וקטורים וערכים עצמיים

‫כל‬
‫פרק ‪7‬‬
‫וקטורים וערכים עצמיים‬
‫הזכ‬
‫‪7.1‬‬
‫הגדרה‪,‬חישוב ותכונות‬
‫נתחיל מהגדרה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 7.1.1‬וקטור ‪ u 6= 0‬נקרא וקטור עצמי של מטריצה ריבועית ‪ A‬אם מתקיים השוויון‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪Au = u‬‬
‫מספר נקרא ערך עצמי של מטריצה ‪:A‬‬
‫‪#‬‬
‫דוגמה ‪ 7.1.1‬תהי‬
‫"‬
‫‪1 4‬‬
‫= ‪ :A‬וקטור‬
‫‪2 3‬‬
‫‪#‬‬
‫)‪(7.1‬‬
‫"‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ u‬הוא וקטור עצמי של מטריצה ‪ A‬כי ‪:Au = 5u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫שמ‬
‫דוגמה ‪ 7.1.2‬תהי ‪ P‬מטריצת הטלה על ישר ‪ :y = 2x 3‬הווקטור ‪1‬‬
‫= ‪ u‬הוא וקטור עצמי של מטריצה ‪ P‬עם‬
‫‪2‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫ערך עצמי ‪ = 1‬כי הוא שווה להיטל שלו‪ ,‬כלומר מתקיים השוויון ‪ :Au = 1 u‬כמו כן‪ ,‬הווקטור ‪2‬‬
‫= ‪ v‬הוא‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫גם וקטור עצמי של מטרימה ‪ P‬כי הוא מאונך לישר הנתון ולכן היטל שלו על הישר הזה שווה וקטור אפס‪ ,‬כלומר‪,‬‬
‫מתקיימת משוואה ‪:Av = 0 = 0 v‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫נראה עכשיו מה היא תועלת במושג החדש‪ .‬נניח שמטריצה ‪ A‬היא ‪ :n n‬כמו כן‪ ,‬נניח שיש לה ‪n‬‬
‫וקטורים עצמיים ‪ u1 ; u2 ; : : : ; un‬שמהווים קבוצה בלתי תלויה לינארית ו־‬
‫‪Au1 = 1 u1 ; Au2 = 2 u2 ; : : : ; Aun = n un‬‬
‫אם כך‪ ,‬נוכל לרשום כל וקטור ‪ x 2 Rn‬כצירוף לינארי‪:‬‬
‫‪x = 1 u1 + 2 u2 + : : : ; n un‬‬
‫‪101‬‬
‫‪.7.1‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫הגדרה‪,‬חישוב ותכונות‬
‫מפה נובע ש־‬
‫‪Ax = 1 Au1 + 2 Au2 + : : : ; n Aun = 1 1 u1 + 2 2 u2 + : : : ; n n un‬‬
‫באופן דומה‬
‫‪x = A(Ax) = 1 u1 + 2 u2 + : : : ; n n un‬‬
‫‪2‬‬
‫כל‬
‫ו־‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Ak x = 1 k1 u1 + 2 2k u2 + : : : ; n kn un‬‬
‫אנו רואים שידע על וקטורים עצמיים של מטריצה חוסך בחישוב חזקות שלה )יותר מדויק‪ ,‬בחישוב כפל‬
‫של חזקה שלה בווקטור‪ .‬בהמשך נדבר גם על חישוב של חזקת מטריצה בעזרת וקטורים עצמיים(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪v‬‬
‫;‬
‫ות‬
‫וי‬
‫הזכ‬
‫דוגמה ‪ 7.1.3‬נניח שיש לנו אוכלוסיה שמורכבת משני סוגים של תושבים )זאת יכולה להיות אוכלוסיה של אנשים‬
‫שגרים בכפר ובעיר או אוכלוסיה של חולים ובריאים או אוכלוסיה של חלקיקים משני סוגים וכדומה(‪ .‬נניח שגודל‬
‫של אוכלוסיה לא משתנה אלא יש מעבר בין שני סוגים‪ .‬למשל‪ ,‬תוך יחידת זמן ‪ 1=2‬מסוג ראשון הופך לסוג שני ו־‬
‫‪ 4=5‬מסוג שני הופך לסוג ראשון‪ .‬נניח שבהתחלה היו ‪ x0‬תושבים מסוג ראשון ו־ ‪ y0‬תושבים מסוג שני‪ .‬נסמן ב־‬
‫‪ xk‬מספר תושבים מסוג ראשון כעבור ‪ k‬יחידות זמן וב־ ‪ yk‬מספר תושבים מסוג שני כעבור ‪ k‬יחידות זמן‪ .‬אז נוכל‬
‫לרשום ש־‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪0‬‬
‫=‪; A‬‬
‫‪= Ak‬‬
‫‪y0‬‬
‫‪0:5 0:2‬‬
‫‪yk‬‬
‫ננסה לחשב התפלגות האוכלוסיה הזאת כאשר יעבור הרבה זמן כלומר נחשב ‪ : limk!1 xk =yk‬וקטורים = ‪u‬‬
‫‪#‬‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫"‬
‫‪ 8‬מקיימים את השוויונים ‪0:3v‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪) Au = u; Av‬עוד מאט נדע איך לחשב אותם(‪.‬‬
‫הוקטורים האלה מהווים בסיס של ‪ R2‬ולכן נוכל לרשום ש־ ‪= 1 u + 2 v‬‬
‫לכן‪,‬‬
‫‪= A (1 u + 2 v) = 1 u + ( 0:3) v; klim‬‬
‫‪!1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪#‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪yk‬‬
‫"‬
‫שמ‬
‫‪= 1 u‬‬
‫‪#‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪yk‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪y0‬‬
‫"‬
‫מפה נובע ש־ ‪: limk!1 xk =yk = 8=5‬‬
‫נראה איך מוצאים וקטורים וערכים עצמיים‪ .‬נרשום משוואה וקטורית )‪ (7.1‬כ־‬
‫‪(Au I )u = 0‬‬
‫)‪(7.2‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫כאשר ‪ I‬היא מטריצת יחידה‪ .‬המשוואה הזאת היא מערכת משוואות הומוגנית‪ .‬על מנת שיהיה לה פתרון‬
‫שונה מווקטור אפס )הרי ‪ ( u 6= 0‬יש לדרוש ש־‬
‫‪det(A I ) = 0‬‬
‫)‪(7.3‬‬
‫המשוואה הזאת נקראת משוואה אופיינית והפולינום והפולינום ) ‪det(A I‬‬
‫מטריצה ‪ :A‬משוואה אופיינית מכילה רק נעלם אחד ולכן חיפוש של וקטורים וערכים עצמיים בהעדר שום‬
‫נקרא פולינום אופייני של‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪102‬‬
‫‪.7.1‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫הגדרה‪,‬חישוב ותכונות‬
‫מידע נוסף מתחילים מלפתור את המשוואה הזאת‪ .‬אחרי שמתקבלים פתרונות מציבים כל אחד מהם‬
‫לכוד במערכת הומוגנית )‪ (7.2‬ומוצאים וקטורים עצמיים ששייכים לערך עצמי שהוצב במערכת‪ .‬נעיר‬
‫שדרגה של פולינום אופייני של מטריצה ‪ n n‬שווה ‪ n‬כי בפולינום ) ‪det(A I‬‬
‫יש איבר‬
‫) ‪(a11 )(a22 ) : : : (ann‬‬
‫כל‬
‫כאשר ‪ aii ; i = 1; : : : ; n‬הם איברים באלכסון הראשי של מטריצה ‪ :A‬מפה נובע שלמטריצה ריבועית‬
‫‪ n n‬יש לכל היותר ‪ n‬ערכים עצמיים שונים זה מזה‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬מספר וקטורים עצמיים של כל‬
‫מטריצה )במידה ויש אותם( הוא אין סוף כי אם‬
‫‪A x = x‬‬
‫הזכ‬
‫אז לכל מספר ‪ 6= 0‬מתקיים‬
‫)‪A (x) = Ax = (x) = (x‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם ‪ x‬וקטור עצמי של מטריצה ‪ A‬אז גם וקטור ‪ x‬הוא וקטור עצמי של מטריצה ‪ A‬לכל מספר‬
‫‪ : 6= 0‬מבחינה גיאומטרית‪ ,‬אוסף וקטורים ‪ x‬הוא ישר שעובר דרך הראשית‪ .‬לכן אנחנו יכולים לקרוא‬
‫ות‬
‫וי‬
‫לאוסף וקטורים עצמיים‬
‫‪x; 6= 0‬‬
‫ישר עצמי של מטריצה ‪:A‬‬
‫למרות שמספר וקטורים עצמיים )אם יש אותם( אין סופי‪ ,‬מספר וקטורים עצמיים בלתי תלוים של‬
‫מטריצה ריבועית ‪ n n‬לא עולה על ‪ n‬כי במרחב ‪ n‬מימדי לא יכול להיות יותר מ־ ‪ n‬וקטורים עצמיים‬
‫בלתי תלוים‪.‬‬
‫הערה ‪ 7.1.1‬מספר ערך עצמי של מטריצה ריבועית ‪ A‬אם ורק אם הוא ערך עצמי של מטריצה ‪ AT‬כי‬
‫דוגמה ‪ 7.1.4‬נחשב וקטורים וערכים עצמיים של מטריצה‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫נרכיב את המשוואה האופיינית‬
‫‪=0‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪:A = 6‬‬
‫‪4 1 1 1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪103‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪det 64 1‬‬
‫‪1‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪3‬‬
‫שמ‬
‫) ‪I‬‬
‫‪= det(A‬‬
‫‪I ) = det(A I )T‬‬
‫‪det(AT‬‬
‫‪.7.1‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫הגדרה‪,‬חישוב ותכונות‬
‫אחרי חישוב של דטרמיננטה מתקבלת משוואה‬
‫‪32‬‬
‫‪3 = 0‬‬
‫השורשים שלה הם ‪:1 = 0; 2 = 3‬‬
‫נחשב וקטורים עצמיים של ערך עצמי ‪ = 0‬ע״י פתרון המערכת ‪ :Ax = 0‬קבוצת הפתרונות שלה מתוארת ע״י נוסחה‬
‫‪3‬‬
‫כל‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪17 6 1‬‬
‫‪1 75 + t 64 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= s 64‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s t‬‬
‫‪s‬‬
‫‪t‬‬
‫‪6‬‬
‫‪= 64‬‬
‫‪x‬‬
‫כלומר קבוצת וקטורים עצמיים ששייכים לערכך עצמי ‪ = 0‬היא‬
‫‪39‬‬
‫>‬
‫>‬
‫=‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫>‪5‬‬
‫>‬
‫;‬
‫הזכ‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫)חוץ מווקטור אפס(‪.‬‬
‫של ערך עצמי‬
‫וקטורים‬
‫‪2‬‬
‫עצמיים ‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫נחשב ‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫נוסחה ‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪= t 64 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪7 6‬‬
‫‪7;6‬‬
‫‪5 4‬‬
‫‪82‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪<6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Span‬‬
‫‪ = 3‬ע״י פתרון המערכת ‪3I )x = 0‬‬
‫מתוארת ע״י‬
‫שלה‬
‫‪ :(A‬קבוצת הפתרונות ‪9‬‬
‫‪82‬‬
‫‪3‬‬
‫‪t‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ ; x = 6‬כלומר קבוצת וקטורים עצמיים ששייכים לערכך עצמי ‪ = 0‬‬
‫‪4 t‬‬
‫‪t‬‬
‫>‬
‫>‬
‫=‪7‬‬
‫היא ‪7‬‬
‫>‪5‬‬
‫>‬
‫;‬
‫ות‬
‫וי‬
‫)חוץ מווקטור אפס(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪<6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫>‬
‫>‬
‫‪:‬‬
‫‪Span‬‬
‫נכיר שתי תכונות פשוטות שיכולות לעזור בחישוב של ערכים עצמיים‪.‬‬
‫טענה ‪ 7.1.1‬מספר ‪ = 0‬הוא ערך עצמי של מטריצה ריבועית ‪ A‬אם ורק אם ‪: det A = 0‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ .‬מספר הוא ערך עצמי של מטריצה ‪ A‬אם ורק אם ‪: det(A I ) = 0‬‬
‫טענה ‪ 7.1.2‬אם סכום איברים בכל שורה של מטריצה קבוע אז הסכום הזה הוא ערך עצמי של המטריצה‬
‫הנידונה ולערך עצמי הזה יש וקטור עצמי שכל הקואורדינטות שלו שוות ‪:1‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 .. 7‬‬
‫‪6.7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6c7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 .. 7‬‬
‫‪6.7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪=c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪#‬‬
‫דוגמה ‪ 7.1.5‬תהי‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫"‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 .. 7‬‬
‫‪6.7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an1 + an2 + : : : + ann‬‬
‫‬
‫‪a11 a12 : : : a1n‬‬
‫‪a21 a22 : : : a2n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪an1 an2 : : : ann‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 a21‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪a11 + a12 + : : : + a1n 7‬‬
‫‪+ a22 + : : : + a2n 777‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫שמ‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 2 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫= ‪ A‬מטריצת סיבוב בזווית ‪ =2‬נגד כיוון השעון‪ .‬גיואמטרית ברור שאין לה וקטורים‬
‫עצמיים ב־ ‪ R2‬ולכן אין לה ערכים עצמיים ממשיים‪ .‬אבל‪ ,‬יש לה ערכים עציים מרוכבים‪ .‬משוואה אופיינית שלה היא‬
‫‪= 2 + 1 = 0‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪#‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪104‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫"‬
‫‪det‬‬
‫‪.7.1‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫הגדרה‪,‬חישוב ותכונות‬
‫שלהם‪.‬‬
‫וערכים עצמיים ‪ :1 = i; 2 = i‬נמצא וקטורים עצמיים‬
‫‪#‬‬
‫עבור ‪ = i‬נפתור את המערכת ‪ :(A iI )x = 0‬הפתרון שלה‬
‫‪1‬‬
‫"‬
‫‪i‬‬
‫ששייכים לערך עצמי הזה‪.‬‬
‫עבור ‪ = i‬נפתור את המערכת ‪ :(A + iI )x = 0‬הפתרון שלה‬
‫‪#‬‬
‫‪ t‬וזה אוסף וקטורים עצמיים )חוץ מווקטור אפס(‬
‫"‬
‫‪1‬‬
‫‪ t‬וזה אוסף וקטורים עצמיים )חוץ מווקטור‬
‫‪i‬‬
‫כל‬
‫אפס( ששייכים לערך עצמי הזה‪.‬‬
‫בדוגמה הזאת לראשונה מופיעים וקטורים עם קואורדינאטות מרוכבות‪ .‬אנו נחזור להם בהמשך הספר‪.‬‬
‫תכונות של וקטורים עצמיים‬
‫‪ .1‬וקטור עצמי לא יכול להשתייך לערכים עצמיים שונים זה מזה‪.‬‬
‫הזכ‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־‬
‫ =‪Ax = x; Ax = x; 6‬‬
‫מפה נובע ש־‬
‫‪( )x = 0‬‬
‫וזה סותר את הנתונים כי =‪ 6‬ו־ ‪:x 6= 0‬‬
‫‬
‫שלהם‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪ .2‬אם ‪ fa; b; : : : ; wg‬וקטורים עצמיים של מטריצה ‪ A‬ששייכים לאותו ערך עצמי אז גם צירוף ליניארי‬
‫‪1 2 : : : p 6= 0‬‬
‫;‪x = 1 a + 2 b + : : : + p w‬‬
‫הוא וקטור עצמי של מטריצה ‪ A‬ששייך לאותו ערך עצמי ‪:‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫שמ‬
‫= ‪Ax = A (1 a + 2 b + : : : + p w) = 1 Aa + 2 Ab + : : : + p Aw‬‬
‫‪1 a + 2 b + : : : + p w = x‬‬
‫‬
‫‪ .3‬וקטורים עצמיים של מטריצה ‪ A‬ששייכים לערכים עצמיים שונים זה מזה מהווים קבוצה בלתי תלויה‬
‫ליניארית‪.‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫הוכחה‪ .‬נגיד ש־‬
‫‪Au = 1 u1 ; Au2 = 2 u2 ; : : : ; Aun = n un‬‬
‫אם הקבוצה ‪ fu1 ; u2 ; : : : ; un g‬היתה תלויה ליניארית אז לפחות אחד מווקטורי הקבוצה היה צירוף‬
‫ליניארי של האחרים‪ .‬נגיד שזה וקטור ‪ .u‬אז ‪2 Span fu ; : : : ; ung‬‬
‫הנ״ל הוא קבוצה ‪ fu ; : : : ; up g‬כאשר ‪ .p n 1‬אז‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 2 u2 + : : : + p up‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪105‬‬
‫‪u1‬‬
‫‪ .u1‬נגיד שבסיס של הפרישה‬
‫)‪(7.4‬‬
‫‪.7.1‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫הגדרה‪,‬חישוב ותכונות‬
‫נכפיל שני אגפים של שוויון )‪ (7.4‬בערך עצמי ‪: 1‬‬
‫‪1 u1 = 2 1 u2 + : : : + p 1 up‬‬
‫)‪(7.5‬‬
‫נכפיל שני אגפים של שוויון )‪ (7.4‬במטריצה ‪ A‬ונקבל‬
‫כל‬
‫‪1 u1 = Au1 = 2 2 u2 + : : : + p p up‬‬
‫)‪(7.6‬‬
‫עכשיו נחסיר מהשוויון )‪ (7.6‬את השוויון )‪:(7.5‬‬
‫‪2 (2 1 ) u2 + : : : + p (p 1 ) up = 0‬‬
‫הקבוצה ‪ fu2 ; : : : ; up g‬בלתי תלויה ולכן‬
‫הזכ‬
‫‪2 (2 1 ) = : : : = p (p 1 ) = 0‬‬
‫אנחנו יודעים ש־ ‪ 2 ; : : : ; p 6= 0‬כי ‪ u1‬וקטור עצמי‪ .‬לכן קיים ערך עצמי ‪ i‬כאשר ‪ i 6= p‬כך ש־‬
‫‬
‫‪ i = p‬וזה סותר את הנתון שכל הערכים העצמיים שונים זה מזה‪.‬‬
‫מטענה אחרונה נובע שאם למטריצה ריבועית ‪ n n‬יש בדיוק ‪ n‬ערכים עצמיים שונים זה מזה אז‬
‫ות‬
‫וי‬
‫יש לה בדיוק ‪ n‬וקטורים עצמיים בלתי תלוים‪.‬‬
‫שמ‬
‫ות‬
‫ור‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪106‬‬
‫‪.7.2‬‬
‫לכסון של מטריצה ריבועית‬
‫‪7.2‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫לכסון של מטריצה ריבועית‬
‫תהי ‪ A‬מטריצה ‪ n n‬עם ‪ n‬וקטורים עצמיים ‪ fu1 ; u2 ; : : : ; un g‬בלתי תלויים לינארית‪ .‬נרשום אותם‬
‫כעמודות של מטריצה ‪: P‬‬
‫כל‬
‫נגיד ש־‬
‫] ‪P = [u1 ; u2 ; : : : ; un‬‬
‫‪Au1 = 1 u1 ; Au2 = 2 u2 ; : : : ; Aun = n un‬‬
‫כאשר המספרים‬
‫‪1 ; 2 ; : : : ; n‬‬
‫לאו דווקא שונים זה מזה‪ .‬נחשב‪:‬‬
‫הזכ‬
‫] ‪AP = A [u1 ; u2 ; : : : ; un ] = [Au1 ; Au2 ; : : : ; Aun ] = [1 u1 ; 2 u2 ; : : : ; n un‬‬
‫‪3‬‬
‫נרכיב מטריצה ריבועית אלכסונית‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1 0 : : :‬‬
‫‪0 2 : : :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 : : : n‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫ונחשב‪:‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫] ‪= [1 u1 ; 2 u2 ; : : : ; n un‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1 0 : : :‬‬
‫‪0 2 : : :‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 : : : n‬‬
‫מפה נובע ש־ ‪ :AP = P‬יותר מזה‪ ,‬המטריצה ‪ P‬הפיכה ולכן‬
‫ו־‬
‫‪1‬‬
‫‪A = P P‬‬
‫אנחנו הוכחנו טענה הבאה‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫ ] ‪P = [u1 ; u2 ; : : : ; un‬‬
‫שמ‬
‫‪ = P 1 AP‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(7.7‬‬
‫)‪(7.8‬‬
‫‪A = P P‬‬
‫משפט ‪ 7.2.1‬אם למטריצה ‪ Ann‬יש ‪ n‬וקטורים עצמיים בלתי תלויים אז מתקיים השוויון‬
‫כאשר עמודות של מטריצה ‪ P‬הן וקטורים עצמיים הנ״ל ומטריצה ‪ D‬אלכסונית עם ערכים עצמיים של מטריצה‬
‫‪1‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪ A‬באלכסון‪.‬‬
‫במשפט הנ״ל למדנו בעצם איך לפרק מטריצה שמקיימת תנאים שצוינו במשפט למכפלה של שלוש‬
‫מטריצות שמבנה שלהן נקבע ע״י וקטורים וערכים עצמיים של המטריצה הנתונה‪ .‬בהמשך אנחנו נראה‬
‫איך בעזרת פירוק הזה לחשב באופן יעיל חזקה של מטריצה‪ .‬עכשיו נוכיח שגם משפט הפוך למשפט הנ״ל‬
‫נכון‪.‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪107‬‬
‫‪.7.2‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫לכסון של מטריצה ריבועית‬
‫משפט ‪ 7.2.2‬אם מטריצה ריבועית ‪ A‬מקיימת את השוויון ‪ A = P P 1‬כאשר מטריצה ‬
‫עמודות של מטריצה ‪ P‬הן וקטורים עצמיים של ‪ A‬ואיברי אלכסון של מטריצה הם ערכים עצמיים של ‪.A‬‬
‫אלכסונית אז‬
‫כל‬
‫הנתון כ־ ‪P‬‬
‫הוכחה‪ .‬נרשום את השוויון‬
‫‪3‬‬
‫‪::: 0 7‬‬
‫‪: : : 0 777‬‬
‫] ‪ [u1 ; u2 ; : : : ; un‬כמו כן‪ ,‬נגיד ש־ ‪. 7‬‬
‫‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪..‬‬
‫= ‪2 :AP‬נציין במפורש את העמודות של מטריצה = ‪:P‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 0 2‬‬
‫‪ : = 6‬נחשב‪:‬‬
‫‪6 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪0 : : : n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫] ‪AP = A [u1 ; u2 ; : : : ; un ] = [Au1 ; Au2 ; : : : ; Aun‬‬
‫‪3‬‬
‫הזכ‬
‫] ‪= [1 u1 ; 2 u2 ; : : : ; n un‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1 0 : : :‬‬
‫‪0 2 : : :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫ ] ‪P = [u1 ; u2 ; : : : ; un‬‬
‫‪0 : : : n‬‬
‫לכן‪:Au1 = 1 u1 ; Au2 = 2 u2 ; : : : ; Aun = n un ,‬‬
‫בפירוק ‪ A = P P 1‬מטריצה אמצעית אלכסונית‪ .‬זאת הסיבה להגדרה הבאה‪.‬‬
‫‬
‫ות‬
‫וי‬
‫הגדרה ‪ 7.2.1‬תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית‪ .‬אם קיימת מטריצה הפיכה ‪ P‬כך שמתקיים השוויון‬
‫‪A = P P‬‬
‫‪1‬‬
‫כאשר ‬
‫מטריצה אלכסונית‪ ,‬אז מטריצה ‪ A‬נקראת לכסינה‪.‬‬
‫משני משפטים הקודמים ומההגדרה הנ״ל נובעת מסקנה הבאה‪.‬‬
‫מטריצה ריבועית ‪ n n‬לכסינה אם ורק אם יש לה ‪ n‬וקטורים עצמיים בלתי תלויים‪.‬‬
‫שמ‬
‫הערה ‪ 7.2.1‬אם בהגדרה ‪ 7.2.1‬הערכים העצמיים באלכסון של מטריצה ‪ D‬כולם ממשיים אז נקרא למטריצה ‪A‬‬
‫לכסינה מעל ‪ ; R‬ואם חלק מערכים האלה מרוכבים אז נקרא למטריצה ‪ A‬לכסינה מעל ‪:C‬‬
‫‪3‬‬
‫יש מטריצות שלכסינות מעל ‪C‬‬
‫‪3‬‬
‫דוגמה ‪7.2.1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫)הקורא מתבקש לבדוק את זה(‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫נוכיח שמטריצה‬
‫‪.. 7‬‬
‫‪. 7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪:::‬‬
‫‪:::‬‬
‫‪.‬‬
‫‪:::‬‬
‫הנתונה כי דטרמיננטה שלה שווה אפס‪.‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪..‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 .‬‬
‫‪6 ..‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫ויש מטריצות לא לכסינות כלל‪,‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫למשל מטריצה‬
‫‪5‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫ולא לכסינות מעל ‪ ; R‬למשל‬
‫‪5‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Ann‬לכסינה‪ .‬ברור ש־ ‪ = 0‬הוא ערך עצמי של המטריצה‬
‫‪1 1‬‬
‫לערך עצמי הזה יש ‪1‬‬
‫‪108‬‬
‫‪ n‬וקטורים עצמיים בלתי תלויים כלמערכת הומוגנית‬
‫‪.7.2‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫לכסון של מטריצה ריבועית‬
‫‪= [1; 1; : : : ; 1]T‬‬
‫‪ Ax = 0‬יש ‪ n 1‬פתרונות בלתי תלויים )אחרי דירוג נשארת רק משוואה אחת(‪ .‬כמו כן‪ ,‬הווקטור‬
‫הוא וקטור עצמי של מטריצה ‪ A‬ששייך לערך עצמי ‪ = n‬כי ‪ :Au = nu‬מתכונה ‪ 3‬של וקטורים עצמיים נובע‬
‫שווקטור הזה יחד עם ‪ n 1‬וקטורים קודמים מרכיבים קבוצה בלתי תלויה לינארית‪.‬‬
‫נעבור לחישוב חזקה של מטריצות לכסינות‪ .‬אם מטריצה ‪ A‬לכסינה אז‬
‫כל‬
‫‪= P 3 P 1 ; : : :‬‬
‫‪3‬‬
‫כמו כן‪ ,‬אם‬
‫‪1 0 : : :‬‬
‫‪0 2 : : :‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 : : : n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫אז‬
‫הזכ‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= P 2 P 1 ; A3 = P P 1 P 2 P‬‬
‫‪Ak = P k P 1‬‬
‫‪#‬‬
‫דוגמה ‪ 7.2.2‬תהי‬
‫"‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k1 0 : : :‬‬
‫‪0 k2 : : :‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 : : : kn‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u‬‬
‫‪ A = P P‬ו־‬
‫‪A2 = P P 1 P P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪k‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪0:8 0:1‬‬
‫= ‪ :A‬נחשב ‪ : limk!1 Ak‬הערכים העצמיים של ‪ A‬הם ‪ :1 = 0:9; 2 = 0:8‬לכן‪,‬‬
‫‪1:6 0:7‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫‪0:9‬‬
‫‪0 P 1 ; Ak = P 0:9k‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A=P‬‬
‫‪P 1‬‬
‫‪0 0:8‬‬
‫‪0 ( 0:8)k‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim A = P‬‬
‫= ‪P‬‬
‫‪t!1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫ריבוב אלגברי וריבוב גאומטרי‬
‫הגדרה ‪ 7.2.2‬תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ‪ :n n‬נפרק את הפולינום האופייני שלה לגורמים‪:‬‬
‫שמ‬
‫‪det [A I ] = ( 1)n ( 1 )m1 ( i )mi ( p )mp‬‬
‫‪ .1‬המספר ‪ mi‬נקרא ריבוב אלגברי של ערך עצמי ‪:i‬‬
‫‪3‬‬
‫דוגמה ‪7.2.3‬‬
‫‪2‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪ .2‬מספר וקטורים עצמיים בלתי תלוים של ערך עצמי ‪ i‬נקרא ריבוב גיאומטרי של ערך עצמי הזה‪.‬‬
‫‪1 1 17‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪A = 41 1 17‬‬
‫)‪5 ; det[A I ] = ( 3‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫ריבוב אלגברי של ערך עצמי ‪ = 0‬הוא ‪ 2‬ושל ערך עצמי ‪ = 3‬הוא ‪:1‬‬
‫לערך עצמי ‪ = 0‬יש ‪ 2‬וקטורים עצמיים בלתי תלוים )ראה דוגמה ‪ .( 7.1.4‬לכן ריבוב גיאומטרי שלו שווה ‪.2‬‬
‫לערך עצמי ‪ = 3‬יש וקטור עצמי בלתי תלוי אחד‪ .‬לכן ריבוב גיאומטרי שלו שווה ‪.1‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪109‬‬
‫‪.7.2‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫לכסון של מטריצה ריבועית‬
‫בין ריבוב גיאומטרי וריבוב אלגברי של אותו ערך עצמי יש קשר מעניין‪.‬‬
‫משפט ‪ 7.2.3‬לכל ערך עצמי הריבוב הגיאומטרי אינו גדול מהריבוב האלגברי שלו‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח שמספר הוא ערך עצמי של מטריצה ‪ Ann‬עם ריבוב גיאומטרי ששווה ‪ ; p‬כלומר קיימים‬
‫כל‬
‫‪ p‬וקטורים ‪ u1 ; : : : ; up‬בלתי תלוים כך ש־‬
‫נרכיב מטריצה‬
‫‪Au1 = u1 ; : : : Aup = up ; p < n‬‬
‫] ‪P = [u1 ; : : : up ; up+1 ; : : : un‬‬
‫הזכ‬
‫כך שהקבוצה ‪ fu1 ; : : : up ; up+1 ; : : : un g‬תהיה בלתי תלויה ליניארית‪ .‬נחשב‬
‫] ‪AP = [u1 ; : : : up ; Aup+1 ; : : : Aun‬‬
‫נרכיב מטריצה ‬
‫כך שיתקיים השוויון‬
‫ות‬
‫וי‬
‫ ‪AP = P‬‬
‫מרכיבים אותה כך‪:‬‬
‫)‪(7.9‬‬
‫] ‪ = [a1 ; : : : ; ap ; bp+1 ; : : : ; bn‬‬
‫כל הקואורדינאטות של וקטור ‪ ai‬שוות אפס חוץ מקואורדינאטה מס׳ ‪ i‬והיא שווה ‪ :1‬נחשב‬
‫] ‪P = [P a1 ; : : : P ap ; P bp+1 ; : : : P bn ] = [u1 ; : : : up ; P bp+1 ; : : : P bn‬‬
‫שמ‬
‫וקטורי עמודות של מטריצה ‪ P‬מהוות בסיס ולכן קיימים וקטורים ‪ bp+1 ; : : : bn‬שיקיימו את השוויונים‬
‫‪Aui = P bi ; i = p + 1; : : : n‬‬
‫משוויון )‪ (7.9‬נובע ש־‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪A I = P ( I )P‬‬
‫‪110‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫לכן‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A = P P‬‬
‫‪.7.2‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫לכסון של מטריצה ריבועית‬
‫ו־‬
‫‪3‬‬
‫כל‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫= ] ‪det [A I ] = det [ I‬‬
‫‪0‬‬
‫‪b1 p+1‬‬
‫‪ b1n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)(‪ bp n = ( )pr‬‬
‫‪ bp n‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫ ‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ bp p‬‬
‫‪ 0 bp p‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪+1 +1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪...‬‬
‫ ‪ bn n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪bn p+1‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪det‬‬
‫‬
‫ות‬
‫וי‬
‫הזכ‬
‫מפה נובע שהריבוב האלגברי של ערך עצמי = לא קטן מ־ ‪:p‬‬
‫שמ‬
‫ות‬
‫ור‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪111‬‬
‫‪.7.3‬‬
‫‪7.3‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫תכונות נוספות של ערכים עצמיים‬
‫תכונות נוספות של ערכים עצמיים‬
‫תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ‪ :n n‬דרגה של הפולינום האופייני שלה‬
‫‪p() = det(A I ) = b0 + b1 + : : : + bn n‬‬
‫כל‬
‫שווה ‪ n‬ולכן לפי המשפט היסודי של אלגברה‬
‫) ‪p() = bn ( 1 )( 2 ) : : : ( n‬‬
‫ מופיע בפירוק הזה ‪ k‬פעמים אז‬
‫יתכן שבפירוק הנ״ל לא כל הגורמים שונים זה מזה‪ .‬אם גורם ‪p‬‬
‫אומרים שלערך עצמי ‪ p‬יש ריבוי אלגברי ששווה ‪:k‬‬
‫הזכ‬
‫משפט ‪ 7.3.1‬אם ‪ f1 ; 2 ; : : : ; n g‬היא רשימה מלאה של ערכים עצמיים של מטריצה‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪a11 a12 : : : a1n‬‬
‫‪a21 a22 : : : a2n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪A‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫‪an1 an2 : : : ann‬‬
‫‪2‬‬
‫)כלומר‪ ,‬כל ערך עצמי מופיע ברשימה הזאת מספר פעמים ששווה לריבוי אלגברי שלו( אז‬
‫‪1 2 : : : n = det A‬‬
‫‪1 + 2 + : : : + n = trA‬‬
‫כאשר ‪trA = a11 + a22 + : : : + ann‬‬
‫)עיקבה של מטריצה ‪.( A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= b0 + b1 + : : : + bn 1 n 1 + bn n‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪a1n‬‬
‫‪a2n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫שמ‬
‫הוכחה‪ .‬ערכים עצמיים של מטריצה ‪ A‬הם שורשים של פולינום אופייני‬
‫‪a11 a12 : : :‬‬
‫‪a21 a22 : : :‬‬
‫‪...‬‬
‫ ‪: : : ann‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪an2‬‬
‫‪an1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪p() = det‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫הדטרמיננטה הזאת היא סכום של מכפלות ולכן‪ ,‬האיבר ‪ bn n‬בפולינום האופייני מתקבל ממכפלה‬
‫) ‪ :(a11 )(a22 ) : : : (ann‬מפה נובע ש־ ‪ :bn = ( 1)n‬לפי משפט וויאטה מכפלת השורשים‬
‫‪1 2 : : : n = ( 1)n b0 =bn‬‬
‫ו־ ‪ :b0 = p(0) = det A‬לכן‪:1 2 : : : n = det A ,‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪112‬‬
‫‪.7.3‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫תכונות נוספות של ערכים עצמיים‬
‫‪1‬‬
‫נעבור עכשיו לסכום של ערכים עצמיים‪ .‬האיבר‬
‫) ‪)(a22 ) : : : (ann‬‬
‫‪ (a11‬כי על מנת לקבל‬
‫‪1‬‬
‫‪ bn 1 n‬בפולינום האופייני גם מתקבל ממכפלה‬
‫‪ n‬צריך ‪ n 1‬גורמים שמכילים את ומהגדרה‬
‫של דטרמיננטה נובע שזה יתקבל רק מאותה מכפלה‪ .‬נפתח סוגריים במכפלה הזאת ונקבל‬
‫‪(a11 )(a22 ) : : : (ann ) = ( 1)n n + ( 1)n+1 (a11 + a22 + : : : + ann )n 1 + : : :‬‬
‫כל‬
‫לכן‪= ( 1)n+1 trA ,‬‬
‫‪:1 + 2 + : : : + n = bn 1 =bn = trA‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ :bn‬לפי משפט וויאטה‬
‫‬
‫משפט הבא נותן אומדן למיקום של ערכים עצמיים במישור המרוכב‪.‬‬
‫משפט ‪ 7.3.2‬תהי‬
‫‪3‬‬
‫הזכ‬
‫‪a11 a12 : : : a1n‬‬
‫‪a21 a22 : : : a2n‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪an1 an2 : : : ann‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪A‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫נסמן ב־ ‪ ri‬סכום ערכים מוחלטים של איברים שלה בשורה מס׳ ‪ i‬לא כולל איבר באלכסון הראשי‪ ,‬כלומר‬
‫‪jaik j‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1;k6=i‬‬
‫= ‪ri‬‬
‫כל אחד מערכים עצמיים של מטריצה ‪ A‬שייך לפחות לאחד מהעיגולים‬
‫‪jz aiij ri‬‬
‫של המישור המרוכב‪.‬‬
‫שמ‬
‫הוכחה‪ .‬נגיד ש־ הוא ערך עצמי של ‪ A‬ווקטור ‪ x‬וקטור עצמי שלו‪ .‬נרשום את השוויון הווקטורי‬
‫‪ Ax = x‬לפי קואורדינטות‪:‬‬
‫‪ai1 x1 + ai2 x2 + : : : + ain xn = xi ; i = 1 : : : n‬‬
‫או‬
‫ות‬
‫ור‬
‫‪ai1 x1 + : : : + ai;i 1 xi 1 + ai;i+1 xi+1 + : : : + ain xn = ( aii )xi ; i = 1 : : : n‬‬
‫כאשר ‪ :x = [x1 ; x2 ; : : : xn ]T‬נגיד ש־ ‪ jxp j = maxi=1:::n jxi j‬ונכתוב שוויון מספר ‪p‬‬
‫בשוויונות )‪(7.10‬‬
‫‪ap1 x1 + : : : + ap;p 1 xp 1 + ap;p+1 xp+1 + : : : + apn xn = ( app )xp‬‬
‫משוויון הזה נובע ש־‬
‫‪japj jjxj j‬‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j =1:::n;j 6=p‬‬
‫‪113‬‬
‫ ‪j appjjxpj‬‬
‫)‪(7.10‬‬
‫‪.7.3‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫תכונות נוספות של ערכים עצמיים‬
‫נחלק שני אגפים של אי שוויון הזה ב־ ‪) jxp j‬הוא שונה מאפס כי ‪ x‬הוא וקטור עצמי( ונקבל ש־‬
‫‪japj j‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j =1:::n;j 6=p‬‬
‫ ‪j appj‬‬
‫‬
‫כל‬
‫הזכ‬
‫ות‬
‫וי‬
‫שמ‬
‫ות‬
‫ור‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪114‬‬
‫‪.7.4‬‬
‫פירוק ספקטראלי‬
‫‪7.4‬‬
‫פרק ‪ .7‬וקטורים וערכים עצמיים‬
‫פירוק ספקטראלי‬
‫נניח ש־ ‪ Ann‬מטריצה לכסינה‪ ,‬כלומר‬
‫‪1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪u1 u2‬‬
‫כל‬
‫כאשר ‪un‬‬
‫‪:::‬‬
‫‪h‬‬
‫= ‪ P‬ו־ ‪:Au1 = 1 u1 ; : : : ; Aun = n un‬‬
‫נשחלף שני אגפים של השוויון )‪:(7.11‬‬
‫ונסמן ‪)T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ :Q = (P‬אז‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A = P P‬‬
‫)‪(7.11‬‬
‫‪= QQ‬‬
‫‪AT = (P 1 )T P T‬‬
‫)‪(7.12‬‬
‫‪ AT‬או ‪ :AT Q = Q‬מפה נובע שעמודות של מטריצה ‪ Q‬הן וקטורים‬
‫‪i‬‬
‫‪h‬‬
‫עצמיים של מטריצה ‪:AT‬‬
‫בעזרת מטריצה ‪ Q‬נוכל לכתוב את הפירוק )‪ :(7.11‬בצורה הבאה‬
‫אם נסמן ‪vn‬‬
‫‪:::‬‬
‫‪v1 v2‬‬
‫= ‪ Q‬אז ‪:AT v1 = 1 v1 ; : : : ; AT vn = n vn‬‬
‫הזכ‬
‫‪A = P QT‬‬
‫)‪(7.13‬‬
‫נכתוב את המכפלה ‪ A = P QT‬כך‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪P QT = P‬‬
‫ות‬
‫וי‬
‫=‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7 T‬‬
‫‪7Q‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 0 : : :‬‬
‫‪0 2 : : :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 : : : n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= 1 u1 v1T + 2 u1 v2T + : : : + n u1 vnT‬‬
‫‪2‬‬
‫‪vT‬‬
‫‪6 17‬‬
‫‪6 T7‬‬
‫‪6v2 7‬‬
‫‪6 7‬‬
‫‪6 .. 7‬‬
‫‪6 . 7‬‬
‫‪4 5‬‬
‫] ‪[1 u1 ; 2 u2 ; : : : ; n un‬‬
‫‪vnT‬‬
‫שמ‬
‫אז קיבלנו נוסחה שנקראת פירוק ספקטראלי של מטריצה לכסינה ‪A‬‬
‫‪A = 1 u1 v1T + 2 u1 v2T + : : : + n u1 vnT‬‬
‫)‪(7.14‬‬
‫ות‬
‫ור‬
‫א‪ .‬גולדוורד‪ ,‬ל‪ .‬קרפ‬
‫‪115‬‬