docמטריצה הפוכה
download 
Report Transcription
מטריצה הפוכה
פרק 5 כל מטריצה הפוכה הזכ 5.1 הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה תהי Aמטריצה m nו־ xוקטור עם nקואורדינאטות .הפעולה Axמגדירה טרנספורמציה ממרחב Rn למרחב :Rmהטרנספורמציה הזאת מתאימה לכל וקטור 2 Rn x וקטור = y 2 Rm פעולה הפוכה לפעולה הנ״ל ,כלומר על טרנספורמציה שמתאימה לכל וקטור 2 Rm :Axנחשוב על yוקטור אחד ויחיד ות וי ממרחב :Rnטרנספורמציה הזאת מוגדרת ע״י מטריצה ,נגיד Bשמקיימת את השוויון :B y = xמסתבר שלא לכל מטריצה ניתן לבנות פעולה הפוכה שמקיימת את הדרישות הנ״ל .ניקח לדוגמא מטריצה 2 3 2 3 1 27 6 x :A = 6643 4775 ; x = 4 5 x 5 6 1 2 אוסף וקטורים 2 3 שמ x1 + 2 x2 7 7 y = Ax = 3x1 + 4x2 7 5 5x1 + 6x2 מרכיב מישור במרחב R3ולכן למערכת Ax = yאין פתרון לכל 6 6 6 4 yשלא שייך למישור הזה .אז בדוגמא הזאת לא ניתן לקיים את הדרישה ״לכל״ כלפי פעולה הפוכה .ניקח עכשיו מטריצה 3 2 ות ור 1 3 55 :A = 4 2 4 6 עבור מטריצה הזאת למערכת Ax = yיש אין סוף פתרונות ולכן גם פה לא נוכל לבנות פעולה הפוכה. משתי דוגמאות הנ״ל נובע שנוכל לבנות פעולה הפוכה רק למטריצה ריבועית .אז בפרק הזה נדבר רק על מטריצות ריבועיות .נראה איזה תנאים אלגבריים אמורה לקיים מטריצה :Bמטריצה Aמקיימת את השוויון Ax = y 85 )(5.1 .5.1 פרק .5מטריצה הפוכה ומטריצה Bמקיימת את השוויון הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה By = x )(5.2 לכל :x; y 2 Rnמשוויונים האלה נובע שמתקיים שוויון AB y = y כל לכל וקטור yוגם מתקיים שוויון BAx = x לכל וקטור :xמפה מייד נובע )ראה תרגיל ( 1שמטריצות A; Bמקיימות את השוויון AB = BA = I )(5.3 הזכ כאשר Iמטריצת היחידה. נסכם את הדיון שניהלנו בשתי הגדרות הבאות. הגדרה 5.1.1מטריצה ריבועית Annנקראת הפיכה אם למערכת משוואות = y לכל וקטור :y 2 Rn Axיש פתרון אחד ויחיד ות וי מהגדרה הזאת מייד נובע שמטריצה הפיכה אם ורק אם קבוצת וקטורי עמודות שלה בלתי תלויה ליניארית .בעזרת דרגה של מטריצה ניתן לנסח תנאי להפיכות גם כך .מטריצה Annהפיכה אם ורק אם :rankA = n הגדרה 5.1.2תהי Aמטריצה הפיכה ,כלומר למערכת Ax = yיש פתרון אחד ויחיד לכל :y 2 Rnמטריצה Bשמקיימת את השוויון = x השוויון :AB = BA = I B yנקראת מטריצה הפוכה של מטריצה :Aמטריצות A; Bמקיימות את נסמן מטריצה הפוכה של מטריצה Aכ־ 1 :Aאז ,מטריצה 1 Aמקיימת את השוויונים שמ AA 1 = A 1 A = I נצייו שאם למטריצה Aקיימת מטריצה Bכך ש־ = BA = I Ax = yניתן לעבור למערכת BAx = B yומערכת הזאת היא בעצם :x = B yזה מראה שלמערכת Ax = yיש פתרון אחד ויחיד לכל וקטור :y ABאז Aמטריצה הפיכה כי ממערכת # דוגמה 5.1.1תהי נבדוק ש־ אלכס גולדוורד ולביא קרפ # b a " a b c d " =A 1 d ad bc c 86 = 1 A ות ור נביא מספר דוגמאות לחשיוב זריז של מטריצה הפוכה. פרק .5מטריצה הפוכה כאשר bc 6= 0 .5.1 :adלשם כך נחשב # " = 1 0 0 1 # ab + ab ad bc ad bc cd cd " = ad 1 bc # " כל 3 דוגמה 5.1.2תהי 0 0 ::: b ::: 7 7 7 .. 7 . 7 5 b a . .. הזכ 3 7 7 7 7 7 5 0 0 .. . 1=w 6 6 6 6 . 6 .. 4 0 ::: w 0 0 ::: ::: 1=a 0 0 1=b מטריצה אלכסונית ו־ :a b : : : w 6= 0קל לראות ש־ . .. . .. .. . 0 ::: " ) adיש פרופורציה בין קואורדינאטות( ולכן 2 a .. . # a b ad 1 bc d c c d קבוצת עמודות של מטריצה Aתהיה תלויה ליניארית כאשר bc = 0 במקרה הזה מטריצה Aלא הפיכה. 0 הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה 0 =A 2 6 6 6 6 6 4 = 1 A ות וי אם :a b : : : w = 0אז אחת מעמודות של מטריצה Aוקטור אפס ולכן המטריצה לא הפיכה. דוגמה 5.1.3נוכיח שאם A; Bמטריצות הפיכות n nאז גם מטריצה ABהפיכה ו־ = AIA = AA = I 1 1 1 A BB 1 =A 1 B 1A 1 A 1 =B 1 ) : (AB )(AB נדון עכשיו איך לחשב מטריצה הפוכה באופן כללי .תהי Aמטריצה :n nלפי הגדרה של מטריצה הפוכה נחפש מטריצה Xשמקיימת את השוויון = I שמ AXכאשר Iמטריצת יחידה :n nאנחנו בעצם כבר למדנו איך לעשות את זה כאשר דיברנו על שיטת גאוס־ג׳ורדן )ראה דוגמה ) .( (4.2.9נחזור פה על התהליך הזה שוב. # דוגמה 5.1.4תהי מטריצה " 1 3 =A 2 4 AX = I ברור שמטריצה Xצריכה להיות :2 2נסמן נחשב אלכס גולדוורד ולביא קרפ # # " x1 x3 x2 x4 x3 + 3x4 2x3 + 4x4 =X x1 + 3x2 2x1 + 4x2 87 " = AX ות ור נחפש מטריצה הפוכה Xשל מטריצה :Aלפי הגדרה מטריצה Xמקיימת את השוויון פרק .5מטריצה הפוכה הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה .5.1 אז ,נפתור שתי מערכות משוואות 8 <x3 + 3x = 0 2x + 4x = 1 4 3 4 8 <x1 + 3x = 1 :2x + 4x = 0 2 & : 1 2 לשתי מערכות האלה יש אותה מטריצת מקדמים ־ מטריצה :Aלכן נוכל לפתור אותן בו זמנית כאשר באגף ימין נכתוב וקטורים של מקדמים חופשיים של המערכות האלה: כל # אז נפתור את המערכות האלה: # 1 R2 2 ! R2 1 0 2 1 הזכ # 2 3=2 1 1=2 מפה נובע ש־ 1 3 0 2 # " R 2 ! R 2 2R 1 " # 1 0 0 1 R 1 ! R 1 3R 2 " " # = 3=2 1=2 1 0 0 1 # x3 ; x4 0 1=2 " = 2 1 # 1 1 " 1 3 2 4 " 1 3 0 1 " x1 x2 ות וי ולכן, # 1 0 0 1 1 3 2 4 " # 2 3=2 1 1=2 " =X באופן כללי אלגוריתם לחישוב של מטריצה הפוכה ניתן לנסח כך: ] ! [I jA 1 Gauss Jordan ] [AjI )(5.4 שמ האלגוריתם הזה הוא בעצם פתרון של מערכת משוואות ולכן ,אם בשלב כלשהו של אלגוריתם )(5.4 מתקבלת שורת אפסים באגף שמאל אז מטריצה הפוכה לא קיימת. בעזרת מטריצה הפוכה ניתן לכתוב נוסחה לפתרון של מערכת משוואות לינארית עם מטריצת מקדמים ריבועית כאשר יש למערכת הזאת פתרון יחיד .אם ות ור Ax = b מערכת משוואות שמקיימת את התנאים הנ״ל .ע״י הכפלת שני אגפים שלה במטריצה נוסחה לפתרון והיא x=A b 1 אלכס גולדוורד ולביא קרפ 88 1 Aמתקבלת פרק .5מטריצה הפוכה 5.2 .5.2 תרגילים תרגילים .1תהי :Annהוכח שאם Ax = xלכל וקטור x 2 Rnאז :A = I הדרכה :הסבר מדוע מהשוויון הנתון נובע ש־ :AI = I .2הוכח שמטריצה הפוכה של מטריצה משולשת עליונה עם איבירם באלכסון שונים מאפס גם מטריצה כל משולשת עליונה. .3חשב מטריצה הפוכה של מטריצות הבאות )מטריצות של משולש ( Pascal 3 הזכ 07 0777 0775 1 0 0 1 3 2 3 1 0 6 1 0 0 6 7 61 1 1 05 66 4 ; 641 1 0775 ; 66 61 2 1 1 1 2 1 4 1 3 2 3 2 ונסה להכליל את התוצאות. .4חשב מטריצה הפוכה של מטריצות הבאות 3 ות וי )מטריצות ( Hadamard H2 5 H2 3 2 2 1 1 1 17 2 7 7 1 1 1 1 H 1 1 7; H = 4 = 5; H H =4 7 1 1 1 1 1 175 H 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 4 3 2 3 2 2 1 רמז לדרך זריזה :חשב את :H T H שמ ות ור אלכס גולדוורד ולביא קרפ 89
