הורד את ספר הקורס

Transcription

הורד את ספר הקורס

‫‪1‬‬
‫סטודנטים יקרים‬
‫לפניכם ספר תרגילים בקורס מתמטיקה בדידה‪ .‬הספר הוא חלק מקורס‬
‫חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה‪ ,‬המועבר ברשת האינטרנט ‪.On-line‬‬
‫הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים‪ ,‬וכן את התיאוריה‬
‫הרלוונטית לכל נושא ונושא‪.‬‬
‫הקורס כולו מוגש בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם רואים את‬
‫התהליכים בצורה מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי‬
‫שנעשה בשיעור פרטי‪ ,‬לדוגמה לחצו כאן‪.‬‬
‫את הקורס בנה מר טל פלדמן‪ ,‬מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים שונים ובעל‬
‫ניסיון עתיר בהוראת המקצוע‪.‬‬
‫אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה‪ ,‬סובלים מלקויות למידה‪ ,‬רוצים להצטיין‬
‫או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית‪ ,‬אנחנו מזמינים אתכם‬
‫לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין‪ ,‬היכנסו עכשיו לאתר‬
‫‪.www.gool.co.il‬‬
‫אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות‬
‫צוות האתר ‪GooL‬‬
‫גוּל זה בּוּל‪ .‬בשבילך!‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪2‬‬
‫תוכן‬
‫תרגילים בקומבינטוריקה בסיסית ‪3 ........................................................................................................‬‬
‫תרגילים בנושא זהויות קומבינטוריות והבינום של ניוטון ‪7 ..........................................................................‬‬
‫תרגילים בנושא הכלה והדחה ‪9 .............................................................................................................‬‬
‫תרגילים בנושא פונקציות יוצרות‪12 ......................................................................................................‬‬
‫תרגילים בנושא רקורסיה ‪14 ................................................................................................................‬‬
‫תרגילים בנושא שובך היונים ‪17 ...........................................................................................................‬‬
‫תרגילים בנושא גרפים ‪18 ...................................................................................................................‬‬
‫‪3‬‬
‫תרגילים בקומבינטוריקה בסיסית‬
‫‪ (1‬בכמה אופנים ניתן לסדר ‪ 10‬אנשים בשורה כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬ללא הגבלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬אבי ובני סמוכים‪.‬‬
‫ג‪ .‬אבי‪ ,‬בני וגדי סמוכים‪.‬‬
‫ד‪ .‬אבי ובני לא סמוכים‪.‬‬
‫ה‪ .‬אבי ובני סמוכים וגם גדי ודני סמוכים‪.‬‬
‫ו‪ .‬אבי ובני סמוכים וגדי ודני לא סמוכים‪.‬‬
‫‪ (2‬בכיתה בה יש ‪ 10‬בנים ו‪ 15-‬בנות יש להרכיב נבחרת כדורסל בה יש לפחות ‪ 2‬בנים ולפחות ‪ 2‬בנות בכמה דרכים ניתן לעשות זאת?‬
‫‪ (3‬בכמה אופנים שונים ניתן להניח ‪ 8‬צריחים על לוח ‪ 8 × 8‬בלי שאף צריח יאיים על חברו כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬כל הצריחים הם לבנים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שלושה צריחים הם לבנים וחמישה הם שחורים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הצריחים נלקחים מתוך שקית ובה מלאי בלתי מוגבל של צריחים לבנים ומלאי בלתי מוגבל של צריחים שחורים‪.‬‬
‫‪ (4‬בכמה מספרים ‪ 6‬ספרתיים מופיעה הספרה‬
‫א‪ 0 .‬פעם אחת בדיוק‪.‬‬
‫ב‪ 0 .‬פעם אחת לפחות‪.‬‬
‫ג‪ 7 .‬פעם אחת לפחות‪.‬‬
‫ד‪ 7 .‬פעם אחת בדיוק‪.‬‬
‫יש לזכור שמספר לא יכול להתחיל בספרה ‪.0‬‬
‫‪ (5‬א‪ .‬יהי ‪ n‬טבעי בכמה תת קבוצות של }‪ {1, 2, 3,⋯ 2n‬יש אי זוגי אחד לפחות?‬
‫ב‪ .‬בכמה תת קבוצות של }‪ {1, 2, 3,⋯ 2n‬יש לפחות ‪ n + 1‬איברים‪.‬‬
‫‪ (6‬בכמה אופנים שונים ניתן לחלק ‪ 10‬לימונדות זהות ‪ 1‬כוס קולה ו‪ 1-‬כוס קינלי ל‪ 4-‬תלמידים צמאים כך שכל תלמיד מקבל‬
‫לפחות משקה אחד והקולה והקינלי ניתנים לתמידים שונים?‬
‫‪ (7‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 400‬כדורים זהים ל‪ 3-‬תאים כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬יש תא ובו יותר מ‪ 200-‬כדורים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכל תא מספר זוגי של כדורים‪.‬‬
‫ג‪ .‬בשני תאים מתוך השלוש מספר אי זוגי של כדורים ובתא אחד מספר זוגי של כדורים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 7 (8‬אנשים נכנסים למעלית בבניין בן ‪ 13‬קומות בכמה אופנים הם יכולים ללחוץ על כפתורי המעלית כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬המעלית תעצור בקומה החמישית? ) יתכן ותמשיך הלאה משם (‬
‫ב‪ .‬המעלית תעצור בקומה החמישית לכל היותר‪.‬‬
‫ג‪ .‬המעלית תגיע לפחות עד הקומה החמישית‪.‬‬
‫ד‪ .‬המעלית תעצור בקומה החמישית‪ ) .‬ולא תמשיך משם הלאה (‬
‫‪ (9‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ n‬כדורים לבנים זהים ו‪ n -‬כדורים צבעוניים ) שונים ( ל‪ 2n -‬כך שבכל תא יהיה‬
‫א‪ .‬לכל היותר כדור אחד‪.‬‬
‫ב‪ .‬לכל היותר כדור לבן אחד ואין מגבלה על מספר הצבעוניים‪.‬‬
‫ג‪ .‬לכל היותר כדור צבעוני אחד ואין הגבלה על מסםר הלבנים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מספר שווה של לבנים וצבעוניים‪.‬‬
‫‪ (10‬במלבן בן ‪ k‬שורות ו‪ m -‬עמודות יש לסמן × או ○ בכל משבצת‪.‬‬
‫א‪ .‬הראו כי כי יש‬
‫‪k‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ 2 m − 1‬דרכים לעשות זאת כך שבכל שורה יופיע × אחד לפחות‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכמה דרכים ניתן לעשות זאת כך שיופיע ○ אחד לפחות בכל עמודה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הסיקו כי )‪2mk ≤ ( 2m − 1) + ( 2k − 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ (11‬חרגול נמצא בנקודה ‪ A‬בשריג המתואר להלן‪ .‬בכל שלב יכול החרגול‬
‫להתקדם צעד אחד ימינה או צעד אחד למעלה‪.‬‬
‫א‪ .‬בכמה אופנים שונים יכול החרגול להגיע מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪? B‬‬
‫ב‪ .‬בכמה אופנים הוא יכול לעשות זאת מבלי לעבור דרך‬
‫‪A‬‬
‫נקודה המסומנת להלן?‬
‫‪B‬‬
‫○‬
‫‪A‬‬
‫‪ (12‬א‪ .‬בכמה אופנים שונים ניתן לחלק ‪ 12‬אנשים לשלושה זוגות ושתי שלשות?‬
‫ב‪ .‬כמו א‪ .‬אך בנוסף דני ודנה לא נמצאים באותה קבוצה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ (13‬כמה פתרונות בשלמים אי שליליים יש לכל אחת מהמשואות הבאות?‬
‫א‪x1 + x2 + ⋯ x7 = 20 .‬‬
‫ב‪x1 + x 2 + 5 x3 + x4 = 14 .‬‬
‫ג‪( x1 + x2 + x3 )( x4 + x5 + x6 ) = 18 .‬‬
‫‪ (14‬בכמה דרכים ניתן לבחור ועדה בת ‪ n‬אנשים מתוך ‪ n‬זוגות נשואים כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬בועדה לא ישתתף אף זוג נשוי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מספר הגברים יהיה שווה למספר הנשים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מספר הגברים יהיה קטן ממש ממספר הנשים‪.‬‬
‫‪ (15‬מצאו בכמה פונקציות }‪ f :{1, 2, 3,...,3n − 1, 3n} → {1, 2, 3,..., n − 1, n‬מקיימות את התנאי הבא‪ :‬לכל אבר בתמונה‬
‫יש בדיוק ‪ 3‬מקורות‪.‬‬
‫‪ (16‬מה מספר הדרכים לפזר ‪ 50‬כדורים אדומים ו ‪ 20‬כדורים כחולים ל ‪ 10‬תאים‪ ,‬כך שבכל תא מספר הכדורים האדומים יהיה לפחות‬
‫כמספר הכדורים הכחולים?‬
‫‪ (17‬בכמה דרכים ניתן לחלק קבוצה בגודל ‪ 2 n‬לקבוצה בגודל ‪ n‬ולזוגות‪ ) .‬ניתן להניח כי ‪ n‬זוגי (‬
‫‪ (18‬בכמה דרכים ניתן לסדר בשורה ‪ 8‬פילים שונים‪ 2 ,‬שועלים זהים ושתי תרנגולות זהות‪ ,‬כך שהפילים מסודרים משמאל לימין על פי‬
‫משקלם בסדר עולה‪ ,‬ואף שועל לא יהיה צמוד לתרנגולת?‬
‫‪ (19‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 100‬כדורים לבנים ו‪ 50-‬כדורים צבעוניים )כל אחד בצבע שונה( ל‪ 250-‬תאים באופן שיתקיימו שני‬
‫התנאים הבאים‪ :‬יהיה לפחות תא אחד שמכיל יותר מכדור לבן אחד‪ ,‬וכמו‪-‬כן יהיה לפחות תא אחד שמכיל יותר מכדור צבעוני אחד?‬
‫‪ (20‬בכמה דרכים ניתן לסדר ‪ n‬גברים ו‪ n -‬נשים במעגל כך שבני אותו מין לא ישבו זה לצד זה? כנ"ל לגבי שורה‪.‬‬
‫‪ (21‬יש לבחור קבוצה של ששה ילדים מבין תלמידי כיתות א ‪ 1‬ו‪-‬א‪ ,2‬באופן ששלושה מהם יהיו מ‪-‬א‪ 1‬ושלושה מ‪-‬א‪ .2‬מספר הבנים‬
‫בקבוצה צריך להיות שווה למספר הבנות בקבוצה )‪ 3‬ו‪ .(3-‬ב‪-‬א‪ 1‬יש ‪ 10‬בנים ו‪ 15-‬בנות וב‪-‬א ‪ 2‬יש ‪ 15‬בנים ו‪ 10-‬בנות‪ .‬בכמה‬
‫אופנים ניתן לבחור את הקבוצה?‬
‫‪ (22‬בכמה קבוצות של ‪ n‬כדורים ב‪ 10 -‬צבעים יש לפחות כדור אחד מכל צבע?‬
‫‪6‬‬
‫‪ (23‬כמה פונקציות }‪ ( n ≥ 1 ) f : {1,2,..., n} → {1,2,..., n‬מקיימות את התנאי )‪ f (k ) ≠ f (k + 1‬לכל ‪? 1 ≤ k ≤ n − 1‬‬
‫‪ (24‬כמה פונקציות }‪ f : {1,2,3,⋯ , n} → {1,2,3,⋯ , n‬חח"ע ועל יש המקיימות ‪ f ( k ) − k‬זוגי לכל‬
‫}‪k ∈ {1, 2,3,⋯ , n‬‬
‫‪ (25‬כמה סדרות בינריות באורך ‪ n‬יש המורכבות מ‪ k -‬אחדים ו‪ n − k -‬אפסים שאין בהם שני אחדים רצופים?‬
‫‪ (26‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 60‬כדורים צבעוניים ) כל אחד בצבע שונה ( ו‪ 90-‬כדורים לבנים זהים ל‪ 100-‬תאים כך שיתקיימו שני‬
‫התנאים הבאים גם יחד‪ .‬יהיה לפחות תא אחד שמכיל יותר מכדור צבעוני אחד וכמו כן בכל תא יהיו לכל היותר ‪ 50‬כדורים לבנים‪.‬‬
‫‪ (27‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 4‬בננות‪ 2 ,‬תפוזים‪ ,‬ו‪ 4-‬תפוחים ל‪ 10-‬אנשים כך שכל אחד יקבל בדיוק פרי אחד ? שימו לב שפירות‬
‫מאותו סוג נחשבים זהים‪.‬‬
‫‪ (28‬בכמה דרכים ניתן לבנות שורה מ‪ k ≥ 0 -‬כדורים לבנים זהים ו‪ m ≥ 0 -‬כדורים צבעוניים שונים‪ ) .‬ושונים מלבן (?‬
‫‪7‬‬
‫תרגילים בנושא זהויות קומבינטוריות והבינום של ניוטון‬
‫‪ n k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ (1‬הוכח אלגברית וקומבינטורית את הזהות ‪  2 = 3‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ (2‬הוכיחו לכל ‪ n ≥ 0‬את הזהות‬
‫‪ n  2 n− k‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪k =0‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪6‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k =0‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ (3‬הוכח את השוויון הבא‪2 n = 3n − n3 n−1 +   3 n− 2 − ... + ( −1)k   3n − k + ... + (−1)n   30 :‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ 2n + 1 ‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪ (4‬הוכיחו שלכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪ = 2 :‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪∑ ‬‬
‫‪k =0‬‬
‫‪ m + n  n  m ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ (5‬הוכח בדרך אלגברית ובדרך קומבינטורית את הזהות הבאה‪ =   +   + mn :‬‬
‫‪ 2   2  2 ‬‬
‫‪ 2n ‬‬
‫‪ (6‬הוכח כי לכל ‪ n ∈ ℕ‬המספר ‪  ‬הוא זוגי‪.‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪ (7‬הוכח כי ‪⋅ 3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‪k −1‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪∑ k  k  2‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪ x  y ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ (8‬הוכיחו כי‪ :‬‬
‫‪ k  n − k ‬‬
‫‪ (9‬הוכח את השוויון הבא‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪k =0‬‬
‫‪y‬‬
‫=‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x+‬‬
‫‪. ∀x , y , n ∈ ℕ , ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪+‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n   n   n   3n ‬‬
‫‪∑  k   j   k + j  =  n ‬‬
‫‪k , j=0‬‬
‫‪ r  m  r  r − k ‬‬
‫‪   =  ‬‬
‫‪ (10‬הוכח בדרך אלגברית ובדרך קומבינטורית את הזהות הבאה ‪‬‬
‫‪ m k   k  m − k ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ n   n   n + 2‬‬
‫‪.   + 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=‬‬
‫‪ (11‬הוכח כי לכל ‪ 0 ≤ n‬ולכל ‪ 0 ≤ k ≤ n‬מתקיים ‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ k + 1  k + 2  k + 2 ‬‬
‫‪ 2n   2n − 2   2 ‬‬
‫‪ ⋅ ‬‬
‫‪⋯ ‬‬
‫‪ 2   2   2‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪ (12‬הוכח אלגברית וקומבינטורית את הזהות הבאה‬
‫‪ 5n − 2 ‬‬
‫‪ 2n   3 n ‬‬
‫= ‪( 2n − 1) ⋅ ( 2n − 3 ) ⋯ 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ (13‬הוכח את הזהות הבאה ‪∑ k ( n − k )  k   n − k  = 6n  n − 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k =1‬‬
‫‪ k − 1+ n  k + N ‬‬
‫‪=‬‬
‫‪ (14‬הוכיח את השוויון הבא ‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  N ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪∑ ‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ (15‬הוכיחו‪ ,‬כי אם ‪ n > 0‬מספר זוגי אז ‪. 2 n >  n ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ (16‬כמה מבין המספרים בפיתוח הבינום‬
‫‪80‬‬
‫)‬
‫‪2+47‬‬
‫(‬
‫הם שלמים?‬
‫‪n‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n −i‬‬
‫‪ (17‬הוכיחו כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪n n − (n − 1) = ∑  (n − 1) :‬‬
‫‪i =1  i ‬‬
‫‪9‬‬
‫תרגילים בנושא הכלה והדחה‬
‫‪ (1‬כמה מילים באורך ‪ n‬יש מעל הא"ב }‪ { A, B , C , D‬כך שהאותיות ‪ A, B‬חייבות להופיע?‬
‫‪ (2‬לארוחת ערב הוזמנו חמישה אנשים‪ .‬המארח קנה ‪ 10‬מתנות שונות‪ .‬בכמה דרכים ניתן לחלק את המתנות בין האורחים כך שכל אורח‬
‫יקבל לפחות פרס אחד?‬
‫‪ (3‬בכמה דרכים יכול שירות בתי הסוהר לפזר ‪ 300‬פליטים מאריתראה בחמישה תאי כלא כך שבשום תא לא יהיו יותר מ ‪ 100‬פליטים?‬
‫שימי לב‪ :‬שירות בתי הסוהר לא מבדיל בין הפליטים השונים‬
‫‪ (4‬בקייטנת ההשקעות הלא‪-‬הגיוניות יש חמישה קורסים‪ .‬בכל אחד מחמשת הקורסים רשומים בדיוק ‪ 55‬ילדים‪ .‬לכל זוג קורסים יש‬
‫בדיוק ‪ 44‬ילדים שרשומים לשניהם‪ .‬לכל שלושה מהקורסים יש בדיוק ‪ 33‬ילדים שרשומים לשלושתם‪ .‬לכל ארבעה מהקורסים יש‬
‫בדיוק ‪ 22‬ילדים שרשומים לארבעתם‪ .‬הוכיחו כי יש לפחות ילד אחד שרשום לכל חמשת הקורסים בו זמנית‪.‬‬
‫‪ (5‬א‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 23‬בדיוק? ) שאלה זו מופיעה גם בפרק על פונקציות יוצרות (‬
‫ב‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 31‬בדיוק?‬
‫ג‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 23‬לכל היותר?‬
‫‪ (6‬מטילים קוביה ‪ 8‬פעמים ורושמים את התוצאות כסדרה של ‪ 8‬מספרים‪ .‬מה מספר האפשרויות לסדרות באורך ‪ 8‬של הטלות‪ ,‬שבהן כל‬
‫ששת המספרים מ‪ 1-‬עד ‪ 6‬יופיעו )כל מספר לפחות פעם אחת(?‬
‫‪ (7‬במערכת שנה א של התוכנית למדעי המחשב באקדמיה המכללתית של תל‪-‬יפו‪-‬אביב יש חמישה קורסים‪ .‬בכל אחד מחמשת הקורסים‬
‫רשומים בדיוק ‪ 40‬תלמידים‪ .‬לכל זוג קורסים יש בדיוק ‪ 32‬תלמידים שרשומים לשניהם‪ .‬לכל שלושה מהקורסים יש בדיוק ‪24‬‬
‫תלמידים שרשומים לשלושתם‪ .‬לכל ארבעה מהקורסים יש בדיוק ‪ 16‬תלמידים שרשומים לארבעתם‪ .‬הוכיחי שיש לפחות תלמיד אחד‬
‫שרשום לכל חמשת הקורסים בו זמנית‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬על סמך הנתונים כתבי ביטוי שמתאר כמה תלמידים יש בכל חמשת הקורסים יחד‪.‬‬
‫‪ (8‬לארוחת ערב הוזמנו חמישה אנשים‪ .‬המארח קנה ‪ 10‬מתנות שונות‪ .‬בכמה דרכים ניתן לחלק את המתנות בין האורחים כך שכל אורח‬
‫יקבל לפחות פרס אחד?‬
‫‪ (9‬איש ציבור מושחת לוקח כל שנה שוחד בסך ‪ 4 ,2‬או ‪ 6‬מליון דולר )שלא כמו איש ציבור נורמטיבי בסעיף ‪1‬א‪ ,‬איש ציבור מושחת‬
‫יכול לקחת שוחד של ‪ 6‬מליון דולר מספר שנים ברציפות(‪ .‬סדרת שוחד היא סדרת סכומים שקיבל איש ציבור מושחת במשך כמה‬
‫שנים‪ ,‬למשל ‪ .6,6,2,4,2‬כמה סדרות שוחד יניבו עבור איש ציבור מושחת סך של ‪ 20‬מיליון דולר במשך ‪ 6‬שנים?‬
‫‪ (10‬כמה מילים באורך ‪ n‬יש מעל ה‪-‬א"ב }‪ { A, B , C , D‬כאשר ‪ A, B‬חייבות להופיע?‬
‫‪ (11‬עבור }‪ A = {1, 2, 3.⋯ ,10‬כמה פונקציות ‪ f‬חח"ע על ישנן ‪ f : A → A‬כך ש‪ f ( k ) ≠ k -‬עבור ‪k = 1, 2, 3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ (12‬בכמה תמורות של המספרים }‪ {1, 2, 3,4,⋯ ,18‬כל המספרים שמתחלקים ב‪ 3-‬במקומות של מספרים שמתחלקים בשלוש ואף זוגי‬
‫לא במקומו?‬
‫‪ (13‬ברשותך שלושה כדורים לבנים זהים‪ ,‬שלושה כדורים שחורים זהים‪ ,‬ומאגר בלתי מוגבל של כדורים אדומים זהים ‪ .‬בכמה אופנים ניתן‬
‫להרכיב מהם קבוצה ) סדר הכדורים לא משנה ( בת ‪ n‬כדורים‪ .‬פתור הן בעזרת פונקציות יוצרות והן בעזרת הכלה והדחה והשווה‬
‫את התוצאות‪.‬‬
‫‪ 7 (14‬משפחות בנות שלוש נפשות כל אחת ) אבא‪ ,‬אמא וילד ( מגיעות למפגש חברתי‪ .‬בכמה אופנים ניתן לסדר אותם בשלשות כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬ללא הגבלה?‬
‫ב‪ .‬כל שלשה תהיה מורכבת מאבא‪ ,‬אמא וילד אבל אף שלשה לא תרכיב משפחה שלמה?‬
‫ג‪ .‬אף שלשה לא תרכיב משפחה שלמה ) כלומר יתכן שלשה המורכבת משלושה אבות או שני אבות וילד (‬
‫‪ (15‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 40‬כדורים לארבעה תאים כך שאף תא לא יהיה ריק‪.‬‬
‫א‪ .‬הכדורים זהים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הכדורים שונים‪.‬‬
‫‪ (16‬ארבעה אנשים שונים )ששמותיהם ‪ (1,2,3,4‬אחראים יחד על ביצוע של ‪ 5‬משימות שונות )משימות א‪,‬ב‪,‬ג‪,‬ד‪,‬ה(‪.‬‬
‫לביצוע כל משימה נדרשים בדיוק שני אנשים‪ .‬אין הבדל בין תפקידי שני האנשים בצוות המבצע משימה נתונה‪.‬‬
‫א‪ .‬בכמה דרכים ניתן להקצות את ‪ 5‬המשימות לצוותים של שני אנשים ? הנה כמה דוגמאות לדרכים לגיטימיות לעשות זאת‪:‬‬
‫דוגמא ‪ :1‬הצוות }‪ {1,2‬יבצע את כל ‪ 5‬המשימות !‬
‫דוגמא ‪ :2‬הצוות }‪ {1,2‬יבצע את משימות א‪,‬ב ‪ ,‬הצוות }‪ {1,3‬את משימות ג‪,‬ד והצוות }‪ {2,3‬את משימה ה‪.‬‬
‫דוגמא ‪ :3‬הצוות }‪ {1,2‬יבצע את משימות א‪,‬ב ‪ ,‬הצוות }‪ {3,4‬את משימות ג‪,‬ד והצוות }‪ {2,3‬את משימה ה‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכמה דרכים ניתן להקצות את ‪ 5‬המשימות לצוותים של שני אנשים‪ ,‬אם אסור שמישהו יתחמק לגמרי מעבודה‪:‬‬
‫כל אחד מ‪ 4 -‬האנשים חייב לקחת חלק במשימה אחת לפחות )דוגמאות ‪ 2 ,1‬בסעיף א אינן חוקיות כעת‪ .‬דוגמא ‪ - 3‬חוקית(‪.‬‬
‫‪ (17‬דנה‪ ,‬תלמידה בכיתה א' ‪ ,‬קראה בספר את המשפט המעניין‪ :‬דנה קמה דנה נמה‪ .‬אחרי שקראה בהצלחה את המשפט‪,‬‬
‫עלו בדעתה של דנה כמה שאלות מעניינות לא פחות‪:‬‬
‫א‪ .‬בכמה דרכים אפשר לסדר את כל ‪ 12‬האותיות שבמשפט הזה במחרוזת אחת ללא רווחים‪ ,‬כגון דנהקמהדנהנמה ‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכמה מהדרכים הללו מופיע בתוך המחרוזת הרצף דמקה ?‬
‫ג‪ .‬מה מספר הדרכים לסדר את ‪ 12‬האותיות כך שלא תופיע בתוך המחרוזת אף אחת מארבע המחרוזות הבאות‪ :‬דמקה‪,‬‬
‫קהה‪ ,‬ממד ‪ ,‬נננהה‬
‫‪11‬‬
‫‪ (18‬בבחינה מתמטיקה בדידה בקורס זה יש ‪ 11‬שאלות בארבעה נושאים כדלהלן‪ 2 :‬שאלות בקומבינטוריקה בסיסית‪ 3 ,‬שאלות בפונקציות‬
‫יוצרות‪ 2 ,‬שאלות בגרפים ו‪ 4-‬שאלות בהכלה והדחה‪ .‬צריך לענות על ‪ 6‬שאלות לפחות ) אפשר יותר ( וחייבים לענות על לפחות‬
‫שאלה אחת מכל נושא‪ .‬בכמה אופנים ניתן לעשות זאת‪.‬‬
‫‪ (19‬בכמה דרכים ניתן להרכיב מילה מהמספרים }‪ {1, 2, 3,⋯ n‬כך שכל מספר יופיע ‪ k‬פעמים אל אף מספר לא יופיע ‪ k‬פעמים ברצף?‬
‫‪12‬‬
‫תרגילים בנושא פונקציות יוצרות‬
‫‪30‬‬
‫‪ (1‬מה המקדם של ‪ x 10‬בביטוי‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪?  x 2 − x + 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (2‬בנה פונקציה יוצרת למספר האפשרויות של דני לקנות בסופר ‪ 50‬מוצרי חלב לבית מסוג שוקו‪ ,‬מוקה ובננה‪ .‬כאשר משקה בננה‬
‫מגיע רק באריזות של שלוש ‪,‬משקה שוקו בזוגות )משקה מוקה אפשר לקנות ביחידים( ואחותו של דני אוהבת רק מוקה‪) .‬שימו לב‬
‫שעליו לחזור הביתה עם משקאות לכל בני המשפחה(‪.‬‬
‫‪ (3‬איש ציבור מושחת לוקח כל שנה שוחד בסך ‪ 4 ,2‬או ‪ 6‬מליון דולר )שלא כמו איש ציבור נורמטיבי בסעיף ‪1‬א‪ ,‬איש ציבור מושחת‬
‫יכול לקחת שוחד של ‪ 6‬מליון דולר מספר שנים ברציפות(‪ .‬סדרת שוחד היא סדרת סכומים שקיבל איש ציבור מושחת במשך כמה‬
‫שנים‪ ,‬למשל ‪ .6,6,2,4,2‬כמה סדרות שוחד יניבו עבור איש ציבור מושחת סך של ‪ 20‬מיליון דולר במשך ‪ 6‬שנים?‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫⋅‬
‫‪ (4‬יהי ‪ an‬המקדם של ‪ xn‬בפיתוח של הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(1 − 2 x) (1 − x‬‬
‫‪.‬‬
‫יהי ‪ bn‬פתרון נוסחת הנסיגה ‪ bn = bn−1 + (n + 1)2 n‬עם תנאי ההתחלה ‪.b0=1‬‬
‫הוכיחי ש ‪.an=bn‬‬
‫הערה‪ :‬אפשר לפתור את השאלה ע"י חישוב מפורש של ‪ an‬ו ‪ ,bn‬אבל ניתן גם למצוא קיצור דרך משמעותי בעזרת ביטוי מהצורה‬
‫‪n‬‬
‫)‪. ∑ (...‬‬
‫‪k =0‬‬
‫‪ (5‬יהי ‪ an‬מספר הדרכים לכתוב את ‪ n‬כסכום של מספר אי‪-‬שלילי של ‪-2‬ים‪ ,‬מספר חיובי של ‪-3‬ים‪ ,‬ולכל היותר שני ‪-1‬ים‪ ,‬כאשר סדר‬
‫המחוברים איננו משנה‪.‬‬
‫יהי ‪ bn‬מספר הדרכים לפזר ‪ n‬כדורים זהים לשני תאים‪ ,‬כך שבתא הראשון לפחות שלושה כדורים‪ ,‬ובתא השני מספר זוגי של‬
‫כדורים‪.‬‬
‫הוכיחי ש ‪.an= bn‬‬
‫‪ (6‬א‪ .‬רונית יוצאת לטייל בשכונה בלווית ‪ n‬חיות מחמד היא מזמינה לטיול ‪ 3‬או ‪ 4‬או ‪ 5‬חתולים מפח האשפה ) זה נקרא חתול פ"ז =‬
‫פח זבל ( אז בקיצר היא יוצאת עם ‪ 3‬או ‪ 4‬או ‪ 5‬חתולי פז מספר כלשהוא של זוגות עורבים ) עורבים באים בזוגות ( כמו כן אם‬
‫התחזית לאזרחים הסטרים לאורך המסלול רגועה יתכן שרונית תזמין גם את תנין מצריים‪ .‬נסמן ב‪ an -‬את מספר האפשרויות‬
‫לבחירת ‪ n‬חיות מחמד לטיול של רונית‪ ) .‬חיות מאותו מין ביולוגי נחשבות זהות ( חשבו את הפונקציה היוצרת של ‪. a n‬‬
‫) תשובה סופית כמנה של פולינומים (‬
‫ב‪ .‬גם נורית יוצאת לטיול עם ‪ n‬חיות מחמד משלה מספר האפשרויות של נורית לבחור את החיות שלה הוא ‪ bn‬נתון ש‪-‬‬
‫‪x + x2‬‬
‫‪4‬‬
‫) ‪(1 − x‬‬
‫∞‬
‫= ‪bn x n‬‬
‫∑‬
‫כמה אופנים יכולה נורית לבחור לעצמה ‪ 23‬חיות מחמד לטיול פסטורלי?‬
‫‪n=0‬‬
‫‪13‬‬
‫‪6 − 10 x‬‬
‫‪ (7‬חשבו את ‪ a 22‬בסדרה הנוצרת על ידי‬
‫‪1 − 7 x + 12 x 2‬‬
‫∑‬
‫‪ (8‬בנה פונקציה יוצרת ) ללא‬
‫= )‪F ( x‬‬
‫( עבור מספר הדרכים לפזר ‪ n‬כדורים זהים ב‪ 7-‬תאים כך שמספרי הכדורים בתא הראשון‬
‫ובתא השביעי שווים‪ ,‬בתא השני והשישי יש מספר שווה של כדורים‪ ,‬ובתא הרביעי מספר גדול מאשר בתא הראשון והשני יחד‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ (9‬מצא נוסחה סגורה לסכום‬
‫‪k‬‬
‫‪∑k ⋅5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k =0‬‬
‫‪ (10‬נסמן ב‪ an -‬את מספר הדרכים לפזר ‪ n‬כדורים זהים ב‪ 5 -‬תאים כך שלכל ‪ 1 ≤ k ≤ 5‬מספר הכדורים בתא ה‪ k -‬שווה למספר‬
‫הכדורים בתא ה‪ ,5-k+1 -‬וכך שמספר הכדורים בתא האמצעי גדול מסכום מספרי הכדורים בתא הראשון והשני יחד‪ .‬מצאו ביטוי‬
‫אלגברי סגור )ללא‬
‫∑‬
‫∞‬
‫( לפונקציה היוצרת ‪. f (x ) = ∑ an x n‬‬
‫‪n =0‬‬
‫‪ (11‬ברשותך שלושה כדורים לבנים זהים‪ ,‬שלושה כדורים שחורים זהים‪ ,‬ומאגר בלתי מוגבל של כדורים אדומים וירוקים זהים‪ .‬בכמה‬
‫אופנים ניתן להרכיב מהם קבוצה ) סדר הכדורים לא משנה ‪ 9‬בת ‪ n‬כדורים‪ .‬פתור הן בעזרת פונקציות יוצרות והן בעזרת הכלה‬
‫והדחה והשווה את התוצאות‪.‬‬
‫‪ (12‬יהי ‪ an‬מספר הדרכים לכתוב את ‪ n‬כסכום של מספר אי‪-‬שלילי של ‪-2‬ים‪ ,‬מספר חיובי של ‪-3‬ים‪ ,‬ולכל היותר שני ‪-1‬ים‪ ,‬כאשר סדר‬
‫המחוברים איננו משנה‪ .‬יהי ‪ bn‬מספר הדרכים לפזר ‪ n‬כדורים זהים לשני תאים‪ ,‬כך שבתא הראשון לפחות שלושה כדורים‬
‫ובתא השני מספר זוגי של כדורים‪ .‬הוכיחי ש ‪.an= bn‬‬
‫‪ (13‬א‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 23‬בדיוק? ) שאלה זו מופיעה גם בפרק על הכלה הדחה (‬
‫ב‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 31‬בדיוק?‬
‫ג‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 23‬לכל היותר?‬
‫‪ (14‬הוכיחו כי מספר הפתרונות בשלמים אי‪-‬שליליים למשוואה ‪ x + y + z = n‬כאשר ‪ y‬זוגי‪ 3 ≤ x ≤ 5 ,‬ו‪0 ≤ z ≤ 1-‬‬
‫שווה למספר הפתרונות בשלמים אי‪-‬שליליים למשוואה ‪ x + y = n‬כאשר ‪ 3 ≤ x‬ו‪. 0 ≤ y ≤ 2 -‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ (15‬נתונות סדרות ‪ (an )n≥0 , (bn )n≥0‬כלשהן‪ ,‬ונתון שאברי הסדרה ‪ (cn )n≥0‬מקיימים ‪ c n = ∑ ai bn−i‬לכל ‪ . n ≥ 0‬נסמן ב‪-‬‬
‫‪i =0‬‬
‫‪ (da )n , (db)n , (dc )n‬את סדרות ההפרשים של הסדרות ‪ (an )n ≥0 , (bn )n≥0 , (cn )n≥0‬בהתאמה‪ .‬הוכיחו באמצעות פונקציות יוצרות‬
‫כי לכל ‪ n ≥ 0‬מתקיים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i =0‬‬
‫‪i =0‬‬
‫‪(dc )n = ∑ (da )i bn −i = ∑ a i (db)n −i‬‬
‫‪14‬‬
‫תרגילים בנושא רקורסיה‬
‫‪ (1‬לכל ‪ n‬שלם אי‪-‬שלילי נגדיר את ‪ an‬להיות מספר הסדרות היורדות הלא ריקות‪ ,‬שמורכבות ממספרים טבעיים בין ‪ 1‬ל ‪ ,n‬כך‬
‫שההפרש בין כל שני מספרים עוקבים בסדרה הוא לפחות ‪ .3‬כתבו נוסחת נסיגה ותנאי התחלה ל ‪. an‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ o‬הסדרה )‪ (12,9,5,1‬נספרת בחישוב של ‪ , a14‬מכיוון שהיא יורדת‪ ,‬כל הספרות שבה הן בין ‪ 1‬ל ‪ ,14‬וההפרשים בין כל שתי‬
‫ספרות עוקבות בסדרה הם ‪ 3‬או יותר‪.‬‬
‫‪ o‬הסדרה )‪ (14‬נספרת בחישוב של ‪ , a14‬מכיוון שהיא יורדת‪ ,‬כל הספרות שבה הן בין ‪ 1‬ל ‪ ,14‬וההפרשים בין כל שתי ספרות‬
‫עוקבות בסדרה הם ‪ 3‬או יותר )בגלל שאין ספרות עוקבות(‪.‬‬
‫‪ o‬הסדרה )‪ (12,9,7,1‬אינה נספרת בחישוב של ‪ , a14‬מכיוון שההפרש בין הספרה השנייה והשלישית בסדרה הוא ‪.2‬‬
‫‪ (2‬א( מצא נוסחת נסיגה ותנאי התחלה עבור מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת ‪ n‬אנשים לזוגות ולבודדים‪.‬‬
‫ב( מצאי נוסחת נסיגה ותנאי התחלה למספר הדרכים לחלק קבוצה של ‪ n‬אנשים לזוגות ולשלשות‪ ,‬כאשר הסדר בין הזוגות‬
‫והשלשות ובתוך הזוגות והשלשות איננו משנה‪.‬‬
‫‪ (3‬בחפיסת קלפי טאקי יש מספר לא מוגבל של קלפים בצבעים צהוב‪ ,‬אדום‪ ,‬כחול וירוק‪ ,‬ואיננו מבחינים בין קלפים שונים מאותו‬
‫צבע‪ .‬יהי ‪ an‬מספר ערימות קלפי טאקי בגודל ‪ n‬שבהם מעל קלף אדום או כחול אסור לשים קלף צהוב או ירוק‪ .‬מצאי נוסחת‬
‫נסיגה ותנאי התחלה ל ‪.an‬‬
‫‪ (4‬מצא יחס רקורסיבי ותנאי התחלה עבור מספר המילים באורך ‪ n‬מעל } ‪ { A, B , C‬ללא הרצפים הבאים‪ ) .‬כל סעיף שאלה בפני עצמה (‬
‫א( ‪CC‬‬
‫ב( ‪AB‬‬
‫ג( ‪AA , AB‬‬
‫פתרון בשתי דרכים ז( ‪BA , CA‬‬
‫ד(‬
‫ח( ‪AA, BB‬‬
‫‪AA , BA‬‬
‫ה( ‪AA , AB , AC‬‬
‫ט( ‪AA , BB , CC‬‬
‫ו( ‪ AB , BC‬באתר מצורף‬
‫י( ‪BC , CB‬‬
‫‪ (5‬מצא יחס רקורסיבי ותנאי התחלה עבור מספר הדרכים לרצף שביל באורך ‪ n‬במרצפות אדומות באורך ‪ ,2‬מרצפות צהובות באורך ‪2‬‬
‫מרצפות ירוקות באורך ‪ ,2‬ומרצפות שחורות ומרצפות לבנות באורך ‪ 1‬כל אחת‪ .‬ולאחר פתור את יחס הנסיגה שקיבלת‪ ,‬קבל נוסחה‬
‫מפורשת‪ ,‬וחשב את ארבעת האיברים הראשונים בשתי דרכים‪ .‬אחת לפי היחס הרקורסיבי ושתים ע"י הצבה בנוסחה המפורשת שמצאת‪.‬‬
‫‪ (6‬עבור ‪ n‬טבעי מהו מספר הסדרות הפלינדרומיות באורך ‪ n‬מעל קבוצת הספרות העשרוניות }‪) {0,1,2,...,9‬סידרה ‪ x1 ,..., x n‬היא‬
‫פלינדרומית אם ‪ xi = xn −i +1‬לכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬ובעברית יותר קלה אם בקריאתה מהסוף להתחלה או מההתחלה לסוף מתקבלת‬
‫אותה סדרה למשל כמו ‪.( 1, 7, 2, 2, 2, 7,1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ (7‬נתבונן בסדרות סופיות של סימנים‪ ,‬הלקוחים מתוך ‪ 6‬סימנים אלה‪ :‬הספַרות ‪ 0,1‬וארבעה סימני פעולה‪:‬‬
‫‪./ ,∗, − , +‬‬
‫ובכפוף לתנאים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬הסדרה נפתחת ומסתיימת בסִפרה ‪.‬‬
‫ב‪ .‬אין הופעות צמודות של סימני פעולה‪.‬‬
‫דוגמאות של סדרות העונות על התנאים‪:‬‬
‫דוגמאות של סדרות שאינן עונות על ה תנאים‪:‬‬
‫‪0100 /101 − 11 + 1010‬‬
‫‪, −00‬‬
‫‪, +00 + 10‬‬
‫‪,‬‬
‫‪. 001‬‬
‫‪. 101 + / 00‬‬
‫נסמן ב‪ a n -‬את מספר הסדרות הללו שבהן בדיוק ‪ n‬סימנים‪.‬‬
‫א( מצא יחס נסיגה עבור ‪. an‬‬
‫ב( מצא אופן ישיר את ‪ . a0 , a1 , a2 , a3‬בדוק בעזרת הערכים שקיבלת את יחס הנסיגה שרשמת ‪.‬‬
‫ג( פתור את יחס הנסיגה וקבל נוסחה מפורשת עבור ‪ . an‬ובדוק בעזרת הנוסחה הנ"ל את תוצאות סעיף ב'‪.‬‬
‫‪ (8‬בידינו מספר בלתי‪-‬מוגבל של בלוקים זהים בגודל ‪: 2 × 1‬‬
‫ומספר בלתי‪-‬מוגבל של בלוקים זהים בגודל ‪2 × 2‬‬
‫‪:‬‬
‫עלינו לרצף מלבן שממדיו ‪: n × 2‬‬
‫)בציור ‪.( n = 7‬‬
‫אסור לחרוג מגבולות המלבן‪ .‬בלוק של ‪ 2 × 1‬אפשר להניח כרצוננו "שוכב" או "עומד"‪.‬‬
‫יהי ‪ a n‬מספר הריצופים השונים האפשריים‪.‬‬
‫א‪ .‬רשום יחס נסיגה עבור ‪) a n‬הסבר אותו( ותנאי התחלה מספיקים‪.‬‬
‫ב‪ .‬פתור את יחס הנסיגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ‪ a 4‬בשתי דרכים‪ :‬מתוך יחס הנסיגה שבסעיף א'‬
‫‪ (9‬תנו ביטוי מפורש ל‪ an -‬בנוסחאות הנסיגה הבאות וחשבו את ‪ a 3 , a4 , a5‬בשתי דרכים‪ ,‬אחת בעזרת יחס הנסיגה ושתיים‬
‫בעזרת הנוסחה המפורשת‪.‬‬
‫כאשר ‪a0 = 3 , a1 = 7‬‬
‫א( ‪a n = 5an −1 − 6a n− 2‬‬
‫ב( ‪a n+ 1 = 5a n − 4an −1‬‬
‫ג( ‪a n = 4an −1 − 4a n− 2‬‬
‫ד( ‪a n + 1 = 7 a n − 1 + 6 a n − 2‬‬
‫ה( ‪= 4a n − 5an −1 + 2a n− 2‬‬
‫‪a n+ 1‬‬
‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 1‬‬
‫כאשר ‪a0 = −1 , a1 = 4‬‬
‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 0 , a 2 = 7‬‬
‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 4 , a2 = 11‬‬
‫ו( ‪a n = 7a n −1 − 10a n− 2 + 16n‬‬
‫ז ( ‪a n = 6 a n −1 − 8 a n − 2 − 3‬‬
‫כאשר ‪a1 = 19 , a0 = 14‬‬
‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 9‬‬
‫ח( ‪a n = 6an −1 − 8an − 2 − 3 n‬‬
‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 9‬‬
‫ט( ‪an = 6an −1 − 8an − 2 − 2n‬‬
‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 10‬‬
‫י( ‪a n = 10an −1 − 25an − 2 + 5n‬‬
‫יא( ‪a n = 3a n−1 − 2a n− 2 + 2 n + n‬‬
‫כאשר ‪a0 = −1 , a1 = 7 12‬‬
‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ (10‬מצא נוסחת נסיגה ותנאי התחלה עבור הסידרה ‪ a n‬המקיימת‪. a n = 2 2n +1 − 3 n (n − 1) + 1 :‬‬
‫‪ (11‬כתוב נוסחת נסיגה ‪ , an ,‬למספר הסדרות באורך ‪ n‬בספרות ‪ 0,1,2‬ללא ‪ 00‬ו‪. 12 -‬‬
‫‪ (12‬איש ציבור נורמטיבי לוקח שוחד כל שנה בסכום ‪ 2‬מיליון דולר‪ 4,‬מיליון דולר או ‪ 6‬מיליון דולר‪ .‬כדי לא למשוך תשומת לב‬
‫הוא לא לוקח שנתיים ברצף שוחד על סך ‪ 6‬מיליון דולר‪ .‬נסמן ב ‪ an‬את מספר סדרות השוחד השונות שיכול לצבור איש ציבור‬
‫בשירות נורמטיבי בן ‪ n‬שנים‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬במשך ‪ 4‬שנים ניתן לצבור את סדרת השוחד ‪ ;2,2,2,2‬את סדרת השוחד ‪ ;2,4,2,6‬את סדרת השוחד‬
‫‪ ;4,2,2,6‬ועוד כהנה וכהנה‪ .‬שימי לב ששתי הסדרות האחרונות נספרות כשתי סדרות שוחד שונות‪.‬‬
‫רשמי נוסחת נסיגה ותנאי התחלה ל ‪.an‬‬
‫‪ (13‬לכל ‪ n ∈ ℕ‬נסמן ע"י ‪ an‬את מספר המילים מעל }‪ { A, B, C , D , E‬שלא מכילות אף אחד מהרצפים ‪AA, BA, CA‬‬
‫מצא נוסחה מפורשת עבור ‪. a n‬‬
‫‪ (14‬יהי ‪ an‬מספר הסדרות באורך ‪ , n‬שאבריהן שייכים לקבוצה }‪ {1,2,3…,8‬ומקיימות את התנאי‬
‫הבא‪ :‬לא מופיעים בסדרה מספרים זוגיים זה בסמוך לזה‪.‬‬
‫א( מצאו יחס נסיגה עבור ‪ , a n‬רשמו את ‪. a0 , a1‬‬
‫ב( פתרו את יחס הנסיגה וקבלו ביטוי מפורש עבור ‪. a n‬‬
‫ג( חשבו את ‪ a2‬מנוסחת הרקורסיה ומהביטוי המפורש‪ ,‬ובדקו שהתקבל אותו ערך‪.‬‬
‫‪ (15‬לקינוח שאלה קשה‪.‬‬
‫כמה טיולים באורך ‪ n‬המתחילים בקודקוד ‪ 1‬ומסתיימים בקודקוד ‪ 1‬יש בגרף‬
‫לדוגמה עבור ‪ n = 2‬יש שני טיולים כאלה והם ‪1, 2,1‬‬
‫לדוגמה עבור ‪ n = 4‬יש שישה טיולים כאלה והם‬
‫)‪( 1, 2,1, 6,1) , ( 1, 6,1, 2,1) , ( 1,6,1, 6,1) , ( 1, 6, 5, 6,1) , ( 1, 2,1, 2,1) . ( 1, 2, 3, 2,1‬‬
‫ו‪1, 6,1 -‬‬
‫‪17‬‬
‫תרגילים בנושא שובך היונים‬
‫‪ (1‬תהי }‪ A = {1, 2, 3,⋯ , 49‬הוכח כי לכל בחירה של קבוצה ‪ B ⊆ A‬כך ש‪ B = 26 -‬יהיו ב‪ B -‬לפחות שני איברים שסכומם ‪.49‬‬
‫‪ (2‬תהי ‪ A‬קבוצה של שישה מספרים מתוך }‪ {1, …11‬הוכח כי קיימות שתי תתי קבוצות של ‪ A‬שסכום אבריהן שווה‪.‬‬
‫‪(3‬‬
‫מה הגודל המירבי של קבוצה של מספרים טבעיים שבה אין שני מספרים שסכומם או הפרשם מתחלק ב‪ ?3009-‬נמקו!!!‬
‫‪ (4‬תהי ‪ A‬קבוצה של ‪ n‬מספרים טבעיים כלשהם‪ .‬הוכח שקיימת קבוצה חלקית לא‪-‬ריקה של ‪ ,A‬שסכום איבריה מתחלק ב‪n -‬‬
‫‪ (5‬הוכח כי בכל צביעה של המישור בשני צבעים כחול ואדום יש שתי נקודות שמרחקן‪ ,‬אחד והן צבועות באותו צבע‪.‬‬
‫‪ (6‬יהי ‪ n ∈ ℕ‬הוכח כי קיים ‪ k ∈ ℕ‬כך שבמספר הטבעי ‪ k ⋅ n‬מופעיות הספרות ‪ 7‬ו‪ 0-‬בלבד‪.‬‬
‫‪ (7‬הוכח כי מבין כל ‪ 12‬מספרים דו ספרתיים יש שניים שהפרשם בעל שתי ספרות זהות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (8‬הוכח כי מבין כל בחירת ‪ 26‬נקודות בתוך משולש שווה צלעות שאורך צלעו הוא אחד יש שתי נקודות שהמרחק בינהן קטן מ‪-‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ (9‬הוכח כי בכל בחירה של ‪ n + 1‬מספרים מתוך הקבוצה }‪ {1,2,3,⋯ ,2n‬יש שני מספרים ‪ x , y‬כך ש‪-‬‬
‫א‪ x , y .‬זרים‪ ) .‬כלומר המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא ‪( .1‬‬
‫ב‪ x .‬מתחלק ב‪ y -‬ללא שארית‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי החסם הנ"ל הדוק‪ ,‬כלומר אפשר לבחור ‪ n‬מספרים מבלי שיתקיימו תנאי א' ו‪-‬ב'‪.‬‬
‫‪ (10‬בוחרים ‪ 46‬מספרים מתוך הקבוצה }‪ {1,2,3,⋯ ,81‬הוכח כי יש שני מספרים שהפרשם הוא בדיוק ‪( .9‬‬
‫הוכח גם כי המספר הנ"ל הדוק‪ ) .‬כלומר מצא ‪ 45‬מספרים מתוך }‪ {1,2,3,⋯ ,81‬שאין בהם שניים שהפרשם הוא בדיוק ‪( .9‬‬
‫‪ (11‬תהי ‪ A‬קבוצה בת ‪ 20‬מספרים שנבחרו במתוך הסדרה החשבונית ‪ 1,4,7,10,⋯ ,100‬הוכח כי יש שני מספרים שסכומם ‪.104‬‬
‫‪ n (12‬אנשים נפגשו במסיבה ולחצו ידיים‪ .‬הוכח כי יש שני אנשים שלחצו בדיוק אותו מספר ידיים‪.‬‬
‫‪ (13‬הוכח כי בכל צביעה של קשתות הגרף השלם ‪ K 6‬בשני צבעים יש משולש מונוכרומטי‪.‬‬
‫‪ (14‬הוכח כי בכל גרף יש שני קודקודים בעלי אותה דרגה‪.‬‬
‫‪ (15‬לפוליטיקאי נותרו ‪ 50‬ימים עד לבחירות‪ .‬הוא מתכנן נאומי בחירות‪ .‬לפחות אח ביום אך לא יותר מ‪ 75-‬נאומים בס"ה‪ .‬הוכח כי‬
‫קיימת סדרת ימים שבהם הוא נואם בס"ה ‪ 24‬מאומים‪.‬‬
‫‪ (16‬יהי ‪ n ∈ ℕ‬הוכח כי קיים ‪ m ∈ ℕ‬כך ש‪ n -‬מחלק את ‪ . 2m − 1‬הדרכה‪ :‬התבונן ב‪− 1-‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪. 2 − 1, 2 − 1, 2 − 1,⋯ 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪18‬‬
‫תרגילים בנושא גרפים‬
‫הערה‪ :‬השאלות באדום אינן מיועדות ללומדים במכללת אפקה‪.‬‬
‫‪ (1‬יהי ‪ G‬גרף פשוט בעל ‪ n‬קודקודים‪ .‬הוכח כי אם לכל שני קודקודים ‪ x, y ∈ V‬מתקיים ‪ d ( x ) + d ( y ) ≥ n − 1‬אז ‪ G‬קשיר‪.‬‬
‫‪ (2‬יהי ‪ G‬גרף פשוט בעל ‪ n = 100‬קודקודים הוכח כי אם לכל קודקוד ‪ x ∈V‬מתקיים ‪ d ( x ) ≥ 50‬אז יש ב‪ G -‬מעגל באורך ‪. 4‬‬
‫‪ (3‬הוכח כי בכל גרף פשוט על ‪ 100‬קודקודים שבו כל הדרגות הן לפחות ‪ 10‬יש מעגל באורך ≥ ‪. 4‬‬
‫‪ (4‬יהי ‪ G‬גרף דו צדדי ‪ V1 ∩ V2 = ∅ , V = V1 ∪ V2‬נתון כי ‪ G‬הוא ‪ d‬רגולרי‪ , d ≥ 1 .‬הוכח כי ‪. V1 = V2‬‬
‫‪ (5‬יהי ‪ G‬גרף פשוט הוכח כי לפחות אחד מבין הגרפים ‪ G , G‬הוא קשיר‪ .‬ובניסוח שקול‪ :‬הוכח כי בכל צביעת קשתות הגרף השלם‬
‫‪ K n‬בשני צבעים לפחות אחד הגרפים החד צבעיים הוא קשיר‪.‬‬
‫‪ n − 1‬‬
‫‪ ( ★ ) E > ‬אז ‪ G‬קשיר‪ .‬כאשר‬
‫‪ (6‬יהי ‪ G‬גרף פשוט בעל ‪ n‬קודקודים‪ .‬הוכח כי אם ‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ E‬זה מספר הקשתות‪.‬‬
‫‪ n − 1‬‬
‫‪ E = ‬כך ש‪ G -‬אינו קשיר‪ .‬זה מראה שלא ניתן לשפר את אי‬
‫הראה כי חסם זה הדוק‪ .‬כלומר הראה גרף פשוט ‪ G‬עבורו ‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫השוויון ) ★ ( ‪.‬‬
‫‪ (7‬יהי ‪ T‬עץ בעל ‪ n‬קודקודים‪ .‬נתון כי דרגותיו הן ‪ 1, 3, 5‬בלבד‪ .‬יש ‪ 7‬קודקודים מדרגה ‪ 3‬ו‪ 10 -‬מדרגה ‪ . 5‬כמה עלים יש בעץ?‬
‫‪ (8‬יהי ) ‪ T = (V , E‬עץ שבו‪ . V = n :‬דרגות צמתי ‪ T‬הן‪ 1,3,5 :‬בלבד‪ .‬מס' הצמתים שלהם דרגה ‪ 3‬הוא ‪ 10‬ומס' הצמתים שלהם‬
‫דרגה ‪ 5‬הוא ‪ .12‬כמה עלים )צמתים מדרגה ‪ (1‬יש לעץ ?‬
‫‪ (9‬יהיו ) ‪ T1 = (V , E1 ) , T2 = (V , E 2‬שני עצים על אותה קבוצת קודקודים‪ .‬נגדיר גרף ‪ G‬על אותה קבוצת קודקודים וקשתותיו‬
‫‪ E = E1 ∪ E 2‬הוכח כי קיים ‪ x ∈ V‬כך ש‪ ) . d ( x ) ≤ 3 -‬דרגתו של ‪ x‬ב‪( G -‬‬
‫‪ (10‬צובעים ב‪ n ≥ 2 -‬צבעים את קשתות הגרף השלם ‪ K n‬כך שכל צבע מופיע לפחות פעם אחת הוכח כי קיים מעגל שכל קשתותיו‬
‫צבועות בצבעים שונים‪.‬‬
‫‪ (11‬הוכיחו בכל גרף שכל דרגותיו ‪ 4‬ניתן לצבוע את קשתותיו כך מכל קודקוד יצאו בדיוק שתי קשתות מכל צבע‪.‬‬
‫‪ (12‬יהי ) ‪ G = (V , E‬גרף פשוט הוכח כי אם ‪ V = E‬אז ב‪ G -‬יש מעגל ואם ‪ G‬קשיר אז המעגל יחיד‪.‬‬
‫‪ (13‬יהי ) ‪ G = (V , E‬גרף פשוט ויהיו ‪ x, y ∈ V‬שני קודקודים לא שכנים הוכח כי אם ‪ d ( x ) + d ( y ) ≥ n‬אז יש ל‪ x -‬ול‪y -‬‬
‫לפחות שני שכנים משותפים‪.‬‬
‫‪ (14‬הוכח כי בכל צביעת קשתות הגרף השלם ‪ K n‬בשני צבעים קיים עץ פורש מונוכרומטי‪.‬‬
‫הערה‪ :‬עץ פורש הוא עץ שקודקודיו הם כל קודקודי ‪ G‬וקשתותיו הן חלק מקשתות ‪. G‬‬
‫‪ (15‬יהי ) ‪ , V = n, G = (V , E‬גרף פשוט וחסר מעגלים שבו ‪ k‬רכיבי קשירות‪ ,‬הוכיחו כי‪. E = n − k :‬‬
‫‪ (16‬מהי העוצמה הגדולה ביותר האפשרית לקבוצה של עצים על קבוצת הקודקודים‪ V = {1, 2,3, 4,5, 6} :‬שאף שניים מהם אינם‬
‫איזומורפיים?‬
‫‪19‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪ (17‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ n ≥ 2‬צמתים ויהיו ‪ u, v ∈ V‬קודקודים שא ינם שכנים‪ .‬הוכח כי אם‬
‫‪2‬‬
‫≥ ) ‪ d ( u ) , d ( v‬אז יש ל‪-‬‬
‫‪ u, v‬לפחות שלושה שכנים משותפים‪.‬‬
‫‪ (18‬בכמה עצים על קבוצת הצמתים }‪ {1, 2, 3,4, 5, 6‬אין שום צומת מדרגה זוגית?‬
‫‪ (19‬יהי ‪ K m ,n‬גרף דו צדדי שלם‪ .‬הוכח כי ‪ K m ,n‬המילטוני ⇔ ‪. m = n‬‬
‫‪ (20‬יהיו ) ‪G1 = (V1 , E1 ) , G2 = (V2 , E2‬‬
‫∅ = ‪ E1 ∩ E1 = ∅ , V2 ∩ V2‬שני גרפים אוילריים פשוטים‪ .‬נגדיר ) ‪G = (V , E‬‬
‫באופן הבא‪ V = V1 ∪ V2 , E = E1 ∪ E 2 :‬ומלכדים צומת ‪ u1 ∈ V1‬עם צומת ‪ . u2 ∈ V2‬האם ‪ G‬אוילרי? ואם נחבר את ‪ u1‬עם‬
‫‪ u2‬במקום ללכד אותם האם כעת ם ‪ G‬אוילרי?‬
‫‪ (21‬יהיו ‪ G1 , G2‬שני גרפים איזומורפיים‪ .‬הוכח כי ‪ G1‬חסר מעגלים ⇔ ‪ G2‬חסר מעגלים‪ .‬הסק כי ‪ G1‬עץ ⇔ ‪ G2‬עץ‪.‬‬
‫‪ (22‬הוכח כי בכל צביעה של קשתות ‪ K 2t +1‬ב‪ t -‬צבעים נקבל מעגל חד צבעי‪.‬‬
‫‪ (23‬יהי ) ‪ T = (V , E‬עץ‪ .‬הוכיחו שאם כל דרגותיו אי‪-‬זוגיות אזי גם ‪ E‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫‪E ≤ n4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (24‬יהי ) ‪ G = (V , E‬גרף דו‪-‬צדדי פשוט‪ . V = n .‬הוכיחו כי‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ (25‬יהי ) ‪ G = (V , E‬גרף כך ש‪V = P2 ({1, 2, .., n} ) , ( n ≥ 2 ) :-‬‬
‫‪A, B ∈ V‬‬
‫‪A ∩ B = φ,‬‬
‫⇔‬
‫‪e∈ E‬‬
‫)‪ (i‬חשבו את ‪. V‬‬
‫)‪ (ii‬מהי דרגת כל צומת ?‬
‫)‪ (iii‬הוכיחו כי אם ‪ n ≥ 5‬אזי ‪ G‬קשיר )רמז‪ :‬דרך השלילה(‪.‬‬
‫‪ (26‬כמה גרפים שונים על קבוצת הקודקודים }‪ V = {1, 2, ..., n‬איזומורפיים לגרף הבא‪:‬‬
‫‪n-2‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪... k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n-1‬‬
‫תנו תשובה לכל ‪ k , n‬טבעיים המקיימים ‪ 2 ≤ k ≤ n − 3‬הפרידו בין המקרים ‪. n ≠ 2k + 2 , n = 2k + 2‬‬
‫‪ (27‬מהו האורך המירבי של מסלול ב‪ ? K 2 n+1 -‬נמקו‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ (28‬נתונים שלושה גרפים בעלי אותה קבוצת קודקודים‪ G2 = (V , E 2 ) , G1 = (V , E1 ) :‬ו‪ . G3 = (V , E 3 ) -‬נגדיר‪:‬‬
‫) ‪ G = (V , E1 ∪ E 2 ∪ E 3‬איחוד שלושת הגרפים‪ ,‬ונניח כי לכל קודקוד ב‪ V-‬דרגתו ב‪ G-‬היא לפחות ‪ .6‬הוכיחו כי לפחות אחד‬
‫מהגרפים ‪ G2 , G1‬ו‪ G3 -‬אינו חסר‪-‬מעגלים‪.‬‬
‫‪ (29‬יהי ‪ T‬עץ על ‪ n ≥ 3‬קודקודים ויהי ‪ v‬קדקוד ב‪ T-‬מדרגה ‪ .2‬יה י ‪ k‬מספר רכיבי הקשירות של ‪) T − v‬שהוא תת הגרף של ‪ T‬המתקבל‬
‫ממחיקת ‪) v‬והקשתות ש‪ v -‬קצה שלהן(‪ .‬מה הם הערכים האפשריים עבור ‪ ? k‬הוכיחו טענתכם‬
‫‪ (30‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ 10‬קודקודים שיש בו ‪ 41‬קשתות‪ .‬הוכיחו‪ (i) :‬יש לפחות שני קודקודים ב‪ G-‬שדרגתם היא ‪ G (ii) .9‬קשיר‪.‬‬
‫‪ (31‬כמה מעגלים פשוטים באורך ‪ 3 ≤ k ≤ n‬יש בגרף השלם ‪ K n‬על קבוצת הקודקדוים }‪ ? {1, 2, 3, 4,⋯ , n‬שני מעגלים המתקבלים‬
‫אחד מין השני ע"י סיבוב נחשבים זהים‪ .‬למשל עבור ‪ n = 5‬שני המעגלים הבאים ‪1, 2, 3, 4, 5,1‬‬
‫ואילו המעגלים ‪1, 2, 3,1‬‬
‫ו‪ 3,4, 5,1, 2, 3 -‬נחשבים זהים‬
‫ו‪ 1, 3, 2,1 -‬אינם זהים‪.‬‬
‫‪ (32‬יהי ‪ Gn‬גרף פשוט שקודקודיו הם כל התת קבוצות של }‪ {1, 2, 3, 4,⋯ , n‬למעט ∅ ו‪ {1, 2, 3, 4,⋯ , n} -‬עצמה‪ .‬שני קודקודים‬
‫הם שכנים אם ורק אם אף אחד אינו מוכל במשנהו‪.‬‬
‫‪ .a‬הוכח כי לכל ‪ Gn n ≥ 2‬קשיר‪.‬‬
‫‪ .b‬הוכח כי אם ‪ v‬תת קבוצה בת ‪ k‬אברים של }‪ {1, 2, 3, 4,⋯ , n‬אז דרגתה כקודקוד ב‪ Gn -‬היא ‪− 2 + 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n− k‬‬
‫‪.2 −2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .c‬הוכח כי לכל ‪ n ≥ 3‬קיים מעגל המילטון ב‪ . Gn -‬מותר להסתמך על סעיפים קודמים ועל העובדה ש‪2n− k + 2k ≤ 2n−1 + 2 -‬‬
‫‪ (33‬בכמה עצים על קבוצת הקודקודים }‪ {1, 2, 3, 4,⋯ ,10‬כל העלים הם מספרים זוגיים?‬
‫‪ (34‬מיהו העץ הממוספר המותאם למילה‪?( (1,1,3, 4,3, 6,10,1) :‬‬
‫‪ (35‬יהיו ‪ T2 = V2 , E2 , T1 = V1 , E1‬עצים‪.‬‬
‫נגדיר גרף ‪ G‬באופן הבא‪G = V1 ∪ V2 , E1 ∪ E2 :‬‬
‫‪ .d‬נתון כי‪ . V1 ∩ V2 = {v} :‬האם ‪ G‬בהכרח עץ ? נמקו‪.‬‬
‫‪ .e‬נתון כי‪ . E1 ∩ E2 = {e} :‬האם ‪ G‬בהכרח עץ ? נמקו‪.‬‬
‫‪ .f‬יהי ) ‪ T = (V , E‬עץ שדרגות כל צמתיו אי‪-‬זוגיות‪ .‬הוכיחו כי ‪ E‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ (36‬יהי ‪ T‬עץ על ‪ n ≥ 4‬קודקודים‪ .‬אורך המסלול הפשוט הארוך ביותר ב‪ T-‬הוא ‪) n − 2‬יש מסלול פשוט באורך ‪ n − 2‬ואין מסלול‬
‫ארוך יותר(‪ .‬מהן דרגות קודקודי ‪ ? T‬רשמו או תן בסדר עולה משמאל לימין )סדרת הדרגות(‪ .‬יהי ‪ G‬גרף פשוט ‪-3‬רגולארי על‬
‫‪ n ≥ 4‬קודקודים‪ .‬נתון שב‪ G-‬יש מעגל המילטון‪ .‬הוכיחו שתת הגרף של ‪ G‬המתקבל ממחיקת כל הקשתות ששייכות למעגל‬
‫‪n‬‬
‫המילטון הוא בעל‬
‫‪2‬‬
‫רכיבי קשירות )בפרט‪ ,‬עליכם להוכיח ש‪ n-‬זוגי!(‪.‬‬
‫‪ (37‬יהי ‪ G‬גרף בעל שני רכיבי קשירות‪ T1 ,‬ו‪ , T2 -‬שכל אחד מהם עץ‪ .‬מוסיפים שתי קשתות חדשות ל‪) G-‬קבוצת הקודקודים נשארת‬
‫~‬
‫ללא שינוי( ומתקבל גרף חדש ‪. G‬‬
‫~‬
‫)‪ (i‬הוכיחו שב‪ G -‬בהכרח יש מעגל‬
‫~‬
‫)‪ (ii‬בנו דוגמה שבה ב ‪ G -‬יש מעגל המילטון‬
‫‪ (39‬נתונה קבוצה של ‪ 10‬קודקודים‪ ,‬ואוסף שקפים שעליהם מצויירים עצים על אותם עשרה קודקודים‪ .‬גיורא מניח מספר כלשהו של‬
‫שקפים זה על זה‪ ,‬ומקפיד שאף קשת משקף אחד לא תכסה על אותה קשת בשקף אחר )כלומר אין אף קשת משותפת לשני עצים‬
‫שונים(‪ .‬הוכיחו שהגרף שגיורא מקבל מאיחוד העצים שמצויירים על השקפים לא יכול להיות גרף שכל דרגותיו שוות ל ‪.5‬‬
‫רמז‪ :‬חשבו את מספר הקשתות בגרף‪.‬‬
‫‪ (40‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ n ≥ 3‬קודקודים‪ .‬נתון‪ n (i) :‬מספר זוגי‪ (ii) .‬כל הדרגות ב‪ G-‬שוות )כלומר ‪ G‬גרף רגולרי(‪ (iii) .‬גם ‪ G‬וגם‬
‫‪ G‬קשירים‪ .‬הוכיחו שלפחות באחד מבין ‪ G‬ו‪ G -‬יש מעגל המילטון‪.‬‬
‫‪ (41‬מחקו ‪ n − 1‬קשתות מן הגרף הדו‪-‬צדדי השלם ‪ ( n ≥ 1 ) K 2,n‬והתקבל גרף ‪ G‬שאין בו קודקודים מבודדים )כלומר אין בו קודקודים‬
‫שדרגתם אפס(‪ .‬הוכיחו ש‪ G-‬הוא עץ‪.‬‬
‫‪ (42‬כמה גרפים שונים על קבוצת הקודקודים } ‪ V = {v1 , v2 ,..., v12‬איזומורפים לגרף הבא‪:‬‬
‫‪22‬‬
‫‪ (43‬יהיו ) ‪ G2 = (V , E 2 ) , G1 = (V , E1‬שני גרפים על אותה קבוצת קודקודים ‪ . V‬מגדירים את הגרף‬
‫) ‪G = (V , E 1 ⊕ E 2‬‬
‫כאשר כאשר ‪ E1 ⊕ E 2‬הוא ההפרש הסימטרי של שתי קבוצות הקשתות‪ ) .‬כל הקשתות שנמצאות ב‪ E1 -‬או ב‪ E 2 -‬אבל לא‬
‫בשתיהן ( הוכח כי אם ב‪ G1 , G2 -‬יש מעגל אוילר ואם ‪ G‬קשיר אז גם בו יש מעגל אוילר‪.‬‬
‫‪ (44‬יהי ‪ G‬גרף שקודקודיו הן תתי קבוצות בנות ‪ 4‬איברים של }‪ {1, 2, 3,⋯ , 8‬כאשר שני קודקוים הם מחוברים אם ורק אם בחיתוך‬
‫שתי הקבוצות יש ‪ 2‬איברים בדיוק‪ .‬האם ב‪ G -‬יש מעגל המילטון?‬
‫‪ (45‬הוכיחי‪ ,‬או תני דוגמה נגדית והסבירי מדוע היא דוגמה נגדית‪ :‬אם לשני גרפים אותה רשימת דרגות )כלומר אם נסדר את דרגות‬
‫קודקודי כל אחד מהגרפים בסדר עולה‪ ,‬נקבל אותה סדרה(‪ ,‬אז הגרפים איזומורפיים‪.‬‬
‫‪ (46‬יהי ‪ G‬גרף‪ ,‬לאו דווקא קשיר‪ ,‬שכל דרגותיו איזוגיות‪ .‬נבנה גרף ‪ H‬שקודקודיו הם קודקודי ‪ G‬ועוד קודקוד חדש ‪ ,v‬וקשתותיו הם‬
‫קשתות ‪ G‬וכל הקשתות האפשריות בין ‪ v‬לקודקודי ‪ .G‬הוכיחי שב ‪ H‬יש מעגל אוילר‪.‬‬
‫‪ (47‬יהי ‪ G‬גרף קשיר על ‪ 13‬קודקודים‪ ,‬שניתן לצבוע בשלושה צבעים )כלומר אפשר לצבוע את הקודקודים בשלושה צבעים‪ ,‬כך שאין‬
‫שני קודקודים מאותו צבע שמחוברים בקשת(‪ .‬הוכיחי שיש בגרף ‪ 5‬קודקודים שאף אחד מהם לא מחובר לאף אחד אחר‪.‬‬
‫‪ (48‬כמה גרפים שונים זה מזה ואיזומורפיים לגרף שמצויר להלן‪,‬‬
‫אפשר לבנות על קבוצת הקודקודים }‪?{a,b,c,d,e,f‬‬
‫‪ (49‬כמה עצים יש על הקודקודים }‪ {1,… n‬שלהם בדיוק שני עלים?‬
‫‪ (50‬הוכח כי בכל צביעת קשתות הגרף השלם ‪ K 6‬בשני צבעים יש משולש מונוכרומטי‪.‬‬
‫‪ (51‬הוכיחו כי בכל קבוצה של ‪ 9‬אנשים יש בהכרח לפחות ‪ 4‬המכירים זה את זה או לפחות ‪ 3‬שאף שניים מהם אינם מכירים זה את זה‪.‬‬
‫‪ (52‬יהי ‪ G‬גרף שקודקודיו הם תתי קבוצות בנות ‪ 4‬אברים של הקבוצה }‪ n) {1,2,…,n‬גדול מ ‪ .(6‬שני קודקודים מחוברים בקשת בגרף‬
‫אם בחיתוך שלהם יש שני אברים בדיוק‪ .‬לדוגמה‪ ,‬הקודקוד }‪ {1,2,3,4‬שכן של }‪ {1,2,7,8‬אך לא של }‪.{1,2,3,7‬‬
‫כמה קודקודים בגרף סה"כ הם שכנים של }‪ {1,2,3,5} ,{1,2,3,4‬או }‪?{1,2,4,5‬‬
‫‪ (53‬יהי ‪ T‬עץ‪ .‬נוסיף ל ‪ T‬קודקוד שנקרא לו ‪ ,v‬וקשתות מ ‪ v‬לחלק מקודקודי ‪ .T‬מה צריכה להיות דרגת ‪ v‬כדי שבגרף המתקבל יהיה‬
‫בדיוק מעגל פשוט אחד? הוכיחי שאם דרגת ‪ v‬תהיה גדולה יותר‪ ,‬בגרף יהיה יותר ממעגל פשוט אחד‪.‬‬
‫‪ (54‬הוכיחי את הטענה הבאה‪ ,‬או תני דוגמה נגדית והסבר שמראה שאכן מדובר בדוגמה נגדית‪ :‬אם בגרף יש מעגל המילטון‪ ,‬אז יש בו‬
‫מעגל אוילר‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪ G (55‬גרף עם ‪ 20‬קודקודים ו‪ 15-‬קשתות ללא מעגלים‪ .‬כמה רכיבי קשירות בגרף?‬
‫‪ (56‬יהי ‪ G‬גרף פשוט קשיר בן ‪ 7‬קודקודים שסדרת דרגותיו היא ‪ .3,2,2,2,1,1,1‬כמה מעגלים פשוטים יש בגרף?‬
‫‪ (57‬יהי ‪ T‬עץ על ‪ n ≥ 2‬קודקודים שלו בדיוק שני עלים‪ .‬מהן דרגות קודקודי ‪ ? T‬רשמו אותן‪ ,‬לכל ‪ , n ≥ 2‬בסדר עולה משמאל לימין‬
‫)סדרת הדרגות( והוכיחו נכונות תשובתכם‪.‬‬
‫‪ (58‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ n‬קודקודים המכיל מעגל המילטון‪ .‬נתון כי על ידי השמטת קשתות המעגל מתקבל תת גרף של ‪ G‬שהוא עץ‪.‬‬
‫האם ניתן על סמך הנתונים לקבוע כמה קשתות בגרף ‪ ? G‬אם כן מהו מספר הקשתות?‬
‫‪ (59‬נתונים שני גרפים ‪ G1 , G2‬על ‪ 5‬קודקודים סדרת דרגותיו של ‪ G1‬היא‪2,2,3,4,5,5,6 :‬‬
‫וסדרת דרגותיו של ‪ G2‬היא‪ 1,2,3,4,4 :‬לגבי כל אחד משני הגרפים קבע איזו מן הטענות הבאות נכונה‪.‬‬
‫א‪ .‬יש גרף פשוט וקשיר כזה ‪.‬‬
‫ב‪ .‬יש גרף קשיר כזה אבל הוא לא פשוט‪.‬‬
‫ג‪ .‬יש גרף פשוט כזה אבל הוא לא קשיר‪.‬‬
‫ד‪ .‬יש גרף כזה אבל הוא חייב להיות לא פשוט ולא קשיר‪.‬‬
‫ה‪ .‬לא קיים גרף כזה‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ (60‬עבור ‪ n∈ ℕ‬נגדיר גרף פשוט ‪ Gn‬באופן הבא‪ :‬צמתיו הם ‪ 2‬הסדרות הבניאריות באורך ‪ . n‬ושני קודקודים מחוברים בינהם‬
‫בקשת אם ורק אם הם נבדלים בקורדינטה אחת‪ .‬מה מספר הקשתות של ‪ ? G5‬של ‪? Gn‬‬
‫‪ (61‬נגדיר ‪ Cn‬להיות מעגל על ‪ n‬קודקודים‪ .‬לאלו ערכים של ‪ n‬מתקיים ש‪ Cn -‬איזומורפי ל‪? Cn -‬‬
‫כאשר ‪ Cn‬הוא הגרף המשלים‪.‬‬
‫}‬
‫(‬
‫)‬
‫{‬
‫‪ (62‬נגדיר גרף ‪ G‬באופן הבא‪ V = A ∈ P {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A = 3 :‬למשל }‪ v = {2, 5, 6‬היא צומת של ‪ G‬שכן זו‬
‫תת קבוצה של }‪ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7‬בת שלושה איברים‪ .‬כמו כן נגדיר את קבוצת קשתות ‪ G‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪A ∩ B = 1⇔ { A, B} ∈ E‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ G‬קשיר וחשב את מספר קודקודיו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את דרגת כל צומת ואת מספר קשתותיו‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם ‪ G‬אוילרי? המילטוני?‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ (63‬א‪ .‬הוכח כי בגרף הבא אין זווג מושלם?‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא זווג מקסימום‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהו המספר המינמלי של קשתות‬
‫שיש להוסיף לגרף כך שיהיה זווג‬
‫מושלם‬
‫‪h‬‬
‫‪g‬‬
‫‪e‬‬
‫‪f‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ (64‬יהי ‪ G‬גרף מישורי על ‪ 11‬קודקודים‪ .‬הוכח כי ‪ G‬אינו מישורי‪.‬‬
‫‪ (65‬יהי ‪ G‬גרף מישורי על ‪ n‬קודקודים‪ .‬הוכח כי אם ‪ n ≥ 11‬אז ‪ G‬אינו מישורי‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ (66‬יהי ) ‪ G = (V , E‬גרף ותהינה ‪ A, B‬קבוצות צבעים‪ .‬נסמן את הגרף המשלים ב‪. G = V , E -‬‬
‫תהינה ‪ f : V → A , g : V → B‬שתי צביעות חוקיות של ‪ G‬ושל ‪ G‬בהתאמה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬כזכור צביעת קודקודים היא פונקציה המתאימה לכל קודקוד צבע‪.‬‬
‫נגדיר ‪ h : V → A × B‬באופן הבא‪ h ( v ) = f ( v ) , g ( v ) :‬כלומר ‪ h‬מתאימה לכל ‪ v ∈V‬זוג סדור של צבעים‪.‬‬
‫הימני בזוג הוא הצבע של ‪ v‬לפי הצביעה החוקית של ‪ G‬והשמאלי בזוג הוא הצבע של ‪ v‬לפי הצביעה החוקית של ‪ . G‬הוכח‬
‫כי אין שני קודקודים שמותאם להם אותו זוג סדור של צבעים והסק כי ‪ h‬היא פונקצייה חח"ע‪ .‬כמו כן כן הסק כי‬
‫) (‬
‫‪. χ (G ) ⋅ χ G ≥ n‬‬
‫‪ (67‬עבור }‪ A = {1, 2, 3‬נגדיר ) ‪ G = (V , E‬כאשר ‪ 9) V = A × A‬צמתים ( ואת ‪ E‬קבוצת הצמתים נגדיר באופן הבא‪:‬‬
‫‪ {( a , b ) , ( c, d )} ∈ E‬אם ורק אם ‪a + b ≠ c + d‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ G‬קשיר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה דרגת הצומת )‪ (1,1‬ומה דרגת הצומת )‪ ? ( 2, 3‬כמה קשתות יש ב‪? G -‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי באין ב‪ G -‬מסלול אוילר‪.‬‬
‫‪a‬‬

הורד את ספר הקורס

Transcription

Similar documents