הרצאות באלגברה ליניארית ב`

Transcription

הרצאות באלגברה ליניארית ב`
‫הרצאות באלגברה ליניארית ב'‬
‫תוכן העניינים‬
‫‪1‬‬
‫דטרמיננטות‬
‫‪ 1.1‬תזכורת‪ :‬מטריצות ‪. . . . . . . 2 × 2‬‬
‫‪ 2.1‬משמעות גיאומטרית‪. . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.1‬תכונות של דטרמיננטה ‪. . . . .2 × 2‬‬
‫‪ 4.1‬הגדרה של דטרמיננטה‪ :‬מקרה כללי‪. . .‬‬
‫‪ 5.1‬תכונות של דטרמיננטה )מסקנות ההגדרה(‪.‬‬
‫‪ 6.1‬היחידות כבר הוכחה! ‪. . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.1‬מטריצות מונומיאליות‪ .‬תמורות‪. . . . .‬‬
‫‪ 8.1‬אורך של תמורה‪ .‬סימן של תמורה‪. . . .‬‬
‫‪ 9.1‬נוסחה מפורשת לדטרמיננטה‪. . . . . .‬‬
‫‪ 10.1‬קיום הדטרמיננטה‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫דטרמיננטות )המשך(‬
‫‪ 1.2‬מטריצה משולשית‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.2‬דטרמיננטה של מטריצה הפיכה‪. . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.2‬פעולות יסוד )אלמנטאריות( עם עמודות המטריצה‪.‬‬
‫‪ 4.2‬מטריצות יסוד; פעולות יסוד עם שורות‪. . . . .‬‬
‫‪ 5.2‬מטריצה משוחלפת ) ‪. . . . . (.transpose‬‬
‫‪ 6.2‬פתוח לפי שורה‪ .‬פתוח לפי עמודה‪. . . . . . .‬‬
‫‪ 7.2‬מטריצת בלוקים‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2‬נוסחה למטריצה הופכית‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.2‬כלל קראמר ) ‪. . . . . . . (.Rule Cramer‬‬
‫‪ 10.2‬מטריצת ‪ Vandermonde‬ושימושיה ‪. . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫אופרטורים‪ :‬ערכים עצמיים‪ ,‬וקטורים עצמיים‬
‫‪ 1.3‬מבוא‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3‬מה זה מיון אופרטורים? ‪. . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.3‬פתרון הבעיה במימד ‪. . . . . . . . . . .2‬‬
‫‪ 4.3‬ערכים עצמיים‪ ,‬וקטורים עצמיים )מקרה כללי(‪.‬‬
‫‪ 5.3‬פולינום אפייני‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪18‬‬
‫‪18‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 6.3‬שפת האופרטורים‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.3‬סכום ישיר‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.3‬משפט ספקטרלי הראשון‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.3‬מרחב‪-‬מנה‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.3‬פולינום אפייני במרחב מנה‪. . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 11.3‬משפט קיילי‪-‬המילטון ) ‪(.Cayley-Hamilton‬‬
‫‪ 12.3‬אופרטורים נילפוטנטיים‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫אופרטורים‪ :‬צורת ז'ורדן ) ‪(Jordan‬‬
‫‪ 1.4‬תכנית עבודה‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4‬וקטורים עצמיים מוכללים‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4‬סיקום זמני ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.4‬צורת ז'ורדן לאופרטור נילפוטנטי‪. . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.4‬סיכום‪ :‬צורת ז'ורדן עבור מטריצה כללית‪. . . .‬‬
‫‪ 6.4‬פולינום מינימלי‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.4‬שימושים‪ :‬משוואות פולינומיאליות עם מטריצות‪. .‬‬
‫‪ 8.4‬שימושים‪ :‬חישוב של )‪. . . . . . . .exp(A‬‬
‫‪ 9.4‬שימושים‪ :‬נוסחאות נסיגה‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫תבניות דו‪-‬לינאריות‪.‬‬
‫‪ 1.5‬מבוא ‪ -‬דוגמאות‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.5‬הגדרות‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.5‬מטריצת התבנית‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.5‬החלפת בסיס‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.5‬תכונות טיפוסיות של תבניות דו‪-‬לינאריות‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫תבניות דו‪-‬לינאריות )המשך(‪.‬‬
‫‪ 1.6‬תבניות דו‪-‬לינאריות סימטריות ותבניות ריבועיות‪.‬‬
‫‪ 2.6‬משלים אורתוגונאלי‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.6‬קיום בסיס אורתוגונאלי‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.6‬שדה המרוכבים‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.6‬שדה הממשיים‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫מכפלה פנימית ‪ -‬מרחב ממשי‪.‬‬
‫‪ 1.7‬גיומתריה הקשורה למכפלה פנימית‪.‬‬
‫‪ 2.7‬אורטוגונליזציה של גרם‪-‬שמיט‪. . .‬‬
‫‪ 3.7‬קריטריון סילבסטר‪. . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.7‬בסיס אורטונורמאלי‪. . . . . . .‬‬
‫‪ 5.7‬מטריצות אורטוגונליות‪. . . . . .‬‬
‫‪ 6.7‬פירוק ה‪. . . . . . . . .QR -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪23‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪31‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫‪33‬‬
‫‪33‬‬
‫‪35‬‬
‫‪36‬‬
‫‪38‬‬
‫‪39‬‬
‫‪41‬‬
‫‪41‬‬
‫‪42‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫‪44‬‬
‫‪44‬‬
‫‪45‬‬
‫‪45‬‬
‫‪46‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫‪47‬‬
‫‪47‬‬
‫‪48‬‬
‫‪48‬‬
‫‪48‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪51‬‬
‫‪52‬‬
‫‪53‬‬
‫‪53‬‬
‫‪55‬‬
‫‪8‬‬
‫מכפלה פנימית ‪ -‬מרחב מרוכב‪.‬‬
‫‪ 1.8‬הגדרה ותכונות בסיסיות‪. .‬‬
‫‪ 2.8‬מטריצה מייצגת‪. . . . . .‬‬
‫‪ 3.8‬תעליך גרם‪-‬שמיט ‪. . . .‬‬
‫‪ 4.8‬אופרוטורים אוניטריים‪. . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪57‬‬
‫‪57‬‬
‫‪58‬‬
‫‪59‬‬
‫‪60‬‬
‫‪9‬‬
‫אופרטורים אורתוגונאליים ואופרטורים צמודים לעצמם‪.‬‬
‫‪ 1.9‬הגדרות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.9‬מטריצות אורתוגונאליות‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.9‬תכונות מידיות‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.9‬מיון אופרטורים אורתוגונאליים‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.9‬תפקיד של המרחב הדואלי‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.9‬אופרטורים צמודים‪ .‬אופרטורים צמודים לעצמם‪. . . .‬‬
‫‪ 7.9‬תכונות האופרטורים הצמודים לעצמם‪. . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.9‬שימוש‪ :‬צורה קאנונית של תבנית ריבועית מעל ‪. . .R‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫‪62‬‬
‫‪62‬‬
‫‪63‬‬
‫‪64‬‬
‫‪65‬‬
‫‪65‬‬
‫‪66‬‬
‫‪67‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.1‬‬
‫דטרמיננטות‬
‫תזכורת‪ :‬מטריצות ‪. 2 × 2‬‬
‫יחיד למערכת קשור להפיכות מטריצת המקדמים‪.‬‬
‫קיום פתרון (‬
‫נתבונן במערכת שתי משוואות עם שני נעלמים‪ .‬אנחנו יודעים כי )‬
‫‪a b‬‬
‫= ‪ A‬השקולים להפיכות של ‪? A‬‬
‫נשאל שאלה‪ :‬מהם התנאים על הרכיבים ‪ a, b, c, d‬של מטריצה‬
‫‪c d‬‬
‫) ( ) (‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫לא קולינאריים )פרופורציונאליים(‪ .‬זה מתקיים אמ''מ‬
‫ו‪-‬‬
‫התשובה היא קלה יחסית‪ A :‬הפיכה אמ''מ הוקטורים‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ad − bc ̸= 0.‬‬
‫)‬
‫הגדרה ‪ .1.1‬עבור מטריצה‬
‫‪ab‬‬
‫‪cd‬‬
‫(‬
‫= ‪ A‬דטרמיננטה שלה מוגדרת ע''י הנוסחה ‪.det(A) = ad − bc‬‬
‫בפרק זה אנו נכליל מושג הדטרמיננטה למטריצות ‪ n × n‬ונלמד תכונותיה היפות‪.‬‬
‫‪2.1‬‬
‫משמעות גיאומטרית‪.‬‬
‫)‬
‫נניח שהשדה שלנו הוא שדה הממשיים ‪ .R‬יהי‬
‫‪a b‬‬
‫‪c d‬‬
‫)‬
‫(‬
‫= ‪ .A‬נשרטט את שני הוקטורים‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫(‬
‫‪ .R2‬נקבל מקבילית שלקדקודיה קואורדינאטות‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) (‬
‫(‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a+b‬‬
‫=‪0‬‬
‫= ‪,v‬‬
‫= ‪,w‬‬
‫= ‪,v + w‬‬
‫‪0‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c+d‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪v+w‬‬
‫‪v‬‬
‫‪w‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫)‬
‫ו‪-‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫(‬
‫על המשור‬
‫(‬
‫)‬
‫‪a b‬‬
‫‪ det‬הוא השטח של המקבילית שבשרטוט‪.‬‬
‫מתברר כי‪ ,‬עד כדי הסתייגויות חשובות לגבי סימן‬
‫‪c d‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪,w‬‬
‫הנה אחת הדרכים להוכיח זאת‪ .‬יהיו‬
‫= ‪. v‬נבחר מספר ‪ λ‬ונגדיר ‪.w′ = w + λv‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫נשווה את המקביליות הנוצרות ע''י )‪ (v, w‬וע''י ) ‪ . (v, w′‬למקביליות אלו אותו בסיס ‪ v‬ואותה‬
‫גובה‪ .‬לכן‪ ,‬חייב להיות להן אותו שטח‪.‬‬
‫נבדוק כי גם הדטרמיננטות של )‪ (v, w‬ושל ) ‪ (v, w′‬זהות‪ .‬ואמנם‪ ,det(v, w) = ad − bc ,‬ואילו‬
‫‪det(v, w′ ) = a(d + λc) − (b + λa)c = ad + λac − bc − λac = ad − bc.‬‬
‫אנחנו בדקנו עתה כי נוסחת הדטרמיננטה לשטח מקבילית )‪ (v, w‬שקולה לנוסחה דומה עבור ) ‪ .(v, w′‬כעת אנחנו יכולים קודם כל‬
‫לבחור ‪ λ‬כך שהוקטור ‪ w‬יהיה מקביל לציר ה‪ ,x -‬ואחר‪-‬כך‪ ,‬בדרך דומה‪ ,‬להפוך ‪ v‬לוקטור המקביל לציר ה‪ .y -‬במקרה זה נוסחת‬
‫הדטרמיננטה ניתנת לבדיקה מיידית‪.‬‬
‫הערה ‪ .1.1‬נהוג לחשוב כי השטח הוא תמיד חיובי )או אפס(‪ .‬בהתאם לכיוון הוקטורים ‪ v‬ו‪ w -‬הדטרמיננטה תהיה חיובית או שלילית‪.‬‬
‫זה מקור לסימן "ערך מוחלט" בנוסחה‬
‫|)‪S = | det(v, w‬‬
‫כאשר ‪ S‬הוא שטח המקבילית הנוצרת ע''י שני הוקטורים ‪ v, w‬ו‪ (v, w) -‬מטריצה בה בעמודה הראשונה קואורדינאטות של ‪v‬‬
‫ובעמודה השניה ‪ -‬קואורדינאטות של ‪.w‬‬
‫‪3.1‬‬
‫תכונות של דטרמיננטה ‪.2 × 2‬‬
‫� לינאריות לפי שני הארגומנטים‪:‬‬
‫‪det(v ′ , w),‬‬
‫)‪v ′ , w‬‬
‫‪det(v +‬‬
‫‪= det(v, w) +‬‬
‫)‪det(cv, w) = c det(v, w‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫)‪det(v, w + w ) = det(v, w) + det(v, w ), det(v, cw) = c det(v, w‬‬
‫� "אנטי‪-‬סימטריות"‪det(v, v) = 0 :‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1 0‬‬
‫‪. det‬‬
‫� "אמת מידה" ‪= 1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫תכונות דומות יגדירו מושג שלדטרמיננטה במקרה כללי‪.‬‬
‫‪4.1‬‬
‫הגדרה של דטרמיננטה‪ :‬מקרה כללי‪.‬‬
‫יהי ‪ k‬שדה‪ .‬אנחנו נתאים לכל מטריצה ‪ n × n‬איבר ב‪ k -‬הנקרא דטרמיננטה של המטריצה‪ .‬זה יתן לנו העתקה‬
‫‪det : M atn (k) → k.‬‬
‫יהיה נוח לנו לרשום מטריצה כסדרה של עמודות‪ ,A = (v1 , . . . , vn ) :‬כך ש‪ . vi ∈ k n -‬להלן תכונות הפונקציה ‪:det‬‬
‫‪ .1‬ליניאריות לפי כל אחד מהארגומנטים‪:‬‬
‫) ‪det(v1 , . . . , vi + vi′ , . . . , vn ) = det(v1 , . . . , vi , . . . , vn ) + det(v1 , . . . , vi′ , . . . , vn‬‬
‫) ‪det(v1 , . . . , cvi , . . . , vn‬‬
‫=‬
‫) ‪c det(v1 , . . . , vi , . . . , vn‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .2‬אנטי‪-‬סימטריות‪ :‬אם קיימים ‪ vi = vj : i ̸= j‬אזי ‪det(v1 , . . . , vn ) = 0‬‬
‫‪ det(I) = 1 .3‬כאשר ‪ I‬מטריצת היחידה‪.‬‬
‫משפט ‪ .1.1‬פונקציה‬
‫‪det : M atn (k) → k‬‬
‫המקיימת את התכונות ‪ 1 - 3‬דלעיל‪ ,‬קיימת ויחידה‪.‬‬
‫את קיום הדטרמיננטה אנחנו נוכיח בהמשך‪ .‬כעת אנחנו נבין איך לחשב אותה בהנחה שהיא קיימת‪.‬‬
‫‪5.1‬‬
‫תכונות של דטרמיננטה )מסקנות ההגדרה(‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪..‬‬
‫‪ . ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪) ei = ‬הרכיב ה‪ i -‬שווה ל‪ , 1 -‬שאר הרכיבים ‪(.0 -‬‬
‫יהיו ‪ e1 , . . . , en ∈ k‬וקטורי הבסיס הסטנדרטי‪ ,‬כך ש‪ 1  -‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫למשל ) ‪ , I = (e1 , . . . , en‬כך שצריך להתקיים ‪ det(e1 , . . . , en ) = 1‬לפי תכונה ‪.3‬‬
‫נתבונן בתכונה ‪.2‬‬
‫למה ‪ .1.1‬תהי ‪ A′‬המטריצה המתקבלת ממטריצה ‪ A‬ע''י החלפת שתי עמודות‪ .‬אזי ‪.det A′ = − det A‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫תהי ) ‪ A = (v1 , . . . , vn‬ואילו ‪ A′‬מתקבלת מ‪ A -‬ע''י החלפת עמודות ‪ i‬ו‪.j -‬‬
‫נגדיר )‪) B = (. . . , vi + vj , . . . , vi + vj , . . .‬רק מקומות ‪ i‬ו‪ j -‬מסומנים‪ ,‬בשאר המקומות נמצאים הרכיבים של ‪A‬‬
‫המקוריים(‪ .‬אזי לפי תכונות ‪ 2‬ו‪ 1-‬מקבלים‪:‬‬
‫‪0 = det B = det A + det A′ + det(. . . , vi , . . . , vi , . . .) + det(. . . , vj , . . . , vj , . . .) = det A + det A′ .‬‬
‫זה מוכיח את הלמה‪□ .‬‬
‫כעת אנחנו יכולים לחשב כל דטרמיננטה‪ :‬נניח ‪aji ej‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪ .vi‬אז תכונה ‪ 1‬קובעת כי‬
‫‪j=1‬‬
‫‪aj1 1 aj2 2 . . . ajn n det(ej1 , . . . , ejn ).‬‬
‫∑‬
‫= )‪det(A‬‬
‫‪j1 ,...,jn‬‬
‫לבסוף‪ ,‬הלמה )שנובעת בסופו של דבר מתכונה ‪ (2‬אומרת כי ) ‪ det(ej1 , . . . , ejn‬שווה ל‪ 0 -‬אם בין המספרים ‪ j1 , . . . , jn‬ישנם‬
‫מספרים זהים; אחרת היא שווה ל‪ ,±1 -‬בהתאם למספר החלפות שורות שצריך לבצע עם הסדרה ‪ ej1 , . . . , ejn‬כדי לקבל אותה‬
‫בסדר תקני ‪.e1 , . . . , en‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0 1‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמא ‪ .1.1‬נחשב )‪ det(A‬כאשר ‪0 1 0 ‬‬
‫= ‪ .A‬לפי הנוסחה‪,‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪det(A) = det(e1 , e2 , e1 ) + det(e1 , e2 , e3 ) = 1.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6.1‬‬
‫היחידות כבר הוכחה!‬
‫זה נובע מכך שלכל מטריצה שיקולים דלעיל קובעים מהו ערך הדטרמיננטה שלה ‪ -‬בהנחה שפונקצית הדטרמיננטה אכן קיימת‪.‬‬
‫‪7.1‬‬
‫מטריצות מונומיאליות‪ .‬תמורות‪.‬‬
‫בסעיפים הקודמים ראינו כי יש חשיבות רבה בחישוב דטרמיננטות למטריצות בעלות הצורה ) ‪ .A = (ei1 , . . . , ein‬מטריצות‬
‫אלו בנויות מעמודות ‪ e1 , . . . , en‬של מטריצת היחידה‪ ,‬אך בסדר אחר‪ .‬למטריצות מסוג זה קוראים מטריצות מונומיאליות‬
‫‪ monomial matrices‬מטריצה מונומיאלית מוגדרת באופן חד‪-‬משמעי ע''י סדר ) ‪ (i1 , . . . , in‬בו מופיעים האינדקסים של‬
‫העמודות ‪.ei‬‬
‫הגדרה ‪ .1.2‬סדרת מספרים ) ‪ (i1 , . . . , in‬נקראת תמורה )או ‪ - n‬תמורה אם רוצים להדגיש מספר איברים בה( אם כל המספרים‬
‫‪ - ik‬שלמים בין ‪ 1‬ל‪ n -‬וכל אחד מופיע פעם אחת בלבד‪.‬‬
‫הערה ‪ .1.2‬בקורס "אלגברה מודרנית" אתם תלמדו הגדרה "יותר מלומדת" של תמורות‪.‬‬
‫סימון‪ .‬אוסף ‪ - n‬תמורות מסמנים ב‪ Sn -‬התמורה )‪ (1, 2, . . . , n‬נקראת תמורת היחידה ומסומנת כ‪.1 ∈ Sn : 1 -‬‬
‫אם ‪ ,s = (s1 , . . . , sn ) ∈ Sn‬אנחנו יכולים לקבל תמורה חדשה ע''י החלפת רכיבים מס' ‪ i‬ו‪ .j -‬המטרה שלנו היא להבין איך‬
‫לספור כמה החלפות כאלה צריך לעשות כדי לקבל תמורה נתונה ‪ s ∈ Sn‬מתמורת היחידה ‪ .1 ∈ Sn‬ושאלה חשובה מאוד‪ :‬האם‬
‫מספר החלפות זה יחיד את שהוא תלוי בסדר בו אנו מבצעים את ההחלפות‪.‬‬
‫דוגמא ‪ .1.2‬יהי )‪ .s = (3, 2, 1‬הנה שלוש דרכים שונות לקבל מ‪ s -‬את ‪.1 ∈ S3‬‬
‫� להחליף רכיבים ‪ 1‬ו‪.3 -‬‬
‫� קודם כל להחליף רכיבים ‪ 1‬ו‪ ,2 -‬אחר‪-‬כך ‪ 2‬ו‪ , 3 -‬אחר‪-‬כך שוב ‪ 1‬ו‪.2 -‬‬
‫� קודם כל להחליף רכיבים ‪ 2‬ו‪ ,3 -‬אחר‪-‬כך ‪ 1‬ו‪ , 2 -‬אחר‪-‬כך שוב ‪ 2‬ו‪.3 -‬‬
‫בדרך ראשונה עשינו החלפה אחת‪ ,‬ובדרך שניה ושלישית ‪ -‬שלוש החלפות‪ .‬אנחנו רואים כי מספר ההחלפות לא חייב להישמר אך זוגיותו נשמרת‪.‬‬
‫לתכונה זו משמעות מכרעת לקיומה של דטרמיננטה‪.‬‬
‫‪8.1‬‬
‫אורך של תמורה‪ .‬סימן של תמורה‪.‬‬
‫בסעיף זה נוכיח כי מה שצפינו בדוגמה‪ ,‬זה לא מקרי‪ :‬עבור תמורה ‪ s ∈ Sn‬נתונה אחת משתי הטענות הבאות מתקיימת‪:‬‬
‫‪ .1‬כל הדרכים להפוך את ‪ s‬לתמורת היחידה ע''י החלפות הן באורך זוגי‪.‬‬
‫‪ .2‬כל הדרכים להפוך את ‪ s‬לתמורת היחידה ע''י החלפות הן באורך אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫קודם כל‪,‬‬
‫הגדרה ‪ .1.3‬תהי ‪ . s = (s1 , . . . , sn ) ∈ Sn‬אורך של ‪) s‬הסימון‪ (ℓ :‬הוא מספר זוגות ‪ 1 ⩽ i < j ⩽ n‬המקיימות את‬
‫התכונה ‪) si > sj‬לפעמים אומרים‪ :‬מספר אי‪-‬סדרים(‪ .‬למשל‪. ℓ(3, 2, 1) = 3 ,ℓ(1) = 0 ,‬‬
‫‪7‬‬
‫תרגיל ‪ .1‬מהו אורך מכסימאלי של תמורה ב‪? Sn -‬‬
‫מה תועלת של הגדרה זו? אנחנו עכשיו נבדוק כי כאשר עושים החלפת שני איברים בתמורה‪ ,‬אורכה משתנה ב‪) 1-‬עולה או יורד(‪.‬‬
‫זו יוכיח כי אם האורך של ‪ s‬זוגי‪ ,‬מספר החלפות נחוצות כדי להפוך את ‪ s‬ל‪ 1 -‬בהכרח זוגי‪ ,‬ואם האורך אי‪-‬זוגי‪ ,‬מספר ההחלפות‬
‫אי‪-‬זוגי‪ .‬ובכן‪,‬‬
‫משפט ‪ .1.2‬תהי ‪ ,s = (s1 , . . . , sn ) ∈ Sn‬ותהי ‪ t‬תמורה המתקבלת מ‪ s -‬ע''י החלפת איברים מס' ‪ i‬ו‪ .j -‬אזי )‪ℓ(t) − ℓ(s‬‬
‫הוא מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪ .1‬נבדוק קודם כל מקרה פרטי‪) j = i + 1 :‬מחליפים רכיבים שכנים(‪ .‬עלינו לספור אי‪-‬סדרים של ‪ . t‬פרט לזוג ) ‪(si , si+1‬‬
‫לא השתנה דבר‪ :‬זוג ) ‪ (sk , sl‬שהיה אי‪-‬סדר נשאר אי‪-‬סדר‪ ,‬וזוג שלא היה‪ ,‬ממשיך לא להיות אי‪-‬סדר‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬הזוג‬
‫) ‪ (si , si+1‬החליף את תכונותיו‪ :‬אם היה אי‪-‬סדר ‪ -‬הפסיק להיות כזה‪ ,‬ואילו אם לא היה ‪ -‬נהיה לאי‪-‬סדר‪ .‬זה מוכיח כי‬
‫במקרה זה ‪. ℓ(t) = ℓ(s) ± 1‬‬
‫‪ .2‬מקרה כללי‪ .‬אנו מניחים כי ‪ . i < j‬אפשר לבצע החלפת שורות ‪ i‬ו‪ j -‬בשלבים‪ :‬קודם כל מעבירים רכיב ‪ i‬ימינה על למקום‬
‫שמאחורי ‪ - j‬זה דורש ‪ j − i‬צעדים‪ .‬אחר‪-‬כך מעבירים את ‪) j‬הוא נמצא כעת במקום ה‪ (j − 1 -‬למקום ה‪ - i -‬זה דורש עוד‬
‫‪ j − i − 1‬צעדים‪ .‬בסך הכל עשינו מספר אי‪-‬זוגי של צעדים ובכל אחד הוספנו או החסרנו ‪ .1‬זה מוכיח כי אורך התמורה‬
‫השתנה למספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫□‬
‫הגדרה ‪) 1.4‬סימון(‪ .‬עבור ‪ s ∈ Sn‬אנחנו מגדירים סימן של ‪ s‬כ‪ +1 -‬אם )‪ ℓ(s‬זוגי‪ ,‬ו‪ −1 -‬כאשר )‪ ℓ(s‬אי‪-‬זוגי‪ .‬הסימון‪:‬‬
‫)‪ .sgn(s‬במלים אחרות‪,‬‬
‫)‪ℓ(s‬‬
‫‪sgn(s) = (−1) .‬‬
‫תמורה ‪ s‬נקראת זוגית אם )‪ ℓ(s‬זוגי או‪ ,‬במלים אחרות‪ ,‬אם ‪ .sgn(s) = 1‬תמורה ‪ s‬נקראת אי‪-‬זוגית אם )‪ ℓ(s‬אי‪-‬זוגי או‪ ,‬במלים‬
‫אחרות‪ ,‬אם ‪.sgn(s) = −1‬‬
‫כמסקנה מהמשפט הקודם אנחנו מקבלים כי אם ‪ s‬זוגית‪ ,‬אז אורך כל דרך המביאה את ‪ s‬לתמורת זהות ‪ 1‬בהכרח זוגי‪ ,‬ואם ‪s‬‬
‫אי‪-‬זוגית‪ ,‬אז האורך בהכרח אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫‪9.1‬‬
‫נוסחה מפורשת לדטרמיננטה‪.‬‬
‫תהי ) ‪ A = (aij‬מטריצה ‪ . n × n‬נשתמש בסימון ) ‪ A = (v1 , . . . , vn‬כאשר‬
‫‪sgn(s)as1 1 . . . asn n .‬‬
‫∑‬
‫‪∑n‬‬
‫‪i=1 aij ei‬‬
‫= ) ‪as1 1 as2 2 . . . asn n det(es1 , . . . , esn‬‬
‫‪s∈Sn‬‬
‫= ‪ . vj‬אנחנו מקבלים‬
‫∑‬
‫‪s∈Sn‬‬
‫נוסחה זו כה חשובה‪ ,‬שיש טעם לחזור עליה‪:‬‬
‫‪sgn(s)as1 1 . . . asn n .‬‬
‫∑‬
‫‪s∈Sn‬‬
‫יש לציין כי עדין לא הוכחנו את קיום הדטרמיננטה!‬
‫‪8‬‬
‫= ‪det A‬‬
‫= ‪det A‬‬
‫‪10.1‬‬
‫קיום הדטרמיננטה‪.‬‬
‫מה חסר לנו כדי להוכיח את הקיום? הרי כבר נוסחה מפורשת יש לנו! האמת היא שלמרות שיש לנו נוסחה מפורשת‪ ,‬עוד לא בדקנו‬
‫שהיא מקיימת את האכסיומות של דטרמיננטה ‪ -‬ליניאריות לפי כל אחד מן הארגומנטים‪ ,‬אנטי‪-‬סימטריות‪ ,‬ואכסיומת היחידה‪ .‬כל‬
‫האכסיומות האלו ניתן להוכיח ישירות על סמך הנוסחה המפורשת )תוכיחו לבד כי ‪(! det(I) = 1‬‬
‫אנחנו נלך בדרך אחרת ‪ -‬נניח כי הוכחנו קיום דטרמיננטה עבור מטריצות ‪ ,n × n‬ונסיק מזה קיומה עבור )‪.(n + 1) × (n + 1‬‬
‫‪ .1‬מקרה ‪ .n = 1‬אם )‪ ,A = (a‬אנו מניחים‪ ,‬בודאי‪ .det A = a ,‬כל האכסיומות מתקיימות באופן מיידי )תסבירו מדוע!(‬
‫‪ .2‬מעבר ‪ .n + 1 ⇐ n‬נניח הוכחנו קיומה של פונקציה ‪ det : M atn (k) → k‬המקיימת את האכסיומות הידועות‪ .‬אני‬
‫אגדיר עכשיו פונקציה ‪ det : M atn+1 (k) → k‬ואוכיח עבורה את האכסיומות‪ .‬אנחנו נצטרך עוד סימון‪.‬‬
‫‪ .3‬סימון‪ .‬תהי ) ‪ A = (aij‬מטריצה ריבועית ויהיו ‪ r, s‬שני מספרים‪ .‬אנחנו נסמן ב‪ Ars -‬מטריצה המתקבלת מ‪ A -‬ע''י‬
‫מחיקת שורה מס' ‪ r‬ועמודה מס' ‪ .s‬נציין כי אם ‪ A‬מטריצה )‪ ,(n + 1) × (n + 1‬אזי ‪ Ars‬מטריצה ‪.n × n‬‬
‫הגדרה ‪ .1.5‬נגדיר דטרמיננטה של מטריצה )‪ (n + 1) × (n + 1‬ע''י הנוסחה‬
‫‪(−1)r a1r det(A1r ).‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= )‪det(A‬‬
‫‪r=1‬‬
‫‪ .4‬בדיקת האכסיומות עבור ‪.n + 1‬‬
‫‪.‬א ליניאריות לפי עמודה מספר ‪.i‬‬
‫תהי )‪ A = (aij ) ∈ M atn+1 (k‬ונניח כי לכל ‪) ari = a′ri + a′′ri r‬עמודה ‪ari er‬‬
‫שתי עמודות‪,‬‬
‫‪a′′ri er .‬‬
‫‪n+1‬‬
‫∑‬
‫= ‪a′ri er , vi′′‬‬
‫‪r=1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫∑‬
‫‪n+1‬‬
‫∑‬
‫= ‪ vi‬היא סכום‬
‫‪r=1‬‬
‫= ‪vi′‬‬
‫‪r=1‬‬
‫יהיו ‪ A′‬ו‪ A′′ -‬המטריצות המתקבלות מ‪ -‬ע''י החלפת עמודה ב‪ vi′ -‬וב‪. vi′′ -‬‬
‫עלינו לבדוק כי ‪det A′′‬‬
‫‪+‬‬
‫‪det A′‬‬
‫= ‪.det A‬‬
‫ואמנם‪ ,‬לפי הנוסחה‪,‬‬
‫‪(−1)r a1r det A1r .‬‬
‫∑‬
‫‪n+1‬‬
‫∑‬
‫‪r̸=i‬‬
‫‪r=1‬‬
‫‪(−1)r a1r det A1r = (−1)i (a′1i + a′′1i ) det A1i +‬‬
‫= ‪det A‬‬
‫לפי הנחת האינדוקציה‪ det ,‬מקיימת את האכסיומות על מטריצות ‪ .n × n‬בפרט‪,‬‬
‫‪det A1r = det A′1r + det A′′1r ,‬‬
‫וזה נותן‬
‫∑‬
‫‪(−1)r a1r det A1r = det A′ + det A′′ .‬‬
‫‪r̸=i‬‬
‫‪9‬‬
‫‪det A = (−1)i (a′1i + a′′1i ) det A1i +‬‬
‫‪.‬ב אנטי‪-‬סימטריות‪.‬‬
‫= ‪ r‬מתקיים =‬
‫נניח במטריצה ) ‪ A = (v1 , . . . , vn+1‬שתי עמודות זהות‪ .vi = vj :‬עבור כל ‪̸ i, j‬‬
‫‪ 0‬כי למטריצה ‪ A1r‬שתי עמודות זהות )והיא מטריצה ‪ ).n × n‬לכן‪,‬‬
‫‪det A1r‬‬
‫‪det A = (−1)i a1i det A1i + (−1)j a1j det A1j .‬‬
‫נזכיר כי ‪ .a1i = a1j‬גם המטריצות ‪ A1i‬ו‪" A1j -‬כמעט אותו דבר"‪ A1i :‬מתקבלת מ‪ A1j -‬ע''י העברת עמודה‬
‫מס' ‪ i‬למקום מס' ‪ .j‬כדי לעשות זאת‪ ,‬צריך ‪j − i‬החלפות עמודות‪ ,‬כך ש‪.det A1i = (−1)j−i det A1j -‬‬
‫ביחד עם הנוסחה הקודמת זה נותן ‪.det A = 0‬‬
‫‪.‬ג אכסיומת יחידה זה מידי‪ .det(In+1 ) = 1 · det(In ) = 1 :‬כאן )באופן חריג( אנו מסמנים ‪ In , In+1‬מטריצות‬
‫היחידה ב‪.M atn , M atn+1 -‬‬
‫‪ .5‬קיום הפונקציה ‪ det : M atn (k) → k‬המקיימת את התכונות ‪ 1-3‬הוכח‪ .‬יש לציין כי בו‪-‬זמנית מצאנו דרך‬
‫נוספת לחישוב דטרמיננטה ‪ --‬פיתוח לפי השורה הראשונה‪ .‬על תכונות של דטרמיננטה ועל דרכים אחרות לחישובה נדבר‬
‫בהרצאות הבאות‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.2‬‬
‫דטרמיננטות )המשך(‬
‫מטריצה משולשית‪.‬‬
‫תהי ) ‪ A = (aij‬מטריצה משולשית עליונה‪ ,‬ז‪.‬א‪ aij = 0 .‬כאשר ‪ .i > j‬אזי ‪ .det(A) = a11 a22 · · · ann‬ואמנם‪ ,‬המכפלה‬
‫‪ as1 ,1 · · · asn ,n‬לא מתאפסת רק כאשר ‪ si ⩽ i‬לכל ‪ . i‬זה מיד נותן ‪ ,si = i‬זאת אומרת‪ .s = 1 ,‬לכן‪ ,‬הנוסחה המפורשת‬
‫נותנת את הנוסחה ‪.det(A) = a11 a22 · · · ann‬‬
‫למה ‪ .2.1‬תהי ‪ d : M atn (k) → k‬פונקציה המקיימת את התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מולטי‪ -‬ליניאריות‬
‫‪ .2‬אנטי‪-‬סימטריות‪.‬‬
‫אזי לכל מטריצה )‪ A ∈ M atn (k‬מתקיים שוויון )‪.d(A) = det A · d(I‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫הוכחה זו היא חזרה על הסקת הנוסחה המפורשת לדטרמיננטה‪ .‬תהי ) ‪ A = (aij ) = (v1 , . . . , vn‬כאשר ‪aij ei‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪vj‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)הסימון סטנדרטי(‪ .‬לפי המולטי‪-‬ליניאריות‬
‫∑‬
‫= ) ‪ai1 1 ai2 2 · · · ain n d(ei1 , . . . , ein‬‬
‫= )‪d(A‬‬
‫‪i1 ,...,in‬‬
‫לפי אנטי‪-‬סימטריות‬
‫= ) ‪as1 1 as2 2 · · · asn n d(es1 , . . . , esn‬‬
‫∑‬
‫=‬
‫‪s∈Sn‬‬
‫שוב לפי האנטי‪-‬סימטריות‬
‫)‪sgn(s)as1 1 as2 2 · · · asn n d(I‬‬
‫∑‬
‫=‬
‫‪s∈Sn‬‬
‫□‬
‫מסקנה ‪.det(AB) = det(A) det(B) .2.1‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫נגדיר פונקציה ‪ d : M atn (k) → k‬ע''י הנוסחה‬
‫‪d(B) = det(AB).‬‬
‫נציין כי אם ) ‪ B = (v1 , . . . , vn‬אז ) ‪ .AB = (Av1 , . . . , Avn‬לכן‪ ,‬אם ‪ ,vi = vi′ +vi′′‬מתקיים גם ‪Avi = Avi′ +Avi′′‬‬
‫וזה גורר מיד את מולטי‪-‬ליניאריות‪ .‬בדרך דומה‪ ,‬אם ‪ vi = vj‬אז ‪ Avi = Avj‬וזה גורר אנטי‪-‬ליניאריות‪ .‬לכן‪ ,‬לפי הלמה הקודמת‪,‬‬
‫‪det(AB) = d(B) = det(B) det(A).‬‬
‫□‬
‫‪11‬‬
‫‪2.2‬‬
‫דטרמיננטה של מטריצה הפיכה‪.‬‬
‫אם ‪ A‬הפיכה‪ .det(A) det(A−1 ) = det(AA−1 ) = 1 ,‬בפרט ‪ .det(A) ̸= 0‬אנחנו נראה עוד מעט כי גם ההפך הוא נכון‪:‬‬
‫אם מטריצה אינה הפיכה‪ ,‬הדטרמיננטה שלה שווה לאפס‪.‬‬
‫‪3.2‬‬
‫פעולות יסוד )אלמנטאריות( עם עמודות המטריצה‪.‬‬
‫‪ .1‬החלפת עמודות ‪ --‬מכפילה דטרמיננטה ב‪) −1 -‬נובע מאנטי‪-‬סימטריות(‪.‬‬
‫‪ .2‬הכפלה של עמודה בסקלר ‪ - λ ∈ k‬מכפילה דטרמיננטה ב‪) λ -‬נובע מליניאריות(‪.‬‬
‫‪ .3‬עמודה ‪ vi‬מוחלפת ב‪ .vi′ = vi + c · vj -‬פעולה זו לא משפיעה על הדטרמיננטה‪.‬‬
‫נבדוק את הטענה האחרונה‪ .‬יהיו )‪ .A′ = (. . . , vi′ , . . . , vj , . . .) ,A = (. . . , vi , . . . , vj , . . .‬נשתמש בליניאריות לפי‬
‫ארגומנט ‪ .i‬נקבל‬
‫‪det(A′ ) = det(A) + c det(. . . , vj , . . . , vj , . . .) = det(A).‬‬
‫עתה אנו יכולים לחשב בעזרת פעולות יסוד את הדטרמיננטה של כל מטריצה‪ :‬אנו יודעים מה קורה לדטרמיננטה כשמבצעים כל פעולת‬
‫יסוד; אנו יודעים להביא כל מטריצה למטריצה משולשית בעזרת פעולות יסוד‪ ,‬וגם יודעים דטרמיננטה של מטריצה משולשית‪.‬‬
‫‪4.2‬‬
‫מטריצות יסוד; פעולות יסוד עם שורות‪.‬‬
‫תהי ‪ Eij‬מטריצה המתקבלת ממטריצת היחידה ‪ I‬ע''י החלפת עמודות ‪ i‬ו‪ (λ ̸= 0) Ei (λ) . j -‬מטריצה המתקבלת ממטריצת‬
‫היחידה ‪ I‬ע''י הכפלת עמודה ‪ i‬ב‪ Eij (c) .λ -‬מטריצה המתקבלת ממטריצת היחידה ‪ I‬ע''י פעולת היסוד בה מוסיפים לעמודה ‪i‬‬
‫את עמודה ‪ j‬המוכפלת ב‪ . c -‬מטריצות ‪ Eij (c), Ei (λ), Eij‬נקראות מטריצות יסוד מטריצות אלמנטאריות‪elementary ,‬‬
‫‪ matrices‬להלן נוסחאות מפורשות למטריצות יסוד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪1,‬‬
‫∈‪r=s‬‬
‫}‪/ {i, j‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪1, (r, s) = (i, j‬‬
‫) ‪ Eij = (ars‬כאשר‬
‫= ‪ars‬‬
‫)‪1, (r, s) = (j, i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0, otherwise‬‬
‫‪ 1, r = s ̸= i‬‬
‫‪λ, r = s = i‬‬
‫= ‪ars‬‬
‫) ‪ Ei (λ) = (ars‬כאשר‬
‫‪‬‬
‫‪ 0, otherwise‬‬
‫‪ 1, r = s‬‬
‫)‪c, (r, s) = (j, i‬‬
‫= ‪ars‬‬
‫) ‪ Eij (c) = (ars‬כאשר‬
‫‪‬‬
‫‪0, otherwise‬‬
‫דטרמיננטות של מטריצות יסוד הן‪:‬‬
‫‪det Eij = −1, det Ei (λ) = λ, det Eij (c) = 1‬‬
‫זה נובע‪ ,‬למשל‪ ,‬מסעיף )‪(.3.2‬‬
‫אם ‪ A‬מטריצה ואם ‪ E‬מטריצת יסוד כלשהי‪ ,‬אז המכפלה ‪ AE‬מתקבלת מ‪ A -‬ע''י פעולת יסוד עם עמודות המתאימה ל‪ .E -‬זה‬
‫מאפשר לקבל מחדש את התאנות של סעיף )‪ (.3.2‬בעזרת הנוסחה )‪.det(AE) = det(A) det(E‬‬
‫‪12‬‬
‫עכשיו אנחנו מוכנים להבין מה קורה לדטרמיננטה כאשר מבצעים פעולת יסוד‬
‫עם שורות‪ :‬הרי פעולות אלה אפשר לתאר כהכפלה של מטריצה במטריצת יסוד מצד שמאל‪:‬‬
‫‪ .1‬הכפלה ב‪ Eij -‬מחליפה שורות ‪ i‬ו‪.j -‬‬
‫‪ .2‬הכפלה ב‪ Ei (λ) -‬מכפילה את השורה ‪ i‬ב‪.λ -‬‬
‫‪ .3‬הכפלה ב‪ Eij (c) -‬מוסיפה לשורה ‪ j‬במטריצה את שורה ‪ i‬המוכפלת ב‪.c -‬‬
‫כמסקנה‪ ,‬אנחנו מקבלים שפעולות יסוד עם שורות משנות את הדטרמיננטה באותה דרך כמו פעולות עם עמודות‪ :‬החלפת שורות‬
‫מחליפה סימן‪ ,‬הכפלת שורה בסקלר מכפילה דטרמיננטה באותו סקלר‪ ,‬והוספה לשורה של שורה אחרת מוכפלת מסקלר לא משנה את‬
‫הדטרמיננטה‪.‬‬
‫‪5.2‬‬
‫מטריצה משוחלפת ) ‪(.transpose‬‬
‫מטריצה משוחלפת של ) ‪ A = (aij‬היא מטריצה ‪ At‬שרכיב ה‪ (i, j) -‬שלה שווה ל‪.aji -‬‬
‫משפט ‪det(At ) = det(A) .2.1‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫נבדוק קודם כל את הטענה בשני מקרים פרטיים‪:‬‬
‫‪ A .1‬משולשית עליונה‪ .‬אזי ‪ At ,det(A) = a11 · · · ann‬משולשית תחתונה עם אותם רכיבים ‪ a11 , . . . , ann‬באלכסון‪,‬‬
‫כך שמתקיים ‪.det(At ) = a11 · · · ann‬‬
‫‪ A .2‬מטריצת יסוד‪ .‬מטריצות )‪ Eij , Ei (λ‬סימטריות כך שאין מה להוכיח עבורן‪.‬‬
‫עבור )‪ A = Eij (c‬מתקיים )‪ , At = Eji (c‬כך ש‪ . det(A) = det(At ) = 1 -‬עתה נוכיח את המשפט עבור מטריצה ‪A‬‬
‫כללית‪ .‬אנו יודעים כי ניתן להביא כל מטריצה לצורת מדרגה ע''י פעולות יסוד עם שורות‪ .‬זה אומר כי ניתן לכתוב‬
‫‪En · · · E1 A = B‬‬
‫כאשר ‪ Ei‬מטריצות יסוד ו‪ B -‬מטריצה בצורת מדרגה )בפרט‪ B ,‬משולשית(‪ .‬אזי‬
‫‪A = E1−1 · · · En−1 B, At = B t (En−1 )t · · · (E1−1 )t‬‬
‫ולכן‬
‫‪= det(A).‬‬
‫) ‪det(Ei−1‬‬
‫∏‬
‫)‪= det(B‬‬
‫‪det(Ei−1 )t‬‬
‫∏‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫) ‪det(A ) = det(B‬‬
‫□‬
‫נציין כי עכשיו אנו מסוגלים כבר לסיים דיון של סעיף )‪ (:2.2‬אם ‪ A‬לא הפיכה‪ ,‬שיטת גאוס מביאה אותה למטריצה ‪ B‬בצורת‬
‫מדרגה‪ ,‬שהשורה האחרונה של ‪ B‬שווה לאפס‪ .‬בפרט‪ bnn = 0 ,‬וזה גורר כי ‪ .det(B) = 0‬לכן‪ ,‬גם ‪.det(A) = 0‬‬
‫‪13‬‬
‫‪6.2‬‬
‫פתוח לפי שורה‪ .‬פתוח לפי עמודה‪.‬‬
‫תוך כדי הוכחת קיום דטרמיננטה‪ ,‬השתמשנו בנוסחת נסיגה‪:‬‬
‫) ‪(−1)1+j a1j det(A1j‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= )‪det(A‬‬
‫‪j=1‬‬
‫כאשר ‪ Aij‬מטריצה המתקבלת מ‪ A-‬ע''י מחיקת שורה ‪ i‬ועמודה ‪) j‬בנוסחה ‪ ).i = 1‬נוסחה זאת נקראת נוסחת פיתוח דטרמיננטה‬
‫לפי שורה ראשונה‪ .‬עתה נסיק נוסחה כללית יותר של פיתוח דטרמיננטה לפי שורה ‪ .i‬במקום להוכיח את הנוסחה הכללית מחדש‪,‬‬
‫נשתמש במקרה הפרטי שכבר יודעים‪ .‬תהי ) ‪ B = (bij‬מטריצה המתקבלת מ‪ A-‬ע''י העברת שורה ‪ i‬למעלה‪ ,‬אל מקום של שורה‬
‫‪ .1‬פעולה זו שקולה ל ‪ (i − 1) -‬החלפות שורות )שורה ‪ i‬עם ‪ , i − 1‬אחר כך עם ‪ , i − 2‬וכן הלאה(‪ .‬לכן‪,‬‬
‫‪det(A) = det(B) · (−1)i−1 .‬‬
‫עתה נשתמש בפיתוח )‪ det(B‬לפי השורה הראשונה‪ .‬נקבל‬
‫‪(−1)1+j aij det(Aij ),‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ) ‪(−1)1+j b1j det(B 1j‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪j=1‬‬
‫= )‪det(B‬‬
‫‪j=1‬‬
‫וזה נותן לבסוף‬
‫‪(−1)i+j aij det(Aij ).‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= )‪det(A‬‬
‫‪j=1‬‬
‫זאת נוסחת פיתוח לפי שורה ‪ .i‬עתה נקבל נוסחת פיתוח לפי עמודה ‪ .j‬נשתמש בכך שעמודה ‪ j‬במטריצה ‪ A‬מתאימה לשורה ‪j‬‬
‫במטריצה המשוחלפת‪ .‬לפי הנוסחה הקודמת‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ) ‪det(A‬‬
‫) ‪(−1)i+j a′ji det(A′ji‬‬
‫‪′‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)פיתוח לפי שורה ‪ ).j‬אם ניקח בחשבון כי )‪ det(A′ ) = det(A‬וגם ‪ ,a′ji = aij , A′ji = Aij‬נקבל בסופו של דבר‬
‫‪(−1)i+j aij det(Aij ).‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= )‪det(A‬‬
‫‪i=1‬‬
‫תרגיל ‪ .2‬מצאו הבדל בין נוסחות פיתוח דטרמיננטה לפי שורה ולפי עמודה‪.‬‬
‫‪7.2‬‬
‫מטריצת בלוקים‪.‬‬
‫למה ‪ .2.2‬תהי‬
‫)‬
‫‪B C‬‬
‫‪0 D‬‬
‫(‬
‫= ‪ A‬כאשר ‪ B‬מטריצה ‪ D ,m × m‬מטריצה ‪ ,n × n‬ו‪ C -‬מטריצה ‪ . m × n‬אזי‬
‫‪det(A) = det(B) det(D).‬‬
‫‪14‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫אינדוקציה לפי ‪.m‬‬
‫משתמשים בפיתוח לפי עמודה ראשונה של ‪ .A‬כיוון ש‪ ai1 = 0 -‬עבור ‪ ,m < i‬מקבלים‬
‫‪(−1)i+1 ai1 det(Ai1 ).‬‬
‫‪m‬‬
‫∑‬
‫= )‪det(A‬‬
‫‪i=1‬‬
‫במקרה ‪ m = 1‬זה נותן את הנוסחה הנדרשת )‪.det(A) = a11 det(D‬‬
‫במקרה ‪ m > 1‬הנחת האינדוקציה נותנת )‪ ,det(Ai1 ) = det(B i1 ) det(D‬ואז מקבלים‬
‫‪m‬‬
‫∑‬
‫= )‪det(A‬‬
‫‪(−1)i+1 ai1 det(B i1 ) det(D) = det(B) det(D).‬‬
‫‪i=1‬‬
‫למה הוכח‪□ .‬‬
‫‪8.2‬‬
‫נוסחה למטריצה הופכית‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫‪d −b‬‬
‫‪a b‬‬
‫= ‪ A‬הפיכה‪ ,‬אז‬
‫נזכיר כי אם מטריצה‬
‫‪−c a‬‬
‫‪c d‬‬
‫מטריצות ריבועיות כלליות‪ .‬נגדיר מטריצה חדשה ) ‪ A′ = (a′ij‬ע''י הנוסחה ) ‪ a′ij = (−1)i+j det(Aji‬כאשר ‪ Aji‬מתקבלת‬
‫מ‪ A -‬ע''י מחיקת שורה ‪ j‬ועמודה ‪ .i‬נכפיל ‪ A‬ב‪:A′ -‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪det(A‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪(−1)k+j aik det Ajk‬‬
‫= ‪aik a′kj‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪ .A−1‬עתה נציג הכללה של נוסחה זו עבור‬
‫= ‪(AA′ )ij‬‬
‫‪k=1‬‬
‫במקרה ‪) i = j‬איבר האלכסון( הנוסחה נותנת )‪. det(A‬נניח ‪ . i ̸= j‬נבנה מטריצה ‪ B‬כדלקמן‪ :‬נמחק ב‪ A-‬שורה ‪ ,j‬ונכתוב‬
‫בתוכה שורה ‪ . i‬ל‪ B -‬שתי שורות זהות‪ .‬לכן‪ . det(B) = 0 ,‬אך‪ ,‬מצד שני‪ ,‬אם נפתח )‪ det(B‬לפי שורה ‪ ,j‬נקבל את האגף‬
‫‪1‬‬
‫)‪ .A−1 = det(A‬זאת נוסחה מפורשת למטריצה‬
‫הימיני של הנוסחה דלעיל‪ .‬אנחנו קיבלנו כי ‪ . AA′ = det(A) · I‬לכן‪A′ ,‬‬
‫הופכית‪.‬‬
‫הערה ‪ .2.1‬הדרך כלל שימוש בנוסחה המפורשת לחישוב מטריצה הופכית לא יעיל‪ .‬האלגוריתם היעיל ביותר לחישוב מטריצה הופכית‬
‫הוא האלגוריתם המבוסס על שיטת גאוס‪.‬‬
‫‪9.2‬‬
‫כלל קראמר ) ‪(.Rule Cramer‬‬
‫נוסחה מפורשת לחישוב מטריצה הופכית מאפשרת להציג נוסחה מפורשת גם לפתרון למערכת משוואות ליניאריות‪ .‬תהי ‪Ax = b‬‬
‫מערכת משוואות ליניאריות‪ ,‬כך ש‪ A -‬ריבועית )מספר הנעלמים שווה למספר המשוואות(‪ .‬נניח כי ‪ A‬הפיכה‪ .‬אזי הפתרון הוא‬
‫‪1‬‬
‫)‪ x = A−1 b = det(A‬כאשר ) ‪ A′ = (a′ij‬עם ) ‪ .a′ij = (−1)i+j det(Aji‬לכן‪,‬‬
‫‪A′ b‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪det(Aji‬‬
‫‪i+j b‬‬
‫‪j‬‬
‫‪∑n‬‬
‫)‪j=1 (−1‬‬
‫)‪det(A‬‬
‫‪15‬‬
‫‪∑n‬‬
‫=‬
‫‪′‬‬
‫‪j=1 aij bj‬‬
‫)‪det(A‬‬
‫= ‪xi‬‬
‫נשאר להוסיף כי את המונה של הנוסחה ניתן לפרש כפיתוח לפי עמודה של דטרמיננטה מסוימת‪:‬‬
‫תהי ‪ Ai‬מטריצ ‪ Type equation here.‬ה המתקבלת מ‪ A -‬ע''י החלפת עמודה ‪ i‬בעמודה ‪ b‬של האיברים החופשיים‪ .‬אזי לפתרון‬
‫‪ x‬קיבלנו נוסחה מפורשת‪:‬‬
‫) ‪det(Ai‬‬
‫= ‪xi‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪det(A‬‬
‫‪10.2‬‬
‫מטריצת ‪ Vandermonde‬ושימושיה‬
‫אנחנו יודעים היטב כי דרך שתי נקודות שונות ניתן להעביר קו ישר יחד‪ .‬ומה לעשות אם יש לנו יותר משתי נקודות? האם עבור ‪n‬‬
‫נקודות אפשר למצוא פונקציה פולינומיאלית )‪ y = f (x‬שעוברת דרך כולן? ופולינום בעל איזו מעלה עלינו לחפש?‬
‫יהיו ‪ x1 , . . . , xn‬ערכים של המשתנה ‪ x‬ויהיו ‪ y1 , . . . , yn‬ערכים של הפונקציה‪ .‬עלינו למצוא פולינום )‪ f (x‬כך ש‪f (xi ) = yi -‬‬
‫‪.‬לפולינום בעל מעלה ‪ m‬יש ‪ m + 1‬מקדמים ‪ .a0 , a1 , . . . , am -‬לכן סביר להניח כי‪ ,‬כדי שהגרף יעבור דרך ‪ n‬נקודות‪ ,‬יש לחפש‬
‫פולינום בעל מעלה ‪ .n − 1‬הנחה זו מתיישבת היטב גם עם העובדה הידועה כי לשתי נקודות יש יחפש קו ישר ‪ -‬פולינום ממעלה ‪.1‬‬
‫הבעיה שלנו היא למצוא את המקדמים ‪ a0 , . . . , an−1‬המקיימים את המשוואות‬
‫‪ak xj k = yj , j = 1, . . . , n.‬‬
‫‪n−1‬‬
‫∑‬
‫‪k=0‬‬
‫זאת מערכת של ‪ n‬משוואות ליניאריות עם ‪ n‬נעלמים‪ .‬אם יש לה דטרמיננטה שונה מאפס ‪ -‬למערכת פתרון יחיד‪ :‬קיים ויחיד פולינום‬
‫העובר דרך הנקודות הנתונות‪ .‬המטריצה שדטרמיננטה שלה כה חשובה לנו‪ ,‬נקראת מטריצה של ‪ Vandermonde‬על שמו של מדען‬
‫צרפתי של החצי השני של המאה ‪ .18‬רכיביה של המטריצה הם חיזקות של ‪ .xi‬הנה היא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1n−1‬‬
‫‪‬‬
‫‪xn−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪... ‬‬
‫‪xnn−1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪x21‬‬
‫‪x22‬‬
‫‪...‬‬
‫‪x2n‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪...‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ...‬‬
‫‪1‬‬
‫דטרמיננטה של מטריצה זו נקראת דטרמיננטת ונדרמונד‪.‬‬
‫משפט ‪ .2.2‬דטרמיננטת ונדרמונד שווה ל‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1n−1‬‬
‫∏ ‪‬‬
‫‪xn−1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪‬‬
‫) ‪(xi − xj‬‬
‫‪... ‬‬
‫‪i>j‬‬
‫‪xnn−1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪x21‬‬
‫‪x22‬‬
‫‪...‬‬
‫‪x2n‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪...‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪det ‬‬
‫‪ ...‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .‬בפרט‪ ,‬היא שונה מאפס כאשר כל ה ‪ xi‬שונים זה מזה‪.‬‬
‫יש‪ ,‬בעצם‪ ,‬שתי הוכחות‪ .‬השנייה תהיה הרבה יותר יפה ופשוטה‪ ,‬אך תשתמש ברעיונות שלא נוכל‪ ,‬בשלב זה‪ ,‬להצדיק‪ .‬הנה הוכחה‬
‫ראשונה‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫שלב ראשון‬
‫נחסיר מכל שורה מספר ‪ , k‬החל מהשורה השנייה‪ ,‬את השורה הראשונה‪ .‬נקבל מטריצה שבה אותה שורה הראשונה‪ ,‬ובמקום‬
‫‪l−1‬‬
‫‪ . xl−1‬בפרט‪ ,‬עבור ‪ l = 1‬מספר זה שווה לאפס‪.‬‬
‫)‪ (k, l‬עבור ‪ ,k > 1‬נמצא מספר‬
‫‪k − x1‬‬
‫שלב שני‬
‫נחסיר מכל עמודה מס' ‪) l‬מתחילים ב‪ ( l = n -‬את העמודה מס' ‪ l − 1‬המוכפלת ב‪ .x1 -‬בשורה הראשונה ישאר רק ‪ 1‬בפינה‬
‫השמאלית‪ ,‬ובמקום ה‪ (k, l) -‬עבור ‪ ,k, l ≥ 2‬יהיה‬
‫(‬
‫)‬
‫‪l−1‬‬
‫‪l−2‬‬
‫‪l−2‬‬
‫‪xl−1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪= (xk − x1 ) xl−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k .‬‬
‫שלב שלישי‬
‫עתה קל מאוד לערוך אינדוקציה‪ .‬נסמן‬
‫) ‪W (x1 , . . . , xn‬‬
‫דטרמיננטת ונדרמונד‪ .‬אזי השבים ראשון ושני שעשינו נותנים‪:‬‬
‫‪(xk − x1 ) · W (x2 , . . . , xn ) .‬‬
‫‪n‬‬
‫∏‬
‫= ) ‪W (x1 , . . . , xn‬‬
‫‪k=2‬‬
‫נוסחה זו מיד נותנת את הנדרש‪□ .‬‬
‫הוכחה שניה‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫דטרמיננטת ונדרמונד היא פולינום של ‪ .x1 , . . . , xn‬אם נציב ‪ ,xk = xl‬דטרמיננטה מתאפסת )שתי שורות זהות(‪ .‬לכן‪,‬‬
‫דטרמיננטת ונדרמונד מתחלקת בכל הפרש ‪ .xk − xl‬לכן היא מתחלקת גם במכפלתם של כל ההפרשים‪ .‬נשאר רק לחשב את‬
‫המקדם ‪ -‬הוא שווה ל‪□ .1 -‬‬
‫‪17‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.3‬‬
‫אופרטורים‪ :‬ערכים עצמיים‪ ,‬וקטורים עצמיים‬
‫מבוא‪.‬‬
‫חלק א' של הקורס הוקדש למרחבים וקטוריים ולהעתקות לינאריות‪.‬יהי ‪ k‬שדה שישאר קבוע למשך סעיף זה‪ .‬אחד הדברים החשובים‬
‫שלמדנו בחלק א' הוא המשפט האומר כי כל מרחב וקטורי בעל מימד ‪ n‬איזומורפי ל‪) kn -‬אוסף עמודות באורך ‪(.n‬‬
‫משפט זה מתאר כל מרחבים וקטוריים בעלי מימד סופי עד כדי איזומורפיזם‪.‬‬
‫בעיה אחרת שפתרנו בחלק א' של הקורס היא מיון של העתקות לינאריות‪ .‬תהי ‪ f : V → W‬העתקה לינארית ממרחב ‪ V‬בעל‬
‫מימד ‪ n‬למרחב ‪ W‬בעל מימד ‪ .m‬אחד המשפטים שהוכחנו בחלק א' של הקורס אומר‪ :‬ניתן למצוא בסיס ‪ v1 , . . . , vn‬ב‪V -‬‬
‫ובסיס ‪ w1 , . . . , wm‬ב‪ W -‬כך שההעתקה ‪ f‬מוגדרת על‪-‬ידי הנוסחאות‪:‬‬
‫{‬
‫‪wi , i ≤ k‬‬
‫= ) ‪f (vi‬‬
‫‪0, i > k.‬‬
‫כאן מספר ‪ k‬הוא הדרגה של ‪) f‬שהיא מוגדרת כ‪ dim Im(f ) -‬או ) ‪ (. n − dim Ker(f‬במלים אחרות‪ ,‬המשפט אומר כי אפשר‬
‫למצוא בסיסים ב‪ V -‬וב‪ W -‬כך שהמטריצה המיצגת של ‪ f‬תיראה כך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫)ב‪ k -‬מקומות הראשונים של האלכסון ‪ ; 1 -‬בשאר מקומות המטריצה ‪(. 0 -‬‬
‫משפט זה גם כן ניתן לפרש כמשפט מיון של העתקות לינאריות‪ :‬העתקה לינארית ‪ f‬מוגדרת באופן יחיד עד כדי איזומורפיזם‬
‫על‪-‬ידי שלושה מספרים‪:‬‬
‫‪n = dim(V ) , m = dim(W ) , k = rk(f ).‬‬
‫כדי להבין טוב יותר את משמעות המשפט‪ ,‬ננסח אותו בשפה של מטריצות‪ .‬כאן נתונה לנו מטריצה )‪ .A ∈ M atm,n (k‬אם‬
‫‪ C‬מטריצה שעמודותיה איברי בסיס חדש ב‪ ,V -‬ואילו ‪ D‬מטריצה שעמודותיה איברי בסיס חדש ב‪ ,W -‬אחרי המעבר לבסיסים‬
‫החדשים נקבל מטריצה ‪) A′ = D−1 AC‬ראה הרצאה ‪ 13‬של חלק א'(‪ .‬לכן המשפט שאנו דנים בו אומר כי לכל מטריצה‬
‫)‪ A ∈ M atm,n (k‬קיימות מטריצות הפיכות )‪ , C ∈ M atn (k), D ∈ M atm (k‬כך שהמכפלה ‪ D−1 AC‬היא מהצורה‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫אפשר גם לומר כי הצורה הזאת היא הצורה הקנונית של העתקה לינארית‪ .‬עתה אנו מתחילים לחקור מקרה של העתקה לינארית‬
‫‪ f : V → V‬ממרחב ‪ V‬לעצמו‪.‬‬
‫‪2.3‬‬
‫מה זה מיון אופרטורים?‬
‫אופרטור לינארי הוא העתקה לינארית ‪ f : V → V‬ממרחב ‪ V‬לעצמו‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫הגדרה ‪ .3.1‬אופרטור ‪ f : V → V‬איזומורפי לאופרטור ‪ g : W → W‬אם קיים איזומורפיזם ‪ α : V → W‬כך שמתקיים‬
‫))‪g(α(x)) = α(f (x‬‬
‫לכל ‪ .x ∈ V‬במילים אחרות‪ g ◦ α = α ◦ f :‬או אפילו ‪.f = α−1 ◦ g ◦ α‬‬
‫מטרת המיון‪ :‬לתאר את כל האופרטורים עד כדי איזומורפיזם‪.‬‬
‫בשפה של מטריצות‪:‬‬
‫הגדרה ‪ .3.2‬שתי מטריצות ‪ A, A′‬נקראות דומות אם קיימת מטריצה הפיכה ‪ C‬כך ש‪-‬‬
‫‪A′ = C −1 AC‬‬
‫)כדאי להשוות את זה הן עם מה שנאמר בסעיף )‪ (1.3‬והן מושג שקילות באופרטורים(‪.‬‬
‫מטרת המיון‪ :‬לתאר את כל המטריצות עד כדי דמיון‪ .‬מיון המטריצות עד כדי דימיון יעשה ע''י כך שאנו נגדיר אוסף מיוחד של‬
‫מטריצות )מטריצות בצורת ז'ורדן ‪ ( Jordan‬ונוכיח כי כל מטריצה דומה למטריצה בצורת ז'ורדן‪ .‬מיון זה תקף רק עבור שדות סגורים‬
‫אלגברית )אנו נזכיר מושג זה בהמשך(‪ .‬צורת ז'ורדן של מטריצה כמעט יחידה ‪ -‬עד כדי החלפת תאים )תאי ז'ורדן( בה‪.‬‬
‫עוד ניסוח שקול של אותו המשפט‪:‬‬
‫יהי ‪ f : V → V‬אופרטור לינארי מעל שדה סגור אלגברית‪ .‬קיים בסיס ב‪ V -‬עבורו המטריצה המייצגת של ‪ f‬היא בצורת‬
‫ז'ורדן‪ .‬אנו נתחיל ממקרה פרטי ‪ dim V = 2‬שבו כבר נבחין כמה תופעות חשובות‪.‬‬
‫‪3.3‬‬
‫פתרון הבעיה במימד ‪.2‬‬
‫ובכן‪ f : V → V , dim V = 2 ,‬אופרטור‪ .‬רעיון ראשון‪.‬‬
‫נחפש וקטור ‪ 0 ̸= v ∈ V‬כך ש‪ f (v) = λv -‬עבור מספר ‪ λ ∈ k‬מסויום‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .3.3‬וקטור ‪ v‬כזה נקרא וקטור עצמי‪ ,‬ו‪ λ -‬נקרא ערך עצמי של ‪. v‬‬
‫למה זה טוב? כי אם נצליח למצוא ב‪ V -‬בסיס של וקטורים עצמיים‪ ,‬אז המטריצה שתיצג את ‪ f‬תהיה אלכסונית‪ .‬משוואה‬
‫‪ f (v) = λv‬היא מערכת משואות הומוגניות; יש לה פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם האופרטור ‪ f − λ · id‬לא הפיך‪ .‬נחפש כל‬
‫‪ λ‬כך ש‪ f − λ · id -‬לא הפיך‪.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪a b‬‬
‫= ‪ A‬אז ‪ f − λ · id‬ייוצג ע''י מטריצה‬
‫אם ‪ f‬מיוצג בבסיס מסוים ע''י מטריצה‬
‫‪c d‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪a−λ‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪A − λI‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d−λ‬‬
‫‪ .‬מטריצה זו לא הפיכה אם ורק אם דטרמיננטה שלה שווה לאפס‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪a−λ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪det‬‬
‫‪= 0.‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d−λ‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬ערכים עצמיים של ‪ f‬הם שורשים של הפולינום‪:‬‬
‫‪λ2 − (a + c)λ + (ad − bc).‬‬
‫‪19‬‬
‫פולינום זה נקרא פולינום אפייני של ‪) f‬או של מטריצה ‪(.A‬‬
‫תופעה ראשונה‪ .‬למשוואה ריבועית לא תמיד יש פתרונות‪ .‬למשל‪ ,‬אם ‪) k = R‬שדה הממשיים(‪ ,‬למשוואה ‪λ2 + 1 = 0‬‬
‫אין פתרונות‪ .‬לכן‪ ,‬בעית המיון הרבה יותר פשוטה כאשר אנחנו עובדים עם שדה המרוכבים‪ .‬נניח מעתה בסעיף זה כי ‪ .k = C‬יהיו‬
‫‪ λ1 , λ2‬שני השורשים של הפולינום האפייני‪.‬‬
‫תופעה שניה ‪ .‬יש להבדיל בין שני מקרים‪ :‬שורשים שונים ושורשים נלכדים‪ .‬מקרה יותר פשוט‪.λ1 ̸= λ2 :‬‬
‫קיים וקטור ‪ 0 ̸= v1‬כך ש‪. f (v1 ) = λ1 v1 -‬‬
‫קיים וקטור ‪ 0 ̸= v2‬כך ש‪.f (v2 ) = λ2 v2 -‬‬
‫אני טוען כי ‪ v1 , v2‬בלתי‪-‬תלויים לינארית‪ .‬ואמנם‪ ,‬אילו הם היו תלויים לינארית‪ ,‬היה מתקיים ‪ v2 = cv1‬ואז‬
‫‪f (v2 ) = f (cv1 ) = cf (v1 ) = cλ1 v1 = λ1 v2 .‬‬
‫מצד שני‪ ,f (v2 ) = λ2 v2 ,‬וזה גורר‬
‫‪(λ1 − λ2 )v2 = 0 ⇐ λ1 v2 = λ2 v2‬‬
‫שזה בלתי‪-‬אפשרי כי ‪.λ1 − λ2 ̸= 0, v2 ̸= 0‬‬
‫ובכן‪ ,‬נבחר } ‪ {v1 , v2‬כבסיס של ‪) V‬נזכיר כי ‪ dim V = 2‬לפי ההנחה(‪ .‬כיוון ש‪ f (v1 ) = λ1 v1 -‬ו‪,f (v2 ) = λ2 v2 -‬‬
‫המטריצה המיצגת של ‪ f‬בבסיס זה היא‬
‫(‬
‫)‬
‫‪λ1 0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 λ2‬‬
‫מקרה פחות פשוט‪ .λ1 = λ2 :‬יהי ‪ λ‬השורש הכפול של המשוואה האפיינית‪ .‬למערכת ההומוגנית ‪ (A − λI)v = 0‬יש פתרון‬
‫לא טריוויאלי‪ .‬מהו מימד מרחב הפתרונות? ברור כי ‪ 1‬או ‪ .2‬שתי האפשרויות אלה אכן אפשריות‪.‬‬
‫מקרה של מימד ‪ .2‬זה אומר כי ‪ (A − λI)v = 0‬לכל ‪ .v ∈ V‬זה פשוט אומר כי ‪ A = λI‬ואם כן‪ ,‬בכל בסיס‬
‫(‬
‫)‬
‫‪λ 0‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 λ‬‬
‫מקרה של מימד ‪ .1‬נבחר ‪ v1‬כך ש‪ Av1 = λv1 -‬נשלים ‪ v1‬לבסיס } ‪ {v1 , v2‬של ‪ .V‬מטריצה מיצגת של ‪ f‬תיראה אז‬
‫(‬
‫)‬
‫‪λ a‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 b‬‬
‫יתר על כן‪ b = λ ,‬כי ‪ λ‬שורש כפול של המשוואה האפיינית‪ .‬לכן‪,‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪λ a‬‬
‫‪.‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪0 λ‬‬
‫)‬
‫עכשיו‪ ,‬אם נחליף ‪ v2‬ב‪ , a1 v2 -‬בבסיס החדש ‪ f‬ייוצג ע''י המטריצה‬
‫‪λ 1‬‬
‫‪0 λ‬‬
‫(‬
‫= ‪ .A‬בסיכום‪ ,‬הוכחנו את המשפט הבא‪:‬‬
‫משפט ‪ .3.1‬כל מטריצה ‪ 2 × 2‬מעל שדה המרוכבים דומה לאחת המטריצות הבאות‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫)‬
‫‪.1‬‬
‫)‬
‫‪.2‬‬
‫)‬
‫‪.3‬‬
‫‪4.3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪λ2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪λ1‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫‪λ‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫‪λ‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫‪.λ1 ̸= λ2 ,‬‬
‫ערכים עצמיים‪ ,‬וקטורים עצמיים )מקרה כללי(‪.‬‬
‫נחזור למקרה הכללי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .3.4‬יהי ‪ T : V → V‬אופרטור ליניארי‪ .‬וקטור ‪ 0 ̸= v ∈ V‬נקרא וקטור עצמי של ‪ T‬אם קיים מספר ‪ λ ∈ k‬כך ש‪-‬‬
‫‪T (v) = λv,‬‬
‫במקרה זה ‪ λ‬נקרא ערך עצמי‪ .‬אוסף כל וקטורים עצמיים של אותו ערך עצמי כולל וקטור ‪ 0‬נסמן כי ‪ .Vλ‬במילים אחרות‬
‫‪Vλ = {v ∈ V | T (v) = λv} .‬‬
‫אז כמו קודם‪ λ ∈ k ,‬הוא ערך עצמי של מטריצה )‪ A ∈ M atn (k‬אם ורק אם‬
‫‪det(λI − A) = 0,‬‬
‫כאשר ‪ A‬היא מטריצה מייצגת של ‪ .T‬נזכיר כי דטרמיננטה היא פונקציה פולינומיאלית של רכיבי המטריצה‪ .‬לכן‪ ,‬המשוואה למציאת‬
‫הערכים העצמיים הינה משוואה פילינומיאלית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .3.5‬שדה ‪ k‬נקרא שדה סגור אלגברית אם לכל פולינום‬
‫)‪f (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 , (n > 0‬‬
‫יש שורש ב‪.k -‬‬
‫דוגמא ‪ .3.1‬שדה המרוכבים ‪ C‬סגור אלגברית )"המשפט העיקרי של אלגברה"(‪.‬‬
‫מעתה ‪ k‬שדה סגור אלגברית‪ ,‬למשל‪ ,‬שדה המרוכבים‪.‬‬
‫יהי ‪ f‬פולינום עם מקדם ראשי ‪ .1‬אזי ) ‪ f (t) = (t − λ1 ) · · · (t − λn‬כאשר ‪ - λi‬שורשים של ‪ .f‬יש לציין כי‪ ,‬כמו‬
‫במקרה ‪ ,n = 2‬בין השורשים יכולים להיות זהים‪.‬‬
‫מסקנה ‪ .3.1‬לאופרטור במרחב ‪- n‬מימדי )או למטריצה ‪ n (n × n‬ערכים עצמיים )כאשר כל אחד נלקח עם ריבויו(‪.‬‬
‫יהי ‪ λ‬ערך עצמי של ‪ .A‬כדי למצוא וקטורים עצמיים המתאימים ל‪ , λ -‬יש לפתור מערכת משוואות הומוגניות ‪.(A−λI)v = 0‬‬
‫אוסף פתרונות מערכת זו מהווה תת‪-‬מרחב של וקטורים עצמיים המתאימים לערך עצמי ‪ .λ‬עוד מעט נוכיח כי מימד מרחב זה קטן או‬
‫שווה לריבוי של ‪ .λ‬אם נצליח למצוא ‪ n‬וקטורים עצמיים בלתי‪-‬תלויים לינארית‪ ,‬אז ניתן לבחור אותם כוקטורי הבסיס‪ ,‬ובבסיס חדש‬
‫זה האופרטור תירשם ע''י מטריצה אלכסונית‪ .‬נזכיר כי כבר במקרה ‪ n = 2‬אין זה תמיד אפשרי‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪5.3‬‬
‫פולינום אפייני‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .3.6‬תהי )‪ . A ∈ M atn (k‬פולינום אפייני של ‪ A‬מוגדר ע''י הנוסחה‬
‫‪PA (t) = det(t · I − A).‬‬
‫נסמן את רכיביה של המטריצה ) ‪.B = tI − A : B = (bij‬‬
‫‪: i=j‬‬
‫=‪: i‬‬
‫‪̸ j‬‬
‫‪t − aij‬‬
‫‪−aij‬‬
‫{‬
‫= ‪bij‬‬
‫אזי‪ ,‬לפי הנוסחה המפורשת‪,‬‬
‫‪sgn(s)bs1 1 bs2 2 · · · bsn n .‬‬
‫∑‬
‫= )‪PA (t) = det(B‬‬
‫‪s∈Sn‬‬
‫כיוון שכל ‪ bij‬הוא פולינום בעל דרגה ‪ 0‬או ‪ PA (t) ,1‬הוא פולינום בעל דרגה ⩾ ‪ .n‬נציין כמה תכונות של פולינום אפייני‪.‬‬
‫‪ .1‬דרגה של )‪ PA (t‬היא ‪ n‬והמקדם הראשי שווה ל‪ .1 -‬ואמנם‪ ,‬בנוסחה של דטרמיננטה האיבר המתאים לתמורת זהות הוא‬
‫‪(t − a11 ) . . . (t − ann ).‬‬
‫האיברים המתאימים לשאר התמורות‪ ,‬מכילים לכל היותר ‪ n − 2‬איברי האלכסון‪ ,‬כך ש הדרגה של שאר המחוברים היא‬
‫⩾ ‪.n − 2‬‬
‫‪ .2‬המקדם של ‪ tn−1‬ב‪ PA (t) -‬הוא )‪ −tr(A‬כאשר ‪) tr(A) = a11 + . . . + ann‬עקבה של המטריצה(‪ .‬זה נובע‬
‫מאותו שיקול כמו הטענה הקודמת‪.‬‬
‫‪ .3‬האיבר החופשי של )‪ PA (t‬שווה ל‪ .(−1)n det(A) -‬זה נובע מכך שהאיבר החופשי הוא )‪.PA (0) = det(−A‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ C‬מטריצה הפיכה ואם ‪ A′ = C −1 AC‬אז ‪ .PA′ = PA‬זה נובע מנוסחת דטרמיננטה של מכפלת מטריצות‪:‬‬
‫)‪det(tI − C −1 AC) = det(C −1 (tI − A)C) = det(C)−1 det(tI − A) det(C) = det(tI − A‬‬
‫הגדרה ‪ .3.7‬יהי ‪ T : V → V‬אופרטור ליניארי ‪ A‬מטריצה מייצגת שלו ו‪ p(t) = (t − λ1 )d1 . . . (t − λk )dk -‬פולינום‬
‫אופייני שלו‪ .‬אזי ריבוי אלגברי של ערך עצמי ‪ λi‬הוא ‪ ,di‬ריבוי גיאומטרי של ערך עצמי ‪ λi‬הוא ‪ dim Vλi‬כאשר ‪ Vλi‬הוא‬
‫מרחב הוקטורים עצמיים של ערך עצמי ‪) λi‬כולל וקטור אפס(‪.‬‬
‫משפט ‪ .3.2‬יהי ‪ T : V → V‬אופרטור ליניארי‪ ,‬אזי לכל ערך עצמי ‪ λ‬ריבוי אלגברי שלו גדול או שווה מריבוי גיאומטרי‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫יהי ‪ v1 , . . . , vk‬בסיס של ‪ ,Vλ‬ז‪.‬א‪ k .‬הוא ריבוי גיאומטרי של ‪ .T‬נשלים וקטורים האלה עד הבסיס של ‪V‬‬
‫‪v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vn‬‬
‫‪22‬‬
‫בבסיס זה מטריצה מייצגת של ‪ T‬היא‬
‫‪‬‬
‫‪t1n‬‬
‫‪‬‬
‫‪t2n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪tkn ‬‬
‫‪‬‬
‫‪tk+1n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪tk+2n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪tnn‬‬
‫לכן פולינום אופייני‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 . . . 0 t1k+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪0 . . . 0 t2k+1‬‬
‫‪... ... ... ... ... ...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 . . . λ tkk+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 . . . 0 tk+1k+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 . . . 0 tk+2k+1‬‬
‫‪... ... ... ... ... ...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 . . . 0 tnk+1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T̄ = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪p(t) = det(λI − T̄ ) = (t − λ)k q(t‬‬
‫ואז ריבוי אלגברי של ‪ λ‬גדול או שווה ל‪□ .k -‬‬
‫‪6.3‬‬
‫שפת האופרטורים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .3.8‬מרחב וקטורי עם אופרטור הוא זוג ) ‪ (V, f‬כאשר ‪ V‬מרחב וקטורי ו‪ f : V → V -‬אופרטור לינארי‪.‬‬
‫לפי מה שנאמר בסעיף )‪ (5.3‬אפשר להגדיר את הפולינום האפייני של אופרטור ‪ f‬על מרחב וקטורי ‪ V‬בעל מימד סופי‪ :‬יש לבחור‬
‫בסיס ב‪ , V -‬אז ‪ f‬ייוצג ע''י מטריצה ‪ ,A‬ונוכל להגדיר פולינום אפייני של ‪ f‬כפולינום אפייני של ‪ .A‬ההגדרה לא תלויה בבחירת‬
‫בסיס של ‪ V‬כי מטריצות מיצגות בבסיסים שונים דומות זו לזו‪ ,‬ואילו הפולינומים האפייניים של מטריצות דומות זהים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .3.9‬יהיו ) ‪ (V, f‬ו‪ (W, g) -‬שני מרחבים עם אופרטור‪ .‬מורפיזם )‪ α : (V, f ) → (W, g‬מוגדר כהעתקה לינארית‬
‫‪ α : V → W‬המקיימת את התנאי ))‪ α(f (v)) = g(α(v‬לכל ‪.v ∈ V‬‬
‫הגדרה ‪ .3.10‬יהי ) ‪ (V, f‬מרחב עם אופרטור‪ .‬תת‪-‬מרחב וקטורי ‪ W‬של ‪ V‬נקרא אינווריאנטי אם ‪ f (x) ∈ W‬לכל ‪.x ∈ W‬‬
‫{‬
‫}‬
‫דוגמא ‪ V = a + bt + ct2 .3.2‬אוסף פולינומים מעל הממשיים בעלי דרגה ⩾ ‪.2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ ,f = dt‬כך ש‪ .f (a + bt + ct2 ) = b + 2ct -‬אז אוסף פולינומים מעל הממשיים בעלי דרגה ⩾ ‪ 1‬הוא תת‪-‬מרחב‬
‫יהי‬
‫אינווריאנטי של ‪.V‬‬
‫‪7.3‬‬
‫סכום ישיר‪.‬‬
‫תזכורת‪ .‬יהי ‪ V1 , . . . , Vn‬הם תתי‪-‬מרחבים של מרחב וקטורי ‪ ,V‬אזי‬
‫} ‪U = V1 + . . . + Vn = {v1 + . . . + vn | vi ∈ Vi‬‬
‫‪ U‬נקרא סכום של תתי‪-‬מרחבים ‪.V1 , . . . , Vn‬‬
‫הגדרה ‪ .3.11‬סכום ‪ U = V1 + . . . + Vn‬נקרא ישיר אם לכל וקטור ‪ v ∈ U‬ההצגה ‪ v = v1 + . . . + vn‬כאשר ‪vi ∈ Vi‬‬
‫היא יחידה‪ .‬במקרה זה מסמנים אותו‬
‫‪U = V1 ⊕ . . . ⊕ Vn .‬‬
‫‪23‬‬
‫משפט ‪.3.3‬‬
‫‪V = V1 ⊕ V2‬‬
‫אם ורק אם‬
‫‪V = V1 + V2 .1‬‬
‫‪V1 ∩ V2 = {0} .2‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫∈‬
‫∈‬
‫∈‬
‫∈‬
‫יהי ‪ V = V1 ⊕ V2‬אזי ברור ש‪ .V = V1 + V2 -‬נוכיח ש‪:V1 ∩ V2 = {0} -‬‬
‫נניח ש‪ v ∈ V1 ∩ V2 -‬אז‬
‫‪v = v + 0 = 0 + v‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪V1‬‬
‫ומפני שהצגה היא יחידה נקבל ש‪.v = 0 -‬‬
‫כיוון הפוך‪ :‬נניח ש ‪ - 2 ,1‬מתקיים ו‪-‬‬
‫‪v = v1 + v2 = u1 + u2‬‬
‫∈‬
‫∈‬
‫לכן‬
‫‪v1 − u1 = u2 − v2‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪V1‬‬
‫ומפני שחיתוך של ‪ V1‬ו‪ V2 -‬מכיל רק וקטור אפס נקבל ש‪ v1 − u1 = u2 − v2 = 0 -‬לכן ‪□ .v1 = u1 , v2 = u2‬‬
‫דוגמא ‪ .3.3‬יהי ‪V = R2 ,‬‬
‫‪V1 = {(x, 0) | x ∈ R} ,‬‬
‫‪V2 = {(0, y) | y ∈ R} ,‬‬
‫‪V3 = {(x, x) | x ∈ R} ,‬‬
‫‪U =V‬‬
‫אזי‬
‫‪V = V1 ⊕ V2 , V = V1 ⊕ V3 , V = V2 ⊕ V3‬‬
‫לפי משפט הקודם ולפי אותו משפט סכום הבא אינו ישיר‬
‫‪V = V1 + U‬‬
‫ונשים לב שגם סכום‬
‫‪V = V1 + V2 + V3‬‬
‫אינו ישיר יאומת זאת‪,‬‬
‫‪V1 ∩ V2 = V1 ∩ V3 = V2 ∩ V3 = {0}.‬‬
‫זה אומר שהמשפט הקודם אי‪-‬אפשר להכליל )ישירות( למקרה יותר משני מרחבים‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫משפט ‪ .3.4‬אם‬
‫‪V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vn‬‬
‫אזי‬
‫‪dim V = dim V1 + . . . + dim Vn .‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫כדי להוכיח את הטענה מספיק לארות שאיחוד של הבסיסים של תתי‪-‬מרחבים ‪ V1 , . . . , Vn‬מהווה את הבסיס של ‪.V‬‬
‫יהי ‪ v11 , . . . , v1k1‬בסיס של ‪ V1‬ו‪ vn1 , . . . , vnkn . . .-‬בסיס של ‪ .Vn‬נניח‬
‫‪c1i v1i = 0‬‬
‫‪kn‬‬
‫∑‬
‫‪c1i v1i + . . . +‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪k1‬‬
‫∑‬
‫‪i=1‬‬
‫מפני שסכום תתי‪-‬מרחבים הוא ישיר אז הצגה של ‪ 0‬היא יחידה‪ ,‬ואז היא‬
‫‪0 + ... + 0 = 0‬‬
‫לכן‬
‫‪c1i v1i = 0.‬‬
‫‪kn‬‬
‫∑‬
‫‪c1i v1i = 0, . . . ,‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪k1‬‬
‫∑‬
‫‪i=1‬‬
‫אבל וקטורים‬
‫‪vi1 , . . . , vik1‬‬
‫הם בת''ל לכל ‪ ,i‬ז‪.‬א‪ .‬כל המקדמים ‪ .cij = 0‬לכן כל וקטורים ‪ v11 , . . . , v1k1 , . . . , vn1 , . . . , vnkn‬הם בת''ל‪ ,‬ואז הם באמת‬
‫מהווים בסיס של ‪□ .V‬‬
‫משפט ‪ .3.5‬יהי ‪ T : V → T‬אופרטור ליניארי‪ λ1 , . . . , λk .‬הם ערכים עצמיים שלו‪ .‬אזי‬
‫‪W = Vλ1 ⊕ . . . ⊕ Vλk .‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫יהי‬
‫אזי‬
‫‪w = v1 + . . . + vk = u1 + . . . + uk , vi , ui ∈ Vλi‬‬
‫‪(v1 − u1 ) + . . . + (vk − uk ) = 0.‬‬
‫מפני שוקטור ‪ vi − ui‬הוא וקטור עצמי של ערך עצמי ‪ λi‬נקבל ש‪-‬‬
‫‪1(vk − uk ) = 0‬‬
‫‪λk (vk − uk ) = 0‬‬
‫‪λ2k (vk − uk ) = 0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ λk−1‬‬
‫‪k (vk − uk ) = 0‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1(v1 − u1 ) + . . .‬‬
‫‪λ1 (v1 − u1 ) + . . .‬‬
‫‪λ21 (v1 − u1 ) + . . .‬‬
‫‪...‬‬
‫‪λk−1‬‬
‫‪(v‬‬
‫‪−‬‬
‫‪u‬‬
‫)‬
‫‪+‬‬
‫‪...‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן ב‪ xi -‬קוורדינטה מספר ‪ j‬של וקטור ‪ .vi − ui‬נקבל‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ = 0.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪xk‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪λ1‬‬
‫‪λ2‬‬
‫‪λ21‬‬
‫‪λ22‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪k−1‬‬
‫‪λ1‬‬
‫‪λk−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪...‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. . . λk‬‬
‫‪. . . λ2k‬‬
‫‪... ...‬‬
‫‪. . . λk−1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מטריצה הזאת היא מטריצה משוכלפת של מטריצת ונדרמונד ז‪.‬א‪ .‬דטרמיננטה שלה היא דטרמיננטה של ונדרמונד והיא שווה ל‪-‬‬
‫∏‬
‫‪(λi − λj ) ̸= 0,‬‬
‫‪i>j‬‬
‫כי כל ערכים עצמיים הם שונים‪ .‬לכן למערת משוואות ליניריות קיים רק פתרון טריווילי‬
‫‪x1 = x2 = . . . = xk = 0‬‬
‫ומכאן נובע ש כל קוורדינטה )‪ (j‬של וקטור ‪ vi − ui‬שווה לאפס לכל ‪ ,i‬ואז הצגה היא יחידה‪□ .‬‬
‫‪8.3‬‬
‫משפט ספקטרלי הראשון‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .3.12‬אופרטור ‪ T : V → V‬נקרא לכסין אם קיים בסיס כך שבו מטריצה מייצגת שלו ̄‪ T‬היא אלכסונית‪.‬‬
‫מטריצה ‪ A‬נקראת לכסינה אם קיימת מטריצה ‪ C‬כך ש‪-‬‬
‫‪A = C −1 LC‬‬
‫כאשר ‪ L‬היא מטריצה אלכסונית‪ .‬או במילים אחרות‪ ,‬אם ‪ A‬דומה למטריצה אלכסונית‪.‬‬
‫מסקנה ‪ .3.2‬אופרטור הוא לכסין אם ורק אם המטריצה מייצגת שלו היא לכסינה‪.‬‬
‫משפט ‪) 3.6‬ספקטרלי הראשון(‪ .‬מטריצה ‪ A‬לכסינה אם ורק אם לכל ערך עצמי ריבוי אלגבלי שווה לריבוי גיאומטרי שלו‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫יהי ‪ λ1 , . . . , λk ,T : V → V, T (v) = Av‬ערכים עצמיים של ‪ T‬ו‪-‬‬
‫‪p(t) = (t − λ1 )d1 (t − λ2 )d2 . . . (t − λk )dk‬‬
‫פולינום אופיני של ‪ .T‬אם ריבוי אלגבלי שווה לריבוי גיאומטרי לכל ערך עצמי אז סכום ריבוים גיאומטריים שווה למימד של מרחב‬
‫‪ .V‬במילים אחרות‬
‫‪dim Vλ1 + . . . + dim Vλk = d1 + . . . + dk = dim V,‬‬
‫ז‪.‬א‪ .‬מימד של ‪ W = Vλ1 ⊕ . . . ⊕ Vλk‬שווה ל‪ dim V -‬ומכאן נובע ש‪-‬‬
‫‪V = Vλ1 ⊕ . . . ⊕ Vλk .‬‬
‫‪26‬‬
‫לכן ב‪ V -‬קיים בסיס המורכב מוקטורים עצמיים ‪ .v1 , . . . , vn‬נתבונן במטריצה מייצגת של ‪ T‬בבסיס זה‪.‬‬
‫בבסיס זה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪λ1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪ λ2 ‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪T (v1 ) = ‬‬
‫‪ , T (v2 ) = ‬‬
‫‪ , . . . , T (vn ) = ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫‪ . ‬‬
‫‪ . ‬‬
‫‪ . ‬‬
‫‪λn‬‬
‫לכן‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪... 0‬‬
‫‪... 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪... ... ‬‬
‫‪. . . λn‬‬
‫אלכסונית‪.‬‬
‫כיוון נגדי‪:‬‬
‫יהי‬
‫‪‬‬
‫‪... 0‬‬
‫‪... 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪... ... ‬‬
‫‪. . . cn‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪λ1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 0 λ2 0‬‬
‫‪T̄ = ‬‬
‫‪ ... ... ...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪c1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 0 c2 0‬‬
‫‪A=‬‬
‫‪ ... ... ...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ויהי ‪ ci‬נמצה באלכסון ‪ m‬פעמים‪ ,‬ז‪.‬א‪ ci .‬הוא ערך עצמי בעל ריבוי אלגברי ‪ .m‬אז‬
‫‪rank(ci I − A) = n − m‬‬
‫וריבוי גיאומטרי של ‪ ci‬שווה ל‪□ .dim Vci = n − (n − m) = m -‬‬
‫‪9.3‬‬
‫מרחב‪-‬מנה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .3.13‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪ W, U ,‬תת‪-‬קבוצות של ‪ .V‬אז‬
‫‪x + W = {x + w | w ∈ W } ,‬‬
‫‪λW = {λw | w ∈ W } ,‬‬
‫‪U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W } .‬‬
‫הגדרה ‪) 3.14‬מרחב‪-‬מנה(‪ .‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪ W ,‬תת‪-‬מרחב של ‪ .V‬אז‬
‫‪/‬‬
‫} ‪V W = {x + W | x ∈ V‬‬
‫‪/‬‬
‫מרחב וקטורי ביחס לפעולות המוגדרות בהגדרה קודמת‪ .‬מרחב ‪ V W‬נקרא מרחב מנה‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫כל להרות שפעולות אלה אפשר לנסאח באופן הבא‪:‬‬
‫‪(x + W ) + (y + W ) = (x + y) + W,‬‬
‫‪λ(x + W ) = (λx) + W.‬‬
‫יש לציין כי ‪ x + W = y + W‬אם ורק אם ‪.x − y ∈ W‬‬
‫נגדיר העתקה לינארית‬
‫‪/‬‬
‫‪V‬‬
‫→ ‪ρ:V‬‬
‫‪W , ρ(x) = x + W.‬‬
‫ברור שהיא על והגרעין שלה הוא ‪ .W‬לכן נקבל‬
‫‪/‬‬
‫‪dim V W = dim V − dim W.‬‬
‫הגדרה ‪ .3.15‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪ W ,‬תת‪-‬מרחב של ‪ V‬ו‪ f : V → V -‬אופרטור ליניארי‪ .‬אזי ‪ W‬נקרא אינווריאנטי ביחס ל‪-‬‬
‫‪ f‬אם ‪.f (W ) ⊂ W‬‬
‫‪/‬‬
‫נניח עתה כי ‪ V‬מרחב ו‪ f : V → V -‬אופרטור‪ ,‬ויהי ‪ W ⊆ V‬תת‪-‬מרחב אינווריאנטי‪ .‬אזי מרחב מנה ‪ V W‬גם כן רוכש‬
‫‪/‬‬
‫‪/‬‬
‫אופרטור ‪ f : V W → V W‬המוגדר ע''י הנוסחה‬
‫‪f (x + W ) = f (x) + W.‬‬
‫נבדוק כי הנוסחה בעלת משמעות‪ :‬אם ‪ ,x + W = y + W‬זאת אומרת‪ ,‬אם ‪ ,x − y ∈ W‬עלינו לבדוק כי‬
‫‪f (x) + W = f (y) + W,‬‬
‫או‪ ,‬במילים אחרות‪ ,‬כי ‪ .f (x) − f (y) ∈ W‬זה נובע מיד מכך ש‪ W -‬תת‪-‬מרחב אינווריאנטי‪.‬‬
‫‪ V .3.1‬מרחב וקטורי‪ W ,‬תת‪-‬מרחב של ‪ .V‬ויהי } ‪ {w1 , . . . , wk‬בסיס של ‪ W‬ו‪ {e1 + W, . . . , em + W } -‬בסיס‬
‫למה ‪/‬‬
‫‪V‬‬
‫של ‪ . W‬אזי‬
‫} ‪B = {w1 , . . . , wk , e1 , . . . , em‬‬
‫בסיס של ‪.V‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪/‬‬
‫מפני ש‪ dim V W = dim V − dim W -‬נקבל שב ‪ B‬יש בדיוק ‪ dim V‬איברים‪ .‬ז‪.‬א‪ .‬מספיק להוכיח שהם בת''ל‪.‬‬
‫נניח‬
‫‪λ1 w1 + . . . + λk wk + µ1 e1 + . . . + µk em = 0.‬‬
‫נפעיל לשווין העתקה ‪ ρ‬ונקבל‬
‫‪λ1 ρ(w1 ) + . . . + λk ρ(wk ) + µ1 ρ(e1 ) + . . . + µk ρ(em ) = 0,‬‬
‫‪µ1 ρ(e1 ) + . . . + µk ρ(em ) = 0,‬‬
‫‪µ1 (e1 + W ) + . . . + µk (em + W ) = 0,‬‬
‫‪/‬‬
‫אבל } ‪ {e1 + W, . . . , em + W‬בסיס של ‪ V W‬ואז ‪ .µ1 = . . . = µm = 0‬ואם נציב את זה לשוויון התחלתי נקבל‬
‫ש‪ λ1 w1 + . . . + λk wk = 0 -‬ומפני ש‪ {w1 , . . . , wk } -‬בסיס של ‪ W‬נקבל ש‪□ .λ1 = . . . = λk = 0 -‬‬
‫‪28‬‬
‫מסקנה ‪ .3.3‬יהי ‪ T : V → V‬אופרטור ‪/‬ליניארי‪ W .‬תת‪-‬מרחב אינווריאנטי‪ .‬ויהי } ‪ {w1 , . . . , wk‬בסיס של ‪ W‬ו‪-‬‬
‫} ‪ {e1 + W, . . . , em + W‬בסיס של ‪ . V W‬אזי מטריצה מייצגת של ‪ T‬בבסיס } ‪ {w1 , . . . , wk , e1 , . . . , em‬היא‬
‫מתריצת בלוקים‬
‫(‬
‫)‬
‫∗ ‪A‬‬
‫‪0 B‬‬
‫‪/‬‬
‫‪/‬‬
‫כאשר ‪ A‬היא מריצה מייצגת של ‪ ,T |W : W → W‬ו‪ B -‬היא מריצה מייצגת של ‪.T̄ : V W → V W‬‬
‫‪10.3‬‬
‫פולינום אפייני במרחב מנה‪.‬‬
‫תת‪-‬מרחב אינווריאנטי של ‪ .V‬בהרצאה הקודמת הסקנו כי אופרטור ‪f‬‬
‫אופרטור ‪ f /: V → V‬ויהי ‪/ W‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי עם ‪/‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ f :‬ע''י הנוסחה ‪.f (x + W ) = f (x) + W‬‬
‫→ ‪W‬‬
‫אןפרטור ‪W‬‬
‫משרה על מרחב המנה ‪W‬‬
‫עתה נחשב את הפולינום האפייני של ¯‪ .f‬אנחנו נסמן ‪ f |W‬את הצמצום של ‪ f‬על ‪.W‬‬
‫למה ‪Pf (t) = Pf |W (t) · Pf¯(t) .3.2‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫נבחר בסיס ‪ x1 , . . . , xk‬ב‪ W -‬ונשלים אותו לבסיס ב‪ .x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn : V -‬אזי האיברים‬
‫‪xk+1 + W, . . . , xn + W‬‬
‫‪/‬‬
‫מהווים בסיס למרחב המנה ‪ . V W‬נשתמש בבסיסים אלה כדי לחשב את הפולינומים האפייניים )‪ .Pf (t), Pf |W (t), Pf¯(t‬לפי‬
‫מסקנה )‪ (3.3‬המטריצה המיצגת של ‪ f‬בבסיס ‪ x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn‬היא בצורה‬
‫(‬
‫)‬
‫∗ ‪A‬‬
‫‪0 B‬‬
‫‪/‬‬
‫‪/‬‬
‫כאשר ‪ A‬מרימה ריבועית ‪ k × k‬המיצגת את הצמצום ‪ ,f |W‬ואילו ‪ B‬המטריצה המיצגת את ‪ f : V W → V W‬בבסיס‬
‫‪) xk+1 + W, . . . , xn + W‬הרכיבים שנמצאים מעל למטריצה ‪ B‬לא מעניינים אותנו(‪ .‬בואו נבדוק את הטענה לגבי מטריצה ‪.B‬‬
‫יהי ]‪ .l ∈ [k + 1, n‬אנו מקבלים‬
‫‪bil xi + W.‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪bil xi + W‬‬
‫‪i=k+1‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪∗il xi +‬‬
‫‪k‬‬
‫∑‬
‫= ‪f¯(xl + W ) = f (xl ) + W‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=k+1‬‬
‫זה בדיוק אומר כי ‪ B‬המטריצה המיצגת של ‪.f‬‬
‫עכשיו אנו מקבלים‬
‫)‬
‫‪, Pf |W (t) = det(tI − A), Pf¯ = det(tI − B).‬‬
‫הנוסחה לדטרמיננטה של מטריצת בלוקים משולשית מוכיחה את הנטען‪□ .‬‬
‫‪29‬‬
‫‪tI − A‬‬
‫∗‬
‫‪0‬‬
‫‪tI − B‬‬
‫(‬
‫‪Pf (t) = det‬‬
‫הערה ‪ .3.1‬אנחנו כבר השתמשנו בגרסה של למה זו בהוכחה של משפט קיילי‪-‬המלטון‪ :‬כאשר בצענו מעבר האינדוקציה‪ ,‬מצאנו וקטור‬
‫עצמי ‪ v‬ובחרנו בסיס המכיל אותו‪ .‬זה מתאים למה שמתואר בלמה כאשר )‪.W = Span(v‬‬
‫בתור דוגמא של שימוש במרחבי מנה נוכיח למה הבה‪:‬‬
‫למה ‪ .3.3‬כל מטריצה ריבועית ‪ A‬דומה למטריצה משולשת עליונה‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫נגדיר העתקה ‪ T : V → V, T (v) = Av‬נוכיח טענה זאת באינדוקציה‪.‬‬
‫‪ n = 1‬אין מה להוכיח‪ ,‬כי מטריצה היא משולשת עליונה‪.‬‬
‫נניח של‪ n = k -‬טענה היא נכונה‪ ,‬נוכיח אותה ל‪ .n = k + 1 -‬לאופרטור ‪ T‬קיים לפחות וקטור עצמי אחד ‪ .v1‬זה יהיה וקטור‬
‫ראשון של בסיס שלנו‪.‬‬
‫‪/‬‬
‫‪/‬‬
‫להעתקה } ‪ T̄ : V Sp{v } → V Sp{v‬קיים בסיס‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫} ‪v2 + Sp{v1 }, . . . , vn + Sp{v1‬‬
‫בו מטריצה מייצגת של ‪ T‬היא משולשת עליונה )לפי הנחת האינדוקציה(‪ .‬אבל לפי למה )‪ (3.1‬וקטורים ‪ v1 , . . . , vn‬מהווים בסיס‬
‫של ‪ V‬ומפני ש‪ Sp{v1 } -‬תת‪-‬מרחב אונווריאנטי לפי מסקנה )‪ (3.3‬מטריצה מייצגת של ‪ T‬היא מטריצת בלוקים‬
‫(‬
‫)‬
‫∗ ‪A‬‬
‫‪0 B‬‬
‫כאשר ‪ A‬היא מריצה מייצגת של‬
‫‪T |Sp{v1 } : Sp{v1 } → Sp{v1 },‬‬
‫‪/‬‬
‫ו‪ B -‬היא מריצה מייצגת של‬
‫‪Sp{v1 } ,‬‬
‫‪Sp{v1 } → V‬‬
‫‪/‬‬
‫‪T̄ : V‬‬
‫שמסיים את ההוכחכה‪□ .‬‬
‫‪11.3‬‬
‫משפט קיילי‪-‬המילטון ) ‪(.Cayley-Hamilton‬‬
‫נוכיח עתה‬
‫משפט ‪) 3.7‬קיילי‪-‬המילטון(‪ .‬תהי )‪ . A ∈ M atn (k‬אזי ‪.PA (A) = 0‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫אינדוקציה לפי גודל המטריצה‪.‬‬
‫בסיס האינדוקציה‪.n = 1 .‬‬
‫מטריצה ‪ A‬כאן ‪ -‬סקלר ‪ .c ∈ k‬הפולינום האפייני ‪ .P = t − c‬אם נציב ‪ ,t = A‬נקבל ‪.PA (A) = c · I − A = 0‬‬
‫צעד אינדוקציה‪.‬‬
‫נניח כי המשפט כבר נבדק עבור מטריצות ב‪ .M atn−1 (k) -‬נוכיח עבור )‪ .A ∈ M atn (k‬אנחנו קודם כל נניח כי השדה ‪k‬‬
‫‪30‬‬
‫סגור אלגברית‪ .‬אזי לפולינום אפייני של ‪ A‬יש שורש‪ ,‬נגיד‪ .λ ,‬נבחר וקטור ‪ 0 ̸= v ∈ V‬וקטור עצמי ל‪ ,A -‬כך ש‪.Av = λv -‬‬
‫נשלים ‪ v ∈ kn‬לבסיס ב‪ . {v = v1 , . . . , vn } : kn -‬מטריצה ‪ A‬דומה למטריצה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪λ b12 . . . b1n‬‬
‫‪ 0 b22 . . . b2n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪B=‬‬
‫‪ ... ... ... ... ‬‬
‫‪0 bn2 . . . bnn‬‬
‫שהיא מיצגת אותו אופרטור אך בבסיס חדש‪ .‬לפי סעיף )‪ .PA (t) = PB (t) (5.3‬לכן‪ ,‬המטריצות )‪ PA (A) = PB (A‬ו‪-‬‬
‫)‪ PB (B‬דומות‪ .‬לכן‪ ,‬מספיק לנו להוכיח כי ‪ .PB (B) = 0‬נסמן ב‪ C -‬את המטריצה שמתקבלת מ‪ B -‬ע''י מחיקת השורה‬
‫הראשונה והעמודה הראשונה‪ .‬אזי‬
‫‪PB (t) = det(tI − B) = (t − λ) det(tI − C) = (t − λ)PC (t).‬‬
‫בואו נחשב )‪.PC (B‬‬
‫נציין‪:‬‬
‫)‬
‫∗ ‪λ‬‬
‫‪0 C‬‬
‫(‬
‫ולכן גם‬
‫)‬
‫= ‪,B‬‬
‫)‬
‫∗ ‪λ2‬‬
‫‪0 C2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫= ‪,B‬‬
‫)‪P (λ‬‬
‫∗‬
‫‪0‬‬
‫)‪P (C‬‬
‫∗ ‪λn‬‬
‫‪0 Cn‬‬
‫(‬
‫‪n‬‬
‫= ‪B‬‬
‫(‬
‫= )‪P (B‬‬
‫לכל פולינום ‪ .P‬אם נציב ‪ ,PC‬נקבל כי )‪ PC (B‬היא מטריצה שכל שורותיה‪ ,‬פרט לשורה הראשונה‪ ,‬מתאפסות‪ .‬לעומת זאת‪,‬‬
‫ל‪ B − λI -‬עמודה הראשונה מתאפסת‪ .‬לכן‪,‬‬
‫‪PB (B) = (B − λI)PC (B) = 0.‬‬
‫המשפט הוכח‪ ,‬אם כי בהנחה כי השדה ‪ k‬סגור אלגברית‪.‬‬
‫כדי להוכיחו בלי הנחה זו‪ ,‬יש להשתמש בעובדה מתורת השדות‪ ,‬שנציג אותה ללא הוכחה‪.‬‬
‫עובדה‪ .‬לכל שדה ‪ k‬קיים שדה סגור אלגברית ‪ F‬המכיל את ‪. k‬‬
‫דוגמא ‪ .3.4‬השדות ‪ R, Q‬מוכלות בשדה המרוכבים ‪ C‬שהוא שדה סגור אלגברית‪.‬‬
‫יהי עתה ‪ k‬שדה המוכל בשדה ‪ F‬סגור אלגברית‪ .‬אם )‪ ,A ∈ M atn (k‬אפשר להסתכל על ‪ A‬כעל מטריצה בעלת רכיבים‬
‫ב‪ .F -‬פולינום אפייני שלה לא תלוי בשדה בו אנחנו עושים את החישובים‪ .‬לכן‪ ,‬מהעובדה ש‪ PA (A) = 0 -‬שאנו יודעים עבור שדה‬
‫‪ F‬נובע כי אותה טענה תקפה גם עבור שדה ‪ .k‬סוף ההוכחה‪□ .‬‬
‫‪12.3‬‬
‫אופרטורים נילפוטנטיים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .3.16‬האופרטור ‪ T : V → V‬נקרא נלפוטנטי אם קיים ‪ n ∈ N‬כך ש‪ .T n = 0 -‬המספר ‪ n ∈ N‬מינימלי כזה ש‪-‬‬
‫‪ T n = 0‬נקרא סדר נלפוטנטיות של ‪.T‬‬
‫מסקנה ‪ .3.4‬אם ‪ T : V → V‬אז הוא אינו הפיך‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫למה ‪ .3.4‬אם ‪ T : V → V‬נלפוטנטי אזי יש לו רק ערך עצמי יחיד ‪ λ = 0‬בעל ריבוי אלגברי ) ‪.dim(V‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫יהי ‪ T (v) = λv, v ̸= 0‬אזי ‪ 0 = T n (v) = λn v‬ולכן ‪□ .λ = 0‬‬
‫מסקנה ‪ T : V → V .3.5‬נילפוטנטי אם ורק אם פולינום אופייני שלו ‪ P (t) = tn‬כאשר ‪n = dim V‬‬
‫הערה ‪ .3.2‬אם ‪ A‬מטריצה נילפוטנטית‪ ,‬כל הערכים העצמיים שלה שווים לאפס‪ .‬לכן‪ ,‬אילו יתה מיוצגת ע''י מטריצה אלכסונית‬
‫בבסיס מסוים‪ ,‬זאת היתה מטריצת האפס‪ .‬זה אומר כי אין לנו סיכוי למצוא צורה אלכסונית למטריצה נילפוטנטית‪.‬‬
‫דוגמא ‪ - V = k[x]⩽n .3.5‬מרחב הפולינומים בעלי דרגה ⩾ ‪ .n‬יהי ‪ - f (F ) = F ′‬אופרטור הגזירה‪ .‬בבסיס‬
‫}‬
‫{‬
‫‪xn‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1, x, , . . . ,‬‬
‫‪2‬‬
‫!‪n‬‬
‫הוא מיוצג ע''י המטריצה‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫כאן ‪.n = 3‬‬
‫‪32‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1.4‬‬
‫אופרטורים‪ :‬צורת ז'ורדן ) ‪(Jordan‬‬
‫תכנית עבודה‪.‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ k‬ויהי ‪ f : V → V‬אופרטור לינארי‪ .‬נניח כי הפולינום האפייני של ‪ f‬מתפרק לחלוטין‪ .‬זה אומר‬
‫כי‬
‫‪Pf (t) = (t − λ1 )d1 . . . (t − λm )dm‬‬
‫כאשר ‪ - λ1 , . . . , λm‬ערכים עצמיים שונים של ‪ f‬ואילו ‪ di‬ריבוי של השורש ‪.λi‬‬
‫הערה ‪ .4.1‬פריקות מוחלטת של ‪ Pf‬היא תנאי לקיום של צורת ז'ורדן שאותה נלמד בפרק זה‪ .‬היא תמיד מתקיימת אם השדה ‪k‬‬
‫סגור אלגברית‪.‬‬
‫בסעיף הבא של פרק זה אנחנו נתאים לכל ערך עצמי ‪ λ‬של ‪ f‬תת‪-‬מרחב אינווריאנטי ‪ - V̄λ‬תת‪-‬מרחב של וקטורים עצמיים‬
‫מוכללים‪ .‬אנחנו נוכיח כי ‪ dim V̄λi = di‬וגם כי ‪) V = V̄λ1 ⊕ . . . ⊕ V̄λm‬נבדוק מימדים‪ - n = d1 + . . . + dm :‬הכל‬
‫מתאום ‪ -‬עוד לא טעינו!(‬
‫מזה אנחנו נסיק כי אם נבחר בסיסים בכל אחד מהמרחבים ‪ , V̄λi‬אז איחודם של בסיסים אלה יתן לנו בסיס של המרחב ‪ . V‬המטרימה‬
‫המיצגת של ‪ f‬בבסיס זה תיראה כמטריצת בלוקים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫· · · ‪A1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫· · · ‪ 0 A2‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ... ... ... ... ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 . . . Am‬‬
‫כך ש‪ Ai -‬מטריצה של הצמצום של ‪ f‬על ‪ .V̄λi‬עכשיו נשאר לנו להבין מה היא צורה קנונית של מטריצה המיצגת אופרטור בעל ערך‬
‫עצמי אחד בלבד‪ .‬את האופרטורים בעלי ערך עצמי אחד בלבד אנו נחקור יותר מאוחר‪.‬‬
‫‪2.4‬‬
‫וקטורים עצמיים מוכללים‪.‬‬
‫יהי ‪ λ‬ערך עצמי של אופרטור ‪ .f : V → V‬וקטור ‪ v ∈ V‬נקרא וקטור עצמי מוכלל של ערך עצמי ‪ λ‬אם קיים מספר טבעי ‪N‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫‪(f − λI)N v = 0.‬‬
‫כאן ‪,‬כרגיל ‪ I‬מסמן אופרטור זהות ‪.I(v) = v‬‬
‫אוסף כל הוקטורים העצמיים המוכללים של ערך עצמי ‪ λ‬נסמן ‪ .V̄λ‬במילים אחרות‬
‫}‪V̄λ = {v ∈ V | ∃n ∈ N (λI − A)n v = 0‬‬
‫מסקנה ‪ .4.1‬לכל ערך עצמי ‪ λ‬מתקיים ‪.Vλ ⊂ V̄λ‬‬
‫למה ‪ Vλ .4.1‬תת‪-‬מרחב וקטורי של ‪.V‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫אם ‪ x, y ∈ V̄λ‬עלינו לוודא כי ‪ .cx, x + y ∈ V̄λ‬ואמנם‪ ,‬אם ‪ (f − λI)N x = 0‬וגם ‪ (f − λI)M y = 0‬נבחר‬
‫מספר ‪ L‬גדול או שווא ל‪ ,M, N -‬ואז‬
‫‪(f − λI)L (x + y) = (f − λI)L x + (f − λI)L y = 0.‬‬
‫הסגירות ביחס לכפל בסקלר עוד יותר פשוטה‪□ .‬‬
‫למה ‪ V̄λ .4.2‬תת‪-‬מרחב אינווריאנטי של ‪.V‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫עלינו לוודא כי אם ‪ x ∈ V̄λ‬אז ‪ .f (x) ∈ V̄λ‬ואמנם‪ ,‬אם ‪ (f − λI)N x = 0‬אזי‬
‫‪(f − λI)N f (x) = f · (f − λI)N x = 0‬‬
‫כי האופרטורים ‪ f‬ו‪ (f − λI)N -‬מתחלפים‪□ .‬‬
‫משפט ‪ dim Vλ = d .4.1‬כאשר ‪ d‬ריבוי אלגברי של ‪.λ‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫נוח מאוד להגדיר אופרטור חדש ‪ .g = f − λI‬לאופרטור ‪ g‬ערך עצמי ‪ 0‬בעל ריבוי ‪ ,d‬והמרחב ‪ V̄λ‬הוא מרחב הוקטורים‬
‫‪ /‬למה זה הריבוי של ‪ 0‬באופרטור ‪ g‬שווה לסכום‬
‫העצמיים המוכללים של ‪ g‬המתאימים לערך עצמי ‪ .0‬עתה נשתמש ‪/‬בלמה )‪ (3.2‬לפי‬
‫שני המספרים‪ :‬הריבוי של ‪ 0‬ב‪ g|V̄λ -‬והריבוי של ‪ 0‬באופרטור ‪ .ḡ : V V̄λ → V V̄λ‬הצמצום ‪ g|V̄λ‬הוא אופרטור נילפוטנטי‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬כל הערכים העצמיים שלו שווים לאפס‪ ,‬ומספרם הוא ‪ .dim V̄λ‬נשאר לנו להוכיח כי לאופרטור ̄‪ g‬אין ערך עצמי ‪.0‬‬
‫‪/‬‬
‫אך אילו היה‪ ,‬היה אפשר למצוא ‪ v + V̄λ ∈ V V̄λ‬כך ש‪ .g(v + V̄λ ) = 0 -‬אך זה גורר ‪ g(v) + V̄λ = 0 + Vλ‬או‬
‫‪ .g(v) ∈ V̄λ‬משמעות הדבר כי קיים ‪ N‬מספר טבעי כך ש‪ .g N +1 (v) = g N (g(v)) = 0 -‬במלים אחרות‪ v ∈ V̄λ ,‬ואז‬
‫‪ .v + V̄λ = 0‬סוף הוכחת המשפט‪□ .‬‬
‫משפט ‪ .4.2‬יהי ‪ f : V → V‬אופרטור‪ ,‬כך שהפולינום האפייני שלו מתפרק‪:‬‬
‫‪(t − λi )di .‬‬
‫‪m‬‬
‫∏‬
‫= )‪Pf (t‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אזי‬
‫‪V = V̄λ1 ⊕ . . . ⊕ V̄λm .‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫אנחנו כבר יודעים כי ‪ V̄λi‬תת‪-‬מרחב אינווריאנטיים ב‪ V -‬בעלי מימד ‪ .di‬נזכיר כי מרחב ‪ V‬נקרא סכום ישיר של תת‪-‬מרחב‬
‫‪ V̄λi‬אם שתי התכונות הבאות מתקיימות‪:‬‬
‫‪) V = V̄λ1 + . . . + V̄λm .1‬קיום הצגה(‬
‫‪ .2‬אם ‪yi‬‬
‫‪m‬‬
‫∑‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪xi‬‬
‫‪m‬‬
‫∑‬
‫עבור ‪ xi , yi ∈ V̄λi‬אזי ‪ xi = yi‬לכל ‪) i‬יחידות ההצגה(‪.‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪34‬‬
‫נשים לב כי התכונה ‪ 2‬שקולה לתכונה הבאה‬
‫∑‬
‫‪ m‬עבור ‪ xi ∈ V̄λi‬אזי ‪ xi = 0‬לכל ‪.i‬‬
‫‪2‬א‪ .‬אם ‪i=1 xi = 0‬‬
‫ולפי משפט )‪ (4.1‬סכום מימדים של ‪ V̄λi‬שווה למימד של ‪ .V‬ואז מספיק לבדוק רק )‪2‬א(‪ .‬נעשה את זה באינדוקציה לפי ‪.m‬‬
‫‪:m = 2‬‬
‫צריך להוכיח ש‪ .V̄λ1 ∩ V̄λ2 = 0 -‬ואמנם‪ ,‬החיתוך ‪ W = V̄λ1 ∩ V̄λ2‬הוא תת‪-‬מרחב אינווריאנטי‪ .‬אם ‪ ,0 ̸= x ∈ V̄λ1‬נבחר‬
‫‪ N‬הקטן ביותר כך ש‪ .(f − λ1 I)N x = 0 -‬אזי ‪ y = (f − λ1 I)N −1‬מקיים תכונות וגם ‪ .(f − λ1 I)y = 0‬השוויון‬
‫האחרון אומר כי לכל ‪m ∈ N‬‬
‫‪(f − λ2 I)m y = (λ1 − λ2 )m y ̸= 0,‬‬
‫אבל אז‬
‫‪(f − λ2 I)m (f − λ1 I)N −1 x = (f − λ1 I)N −1 (f − λ2 I)m x ̸= 0,‬‬
‫ז‪.‬א‪ .‬לכל ‪m ∈ N‬‬
‫‪(f − λ2 I) x ̸= 0,‬‬
‫‪m‬‬
‫∈ ‪.x‬‬
‫לכן ‪/ Vλ2‬‬
‫נניח של‪ n = m -‬טענה היא נכונה‪ ,‬נוכיח אותה ל‪.n = m + 1 -‬‬
‫יהי‬
‫‪x1 + . . . + xm+1 = 0,‬‬
‫כאשר ‪ .xi ∈ Vλi‬נפעיל לשוויון הזה ‪ ,(f − λm+1 I)N‬כאשר ‪ .(f − λm+1 I)N xm+1 = 0‬מפני ש‪ V̄λi -‬אינוריאנטיים‬
‫ביחס ל‪ f − λj I -‬נקבל‬
‫‪(f − λm+1 I)N x1 + . . . + (f − λm+1 I)N xm = 0,‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪y1 ∈V̄λ1‬‬
‫‪ym ∈V̄λm‬‬
‫לכן לפי הנחת אינדוקציה ‪ (f − λm+1 I)N xi = 0‬לכל ‪ .1 ⩽ i ⩽ m‬אבל מכאן נובע ש‪-‬‬
‫}‪xi ∈ Vλi ∩ Vλm+1 = {0‬‬
‫ואז מפני ש‪ x1 + . . . + xm+1 = 0 -‬גם ‪ .xm+1 = 0‬סוף הוכחת המשפט‪□ .‬‬
‫‪3.4‬‬
‫סיקום זמני‬
‫נעצור לרגע וננסה להבין מה הבנו‪.‬‬
‫היה נתון לנו אופרטור ‪ f : V → V‬אם הפולינום האפייני ‪(t − λi )di‬‬
‫‪m‬‬
‫∏‬
‫‪i=1‬‬
‫= )‪ .Pf (t‬הגדרנו תתי‪-‬מרחב אינווריאנטיים ‪Vλi‬‬
‫של הוקטורים האפייניים המוכללים‪ .‬בדקנו כי ‪ .V = Vλi ⊕ . . . ⊕ Vλm‬אם עכשיו נבחר בסיס בכל אחד מהמרחבים ‪ ,Vλi‬ונאחד‬
‫את הבסיסים האלה‪ ,‬נקבל בסיס ל‪ .V -‬אם נסמן ב‪ Ai -‬את המטריצה המיצגת של הצמצום ‪ ,f |Vλi‬נקבל את המטריצה המיצגת של‬
‫‪ f‬בצורת הבלוקים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫· · · ‪A1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫· · · ‪ 0 A2‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪A=‬‬
‫‪ ··· ··· ... ··· .‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 · · · Am‬‬
‫‪35‬‬
‫לכן‪ ,‬בעית המיון של אופרטורים צומצמה לבעית המיון של אופרטורים מן הסוג המאוד ספציפי‪ :‬אופרטורים בעלי ערך עצמי אחד בלבד‪.‬‬
‫אפשר לפשט את הבעיה עוד קצת‪ :‬אם ‪ f : V → V‬אופרטור בעל פולינום אפייני ‪ ,Pf = (t − λ)n‬אפשר להניח ‪g = f − λI‬‬
‫ואז ‪ ,Pg (t) = tn‬זאת אומרת‪ ,‬כי ‪ g‬אופרטור נילפוטנטי‪ .‬אם נדע למיין אופרטורים נילפוטנטיים‪ ,‬זה יתן לנו מיון עבור ‪ ,f‬כי הרי‬
‫‪ .f = g + λI‬לכן‪ ,‬נשאר לנו רק למיין אפפרטורים נילפוטנטיים‪.‬‬
‫‪4.4‬‬
‫צורת ז'ורדן לאופרטור נילפוטנטי‪.‬‬
‫משפט ‪ .4.3‬כל מטריצה נילפוטנטית ‪ A‬דומה למטריצה‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. . . an−1 ‬‬
‫‪...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 a1 0 0‬‬
‫‪0 0 a2 0‬‬
‫‪0 0 0 a3‬‬
‫‪.. ..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪. .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 0 0 0‬‬
‫‪0 0 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪B=‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ ai‬שווה ‪ 1‬או ‪.0‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫נגדיר אופרטור ‪ T : V → V, T (v) = Av‬ונשים לב שמה שצריח להוכיח‪ ,‬זה קיום של בסיס של ‪ V‬הבא‪:‬‬
‫‪v1 , T (v1 ), T 2 (v1 ), . . . , T n1 (v1 ), . . . , vk , T (vk ), T 2 (vk ), . . . , T nk (vk ),‬‬
‫כאשר ‪.T ni +1 (vi ) = 0‬‬
‫נוכיח קיום של בסיס הזה באינדוקציה לפי ‪.n = dim V‬‬
‫‪ n = 1‬אינן מה להוכיח‪.‬‬
‫נניח של‪ n < m -‬טענה היא נכונה‪ ,‬נוכיח שהיא נכונה ל‪.n = m -‬‬
‫מפני ש‪ T -‬אופרטור נילפוטנטי ‪ 0 < dim Im(T ) < m‬וברור ש‪ Im(T ) -‬תת‪-‬מרחב אינוראנטי ביחס ל‪ .T -‬לכן לפי הנחת‬
‫אינדוקציה קיים בסיס של ) ‪Im(T‬‬
‫‪u1 , T (u1 ), T 2 (u1 ), . . . , T n1 (u1 ), . . . , uk , T (uk ), T 2 (uk ), . . . , T nk (uk ).‬‬
‫מפני ש‪ ui ∈ Im(T ) -‬אז קיימים ‪ vi ∈ V‬כך ש‪ . T (vi ) = ui -‬מצעד אחר ) ‪{T n1 (v1 ), . . . , T nk (vk )} ⊂ Ker(T‬‬
‫משלים קבוצה זאת עד הבסיס של ) ‪ Ker(T‬על ידי ‪ .w1 , . . . , ws‬אז וקטורים‬
‫‪v1 , T (v1 ), T 2 (v1 ), . . . , T n1 +1 (v1 ), . . . , vk , T (vk ), T 2 (vk ), . . . , T nk +1 (vk ), w1 , . . . , ws‬‬
‫מהווים את הבסיס של ‪ .V‬באמת‪ ,‬כמות של וקטורים אלה שווה ל‪-‬‬
‫‪(n1 + 2) + . . . + (nk + 2) + l‬‬
‫כאשר ) ‪ (n1 + 1) + . . . + (nk + 1) = dim Im(T‬ו‪ k + l = dim Ker(T ). -‬ז‪.‬א‪.‬‬
‫‪(n1 + 2) + . . . + (nk + 2) + l = n,‬‬
‫‪36‬‬
‫נשאר להוכיח שוקטורים אלה בת''ל‪ .‬נתבונן בצירוף‬
‫‪λ0 v1 + λ1 T (v1 ) + λ2 T 2 (v1 ) + . . . + λn1 +1 T n1 +1 (v1 )+‬‬
‫‪...‬‬
‫‪+µ0 vk + µ1 T (vk ) + µ2 T 2 (vk ) + . . . + µnk +1 T nk +1 (vk )+‬‬
‫‪+ν1 w1 + . . . + νs ws = 0‬‬
‫נפעיל לשוויון הזה אופרטור ‪ T‬נקבל‬
‫‪λ0 u1 +λ1 T (u1 )+λ2 T 2 (u1 )+. . .+λn1 T n1 (u1 )+. . .+µ0 uk +µ1 T (uk )+µ2 T 2 (uk )+. . .+µnk T nk (uk ) = 0‬‬
‫אבל וקטורים בצירוף האחרון מהווים את הבסיס של ) ‪ Im(T‬ז‪.‬א‪ λ0 = . . . = λn1 = µ0 = . . . = µnk = 0. .‬ואז אחרי‬
‫הצבת מקדמים אלה לשוויון הקודם נקבל‬
‫‪λn1 +1 T n1 +1 (v1 ) + . . . + µnk +1 T nk +1 (vk ) + ν1 w1 + . . . + νs ws = 0‬‬
‫אבל וקטורים אלה מהווים בסיס של ) ‪ Ker(T‬ז‪.‬א‪□ .λn1 +1 = . . . = µnk +1 = ν1 = . . . = νs = 0 .‬‬
‫מטריצה ‪ B‬ממשפט זה נקראת צורת ז'ורדן של מטריצה נילפוטנטית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .4.1‬תא ז'ורדן הוא מתריצה מצורה הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪... 0‬‬
‫‪... 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪... 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪... 1 ‬‬
‫‪... λ‬‬
‫‪λ 1 0 0‬‬
‫‪0 λ 1 0‬‬
‫‪0 0 λ 1‬‬
‫‪.. .. .. ..‬‬
‫‪. . . .‬‬
‫‪0 0 0‬‬
‫‪0 0 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כל לראות שצורת ז'ורדן מורכבת מתאי ז'ורדן כאשר ‪ .λ = 0‬כל תא מתואר ע''י גודלו‪ .‬לכן‪ ,‬כל מטריצה הבנויה מתאי ז'ורדן‬
‫מוגדרת ע''י סדרת הגדלים של תאי ז'ורדן שלה‪ .‬ברור כי סדר התאים לא משחק תפקוד פה‪ :‬החלפת סדר התאים תתבטא בהחלפת‬
‫סדר של איברי בסיס‪ ,‬כך שמטריצות הבנויות מאותם תאים אך בסדר שונה‪ ,‬דומות זו לזו‪ .‬אולם‪ ,‬אם נקבע סדר של תאים‪ ,‬למשל‪,‬‬
‫על‪-‬ידי כך שנדרוש כי גודל התאים הולך וקטן‪:‬‬
‫‪d1 ⩾ d2 ⩾ . . . ⩾ dk ,‬‬
‫אז צורת ז'ורדן של מטריצה נילפוטנטית תהיה יחידה‪:‬‬
‫משפט ‪ .4.4‬יהיו ‪ A, A′‬שתי מטריצות נילפוטנטיות בצורת ז'ורדן‪ ,‬כך ש‪ A-‬בנויה מהתאים שגודלם ‪d1 ⩾ d2 ⩾ . . . ⩾ dk‬‬
‫ואילו ‪ A′‬בנויה מהתאים שגודלם ‪ .d′1 ⩾ d′2 ⩾ . . . ⩾ d′k′‬אזי‪ ,‬אם ‪ A‬ו‪ A′ -‬דומות‪ ,‬מתקבל ‪ d′i = di‬לכל ‪. i‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫אנחנו נתאר בסיס בו לאופרטור המטריצה מייצגת היא ‪ A‬על ידי דיאגרמה הבאה‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫• ‪• ←−−− • ←−−− . . . ←−−− • ←−−− • ←−−−‬‬
‫• ‪• ←−−− • ←−−− . . . ←−−− • ←−−−‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫• ‪• ←−−− . . . ←−−−‬‬
‫מקבלים טבלה )לא ריבועית( שיש בה ‪ k‬שורות‪ .‬אנו נתאר תהליך המאפשר לשחזר את מספרי הקדקודים בכל שורה‬
‫‪d1 ⩾ d2 ⩾ . . . ⩾ dk‬‬
‫על סמך האופרטור ‪ f‬המיוצג ע''י המטריצות ‪ .A, A′‬זה‪ ,‬בוודאי‪ ,‬יוכיח את המשפט‪ .‬אנחנו נצליח לצייר את הטבלה לפי עמודות‪ .‬ואמנם‪,‬‬
‫מספר קדקודים בעמודה הראשונה הוא ) ‪ .dim Ker(f‬הלאה‪ ,‬מספר קדקודים בשתי העמודות הראשונות הוא ) ‪.dim Ker(f 2‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬מספר הקדקודים ב‪ i-‬העמודות הראשונות )מצד שמאל( הוא ) ‪ .dim Ker(f i‬משמעות של מה שנאמר‪ :‬כיוון ששתי‬
‫המטריצות‪ A ,‬ו‪ , A′ -‬מיצגות את אותו אופרטור ‪ ,f‬מספר הקדקודים בשתי צורות ז'ורדן ב‪ i -‬עמודות הראשונות עבור ‪ A‬ועבור ‪A′‬‬
‫זהה‪ .‬לכן‪ ,‬ל‪ A-‬ול‪ A′ -‬אותה צורת ז'רדן‪□ .‬‬
‫‪5.4‬‬
‫סיכום‪ :‬צורת ז'ורדן עבור מטריצה כללית‪.‬‬
‫שוב ‪ V‬מרחב וקטורי בעל מימד ‪ f : V → V , n‬אופרטור בעל פולינום אפייני )‪ .Pf (t‬נזכיר כי אנחנו מניחים כי הפולינום האפייני‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫∑‬
‫∏‬
‫= ‪.n‬‬
‫= )‪ Pf (t‬כאשר ‪ λi‬ערכים עצמיים שונים והמספרים ‪ di‬הם ריבויים שלהם‪ .‬ברור כי ‪di‬‬
‫מתפרק ‪(t − λi )di‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫עבור כל ערך עצמי ‪ λ‬של ‪ f‬הגדרנו מרחב הוקטורים העצמיים המוכללים‬
‫‬
‫{‬
‫}‬
‫‪Vλ = v ∈ V ∃N : (f − λI)N v = 0 .‬‬
‫הוכחנו כי ‪ dim Vλi = di‬וכי ‪ . V = Vλ1 ⊕ . . . ⊕ Vλk‬זה אומר כי אם נבחר בסיס בכל אחד מן המרחבים ‪ Vλi‬ונאחד אותם‪,‬‬
‫נקבל בסיס ל‪ ,V -‬וכי המטריצה המיצגת של ‪ f‬בבסיס זה תיראה כך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A1 0 . . . 0‬‬
‫‪0 A2 . . . 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 ... 0‬‬
‫‪... ... ... ...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 . . . Ak‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A=‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ Ai‬המטריצה המיצגת את הצמצום של ‪ f‬על תת‪-‬המרחב האינווריאנטי ‪ . Vλi‬מטריצה ‪ Ai‬מתאימה לערך עצמי ‪ .λi‬לכן‬
‫המטריצה ‪ Bi = Ai − λi I‬מתאימה לערך עצמי ‪ .0‬לפי משפט קיילי‪-‬המילטון‪ Bi ,‬נלפוטנטית‪ .‬לפי סעיף ‪ ,9‬קיים בסיס ב‪Vλi -‬‬
‫בו ‪ Bi‬מיוצגת ע''י מטריצה מהצורה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪J1 0 . . . 0‬‬
‫‪ 0 J2 . . . 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ... ... ... ... ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 . . . Jm‬‬
‫‪38‬‬
‫כאשר כל ‪ Ji‬הוא תא ז'ורדן נילפוטנטי‪ .‬באותו בסיס המטריצה ‪ Ai‬תהיה גם כן למטריצת התאים שכל תא בה מהצורה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪λi 1 0 0‬‬
‫‪ 0 λi 1 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 0 λi 1  .‬‬
‫‪0 0 0 λi‬‬
‫מטריצה כזאת נקראת תא ז'ורדן‪ .‬כל זה מוכיח את המשפט‪:‬‬
‫משפט ‪) 4.5‬ז'ורדן(‪ .‬יהי ‪ f : V → V‬אופרטור כך ש‪(t − λi )di -‬‬
‫‪k‬‬
‫∏‬
‫= )‪ .Pf (t‬אזי קיים בסיס ב‪ V -‬שהמטריצה המיצגת‬
‫‪i=1‬‬
‫את ‪ f‬תהיה בצורת ז'ורדן‪.‬‬
‫המשפט האחרון משמעותו כי המטריצה המיצגת היא מטריצת בלוקים‪ ,‬כך שכל בלוק הוא תא של ז'ורדן‪.‬‬
‫‪6.4‬‬
‫פולינום מינימלי‪.‬‬
‫תהי )‪ .A ∈ M atn (k‬משפט קיילי‪-‬המילטון אומר כי ‪ PA (A) = 0‬כאשר ‪ PA‬פולינום אפייני של ‪ .A‬פולינום זה לעולם לא‬
‫שווה לאפס‪ :‬הוא בעל דרגה ‪ n‬והמקדם הראשי שווה ל‪ .1 -‬נחפש בין הפולינומים המאפסים את ‪ - A‬אחד שדרגתו הקטנה ביותר‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .4.2‬פולינום ]‪ f (t) ∈ k[t‬נקרא פולינום מינימלי של מטריצה ‪ A‬אם‪:‬‬
‫‪f (A) = 0 .1‬‬
‫‪ deg(f ) ⩽ deg(g) .2‬לכל פולינום ‪ g ̸= 0‬המאפס את ‪.A‬‬
‫‪ .3‬המקדם הראשי של ‪ f‬שווה ל‪.1 -‬‬
‫משפט ‪.4.6‬‬
‫‪ .1‬פולינום מינימלי קיים ויחיד עבור כל מטריצה ‪.A‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ f‬פולינום מינימלי עבור ‪ A‬ואם ‪ g(A) = 0‬אז ‪ g‬מתחלק ב‪.f -‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫קודם כל נוכיח קיום פולינום מינימלי‪ .‬זה כמעט מיידי‪ PA (A) = 0 :‬לכן‪ ,‬קיימים פולינומים השונים מאפס‪ ,‬ומאפסים את ‪.A‬‬
‫נבחר פולינום שדרגתו הקטנה ביותר‪ .‬נחלק אותו במקדמו הראשי‪ .‬זה יתן לנו פולינום המקיים את כל שלושת התנאים‪ .‬נוכיח עתה‬
‫את החלק השני של המשפט‪ .‬נחלק פולינום )‪ g(t‬בפולינום )‪ f (t‬עפ שארית‪:‬‬
‫)‪g(t) = f (t)h(t) + r(t‬‬
‫כאן )‪ r(t‬השארית ואם ‪ ,r ̸= 0‬דרגתו קטנה מדרגת ‪ .f‬נוכיח כי ‪ .r = 0‬כי )‪ r(t) = g(t) − f (t)h(t‬כך ש‪-‬‬
‫‪ .r(A) = g(A) − f (A)h(A) = 0‬כיוון שבחרנו ‪ f‬כפולינום בעל דרגה מינימלית בין אלה )שונים מאפס( המאפסים‬
‫את ‪ ,A‬מסיקים כי ‪ .r = 0‬נשלים הוכחת היחידות‪ .‬אם ‪ f, f ′‬מינימליים‪ ,‬לפי סעיף ‪ f ′ = f h 2‬עבור פולינום ‪ h‬מסוים‪ .‬שניהם‪,‬‬
‫‪ f‬ו‪ f ′ -‬בעלי אותה דרגה‪ ,‬לכן ‪ h‬בעל דרגת אפס‪ ,‬זאת אומרת‪ h ,‬קבוע‪ .‬כיוון שלשניהם המקדמ הראשי שווה ל‪ .h = 1 ,1-‬זה סוף‬
‫ההוכחה‪□ .‬‬
‫אנחנו נסמן פולינום מינימלי של ‪ A‬ע''י ‪.mA‬‬
‫לפי המשפט שהוכחנו‪ PA ,‬מתחלק ב‪.mA -‬‬
‫‪39‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪0 1‬‬
‫= ‪ . A‬הפולינום האפייני הוא‬
‫דוגמא ‪.4.1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫כיוון ש‪ t -‬לא מאפס את ‪.mA = t2 , A‬‬
‫‪t2‬‬
‫= ‪ .PA‬לכן‪ mA ,‬חיזקה של ‪.t‬‬
‫ותכונות‪.‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ A′ = C −1 AC‬אז ‪.mA = mA′‬‬
‫ואמנם‪ ,‬לכל פולינום ‪ f‬מתקיים ‪ ,f (A′ ) = C −1 f (A)C‬כך ש‪ f (A) = 0 -‬אם ורק אם ‪.f (A′ ) = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫· · · ‪A1 0‬‬
‫‪0‬‬
‫· · · ‪ 0 A2‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A = ‬צטריצת בלוקים‪ ,‬אז ‪ f (A) = 0‬אם ורק אם ‪f (Ai ) = 0‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ · · · · · · . . . · · ·  .‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 · · · Am‬‬
‫∏כפולינום המינימלי של כל מטריצה מיצגת שלו‪ .‬לפי תכונה‬
‫‪ .3‬לכל ‪ .i = 1, . . . , m‬אם ‪ f : V → V‬אופרטור‪ ,‬נגדיר ‪mf‬‬
‫‪di‬‬
‫‪ .Pf (t) = m‬נבחר בסיס בכל אחד מהמרחבים ‪ Vi‬של‬
‫‪ mf 2‬לא תלוי בבחירת הבסיס‪ .‬עתה יהי ) ‪i=1 (t − λi‬‬
‫∏ ‪ mAi‬מחלק את‬
‫וקטורים עצמיים מוכללים המתאימים לעצמי ‪ .λi‬אנו יודעים כי ‪ .PAi = (t − λi )di‬הפולינום המינימלי‬
‫‪ki‬‬
‫‪ki‬‬
‫‪di‬‬
‫‪ mA = m‬כאשר‬
‫) ‪ . PAi = (t − λi‬לכן‪ mAi = (t − λi ) ,‬כאשר ‪ .1 ⩽ ki ⩽ di‬לכן ) ‪i=1 (t − λi‬‬
‫‪. 1 ⩽ ki ⩽ d i‬‬
‫אפשר לסכם את מסקנותינו כך‪ Pf :‬ו‪ mf -‬בעלי אותם שורשים אלא שריבוי שלהם ב‪ mf -‬קטן או שווה לריבוי ב‪-‬‬
‫‪.Pf‬‬
‫‪40‬‬
‫‪7.4‬‬
‫שימושים‪ :‬משוואות פולינומיאליות עם מטריצות‪.‬‬
‫נזכיר כי אם ‪ f‬פולינום ואם ‪ A, C‬מטריצות כך ש‪ C -‬הפיכה‪ ,‬אז ‪.f (C −1 AC) = C −1 f (A)C‬‬
‫כדי להוכיח טענה זו עבור פולינום כללי ‪ , f‬בודקים אותה עבור ‪ ,f (t) = 1, t, t2 , . . .‬ואז מציגים פולינום כללי כצירוף לינארי של‬
‫החזקות ‪ .ti‬בעובדה זו אפשר להשתמש כשצריך לפתור משוואה מטריציונית ‪ :f (A) = 0‬לפי מה שנאמר קודם‪ f (A) = 0 ,‬אם‬
‫ורק אם ‪ .f (C −1 AC) = 0‬כיוון שכל מטריצה דומה למטריצה בצורת ז'ורדן‪ ,‬מספיק למצוא את כל צורות ז'ורדן המקיימות את‬
‫המשוואה‪ .‬הלאה‪ ,‬אם ‪ A‬מטריצת הבלוקים ‪ f (A) ,A1 , . . . , Ak‬היא מטריצת הבלוקים ) ‪ .f (A1 ), . . . , f (Ak‬לכן‪ ,‬מספיק‬
‫לבדוק קיום משוואה ‪ f (A) = 0‬על תאי ז'ורדן בלבד‪ .‬לבסוף‪ ,‬כיוון שהפולינום המינימלי של תא ז'רדן בעל גודל ‪ d × d‬וערך‬
‫עצמי ‪ λ‬הוא ‪ m(t) = (t − λ)d‬הפולינום ‪ f‬מאפס תא ז'ורדן כזה אם ורק אם הוא מתחלק ב‪) m -‬זאת אומרת‪ ,‬אם יש לו שורש‬
‫‪ λ‬עם ריבוי ⩽ ‪). d‬‬
‫דוגמא ‪ .4.2‬מצא כל המטריצות )‪ A ∈ M atk (C‬המקיימות את התכונה ‪ .An = 1‬הפולינום ‪ f (t) = tn − 1‬מתפרק‬
‫‪n−1‬‬
‫∏‬
‫‪2πj‬‬
‫= )‪ f (t‬כך שכל השורשים פשוטים )אין ריבוי(‪ .‬זה אומר כי בצורת ז'ורדן של ‪ A‬כל תאי ז'ורדן הם ‪ ,1 × 1‬כך‬
‫) ‪(t − e n‬‬
‫‪j=0‬‬
‫ש‪ A-‬ניתנת לליכסון‪ .‬הפתרון הכללי‪:‬‬
‫‪A = C −1 BC‬‬
‫‪{ 2πj‬‬
‫}‬
‫כאשר ‪ B‬מטריצה אלכסונית עם מספרים מתוך הקבוצה ‪ e n , j = 0, . . . , n − 1‬של פתרונות המשוואה ‪.xn = 1‬‬
‫דוגמא ‪ .4.3‬מצא מטריצות המקיימות ‪ .A2 = A‬כיוון ש‪ ,t2 − t = t(t − 1) -‬הפתרון הוא ‪ A = C −1 BC‬כאשר ‪B‬‬
‫מטריצה אלכסונית עם המספרים מתוך }‪ {0, 1‬באלכסון‪.‬‬
‫‪8.4‬‬
‫נזכיר כי‬
‫שימושים‪ :‬חישוב של )‪.exp(A‬‬
‫‪An‬‬
‫!‪n‬‬
‫∞‬
‫∑‬
‫= )‪ .exp(A‬חישוב של הפונקציה המעריכית של מטריצה חשוב מאוד במשוואות דיפרנציאליות‪ :‬אם ‪ẋ = Ax‬‬
‫‪n=0‬‬
‫מערכת משוואות דיפרנציאליות לינאריות כאשר ‪ x‬פונקצית וקטור ו‪ A-‬מטריצה‪ ,‬אז הפתרון הכללי הוא )‪.x(t) = exp(At)x(0‬‬
‫למרות ש‪ exp -‬לא פולינום‪ ,‬עדין ‪ .exp(C −1 AC) = C −1 exp(A)C‬לכן‪ ,‬מספיק לדעת לחשב )‪ exp(A‬כאשר = ‪A‬‬
‫‪ λI + N‬תא ז'ורדן‪ .‬כאן חשוב לדעת כי אם המטריצות ‪ X, Y‬מתחלפות )אצלנו ‪, (X = λI, Y = N‬אזי‬
‫‪exp(X + Y ) = exp(X) exp(Y ).‬‬
‫ואמנם‪ ,‬ההוכחה הרגילה של עובדה זו בחדו''א א' עובדת גם פה‪:‬‬
‫) ‪= exp(X) exp(Y‬‬
‫‪∑ Xp Y q‬‬
‫!‪p! q‬‬
‫‪p,q‬‬
‫‪X pY q‬‬
‫=‬
‫)‬
‫‪p+q‬‬
‫‪p‬‬
‫(‬
‫!)‪(p + q‬‬
‫∑ ∑ ‪∑ (X + Y )n‬‬
‫= ) ‪exp(X + Y‬‬
‫=‬
‫!‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n p+q=n‬‬
‫לכן‪,‬‬
‫‪exp(λI + N ) = exp(λI) exp(N ) = exp(λ)I exp(N ) = exp(λ) exp(N ).‬‬
‫‪41‬‬
‫נשאר לחשב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪9.4‬‬
‫···‬
‫···‬
‫···‬
‫···‬
‫···‬
‫‪1‬‬
‫!)‪(n−1‬‬
‫‪1‬‬
‫!)‪(n−2‬‬
‫‪1‬‬
‫!)‪(n−3‬‬
‫···‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫!‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫···‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫···‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫···‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫···‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪exp(N ) = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שימושים‪ :‬נוסחאות נסיגה‪.‬‬
‫מאז "דה‪-‬וינצ' קוד" של דן בראון כל אחד יודע מה היא משוואת נסיגה‪:‬‬
‫‪xi = a1 xi−1 + . . . + an xi−n .‬‬
‫נוסחה כזו מגדירה סידרת מספרים ‪ x1 , x2 , . . .‬ככל שידועים ערכים של ‪ n‬איברי הסדרה הראשוניים‪ .‬בקורס של מתמטיקה בדידה‬
‫למדתם איך למצוא פתרון כללי של משוואת הנסיגה‪:‬‬
‫יש לחפש את הפתרון בצורה ‪ ,xi = λi‬זה נותן משוואה פולינומיאלית ממעלה ‪ n‬על ‪) λ‬משוואה אפיינית( ואם למשוואה אין ריבוי‬
‫שורשים‪ ,‬זה מביא ל‪ n -‬פתרונות ‪ ,xi = λij , j = 1, . . . , n‬ואז הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי של פתרונות אלה‪ .‬מה יש לנו‬
‫להוסיף בנידון? אוסף פתרונות של משוואת הנסיגה הוא מרחב וקטורי בעל מימד ‪ - n‬כי כל פתרון מוגדר באופן יחיד ע''י הערכים‬
‫ההתחלתיים ‪ .x1 , . . . , xn‬כך‪ ,‬נבחר בתור בסיס לאוסף פתרונות ‪ Sol‬את האוסף ‪ e1 , . . . , en‬שהערכים הראשוניים שלהם ניתנים‬
‫ע''י הנוסחה‬
‫{‬
‫‪1 : i=j‬‬
‫‪i‬‬
‫= ‪ej‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 : i ̸= j‬‬
‫מרחב הפתרונות ‪ Sol‬מצויד באופרטור "הזזה" ‪ f : Sol → Sol‬המוגדר ע''י‬
‫‪f (x1 , x2 , x3 , . . .) = (x2 , x3 , x4 , . . .).‬‬
‫בבסיס שבחרנו הוא נראה כדלקמן‪:‬‬
‫‪an en‬‬
‫‪+ an−1 en‬‬
‫············‬
‫‪en−1 + a1 en‬‬
‫‪e1‬‬
‫המטריצה של ‪ f‬בבסיס זה היא‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫···‬
‫‪1‬‬
‫‪a1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫···‬
‫=‬
‫···‬
‫···‬
‫···‬
‫···‬
‫···‬
‫) ‪(0, 0, . . . , an‬‬
‫) ‪(1, 0, . . . , an−1‬‬
‫···············‬
‫) ‪(0, 0, . . . , 1, a1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫···‬
‫···‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪an−1 an−2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫···‬
‫‪0‬‬
‫‪an‬‬
‫= ) ‪f (e1‬‬
‫= ) ‪f (e2‬‬
‫···‬
‫···‬
‫= ) ‪f (en‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A=‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הפולינום האפייני של ‪ A‬הוא )‪ .det(tI − A‬ניתן לחשב אותו ע''י פיתוח לפי השורה האחרונה‪ .‬מקבלים‬
‫‪PA (t) = tn − a1 tn−1 − . . . − an−1 t − an .‬‬
‫‪42‬‬
‫זה בדיוק הפולינום האפייני של משוואת הנסיגה! הוקטור העצמי המתאים לערך עצמי ‪ λ‬הוא בוודאי סדרת החזקות של ‪ .λ‬זה אומר‬
‫כי בכל מקרה לכל ערך עצמי ‪ λ‬קיים תא ז'ורדן יחיד עם ערך עצמי זה‪ .‬אולם זה לא אומר כי ריבוי שורשים כאן בלתי‪-‬אפשרי ‪ -‬כל‬
‫פולינום יכול לשמש כפולינום אפייני של משוואת נסיגה‪ .‬עכשיו אנחנו יכולים לקבל פתרון כללי של משוואת נסיגה במקרה של ריבוי‬
‫שורשים‪ .‬יהי ‪ λ‬שורש של הפולינום האפייני בעל ריבוי ‪ .d‬אנחנו כבר הבנו כי צורת ז'ורדן של מטריצה ‪ A‬מכילה תא ז'ורדן ‪d × d‬‬
‫בעל ערך עצמי ‪ .λ‬זה נותן ‪ d‬וקטורי בסיס ‪ v 1 , . . . , v d‬המקיימים ‪ f (v 1 ) = λv 1‬ו‪ f (v i ) = λv i + v i−1 -‬עבור ‪.1 < i‬‬
‫המשוואה הראשונה נותנת מיד ‪ ,v 1 = λm‬ועם מאמץ מסוים אפשר לקבל ‪2 = mλm−1‬‬
‫‪ ,vm‬ובאופן כללי‬
‫‪m‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪vm‬‬
‫=‬
‫‪λm−k+1‬‬
‫‪k−1‬‬
‫) (‬
‫!‪m‬‬
‫‪ . m‬במקרה של משוואת נסיגה נהוג לבחור בסיס אחר ולא בסיס ז'ורדן שתיארנו זה‬
‫כאשר )לאלה שהעזו לשכוח( !)‪n = n!(m−n‬‬
‫עתה‪ .‬ניקח בחשבון כי‬
‫(‬
‫)‬
‫‪m‬‬
‫)‪m(m − 1) · · · (m − k + 2‬‬
‫=‬
‫‪k−1‬‬
‫!)‪(k − 1‬‬
‫הוא פולינום ב‪ m -‬בעל מעלה ‪ .k − 1‬לכן אוסף וקטורים ב‪ V -‬מהצורה ‪k = mk−1 λm‬‬
‫‪ wm‬כאשר ‪ k = 1, . . . , d‬גם כן מהווה‬
‫בסיס למרחב הוקטורים העצמיים המוכללים של ערך עצמי ‪.λ‬‬
‫‪43‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫תבניות דו‪-‬לינאריות‪.‬‬
‫מבוא ‪ -‬דוגמאות‪.‬‬
‫בקורסי מתמטיקה ופיסיקה בתיכון למדתם מושג של מכפלה סקלרית של וקטורים ב‪ R2 -‬או ב‪ .R3 -‬פעולה זו מוגדרת על‪-‬ידי‬
‫הנוסחה‬
‫‪v · w = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2‬‬
‫כאשר ) ‪ .v = (x1 , y1 , z1 ), w = (x2 , y2 , z2‬המכפלה הסקלרית מאפשרת לבדוק האם הוקטורים ‪ v, w‬ניצבים זה לזה‪ :‬הם‬
‫√‬
‫ניצבים אם ורק אם ‪ .v · w = 0‬המכפלה הסקלרית נוחה מאוד גם לשם חישוב אורך הוקטור‪ .|v| = v · v :‬גם הזווית בין‬
‫הוקטורים ‪ v, w‬ניתן לבטא דרך המכפלה הסקלרית‪:‬‬
‫‪v·w‬‬
‫‪.‬‬
‫|‪|v||w‬‬
‫= ‪cos α‬‬
‫הגיע זמן לשאול איך יכולנו לחיות עד כה בלי מכפלה סקלרית! ההסבר לכך שלא למדנו עד כה מכפלה סקלרית‪ :‬כדי שהיא תהנה‬
‫מהתכונות שתארנו‪ ,‬חובה עלינו לדאוג שהבסיס בו נשתמש יהי בנוי מוקטורים ניצבים זה לזה ובעלי אורך ‪) 1‬בקרוב לקרא לבסיס כזה‬
‫אורתונורמלי‪(.‬‬
‫ואין לנו דרך להסביר בעזרת אלגברה לינארית שאנו מכירים מה מהו וקטורים ניצבים או וקטור בעל אורך ‪) 1‬בבית הספר התיחסנו אל‬
‫מרחב ‪ R3‬כאל "מרחב שאנו גרים בו" ולכן התייחסנו אל מושג המרחק או מושג הזווית כאל משהו מובן מאליו‪ .‬באלגברה לינארית‬
‫מגדירים את המושגים האלה דרך מושג של מכפלה סקלרית‪ .‬להלן תכונות של מכפלה סקלרית שאנו למדנו בתיכון‪:‬‬
‫‪) (v1 + v2 ) · w = v1 · w + v2 · w .1‬לינאריות לפי הארגומנט הראשון(‬
‫‪) (cv) · w = c(v · w) .2‬כנ''ל(‬
‫‪) v · w = w · v .3‬סימטריות(‬
‫‪ v · v > 0 .4‬כאשר ‪. v ̸= 0‬‬
‫בתורת היחסות חשיבות רבה למכפלה בעלת תכונות קצת שונות‪ :‬מדובר במרחב ‪ R4‬שווקטור בו מתואר על‪-‬ידי ‪ 4‬קואורדינאטות‬
‫)‪ (x, y, z, t‬כאשר ‪ x, y, z‬הקואורדינאטות הרגילות של גובה‪ ,‬רוחב ואורך‪ ,‬ואילו ‪ t‬קואורדינאטת הזמן‪ .‬המכפלה מוגדרת על‪-‬ידי‬
‫הנוסחה‬
‫‪v · w = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 − c2 t1 t2‬‬
‫כאשר ) ‪ ,v = (x1 , y1 , z1 , t1 ), w = (x2 , y2 , z2 , t2‬ואילו ‪ c‬היא מהירות האור )‪ 300,000‬קמ' בשניה(‪ .‬מכפלה זו מקיימת‬
‫תכונות ‪ 1-3‬דלעיל אך לא תכונה ‪ :4‬אם )‪ v = (ct, 0, 0, t‬אז ‪ - v · v = 0‬זה מתאר את התפשתות האור ‪ .x = ct‬מטרתנו‬
‫לחקור מכפלות מהסוג שתיארנו‪.‬‬
‫‪2.5‬‬
‫הגדרות‪.‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ .k‬פונקציה ‪ B : V × V → k‬נקראת תבנית דו‪-‬לינארית אם‪:‬‬
‫‪.B(v1 + v2 , w) = B(v1 , w) + B(v2 , w) .1‬‬
‫‪.B(cv, w) = cB(v, w) .2‬‬
‫‪44‬‬
‫‪.B(v, w1 + w2 ) = B(v, w1 ) + B(v, w2 ) .3‬‬
‫‪.B(v, cw) = cB(v, w) .4‬‬
‫שתי התכונות הראשונות אומרות כי ‪ B‬לינארית לפי הארגומנט הראשון‪ ,‬ושתי התכונות האחרונות אומרות כי ‪ B‬לינארית לפי הארגומנט‬
‫השני‪.‬‬
‫‪3.5‬‬
‫מטריצת התבנית‪.‬‬
‫כדי לתארהעתקה לינארית‪ ,‬כדאי לבחור בסיס‪ ,‬ולרשום את ההעתקהעל‪-‬ידי מטריצה‪ .‬אותו דבר אפשר לעשות עם תבניות דו‪-‬לינאריות‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪ v‬כאשר ‪.xi ∈ k‬‬
‫יהי ‪ v1 , . . . , vn‬בסיס של מרחב וקטורי ‪ .V‬זה אומר כי לכל ‪ v ∈ V‬קיימת ויחידה דרך להציג ‪xi vi‬‬
‫יהיו ‪yi vi‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪xi vi , w‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪ .v‬אזי לפי הדו‪-‬לינאריות של ‪ B‬אנו מקבלים‪:‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫∑ ‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪xi vi ,‬‬
‫= ‪yj v j ‬‬
‫‪xi yj B(vi , vj ).‬‬
‫‪B(v, w) = B ‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪i=1 j=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אנו רואים כי כדי לחשב )‪ ,B(v, w‬מספיק לדעת את הערכים ) ‪ - bij = B(vi , vj‬ואז נוכל לחשב‬
‫‪xi bij yj .‬‬
‫∑ ‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= )‪B(v, w‬‬
‫‪i=1 j=1‬‬
‫נרשום את האיברים ‪ bij‬כמטריצה ) ‪ .B̃ = (bij‬היא נקראת המטריצה ה מיצגת את התבנית ‪ B‬בבסיס ‪) v1 , . . . , vn‬שם מקובל‬
‫אחר ‪ --‬מטריצת גרם )‪ (Gram‬של התבנית(‪ .‬נוח לשכתב את הנוסחה האחרונה כדלקמן‪.‬‬
‫‪B(v, w) = xt B̃y.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאן ̃‪ B‬מטריצה ‪ x =  ...  , y =  ...  ,n × n‬עמודות הקואורדינאטות של ‪ v, w‬כך ש‪-‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪yn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y1‬‬
‫∑ ‪ .. ‬‬
‫‪t‬‬
‫= ‪B(v, w) = x B̃y = (x1 · · · xn )(bij )  . ‬‬
‫‪xi bij yj .‬‬
‫‪i,j‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪yn‬‬
‫החלפת בסיס‪.‬‬
‫תהי עתה ‪ B‬תבנית דו‪-‬לינארית המיוצגת בבסיס ‪ v1 , . . . , vn‬על‪-‬ידי מטריצה ̃‪ .B‬מהי המטריצה המיצגת את ‪ B‬בבסיס חדש‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪ ?w1 , . . . , wn‬נניח כי ‪cij vi‬‬
‫= ‪ wj‬כך ש‪ C = (cij ) -‬היא מטריצת המעבר‪ .‬אזי הרכיבים ‪ b′ij‬המטריצה המיצגת החדשה‬
‫‪ B̃ ′‬ניתנים על‪-‬ידי הנוסחה‬
‫‪i=1‬‬
‫‪cki bkl clj = (C t B̃C)ij .‬‬
‫∑ ‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪k=1 l=1‬‬
‫‪45‬‬
‫= ) ‪= B(wi , wj‬‬
‫‪b′ij‬‬
‫לבסוף‪ ,‬הוכחנו את הטענה הבאה‪ :‬משפט‪ .‬אם תבנית דו‪-‬ילנארית מיוצגת על‪-‬ידי מטריצה ̃‪ B‬בבסיס ‪ ,v1 , . . . , vn‬אז בבסיס החדש‬
‫‪ w1 , . . . , wn‬עם מטריצת מעבר ‪ C‬התבנית מיוצגת על‪-‬ידי המטריצה ‪.C t B̃C‬‬
‫‪5.5‬‬
‫תכונות טיפוסיות של תבניות דו‪-‬לינאריות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .5.1‬התבנית ‪ B : V × V → k‬נקראת סימטרית אם )‪ B(v, w) = B(w, v‬לכל ‪.v, w ∈ V‬‬
‫הגדרה ‪ .5.2‬התבנית ‪ B : V × V → k‬נקראת אנטי‪-‬סימטרית אם ‪ B(v, v) = 0‬לכל ‪.v ∈ V‬‬
‫הגדרה ‪ .5.3‬התבנית ‪ B : V × V → k‬נקראת בלתי‪-‬מנוונת אם אחת משתי התכונות הבאות מתקיימת‪:‬‬
‫‪ .1‬אם לכל ‪ w ∈ V‬מתקיים ‪ B(v, w) = 0‬אז ‪.v = 0‬‬
‫‪ .2‬אם לכל ‪ w ∈ V‬מתקיים ‪ B(w, v) = 0‬אז ‪.v = 0‬‬
‫הסבר‪ .‬נסביר מדוע התכונות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬שקולות‪ .‬אם התבנית מיוצגת על‪-‬ידי מטריצה ̃‪ ,B‬אז השוויון ‪ B(v, w) = 0‬לכל ‪ w‬אומר כי‬
‫‪ .xt B̃ = 0‬לכן התכונה ‪ 1‬אומרת כי העמודות של ̃‪ B‬בתתי‪-‬תלויות )‪ xt B̃ = 0‬גורר ‪ ). x = 0‬באותו אופן‪ ,‬התכונה ‪ 2‬אומרת כי‬
‫השורות של ̃‪ B‬בלתי‪-‬תלויות )‪ B̃y = 0‬גורר ‪ ).y = 0‬אך אנחנו יודעים שעבור מטריצה ריבועית תכונות אלו שקולות זו לזו‪.‬‬
‫הערה ‪ .5.1‬שקילות של תכונות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬ברורה במיוחד עבור תבניות סימטריות‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1.6‬‬
‫תבניות דו‪-‬לינאריות )המשך(‪.‬‬
‫תבניות דו‪-‬לינאריות סימטריות ותבניות ריבועיות‪.‬‬
‫תהי ‪ B : V × V → k‬תבנית דו‪-‬לינארית סימטרית‪ .‬הפונקציה ‪ Q : V → k‬המוגדרת על‪-‬ידי הנוסחה )‪Q(x) = B(x, x‬‬
‫נקראת התבנית הריבועית של ‪ .B‬נעשה חישוב פשוט‪:‬‬
‫)‪Q(v + w) = B(v + w, v + w) = B(v, v) + 2B(v, w) + B(w, w) = Q(v) + Q(w) + 2B(v, w‬‬
‫מעתה אנו מניחים כי ‪ 2 ̸= 0‬בשדה ‪) k‬במלים אחרות‪ ,‬כי ‪ (. chark ̸= 2‬מקבלים מיד‪:‬‬
‫))‪B(v, w) = 21 (Q(v + w) − Q(v) − Q(w‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם ‪ ,chark ̸= 2‬תבנית דו‪-‬לינארית מוגדרת באופן יחיד על‪-‬ידי התבנית הריבועית שלה‪ .‬אם התבנית הדו‪-‬לינארית ‪B‬‬
‫מיוצגת על‪-‬ידי המטריצה ) ‪ B̃ = (bij‬בבסיס ‪ ,v1 , . . . , vn‬אזי‬
‫‪bij xi xj‬‬
‫∑ ‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= )‪Q(x‬‬
‫‪i=1 j=1‬‬
‫כאשר ‪xi vi‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪ .x‬נציין בנפרד עוד מסקנה מהנוסחה המבטאת את )‪ B(v, w‬דרך ‪ :Q‬אם ‪ B(v, v) = 0‬לכל ‪v ∈ V‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אזי ‪ B(v, w) = 0‬לכל ‪.v, w ∈ V‬‬
‫‪2.6‬‬
‫משלים אורתוגונאלי‪.‬‬
‫תהי ‪ B‬תבנית די‪-‬לינארית סימטרית על ‪ .V‬יהי ‪ W‬תת‪-‬מרחב וקטורי‪ .‬משלים אורתוגונאלי ⊥ ‪ W‬של ‪ W‬מוגדר על‪-‬ידי הנוסחה‬
‫‪W ⊥ = {x ∈ V | B(x, y) = 0 ∀y ∈ W } .‬‬
‫משפט ‪ .6.1‬תהי ‪ B‬תבנית דו‪-‬לינארית סימטרית על ‪ .v ∈ V ,V‬נניח כי ‪ .B(v, v) ̸= 0‬אזי‬
‫‪V = Span(v) ⊕ Span(v)⊥ .‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫המשפט אומר כי לכל איבר ‪ x ∈ V‬קיים פירוק יחיד עם‬
‫‪c ∈ k, w ∈ Span(v)⊥ .‬‬
‫נחפש ‪ c ∈ k‬כך שההפרש ‪ w = x − cv‬אורתוגונאלי ל‪ .0 = B(v, x − cv) = B(v, x) − cB(v, v) .v -‬ברור כי‬
‫)‪□ .c = B(v,x‬‬
‫הפתרון היחיד למשוואה הוא )‪B(v,v‬‬
‫‪47‬‬
‫‪3.6‬‬
‫קיום בסיס אורתוגונאלי‪.‬‬
‫משפט ‪ .6.2‬תהי ‪ B‬תבנית די‪-‬לינארית סימטרית על מרחב ‪ .V‬קיים בסיס ב‪ V -‬בו התבנית מיוצגת על‪-‬ידי מטריצה אלכסונית‪ .‬אם‬
‫‪ v1 , . . . , vn‬בסיס של ‪ ,V‬התבנית ‪ B‬מיוצגת בו על‪-‬ידי מטריצה אלכסונית אם ורק אם ‪ B(vi , vj ) = 0‬עבור ‪ .i ̸= j‬בסיס‬
‫כזה נקרא בסיס אורתוגונאלי‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫אינדוקציה לפי המימד של ‪ .V‬אם ‪ dim V = 0‬אין מה להוכיח‪ .‬נניח כי קיום בסיס אורתוגונאלי הוכח עבור תבנית על מרחב‬
‫וקטורי בעל מימד > ‪ .n‬יהי ‪.dim V = n‬‬
‫אם ‪ B(v, w) = 0‬עבור כל ‪ - v, w ∈ V‬אין מה להוכיח כי התבנית מיוצגת על‪-‬ידי מטריצת האפס בכל בסיס‪ .‬לכן אנו מניחים‬
‫כי ‪ .B ̸= 0‬לפי סעיף )‪ (1.6‬קיים וקטור ‪ v ∈ V‬עם ‪.B(v, v) ̸= 0‬‬
‫נסמן ⊥)‪ .W = Span(v‬לפי המשפט של סעיף )‪.V = Span(v) ⊕ W (6.1‬‬
‫בפרט‪ .dim W = n − 1 ,‬לפי הנחת האינדוקציה‪ ,‬קיים בסיס אורתוגונאלי ב‪ .W -‬נסמן אותו ‪ .v2 , . . . , vn‬נשלים אותו לבסיס‬
‫ב‪ V -‬על‪-‬ידי ‪ .v = v1‬הבסיס שבנינו אורתוגונאלי כי ‪ B(v1 , vi ) = 0‬עבור ‪□ .1 < i‬‬
‫‪4.6‬‬
‫שדה המרוכבים‪.‬‬
‫במקרה ‪ k = C‬אפשר לשפר עוד את הבסיס‪.‬‬
‫הערה ‪ .6.1‬כל מה שנאמר בסעיף זה תקף לכל שדה בו קיים שורש ריבועי מכל איבר‪ ,‬למשל‪ ,‬לכל שדה סגור אלגברית‪.‬‬
‫יהי ‪ v1 , . . . , vn‬בסיס אורתוגונאלי של ‪ , V‬כך ש‪-‬‬
‫{‬
‫‪bii : i = j‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 : i ̸= j‬‬
‫√‬
‫לכל כך ש‪ bii ̸= 0 -‬נבחר שורש ריבועי ‪) bii‬ישנן שתי אפשרויות השונות בסימן( ונגדיר ‪ wi = √1b vi‬מקבים ‪.B(wi , wi ) = 1‬‬
‫‪ii‬‬
‫אם ‪ bii = 0‬נגדיר ‪ .wi = vi‬בדרך זו מצאנו בסיס אורתוגונאלי בו למטריצה המיצגת באלכסון רק ‪ 1‬או ‪ .0‬עד כה עוד לא עסקנו‬
‫ביחידות ההצגה‪.‬‬
‫= ) ‪B(vi , vj‬‬
‫משפט ‪ .6.3‬יהיו ‪ w1 , . . . , wn‬ו‪ w1′ , . . . , wn′ -‬שני בסיסים בהם ‪ B‬מיוצגת על‪-‬ידי מטריצות אלכסוניות שבאלכסון שלהן רק‬
‫‪ 1‬או ‪ .0‬אזי מספר פעמים ‪) 1‬או ‪ (0‬מופיע באלכסון זהה לשתי המטריצות‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫זה ממש פשוט‪ :‬גרעין של ‪ B‬הוא נפרש על‪-‬ידי וקטורי הבסיס ‪ wi‬המקיימים ‪ .B(wi , wi ) = 0‬לכן‪ ,‬מספר האפסים באלכסון‬
‫שווה )בשני המקרים( למימד הגרעין‪ .‬זה נותן מיון מלא של תבניות דו‪-‬לינאריות סימטריות מעל ‪:C‬‬
‫שני מספרים ‪ -‬מימד המרחב ומימד הגרעין ‪ -‬מגדירות את הצורה הקנונית האלכסונית‪□ .‬‬
‫‪5.6‬‬
‫שדה הממשיים‪.‬‬
‫במקרה מיוחד חשוב זה גם ניתן לקבל מיון מלא של תבניות דו‪-‬לינאריות סימטריות‪ .‬אנחנו כבר יודעים שעבור כל תבנית קיים בסיס‬
‫אורתוגונאלי‪ .‬יהי ‪ v1 , . . . , vn‬בסיס אורתוגונאלי‪ .‬אם ‪ bii > 0‬נגדיר‪ ,‬כמו קודם‪ .wi = √1b vi ,‬אם ‪ bii < 0‬נגדיר‬
‫‪ii‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .wi = √−b‬לבסוף‪ ,‬אם ‪ ,bii = 0‬נשאיר ‪ .wi = vi‬כך אנחנו מקבלים בסיס אורתוגונאלי חדש בו על האלכסון רק ‪−1 ,1‬‬
‫‪vi‬‬
‫‪ii‬‬
‫או ‪ .0‬נוכיח כי מספר פעמים כל אחד מהם מופיע לא תלוי בבחירת בסיס‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫משפט ‪ .6.4‬יהיו ‪ w1 , . . . , wn‬ו‪ w1′ , . . . , wn′ -‬שני בסיסים בהם ‪ B‬מיוצגת על‪-‬ידי מטריצות אלכסוניות שבאלכסון שלהן רק‬
‫‪ −1, 1‬או ‪ .0‬אזי מספר פעמים ‪ −1, 1‬ו‪ 0 -‬מופיעים באלכסון זהה לשתי המטריצות‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫נסדר את הבסיסים כך ש‪-‬‬
‫ואילו‬
‫‪‬‬
‫‪i⩽k‬‬
‫‪ 1 :‬‬
‫‪−1 : k < i ⩽ k + l ,‬‬
‫= ) ‪B(wi , wi‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 : k+l <i⩽n‬‬
‫‪‬‬
‫‪i ⩽ k′‬‬
‫‪ 1 :‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪−1 : k < i ⩽ k ′ + l′ .‬‬
‫= ) ‪B(wi , wi‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 : k ′ + l′ < i ⩽ n‬‬
‫עלינו להוכיח כי ‪ .k = k ′ , l = l′‬אנו נבדוק כי קבוצת הוקטורים ‪ w1 , . . . , wk , wk′ ′ +1 , . . . , wn′‬בלתי‪-‬תלויה‪ .‬ואמנם‪ ,‬נניח‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪di wi′ = 0.‬‬
‫‪ci wi +‬‬
‫‪k‬‬
‫∑‬
‫‪i=k′ +1‬‬
‫יהי‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪di wi′ .‬‬
‫‪ci wi = −‬‬
‫‪i=k′ +1‬‬
‫מצד אחד‪,‬‬
‫‪c2i ⩾ 0,‬‬
‫‪k‬‬
‫∑‬
‫‪i=1‬‬
‫ומהצד השני‬
‫‪(−d2i ) ⩽ 0.‬‬
‫‪k‬‬
‫∑‬
‫=‪x‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ) ‪c2i B(wi , wi‬‬
‫‪′ +l′‬‬
‫∑‪k‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪k‬‬
‫∑‬
‫= )‪B(x, x‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ) ‪d2i B(wi′ , wi′‬‬
‫‪i=k′ +1‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= )‪B(x, x‬‬
‫‪i=k′ +1‬‬
‫השוואה של שתי הנוסחאות נותנת ‪ .ci = 0‬כיוון ש‪ wi′ -‬בלתי‪-‬תלויים לינארית‪ ,‬זה משלים את ההוכחה‪□ .‬‬
‫‪49‬‬
‫‪7‬‬
‫מכפלה פנימית ‪ -‬מרחב ממשי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .7.1‬תבנית דו‪-‬ליניארית סימטרית ‪ B : V × V → R‬נרקאת מוגדרת חיובית אם ‪ B(x, x) > 0‬לכל ‪.0 ̸= x ∈ V‬‬
‫שם אחר לתבנית דו‪-‬ליניארית סימטרית מוגדרת חיובית ‪ -‬מכפלה פנימית‪.‬‬
‫תבנית כזאת בהכרח בילתי מנוונת כי אם לכל ‪ y ∈ V‬מתקיים ‪ B(x, y) = 0‬אז בוודאי ‪ B(x, x) = 0‬לכן ‪.x = 0‬‬
‫‪1.7‬‬
‫גיומתריה הקשורה למכפלה פנימית‪.‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב עם מכפלה פנימית ‪ ,B‬נגדיר נורמה‬
‫√‬
‫)‪B(x, x‬‬
‫= ||‪||x‬‬
‫)הערך חיובי של שורש‪ (.‬ואז נגדיר מרחק בין שתי נקודות ‪ x, y ∈ V‬כי‬
‫||‪d(x, y) = ||x − y‬‬
‫זהו מספר חיובי עבור ‪ .x ̸= y‬נוכיח שוא מקיים אי‪-‬שוויון המשולש‪:‬‬
‫משפט ‪ .7.1‬לכל ‪ u, v ∈ V‬מתקיים‬
‫‪B(u, v) ⩽ ||u|| · ||v|| .‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫אם ‪ v = 0‬ברור‪ .‬אם ‪ v ̸= 0‬נגדיר‬
‫)‪B(u, v‬‬
‫‪·v‬‬
‫‪z =u−‬‬
‫)‪B(v, v‬‬
‫ונקבל ש‪ B(z, v) = 0 -‬אחרת אפשר לומר ש‪ z -‬ו‪ v -‬אורטוגונליים‪ ,‬ואז ‪ ,u = z + λv‬כאשר‬
‫)‪B(u,v‬‬
‫)‪B(v,v‬‬
‫= ‪ .λ‬לכן‬
‫‪||u||2 = ||z + λv||2 = B(z, z) + 2B(z, λv) + B(λv, λv) = ||z||2 + |λ|2 ||v||2 ⩾ |λ|2 ||v||2‬‬
‫ואז‬
‫‪B(u, v)2‬‬
‫= ||‪||u|| ⩾ |λ| ||v‬‬
‫‪||v||2 ⇒ ||u||2 ||v||2 ⩾ B(u, v)2 ⇒ ||u|| · ||v|| ⩾ B(u, v).‬‬
‫‪B(v, v)2‬‬
‫‪2‬‬
‫□‬
‫מסקנה ‪ .7.1‬עבור שני וקטו ים ‪ 0 ̸= u, v ∈ V‬ניתן להגדיר זווית ‪ φ‬על‪-‬ידי הנוסחא‬
‫)‪B(u, v‬‬
‫‪= cos φ,‬‬
‫||‪||u|| · ||v‬‬
‫כאשר ‪.0 ⩽ φ ⩽ π‬‬
‫‪50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.7‬‬
‫אורטוגונליזציה של גרם‪-‬שמיט‪.‬‬
‫לפי משפט שהוכחנו עבור תבנית סימטרית כללית‪ ,‬קיים בסיס אורטוגונלי עבור מכפלה פנימית‪.‬‬
‫תעליך מציאת בסיס כזה פשוט במיוחד במקרה זה‪ ,‬שכן כל וקטור שונה ל‪ 0 -‬מקיים את התכונה ‪.B(v, v) ̸= 0‬‬
‫נתאר את התהליך בופן פורמאלי‪.‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית ‪ B‬ויהי ‪ v1 , . . . , vn‬בסיס ב‪.V -‬‬
‫אנחנו נבנה בסיס אורטוגונלי ‪ w1 , . . . , wn‬המקיים את התכונה הבאה‪:‬‬
‫} ‪wk − vk ∈ Span{v1 , . . . , vk−1‬‬
‫בסיס אורטוגונלי עם תכונה זו יהיה יחיד‪ .‬התכונה אומרת כי‬
‫‪v1‬‬
‫} ‪Span{v1‬‬
‫} ‪Span{v1 , v2‬‬
‫‪...‬‬
‫} ‪Span{v1 , . . . , vn−1‬‬
‫בפרט יתקיים עבור כל ‪k‬‬
‫=‬
‫∈‬
‫∈‬
‫‪...‬‬
‫∈‬
‫‪w1‬‬
‫‪w2 − v 2‬‬
‫‪w3 − v 3‬‬
‫‪...‬‬
‫‪wn − v n‬‬
‫} ‪Span{w1 , . . . , wk } = Span{v1 , . . . , vk‬‬
‫את זה אפשר להסיק באינדוקציה‪ ,‬כי אם‬
‫} ‪Span{w1 , . . . , wk−1 } = Span{v1 , . . . , vk−1‬‬
‫אז את ‪ wk‬ניתן לבטא דרך ‪ v1 , . . . , vk‬וגם את ‪ vk‬ניתן לבטא דרך ‪.w1 , . . . , wk‬‬
‫מציאת ‪:w2‬‬
‫אנו מחפשים ‪ λ‬כך ש‪ w2 = v2 − λv1 -‬ניצב ל‪ .v1 -‬התשובה היחידה היא‬
‫) ‪B(v1 , v2‬‬
‫) ‪B(v2 , v2‬‬
‫מציאת ‪:wk‬‬
‫באותה דרך נחפש ‪λi wi‬‬
‫‪k−1‬‬
‫∑‬
‫=‪λ‬‬
‫‪wk = vk −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הערה ‪ .7.1‬ניתן באותה דרך לכתוב ‪µi vi‬‬
‫‪k−1‬‬
‫∑‬
‫‪ ,wk = vk −‬אך כאן לא נקבל נוסחאות יפות עבור ‪.µi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הדרישה ‪ B(wk , wi ) = 0, i = 1, . . . , k − 1‬נותנת משוואות‬
‫) ‪B(vk , wi ) − λi B(wi , wi‬‬
‫זאת אומרת‬
‫) ‪B(vk , wi‬‬
‫= ‪λi‬‬
‫) ‪B(wi , wi‬‬
‫זהו סוף התהליך‪.‬‬
‫נציין עובדה‪:‬‬
‫אם ‪ B‬מכפלה פנימית על מרחב וקטורי ‪ V‬ואם ‪ W ⊂ V‬אז צימצום של ‪ B‬על ‪ W‬גם מכפלה פנימית )ובפרט בילתי‪-‬מנוונת(‪.‬‬
‫‪51‬‬
‫‪3.7‬‬
‫קריטריון סילבסטר‪.‬‬
‫נחזור שוב לתהליך גרם‪-‬שמיט‪ .‬יהי ‪ v1 , . . . , vn‬בסיס מקורי‪ ,‬ואילו ‪ w1 , . . . , wn‬בסיס שהתקבל על‪-‬ידי תהליך גרם‪-‬שמיט‪.‬‬
‫נסמן‬
‫} ‪Vi = Span{v1 , . . . , vn } = Span{w1 , . . . , wn‬‬
‫‪Bi = B|Vi‬‬
‫ויהי ‪ B̃i‬היא מטריצה מייצגת את ‪ Bi‬בבסיס ‪ v1 , . . . , vn‬ו‪ B̃i′ -‬היא מטריצה מייצגת את ‪ Bi‬בבסיס ‪.w1 , . . . , wn‬‬
‫לפי הנאמר דלעיל‪ ,‬מתקיים‬
‫‪′‬‬
‫‪∆i = det B̃i = det B̃i .‬‬
‫נזכיר עתה כי ‪ B̃ ′‬היא מטריצה אלכסונית‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d1 0‬‬
‫‪ 0 d2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ... ...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪... 0‬‬
‫‪... 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪... ... ‬‬
‫‪. . . dn‬‬
‫כאשר ) ‪.di = B(wi , wi‬‬
‫מסקנה ‪.7.2‬‬
‫‪∆i‬‬
‫‪∆i−1‬‬
‫= ) ‪.B(wi , wi‬‬
‫משפט ‪) 7.2‬קריטריון סילבסטר(‪ .‬תהי ‪ B‬תבנית סימטרית אל } ‪ V = Span{v1 , . . . , vn‬ויהי ‪ ∆i‬דטרמיננטות של מטריצות‬
‫‪ B̃i‬כמו מוגדר קודם‪ .‬אזי ‪ B‬מוגדרת חיובית אם ורק אם ‪ ,∆i > 0‬לכל ‪.i‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫כיוון אחד ברור כי אם ‪ B‬מוגדרת חיובית אזי ‪.∆i = B(w1 , w1 )B(w2 , w2 ) . . . B(wi , wi ) > 0‬‬
‫בכיוון הנגדי‪ ,‬אנחנו שוב בוחנים את תהליך גרם‪-‬שמיט‪.‬‬
‫עכשיו צריך להזהר‪ ,‬כי אנחנו לא יודעים מראש שהתבנית ‪ B‬מוגדרת חיובית‪ .‬מה שידוע לנו הוא שכל הדטרמיננטות ‪∆i = det B̃|Vi‬‬
‫חיוביות‪ ,‬ונצטרך להוכיח באינדוקציה כי ‪ B(wi , wi ) > 0‬לכל ‪.i‬‬
‫עבור ‪ i = 1‬זה ברור כי ‪ w1 = v1‬ולכן ‪ .B(w1 , w1 ) = ∆1 > 0‬ממיח כי הגדרנו ‪ w1 , . . . , wk‬על ידי הנוסחא‬
‫‪i−1‬‬
‫∑‬
‫) ‪B(vi , wj‬‬
‫‪wj‬‬
‫‪wi = v i −‬‬
‫) ‪B(wj , wj‬‬
‫‪j=1‬‬
‫וכי לכל ‪ i = 1, . . . , k‬מתקיים ‪ .B(wi , wi ) > 0‬זה מאפשר לנו להגדיר ‪ wk+1‬לפי אותה הנוסחא‬
‫‪wj‬‬
‫‪k‬‬
‫∑‬
‫) ‪B(vk+1 , wj‬‬
‫) ‪B(wj , wj‬‬
‫‪wk+1 = vk+1 −‬‬
‫‪j=1‬‬
‫ועלינו רק לוודא כי ‪ .B(wk+1 , wk+1 ) > 0‬אבל‪ ,‬כמו קודם‪ ,‬מתקיים‬
‫) ‪∆k+1 = B(w1 , w1 )B(w2 , w2 ) . . . B(wk , wk )B(wk+1 , wk+1‬‬
‫ומכיוון ש‪ ∆k+1 > 0 -‬וגם כל הגורמים מצד ימין פרט ל‪ B(wk+1 , wk+1 ) -‬חיוביים‪ ,‬גם ) ‪ B(wk+1 , wk+1‬חייב להיות‬
‫חיובי‪□ .‬‬
‫‪52‬‬
‫‪4.7‬‬
‫בסיס אורטונורמאלי‪.‬‬
‫מודיפיקציה קטנה של אלגוריטם גרם‪-‬שמיט מאפשרת לבנות בסיס אורטונורמאלי‪ .‬יש להגדיר‬
‫√‬
‫=‬
‫‪; e1‬‬
‫√‬
‫=‬
‫‪; ek‬‬
‫√‬
‫= ‪B(vn , ei )ei ; en‬‬
‫‪w1‬‬
‫) ‪B(w1 ,w1‬‬
‫‪= v1‬‬
‫‪w1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪wk‬‬
‫) ‪B(wk ,wk‬‬
‫‪wn‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪B(wn ,wn‬‬
‫‪k−1‬‬
‫∑‬
‫‪B(vk , ei )ei‬‬
‫‪= vk −‬‬
‫‪wk‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫∑‬
‫‪...‬‬
‫‪wn = v n −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫יהי ‪ e1 , . . . , en‬בסיס אורטונורמאלי של מרחב וקטורי ‪ V‬ביחס למכפלה פנימית ‪.B : V × V → R‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪ V ∋ v‬אזי מתקיים‬
‫אם ‪ci ei‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ci B(ei , ej ) = ci .‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ) ‪B(v, ej‬‬
‫‪i=1‬‬
‫זה מאפשר לכתוב עבור כל וקטור ‪v ∈ V‬‬
‫‪B(v, ei )ei .‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫=‪v‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪5.7‬‬
‫מטריצות אורטוגונליות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .7.2‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ממשי עם מכפלה פנימית ‪ .B‬אופרטור ‪ f : V → V‬נקרא אורטוגונלי אם הוא ישמור על‬
‫מכפלה פנימית‪:‬‬
‫‪B(f (v), f (w)) = B(v, w).‬‬
‫נבחר בסיס אורטונורמאלי ‪ e1 , . . . , en‬ב‪V -‬‬
‫‪0 : i ̸= j‬‬
‫‪1 : i=j‬‬
‫{‬
‫= ‪B(ei , ej ) = δij‬‬
‫למה ‪ .7.1‬אופרטור ‪ f‬אורטוגונלי אם ורק אם מטריצה ‪ A‬המייצגת את ‪ f‬בבסיס ‪) e1 , . . . , en‬בסיס אורטונורמאלי( מקיימת את‬
‫התכונה‬
‫‪t‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪A =A .‬‬
‫מטריצות כאלה נקראות מטריצות אורטוגונליות‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪53‬‬
‫יהי ‪ At = A−1‬מתקיים‪ .‬עמודות של מטריצה ‪ A‬הן תמונות ) ‪ .f (e1 ), . . . , f (en‬התכונה ‪ At = A−1‬שקולה לתכונה‬
‫‪ At A = I‬והיא בדיוק אומרת כי‬
‫‪B(f (ei ), f (ej )) = δij .‬‬
‫נוכיח שאופרטור ‪ f‬ישמור על מכפלה פנימית‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫= ‪ .w‬אנחנו עדין מניחים כי ‪ e1 , . . . , en‬בסיס אורטונורמאלי‪ .‬כך ש‪-‬‬
‫= ‪ v‬ו‪di ei -‬‬
‫יהי ‪ci ei‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ci di‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= )‪B(v, w‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ .‬מצעד אחר ) ‪ci f (ei‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= )‪ f (v‬ו‪di f (ei ) -‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ci di .‬‬
‫= )‪ f (w‬כך שמתקיים‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪ci dj δij‬‬
‫∑‬
‫‪i=1‬‬
‫= )) ‪ci dj B(f (ei ), f (ej‬‬
‫∑‬
‫‪i,j‬‬
‫= ))‪B(f (v), f (w‬‬
‫‪i,j‬‬
‫הוכחה בכיוון הנגדי היא טריוואלית‪□ .‬‬
‫למה ‪ .7.2‬אם ‪ A‬אורטוגונלית אזי ‪.det A = ±1‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪1 = det I = det A det At = (det A)2 ⇒ det A = ±1.‬‬
‫□‬
‫דוגמא ‪ .7.1‬מטריצות אורטוגונליות ‪.2 × 2‬‬
‫)‬
‫‪a c‬‬
‫‪b d‬‬
‫המשוואות הן‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪t‬‬
‫= ‪, A‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪c d‬‬
‫(‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ a + c2 = 1‬‬
‫‪b2 + d2 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ab + cd = 0‬‬
‫קל מאוד להסיק כי מטריצה כזאת היא מהצורה‬
‫)‬
‫אם ‪) det A = 1‬סיבוב בזווית ‪ )φ‬ואם‬
‫)‬
‫‪cos φ − sin φ‬‬
‫‪sin φ cos φ‬‬
‫‪cos φ − sin φ‬‬
‫‪sin φ − cos φ‬‬
‫‪) det A = −1‬שיקוף(‬
‫‪54‬‬
‫(‬
‫=‪A‬‬
‫(‬
‫=‪A‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪6.7‬‬
‫פירוק ה‪.QR -‬‬
‫תהליך גרם‪-‬שמיט מאפשר להוכיח משפט פירוק הבא ישי לו שימושים במתמטיקה שימושית‪.‬‬
‫משפט ‪ .7.3‬כל מטריצה ריבועית ‪ A‬ניתן להציג כמכפלה‬
‫‪A = QR‬‬
‫כאשר ‪ Q‬מטריצה אורטוגונלית ו‪ A -‬מטריצה משולשת עליונה‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫יהיו ‪ a1 , . . . , an‬עמודות של ‪ .A‬נתייחס אליהן כאל וקטורים במרחב בעל מכפלה פנימית‬
‫‪αi βi ,‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= )‪B(a, b‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a = ‬ו‪ -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪β1‬‬
‫‪β2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .b = ‬נגדיר‬
‫‪‬‬
‫‪βn‬‬
‫‪αn‬‬
‫√‬
‫=‬
‫‪; e1‬‬
‫√‬
‫=‬
‫‪; ek‬‬
‫√‬
‫= ‪B(an , ei )ei ; en‬‬
‫‪w1‬‬
‫) ‪B(w1 ,w1‬‬
‫‪= a1‬‬
‫‪w1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪wk‬‬
‫) ‪B(wk ,wk‬‬
‫‪k−1‬‬
‫∑‬
‫‪B(ak , ei )ei‬‬
‫‪= ak −‬‬
‫‪wk‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪wn‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪B(wn ,wn‬‬
‫‪n−1‬‬
‫∑‬
‫‪wn = a n −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נקבל לבסוף מערכת וקטורים ‪ e1 , . . . , en‬אורטונורמאלית‪.‬‬
‫המטריצה ) ‪ Q = (e1 . . . en‬היא אורטונורמאלית‪.‬‬
‫המטריצה‬
‫‪R = Q−1 A = Qt A‬‬
‫היא משולשת עליונה כי‬
‫‪‬‬
‫) ‪. . . B(e1 , an‬‬
‫‪. . . B(e2 , an ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫) ‪. . . B(en , an‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e1‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪B(e1 , a1 ) B(e1 , a2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪B(e2 , a1 ) B(e2 , a2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (a1 a2 . . . an ) = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪B(e‬‬
‫‪,‬‬
‫‪a‬‬
‫)‬
‫‪B(e‬‬
‫‪n 1‬‬
‫) ‪n , a2‬‬
‫‪en‬‬
‫‪55‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪R = Qt A = ‬‬
‫‪‬‬
a 1 = e1
...
ak
= ek
√
-‫ומפני ש‬
B(w1 , w1 )
√
B(wk , wk ) +
k−1
∑
B(ak , ei )ei
i=1
...
an
= en
√
B(wn , wn ) +
n−1
∑
B(an , ei )ei .
i=1
□ .‫ משולשת עליונה‬R -‫נקבל ש‬
56
‫‪8‬‬
‫מכפלה פנימית ‪ -‬מרחב מרוכב‪.‬‬
‫במרחב ממשי תבניות מוגדרות חיובית היו טובות במיוחד‪:‬‬
‫• אם תבנית כזאת‬
‫‪B :V ×V →R‬‬
‫מוגדרת על מרכב ‪ ,V‬אז צימצום שלה על כל תת‪-‬מרחב ‪ W ⊂ V‬גם כן חיובית‪ ,‬לכן בילתי‪-‬מנוונת‪.‬‬
‫• ערך )‪ B(v, v‬על כל וקטור ‪ v ̸= 0‬הוא חיובי‪ ,‬בפרט‪ ,‬שונה מאפס‪ ,‬לכן תהליך של אורטוגונליזציה פשוט במיוחד‪.‬‬
‫• מאפשר לדבר על מרחקים‪ ,‬זוויות וכו' ‪ -‬להשתמש בשפה גיומטרית‪.‬‬
‫מושג של תבנית חיובית אי‪-‬אפשר להרחיב למקרה של שדה מרוכבים‪ ,‬כי אם‬
‫‪B :V ×V →C‬‬
‫תבניות דו‪-‬ליניארית על מרחבוקטורי מרוכב ‪ ,V‬מתקיים‬
‫)‪B(iv, iv) = i2 B(v, v) = −B(v, v‬‬
‫כלן התנאי ‪ B(v, v) > 0‬לכל ‪ v ∈ V‬בילתי‪-‬אפשרי‪ .‬למרות האמורת יש הכללה מאוד חשובה של מושג המכפלה הפנימית‬
‫למרחבים וקטוריים מעל ‪ ,C‬אך היא קצת אחרת‪ .‬התבניות יהיו פה ליניאריות לפי ארגומנט אחד‪ ,‬ו‪"-‬אנטי‪-‬ליניאריות" לפי ארגומנט‬
‫שני‪.‬‬
‫‪1.8‬‬
‫הגדרה ותכונות בסיסיות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .8.1‬יהיו ‪ V, W‬מרחבים וקטוריים מעל ‪ .C‬העתקה ‪ f : V → W‬נקראת אנטי‪-‬ליניארית )או חצי‪-‬ליניארית( אם‪:‬‬
‫• ) ‪f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2‬‬
‫• )‪f (cv) = c̄f (v‬‬
‫כאשר עבור ‪ c = a + ib‬מספר מרוכב‪.c̄ = a − ib ,‬‬
‫תרגיל ‪.3‬‬
‫א‪ .‬בדקו כי הרכבה של העתקה ליניארית עם העתקה אנטי‪-‬ליניארית היא אנטי‪-‬ליניארית‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדקו כי הרכבה של העתקה שתי העתקות אנטי‪-‬ליניאריות היא ליניארית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .8.2‬העתקה ‪ B : V × V → C‬נקראת תבנית הרמיטי ) ‪ ) Hermite‬אם‪:‬‬
‫‪ B .1‬ליניארית לפי ארגומנט ראשון‬
‫– ) ‪B(v1 + v2 ) = B(v1 ) + B(v2‬‬
‫– )‪B(cv) = cB(v‬‬
‫‪57‬‬
‫‪ B .2‬אנטי‪-‬ליניארית לפי ארגומנט שני‬
‫– ) ‪B(v1 + v2 ) = B(v1 ) + B(v2‬‬
‫– )‪B(cv) = c̄B(v‬‬
‫‪ B .3‬פסודו‪-‬סימטרית‬
‫– )‪B(v, w) = B(v, w‬‬
‫תרגיל ‪ .4‬תוכיחו ש‪-‬‬
‫)‪(1) + (3) ⇒ (2‬‬
‫)‪(2) + (3) ⇒ (1‬‬
‫הגדרה ‪ .8.3‬תבנית הרמיטית ‪ B : V × V → C‬נקראת מוגדרת חיובית או מכפלה פנימית אם ‪ B(v, v) > 0‬לכל ‪.v ̸= 0‬‬
‫הערה ‪ .8.1‬אם ‪ B‬הרמיטית אזי )‪ ,B(v, v) = B(v, v‬לכן ‪ B(v, v) ∈ R‬לכל ‪.v ∈ V‬‬
‫דוגמא ‪ .8.1‬מכפלה פנימית "סטנדרטית" ‪.‬‬
‫יהי } ‪ .V = Span{e1 , . . . , en‬לשני וקטורים‬
‫‪di ei‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪c i ei , w‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נגדיר‬
‫‪ci d¯i‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫=‪v‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= )‪B(v, w‬‬
‫‪i=1‬‬
‫קל לראות כי זוהי תבנית הרמיטית מוגדרת חיובית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .8.4‬יהי ‪ B‬מכפלה פנימית‪ .‬בסיס } ‪ {v1 , . . . , vn‬נקרא בסיס אורטוגונלי אם ‪ B(vi , vj ) = 0‬עבור כל ‪ .i ̸= j‬בסיס‬
‫נקרא אורטונורמאלי אם בנוסף ‪ B(vi , vi ) = 1‬עבור כל ‪.i‬‬
‫}‬
‫{‬
‫‪vi‬‬
‫√‬
‫מסקנה ‪ .8.1‬אם } ‪ {v1 , . . . , vn‬בסיס אורטוגונלי אזי‬
‫בסיס אורטונורמאלי‪.‬‬
‫) ‪B(vi ,vi‬‬
‫‪2.8‬‬
‫מטריצה מייצגת‪.‬‬
‫תהי ‪ B‬תבנית הרמיטית ב‪ {v1 , . . . , vn } ,V -‬בסיס ב‪ .V -‬נגדיר מטריצה‬
‫‪B̃ = (bij ), bij = B(vi , vj ).‬‬
‫אם‬
‫‪di vi ,‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ‪ci vi , w‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪i=1‬‬
‫‪58‬‬
‫=‪v‬‬
‫אזי‬
‫¯‬
‫‪ci bij d¯i = cB̃ d,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫∑‬
‫= ) ‪ci d¯i B(vi , vj‬‬
‫‪i,j‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫∑‬
‫‪di vi‬‬
‫=‬
‫‪i,j‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪ci vi ,‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫(‬
‫‪B(v, w) = B‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .c = (c1 , c2 , . . . , cn ), d = ‬נוח להגדיר פעולה ∗ על מטריצות עם רכיבים מרוקבים באופן הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪dn‬‬
‫אם ) ‪ A = (aij‬אזי‬
‫) ‪(a∗ij‬‬
‫=‬
‫∗‪A‬‬
‫כך ש‪= āji -‬‬
‫‪.a∗ij‬‬
‫בסימונים האלה כל לראות שמטריצה מייצגת ̃‪ B‬מעצמה מקיימת תכונה‬
‫̃‪B̃ ∗ = B‬‬
‫כי זה פשוט אומר כי ‪ bij = b̄ji‬או ) ‪.B(vi , vj ) = B(vj , vi‬‬
‫משפט ‪) 8.1‬קריטריון סילבסטר(‪ .‬תהי ‪ B‬תבנית הרמיטית ו‪ B̃i -‬מטריצה מייצגת שלו‪ .‬אזי ‪ B‬מוגדרת חיובית אם ורק אם כל‬
‫המינורים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b11 . . . b1i‬‬
‫‪∆i = det  . . . . . . . . .  > 0.‬‬
‫‪bi1 . . . bii‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫הוכחה כמו במקרה ממשי‪□ .‬‬
‫‪3.8‬‬
‫תעליך גרם‪-‬שמיט‬
‫בדיוק כמו במרחב הממשי‪ ,‬תעליך גרם‪-‬שמיט מאפשר לבנות בסיס אורטוגונלי מכל בסיס‪:‬‬
‫משפט ‪ .8.2‬תהי ‪ B‬מכפלה פנימית על ‪ V‬ו‪ {v1 , . . . , vn } -‬בסיס ב‪.V -‬‬
‫נבנה בסיס חדש } ‪ {w1 , . . . , wn‬בעזרת נוסחת נסיגה‬
‫‪w1 = v1‬‬
‫‪...‬‬
‫) ‪B(wi ,vk‬‬
‫‪B(wi ,wi ) wi‬‬
‫) ‪B(wi ,vn‬‬
‫‪B(wi ,wi ) wi .‬‬
‫‪k−1‬‬
‫∑‬
‫‪= vk −‬‬
‫‪wk‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫∑‬
‫‪...‬‬
‫‪wn = vn −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נקבל בסיס אורטוגונלי‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫אנחנו נוכיח באינדוקציה כי‬
‫‪59‬‬
‫א‪ .‬לכל ‪ i‬מתקיים } ‪.Span{v1 , . . . , vn } = Span{w1 , . . . , wn‬‬
‫ב‪ w1 , . . . , wn .‬ניצבים זה לזה‪.‬‬
‫עבור ‪ i = 1‬אין מה להוכיח‪.‬‬
‫נניח כי הטענה נכונה עבור ‪ .i = k − 1‬נחפש ‪ wk‬בצורה‬
‫‪λi wi‬‬
‫‪k−1‬‬
‫∑‬
‫‪wk = v k −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כך שיתקיים ‪ .B(wj , wk ) = 0‬נקבל‬
‫) ‪λj B(wj , wi ) = B(wj , vk ) − λj B(wj , wj‬‬
‫‪k−1‬‬
‫∑‬
‫‪0 = B(wj , wk ) = B(wj , vk ) −‬‬
‫‪i=1‬‬
‫לכן הפתרון היחיד למערכת משוואות הוא‬
‫) ‪B(wj , vk‬‬
‫= ‪λj‬‬
‫) ‪B(wj , wj‬‬
‫זה מוכיח את התכונה )ב( עבור ‪.i = k‬‬
‫תכונה )א( נובעת מהעובדה } ‪ Span{v1 , . . . , vk−1 } = Span{w1 , . . . , wk−1‬ומכך שההפרש ‪ wk − vk‬שייך ל‪-‬‬
‫} ‪□ .Span{v1 , . . . , vk−1 } = Span{w1 , . . . , wk−1‬‬
‫‪4.8‬‬
‫אופרוטורים אוניטריים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ .8.5‬תהי ‪ B‬מכפלה פנימית על מרחב וקטורי ‪ V‬מעל ‪ .C‬אופרטור ‪ f : V → V‬נקרא אוניטרי אם‬
‫‪B(v, w) = B(f (v), f (w)).‬‬
‫)זו הכללה של מושג אופרטור אורטוגונלי במרחב ממשי‪(.‬‬
‫אם } ‪ {e1 , . . . , en‬בסיס אורטונורמאלי עבור ‪ ,B‬אופרטור ‪ f‬אוניטרי אם ורק אם }) ‪ {f (e1 ), . . . , f (en‬בסיס אורטונורמאלי‪.‬‬
‫במלים אחרות‪ ,‬מטריצה ) ‪ A = (aij‬של אופרטור אוניטרי בבסיס אורטונורמלי היא זאת שמקיימת את התכונות הבאות‬
‫‪ 1.‬לכל ‪ k‬מתקיים ‪aki āki‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪.‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ 2.‬לכל ‪ k ̸= l‬מתקיים ‪aki āli‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪.‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אפשר לרשום את התכונות הנ''ל בעזרת נוסחא אחת‪:‬‬
‫‪ A‬אוניטרית אם‬
‫‪A∗ A = I.‬‬
‫)ניזקור כי ‪ A‬אורטוגונלית אם ‪.(At A = I‬‬
‫‪60‬‬
‫דוגמא ‪ .8.2‬מטריצה ‪ ,1 × 1‬זאת אומרת מספר מרוכב‪ ,‬היא אוניטרית אם‬
‫‪āa = 1‬‬
‫במלים אחרות ‪) |a| = 1‬מעגל יחידה‪(.‬‬
‫סימון‪ :‬אוסף מטריצות אוניטריות מסדר ‪ n × n‬הוא ‪.Un‬‬
‫תרגיל ‪ .5‬תוכיחו ש‪ Un -‬חוברה‪.‬‬
‫משפט ‪ .8.3‬יהי ‪ f : V → V‬אופרטור אוניטרי‪ ,‬אזי קיים בסיס אורטונורמלי בו ל‪ f -‬צורה אלכסונית‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫משפט זה דומה מאוד )אך טיפה יוטר פשוט( למשפט על צורה קנונית של אופרטור אורטוגונלי‪.‬‬
‫יהי ‪ λ‬ערך עצמי של ‪ f‬ויהי ‪ v‬וקטור עצמי עם ערך עצמי ‪ .λ‬נגדיר‬
‫⊥}‪W = Span{v‬‬
‫ונקבל‬
‫‪V = Span{v} ⊕ W.‬‬
‫כמו במקרה הממשי ‪ W‬תת‪-‬מרחב אינבריאנטי של ‪ ,f‬כך שאפשר להמשיך באינדוקציה‪ ,‬כך נמצה בסיס אורטונורמאלי ב‪ W -‬ונשלים‬
‫‪ √ v‬לבסיס אורטונורמאלי ב‪□ .V -‬‬
‫אותו ע''י‬
‫)‪B(v,v‬‬
‫הערה ‪ .8.2‬ערכים עצמיים של ‪ f‬הם בעלי ‪) |λ| = 1‬נזכיר‪ :‬זה גם היה במקרה ממשי(‪ .‬במקרה ממשי בצורה קנונית של אופרטור‬
‫אורטוגונלי היו תאים‬
‫‪+1‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‬
‫‪cos φ − sin φ‬‬
‫‪sin φ − cos φ‬‬
‫(‬
‫עכשו הגדרה היא אלכסונית ) זה יתרון של שדה ‪ ( C‬אבל המספרים על הלכסון לא בהכרח ‪.±1‬‬
‫‪61‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1.9‬‬
‫אופרטורים אורתוגונאליים ואופרטורים צמודים לעצמם‪.‬‬
‫הגדרות‬
‫שדה הבסיס כאן ‪ -‬שדה הממשיים‪.‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית )‪ .v, w 7→ (v | w‬כפי שראינו קודם‪ ,‬מכפלה פנימית מגדירה מושג של מרחק ב‪-‬‬
‫‪.V‬‬
‫הגדרה ‪ .9.1‬אופרטור לינארי ‪ f : V → V‬נקרא אורתוגונאלי אם הוא שומר על מרחק זה‪:‬‬
‫))‪d(x, y) = d(f (x), f (y‬‬
‫לכל ‪.x, y ∈ V‬‬
‫הגדרות שקולות‪.‬‬
‫אם ניקח בחשבון כי המרחק מוגדר על‪-‬ידי הנוסחה ||‪ ,d(x, y) = ||x − y‬מקבלים ניסוח אחר של אורתוגונאליות‪:‬‬
‫הגדרה ‪) 9.2‬שקולה ‪ .(1‬אופרטור לינארי ‪ f : V → V‬נקרא אורתוגונאלי אם הוא שומר על מרחק זה‪:‬‬
‫||‪||f (x) − f (y)|| = ||x − y‬‬
‫לכל ‪.x, y ∈ V‬‬
‫כיוון ש‪ f -‬לינארית‪ ,f (x) − f (y) = f (x − y) ,‬נקבל עוד הגדרה‬
‫הגדרה ‪) 9.3‬שקולה ‪ .(2‬אופרטור לינארי ‪ f : V → V‬נקרא אורתוגונאלי אם הוא שומר על מרחק זה‪:‬‬
‫||‪||f (x)|| = ||x‬‬
‫לכל ‪.x ∈ V‬‬
‫והגדרה שקולה אחרונה‪:‬‬
‫הגדרה ‪) 9.4‬שקולה ‪ .(3‬אופרטור לינארי ‪ f : V → V‬נקרא אורתוגונאלי אם הוא שומר על מרחק זה‪:‬‬
‫))‪(x | y) = (f (x) | f (y‬‬
‫לכל ‪.x, y ∈ V‬‬
‫ואמנם‪ (x | y) = 21 (||x + y||2 − ||x||2 − ||y||2 ) ,‬וכך ששמירה של נורמות גוררת שמירה של המכפלה הפנימית‪.‬‬
‫‪2.9‬‬
‫מטריצות אורתוגונאליות‪.‬‬
‫∑‪ v1 ,‬של ‪.V‬‬
‫נבחר בסיס∑אורתונורמאלי ‪. . . , vn‬‬
‫= )‪ .f (v‬נובע מכך ש‪ f -‬אורתוגונאלי אם ורק אם ) ‪ f (v1 ), . . . , f (vn‬גם כן בסיס‬
‫= ‪ci f (vi ) ,v‬‬
‫אם ‪ci vi‬‬
‫אורתונורמאלי‪ .‬אם ‪ C‬המטריצה המיצגת של ‪ f‬בבסיס ‪ ,v1 , . . . , vn‬אורתונורמאליות של קבוצת הוקטורים ) ‪f (v1 ), . . . , f (vn‬‬
‫שקולה לתכונה ‪ C ∗ C = I‬או ∗ ‪ .C −1 = C‬מטריצות המקיימות תכונה זו נקראות מטריצות אורתוגונאליות‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫‪3.9‬‬
‫תכונות מידיות‪.‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ C‬מטריצה אורתוגונאלית‪,‬‬
‫‪1 = det(C ∗ C) = det(C)2 ,‬‬
‫כך שבהכרח ‪.det(C) = ±1‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ C, C ′‬שתי מטריצות אורתוגונאליות‪ ,‬מכפלתן ‪ CC ′‬גם כן אורתוגונאלית‪:‬‬
‫‪(CC ′ )∗ CC ′ = C ′∗ C ∗ CC ′ = I.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ C‬מטריצה אורתוגונאלית‪ ,‬ההפכית ‪ C −1‬גם היא אורתוגונאלית‪:‬‬
‫‪(C −1 )∗ = (C ∗ )∗ = C = (C −1 )−1 ⇐ C ∗ = C −1 .‬‬
‫סימון‪:‬‬
‫אוסף מטריצות אורתוגונאליות ‪ n × n‬מסמנים )‪.O(n‬‬
‫אוסף מטריצות אורתוגונאליות ‪ n × n‬בעלות דטרמיננטה ‪ 1‬מסמנים )‪.SO(n‬‬
‫הערה ‪ . .9.1‬הקבוצות )‪ - O(n), SO(n‬חבורות ‪ .‬חבורה היא קבוצה עם פעולת כפל המקיימת חוק קיבוץ וכך שלכל איבר קיים‬
‫הופכי‪.‬‬
‫דוגמא ‪) 9.1‬עוד דוגמאות של חבורה(‪.‬‬
‫)‪ - GL(n, k‬כל מטריצות הפיכות ‪ n × n‬מעל שדה ‪.k‬‬
‫)‪ - SL(n, k‬כל מטריצות ‪ n × n‬מעל ‪ k‬בעלות דטרמיננטה ‪.1‬‬
‫דוגמא ‪.9.2‬‬
‫‪ :n = 1‬מטריצה ‪ 1 × 1‬אורתוגונאלית אם ורק אם היא מיוצגת על‪-‬ידי ‪.±1‬‬
‫‪:n = 2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪a b‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪c d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .a2 +‬קל לראות כי קיימת ויחידה זווית )‪α ∈ [0, 2π‬‬
‫= ‪(c‬‬
‫אורתוגונאלית אם ורק אם ‪) 1; b + d = 1; ab + cd = 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪:‬‬
‫כך ש‪ .a = cos α, c = sin α -‬זה נותן שני פתרונות לעמודה‬
‫‪d‬‬
‫( ) (‬
‫)‬
‫( ) (‬
‫)‬
‫‪b‬‬
‫‪sin α‬‬
‫‪b‬‬
‫‪− sin α‬‬
‫‪.‬‬
‫=‬
‫‪ ,‬ואם ‪ det(A) = −1‬אז‬
‫=‬
‫אם ‪ det(A) = 1‬אז‬
‫‪d‬‬
‫‪− cos α‬‬
‫‪d‬‬
‫‪cos α‬‬
‫מסקנה ‪ .9.1‬מטריצה אורתוגונאלית ‪ 2 × 2‬בעלת דטרמיננטה ‪ 1‬היא מטריצה של סיבוב‬
‫(‬
‫)‬
‫‪cos α − sin α‬‬
‫‪sin α cos α‬‬
‫‪.‬אם הדטרמיננטה שווה ל‪, −1 -‬המטריצה בצורה‬
‫)‬
‫‪.‬‬
‫‪cos α sin α‬‬
‫‪sin α − cos α‬‬
‫‪63‬‬
‫(‬
‫במקרה זה אפשר למצוא בסיס בו המטריצה תיראה עוד יותר טוב‪ .‬לשם כך נחשב פולינום אופייני של המטריצה‪ .‬הוא שווה ל‪-‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪t − cos α − sin α‬‬
‫‪P (t) = det‬‬
‫‪= (t − cos α)(t + cos α) − sin2 α = t2 − 1.‬‬
‫‪− sin α t + cos α‬‬
‫לפיכך למטריצה שני ערכים עצמיים ‪ .±1 -‬זה אומר כי קיים בסיס } ‪ {v1 , v2‬כך ש‪.f (v1 ) = v1 , f (v2 ) = −v2 -‬‬
‫זה אומר כי האופרטור הוא שיקוף ביחס לציר המוגדר על‪-‬ידי ‪ .v1‬הוקטורים ‪ v1 , v2‬בהכרח אורתוגונאליים‪.‬‬
‫‪4.9‬‬
‫מיון אופרטורים אורתוגונאליים‪.‬‬
‫נסמן‬
‫)‬
‫‪.‬‬
‫‪cos α − sin α‬‬
‫‪sin α cos α‬‬
‫(‬
‫= )‪A(α‬‬
‫משפט ‪ .9.1‬עבור כל אופרטור אורתוגונאלי קיים בסיס שבו המטריצה המיצגת היא בצורת בלוקים‪ ,‬כאשר כל בלוק הוא או )‪A(α‬‬
‫או ‪.±1‬‬
‫כדי להוכיח את המשפט‪ ,‬נצטרך בלמה הבאה‪:‬‬
‫למה ‪ .9.1‬יהי ‪ f‬אופרטור אורתוגונאלי על מרחב וקטורי ‪ V‬בעל מכפלה פנימית‪ .‬יהי ‪ W ⊆ V‬תת‪-‬מרחב אינווריאנטי‪ .‬אזי ⊥ ‪W‬‬
‫גם כן אינווריאנטי‪.‬‬
‫הוכחה של למה‪:‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪ f‬איזומורפיזם כי ‪ .det(f ) = ±1‬לכן‪ ,‬אם ‪ ,f (W ) ⊆ W‬בהכרח ‪.f (W ) = W‬‬
‫אם ⊥ ‪ y ∈ W‬נוכיח ⊥ ‪.f (y) ∈ W‬‬
‫ואמנם‪ ,‬לכל ‪ x ∈ W‬מתקיים ‪ (f (y) | x) = (y | f −1 (x)) = 0‬כי ‪□ .f −1 (x) ∈ W‬‬
‫הוכחה של משפט‪:‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫באינדוקציה‪.‬‬
‫יהי ‪ λ‬ערך עצמי של אופרטור ‪ .f‬היות ו‪ f -‬אופרטור במרחב וקטורי מעל הממשיים‪ ,‬מקדמים של הפולינום האופייני של ‪ f‬ממשיים‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬קיימות שתי אפשרויות‪.‬‬
‫‪ λ .1‬שורש ממשי‪.‬‬
‫‪ λ .2‬לא ממשי ו‪ λ̄ -‬גם כן שורש של הפולינום האופייני‪.‬‬
‫במקרה הראשון קיים וקטור עצמי )ממשי( ‪ v ∈ V‬עם ערך עצמי ‪ .λ‬אורתוגונאליות גוררת ||‪ ,||v|| = |λ|·||v‬זאת אומרת ‪.λ = ±1‬‬
‫מצאנו תת‪-‬מרחב }‪ W = Span{v‬אינווריאנטי ולפי הלמה ⊥ ‪ W‬גם כן אינווריאנטי‪.‬‬
‫לפי הנחת האינדוקציה קיים בסיס ב‪ W ⊥ -‬כפי שנדרש במשפט‪ ,‬והוספת וקטור ‪ v‬לאיברי בסיס תשלים לנו את הבסיס‪ .‬במקרה השני‬
‫‪64‬‬
‫וקטור עצמי עבור ‪ λ‬לא שייך ל‪) V -‬כי יש לו קואורדינאטות מרוכבות(‪.‬‬
‫נרשום אותו בצורה ‪ v1 + iv2‬כאשר ‪.v1 , v2 ∈ V‬‬
‫אם ‪ ,λ = a + ib‬מקבלים ) ‪ f (v1 + iv2 ) = (a + ib)(v1 + iv2‬וזה נותן‬
‫{‬
‫‪f (v1 ) = av1 − bv2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪f (v2 ) = bv1 + av2‬‬
‫תת‪-‬מרחב } ‪ W = Span{v1 , v2‬דו‪-‬מימדי אינווריאנטי‪ .‬שוב לפי הלמה קיבלנו פרוק של ‪ V‬כסכום של תתי‪-‬מרחב אינווריאנטיים‬
‫⊥ ‪ V = W ⊕ W‬ונשתמש באינדוקציה‪□ .‬‬
‫‪5.9‬‬
‫תפקיד של המרחב הדואלי‪.‬‬
‫כמה מלים על תפקידו של מרחב דואלי‪ .‬בקורס זה מושג מרחב דואלי לא הוזכר )עד כה(‪ ,‬אך זה נעשה מסיבות פוליטיות בלבד )כדי‬
‫לא להפחיד(‪.‬‬
‫נזכיר כי מרחב דואלי ∗ ‪ V‬של מרחב ‪ V‬הוא אוסף העתקות לינאריות ‪ f : V → k‬מ‪ V -‬לשדה הבסיסי ‪.k‬‬
‫אם ב‪ V -‬נתונה תבנית דו‪-‬לינארית ‪ ,B : V × V → k‬כל איבר ‪ v ∈ V‬מגדיר העתקה לינארית ‪ V → k‬המעבירה ‪ w‬ל‪-‬‬
‫)‪ .B(v, w‬כך אפשר לפרש כל תבנית דו‪-‬לינארית כהעתקה לינארית ∗ ‪ .B̃ : V → V‬בסגנון זה אפשר לפרש גם את המטריצה‬
‫המיצגת את ‪.B‬‬
‫יהי ‪ v1 , . . . , vn‬בסיס ב‪ .V -‬נזכיר שבחירה בסיס ב‪ V -‬מאפשרת לקבוע בסיס ב‪) V ∗ -‬הנקרא בסיס דואלי(‪:‬‬
‫{‬
‫‪1 : i=j‬‬
‫∗‬
‫= ) ‪.vi (vj‬‬
‫זה אוסף איברים ∗‪ v1∗ , . . . , vn‬המוגדרים על‪-‬ידי הנוסחה‬
‫‪0 : i ̸= j‬‬
‫אזי מטריצה המיצגת את התבנית ‪ B‬בבסיס ‪ v1 , . . . , vn‬היא אותה מטריצה המיצגת את ההעתקה הלינארית ∗ ‪B̃ : V → V‬‬
‫בבסיסים ‪ v1 , . . . , vn‬ו‪ .v1∗ , . . . , vn∗ -‬התבנית ‪ B‬בלתי‪-‬מנוונת אם ורק אם ̃‪ B‬איזומורפיזם‪.‬‬
‫נזכיר כי כל העתקה לינארית ‪ f : V → W‬מגדירה העתקה צמודה ∗ ‪ f ∗ : W ∗ → V‬על‪-‬ידי הנוסחה‬
‫‪f ∗ (α) = α ◦ f : V → W → k.‬‬
‫בפרט‪ B̃ : V → V ∗ ,‬נותנת ∗ ‪ .B̃ ∗ : (V ∗ )∗ = V → V‬אפשר לבדוק )בקלות( כי התבנית ‪ B‬סימטרית אם ורק אם‬
‫∗ ̃‪.B̃ = B‬‬
‫‪6.9‬‬
‫אופרטורים צמודים‪ .‬אופרטורים צמודים לעצמם‪.‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‪ .‬אם ‪ f : V → V‬אופרטור לינארי‪ ,‬אופרטור צמוד ‪ f ∗ : V → V‬מוגדר ע''י הנוסחה‬
‫‪(f (v) | w) = (v | f ∗ (w)).‬‬
‫)נוסחה כזאת אכן מגדירה את ההעתקה כי מכפלה פנימית בלתי‪-‬מנונת(‬
‫אם ‪ v1 , . . . , vn‬בסיס אורתונורמלי ב‪ V -‬ואם ‪cij vi‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫= ) ‪ f (vj‬כך ש‪ f -‬מיוצגת על‪-‬ידי מטריצה ) ‪ ,C = (cij‬אז‬
‫‪i=1‬‬
‫כי ∗ ‪f‬‬
‫מיוצג על‪-‬ידי המטריצה ‪.C t‬‬
‫השוויון )) ‪ cji = (f (vi ) | vj ) = (vi | f ∗ (vj‬נותן‬
‫אופרטור ‪ f : V → V‬נקרא צמוד לעצמו אם ∗ ‪ .f = f‬במלים אחרות‪ f ,‬צמוד לעצמו אם לכל ‪ v, w ∈ V‬מתקיים‬
‫‪65‬‬
‫))‪.(f (v) | w) = (v | f (w‬‬
‫לפי מה שנאמר קודם‪ ,‬אופרטור צמוד לעצמו אם ורק אם הוא מיוצג בבסיס אורתונורמאלי על‪-‬ידי מטריצה סימטרית‪.‬‬
‫אופרטורים צמודים לעצמם בעלי תכונות מיוחדות‪:‬‬
‫‪ .1‬כל הערכים העצמיים שלהם ממשיים‪.‬‬
‫‪ .2‬קיים בסיס אורתונורמאלי בו האופרטור מיוצג על‪-‬ידי מטריצה אלכסונית‪.‬‬
‫אנחנו נוכיח את התכונות האלה בסעיף הבא‪.‬‬
‫‪7.9‬‬
‫תכונות האופרטורים הצמודים לעצמם‪.‬‬
‫נתחיל)במקרה של(מימד ‪.2‬‬
‫‪a b‬‬
‫= ‪ A‬מטריצה סימטרית עם רכיבים אנחנו נבדוק עתה כי ל‪ A-‬שני ערכים עצמיים ממשיים שונים‪ .‬ואמנם‪,‬‬
‫תהי‬
‫‪b d‬‬
‫‪PA (t) = (t − a)(t − d) − b2 = t2 − (a + d)t + ad − b2 .‬‬
‫הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית לציאת הערכים העצמיים היא‬
‫‪(a + d)2 − 4(ad − b2 ) = (a − d)2 + 4b2 > 0.‬‬
‫לכן‪ ,‬לכל מטריצה סימטרית ‪ 2 × 2‬שני ערכים עצמיים ממשיים שונים‪ .‬יותר מאוחר נוכיח כי הוקטורים העצמיים המתאימים‬
‫אורתוגונאליים‪.‬‬
‫למה ‪ .9.2‬יהי ‪ f‬אופרטור צמוד לעצמו על ‪ .V‬אם ‪ W‬תת‪-‬מרחב כי אינווריאנטי אזי המשלים שלו ⊥ ‪ W‬גם הוא אינווריאנטי‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫דומה למקרה אורתוגונאלי‪ .‬אם ⊥ ‪ ,y ∈ W‬עלינו לבדוק כי ‪ (x | f (y)) = 0‬לכל ‪ .x ∈ W‬אבל‬
‫‪(x | f (y)) = (f (x) | y) = 0‬‬
‫כי ‪ W‬תת‪-‬מרחב אינווריאנטי‪ .‬עכשיו אפשר להוכיח את המשפט הכללי באינדוקציה‪.‬‬
‫יהי ‪ λ‬ערך עצמי של ‪ .f‬אם ‪ λ‬ממשי‪ ,‬מתאים לו וקטור עצמי ‪ .v ∈ V‬אז נגדיר }‪ W = Span{v‬ולפי הלמה נקבל פרוק‬
‫⊥ ‪ V = W ⊕ W‬בסכום של שני תתי‪-‬מרחב אינווריאנטיים אורתוגונאליים‪ .‬המשפט נובע מהנחת האינדוקציה‪ .‬נניח עתה כי ערך‬
‫עצמי ‪ λ‬לא ממשי )זה בלתי אפשרי אך אנו עוד לא יודעים להוכיח את זה(‪.‬‬
‫יהי ‪ v1 + iv2‬וקטור )עם קואורדינטות מרוכבות( עצמי המתאים לערך עצמי ‪ .λ‬אזי‪ ,‬אם ‪ ,λ = a + ib‬מתקיים‬
‫) ‪f (v1 + iv2 ) = (a + ib)(v1 + iv2‬‬
‫וזה אומר כי‬
‫‪f (v1 ) = av1 − bv2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪f (v2 ) = bv1 + av2‬‬
‫{‬
‫כך שהמרחב } ‪ W = Span{v1 , v2‬אינווריאנטי‪ .‬הצמצום של ‪ f‬על ‪ W‬גם הוא‪ ,‬בוודאי‪ ,‬צמוד לעצמו‪ .‬לפי החישוב שעשינו‬
‫במקרה של מימד ‪ ,2‬ערכים עצמיים לא ממשיים בלתי‪-‬אפשריים במקרה זה‪ .‬הגענו לסתירה‪□ .‬‬
‫‪66‬‬
‫‪8.9‬‬
‫שימוש‪ :‬צורה קאנונית של תבנית ריבועית מעל ‪.R‬‬
‫צירי הסימטריה של האליפסה ניצבים זה לזה‪ .‬אנחנו מתכוונים להכליל עובדה זו‪.‬‬
‫משפט ‪ .9.2‬תהי ‪ B‬תבנית ריבועית על מרחב וקטורי ממשי ‪ V‬המצויד במכפלה פנימית‪ .‬אזי קיים בסיס אורתונורמאלי ב‪ V -‬בו‬
‫התבנית ‪ B‬מיוצגת על‪-‬ידי מטריצה אלכסונית‪.‬‬
‫הערה ‪ .9.2‬קיום בסיס בו התבנית תיוצג על‪-‬ידי מטריצה אלכסונית ידוע לנו מזמן‪ .‬החידוש פה ‪ -‬קיום בסיס אורתונורמאלי ביחס‬
‫למכפלה פנימית )שאין לה קשר לתבנית ‪(.B‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫נבחר בסיס אורתונורמאלי כל שהוא ‪ v1 , . . . , vn‬במרחב ‪ .V‬התבנית ‪ B‬תיוצג על‪-‬ידי מטריצה סימטרית‪ .‬נסמן אותה ב‪.A -‬‬
‫לפי סעיף )‪, (7.9‬מטריצה סימטרית מיצגת אופרטור צמוד לעצמו‪ .‬נסמן אותו ב‪.f -‬‬
‫הערה ‪ .9.3‬אפשר להסביר קשר בין התבנית ‪ B‬לבין האופרטור ‪ f‬הצמוד לעצמו מבלי להסתמך על בחירת בסיס ‪.v1 , . . . , vn‬‬
‫נשאיר את זה כתרגיל למי שלא מרוצה בכך שאנו משתמשים בבסיס‪.‬‬
‫לפי המשפט שבסעיף )‪, (7.9‬קיים בסיס אורתונורמאלי ‪ ,‬נגיד‪ w1 , . . . , wn ,‬בו ‪ f‬מיוצג על‪-‬ידי מטריצה אלכסונית‪ .‬אני טוען‬
‫כי אותה מטריצה תיצג גם את התבנית ‪ .B‬קודם כל‪ ,‬למה זה לא ברור‪ .‬כי אם ‪ C‬מטריצת מעבר ואם ‪ A‬מטריצה של אופרטור‪ ,‬אך‬
‫בבסיס החדש מטריצה של אותו אופרטור תהיה ‪ .C −1 AC‬אבל אם ‪ A‬מטריצה של תבנית דו‪-‬לינארית‪ ,‬אז בבסיס החדש המטריצה‬
‫של אותה תבנית תהיה ‪ C t AC‬מנוסחת החלפת בסיס עבור מטריצת אופרטור שונה מהנוסחה עבור מטריצת תבנית!‬
‫הגיע זמן להיזכר בכך ששני הבסיסים‪ v1 , . . . vn ,‬ו‪ ,w1 , . . . wn -‬אורתונורמאליים‪ ,‬כך שמטריצת המעבר ‪ C‬אורתוגונאלית‪.‬‬
‫לכן‪ C −1 = C t ,‬ושתי הנוסחאות‪ C −1 AC ,‬ו‪ ,C t AC -‬נותנות אותו דבר‪□ .‬‬
‫‪67‬‬