docx - אוניברסיטת בר-אילן
download 
Report Transcription
x - אוניברסיטת בר-אילן
המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בר-אילן - טופולוגיה – – 88 - 222 - 10/10סמסטר ב' תשע"ד מבחן מועד א' יום ב' ,כ"ג בתמוז תשע"ד207.704 , מרצים :מיכאל מגרל ,טל נוביק 7מתרגלים :לואי פולב ,מני שלוסברג7 הנחיות: א 7אין להשתמש בכל חומר עזר7 ב 7עליך לענות על 4מתוך 0השאלות הבאות 7אם ענית על כל 0השאלות ,עליך לבטל אחת מהן בצורה ברורה ,אחרת ייבדקו 4השאלות הראשונות המופיעות במחברת7 ג 7הניקוד על שאלת הבונוס הוא 0נקודות ,אך הציון הסופי לא יעבור את 7011 ד 7אנא רשום בפינה השמאלית העליונה של כריכת המחברת ,מעל המילים "מדור בחינות" ,את מספרי השאלות שבחרת7 ה 7משך הבחינה שעתיים וחצי 7מותר לקחת דף זה בסוף המבחן7 שים לב :בזמן המבחן אסור שיהיה ברשותך טלפון נייד! 70יהיו ) (M , d ) , ( N , שני מרחבים מטריים ,ותהי f : M N 7 הראה ששתי ההגדרות הבאות לרציפות fשקולות: א 7לכל a Mולכל , 0יש 0 כך שלכל x Mהמקיים d ( x, a) מתקיים 7 ( f ( x), f (a)) ב 7לכל U Nפתוחה ב , Nמתקיים ש ) (U 72א 7יהי X מרחב טופולוגי האוסדורף ,ותהי 1 fפתוחה ב 7 M En n סדרה של תתי מרחבים קומפקטיים לא ריקים של Xהמקיימים En1 Enלכל 7 nהראה ש En 7 n ב 7תן דוגמה שבה Enסגורות אך לא קומפקטיות ,והמסקנה לא מתקיימת7 73יהי Xמרחב טופולוגי ,ויהיו A, B Xשתי תתי קבוצות סגורות 7הראה שאם A Bו A B קשירים ,אז גם Aו B קשירים7 74יהיו X1, , X nמרחבים טופולוגיים ,ונסמן ב X n X k יהי Yמרחב טופולוגי ותהי X n pk : X1 את ההטלות7 f : Y X1 פונקציה המקיימת ש f pk רציפה לכל 71 k nהראה ש fרציפה7 70יהי Xמרחב המנה של : x 2 y 2 z 2 1 הבא( x2 , y2 , z2 ) : S ( x, y, z ) המתקבל מיחס השקילות 3 2 ) ( x1, y1, z1אם ) 7 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 הראה ש Xהומאומורפי ל : x 2 y 2 1 2 שאלת בונוס ( 5נקודות) :מצא מרחבים טופולוגיים X ,Y 7 D ( x, y) שאינם הומאומורפיים זה לזה ,אך קיימת פונקציה רציפה f : X Yשהיא על ,ופונקציה רציפה g : Y X בהצלחה! 2 שהיא על7 המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בר-אילן - טופולוגיה – – 88 - 222 - 10/10סמסטר ב' תשע"ד מבחן מועד ב' יום ב' ,י"ג באלול תשע"ד87.704 , מרצים :מיכאל מגרל ,טל נוביק 7מתרגלים :לואי פולב ,מני שלוסברג7 הנחיות: א7 ב7 אין להשתמש בכל חומר עזר7 עליך לענות על 4מתוך 0השאלות הבאות 7אם ענית על כל 0השאלות ,עליך לבטל אחת מהן בצורה ברורה ,אחרת ייבדקו 4השאלות הראשונות המופיעות במחברת7 הניקוד על שאלת הבונוס הוא 0נקודות ,אך הציון הסופי לא יעבור את 7011 אנא רשום בפינה השמאלית העליונה של כריכת המחברת ,מעל המילים "מדור בחינות" ,את מספרי השאלות שבחרת7 משך הבחינה שעתיים וחצי 7מותר לקחת דף זה בסוף המבחן7 ג7 ד7 ה7 שים לב :בזמן המבחן אסור שיהיה ברשותך טלפון נייד! 70יהי M M מרחב מטרי ,ותהי A Mתת קבוצה סגורה 7הראה שקיימת סדרת קבוצות פתוחות U n nב המקיימת U n1 U nלכל , n ו Un A 7 n 72יהי Xמרחב טופולוגי ,ויהיו , Sn X Sn X 7 S1 יהי Y S1 ,קבוצות סגורות המכסות את מרחב טופולוגי ותהי f : X Y X כלומר פונקציה המקיימת ש f |Si : Si Yרציפה לכל 71 i nהראה ש fרציפה7 73א 7יהי Xמרחב טופולוגי קשיר מסילתית ו Y f : X Yשהיא על 7 Yהראה שגם Y ב 7האם במקרה זה Y מרחב טופולוגי כלשהו 7נניח שקיימת פונקציה רציפה קשיר מסילתית7 הוא בהכרח קשיר? 74א 7יהי Xמרחב טופולוגי האוסדורף ,ויהיו A, B X שקיימות תתי קבוצות X שני תתי מרחבים קומפקטיים וזרים 7הראה A U , B V U ,Vפתוחות וזרות ,כך ש 7 ב 7הסק שמרחב טופולוגי האוסדורף קומפקטי הוא 7 T4 70יהי X מרחב המנה של המתקבל מזיהוי זו לזו של כל הנקודות כלומר ,יחס השקילות המגדיר את Xהוא y xאם x yאו x 1וגם y 1 הראה ש Xהומאומורפי למעגל : x 2 y 2 1 שאלת בונוס ( 5נקודות) :מצא מרחב טופולוגי X x כך ש x 1 7 2 7 7 S ( x, y ) 1 ופונקציה רציפה f :[0, ) Xכך ש fלא פתוחה ולא סגורה7 בהצלחה!
