docהרצאות באלגברה ליניארית ב`
download 
Report Transcription
הרצאות באלגברה ליניארית ב`
הרצאות באלגברה ליניארית ב'
תוכן העניינים
1
דטרמיננטות
1.1תזכורת :מטריצות . . . . . . . 2 × 2
2.1משמעות גיאומטרית. . . . . . . . . .
3.1תכונות של דטרמיננטה . . . . .2 × 2
4.1הגדרה של דטרמיננטה :מקרה כללי. . .
5.1תכונות של דטרמיננטה )מסקנות ההגדרה(.
6.1היחידות כבר הוכחה! . . . . . . . . .
7.1מטריצות מונומיאליות .תמורות. . . . .
8.1אורך של תמורה .סימן של תמורה. . . .
9.1נוסחה מפורשת לדטרמיננטה. . . . . .
10.1קיום הדטרמיננטה. . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
דטרמיננטות )המשך(
1.2מטריצה משולשית. . . . . . . . . . . . . .
2.2דטרמיננטה של מטריצה הפיכה. . . . . . . .
3.2פעולות יסוד )אלמנטאריות( עם עמודות המטריצה.
4.2מטריצות יסוד; פעולות יסוד עם שורות. . . . .
5.2מטריצה משוחלפת ) . . . . . (.transpose
6.2פתוח לפי שורה .פתוח לפי עמודה. . . . . . .
7.2מטריצת בלוקים. . . . . . . . . . . . . . .
8.2נוסחה למטריצה הופכית. . . . . . . . . . .
9.2כלל קראמר ) . . . . . . . (.Rule Cramer
10.2מטריצת Vandermondeושימושיה . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
אופרטורים :ערכים עצמיים ,וקטורים עצמיים
1.3מבוא. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3מה זה מיון אופרטורים? . . . . . . . . . .
3.3פתרון הבעיה במימד . . . . . . . . . . .2
4.3ערכים עצמיים ,וקטורים עצמיים )מקרה כללי(.
5.3פולינום אפייני. . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
4
5
5
6
7
7
7
8
9
11
11
12
12
12
13
14
14
15
15
16
18
18
18
19
21
22
.
.
.
.
.
6.3שפת האופרטורים. . . . . . . . . . . . . .
7.3סכום ישיר. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3משפט ספקטרלי הראשון. . . . . . . . . . .
9.3מרחב-מנה. . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3פולינום אפייני במרחב מנה. . . . . . . . . .
11.3משפט קיילי-המילטון ) (.Cayley-Hamilton
12.3אופרטורים נילפוטנטיים. . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
4
אופרטורים :צורת ז'ורדן ) (Jordan
1.4תכנית עבודה. . . . . . . . . . . . . . . .
2.4וקטורים עצמיים מוכללים. . . . . . . . . . .
3.4סיקום זמני . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4צורת ז'ורדן לאופרטור נילפוטנטי. . . . . . . .
5.4סיכום :צורת ז'ורדן עבור מטריצה כללית. . . .
6.4פולינום מינימלי. . . . . . . . . . . . . . .
7.4שימושים :משוואות פולינומיאליות עם מטריצות. .
8.4שימושים :חישוב של ). . . . . . . .exp(A
9.4שימושים :נוסחאות נסיגה. . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
תבניות דו-לינאריות.
1.5מבוא -דוגמאות. . . . . . . . . . . .
2.5הגדרות. . . . . . . . . . . . . . .
3.5מטריצת התבנית. . . . . . . . . . . .
4.5החלפת בסיס. . . . . . . . . . . . .
5.5תכונות טיפוסיות של תבניות דו-לינאריות.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
תבניות דו-לינאריות )המשך(.
1.6תבניות דו-לינאריות סימטריות ותבניות ריבועיות.
2.6משלים אורתוגונאלי. . . . . . . . . . . . .
3.6קיום בסיס אורתוגונאלי. . . . . . . . . . . .
4.6שדה המרוכבים. . . . . . . . . . . . . . .
5.6שדה הממשיים. . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
מכפלה פנימית -מרחב ממשי.
1.7גיומתריה הקשורה למכפלה פנימית.
2.7אורטוגונליזציה של גרם-שמיט. . .
3.7קריטריון סילבסטר. . . . . . . .
4.7בסיס אורטונורמאלי. . . . . . .
5.7מטריצות אורטוגונליות. . . . . .
6.7פירוק ה. . . . . . . . .QR -
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
26
27
29
30
31
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
33
35
36
38
39
41
41
42
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
44
44
45
45
46
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
47
47
48
48
48
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
50
50
51
52
53
53
55
8
מכפלה פנימית -מרחב מרוכב.
1.8הגדרה ותכונות בסיסיות. .
2.8מטריצה מייצגת. . . . . .
3.8תעליך גרם-שמיט . . . .
4.8אופרוטורים אוניטריים. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
57
58
59
60
9
אופרטורים אורתוגונאליים ואופרטורים צמודים לעצמם.
1.9הגדרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9מטריצות אורתוגונאליות. . . . . . . . . . . . . .
3.9תכונות מידיות. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9מיון אופרטורים אורתוגונאליים. . . . . . . . . . . .
5.9תפקיד של המרחב הדואלי. . . . . . . . . . . . .
6.9אופרטורים צמודים .אופרטורים צמודים לעצמם. . . .
7.9תכונות האופרטורים הצמודים לעצמם. . . . . . . . .
8.9שימוש :צורה קאנונית של תבנית ריבועית מעל . . .R
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
62
62
62
63
64
65
65
66
67
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
1
1.1
דטרמיננטות
תזכורת :מטריצות . 2 × 2
יחיד למערכת קשור להפיכות מטריצת המקדמים.
קיום פתרון (
נתבונן במערכת שתי משוואות עם שני נעלמים .אנחנו יודעים כי )
a b
= Aהשקולים להפיכות של ? A
נשאל שאלה :מהם התנאים על הרכיבים a, b, c, dשל מטריצה
c d
) ( ) (
b
a
לא קולינאריים )פרופורציונאליים( .זה מתקיים אמ''מ
ו-
התשובה היא קלה יחסית A :הפיכה אמ''מ הוקטורים
d
c
ad − bc ̸= 0.
)
הגדרה .1.1עבור מטריצה
ab
cd
(
= Aדטרמיננטה שלה מוגדרת ע''י הנוסחה .det(A) = ad − bc
בפרק זה אנו נכליל מושג הדטרמיננטה למטריצות n × nונלמד תכונותיה היפות.
2.1
משמעות גיאומטרית.
)
נניח שהשדה שלנו הוא שדה הממשיים .Rיהי
a b
c d
)
(
= .Aנשרטט את שני הוקטורים
a
c
(
.R2נקבל מקבילית שלקדקודיה קואורדינאטות
) (
) (
) (
(
)
0
a
b
a+b
=0
= ,v
= ,w
= ,v + w
0
c
d
c+d
)ראה ציור(.
y
v+w
v
w
x
4
)
ו-
b
d
(
על המשור
(
)
a b
detהוא השטח של המקבילית שבשרטוט.
מתברר כי ,עד כדי הסתייגויות חשובות לגבי סימן
c d
) (
) (
b
a
= ,w
הנה אחת הדרכים להוכיח זאת .יהיו
= . vנבחר מספר λונגדיר .w′ = w + λv
d
c
נשווה את המקביליות הנוצרות ע''י ) (v, wוע''י ) . (v, w′למקביליות אלו אותו בסיס vואותה
גובה .לכן ,חייב להיות להן אותו שטח.
נבדוק כי גם הדטרמיננטות של ) (v, wושל ) (v, w′זהות .ואמנם ,det(v, w) = ad − bc ,ואילו
det(v, w′ ) = a(d + λc) − (b + λa)c = ad + λac − bc − λac = ad − bc.
אנחנו בדקנו עתה כי נוסחת הדטרמיננטה לשטח מקבילית ) (v, wשקולה לנוסחה דומה עבור ) .(v, w′כעת אנחנו יכולים קודם כל
לבחור λכך שהוקטור wיהיה מקביל לציר ה ,x -ואחר-כך ,בדרך דומה ,להפוך vלוקטור המקביל לציר ה .y -במקרה זה נוסחת
הדטרמיננטה ניתנת לבדיקה מיידית.
הערה .1.1נהוג לחשוב כי השטח הוא תמיד חיובי )או אפס( .בהתאם לכיוון הוקטורים vו w -הדטרמיננטה תהיה חיובית או שלילית.
זה מקור לסימן "ערך מוחלט" בנוסחה
|)S = | det(v, w
כאשר Sהוא שטח המקבילית הנוצרת ע''י שני הוקטורים v, wו (v, w) -מטריצה בה בעמודה הראשונה קואורדינאטות של v
ובעמודה השניה -קואורדינאטות של .w
3.1
תכונות של דטרמיננטה .2 × 2
� לינאריות לפי שני הארגומנטים:
det(v ′ , w),
)v ′ , w
det(v +
= det(v, w) +
)det(cv, w) = c det(v, w
′
′
)det(v, w + w ) = det(v, w) + det(v, w ), det(v, cw) = c det(v, w
� "אנטי-סימטריות"det(v, v) = 0 :
(
)
1 0
. det
� "אמת מידה" = 1
0 1
תכונות דומות יגדירו מושג שלדטרמיננטה במקרה כללי.
4.1
הגדרה של דטרמיננטה :מקרה כללי.
יהי kשדה .אנחנו נתאים לכל מטריצה n × nאיבר ב k -הנקרא דטרמיננטה של המטריצה .זה יתן לנו העתקה
det : M atn (k) → k.
יהיה נוח לנו לרשום מטריצה כסדרה של עמודות ,A = (v1 , . . . , vn ) :כך ש . vi ∈ k n -להלן תכונות הפונקציה :det
.1ליניאריות לפי כל אחד מהארגומנטים:
) det(v1 , . . . , vi + vi′ , . . . , vn ) = det(v1 , . . . , vi , . . . , vn ) + det(v1 , . . . , vi′ , . . . , vn
) det(v1 , . . . , cvi , . . . , vn
=
) c det(v1 , . . . , vi , . . . , vn
5
.2אנטי-סימטריות :אם קיימים vi = vj : i ̸= jאזי det(v1 , . . . , vn ) = 0
det(I) = 1 .3כאשר Iמטריצת היחידה.
משפט .1.1פונקציה
det : M atn (k) → k
המקיימת את התכונות 1 - 3דלעיל ,קיימת ויחידה.
את קיום הדטרמיננטה אנחנו נוכיח בהמשך .כעת אנחנו נבין איך לחשב אותה בהנחה שהיא קיימת.
5.1
תכונות של דטרמיננטה )מסקנות ההגדרה(.
..
.
n
) ei = הרכיב ה i -שווה ל , 1 -שאר הרכיבים (.0 -
יהיו e1 , . . . , en ∈ kוקטורי הבסיס הסטנדרטי ,כך ש 1 -
..
.
למשל ) , I = (e1 , . . . , enכך שצריך להתקיים det(e1 , . . . , en ) = 1לפי תכונה .3
נתבונן בתכונה .2
למה .1.1תהי A′המטריצה המתקבלת ממטריצה Aע''י החלפת שתי עמודות .אזי .det A′ = − det A
הוכחה.
תהי ) A = (v1 , . . . , vnואילו A′מתקבלת מ A -ע''י החלפת עמודות iו.j -
נגדיר )) B = (. . . , vi + vj , . . . , vi + vj , . . .רק מקומות iו j -מסומנים ,בשאר המקומות נמצאים הרכיבים של A
המקוריים( .אזי לפי תכונות 2ו 1-מקבלים:
0 = det B = det A + det A′ + det(. . . , vi , . . . , vi , . . .) + det(. . . , vj , . . . , vj , . . .) = det A + det A′ .
זה מוכיח את הלמה□ .
כעת אנחנו יכולים לחשב כל דטרמיננטה :נניח aji ej
n
∑
= .viאז תכונה 1קובעת כי
j=1
aj1 1 aj2 2 . . . ajn n det(ej1 , . . . , ejn ).
∑
= )det(A
j1 ,...,jn
לבסוף ,הלמה )שנובעת בסופו של דבר מתכונה (2אומרת כי ) det(ej1 , . . . , ejnשווה ל 0 -אם בין המספרים j1 , . . . , jnישנם
מספרים זהים; אחרת היא שווה ל ,±1 -בהתאם למספר החלפות שורות שצריך לבצע עם הסדרה ej1 , . . . , ejnכדי לקבל אותה
בסדר תקני .e1 , . . . , en
1 0 1
דוגמא .1.1נחשב ) det(Aכאשר 0 1 0
= .Aלפי הנוסחה,
0 0 1
det(A) = det(e1 , e2 , e1 ) + det(e1 , e2 , e3 ) = 1.
6
6.1
היחידות כבר הוכחה!
זה נובע מכך שלכל מטריצה שיקולים דלעיל קובעים מהו ערך הדטרמיננטה שלה -בהנחה שפונקצית הדטרמיננטה אכן קיימת.
7.1
מטריצות מונומיאליות .תמורות.
בסעיפים הקודמים ראינו כי יש חשיבות רבה בחישוב דטרמיננטות למטריצות בעלות הצורה ) .A = (ei1 , . . . , einמטריצות
אלו בנויות מעמודות e1 , . . . , enשל מטריצת היחידה ,אך בסדר אחר .למטריצות מסוג זה קוראים מטריצות מונומיאליות
monomial matricesמטריצה מונומיאלית מוגדרת באופן חד-משמעי ע''י סדר ) (i1 , . . . , inבו מופיעים האינדקסים של
העמודות .ei
הגדרה .1.2סדרת מספרים ) (i1 , . . . , inנקראת תמורה )או - nתמורה אם רוצים להדגיש מספר איברים בה( אם כל המספרים
- ikשלמים בין 1ל n -וכל אחד מופיע פעם אחת בלבד.
הערה .1.2בקורס "אלגברה מודרנית" אתם תלמדו הגדרה "יותר מלומדת" של תמורות.
סימון .אוסף - nתמורות מסמנים ב Sn -התמורה ) (1, 2, . . . , nנקראת תמורת היחידה ומסומנת כ.1 ∈ Sn : 1 -
אם ,s = (s1 , . . . , sn ) ∈ Snאנחנו יכולים לקבל תמורה חדשה ע''י החלפת רכיבים מס' iו .j -המטרה שלנו היא להבין איך
לספור כמה החלפות כאלה צריך לעשות כדי לקבל תמורה נתונה s ∈ Snמתמורת היחידה .1 ∈ Snושאלה חשובה מאוד :האם
מספר החלפות זה יחיד את שהוא תלוי בסדר בו אנו מבצעים את ההחלפות.
דוגמא .1.2יהי ) .s = (3, 2, 1הנה שלוש דרכים שונות לקבל מ s -את .1 ∈ S3
� להחליף רכיבים 1ו.3 -
� קודם כל להחליף רכיבים 1ו ,2 -אחר-כך 2ו , 3 -אחר-כך שוב 1ו.2 -
� קודם כל להחליף רכיבים 2ו ,3 -אחר-כך 1ו , 2 -אחר-כך שוב 2ו.3 -
בדרך ראשונה עשינו החלפה אחת ,ובדרך שניה ושלישית -שלוש החלפות .אנחנו רואים כי מספר ההחלפות לא חייב להישמר אך זוגיותו נשמרת.
לתכונה זו משמעות מכרעת לקיומה של דטרמיננטה.
8.1
אורך של תמורה .סימן של תמורה.
בסעיף זה נוכיח כי מה שצפינו בדוגמה ,זה לא מקרי :עבור תמורה s ∈ Snנתונה אחת משתי הטענות הבאות מתקיימת:
.1כל הדרכים להפוך את sלתמורת היחידה ע''י החלפות הן באורך זוגי.
.2כל הדרכים להפוך את sלתמורת היחידה ע''י החלפות הן באורך אי-זוגי.
קודם כל,
הגדרה .1.3תהי . s = (s1 , . . . , sn ) ∈ Snאורך של ) sהסימון (ℓ :הוא מספר זוגות 1 ⩽ i < j ⩽ nהמקיימות את
התכונה ) si > sjלפעמים אומרים :מספר אי-סדרים( .למשל. ℓ(3, 2, 1) = 3 ,ℓ(1) = 0 ,
7
תרגיל .1מהו אורך מכסימאלי של תמורה ב? Sn -
מה תועלת של הגדרה זו? אנחנו עכשיו נבדוק כי כאשר עושים החלפת שני איברים בתמורה ,אורכה משתנה ב) 1-עולה או יורד(.
זו יוכיח כי אם האורך של sזוגי ,מספר החלפות נחוצות כדי להפוך את sל 1 -בהכרח זוגי ,ואם האורך אי-זוגי ,מספר ההחלפות
אי-זוגי .ובכן,
משפט .1.2תהי ,s = (s1 , . . . , sn ) ∈ Snותהי tתמורה המתקבלת מ s -ע''י החלפת איברים מס' iו .j -אזי )ℓ(t) − ℓ(s
הוא מספר אי-זוגי.
הוכחה.
.1נבדוק קודם כל מקרה פרטי) j = i + 1 :מחליפים רכיבים שכנים( .עלינו לספור אי-סדרים של . tפרט לזוג ) (si , si+1
לא השתנה דבר :זוג ) (sk , slשהיה אי-סדר נשאר אי-סדר ,וזוג שלא היה ,ממשיך לא להיות אי-סדר .לעומת זאת ,הזוג
) (si , si+1החליף את תכונותיו :אם היה אי-סדר -הפסיק להיות כזה ,ואילו אם לא היה -נהיה לאי-סדר .זה מוכיח כי
במקרה זה . ℓ(t) = ℓ(s) ± 1
.2מקרה כללי .אנו מניחים כי . i < jאפשר לבצע החלפת שורות iו j -בשלבים :קודם כל מעבירים רכיב iימינה על למקום
שמאחורי - jזה דורש j − iצעדים .אחר-כך מעבירים את ) jהוא נמצא כעת במקום ה (j − 1 -למקום ה - i -זה דורש עוד
j − i − 1צעדים .בסך הכל עשינו מספר אי-זוגי של צעדים ובכל אחד הוספנו או החסרנו .1זה מוכיח כי אורך התמורה
השתנה למספר אי-זוגי.
□
הגדרה ) 1.4סימון( .עבור s ∈ Snאנחנו מגדירים סימן של sכ +1 -אם ) ℓ(sזוגי ,ו −1 -כאשר ) ℓ(sאי-זוגי .הסימון:
) .sgn(sבמלים אחרות,
)ℓ(s
sgn(s) = (−1) .
תמורה sנקראת זוגית אם ) ℓ(sזוגי או ,במלים אחרות ,אם .sgn(s) = 1תמורה sנקראת אי-זוגית אם ) ℓ(sאי-זוגי או ,במלים
אחרות ,אם .sgn(s) = −1
כמסקנה מהמשפט הקודם אנחנו מקבלים כי אם sזוגית ,אז אורך כל דרך המביאה את sלתמורת זהות 1בהכרח זוגי ,ואם s
אי-זוגית ,אז האורך בהכרח אי-זוגי.
9.1
נוסחה מפורשת לדטרמיננטה.
תהי ) A = (aijמטריצה . n × nנשתמש בסימון ) A = (v1 , . . . , vnכאשר
sgn(s)as1 1 . . . asn n .
∑
∑n
i=1 aij ei
= ) as1 1 as2 2 . . . asn n det(es1 , . . . , esn
s∈Sn
= . vjאנחנו מקבלים
∑
s∈Sn
נוסחה זו כה חשובה ,שיש טעם לחזור עליה:
sgn(s)as1 1 . . . asn n .
∑
s∈Sn
יש לציין כי עדין לא הוכחנו את קיום הדטרמיננטה!
8
= det A
= det A
10.1
קיום הדטרמיננטה.
מה חסר לנו כדי להוכיח את הקיום? הרי כבר נוסחה מפורשת יש לנו! האמת היא שלמרות שיש לנו נוסחה מפורשת ,עוד לא בדקנו
שהיא מקיימת את האכסיומות של דטרמיננטה -ליניאריות לפי כל אחד מן הארגומנטים ,אנטי-סימטריות ,ואכסיומת היחידה .כל
האכסיומות האלו ניתן להוכיח ישירות על סמך הנוסחה המפורשת )תוכיחו לבד כי (! det(I) = 1
אנחנו נלך בדרך אחרת -נניח כי הוכחנו קיום דטרמיננטה עבור מטריצות ,n × nונסיק מזה קיומה עבור ).(n + 1) × (n + 1
.1מקרה .n = 1אם ) ,A = (aאנו מניחים ,בודאי .det A = a ,כל האכסיומות מתקיימות באופן מיידי )תסבירו מדוע!(
.2מעבר .n + 1 ⇐ nנניח הוכחנו קיומה של פונקציה det : M atn (k) → kהמקיימת את האכסיומות הידועות .אני
אגדיר עכשיו פונקציה det : M atn+1 (k) → kואוכיח עבורה את האכסיומות .אנחנו נצטרך עוד סימון.
.3סימון .תהי ) A = (aijמטריצה ריבועית ויהיו r, sשני מספרים .אנחנו נסמן ב Ars -מטריצה המתקבלת מ A -ע''י
מחיקת שורה מס' rועמודה מס' .sנציין כי אם Aמטריצה ) ,(n + 1) × (n + 1אזי Arsמטריצה .n × n
הגדרה .1.5נגדיר דטרמיננטה של מטריצה ) (n + 1) × (n + 1ע''י הנוסחה
(−1)r a1r det(A1r ).
n
∑
= )det(A
r=1
.4בדיקת האכסיומות עבור .n + 1
.א ליניאריות לפי עמודה מספר .i
תהי ) A = (aij ) ∈ M atn+1 (kונניח כי לכל ) ari = a′ri + a′′ri rעמודה ari er
שתי עמודות,
a′′ri er .
n+1
∑
= a′ri er , vi′′
r=1
n+1
∑
n+1
∑
= viהיא סכום
r=1
= vi′
r=1
יהיו A′ו A′′ -המטריצות המתקבלות מ -ע''י החלפת עמודה ב vi′ -וב. vi′′ -
עלינו לבדוק כי det A′′
+
det A′
= .det A
ואמנם ,לפי הנוסחה,
(−1)r a1r det A1r .
∑
n+1
∑
r̸=i
r=1
(−1)r a1r det A1r = (−1)i (a′1i + a′′1i ) det A1i +
= det A
לפי הנחת האינדוקציה det ,מקיימת את האכסיומות על מטריצות .n × nבפרט,
det A1r = det A′1r + det A′′1r ,
וזה נותן
∑
(−1)r a1r det A1r = det A′ + det A′′ .
r̸=i
9
det A = (−1)i (a′1i + a′′1i ) det A1i +
.ב אנטי-סימטריות.
= rמתקיים =
נניח במטריצה ) A = (v1 , . . . , vn+1שתי עמודות זהות .vi = vj :עבור כל ̸ i, j
0כי למטריצה A1rשתי עמודות זהות )והיא מטריצה ).n × nלכן,
det A1r
det A = (−1)i a1i det A1i + (−1)j a1j det A1j .
נזכיר כי .a1i = a1jגם המטריצות A1iו" A1j -כמעט אותו דבר" A1i :מתקבלת מ A1j -ע''י העברת עמודה
מס' iלמקום מס' .jכדי לעשות זאת ,צריך j − iהחלפות עמודות ,כך ש.det A1i = (−1)j−i det A1j -
ביחד עם הנוסחה הקודמת זה נותן .det A = 0
.ג אכסיומת יחידה זה מידי .det(In+1 ) = 1 · det(In ) = 1 :כאן )באופן חריג( אנו מסמנים In , In+1מטריצות
היחידה ב.M atn , M atn+1 -
.5קיום הפונקציה det : M atn (k) → kהמקיימת את התכונות 1-3הוכח .יש לציין כי בו-זמנית מצאנו דרך
נוספת לחישוב דטרמיננטה --פיתוח לפי השורה הראשונה .על תכונות של דטרמיננטה ועל דרכים אחרות לחישובה נדבר
בהרצאות הבאות.
10
2
1.2
דטרמיננטות )המשך(
מטריצה משולשית.
תהי ) A = (aijמטריצה משולשית עליונה ,ז.א aij = 0 .כאשר .i > jאזי .det(A) = a11 a22 · · · annואמנם ,המכפלה
as1 ,1 · · · asn ,nלא מתאפסת רק כאשר si ⩽ iלכל . iזה מיד נותן ,si = iזאת אומרת .s = 1 ,לכן ,הנוסחה המפורשת
נותנת את הנוסחה .det(A) = a11 a22 · · · ann
למה .2.1תהי d : M atn (k) → kפונקציה המקיימת את התכונות הבאות:
.1מולטי -ליניאריות
.2אנטי-סימטריות.
אזי לכל מטריצה ) A ∈ M atn (kמתקיים שוויון ).d(A) = det A · d(I
הוכחה.
הוכחה זו היא חזרה על הסקת הנוסחה המפורשת לדטרמיננטה .תהי ) A = (aij ) = (v1 , . . . , vnכאשר aij ei
n
∑
= vj
i=1
)הסימון סטנדרטי( .לפי המולטי-ליניאריות
∑
= ) ai1 1 ai2 2 · · · ain n d(ei1 , . . . , ein
= )d(A
i1 ,...,in
לפי אנטי-סימטריות
= ) as1 1 as2 2 · · · asn n d(es1 , . . . , esn
∑
=
s∈Sn
שוב לפי האנטי-סימטריות
)sgn(s)as1 1 as2 2 · · · asn n d(I
∑
=
s∈Sn
□
מסקנה .det(AB) = det(A) det(B) .2.1
הוכחה.
נגדיר פונקציה d : M atn (k) → kע''י הנוסחה
d(B) = det(AB).
נציין כי אם ) B = (v1 , . . . , vnאז ) .AB = (Av1 , . . . , Avnלכן ,אם ,vi = vi′ +vi′′מתקיים גם Avi = Avi′ +Avi′′
וזה גורר מיד את מולטי-ליניאריות .בדרך דומה ,אם vi = vjאז Avi = Avjוזה גורר אנטי-ליניאריות .לכן ,לפי הלמה הקודמת,
det(AB) = d(B) = det(B) det(A).
□
11
2.2
דטרמיננטה של מטריצה הפיכה.
אם Aהפיכה .det(A) det(A−1 ) = det(AA−1 ) = 1 ,בפרט .det(A) ̸= 0אנחנו נראה עוד מעט כי גם ההפך הוא נכון:
אם מטריצה אינה הפיכה ,הדטרמיננטה שלה שווה לאפס.
3.2
פעולות יסוד )אלמנטאריות( עם עמודות המטריצה.
.1החלפת עמודות --מכפילה דטרמיננטה ב) −1 -נובע מאנטי-סימטריות(.
.2הכפלה של עמודה בסקלר - λ ∈ kמכפילה דטרמיננטה ב) λ -נובע מליניאריות(.
.3עמודה viמוחלפת ב .vi′ = vi + c · vj -פעולה זו לא משפיעה על הדטרמיננטה.
נבדוק את הטענה האחרונה .יהיו ) .A′ = (. . . , vi′ , . . . , vj , . . .) ,A = (. . . , vi , . . . , vj , . . .נשתמש בליניאריות לפי
ארגומנט .iנקבל
det(A′ ) = det(A) + c det(. . . , vj , . . . , vj , . . .) = det(A).
עתה אנו יכולים לחשב בעזרת פעולות יסוד את הדטרמיננטה של כל מטריצה :אנו יודעים מה קורה לדטרמיננטה כשמבצעים כל פעולת
יסוד; אנו יודעים להביא כל מטריצה למטריצה משולשית בעזרת פעולות יסוד ,וגם יודעים דטרמיננטה של מטריצה משולשית.
4.2
מטריצות יסוד; פעולות יסוד עם שורות.
תהי Eijמטריצה המתקבלת ממטריצת היחידה Iע''י החלפת עמודות iו (λ ̸= 0) Ei (λ) . j -מטריצה המתקבלת ממטריצת
היחידה Iע''י הכפלת עמודה iב Eij (c) .λ -מטריצה המתקבלת ממטריצת היחידה Iע''י פעולת היסוד בה מוסיפים לעמודה i
את עמודה jהמוכפלת ב . c -מטריצות Eij (c), Ei (λ), Eijנקראות מטריצות יסוד מטריצות אלמנטאריותelementary ,
matricesלהלן נוסחאות מפורשות למטריצות יסוד.
1,
∈r=s
}/ {i, j
)1, (r, s) = (i, j
) Eij = (arsכאשר
= ars
)1, (r, s) = (j, i
0, otherwise
1, r = s ̸= i
λ, r = s = i
= ars
) Ei (λ) = (arsכאשר
0, otherwise
1, r = s
)c, (r, s) = (j, i
= ars
) Eij (c) = (arsכאשר
0, otherwise
דטרמיננטות של מטריצות יסוד הן:
det Eij = −1, det Ei (λ) = λ, det Eij (c) = 1
זה נובע ,למשל ,מסעיף )(.3.2
אם Aמטריצה ואם Eמטריצת יסוד כלשהי ,אז המכפלה AEמתקבלת מ A -ע''י פעולת יסוד עם עמודות המתאימה ל .E -זה
מאפשר לקבל מחדש את התאנות של סעיף ) (.3.2בעזרת הנוסחה ).det(AE) = det(A) det(E
12
עכשיו אנחנו מוכנים להבין מה קורה לדטרמיננטה כאשר מבצעים פעולת יסוד
עם שורות :הרי פעולות אלה אפשר לתאר כהכפלה של מטריצה במטריצת יסוד מצד שמאל:
.1הכפלה ב Eij -מחליפה שורות iו.j -
.2הכפלה ב Ei (λ) -מכפילה את השורה iב.λ -
.3הכפלה ב Eij (c) -מוסיפה לשורה jבמטריצה את שורה iהמוכפלת ב.c -
כמסקנה ,אנחנו מקבלים שפעולות יסוד עם שורות משנות את הדטרמיננטה באותה דרך כמו פעולות עם עמודות :החלפת שורות
מחליפה סימן ,הכפלת שורה בסקלר מכפילה דטרמיננטה באותו סקלר ,והוספה לשורה של שורה אחרת מוכפלת מסקלר לא משנה את
הדטרמיננטה.
5.2
מטריצה משוחלפת ) (.transpose
מטריצה משוחלפת של ) A = (aijהיא מטריצה Atשרכיב ה (i, j) -שלה שווה ל.aji -
משפט det(At ) = det(A) .2.1
הוכחה.
נבדוק קודם כל את הטענה בשני מקרים פרטיים:
A .1משולשית עליונה .אזי At ,det(A) = a11 · · · annמשולשית תחתונה עם אותם רכיבים a11 , . . . , annבאלכסון,
כך שמתקיים .det(At ) = a11 · · · ann
A .2מטריצת יסוד .מטריצות ) Eij , Ei (λסימטריות כך שאין מה להוכיח עבורן.
עבור ) A = Eij (cמתקיים ) , At = Eji (cכך ש . det(A) = det(At ) = 1 -עתה נוכיח את המשפט עבור מטריצה A
כללית .אנו יודעים כי ניתן להביא כל מטריצה לצורת מדרגה ע''י פעולות יסוד עם שורות .זה אומר כי ניתן לכתוב
En · · · E1 A = B
כאשר Eiמטריצות יסוד ו B -מטריצה בצורת מדרגה )בפרט B ,משולשית( .אזי
A = E1−1 · · · En−1 B, At = B t (En−1 )t · · · (E1−1 )t
ולכן
= det(A).
) det(Ei−1
∏
)= det(B
det(Ei−1 )t
∏
t
t
) det(A ) = det(B
□
נציין כי עכשיו אנו מסוגלים כבר לסיים דיון של סעיף ) (:2.2אם Aלא הפיכה ,שיטת גאוס מביאה אותה למטריצה Bבצורת
מדרגה ,שהשורה האחרונה של Bשווה לאפס .בפרט bnn = 0 ,וזה גורר כי .det(B) = 0לכן ,גם .det(A) = 0
13
6.2
פתוח לפי שורה .פתוח לפי עמודה.
תוך כדי הוכחת קיום דטרמיננטה ,השתמשנו בנוסחת נסיגה:
) (−1)1+j a1j det(A1j
n
∑
= )det(A
j=1
כאשר Aijמטריצה המתקבלת מ A-ע''י מחיקת שורה iועמודה ) jבנוסחה ).i = 1נוסחה זאת נקראת נוסחת פיתוח דטרמיננטה
לפי שורה ראשונה .עתה נסיק נוסחה כללית יותר של פיתוח דטרמיננטה לפי שורה .iבמקום להוכיח את הנוסחה הכללית מחדש,
נשתמש במקרה הפרטי שכבר יודעים .תהי ) B = (bijמטריצה המתקבלת מ A-ע''י העברת שורה iלמעלה ,אל מקום של שורה
.1פעולה זו שקולה ל (i − 1) -החלפות שורות )שורה iעם , i − 1אחר כך עם , i − 2וכן הלאה( .לכן,
det(A) = det(B) · (−1)i−1 .
עתה נשתמש בפיתוח ) det(Bלפי השורה הראשונה .נקבל
(−1)1+j aij det(Aij ),
n
∑
= ) (−1)1+j b1j det(B 1j
n
∑
j=1
= )det(B
j=1
וזה נותן לבסוף
(−1)i+j aij det(Aij ).
n
∑
= )det(A
j=1
זאת נוסחת פיתוח לפי שורה .iעתה נקבל נוסחת פיתוח לפי עמודה .jנשתמש בכך שעמודה jבמטריצה Aמתאימה לשורה j
במטריצה המשוחלפת .לפי הנוסחה הקודמת
n
∑
= ) det(A
) (−1)i+j a′ji det(A′ji
′
i=1
)פיתוח לפי שורה ).jאם ניקח בחשבון כי ) det(A′ ) = det(Aוגם ,a′ji = aij , A′ji = Aijנקבל בסופו של דבר
(−1)i+j aij det(Aij ).
n
∑
= )det(A
i=1
תרגיל .2מצאו הבדל בין נוסחות פיתוח דטרמיננטה לפי שורה ולפי עמודה.
7.2
מטריצת בלוקים.
למה .2.2תהי
)
B C
0 D
(
= Aכאשר Bמטריצה D ,m × mמטריצה ,n × nו C -מטריצה . m × nאזי
det(A) = det(B) det(D).
14
הוכחה.
אינדוקציה לפי .m
משתמשים בפיתוח לפי עמודה ראשונה של .Aכיוון ש ai1 = 0 -עבור ,m < iמקבלים
(−1)i+1 ai1 det(Ai1 ).
m
∑
= )det(A
i=1
במקרה m = 1זה נותן את הנוסחה הנדרשת ).det(A) = a11 det(D
במקרה m > 1הנחת האינדוקציה נותנת ) ,det(Ai1 ) = det(B i1 ) det(Dואז מקבלים
m
∑
= )det(A
(−1)i+1 ai1 det(B i1 ) det(D) = det(B) det(D).
i=1
למה הוכח□ .
8.2
נוסחה למטריצה הופכית.
)
(
(
)
d −b
a b
= Aהפיכה ,אז
נזכיר כי אם מטריצה
−c a
c d
מטריצות ריבועיות כלליות .נגדיר מטריצה חדשה ) A′ = (a′ijע''י הנוסחה ) a′ij = (−1)i+j det(Ajiכאשר Ajiמתקבלת
מ A -ע''י מחיקת שורה jועמודה .iנכפיל Aב:A′ -
1
)det(A
n
∑
(−1)k+j aik det Ajk
= aik a′kj
k=1
n
∑
= .A−1עתה נציג הכללה של נוסחה זו עבור
= (AA′ )ij
k=1
במקרה ) i = jאיבר האלכסון( הנוסחה נותנת ). det(Aנניח . i ̸= jנבנה מטריצה Bכדלקמן :נמחק ב A-שורה ,jונכתוב
בתוכה שורה . iל B -שתי שורות זהות .לכן . det(B) = 0 ,אך ,מצד שני ,אם נפתח ) det(Bלפי שורה ,jנקבל את האגף
1
) .A−1 = det(Aזאת נוסחה מפורשת למטריצה
הימיני של הנוסחה דלעיל .אנחנו קיבלנו כי . AA′ = det(A) · IלכןA′ ,
הופכית.
הערה .2.1הדרך כלל שימוש בנוסחה המפורשת לחישוב מטריצה הופכית לא יעיל .האלגוריתם היעיל ביותר לחישוב מטריצה הופכית
הוא האלגוריתם המבוסס על שיטת גאוס.
9.2
כלל קראמר ) (.Rule Cramer
נוסחה מפורשת לחישוב מטריצה הופכית מאפשרת להציג נוסחה מפורשת גם לפתרון למערכת משוואות ליניאריות .תהי Ax = b
מערכת משוואות ליניאריות ,כך ש A -ריבועית )מספר הנעלמים שווה למספר המשוואות( .נניח כי Aהפיכה .אזי הפתרון הוא
1
) x = A−1 b = det(Aכאשר ) A′ = (a′ijעם ) .a′ij = (−1)i+j det(Ajiלכן,
A′ b
.
) det(Aji
i+j b
j
∑n
)j=1 (−1
)det(A
15
∑n
=
′
j=1 aij bj
)det(A
= xi
נשאר להוסיף כי את המונה של הנוסחה ניתן לפרש כפיתוח לפי עמודה של דטרמיננטה מסוימת:
תהי Aiמטריצ Type equation here.ה המתקבלת מ A -ע''י החלפת עמודה iבעמודה bשל האיברים החופשיים .אזי לפתרון
xקיבלנו נוסחה מפורשת:
) det(Ai
= xi
.
)det(A
10.2
מטריצת Vandermondeושימושיה
אנחנו יודעים היטב כי דרך שתי נקודות שונות ניתן להעביר קו ישר יחד .ומה לעשות אם יש לנו יותר משתי נקודות? האם עבור n
נקודות אפשר למצוא פונקציה פולינומיאלית ) y = f (xשעוברת דרך כולן? ופולינום בעל איזו מעלה עלינו לחפש?
יהיו x1 , . . . , xnערכים של המשתנה xויהיו y1 , . . . , ynערכים של הפונקציה .עלינו למצוא פולינום ) f (xכך שf (xi ) = yi -
.לפולינום בעל מעלה mיש m + 1מקדמים .a0 , a1 , . . . , am -לכן סביר להניח כי ,כדי שהגרף יעבור דרך nנקודות ,יש לחפש
פולינום בעל מעלה .n − 1הנחה זו מתיישבת היטב גם עם העובדה הידועה כי לשתי נקודות יש יחפש קו ישר -פולינום ממעלה .1
הבעיה שלנו היא למצוא את המקדמים a0 , . . . , an−1המקיימים את המשוואות
ak xj k = yj , j = 1, . . . , n.
n−1
∑
k=0
זאת מערכת של nמשוואות ליניאריות עם nנעלמים .אם יש לה דטרמיננטה שונה מאפס -למערכת פתרון יחיד :קיים ויחיד פולינום
העובר דרך הנקודות הנתונות .המטריצה שדטרמיננטה שלה כה חשובה לנו ,נקראת מטריצה של Vandermondeעל שמו של מדען
צרפתי של החצי השני של המאה .18רכיביה של המטריצה הם חיזקות של .xiהנה היא:
x1n−1
xn−1
2
...
xnn−1
...
...
...
...
x21
x22
...
x2n
x1
x2
...
xn
1
1
...
1
דטרמיננטה של מטריצה זו נקראת דטרמיננטת ונדרמונד.
משפט .2.2דטרמיננטת ונדרמונד שווה ל-
x1n−1
∏
xn−1
2
=
) (xi − xj
...
i>j
xnn−1
...
...
...
...
x21
x22
...
x2n
x1
x2
...
xn
1
1
det
...
1
.בפרט ,היא שונה מאפס כאשר כל ה xiשונים זה מזה.
יש ,בעצם ,שתי הוכחות .השנייה תהיה הרבה יותר יפה ופשוטה ,אך תשתמש ברעיונות שלא נוכל ,בשלב זה ,להצדיק .הנה הוכחה
ראשונה.
הוכחה.
16
שלב ראשון
נחסיר מכל שורה מספר , kהחל מהשורה השנייה ,את השורה הראשונה .נקבל מטריצה שבה אותה שורה הראשונה ,ובמקום
l−1
. xl−1בפרט ,עבור l = 1מספר זה שווה לאפס.
) (k, lעבור ,k > 1נמצא מספר
k − x1
שלב שני
נחסיר מכל עמודה מס' ) lמתחילים ב ( l = n -את העמודה מס' l − 1המוכפלת ב .x1 -בשורה הראשונה ישאר רק 1בפינה
השמאלית ,ובמקום ה (k, l) -עבור ,k, l ≥ 2יהיה
(
)
l−1
l−2
l−2
xl−1
−
x
−
x
x
−
x
= (xk − x1 ) xl−2
1
1
1
k
k
k .
שלב שלישי
עתה קל מאוד לערוך אינדוקציה .נסמן
) W (x1 , . . . , xn
דטרמיננטת ונדרמונד .אזי השבים ראשון ושני שעשינו נותנים:
(xk − x1 ) · W (x2 , . . . , xn ) .
n
∏
= ) W (x1 , . . . , xn
k=2
נוסחה זו מיד נותנת את הנדרש□ .
הוכחה שניה
הוכחה.
דטרמיננטת ונדרמונד היא פולינום של .x1 , . . . , xnאם נציב ,xk = xlדטרמיננטה מתאפסת )שתי שורות זהות( .לכן,
דטרמיננטת ונדרמונד מתחלקת בכל הפרש .xk − xlלכן היא מתחלקת גם במכפלתם של כל ההפרשים .נשאר רק לחשב את
המקדם -הוא שווה ל□ .1 -
17
3
1.3
אופרטורים :ערכים עצמיים ,וקטורים עצמיים
מבוא.
חלק א' של הקורס הוקדש למרחבים וקטוריים ולהעתקות לינאריות.יהי kשדה שישאר קבוע למשך סעיף זה .אחד הדברים החשובים
שלמדנו בחלק א' הוא המשפט האומר כי כל מרחב וקטורי בעל מימד nאיזומורפי ל) kn -אוסף עמודות באורך (.n
משפט זה מתאר כל מרחבים וקטוריים בעלי מימד סופי עד כדי איזומורפיזם.
בעיה אחרת שפתרנו בחלק א' של הקורס היא מיון של העתקות לינאריות .תהי f : V → Wהעתקה לינארית ממרחב Vבעל
מימד nלמרחב Wבעל מימד .mאחד המשפטים שהוכחנו בחלק א' של הקורס אומר :ניתן למצוא בסיס v1 , . . . , vnבV -
ובסיס w1 , . . . , wmב W -כך שההעתקה fמוגדרת על-ידי הנוסחאות:
{
wi , i ≤ k
= ) f (vi
0, i > k.
כאן מספר kהוא הדרגה של ) fשהיא מוגדרת כ dim Im(f ) -או ) (. n − dim Ker(fבמלים אחרות ,המשפט אומר כי אפשר
למצוא בסיסים ב V -וב W -כך שהמטריצה המיצגת של fתיראה כך:
0
0
0
0
...
...
...
...
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
)ב k -מקומות הראשונים של האלכסון ; 1 -בשאר מקומות המטריצה (. 0 -
משפט זה גם כן ניתן לפרש כמשפט מיון של העתקות לינאריות :העתקה לינארית fמוגדרת באופן יחיד עד כדי איזומורפיזם
על-ידי שלושה מספרים:
n = dim(V ) , m = dim(W ) , k = rk(f ).
כדי להבין טוב יותר את משמעות המשפט ,ננסח אותו בשפה של מטריצות .כאן נתונה לנו מטריצה ) .A ∈ M atm,n (kאם
Cמטריצה שעמודותיה איברי בסיס חדש ב ,V -ואילו Dמטריצה שעמודותיה איברי בסיס חדש ב ,W -אחרי המעבר לבסיסים
החדשים נקבל מטריצה ) A′ = D−1 ACראה הרצאה 13של חלק א'( .לכן המשפט שאנו דנים בו אומר כי לכל מטריצה
) A ∈ M atm,n (kקיימות מטריצות הפיכות ) , C ∈ M atn (k), D ∈ M atm (kכך שהמכפלה D−1 ACהיא מהצורה
0
0
0
0
...
...
...
...
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
אפשר גם לומר כי הצורה הזאת היא הצורה הקנונית של העתקה לינארית .עתה אנו מתחילים לחקור מקרה של העתקה לינארית
f : V → Vממרחב Vלעצמו.
2.3
מה זה מיון אופרטורים?
אופרטור לינארי הוא העתקה לינארית f : V → Vממרחב Vלעצמו.
18
הגדרה .3.1אופרטור f : V → Vאיזומורפי לאופרטור g : W → Wאם קיים איזומורפיזם α : V → Wכך שמתקיים
))g(α(x)) = α(f (x
לכל .x ∈ Vבמילים אחרות g ◦ α = α ◦ f :או אפילו .f = α−1 ◦ g ◦ α
מטרת המיון :לתאר את כל האופרטורים עד כדי איזומורפיזם.
בשפה של מטריצות:
הגדרה .3.2שתי מטריצות A, A′נקראות דומות אם קיימת מטריצה הפיכה Cכך ש-
A′ = C −1 AC
)כדאי להשוות את זה הן עם מה שנאמר בסעיף ) (1.3והן מושג שקילות באופרטורים(.
מטרת המיון :לתאר את כל המטריצות עד כדי דמיון .מיון המטריצות עד כדי דימיון יעשה ע''י כך שאנו נגדיר אוסף מיוחד של
מטריצות )מטריצות בצורת ז'ורדן ( Jordanונוכיח כי כל מטריצה דומה למטריצה בצורת ז'ורדן .מיון זה תקף רק עבור שדות סגורים
אלגברית )אנו נזכיר מושג זה בהמשך( .צורת ז'ורדן של מטריצה כמעט יחידה -עד כדי החלפת תאים )תאי ז'ורדן( בה.
עוד ניסוח שקול של אותו המשפט:
יהי f : V → Vאופרטור לינארי מעל שדה סגור אלגברית .קיים בסיס ב V -עבורו המטריצה המייצגת של fהיא בצורת
ז'ורדן .אנו נתחיל ממקרה פרטי dim V = 2שבו כבר נבחין כמה תופעות חשובות.
3.3
פתרון הבעיה במימד .2
ובכן f : V → V , dim V = 2 ,אופרטור .רעיון ראשון.
נחפש וקטור 0 ̸= v ∈ Vכך ש f (v) = λv -עבור מספר λ ∈ kמסויום.
הגדרה .3.3וקטור vכזה נקרא וקטור עצמי ,ו λ -נקרא ערך עצמי של . v
למה זה טוב? כי אם נצליח למצוא ב V -בסיס של וקטורים עצמיים ,אז המטריצה שתיצג את fתהיה אלכסונית .משוואה
f (v) = λvהיא מערכת משואות הומוגניות; יש לה פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם האופרטור f − λ · idלא הפיך .נחפש כל
λכך ש f − λ · id -לא הפיך.
(
)
a b
= Aאז f − λ · idייוצג ע''י מטריצה
אם fמיוצג בבסיס מסוים ע''י מטריצה
c d
(
)
a−λ
b
= A − λI
c
d−λ
.מטריצה זו לא הפיכה אם ורק אם דטרמיננטה שלה שווה לאפס:
(
)
a−λ
b
det
= 0.
c
d−λ
במילים אחרות ,ערכים עצמיים של fהם שורשים של הפולינום:
λ2 − (a + c)λ + (ad − bc).
19
פולינום זה נקרא פולינום אפייני של ) fאו של מטריצה (.A
תופעה ראשונה .למשוואה ריבועית לא תמיד יש פתרונות .למשל ,אם ) k = Rשדה הממשיים( ,למשוואה λ2 + 1 = 0
אין פתרונות .לכן ,בעית המיון הרבה יותר פשוטה כאשר אנחנו עובדים עם שדה המרוכבים .נניח מעתה בסעיף זה כי .k = Cיהיו
λ1 , λ2שני השורשים של הפולינום האפייני.
תופעה שניה .יש להבדיל בין שני מקרים :שורשים שונים ושורשים נלכדים .מקרה יותר פשוט.λ1 ̸= λ2 :
קיים וקטור 0 ̸= v1כך ש. f (v1 ) = λ1 v1 -
קיים וקטור 0 ̸= v2כך ש.f (v2 ) = λ2 v2 -
אני טוען כי v1 , v2בלתי-תלויים לינארית .ואמנם ,אילו הם היו תלויים לינארית ,היה מתקיים v2 = cv1ואז
f (v2 ) = f (cv1 ) = cf (v1 ) = cλ1 v1 = λ1 v2 .
מצד שני ,f (v2 ) = λ2 v2 ,וזה גורר
(λ1 − λ2 )v2 = 0 ⇐ λ1 v2 = λ2 v2
שזה בלתי-אפשרי כי .λ1 − λ2 ̸= 0, v2 ̸= 0
ובכן ,נבחר } {v1 , v2כבסיס של ) Vנזכיר כי dim V = 2לפי ההנחה( .כיוון ש f (v1 ) = λ1 v1 -ו,f (v2 ) = λ2 v2 -
המטריצה המיצגת של fבבסיס זה היא
(
)
λ1 0
.
0 λ2
מקרה פחות פשוט .λ1 = λ2 :יהי λהשורש הכפול של המשוואה האפיינית .למערכת ההומוגנית (A − λI)v = 0יש פתרון
לא טריוויאלי .מהו מימד מרחב הפתרונות? ברור כי 1או .2שתי האפשרויות אלה אכן אפשריות.
מקרה של מימד .2זה אומר כי (A − λI)v = 0לכל .v ∈ Vזה פשוט אומר כי A = λIואם כן ,בכל בסיס
(
)
λ 0
=A
.
0 λ
מקרה של מימד .1נבחר v1כך ש Av1 = λv1 -נשלים v1לבסיס } {v1 , v2של .Vמטריצה מיצגת של fתיראה אז
(
)
λ a
=A
.
0 b
יתר על כן b = λ ,כי λשורש כפול של המשוואה האפיינית .לכן,
(
)
λ a
.
=A
0 λ
)
עכשיו ,אם נחליף v2ב , a1 v2 -בבסיס החדש fייוצג ע''י המטריצה
λ 1
0 λ
(
= .Aבסיכום ,הוכחנו את המשפט הבא:
משפט .3.1כל מטריצה 2 × 2מעל שדה המרוכבים דומה לאחת המטריצות הבאות:
20
)
.1
)
.2
)
.3
4.3
0
λ2
0
λ
1
λ
λ1
0
(
λ
0
(
λ
0
(
.λ1 ̸= λ2 ,
ערכים עצמיים ,וקטורים עצמיים )מקרה כללי(.
נחזור למקרה הכללי.
הגדרה .3.4יהי T : V → Vאופרטור ליניארי .וקטור 0 ̸= v ∈ Vנקרא וקטור עצמי של Tאם קיים מספר λ ∈ kכך ש-
T (v) = λv,
במקרה זה λנקרא ערך עצמי .אוסף כל וקטורים עצמיים של אותו ערך עצמי כולל וקטור 0נסמן כי .Vλבמילים אחרות
Vλ = {v ∈ V | T (v) = λv} .
אז כמו קודם λ ∈ k ,הוא ערך עצמי של מטריצה ) A ∈ M atn (kאם ורק אם
det(λI − A) = 0,
כאשר Aהיא מטריצה מייצגת של .Tנזכיר כי דטרמיננטה היא פונקציה פולינומיאלית של רכיבי המטריצה .לכן ,המשוואה למציאת
הערכים העצמיים הינה משוואה פילינומיאלית.
הגדרה .3.5שדה kנקרא שדה סגור אלגברית אם לכל פולינום
)f (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 , (n > 0
יש שורש ב.k -
דוגמא .3.1שדה המרוכבים Cסגור אלגברית )"המשפט העיקרי של אלגברה"(.
מעתה kשדה סגור אלגברית ,למשל ,שדה המרוכבים.
יהי fפולינום עם מקדם ראשי .1אזי ) f (t) = (t − λ1 ) · · · (t − λnכאשר - λiשורשים של .fיש לציין כי ,כמו
במקרה ,n = 2בין השורשים יכולים להיות זהים.
מסקנה .3.1לאופרטור במרחב - nמימדי )או למטריצה n (n × nערכים עצמיים )כאשר כל אחד נלקח עם ריבויו(.
יהי λערך עצמי של .Aכדי למצוא וקטורים עצמיים המתאימים ל , λ -יש לפתור מערכת משוואות הומוגניות .(A−λI)v = 0
אוסף פתרונות מערכת זו מהווה תת-מרחב של וקטורים עצמיים המתאימים לערך עצמי .λעוד מעט נוכיח כי מימד מרחב זה קטן או
שווה לריבוי של .λאם נצליח למצוא nוקטורים עצמיים בלתי-תלויים לינארית ,אז ניתן לבחור אותם כוקטורי הבסיס ,ובבסיס חדש
זה האופרטור תירשם ע''י מטריצה אלכסונית .נזכיר כי כבר במקרה n = 2אין זה תמיד אפשרי.
21
5.3
פולינום אפייני.
הגדרה .3.6תהי ) . A ∈ M atn (kפולינום אפייני של Aמוגדר ע''י הנוסחה
PA (t) = det(t · I − A).
נסמן את רכיביה של המטריצה ) .B = tI − A : B = (bij
: i=j
=: i
̸ j
t − aij
−aij
{
= bij
אזי ,לפי הנוסחה המפורשת,
sgn(s)bs1 1 bs2 2 · · · bsn n .
∑
= )PA (t) = det(B
s∈Sn
כיוון שכל bijהוא פולינום בעל דרגה 0או PA (t) ,1הוא פולינום בעל דרגה ⩾ .nנציין כמה תכונות של פולינום אפייני.
.1דרגה של ) PA (tהיא nוהמקדם הראשי שווה ל .1 -ואמנם ,בנוסחה של דטרמיננטה האיבר המתאים לתמורת זהות הוא
(t − a11 ) . . . (t − ann ).
האיברים המתאימים לשאר התמורות ,מכילים לכל היותר n − 2איברי האלכסון ,כך ש הדרגה של שאר המחוברים היא
⩾ .n − 2
.2המקדם של tn−1ב PA (t) -הוא ) −tr(Aכאשר ) tr(A) = a11 + . . . + annעקבה של המטריצה( .זה נובע
מאותו שיקול כמו הטענה הקודמת.
.3האיבר החופשי של ) PA (tשווה ל .(−1)n det(A) -זה נובע מכך שהאיבר החופשי הוא ).PA (0) = det(−A
.4אם Cמטריצה הפיכה ואם A′ = C −1 ACאז .PA′ = PAזה נובע מנוסחת דטרמיננטה של מכפלת מטריצות:
)det(tI − C −1 AC) = det(C −1 (tI − A)C) = det(C)−1 det(tI − A) det(C) = det(tI − A
הגדרה .3.7יהי T : V → Vאופרטור ליניארי Aמטריצה מייצגת שלו ו p(t) = (t − λ1 )d1 . . . (t − λk )dk -פולינום
אופייני שלו .אזי ריבוי אלגברי של ערך עצמי λiהוא ,diריבוי גיאומטרי של ערך עצמי λiהוא dim Vλiכאשר Vλiהוא
מרחב הוקטורים עצמיים של ערך עצמי ) λiכולל וקטור אפס(.
משפט .3.2יהי T : V → Vאופרטור ליניארי ,אזי לכל ערך עצמי λריבוי אלגברי שלו גדול או שווה מריבוי גיאומטרי.
הוכחה.
יהי v1 , . . . , vkבסיס של ,Vλז.א k .הוא ריבוי גיאומטרי של .Tנשלים וקטורים האלה עד הבסיס של V
v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vn
22
בבסיס זה מטריצה מייצגת של Tהיא
t1n
t2n
...
tkn
tk+1n
tk+2n
...
tnn
לכן פולינום אופייני
...
...
...
...
...
...
...
...
λ
0
0 . . . 0 t1k+1
0
λ
0 . . . 0 t2k+1
... ... ... ... ... ...
0
0
0 . . . λ tkk+1
0
0
0 . . . 0 tk+1k+1
0
0
0 . . . 0 tk+2k+1
... ... ... ... ... ...
0
0
0 . . . 0 tnk+1
T̄ =
)p(t) = det(λI − T̄ ) = (t − λ)k q(t
ואז ריבוי אלגברי של λגדול או שווה ל□ .k -
6.3
שפת האופרטורים.
הגדרה .3.8מרחב וקטורי עם אופרטור הוא זוג ) (V, fכאשר Vמרחב וקטורי ו f : V → V -אופרטור לינארי.
לפי מה שנאמר בסעיף ) (5.3אפשר להגדיר את הפולינום האפייני של אופרטור fעל מרחב וקטורי Vבעל מימד סופי :יש לבחור
בסיס ב , V -אז fייוצג ע''י מטריצה ,Aונוכל להגדיר פולינום אפייני של fכפולינום אפייני של .Aההגדרה לא תלויה בבחירת
בסיס של Vכי מטריצות מיצגות בבסיסים שונים דומות זו לזו ,ואילו הפולינומים האפייניים של מטריצות דומות זהים.
הגדרה .3.9יהיו ) (V, fו (W, g) -שני מרחבים עם אופרטור .מורפיזם ) α : (V, f ) → (W, gמוגדר כהעתקה לינארית
α : V → Wהמקיימת את התנאי )) α(f (v)) = g(α(vלכל .v ∈ V
הגדרה .3.10יהי ) (V, fמרחב עם אופרטור .תת-מרחב וקטורי Wשל Vנקרא אינווריאנטי אם f (x) ∈ Wלכל .x ∈ W
{
}
דוגמא V = a + bt + ct2 .3.2אוסף פולינומים מעל הממשיים בעלי דרגה ⩾ .2
d
,f = dtכך ש .f (a + bt + ct2 ) = b + 2ct -אז אוסף פולינומים מעל הממשיים בעלי דרגה ⩾ 1הוא תת-מרחב
יהי
אינווריאנטי של .V
7.3
סכום ישיר.
תזכורת .יהי V1 , . . . , Vnהם תתי-מרחבים של מרחב וקטורי ,Vאזי
} U = V1 + . . . + Vn = {v1 + . . . + vn | vi ∈ Vi
Uנקרא סכום של תתי-מרחבים .V1 , . . . , Vn
הגדרה .3.11סכום U = V1 + . . . + Vnנקרא ישיר אם לכל וקטור v ∈ Uההצגה v = v1 + . . . + vnכאשר vi ∈ Vi
היא יחידה .במקרה זה מסמנים אותו
U = V1 ⊕ . . . ⊕ Vn .
23
משפט .3.3
V = V1 ⊕ V2
אם ורק אם
V = V1 + V2 .1
V1 ∩ V2 = {0} .2
הוכחה.
∈
∈
∈
∈
יהי V = V1 ⊕ V2אזי ברור ש .V = V1 + V2 -נוכיח ש:V1 ∩ V2 = {0} -
נניח ש v ∈ V1 ∩ V2 -אז
v = v + 0 = 0 + v
V2
V1
V2
V1
ומפני שהצגה היא יחידה נקבל ש.v = 0 -
כיוון הפוך :נניח ש - 2 ,1מתקיים ו-
v = v1 + v2 = u1 + u2
∈
∈
לכן
v1 − u1 = u2 − v2
V2
V1
ומפני שחיתוך של V1ו V2 -מכיל רק וקטור אפס נקבל ש v1 − u1 = u2 − v2 = 0 -לכן □ .v1 = u1 , v2 = u2
דוגמא .3.3יהי V = R2 ,
V1 = {(x, 0) | x ∈ R} ,
V2 = {(0, y) | y ∈ R} ,
V3 = {(x, x) | x ∈ R} ,
U =V
אזי
V = V1 ⊕ V2 , V = V1 ⊕ V3 , V = V2 ⊕ V3
לפי משפט הקודם ולפי אותו משפט סכום הבא אינו ישיר
V = V1 + U
ונשים לב שגם סכום
V = V1 + V2 + V3
אינו ישיר יאומת זאת,
V1 ∩ V2 = V1 ∩ V3 = V2 ∩ V3 = {0}.
זה אומר שהמשפט הקודם אי-אפשר להכליל )ישירות( למקרה יותר משני מרחבים.
24
משפט .3.4אם
V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vn
אזי
dim V = dim V1 + . . . + dim Vn .
הוכחה.
כדי להוכיח את הטענה מספיק לארות שאיחוד של הבסיסים של תתי-מרחבים V1 , . . . , Vnמהווה את הבסיס של .V
יהי v11 , . . . , v1k1בסיס של V1ו vn1 , . . . , vnkn . . .-בסיס של .Vnנניח
c1i v1i = 0
kn
∑
c1i v1i + . . . +
i=1
k1
∑
i=1
מפני שסכום תתי-מרחבים הוא ישיר אז הצגה של 0היא יחידה ,ואז היא
0 + ... + 0 = 0
לכן
c1i v1i = 0.
kn
∑
c1i v1i = 0, . . . ,
i=1
k1
∑
i=1
אבל וקטורים
vi1 , . . . , vik1
הם בת''ל לכל ,iז.א .כל המקדמים .cij = 0לכן כל וקטורים v11 , . . . , v1k1 , . . . , vn1 , . . . , vnknהם בת''ל ,ואז הם באמת
מהווים בסיס של □ .V
משפט .3.5יהי T : V → Tאופרטור ליניארי λ1 , . . . , λk .הם ערכים עצמיים שלו .אזי
W = Vλ1 ⊕ . . . ⊕ Vλk .
הוכחה.
יהי
אזי
w = v1 + . . . + vk = u1 + . . . + uk , vi , ui ∈ Vλi
(v1 − u1 ) + . . . + (vk − uk ) = 0.
מפני שוקטור vi − uiהוא וקטור עצמי של ערך עצמי λiנקבל ש-
1(vk − uk ) = 0
λk (vk − uk ) = 0
λ2k (vk − uk ) = 0
+
+
+
+ λk−1
k (vk − uk ) = 0
25
1(v1 − u1 ) + . . .
λ1 (v1 − u1 ) + . . .
λ21 (v1 − u1 ) + . . .
...
λk−1
(v
−
u
)
+
...
1
1
1
נסמן ב xi -קוורדינטה מספר jשל וקטור .vi − uiנקבל
= 0.
x1
x2
..
.
xk
1
1
λ1
λ2
λ21
λ22
...
...
k−1
λ1
λk−1
2
...
1
. . . λk
. . . λ2k
... ...
. . . λk−1
k
מטריצה הזאת היא מטריצה משוכלפת של מטריצת ונדרמונד ז.א .דטרמיננטה שלה היא דטרמיננטה של ונדרמונד והיא שווה ל-
∏
(λi − λj ) ̸= 0,
i>j
כי כל ערכים עצמיים הם שונים .לכן למערת משוואות ליניריות קיים רק פתרון טריווילי
x1 = x2 = . . . = xk = 0
ומכאן נובע ש כל קוורדינטה ) (jשל וקטור vi − uiשווה לאפס לכל ,iואז הצגה היא יחידה□ .
8.3
משפט ספקטרלי הראשון.
הגדרה .3.12אופרטור T : V → Vנקרא לכסין אם קיים בסיס כך שבו מטריצה מייצגת שלו ̄ Tהיא אלכסונית.
מטריצה Aנקראת לכסינה אם קיימת מטריצה Cכך ש-
A = C −1 LC
כאשר Lהיא מטריצה אלכסונית .או במילים אחרות ,אם Aדומה למטריצה אלכסונית.
מסקנה .3.2אופרטור הוא לכסין אם ורק אם המטריצה מייצגת שלו היא לכסינה.
משפט ) 3.6ספקטרלי הראשון( .מטריצה Aלכסינה אם ורק אם לכל ערך עצמי ריבוי אלגבלי שווה לריבוי גיאומטרי שלו.
הוכחה.
יהי λ1 , . . . , λk ,T : V → V, T (v) = Avערכים עצמיים של Tו-
p(t) = (t − λ1 )d1 (t − λ2 )d2 . . . (t − λk )dk
פולינום אופיני של .Tאם ריבוי אלגבלי שווה לריבוי גיאומטרי לכל ערך עצמי אז סכום ריבוים גיאומטריים שווה למימד של מרחב
.Vבמילים אחרות
dim Vλ1 + . . . + dim Vλk = d1 + . . . + dk = dim V,
ז.א .מימד של W = Vλ1 ⊕ . . . ⊕ Vλkשווה ל dim V -ומכאן נובע ש-
V = Vλ1 ⊕ . . . ⊕ Vλk .
26
לכן ב V -קיים בסיס המורכב מוקטורים עצמיים .v1 , . . . , vnנתבונן במטריצה מייצגת של Tבבסיס זה.
בבסיס זה
λ1
0
0
0
λ2
0
0
0
0
T (v1 ) =
, T (v2 ) =
, . . . , T (vn ) =
,
..
..
..
.
.
.
λn
לכן
0
... 0
... 0
... ...
. . . λn
אלכסונית.
כיוון נגדי:
יהי
... 0
... 0
... ...
. . . cn
0
λ1 0
0
0 λ2 0
T̄ =
... ... ...
0
0
0
c1 0
0
0 c2 0
A=
... ... ...
0
0
0
ויהי ciנמצה באלכסון mפעמים ,ז.א ci .הוא ערך עצמי בעל ריבוי אלגברי .mאז
rank(ci I − A) = n − m
וריבוי גיאומטרי של ciשווה ל□ .dim Vci = n − (n − m) = m -
9.3
מרחב-מנה.
הגדרה .3.13יהי Vמרחב וקטורי W, U ,תת-קבוצות של .Vאז
x + W = {x + w | w ∈ W } ,
λW = {λw | w ∈ W } ,
U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W } .
הגדרה ) 3.14מרחב-מנה( .יהי Vמרחב וקטורי W ,תת-מרחב של .Vאז
/
} V W = {x + W | x ∈ V
/
מרחב וקטורי ביחס לפעולות המוגדרות בהגדרה קודמת .מרחב V Wנקרא מרחב מנה.
27
כל להרות שפעולות אלה אפשר לנסאח באופן הבא:
(x + W ) + (y + W ) = (x + y) + W,
λ(x + W ) = (λx) + W.
יש לציין כי x + W = y + Wאם ורק אם .x − y ∈ W
נגדיר העתקה לינארית
/
V
→ ρ:V
W , ρ(x) = x + W.
ברור שהיא על והגרעין שלה הוא .Wלכן נקבל
/
dim V W = dim V − dim W.
הגדרה .3.15יהי Vמרחב וקטורי W ,תת-מרחב של Vו f : V → V -אופרטור ליניארי .אזי Wנקרא אינווריאנטי ביחס ל-
fאם .f (W ) ⊂ W
/
נניח עתה כי Vמרחב ו f : V → V -אופרטור ,ויהי W ⊆ Vתת-מרחב אינווריאנטי .אזי מרחב מנה V Wגם כן רוכש
/
/
אופרטור f : V W → V Wהמוגדר ע''י הנוסחה
f (x + W ) = f (x) + W.
נבדוק כי הנוסחה בעלת משמעות :אם ,x + W = y + Wזאת אומרת ,אם ,x − y ∈ Wעלינו לבדוק כי
f (x) + W = f (y) + W,
או ,במילים אחרות ,כי .f (x) − f (y) ∈ Wזה נובע מיד מכך ש W -תת-מרחב אינווריאנטי.
V .3.1מרחב וקטורי W ,תת-מרחב של .Vויהי } {w1 , . . . , wkבסיס של Wו {e1 + W, . . . , em + W } -בסיס
למה /
V
של . Wאזי
} B = {w1 , . . . , wk , e1 , . . . , em
בסיס של .V
הוכחה.
/
מפני ש dim V W = dim V − dim W -נקבל שב Bיש בדיוק dim Vאיברים .ז.א .מספיק להוכיח שהם בת''ל.
נניח
λ1 w1 + . . . + λk wk + µ1 e1 + . . . + µk em = 0.
נפעיל לשווין העתקה ρונקבל
λ1 ρ(w1 ) + . . . + λk ρ(wk ) + µ1 ρ(e1 ) + . . . + µk ρ(em ) = 0,
µ1 ρ(e1 ) + . . . + µk ρ(em ) = 0,
µ1 (e1 + W ) + . . . + µk (em + W ) = 0,
/
אבל } {e1 + W, . . . , em + Wבסיס של V Wואז .µ1 = . . . = µm = 0ואם נציב את זה לשוויון התחלתי נקבל
ש λ1 w1 + . . . + λk wk = 0 -ומפני ש {w1 , . . . , wk } -בסיס של Wנקבל ש□ .λ1 = . . . = λk = 0 -
28
מסקנה .3.3יהי T : V → Vאופרטור /ליניארי W .תת-מרחב אינווריאנטי .ויהי } {w1 , . . . , wkבסיס של Wו-
} {e1 + W, . . . , em + Wבסיס של . V Wאזי מטריצה מייצגת של Tבבסיס } {w1 , . . . , wk , e1 , . . . , emהיא
מתריצת בלוקים
(
)
∗ A
0 B
/
/
כאשר Aהיא מריצה מייצגת של ,T |W : W → Wו B -היא מריצה מייצגת של .T̄ : V W → V W
10.3
פולינום אפייני במרחב מנה.
תת-מרחב אינווריאנטי של .Vבהרצאה הקודמת הסקנו כי אופרטור f
אופרטור f /: V → Vויהי / W
יהי Vמרחב וקטורי עם /
¯
¯
V
V
V
f :ע''י הנוסחה .f (x + W ) = f (x) + W
→ W
אןפרטור W
משרה על מרחב המנה W
עתה נחשב את הפולינום האפייני של ¯ .fאנחנו נסמן f |Wאת הצמצום של fעל .W
למה Pf (t) = Pf |W (t) · Pf¯(t) .3.2
הוכחה.
נבחר בסיס x1 , . . . , xkב W -ונשלים אותו לבסיס ב .x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn : V -אזי האיברים
xk+1 + W, . . . , xn + W
/
מהווים בסיס למרחב המנה . V Wנשתמש בבסיסים אלה כדי לחשב את הפולינומים האפייניים ) .Pf (t), Pf |W (t), Pf¯(tלפי
מסקנה ) (3.3המטריצה המיצגת של fבבסיס x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xnהיא בצורה
(
)
∗ A
0 B
/
/
כאשר Aמרימה ריבועית k × kהמיצגת את הצמצום ,f |Wואילו Bהמטריצה המיצגת את f : V W → V Wבבסיס
) xk+1 + W, . . . , xn + Wהרכיבים שנמצאים מעל למטריצה Bלא מעניינים אותנו( .בואו נבדוק את הטענה לגבי מטריצה .B
יהי ] .l ∈ [k + 1, nאנו מקבלים
bil xi + W.
n
∑
= bil xi + W
i=k+1
n
∑
∗il xi +
k
∑
= f¯(xl + W ) = f (xl ) + W
i=1
i=k+1
זה בדיוק אומר כי Bהמטריצה המיצגת של .f
עכשיו אנו מקבלים
)
, Pf |W (t) = det(tI − A), Pf¯ = det(tI − B).
הנוסחה לדטרמיננטה של מטריצת בלוקים משולשית מוכיחה את הנטען□ .
29
tI − A
∗
0
tI − B
(
Pf (t) = det
הערה .3.1אנחנו כבר השתמשנו בגרסה של למה זו בהוכחה של משפט קיילי-המלטון :כאשר בצענו מעבר האינדוקציה ,מצאנו וקטור
עצמי vובחרנו בסיס המכיל אותו .זה מתאים למה שמתואר בלמה כאשר ).W = Span(v
בתור דוגמא של שימוש במרחבי מנה נוכיח למה הבה:
למה .3.3כל מטריצה ריבועית Aדומה למטריצה משולשת עליונה.
הוכחה.
נגדיר העתקה T : V → V, T (v) = Avנוכיח טענה זאת באינדוקציה.
n = 1אין מה להוכיח ,כי מטריצה היא משולשת עליונה.
נניח של n = k -טענה היא נכונה ,נוכיח אותה ל .n = k + 1 -לאופרטור Tקיים לפחות וקטור עצמי אחד .v1זה יהיה וקטור
ראשון של בסיס שלנו.
/
/
להעתקה } T̄ : V Sp{v } → V Sp{vקיים בסיס
1
1
} v2 + Sp{v1 }, . . . , vn + Sp{v1
בו מטריצה מייצגת של Tהיא משולשת עליונה )לפי הנחת האינדוקציה( .אבל לפי למה ) (3.1וקטורים v1 , . . . , vnמהווים בסיס
של Vומפני ש Sp{v1 } -תת-מרחב אונווריאנטי לפי מסקנה ) (3.3מטריצה מייצגת של Tהיא מטריצת בלוקים
(
)
∗ A
0 B
כאשר Aהיא מריצה מייצגת של
T |Sp{v1 } : Sp{v1 } → Sp{v1 },
/
ו B -היא מריצה מייצגת של
Sp{v1 } ,
Sp{v1 } → V
/
T̄ : V
שמסיים את ההוכחכה□ .
11.3
משפט קיילי-המילטון ) (.Cayley-Hamilton
נוכיח עתה
משפט ) 3.7קיילי-המילטון( .תהי ) . A ∈ M atn (kאזי .PA (A) = 0
הוכחה.
אינדוקציה לפי גודל המטריצה.
בסיס האינדוקציה.n = 1 .
מטריצה Aכאן -סקלר .c ∈ kהפולינום האפייני .P = t − cאם נציב ,t = Aנקבל .PA (A) = c · I − A = 0
צעד אינדוקציה.
נניח כי המשפט כבר נבדק עבור מטריצות ב .M atn−1 (k) -נוכיח עבור ) .A ∈ M atn (kאנחנו קודם כל נניח כי השדה k
30
סגור אלגברית .אזי לפולינום אפייני של Aיש שורש ,נגיד .λ ,נבחר וקטור 0 ̸= v ∈ Vוקטור עצמי ל ,A -כך ש.Av = λv -
נשלים v ∈ knלבסיס ב . {v = v1 , . . . , vn } : kn -מטריצה Aדומה למטריצה
λ b12 . . . b1n
0 b22 . . . b2n
B=
... ... ... ...
0 bn2 . . . bnn
שהיא מיצגת אותו אופרטור אך בבסיס חדש .לפי סעיף ) .PA (t) = PB (t) (5.3לכן ,המטריצות ) PA (A) = PB (Aו-
) PB (Bדומות .לכן ,מספיק לנו להוכיח כי .PB (B) = 0נסמן ב C -את המטריצה שמתקבלת מ B -ע''י מחיקת השורה
הראשונה והעמודה הראשונה .אזי
PB (t) = det(tI − B) = (t − λ) det(tI − C) = (t − λ)PC (t).
בואו נחשב ).PC (B
נציין:
)
∗ λ
0 C
(
ולכן גם
)
= ,B
)
∗ λ2
0 C2
)
(
2
= ,B
)P (λ
∗
0
)P (C
∗ λn
0 Cn
(
n
= B
(
= )P (B
לכל פולינום .Pאם נציב ,PCנקבל כי ) PC (Bהיא מטריצה שכל שורותיה ,פרט לשורה הראשונה ,מתאפסות .לעומת זאת,
ל B − λI -עמודה הראשונה מתאפסת .לכן,
PB (B) = (B − λI)PC (B) = 0.
המשפט הוכח ,אם כי בהנחה כי השדה kסגור אלגברית.
כדי להוכיחו בלי הנחה זו ,יש להשתמש בעובדה מתורת השדות ,שנציג אותה ללא הוכחה.
עובדה .לכל שדה kקיים שדה סגור אלגברית Fהמכיל את . k
דוגמא .3.4השדות R, Qמוכלות בשדה המרוכבים Cשהוא שדה סגור אלגברית.
יהי עתה kשדה המוכל בשדה Fסגור אלגברית .אם ) ,A ∈ M atn (kאפשר להסתכל על Aכעל מטריצה בעלת רכיבים
ב .F -פולינום אפייני שלה לא תלוי בשדה בו אנחנו עושים את החישובים .לכן ,מהעובדה ש PA (A) = 0 -שאנו יודעים עבור שדה
Fנובע כי אותה טענה תקפה גם עבור שדה .kסוף ההוכחה□ .
12.3
אופרטורים נילפוטנטיים.
הגדרה .3.16האופרטור T : V → Vנקרא נלפוטנטי אם קיים n ∈ Nכך ש .T n = 0 -המספר n ∈ Nמינימלי כזה ש-
T n = 0נקרא סדר נלפוטנטיות של .T
מסקנה .3.4אם T : V → Vאז הוא אינו הפיך.
31
למה .3.4אם T : V → Vנלפוטנטי אזי יש לו רק ערך עצמי יחיד λ = 0בעל ריבוי אלגברי ) .dim(V
הוכחה.
יהי T (v) = λv, v ̸= 0אזי 0 = T n (v) = λn vולכן □ .λ = 0
מסקנה T : V → V .3.5נילפוטנטי אם ורק אם פולינום אופייני שלו P (t) = tnכאשר n = dim V
הערה .3.2אם Aמטריצה נילפוטנטית ,כל הערכים העצמיים שלה שווים לאפס .לכן ,אילו יתה מיוצגת ע''י מטריצה אלכסונית
בבסיס מסוים ,זאת היתה מטריצת האפס .זה אומר כי אין לנו סיכוי למצוא צורה אלכסונית למטריצה נילפוטנטית.
דוגמא - V = k[x]⩽n .3.5מרחב הפולינומים בעלי דרגה ⩾ .nיהי - f (F ) = F ′אופרטור הגזירה .בבסיס
}
{
xn
x2
1, x, , . . . ,
2
!n
הוא מיוצג ע''י המטריצה
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
כאן .n = 3
32
0
0
0
0
4
1.4
אופרטורים :צורת ז'ורדן ) (Jordan
תכנית עבודה.
יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה kויהי f : V → Vאופרטור לינארי .נניח כי הפולינום האפייני של fמתפרק לחלוטין .זה אומר
כי
Pf (t) = (t − λ1 )d1 . . . (t − λm )dm
כאשר - λ1 , . . . , λmערכים עצמיים שונים של fואילו diריבוי של השורש .λi
הערה .4.1פריקות מוחלטת של Pfהיא תנאי לקיום של צורת ז'ורדן שאותה נלמד בפרק זה .היא תמיד מתקיימת אם השדה k
סגור אלגברית.
בסעיף הבא של פרק זה אנחנו נתאים לכל ערך עצמי λשל fתת-מרחב אינווריאנטי - V̄λתת-מרחב של וקטורים עצמיים
מוכללים .אנחנו נוכיח כי dim V̄λi = diוגם כי ) V = V̄λ1 ⊕ . . . ⊕ V̄λmנבדוק מימדים - n = d1 + . . . + dm :הכל
מתאום -עוד לא טעינו!(
מזה אנחנו נסיק כי אם נבחר בסיסים בכל אחד מהמרחבים , V̄λiאז איחודם של בסיסים אלה יתן לנו בסיס של המרחב . Vהמטרימה
המיצגת של fבבסיס זה תיראה כמטריצת בלוקים:
· · · A1 0
0
· · · 0 A2
0
... ... ... ...
0
0 . . . Am
כך ש Ai -מטריצה של הצמצום של fעל .V̄λiעכשיו נשאר לנו להבין מה היא צורה קנונית של מטריצה המיצגת אופרטור בעל ערך
עצמי אחד בלבד .את האופרטורים בעלי ערך עצמי אחד בלבד אנו נחקור יותר מאוחר.
2.4
וקטורים עצמיים מוכללים.
יהי λערך עצמי של אופרטור .f : V → Vוקטור v ∈ Vנקרא וקטור עצמי מוכלל של ערך עצמי λאם קיים מספר טבעי N
כך ש-
(f − λI)N v = 0.
כאן ,כרגיל Iמסמן אופרטור זהות .I(v) = v
אוסף כל הוקטורים העצמיים המוכללים של ערך עצמי λנסמן .V̄λבמילים אחרות
}V̄λ = {v ∈ V | ∃n ∈ N (λI − A)n v = 0
מסקנה .4.1לכל ערך עצמי λמתקיים .Vλ ⊂ V̄λ
למה Vλ .4.1תת-מרחב וקטורי של .V
הוכחה.
33
אם x, y ∈ V̄λעלינו לוודא כי .cx, x + y ∈ V̄λואמנם ,אם (f − λI)N x = 0וגם (f − λI)M y = 0נבחר
מספר Lגדול או שווא ל ,M, N -ואז
(f − λI)L (x + y) = (f − λI)L x + (f − λI)L y = 0.
הסגירות ביחס לכפל בסקלר עוד יותר פשוטה□ .
למה V̄λ .4.2תת-מרחב אינווריאנטי של .V
הוכחה.
עלינו לוודא כי אם x ∈ V̄λאז .f (x) ∈ V̄λואמנם ,אם (f − λI)N x = 0אזי
(f − λI)N f (x) = f · (f − λI)N x = 0
כי האופרטורים fו (f − λI)N -מתחלפים□ .
משפט dim Vλ = d .4.1כאשר dריבוי אלגברי של .λ
הוכחה.
נוח מאוד להגדיר אופרטור חדש .g = f − λIלאופרטור gערך עצמי 0בעל ריבוי ,dוהמרחב V̄λהוא מרחב הוקטורים
/למה זה הריבוי של 0באופרטור gשווה לסכום
העצמיים המוכללים של gהמתאימים לערך עצמי .0עתה נשתמש /בלמה ) (3.2לפי
שני המספרים :הריבוי של 0ב g|V̄λ -והריבוי של 0באופרטור .ḡ : V V̄λ → V V̄λהצמצום g|V̄λהוא אופרטור נילפוטנטי.
לכן ,כל הערכים העצמיים שלו שווים לאפס ,ומספרם הוא .dim V̄λנשאר לנו להוכיח כי לאופרטור ̄ gאין ערך עצמי .0
/
אך אילו היה ,היה אפשר למצוא v + V̄λ ∈ V V̄λכך ש .g(v + V̄λ ) = 0 -אך זה גורר g(v) + V̄λ = 0 + Vλאו
.g(v) ∈ V̄λמשמעות הדבר כי קיים Nמספר טבעי כך ש .g N +1 (v) = g N (g(v)) = 0 -במלים אחרות v ∈ V̄λ ,ואז
.v + V̄λ = 0סוף הוכחת המשפט□ .
משפט .4.2יהי f : V → Vאופרטור ,כך שהפולינום האפייני שלו מתפרק:
(t − λi )di .
m
∏
= )Pf (t
i=1
אזי
V = V̄λ1 ⊕ . . . ⊕ V̄λm .
הוכחה.
אנחנו כבר יודעים כי V̄λiתת-מרחב אינווריאנטיים ב V -בעלי מימד .diנזכיר כי מרחב Vנקרא סכום ישיר של תת-מרחב
V̄λiאם שתי התכונות הבאות מתקיימות:
) V = V̄λ1 + . . . + V̄λm .1קיום הצגה(
.2אם yi
m
∑
i=1
= xi
m
∑
עבור xi , yi ∈ V̄λiאזי xi = yiלכל ) iיחידות ההצגה(.
i=1
34
נשים לב כי התכונה 2שקולה לתכונה הבאה
∑
mעבור xi ∈ V̄λiאזי xi = 0לכל .i
2א .אם i=1 xi = 0
ולפי משפט ) (4.1סכום מימדים של V̄λiשווה למימד של .Vואז מספיק לבדוק רק )2א( .נעשה את זה באינדוקציה לפי .m
:m = 2
צריך להוכיח ש .V̄λ1 ∩ V̄λ2 = 0 -ואמנם ,החיתוך W = V̄λ1 ∩ V̄λ2הוא תת-מרחב אינווריאנטי .אם ,0 ̸= x ∈ V̄λ1נבחר
Nהקטן ביותר כך ש .(f − λ1 I)N x = 0 -אזי y = (f − λ1 I)N −1מקיים תכונות וגם .(f − λ1 I)y = 0השוויון
האחרון אומר כי לכל m ∈ N
(f − λ2 I)m y = (λ1 − λ2 )m y ̸= 0,
אבל אז
(f − λ2 I)m (f − λ1 I)N −1 x = (f − λ1 I)N −1 (f − λ2 I)m x ̸= 0,
ז.א .לכל m ∈ N
(f − λ2 I) x ̸= 0,
m
∈ .x
לכן / Vλ2
נניח של n = m -טענה היא נכונה ,נוכיח אותה ל.n = m + 1 -
יהי
x1 + . . . + xm+1 = 0,
כאשר .xi ∈ Vλiנפעיל לשוויון הזה ,(f − λm+1 I)Nכאשר .(f − λm+1 I)N xm+1 = 0מפני ש V̄λi -אינוריאנטיים
ביחס ל f − λj I -נקבל
(f − λm+1 I)N x1 + . . . + (f − λm+1 I)N xm = 0,
|
{z
}
{z
}
|
y1 ∈V̄λ1
ym ∈V̄λm
לכן לפי הנחת אינדוקציה (f − λm+1 I)N xi = 0לכל .1 ⩽ i ⩽ mאבל מכאן נובע ש-
}xi ∈ Vλi ∩ Vλm+1 = {0
ואז מפני ש x1 + . . . + xm+1 = 0 -גם .xm+1 = 0סוף הוכחת המשפט□ .
3.4
סיקום זמני
נעצור לרגע וננסה להבין מה הבנו.
היה נתון לנו אופרטור f : V → Vאם הפולינום האפייני (t − λi )di
m
∏
i=1
= ) .Pf (tהגדרנו תתי-מרחב אינווריאנטיים Vλi
של הוקטורים האפייניים המוכללים .בדקנו כי .V = Vλi ⊕ . . . ⊕ Vλmאם עכשיו נבחר בסיס בכל אחד מהמרחבים ,Vλiונאחד
את הבסיסים האלה ,נקבל בסיס ל .V -אם נסמן ב Ai -את המטריצה המיצגת של הצמצום ,f |Vλiנקבל את המטריצה המיצגת של
fבצורת הבלוקים:
· · · A1 0
0
· · · 0 A2
0
A=
··· ··· ... ··· .
0
0 · · · Am
35
לכן ,בעית המיון של אופרטורים צומצמה לבעית המיון של אופרטורים מן הסוג המאוד ספציפי :אופרטורים בעלי ערך עצמי אחד בלבד.
אפשר לפשט את הבעיה עוד קצת :אם f : V → Vאופרטור בעל פולינום אפייני ,Pf = (t − λ)nאפשר להניח g = f − λI
ואז ,Pg (t) = tnזאת אומרת ,כי gאופרטור נילפוטנטי .אם נדע למיין אופרטורים נילפוטנטיים ,זה יתן לנו מיון עבור ,fכי הרי
.f = g + λIלכן ,נשאר לנו רק למיין אפפרטורים נילפוטנטיים.
4.4
צורת ז'ורדן לאופרטור נילפוטנטי.
משפט .4.3כל מטריצה נילפוטנטית Aדומה למטריצה
...
0
...
0
...
0
..
..
.
.
. . . an−1
...
0
0 a1 0 0
0 0 a2 0
0 0 0 a3
.. ..
..
..
. .
.
.
0 0 0 0
0 0 0 0
B=
כאשר aiשווה 1או .0
הוכחה.
נגדיר אופרטור T : V → V, T (v) = Avונשים לב שמה שצריח להוכיח ,זה קיום של בסיס של Vהבא:
v1 , T (v1 ), T 2 (v1 ), . . . , T n1 (v1 ), . . . , vk , T (vk ), T 2 (vk ), . . . , T nk (vk ),
כאשר .T ni +1 (vi ) = 0
נוכיח קיום של בסיס הזה באינדוקציה לפי .n = dim V
n = 1אינן מה להוכיח.
נניח של n < m -טענה היא נכונה ,נוכיח שהיא נכונה ל.n = m -
מפני ש T -אופרטור נילפוטנטי 0 < dim Im(T ) < mוברור ש Im(T ) -תת-מרחב אינוראנטי ביחס ל .T -לכן לפי הנחת
אינדוקציה קיים בסיס של ) Im(T
u1 , T (u1 ), T 2 (u1 ), . . . , T n1 (u1 ), . . . , uk , T (uk ), T 2 (uk ), . . . , T nk (uk ).
מפני ש ui ∈ Im(T ) -אז קיימים vi ∈ Vכך ש . T (vi ) = ui -מצעד אחר ) {T n1 (v1 ), . . . , T nk (vk )} ⊂ Ker(T
משלים קבוצה זאת עד הבסיס של ) Ker(Tעל ידי .w1 , . . . , wsאז וקטורים
v1 , T (v1 ), T 2 (v1 ), . . . , T n1 +1 (v1 ), . . . , vk , T (vk ), T 2 (vk ), . . . , T nk +1 (vk ), w1 , . . . , ws
מהווים את הבסיס של .Vבאמת ,כמות של וקטורים אלה שווה ל-
(n1 + 2) + . . . + (nk + 2) + l
כאשר ) (n1 + 1) + . . . + (nk + 1) = dim Im(Tו k + l = dim Ker(T ). -ז.א.
(n1 + 2) + . . . + (nk + 2) + l = n,
36
נשאר להוכיח שוקטורים אלה בת''ל .נתבונן בצירוף
λ0 v1 + λ1 T (v1 ) + λ2 T 2 (v1 ) + . . . + λn1 +1 T n1 +1 (v1 )+
...
+µ0 vk + µ1 T (vk ) + µ2 T 2 (vk ) + . . . + µnk +1 T nk +1 (vk )+
+ν1 w1 + . . . + νs ws = 0
נפעיל לשוויון הזה אופרטור Tנקבל
λ0 u1 +λ1 T (u1 )+λ2 T 2 (u1 )+. . .+λn1 T n1 (u1 )+. . .+µ0 uk +µ1 T (uk )+µ2 T 2 (uk )+. . .+µnk T nk (uk ) = 0
אבל וקטורים בצירוף האחרון מהווים את הבסיס של ) Im(Tז.א λ0 = . . . = λn1 = µ0 = . . . = µnk = 0. .ואז אחרי
הצבת מקדמים אלה לשוויון הקודם נקבל
λn1 +1 T n1 +1 (v1 ) + . . . + µnk +1 T nk +1 (vk ) + ν1 w1 + . . . + νs ws = 0
אבל וקטורים אלה מהווים בסיס של ) Ker(Tז.א□ .λn1 +1 = . . . = µnk +1 = ν1 = . . . = νs = 0 .
מטריצה Bממשפט זה נקראת צורת ז'ורדן של מטריצה נילפוטנטית.
הגדרה .4.1תא ז'ורדן הוא מתריצה מצורה הבאה:
... 0
... 0
... 0
..
..
.
.
... 1
... λ
λ 1 0 0
0 λ 1 0
0 0 λ 1
.. .. .. ..
. . . .
0 0 0
0 0 0 0
כל לראות שצורת ז'ורדן מורכבת מתאי ז'ורדן כאשר .λ = 0כל תא מתואר ע''י גודלו .לכן ,כל מטריצה הבנויה מתאי ז'ורדן
מוגדרת ע''י סדרת הגדלים של תאי ז'ורדן שלה .ברור כי סדר התאים לא משחק תפקוד פה :החלפת סדר התאים תתבטא בהחלפת
סדר של איברי בסיס ,כך שמטריצות הבנויות מאותם תאים אך בסדר שונה ,דומות זו לזו .אולם ,אם נקבע סדר של תאים ,למשל,
על-ידי כך שנדרוש כי גודל התאים הולך וקטן:
d1 ⩾ d2 ⩾ . . . ⩾ dk ,
אז צורת ז'ורדן של מטריצה נילפוטנטית תהיה יחידה:
משפט .4.4יהיו A, A′שתי מטריצות נילפוטנטיות בצורת ז'ורדן ,כך ש A-בנויה מהתאים שגודלם d1 ⩾ d2 ⩾ . . . ⩾ dk
ואילו A′בנויה מהתאים שגודלם .d′1 ⩾ d′2 ⩾ . . . ⩾ d′k′אזי ,אם Aו A′ -דומות ,מתקבל d′i = diלכל . i
הוכחה.
37
אנחנו נתאר בסיס בו לאופרטור המטריצה מייצגת היא Aעל ידי דיאגרמה הבאה:
T
T
T
T
T
T
T
T
T
• • ←−−− • ←−−− . . . ←−−− • ←−−− • ←−−−
• • ←−−− • ←−−− . . . ←−−− • ←−−−
T
T
• • ←−−− . . . ←−−−
מקבלים טבלה )לא ריבועית( שיש בה kשורות .אנו נתאר תהליך המאפשר לשחזר את מספרי הקדקודים בכל שורה
d1 ⩾ d2 ⩾ . . . ⩾ dk
על סמך האופרטור fהמיוצג ע''י המטריצות .A, A′זה ,בוודאי ,יוכיח את המשפט .אנחנו נצליח לצייר את הטבלה לפי עמודות .ואמנם,
מספר קדקודים בעמודה הראשונה הוא ) .dim Ker(fהלאה ,מספר קדקודים בשתי העמודות הראשונות הוא ) .dim Ker(f 2
באופן כללי ,מספר הקדקודים ב i-העמודות הראשונות )מצד שמאל( הוא ) .dim Ker(f iמשמעות של מה שנאמר :כיוון ששתי
המטריצות A ,ו , A′ -מיצגות את אותו אופרטור ,fמספר הקדקודים בשתי צורות ז'ורדן ב i -עמודות הראשונות עבור Aועבור A′
זהה .לכן ,ל A-ול A′ -אותה צורת ז'רדן□ .
5.4
סיכום :צורת ז'ורדן עבור מטריצה כללית.
שוב Vמרחב וקטורי בעל מימד f : V → V , nאופרטור בעל פולינום אפייני ) .Pf (tנזכיר כי אנחנו מניחים כי הפולינום האפייני
k
k
∑
∏
= .n
= ) Pf (tכאשר λiערכים עצמיים שונים והמספרים diהם ריבויים שלהם .ברור כי di
מתפרק (t − λi )di
i=1
i=1
עבור כל ערך עצמי λשל fהגדרנו מרחב הוקטורים העצמיים המוכללים
{
}
Vλ = v ∈ V ∃N : (f − λI)N v = 0 .
הוכחנו כי dim Vλi = diוכי . V = Vλ1 ⊕ . . . ⊕ Vλkזה אומר כי אם נבחר בסיס בכל אחד מן המרחבים Vλiונאחד אותם,
נקבל בסיס ל ,V -וכי המטריצה המיצגת של fבבסיס זה תיראה כך:
A1 0 . . . 0
0 A2 . . . 0
0
0 ... 0
... ... ... ...
0
0 . . . Ak
A=
כאשר Aiהמטריצה המיצגת את הצמצום של fעל תת-המרחב האינווריאנטי . Vλiמטריצה Aiמתאימה לערך עצמי .λiלכן
המטריצה Bi = Ai − λi Iמתאימה לערך עצמי .0לפי משפט קיילי-המילטון Bi ,נלפוטנטית .לפי סעיף ,9קיים בסיס בVλi -
בו Biמיוצגת ע''י מטריצה מהצורה
J1 0 . . . 0
0 J2 . . . 0
0
0
.
.
.
0
... ... ... ...
0
0 . . . Jm
38
כאשר כל Jiהוא תא ז'ורדן נילפוטנטי .באותו בסיס המטריצה Aiתהיה גם כן למטריצת התאים שכל תא בה מהצורה
λi 1 0 0
0 λi 1 0
0 0 λi 1 .
0 0 0 λi
מטריצה כזאת נקראת תא ז'ורדן .כל זה מוכיח את המשפט:
משפט ) 4.5ז'ורדן( .יהי f : V → Vאופרטור כך ש(t − λi )di -
k
∏
= ) .Pf (tאזי קיים בסיס ב V -שהמטריצה המיצגת
i=1
את fתהיה בצורת ז'ורדן.
המשפט האחרון משמעותו כי המטריצה המיצגת היא מטריצת בלוקים ,כך שכל בלוק הוא תא של ז'ורדן.
6.4
פולינום מינימלי.
תהי ) .A ∈ M atn (kמשפט קיילי-המילטון אומר כי PA (A) = 0כאשר PAפולינום אפייני של .Aפולינום זה לעולם לא
שווה לאפס :הוא בעל דרגה nוהמקדם הראשי שווה ל .1 -נחפש בין הפולינומים המאפסים את - Aאחד שדרגתו הקטנה ביותר.
הגדרה .4.2פולינום ] f (t) ∈ k[tנקרא פולינום מינימלי של מטריצה Aאם:
f (A) = 0 .1
deg(f ) ⩽ deg(g) .2לכל פולינום g ̸= 0המאפס את .A
.3המקדם הראשי של fשווה ל.1 -
משפט .4.6
.1פולינום מינימלי קיים ויחיד עבור כל מטריצה .A
.2אם fפולינום מינימלי עבור Aואם g(A) = 0אז gמתחלק ב.f -
הוכחה.
קודם כל נוכיח קיום פולינום מינימלי .זה כמעט מיידי PA (A) = 0 :לכן ,קיימים פולינומים השונים מאפס ,ומאפסים את .A
נבחר פולינום שדרגתו הקטנה ביותר .נחלק אותו במקדמו הראשי .זה יתן לנו פולינום המקיים את כל שלושת התנאים .נוכיח עתה
את החלק השני של המשפט .נחלק פולינום ) g(tבפולינום ) f (tעפ שארית:
)g(t) = f (t)h(t) + r(t
כאן ) r(tהשארית ואם ,r ̸= 0דרגתו קטנה מדרגת .fנוכיח כי .r = 0כי ) r(t) = g(t) − f (t)h(tכך ש-
.r(A) = g(A) − f (A)h(A) = 0כיוון שבחרנו fכפולינום בעל דרגה מינימלית בין אלה )שונים מאפס( המאפסים
את ,Aמסיקים כי .r = 0נשלים הוכחת היחידות .אם f, f ′מינימליים ,לפי סעיף f ′ = f h 2עבור פולינום hמסוים .שניהם,
fו f ′ -בעלי אותה דרגה ,לכן hבעל דרגת אפס ,זאת אומרת h ,קבוע .כיוון שלשניהם המקדמ הראשי שווה ל .h = 1 ,1-זה סוף
ההוכחה□ .
אנחנו נסמן פולינום מינימלי של Aע''י .mA
לפי המשפט שהוכחנו PA ,מתחלק ב.mA -
39
(
)
0 1
= . Aהפולינום האפייני הוא
דוגמא .4.1
0 0
כיוון ש t -לא מאפס את .mA = t2 , A
t2
= .PAלכן mA ,חיזקה של .t
ותכונות.
.1אם A′ = C −1 ACאז .mA = mA′
ואמנם ,לכל פולינום fמתקיים ,f (A′ ) = C −1 f (A)Cכך ש f (A) = 0 -אם ורק אם .f (A′ ) = 0
· · · A1 0
0
· · · 0 A2
0
A = צטריצת בלוקים ,אז f (A) = 0אם ורק אם f (Ai ) = 0
.2אם · · · · · · . . . · · · .
0
0 · · · Am
∏כפולינום המינימלי של כל מטריצה מיצגת שלו .לפי תכונה
.3לכל .i = 1, . . . , mאם f : V → Vאופרטור ,נגדיר mf
di
.Pf (t) = mנבחר בסיס בכל אחד מהמרחבים Viשל
mf 2לא תלוי בבחירת הבסיס .עתה יהי ) i=1 (t − λi
∏ mAiמחלק את
וקטורים עצמיים מוכללים המתאימים לעצמי .λiאנו יודעים כי .PAi = (t − λi )diהפולינום המינימלי
ki
ki
di
mA = mכאשר
) . PAi = (t − λiלכן mAi = (t − λi ) ,כאשר .1 ⩽ ki ⩽ diלכן ) i=1 (t − λi
. 1 ⩽ ki ⩽ d i
אפשר לסכם את מסקנותינו כך Pf :ו mf -בעלי אותם שורשים אלא שריבוי שלהם ב mf -קטן או שווה לריבוי ב-
.Pf
40
7.4
שימושים :משוואות פולינומיאליות עם מטריצות.
נזכיר כי אם fפולינום ואם A, Cמטריצות כך ש C -הפיכה ,אז .f (C −1 AC) = C −1 f (A)C
כדי להוכיח טענה זו עבור פולינום כללי , fבודקים אותה עבור ,f (t) = 1, t, t2 , . . .ואז מציגים פולינום כללי כצירוף לינארי של
החזקות .tiבעובדה זו אפשר להשתמש כשצריך לפתור משוואה מטריציונית :f (A) = 0לפי מה שנאמר קודם f (A) = 0 ,אם
ורק אם .f (C −1 AC) = 0כיוון שכל מטריצה דומה למטריצה בצורת ז'ורדן ,מספיק למצוא את כל צורות ז'ורדן המקיימות את
המשוואה .הלאה ,אם Aמטריצת הבלוקים f (A) ,A1 , . . . , Akהיא מטריצת הבלוקים ) .f (A1 ), . . . , f (Akלכן ,מספיק
לבדוק קיום משוואה f (A) = 0על תאי ז'ורדן בלבד .לבסוף ,כיוון שהפולינום המינימלי של תא ז'רדן בעל גודל d × dוערך
עצמי λהוא m(t) = (t − λ)dהפולינום fמאפס תא ז'ורדן כזה אם ורק אם הוא מתחלק ב) m -זאת אומרת ,אם יש לו שורש
λעם ריבוי ⩽ ). d
דוגמא .4.2מצא כל המטריצות ) A ∈ M atk (Cהמקיימות את התכונה .An = 1הפולינום f (t) = tn − 1מתפרק
n−1
∏
2πj
= ) f (tכך שכל השורשים פשוטים )אין ריבוי( .זה אומר כי בצורת ז'ורדן של Aכל תאי ז'ורדן הם ,1 × 1כך
) (t − e n
j=0
ש A-ניתנת לליכסון .הפתרון הכללי:
A = C −1 BC
{ 2πj
}
כאשר Bמטריצה אלכסונית עם מספרים מתוך הקבוצה e n , j = 0, . . . , n − 1של פתרונות המשוואה .xn = 1
דוגמא .4.3מצא מטריצות המקיימות .A2 = Aכיוון ש ,t2 − t = t(t − 1) -הפתרון הוא A = C −1 BCכאשר B
מטריצה אלכסונית עם המספרים מתוך } {0, 1באלכסון.
8.4
נזכיר כי
שימושים :חישוב של ).exp(A
An
!n
∞
∑
= ) .exp(Aחישוב של הפונקציה המעריכית של מטריצה חשוב מאוד במשוואות דיפרנציאליות :אם ẋ = Ax
n=0
מערכת משוואות דיפרנציאליות לינאריות כאשר xפונקצית וקטור ו A-מטריצה ,אז הפתרון הכללי הוא ).x(t) = exp(At)x(0
למרות ש exp -לא פולינום ,עדין .exp(C −1 AC) = C −1 exp(A)Cלכן ,מספיק לדעת לחשב ) exp(Aכאשר = A
λI + Nתא ז'ורדן .כאן חשוב לדעת כי אם המטריצות X, Yמתחלפות )אצלנו , (X = λI, Y = Nאזי
exp(X + Y ) = exp(X) exp(Y ).
ואמנם ,ההוכחה הרגילה של עובדה זו בחדו''א א' עובדת גם פה:
) = exp(X) exp(Y
∑ Xp Y q
!p! q
p,q
X pY q
=
)
p+q
p
(
!)(p + q
∑ ∑ ∑ (X + Y )n
= ) exp(X + Y
=
!n
n
n p+q=n
לכן,
exp(λI + N ) = exp(λI) exp(N ) = exp(λ)I exp(N ) = exp(λ) exp(N ).
41
נשאר לחשב
9.4
···
···
···
···
···
1
!)(n−1
1
!)(n−2
1
!)(n−3
···
1
1
!3
1
!2
1
!2
1
···
0
1
1
···
0
1
1
0
···
0
1
0
0
···
0
exp(N ) =
שימושים :נוסחאות נסיגה.
מאז "דה-וינצ' קוד" של דן בראון כל אחד יודע מה היא משוואת נסיגה:
xi = a1 xi−1 + . . . + an xi−n .
נוסחה כזו מגדירה סידרת מספרים x1 , x2 , . . .ככל שידועים ערכים של nאיברי הסדרה הראשוניים .בקורס של מתמטיקה בדידה
למדתם איך למצוא פתרון כללי של משוואת הנסיגה:
יש לחפש את הפתרון בצורה ,xi = λiזה נותן משוואה פולינומיאלית ממעלה nעל ) λמשוואה אפיינית( ואם למשוואה אין ריבוי
שורשים ,זה מביא ל n -פתרונות ,xi = λij , j = 1, . . . , nואז הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי של פתרונות אלה .מה יש לנו
להוסיף בנידון? אוסף פתרונות של משוואת הנסיגה הוא מרחב וקטורי בעל מימד - nכי כל פתרון מוגדר באופן יחיד ע''י הערכים
ההתחלתיים .x1 , . . . , xnכך ,נבחר בתור בסיס לאוסף פתרונות Solאת האוסף e1 , . . . , enשהערכים הראשוניים שלהם ניתנים
ע''י הנוסחה
{
1 : i=j
i
= ej
.
0 : i ̸= j
מרחב הפתרונות Solמצויד באופרטור "הזזה" f : Sol → Solהמוגדר ע''י
f (x1 , x2 , x3 , . . .) = (x2 , x3 , x4 , . . .).
בבסיס שבחרנו הוא נראה כדלקמן:
an en
+ an−1 en
············
en−1 + a1 en
e1
המטריצה של fבבסיס זה היא
0
0
···
1
a1
=
=
···
=
···
···
···
···
···
) (0, 0, . . . , an
) (1, 0, . . . , an−1
···············
) (0, 0, . . . , 1, a1
1
0
0
1
···
···
0
0
an−1 an−2
0
0
···
0
an
= ) f (e1
= ) f (e2
···
···
= ) f (en
A=
הפולינום האפייני של Aהוא ) .det(tI − Aניתן לחשב אותו ע''י פיתוח לפי השורה האחרונה .מקבלים
PA (t) = tn − a1 tn−1 − . . . − an−1 t − an .
42
זה בדיוק הפולינום האפייני של משוואת הנסיגה! הוקטור העצמי המתאים לערך עצמי λהוא בוודאי סדרת החזקות של .λזה אומר
כי בכל מקרה לכל ערך עצמי λקיים תא ז'ורדן יחיד עם ערך עצמי זה .אולם זה לא אומר כי ריבוי שורשים כאן בלתי-אפשרי -כל
פולינום יכול לשמש כפולינום אפייני של משוואת נסיגה .עכשיו אנחנו יכולים לקבל פתרון כללי של משוואת נסיגה במקרה של ריבוי
שורשים .יהי λשורש של הפולינום האפייני בעל ריבוי .dאנחנו כבר הבנו כי צורת ז'ורדן של מטריצה Aמכילה תא ז'ורדן d × d
בעל ערך עצמי .λזה נותן dוקטורי בסיס v 1 , . . . , v dהמקיימים f (v 1 ) = λv 1ו f (v i ) = λv i + v i−1 -עבור .1 < i
המשוואה הראשונה נותנת מיד ,v 1 = λmועם מאמץ מסוים אפשר לקבל 2 = mλm−1
,vmובאופן כללי
m
(
)
m
k
vm
=
λm−k+1
k−1
) (
!m
. mבמקרה של משוואת נסיגה נהוג לבחור בסיס אחר ולא בסיס ז'ורדן שתיארנו זה
כאשר )לאלה שהעזו לשכוח( !)n = n!(m−n
עתה .ניקח בחשבון כי
(
)
m
)m(m − 1) · · · (m − k + 2
=
k−1
!)(k − 1
הוא פולינום ב m -בעל מעלה .k − 1לכן אוסף וקטורים ב V -מהצורה k = mk−1 λm
wmכאשר k = 1, . . . , dגם כן מהווה
בסיס למרחב הוקטורים העצמיים המוכללים של ערך עצמי .λ
43
5
1.5
תבניות דו-לינאריות.
מבוא -דוגמאות.
בקורסי מתמטיקה ופיסיקה בתיכון למדתם מושג של מכפלה סקלרית של וקטורים ב R2 -או ב .R3 -פעולה זו מוגדרת על-ידי
הנוסחה
v · w = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
כאשר ) .v = (x1 , y1 , z1 ), w = (x2 , y2 , z2המכפלה הסקלרית מאפשרת לבדוק האם הוקטורים v, wניצבים זה לזה :הם
√
ניצבים אם ורק אם .v · w = 0המכפלה הסקלרית נוחה מאוד גם לשם חישוב אורך הוקטור .|v| = v · v :גם הזווית בין
הוקטורים v, wניתן לבטא דרך המכפלה הסקלרית:
v·w
.
||v||w
= cos α
הגיע זמן לשאול איך יכולנו לחיות עד כה בלי מכפלה סקלרית! ההסבר לכך שלא למדנו עד כה מכפלה סקלרית :כדי שהיא תהנה
מהתכונות שתארנו ,חובה עלינו לדאוג שהבסיס בו נשתמש יהי בנוי מוקטורים ניצבים זה לזה ובעלי אורך ) 1בקרוב לקרא לבסיס כזה
אורתונורמלי(.
ואין לנו דרך להסביר בעזרת אלגברה לינארית שאנו מכירים מה מהו וקטורים ניצבים או וקטור בעל אורך ) 1בבית הספר התיחסנו אל
מרחב R3כאל "מרחב שאנו גרים בו" ולכן התייחסנו אל מושג המרחק או מושג הזווית כאל משהו מובן מאליו .באלגברה לינארית
מגדירים את המושגים האלה דרך מושג של מכפלה סקלרית .להלן תכונות של מכפלה סקלרית שאנו למדנו בתיכון:
) (v1 + v2 ) · w = v1 · w + v2 · w .1לינאריות לפי הארגומנט הראשון(
) (cv) · w = c(v · w) .2כנ''ל(
) v · w = w · v .3סימטריות(
v · v > 0 .4כאשר . v ̸= 0
בתורת היחסות חשיבות רבה למכפלה בעלת תכונות קצת שונות :מדובר במרחב R4שווקטור בו מתואר על-ידי 4קואורדינאטות
) (x, y, z, tכאשר x, y, zהקואורדינאטות הרגילות של גובה ,רוחב ואורך ,ואילו tקואורדינאטת הזמן .המכפלה מוגדרת על-ידי
הנוסחה
v · w = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 − c2 t1 t2
כאשר ) ,v = (x1 , y1 , z1 , t1 ), w = (x2 , y2 , z2 , t2ואילו cהיא מהירות האור ) 300,000קמ' בשניה( .מכפלה זו מקיימת
תכונות 1-3דלעיל אך לא תכונה :4אם ) v = (ct, 0, 0, tאז - v · v = 0זה מתאר את התפשתות האור .x = ctמטרתנו
לחקור מכפלות מהסוג שתיארנו.
2.5
הגדרות.
יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה .kפונקציה B : V × V → kנקראת תבנית דו-לינארית אם:
.B(v1 + v2 , w) = B(v1 , w) + B(v2 , w) .1
.B(cv, w) = cB(v, w) .2
44
.B(v, w1 + w2 ) = B(v, w1 ) + B(v, w2 ) .3
.B(v, cw) = cB(v, w) .4
שתי התכונות הראשונות אומרות כי Bלינארית לפי הארגומנט הראשון ,ושתי התכונות האחרונות אומרות כי Bלינארית לפי הארגומנט
השני.
3.5
מטריצת התבנית.
כדי לתארהעתקה לינארית ,כדאי לבחור בסיס ,ולרשום את ההעתקהעל-ידי מטריצה .אותו דבר אפשר לעשות עם תבניות דו-לינאריות.
n
∑
= vכאשר .xi ∈ k
יהי v1 , . . . , vnבסיס של מרחב וקטורי .Vזה אומר כי לכל v ∈ Vקיימת ויחידה דרך להציג xi vi
יהיו yi vi
n
∑
i=1
= xi vi , w
n
∑
i=1
= .vאזי לפי הדו-לינאריות של Bאנו מקבלים:
i=1
n
n
∑ n
n
∑
∑
∑
xi vi ,
= yj v j
xi yj B(vi , vj ).
B(v, w) = B
j=1
i=1 j=1
i=1
אנו רואים כי כדי לחשב ) ,B(v, wמספיק לדעת את הערכים ) - bij = B(vi , vjואז נוכל לחשב
xi bij yj .
∑ n
n
∑
= )B(v, w
i=1 j=1
נרשום את האיברים bijכמטריצה ) .B̃ = (bijהיא נקראת המטריצה ה מיצגת את התבנית Bבבסיס ) v1 , . . . , vnשם מקובל
אחר --מטריצת גרם ) (Gramשל התבנית( .נוח לשכתב את הנוסחה האחרונה כדלקמן.
B(v, w) = xt B̃y.
x1
y1
כאן ̃ Bמטריצה x = ... , y = ... ,n × nעמודות הקואורדינאטות של v, wכך ש-
xn
yn
y1
∑ ..
t
= B(v, w) = x B̃y = (x1 · · · xn )(bij ) .
xi bij yj .
i,j
4.5
yn
החלפת בסיס.
תהי עתה Bתבנית דו-לינארית המיוצגת בבסיס v1 , . . . , vnעל-ידי מטריצה ̃ .Bמהי המטריצה המיצגת את Bבבסיס חדש
n
∑
?w1 , . . . , wnנניח כי cij vi
= wjכך ש C = (cij ) -היא מטריצת המעבר .אזי הרכיבים b′ijהמטריצה המיצגת החדשה
B̃ ′ניתנים על-ידי הנוסחה
i=1
cki bkl clj = (C t B̃C)ij .
∑ n
n
∑
k=1 l=1
45
= ) = B(wi , wj
b′ij
לבסוף ,הוכחנו את הטענה הבאה :משפט .אם תבנית דו-ילנארית מיוצגת על-ידי מטריצה ̃ Bבבסיס ,v1 , . . . , vnאז בבסיס החדש
w1 , . . . , wnעם מטריצת מעבר Cהתבנית מיוצגת על-ידי המטריצה .C t B̃C
5.5
תכונות טיפוסיות של תבניות דו-לינאריות.
הגדרה .5.1התבנית B : V × V → kנקראת סימטרית אם ) B(v, w) = B(w, vלכל .v, w ∈ V
הגדרה .5.2התבנית B : V × V → kנקראת אנטי-סימטרית אם B(v, v) = 0לכל .v ∈ V
הגדרה .5.3התבנית B : V × V → kנקראת בלתי-מנוונת אם אחת משתי התכונות הבאות מתקיימת:
.1אם לכל w ∈ Vמתקיים B(v, w) = 0אז .v = 0
.2אם לכל w ∈ Vמתקיים B(w, v) = 0אז .v = 0
הסבר .נסביר מדוע התכונות 1ו 2 -שקולות .אם התבנית מיוצגת על-ידי מטריצה ̃ ,Bאז השוויון B(v, w) = 0לכל wאומר כי
.xt B̃ = 0לכן התכונה 1אומרת כי העמודות של ̃ Bבתתי-תלויות ) xt B̃ = 0גורר ). x = 0באותו אופן ,התכונה 2אומרת כי
השורות של ̃ Bבלתי-תלויות ) B̃y = 0גורר ).y = 0אך אנחנו יודעים שעבור מטריצה ריבועית תכונות אלו שקולות זו לזו.
הערה .5.1שקילות של תכונות 1ו 2 -ברורה במיוחד עבור תבניות סימטריות.
46
6
1.6
תבניות דו-לינאריות )המשך(.
תבניות דו-לינאריות סימטריות ותבניות ריבועיות.
תהי B : V × V → kתבנית דו-לינארית סימטרית .הפונקציה Q : V → kהמוגדרת על-ידי הנוסחה )Q(x) = B(x, x
נקראת התבנית הריבועית של .Bנעשה חישוב פשוט:
)Q(v + w) = B(v + w, v + w) = B(v, v) + 2B(v, w) + B(w, w) = Q(v) + Q(w) + 2B(v, w
מעתה אנו מניחים כי 2 ̸= 0בשדה ) kבמלים אחרות ,כי (. chark ̸= 2מקבלים מיד:
))B(v, w) = 21 (Q(v + w) − Q(v) − Q(w
מסקנה :אם ,chark ̸= 2תבנית דו-לינארית מוגדרת באופן יחיד על-ידי התבנית הריבועית שלה .אם התבנית הדו-לינארית B
מיוצגת על-ידי המטריצה ) B̃ = (bijבבסיס ,v1 , . . . , vnאזי
bij xi xj
∑ n
n
∑
= )Q(x
i=1 j=1
כאשר xi vi
n
∑
= .xנציין בנפרד עוד מסקנה מהנוסחה המבטאת את ) B(v, wדרך :Qאם B(v, v) = 0לכל v ∈ V
i=1
אזי B(v, w) = 0לכל .v, w ∈ V
2.6
משלים אורתוגונאלי.
תהי Bתבנית די-לינארית סימטרית על .Vיהי Wתת-מרחב וקטורי .משלים אורתוגונאלי ⊥ Wשל Wמוגדר על-ידי הנוסחה
W ⊥ = {x ∈ V | B(x, y) = 0 ∀y ∈ W } .
משפט .6.1תהי Bתבנית דו-לינארית סימטרית על .v ∈ V ,Vנניח כי .B(v, v) ̸= 0אזי
V = Span(v) ⊕ Span(v)⊥ .
הוכחה.
המשפט אומר כי לכל איבר x ∈ Vקיים פירוק יחיד עם
c ∈ k, w ∈ Span(v)⊥ .
נחפש c ∈ kכך שההפרש w = x − cvאורתוגונאלי ל .0 = B(v, x − cv) = B(v, x) − cB(v, v) .v -ברור כי
)□ .c = B(v,x
הפתרון היחיד למשוואה הוא )B(v,v
47
3.6
קיום בסיס אורתוגונאלי.
משפט .6.2תהי Bתבנית די-לינארית סימטרית על מרחב .Vקיים בסיס ב V -בו התבנית מיוצגת על-ידי מטריצה אלכסונית .אם
v1 , . . . , vnבסיס של ,Vהתבנית Bמיוצגת בו על-ידי מטריצה אלכסונית אם ורק אם B(vi , vj ) = 0עבור .i ̸= jבסיס
כזה נקרא בסיס אורתוגונאלי.
הוכחה.
אינדוקציה לפי המימד של .Vאם dim V = 0אין מה להוכיח .נניח כי קיום בסיס אורתוגונאלי הוכח עבור תבנית על מרחב
וקטורי בעל מימד > .nיהי .dim V = n
אם B(v, w) = 0עבור כל - v, w ∈ Vאין מה להוכיח כי התבנית מיוצגת על-ידי מטריצת האפס בכל בסיס .לכן אנו מניחים
כי .B ̸= 0לפי סעיף ) (1.6קיים וקטור v ∈ Vעם .B(v, v) ̸= 0
נסמן ⊥) .W = Span(vלפי המשפט של סעיף ).V = Span(v) ⊕ W (6.1
בפרט .dim W = n − 1 ,לפי הנחת האינדוקציה ,קיים בסיס אורתוגונאלי ב .W -נסמן אותו .v2 , . . . , vnנשלים אותו לבסיס
ב V -על-ידי .v = v1הבסיס שבנינו אורתוגונאלי כי B(v1 , vi ) = 0עבור □ .1 < i
4.6
שדה המרוכבים.
במקרה k = Cאפשר לשפר עוד את הבסיס.
הערה .6.1כל מה שנאמר בסעיף זה תקף לכל שדה בו קיים שורש ריבועי מכל איבר ,למשל ,לכל שדה סגור אלגברית.
יהי v1 , . . . , vnבסיס אורתוגונאלי של , Vכך ש-
{
bii : i = j
.
0 : i ̸= j
√
לכל כך ש bii ̸= 0 -נבחר שורש ריבועי ) biiישנן שתי אפשרויות השונות בסימן( ונגדיר wi = √1b viמקבים .B(wi , wi ) = 1
ii
אם bii = 0נגדיר .wi = viבדרך זו מצאנו בסיס אורתוגונאלי בו למטריצה המיצגת באלכסון רק 1או .0עד כה עוד לא עסקנו
ביחידות ההצגה.
= ) B(vi , vj
משפט .6.3יהיו w1 , . . . , wnו w1′ , . . . , wn′ -שני בסיסים בהם Bמיוצגת על-ידי מטריצות אלכסוניות שבאלכסון שלהן רק
1או .0אזי מספר פעמים ) 1או (0מופיע באלכסון זהה לשתי המטריצות.
הוכחה.
זה ממש פשוט :גרעין של Bהוא נפרש על-ידי וקטורי הבסיס wiהמקיימים .B(wi , wi ) = 0לכן ,מספר האפסים באלכסון
שווה )בשני המקרים( למימד הגרעין .זה נותן מיון מלא של תבניות דו-לינאריות סימטריות מעל :C
שני מספרים -מימד המרחב ומימד הגרעין -מגדירות את הצורה הקנונית האלכסונית□ .
5.6
שדה הממשיים.
במקרה מיוחד חשוב זה גם ניתן לקבל מיון מלא של תבניות דו-לינאריות סימטריות .אנחנו כבר יודעים שעבור כל תבנית קיים בסיס
אורתוגונאלי .יהי v1 , . . . , vnבסיס אורתוגונאלי .אם bii > 0נגדיר ,כמו קודם .wi = √1b vi ,אם bii < 0נגדיר
ii
1
.wi = √−bלבסוף ,אם ,bii = 0נשאיר .wi = viכך אנחנו מקבלים בסיס אורתוגונאלי חדש בו על האלכסון רק −1 ,1
vi
ii
או .0נוכיח כי מספר פעמים כל אחד מהם מופיע לא תלוי בבחירת בסיס.
48
משפט .6.4יהיו w1 , . . . , wnו w1′ , . . . , wn′ -שני בסיסים בהם Bמיוצגת על-ידי מטריצות אלכסוניות שבאלכסון שלהן רק
−1, 1או .0אזי מספר פעמים −1, 1ו 0 -מופיעים באלכסון זהה לשתי המטריצות.
הוכחה.
נסדר את הבסיסים כך ש-
ואילו
i⩽k
1 :
−1 : k < i ⩽ k + l ,
= ) B(wi , wi
0 : k+l <i⩽n
i ⩽ k′
1 :
′
′
′
−1 : k < i ⩽ k ′ + l′ .
= ) B(wi , wi
0 : k ′ + l′ < i ⩽ n
עלינו להוכיח כי .k = k ′ , l = l′אנו נבדוק כי קבוצת הוקטורים w1 , . . . , wk , wk′ ′ +1 , . . . , wn′בלתי-תלויה .ואמנם ,נניח
n
∑
di wi′ = 0.
ci wi +
k
∑
i=k′ +1
יהי
n
∑
di wi′ .
ci wi = −
i=k′ +1
מצד אחד,
c2i ⩾ 0,
k
∑
i=1
ומהצד השני
(−d2i ) ⩽ 0.
k
∑
=x
i=1
= ) c2i B(wi , wi
′ +l′
∑k
i=1
k
∑
= )B(x, x
i=1
= ) d2i B(wi′ , wi′
i=k′ +1
n
∑
= )B(x, x
i=k′ +1
השוואה של שתי הנוסחאות נותנת .ci = 0כיוון ש wi′ -בלתי-תלויים לינארית ,זה משלים את ההוכחה□ .
49
7
מכפלה פנימית -מרחב ממשי.
הגדרה .7.1תבנית דו-ליניארית סימטרית B : V × V → Rנרקאת מוגדרת חיובית אם B(x, x) > 0לכל .0 ̸= x ∈ V
שם אחר לתבנית דו-ליניארית סימטרית מוגדרת חיובית -מכפלה פנימית.
תבנית כזאת בהכרח בילתי מנוונת כי אם לכל y ∈ Vמתקיים B(x, y) = 0אז בוודאי B(x, x) = 0לכן .x = 0
1.7
גיומתריה הקשורה למכפלה פנימית.
יהי Vמרחב עם מכפלה פנימית ,Bנגדיר נורמה
√
)B(x, x
= ||||x
)הערך חיובי של שורש (.ואז נגדיר מרחק בין שתי נקודות x, y ∈ Vכי
||d(x, y) = ||x − y
זהו מספר חיובי עבור .x ̸= yנוכיח שוא מקיים אי-שוויון המשולש:
משפט .7.1לכל u, v ∈ Vמתקיים
B(u, v) ⩽ ||u|| · ||v|| .
הוכחה.
אם v = 0ברור .אם v ̸= 0נגדיר
)B(u, v
·v
z =u−
)B(v, v
ונקבל ש B(z, v) = 0 -אחרת אפשר לומר ש z -ו v -אורטוגונליים ,ואז ,u = z + λvכאשר
)B(u,v
)B(v,v
= .λלכן
||u||2 = ||z + λv||2 = B(z, z) + 2B(z, λv) + B(λv, λv) = ||z||2 + |λ|2 ||v||2 ⩾ |λ|2 ||v||2
ואז
B(u, v)2
= ||||u|| ⩾ |λ| ||v
||v||2 ⇒ ||u||2 ||v||2 ⩾ B(u, v)2 ⇒ ||u|| · ||v|| ⩾ B(u, v).
B(v, v)2
2
□
מסקנה .7.1עבור שני וקטו ים 0 ̸= u, v ∈ Vניתן להגדיר זווית φעל-ידי הנוסחא
)B(u, v
= cos φ,
||||u|| · ||v
כאשר .0 ⩽ φ ⩽ π
50
2
2
2.7
אורטוגונליזציה של גרם-שמיט.
לפי משפט שהוכחנו עבור תבנית סימטרית כללית ,קיים בסיס אורטוגונלי עבור מכפלה פנימית.
תעליך מציאת בסיס כזה פשוט במיוחד במקרה זה ,שכן כל וקטור שונה ל 0 -מקיים את התכונה .B(v, v) ̸= 0
נתאר את התהליך בופן פורמאלי.
יהי Vמרחב וקטורי עם מכפלה פנימית Bויהי v1 , . . . , vnבסיס ב.V -
אנחנו נבנה בסיס אורטוגונלי w1 , . . . , wnהמקיים את התכונה הבאה:
} wk − vk ∈ Span{v1 , . . . , vk−1
בסיס אורטוגונלי עם תכונה זו יהיה יחיד .התכונה אומרת כי
v1
} Span{v1
} Span{v1 , v2
...
} Span{v1 , . . . , vn−1
בפרט יתקיים עבור כל k
=
∈
∈
...
∈
w1
w2 − v 2
w3 − v 3
...
wn − v n
} Span{w1 , . . . , wk } = Span{v1 , . . . , vk
את זה אפשר להסיק באינדוקציה ,כי אם
} Span{w1 , . . . , wk−1 } = Span{v1 , . . . , vk−1
אז את wkניתן לבטא דרך v1 , . . . , vkוגם את vkניתן לבטא דרך .w1 , . . . , wk
מציאת :w2
אנו מחפשים λכך ש w2 = v2 − λv1 -ניצב ל .v1 -התשובה היחידה היא
) B(v1 , v2
) B(v2 , v2
מציאת :wk
באותה דרך נחפש λi wi
k−1
∑
=λ
wk = vk −
i=1
הערה .7.1ניתן באותה דרך לכתוב µi vi
k−1
∑
,wk = vk −אך כאן לא נקבל נוסחאות יפות עבור .µi
i=1
הדרישה B(wk , wi ) = 0, i = 1, . . . , k − 1נותנת משוואות
) B(vk , wi ) − λi B(wi , wi
זאת אומרת
) B(vk , wi
= λi
) B(wi , wi
זהו סוף התהליך.
נציין עובדה:
אם Bמכפלה פנימית על מרחב וקטורי Vואם W ⊂ Vאז צימצום של Bעל Wגם מכפלה פנימית )ובפרט בילתי-מנוונת(.
51
3.7
קריטריון סילבסטר.
נחזור שוב לתהליך גרם-שמיט .יהי v1 , . . . , vnבסיס מקורי ,ואילו w1 , . . . , wnבסיס שהתקבל על-ידי תהליך גרם-שמיט.
נסמן
} Vi = Span{v1 , . . . , vn } = Span{w1 , . . . , wn
Bi = B|Vi
ויהי B̃iהיא מטריצה מייצגת את Biבבסיס v1 , . . . , vnו B̃i′ -היא מטריצה מייצגת את Biבבסיס .w1 , . . . , wn
לפי הנאמר דלעיל ,מתקיים
′
∆i = det B̃i = det B̃i .
נזכיר עתה כי B̃ ′היא מטריצה אלכסונית
d1 0
0 d2
... ...
0
0
... 0
... 0
... ...
. . . dn
כאשר ) .di = B(wi , wi
מסקנה .7.2
∆i
∆i−1
= ) .B(wi , wi
משפט ) 7.2קריטריון סילבסטר( .תהי Bתבנית סימטרית אל } V = Span{v1 , . . . , vnויהי ∆iדטרמיננטות של מטריצות
B̃iכמו מוגדר קודם .אזי Bמוגדרת חיובית אם ורק אם ,∆i > 0לכל .i
הוכחה.
כיוון אחד ברור כי אם Bמוגדרת חיובית אזי .∆i = B(w1 , w1 )B(w2 , w2 ) . . . B(wi , wi ) > 0
בכיוון הנגדי ,אנחנו שוב בוחנים את תהליך גרם-שמיט.
עכשיו צריך להזהר ,כי אנחנו לא יודעים מראש שהתבנית Bמוגדרת חיובית .מה שידוע לנו הוא שכל הדטרמיננטות ∆i = det B̃|Vi
חיוביות ,ונצטרך להוכיח באינדוקציה כי B(wi , wi ) > 0לכל .i
עבור i = 1זה ברור כי w1 = v1ולכן .B(w1 , w1 ) = ∆1 > 0ממיח כי הגדרנו w1 , . . . , wkעל ידי הנוסחא
i−1
∑
) B(vi , wj
wj
wi = v i −
) B(wj , wj
j=1
וכי לכל i = 1, . . . , kמתקיים .B(wi , wi ) > 0זה מאפשר לנו להגדיר wk+1לפי אותה הנוסחא
wj
k
∑
) B(vk+1 , wj
) B(wj , wj
wk+1 = vk+1 −
j=1
ועלינו רק לוודא כי .B(wk+1 , wk+1 ) > 0אבל ,כמו קודם ,מתקיים
) ∆k+1 = B(w1 , w1 )B(w2 , w2 ) . . . B(wk , wk )B(wk+1 , wk+1
ומכיוון ש ∆k+1 > 0 -וגם כל הגורמים מצד ימין פרט ל B(wk+1 , wk+1 ) -חיוביים ,גם ) B(wk+1 , wk+1חייב להיות
חיובי□ .
52
4.7
בסיס אורטונורמאלי.
מודיפיקציה קטנה של אלגוריטם גרם-שמיט מאפשרת לבנות בסיס אורטונורמאלי .יש להגדיר
√
=
; e1
√
=
; ek
√
= B(vn , ei )ei ; en
w1
) B(w1 ,w1
= v1
w1
...
wk
) B(wk ,wk
wn
.
) B(wn ,wn
k−1
∑
B(vk , ei )ei
= vk −
wk
i=1
n−1
∑
...
wn = v n −
i=1
יהי e1 , . . . , enבסיס אורטונורמאלי של מרחב וקטורי Vביחס למכפלה פנימית .B : V × V → R
n
∑
= V ∋ vאזי מתקיים
אם ci ei
i=1
ci B(ei , ej ) = ci .
n
∑
= ) B(v, ej
i=1
זה מאפשר לכתוב עבור כל וקטור v ∈ V
B(v, ei )ei .
n
∑
=v
i=1
5.7
מטריצות אורטוגונליות.
הגדרה .7.2יהי Vמרחב וקטורי ממשי עם מכפלה פנימית .Bאופרטור f : V → Vנקרא אורטוגונלי אם הוא ישמור על
מכפלה פנימית:
B(f (v), f (w)) = B(v, w).
נבחר בסיס אורטונורמאלי e1 , . . . , enבV -
0 : i ̸= j
1 : i=j
{
= B(ei , ej ) = δij
למה .7.1אופרטור fאורטוגונלי אם ורק אם מטריצה Aהמייצגת את fבבסיס ) e1 , . . . , enבסיס אורטונורמאלי( מקיימת את
התכונה
t
−1
A =A .
מטריצות כאלה נקראות מטריצות אורטוגונליות.
הוכחה.
53
יהי At = A−1מתקיים .עמודות של מטריצה Aהן תמונות ) .f (e1 ), . . . , f (enהתכונה At = A−1שקולה לתכונה
At A = Iוהיא בדיוק אומרת כי
B(f (ei ), f (ej )) = δij .
נוכיח שאופרטור fישמור על מכפלה פנימית:
n
n
∑
∑
= .wאנחנו עדין מניחים כי e1 , . . . , enבסיס אורטונורמאלי .כך ש-
= vוdi ei -
יהי ci ei
i=1
i=1
ci di
n
∑
= )B(v, w
i=1
.מצעד אחר ) ci f (ei
n
∑
n
∑
= ) f (vוdi f (ei ) -
i=1
ci di .
= ) f (wכך שמתקיים
i=1
n
∑
= ci dj δij
∑
i=1
= )) ci dj B(f (ei ), f (ej
∑
i,j
= ))B(f (v), f (w
i,j
הוכחה בכיוון הנגדי היא טריוואלית□ .
למה .7.2אם Aאורטוגונלית אזי .det A = ±1
הוכחה.
1 = det I = det A det At = (det A)2 ⇒ det A = ±1.
□
דוגמא .7.1מטריצות אורטוגונליות .2 × 2
)
a c
b d
המשוואות הן:
)
(
t
= , A
a b
c d
(
2
a + c2 = 1
b2 + d2 = 1
ab + cd = 0
קל מאוד להסיק כי מטריצה כזאת היא מהצורה
)
אם ) det A = 1סיבוב בזווית )φואם
)
cos φ − sin φ
sin φ cos φ
cos φ − sin φ
sin φ − cos φ
) det A = −1שיקוף(
54
(
=A
(
=A
=A
6.7
פירוק ה.QR -
תהליך גרם-שמיט מאפשר להוכיח משפט פירוק הבא ישי לו שימושים במתמטיקה שימושית.
משפט .7.3כל מטריצה ריבועית Aניתן להציג כמכפלה
A = QR
כאשר Qמטריצה אורטוגונלית ו A -מטריצה משולשת עליונה.
הוכחה.
יהיו a1 , . . . , anעמודות של .Aנתייחס אליהן כאל וקטורים במרחב בעל מכפלה פנימית
αi βi ,
n
∑
= )B(a, b
i=1
כאשר
α1
α2
..
.
a = ו -
β1
β2
..
.
.b = נגדיר
βn
αn
√
=
; e1
√
=
; ek
√
= B(an , ei )ei ; en
w1
) B(w1 ,w1
= a1
w1
...
wk
) B(wk ,wk
k−1
∑
B(ak , ei )ei
= ak −
wk
i=1
...
wn
.
) B(wn ,wn
n−1
∑
wn = a n −
i=1
נקבל לבסוף מערכת וקטורים e1 , . . . , enאורטונורמאלית.
המטריצה ) Q = (e1 . . . enהיא אורטונורמאלית.
המטריצה
R = Q−1 A = Qt A
היא משולשת עליונה כי
) . . . B(e1 , an
. . . B(e2 , an )
...
...
) . . . B(en , an
e1
e2
..
.
) B(e1 , a1 ) B(e1 , a2
) B(e2 , a1 ) B(e2 , a2
(a1 a2 . . . an ) =
...
...
B(e
,
a
)
B(e
n 1
) n , a2
en
55
R = Qt A =
a 1 = e1
...
ak
= ek
√
-ומפני ש
B(w1 , w1 )
√
B(wk , wk ) +
k−1
∑
B(ak , ei )ei
i=1
...
an
= en
√
B(wn , wn ) +
n−1
∑
B(an , ei )ei .
i=1
□ . משולשת עליונהR -נקבל ש
56
8
מכפלה פנימית -מרחב מרוכב.
במרחב ממשי תבניות מוגדרות חיובית היו טובות במיוחד:
• אם תבנית כזאת
B :V ×V →R
מוגדרת על מרכב ,Vאז צימצום שלה על כל תת-מרחב W ⊂ Vגם כן חיובית ,לכן בילתי-מנוונת.
• ערך ) B(v, vעל כל וקטור v ̸= 0הוא חיובי ,בפרט ,שונה מאפס ,לכן תהליך של אורטוגונליזציה פשוט במיוחד.
• מאפשר לדבר על מרחקים ,זוויות וכו' -להשתמש בשפה גיומטרית.
מושג של תבנית חיובית אי-אפשר להרחיב למקרה של שדה מרוכבים ,כי אם
B :V ×V →C
תבניות דו-ליניארית על מרחבוקטורי מרוכב ,Vמתקיים
)B(iv, iv) = i2 B(v, v) = −B(v, v
כלן התנאי B(v, v) > 0לכל v ∈ Vבילתי-אפשרי .למרות האמורת יש הכללה מאוד חשובה של מושג המכפלה הפנימית
למרחבים וקטוריים מעל ,Cאך היא קצת אחרת .התבניות יהיו פה ליניאריות לפי ארגומנט אחד ,ו"-אנטי-ליניאריות" לפי ארגומנט
שני.
1.8
הגדרה ותכונות בסיסיות.
הגדרה .8.1יהיו V, Wמרחבים וקטוריים מעל .Cהעתקה f : V → Wנקראת אנטי-ליניארית )או חצי-ליניארית( אם:
• ) f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2
• )f (cv) = c̄f (v
כאשר עבור c = a + ibמספר מרוכב.c̄ = a − ib ,
תרגיל .3
א .בדקו כי הרכבה של העתקה ליניארית עם העתקה אנטי-ליניארית היא אנטי-ליניארית.
ב .בדקו כי הרכבה של העתקה שתי העתקות אנטי-ליניאריות היא ליניארית.
הגדרה .8.2העתקה B : V × V → Cנקראת תבנית הרמיטי ) ) Hermiteאם:
B .1ליניארית לפי ארגומנט ראשון
– ) B(v1 + v2 ) = B(v1 ) + B(v2
– )B(cv) = cB(v
57
B .2אנטי-ליניארית לפי ארגומנט שני
– ) B(v1 + v2 ) = B(v1 ) + B(v2
– )B(cv) = c̄B(v
B .3פסודו-סימטרית
– )B(v, w) = B(v, w
תרגיל .4תוכיחו ש-
)(1) + (3) ⇒ (2
)(2) + (3) ⇒ (1
הגדרה .8.3תבנית הרמיטית B : V × V → Cנקראת מוגדרת חיובית או מכפלה פנימית אם B(v, v) > 0לכל .v ̸= 0
הערה .8.1אם Bהרמיטית אזי ) ,B(v, v) = B(v, vלכן B(v, v) ∈ Rלכל .v ∈ V
דוגמא .8.1מכפלה פנימית "סטנדרטית" .
יהי } .V = Span{e1 , . . . , enלשני וקטורים
di ei
n
∑
= c i ei , w
i=1
נגדיר
ci d¯i
n
∑
=v
i=1
n
∑
= )B(v, w
i=1
קל לראות כי זוהי תבנית הרמיטית מוגדרת חיובית.
הגדרה .8.4יהי Bמכפלה פנימית .בסיס } {v1 , . . . , vnנקרא בסיס אורטוגונלי אם B(vi , vj ) = 0עבור כל .i ̸= jבסיס
נקרא אורטונורמאלי אם בנוסף B(vi , vi ) = 1עבור כל .i
}
{
vi
√
מסקנה .8.1אם } {v1 , . . . , vnבסיס אורטוגונלי אזי
בסיס אורטונורמאלי.
) B(vi ,vi
2.8
מטריצה מייצגת.
תהי Bתבנית הרמיטית ב {v1 , . . . , vn } ,V -בסיס ב .V -נגדיר מטריצה
B̃ = (bij ), bij = B(vi , vj ).
אם
di vi ,
n
∑
= ci vi , w
i=1
n
∑
i=1
58
=v
אזי
¯
ci bij d¯i = cB̃ d,
כאשר
d1
d2
..
.
∑
= ) ci d¯i B(vi , vj
i,j
)
∑
di vi
=
i,j
n
∑
ci vi ,
i=1
n
∑
(
B(v, w) = B
i=1
.c = (c1 , c2 , . . . , cn ), d = נוח להגדיר פעולה ∗ על מטריצות עם רכיבים מרוקבים באופן הבא:
dn
אם ) A = (aijאזי
) (a∗ij
=
∗A
כך ש= āji -
.a∗ij
בסימונים האלה כל לראות שמטריצה מייצגת ̃ Bמעצמה מקיימת תכונה
̃B̃ ∗ = B
כי זה פשוט אומר כי bij = b̄jiאו ) .B(vi , vj ) = B(vj , vi
משפט ) 8.1קריטריון סילבסטר( .תהי Bתבנית הרמיטית ו B̃i -מטריצה מייצגת שלו .אזי Bמוגדרת חיובית אם ורק אם כל
המינורים
b11 . . . b1i
∆i = det . . . . . . . . . > 0.
bi1 . . . bii
הוכחה.
הוכחה כמו במקרה ממשי□ .
3.8
תעליך גרם-שמיט
בדיוק כמו במרחב הממשי ,תעליך גרם-שמיט מאפשר לבנות בסיס אורטוגונלי מכל בסיס:
משפט .8.2תהי Bמכפלה פנימית על Vו {v1 , . . . , vn } -בסיס ב.V -
נבנה בסיס חדש } {w1 , . . . , wnבעזרת נוסחת נסיגה
w1 = v1
...
) B(wi ,vk
B(wi ,wi ) wi
) B(wi ,vn
B(wi ,wi ) wi .
k−1
∑
= vk −
wk
i=1
n−1
∑
...
wn = vn −
i=1
נקבל בסיס אורטוגונלי.
הוכחה.
אנחנו נוכיח באינדוקציה כי
59
א .לכל iמתקיים } .Span{v1 , . . . , vn } = Span{w1 , . . . , wn
ב w1 , . . . , wn .ניצבים זה לזה.
עבור i = 1אין מה להוכיח.
נניח כי הטענה נכונה עבור .i = k − 1נחפש wkבצורה
λi wi
k−1
∑
wk = v k −
i=1
כך שיתקיים .B(wj , wk ) = 0נקבל
) λj B(wj , wi ) = B(wj , vk ) − λj B(wj , wj
k−1
∑
0 = B(wj , wk ) = B(wj , vk ) −
i=1
לכן הפתרון היחיד למערכת משוואות הוא
) B(wj , vk
= λj
) B(wj , wj
זה מוכיח את התכונה )ב( עבור .i = k
תכונה )א( נובעת מהעובדה } Span{v1 , . . . , vk−1 } = Span{w1 , . . . , wk−1ומכך שההפרש wk − vkשייך ל-
} □ .Span{v1 , . . . , vk−1 } = Span{w1 , . . . , wk−1
4.8
אופרוטורים אוניטריים.
הגדרה .8.5תהי Bמכפלה פנימית על מרחב וקטורי Vמעל .Cאופרטור f : V → Vנקרא אוניטרי אם
B(v, w) = B(f (v), f (w)).
)זו הכללה של מושג אופרטור אורטוגונלי במרחב ממשי(.
אם } {e1 , . . . , enבסיס אורטונורמאלי עבור ,Bאופרטור fאוניטרי אם ורק אם }) {f (e1 ), . . . , f (enבסיס אורטונורמאלי.
במלים אחרות ,מטריצה ) A = (aijשל אופרטור אוניטרי בבסיס אורטונורמלי היא זאת שמקיימת את התכונות הבאות
1.לכל kמתקיים aki āki
n
∑
.
i=1
2.לכל k ̸= lמתקיים aki āli
n
∑
.
i=1
אפשר לרשום את התכונות הנ''ל בעזרת נוסחא אחת:
Aאוניטרית אם
A∗ A = I.
)ניזקור כי Aאורטוגונלית אם .(At A = I
60
דוגמא .8.2מטריצה ,1 × 1זאת אומרת מספר מרוכב ,היא אוניטרית אם
āa = 1
במלים אחרות ) |a| = 1מעגל יחידה(.
סימון :אוסף מטריצות אוניטריות מסדר n × nהוא .Un
תרגיל .5תוכיחו ש Un -חוברה.
משפט .8.3יהי f : V → Vאופרטור אוניטרי ,אזי קיים בסיס אורטונורמלי בו ל f -צורה אלכסונית.
הוכחה.
משפט זה דומה מאוד )אך טיפה יוטר פשוט( למשפט על צורה קנונית של אופרטור אורטוגונלי.
יהי λערך עצמי של fויהי vוקטור עצמי עם ערך עצמי .λנגדיר
⊥}W = Span{v
ונקבל
V = Span{v} ⊕ W.
כמו במקרה הממשי Wתת-מרחב אינבריאנטי של ,fכך שאפשר להמשיך באינדוקציה ,כך נמצה בסיס אורטונורמאלי ב W -ונשלים
√ vלבסיס אורטונורמאלי ב□ .V -
אותו ע''י
)B(v,v
הערה .8.2ערכים עצמיים של fהם בעלי ) |λ| = 1נזכיר :זה גם היה במקרה ממשי( .במקרה ממשי בצורה קנונית של אופרטור
אורטוגונלי היו תאים
+1
−1
)
cos φ − sin φ
sin φ − cos φ
(
עכשו הגדרה היא אלכסונית ) זה יתרון של שדה ( Cאבל המספרים על הלכסון לא בהכרח .±1
61
9
1.9
אופרטורים אורתוגונאליים ואופרטורים צמודים לעצמם.
הגדרות
שדה הבסיס כאן -שדה הממשיים.
יהי Vמרחב וקטורי עם מכפלה פנימית ) .v, w 7→ (v | wכפי שראינו קודם ,מכפלה פנימית מגדירה מושג של מרחק ב-
.V
הגדרה .9.1אופרטור לינארי f : V → Vנקרא אורתוגונאלי אם הוא שומר על מרחק זה:
))d(x, y) = d(f (x), f (y
לכל .x, y ∈ V
הגדרות שקולות.
אם ניקח בחשבון כי המרחק מוגדר על-ידי הנוסחה || ,d(x, y) = ||x − yמקבלים ניסוח אחר של אורתוגונאליות:
הגדרה ) 9.2שקולה .(1אופרטור לינארי f : V → Vנקרא אורתוגונאלי אם הוא שומר על מרחק זה:
||||f (x) − f (y)|| = ||x − y
לכל .x, y ∈ V
כיוון ש f -לינארית ,f (x) − f (y) = f (x − y) ,נקבל עוד הגדרה
הגדרה ) 9.3שקולה .(2אופרטור לינארי f : V → Vנקרא אורתוגונאלי אם הוא שומר על מרחק זה:
||||f (x)|| = ||x
לכל .x ∈ V
והגדרה שקולה אחרונה:
הגדרה ) 9.4שקולה .(3אופרטור לינארי f : V → Vנקרא אורתוגונאלי אם הוא שומר על מרחק זה:
))(x | y) = (f (x) | f (y
לכל .x, y ∈ V
ואמנם (x | y) = 21 (||x + y||2 − ||x||2 − ||y||2 ) ,וכך ששמירה של נורמות גוררת שמירה של המכפלה הפנימית.
2.9
מטריצות אורתוגונאליות.
∑ v1 ,של .V
נבחר בסיס∑אורתונורמאלי . . . , vn
= ) .f (vנובע מכך ש f -אורתוגונאלי אם ורק אם ) f (v1 ), . . . , f (vnגם כן בסיס
= ci f (vi ) ,v
אם ci vi
אורתונורמאלי .אם Cהמטריצה המיצגת של fבבסיס ,v1 , . . . , vnאורתונורמאליות של קבוצת הוקטורים ) f (v1 ), . . . , f (vn
שקולה לתכונה C ∗ C = Iאו ∗ .C −1 = Cמטריצות המקיימות תכונה זו נקראות מטריצות אורתוגונאליות.
62
3.9
תכונות מידיות.
.1אם Cמטריצה אורתוגונאלית,
1 = det(C ∗ C) = det(C)2 ,
כך שבהכרח .det(C) = ±1
.2אם C, C ′שתי מטריצות אורתוגונאליות ,מכפלתן CC ′גם כן אורתוגונאלית:
(CC ′ )∗ CC ′ = C ′∗ C ∗ CC ′ = I.
.3אם Cמטריצה אורתוגונאלית ,ההפכית C −1גם היא אורתוגונאלית:
(C −1 )∗ = (C ∗ )∗ = C = (C −1 )−1 ⇐ C ∗ = C −1 .
סימון:
אוסף מטריצות אורתוגונאליות n × nמסמנים ).O(n
אוסף מטריצות אורתוגונאליות n × nבעלות דטרמיננטה 1מסמנים ).SO(n
הערה . .9.1הקבוצות ) - O(n), SO(nחבורות .חבורה היא קבוצה עם פעולת כפל המקיימת חוק קיבוץ וכך שלכל איבר קיים
הופכי.
דוגמא ) 9.1עוד דוגמאות של חבורה(.
) - GL(n, kכל מטריצות הפיכות n × nמעל שדה .k
) - SL(n, kכל מטריצות n × nמעל kבעלות דטרמיננטה .1
דוגמא .9.2
:n = 1מטריצה 1 × 1אורתוגונאלית אם ורק אם היא מיוצגת על-ידי .±1
:n = 2
(
)
a b
=A
c d
2
2
2
.a2 +קל לראות כי קיימת ויחידה זווית )α ∈ [0, 2π
= (c
אורתוגונאלית אם ורק אם ) 1; b + d = 1; ab + cd = 0
b
:
כך ש .a = cos α, c = sin α -זה נותן שני פתרונות לעמודה
d
( ) (
)
( ) (
)
b
sin α
b
− sin α
.
=
,ואם det(A) = −1אז
=
אם det(A) = 1אז
d
− cos α
d
cos α
מסקנה .9.1מטריצה אורתוגונאלית 2 × 2בעלת דטרמיננטה 1היא מטריצה של סיבוב
(
)
cos α − sin α
sin α cos α
.אם הדטרמיננטה שווה ל, −1 -המטריצה בצורה
)
.
cos α sin α
sin α − cos α
63
(
במקרה זה אפשר למצוא בסיס בו המטריצה תיראה עוד יותר טוב .לשם כך נחשב פולינום אופייני של המטריצה .הוא שווה ל-
)
(
t − cos α − sin α
P (t) = det
= (t − cos α)(t + cos α) − sin2 α = t2 − 1.
− sin α t + cos α
לפיכך למטריצה שני ערכים עצמיים .±1 -זה אומר כי קיים בסיס } {v1 , v2כך ש.f (v1 ) = v1 , f (v2 ) = −v2 -
זה אומר כי האופרטור הוא שיקוף ביחס לציר המוגדר על-ידי .v1הוקטורים v1 , v2בהכרח אורתוגונאליים.
4.9
מיון אופרטורים אורתוגונאליים.
נסמן
)
.
cos α − sin α
sin α cos α
(
= )A(α
משפט .9.1עבור כל אופרטור אורתוגונאלי קיים בסיס שבו המטריצה המיצגת היא בצורת בלוקים ,כאשר כל בלוק הוא או )A(α
או .±1
כדי להוכיח את המשפט ,נצטרך בלמה הבאה:
למה .9.1יהי fאופרטור אורתוגונאלי על מרחב וקטורי Vבעל מכפלה פנימית .יהי W ⊆ Vתת-מרחב אינווריאנטי .אזי ⊥ W
גם כן אינווריאנטי.
הוכחה של למה:
הוכחה.
fאיזומורפיזם כי .det(f ) = ±1לכן ,אם ,f (W ) ⊆ Wבהכרח .f (W ) = W
אם ⊥ y ∈ Wנוכיח ⊥ .f (y) ∈ W
ואמנם ,לכל x ∈ Wמתקיים (f (y) | x) = (y | f −1 (x)) = 0כי □ .f −1 (x) ∈ W
הוכחה של משפט:
הוכחה.
באינדוקציה.
יהי λערך עצמי של אופרטור .fהיות ו f -אופרטור במרחב וקטורי מעל הממשיים ,מקדמים של הפולינום האופייני של fממשיים.
לכן ,קיימות שתי אפשרויות.
λ .1שורש ממשי.
λ .2לא ממשי ו λ̄ -גם כן שורש של הפולינום האופייני.
במקרה הראשון קיים וקטור עצמי )ממשי( v ∈ Vעם ערך עצמי .λאורתוגונאליות גוררת || ,||v|| = |λ|·||vזאת אומרת .λ = ±1
מצאנו תת-מרחב } W = Span{vאינווריאנטי ולפי הלמה ⊥ Wגם כן אינווריאנטי.
לפי הנחת האינדוקציה קיים בסיס ב W ⊥ -כפי שנדרש במשפט ,והוספת וקטור vלאיברי בסיס תשלים לנו את הבסיס .במקרה השני
64
וקטור עצמי עבור λלא שייך ל) V -כי יש לו קואורדינאטות מרוכבות(.
נרשום אותו בצורה v1 + iv2כאשר .v1 , v2 ∈ V
אם ,λ = a + ibמקבלים ) f (v1 + iv2 ) = (a + ib)(v1 + iv2וזה נותן
{
f (v1 ) = av1 − bv2
.
f (v2 ) = bv1 + av2
תת-מרחב } W = Span{v1 , v2דו-מימדי אינווריאנטי .שוב לפי הלמה קיבלנו פרוק של Vכסכום של תתי-מרחב אינווריאנטיים
⊥ V = W ⊕ Wונשתמש באינדוקציה□ .
5.9
תפקיד של המרחב הדואלי.
כמה מלים על תפקידו של מרחב דואלי .בקורס זה מושג מרחב דואלי לא הוזכר )עד כה( ,אך זה נעשה מסיבות פוליטיות בלבד )כדי
לא להפחיד(.
נזכיר כי מרחב דואלי ∗ Vשל מרחב Vהוא אוסף העתקות לינאריות f : V → kמ V -לשדה הבסיסי .k
אם ב V -נתונה תבנית דו-לינארית ,B : V × V → kכל איבר v ∈ Vמגדיר העתקה לינארית V → kהמעבירה wל-
) .B(v, wכך אפשר לפרש כל תבנית דו-לינארית כהעתקה לינארית ∗ .B̃ : V → Vבסגנון זה אפשר לפרש גם את המטריצה
המיצגת את .B
יהי v1 , . . . , vnבסיס ב .V -נזכיר שבחירה בסיס ב V -מאפשרת לקבוע בסיס ב) V ∗ -הנקרא בסיס דואלי(:
{
1 : i=j
∗
= ) .vi (vj
זה אוסף איברים ∗ v1∗ , . . . , vnהמוגדרים על-ידי הנוסחה
0 : i ̸= j
אזי מטריצה המיצגת את התבנית Bבבסיס v1 , . . . , vnהיא אותה מטריצה המיצגת את ההעתקה הלינארית ∗ B̃ : V → V
בבסיסים v1 , . . . , vnו .v1∗ , . . . , vn∗ -התבנית Bבלתי-מנוונת אם ורק אם ̃ Bאיזומורפיזם.
נזכיר כי כל העתקה לינארית f : V → Wמגדירה העתקה צמודה ∗ f ∗ : W ∗ → Vעל-ידי הנוסחה
f ∗ (α) = α ◦ f : V → W → k.
בפרט B̃ : V → V ∗ ,נותנת ∗ .B̃ ∗ : (V ∗ )∗ = V → Vאפשר לבדוק )בקלות( כי התבנית Bסימטרית אם ורק אם
∗ ̃.B̃ = B
6.9
אופרטורים צמודים .אופרטורים צמודים לעצמם.
יהי Vמרחב וקטורי עם מכפלה פנימית .אם f : V → Vאופרטור לינארי ,אופרטור צמוד f ∗ : V → Vמוגדר ע''י הנוסחה
(f (v) | w) = (v | f ∗ (w)).
)נוסחה כזאת אכן מגדירה את ההעתקה כי מכפלה פנימית בלתי-מנונת(
אם v1 , . . . , vnבסיס אורתונורמלי ב V -ואם cij vi
n
∑
= ) f (vjכך ש f -מיוצגת על-ידי מטריצה ) ,C = (cijאז
i=1
כי ∗ f
מיוצג על-ידי המטריצה .C t
השוויון )) cji = (f (vi ) | vj ) = (vi | f ∗ (vjנותן
אופרטור f : V → Vנקרא צמוד לעצמו אם ∗ .f = fבמלים אחרות f ,צמוד לעצמו אם לכל v, w ∈ Vמתקיים
65
)).(f (v) | w) = (v | f (w
לפי מה שנאמר קודם ,אופרטור צמוד לעצמו אם ורק אם הוא מיוצג בבסיס אורתונורמאלי על-ידי מטריצה סימטרית.
אופרטורים צמודים לעצמם בעלי תכונות מיוחדות:
.1כל הערכים העצמיים שלהם ממשיים.
.2קיים בסיס אורתונורמאלי בו האופרטור מיוצג על-ידי מטריצה אלכסונית.
אנחנו נוכיח את התכונות האלה בסעיף הבא.
7.9
תכונות האופרטורים הצמודים לעצמם.
נתחיל)במקרה של(מימד .2
a b
= Aמטריצה סימטרית עם רכיבים אנחנו נבדוק עתה כי ל A-שני ערכים עצמיים ממשיים שונים .ואמנם,
תהי
b d
PA (t) = (t − a)(t − d) − b2 = t2 − (a + d)t + ad − b2 .
הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית לציאת הערכים העצמיים היא
(a + d)2 − 4(ad − b2 ) = (a − d)2 + 4b2 > 0.
לכן ,לכל מטריצה סימטרית 2 × 2שני ערכים עצמיים ממשיים שונים .יותר מאוחר נוכיח כי הוקטורים העצמיים המתאימים
אורתוגונאליים.
למה .9.2יהי fאופרטור צמוד לעצמו על .Vאם Wתת-מרחב כי אינווריאנטי אזי המשלים שלו ⊥ Wגם הוא אינווריאנטי.
הוכחה.
דומה למקרה אורתוגונאלי .אם ⊥ ,y ∈ Wעלינו לבדוק כי (x | f (y)) = 0לכל .x ∈ Wאבל
(x | f (y)) = (f (x) | y) = 0
כי Wתת-מרחב אינווריאנטי .עכשיו אפשר להוכיח את המשפט הכללי באינדוקציה.
יהי λערך עצמי של .fאם λממשי ,מתאים לו וקטור עצמי .v ∈ Vאז נגדיר } W = Span{vולפי הלמה נקבל פרוק
⊥ V = W ⊕ Wבסכום של שני תתי-מרחב אינווריאנטיים אורתוגונאליים .המשפט נובע מהנחת האינדוקציה .נניח עתה כי ערך
עצמי λלא ממשי )זה בלתי אפשרי אך אנו עוד לא יודעים להוכיח את זה(.
יהי v1 + iv2וקטור )עם קואורדינטות מרוכבות( עצמי המתאים לערך עצמי .λאזי ,אם ,λ = a + ibמתקיים
) f (v1 + iv2 ) = (a + ib)(v1 + iv2
וזה אומר כי
f (v1 ) = av1 − bv2
,
f (v2 ) = bv1 + av2
{
כך שהמרחב } W = Span{v1 , v2אינווריאנטי .הצמצום של fעל Wגם הוא ,בוודאי ,צמוד לעצמו .לפי החישוב שעשינו
במקרה של מימד ,2ערכים עצמיים לא ממשיים בלתי-אפשריים במקרה זה .הגענו לסתירה□ .
66
8.9
שימוש :צורה קאנונית של תבנית ריבועית מעל .R
צירי הסימטריה של האליפסה ניצבים זה לזה .אנחנו מתכוונים להכליל עובדה זו.
משפט .9.2תהי Bתבנית ריבועית על מרחב וקטורי ממשי Vהמצויד במכפלה פנימית .אזי קיים בסיס אורתונורמאלי ב V -בו
התבנית Bמיוצגת על-ידי מטריצה אלכסונית.
הערה .9.2קיום בסיס בו התבנית תיוצג על-ידי מטריצה אלכסונית ידוע לנו מזמן .החידוש פה -קיום בסיס אורתונורמאלי ביחס
למכפלה פנימית )שאין לה קשר לתבנית (.B
הוכחה.
נבחר בסיס אורתונורמאלי כל שהוא v1 , . . . , vnבמרחב .Vהתבנית Bתיוצג על-ידי מטריצה סימטרית .נסמן אותה ב.A -
לפי סעיף ), (7.9מטריצה סימטרית מיצגת אופרטור צמוד לעצמו .נסמן אותו ב.f -
הערה .9.3אפשר להסביר קשר בין התבנית Bלבין האופרטור fהצמוד לעצמו מבלי להסתמך על בחירת בסיס .v1 , . . . , vn
נשאיר את זה כתרגיל למי שלא מרוצה בכך שאנו משתמשים בבסיס.
לפי המשפט שבסעיף ), (7.9קיים בסיס אורתונורמאלי ,נגיד w1 , . . . , wn ,בו fמיוצג על-ידי מטריצה אלכסונית .אני טוען
כי אותה מטריצה תיצג גם את התבנית .Bקודם כל ,למה זה לא ברור .כי אם Cמטריצת מעבר ואם Aמטריצה של אופרטור ,אך
בבסיס החדש מטריצה של אותו אופרטור תהיה .C −1 ACאבל אם Aמטריצה של תבנית דו-לינארית ,אז בבסיס החדש המטריצה
של אותה תבנית תהיה C t ACמנוסחת החלפת בסיס עבור מטריצת אופרטור שונה מהנוסחה עבור מטריצת תבנית!
הגיע זמן להיזכר בכך ששני הבסיסים v1 , . . . vn ,ו ,w1 , . . . wn -אורתונורמאליים ,כך שמטריצת המעבר Cאורתוגונאלית.
לכן C −1 = C t ,ושתי הנוסחאות C −1 AC ,ו ,C t AC -נותנות אותו דבר□ .
67
