אלגברה 2 מח - סיכום הרצאות של מרק ברמן הרצאה של יום ראשון, L708

‫אלגברה ‪ 2‬מח׳ ‪ -‬סיכום הרצאות של מרק ברמן‬
‫הרצאה של יום ראשון‪L708 ,‬‬
‫סמסטר אביב תשע״ה‬
‫‪7.6.2015‬‬
‫תמונת ספרת היחידה‪ :‬הגדרה של ספרת היחידה ב‪ .Rn -‬הצגה של אליפסואידים‪/‬פנים‬
‫של אליפסואיד לפי וקטורים אורתונורמליים‪ ,‬משפט שנותן תאור לתמונת ספרת‬
‫היחידה באמצעות פירוק ‪ SVD‬במקרים שונים‪ :‬כאשר העמודות של ‪ A‬בת׳׳ל או כאשר‬
‫הם ת״ל‪ .‬דוגמא‪ .‬תבניות ריבועיות‪ :‬הגדרה‪ ,‬דוגמאות וייצוג תבנית ריבועית על‬
‫ידי מטריצה סימטרית‪ .‬הגדרת‪ :‬תבנית נקראת חיובית לחלוטין אם‬
‫‪0‬‬
‫> ‪ xT Ax‬לכל‬
‫‪ ,x 6= 0‬ושאר ההגדרות המקבילות‪ .‬שינוי משתנים לינארי בתבנית ריבועית ‪M y‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫ושינוי משתנים אורתוגונלי זה כאשר ‪ M‬מטריצה אורתוגונלית‪ .‬טענה‪ :‬שינוי משתנים‬
‫שומר על חיוביות‪/‬חיוביות לחלוטין של תבנית‪ .‬משפט‪ :‬התבנית ‪ xT Ax‬חיובית‪/‬חיובית‬
‫לחלוטין אם ורק אם כל הערכים העצמיים של ‪ A‬אי‪-‬שליליים‪/‬חיוביים ממש‪ .‬תנאים‬
‫הכרחיים‪ ,‬אך לא מספיקים‪ ,‬כדי שתבנית תהיה חיובית לחלוטין‪:‬‬
‫)‪ (II) ;det(A) > 0 (I‬לכל ‪ i‬המקדם ‪a2ij > 0 (III) ;aii > 0‬‬
‫‪ aii ajj‬לכל ‪ .i 6= j‬דוגמאות‪.‬‬
‫‪31.5.2015‬‬
‫הופכי מוכלל ‪ Ay‬של מטריצה ‪ :A‬מוטיבציה‪ ,‬הגדרה‪ .‬ביטוי להופכי מוכלל לפי פירוק‬
‫‪ .SVD‬דיון על יחידות הופכי מוכלל‪ .‬דוגמא )חישוב הופכי מוכלל(‪ .‬נוסחא להופכי‬
‫מוכלל במקרה שהעמודות של המטריצה בת״ל‪ .‬דוגמא‪ .‬טענה‪ :‬נתונה מטריצה ‪A‬‬
‫‪ ,m n‬וקטור‬
‫‪2 Rm‬‬
‫‪b‬‬
‫ומערכת נורמלית ‪ ,(1) AT Ax = AT b‬מתקיימים א‪Ay b .‬‬
‫=‬
‫‪xy‬‬
‫פתרון ל‪ ;(1)-‬ב‪ .‬לכל פתרון ‪ x‬של )‪ (1‬ניתן לכתוב ‪ x = xy + u‬כך ש‪ ;u 2 Nul(A) -‬ג‪.‬‬
‫לכל פתרון ‪ x‬של )‪ (1‬מתקיים ‪ .kxy k kxk‬דוגמא‪ .‬קירוב מטריצות‪ ,‬מוטיבציה‪ ,‬קשר‬
‫לתחום של עיבוד תמונה‪ .‬הגדרה של מרחק בין מטריצות לפי המכפלה הפנימית‬
‫‪1‬‬
‫)‪B T A‬‬
‫(‪= tr‬‬
‫)‪B T A‬‬
‫(‪= tr‬‬
‫‪.hA; B i‬‬
‫טענה‪ :‬המטריצות ‪ fu^ i v^ iT g‬אורתונורמליות במכפלה הפנימית‬
‫‪ .hA; B i‬בהסתמך על הטענה חישוב הנורמה של מטריצה והמרחק בין‬
‫המטריצה עצמה לבין המטריצה שמקרבת אותה באמצעות הערכים הסינגולריים‪ .‬דיון‬
‫על יישומים לעיבוד תמונה‪.‬‬
‫‪17.5.2015, 16:00-19:00‬‬
‫פירוש גאומטרי של פירוק ספקטרלי‪ :‬דוגמאות‪.‬‬
‫ניסוח משפט פירוק ‪ :SVD‬לכל‬
‫מטריצה ‪ m n A‬מדרגה ‪ r‬קיים בסיס אורתונורמלי ‪ fv^ 1 ; : : : ; v^ r g‬של ) ‪ ;Col(AT‬בסיס‬
‫אורתונורמלי ‪ fu^ 1 ; : : : ; u^ r g‬של )‪ ;Col(A‬וסקלרים )ערכים סינגולריים(‬
‫‪ 1 2 r > 0‬כך ש‪ .A = 1 u^ 1 v^ 1T + : : : + r u^ r v^ rT -‬טענה‪ :‬לכל מטריצה ממשית‬
‫‪ ,A‬הערכים העצמיים של ‪ AT A‬הם אי‪-‬שליליים‪ .‬מציאת בסיס אורתונורמלי של ‪Rn‬‬
‫של‬
‫וקטורים עצמיים אורתונורמליים ‪ fv^ 1 ; : : : ; v^ n g‬של ‪ AT A‬כאשר ‪ fv^ 1 ; : : : ; v^ r g‬בסיס של‬
‫) ‪Col(AT‬‬
‫ו‪ fv^ r+1 ; : : : ; v^ n g -‬בסיס של )‪ .Nul(A‬הגדרה של ערכים סינגולריים ‪ i‬של ‪.A‬‬
‫הגדרה‪1 Av^ i :‬‬
‫ =‬
‫‪i‬‬
‫‪ u^ i‬לכל ‪ .i = 1; : : : ; r‬טענה‪ fu^ 1 ; : : : ; u^ r g :‬מהווה בסיס אורתונורמלי‬
‫של )‪ .Col(A‬דוגמא של חישוב פירוק ‪ SVD‬באמצעות המטריצה ‪ .AT A‬טענה‪ :‬אם‬
‫‪ A = 1 u^ 1 v^1T + : : : + r u^ r v^rT‬פירוק ‪ SVD‬של מטריצה ‪ A‬אזי ‪1 v^1 u^ T1 + : : : + r v^r u^ Tr‬‬
‫=‬
‫‪AT‬‬
‫פירוק ‪ SVD‬של ‪ .AT‬דוגמא של חישוב פירוק ‪ SVD‬כאשר פשוט יותר לחשב קודם את‬
‫הפירוק ‪ SVD‬של ‪.AT‬‬
‫‪17.5.2015, 09:00-12:00‬‬
‫טענה‪ :‬תהי ‪ A‬מטריצה שהיא או הרמיטית או יוניטרית‪ ,‬ויהיו ‪ z; w‬וקטורים עצמיים‬
‫של ‪ A‬עם ערכים עצמיים ; בהתאמה‪ .‬אם‬
‫ =‪6‬‬
‫‪ ,‬אזי מתקיים‬
‫‪?w‬‬
‫‪ .z‬הגדרה‬
‫של מטריצה אנטי‪-‬הרמיטית‪ ,‬מטריצה נורמלית‪ .‬הערה‪ :‬אם מטריצה ‪ A‬שייכת לאחד‬
‫מהקטגוריות הבאות‪ :‬הרמיטית‪ ,‬אנטי‪-‬הרמיטית‪ ,‬יוניטרית‪ ,‬אזי ‪ A‬נורמלית‪ .‬טענה‪ :‬אם‬
‫‪ U‬יוניטרית ו‪ A -‬נורמלית אזי ‪ U 1 AU‬נורמלית‪ .‬הלמה של שור‪ :‬תהי ‪ A‬מטריצה ‪,n n‬‬
‫‪2‬‬
‫אז קיימת ‪ n n U‬יוניטרית כך ש‪ U 1 AU -‬משולשת עליונה‪ .‬טענה‪ :‬אם ‪ A‬נורמלית וגם‬
‫משולשת עליונה אזי ‪ A‬אלכסונית‪ .‬משפט )פירוק ספקטרלי(‪ :‬אם ‪ A‬מטריצה נורמלית‬
‫אזי קיימת ‪ U‬יוניטרית כך ש‪ U 1 AU -‬אלכסונית‪ .‬צורות נוספות של הפירוק‪ :‬אם ‪A‬‬
‫נורמלית אזי מתקיימים‪ (1) :‬קיימת בסיס אורתונורמלי של ‪Cn‬‬
‫של ‪ (2) .A‬ניתן לכתוב‬
‫‬
‫‪Pn‬‬
‫‪^ iu‬‬
‫‪^H‬‬
‫‪i=1 i u‬‬
‫‪i‬‬
‫של וקטורים עצמיים‬
‫= ‪ A‬כאשר ‪ u^ 1 ; : : : ; u^ n‬בסיס אורתונורמלי של ‪.Cn‬‬
‫הערה‪ :‬במקרה ש‪ A -‬סימטרית ניתן לבחור בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים‬
‫של ‪ A‬כך שכל הקואורדינטות שלהם ממשיות‪ .‬דוגמא‪ .‬תזכורת‪ :‬אם ‪ A‬מטיצרה‬
‫מלוכסנת ומתקיים ‪D‬‬
‫‪ P 1 AP‬כאשר ‪ D‬אלכסונית אזי לכל מספר טבעי ‪ m‬מתקיים‬
‫=‬
‫‪ ;Am = P Dm P 1‬קשר לפירוק ספקטרלי‪.‬‬
‫‪10.5.2015‬‬
‫דוגמא של מטריצה‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫עם שני ערכים עצמיים לא ממשיים‪ .‬הבעית של לכסון‬
‫מטריצה; לכסון על ידי מטריצה עם מקדמים מרוכבים‪ .‬הגדרה של המרחב ‪ ,Cn‬הגדרה‬
‫של אוסף מטריצות ‪ .Cmn‬השחלוף ההרמיטית ‪ ;AH‬טענה‪ :‬לכל ‪A 2 Cmn ; B 2 Cnk‬‬
‫מתקיימים א‪A B .‬‬
‫=‬
‫‪ ,AB‬ב‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪= ( T‬‬
‫‪ ,(A)T‬ג‪B H AH .‬‬
‫=‬
‫‪ ,(AB )H‬ד‪A .‬‬
‫=‬
‫‪. (A H )H‬‬
‫הגדרה של מכפלה פנימית סטנדרטית ב‪ .Cn -‬תכונות של המכפלה הפנימית הזאת‪:‬‬
‫הרמיטיות‪ ,‬לינראיות‪ ,‬חיוביות‪ .‬הגדרה של נורמה‪ .‬טענה‪ :‬לכל ‪ z 2 Cn ; 2 C‬מתקיים‬
‫‪jj kzk‬‬
‫וגם ‪.hAz; wi = hz; AH wi‬‬
‫=‬
‫‪ .kzk‬טענה‪ :‬לכל‬
‫‪2 Cnn ,z; w 2 Cn‬‬
‫‪ A‬מתקיימים‬
‫‪hz; Awi = hAH z; wi‬‬
‫הגדרות של מטריצה הרמיטית‪ ,‬מטריצה אנטי‪-‬הרמיטית‪,‬‬
‫ומטריצה יוניטרית‪ .‬דוגמאות‪ .‬הערות‪ :‬א‪ .‬המושגים האלה הם הכללות של המושגים‬
‫של מטריצה סימטרית‪ ,‬מטריצה אנטי‪-‬סימטרית‪ ,‬ומטריצה אורתוגונלית; ב‪ .‬הם אותם‬
‫מושגים במקרה שהמטריצה היא ממשית‪ .‬משפט‪ :‬התנאים הבאים שקולים‪ (I) :‬מטריצה‬
‫‪ U‬יוניטרית; )‪ (II‬העמודות של ‪ U‬מהוות בסיס אורתונורמלי; )‪ (III‬השורות של ‪ U‬מהוות‬
‫בסיס אורתונורמלי; )‪ U (IV‬שומרת מכפלה פנימית; )‪ U (V‬שומרת נורמה‪ .‬תכונות‬
‫ספקטרליות של מטריצות הרמטיות ויוניטריות‪ :‬טענה ‪ :1‬אם מטריצה ‪ A‬הרמיטית אזי‬
‫‪3‬‬
‫כל הערכיים העצמיים שלה הם ממשיים‪ .‬טענה ‪ :2‬אם מטריצה ‪ A‬יוניטרית אזי כל‬
‫ערך עצמי של ‪ A‬מקיים ‪.jj = 1‬‬
‫‪3.5.2015‬‬
‫מחרב הווקטורי ]‪ Pn [x‬של פולינומים ממעלה קטן שווה ‪ n‬עם מקדמים ממשיים‪ .‬הגדרת‬
‫מכפלה ב‪ Pn [x] -‬על ידי )‪ .hf; g i = f (0)g (0) + + f (n)g (n‬טענה‪ :‬המכפלה הזאת היא‬
‫מכפלה פנימית על ]‪ .Pn [x‬עבור מרחב וקטורי כללי ‪ V‬עם מכפלה פנימית‪ ,‬הגדרות של‬
‫נורמה‪ ,‬אורתוגונליות‪ ,‬קבוצה אורגונולית‪/‬אורתונורמלית‪ .‬משפט פיתגוראס‪ ,‬אי‪-‬שוויון‬
‫קושי‪-‬שוורץ‪-‬בוניאקובסקי‪ ,‬שי‪-‬שוויון המשולש‪ .‬טענה‪ :‬וקטורים אורתוגונליים מהווים‬
‫קבוצה בת״ל‪ .‬ביטוי לווקטור כצירוף לינארי של ווקטורים בבסיס אורתוגונלי; מקדמי‬
‫פורייה‪ .‬תהליך גרם‪-‬שמידט‪ .‬המושג של מלשים אורתוגונלי של תת‪-‬מרחב; הנוסחא‬
‫?‪U U‬‬
‫=‬
‫‪ V‬כאשר ‪ U‬ממימד סופי‪ .‬הגדרת היטל על תת‪-‬מרחב‪ ,‬קיום ויחידות היטל‪.‬‬
‫משפט על המרחק הקצר ביותר בין וקטור לתת‪-‬מרחב‪ .‬נוסחא עבור היטל לפי מקדמי‬
‫פורייה‪ ,‬מערכת נורמלית‪ .‬דוגמאות‪.‬‬
‫‪26.4.2015‬‬
‫משפט )אפיון אלגברי של מטריצת הטלה(‪ :‬סיום‪ .‬דוגמא‪ .‬הגדרת שיקוף של וקטור‬
‫ביחס לתת‪-‬מישור‪ .‬דוגמאות‪ .‬טענה‪ :‬נתונים תת‪-‬מרחב ‪U‬‬
‫היטל ‪ p‬על ‪ ,U‬אזי קיים ויחיד שיקוף ‪ r‬של ‪x‬‬
‫של ‪ ,Rn‬וקטור ‪x‬‬
‫ביחס ל‪U -‬‬
‫והוא מקיים ‪x‬‬
‫ב‪Rn -‬‬
‫עם‬
‫‪= 2p‬‬
‫‪.r‬‬
‫הגדרה של מטריצת שיקוף‪ .‬דוגמאות‪ .‬טענה‪ :‬נתונים תת‪-‬מרחב ‪ U‬ומטריצת הטלה‬
‫‪ P‬על ‪ U‬אזי ‪I‬‬
‫‪ 2P‬מטריצת שיקוף ביחס ל‪ .U -‬טענה‪ :‬יהי ‪ U‬תת‪-‬מרחב של ‪.Rn‬‬
‫קיימת ויחידה מטריצת שיקוף ‪ R‬ביחס ל‪ ,U -‬ומתקיים‬
‫)‪= Col(R + I‬‬
‫‪ .U‬משפט )אפיון‬
‫אלגברי של מטריצת הטלה(‪ :‬מטריצת ריבועית ‪ R‬שיקוף אם ורק אם היא מקיימת את‬
‫שני התנאים א‪R .‬‬
‫=‬
‫‪ ,R2‬ב‪R .‬‬
‫=‬
‫‪ .RT‬טענה‪ :‬יהי ‪ U‬היפר מישור עם נורמל ‪ ,N‬אזי‬
‫מטריצת השיקוף ביחס ל‪ U -‬נתונה על ידי‬
‫‪4‬‬
‫‪NNT‬‬
‫‪2 NT N‬‬
‫‪ .R = I‬וקטורים עצמיים וערכים‬
‫עצמיים של מטריצות הטלה ושל מטריצות שיקוף‪ .‬מכפלה פנימית של מרחב וקטורי‬
‫כללי‪ :‬מוטיבציה‪ ,‬הגדרה‪ ,‬דוגמאות ב‪ .R2 -‬תזכורת על מרחב הווקטורי ‪ .Rmn‬טענה‪:‬‬
‫המכפלה )‪ hA; B i = tr(B T A‬מגדירה על ‪Rmn‬‬
‫מכפלה פנימית‪ .‬הגדרת מרחב הווקטורי‬
‫]‪ C [a; b‬של פונקציות רציפות על קטע סגור ]‪ .[a; b‬טענה‪:‬‬
‫המכפלה ‪hf; gi = Rab f (x)g(x)dx‬‬
‫מגדירה מכפלה סקלרית על ]‪.C [a; b‬‬
‫‪19.4.2015‬‬
‫הגדרת המושג של פתרון עבור מערכת רגילה במובן של הקירוב הטוב ביותר‪ .‬משפט‪:‬‬
‫וקטור ‪ x‬פתרון של מערכת רגילה ‪b‬‬
‫אם ‪x‬‬
‫=‬
‫‪ Ax‬במובן של הקירוב הטוב ביותר אם ורק‬
‫פתרון של המערכת הנורמלית ‪AT b‬‬
‫=‬
‫‪ .AT Ax‬שיטת הריבועים המזעריים על‬
‫מנת למצוא קו ישר שמקרב נקודות נתונות במישור‪ .‬ניסוח עבור קו ישר‪ ,‬דוגמא‪.‬‬
‫שיטת הריבועים המזעריים עבור פרבולה‪.‬‬
‫דוגמאות של מטריצות ‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫שמעתיקות כל‬
‫וקטור ב‪ R2 -‬להיטל שלו על תת‪-‬מרחב מסוים‪ .‬הגדרה גאומטרית של מטריצת הטלה‪:‬‬
‫מטריצה ‪ P‬נקראת הטלה אם קיים תת‪-‬מרחב ‪ U‬כך שלכל ‪P x ,x 2 Rn‬‬
‫ההיטל של ‪x‬‬
‫על ‪ .U‬טענה )זהות שתי מטריצות(‪ :‬תהיינה ‪ A‬ו‪ B -‬שתי מטירצות ‪ .m n‬אזי תנאים‬
‫הבאים שקולים‪ :‬א‪ ,A = B .‬ב‪ .‬לכל ‪ ,Ax = B x ,x 2 Rn‬ג‪ .‬קיים בסיס ‪ v1 ; : : : ; vn‬של‬
‫‪ Rn‬כך ש‪B vi -‬‬
‫‪ ,U‬אזי‬
‫=‬
‫)‪= Col(P‬‬
‫‪ Avi‬ל‪ .i = 1; : : : ; n -‬טענה‪ :‬נתונה מטריצת הטלה ‪ P‬על תת‪-‬מרחב‬
‫‪ .U‬נוסחא עבור מטריצת הטלה על קו ישר‪ :‬המטריצה‬
‫‪aaT‬‬
‫‪aT a‬‬
‫מעתיקה‬
‫כל וקטור להיטל שלו על קו הישר )‪ .sp(a‬טענה‪ :‬לכל מטריצה ‪ m n A‬עם עמודות‬
‫בת״ל‪ ,‬מטריצת ההטלה על‬
‫)‪Col(A‬‬
‫נתונה על ידי ‪A(AT A) 1 AT‬‬
‫=‬
‫‪ .P‬דוגמא‪ .‬טענה‪:‬‬
‫אם ‪ P‬מטריצת הטלה על תת‪-‬מרחב ‪ U‬ו‪ Q -‬מטריצת הטלה על ? ‪ U‬אז ‪Q = I‬‬
‫‪+‬‬
‫‪.P‬‬
‫הגדרה של היפר מישור ב‪ ,Rn -‬נורמל‪ .‬טענה‪ :‬אם ‪ P‬מטריצת ההטלה על היפר מישור‬
‫‪ U‬עם נורמל ‪ N‬אזי‬
‫‪NNT‬‬
‫‪NT N‬‬
‫‪I‬‬
‫=‬
‫‪ .P‬דוגמא‪ .‬משפט )אפיון אלגברי של מטריצת הטלה(‪:‬‬
‫מטריצה ‪ P‬הטלה אם ורק אם היא מקיימת את שני התנאים הבאים‪ :‬א‪P 2 = P .‬‬
‫ב‪P .‬‬
‫=‬
‫‪.P T‬‬
‫‪5‬‬
‫‪12.4.2015‬‬
‫טענה‪ :‬לכל תת‪-‬מרחב ‪ U‬של ‪ Rn‬מתקיים ‪U‬‬
‫‪Rn‬‬
‫=‬
‫?) ? ‪ .(U‬טענה‪ :‬לכל תת‪-‬מרחב ‪ U‬של‬
‫ווקטור ‪ v 2 Rn‬מתקיים ‪ v = p + q‬כאשר ‪ p‬ההיטל של ‪ v‬על ‪ U‬ו– ‪ q‬הוא ההיטל‬
‫של ‪ v‬על ? ‪ .U‬טענה‪ :‬אם ‪ U‬תת‪-‬מרחב של ‪ b1 ; : : : ; bk ,Rn‬בסיס אורתוגנלי של ‪ U‬ו–‬
‫‪ v 2 Rn‬אזי ניתן לבטא את ההיטל ‪ p‬של ‪ v‬על ‪ U‬על ידי מקדמי פורייה לפי הנוסחא‬
‫הבאה‪:‬‬
‫‪Xk v bi b‬‬
‫‪i‬‬
‫‪jjbijj2‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪ .p‬דוגמא‪ .‬הגדרות של )‪ Nul(A) ,Col(A‬ו– ‪A‬‬
‫‪ .A‬תזכורת‪ :‬לכל מטריצה ‪ m n A‬מתקיים ‪n‬‬
‫של מערכת נורמלית‪ .‬משפט‪ :‬וקטור ‪x‬‬
‫=‬
‫‪Rank‬‬
‫עבור מטריצה‬
‫)‪ .dim(Nul(A)) + Rank(A‬הגדרה‬
‫פתרון למערכת הנורמלים ‪AT b‬‬
‫=‬
‫‪ AT Ax‬אם‬
‫ורק אם ‪ Ax‬ההיטל של ‪ b‬על )‪ .Col(A‬דוגמא‪ .‬משפט‪ (1 :‬אם ‪ x‬פתרון למערכת‬
‫רגילה אז הוא גם פתרון למערכת הנורמלית המתאימה‪ (2 ,‬למערכת הנורמלית תמיד‬
‫קיים פתרון‪ (3 ,‬לכל מטריצה ‪ A‬מתקיים ‪A‬‬
‫) (‪= Nul‬‬
‫)‪ (4 ,Nul(AT A‬לכל מטריצה ‪A‬‬
‫מתקיים )‪ .Rank(A) = Rank(AT A‬משפט היסודי של אלגברה לינארית‪ :‬לכל מטריצה ‪A‬‬
‫מתקיימים‬
‫) ‪(Nul( ))? = Col(AT‬‬
‫‪A‬‬
‫ו–‬
‫) ‪= Nul(AT‬‬
‫?))‪ .(Col(A‬הגדרת מרחק ) ‪ d(b; U‬בין‬
‫וקטור ‪ b‬לתת‪-‬מרחב ‪ .U‬משפט‪ :‬נתונים תת‪-‬מרחב ‪ U‬של ‪Rn‬‬
‫‪ p‬על ‪ ,U‬מתקיים ‪uk‬‬
‫‪pk‬‬
‫‪.d(b; U ) = kb‬‬
‫‪pk kb‬‬
‫ווקטור ‪ b 2 Rn‬עם היטל‬
‫‪ kb‬לכל ‪ u 2 U‬ויש שוויון רק כאשר ‪ .u = p‬מסקנה‪:‬‬
‫‪29.3.2015‬‬
‫תהליך גרם–שמידט‪ :‬ניסוח ודיון‪ .‬משפט‪ :‬תהליך גרם–שמידט הופך בסיס של תת‬
‫מרחב לבסיס אורתוגונלי של אותו תת מרחב‪ .‬דוגמא‪ .‬מסקנה‪ :‬נתון תת מרחב ‪ U‬של‬
‫‪ ,Rn‬אזי קיים בסיס אורתוגונלי ‪ x1; : : : ; xn‬של ‪Rn‬‬
‫כך שחלק מהבסיס‪ ,‬נגיד ‪,x1 ; : : : ; xk‬‬
‫מהווה בסיס של ‪ .U‬הגדרה של סכום ישר של שני תתי מרחב )תזכורת(‪ .‬משלים‬
‫אורתוגונלי של תת‪-‬מרחב‪ :‬הגדרה‪ ,‬משמעות גאומטרית‪ .‬תרגיל בית‪ :‬הוכח שהמשלים‬
‫האורתוגונלי של תת‪-‬מרחב הוא בעצמו תת‪-‬מרחב‪ .‬טענה‪ :‬לכל תת‪-‬מרחב ‪ ,U‬מתקיים‬
‫? ‪ .Rn = U U‬היטל אורתוגונלי של וקטור על תת‪-‬מרחב‪ :‬הגדרה‪ ,‬קיום‪ ,‬יחידות‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪22.3.2015‬‬
‫טענת מקדמי פורייה ־ הוכחה‪ ,‬דוגמא‪ .‬מטריצות אורתוגונליות; הגדרה ודוגמאות‪.‬‬
‫משפט‪ :‬עבור מטריצה ‪ n n A‬התנאים הבאים שקולים‪ :‬א( ‪ A‬אורתוגונלית‪ ,‬ב(‬
‫העמודות של ‪ A‬מהוות בסיס אורתונורמלי של ‪ ,Rn‬ג( השורות של ‪ A‬מהוות בסיס‬
‫אורתונורמלי של ‪ ,Rn‬ד( ‪ A‬שומרת מכפלה סקלרית על ‪ ,Rn‬ה( ‪ A‬שומרת נורמה‬
‫על ‪ .Rn‬טענה‪ :‬אם מטריצה ‪ n n‬שומרת מכפלה סקלרית על בסיס מסויים‪ ,‬אזי‬
‫היא אורתוגונלית‪ .‬מסקנה‪ :‬אם מטריצה ‪ n n‬מעתיקה בסיס אורתונורמלי לבסיס‬
‫אורתונורמלי אחר‪ ,‬אזי היא אורתוגונלית‪.‬‬
‫אפיון של מטריצה ‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫אורתוגונלית‪ :‬צורה‬
‫ומשמעות גאומטרית‪.‬‬
‫‪15.3.2015‬‬
‫כפל מטריצה בווקטור‪ ,‬כפל מטריצות רגיל‪ ,‬כפל מטריצות לפי ׳עמודה–שורה׳׳‪ .‬מכפלה‬
‫סקלרית‪ ,‬נורמה‪ ,‬תכונות‪ .‬משפט פיתגורס‪ .‬משפט אי‪-‬שוויון קושי‪-‬שוורץ‪-‬בוניאקובסקי‪,‬‬
‫אי‪-‬שוויון המשולש‪ .‬קבוצה אורתוגונלית‪ ,‬קבוצה אורתונורמלית‪ .‬הגדרה של זווית בין‬
‫שני ווקטורים ב– ‪ .Rn‬טענה‪ :‬כל קבוצה אורגונלית היא גם בת״ל‪ .‬מקדמי פורייה‬
‫בבסיס אורתוגונלי )התחלה(‪.‬‬
‫‪7‬‬