docאלגברה לינארית ב
download 
Report Transcription
אלגברה לינארית ב
אלגברה לינארית ב -הרצאות מההרצאות של מר' מני אקא מרכז הבינתחומי הרצליה סמסטר ב' ,שנה א'2009 , תאריך עדכון אחרון של קובץ זה הוא ראשון11 ,אפריל2010 , עדכונים וכתב הויתור )שווה לקרוא( נמצאים באתר http://idc.gadi.cc/compsci/ הסיכומים הוכנו ע"י גדי כהן סטודנט לתואר מדעי המחשב תוכן העניינים שיעור 1.............................25.02.10 – 1 מרחבים וקטורים1............................... העתקות לינארית ))1............Linear maps גרעין ותמונה של העתקה לינארית6........ שיעור 1.............................11.03.10 – 3 מציאת מטריצה המייצגת העתקה לינארית 1 כיצד נקבעת העתקה לינארית2.............. מציאת מטריצה המייצגת העתקה כללית 4 שיעור 6.............................18.03.10 – 4 על ייצוג העתקה )כללית( העזרת מטריצות6.......................................... מטריצות מעבר ודומיין מטריצות8........... וקטורים עצמיים וערכים עצמיים12.......... שיעור ) 08.04.10 – 5אחרי פסח(13......... נושאי הקורס13.................................. סיכום קצרה על העתקות לינאריות13...... ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים16.......... מציאת ערכים עצמיים וקטורים עצמיים של מטריצות 18.................................. להתעלם מדף הזה 20...........................(: 21..................................Quick Reference אינדקס22............................................. שיעור 25.02.10 – 1 מני אקא[email protected] , 70%מרתגילים הטובים – 10%מהציון. מבחן אמצע מגן – .10% תרגיל מפורסם ברביעי-חמישי ומגישים ביום א' שבוע וחצי אחרי. ספרות אוניברסיטה פתוחה – אלגברה לינארית – Iבפקרים האחרונים. אוניברסיטה הפתוחה – אלגברה לינארית למדעי הטבע. Google: Linear Algebra MIT course שעות קבלה – בתיאום מראש רביעי – 8:00-10:00 שישי – 8:30-10:00 לשלוח מייל. מרחבים וקטורים } { a1 ℝn ={a1 ,... , an ∣ a i∈ℝ }= ⋮ ∣ a i ∈ℝ an • • מרחבים וקטורים כלליים יותר: • מרחבי פונקציות • פולינומים • מרחב המטריצה )תזכורת בהמשך( העתקות לינארית ) (Linear maps )שם אחר :טרנספורמציות לינארית – (Linear transformation .1פונקציות וקטוריות כמאור, ℝnזוהי קבוצה .ניתן להגדיר פונקציות בין כלומר fלוקחת וקטור ב ℝn -לוקטור בℝn - 1 f :ℝ n ℝn טווח תחום . .2 דוגמאות: א( F : ℝ 2 ℝ3 ב( 3 ג( ד( x , y , z ↦ x y , x−z G :ℝ R B :V Vהיא העתקת הניסוח ב.2- Vמ"ו, w ∈Vעובר ע"י Bלוקטור V כלומר ,וקטור V =ℝ2אז ה( למשל, ו( 2 2 ז( f :ℝ 2 ℝ 2 ח( g :ℝ M 2 ℝ h :ℝ M 2 ℝ ט( .3 2 x , y ↦ x y , 3x5y , 2y . 2w∈V x , y ↦2x , 2y B :ℝ 2 ℝ 2 a , b ↦ 4a7b , a−b H :ℝ ℝ x , y ↦ x sin y , x 2 y 2 b b2 ↦ a , b ↦ a , b a ab a b ab b י( ] d :ℝ n [ x ]ℝn [ x כ( } פולינום מעל ℝממעלה קטנה שווה לRn [ x ]={n- p x ↦ p ' x נדבר על הרכבת פונקציות – בקצרה )נחזור לזה(. ℝ2 F R3 G ℝ2 x , y ↦ F ↦ x y , 3x5y , 2y ↦ G ↦ 4x6y , x− y .4 פונקציות "הולכות" מקבוצה לקבוצה .אבל מרחב וקטור זו לא סתם קבוצה! נתבונן ב)-ב(: 2 3 G :ℝ ℝ v =3,4,1 G v =7,2 w=0,0,1 G w=0,−1 v w=3,4,2 G v w =GV G W =7,1 2 ℝ 2 ℝ " Gמכבדת" את תכונת חיבור הוקטורי. 7V= 21,28,7 G 7V= 4,9,14 קיבלנו שG 7V=7⋅G V - " Gמכבדת" את הכפל בסקלר. הגדרה: יהיו V,Wמרחבים וקטורים .פונקציה F :V Wתקרא העתקה לינארית אם: v 1, v 2∈Vמתקיים F v 1v 2 = F v 1 F v 2 .1 לכל .2 לכל סקלר ∈ℝולכל v ∈Vמתקיים F v = F v 2 תכונות בסיסיות : העתקה לינארית אזT :V W תהי T 0v = 0w .1 T −v =−T v .2 :טענה : זה נובע פשוט מההגדרה.(2)-נתחיל ב :הוכחה T −v =T −1⋅V = −1T v =−T v לינאריות :עתה נוכיח את T 0v =T 0v 0v = T 0v T 0v )1) לינאריות T 0 = 0w :נעביר עגף ונקבל 0v0v = 0v .תרגיל אופייני הוא לבדוק האם עתקה הוא לינארית אם העתקה לא מעבירה את וקטור האפס לוקטור האפס :הערה .אז הוא בוודאי לא לינארית העתקה לינארית.5 T vw =T v T w ∀ v , w∈V T v = T v ∀ ∈ℝ , ∀ v ∈V f v =2sin 2 , 8 v = 2,2 f 3 2,2=6sin6 , 216 ≠ 3⋅ f 2,2=6sin2 , 24 x , y , x ' , y ' ∈ℝ2 העתקה לינארית ונקח F x , y x ' , y ' =F x x ' , y y ' = xx ' y y ' ,3x3x '5y5y ' , 2y2y ' F x , y F x ' , y ' = x y , 3x5y , 2y x ' y ' , 3x ' 5y ' , 2y ' = x x ' y y ' , 3x3x '3y5y , 2y2y ' 3 .א אקסיומת השנייה: F x , y = F x , y = x y , 3 x5 y2 y F x , y= x y ,3x5y , 2y ב. לינארית ג. לינארית ד. לינארית ה. לא. ו. לא. ז. לינארית. ח. לינארית ,כי: b2 p x q x ' = p ' xq ' x ⋅p x '= p ' x ט. דוגמה: 3 2 ℝ ℝ x , y ↦ x , y 1, x y 0, ↦0,1,0≠0ומהטענה שראינו נובע שזו לא העתקה לינארית. .5 תמונה של צירוף לינארי תהי . T :V Wלכל v ∈Vהוקטור w=T v נקרא התמונה של .v מה התונה של צ"ל: יהיו v 1 ,... , v n ∈Vויהיו v =1 v1 ...n v nצירוף לינארי. נרצה לדעת מיהו: = 1 T v 1 2 T v 2...n T v n T v=T 1 v 1...n v n באינדוקציה מההגדרה נסביב במקרה n=2 = T v v ' T v v ' = T v T v ' 2 מסקנה: הוכחה: 1 תהי T :V Wהעתקה לינארית. אם v 1 ,... , v n ∈Vתלויים לינארית אז T v 1 , ... , T v n ∈Wגם כן תלויים לינארית. בדף הבא. 4 הוכחה: מהנתון ,קיימים 1 , ... , nשלא כולם אפסים כך ש. 1 v 1... n v n=0 - נפעיל את Tונקבל: 1T v 1...n T v n=T 1 v 1... n v n=T 0 =0 מכיוון שלא כל ה- -ות הן אפס ,נובע ש T v 1 , ... , T v n -תלויים לינארית. דוגמה חשובה: העתקת האפס .יהיו V,Wמרחב וקטורי ונגדיר זו העתקה לינארית. T :V W v ↦ 0w ) תרגול( 0 =T vw=T vT w=0 0 ההפך לא נכון .כלומר את T : V Wהעתקה לינארית ו v 1 ... v n∈V -בת"ל אז לאו דווקא נובע ש T v 1 , ... , T v n -בת"ל. למשל ,העתקת אפס. טענה: תהי T :V Wויהי ℝ2 ℝ2 x , y 0,0 v 1 ,... , v nבסיס ל.V- אם ידוע מיהם , T v 1 , ... , T v n כלומר) ,במילים אחרות( ,אם ידוע תמונה של בסיס ,אז אני יכול לדעת לאן Tמעבירה כל וקטור. דוגמה: עמ' 12של ציפי. יהי v 1=1,0,0 v 2 =1,1,0 v 3=1,1,1בסיס ל. ℝ3 - נתונה T :ℝ3 ℝ 2וידוע שT v 1=−1,1 - צריך למצוא את T 8,11,7לכל T v 2=3,0 T v 3=0,1 . a ,b ,c ראשית ,נמצא איך נכתב לפי איברי הבסיס. 8,11,7=c 1 1,0,0 c 2 1,1,0c 3 1,1,1= c1c 2c 3 c 3=7 c 2=4 c 1=−3 T 8,11,7 = T −3v 14v 27v 3 = −3T v 1 4T v 2 7T v 3 לינאריות = −3 −1,14 3,07 0,1 = ... הוכחה: יהי . v ∈Vנכתוב את Vבצ"ל של נבדוק מהו : T V : v 1 ,... , v n V =1 v1 ...n v n = T V =T 1 v 1... n v n 1 T v1 ...n T v n לינאריות מכיוון ש T v 1 , ... , T v n -ידוע לי ,אני יכול לחשב את מ.ש.ל. 5 T V מהביטוי האחרון. V =ℝn אם כל הדוגמאות: W =ℝ mתהי Aמטריצה שנסמנה ב. T A - m ⋮ ⋮ v = Av ⋮n ⋮ צריך לבדוק m×nאז היא מגדירה העתקה לינארית . T A : ℝn ℝ m v ↦ Av A m×n ? = T A v w T A vT a w ? מה כתוב כאן? = A vw Av Aw וזה ראינו בסמסטר קודם. ? וזה שקול למה שאנחנו יודעים A v = A v = T A v T A v “?” כי צריך לבדוק אם זה לינארי. בתרגול: דוגמאות מסיכומים של ציפי – .12-15 גרעין ותמונה של העתקה לינארית גרעין = ,kernelתמונה = image תהי T :V Wהעתקה לינארית .נגדיר: .1הגרעין ) (kernelשל Tהוא {v∈V ∣ T v =וימסומן בתור }0 . Ker T .2התמונה של Tמוגדרת להיות } . ImT ={w ∈W ∣ ∃ v∈V s.t.Tv=w }={T v ∣ v ∈V דוגמה: 2 2 T :ℝ ℝ T x , y= x , 0 נבדוק מהו .kerT }kerT ={ x , y ∣ T x , y = 0,0 } ={ x , y ∣ x , 0=0,0 ציר ה={ x , y ∣ x=0 }=y- 2 } ImT ={T x , y ∣ x , y ∈ℝ 2 } ={ x ,0 ∣ x , y ∈ℝ ציר ה={ x ,0 ∣ x ∈ℝ }=x- 6 “דוגמה": תהי Aמטריצה .mxnראינו שהיא מגדירה העתקה m n T A: ℝ ℝ . v ↦ Av ker T A ={v∈ℝ n ∣ T A v = 0 }={v ∈ℝ n ∣ Av= } מרחב האפס {=0 }=null A של מטריצה A בשפה של מערכות משוואות kerT Aאלו בדיוק הפתרונות של מערכת המשוואות ההומוגנית ש A-מגדירה. n } Im T A ={ Av ∣ v ∈ℝ ⋮ ⋮ ⋮ = Av = 1 v 1 ⋯n v n ⋮ ⋮ ⋮ 1 n ⋮ 1 ⋮ ⋮ v1 ⋯ vn ⋮ ⋮ משפטים .1 kerTתת מרחב של Vו ImT-תת מרחק של .W .2 משפט "שימור האנרגייה" משפט הדרגה והאפסות .3 dim KerT dim ImT =dimV הוכחת :1 א( kerT ⊆Vתת מרחב. נשתמש הבוחן לתת מרחב. . .1צ"ל ש0 ∈kerT - ) T 0 =לכל העתקת הלינארית(. כלומר יש להראות ש0 - כבר ראינו. .2סגירות לחיבור :אם v , w∈kerTאז צ"ל v w∈ kerT = T vw T v T w=0 0=0 לינאריות = T v T v = 0 =0 .3סגירות לכפל בסקלר: ב( ImT ⊆Wתת מרחב: לינאריות } ImT ={w ∣∃ v ∈, T v=w ) T 0 v =0wתמיד(. .1 0w∈Imכי .2 w 1, w 2∈ ImTצ"ל w 1w 2 ∈ ImT ∃v 2 , T v 2 =w 2 ∃ v 1 ,T v 1 =w 1 = T v 1v 2 T v 1T v 2 =w 1w 2 לינאריות כלומר ,מצאנו וקטור ב) V-הוקטור w 1w 2נמצא ב.ImT- 7 ( v 1, v 2שתמונתו w 1w 2ולכן ג( צ"ל w ∈ ImTאז הוכחה :מהנתון ,קיים w∈ ImTלכל v ∈Vכך שT v=w - נתבונן ב , V -תמונה היא: = T V T V = w לינאריות כלומר ∈ℝ wאכן נמצא בתמונה. מ.ש.ל. 8 שיעור 11.03.10 – 3 )באדיבות ז'רמי אבוהי( מציאת מטריצה המייצגת העתקה לינארית דוגמה: T x , y , z = x y , x− z המטרה למצוא כלומר למצוא A∈ M 2×3 ℝכך שלכל x ∈ℝ3מקיים . T x = A x A∈ M 2×3 ℝכך ש. T =T A - 1 1 0 x = x y y 1 0 −1 z x −z נמצא אותה ע"י ניחוש: ננסה למצוא דרך כללית יותר ושנוכל להכליל אותה למציאת מטריצה ביחס לבסיסים כלליים .נשים לב שעמודות: העמודה השנייה העמודה הראשונה 1 T 0=1 1 0 משפט: 0 T 1=1 0 0 0 T 0= 0 −1 1 תהי T :ℝn ℝmהעתקה לינארית .אז קיימת מטריצה A∈ M m×n ℝכך שלכל הערה: העמודה השלישית . T x = A x , x ∈ℝnיתר על כן A ,היא מטריצה שעמודיה הן ⋮ ⋮ ⋮ Te1 Te2 ⋯ Te n ⋮ ⋮ ⋮ שימו לב שיש פה שימוש בבסיס הסטנדרטי .זה אמור להעלות תהיות למה היה קורה אם היינו משתמשים בבסיס אחר. 1 0 ⋮ 0 הוכחה: יהי =, e 1 0 ⋮ 0 1 =e n כלומר e 1 , ... , e nזהו הבסיס הסטנדרטי של התחום של ,Tשהוא . ℝn x1 n x = ⋮ ∈ℝכלשהי. xn נשים לב לעובדה הבאה: נפעיל את Tונקבל x = x 1 e 1 x 2 e 2 ...x n e n * = T x = T x 1 e 1... x n e n = x1 T e 1 ... x n T e n נתבונן במטריצה Aשבעמודה ה i-שלה היא . T e i 1 זו אכן מטריצה מסדר m×n : A x נבדוק מהו *== x 1⋅T e 1...x n⋅T en x1 ⋮ xn ⋮ ⋮ Te 1 ⋯ Te n ⋮ ⋮ = Tx סה"כ קיבלנו T x = A xלכל מ.ש.ל. x ∈ℝ כיצד נקבעת העתקה לינארית תהי T :V Wוהי } B={v 1 ,... , v nבסיס ל.V- אם ידועות לנו תמונות איברי Bאז ניתן לדעת תמונה של כל צ"ל שלהם. כלומר ,תמונת Tלכל וקטור ב.V- מסקנה: יהיו T :V Wו S :V W -העתקות לינאריות ,והי אז S=T ⇔ S V i =T V i לכל כלומר ,זו אותה העתקה הוכחה: v 1 ,... , v nבסיס ל.V- i=1, 2,... , n כלומר הן מסכימות על איברי הבסיס ⇐ טריביאלי S=T .אומר שלכל , v ∈V S v=T v S v i=T v i לכל i=1, 2,... n ובפרט ⇒ יהי v ∈Vכלשהו .אז קיימים a 1 , ... , a n∈ℝכך שv =a1 v 1...a n v n - T v = T a 1 v1 ...a n v n = a1 T v1 ...a n T v n = a1 S v1 ...a n S v n = S a1 v 1...a n v n = S v לינאריות דוגמה: מצאו העתקה לינארית ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = Te 1 Te 2 2 −1 4 1 T :ℝ2 ℝ2כך שT e 1 = 2 - 4 T x , y=2x− y , 4x y תשובה :כל העתקה מהצורה 2 * x 4 * y . שימו לב שמצאנו שאת e 2אני יכול לשלוח לאיפה שבא לי ,באופן מתמטי - אני יכול לבחור את תמונת e 2בחופשיות. T :ℝ2 ℝ2 4 T e 1 = 2 0 T e 2 = 3 2 2 3 4 5 4 T e 1 = 2 T :ℝ2 ℝ2 משפט: 126 =3 24=3T e =T 30 = 66 1 אין מצב Vמ"ו ו v 1 ,... , v n -בסיס ל .V-יהי v ∈Vוקטור כלשהי. יש ל V-כתיבה יחידה בצירוף לינארי של . v 1 ,... , v n כלומר אם v =a1 v 1...a n v nאז ה- a i -ים יחידים תלויים רק ב.v- הוכחה: a1 ⋮ an נתחיל ביחידות: נניח שקיימת שתי העתקות ששתיהן מקיימות T v i =wi S :T W ,T :V W , 1≤i≤n S v i =wi 1≤i≤n נשים לב שבפרט זה אומר ש S-ו T-מסכמות על איברי הבסיס . v 1 ,... , v n מהמשפט האחרון נובע ש .S=T-כלומר הוכחנו יחידות. הוכחת הקיום: נגדיר Tכזו .ראשית נגדיר T v i=wiלכל . 1≤i≤n עתה נרצה להגדיר את T vלוקטור כללי . v ∈V יהי Vוקטור כלשהו v =a1 v 1...a n v n כאשר a 1 , ... , a nנקבעו ביחידות לפי הוקטור .v היחידות של a 1 , ... , a nאת האפשרות לתגור. { a 1 T v 1 ⋯ an T v n ║ ║ a 1 w1 ⋯ an w n ≝ T v Tמוגדר היטב מכווין שהמקדמים a 1 , ... , a nתלויים רק בוקטור .v נותר לנו להוכיח ש T-לינארית .נתחיל בלהראות שהיא מכבדת חיבור: יהי v , u∈Vוקטורים כלשהם ב .V-צ"ל נכתוב את ai ∈ℝ . T vT w=T vw v u , u , vכצירופים לינאריים של . v 1 ,... , v n b i∈ℝ v =a1 v 1...a n v n u=b 1 v 1...b n v n v u= a1b 1 v 1...a nbn v n עתה נבדוק T v T w:=a1 w1 ...a n w nb 1 w1...v n w n =a1 b1 w1... an b n w n T vu :=a 1b 1 w1... an b n w n כלומר Tשומרת על פעולת חיבור. 3 v נוסיף עוד פס להוכחה: T v j ≝ 0⋅w10⋅w 2...1 w j 0⋅w j ...0⋅wn=w j v j = 0⋅v 10⋅v 2...1⋅v j 0⋅v v1...0⋅v n שתי הגדרות מסכימות. דוגמה: 3 ℝ ℝ 3 T 1,2,3 ,1,2,3 ,1,2,3 T e3 x x 1 11 z z 3 33 A y 2 22 y 1 ImT =S ° 2 3 דוגמה: Te 1 Te 2 1 1 3 0 A 0=2 1 0 3 0 A 1=2 1 0 3 1 A 0=2 1 1 1 1 x 3 3 3 3 z A y = x 2 y 2 z 2 = x yz 2 T v i=0לכל .iכלומר w i=0לכל .iמה נקבל? T v = a1 w1...a n wn =a1 0 ...an 0 = 0 v =a1 v 1...a n v n כלומר נקבל את העתקת האפס. דוגמה: במרחב בו ,w=vנוכל לבחור למשל את . w i=v i כלומר נרצה למצוא Tכך ש. T v i=v i - במרחב הזה נקבל את העתקה הזהות. מציאת מטריצה המייצגת העתקה כללית ) לא דווקא מ ℝn -ל( ℝm - הסבר: יהי V, Wמרחבים וקטורים .מהי ? T :V W T :ℝ4 [ x ] M 3×3 R w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5 דוגמה: 4 3, 2, 1, x , x x x 1 2 3 A = 4 5 6 = w1=w2 =...=w5אז נקבל Tשמקיימת T v i= A 7 8 9 T x3x 2 = T x 3T x 2 = A3A = 4A נבנה משהו טכני שמכליל בנייה שסיימנו: תהי T :V Wהעתקה לינארית. יהי } B={v 1 ,... , v nבסיס סדור ל,V- 4 } C={w 1 , ... , w nבסיס סדור ל.W- אני רוצה למצוא מטריצה Aשתקיים [v ] B ↦ [Tv ]C כפל בA- A[v ]B = [ Tv ]C [v ]Bלכל .v למטריצה כזו נקרא המטריצה המייצגת את Tלפי הבסיסים BוC- B מטריצה כזו אכן קיימת ונסמן אותה ב[T ]C - בניית : [T ]BCמבדיקה מהירה נגלה שמטריצה צריכה להיות מבסדר . m×n כלומר ,יש לה nעמודות שכל אחת בגודל .mנגדיר את [T ]BCלהיות המטריצה שעמודה ה i-שלה היא [ ][ ] [ ] , [Tv i ]Cכלומר: ⋯ Tv n ואכן קיבלנו מטריצה תרגיל: . m×n C יהי . ℝ3 [ x ]=V =W יהי } B1={1, x , x 2, x 3בסיס ו B 2={1, 1 x , xx 2, x2x 3 } -בסיס. תהי Dהעתקה הזהות .נמצא פתרון: C Tv 2 C Tv 1 B B [ D]Bו. [ D]B - 1 2 1 2 D :ℝ 3[ x ] ℝ ] 3 [x B1 1 B1 [ D] = [ D1]B [ D x ]B [ D x 2 ]B [ D x 3]B 1 1 1 = 0⋅10⋅x0⋅x 20⋅x 3 = 1⋅10⋅x0⋅x 20⋅x 3 = ... = ... 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 = 0 = 1 = 2x = 3x2 D 1 D x D x2 D x 3 [ D]B = [ D1] B [ D1 x ]B [ D xx 2]B [ D x 2x 3 ]B B2 2 2 2 2 = ... = 1⋅10⋅1 x 0⋅ x x 20⋅ x 2 x 3 = ... = ... B1 B1 1 −1 1 0 2 −1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 5 = 0 = 1 = 12x = 2x3x 2 2 D1 D1 x D x x 2 D x 2x 3 B = C ] [T שיעור 18.03.10 – 4 תזכורת שוב על וקטור הקואורדינטות. Vמ"ו } B={v 1 ,... v nבסיס ל.V- אפשר לחשוב על וקטור הקואורדינטות כהעתקה , V ℝn , V ⟼[V ] Bוזו העתקה לינארית. [v ]B[w] B =[ v w ]B : v , w∈V מה זה אומר? לכל לכל , ∈ℝ : v ∈V כדאי לזכור :לכל , i ∈ℝ : v i ∈V [v ] B=[ v ]B 1 [v 1 ]B...n [v n ] B=[1 v 1...1 v 1 ]B על ייצוג העתקה )כללית( העזרת מטריצות משפט: תהי T :V Wהעתקה לינארית } B={v 1 ,... , v nבסיס ל,V- } C={w 1 , ... , w nבסיס לW- B B אז קיימת מטריצה שמסומנת ב [T ]C -המקיימת [Tv ]C =[T ]C [V ] B יתר על כן, הוכחה: יהי B ] * [T ]C =[ [Tv1 ]C [Tv 2 ]C ⋯[Tv n ]C v ∈Vכלשהי .נכתוב את Vלפי הבסיס :B v =a1 v 1...a n v nעבור 1 , ... , n ∈ℝ כלומר ][ a ⋮ =[V ]B an כמובן שנגדיר את [T ]BCלהיות כמו ב.*- מהגדרת כפל מטריצת ][ a1 [T ]BC [V ]B = [[Tv1 ]C ⋯[Tv n ]C [ ⋯ = a 1 [Tv 1 ]C ...a n [Tv n ]C an = [T a1 v 1...a n v n ]C = [Tv ] C שימו לב של [T ]BC -יש nעמודות ) ( n=dimVויש לה mשורות ) .( m=dimW 6 משפט: באותם תנאים וסימונים של המשפט הקודם: אם מטריצה Aמסדר n×mמקיימת A[v ] B =[Tv ]Cאז . A=[T ]CB זה בדיוק אומר שיש יחידות במשפט הקודם. הוכחה: = = A[V 1 ] B אז [Tv 1 ]C מכיוון ש A-מקיימת את = Ai e i= A[V i ] B באופן דומה [Tvi ]C מסקנה: תהיינה , T :V W = עמודהAה[ i- ] של ][ 1 0 ⋮ 0 = A ] עמודה 1 של A [ B כלומר A=[T ]C S :W U Bבסיס ל C ,V-בסיס ל D ,W-בסיס ל.U- B C B [S °T ]D =[ S ] D [T ]C הוכחה: נראה ששני הצדדים מקיימים שאם ניתן להם לפעול על [V ]B הם יחזירו את . S [T v] D B [S °T v] D =[S °T ] D [v ] B )(3 מהגדרת ומצד שני B B [S °T ]Dהיא מקיימת [S °T v] D=[S °T ]D [V ]B [S ]CD [T ]CB [V ]B = [ S ]CD [Tv ]C = [S Tv] D = [S °T v ]D [Tv ]C ראינו שישנה מטריצה יחידה המקיימת תנאי זה. B C B ולכן [S °T ]D =[ S ] D [T ]C • [T ]C [V ] B =[Tv ]C B • [Tv ]C =A[V ] B ⇒ A=[T ]BC • B B C ⇐[S ]D [T ]C ,[S °T ] Dיש שוויון בינהן 7 העתקת הזהות ממרחב וקטורי Vלעצמו } B={v 1 ... v nבסיס שלו .אז טענה: יהי Vמ"ו הוכחה: העמודה הראשונה הוא ][ =e1 1 0 ⋯ 0 ][ 1 0 ⋯ 0 = [ I ]BB =[ I v i] B=[v 1 ]B v 1=a1 v 1...an v n העמודה ה:j- לכן I ][ ] [ 1 0 =e j ⋯ 0 c ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = [ I v j ] = [v j ]B = [ I ]BB e i ⋯ en מטריצת היחידה מטריצות מעבר ודומיין מטריצות בדוגמת הגזירה שראינו בשיעור הקודם ובדוגמאות שנראת /ראינו בתרגול, ראינו שמטריצת הייצוג תלויה מאוד באיזה בסיסים בחרנו ע"מ לייצג אותו. עתה נדבר רק על העתקות ממרחב וקטורי לעצמו .העתקות אלו נקראות אנדומורפיזים. למשל בהעתקת הגזירה 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 E 0 =[ D] E 0 0 D ℝ3 [ x ] ] ℝ3 [ x 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 E 0 =[ D ] E 0 0 אלו מטריצות שונות .מה הקשר בינהן? נשים לב שאם , T :V V I :V V T=I°T T =T ° I 8 .( )כלשהםV בסיסים שלC- וB והיוT :V V מ"ו ותהיV יהי C B B :טענה C [T ]C = [ I ]C [T ]B [ I ]B נשתמש במה שלמדנו על ייצוג הרכבת העתקות B B C B C C :הוכחה C [ I ]C [T ]B [ I ] B = [ I °T ]C [ I ]B = [ I °T ° I ]C = [T ]C .ל.ש.מ . [Tv ]C [ הם נותניםV ]C פשוט מראים שכאשר שני הדצצים פועלים על:תרגיל :2 הוכחה T x , y=5x y , x5y , T :ℝ2 ℝ2 תראו שאם/ ראיתם :דוגמה E 5 1 ( E={1, e ,0,1} ) [T ]E = 1 5 [T ]BB = 6 0 0 4 אז { אז1,1 ,1,−1} הבסיסB ואם :מה שנעשה אחרי פסח (4) 5 1 1 = 5 = [Te ] 1 E 1 5 0 1 6 0 1 = 6 = [Tv] B 0 4 0 0 = [T ] 5 1 1 5 E E = [ I ]BE [T ] BB [ I ] EB = [ I ]BE 6 0 0 [ I ]EB = [[ I e 1]B [ I e 2 ]B ] = [[1,0]B [0,1]B ] 4 נמצא מיהם 1,0= a 1,1 b 1,−1=ab , a−b ab=1 a−b=0 2a=1 a= 12 b= 12 0,1=ab , a−b ab=0 a−b=1 2a =1 a= 12 b=− 12 9 נמצא את בדיקה: 1 1 −1 B [ I ]E = [[ I 1,1] E [1,−1] E ] = [1,1]E [1,−1]E = 1 1 1 =1 0 1 −1 0 1 1 1 2 2 1 1 − 2 2 E B B E = ] I =[I ] =[ I ] [ I 1 B B 1 5 1 = 1 1 6 0 2 2 = 1 1 ⋅3 3 = 5 1 1 5 1 −1 0 4 1 − 1 1 −1 2 −2 1 5 הגדרה: 2 2 למטריצה [ I ]CBכאשר Bו C-בסיסים נקרא מטריצות מהעבר מהבסיס Bלבסיס .C סימון: מכווין שאנו מתרכזים כרגע בהעתקות ממרחב וקטורי לעצמו, סימון מקובל להשתמש בסימון טענה: הוכחה: הערה: = [T ]B [T ]BB יהי Vמ"ו Bו C-בסיסים אז B C [ I ]Cהפיכה ומתקיים ש= [ I ]B - −1 [ I ]CB [ I ]CB⋅[ I ]CB =[ I ]CC =I T :T Vאז [T ]BCמטריצה ריבועית. שימו לב שאם ראינו שיש קשר הדוק בין [T ]BBל [T ]CC -והוא נתון ע"י מטריצות המעבר. C B B C [T ]C =[ I ]C [T ]B [ I ]B * אז רואים שיש קשר הדוק בין [T ]BBל [T ]CC -ונרצה לתת לו שם. הגדרה: מטריצות ריבועיות Aו B-נקראות דומות )(Similar אם קיימת מטריצה הפיכה Pכך שB=P−1 A P - ראינו ש [T ]BB -ו [T ]CC -דומות. טענה: היחס "דומות" הוא יחס שקילות על מטריצות. הוכחה: Aדומה לעצמה: −1 A= A A I −1 −1 Aדומה ל B-אז Bדומה לP B P A ⇔ B= P A P :A- אם , B=P−1 A P −1 C=Q B Q −1 C=Q −1 P אז A P Q= PQ −1 A P Q B 10 דוגמה: T x , y=5x y , x5y }B={1,1 ,1,−1 [T ] = [T ] = }A={1,1 , 0,1 E 5 1 det=24 tr=10 [T ]E = 1 5 6 0 0 4 B B 6 1 0 4 A A det=24 tr =10 det=24 tr=10 [T 1,1]A=6,6=6 4,10⋅0,1 6,0 [T 0,1] A =1,5=11,14⋅0,1 1,4 טענה :1 הוכחה: למטריצת דומות יש אותה דטרמינטה. יהיו B=P A P−1כאשר Pהפיכה. ∣P∣ = ∣P A P−1∣ = ∣P∣∣A∣∣ ∣P−1∣ = ∣P∣∣P∣−1⋅∣A∣=∣A −1 טענה :2 טענת עזר: “הוכחה": ∣P∣ למטריצות דומות יש אותה עקבה = .trace tr AB=tr BA נובע מנוסחה לכל מטריצות) ....נסו שוב(. הוכחת טענה :יהיו B=P A P−1כאשר Pהפיכה. tr P A P = tr P PA = tr A −1 טענה :3 טענת עזר: −1 למטריצות דומות יש אותה דרגה ואותה אפיסות ) אפיסות = אם Pמטריצה הפיכה אז ( dimNull A rank PB=rank B=rank BP הוכחת ט"ע :ראינו .נראה שוב אחרי פסח. הוכחת ט' :3 , B=P A P−1 −1 −1 rank B =rank P A P =rank AP =rank A ומשפט המימד יש לה אותו אפסיות. סיכום: יהיו A, Bמטריצות דומות. אז ∣∣A∣=∣B tr A=tr B rank A=rank B dimnul A=dimnul B 11 5 1 1 5 נדבר שוב על : T x , y=5x y , x5y a 0 1 1 =a 0 b 0 0 a 0 0 =b 0 0 b 1 1 = [T ]EE a 0 x =a ax 0 b y by וקטורים עצמיים וערכים עצמיים )הקדמה לאחרי פסח( ∣ = x−52−1 = 0 x−5 −1 −1 x−5 ∣ . x=6,4מחפש י"ע עבור הע"ע :6 x 1 = y 1 1 −1 x 0 = −1 1 y 0 4−5 −1 x = 0 = x−52−1 = 0 −1 4−5 y 0 x 1 = y −1 −1 −1 x = 0 = x−52−1 = 0 −1 −1 y 0 מצאנו בסיס של נקר אלו ℝ2המורכב מוקטורים עצמיים ביחס לפעולות !!T } B={1,1 , 1,−1ונקבל 6 0 0 4 = eאלכסונית [T ]BB = ¿ B [T 1,−1]B [¿ ]= 6 0 0 4 B ¿=[T ] B 61,1= 6 1,1 0 1,−1 T 1,−1=4,−4=01,14 1,−1 אחרי פסח: .1 .2 נלכסן מטריצות לדבר על ℝnבאופן גאומטרי :מיתקיים ,זוויות ,וכו". 12 שיעור ) 08.04.10 – 5אחרי פסח( נושאי הקורס .1העתקות לינאריות .2ערכים עצמיים ולכסון מטריצות .3היבט הגאומטריים האלגברה הלינארית המרחב האויקלידי ה n-מימד. סיכום קצרה על העתקות לינאריות V,Wמ"ו . T :V W .לינארית אם: • T vw =TvTwלכל • T v = T v לכל v , w∈V v ∈V ,∈ℝ ועוד T 0 = * 0 * ImT ={Tv ∣ v ∈V }, KerT ={v ∣ Tv= }0 משפט המימד: dimV =dimKerT dimImT .1למדנו שמטריצה A∈ M m×n ℝמשרה העתקה לינארית שסומנו ב- .2 m T A v = Av .3למדנו ש, kerT A=nul A - ImT A=col A T =T Aכאשר .4למדנו שאם T : ℝn ℝmלינארית אז .5למדנו שאם .6למדנו שאם T :V Wחח"ע ועל אז הוא נקראת איזומורפיזם. T :V Vאז Tחח"ע ⇔ .7ייצוג העתקות כללית: kerT ={ }0 T :T W B .8בסיס ל V, C-בסיס ל .W-הגדרנו וראינו ש ] [T ]BC =[ [Tv1 ]C ...[Tv n ]C . [Tv ]C =[T ]BC [V ] B 13 ⋮ ⋮ A= Te 1⋯ Te n ⋮ ⋮ n T A: ℝ ℝ ואם בנוסף B D , S :W Vבסיס ל V-אז .9קראנו למטריצה ) [ I ]CBכאשר B C [S °T ]D =[ S ]D [T ]C I :V Vהעתקת הזהות ,ו B-ו C-בסיסים של .(V מטריצת מעבר מ B-ל:C- .1הראנו ש → I =[I ]CB -מטריצת הזהות C B B והראנו שI =[I ]B [ I ]C =[ I ] B - דימיון מטריצות .1נאמר ש A-דומה ל V-אם קיימת מטריצה הפיכה Dכך שA P - −1 B=P .2למדנו שיחס הדמיון הוא יחס שקילות. .3משפט :יהיו A,Bמטריצות דומות אז: , tr A=tr B ∣, ∣A∣=∣B , rank A=rank B dimNul A=dimNul B יהיו עוד דברים. .4נאמר ש A-לכסינה )או ניתנת ללכסון – (diagonalizable אם Aדומה למטריצה אלכסונית. במילים אחרות A ,לכסינה אם קיימת Pהפיכה כך ש .5תזכורת :מטריצה אלכסונית מהצורה a1 0 0 0 0 a2 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 an P−1 A Pמטריצה אלכסונית. = diag a 1 , ... , a n .6ברור שמטריצה אלכסונית היא לכסינה )כי היא דומה לעצמה(. לעומת זאת ,מטריצה לכסינית הם לא בהכרח אלסונית. .7לא כל מטריצה היא לכסינה ,לדוגמה 1 1 0 1 לא לכסינה – נראה בהמשך. מה הדוגמה העיקרית למטריצות דומות: תהי ) T :V Vבשלב זה אנחנו מתרכזים בעתקות מאותו מרחב לעצמו(. והיו Bו C-בסיסים ל.V- סימון: B [T ]B :=[T ]B 14 הדוגמה היא [T ]Bדומה ל . [T ]C -מדוע? C רוצים <= P−1 [T ]B P=[T ]C B [ I ]C [T ]B [ I ] B =[T ]C −1 C P=[ I ]Bנקבל שP [T ]B P=[T ]C - כלומר אם נגדיר מטרית חלק ) 2של נושאי הקורס( היא ללמוד ללכסן מטריצות. • להבין מתי אפשר ומתי אי אפשר. • איך ללכסן אם אפשר. • למה זה טוב. נאמר שאפשר ללכסן את Aאם קיימת מטריצה הפיכה Pכך ש P−1 A P -אלכסונית. למטריצה Pנקרא מטריצה המלכסנת של .A תרגיל: תהי Aמטריצה לכסינה ותהי Pמטריתה המלכסנת אותה. למשל: 1 0 המשך: מצאו את פתרון: נסמן =D A= 1 1 −1 2 1 2 1 = Pאז 0 2 1− 5 0 2 =A P P . A1000 ואז 1− 5 1 5 1 5 −1 0 0 0 an 0 0 ⋱ 0 a1 0 0 a2 0 0 0 0 =P−1 A P=diag a1 ,... , an ולכן *=An = P D P−1n −1 −1 P D P = A <= D=P A P n −1 −1 −1 *= P D P P D P ... P D P =P D P למשל במקרה שלנו −1 P 1 5 k 0 k 2 1− 5 2 0 k P = 1 1 1 0 תרגיל :מצאו נוסחה לסדרת פיבונצ'י מהנתונים לעיל. מה זה וקטור v ∈Vשיעביר מתקיים 15 המקום ה i- 0 ⋮ a ⋮ 0 = [v ] B=a ei v = 0v10v 2...avi 0v i1...0v 4 = av i ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים תהי . T :V V נאמר שוקטור ≠0 v ∈V הוא וקטור עצמי של Tעם ערך עצמי * a∈Rאם Tv=av . נאמר ש a∈ℝ -ערך עצמי של Tאם קיים v ≠0שהוא וקטור עצמי עם ערך עצמי .a T : V Vהעתקת האפס דוגמה: אז כל וקטור למה? תהי דוגמה: ≠ 0הוא וקטור עצמי של Tעם ערך עצמי .0 0=Tv=0v T =T Aכאשר 1 1 1 נבדוק: משפט: = 6 6 6 6 = 1 1 1 = A 5 2 −1 2 2 −1 4 4 A= 2אז הוקטור 1 1 1 1 1 1 TA תהי T :V Vלינארית .אז: .1 הוא ו"ע עם ע"ע .6 ערכים עצמיים אם קיים בסיס Bל V-המורכב מוקטורים עצמיים של v 1 ,... , v n T אז מטריצת הייצוג של Tביחס לבסיס Bהוא אלכסונית ואם נסמן [T ]B =diag a1 , ... , a n אז a iהוא הערך עצמי המתאים לוקטור . v i .2 אם אז הוכחה: } C={w 1 , ... , w nבסיס של Vכך ש[T ]C =diag b1 ,... , bn - w iהוא וקטור עצמי של Tעם ערך עצמי . b i נתחיל ב (1)-אז Bהוא בסיס של וקטורים עצמיים v 1 ,... , v nעם ערכים עצמייים a 1 , ... , a nבהתאמה .כלומר ,מתקיים ש v 1 ,... , v n -בסיס לV- ו, T v 1=a1 v 1 - נבדוק מהי , … , T v 2=a2 v 2 : [T ]B ] [] [ . T v n a n v n ⋮ ⋮ [T ]B = Tv1 . .. Tv n ⋮ ⋮ 16 0 = T v 1=a2 v 1 = a1 v 1 ... n v n ? =a1 e 1 ][ a 0 ⋮ 0 =] [T v1 באופן דומה ][ 0 [T v1 ]B= ⋮ =a i e i ai 0 בסה"כ מקבלים =diag a1 , ... , a n ] 0 0 0 0 ⋱ 0 0 an a1 0 0 a2 0 0 0 0 [ = [T ]B סיימנו את ):(2) .(1 נבדוק איך Tפועלת על . w iידוע לי ש=b i ei - 0 ⋮ bi ⋮ 0 =העמודה ה i-של [Tw 1]C =[T ]C ומהגדרת וקטור קואו' )מהתרגילון( מקבלים . Tw i =bi wi כלומר w i ,היא וקטור עצמי של Tעם ע"ע הגדרה: . bi נאמר ש T :V V -נתנת ללכסון אם קיים בסיס Bכך ש [T ]B -אלכסונית. בעצם ראינו ש T-ניתנת ללכסון אם"ם קיים בסיס ל V-שמורכב מוקטורים עצמיים של .T תהי Aמטריצה . n×nנרצה ללכסן את ) Aז"א למצוא P−1 A Pאלכסונית(. נתבונן בהעתקה . T A : ℝn ℝ n נשים לב ש [T A]E = A -כאשר Eהבסיס הסטנדרטי. נשים לב שאם נצליח ללכסן את , T A כלומר נמצא בסיס Bשל ℝn כך ש T A -אלכסונית. נקבל ש [T A]B =[ I ]EB [T A ] EE [I ] BE -אלסכונית = P−1 A Pכאשר . P=[ I ]BE כלומר ,ללכסן את Aזה כמו ללכסן את . T A לכן מהמשפט שהראנו כדי ללכסן את Aעלינו למצוא בסיס של וקטורים עצמיים של . T A הגדרה: תהי Aמטריצה . n×n 17 v ≠0וקרא וקטור עצמי של Aעם ערך עצמי בהינתן מטריצה Aריבועית לסיכום: צריך למצוא בסיס של a∈ℝאם . Av=av , n×nע"מ ללכסון אותה ℝnשמורכב מוקטורים עצמיים של .A מציאת ערכים עצמיים וקטורים עצמיים של מטריצות תהי Aמטריצה . n×nאיך נמצא מיהם הערכים העצמיים של ?A אנחנו מחפשים נעביר אגף: x ∈ℝכך שקיים v ≠0המקיים . Av= xv xI − Av=0 0=xv− Av = xIv− Av = xI − A v זה קורה אם ורק אם: v .1הוא פתרון לא טריביאלית למערכת המשוואות ההומוגנית ש xI − A -מייצגת. .2 ∣0=∣xI− A .3 v ∈nul xI − A לסיכום: הערכים העצמיים של Aהם כל ה x ∈ℝ -המקיימים . ∣xI− A∣=0 למטריצת xI − Aקוראים המטריצה האופיינית של Aולפולינום קוראים הפולינום האופייני של .A דוגמאות: ∣∣xI − A A= −7 8 −6 7 המטריצה האופיינות של Aהוא: xI − A= x 0 −A= x7 −8 x−7 6 x 0 הפולינום האופייני של :A 2 = x 0x−1 ∣ −8 = x7 x 748=x 2−4948= x 2−1 x−7 ∣ x7 6 שימו לב שזה פולימום מתוקן ,כלומר המקדם העליון שלו הוא .1 שימו לב שהמקדם האחרון החופשי הוא ∣. ∣A∣=−12∣A והמקדם של xהוא . −trA מיהם הערכים העצמיים של ?A אלו כל ה x ∈ℝ -כך ש ∣xI − A∣=x 2−1=0 -כלומר . x=±1 לפי מה שראינו ,לכל ערך עצמי שמצאנו נוכל למצוא לפחות וקטור עצמי אחד. אז נעשה זאת: 18 . 1I−A v= ראינו שעבור ,x=1קיים וקטור v ≠0כך ש0 - 8 −8 6 −6 = = 17 −8 6 1−7 1 v 1= 1פתרון המשוואות. קל לראות/מדרגים ש- כלומר 1 v 1= 1הוא וקטור עצמי עם ערך עצמי .1 נבדוקAv 1=1 v 1 : = =1 1 1 1 1 −7 8 1 −6 7 1 שימו לב שגם , a , a , 2,2 a≠0וקטורים עצמיים. נמצא וקטור עצמי עם ערך עצמי .x=1 דוגמאות: 6 −8 −6 7 = x1 x2 0 0 −1I− A= 6 −8 6 −8 6 −8 כלומר = = −1 4 3 A= −7 8 4 = v 2וקטור עצמי עם ע"ע 1 3 −7 8 4 −6 7 3 −4 −3 קיבלנו ש B={v 1, v 2 } -הם בסיס המורכב מו"ע של Aאז אפשר ללכסן את !!A = P AP P = [T ] = [ [ v ] [v ] ] = מיזו ?P 1 ⋅ = ad −bc 1 = P = 3−4 ולכן יתקיים = או = = למשל A=להסיק נוסחה לאיבר הכללי של לעשות אותו דבר שעשינו עבור −1 0 0 −1 E B [ I ]B [T A ]E [ I ]E = [T A ] B = 1 1 4 1 3 2 E −1 d −b −c a −3 4 1 −1 B E 1 E a b c d 3 −4 −1 1 −1 −3 4 −7 8 1 4 1 −1 −6 7 1 3 1 4 1 0 −3 4 1 3 0 −1 1 −1 0 −3 4 −1431 1 −1 1 0 0 −1 −7 8 −6 −7 431 1 4 1 1 3 0 1 1 1 0 נוסחת פיבונצ'י. 19 431 −7 8 −6 −7 (: להתעלם מדף הזה ↦ [ 1 −1 2 3 A = 2 −2 3 5 1 −1 0 1 ] −2R 1 R 2 R 2 −1R 1 R 3 R 3 20 [ 1 −1 2 3 0 0 −1 −1 0 0 −2 −2 ] −2R 2 R3 R 3 [ 1 −1 2 3 0 0 −1 −1 0 0 0 0 ] Quick Reference ערכים עצמיים ע"ע הופך מטריצה רגולרי לסינגולרי )אפשר לבדוק ככה( במטריצה nxnיהיו בד"כ nערכים עצמיים ,שהסכוםם = ,trוהכפלתם = det במטריצה מאונכת יהיו 2ע"ע מורכבים .במשולשית אולי ו"ע יחיד. במטריצה :2x2 2 det A− I = −tr A⋅det A אם מוסיפים Iלמטריצה ,ע"ע נשאר יגדל ב I העתקה לינארית בהינתן בסיס קלט v 1 ... v nובסיס פלט w 1 ... w n למצוא את :A עמוד :1 T v=a m , 1 wm 1,1 w 1a2,1 w 2...a 21 וו"ע נשאר אותו דבר. אינדקס ג גרעין6.................................................... ד דומות10................................................. ה העתקה לינארית2..................................... העתקות לינארית1.................................... העתקת האפס5........................................ ו וקטור עצמי16.......................................... ט טרנספורמציות לינארית1........................... מ מלכסנת15.............................................. ע ערך עצמי16............................................ פ פונקציה.................................................. הולכות2.............................................. העתקה לינארית 2................................. ת תמונה6................................................... תמונה של צירוף לינארי4........................... 22
