בעיית ערכים ופונקציות עצמיות

‫אוסף תרגילים במשוואות דיפרנציאליות חלקיות‬
‫‪391001‬‬
‫לביא קרפ‬
‫מכללת אורט בראודה‪ ,‬המחלקה למתמטיקה‬
‫ערכים עצמיים‪ ,‬פונקציות עצמיות ותורת שטורם‪-‬ליוביל‬
‫הגדרות וסימונים‬
‫• מכפלה פנימית עבור פונקציות רציפות למקוטעין בקטע ]‪f (x)g(x)dx :[0, L‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬מצא ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ 00‬‬
‫‪ Y + λY = 0‬‬
‫‪Y 0 (0) = 0, Y 0 (1) = 0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ 00‬‬
‫‪ Y + λY = 0‬‬
‫‪Y (0) = 0, Y 0 (1) = 0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (Y 00 − 2Y 0 + Y ) + λY = 0‬‬
‫‪Y (0) = 0, Y (1) = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪RL‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪hf, gi‬‬
‫ערכים עצמיים‪ ,‬פונקציות עצמיות ותורת שטורם‪−‬ליוביל‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ 2 00‬‬
‫‪ (x Y + xY 0 ) + λY = 0,‬‬
‫‪1≤x≤e‬‬
‫‪Y (1) = 0, Y 0 (e) = 0‬‬
‫‪‬‬
‫רמז‪ :‬השתמש בשינוי המשתנה ‪.t = ln x‬‬
‫‪ .2‬נתונה בעיית ערכים עצמיים )שטורם‪-‬ליוביל(‬
‫‪ 00‬‬
‫‪ Y + λY = 0‬‬
‫‪Y (0) + 2Y 0 (0) = 0, Y 0 (1) = 0‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬הראה שקיים ערך עצמי שלילי אחד בלבד‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם ‪ λ = 0‬ערך עצמי?‬
‫ג‪ .‬מצא את הנוסחה עבור הערכים העצמיים החיובים והסבר מדוע בכל קטע‬
‫)‪ (nπ, (n + 1)π‬יש שורש של ערך עצמי אחד‪ .n = 0, 1, 2, ... ,‬מה הן הפונקציות‬
‫העצמיות?‬
‫‪ .3‬נתונה בעיית ערכים עצמיים )שטורם‪-‬ליוביל(‬
‫‪ 00‬‬
‫‪ Y + λY = 0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Y (0) + Y (0) = 0, Y (1) = 0‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬האם קיימים ערכים עצמיים שליליים?‬
‫ב‪ .‬האם ‪ λ = 0‬ערך עצמי? אם כן‪ ,‬מה היא הפונקציה העצמית?‬
‫ג‪ .‬הראה שקיימים אינסוף ערכים עצמיים חיובים‪ .‬מצא את הנוסחה עבור הערכים‬
‫העצמיים החיובים‪ .‬מה הן הפונקציות העצמיות?‬
‫‪ .4‬הראה שלבעיית ערכים עצמיים )שטורם‪-‬ליוביל(‬
‫‪ 00‬‬
‫‪ Y + λY = 0‬‬
‫‪Y 0 (0) + Y (0) = 0, Y 0 (1) − Y (1) = 0‬‬
‫יש בדיוק ערך עצמי שלילי אחד‪.‬‬
‫‪ .5‬הראה שלבעיית בעיית ערכים עצמיים‬
‫‪ 00‬‬
‫‪ Y + λY = 0‬‬
‫)‪Y (0) = Y (1), Y 0 (0) = Y 0 (1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ערכים עצמיים‪ ,‬פונקציות עצמיות ותורת שטורם‪−‬ליוביל‬
‫יש ערכים עצמיים‬
‫‪n = 1, 2, 3, ...‬‬
‫‪λ0 = 0‬‬
‫‪, λn = (2nπ)2 ,‬‬
‫ופונקציות עצמיות‬
‫‪Y0 = a0‬‬
‫‪.Yn (x) = an cos(2nπx) + bn sin(2nπx),‬‬
‫‪n = 1, 2, 3, ...‬‬
‫האם יש סתירה לתורת שטורם‪-‬ליוביל?‬
‫תנאי שפה רובין‬
‫תנאי השפה‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ Y (0) − a0 Y (0) = 0‬‬
‫‪Y 0 (L) + aL Y (L) = 0‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪‬‬
‫נקראים תנאי שפה רובין‪ .‬בסעיף זה נדון בהיבטים של התנאי הזה עבור המשוואה‬
‫‪Y 00 + λY = 0.‬‬
‫‪ .6‬הראה ש ‪ λ = 0‬ערך עצמי אם ורק אם ‪ a0 + aL = −a0 aL L‬ומצא את הפונקציה‬
‫העצמית‪.‬‬
‫‪ .7‬הראה שהערכים השליליים נקבעים על ידי המשוואה‬
‫‪(a0 + aL )β‬‬
‫‪,‬‬
‫‪β 2 + a0 aL‬‬
‫‪tanh(βL) = −‬‬
‫)‪(2‬‬
‫כאשר ‪.λ = −β 2‬‬
‫‪ .8‬השתמש במשוואה )‪ (2‬בכדי לחקור את הערכים העצמיים השליליים של תנאי רובין‪:‬‬
‫א‪ .‬שרטט את הגרף של )‪ tanh(x‬עבור ‪.x ≥ 0‬‬
‫ב‪ .‬הראה שאם ‪ ,a0 , al ≥ 0‬אז אין ערכים עצמיים שליליים‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ (a0 + aL ) > 0 ,a0 aL < 0‬ו ‪ ,a0 + aL < −a0 al L‬אז יש ערך עצמי אחד בלבד‪.‬‬
‫‪ .9‬תהי ‪ p‬גזירה וחיובית בקטע ]‪ [0, 1‬ו ‪ q‬רציפה‪ .‬הראה שאם ‪ a0 , a1 ≥ 0‬ו ‪q(x) ≥ 0‬‬
‫בקטע ]‪ ,[0, 1‬אז לבעיית ערכים עצמיים‬
‫‪0‬‬
‫‪− (pY 0 ) + qY = λY‬‬
‫עם תנאי שפה רובין )‪ (1‬אין ערכים עצמיים שליליים‪.‬‬
‫רמז‪ :‬יהי ‪ Y‬פונקציה עצמית עם ערך עצמי ‪ ,λ‬הראה‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪(Y 0 )2 + q(x)Y 2 dx‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪λhY, Y i = (a1 Y (1) + a0 Y (0) +‬‬
‫‪0‬‬
‫והסק מ )‪ (3‬ש ‪.λ ≥ 0‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(3‬‬
‫ערכים עצמיים‪ ,‬פונקציות עצמיות ותורת שטורם‪−‬ליוביל‬
‫תשובות‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬ערכים עצמיים‪ ,n = 0, 1, 2, ... ,λn = (nπ)2 :‬פונקציות עצמיות ‪,Y0 ≡ 1‬‬
‫)‪.n = 1, 2, ... ,Yn (x) = cos((nπ)x‬‬
‫‪π‬‬
‫ב‪ .‬ערכים עצמיים ‪ ,λn = ( π2 + nπ)2‬פונקציות עצמיות‪,Yn (x) = sin(( 2 + nπ)x) :‬‬
‫‪.n = 0, 1, 2, ...‬‬
‫ג‪ .‬ערכים עצמיים‪ ,λn = (nπ)2 :‬פונקציות עצמיות‪,Yn (x) = ex sin((nπ)x) :‬‬
‫‪.n = 1, 2, ...‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪ .‬ערכים עצמיים‪ ,λn = ( 2 + nπ) :‬פונקציות עצמיות‪,Yn (x) = sin(( 2 + nπ) ln x) :‬‬
‫‪.n = 0, 1, 2, ...‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬ערך עצמי שלילי ‪ ,λ0 = −β02‬כאשר ‪ β0‬פתרון של המשוואה ‪cosh β − 2β sinh β = 0‬‬
‫ב‪ .‬לא!‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫ג‪√ λn .‬‬
‫‪n = 1, 2, ... ,Yn (x) = −2 λn cos( λn x) + sin( λn x) , λn = − 12 cos‬‬
‫‪sin λn‬‬
‫‪3‬‬
‫לא‪ ,‬ב‪ .‬כן! ‪ 1 − x‬פונקציה עצמית‪,‬‬
‫א‪.‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫ג‪n = 0, 1, 2, ... ,Yn (x) = − λn cos( λn x) + sin( λn x) , λn = tan λn .‬‬
‫‪4‬‬