docומשפטים ות הגדר - אלגברה לינארית טרנספורמציות לינאריות – 7 פרק
download 
Report Transcription
ומשפטים ות הגדר - אלגברה לינארית טרנספורמציות לינאריות – 7 פרק
אלגברה לינארית -הגדרות ומשפטים פרק – 7טרנספורמציות לינאריות הגדרה – 7.1טרנספורמציה לינארית יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים .טרנספורמציה 𝑇 מ 𝑉 -ל 𝑈 -מסומנת 𝑈 → 𝑉 𝑇:היא פונקציה המתאימה לכל וקטור 𝑉 ∈ 𝑥 וקטור 𝑈 ∈ )𝑥(𝑇. ) – T(xנקרא התמונה של הוקטור 𝑥. 𝑥 – נקרא המקור של ).T(x טרנספורמציה 𝑇 היא טרנספורמציה לינארית אם היא מקיימת: 𝑇 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2 = 𝑎𝑇 𝑥1 + 𝑏𝑇 𝑥2לכל 𝑉 ∈ 𝑥1 , 𝑥2ולכל 𝑏 𝑎,סקלרים. טענה 7.2 יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .אזי: .1מתקיים .2מתקיים 𝑇 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑇 𝑥1 + 𝑇 𝑥2לכל 𝑉 ∈ 𝑥1 , 𝑥2 𝑥 𝑇𝑎 = 𝑥𝑎 𝑇 לכל 𝑉 ∈ 𝑥 ולכל סקלר 𝑎 טענה 7.3 יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .אזי.𝑇 0𝑣 = 0𝑢 : טענה 7.4 ותהי 𝑚 𝑇: ℝ𝑛 → ℝטרנספורמציה המוגדרת ע"י 𝑥𝐴 = 𝑥 𝑇 עבור מטריצה 𝐴 נתונה מסדר 𝑛𝑥𝑚 אזי 𝑇 טרנספורמציה לינארית טענה 7.5 יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .אזי: 𝑛𝑥 𝑇 𝑛𝑎 𝑇 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎1 𝑇 𝑥1 + 𝑎2 𝑇 𝑥2 + ⋯ + © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 1 [email protected] טענה 7.6 יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .נתון בסיס של 𝑉: 𝑛𝑥 ,𝐵 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,ונתונים 𝑥 𝑇 ידוע 𝑛𝑥 𝑇 ( 𝑇 𝑥1 , 𝑇 𝑥2 , … +,תמונות וקטורי הבסיס) ,אזי לכל 𝑥. הגדרה – 7.7מטריצה של העתקה לינארית יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים כאשר 𝑚 = 𝑈𝑚𝑖𝑑 ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית. 𝑛𝑥 𝐵1 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,בסיס ל ,𝑉 -ו 𝐵2 -בסיס ל.𝑈 - נתון מתקיים∈ ℝ𝑚 : 𝐵2 𝑛𝑥 𝑇 𝐵2 , … , 𝑇 𝑥2 𝐵2 , . 𝑇 𝑥1 מטריצה של טרנספורמציה לינארית לפי הבסיסים 𝐵1ו 𝐵2 -מסומנת 𝐵2 𝑛𝑥𝑚 ⋮ 𝑛𝑥 𝑇 ⋮ … … … 𝐵1 𝐵2 𝐵2 𝑇 ומוגדרת כך: ⋮ 𝑇 𝑥2 ⋮ 𝐵2 ⋮ 𝑇 𝑥1 ⋮ = 𝐵1 𝐵2 𝑇 משפט 7.8 יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים כאשר 𝑚 = 𝑈𝑚𝑖𝑑 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית 𝐵1 .בסיס ל ,𝑉 -ו 𝐵2 -בסיס ל.𝑈 - תהי 𝐵1 𝐵2 𝑇 מטריצה של העתקה לינארית מבסיס 𝐵1לבסיס 𝐵2מסדר 𝑛𝑥𝑚 ,אזי 𝑚∈ ℝ ו∈ ℝ𝑚 - 𝐵1 𝑥 ומתקיים: 𝐵2 𝑥 𝑇 = 𝐵1 𝑥 ∙ 𝐵1 𝐵2 𝐵2 𝑥 𝑇 𝑇 הגדרה – 7.9גרעין של טרנספורמציה לינארית יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .הגרעין של טרנספורמציה לינארית 𝑇 מסומן 𝑇𝑟𝑒𝐾 ומוגדר כך.𝐾𝑒𝑟𝑇 = 𝑥 ∈ 𝑉|𝑇 𝑥 = 0 ∈ 𝑈 : טענה 7.10 הגרעין 𝑇𝑟𝑒𝐾 של טרנספורמציה לינארית 𝑇 הוא תת מרחב של 𝑉. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 2 [email protected] הגדרה – 7.11תמונה של טרנספורמציה לינארית יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .התמונה של טרנספורמציה לינארית 𝑇 מסומן 𝑇𝑚𝐼 ומוגדר כך: קיים 𝑉 ∈ 𝑥 כך ש ∶ 𝑦 = 𝑥 𝑇 |𝑈 ∈ 𝑦 = 𝑇𝑚𝐼. טענה 7.12 התמונה 𝑇𝑚𝐼 של טרנספורמציה לינארית 𝑇 הוא תת מרחב של 𝑉. טענה 7.13 יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .יהי 𝐵 בסיס ל:𝑉 - 𝑛𝑥 .𝐵 = 𝑥1 , 𝑥2 , … ,אזי 𝑛𝑥 𝑇 𝐼𝑚𝑇 = 𝑠𝑝 𝑇 𝑥1 , 𝑇 𝑥2 , … , טענה – 7.14משפט המימד בטרנספורמציות לינאריות יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .אזי מתקיים: 𝑉𝑚𝑖𝑑 = 𝑇𝑚𝐼𝑚𝑖𝑑 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟𝑇 + הגדרה – 7.15טרנספורמציה חד-חד-ערכית יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .העתקה 𝑇 נקראת טרנספורמציה חד-חד-ערכית (חח"ע) אם עבור 𝑇 𝑥1 = 𝑇 𝑥2מתקיים .𝑥1 = 𝑥2 טענה 7.16 יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .אזי 𝑇 נקראת טרנספורמציה חח"ע אם ורק אם }.𝐾𝑒𝑟𝑇 = {0 © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 3 [email protected] הגדרה – 7.16טרנספורמציה על יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .אזי 𝑇 נקראת טרנספורמציה על (על 𝑈) אם ורק אם 𝑈 = 𝑇𝑚𝐼. טענה 7.17 יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים מאותו מימד .𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .אזי 𝑇 חח,ע אם ורק אם 𝑇 על. הגדרה – 7.18טרנספורמציה הפיכה יהיו 𝑉 ו 𝑈 -מרחבים וקטורים מאותו מימד .𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 ,ותהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית .הטרנספורמציה הלינארית ההפיכה מסומנת 𝑉 → 𝑈 𝑇 −1 :ומוגדרת 𝑥 = 𝑦 𝑇 −1כאשר 𝑦 = 𝑥 𝑇. משפט 7.19 תהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית 𝑇 .טרנספורמציה לינארית הפיכה אם ורק אם Tהיא חח"ע ועל. משפט – 7.20ייצוג העתקה לינארית בעזרת המטריצה המייצגת תהי 𝑈 → 𝑉 𝑇:טרנספורמציה לינארית 𝐵1 .בסיס ל ,𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑚 ,𝑉 -ו 𝐵2 -בסיס ל,𝑈 - 𝑛 = 𝑈𝑚𝑖𝑑 .המטריצה 𝐵2 𝑥 𝑇 = 𝐵1 𝑥 ∙ 𝐵1 𝐵2 𝐵1 𝐵2 𝑇 היא המטריצה המייצגת לפי הבסיסים 𝐵1ו 𝐵2 -והיא מקיימת 𝑇. שתי מטריצות המייצגות את אותה טרנספורמציה לפי בסיסים שונים נקראות מטריצות דומות. © באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים 054-5-290106 4 [email protected]
