x, y‬אחרי ההחסרה מקבלים ‪ 2‬עצים‪,‬‬
‫בה"כ ‪ x‬שייך לרכיב הקשירות של השורש‪ ,‬ונכריז על השורש הקודם כשורש רכיב הקשירות‬
‫של ‪ x‬ועל ‪ y‬כעל שורש רכיב הקשירות של ‪ ⇐ y‬קיבלנו שני עצים משורשים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.8‬בהנתן ‪ 2‬עצים משורשים ‪ T1‬ו ‪ ,T2‬בוחרים קודקוד ב ‪ ,T1‬מחברים בצלע לשורש‬
‫של ‪ T2‬ומכריזים על השורש של ‪ T1‬כעל שורש העץ החדש שנוצר‪) .‬זו הפעולה ההפוכה‬
‫לגיזום(‬
‫פיטמן בנה ארבוריטום )מוזיאון של עצים(‪:‬‬
‫הארבוריטום מסודר בשכבות‪ ,‬נכנה אותן ‪ 1, 2, 3, ..., n‬כאשר בשכבה ה ‪ k‬יש חלקות‪,‬‬
‫ובכל חלקה יער עם ‪ k‬עצים משורשים על הקודקודים ‪ ,1, .., n‬והארבוריטום ממצה‪.‬‬
‫חלקות ברמה ה ‪ k‬מחוברות לחלקות ברמה ה ‪ k + 1‬אם היער ברמה ה ‪ k + 1‬התקבל‬
‫מזה שברמה ה ‪ k‬ע"י גיזום‪.‬‬
‫בשכבה הראשונה יש עץ אחד בחלקה‪ ,‬ולו ‪ n − 1‬צלעות‬
‫בשכבה השניה יש שני עצים ומספר הצלעות הכולל הוא ‪n − 2‬‬
‫וכך הלאה‪ ,‬בשכבה ה ‪ n‬יש ‪ n‬עצים בחלקה‪ ,‬ובסך הכל ‪ 0‬צלעות )יש רק יער אחד שכזה(‬
‫נספור עבור כל שכבה ־ כמה שבילים יש כדי להגיע שכבה אחת למטה יותר )כלומר‬
‫מהשכבה ה ‪ k‬לשכבה ה ‪ (k + 1‬־‬
‫מהשכבה ה ‪n‬־ית עצמה יש שביל אחד למטה‪ ,‬ומהשכבה הראשונה יש ‪ n − 1‬שבילים‬
‫לשניה‪ ,‬מהשכבה השניה לשלישית ‪ n − 2‬וכן הלאה‪.‬‬
‫כמה שבילים יש למעלה?‬
‫מהשכבה הראשונה יש דרך ‪.1‬‬
‫מהשכבה השניה יש ‪ n‬דרכים לעלות‪ ,‬כי יש ‪ n‬אפשרויות על מי להרכיב ואחר כך ‪k − 1‬‬
‫אפשרויות מי להרכיב עליו‪ .‬מאותו נימוק יש ‪ n · 2‬דרכים לעלות מהשכבה השלישית לשניה‬
‫וכן הלאה‪.‬‬
‫מספר השבילים מהרמה ה ‪ 1‬לרמה ה ‪ n‬הוא = ‪1 · n · (n − 1) · n · (n − 2) · ... · n · 1‬‬
‫!)‪ . nn−1 (n − 1‬כמו כן אם בוחרים נק' התחלה אפשר לקבל !)‪ C · n · (n − 1‬והמספרים‬
‫שווים ולכן‬
‫‪C = nn−2‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ 4.2‬משפט על עצים ומטריצות ‪Matrix Tree Theorem‬‬
‫מתוך רשימות הרצאה של ‪Babai‬‬
‫מולטי גרף מכוון )ללא לולאות(‪.‬‬
‫בהנתן מולטי גרף מכוון ‪ G‬וקודקוד מיוחס ‪ ,x‬ניתן להתבונן בתת גרפים של ‪ G‬בהם‬
‫דרגת היציאה של כל קודקוד למעט ‪ x‬היא ‪ ,1‬ודרגת היציאה של ‪ x‬היא ‪.0‬‬
‫תת גרף כזה נקרא תת גרף פונקציונלי = מייצג פונקציה מ }‪ V (G) \ {x‬ל )‪ ,V (G‬וניתן‬
‫לשאול גם כמה תת גרפים פונקציונלים מהוים עץ )עם ‪ x‬כשורש(‪.‬‬
‫דוגמא אם מחליפים כל צלע ב ‪) Kn‬גרף שלם על ‪ (n‬בזוג צלעות מכוונות )הלוך ושוב(‬
‫ובוחרים קדקוד כלשהו‪ ,‬אזי מספר העצים הפונקציונליים ביחס לקודקוד זה‪ ,‬הוא בדיוק‬
‫מספר העצים הלא־מכוונים‪ ,‬אם נבנה מטריצת שכנויות עבור העץ שעל האלכסון יהיו דרגות‬
‫היציאה ובתאים האחרים נרשום את מספר הצלעות מ ‪ i‬ל ‪ j‬בסימן שלילי‪ .‬הטענה היא שאם‬
‫נבחר תא המתאים לקודקוד כלשהו‪ ,‬נמחק את השורה והעמודה שלו וניקח דטרמיננטה של‬
‫המטריצה שנותרה ־ נקבל מספר העצים הפונקציונלים ביחס לקודקוד שמחקנו‪.‬‬
‫קיילי⇒ ‪M T T‬‬
‫דטרמיננטה היא מכפלת הערכים העצמיים‪ n .‬הוא ערך עצמי בריבוי ‪ ,n − 2‬העקבה‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (trace‬היא )‪ (n − 1‬והיא גם סכום הערכים העצמיים ולכן זה יוצא ‪ (n − 2) · n + λ‬ולכן‬
‫‪n−2‬‬
‫‪.n‬‬
‫‪ λ = 1‬ומכפלת הערכים העצמיים היא‬
‫בהנתן תמורה ‪ π ∈ Sn‬ניתן לכתוב את ‪ π‬כמכפלה של מחזורים זרים ‪π = τ1 · τ2 · ... · τk‬‬
‫למשל )‪ π = (123) (4765) (89‬וכתיבה זו היא יחידה עד כדי שינוי סדר‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.9‬בהנתן מולטיגרף מכוון ‪ ,G‬הלפלסיאן של ‪ G‬היא מטריצה ששורותיה ועמודותיה‬
‫מאונדקסות ע"י קודקודי ‪ ,G‬כך ש )‪ Lii = outdeg (i‬ו )|‪i ̸= j : Lij = − (|edges f rom i to j‬‬
‫משפט ‪ (MTT) 4.10‬בהנתן ‪ G‬כנ"ל וקודקוד ‪ ,x‬מספר התת־גרפים הפונקציונליים ביחס ל‬
‫‪ x‬שהם עצים )בגרפים לא מכוונים( הוא הדטרמיננטה של המטריצה )‪ =M (x‬המתקבלת‬
‫ממחיקת השורה והעמודה המתאימות ל ‪.x‬‬
‫למה ‪ 4.11‬בהנתן מחזורים }‪ τ1 , τ2 , ..., τk ∈ Sn\{x‬ניתן לשאול כמה תתי גרפים פונקציונלים‬
‫ביחס ל ‪ x‬יש ל ‪ G‬בהם מופיעים המחזורים ‪ τ1 , ..., τk‬למשל המחזור )‪(123‬מופיע בתת גרף‪,‬‬
‫אם יש מעגל ‪.1 → 2 → 3 → 1‬‬
‫אם המחזורים אינם זרים ־ התשובה היא ‪ ,0‬שכן אין אנו מרשים שדרגת היציאה של‬
‫קודקוד תהיה גדולה מ ‪.1‬‬
‫אם ‪ τ1 , ..., τk‬זרים‪ ,‬נגדיר ‪ π = τ1 · τ2 · ... · τk‬ו ‪ M = Mx‬הלפלסיאן המצומצם‪ ,‬אזי‬
‫התשובה היא‪:‬‬
‫∏‬
‫‬
‫ )‪Mi,π(i‬‬
‫הוכחה‪ :‬ספירה פשוטה ־ שכן בכל מעגל על ‪ 1, 2, 3‬למשל‪ ,‬צריך לבחור אחת מבין הצלעות‬
‫בין ‪ 1‬ל ‪ ,2‬אחת מבין הצלעות מ ‪ 2‬ל ‪ 3‬ואחת מבין הצלעות מ ‪ 3‬ל ‪ .1‬מכפלת המספרים הללו‬
‫תיתן את מספר המעגלים האלו‪.‬‬
‫תזכורת‪ :‬אם ) ‪ τ = (i1 , ..., ik‬אזי‬
‫‪∏k‬‬
‫) ‪Sgn (π) = i=1 Sgn (τi‬‬
‫‪k+1‬‬
‫)‪ Sgn (τ ) = (−1‬ואם ‪ π = τ1 · τ2 · ... · τk‬אז‬
‫‪21‬‬
‫למה ‪ 4.12‬אם ‪ π = τ1 · τ2 · ... · τk‬מכפלת מחזורים זרים‪ ,‬אזי‪:‬‬
‫∏‬
‫)‪Sgn (π‬‬
‫‪Mi,π(i) > 0‬‬
‫אם"ם ‪ k‬זוגי )אם זה אינו ‪(0‬‬
‫ובמילים אחרות ־ אם זה אינו ‪ 0‬אז זה קטן מ ‪ 0‬אם"ם ‪ k‬אי־זוגי‬
‫הוכחה‪ :‬בדיקה‪.‬‬
‫אם נקבע את ‪ x‬ונסמן ב ) ‪ G (τ1 , ..., τk‬את מספר התת־גרפים הפונקציונלים ביחס ל‬
‫‪ ,x‬המכילים את המחזורים ‪ ,τ1 , ..., τk‬הרי מנוסחת ההכלה וההדחה מספר העצים בהם אנו‬
‫מתעניינים‪:‬‬
‫‪G (∅) − G (τ1 ) − G (τ2 ) − ... + G (τ1 , τ2 ) + ...‬‬
‫כיוון שזה מספר הגרפים שאינם מכילים אף מחזור )כלומר שום מעגל(‪.‬‬
‫ומכיוון שסימן התמורה הוא בדיוק שלילי כאשר מספר המחזורים הזרים זוגי ־ זה מתלכד‬
‫עם הביטוי של הדטרמיננטה‪:‬‬
‫∏‬
‫∑‬
‫)‪Sgn (π‬‬
‫)‪Mi,π(i‬‬
‫}‪π∈Sn\{x‬‬
‫‪5‬‬
‫זיווגים וזרימות‬
‫בהנתן גרף דו צדדי )‪) G = (M, W, E‬גברים‪ ,‬נשים‪ ,‬הכרויות(‬
‫מחפשים זיווג ממצה של ‪ W‬הוא אוסף צלעות זרות )בקודקודים( המכיל את כל קודקודי‬
‫‪.W‬‬
‫הגדרה ‪ 5.1‬תנאי הול‪ :‬לכל ‪ , W ′ ⊆ W‬אם ) ‪ Γ (W ′‬היא קבוצת השכנים של קודקודי ‪,W ′‬‬
‫אזי |) ‪|W ′ | ≤ |Γ (W ′‬‬
‫משפט ‪) 5.2‬הול( בגרף דו צדדי סופי‪ ,‬קיום תנאי הול )עבור הנשים( הוא תנאי מספיק והכרחי‬
‫לקיום זיווג ממצה ל ‪.W‬‬
‫נראה שהלמה של שפרנר גוררת את משפט הול ־ הוכחה של אהרוני והאקסל‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.3‬לגבי שילושים‪:‬‬
‫שילוש הוא היררכי‪ :‬אם ‪ x, y‬קודקודים בשילוש‪ ,‬שכנים בשלד החד מימדי שלו )‪ x‬ו ‪y‬‬
‫קודקודים של אותו סימפלקס בשילוש( אזי דורשים ש )‪ S (x) ⊆ Sp (y‬או )‪.S (y) ⊆ S (x‬‬
‫כאשר )‪ S (z‬היא הפאה הקטנה ביותר של הסימפלקס הגדול המכילה את ‪ .z‬למשל השילוש‬
‫הבריצנטרי הוא היררכי‪.‬‬
‫חסכוני‪ :‬אם )‪ S (z‬הוא ממימד ‪ k‬אזי ל ‪ z‬יש לכל היותר ‪ k‬שכנים על השפה של הפאה‬
‫לה הוא שייך‪.‬‬
‫למה אותה לא נוכיח ־ קיים שילוש היררכי חסכוני של של הסימפלקס בכל מימד‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ G‬גרף דו צדדי כנ"ל‪ .‬לכל קבוצת נשים ‪X ⊆ W‬נבחר |‪ |X‬צלעות כך שכל צלע‬
‫היא עם קצה אחד ב ‪ ,X‬וכך שפוגעים ב |‪ |X‬גברים‪ .‬נסמן את אוסף הצלעות הנ"ל ב ‪,EX‬‬
‫זה אפשרי מתנאי הול‪ .‬נשים לב שלא דורשים עקביות בין ‪ EX‬ו ‪ EY‬כאשר ‪.X ⊆ Y‬‬
‫נניח ש | ‪ ,k = |W‬ניקח את הסימפלקס ה ‪ k − 1‬מימדי )שמספר קודקודיו כמספר‬
‫הנשים( וניקח שילוש היררכי חסכוני שלו‪.‬‬
‫נסמן כל קודקוד בשילוש בצלע לפי ‪ 2‬התנאים הבאים )בוחרים התאמה בין קודקודי‬
‫הסימפלקס הגדול לנשים(‪:‬‬
‫א‪ .‬אם )‪ supp (x‬נפרש ע"י קבוצת קודקודים שמתאימה ל ‪ ,X ⊆ W‬אז נסמן את ‪ x‬ע"י‬
‫צלע כלשהי מתוך ‪.EX‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ x ∼ y‬אז נדרוש שהצלעות שבהן נסמן את ‪ x‬ו ‪ y‬לא נחתכות בדיוק בגבר אחד‪.‬‬
‫כלומר ־ מותר ששני קודקודים שמתאימים לשתי נשים ־ לעולם לא נתאים להם שתי צלעות‬
‫אשר שתיהן הולכות לאותו גבר‪.‬‬
‫כיצד יוצרים סימון כזה?‬
‫אינדוקטיבית‪:‬‬
‫נניח שסימנו כבר קודקודים שהתומך שלהם ‪ k − 1‬מימדי‪ ,‬אזי בהנתן קודקוד ‪ x‬כך ש‬
‫))‪ k = dim (supp (x‬אז ל ‪ x‬יש לכל היותר ‪ k‬שכנים שכבר סומנו‪ .‬אבל ניתן לבחור עבורו‬
‫צלע מקבוצה של ‪ k + 1‬צלעות‪ .‬לכן יש גבר חופשי בקבוצה זו‪.‬‬
‫אם ‪ ,x ∼ y‬נסמן ‪ supp (x) = X‬ו ‪.supp (y) = Y‬‬
‫יש שתי אפשרויות ־ אם ‪ Y ⊆ X‬אז קבוצת הקודקודים מהסוג הזה מונה לכל היותר ‪k‬‬
‫קודקודים‪ ,‬מכאן שיש ב ‪ Ex‬גבר פנוי ־ כלומר צלע פנויה שאפשר להשתמש בה‪.‬‬
‫אם ‪ X = Y‬אז ‪ EX = EY‬ואין זוג צלעות שהולכות לאותו גבר‪ ,‬ולכן אפשר לבחור‬
‫התאמה כנ"ל‪.‬‬
‫כעת נצבע כל קודקוד לפי האישה שעל הצלע המסמנת אותו‪ ,‬זוהי צביעת שפרנר‪ ,‬לכן‬
‫יש סימפלקס רב צבעי‪ ,‬כלומר סימפלקס שכל הנשים מופיעות עליו‪ ,‬והצלעות שסימנו את‬
‫קודקודי סימפלקס זה מהוות זיווג‪ ,‬כי כל הקודקודים בסימפלקס הם שכנים‪ ,‬ולא איפשרנו‬
‫ששתי שכנות ילכו לאותו גבר בהתאמה שבנינו‪ ,‬ומכאן שזהו זיווג מושלם‪.‬‬
‫‪5.0.1‬‬
‫המקרה האינסופי‬
‫נסמן ב )‪ Γ (X‬את קבוצת שכני ‪.X‬‬
‫יהי )‪ G = (W, M, E‬גרף דו צדדי כך ש ∞ = | ‪ |W‬ולכל תת קבוצה סופית של נשים ־‬
‫מתקיים‬
‫|‪|Γ (X)| ≥ |X‬‬
‫אזי נאמר שתנאי הול מתקיים לנשים‪.‬‬
‫ברור שתנאי הול הוא תנאי הכרחי לקיום זיווג ממצה ל ‪ ,W‬נשאלת השאלה האם הוא‬
‫גם תנאי מספיק?‬
‫מסתבר שלא‪.‬‬
‫למשל אם שתי הקבוצות הן הטבעיים‪ ,‬אישה ‪ 2‬מכירה את גבר ‪ ,1‬אישה ‪ 3‬מכירה את‬
‫גבר ‪ 2‬וכן הלאה‪ ...‬ואישה מספר ‪ 1‬מכירה את כולם‪ .‬נובע שאין זיווג כי אישה מספר ‪ 1‬תמיד‬
‫תגנוב למישהי אחרת את בן הזוג‪ .‬כלומר דווקא העובדה שיש קודקוד מדרגה אינסופית ־‬
‫עשויה להפריע לזיווג‪.‬‬
‫אם נוסיף את התנאי שכל הדרגות של קודקודי ‪ W‬תהיינה סופיות‪ ,‬אזי תנאי הול הוא‬
‫גם מספיק‪.‬‬
‫)לא צריך שיהיה חסם על הדרגות‪ ,‬מספיק שכל אחת תהיה סופית(‬
‫‪23‬‬
‫המקרה הבן־מניה נוכיח זאת עבור המקרה הבן־מניה‪.‬‬
‫נתחיל בהוכחה שגויה‪:‬‬
‫נסתכל בגרף הסופי הנפרש ע"י האישה הראשונה ־ נמצא זיווג לפי משפט הול‪.‬‬
‫נסתכל בגרף הסופי הנפרש ע"י שתי הנשים הראשונות ־ "‬
‫נסתכל בגרף הנפרש ע"י ‪ k‬הנשים הראשונות ־ "‬
‫‪...‬‬
‫זו כמובן לא הוכחה לטענה המבוקשת אלא רק לכך שלכל תת גרף המושרה מקבוצת‬
‫נשים סופית ־ יהיה זיווג סופי‪ ,‬אבל זה טריוויאלי בעצם‪ ,‬וגם להפעיל את הרעיון הזה על‬
‫הדוגמה הנגדית שניתנה לעיל עם הטבעיים‪ ,‬וברור שזה לא יעבוד‪.‬‬
‫נעבור להוכחה נכונה‪ :‬הוכחה‪ :‬ממשפט הול למקרה הסופי ניתן לבנות סדרת זיווגים‬
‫‪) M10 , M20 , M30 , ...‬כמו בהוכחה השגויה‪ ,‬עבור האישה הראשונה‪ ,‬שתי הנשים הראשונות‬
‫וכו'( כאשר ‪ Mi0‬זיווג של ‪ i‬הנשים הראשונות‪.‬‬
‫היות (שהדרגה של ‪ w1‬היא סופית ־ יש גבר שנסמנו ‪ m1‬המופיע ב ∞ מהזיווגים בסדרה‬
‫∞)‬
‫‪ Mn0 n=1‬בתור בן הזוג של ‪ .w1‬כעת נעבור לתת סדר אינסופית )!( של כל הזיווגים בהם‬
‫‪ w1‬משודכת ל ‪ .m1‬ונסמן סדרה זאת ע"י‪:‬‬
‫‪M11 , M21 , M31 , ...‬‬
‫ולכן בזיווג ‪ Mi1‬משודכות לפחות ‪ i‬נשים ו ‪ w1‬משודכת ל ‪ .m1‬היות של ‪ w2‬מספר סופי‬
‫תמיד ‪ m2‬משודך ל‬
‫של מכרים ־ נעבור לתת סדרה של הסדרה האינסופית לעיל אשר∞)‬
‫בה (‬
‫‪ w2‬וכן הלאה‪ ...‬לאשה ‪ wi‬נשדך את הגבר המשודך לה בסדרה ‪. Mni n=1‬‬
‫וכעת יש לנו אלגוריתם לומר לאישה ה ‪ i‬למי היא משודכת‪ ,‬ולכן סיימנו את השידוך‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.4‬באמצעות משפט טיכונוף נוכיח את המקרה הכללי‪ .‬לכל אישה נתבונן בקבוצת‬
‫הגברים המוכרת לה‪ ,‬וזאת תהיה טופולוגיה דיסקרטית בה כל קבוצה היא פתוחה וסגורה‪.‬‬
‫נתבונן במכפלה הקרטזית של קבוצות המכרים של כל הנשים‪ .‬טופ' דיסקרטית על קבוצה‬
‫סופית היא קומפקטית ולכן ממשפט טיכונוף ־ המכפלה קומפקטית אף היא‪ .‬נקודה במרחב‬
‫הזה היא סדרה של גברים‪ ,‬שכל גבר בקוא' ה ‪ i‬מתאים לאישה ה ‪ .i‬נתבונן בבסיס לטופ'‬
‫המכפלה‪ ,‬בה בכל קבוצה יש גבר אחד במס' סופי של קוא'‪ .‬מקומפקטיות ־ חותכים את כל‬
‫איברי הבסיס ומקבלים זיווג‪.‬‬
‫)בערך‪ ,‬לא עקבתי אחרי הכל וזה היה די בריפרוף(‬
‫‪ 5.1‬הול ⇐ משפט בירקהוף ־ פון נוימן‬
‫הגדרה ‪ 5.5‬מטריצה ריבועית תיקרא מטריצת פרמוטציה אם איבריה הם ‪ 0‬ו ‪ 1‬כאשר יש‬
‫‪ 1‬בודד בכל עמודה ובכל שורה )כלומר זו תמורה של עמודות מטריצת היחידה(‪ ,‬וקבוצת‬
‫מטריצות הפרמוטציה היא הצגה של החבורה הסימטרית‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.6‬מטריצה ריבועית תיקרא דו סטוכסטית אם איבריה ממשיים אי־שליליים וסכום‬
‫מטריצות פרמוטציה הן מטריצות דו־סטוכסטיות(‬
‫הוא ‪) .1‬בפרט ‪‬‬
‫כל שורה ועמודה ‪‬‬
‫דוגמא נוספת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪24‬‬
‫מסתבר שאוסף המטריצות הדו־סטוכסטיות הוא קבוצה קמורה‪ ,‬ולמעשה זהו פאון שפאותיו‬
‫הן מטריצות הפרמוטציה )וזהו המשפט שנוכיח(‪.‬‬
‫משפט ‪ 5.7‬בירקהוף ־ פון נוימן‪.‬‬
‫הפרמוטציה‬
‫המטריצות הדו־סטוכסטיות הן הקמור של מטריצות‬
‫למה ‪ 5.8‬במטריצה דו־סטוכסטית קיים אלכסון מוכלל עליו כל האיברים חיוביים‪) .‬קיימת‬
‫‪ σ ∈ Sn‬כך שלכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬מתקיים )‪(0 < Mi,σ(i‬‬
‫הוכחה‪ :‬מחפשים זיווג בין השורות לעמודות‪ ,‬כאשר מותר לזווג שורה ‪ i‬לעמודה ‪ j‬אם‬
‫‪.0 < Mi,j‬‬
‫בהנתן מטריצה ־ נבנה גרף דו"צ ונראה שתנאי הול מתקיים‪.‬‬
‫נתבונן בקבוצת שורות )=נשים( ונניח בשלילה שמספר העמודות שהשורות הללו מכירות‬
‫הוא קטן ממספר השורות‪ .‬בה"כ נניח שאלו השורות הראשונות ושהעמודות שהן מכירות‬
‫הן העמודות הראשונות‪ ,‬אזי נקבל ‪ k‬שורות ראשונות שמכירות את ‪ m‬העמודות הראשונות‬
‫‪ ,m < k‬מכאן שב ‪ k‬השורות הראשונות‪ ,‬מעבר לעמודה ה ‪ m‬יש רק אפסים‪ ,‬ומכיוון‬
‫שהמטריצה דו־סטוכסטית‪ ,‬הסכום בכל שורה הוא ‪ 1‬ולכן סכום ‪ k‬השורות הראשונות הוא‬
‫‪k‬‬
‫‪ ,k‬ולכן הסכום הממוצע בכל עמודה הוא ‪> 1‬‬
‫‪ m‬ולכן יש עמודה שהסכום ב ‪ m‬השורות‬
‫הראשונות שלה גדול מ‪ ,1‬ובפרט סכומה הכולל גדול מ ‪ 1‬בסתירה לדו־סטוכסטיות‪.‬‬
‫זרימה בגרפים‬
‫‪6‬‬
‫‪6.1‬‬
‫משפט השטף והחתך )‪(Ford-Fulkerson 56', Min cut-Max ow‬‬
‫)‪ G = (V, E‬יש שני קודקודים מיוחסים ‪ s = source‬המקור‪ ,‬ו ‪ t = target‬הבור‪/‬יעד‪.‬‬
‫תהי ‪ C‬פונקציית קיבולת ‪ ,C : V 2 → R≥0‬הקיבולת של אי־צלע היא ‪.0‬‬
‫תהי ‪ f‬פונקציית זרימה על הגרף ‪:‬‬
‫‪f :V2 →R‬‬
‫∑‬
‫כאשר נסמן )‪ F (X, Y ) := x∈X,y∈Y f (x, y‬וכן ) ‪F (x, Y ) := F ({x} , Y‬‬
‫פונקציית זרימה חוקית תקיים שלוש אקסיומות‪:‬‬
‫‪ f (x, y) = −f (y, x) .1‬לכל ‪) x, y ∈ V‬תסומן ‪(F 1‬‬
‫∈ ‪) x‬כלומר מה שנכנס לקודקוד שאינו המקור או הבור ־‬
‫‪ F (x, V ) = 0 .2‬לכל }‪/ {s, t‬‬
‫גם יוצא ממנו‪ ,‬אקסיומה זו תסומן ‪(F 2‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ x, y‬מתקיים )‪) f (x, y) ≥ C (x, y‬תסומן ‪(F 3‬‬
‫⨿‬
‫}‪ V = |{z‬ונתעניין‬
‫‪S‬‬
‫נתעניין בחתכי ‪ ,s, t‬כלומר בחלוקת הגרף בדרכים שונות ל ‪S‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫∈‪t‬‬
‫)‬
‫(‬
‫בקיבולת של חתכים שכאלו‪ ,‬כלומר ב ‪.C S, S‬‬
‫נבחין כי הזרימה מוגבלת ע"י הקיבולת המינימלית של חתך כלשהו‪ ,‬שכן זו מהווה צוואר‬
‫בקבוק בדרך מ ‪ s‬ל ‪.t‬‬
‫∈‪s‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫למה ‪ 6.1‬לכל חתך ‪ S, S‬חתך ‪ s, t‬־ מתקיים | ‪F S, S = F (s, V ) := |f‬‬
‫‪25‬‬
‫הוכחה‪f (x, V ) +f (s, V ) :‬‬
‫}‬
‫‪{z‬‬
‫∑‬
‫‪s̸=x∈S‬‬
‫|‬
‫= )‪F (S, V ) − F (S, S‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪=0 by F 2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫מאקסיומה ‪ 3‬לכל חתך ‪ S, S‬מתקיים‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪|f | = F S, S ≤ C S, S‬‬
‫ולכן‬
‫)‬
‫(‬
‫‪|f | ≤ min C S, S‬‬
‫‪all cuts‬‬
‫(‬
‫)‬
‫משפט ‪ 6.2‬השטף והחתך ־ קיימת זרימה ‪ f‬כך ש ‪|f | = minS C S, S‬‬
‫אם כל הקיבולות הן מספרים שלמים‪ ,‬אזי קיימת זרימה מקסימלית שגם בה כל ערכי הזרימה‬
‫שלמים‪ .‬הוכחה‪ :‬אפשר להוכיח את משפט הול באמצעות משפט השטף והחתך אם בצידו‬
‫האחד של הגרף נוסיף קודקוד מקור שמזרים בקיבולת ‪ 1‬לכל הנשים‪ .‬ובצידו השני בור‬
‫שמקבל בקיבולת ‪ 1‬מכל הגברים‪ .‬נשים קיבולת ‪ 1‬לכל צלע מאישה לגבר ו ‪ 0‬לצלעות מגברים‬
‫לנשים‪.‬‬
‫נניח שהגרף מקיים תנאי הול‪ ,‬ממשפט השטף והחתך המחוזק ־ נראה כי יש זרימה שלמה‬
‫בעלת ערך ‪) n‬שכן החתך ) ‪ (s ∪ W, t ∪ M‬הוא בקיבולת ‪ n‬מתנאי הול(‪ .‬זה יגדיר זיווג‬
‫מושלם‪.‬‬
‫כי אכן(חתך מינימלי הוא בגודל ‪ n‬בגרף זה‪.‬‬
‫נראה‬
‫)‬
‫בהנתן ‪ , S, S‬ניתן להעביר מ ‪ S‬ל ‪ S‬כל גבר המכיר אשה ב ‪ S‬מבלי להגדיל את קיבולת‬
‫החתך‪ ,‬ולכן יש חתך מינימלי הנראה כך‪:‬‬
‫עבור חתך כזה‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪C S, S = n − |X| + |Γ (X)| ≥ n‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪edges f rom s to W \X‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ .‬הוכחה‪) M CM F :‬השטף והחתך( ־ תהי ‪ f‬זרימה מקסימלית‪ ,‬נמצא חתך ‪S, S‬‬
‫שקיבולתו | ‪.|f‬‬
‫‪26‬‬
‫למה יש זרימה מקסימלית? הערך | ‪ |f‬חסום‪ ,‬אם | ‪ v = supf legal f low |f‬אז יש‬
‫‪ f1 , f2 , ..., fn , ...‬כך ש ‪ |fn | → v‬ולכן לכל אחת מהצלעות יש תת סדרה שעליה הסדרה‬
‫הנ"ל מתכנסת‪ .‬לכן קיימת תת סדרה מתכנסת על כל צלע ־ ניקח את הגבול שלה בכל צלע‬
‫וזה יגדיר לנו פונקצית זרימה‪.‬‬
‫אחרי שהשתכנענו שאכן קיימת זרימה מקסימלית ־ נבנה את ‪ S‬באופן אינדוקטיבי‪.‬‬
‫יהי ‪{s} = S‬‬
‫נפעל באלגוריתם הבא‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ x ∈ S‬ו ‪ y ∈ S‬והתנאי הבא מתקיים ־ העבר את ‪ y‬ל ‪:S‬‬
‫‪) C (x, y) − f (x, y) > 0‬כלומר ‪ f‬אינה מנצלת את הצלע במלואה(‬
‫‪ .2‬חזור לשלב הקודם‬
‫∈ ‪ ,t‬אחרת ־ יש מסלול = ‪s = x1 , x2 , ..., xm−1 , xm‬‬
‫ראשית נראה שכאשר מסיימים ‪/ S‬‬
‫‪ t‬כך ש ‪ xi‬צורף בגלל ‪ xi−1‬לכל ‪ i‬בסדרה זו‪.‬‬
‫נסמן ) ‪ εi = C (xi−1 , xi ) − f (xi−1 , xi‬וזה גדול מ ‪ 0‬לכל ‪) i‬אחרת לא היינו מצרפים‬
‫את ‪ xi‬ל ‪.(S‬‬
‫נגדיר ‪ ε = mini εi‬וכעת נוסיף את ‪ ε‬לכל אחד מהערכים ) ‪ f (xi−1 , xi‬ונקבל פונקצית‬
‫זרימה חוקית בעלת ערך גדול יותר מ ‪ ,f‬בסתירה למקסימליות‪.‬‬
‫∈ ‪.t‬‬
‫ומכאן ‪/ S‬‬
‫מההגדרה ־ לכל ‪ x ∈)S‬ו( ‪ y ∈ S‬־ )‪ f (x, y) = C (x, y‬שאחרת היינו מוסיפים את ‪y‬‬
‫לקבוצה ‪ S‬ולכן | ‪.C S, S = |f‬‬
‫נותר להראות שאם הקיבולות הן מספרים שלמים ־ אז יש זרימה שמזרימה מספר שלם‬
‫צלע‪ .‬הוכחה‪ :‬ניקח זרימה התחלתית ‪) f0 = 0‬כלומר ‪ 0‬בכל צלע(‪ .‬ולכל ‪ fi‬נבנה את‬
‫)בכל (‬
‫‪ S, S‬כמו בהוכחה הקודמת ואז יש שתי אפשרויות‪.‬‬
‫∈ ‪ t‬אז סיימנו ומצאנו חתך שערכו שווה לערך הזרימה‪.‬‬
‫אם ‪/ S‬‬
‫אחרת ־ מוצאים מסילה מ ‪ s‬ל ‪ t‬כמו בהוכחה‪ ,‬ומגדילים את ‪ fi‬לקבלת ‪ fi+1‬כמו‬
‫בהוכחה‪ ,‬אלא שכעת ‪ ε‬יהיה תמיד מספר שלם ולכן כל הזרימות‪ ,‬כולל המקסימלית‪ ,‬תהיינה‬
‫שלמות‪.‬‬
‫‪ 7‬קשירות‬
‫נאמר ש ‪ G‬הוא ‪1‬־קשיר אם הוא קשיר‪.‬‬
‫לכל ‪ k > 1‬נאמר ש ‪ G‬הוא ‪k‬־קשיר אם יש בו לפחות ‪ k + 1‬קודקודים‪ ,‬ולכל ‪k − 1‬‬
‫קודקודים שמסירים ממנו ‪ G‬נשאר קשיר‪.‬‬
‫ואז )‪ κ (G‬־ הקשירות הקודקודית‪ ,‬ה ‪ k‬המקסימלי כך ש ‪ G‬הוא ‪k‬־קשיר‪.‬‬
‫לכל ‪ k > 1‬נאמר ש )מולטי( גרף ‪ G‬הוא ‪k‬־קשיר צלעית‪ ,‬אם הסרת ‪ k + 1‬צלעות ממנו‬
‫אינה מונעת ממנו להיות קשיר‪.‬‬
‫)‪λ (G‬־ ה ‪ k‬המקסימלי כך ש ‪ G‬הינו ‪k‬־קשיר־צלעית‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪n − 1 = λ (Kn ) = κ (Kn ) .1‬‬
‫‪ .2‬מסילה באורך ‪ n > 2‬מקיימת ) ‪1 = λ (pn )=κ (pn‬‬
‫‪ .3‬מעגל כאשר ‪ n > 3‬מקיים ) ‪2 = λ (cn ) = κ (cn‬‬
‫‪ .4‬לא תמיד הם שווים‪ ,‬קל למצוא דוגמאות‪.‬‬
‫אם נסמן )‪ δ (G‬הדרגה המינימלית ב ‪ ,G‬הרי מתקיים )‪κ (G) ≤ λ (G) ≤ δ (G‬‬
‫)תרגיל(‬
‫‪27‬‬
‫‪7.1‬‬
‫משפט מנגר‬
‫משפט ‪ 7.1‬מנגר )גרסה קודקודית(‪ :‬יהי גרף ‪ G‬ו ‪ s, t‬קודקודים‪ .‬אם המספר הקטן ביותר‬
‫של קודקודים שצריך להסיר מ ‪ G‬בכדי להפריד את ‪ s‬מ ‪ t‬הוא ‪ k‬אזי ניתן למצוא ‪ k‬מסילות‬
‫זרות בקודקודים )מלבד ‪ s‬ו ‪ (t‬מ ‪ s‬ל ‪.t‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט ‪ 7.2‬מנגר )גרסה צלעית( כנ"ל צלעות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תכנית ההוכחה ־ תרגיל‪ :‬להראות שמנגר קודקודי ⇐ מנגר צלעי‪.‬‬
‫נוכיח את מנגר קודקודי‪:‬‬
‫א‪ .‬באינדוקציה על ‪.k‬‬
‫ב‪ .‬מ ‪) M CM F‬הוכחה קלה(‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכחה באמצעות זרימה‪:‬‬
‫נעבור לגרף מכוון‪.‬‬
‫נחליף כל קודקוד ‪ v‬בשני קודקודים ‪ v −‬ו ‪ v +‬וצלע מכוונת ) ‪ ,(v − , v +‬ונגדיר קיבולת ‪1‬‬
‫על ) ‪ (v − , v +‬וקיבולת ‪ 0‬על ) ‪.(v + , v −‬‬
‫לכל צלע )‪ (u, v‬נבנה במקומה ) ‪ ,(u+ , v −‬על צלעות אלו נשים קיבולת אינסופית‪.‬‬
‫יהיו ‪ s, t‬קודקודים מיוחסים‪ ,‬חתך מינימלי המפריד אותם בגרף החדש‪ ,‬מתאים לקבוצה‬
‫מינימלית של קודקודים‪ ,‬שהסרתם בגרף המקורי מפרידה את ‪ s‬מ ‪.t‬‬
‫ממשפט השטף והחתך ־ יש זרימה מקסימלית בגרף החדש שהיא שלמה‪ ,‬כלומר זרימת‬
‫}‪ ,{0, 1‬ואז יש התאמה חח"ע בין מסלולים זרים בקודקודים בגרף המקורי לזרימות שלמות‬
‫בגרף החדש‪ :‬כלומר יש ‪k‬מסילות זרות בקודקודים מ ‪ s‬ל ‪ t‬אם"ם יש זרימה בגודל ‪ k‬מ ‪ s‬ל‬
‫‪.t‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכחה באינדוקציה על ‪) k‬כלומר הנחה בשלילה של קיום של גרף מינימלי שאינו מקיים‬
‫את המשפט‪ ,‬מתוך ‪(Bollobas: Modern Graph Theory‬‬
‫עבור ‪ k = 1‬המשפט מתקיים‪ ,‬קל לראות זאת‪.‬‬
‫נניח בשלילה שהמשפט אינו נכון ויהי ‪ k ≥ 2‬המינימלי שעבורו המשפט אינו נכון ו ‪G‬‬
‫גרף עם מספר מינימלי של צלעות המהווה דוגמא נגדית עבור ‪.k‬‬
‫כלומר יש ‪ s, t‬כך שניתן להפריד את ‪ s, t‬ע"י ‪ k‬קודקודים ולא פחות‪ ,‬אך יש רק ‪k − 1‬‬
‫)או פחות( מסילות זרות מ ‪ s‬ל ‪.t‬‬
‫תהי ‪ w‬קבוצת קודקודים |‪ k = |w‬המפרידה את ‪ s‬מ ‪.t‬‬
‫הערה ∗‪:‬נבחין כי אין ל ‪ s‬ול ‪ t‬שכן משותף‪ ,‬שכן אם היה שכן משותף ־ היה אפשר‬
‫להסיר אותו מהגרף ולקבל דוגמה נגדית למשפט ב ‪ ,k − 1‬והנחנו שהדוגמה שבידנו משיגה‬
‫‪ k‬מינימלי‪ ,‬בסתירה‪.‬‬
‫נתבונן בשני מקרים‪:‬‬
‫מקרה ‪ :1‬קיימת ‪ w‬כך שלא ‪ s‬ולא ‪ t‬הם שכנים של כל קודקודי ‪w‬‬
‫מקרה ‪ :2‬לכל קבוצה מפרידה כנ"ל ‪ ,w‬מתקיים ‪ s‬או ‪ t‬הם שכנים של כל קודקודי ‪w‬‬
‫‪.‬‬
‫מקרה ‪ :1‬נתבונן בגרף המתקבל על ידי הסרת ‪ ,w‬ברכיב הקשירות של ‪ s‬יש לפחות עוד‬
‫קודקוד אחד )ולפחות צלע אחת( נחליף את רכיב הקשירות של ‪ s‬בגרף החדש בקודקוד ‪s′‬‬
‫ונחברו לכל הקודקודים ב ‪ .w‬בגרף זה יש פחות צלעות ולכן אינו דוגמא נגדית‪ ,‬ויש להסיר‬
‫לפחות ‪ k‬קודקודים בכדי להפריד את ‪ s′‬מ ‪ t‬ולכן יש ‪ k‬מסילות זרות מ ‪ s′‬ל ‪ ,t‬זה נותן ‪k‬‬
‫מסילות זרות מ ‪ w‬ל ‪.t‬‬
‫‪28‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬נניח ש ‪ t‬איננו שכן של כל קודקודי ‪ w‬ונקבל ‪ k‬מסילות זרות מ ‪ w‬ל ‪,s‬‬
‫תפירת מסילות אלו נותנת ‪ k‬מסילות זרות מ ‪ s‬ל ‪ .t‬מדוע? ב ‪ w‬יש בדיוק ‪ k‬קודקודים‪,‬‬
‫כלומר ניתן לזווג את כל המסילות )הזרות בקודקודיהן( שמצאנו מ ‪ w‬ל ‪ t‬למסילות שמצאנו‬
‫מ‪w‬ל‪s‬‬
‫מקרה ‪ :2‬תהי ‪ s, x1 , x2 , ..., xm , t‬מסילה קצרה ביותר מ ‪ s‬ל ‪ ,t‬כעת ‪ m ≥ 2‬שכן‬
‫ל ‪ s‬ול ‪ t‬אין שכנים משותפים )הערה ∗(‪ .‬נסיר את הצלע } ‪{x1 , x2‬מהגרף וכעת נשארנו‬
‫עם גרף שאינו דוגמה נגדית‪ ,‬כלומר מספר המסילות הזרות הוא כעת מספר הקודקודים‬
‫הדרוש להפרדה‪ ,‬איך זה קרה? לא יתכן שמספר המסילות הזרות עלה‪ ,‬ולכן בהכרח מספר‬
‫הקודקודים הדרוש להפרדה ירד‪ ,‬כלומר ניתן להפריד את ‪ s‬ו ‪ t‬על ידי ‪ k − 1‬קודקודים אך‬
‫לא פחות‪.‬‬
‫תהי ‪ w0‬קבוצה של ‪ k − 1‬קודקודים המפרידה את ‪ s‬מ ‪ t‬בגרף החדש‪ ,‬ונגדיר = ‪w1‬‬
‫} ‪ w0 ∪ {x1‬ובאופן דומה } ‪ .w2 = w0 ∪ {x2‬נבחין כי ‪ w1 , w2‬מפרידים את ‪ s‬ו ‪ t‬בגרף‬
‫המקורי‪.‬‬
‫‪ x1‬אינו שכן של ‪ t‬כי הוא שכן של ‪ ,s‬ולכן כל קודקודי ‪ w0‬שכנים של ‪ s‬ולכן כל קודקודי‬
‫‪ w0‬שכנים של ‪) s‬הנחת מקרה ‪.( 2‬‬
‫‪ x2‬לא שכן של ‪ s‬ולכן כל קודקודי ‪ w0‬שכנים של ‪ ,t‬בסתירה )זה בסדר כי ‪,|w0 | ≥ 1‬‬
‫ולא עשינו פה רמאות אינדוקציה‪ ,‬כמו הוכחת "כל האנשים בעולם הם ג'ינג'ים"(‪.‬‬
‫תרגיל ־ הסיקו את הגרסה הצלעית של מנגר מהגרסה הקודקודית‪...‬‬
‫)הרעיון ־ בונים גרף עזר שבו הצלעות הופכות לקודקודים(‬
‫‪7.2‬‬
‫משפט ‪Tutte‬‬
‫)האנלוג של משפט הול לגרף שהוא לא דו צדדי(‬
‫אפשר לחשוב על זיווג ככיסוי של שני קודקודים ע"י צלע‪ ,‬ואז בגרף כללי )עם מספר‬
‫זוגי של קודקודים( ניתן לתהות האם אפשר לכסות עם צלעות זרות )בקודקודיהן( את כל‬
‫קודקודי הגרף?‬
‫נסמן לכל ‪ W ⊆ V‬את ) ‪=q (W‬מספר רכיבי הקשירות בעלי גודל אי זוגי ב ‪.G \ W‬‬
‫ברור שתנאי הכרחי לקיום זיווג מושלם הוא שלכל ‪ W ⊆ V‬יתקיים | ‪.q (W ) ≤ |W‬‬
‫משפט ‪ 7.3‬טאט‪ :‬זהו גם תנאי מספיק‬
‫הוכחה‪) :‬מתוך ‪(Diestel‬‬
‫יהי ‪ G‬גרף ללא זיווג מושלם‪ ,‬נמצא )‪ S ⊆ V (G‬המפר את תנאי טאט‪.‬‬
‫נניח ש ‪ G‬מקסימלי בצלעות ללא זיווג מושלם )ביחס להכלה‪ ,‬כלומר נוסיף עוד ועוד‬
‫צלעות עד שנקבל את הגרף השלם או גרף מקסימלי ללא זיווג מושלם(‪ .‬מדוע זה בסדר? כי‬
‫אם בגרף החדש‪ ,‬אחרי הוספת הצלעות‪ ,‬מצאנו הפרה לתנאי טאט ־ אזי נבחין כי כל רכיב‬
‫קשירות מגודל אי־זוגי מגלם בתוכו לפחות רכיב קשירות אחד מהגרף הישן ובו מספר אי‬
‫זוגי של קודקודים )כי סכום אי זוגי משמעו שאחד המחוברים לפחות הוא אי־זוגי גם כן(‬
‫נגדיר את ‪ S‬להיות קבוצת כל הקודקודים המחוברים לכל קודקוד אחר‪ ,‬ונראה שכל‬
‫רכיב ב ‪ G \ S‬הוא גרף שלם‪.‬‬
‫אם המצב הוא שיש ‪ S‬ענן קודקודים המחוברים לכל הקודקודים האחרים‪ ,‬שהוא גרף‬
‫שלם‪ ,‬וגם כל העננים האחרים הם גרפים שלמים ועדיין אין זיווג ־ בהכרח תנאי טאט מופר‬
‫)מדוע? כי במקרה כזה את כל רכיבי הקשירות מגודל זוגי אפשר לכסות על ידי בחירת‬
‫גרף דו"צ מתוך הגרף השלם שלהם‪ ,‬ולכל רכיב מגודל אי זוגי צריך למצוא שכן בענן המרכזי‪.‬‬
‫אם לא מצאנו‪ ,‬למרות שכל הקודקודים בענן המרכזי שכנים של כולם‪ ,‬נובע שמספר רכיבי‬
‫הקשירות האי־זוגיים גדול מהענן המרכזי )סתירה לתנאי טאט( או שמספר הקודקודים בענן‬
‫‪29‬‬
‫המרכזי לאחר הפרוצדורה הוא אי זוגי בעצמו‪ .‬מכיוון שעד כה חילקנו לזוגות‪ ,‬מכאן נובע‬
‫שמספר הקודקודים הבכל הגרף כולו הוא אי־זוגי‪ ,‬וגרף כזה מפר את תנאי טאט על פי‬
‫הגדרתנו(‬
‫נניח בשלילה שיש רכיב ב ‪ G \ S‬שאיננו גרף שלם‪ ,‬כלומר יש קודקודים ‪ a, a′‬ברכיב‬
‫שאינם שכנים‪.‬‬
‫תהי ‪ a, b, c, ..., a′‬מסילה קצרה ביותר בין ‪ a‬ו ‪ ,a′‬מכאן שאין צלע }‪) {a, c‬אחרת היה‬
‫אפשר לקצר את המסילה עוד ולדלג על ‪.(b‬‬
‫∈ ‪ ,b‬קיים ‪ d‬שאינו שכן של ‪.b‬‬
‫היות ש ‪/ S‬‬
‫קיים זיווג שלם ‪ M1‬בגרף אם נוסיף לו את הצלע }‪{a, c‬ממקסימליות הגרף ללא הזיווג‪.‬‬
‫מאותו טעם קיים זיווג שלם ‪ M2‬בגרף עם }‪.{b, d‬‬
‫נתחיל מסילה ‪ p‬מ ‪ d, x1 , x2 , x3 , ..., v :d‬כך ש ‪ d, x1 ∈ M1‬ו ‪ x1 , x2 ∈ M2‬ו‬
‫‪ x2 , x3 ∈ M1‬וכן הלאה‪ ,‬צלעות זוגיות במסילה שייכות ל ‪ M2‬והאי זוגיות ל ‪ ,M1‬נבחין כי‬
‫בעצם המסילה מוכתבת לנו על ידי יחידות השכנים בזיווגים‪ ,‬ולכן היא גם מקסימלית ביחס‬
‫לתכונה זו‪ .‬לא נעשה שימוש בצלעות שאינן ב ‪ ,G‬כלומר ב }‪ {a, c‬וב }‪.{b, d‬‬
‫נלך במסילה עד שניתקע‪ ,‬ובהכרח ניתקע כי אם נסגור מעגל עם ‪ d‬הרי שמגיעים אל ‪d‬‬
‫בצלע ששייכת ל ‪ ,M2‬ושם הוא מזווג ל ‪ b‬והצלע }‪ {b, d‬אינה קיימת בגרף שלנו כלל!‬
‫יש שתי אפשרויות‪:‬‬
‫א‪ p .‬מסתיימת בצלע מ ‪ M1‬ואז ‪ ,v = b‬כי זו הצלע היחידה שמפריעה לסגור מעגל ב‬
‫‪) M2‬בזיווג יש רק מעגלים ו‪/‬או צלעות כפולות‪.‬‬
‫ב‪ p .‬מסתיימת בצלע מ ‪ M2‬אז }‪ ,v ∈ {a, c‬מסיבות דומות נניח בה"כ ‪v = a‬‬
‫אפשרות א‪ :‬ניקח את הזיווג ‪ M2‬בכל המקומות מלבד המעגל הקטוע ‪ ,p‬וב ‪ p‬עצמה‬
‫ניקח את הצלעות האי־זוגיות‪ ,‬דהיינו צלעות מ ‪ M1‬וכך הלחמנו את שני הזיווגים כדי לקבל‬
‫זיווג חוקי בגרף המקורי שאינו עושה שימוש בצלעות החסרות‪ ,‬בסתירה לכך שאין זיווג בגרף‬
‫שלנו‪.‬‬
‫אפשרות ב'‪ :‬נבחין כי הצלע }‪ {b, a‬אינה ב ‪ M1‬ואינה ב ‪) M2‬כי שני הקודקודים הללו‬
‫מזווגים לאחרים בזיווגים אלו( ‪ ,‬ולכן נוכל לקחת את הזיווג ‪ M2‬בכל המקומות שאינם במעגל‬
‫הקטוע ‪ ,p‬וב ‪ p‬עצמה להשתמש רק בצלעות האי־זוגיות וב }‪) {a, b‬שאינה בזיווג( ומכך יתקבל‬
‫זיווג מושלם‪ ,‬גם כן בסתירה לכך שאין זיווג מושלם בגרף שלנו‪.‬‬
‫משפט השטף והחתך גורר את דילוורת'‬
‫דילוורת' גורר את הול )מופיע בתרגיל(‬
‫נסביר לשם כך מהו משפט דילוורת'‪:‬‬
‫תהי ‪ P‬קס"ח )קבוצה סדורה חלקית(‬
‫נגדיר שרשרת להיות סדרה של איברים שמתייחסים כל אחד לקודמו‪a1 < a2 < ... < ,‬‬
‫‪an‬‬
‫נגדיר אנטי שרשרת להיות סדרה של איברים שכל שניים אינם ניתנים להשוואה‪ ,‬כלומר‬
‫קבוצה שאינה מכילה שרשרת ארוכה מ ‪.1‬‬
‫אם ל ‪ P‬יש שרשרת בגודל ‪ k‬אזי ברור שלא ניתן לכסות את ‪ P‬ע"י פחות מ ‪ k‬שרשראות‬
‫זרות‪.‬‬
‫נגדיר אך לא נוכיח את משפט דילוורת' לצרכי התרגיל‪:‬‬
‫משפט ‪) 7.4‬דילוורת'( עבור ‪ P‬קס"ח סופית ־ גודל האנטי שרשרת המקסימלית=מספר הקטן‬
‫ביותר של שרשראות שצריך כדי לכסות את ‪.P‬‬
‫הגדרה ‪ A 7.5‬מונוטונית אם‬
‫‪x<y ∧ x∈A⇒y∈A‬‬
‫‪30‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 7.6‬נאמר ש ‪ µ1‬שולטת סטוכסטית על ‪ µ2‬אם לכל קבוצה מונוטונית ‪ ,A‬מתקיים‬
‫)‪.µ1 (A) ≥ µ2 (A‬‬
‫דוגמא לא סופית‪ ,‬אך ממחישה‪:‬‬
‫נתבונן בקטע ]‪[0, 1‬‬
‫]כאשר[ ]‪ X ∼ U [0, 1‬היא המידה ‪µ2‬‬
‫‪ Y ∼ U 21 , 1‬היא המידה ‪µ1‬‬
‫קבוצה מונוטונית ]‪ (t, 1‬או ]‪[t, 1‬‬
‫ואז קל לראות ש‪:‬‬
‫]]‪P r [x ∈ (t, 1]] ≤ P r [y ∈ (t, 1‬‬
‫ולכן ‪ µ1‬שולטת סטוכסטית על ‪.µ2‬‬
‫באופן[הבא‪:‬‬
‫להסתכל‬
‫גם‬
‫אפשר לראות זאת מיידית ואפשר‬
‫]‬
‫‪ U 12 , 1 ∼ y := 1+x‬ואז אם מתבוננים בזוג )‪,(x, y‬‬
‫נבחר זוג ‪ x, y‬כך‪ x ∼ U [0, 1] :‬ו ‪2‬‬
‫ההתפלגות השולית של הקוא' הראשונה היא ‪ µ2‬ושל הקוא' השניה ‪.µ1‬‬
‫‪ x ≤ 1+x‬לכל ]‪ x ∈ [0, 1‬ואז נאמר שזהו צימוד‬
‫אבל אז מתקבל ‪ x ≤ y‬תמיד כי‬
‫‪2‬‬
‫מונוטוני של המידות‪...‬‬
‫נגדיר זאת פורמלי‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 7.7‬צימוד מונוטוני של שתי מידות הסתברות ‪ µ1 , µ2‬על קס"ח ‪ P‬היא התפלגות‬
‫‪ (x, y) ∈ P 2‬כך שההתפלגות השולית של ‪ y‬היא ‪ µ1‬וההתפלגות השולית של ‪ x‬היא ‪ µ2‬ו‬
‫‪ x ≤ y‬תמיד‪.‬‬
‫ברור שצימוד מונוטוני גורר ש ‪) µ1 ≽ µ2‬שולט סטוכסטית( כי לכל מאורע מונוטוני ‪A‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫)‪µ1 (A) = P r (y ∈ A‬‬
‫)‪µ2 (A) = P r (x ∈ A‬‬
‫אבל המאורע השני הוא תת קבוצה של המאורע הראשון‪.‬‬
‫תרגיל לבית‪:‬‬
‫שימוש יפה למשפט השטף והחתך הוא שניתן באמצעותו להוכיח שאם ‪ µ1 , µ2‬מידות‬
‫הסתברות על קס"ח סופית‪ ,‬אזי ‪ µ1‬שולטת סטוכסטית על ‪ µ2‬אם"ם קיים צימוד מונוטוני‬
‫בין ‪ µ1‬ל ‪.µ2‬‬
‫קל לראות מההגדרה שאם יש צימוד מונוטוני אז יש שליטה סטוכסטית‪ ,‬הכיוון השני הוא‬
‫מעניין‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫דוגמא‬
‫הגרף המקרי )‪G (n, p‬‬
‫הגדרה ‪ 7.8‬זהו מרחב הסתברות על גרפים על קבוצת הקודקודים }‪ ,{1, 2, ...n‬כלומר יש‬
‫‪n‬‬
‫) ‪ 2( 2‬נקודות במרחב‪ ,‬במילים אחרות ־ כל התת גרפים של ‪.Kn‬‬
‫לכל צלע }‪ {i, j‬נגריל באופן בלתי תלוי משתנה מקרי }‪ Xij ∈ {0, 1‬כך ש ‪Xij = 1‬‬
‫בהסתברות ‪.p‬‬
‫ואז צלעות הגרף הן כל הזוגות }‪ {i, j‬כך ש ‪.Xij = 1‬‬
‫במילים אחרות ־ עוברים על כל הצלעות האפשריות‪ ,‬בהסתברות ‪ p‬שמים צלע ובהסתברות‬
‫‪ 1 − p‬אין עושים זאת בין כל שני קודקודים‪.‬‬
‫}‪E [G (n, p)] = {{i, j} : Xij = 1‬‬
‫‪n‬‬
‫|) ‪−|E(M‬‬
‫) ‪p|E(M )| (1 − p)( 2‬‬
‫] ‪= P r [G (n, p) = M‬‬
‫אוסף כל התת גרפים של ‪ Kn‬הוא קס"ח ביחס להכלה‪.‬‬
‫מה ההסתברות לקבל גרף מישורי?‬
‫נבחין כי קבוצת הגרפים שאינם מישוריים היא מונוטונית‪.‬‬
‫טענה ‪7.9‬‬
‫]‪P r [G (n, 0, 5) not planar] ≤ P r [G (n, 0.51) not planar‬‬
‫‪.‬‬
‫טענה ‪ 7.10‬אם ‪ 0 ≤ p ≤ q ≤ 1‬אז המידה המושרה ע"י )‪G (n, q‬שולטת סטוכסטית במידה‬
‫המושרה ע"י )‪G (n, p‬‬
‫זה בפרט מוכיח את הטענה הקודמת‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬צימוד מונוטוני ־ לכל }‪ {i, j‬נגדיר‪:‬‬
‫]‪Xij ∼ U [0, 1‬‬
‫}‪E [G (n, p)] := {{i, j} : Xij ≤ p‬‬
‫התפלגות זאת נותנת את )‪ G (n, p‬אבל לפי הגדרה זו מקבלים ])‪E [G (n, p)] ⊆ E [G (n, q‬‬
‫אם ‪ ,p ≤ q‬כלומר בניסוח אחר של הגרלת הגרף ־ נקבל הכלה ממש במקרה שהקבוע‬
‫שבוחרים )‪ p‬או ‪ (q‬גדול יותר‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪8‬‬
‫גרפים מישוריים‬
‫הגדרה ‪ 8.1‬גרף יקרא מישורי אם יש לו שיכון במישור בו אין חיתוכים בין הצלעות‪.‬‬
‫עובדה )שנוכיח עוד מעט(‪ K5 :‬איננו מישורי וכך גם ‪ K3,3‬בציור של גרף מישורי‪ ,‬מלבד‬
‫קודקודים וצלעות‪ ,‬יש גם פאות‪ :‬פאה היא האיזור התחום ע"י מעגל בציור של גרף מישורי‬
‫אם בפנים המעגל אין עוד קודקודים‪ .‬למעשה הגדרה טופולוגית של פאה תהיה טובה יותר‪,‬‬
‫כלומר ־ אם נסיר מהמישור את צלעות הגרף וקודקודיו ־ רכיבי הקשירות הנותרים במישור‬
‫הם הפאות‪.‬‬
‫לעיתים מתייחסים אל החלק האינסופי של המישור המקיף את הגרף כפאה חיצונית‪.‬‬
‫נסמן ב ‪ v‬את מספר הקודקודים בגרף‪ ,‬ב ‪ e‬את מספר הצלעות‪ ,‬וב ‪ f‬את מספר הפאות‪.‬‬
‫האם מספר הפאות תלוית בציור של הגרף במישור? לא‪.‬‬
‫משפט ‪) 8.2‬נוסחת אוילר( עבור גרף מישורי קשיר מתקיים ‪v − e + f = 2‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪ e‬עבור ‪ v = n‬קבוע‪.‬‬
‫בסיס האינדוקציה הוא ‪) e = n − 1‬שכן אחרת הגרף לא קשיר( ובמקרה כזה זהו עץ‪,‬‬
‫וכיוון שאין בו מעגלים ־ יש בו פאה אחת ולכן ‪ f = 1, e = n−1, v = n‬והנוסחה מתקיימת‪.‬‬
‫מעבר האינדוקציה ־ אנחנו מניחים ש ‪ n ≤ e‬ולכן יש לפחות מעגל אחד‪ ,‬ולכן יש לפחות‬
‫פאה אחת חסומה‪.‬‬
‫נסיר צלע מהמעגל התוחם את הפאה החסומה‪ ,‬והיא תתאחד עם אחת משכנותיה‪ ,‬ונקבל‬
‫גרף שבו יש פאה אחת פחות וצלע אחת פחות‪ .‬כמו כן מקבלים גרף מישורי וקשיר )לא‬
‫פגענו בקשירות כי הסרנו צלע ממעגל( לפי הנחת האינדוקציה מתקיימת נוסחת אוילר ובגרף‬
‫המתקבל נסמן את הפרמטרים ב ‪ v ′ , e′ , f ′‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪v ′ = v, e′ = e − 1, f ′ = f − 1‬‬
‫ומהנחת האינדוקציה מתקיים‪:‬‬
‫‪v ′ − e′ + f ′ = 2 ⇒ v + e + 1 + f − 1 = 2‬‬
‫ומכאן שנוסחת אוילר מתקיימת כנדרש‪.‬‬
‫קשיר (על ‪ n‬קודקודים ו ‪ m‬צלעות‪ ,‬מתקיים )‪ ,m ≤ 3 (n − 2‬בפרט‬
‫טענה ‪ 8.3‬בגרף מישורי‬
‫)‬
‫ב ‪ K5‬בו מתקיים ‪ n = 5‬ו ‪ m = 52‬וכיוון ש ‪ 10 3 · 3‬ולכן ‪ K5‬לא מישורי‪.‬‬
‫אפשר להוסיף צלעות לגרף כך שישאר מישורי עד שיתקבל שכל פאה תחומה ע"י ‪ 3‬צלעות‬
‫בדיוק‪ ,‬ולכן ‪ 3f ≤ 2m‬וממשפט אוילר מתקיים ‪ n − m + f‬כלומר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫≥‪2=n−m+f ≤n−m+ m⇒n−2‬‬
‫‪⇒ 3 (n − 2) ≥ m‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ב ‪ K3,3‬אין מעגלים באורך אי זוגי )כי הוא ‪ 2‬צביע‪ ,‬כגרף דו"צ( ובפרט לכל פאה ‪ F‬מתקיים‬
‫‪=PF ≥ 4‬מספר הצלעות התוחמות את הפאה ‪.F‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪2m ≥ 4f ⇒ 5 ≥ f‬‬
‫‪33‬‬
‫וממשפט אוילר‪:‬‬
‫‪2 = n − m + f = 5 − 10 + f ≤ 0‬‬
‫בסתירה‪.‬‬
‫ניתן לשאול את השאלה ־ אם גרף איננו מישורי‪ ,‬מה המספר המינימלי של חיתוכים שאפשר‬
‫לצפות לו )אין מרשים חיתוכים משולשים‪ ,‬מרובעים וכו'(? עבור גרף ‪ G‬נסמן ב )‪Cr (G‬‬
‫את מספר החיתוכים המינימלי שניתן להשיג בשיכון ‪ G‬במישור‪.‬‬
‫טענה ‪8.4‬‬
‫)‪Cr (G) ≥ m − 3n + 6 = m − 3 (n − 2‬‬
‫זה נקרא גם משפט החיתוכים החלש‬
‫אבחנות‪:‬‬
‫‪ .1‬בציור של גרף עם מספר מינימלי של חיתוכים צלע אינה חוצה את עצמה‪.‬‬
‫‪ .2‬צלעות בעלות קודקוד משותף אינן נחתכות‪.‬‬
‫‪ 2 .3‬צלעות אינן נחתכות פעמיים‪.‬‬
‫כל האבחנות הללו נובעות מאותו רעיון‪ ,‬שבהנתן נקודת חיתוך‪ ,‬אפשר להחליף בין שתי‬
‫הצלעות הנכנסות או היוצאות אליה‪ ,‬ונקבל משהו ללא נקודת חיתוך‪ ,‬וזה אפשרי במקרים‬
‫לעיל‪ .‬הוכחה‪) :‬לטענה( בהנתן ציור של גרף ללא הפגמים הנ"ל עם )‪ Cr (G‬חציות ניצור‬
‫גרף חדש על ידי הפיכת נקודת החיתוך לקודקודים‪ .‬בגרף החדש מספר הקודקודים הוא‬
‫‪ Cr (G) + v‬ומספר הצלעות הוא‪:‬‬
‫)‪e + 2Cr (G‬‬
‫כי כל קודקוד "חדש" מחלק את שתי הצלעות שעוברות דרכו לשני חלקים כ"א‪ ,‬ולכן מוסיף‬
‫שתי צלעות למניין‪.‬‬
‫הגרף הזה מישורי ולכן‪:‬‬
‫‪e + 2Cr (G) ≤ 3 (v + Cr (G) − 2) ⇒ Cr (G) ≥ e − 3r + 6‬‬
‫משפט ‪) 8.5‬החיתוכים( אם ‪ 4n ≤ m‬וב ‪ G‬יש ‪ m‬צלעות ו ‪ n‬קודקודים‪ ,‬אזי‬
‫‪m3‬‬
‫‪64n2‬‬
‫≥ )‪Cr (G‬‬
‫‪34‬‬
‫הוכחה‪ :‬נצייר את ‪ G‬במישור‪ ,‬ונבחר תת גרף מקרי על ידי בחירת כל קודקוד באופן בלתי‬
‫תלוי בהסתברות ‪ .p‬נתבונן בציור של הגרף החדש‪.‬‬
‫יהי ‪ Xp‬מספר החיתוכים בגרף זה‪ ,‬ו ‪ mp‬מספר הצלעות ו ‪ np‬מספר הקודקודים‪ .‬וכיוון‬
‫שתת הגרף מישורי נובע ‪:‬‬
‫‪Xp − mp + 3np ≥ 0‬‬
‫)נזניח את ה ‪ 6‬מהמשפט החלש(‬
‫נתבונן בתוחלת ונקבל‪:‬‬
‫] ‪0 ≤ E [Xp − mp + 3np ] = E [Xp ] − E [mp ] + 3E [np‬‬
‫‪m 3n‬‬
‫‪=Xp4 + mp2 + 3np ⇒ 2 − 3 ≤ X‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫ולפי הנחתנו ‪ 4n ≤ m‬ולכן ניתן לבחור ‪≤ 1‬‬
‫‪4n‬‬
‫‪m‬‬
‫= ‪ ,p‬מציבים זאת ומקבלים כי‬
‫‪m3‬‬
‫‪≤X‬‬
‫‪64n2‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫ארדש שאל מה המספר המקסימלי של מרחקי יחידה בין ‪ n‬נקודות במישור‪.‬‬
‫)‪1+o(1‬‬
‫הוא שיער שהתשובה היא‬
‫)‪( 4n‬‬
‫‪3‬‬
‫מה שידוע הוא שזה לא יותר מ‬
‫‪O n‬‬
‫טענה ‪ 8.6‬בהנתן ‪ n‬נקודות ו ‪ j‬מעגלי יחידה במישור‪ ,‬מספר החילות של נקודות על מעגלים‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הוא לכל היותר ‪ ,4n + 4n 3 j 3‬בפרט אם לוקחים ‪ n‬נקודות ואת מעגלי היחידה סביבן‪,‬‬
‫‪4‬‬
‫מקבלים חסם של ‪ 4n + 4n 3‬מרחקי יחידה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נצייר גרף שקודקודיו הם הנקודות והצלעות הן בין נקודות סמוכות על אותו מעגל‪.‬‬
‫מכאן שנאפשר צלעות כפולות )אם יש שתי נקודות על מעגל( ולולאות )נקודה אחת על‬
‫מעגל(‬
‫זה נותן ציור במישור עם ‪ x‬חציות כאשר ‪ ,x ≤ j 2‬ואז או שמספר החילות קטן מ ‪4n‬‬
‫‪I3‬‬
‫‪2‬‬
‫ואחרת אם מספר החילות הוא ‪ I‬אז ‪64n2 ≤ x ≤ j‬‬
‫כבר ראינו ש ‪ K5‬ו ‪ K3,3‬אינם מישוריים וכך גם כל גרף שיש לו תת גרף שהוא אחד מהם‪.‬‬
‫האם זה המקרה הכללי? כלומר האם כל גרף שאינו מישורי מכיל את אחד מהם כתת גרף?‬
‫אז מסתבר שלא‪ ,‬אבל כמעט‪ .‬הומיאומורף של ציור של גרף ‪ G‬הוא ציור של גרף ובו מחליפים‬
‫חלק מהצלעות ב ‪ G‬במסילות‪ ,‬כלומר מוסיפים קודקודים על גבי צלע‪...‬‬
‫משפט ‪ 8.7‬קורטובסקי ־ גרף הוא מישורי אם"ם אינו מכיל הומיאומורף של ‪K5‬או ‪K3,3‬‬
‫)לא נוכיח זאת(‬
‫‪35‬‬
‫‪8.1‬‬
‫משפט ‪ 4‬הצבעים‬
‫צביעה של קודקודי גרף‪:‬‬
‫}‪σ : V (G) → {1, ..., n‬‬
‫כך ש‬
‫‪σ (i) ̸= σ (j) ∀i ∼ j‬‬
‫ואז נגדיר את )‪ χ (G‬להיות ה ‪ n‬המינימלי עבורו קיימת צביעה שכזאת‪.‬‬
‫טענה ‪) 8.8‬קלה( אם ∆ הדרגה המקסימלית של ‪ ,G‬אזי מספר הצביעה של ‪ G‬הוא לכל‬
‫היותר ‪.∆ + 1‬‬
‫הוכחה‪ :‬אינדוקציה‪ ,‬מסירים קודקוד‪ ,‬צובעים‪ ,‬מחזירים אותו ויש לו לכל היותר ∆ צבעים‪,‬‬
‫ולכן אפשר לצבוע אותו בצבע ה ‪.∆ + 1‬‬
‫טענה ‪ : 8.9‬אם הדרגה הממוצעת של ‪ G‬וכל תת גרף של ‪ G‬היא ≥ ∆ אזי )‪∆ + 1 ≥ χ (G‬‬
‫הוכחה‪ :‬אינדוקציה‪.‬‬
‫ב ‪ G‬יש קודקוד בעל דרגה ≥ ∆‪ ,‬נסיר אותו‪ ,‬נצבע כמקודם‪ ,‬נשיב אותו וכו'‪ .‬היינו‬
‫חייבים את הדרישה לתתי גרף כדי לקבל שגם אחרי ההסרה משתמרת התכונה שהדרגה‬
‫הממוצעת קטנה מ ∆‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 8.10‬כל גרף מישורי הוא ‪ 6‬־ צביע‪ ,‬כי ראינו ש )‪ e ≤ 3 (n − 2‬ולכן הדרגה הממוצעת‬
‫‪ 2e‬וכך גם בכל תת גרף )גם כל תת גרף שלו הוא מישורי(‪.‬‬
‫היא ‪n ≤ 6‬‬
‫גאת'רי שיער ב ‪ 1852‬שכאשר נרצה לצבוע מפה מדינית‪ ,‬נוכל לעשות זאת ב ‪ 4‬צבעים שונים‪,‬‬
‫ובאופן שקול ־ שכל גרף מישורי הוא ‪ 4‬־ צביע‪.‬‬
‫כעבור ‪ 38‬שנה‪ ,‬ב ‪ 1890‬־ ‪ Heawood‬הוכיח את משפט ‪ 5‬הצבעים‪.‬‬
‫ב ‪ 1976‬־ ‪ Apple&Haken‬הוכיחו את משפט ‪ 4‬הצבעים תוך שימוש במחשב‪ .‬הם מצאו‬
‫‪ 1936‬משפחות של גרפים כך שכל גרף שקול לנציג של אחת המשפחות מבחינת צביעה‪ ,‬ואחר‬
‫כך הריצו תוכנת מחשב שבדקה רק את הנציגים‪.‬‬
‫ב ‪ 1997‬ניתנה הוכחה פשוטה יותר‪ ,‬אולם גם היא באמצעות מחשב‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 8.11‬בהנתן גרף ‪ G‬ורשימה של צבעים לכל קודקוד‪ ,‬צביעה חוקית היא השמה של‬
‫צבע לכל קודקוד מתוך רשימתו כך שקודקודים שכנים מקבלים צבעים שונים‪.‬‬
‫)‪ χC (G‬הוא ה ‪ k‬המינימלי כך שבכל אוסף של רשימות באורך ‪ k‬לכל קודקוד‪ ,‬יש צביעה‬
‫חוקית‪.‬‬
‫ברור מאליו ש )‪χC (G) ≥ χ (G‬‬
‫במבט ראשון נראה שהמספרים הללו ממש שווים‪ ,‬נציג גרף שמספר הצביעה שלו הוא ‪ 2‬ומספר‬
‫הבחירה ‪ 3‬־ זהו ‪ ,K3,3‬אם נבחר לקודקודי צד שמאל את הרשימות }‪{1, 2} , {2, 3} , {1, 3‬‬
‫ולקודקודי צד ימין את הרשימות }‪ {1, 2} , {2, 3} , {1, 3‬גם כן‪ ,‬וקל לוודא שאי אפשר לבחור‬
‫צבע אחד לכל קודקוד מתוך רשימתו ולקבל צביעה חוקית‪ .‬מספר הבחירה שלו הוא ‪.3‬‬
‫משפט ‪8.12‬‬
‫)קרסטן( כל גרף מישורי הוא ‪ 5‬־ בחיר )‪(choosable‬‬
‫‪36‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית ניתן להניח שכל פאות הגרף למעט החיצונית הן משולשים‪.‬‬
‫נניח‪:‬‬
‫א‪ .‬זוג קודקודים סמוכים על הפאה החיצונית כבר צבועים‬
‫ב‪ .‬לכל קודקוד אחר על הפאה החיצונית יש רשימת צבעים בגודל ‪3‬‬
‫ג‪ .‬לכל קודקוד פנימי רשימה באורך ‪5‬‬
‫אזי ניתן להשלים את הצביעה מהרשימות‪.‬‬
‫נתבונן בשני מקרים‪:‬‬
‫‪ .1‬יש מיתר שמחבר שני קודקודים על הפאה החיצונית‪ ,‬ושמשאיר את ‪ x, y‬באותה‬
‫המיספירה‪ .‬במקרה כזה נצבע את החלק העליון לפי הנחת האינדקציה ונקבל בחלק התחתון‬
‫גרף המתאים גם כן להנחת האינדוקציה )‪ 2‬הקודקודים המיוחסים שהצביעה העליונה כופה‬
‫על התחתונה הם הקודקודים הנמצאים‪ ,‬כאן בציור אלו ‪ a‬ו ‪:(b‬‬
‫‪ .2‬נניח שצבענו את ‪ x‬בצבע ‪ α‬ואת ‪ y‬בצבע ‪ ,β‬ו ‪ v‬שכן של ‪ x‬שניתן לצבוע‪ ,‬כי על‬
‫פי הנחתנו יש ברשימה שלו לפחות שני צבעים שונים מ ‪ ,α‬נסמנם ‪ .δ, γ‬מכל קודקוד על‬
‫המסילה בין ‪ x‬ל ‪ w‬נסיר את הצבעים ‪ δ, γ‬מרשימתו‪ .‬הגרף המתקבל על ידי הסרת ‪ v‬והסרת‬
‫הצבעים כנ"ל נצבע לפי הנחת האינדוקציה אפילו אם ‪ w‬צבוע ב ‪γ‬או ‪ ,δ‬אז נשאר צבע פנוי‬
‫וסיימנו‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫תורת הגרפים האקסטרמלית )קיצונית(‬
‫משפט ‪ 9.1‬מנטל ‪ 1927‬־ בכל גרף על ‪ n ≥ 3‬קודקודים עם לפחות‬
‫‪n2‬‬
‫‪4‬‬
‫צלעות יש משולש‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫משפט ‪ 9.2‬טורן ‪ 1941‬־ עבור ‪ n ≥ k ≥ 2‬בכל גרף עם <‬
‫גרף שלם על ‪ k‬קודקודים ) ‪.(Kk‬‬
‫‪37‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k−1‬‬
‫( )‪(k−1‬‬
‫‪2‬‬
‫צלעות יש תת‬
‫הוכחה‪ :‬בהנתן גרף ‪ G‬עם דרגה ממוצעת ‪ J‬ו ‪ n‬קודקודים ללא ‪ Kk‬נסדר את קודקודי ‪G‬‬
‫בשורה בסדר אקראי‪ ,‬ומסדרה זו ננסה לבנות תת גרף שלם כך‪:‬‬
‫ניקח את הקודקוד הראשון ואחר כך ניקח כל קודקוד המקיים שכל אלו שכבר נבחרו‬
‫הם שכניו‪ ,‬ברור שהתהליך הזה נותן גרף שלם בגודל כלשהו‪.‬‬
‫קל לראות שאם קודקוד מופיע בסידור האקראי לפני כל אי־שכניו‪ ,‬הוא יבחר לקליקה‬
‫שאנו בונים‪) .‬תנאי מספיק‪ ,‬אך לא הכרחי(‬
‫‪1‬‬
‫‪ n−d‬להופיע בקליקה‪.‬‬
‫לכן לקודקוד בדרגה ‪ d‬יש סיכוי של לפחות‬
‫נגדיר לכל קודקוד משתנה מקרי מציין ‪ Xv‬שמקבל ‪ 1‬אם ‪ v‬שייך לקליקה ו ‪ 0‬אחרת‪.‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫∑‬
‫=‪X‬‬
‫‪Xv‬‬
‫‪v∈V‬‬
‫ו ‪ = X‬לגודל הקליקה המתקבלת‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n − dv‬‬
‫∑‬
‫≥ ] ‪E [Xv‬‬
‫∑‬
‫= ]‪E [X‬‬
‫‪v∈V‬‬
‫מאידך הנחנו שבגרף אין קליקה בגודל ‪ k‬ולכן תוחלת הקליקה שתתקבל קטנה מ ‪:k‬‬
‫‪E [X] ≤ k − 1‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪≤k−1‬‬
‫‪n − dv‬‬
‫∑‬
‫‪v∈V‬‬
‫מקושי שוורץ יש‪:‬‬
‫∑‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫·‬
‫|‪n − dv ≤ (k − 1) n2 − 2 |E‬‬
‫‪n − dv v‬‬
‫∑‬
‫≤ ‪n2‬‬
‫‪v‬‬
‫מעבירים אגפים ומקבלים את משפט טורן‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10.1‬‬
‫שיעור ‪) 10‬האמת שהפסדתי שיעור אחד אבל בקטנה(‬
‫למת הרגולריות של סמרדי‬
‫נראה את ‪ ∆-ramoval-lemma‬אם אנחנו ‪ εn2‬רחוקים מלהיות חסרי משולשים ־ אז יש ‪δn3‬‬
‫משולשים‪.‬‬
‫נניח שיש ‪ X, Y‬קבוצות קדקודים ו ) ‪ e (X, Y‬קבוצת הצלעות ביניהן )נניח שהקבוצות‬
‫זרות(‪.‬‬
‫ונגדיר‪:‬‬
‫|) ‪|e (X, Y‬‬
‫‪≤1‬‬
‫| ‪|X| · |Y‬‬
‫‪38‬‬
‫=‪d (X, Y ) :‬‬
‫נאמר ש ‪ X, Y‬זוג ‪ε‬־רגולרי אם לכל ‪ X ′ ⊆ X‬ו ‪ Y ′ ⊆ Y‬שהם לא קטנים מדי‪ ,‬כלומר‬
‫|‪|X ′ | ≥ ε |X‬וגם | ‪ ,|Y ′ | ≥ ε |Y‬אז מתקיים‪:‬‬
‫|) ‪ε ≥ |d (X ′ , Y ′ ) − d (X, Y‬‬
‫הרעיון של למת הרגולריות של סמרדי ־ לקחת כל גרף‪ ,‬לחלק אותו למספר לא גדול של‬
‫חלקים‪ ,‬שאחד מהם בתפקיד "פח הזבל" והאחרים הם ‪r‬־חלוקה של הגרף שנותנת גרף ‪r‬‬
‫צדדי‪.‬‬
‫⨿ ⨿‬
‫⨿‬
‫‪ V = V0 V1 ...Vk‬היא ‪ ε‬רגולרית אם‪:‬‬
‫בהנתן גרף )‪ G (V, E‬נאמר שחלוקה‬
‫‪.1‬‬
‫| ‪ε · |V | ≥ |V0‬‬
‫‪.2‬‬
‫| ‪|V1 | = |V2 | = ... = |Vk‬‬
‫‪ .3‬לכל היותר ‪ εn2‬מהזוגות ) ‪(Vi , Vj‬אינם ‪ ε‬רגולריים‪.‬‬
‫)ההוכחה שנראה היא מתוך ‪(diestel‬‬
‫⨿ ולכל ‪m‬קיים ‪ M‬כך שכל גרף עם לפחות‬
‫משפט ‪ 10.1‬למת הרגולריות של סמרדי‪ :‬לכל⨿‪ε > 0‬‬
‫‪ m‬קודקודים מאפשר חלוקה ‪ ε‬רגולרית ‪ V = V0 ... Vl‬כך ש ‪.m ≤ l ≤ M‬‬
‫כלומר נצליח לייצר חלוקה ‪ ε‬רגולרית מבלי לקבל בהכרח המון חלקים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבחין כי עבור ‪ µi > 0‬ו ‪ ei > 0‬ו ‪ i = 1...l‬מתקיים )מקושי שוורץ(‪:‬‬
‫‪∑ 2‬‬
‫) ‪ei‬‬
‫∑ ≥‬
‫‪µi‬‬
‫‪µi‬‬
‫(‬
‫‪l‬‬
‫∑‬
‫‪e2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫עבור שתי קבוצות זרות של קודקודים ‪ A, B‬נגדיר את האינדקס שלהן‪:‬‬
‫‪|A| · |B| 2‬‬
‫)‪· d (A, B‬‬
‫‪n2‬‬
‫)‪e2 (A, B‬‬
‫=‬
‫‪|A| · |B| · n2‬‬
‫= ‪q (A, B) :‬‬
‫אם ‪A‬חלוקה של ‪ A‬ו ‪ B‬חלוקה של ‪ B‬נגדיר‪:‬‬
‫∑‬
‫) ‪q (A′ , B ′‬‬
‫‪A′ ∈A,B ′ ∈B‬‬
‫‪39‬‬
‫=‪q (A, B) :‬‬
‫אם ‪ C1 , ..., Ck‬קבוצות זרות של קודקודים נגדיר‪:‬‬
‫∑‬
‫) ‪q (Ci , Cj‬‬
‫=‪q (C1 , ..., Ck ) :‬‬
‫‪i<j‬‬
‫אבל אם ‪ V0 , V1 , ..., Vk‬היא חלוקה של ‪ V‬כאשר ‪ V0‬פח הזבל‪ .‬אזי נתייחס אל ‪ V0‬בתור‬
‫קבוצה של קבוצות } ‪ {{v} : v ∈ V0‬ונגדיר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪q (V0 , V1 , ..., Vl ) := q {v1 } , {v2 } , {vj }, V1 , V2 , ..., Vk ‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪{v1 ,v2 ,...,vj }=V0‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ ρ‬חלוקה של ‪ V‬אז ‪q (ρ) ≤ 1‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫| ‪∑ |Ci | · |Cj‬‬
‫= ) ‪q (Ci , Cj‬‬
‫) ‪· d2 (Ci , Cj‬‬
‫‪n2‬‬
‫∑‬
‫= )‪q (ρ‬‬
‫‪i<j , Ci ,Cj ∈ρ‬‬
‫∑‬
‫‪2‬‬
‫)| ‪( |Ci‬‬
‫‪≤1‬‬
‫≤‬
‫‪n2‬‬
‫מדוע? כי מהריבוע שבמונה נקבל את כל מכפלות הזוגות ועוד ריבועים של כל מיני | ‪ |Ci‬שרק‬
‫מגדילים את הסכום‪ .‬כמו כן ‪ d‬תמיד קטן או שווה ל ‪ 1‬וכך גם ריבועו ולכן ניתן להתעלם‬
‫ממנו ולכל היותר להגדיל את הביטוי‪.‬‬
‫נמשיך בדרכנו‪.‬‬
‫נראה שעידון של החלוקה מגדיל את האינדקס‪.‬‬
‫למה‪ :‬אם ‪ C‬חלוקה של ‪ C‬ו ‪D‬חלוקה של ‪ D‬אזי‬
‫א‪.‬‬
‫)‪q (C, D) ≥ q (C, D‬‬
‫ב‪ p′ .‬חלוקה שמעדנת את ‪ p‬אז‬
‫)‪q (p′ ) ≥ q (p‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫∑‬
‫) ‪q (Ci , Dj‬‬
‫∑‬
‫‪2‬‬
‫)) ‪1 ( e (Ci , Dj‬‬
‫∑‬
‫‪n2‬‬
‫| ‪|Ci | |Dj‬‬
‫= )‪q (C, D‬‬
‫‪Ci ∈C,Dj ∈D‬‬
‫≥‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪Cauchy−Schwartz‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪1 ∑ e (Ci , Dj‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪n‬‬
‫| ‪|Ci | · |Dj‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪1 e (C, D‬‬
‫)‪= q (C, D‬‬
‫‪n2 |C| D‬‬
‫‪40‬‬
‫=‬
.‫ב‬
:‫נסמן‬
p = {C1 , ..., Ck }
q (p) =
∑
≤
|{z}
q (Ci , Cj )
i<j
.p′ ‫ המושרה ע"י‬Ci ‫ החלוקה של‬ei ‫יהי‬
∑
∑
q (ei , ej ) = q (p′ ) −
q (e′i ) ≤ q (p′ )
previous article i<j
i
C = :C ‫ אזי יש חלוקה של‬,‫־רגולרי‬ε ‫( איננו‬C, D) ‫ ונניח שהזוג‬ε > 0 ‫ יהי‬:‫למה‬
:‫ כך ש‬D = (D1 , D2 ) : D ‫( וחלוקה של‬C1 , C2 )
q (C, D) ≥ q (C, D) + ε4 ·
|C| · |D|
n2
ε |D| < |D1 | ‫ כך ש‬D1 ⊆ D ‫ ו‬ε |C| < |C1 | ‫ כך ש‬C1 ⊆ C ‫ יש‬:‫הוכחה‬
η = d (C1 , D1 ) − d (C, D)
|η| > ε η 2 > ε2
di = |Di |
ci = |Ci | d := |D|
e = e (C, D)
c = |C|
eij = e (Ci , Dj )

:‫ואז‬

∑ e2ij
1 ∑ e2ij
1  e211

=
+
n2 i,j ci dj
n2 c1 d1 i+j>2 ci dj
(
)
2
e211
(e − eij )
1
≥
+
|{z} n2 c1 d1
cd − c1 d1
q (C, D) =
C.S.
e11 =
c1 d1 e
+ ηc1 d1
cd
η ‫מהגדרת‬
1
n q (C, D) ≥
c1 d 1
2
(
c1 d1 e
+ ηc1 d1
cd
)2
1
+
cd − c1 d1
41
(
cd − c1 d1
e − ηc1 d1
cd
)2
‫עושים את החשבון בפתיחת סוגריים ומקבלים‪:‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪+ 0 · e · η + η 2 c1 d1‬‬
‫‪cd‬‬
‫≥‬
‫ה"גדול‪/‬שווה" הוא כי אנחנו מזניחים חלק מהמקדם )החיובי( של ‪ ,η 2‬וזה גודל חיובי‪.‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪+ ε4 · cd‬‬
‫‪cd‬‬
‫≥‬
‫ואם נחלק את שני האגפים ב ‪ n2‬נקבל‪:‬‬
‫‪ε4 cd‬‬
‫‪n2‬‬
‫למה‪ :‬אם‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪q (C, D) ≥ q (C, D) +‬‬
‫≤ ‪ 0 ≤ ε‬נניח‪:‬‬
‫} ‪p = {C0 , ..., Ck‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪|C0 | ≤ εn‬‬
‫ו‬
‫| ‪|C1 | = ... = |Ck‬‬
‫והחלוקה אינה ‪ ε‬רגולרית‪ ,‬אזי יש חלוקה } ‪ p′ = {C0′ , ..., Cl′‬שמעדנת את ‪ p‬ו ‪k ≤ l ≤ k·4k‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪ε5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|C0′ | ≤ |C0 | +‬‬
‫‪q (p′ ) ≥ q (p) +‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫| ‪|C1′ | = |C2′ | = ... = |Cl′‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫לכל זוג ‪ 1 ≤ i < j ≤ k‬נגדיר חלוקה ‪ Cij‬של ‪ Ci‬וחלוקה ‪ Cji‬של ‪ Cj‬כך‪ :‬אם ) ‪(Ci , Cj‬‬
‫זוג ‪ε‬־רגולרי אז החלוקה טריויאלית‪ ,‬אחרת נחלק עפ"י הלמה הקודמת כך ש‪:‬‬
‫| ‪C = |C1 | = |C2 | = ... = |Ck‬‬
‫ו‪:‬‬
‫‪ε4 c2‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪q (Cij , Cji ) ≥ q (Ci , Cj ) +‬‬
‫‪42‬‬
‫נגדיר לכל ‪ 1 ≤ i ≤ k‬את ⟩‪C‬להיות החלוקה המקסימלית המעדנת סימולטנית את כל ה‬
‫‪Cij‬ים‪ .‬ובסך הכל יהיו לכל היותר ‪2k−1‬חלקים כלומר‪:‬‬
‫‪|Ci | ≤ 2k−1‬‬
‫נגדיר חלוקה‬
‫)‬
‫‪C‬‬
‫‪k‬‬
‫∪‬
‫(‬
‫∪ } ‪C = {C0‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫‪k ≤ |C| ≤ k · 2k‬‬
‫ו ‪ C‬מעדנת את ‪.p‬‬
‫מהו האינדקס של החלוקה הזו?‬
‫) ‪q (Ci ) + q (C0‬‬
‫∑‬
‫‪q (C0 , Ci ) +‬‬
‫‪0<i‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪q (Ci , Cj ) +‬‬
‫‪1≤i‬‬
‫∑ ‪k 2 ε4 c2‬‬
‫‪+‬‬
‫) ‪q (C0 , Ci ) + q (C0‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪ε5‬‬
‫‪2‬‬
‫נגדיר‬
‫= )‪q (C‬‬
‫‪1≤i<j‬‬
‫∑‬
‫‪q (Ci , Cj ) +‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪≥ q (p) +‬‬
‫‪kc‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫≥‬
‫‪1≤i<j‬‬
‫(‬
‫‪≥q (p) + ε‬‬
‫‪5‬‬
‫⌋ ‪⌊c‬‬
‫‪d= k‬‬
‫‪4‬‬
‫ונעדן שרירותית את ‪ C‬לחתיכות בגודל ‪ .d‬כל קבוצה ב ‪) C‬מלבד פח הזבל ‪ (C0‬תחולק‬
‫לקבוצות בגודל ‪ d‬ואת השאריות נצרף ל ‪ C0‬כדי לקבל את ‪.C0′‬‬
‫זה מגדיר את ‪ p′‬ואז‪:‬‬
‫‪ε5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k · 2k c‬‬
‫‪4k‬‬
‫‪q (p′ ) ≥ q (C) ≥ q (p) +‬‬
‫‪|C0′ | ≤ |C0 | + |C| · d ≤ |C0 | +‬‬
‫‪kc‬‬
‫‪n‬‬
‫‪≤ |C0 | + k‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪≤ |C0 | +‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫‪kc‬‬
‫‪≤ k · 4k‬‬
‫‪d‬‬
‫‪43‬‬
‫≤ | ‪|p′‬‬
‫ובזה סיימנו‪.‬‬
‫כעת ניתן להוכיח את למת הרגולריות בהסתמך על הטענות שהוכחו לעיל‪.‬‬
‫הוכחת הלמה‬
‫נתון ‪ 0 ≤ ε ≤ 14‬ו ‪1 ≤ n‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε5‬‬
‫=‪s :‬‬
‫נייצר )בדרך כלל( חלוקה התחלתית שרירותית עם ‪ k0‬חלקים‪ ,‬ונרצה שסך כל התוספות‬
‫‪ s · 2nk0 ≤ εn‬וכן ש ‪.m ≤ k0‬‬
‫לפח הזבל יהיו ‪2‬‬
‫‪|C0 | < εn‬‬
‫‪|C‬ואז‬
‫|‬
‫≤‬
‫‪k‬‬
‫ש‬
‫כך‬
‫דיו‬
‫נרצה ‪ n‬גדול‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫מהו ‪ ?M‬נגדיר ‪ f (x) : x → x · 4x‬ו ) ‪ M = f ◦ f ◦ ... ◦ f (k0‬בהנתן גרף על ‪m ≤ n‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪s times‬‬
‫קודקודים אם ‪ n ≤ m‬נחלק לסינגלטונים‪ ,‬אם ‪ m < n‬נחלק באופן שרירותי ל ‪ k0‬קבוצות‬
‫שוות מהבחירה שלנו נובע ש ‪) C0‬פח הזבל ־ השארית אחרי שמחלקים לקבוצות שוות בגדלן(‪,‬‬
‫‪ εn‬ומעדנים שוב ושוב‪ .‬וכיוון שאחרי ‪ s‬צעדים נגיע לאינדקס ‪) 1‬עפ"י‬
‫גדלו הוא לכל היותר ‪2‬‬
‫הלמות( נובע שמתישהו בתהליך נקבל חלוקה שהיא ‪ ε‬רגולרית‪.‬‬
‫‪10.2‬‬
‫שימושים ללמת הרגולריות‬
‫משפט ‪ 10.2‬לכל ‪ε‬קיים ‪ δ‬כך שאם ‪ n‬גדול דיו ו ‪ G‬גרף על ‪ n‬קודקודים בו הסרת פחות מ‬
‫‪ εn2‬משאירה משולש‪ ,‬אזי ‪ G‬מכיל יותר מ ‪ δn3‬משולשים‪.‬‬
‫למה ‪) 10.3‬תרגיל( אם |‪ m = |X| = |Y | = |Z‬וכל שלושת הזוגות ‪ε‬־רגולרים עם צפיפות‬
‫‪3‬‬
‫≤ ‪ d‬אזי הגרף הנפרש עליהם מכיל ≤ ‪ (1 − ε) (d − ε) m3‬משולשים‪.‬‬
‫הוכחה‪) :‬המשפט( בהנתן ‪ ε‬נפעיל את למת הרגולריות עם פרמטרים ‪ ε′‬ו ‪ m‬ונקבל חלוקה‬
‫‪ ε′‬רגולרית לכל גרף על יותר מ ‪ m‬קודקודים בחלוקה‪:‬‬
‫⨿ ⨿ ⨿‬
‫‪V = V0‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪Vl‬‬
‫כך ש ‪.l < M‬‬
‫נזרוק צלעות מ ‪ .V0‬לכל היותר ‪.ε′ n2‬‬
‫נזרוק צלעות פנימיות‪ ,‬יש ‪ l‬קבוצות בחלוקה‪ ,‬ובכל קבוצה יש ‪ nl‬קודקודים‪ ,‬ולכן פחות מ‬
‫‪( )2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ l · nl‬צלעות בסך הכל‪ ,‬וזה קטן מ ‪. nm‬‬
‫‪′ 2 2‬‬
‫נזרוק צלעות מזוגות לא רגולריים‪ ,‬וזה קטן מ ‪ε′ n2 = ε ll2n‬‬
‫נזרוק צלעות בין זוגות עם צפיפות קטנה מ ‪ ,2ε′‬וכאלה בוודאי יש פחות מ ‪ 2ε′ n2‬צלעות‪.‬‬
‫סה"כ‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪n2 · 4ε +‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ m‬ולכן סילקנו לכל היותר ‪ 12 · εn2‬צלעות‪ ,‬ואם הגרף בו התחלנו‬
‫‪= 10‬‬
‫‪ ε′ = 10‬ו‬
‫נבחר‬
‫מקיים את ההנחה‪ ,‬עדיין נותרו בו משולשים שאינם מוכלים בפח הזבל‪ ,‬בזוגות לא רגולריים‪,‬‬
‫‪44‬‬
‫בצלעות פנימיות או זוגות דלילים‪ .‬ולכן זהו משולש בין ‪ Vi , Vj , Vk‬כאשר כל אחד מהזוגות‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪′‬‬
‫בשלישיה הוא ‪ ε‬רגולרי עם צפיפות ≤ ‪ 2ε‬וגודל כל קבוצה ≤ )‪M (ε) = M (ε′ ,m‬‬
‫‪( n )3‬‬
‫לפי התרגיל בשלשה כזו יש לפחות ‪ m · (1 − ε′ ) ε′3‬ולכן יש לפחות‬
‫‪(1 − ε′ ) ε′3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪| M‬‬
‫} ‪{z‬‬
‫· ‪n3‬‬
‫‪=δ‬‬
‫משולשים‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫שיעור ‪11‬‬
‫טוראן( לכל ‪ r, s, γ‬קיים ‪ n0‬כך שאם ‪ G‬גרף על‬
‫משפט ‪ 11.1‬ארדש סטון‬
‫)חיזוק למשפט (‬
‫)‬
‫‪s−2 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ n > n0‬קודקודים עם ‪ s−1 · 2 + γ n‬צלעות‪ ,‬אז ‪ G‬מכיל ‪) Kr, r, r, ..., r‬זהו גרף‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬־צדדי שלם עם ‪ r‬קודקודים בכל צד(‪.‬‬
‫למה ‪ 11.2‬לכל ‪ r, s‬וצפיפות ‪ d‬קיימים ‪ ε‬ו ‪ N‬כך שאם יש ‪ s‬קבוצות בגודל ‪ N‬כך שכל זוג‬
‫מהן הוא ‪ε‬־רגולרי עם צפיפות לפחות ‪ ,d‬אזי יש עותק של ‪Kr, r, r, ..., r‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪s‬‬
‫אבחנה‪ :‬אם ‪ X, Y‬קבוצות קודקודים כך שהגרף ביניהן ‪ ε‬רגולרי עם צפיפות ‪ ,d‬ו ‪Y ′ ⊆ Y‬‬
‫כך ש | ‪ ε |Y | ≤ |Y ′‬אז לרוב הקודקודים ב ‪) X‬כולם למעט אולי |‪ (ε |X‬יש הרבה שכנים ב‬
‫‪) Y ′‬לפחות | ‪ .((d − ε) |Y ′‬הוכחה‪) :‬הלמה( נסמן את הקבוצות ‪ X1 , ..., XS‬וגדלן ‪ .N‬נבחר‬
‫‪v11‬כך ש‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)‪( 1‬‬
‫}‪∀2 ≤ i ≤ n : |{z‬‬
‫‪N‬‬
‫| ‪v1 ∩ Xi > (d − ε) |Xi‬‬
‫‪N eighbours‬‬
‫‬
‫כמה קודקודים ב ‪X1‬פסולי למשרה זו? לכל היותר ‪εs |X1 | = εs · N‬‬
‫נבחר ‪ v21‬כך ש‬
‫) ( ‬
‫‬
‫) (‬
‫‪2‬‬
‫| ‪∀2 ≤ i ≤ n : N v21 ∩ N v11 ∩ Xi ≥ (d − ε) |Xi‬‬
‫כמקודם יש רק לכל היותר ‪ εsN‬פסולי למשרה זו‪.‬‬
‫נמשיך כך‪ ,‬בשלב ה ‪ j = 1...r‬בוחרים את ‪ vj1‬כך ש‪:‬‬
‫) ( ‬
‫‬
‫) (‬
‫) ‪( 1‬‬
‫‪j‬‬
‫‪∀2 ≤ i ≤ n : N vj1 ∩ N v11 ∩ ... ∩ N vj−1‬‬
‫| ‪∩ Xi ≥ (d − ε) |Xi‬‬
‫כך נמשיך ו את ‪ v12‬נבחר כך ש‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪r‬‬
‫∩ )‪ ( 2‬‬
‫‬
‫)‪( 1‬‬
‫‪r+1‬‬
‫‬
‫∩ ‪∀3 ≤ i ≤ n : N v1‬‬
‫)‪N vj ∩ Xi ≥ (d − ε‬‬
‫| ‪|Xi‬‬
‫‬
‫‬
‫‪j=1‬‬
‫‪45‬‬
‫) (‬
‫‪∩r‬‬
‫וכמובן ‪v12 ∈ j=1 N vj1 ∩ X2‬‬
‫יש ‪ 2‬דרישות בכדי שנוכל להמשיך ולבנות עד הסוף צריך שהקבוצה שלנו תמיד תהיה‬
‫גדולה מ ‪) ε‬כדי שנוכל להשתמש ב ‪ ε‬רגולריות( ‪:‬‬
‫‪drs‬‬
‫‪>ε‬‬
‫‪2‬‬
‫≥ ‪− εrs‬‬
‫‪r·s‬‬
‫)‪(d − ε‬‬
‫זה קובע תנאי על ‪.ε‬‬
‫‪drs‬‬
‫‪>r‬‬
‫‪2‬‬
‫·‪N‬‬
‫זה קובע תנאי על ‪.N‬‬
‫) הוכחה‪) (:‬ארדש סטון( נתונים ‪ r, s‬וגרף ‪ G‬על ‪) n‬גדול מאד( קודקודים‪ ,‬עם‬
‫‪.‬‬
‫‪s−2‬‬
‫‪ γ + s−1 n2‬צלעות‪.‬‬
‫נפעיל את למת הרגולריות של סמרדי )‪(SZ.R.L‬‬
‫עם פרמטרים ‪ ε, m‬שיבחרו בהמשך‪.‬‬
‫נסיר צלעות לזבל ‪.εn2‬‬
‫נסיר זוגות לא רגולריים ‪.εn2‬‬
‫‪2‬‬
‫נסיר צלעות פנימיות ‪. nm‬‬
‫‪γ 2‬‬
‫‪γ‬‬
‫נסיר גם צלעות בזוגות בעלי צפיפות > ‪) 3‬זה לכל היותר ‪.( 3 n‬‬
‫נבחר ‪ ε‬כך שאם ‪ n‬גדול דיו ו | ‪ |X1 | = ... = |Xs‬הן קבוצות כך שכל זוג הוא ‪ ε‬עם‬
‫צפיפות ‪ , γ3‬אזי יש עותק של ‪.Kr, r, r, ..., r‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪s‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪> 2ε + m‬‬
‫)הפעלת הלמה( וגם‬
‫‪γ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 10‬עוד תנאי על ‪.ε‬‬
‫‪=m‬‬
‫אם‬
‫בחרנו ‪ m, ε‬ומלמת הרגולריות נקבל ‪ M‬וחלוקה ‪ ε‬רגולרית‪:‬‬
‫⨿ ⨿ ⨿‬
‫‪V (G) = V0‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪Vl‬‬
‫כך ש ‪.m ≤ l ≤ M‬‬
‫אם‬
‫)‪ N < n(1−ε‬הדרוש להפעלת הלמה עם ‪ γ, r, s‬אזי מצבנו טוב בתנאי שנמצא‬
‫‪M‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪.‬‬
‫צפיפות‬
‫עם‬
‫‪ε‬רגולריים‬
‫הם‬
‫מהם‬
‫שניים‬
‫שכל‬
‫כך‬
‫‪V‬‬
‫‪,‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1 ..., Vis‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫)‬
‫·‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2γ‬צלעות‪ ,.‬לכן נשארנו עם לפחות ֵ ‪n2‬‬
‫לפי חשבוננו הסרנו עד כה לכל היותר ‪3 n‬‬
‫צלעות‪.‬‬
‫נתבונן בגרף שקודקודיו הם קבוצות החלוקה וצלעותיו הן זוג ‪ε‬־רגולרי עם צפיפות לפחות‬
‫‪ . γ3‬מחפשים ‪.Ks‬‬
‫(‬
‫יש לנו ‪l‬קודקודים)‬
‫‪s−2 1‬‬
‫טענה‪ :‬יותר מ ‪ s−1 · 2 l2‬צלעות ולכן ממשפט טוראן יש ‪Ks‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫‪s−2 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ s−2‬צלעות‬
‫‪n‬‬
‫היותר‬
‫לכל‬
‫ותרמו‬
‫זוגות‬
‫·‬
‫·‬
‫‪s−1 2‬‬
‫הוכחת הטענה‪ :‬אם יש ‪s−1 2 l‬‬
‫בגרף המקורי‪.‬‬
‫‪s−2‬‬
‫‪s−1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪3‬‬
‫תורת רמזי‬
‫משפט ‪) 12.1‬קלייטמן( בכל קבוצה של שלושה אנשים נורמליים‪ ,‬יש לפחות שניים מאותו מין‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫הוכחה‪ :‬תרגיל קשה במיוחד‪.‬‬
‫משפט ‪ 12.2‬רמזי )גרסה קלה יחסית( לכל ‪ 1 ≤ k, l‬קיים ‪ n‬כך שאם צובעים את צלעות ‪Kn‬‬
‫באדום ובכחול‪ ,‬אזי מובטח לנו ‪ Kk‬אדום או ‪ Kl‬כחול‪.‬‬
‫ה ‪ n‬המינימלי המקיים זאת נקרא )‪R (k, l‬‬
‫‪12.0.1‬‬
‫כמה הערות‬
‫‪R (k, l) = R (l, k) .1‬‬
‫‪)R (k, 1) = 1 .2‬גרף מלא על קודקוד אחד הוא ללא צלעות(‬
‫‪) R (k, 2) = k .3‬גרף על ‪ 2‬קוד' הוא צלע‪ ,‬ולכן או שיש צלע אדומה או שהגרף מלא‬
‫כחול(‬
‫‪R (3, 3) = 6 .4‬‬
‫‪R (4, 4) = 17 .5‬‬
‫‪) 43 ≤ R (5, 5) ≤ 49 .6‬לא יודעים‪ ,‬יש יותר מדי אפשרויות בשביל לבדוק בכוח(‬
‫‪) 102 ≤ R (6, 6) ≤ 165 .7‬על אחת כמה וכמה(‬
‫באופן עקרוני הערך של )‪ R (6, 6‬הוא לא כל כך מעניין‪ ,‬אבל מעניינת ההתנהגות האסימפטוטית‬
‫של )‪.R (n, n‬‬
‫נראה כי לכל ‪ n ≥ 4‬מתקיים‪:‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪2 ≤ lim R (n, n) n ≤ 4‬‬
‫וכלל לא ברור אם הגבול קיים‪.‬‬
‫טענה ‪12.3‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪l+k−2‬‬
‫≤ )‪R (l, k‬‬
‫∞<‬
‫‪l−1‬‬
‫מסקנה ‪12.4‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪2n − n‬‬
‫‪4n‬‬
‫≤ )‪R (n, n‬‬
‫√ ·‪∼c‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫למה ‪12.5‬‬
‫)‪R (l, k) ≤ R (l, k − 1) + R (l − 1, k‬‬
‫‪47‬‬
‫הוכחה‪) :‬הטענה( בהנתן הלמה הטענה נובעת בקלות מאינדוקציה על ‪.l + k‬‬
‫מתחילים ממקרה בסיס) ‪ l + k( = 2‬וכעת נוכיח עבור ‪ n = l + k‬ואז מה"א מתקיים‬
‫(‬
‫)‬
‫‪ R (l − 1, k) ≤ l+k−3‬ומזהות פסקל מתקבל המבוקש‪.‬‬
‫‪ R (l, k − 1) ≤ l+k−3‬ו‬
‫‪l−2‬‬
‫‪l−1‬‬
‫הערה‪ :‬נסמן את הקוא' הראשונה במספר רמזי כמונה את הקליקה הכחולה )והשניה את‬
‫האדומה(‪ .‬הוכחה‪) :‬הלמה(‬
‫נניח )‪ n = R (l, k − 1) + R (l − 1, k‬נתבונן בצביעה של צלעות ‪ ,Kn‬נתבונן בשכנים של‬
‫} ‪| {z } | {z‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫קודקוד ‪ .v‬בה"כ יש לו ‪ A‬שכנים שהצלעות אליהם צבועות אדום‪ .‬לפי הגדרת )‪,R (l, k − 1‬‬
‫הצביעה של הצלעות בתוך קבוצת שכנים זו מכילה ‪ Kl‬כחול )ואז גמרנו( או ‪ Kk−1‬אדום‪,‬‬
‫שיחד עם הצלעות המחברות אותו ל ‪ v‬נותן ‪ Kk‬אדום וגם אז סיימנו‪.‬‬
‫המקרה של ‪ B‬שכנים שהצלעות אליהם צבועות בכחול ־ נפתר באופן דומה‪.‬‬
‫‪r‬־יות(‬
‫משפט ‪) 12.6‬רמזי‪ ,‬עדיין לא הכי כללי( לכל ‪ k, l, r‬קיים ‪ n‬כך שאם צובעים את כל ה )‬
‫‪k‬‬
‫של המספרים }‪ {1, ..., n‬באדום או בכחול‪,‬‬
‫בהכרח ניתן למצוא ‪ k‬מספרים כך שכל ה ‪r‬‬
‫)‪(l‬‬
‫‪r‬־יות צבועות אדום או ‪ l‬מספרים כך שכל ה ‪ r‬צבועות כחול‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן את ‪ n‬מהמשפט ב )‪.Rr (k, l‬‬
‫הוכחה באינדוקציה‪:‬‬
‫‪R1 (k, l) = k + l − 1‬‬
‫טענה‪Rr (k, l) ≤ Rr−1 (Rr (k − 1, l) , Rr (k, l − 1)) + 1 :‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪C‬‬
‫הוכחה‪ :‬זו בדיוק אותה הוכחה כמו קודם‪ .‬נניח שיש ‪ C‬קודקודים‪ ,‬נקבע אחד מהם‬
‫ונתבונן בכל ה ‪r‬־יות שמכילה אותה‪ .‬אם נשמיט אותה‪ ,‬נקבל מערכת של )‪(r − 1‬־יות‪.‬‬
‫מהנחת האינדוקציה או שנמצא אוסף של )‪ Rr (k − 1, l‬של )‪(r − 1‬־יות שצבועות ב אדום‬
‫או אוסף בגודל )‪ Rr (k, l − 1‬שצבוע בכחול‪...‬‬
‫]אולי כדאי להשלים את זה פעם כי לא הבנתי את זה עד הסוף[‬
‫‪12.1‬‬
‫המשך תורת רמזי‬
‫‪Happy Ending Theorem‬‬
‫‪12.1.1‬‬
‫שאלה שהציבה אסתר קליין לארדש וסקרש והם הוכיחו אותו‪.‬‬
‫קליין אמרה שאם מציבים ‪ 5‬נקודות במישור‪ ,‬מובטח שאפשר לבנות מארבע מהן מרובע‬
‫קמור‪.‬‬
‫שאלת קליין‪ :‬האם לכל ‪ k > 4‬קיים )‪ n (k‬כך שאם מניחים ‪ n‬נקודות במישור‪ ,‬אף ‪3‬‬
‫אינן על ישר‪ ,‬מובטח ‪ k‬נקודות במצב קמור? )לא קשה לראות ש ‪[n (4) = 5‬‬
‫הערה ‪ k 12.7‬נקודות הן במצב קמור אם"ם כל ארבע מהן במצב קמור‪.‬‬
‫משפט ‪n (k) ≤ R4 (5, k) 12.8‬‬
‫‪48‬‬
‫הוכחה‪ :‬בהנתן )‪ R4 (5, k‬נקודות במישור בלי ‪ 3‬על ישר‪ ,‬נצבע את הרביעיות‪ :‬קמורות בירוק‬
‫וקעורות בצהוב‪ .‬או שיש ‪ 5‬נקודות כך שכל הרביעיות צהובות‪ ,‬כלומר קעורות‪) ,‬אבל זה‬
‫סותר את האבחנה הראשונית של קליין‪ ,‬שכן מבין ‪ 5‬נקודות יש רביעיה קמורה( ולכן יש ‪k‬‬
‫נקודות כך שכל ארבע מהן נמצאות במצב קמור‪.‬‬
‫‪ .‬הוכחה‪) :‬של טרסי( ש )‪n (k) ≤ R3 (k, k‬‬
‫בהנתן מספר כזה של נקודות במישור ללא ‪ 3‬על ישר אחד‪ ,‬נמספר שרירותית את‬
‫הנקודות‪ ,‬ולכל שלשה )‪ 1 ≤ i < j < k ≤ R3 (k, k‬נצבע בטורקיז אם המשולש ‪i, j, k‬‬
‫מכוון עם כיוון השעון ובאוף־ווייט אם המשולש ‪ i, j, k‬הוא נגד כיוון השעון‪ .‬לפי משפט רמזי‬
‫קיימת ‪k‬־יה עבורה כל השלשות באותה אוריינטציה‪.‬‬
‫מכאן שה ‪k‬־יה הזו קמורה‪ .‬מדוע? כיוון שרביעיה במצב קעור ־ לא ניתן לכוון את כל‬
‫‪ 4‬המשולשים בה באותה אוריינטציה‪.‬‬
‫‪12.2‬‬
‫חסם תחתון למספרי רמזי‬
‫הצליחו להדק את )‪ R (3, k‬ואת )‪ R (4, k‬ל )‪ R (5, k‬זה עוד פתוח‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫טענה ‪) 12.9‬ארדש‪ (1943 ,‬אם )‪· 21−(2‬‬
‫)‪(n‬‬
‫‪k‬‬
‫> ‪ 1‬אז )‪n < R (k, k‬‬
‫‪k‬‬
‫מסקנה ‪ 12.10‬עבור ‪ 3 ≤ k‬מתקיים )‪2⌊ 2 ⌋ ≤ R (k, k‬‬
‫)‪(n) 1−(k‬‬
‫‪1+ k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2 ·nk‬‬
‫‪2 < 2‬‬
‫⌋ ‪ n = 2⌊ 2‬אז ‪< 1‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪k 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n!·2‬‬
‫הוכחה‪) :‬אחד השימושים הראשונים בשיטה ההסתברותית(‬
‫נצבע כל צלע על פי הטלת מטבע הוגן‪.‬‬
‫) (‬
‫מאורע "רע" הוא צביעה של ‪k‬־יה רק באדום או רק בכחול‪ .‬כלומר יש ‪ 2 · nk‬מאורעות‬
‫‪k‬‬
‫רעים סך הכל‪ ,‬וההסתברות לכל אחד מהם היא )‪ 2−(2‬ומחסם האיחוד ההסתברות למאורע‬
‫רע כלשהו היא קטנה מסכום ההסתברויות שהוא‪:‬‬
‫) (‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫·‪2‬‬
‫‪· 2−(2) < 1‬‬
‫‪k‬‬
‫ולכן קיים מאורע שאינו רע‪ ,‬ובפרט יש צביעה ללא ‪k‬־יה מונוכרומאטית ובלבד שיתקיים‬
‫אי השוויון הנ"ל‪ ,‬וזו ההנחה בטענה‪.‬‬
‫נגדיר )‪ R (H‬כאשר ‪ H‬גרף קבוע‪ ,‬יסמן את ה ‪ n‬המינימלי כך שבכל צביע של ‪ Kn‬ב ‪2‬‬
‫צבעים ־ יש עותק מונוכרומטי של ‪.H‬‬
‫‪√ k‬‬
‫לכן ) ‪ R (k, k) = R (Kk‬וראינו שזה גדול מ ‪. 2‬‬
‫מסתבר שמה שגורם לחסם להיות מעריכי הוא לא העובדה שיש ‪ k‬קודקודים‪ ,‬אלא שזו‬
‫גם הדרגה של כל קודקוד‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫משפט ‪ 12.11‬לכל ∆ קיים ‪ c‬כך שאם ‪ H‬גרף עם דרגה מקסימלית ∆ אזי ≤ )‪R (H‬‬
‫|)‪.c · |V (H‬‬
‫למה ‪) 12.12‬שכבר הוכחנו( בגרף שמחולק לקבוצות‪ ,‬שכל ‪ε 2‬־רגולריות עם צפיפות ≤ ‪,d‬‬
‫‪rs‬‬
‫‪s·r‬‬
‫וגודל כל קבוצה ‪ ,N‬ניתן למצוא ‪ Kr, r, ..., r‬כאשר ‪(d − ε) − s · r · ε > d2‬ו ‪.N > r · d‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪s‬‬
‫‪49‬‬
‫נפעיל עם ‪ ,d = 12‬נשתמש בחיזוק של הלמה‪ :‬מספיק ש )‪ N > r · d−(∆+1‬בשביל למצוא‬
‫גרף ‪ s‬צדדי עם דרגה מקסימלית ∆‪ .‬הוכחה‪) :‬המשפט(‬
‫נגדיר‬
‫)‪m := R (∆ + 1, ∆ + 1‬‬
‫ונשים לב שאם הדרגה המקסימלית של ‪ H‬היא ∆ אז ‪ H‬הוא ‪ ∆ + 1‬צביע )=צדדי(‪.‬‬
‫ולכן ‪ ,H ⊆ Kr, r, r, ..., r‬למשל נוכל לקחת |)‪.r = |V (H‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪s‬‬
‫נוכל להשתמש בלמה כדי למצוא עותק של ‪ H‬בתוך ‪ ∆ + 1‬קבוצות שכל זוג מהן הוא ‪ε‬‬
‫רגולרי עם צפיפות ≤ ‪ 12‬בתנאי ש ‪ ε‬קטן דיו‪.‬‬
‫בפרט ‪ ε‬צריך לקיים ש‪:‬‬
‫)‪)r·(∆+1‬‬
‫)‪1 r(∆+1‬‬
‫‪2‬‬
‫> ‪− (∆ + 1) rε‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−ε‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫וגם אם גודל הקבוצות הוא ‪ N‬אז נדרוש‪:‬‬
‫‪N > r · 2∆+1‬‬
‫נדרוש ‪ ε‬גם קטן מספיק כך ש‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫≤‬
‫‪−‬‬
‫‪m−1 m‬‬
‫‪m−1‬‬
‫‪l‬‬
‫< ‪2ε‬‬
‫לכל ‪.m ≤ l‬‬
‫נפעיל את ‪) SZRL‬למת הרגולריות( עם פרמטרים ‪.m, ε‬‬
‫מקבלים ‪ M‬כך ש ‪ m ≤ l ≤ M‬חלקים‪.‬‬
‫)‪n(1−ε‬‬
‫רוצים ש ‪> N > r · 2∆+1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫}‪· 2∆+1 |{z‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1−ε‬‬
‫>‪n‬‬
‫|)‪=|V (H‬‬
‫מתוך ‪ l‬הזוגות לכל היותר ‪ εl2‬אינם ‪ε‬־רגולרים ולכן נותרו‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫) (‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪− εl2 = l2 1 − − 2ε > l2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m−1‬‬
‫וממשפט טוראן יש ‪ m‬קבוצות כך שכל זוג הוא ‪ε‬־רגולרי‪.‬‬
‫בהנתן גרף )אדום( ומשלימו )כחול( על ‪ n‬קודקודים ־ נצבע את הזוגות הנ"ל באדום‬
‫או בכחול לפי צפיפות ≤ ‪ . 12‬ממשפט רמזי ומהגדרת ‪ m‬יש ‪ ∆ + 1‬קבוצות שכל זוג הוא‬
‫‪ε‬־רגולרי וכולם עם צפיפות )בה"כ אדומה( ≤ ‪ . 21‬מבחירת ‪ n‬הן גם גדולות מספיק בכדי‬
‫להבטיח עותק של ‪.H‬‬
‫‪50‬‬
‫גרפים מקריים‬
‫‪13‬‬
‫נניח שאנו מחפשים גרף על ‪ n‬קודקודים ללא קליקה או קבוצה בת"ל בגודל ‪k = 2 log2 n‬‬
‫‪√ k‬‬
‫)כך ‪ (n = 2‬ראינו שגרף מקרי יעבוד בהסתברות חיובית‪ :‬כל צלע באופן בלתי תלוי‬
‫שייכת לגרף בהסתברות ‪.2‬‬
‫)‪(1024) 1−(20‬‬
‫‪2‬‬
‫אם ‪ n = 1024‬ו ‪ k = 20‬אז גרף מקרי יכשל בהסתברות שהיא קטנה מה‬
‫‪20 2‬‬
‫‪11‬‬
‫וזה קטן מ !‪ 220‬שקטן מ ‪.10−16‬‬
‫√‬
‫הבניה המפורשת הטובה ביותר נותנת ‪.k = e log n‬‬
‫משפט ‪) 13.1‬ארדש(‪ :‬לכל ‪ k, l‬קיים גרף ללא מעגלים באורך ≥ ‪ l‬עם מספר צביעה ≤ ‪.k‬‬
‫|)‪ |V (G‬קודקודים יש צלע‪ ,‬וזה ימנע קבוצות בלתי תלויות‬
‫אפשר לדאוג כך שבכל קבוצה של‬
‫‪k‬‬
‫גדולות‪ ,‬אבל אז אולי נקבל מעגל‪ ...‬הוכחה‪ :‬נבחר מספר כלשהו ‪ 0 < θ < 1l‬ונבחר גרף‬
‫מקרי )‪) G (n, p‬כלומר בוחרים צלע בהסתברות ‪ (p‬כאשר ‪p = nθ−1‬‬
‫‪X‬־ משתנה מקרי של מספר המעגלים באורך ≥ ‪ l‬בגרף שנוצר‪.‬‬
‫∑ ] ∑[‬
‫‪E [X] = E‬‬
‫= ‪Xi‬‬
‫] ‪E [Xi‬‬
‫]‪E [Xi ] = P r [Xi = 1‬‬
‫כאשר ה ‪ Xi‬הם משתנים מקריים המתאימים למעגלים באורך ‪) l ≥ i‬משתנה מציין שונה‬
‫לכל אורך מעגל אפשרי(‪.‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫)‪= o (n‬‬
‫‪l‬‬
‫∑‬
‫‪nθi‬‬
‫‪2i‬‬
‫≤ ‪· pi‬‬
‫‪l‬‬
‫∑‬
‫)‪n (n − 1) ... (n − i + 1‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪i=3‬‬
‫‪i=3‬‬
‫)אנחנו מחלקים ב ‪ 2i‬כי אחרת סופרים את אותו המעגל עבור כל מעגל מכוון שאפשר לבנות‬
‫עליו ועבור כל קודקוד התחלה בנפרד‪(...‬‬
‫מאי שוויון מרקוב‪ ,‬כיוון ש ‪ X‬אי שלילי מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪λ‬‬
‫≤ ]]‪P r [X ≥ λE [X‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫[‬
‫]‪n‬‬
‫> ‪Pr X‬‬
‫)‪= o (1‬‬
‫‪2‬‬
‫בהסתברות ששואפת ל ‪ 1‬יש פחות מ‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫מעגלים באורך ≤ ‪.l‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ln n‬‬
‫‪p‬‬
‫‪51‬‬
‫=‪α‬‬
‫)נזכיר כי ‪(p = nθ−1‬‬
‫‪ = Y‬משתנה מקרי המונה את מספר הקבוצות הבלתי תלויות בגודל ‪) α‬נניח ‪ α‬שלם(‪:‬‬
‫) (‬
‫(‬
‫‪)α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(1 − p)( 2 ) < n · e−p 2‬‬
‫= ] ‪E [Y‬‬
‫)‪= √ = o (1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪n‬‬
‫בפרט‪ ,‬ההסתברות ש ‪ Y ≥ 1‬היא )‪ o (1‬גם כן לפי א"ש מרקוב‪.‬‬
‫ניקח ‪ n‬כך שבהסתברות < ‪ 12‬יתקיים ‪ X < n2‬ובהסתברות < ‪ 12‬יתקיים ‪ Y = 0‬ונקבל‬
‫שבהסתברות חיובית ־ שניהם מתרחשים סימולטנית‪ .‬כלומר ־ יש גרף על ‪ n‬קודקודים ללא‬
‫קבוצה בת"ל בגודל ‪ 3 ln n · n1−θ‬עם פחות מ ‪ n2‬מעגלים באורך ≥ ‪.l‬‬
‫נסלק קודקוד אחד מכל מעגל קצר‪ ,‬ונקבל גרף עם לפחות ‪ n2‬קודקודים ללא מעגלים‬
‫באורך ≥ ‪ l‬וללא קבוצה בלתי תלויה בגודל ‪.3n1−θ ln n‬‬
‫עובדה שהשתמשנו בה בהוכחה‪ :‬אם ‪ Y‬מ"מ אי שלילי‪ ,‬אז‬
‫] ‪P r (Y > 0) < E [Y‬‬
‫מדוע?‬
‫כי התוחלת של ‪) Y‬מ"מ טבעי( היא ‪ P r (Y = 1) · 1 + P r (Y = 2) · 2 + ...‬ולכן אם‬
‫מוחקים את כל המספרים שמחוץ להסתברות מקבלים את‪P r (Y = 1) + P r (Y = 2) ...‬‬
‫וזו ההסתברות ל ‪ Y‬חיובי‪ ,‬אולם רק הגדלנו את הביטוי‪.‬‬
‫האם תוחלת גדולה משמעה שיש סיכוי גבוה ש ‪ Y‬חיובי? התשובה היא שלא‪.‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫‪ =Y‬מספר ההרוגים במלחמת עולם בעשור הקרוב‪ ,‬למשל אם נעריך את ההסתברות‬
‫‪1‬‬
‫‪ 100000‬אבל את מספר ההרוגים הצפוי בכמה מיליארדים‪ ,‬אז נקבל שתוחלת‬
‫למלחמה ב‬
‫מספר ההרוגים היא כמה אלפים‪ ,‬אבל ההסתברות שהמשתנה יהיה לא אפס קטנה מאד‪.‬‬
‫לכן מועיל להתבונן גם בשונות של המשתנה המקרי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 13.2‬אם ‪ X‬משתנה מקרי אז השונות של ‪ X‬מוגדרת להיות‪:‬‬
‫[‬
‫]‬
‫] [‬
‫‪2‬‬
‫]‪V ar (X) = E (X − E [X]) = E X 2 − E2 [X‬‬
‫√‬
‫וסטיית התקן היא )‪V ar (x‬‬
‫∑‬
‫= ‪ X‬אז‪:‬‬
‫אם ‪Xi‬‬
‫= ‪...σ‬‬
‫] ) ∑([‬
‫) ∑(‬
‫‪2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Xi‬‬
‫‪− E2‬‬
‫‪Xi‬‬
‫] [ (∑‬
‫∑ )‬
‫=‬
‫‪E Xi2 − E2 [Xi ] +‬‬
‫)] ‪(E [Xi Xj ] − E [Xi ] E [Xj‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪i‬‬
‫‪i,j‬‬
‫= )‪V ar (X‬‬
‫] ‪Cov[Xi ,Xj‬‬
‫ואם ‪ Xi , Xj‬בלתי תלויים אז ‪Cov (Xi , Xj ) = 0‬‬
‫מסקנה ‪ 13.3‬מאי שוויון צ'ביצ'ב ידוע לנו‪:‬‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P r (|X − E [X]| > λσ) = P r (X − E [X]) > X 2 V ar (X) < 2‬‬
‫‪λ‬‬
‫(‬
‫‪52‬‬
‫בפרט‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫]‪E [X‬‬
‫‪σ2‬‬
‫)‪V ar (X‬‬
‫‪·σ ≤ 2‬‬
‫=‬
‫‪σ‬‬
‫]‪E [X‬‬
‫]‪E2 [X‬‬
‫(‬
‫)‬
‫ובפרט אם ]‪V ar (X) = o E2 [X‬אז בהסתברות ששואפת ל ‪ 1‬מתקיים ‪ 0 < X‬ולמעשה‬
‫בהסתברות ששואפת ל‪ 1‬מתקיים אף ש‪:‬‬
‫≥ |]‪P r (X ≤ 0) ≤ P r (|X − E [X]| ≥ E [X]) = P r |X − E [X‬‬
‫]‪(1 − ε) E [X] ≤ X ≤ (1 + ε) E [X‬‬
‫לכל ‪.ε‬‬
‫שימוש במסקנה מא"ש צ'בישב‬
‫מספר המשולשים ב )‪:G (n, p‬‬
‫הגדרה ‪ 13.4‬בהנתן תכונה ‪ A‬של גרפים אז )‪ p∗ = p∗ (n‬תקרא פונקציית סף עבור ‪ A‬אם‬
‫‪ p = o (p∗ ) ⇒ P r [G (n, p) ∈ A] → 0‬ומאידך‪:‬‬
‫‪p∗ = o (p) ⇒ P r [G (n, p) ∈ A] → 1‬‬
‫מהי תכונה של גרפים? בעצם אפשר לחלק את הגרפים לאלו שיש להם את התכונה ולאלו‬
‫שאין להם ולכן זה שם אחר למשפחה של גרפים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 13.5‬תכונה מונוטונית‪ :‬נשמרת תחת הוספת צלעות )לדוגמא ־ הכלת משולש‪ ,‬קשירות‪,‬‬
‫אי מישוריות‪ ,‬מספר צביעה ‪(17‬‬
‫נניח שלגרף הריק אין את התכונה ולגרף המלא יש את התכונה‪ ,‬ואז הפונקציה ]‪P r [G (n, p) ∈ A‬‬
‫היא פונקציה עולה מ ‪ 0‬ל ‪) 1‬כפונקציה של ‪.(p‬‬
‫∑‬
‫= ‪) X‬סכום של משתנים מציינים‬
‫כעת אם ‪ X‬מספר המשולשים ב )‪ G (n, p‬כך ש ‪Xi‬‬
‫למשולשים השונים( אז‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫∑‬
‫‪n‬‬
‫‪n3 p3‬‬
‫= ]‪E [X‬‬
‫= ] ‪E [Xi‬‬
‫∼ ‪· p3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫רואים שאם‬
‫‪c‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫∼ ‪ p‬אז‬
‫‪c3‬‬
‫‪6‬‬
‫∼ )‪E [X] = Θ (1‬‬
‫טענה ‪13.6‬‬
‫) (‬
‫‪3 3‬‬
‫הוכחה‪ p = o n1 :‬אז )‪ E [X] ∼ p 6n = o (1‬ולכן )‪.P r [X > 0] = o (1‬‬
‫)‪) ω (n) → ∞ ,p = ω(n‬כלומר המנה של ‪ p‬ו‬
‫צריך לראות מה קורה כאשר‬
‫‪n‬‬
‫לאינסוף(‬
‫= ‪ p‬מהווה פונקציית סף עבור קיום משולש‬
‫) (‬
‫מה השונות? ‪V ar = o E2‬‬
‫‪ω3‬‬
‫∞→‬
‫‪6‬‬
‫∼ ]‪E [X‬‬
‫‪53‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫שואפת‬
‫∑ )‬
‫∑‬
‫= ‪Xi‬‬
‫‪V ar (Xi ) +‬‬
‫) ‪Cov (Xi , Xj‬‬
‫‪i̸=j‬‬
‫∑(‬
‫‪‬‬
‫‪V ar (X) = V ar‬‬
‫‪‬‬
‫) (‬
‫]‪n  [ 2‬‬
‫∑ ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪Cov (Xi , Xj‬‬
‫‪E Xi − E [Xi ] +‬‬
‫‪3‬‬
‫} ‪| {z } | {z‬‬
‫‪i̸=j‬‬
‫‪p6‬‬
‫=‬
‫‪p3‬‬
‫) (‬
‫‪n‬‬
‫‪≤E [X] +‬‬
‫‪Cov (Xi , Xj ) ≤ E [X] +‬‬
‫)] ‪(E [Xi Xj ] − E [Xi ] E [Xj‬‬
‫‪3‬‬
‫‪i̸=j‬‬
‫) (‬
‫‪n 5‬‬
‫‪≤E [X] +‬‬
‫‪p 3n‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫)‬
‫)‪3ω (n‬‬
‫]‪→ E [X] = o E2 [X‬‬
‫‪=E [X] + E [X] · 3np2 = E [X] +‬‬
‫‪n‬‬
‫(‬
‫)‬
‫)‪ω(n‬‬
‫‪ G n, n‬אזי‬
‫ולכן לכל ‪ ε‬אם ∞ → )‪ ,ω (n‬ו ‪ X‬מספר המשולשים ב‬
‫∑‬
‫‪P r [X ∈ [(1 − ε) E [X] , (1 + ε) E [X]]] →n→∞ 1‬‬
‫‪.‬‬
‫הופעת רכיב ענק בגרף מקרי‬
‫)ארדש ורני‪(1960 ,‬‬
‫טענה ‪) 13.7‬שלא נוכיח(‬
‫‪−c′ np‬‬
‫‪′‬‬
‫‪∀c ∃c : P r [|B (n, p) − np| > cnp] < e‬‬
‫)כאשר )‪ B (n, p‬מ"מ בינומי(‬
‫נסמן ב )‪ P (λ‬את המשתנה הפואסוני עם פרמטר ‪ ,λ‬ואז‬
‫בגבול )‪ B (n, p) ∼ P (λ‬כי‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪−λ‬‬
‫‪λ‬‬
‫!‪k‬‬
‫‪e‬‬
‫= ]‪ P r [P (λ) = k‬ואז‬
‫‪nk pk‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫) (‬
‫‪k‬‬
‫‪n k‬‬
‫‪n−k‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪p (1 − p‬‬
‫‪∼ ∼λ e|−np‬‬
‫)‪(1 − p‬‬
‫‪k‬‬
‫} ‪k! {z‬‬
‫‪∼e−λ‬‬
‫ולכן בגבול )עבור ‪ k‬קבוע( זה מתנהג אותו הדבר‪.‬‬
‫התוחלת של משתנה פואסוני היא כזכור ‪.λ‬‬
‫טענה ‪) 13.8‬שלא נוכיח(‬
‫‪λ‬‬
‫)‪∀ε ∃δ > 0 : P r [|P (λ) − λ| > ελ] < (1 − δ‬‬
‫‪54‬‬
‫תהליך הסתעפות )גלטון־ווסטון(‬
‫‪google books‬‬
‫הדיון הבא לקוח מספרם של ספנסר ואלון השיטה ההסתברותית )יש ב‬
‫בסביבות עמוד ‪.(161‬‬
‫שני סוציולוגים שחקרו מה ההסתברות ששם משפחה כלשהו יכחד? כלומר ניקח את מר‬
‫סמית‪ ,‬נבין כמה בנים יש לנו וכמה בנים יש להם וכו'‪ ...‬הם הגיעו לתשובה לא נכונה‪ ,‬אבל‬
‫התהליך בכל זאת נקרא על שמם‪.‬‬
‫נניח שיש לנו בקטריה שבהסתברות ‪ 21‬היא מתה ובהסתברות שווה היא מתפצלת ל ‪.2‬‬
‫מהי ההסתברות שמושבת הבקטריות תיכחד? )נסמן זאת ב ‪(p‬‬
‫]‪[ 2‬‬
‫‪p‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪both of f springs die‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫=‪p‬‬
‫‪f irst one dies‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫‪p2 − 2p + 1 = 0 ⇒ p = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ולהתפצלות‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫אז היינו מקבלים → ‪p = 23 + 13 p2‬‬
‫אם היינו בוחרים את ההסתברות למוות‬
‫‪p = 1, 2‬‬
‫אם היינו בוחרים את ההסתברות באופן סימטרי היינו מקבלים‪:‬‬
‫‪1 2 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ p ⇒ p = 1,‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪p‬‬
‫אז מהי התשובה הנכונה כאן? ‪ 1‬או ‪? 12‬‬
‫טענה ‪ 13.9‬יהי ‪ Z‬מ"מ טבעי ונסתכל בתהליך גלטון ווטסון בו מספר הצאצים מתפלג ‪ Z‬אזי‬
‫התהליך יכחד בהסתברות ‪ 1‬אם"ם ]‪ 1 ≥ E [Z‬ואחרת ימשך לנצח בהסתברות חיובית ויכחד‬
‫בהסתברות קטנה מ ‪.1‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר פונקציה יוצרת של ‪:Z‬‬
‫‪pi xi‬‬
‫∞‬
‫∑‬
‫= )‪P (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫באשר ]‪pi = P r [Z = i‬‬
‫נבחין כי )‪=P (0‬ההסתברות להיכחדות מיידית‬
‫)‪) 1 =P (1‬סיכום כל ההסתברויות‪(...‬‬
‫)‪ 0 ≤ P ′ (x‬עבור ‪ 0 ≤ x‬ולכן ‪ P‬פונקציה עולה‪ ,‬וכך גם עבור הנגזרת השניה‪ ,‬לכן‬
‫הפונקציה קמורה‪.‬‬
‫כמו כן )‪E [Z] = P ′ (1‬‬
‫‪ P‬היא הפונקציה היוצרת של מספר האורגניזמים בדור ה ‪.1‬‬
‫מהי הפונקציה היוצרת של מספר האורגניזמים בדור ‪ ,2‬מותנה על ‪ k‬אורגניזמים בדור ה‬
‫‪?1‬‬
‫כאשר ‪ k = 2‬־ נרצה פונקציה יוצרת שבה )בהנתן שני ילדים בדור הראשון( המקדם‬
‫של ‪ xj‬הוא ההסתברות שנולדו בדור השני ‪ j‬ילדים‪ ,‬אזי נולדו ‪ m‬ילדים לצאצא ‪ 1‬ו ‪j − m‬‬
‫‪55‬‬
‫לצאצא השני‪ ...‬נבחין שזה מתקבל ע"י המקדמים של ‪ ,P 2‬שכן כל זוג שמשלים ל ‪ j‬יופיע‬
‫פעם אחת‪.‬‬
‫באופן כללי זה יהיה ‪ ,P k‬בהנתן ‪ k‬ילדים בדור הראשון‪.‬‬
‫ובלי התניה?‬
‫נצטרך לסכום את הפונקציות היוצרות בהסתברויות עבור האפשרויות למה שהתרחש‬
‫בדור הראשון‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫))‪p0 + p1 P (x) + p2 (P (x)) + ... + pk (P (x‬‬
‫ובאינדוקציה ־ הפונקציה היוצרת של מספר הילדים בדור ה ‪ s‬היא‪:‬‬
‫)‪◦ ... ◦ P} (x‬‬
‫‪|P ◦ P {z‬‬
‫‪s times‬‬
‫ולכן )‪ =P (0‬ההסתברות להיכחדות בדור הראשון‬
‫))‪=P (P (0‬ההסתברות ל־‪ 0‬צאצאים בדור השני‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ =P‬ההסתברות ל־‪ 0‬צאצאים בדור ה ‪s‬‬
‫)‪◦ ... ◦ P} (x‬‬
‫‪| ◦ P {z‬‬
‫‪s times‬‬
‫ולכן השאלה שמעניינת אותנו היא‬
‫‪lim P (s) (0) = 1‬‬
‫∞→‪s‬‬
‫?‬
‫מכיוון שהפונקציה ‪ P‬קמורה‪ ,‬יתכן שהיא נחתכת עם התוחלת בשתי נקודות לכל היותר‪,‬‬
‫ואם היא נחתכת בשתי נקודות ־ אזי היא ממשיכה לטפס ותמיד תהיה מעל התוחלת‪.‬‬
‫למשוואה ‪ P (x) = x‬יש שורש ב ‪ x = 1‬ועוד שורש בקטע ]‪ [0, 1‬אם"ם ‪.P ′ (1) < 1‬‬
‫הסדרה‬
‫‪P (0) , P (2) (0) , ...‬‬
‫היא סדרה לא יורדת‪ ,‬חסומה‪ ,‬והגבול ‪ y‬מקיים ‪ ,P (y) = y‬וכיוון שיש שני שורשים‪ ,‬אז‬
‫‪ y < 1‬ולכן הסדרה לעיל מתכנסת לגודל שהוא קטן ממש מ ‪.1‬‬
‫משפט ‪ 13.10‬נתבונן ב )‪ G (n, p‬כאשר ‪ ,p = nc‬אז‬
‫אם ‪ c < 1‬אז בהסתברות ששואפת ל ‪ 1‬כאשר ∞ → ‪ n‬מתקיים שיש קבוע ‪ d‬כך שכל‬
‫הרכיבים קטנים מ ‪.d · log n‬‬
‫אם ‪ 1 < c‬אז בהסתברות ששואפת ל ‪ 1‬כאשר ∞ → ‪ n‬מתקיים שיש ‪0 < y (c) < 1‬‬
‫וקיים רכיב בגודל ‪.(1 − y) n‬‬
‫במילים אחרות ־ אם ‪ c < 1‬אז יש הרבה רכיבים קטנים‪ ,‬ואם ‪ c > 1‬אז יש רכיב קשירות‬
‫גדול בגודל ‪ (1 − y) n‬ושאר הגרף נראה כמו )‪G (yn, p‬‬
‫‪k‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי )‪ Z ∼ P oisson(c‬כלומר !‪ P r (Z = k) = e−k ck‬כאשר ‪k = 1, 2, 3...‬‬
‫נגדיר ‪ Z1 , Z2 , ...‬מ"מ בלתי תלויים כך שלכל ‪ i‬מתקיים ‪Zi ∼ Z‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪Y0 = 1‬‬
‫‪56‬‬
‫‪Yi = Yi−1 + Zi − 1‬‬
‫כלומר ‪ Yi‬הוא מספר האורגניזמים שיש אחרי ש ‪ i‬אורגניזמים כבר ילדו ומתו‪.‬‬
‫‪ =T‬ה ‪ t‬המינימלי שעבורו ‪ ,Yt = 0‬אחרת ∞ = ‪.T‬‬
‫הפונקציה היוצרת של ‪ Z‬היא‪:‬‬
‫‪ci i‬‬
‫)‪x = ec(x−1‬‬
‫!‪i‬‬
‫‪e−c‬‬
‫∞‬
‫∑‬
‫= ‪P r [Z = i] xi‬‬
‫∑‬
‫= )‪P (x‬‬
‫‪i=0‬‬
‫ואז למשוואה ‪ P (x) = x‬יש שורש קטן ממש מ ‪ 1‬אם"ם ‪ 1 < c‬ואז נסמן שורש זה ב ‪y‬‬
‫)התלוי ב ‪ ,(c‬ואז ‪ y‬מקיים )‪ ,y = ec(y−1‬ויש ‪ y‬יחיד שכזה בקטע )‪(0, 1‬‬
‫כשהתהליך מסתיים רושמים את וקטור ההיסטוריה‪:‬‬
‫) ‪H = (Z1 , Z2 , Z3 , ...., ZT‬‬
‫נאמר שהוקטור לעיל מהווה תיאור של היסטוריה אפשרית אם"ם‪:‬‬
‫{‬
‫‪Y0 = 1‬‬
‫‪Yi = Yi−1 + Zi − 1‬‬
‫ולכל ‪ i < T‬מתקיים ‪.0 < Yi‬‬
‫ואז מקבלים‪:‬‬
‫‪T −1‬‬
‫‪cZi‬‬
‫) ‪e−c (ce−c‬‬
‫∏‬
‫=‬
‫! ‪Zi‬‬
‫! ‪Zi‬‬
‫‪e−c‬‬
‫‪T‬‬
‫∏‬
‫= ]) ‪P r [H = (Z1 , ..., ZT‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)סכום ה ‪Z‬ים הוא ‪ T − 1‬שכן היצור ה ‪ T‬היה האחרון ששרד(‬
‫נתבונן בגרף ‪xe−x‬‬
‫אם ‪ 1 ≤ c‬אז יש ‪ d‬יחיד כך ש ‪ d ≤ 1‬כך ש ‪y = de−d = ce−c‬‬
‫‪ y‬הוא פונקציה של ‪ y = ec(y−1) :c‬כלומר ‪ ,cye−cy = ce−c‬זאת אומרת ‪cy = d‬‬
‫‪.d · e−d = c · e−c‬‬
‫‪57‬‬
‫נגדיר‪ :‬לכל ‪ ,c > 1‬נקרא ל ‪ d‬הדואלי של ‪ c‬אם ‪ d < 1 < c‬מקיים ש ‪,d · e−d = c · e−c‬‬
‫יש ‪ d‬יחיד שכזה‪.‬‬
‫טענה‪ :‬תהליך הסתעפות פואסוני עם פרמטר ‪ c > 1‬מותנה על היכחדות מתפלג כמו‬
‫תהליך הסתעפות פואסוני עם פרמטר ‪ d‬שהוא הדואלי של ‪ .c‬הרעיון הוא שדיברנו על‬
‫היווצרות רכיב ענק )זה אנלוגי למצב של אי־היכחדות( ועל שאר הגרף ־ שאין בו רכיב ענק‪,‬‬
‫כלומר כל ההתחלות בו נכחדו‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נחשב את ההסתברות ל ) ‪ H (Z1 , ..., ZT‬בהנתן שאירעה היכחדות‪ ,‬וזה נותן‬
‫כאמור‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪T‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪T −1‬‬
‫‪e−d de−d‬‬
‫) ‪e−c (ce−c‬‬
‫∏‬
‫∏‬
‫=‬
‫! ‪y Zi‬‬
‫! ‪Zi‬‬
‫פואסוני עם פרמטר ‪.d‬‬
‫קיבלנו שמותנה על היכחדות זה נראה כמו תהליך‬
‫הסתעפות (‬
‫)‬
‫תהליך בנית רכיב קשירות )‪C (v‬של קודקוד ‪ v‬בגרף ‪ :G n, nc‬בתחילה ‪ v‬חי‪ ,‬כל שאר‬
‫הקדקודים נייטרלים‪ t = 0 ,‬ו ‪ .Y0 = 1‬בכל זמן ‪ t‬שלם בוחרים ‪ w‬חי‪ ,‬לכל ‪ w′‬נייטרלי‬
‫בודקים האם } ‪ {w, w′‬צלע‪ ,‬אם כן אז ‪ w′‬חי‪ ,‬אם לא ־ ‪ w′‬נשאר נייטרלי‪ .‬כשמסיימים‬
‫לעבור על הנייטרלים ־ אז ‪ w‬מת ו ‪.t := t + 1‬‬
‫‪Yt = Yt−1 + Zt − 1‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Zt ∼ n − (t − 1) − Yt−1 , p‬‬
‫}‪| {z } |{z‬‬
‫‪alive‬‬
‫‪deceased‬‬
‫כאשר ‪ T‬הוא ה ‪ t‬המינימלי עבורו ‪ ,Yt = 0‬נקבל‪:‬‬
‫)‪T = C (v‬‬
‫בהגדרת ‪ Yt‬גם עבור ‪.T <(t‬‬
‫נמשיך )‬
‫‪t‬‬
‫טענה‪Yt ∼ (1 − t) + B n − 1, 1 − (1 − p) :‬‬
‫נסמן ב ‪ Nt‬את מספר הנייטרלים בזמן ‪ ,t‬אז ∼ )‪Nt ∼ B (Nt−1 , 1 − p‬‬
‫) הוכחה‪ :‬אם (‬
‫‪t‬‬
‫)‪B n − 1, (1 − p‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪t‬‬
‫‪ n‬הוא מספר הקודקודים‪ ,‬הנייטרלים מתפלגים )‪ ,B n − 1, (1 − p‬המתים )‪(t − 1‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪t‬‬
‫והחיים יחד מתפלגים )‪B n − 1, 1 − (1 − p‬‬
‫אם נבחר כעת ‪ p = nc‬אז כל עוד ‪ t‬ו ‪ Yt−1‬קטנים אז )‪Zt ∼ P oi (c‬‬
‫נקבע את ‪c‬‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫)‪P oisson (c‬‬
‫הסתעפות‬
‫תהליך‬
‫יגדיר‬
‫זה‬
‫‪Y‬‬
‫‪,‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪,‬‬
‫‪...,‬‬
‫‪T‬‬
‫‪,‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪,‬‬
‫‪...,‬‬
‫∗ ‪ZT∗ , H‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪( c‬‬
‫∗‬
‫ו ‪ Y0 , Y1 , ..., T , Z1 , ..., ZT , H‬תהליך בניית )‪ C (v‬ב ‪.G n, n‬‬
‫לכל היסטוריה סופית ∗ ‪ H‬אז‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫∏‬
‫= ]) ‪P r [H ∗ = (Z1 , ..., ZT‬‬
‫}‪P r  |{z‬‬
‫‪Z ∗ < zi ‬‬
‫)‪∼P oi(c‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪58‬‬
‫] ‪P r [Zi = zi‬‬
‫∏‬
‫= ]) ‪P r [H = (Z1 , ..., ZT‬‬
‫וכיוון ש ‪:‬‬
‫)‪∼ P oi (c‬‬
‫)‪c‬‬
‫‪n‬‬
‫(‬
‫‪Zi ∼ B n − 1 − Z1 − ... − Zi−1 ,‬‬
‫)כי כאשר ‪ n‬שואף לאינסוף‪ ,‬לכל היסטוריה סופית ־ הסכום של ה ‪Z‬ים קבוע ולכן תתקבל‬
‫התפלגות פואסונית(‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫] ∗ ‪lim P r [H ∗ ] = P r [H‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫גודל רכיב מקסימלי כאשר ‪:c < 1‬‬
‫( [‬
‫)‬
‫]‬
‫‪t‬‬
‫‪P r [T > t] ≤ P r [Yt ≥ 0] = P r B n − 1, 1 − (1 − p) > t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫וכיוון ש ‪ (1 − p) > 1 − pt‬אז ‪ 1 − (1 − p) < pt‬נוכל לקבל שהביטוי לעיל קטן או‬
‫שווה ל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫< ‪> t‬‬
‫‪′‬‬
‫‪−c t‬‬
‫} ‪|e {z‬‬
‫‪c′ some f unc. of c‬‬
‫)‪B (n, pt‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪‬‬
‫‪Pr ‬‬
‫‪Expec. is ct and c<1‬‬
‫לכן אם ניקח תא כך ש ‪ c′ t > 2 log n‬אז ‪ t > c2′ log n‬ההסתברות ש )‪ t < C (v‬קטנה מ‬
‫‪ n−2‬ולכן הסיכוי שקיים איזהשהו ‪ v‬כך ש )‪ t < C (v‬קטנה מ ‪ , n1‬נובע שכל הרכיבים בגודל‬
‫לוגריתמי לכל היותר‪.‬‬
‫אי שוויון שנשתמש בו‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫‪P r [|B (n, p) − np| > εnp] < e−ε np‬‬
‫‪∀ε∃ε′‬‬
‫נטפל במקרה של ‪:1 < c‬‬
‫עבור ‪ t‬קבוע‪ ,‬מתקיים‬
‫]‪P r [T = t] ≈ P r [T ∗ = t‬‬
‫‪t‬‬
‫עבור )‪ t = o (n‬נקבל ‪ 1 − (1 − p) ∼ pt‬ומתקבל‪:‬‬
‫( [‬
‫)‬
‫]‬
‫( [‬
‫)‬
‫]‬
‫‪t·c‬‬
‫‪t‬‬
‫‪P r [Yt ≤ 0] = P r B n − 1, 1 − (1 − p) ≤ t − 1 ≈ P r B n,‬‬
‫‪<t‬‬
‫‪n‬‬
‫וזה אקספוננציאלית קטן ב ‪.t‬‬
‫‪59‬‬
‫אם ‪ t = αn‬אז‪:‬‬
‫‪1 − (1 − p) ∼ 1 − e−cα‬‬
‫‪t‬‬
‫והנקודה הקריטית היא‬
‫‪α = 1 − e−cα‬‬
‫‪1 − α = e−cα‬‬
‫‪1−α=y‬‬
‫אם ‪ α < 1 − y‬אז ‪ 1 − e−cα > α‬אז‬
‫( [‬
‫)‬
‫]‬
‫‪P r [Yt ≤ 0] ∼ P r B n, 1 − e−cα < αn‬‬
‫וזה קטן אקספוננציאלית ב ‪.αn‬‬
‫כעת אם ‪ α > 1 − y‬אז ‪ α > 1 − e−cα‬אז ‪P r [Yt ≤ 0] ∼ 1‬‬
‫ומסיכום שני החישובים האחרונים נקבל שבהסתברות ששואפת ל ‪ 1‬כש ∞ → ‪ ,n‬קיים‬
‫‪ t ≈ (1 − y) n‬כך ש ‪.Yt = 0‬‬
‫אינטואיציה‪ :‬במקרים שבהם התהליך הפואסוני הולך לאינסוף‪ ,‬כלומר אין מוות במקום‬
‫קבוע )∞ = ∗ ‪ (T‬אז ‪T ∼ (1 − y) n‬‬
‫‪P r [T ∗ = ∞] = 1 − y‬‬
‫ולכן בוחרים ‪ t0‬כך ש ‪ y − ε ≤ P r [T ∗ ≤ t0 ] ≤ t = y‬ועבור ‪n‬גדול מתקיים‪:‬‬
‫‪y − 2ε ≤ P r [T ≤ t0 ] ≤ y + ε‬‬
‫וגם‬
‫‪P r [t0 ≤ T ≤ (1 − δ) n (1 − y) ∨ T > (1 + δ) n (1 − y)] < ε‬‬
‫‪1 − y − 2ε ≤ P r [T ∗ ∈ [(1 − δ) (1 − y) n, (1 + δ) (1 − y) n, ]] ≤ (1 − y) + 3ε‬‬
‫‪s‬‬
‫נבחר ‪ s‬כך ש )‪ ε > (y + ε‬ו ‪log 1ε ∼ s‬‬
‫נבחר ‪ ,v‬נחשב את )‪ C (v‬ויש שלוש אפשרויות‪:‬‬
‫‪ .1‬קטן אם |)‪t0 ≥ |C (v‬‬
‫‪ .2‬ענק אם ] ‪C (v) ∈ [(1 − δ) (1 − y) n, (1 + δ) (1 − y) n,‬‬
‫‪ .3‬כישלון ־ אחרת‪.‬‬
‫ממשיכים שוב ושוב עד קבלת רכיב ענק או כשלון או ‪ s‬רכיבים קטנים‪.‬‬
‫]‪sε ≥ P r [F ailure‬‬
‫‪60‬‬
‫‪s‬‬
‫]‪ε > (y + ε) ≥ P r [All are small‬‬
‫לכן סה"כ הסיכוי לא לקבל רכיב ענק > ‪ (s + 1) ε‬אבל ‪ ε‬קטן כרצוננו וכנ"ל ‪ ε · s‬ולכן‬
‫בהסתברות השואפת ל ‪ ,1‬יש רכיב ענק שגדלו ‪.(1 − y) n‬‬
‫הקודקודים שלא בחנו‪ ,‬הוא בלתי תלוי במה שראינו ולכן‬
‫‪yn‬‬
‫הגרף‪ d‬על (‪) = m‬‬
‫נבחין כי )‬
‫(‬
‫‪c‬‬
‫הוא נראה כמו ‪= G m, m‬‬
‫‪G m, m‬‬
‫‪14‬‬
‫יישומים אלגבריים לתורת הגרפים‬
‫משפט ‪ 14.1‬אי אפשר להציג את ‪ Kn‬כאיחוד זר של פחות מ ‪ n − 1‬גרפים דו צדדיים שלמים‪.‬‬
‫העובדה שאפשר ב ‪ n − 1‬היא קלה להוכחה‪ ,‬לוקחים קודקוד ‪ ,v‬הוא יהיה צד אחד ו ‪n − 1‬‬
‫הצדדים האחרים יהיו הצד השני‪ ,‬אחר כך ניקח קוד' ‪ v ′‬ונקשר אותו ל ‪ n − 2‬הקודקודים‬
‫וזה יהיה הגרף הדו"צ השני‪ ,‬וכו'‪ .‬הוכחה‪ :‬לכל קודקוד ב ‪ Kn‬נתאים משתנה ‪ .xi‬נניח ‪Kn‬‬
‫איחוד של גרפים דו"צ שלמים ) ‪G1 (R1 , L! ) , G2 (R2 , L2 ) , ..., Gm (Rm , Lm‬‬
‫נגדיר ‪ m + 1‬משוואות ליניאריות‪:‬‬
‫‪x1 + x2 + ... + xm = 0‬‬
‫נגדיר עוד ‪ m‬משוואות‪:‬‬
‫∑‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪∑j∈R1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪xj = 0‬‬
‫‪xj = 0‬‬
‫‪j∈R2‬‬
‫‪xj = 0‬‬
‫‪j∈Rm‬‬
‫‪..‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫∑‪‬‬
‫‪‬‬
‫נניח ‪ m ≤ n − 2‬אזי ‪ m + 1 ≤ n − 1‬אזי יש פתרון לא טריויאלי‪.‬‬
‫‪∑n‬‬
‫‪2‬‬
‫נתבונן ב ) ‪( i=1 xi‬‬
‫מצד אחד זה ‪ ,0‬לפי המשוואה הראשונה‪.‬‬
‫מאידך זה שווה ל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫(‪‬‬
‫)‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪xj ‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪xi + 2‬‬
‫= ‪xi xj‬‬
‫‪xi + 2‬‬
‫‪i∈Lk‬‬
‫}‬
‫‪j∈Rk‬‬
‫‪{z‬‬
‫|‬
‫‪k=1‬‬
‫‪=0‬‬
‫וכיוון שהפתרון לא טריוויאלי אז ‪> 0‬‬
‫בסתירה‪...‬‬
‫‪15‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪∑n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i=1 xi‬‬
‫‪i<j‬‬
‫‪i=1‬‬
‫וקיבלנו שהביטוי כולו גדול ממש מאפס‪,‬‬
‫שיעור אחרון )המשך שיטות אלגבריות(‬
‫מטריצת סמיכות המוגדרת על ידי גרף על ‪ n‬קודקודים היא מטריצה ‪:n × n‬‬
‫{‬
‫‪1 i∼j‬‬
‫= ‪Aij‬‬
‫‪0 otherwise‬‬
‫‪61‬‬
‫כך למשל עבור ‪ K3‬בלתי מכוון תתקבל המטריצה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 1 1‬‬
‫‪ 1 0 1 ‬‬
‫‪1 1 0‬‬
‫‪‬‬
‫מטריצה ממשית סימטרית תמיד ניתנת לליכסון ־ כלומר יש לה מערכת שלמה של וקטורים‬
‫עצמיים אורתוגונליים‪.‬‬
‫נעסוק בגרפים ‪d‬־רגולריים בלבד ונחשוב על וקטורים ב ‪) Rn‬או ב ‪ (Cn‬כפונקציות על‬
‫קבוצת הקודקודים של הגרף‪.‬‬
‫טענה ‪) 15.1‬תרגיל( יהי ‪ G‬גרף ‪d‬־רגולרי על ‪ n‬קודקודים‪ ,‬עם ערכים עצמיים ≥ ‪λ1 ≥ λ2‬‬
‫‪ ... ≥ λn‬אזי‪:‬‬
‫‪) λ1 = d .1‬כלומר ‪ d‬הוא ערך עצמי ואף הגדול שבהם(‬
‫נבחין כי וקטור של ‪ 1‬־ים הוא וקטור עצמי עם ע"ׂע ‪) d‬שכן מספר ה ‪ 1‬־ים בכל שורה‬
‫הוא בדיוק ‪(d‬‬
‫‪ .2‬הריבוי של ‪ d‬הוא ‪ 1‬אם"ם ‪ G‬קשיר‪.‬‬
‫זאת כיוון שרכיבי קשירות שונים נראים כמו תת מטריצות במטריצת הסמיכות‪ ,‬ווקטור‬
‫שכולו ‪ 1‬ים במקומות המתאימים למטריצה הרלבנטית ־ יהיה וקטור עם ע"ע ‪.d‬‬
‫‪ λn ≥ −d .3‬ושוויון מתקיים אם"ם ‪ G‬הוא דו־צדדי‬
‫שתי הערות‪∑n :‬‬
‫‪tr‬‬
‫)‪(A‬‬
‫=‬
‫א‪i=1 λi = 0 .‬‬
‫) (‬
‫‪A‬‬
‫‪ A‬אז נקבל‬
‫‪(f‬‬
‫)‬
‫=‬
‫)‪(g‬‬
‫ב‬
‫נתבונן‬
‫אם‬
‫וקטור‪,‬‬
‫‪f‬‬
‫לכל‬
‫אז‬
‫המיצוע‪,‬‬
‫אופרטור‬
‫‪d‬‬
‫אם ‪d‬‬
‫‪∑n‬‬
‫ב‪∑ .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪gi = d j=1 Aij fi = d1 j∼i fi‬‬
‫נתבונן במטריצה המתאימה ל ‪ ,K3‬מהו הפולינום האופייני?‬
‫‬
‫ ‪−1‬‬
‫‪−1 = x3 − 3x − 2 = (x − 2) (x + 1)2‬‬
‫ ‪x‬‬
‫‬
‫‪ x −1‬‬
‫‬
‫‪ −1 x‬‬
‫‬
‫‪ −1 −1‬‬
‫ולכן הע"ע הם ‪2, −1, −1‬‬
‫הוקטורים העצמיים המתאימים במישור המרוכב כאשר ‪:ω 3 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1  ,  ω  ,  ω2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ω2‬‬
‫‪ω‬‬
‫הוקטורים העצמיים הללו הם לא מקריים‪ ,‬כיוון שאם נחשוב על קודקודי ‪ K3‬כאיברי‬
‫החבורה ‪ Z3‬והגרף יהיה גרף קיילי של החבורה עם היוצרים }‪.{±1‬‬
‫)בגרף קיילי הקודקודים הם איברי החבורה ויש צלע אם"ם מאיבר א' מתקבל איבר ב'‬
‫על ידי כפל באחד מחבורת היוצרים(‬
‫מסתבר שהוקטורים העצמיים של גרף קיילי של חבורה אבלית הם בדיוק הכרקטרים של‬
‫החבורה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 15.2‬כרקטר של חבורה ‪ H‬היא העתקה }חבורת שורשי היחידה ב ‪χ : H →{C‬‬
‫שהיא הומומורפיזם‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫במקרה כזה נבחין שההומומורפיזמים ‪ χ0 , χ1 , χ2‬שהם כרקטרים של החבורה הם‪:‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 ω‬‬
‫‪1 ω2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ω2‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪H‬‬
‫‪χ0‬‬
‫‪χ1‬‬
‫‪χ2‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪χh (g) := ω h·g‬‬
‫)כאשר ‪ h, g‬כמספרים ב ‪ ,R‬כך מהטבלה לעיל מקבלים שאכן ‪.χ1 (1) = ω 1·1 = ω‬‬
‫‪15.1‬‬
‫חידה‬
‫נניח שיש רמזור אחד‪ ,‬ו ‪ n‬מתגים )שיקבעו את צבעי האורות(‪ ,‬כשלכל מתג ‪ 3‬מצבים‪ ,‬ולכן‬
‫‪n‬‬
‫יש ‪ 3n‬קונפיגורציות של מתגים שקובעות את האור ברמזור }‪.f : {R, Y, G} → {R, Y, G‬‬
‫‪n‬‬
‫נדרוש מהפונקציות שלנו שאם יש }‪) x, y ∈ {R, Y, G‬כלומר שתי קונפיגורציות( כך‬
‫שהן שונות בכל מתג‪ ,‬אזי האור המתקבל משתיהן יהיה שונה‪.‬‬
‫איזו פונקציה למשל תתאים? אם נדרוש שרמזור יופעל לחלוטין על ידי המתג הראשון ־‬
‫נקבל פונקציה שעומדת בתנאים הללו‪.‬‬
‫משפט ‪ 15.3‬יש בדיוק ‪ 3!n‬פונקציות כאלו‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫כלומר אם }‪ V (G) = {0, 1, 2‬ו }]‪ E (G) = {{x, y} : xi ̸= yi ∀i ∈ [n‬מהן ה ‪3‬־צביעות‬
‫החוקיות של ‪?G‬‬
‫‪n‬‬
‫שימו לב ש ‪ G‬הוא גרף קיילי של ‪ Zn3‬עם היוצרים }‪.{±1‬‬
‫זהו גרף עם ‪ 3n‬קודקודים שהוא ‪2n‬־רגולרי‪.‬‬
‫טענה ‪ 15.4‬בגרף זה אין קבוצה בלתי תלויה בגודל <‬
‫רק אלו הנקבעות על ידי קוא' יחידה‬
‫‪3n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n‬‬
‫}‪= {x ∈ {0, 1, 2} : xi = j‬‬
‫ויש קבוצות בת"ל בגודל‬
‫‪i, j‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪I‬‬
‫}‪1≤i≤n, j∈{0,1,2‬‬
‫הגרף המתאר את בעית הרמזורים הוא‪:‬‬
‫‪K3 × K3 × ... × K3‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪n times‬‬
‫נגדיר מכפלה של גרפים‪:‬‬
‫עבור ‪:G × H‬‬
‫)‪V (G × H) = V (G) × V (H‬‬
‫‪(u1 , v1 ) ∼ (u2 , v2 ) ⇔ u1 ∼ u2 ∧ v1 ∼ v2‬‬
‫‪63‬‬
‫‪3n‬‬
‫‪3‬‬
‫אבל‬
‫אחת הדרכים לחשוב על זה היא שבכל קודקוד של ‪ G‬אנחנו רושמים את כל קודקודי‬
‫‪ ,H‬כך שנרשום צלע בין קוד' ‪ h‬בתוך קוד' ‪ g‬לקוד' ‪ h1‬בקוד' ‪ g1‬וכו'‪...‬‬
‫טענה ‪ 15.5‬אם ‪ A‬מטריצת הסמיכות של ‪ G‬ו ‪ B‬מטריצת הסמיכות של ‪ H‬אז מטריצת‬
‫הסמיכות של ‪ G × H‬תהיה ‪ A ⊗ B‬לפי אותו רעיון כמקודם ־ נרשום מטריצה גדולה של ‪G‬‬
‫ובכל מקום שמופיע ‪ 1‬נכניס עותק של מטריצת הסמיכות של ‪.H‬‬
‫‪(A ⊗ B)i1 ,j1 ,i2 ,j2 = Ai1 ,j1 · Bi2 ,j2‬‬
‫)כאן ‪ i1 , j1‬יאמר לנו באיזה בלוק אנחנו נמצאים ו ‪ i2 , j2‬באיזה תא בבלוק(‬
‫באופן כללי אם ‪ A‬מטריצה ‪ n × n‬עם ו"ע ‪ v1 , ..., vn‬עם ע"ע ‪λ1 , ..., λn‬‬
‫ו ‪ B‬מטריצה ‪ m × m‬עם ו"ע ‪ w1 , ..., wm‬עם ע"ע ‪η1 , ..., ηm‬‬
‫אז ל ‪ A ⊗ B‬וקטורים עצמיים ‪ vi ⊗ wj‬והע"ע ‪λi · ηj‬‬
‫מקרה פרטי‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫ע"ע וו"ע של גרף הרמזור‪ ,‬גרף קיילי של ‪ Zn3‬עם יוצרים }‪{±1‬‬
‫‪n‬‬
‫נגדיר מכפלה פנימית על }‪ {0, 1, 2‬על ידי‪:‬‬
‫∑‬
‫)‪f (x) g (x‬‬
‫‪⟨f, g⟩ = 3−n‬‬
‫‪x∈{0,1,2}n‬‬
‫מיהם הכרקטרים של ‪ ? Zn3‬לכל ‪ R ∈ Zn3‬נגדיר‪:‬‬
‫‪χR : Zn3 → C‬‬
‫על ידי‪:‬‬
‫‪Ri Si‬‬
‫∑‬
‫‪χR (s) = ω‬‬
‫כך ש ‪ ω‬שורש יחידה פרמיטיבי‪.‬‬
‫נשים לב ש‪:‬‬
‫) ‪χR (S + T ) = χR (S) · χR (T‬‬
‫וגם‬
‫‪χR · χS = χR+S‬‬
‫∑‪.Zn3‬‬
‫כלומר הכרקטרים עצמם חבורה איזומורפית ל‬
‫עבור כרקטר כלשהו ־ מהו )‪? x∈Zne χR (x‬‬
‫אם )‪ R = (0, ..., 0‬אז ‪ χR (T ) = 1‬ואז הסכום לעיל יוצא ‪.3n‬‬
‫נטען שאחרת קיים ‪ T‬כך ש ‪ χR (T ) ̸= 1‬כי אחרת‪:‬‬
‫‪χR (x) = 0‬‬
‫∑‬
‫⇒ )‪χR (y‬‬
‫∑‬
‫= )‪χR (T + x‬‬
‫‪y‬‬
‫∑‬
‫‪x‬‬
‫‪64‬‬
‫= )‪χR (x‬‬
‫∑‬
‫‪x‬‬
‫· ) ‪χR (T‬‬
‫טענה ‪15.6‬‬
‫‪⟨χR , χS ⟩ = δR,S‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪χR−S (x) = δR,S‬‬
‫∑‬
‫‪χR (x) χ−S (x) = 3−n‬‬
‫∑‬
‫‪χR (x) χS (x) = 3−n‬‬
‫∑‬
‫‪3−n‬‬
‫תהי ‪ A‬מטריצת הסמיכות של הגרף שלנו ואז‬
‫)‪AT,S χR (S‬‬
‫) ‪χR (T + τ‬‬
‫‪S‬‬
‫∑‬
‫= )‪χR (S‬‬
‫‪τ ∈{±1}n‬‬
‫) ‪χR (τ‬‬
‫∑‬
‫= ‪(AχR )T‬‬
‫∑‬
‫=‬
‫‪T ∼S‬‬
‫∑‬
‫· ) ‪=χR (T‬‬
‫‪τ ∈{±1}n‬‬
‫הע"ע המתאים ל ‪.R‬‬
‫וזה נותן‪:‬‬
‫{‬
‫‪n‬‬
‫∏‬
‫‪2‬‬
‫‪Ri = 0‬‬
‫=‬
‫‪−1‬‬
‫= ‪RI‬‬
‫‪̸ 0‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)‬
‫‪−Ri‬‬
‫‪+ω‬‬
‫‪Ri‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪n‬‬
‫∏‬
‫(‬
‫‪i=1‬‬
‫ולכן אם נסמן |‪=|R‬מספר הקוא' השונות מאפס ב ‪ R‬אז‪:‬‬
‫|‪)|R‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫· ‪=2‬‬
‫‪n‬‬
‫הערך העצמי הכי גדול יתקבל עבור הוקטור )‪ (0, ..., 0‬והוא יתן בדיוק ‪ 2n‬ובכל שאר‬
‫הו"ע )שמקבלים ‪ 1‬באחת הקוא' ו ‪ 0‬באחרות( אז יתקבלו הערכים )‪ ,−2(n−1‬ולכן‬
‫)‪2n = λmax ≥ ... ≥ λmin = −2(n−1‬‬
‫כאשר ‪ λmax‬יתקבל בריבוי ‪ ,1‬ו ‪ λmin‬יתקבל בריבוי ‪ 2n‬מתאים ל ‪ χR‬כשל ‪ R‬קוא' יחידה‬
‫שונה מ ‪.0‬‬
‫משפט ‪ 15.7‬הופמן‬
‫יהי ‪ G‬גרף ‪ d‬רגולרי עם ע"ע ‪ λ1 ≥ ... ≥ λmin‬ותהי ‪ I‬קבוצה בלתי תלויה של קודקודים‬
‫‪−λn‬‬
‫|‪ λn ) |I‬מספר שלילי(‬
‫ב ‪ ,G‬אזי ‪n ≤ d−λn‬‬
‫שויון יתקבל רק אם הפונקציה האופיינית של ‪ I‬נפרשת על ידי הוקטורים העצמיים‬
‫המתאימים ל ‪ λ1‬ול ‪λmin‬‬
‫‪65‬‬
‫‪ 15.1.1‬הופמן ⇐ רמזור‬
‫אם נציב את הערכים העצמיים שהגענו אליהם‪ ,‬נקבל ש‬
‫נניח שיש שוויון ותהי ‪ f‬הפונקציה האופיינית של ‪I‬‬
‫) ‪(ai χei + bi · χ2ei‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪n−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2n +2n−1‬‬
‫≤‬
‫|‪|I‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f = cχ0 +‬‬
‫‪i=1‬‬
‫שימו לב‪:‬‬
‫‪f2 = f‬‬
‫שכן הפונקציה מקבלת רק את הערכים ‪ 0‬ו ‪.1‬‬
‫כמו כן ההצגה של ‪ f‬לעיל היא יחידה‪.‬‬
‫כעת נניח שיש ‪ i ̸= j‬כך שאחד או יותר מ } ‪ {ai , bi‬אינו ‪ 0‬וגם אחד או יותר מ ‪aj , bj‬‬
‫אינו אפס‪ .‬למשל ‪ ai ̸= 0‬ו ‪ bi ̸= 0‬אזי ב ‪ f 2‬המקדם של ‪ χei +2ej‬יהי ‪ 0 ̸= ai bj‬בסתירה‬
‫ליחידות ההצגה‪.‬‬
‫לכן ‪ f‬תלויה לכל היותר בקוא' אחת‪.‬‬
‫‪15.1.2‬‬
‫הוכחת משפט הופמן‬
‫יהי ‪ G‬גרף ‪ d‬רגולרי עם ע"ע ‪ d = λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λmin‬וו"ע ‪ v1 , v2 , ..., vn‬ותהי ‪ I‬קבוצה‬
‫ב"ת ש ‪ f‬היא הפונקציה האופינית שלה‪ .‬כלומר‬
‫{‬
‫‪1 x∈I‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫∈‪0 x‬‬
‫‪/I‬‬
‫נכתוב‪:‬‬
‫‪ai vi‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫=‪f‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ההצגה היחידה של ‪ f‬על פי הבסיס של הוקטורים העצמיים‪.‬‬
‫|‪ α = |I‬ואז ‪0 ≤ α ≤ 1‬‬
‫נסמן ‪n‬‬
‫טענות‬
‫*‬
‫‪⟨f, v1 ⟩ = ⟨a1 v1 , v1 ⟩ = a1‬‬
‫אבל זה גם שווה ל‪:‬‬
‫∑‪1‬‬
‫‪1=α‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫ולכן ‪.a1 = α‬‬
‫**‬
‫‪66‬‬
‫=‬
‫∑‪1‬‬
‫‪1=α‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫= | ‪|ai‬‬
‫∑‬
‫= ⟩ ‪⟨f, f‬‬
‫‪x∈I‬‬
‫***‬
‫∑‬
‫∑‪1‬‬
‫∑‪1‬‬
‫= )‪f (x) (Af ) (x‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪f (y) = 0‬‬
‫= ⟩ ‪⟨f, Af‬‬
‫‪n x‬‬
‫‪n x‬‬
‫‪y∼x‬‬
‫אבל מאידך‪:‬‬
‫∑ ⟩‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ai λi vi‬‬
‫‪|ai | λi‬‬
‫∑‬
‫‪ai vi ,‬‬
‫∑⟨‬
‫= ⟩ ‪⟨f, Af‬‬
‫נשוב להוכחה‬
‫‪2‬‬
‫| ‪|ai‬‬
‫∑‬
‫‪2‬‬
‫‪λi |ai | ≥ dα2 + λmin‬‬
‫‪i=2‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪2‬‬
‫‪λi |ai | = dα2 +‬‬
‫‪i=2‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫=‪0‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪−λmin‬‬
‫⇒ ‪0 ≥ dα2 + λmin α − α2‬‬
‫‪≥α‬‬
‫‪d − λmin‬‬
‫ואם יש שוויון אז נובע ש ‪ ai ̸= 0‬רק עבור ‪ i = 1‬ו ‪ vi‬המתאימים לע"ע ‪.λmin‬‬
‫‪16‬‬
‫נספח‬
‫הוכחה משיעור שלא נכחתי בו‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫משפט ‪ 16.1‬קיים ‪ k, K‬כך שבכל גרף על ‪ n‬קודקודים עם לפחות ‪ Kn 2‬צלעות קיים ‪C4‬‬
‫‪3‬‬
‫)מרובע( ויש גרף עם ‪ kn 2‬צלעות שאין בו ‪.C4‬‬
‫‪3‬‬
‫√‬
‫)‪n−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(n+n‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ K‬כך ש ‪≤ Kn 2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫√‬
‫היא ‪d ≥ 1 + n − 1‬‬
‫) ‪(n) ∑ (dv‬‬
‫למה‪ :‬אם ‪ 2 < v 2‬אז יש מרובע בגרף‪.‬‬
‫∑‪(F) = {(x, {u,‬כלומר "מזלגות"‪,‬‬
‫‪v})(: (x,‬‬
‫הוכחה‪ :‬ניקח את הקבוצה }‪) u) , (x, v) ∈ E‬‬
‫נקודות ‪ x‬ושניים משכניהן‪ .‬כמה כאלו יש? בדיוק ‪ . v d2v‬נבחין כי ‪ n2‬מונה את מספר‬
‫הזוגות‪ ,‬כלומר את הקוא' השניה באיברי ‪ ,F‬ומשובך יונים אם מתקיימת ההנחה ־ יש שני‬
‫איברים ב ‪ F‬שמסכימים על "שיני" המזלג‪ ,‬ולכן איחודם יוצר מרובע‪.‬‬
‫נתבונן ב‪:‬‬
‫‪ ,‬מכאן שהדרגה הממוצעת בגרף על ‪ n‬קודקודים‬
‫) ( ∑ ) ‪( ∑ v dv‬‬
‫) (‬
‫‪dv‬‬
‫‪d‬‬
‫‪n‬‬
‫‪=n‬‬
‫≤‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪67‬‬
‫‪−x‬‬
‫‪2‬‬
‫)מקמירות‬
‫מאידך‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫√)‬
‫√‬
‫√‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪d d−1‬‬
‫‪1+ n−1 n−1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪n n − 1 (n − 1) n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪=n‬‬
‫‪n‬‬
‫≥‬
‫=‪n‬‬
‫‪+‬‬
‫>‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ולפי הלמה ־ יש מרובע‪.‬‬
‫נוכיח את החלק השני ־ קיום ‪.k‬‬
‫נתבונן ב ‪ F3p‬עבור ראשוני ‪.p‬‬
‫נסמן ‪=V1‬קב' המישורים ב ‪F3p‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ =V2‬קב' הישרים ב ‪⨿ Fp‬‬
‫נגדיר גרף דו"צ ⟩‪G = ⟨V1 V2 , E‬‬
‫ויש צלע בין ישר למישור אם"ם הישר במישור‪.‬‬
‫כמה מישורים יש?‬
‫{‬
‫}‬
‫‪ax + by + cz = 0 : (a, b, c) ∈ F3p‬‬
‫צריך לבחור שלושה איברים‪ ,‬אבל זה לא מגדיר באופן יחיד‪ ,‬כי על כל מכפלה סקלרית של‬
‫שלושתם תגדיר את אותו מישור )וכמובן אי אפשר לבחור את אפס( ולכן כל מישור יתקבל‬
‫‪p3 −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ p − 1‬פעמים )עבור כל סקלר שאינו אפס( וסה"כ המישורים האפשריים ‪p−1 = p + p + 1‬‬
‫‪.‬‬
‫כמה ישרים יש?‬
‫}‪{λ (x, y, z) : x, y, z ̸= 0‬‬
‫מגדיר ישר‪ ,‬צריך לקחת את מספר הנקודות במרחב‪ ,‬וכך נספור כל ישר ‪ p − 1‬פעמים‬
‫)עבור ‪ p − 1‬בחירות של ‪ (λ‬ולכן גם מספר הישרים יצא ‪.p2 + p + 1‬‬
‫כעת נטען שאין מעגל באורך ‪ 4‬בגרף‪ ,‬מדוע? מכיוון שאז יהיו שני מישורים שמחוברים‬
‫לשני ישרים‪ ,‬כלומר שני ישרים שמוכלים בשני מישורים שונים‪ ,‬אבל שני ישרים שונים מגדירים‬
‫מישור אחד ויחיד‪ ,‬בסתירה‪.‬‬
‫כמה ישרים מוכלים במישור? במישור יש משיקולי מימד ‪ p2‬נקודות‪ ,‬ללא אפס יש ‪p2 − 1‬‬
‫וכל ישר נספר ‪ p − 1‬פעמים )משיקולי כפל בסקלר( במניית הנקודות‪ ,‬ולכן כל מישור מכיל‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ pp−1‬נקודות‪.‬‬
‫‪=p+1‬‬
‫)‪( 2‬‬
‫‪( 2‬‬
‫)‬
‫)‪( 3‬‬
‫מכאן שסה"כ יש ‪|E| = p + p + 1 (p + 1) = Θ p = Θ n 3‬קודקודים כנדרש‪.‬‬
‫‪68‬‬