docאלגברה לינארית ב
download 
Report Transcription
אלגברה לינארית ב
אלגברה לינארית ב -תרגול מני אקא מרכז הבינתחומי הרצליה סמסטר ב' ,שנה א'2009 , תאריך עדכון אחרון של קובץ זה הוא רביעי14 ,אפריל2010 , עדכונים וכתב הויתור )שווה לקרוא( נמצאים באתר http://idc.gadi.cc/compsci/ הסיכומים הוכנו ע"י גדי כהן סטודנט לתואר מדעי המחשב תוכן העניינים שיעור 1.............................23.02.10 – 1 ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות1.......................................... שיעור 1.............................03.03.10 – 2 שיעור 2.............................10.03.10 – 3 חישוב גרעין ותמונה2........................... חזרה על וקטור קואורדינטות4............... שיעור 7.............................17.03.10 – 4 תרגילים אבסטרקטיים על גרעין ותמונה 7. הצגת העתקה ע"י מטיצה9.................... שיעור ) 07.04.10 – 5אחרי פסח(1........... הערות מתרגיל 1...............................1 שיעור 1.............................14.04.10 – 6 ערכים עצמיים ,וקטורים עצמיים ולכסון1. . שלוש דוגמאות ללכסון2....................... אינדקס4............................................... שיעור 23.02.10 – 1 [email protected] ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue,_eigenvector_and_eigenspace ערך עצמיhttp://he.wikipedia.org/wiki/ } { a1 n V =R = ⋮ ... מרחב וקטורי A .מטריצה ריבועית .nxn an למדנו: ⇔ ∣A∣≠0 ⇐ Y ank A=n A x=b פתרון יחיד {0 }=nul A { x ∣ A x= }0 * Bמטריצה nxn B v = ⇔ ∣B∣=0קיים וקטורים≠ Vכך ש 0 מטרה: בהנתן מטריצה ,Aלהבין איך Aפועלת על וקטורים ולמצוא וקטורים שעליהם הוא היא פועלת באופן פשוט. ℝn מה ז”א “פועלת” ? דוגמה: 2 0 0 A= 0 2 0 0 0 3 כפל בA - ℝn e 1=1,0,0 1 2 1 A = =2 0 0 0 )(1 0 0 0 e 2=0,1,0 0 A e 2= 2 =2 e 2 0 A e 3=3⋅e3 1 v ↦ Av לינאריות A3 e 14 e 2 = 3 Ae 14 A e 2=3⋅2 e 14⋅2 e 2 =2⋅3 e 14 e2 סמסטר ב 1 2 A 2 =A 1⋅e 12⋅e 23 e3 =1⋅A e 12 Ae 2 3 A e3=2 e12⋅2 e 3⋅3 e = 2 3 4 3 9 מטרה: בהינתן מטריצה ,Aמצאו כמה שיותר וקטורים )מטרה אולטימטיבית – למצוא בסיס שלם( שעליהם Aפועלת בכפל בסקלר .כלומר, מצאו V ≠0כך ש Av=av -עבור איזשהו a) a∈ℝיכול להיות אפס(. שימו לב: Av= x⋅vשקול לAv= xI v - x 0 ⋯ 0 0 x ⋯ 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 x =Av ⇔ xI −A v=0 מסקנה: אם ∣xI − A∣=0אז קיים v ≠0כל ש. Av= x⋅v - הוכחה: עשינו )משתמשים ב (*-עבור B=xI −Aובשקילות האחרונה. דוגמה: A= 1 2 4 3 נבדוק את ∣∣xI − A ∣ ∣ ∣ ∣ xI = x 0 0 x x 0 − 1 2 = x−1 −2 0 x 4 3 −4 x−3 2 = x−1 x−3−8=x −4x3−8=x 2−4x−5= x1 x−5 ולכן x=5או x=−1 1 2 v=5⋅v גילינו שקיים וקטור v ≠0כך ש- 4 3 1 2 וקיים וקטור w≠0כך שw=−1 w=−w - 4 3 נציב 5ב: ∣xI − A∣ - v≠0 4 −2 5−1 −2 = −4 2 −4 5−3 4 −2 v =xv= Av ⇔ xI − A v=0 −4 2 4 −2 נמצא את כל ה-v-ים כך שv =0 - −4 2 4 −2 x 1 =0 נעשה R2 R1 R 2ונקבל 0 0 x2 2 : 4x 1−2x 2=0 1 ולכן 2 4x 1=2 1 = x 1וx 2=1 - 4 −2 2 =0 −4 2 1 −4 −2 1 = 0 −4 −2 2 0 *אופס ,איבדתי איזה דף פה באמצא* למשל ,הוקטור העצמי של הערך המצצמי 5בדוגמה שלנו הוא למשל וקטור עצמי שמתאים לע"ע −1הוא למשל −11 . V =ℝnעתה Aמטריצה ריבועית. נסמן n } va={ v=ℝ ∣ Av=av , a∈ℝ טענה: Vaהוא תת מרחב של . ℝn הוכחה: )בוחן( .1 0∈ Va )לה משנה מהו :(A A 0 =a⋅ 0 =0 .2סגירות לחיבור יהיו . u , w∈Vaכלומר , Av=av . Aw=aw נרצה להראות שA vw=a vw - = A vw נראה זאת Av Aw=avaw=a vw : לינראיות .3כפל בסקלר מאוד דומה .תרגול. 3 12 . ניסוח מחדש של המטרה: בהינתן מטריצה :A .1מצאו עבור אלה סקלרים ,aהמרחב Vaהוא לא מרחב האפס )אלו הערכים העצמיים(. .2עבור אותם -aים ש , va={0 } -מצאו בסיס למרחב )אלו הוקטורים העצמיים(. דוגמה: A= 1 5 Av= xv 5 1 נחפש את הערכים העצמיים של .A ∣ ? ∣xI− A∣=0 מהו ∣ = x−1 −5 = x−12−25 = 0 x−1 ולכן או x=−5 −5 . x=6 עברנו על )א( במטרה. כלומר dimV 60וdimV −40 - ולכל סקלר אחר dimW =0 dimVa=0כלומר . Va=0 , a≠6,−4 ⇔ } w = {0 )ב( של המטרה :למצוא בסיס ל V 6 -ו. V −4 - שלב זה :פתרון מערכת משוואות. בסיס ל: V 6 - אלו כל הוקטורים המקיימים Av=6vובאופן שקול . 6I−A v=0 זוהי מערכת משוואות ,נפתור אותה: 5 −5 x1 = 0 0 0 x2 0 x 1=1 R 2 R1 R 2 sp 11 ∈V x 2=1 בסיס ל: V −4 - 6−1 −5 = 5 −5 −5 6−1 −5 5 נפתור את −3 −3 x 0 −5 −5 1 = 0 x2 −4I− A −4−1 −5 = −5 −5 −4−1 −5 −5 −5 4 v 4=sp 11 ולכןsp 11 ונגיע לפתרון הכללי 6,6 f 2=−1,1 1,0= 12 f 1− f 2 f 1=1,1 A 10 = = 4,−4 A= 1 Af 1− Af 2 2 1 6f 14f 2 2 −1 2 2 2 2 −1 2 −1 2 : ∣xI − A∣=0 נשים מטרה )א( נפתור את ∣ ∣ x1 −2 −2 x1 −2 −2 −2 x−2 1 −2 x− 2 1 −2 1 x−2 −2 1 x−2 ∣ ∣ C 12C 2 C 1 C 3−x −2C 2 C 3 C 12C 2 C 1 C 3−x −2C 2 C 3 ∣ x1−4 x −22 x−2 −22x−4 x 1− x−22 0 1 0 ∣ x1− 4 −22x− 4 0 x x 1 −22 x−2 1− x−22 0 ∣ ∣ = − x−32⋅ − x −1−4 = − x−32 x 3 .( סיימנו את )א.( )פעמייםx=−3 )פעמיים( אוx=3 ולכן 3I−A xx = 00 2 : V 3 מטרה )ב( ע"מ למצוא את נפתור את 1 4 −2 −2 x 1 0 = 0 0 0 x2 0 0 0 0 x3 0 Sp <= 1 2 0 1 , 1 2 1 0 =V 3 5 31 −2 −2 x 1 0 = −2 1 1 x2 0 −2 1 1 x3 0 x 2=0 , x 3=1 אזx 1= 1 2 אם x 2=1 , x 3=3 אזx 2= 1 2 אם :3x3 דוגמה שיעור 03.03.10 – 2 חסר בנתיים. 1 שיעור 10.03.10 – 3 חישוב גרעין ותמונה תרגיל: חשב את הגרעין ואת התמונה של העתקה הגזירה מℝn 1 [ x ]ℝn [x ] - פתרון: נסמן ב D :ℝn 1 [ x ] ℝn [x ] -את העתקת הגזירה ,כלומר . D p x= p ' x } kerD = { p x ∣ p ' x =0 } = {a0 ∣ a 0 ∈ℝ kerD=sp 1 כלומר הפולינומים הקבועים ממימד .1 ] D a0a1 x...a n x n =a12a 2...anx−1מתאפס כש a 1 ... a n -כולם אפסים [ התמונה תהייה ממימד ?. n1−1=n נבדוק מהי. אנו יודעים שמתקבלים כל הפולינומים ממעלה ≥ . n−1 למשל ,התמונה של הפולינום 1 i i−1 x ↦ i xלכל 0≤i≤n D ולכן ) x 0, x 1, ... , x n −1 ∈ Im(Dולכן )Rn−1 [ x ] = Sp x 0, x 1, .... , x n−1 ⊆ Im(D ] n=dim ℝ n−1 [xולכן יש בעצם שוויון כאן כלומר ImD = Sp x 0, ... , x n−1 תרגיל: הסבר: תהי ] , T :ℝn [ x ] ℝn [ x לדוגמה: p x ↦ p x1− p xחשבו את הגרעין והתמונה. ↦ x2 x 12 −x 2 = x 22x1−x 2 = 2x1 T x ↦ x1−x = 1 3 3 3 x 3 ↦ x 1 3− x 3 x 2 x ↦ x12 x1− x 2x באופן כללי: ↦ a 0a 1 x1...a n x n a 0a1 x1...a n x−1n−a0 a1 x...a n x n T 3 ↦ 3−3=0שוב ,הפולינומים ממעלה 0נמצאים בגרעין של .T } kerT ={ p x ∣ p x1= p x יהי נציב :x=0 p 0= p1 p x ∈ kerTאז p x = p x 1 נציב :x=1 2 p 1= p 2 נציב :x=2 p 2= p 3 נציב :x=k p k = p k 1 . p x −tנתבונן ב . q x = p x − p 0 -זה פולינום עם אינסוף שורשים. כי , q 0= p0− p 0=0 q 1= p 1− p 0=0 p k = p k − p x=0 … q 2= p 2− p 0=0 כלומר כל p k = p0=tלכל k k ∈ℕהוא שורש של qולכן qהוא פולינום האפס. מכאן נובע ש p <= p x − p 0=0 -הוא פולינום הקבוע שערכיו תמיד . p 0 כלומר pפולינום הע"ע ממעלה 0ולכן } kerT ={a 0 ∣ a0 ∈ℝ ממשפט המימד נובע שמימד ImT=n T p x= p x1− px x ↦ x12 −x 2= x 22x1−x 2=2x1 משהו ממעלה x3 ↦ x13− x3 =x 3...− x 3=2 2x 3 ↦ 2 x13−2x 3=23 x 3...−23 x 3 2 3 8x המשך הפתרון: נשים לב ,שהמקדם של החזרה הכי גבוהה בפולינום p x1שווה למקדם של החזרה הכי גבוהה בפולינום . p x ולכן חזרה זו מתבטלת בפולינום T p x= p x1− p x “פסודו הוכחה" באופן יותר נורמלי אפשר לכתוב כך: קל לראות שהתמונה של x iהוא פולינום ממעלה x−1 x1i−x i = ... )למשל לפי הבינום של ניוטן(. x 0 , ..., x n ℝוראינו כי בנוסף ,זהו בסיס לn [ x] - ImT=Sp T x 1 , ... , T x n אלו פולינומים ממעלה ≥ n−1ולכן ]ImT ⊆ ℝ n−1 [ x ] ⊂ ℝ n [ x ומשוויון המימד יש שוויון כאן 3 חזרה על וקטור קואורדינטות טענה: יהי Vמ"ו ,והי v 1 ,... , v nבסיס סדור של .V אז לכל וקטור v ∈Vיש כתיבה יחידה כצירוף לינארי של הבסיס. הוכחה: מכך שהבסיס פורש ,ישנם סקלרים a 1 , ... , a n כך ש* v =a1 v 1...a n v n - נניח ש ** v =b1 v 1...b n v n -ונראה ש. b 1=a1 , b2=a 2 , ... , bn =a n - נחסר את * מ:**- 0 = v −v = b 1 v 1...b n v n−a 1 v 1...a n v n = b1−a1 v 1...b n−an v n מכיוון ש v 1 ,... , v n -בת"ל נקבל ש b i=ai=0 -לכל .i }B={1,0 ,1,1 1,1 [ 17 ]=17 1,0 1,1 1,0 B=17,0 , =17 , יהי } E={1,0 , 0,1הבסיס הסטנדרטי: יהי [ 34 ]=3 e 4 e =3,4 1 2 } B={v 1 ,... , v nבסיס סדור לV- אז וקטור הקואורדינטות לפי Bשל וקטור v ∈Vמסומן ב[v ]b - והוא ה-n-יה של המקדמים בצירוף לינארי לפי Bהמייצג את הוקטור .v דוגמה: ניקח בסיסים סדורים של : ℝ2 B= 1,2 ,3,4 D= 1,0 ,1,1 E= 1,0 ,0,1 ונמצא את וקטור הקואורדינטות לפי הבסיסים אלו של הוקטור . v =−1, 2 <= v = -1 1,0 2 0,1=−1, 2 ][2 <= v = -3 1,0 2 1,1=−1, 2 [v ]D= −3 ][2 <= v = 5 1,2 -2 3,4=−1, 2 ] [−2 [v ]E= −1 5,10 3,4 [v ]B= 5 1,2 1,1 1,0 4 v =−1,2 1,1 2 −31,0 תרגיל: .1 .2 פתרון ב: )נדלג עליו( הוכח ש B={1 x , x x 2, x 2 x3, 2x3 } -בסיס ל. ℝ3 [ x ] - [v ] Bכאשר B=32xx 23x 3 מצאו את v = 32xx 22x 3 = 1 1 x 2 xx 23 x 2x 3 4 2x 3 1=3 2=−1 3=2 4=0 1=3 12 =2 2 3=1 32 4=2 ][ 3 [v ]B = −1 2 0 עוד דוגמאות⇐ E={1, x , x 2, x 3 } : שאלה 6מהמבחן: .1 } ℝ ∣ ab=cd =0 2 3 2 1 2 } ⇐ E '={x 3, x , x 2, 1 =[v ]E ∈ M a b c d 2 2 1 3 = ' [v ]E {=u הוכיחו ש v-מרחב לינארית. } 0 0 1 −1 , 1 −1 0 0 { } =B 1 −1 1 −1 , 1 −1 −1 1 .2 מצא את וקטור הקואורדינטות של .3 נדלג. { = Cבסיסים שלו. −2 3 2 u= −3לפי Bולפי .C פתרון: .1 } { , 0 0 1 −1 vמרחב לינארית עם בסיסים b d ישנם שני נתאים על a c 1 −1 0 0 } 1 −1 1 −1 =B ע”מ שהוא תהיה ב.u- .1 ab=0ולכן b=−a .2 cd =0ולכן d =−b כלומר ברגע שקבענו את aו b ,c-ו d-נקבעים. לכן מטריצה כללית ב u-היא מהצורה נוכיח ש B-בסיס: 0 0 1 −1 , 1 −1 0 0 5 } ∣ a , c∈ℝ בת”ל. −a −c u= ac , 1 −1 −1 1 { =C פירושים :תהי ∈u a −a c −c כלשהי. 0 0 1 −1 c 1 −1 0 0 = a a −a c −c עתה ע”מ להנמש Cבסיס ונשים לב שהוקטור ב C-בת”ל ושהרגע הראנו שdimu=2 - .2 מההגדרה נובע כי ] [ 2 [u]B= −3כי ][ 21 2 −1 2 = [u]Cכי 0 0 a 2 1 −1 3 0 0 1 −1 a2 3 6 1 −1 0 =a [ [ 1 0 2 −2 −3 3 2 1 −1 0 0 =a1 2 2 −2 −3 3 שיעור 17.03.10 – 4 תרגילים אבסטרקטיים על גרעין ותמונה )רמז :כבר עשינו אותם( תרגיל: , T :V W תהיינה הוכיחו כי העתקות לינאריות. S :W U kerT ⊆ker S °T הסבר: פתרון: } KerT ={x ∈V ∣ T x=0w } kerS °T ={ x ∈V ∣ S °T x =0 v יהי ולכן x ∈KerTאז T x=0 S °T x =S T x=S 0=0 לכן x ∈Ker S °T תרגיל: תהיינה S :W Uכך ש S ° T -זו העתקת האפס מ V-ל.U- , T :V W S ) התנאי האחרון לכיבורשם ש( S ° T =0 - x ⟼ 0w 0 v הראו שImT ⊆KerS - פתרון: יהי x ∈ ImTאז קיים y ∈Vכך שT y =x - לכן S x =S T y=S °T y =0 לכן תרגיל: x ∈KerSמ.ש.ל. יהי Vמ"ו ותהי = T2 T :V Vכך ש T °T =0 - הגדרה הראו ש- פתרון: dimV 2 ≥ dimKerT על פי טענה קודמת ImT ⊆KerTולכן ע"ע משפט המימד נסמן dimImT ≤dimKerT dimImT dimKerT =dimV n=dimVנרשום: 7 n=dimKerT dimImT ≤dimKerT dimKerT =2dimKerT n ≤dimKerT 2 כמו שרצינו .מ.ש.ל. זה "שקול"/דומה לתרגיל שעשינו בסמסטר הקודם: Aמטריצה ריבועית תרגיל: תהיינה n . n×nאם A2 =0אז ≤dimNull A 2 S :V Vכך ש.* S T =0 - , T :V V . dimV =4 הראו ש2≥dimIm T ° S - פתרון: מספיק שנראה ש) dimKer T ° S ≥2 -בגלל משפט המימד( . kerS ≤ker T °S לכן אם אם dimKerS =1 אם dimKerS =0 dimKerS ≥2אז סיימנו. אז dimImS =3 אז dimImS =4 נטפל במקרה בו . dimKerS =0למדנו שזה שקול מכך ש S-חח"ע. מכך ש S :V V -נובע שהיא גם על .לכן Sהפיכה. נפעיל את לכן גם S−1על * ונקבל שT =0 ⇐ S −1 S °T =S −1 0 - T ° S =0ולכן dimIm T ° S ≥2 נניח ש . dimKerS ≤1 -ידוע לכן ש. S °T =0 - ראינו שבמקרה זו ImT ⊆KerSולכן טענת עזר: תהיינה , T :V W ** dimImT ≤1 , S :W Uאז dimImS °T ≤dimImT ]ההוכחה כתרגיל[ המשך: אם נשתמש בטענת עזר ,נקבל ש) 1≤dimImT ≤dimImT ° S -לפי **( וסיימנו. 8 הצגת העתקה ע"י מטיצה .W- בסיס לC={w 1 ,... , w n } - וV- בסיס לB={v 1 ,... , v n } , T :V W [T v ]C =[T ]CB [V ]B [ ומקיימתT ]CB למדנו שבהנתן קיימת מטריצה סמסומנת [T ]BC =[ [T v1 ]C [T v2 ]C . ..[T v3 ]C ] - למדנו ש,יתר עלכן x , y ⟼ 5x y , x5y T : R2 R 2 תהי :דוגמה . הבסיס הסטנדרטיE={e 1, e 2 }={1,0 ,0,1} יהי A={1,1 , 1,−1} B={1,1 , 0,1} [T ]BB , [T ] AA A [T v ] A=[T ]A [V ]A [T ]EE =[ [T e1 ] E [T e2 ]E ] ] = 1 5 [T e1 ]= 5 1 [T e2 E tr , [T ]EE כתבו את - וודאו שv =1,2 יהי : [T ]EE =e , e -נתחיל ב 1 2 <= T e1 =T 1,0=5,1=5⋅e 11⋅e 2 <= T e2 =1,5=1⋅e15⋅e 2 =10 5 1 1 5 , det =24 5 1 1 5 [T ]AA=[ [T 1,1]A [T 1,−1]A ] E 5 1 , [T ]E = 1 5 . [T ] AA -נעבור ל T 1,1=6,6= 6 1,1 0 1,−1 [] [T 1,1]A= 6 0 T 1,−1 = 5⋅1−1 , 15−1=4,−4 = 0 1,1 4 1,−1 [T 1,−1]A= 0 4 A 6 0 .[ שימו לב שזו מטריצה אלכסוניתT ] A= 0 4 tr 6 0 0 4=10 det 6 0 =24 0 4 B [T ]B נשאיר לעצנו את 9 :תרגיל :פתרון T 1,2=T v =7,11 (I) [T ]AA= 6 0 0 4 1,2 = a 1,1 b 1,−1 = ab , a−b = 1,2 2a=¿ נבדוק זאת ע"י ראשית נבדוק מיהו [V ]A [V ] A= [] 3 2 1 − 2 a=1 1 2a =3 2 1 1 b=1 2 b=− לכן מיהו [T v ] A (II) 1 2 3 6 0 2 [T v ] A= 9 = = [T ] AA [V ] A −2 0 4 −1 2 - כלומר מכך ש,נבדוק שלא טעינו [T v ] A= 9 −2 T v =91,1=21,−1=7,11V tick [ [T 01 ]B [T 02 ]B ] ]= 4 −8 A= f 1 , f 2 = [T ]B = g , g 1 2 נבדוק [T f1 ]B= 6 0 <= T f1 =T 1,16,6= 6 1,1 0 0,1 [T <= T f2=T 1,−1= 4,−4= 4 1,1 -8 0,1 f2 4 0 −8 =−48 [T ]BA= 6 4 0 −8 tr 6 4 =−2 0 −8 10 det 6 תרגיל: שאלה 2003 6מואד א'. נניח כי T :ℝ2 [ x ]ℝ2מוגדרת ע"י T p x= p ' 0 p 0 p ' 0− p 0 א. מצאו בסיס ל .ImT-מהו ?dimImT ב. מצאו בסיס ל .KerT-מהו ?dimKerT ג. האם Tחח"ע על? ד. 2 מצא את המטריצה המייצגת את Tלפי הבסיסים הסטנדרטים ] ℝ ,ℝ 2 [ x פתרון: א. מצאו בסיס ל .ImT-מהו ?dimImT למדנו שאם } { f 1, f 2, f 3בסיס ל ℝ2 [x ] -אז } ImT =Sp {T f1 , T f2 , t f3 יהי } { f 1 , f 2 , f 3הבסיס הסטנדרטי 2 f 1=1 f 2=x f 3 x }{ } { T x = 10 = 1 10 1 T 1= 01 = 1 0−1 −1 1 , 1 −1 1 קיבלנו 1 , 1 , 0 −1 1 0 = Sp T 2x = 00 = 0 00 0 ImT =Sp קל לראות שהם בת"ל ולכן הם בסיס לתמונה .ולכן המימד של ImT =2 ב. מצאו בסיס ל .KerT-מהו ?dimKerT ראינו ש dimKerT =1 -ומצאנו ש x 2 ∈ KerT -ולכן } { x 2בסיס ל.KerT- ג. האם Tחח"ע על? הוא על ממה שהרגע ראינו. ממשפט המימד נובע ש dimKerT =1 -ולכן הוא אינו חח"ע. ד. מצא את המטריצה המייצגת את Tלפי הבסיסים הסטנדרטים 2 ] ℝ , ℝ2[ x −1 1⟼ 1 מקודם: 1 x⟼ 1 ℝ2 [ T 1 ]¿ T x ¿ ℝ2 E ¿ = [ T ]E 2 ℝ ]ℝ2 [x 11 0 x2 ⟼ 0 ℝ2 ℝ2 [T 1]¿ 1 −1 [ ] ¿ 1 −1 ובאופן סאוסן נקבל ¿ 1 1 0 −1 1 0 E [ T ]E = ¿ ℝ2 [x] 2 ℝ −11 = 1 10 -1 01 12 שיעור ) 07.04.10 – 5אחרי פסח( הערות מתרגיל 1 כדי להראות שהעתקה הוא לינארית: .1משמרת חיבור: T vw =T v T w .2משמרת כפל בסקלר T v = T v .3 - T 0 =זה נובע מ 1-ו .2-לכן כדי להראות ש T-אינה לינארית 0 אפשר למשל להראות שוקטור האפס לא עובר לוקטור האפס. שמחפשים מטריצה שמייצגת העתקה T x , y , z =3x , 4y8z , x y z נזכור :אפשר לנחש 3x = 4y8z x y z x y z c b a i h g ⇐ d e f axby cz dxey fz ... 3x x x y z z A y = 4y8z ולכן 3 0 0 A= 0 4 8 1 1 1 אפשר להזכר שמטריצה שאנחנו מחפשים זו מטריצה הייצוג לפי הבסיס הסטנדרטי: E [T ]E 3 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 4 8 = Te 1 Te 2 Te 3 ⋮ ⋮ ⋮ 1 1 3 עוד משהו: לא נכון ∣∣A±B∣=∣A∣±∣B ∣∣AB∣∣A∣∣B הערות מתרגיל :2 נתונה העתקה לינארית ע"י כפל במטריצה .Aמקבשים למצוא את תמונת ההעתקה. למדנו שזה בדיוק המרחב ).col(A דוגמה: ⇐ T x , y , z =3x y , 4x8z עמודה = Te1 הראשונה יודעים ש: עמודה =Te 2 השנייה x y z 3 1 0 4 0 8 . . . עמודה =Te 3 השלישית ImT =spTe 1, Te2, Te 3=col A כדי למצוא בסיס למרחב העמודות אפשר לדבר לפי שורות ובעמודות בהם מקבלים איבר פותח עמודות המטריצה המקורית יהיו בסיס. 1 col A=sp 3 , 1 4 0 .kerS-מצאו בסיס ל S 1,1,0=1,2 ולכן 3 1 0 R −4 R 3 1 2 3 1 0 −4 4 0 8 3 S 1,0,2=2,4 . עלS :ℝ3 ℝ 2 3=dim ℝ3=dimKerS dimIms =dimKerS dimsetR2 - על נקבל שS-ממשפט המימד ומכך ש =dimKerS 2 0 8 :6 שאלה :פתרון dimKerS =1 -ונקבל ש ( )נכון בלינאריות 0 =T v −T w =T v −w⇐ T v=T w S 21,1,0=2S1,1,0 S 2,2,0=2,4 S 1,0,2=2,4 וגם נתון מלינאריות S 1,2,−2=S 2,2,0−1,0,2=S 2,2,0−S 1,0,2=2,4−2,4=0 ולכן .kerS- בסיס ל1,2,−2 ולכן ומגדיריםv 1 , v 2 , ... , v n∈V n T :ℝ V נתונים :5 שאלה n a1 ,... , a n ∑ ai v i =a 1 v 1...a n v n i =1 3,5,8 3v 15v 28v 3 4 שאלה דוגמה לשאלות הליכסון בתרגול W- בסיס לC={w 1 , ... , w n } - וV- בסיס לB={v 1 ,... , v n } - וT :V W B W B [T ]C [V ] B =[Tv ]C [ מקיימתT ]C =[ [Tv1 ]C ...[Tv n ]C ] בהנתן אז המטריצה .U- בסיס לD={u 1 , ... , u n } - וS :W V אם * [S ]CD °[T ]BC =[S °T ]BD אז 2 :תזכורת :בנוסף תרגיל: }v 1={1, 2, 3 יהיו מצאו את הקדמה: } v 2 ={0, 1, 2 [ I ]BEו [ I ]EB -כאשר } v 3={0, 0,1בסיס ל ℝ3 -שנמנו ב.B- I :ℝ 3 ℝ3העתקת הזהות. B E E E ראשית נזכר שמ *-נובע ש[ I ] E °[ I ] B=[ I ° I ]E =[ I ] E =I - כלומר אלו מטריצות הופכיות זו לזו. B מכיוון ש ) [v ] E=V -ב ( ℝn -תמיד קל יותר למצוא את [ I ]E כלומר ,כאשר Eהוא הבסיס של הטווח ,יותר קל למצוא את המטריצה המייצגת נפתור: ] [ 1 00 B [ I ]E = 2 1 0כי 321 עתה כדי למצוא את 1 … [1,2,3]E = 2 3 B E [ I ]Bאפשר למצוא את המטריצה [ I ]E או לחילופין למצוא אותה מההגדרה. נמצא מההגדרה: ] [ I ] EB =[[e 1 ]B [e 2 ]B [e 3 ]B 0,0,1=e 3=a 1,2,3b 0,1,2c 0,0,1 =< 0,1,0=a 1,2,3b 0,1,2c 0,0,1 =< 1,0,0=a 1,2,3b0,1,2c 0,0,1 =< 0 [e3 ]B = 0 1 0 [e 2 ]B = 1 −2 ולכן 0 0 1 0 −2 1 1 1 [e1 ]B = −2 1 [ I ]EB =[ [e 1 ]B [e 2 ] B [e 3 ]B ]= −2 1 כדאי לבדוק ע"י הפל שאכן הן הופכיות. נעשה תרגיל דומה ונדבר )על-הדרך( על ליכסון. מטרה :נתונה 0 0 −2 1 1 0 3 A= 1 2ואנחנו רוצים למצוא מטריצה שדומה ל A -שהיא גם אלכסונית. לתהליך זה קוראים ליכסון של .Aאם מצליחים אומרים ש A-לכסינה. כלומר ,מחפשים מטריצה הפיכה Pכך שהמטריצה P−1 A Pמטריצה אלכסונית. a 0 0 P−1 A P= 0 b 0 0 0 c 3 איך נעשה זאת? תהי Tההעתקה ש A-מגדירה . T : ℝ3 ℝ 3 x x y A y z z מי זו ? [T ]EEנשים לב שזו פשוט .A ] [T ]EE =[ [Te1 ]E ... [ ] 1 0 Te1 =A 0 = 1 0 1 0 [Te 1 ]E= 1 1 0 =1 1 E A נשים לב שאם } C={v 1 , v 2 , v 3 [T ]CC = [ I ]CE [T בסיס אחר של ℝ3אז מתקיים ] EE [ I ]CE =[T °I ]CE =[T ]CE C C E [ I ]C [T ]E =[T ]C [ I ]CE [T ]EE [ I ]CE =[T ]CCכאשר ) (T=Aונרצה ש [T ]CC -תהייה אלכסונית. [T ]CCאלכסונית כאשר וקטורי C הם וקטורים עצמיים של העתקה Tכלומר וקטורים עצמיית של .A נמצא בסיס Cהמורכב מוקטורים עצמיים של :A עלינו למצוא את הערכים העצמיים: ∣ 2 = x−22 x−1 x−2 ∣ 2 x −1 = x −2 −1 x−3 ∣ 0 x−2 0 ∣ x det xI− A= −1 −1 לכל ערך עצמי ,נמצא וקטורים עצמיים: עבור x=2זה מרחב האפס של 2 0 2 1 0 1 0 0 0דירוג −1 0 −1 −1 0 −1 0 0 0 ובסיס למרחב האפס הוא v 2 =0,1,0 , v 1=−1,0,1 4 נבדוק: ][ −1 0 0 −2 −1 −2 −1 A 0 =1 2 1 = =2 0 0 0 1 9 0 3 1 2 1 −2 v 3= 1 1 עבור x=1נקבל את הוקטור כוקטור עצמי )אפשר לוודא(. קיבלנו שיש 3וקטורים עצמיים וע"פ משפט הנלמד ,הם בהכרח מהוים בסיס )אפשר לבדוק ישירות( .נסמן בסיס זה בC={v 1 , v 2 , v n } - נבדוק מה . [T ]CC = לפי ההגדרה [ ] [ ] [ ] C ⋮ Tv 3 ⋮ C ⋮ Tv 2 ⋮ C ⋮ Tv 1 ⋮ C C = ] [T 0 0 −2 A= 1 2 1 1 0 3 0 0 −2 −1 −2 Tv 1= 1 2 1 = 0 0 1 0 3 2חשוב 1 −2 −1 0 −2 0 = Tv 1 = av 1bv 2cv 3 = a 0 b 1 c 1 2 2 1 0 0 0 1 0 0 Tv 2=T 1 = 2 0 0 Tv 2=0v 12 v 20 v 3 0 [T v2 ]C = 2 0 −2 −2 Tv 3=T 1 = 1 1 1 Tv 3=0v 10v 21v 3 0 [Tv 3 ]C = 0 1 5 ולכן [ ] [ ] [ ] 2 0 0 = 0 2 0 0 0 1 C ⋮ Tv 3 ⋮ C ⋮ Tv 2 ⋮ C ⋮ Tv 1 ⋮ C C = ] [T יודעים ש[T ]CC = [ I ]CE [T ]EE [ I ]EC = [I ]CE A[ I ]EC - ולחשב את [ I ]CEזה קל: −1 0 −2 [ I ]CE = 0 1 1 1 0 1 P סה"כ מצאנו Pש P−1 A Pמטריצה אלכסונית לזה קוראים לכסין של .A 6 שיעור 14.04.10 – 6 ערכים עצמיים ,וקטורים עצמיים ולכסון תזכורת: v ≠0 , T :V Vונקרא ו"ע אם . Tv= v Aמטריצה ריבועית. תרגיל: פתרון: v ≠0נקרא ו"ע אם נקרא הע"ע של .v . Av= vנקרא הע"ע של .v הראו ש A-לא הפיכה אם"ם 0ערך עצמי של .A קיים Av=0⋅v=אם"ם קיים פתרון לא טריביאלי למע' v ≠0כך ש0 - ההומוגנית ש A-מגדירה ,כלומר } nw A≠{0אם"ם Aלא הפיכה. הערה: זה לא אומר כלום לגבי לכסון. 0 0 0 0 1 0 0 0 1 למשל ,מטריצת האפס הוא אחלה מטריצה אלכסונית ,וגם 1 n תרגיל: פתרון: קיים v ≠0כך ש. Tv= v - פעמים n n T v=T °T °...T =T °T °... T v =...= פעמים n−1 v 0 T =T nע"ע של °... °T °T אם ע"ע של העתקה Tאז nv , k 1 k פעמים n k k = T v T v= ⋅⋅v= לינאריות תרגיל: תהי T :V Vויהי ∈ℝכלשהו .הראו שv 2 :={v∈V ∣ Tv = v } - הוא תת מרחב של .Vתת-מרחב זה נקרא המרחב העצמי של . פתרון: זהו הגרעין של ההעתקה I d −T מדוע? אם תזכורת: ] [ Tv− v=0 ⇒ T − I v=0 Tv= v ⇔ −T v = I d v −T v = I d −T v=0 אם Tו S-העתקה לינארית T , S :V Wאז T S v :=T vS v T −S v :=T v−S v ואלו העתקות לינאריות. I d −T v 1 פתרון אחר: בוחן לתת מרחב. T 0 = 0 T vw =T v T w= v w=2 vw השלימו את הערטים... שלוש דוגמאות ללכסון דוגמה :1 פתרון: ואז לכל ערך עצמי למצוא ו"ע התאים לא. 0 0 4 כדי למצוא ע"ע ← הפולינום האופייני. = x−32 x−4 הערה: נרצה למצוא את הערכים העצמיים של A 3 2 0 A= 0 3 0 ∣ 0 0 x−4 ∣ x−3 −2 x−3 = ∣∣x I − A =< 3בריבוי x 1=2 4בריבוי x 2 =1 שימו לב שבמטריצה משולשית הע"ע מופיעים על האלכסון. נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים לערך העצמי .4 בעצם מה שנרצה לעשות ,זה למצוא בסיס ל.4- ℝ3 4 = {v∈ℝ3 ∣ Av=4v } = nul 4I− A 1 −2 0 1 0 0 0 0 = 0 4−3 −2 0 0 4−3 0 0 0 4−4 0 nul =sp 0 1 עבור x=3נחשב את nul 3I− A=ℝ3 3 1 = sp 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 −1 nul 0 שימו לב שהתקבל מרחב ממיצד 1למרות הערך העצמי 3הוא בריבוי 2 נזכר שע"מ ללכסון את Aעלינו למצוא בסיס של ו"ע של .A שימו לב שלא ניתן למצוא כזה בסיס .מדוע? ראינו שו"ע חייבת להיות או ב- v3 או ב . v 4 -אבל = V 3V 4≠ℝ 3 2 }{ 1 0 0 1 Sp 0 , 0 לכן לא ניתן למצוא בסיס של וקטורים עצמיים. דוגמה :2 A= 1 1 ∣ xI − A∣= x−12 0 1 יש ע"ע יחיד והוא שווה ל ,1-מופיע בריבוי .2 אפשר ללכסן את Aאם"ם קיים בסיס ל ℝ2 -המורכב מו"ע של .A כל הוקטורים העצמיים יחיו במרחב העצמי של :1 2 ℝ 1=nul 1 I − A=nul 0 −1 0 0 = sp 1 0 0 −1 0 0 = ⇒ nul x y 0 −1 x 0 0 y 3,0 , 4,0 ,− 2, 0 ,−e ,0 אין בסיס ל ℝ2 -המורכב מוקטורים עצמיים!!! לכן לא ניתן ללכסן! שימו לב ,שהריבוי של 1הוא 2 ומימד המרחב העצמי של 1הוא קטן לא שווה מ.2- דוגמה :2 1 0 4 0 0 5 A= −1 −6 −2 למצוא ע"ע ,כלומר שורשי הפולינום האופייני: ∣ x−4 −1 ]= x6[ x−4 x−5 −5 x x 1,2,3 = −6, 5, −1 ∣ = x6 ∣ ∣ x− 4 0 −1 1 x−6 2 −5 0 x−0 = ∣∣ xI − A = x6 x 2−4x−5 = x6 x−5 x 1 נתחיל ב: x=−6 - 0 ⊇ Sp 1 0 −10 0 −1 1 0 2 −5 0 −6 nul מוודאים ע"י דירוג שקודם יש שוויון. : x=5 1 −3 11 דירוג = nul5I− A = Sp 1 3 } {t ,− 3 , t ∣ t∈ℝ 11 = 1 0 −1 1 11 2 −5 0 5 nul nul . P−1 −5 0 −1 1 5 2 −5 0 −1 −1 −5 5 = Sp − 9 = Sp −9 25 : x=1 25 1 ולמצוא את, אלכסוניתP−1 A P - כך שP נרמה לרשום את [T A]B .P מי תהיה [T A ]E −6 0 0 0 5 0 0 0 1 =P −1 A P B={ 0,1,0 , 1,− 3 ,1 , − 1 ,− 9 , 1 } 11 5 25 v1 v2 v3 E B [T A]B =[ I ]B [T A ] E [I ] E 0 −1 1 5 [ I ]BE = [v 1 ]E [v 2 ] E [ v3 ]E = 1 − 3 − 9 11 25 0 1 −5 P−1 = 1 0 6 −4 55 −5 6 1 0 5 6 19 35 1 6 adj (2 ( אוP|I) ( דירוג1 ....הרבה עבודה ולה יש ע"ע שונים זה מזהn×n זו דוגמה כל כך שאם יש מטריצה :הערה . כלומר זה לא אם ורק אם, זהו תנאי מספיק! ולא הכרחי.אז הוא לכסינה ∣ 0 1 1 A= 1 0 1 1 1 0 ∣ ∣ ∣ x −1 −1 x −1 −1 −1 x ∣xI − A∣ = −1 ∣ 0 = 1x x−1 −1 ∣ −1 0 x −1− x −1 x1 = c 3−c 2 c3 x −1 0 −1 x −1− x −1 −1 x1 ∣ ∣ ∣ 0 −1 0 2 −1 x x −1− x x1 c 1 xc 2 c 1 −1 x −1 = ∣ = 1x x−1 −1 x = 1x [ x 2−1−1 x ] −1 x1 2 x − x−2 = 1x x−2 x1 .2 בריבויx=−1 .1 בריבויx=2 4 :3 דוגמה : x=−1 1 1 1 −s−t , t , s 0 0 0 מסקנה: −1 −1 −1 = nul −1 −1 −1 nul 0 0 0 דירוג −1 −1 −1 ℝ3 −1 = Sp −1,0,1 −1,1,0 1 ℝ 32 = 1 1 2 −1 −1 2 −1 −1 −1 2 nul 2I−A = −1 } V :={v∈V ∣ Tv = v נבחר } B={1,1,1 , −1,1,0 , −1,0,1 0 1 1 1 −1 −1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1ההופכית = 2 0 0 0 −1 0 0 0 1 "אלגוריתם" ללכסון Aמטריצה (1 k . n×n מוציאים פולינום אופיינו וערכים עצמיים. P A= x−x 1 r ... x− x k r 1 x 2=2 x12 x−2 (2 מוציאים את אם לכל r 1...r k =n i V xלכל x 1=1 x 1 , ... , x kשורשים שונים r 2=2 r 2=1 xi r i=dimV xניתן ללכסן האחיד הבסיסים ש i אם לא אז אי אפשר. 5 i V xבסיס מלאכן. אינדקס מ מרחב העצמי1.......................................... ל לכסינה3................................................. 6
