DifferentialGeometry-FormulaSheet-v1.3

‫גיאומטריה דיפרנציאלית‪ :‬דף נוסחאות‬
‫‪1.5‬‬
‫גרסה ‪ ,1.3‬ינואר ‪2011‬‬
‫ברק שושני‬
‫‪[email protected] | http://baraksh.co.il/‬‬
‫‪1‬‬
‫משפט ארבעת הקודקודים‬
‫קודקוד של עקומה היא נקודה בה לעקמומיות יש מקסימום או‬
‫מינימום מקומי‪ .‬הקודקודים מתאימים לנקודות סינגולריות של מרכז‬
‫העקמומיות )‪ .c (t‬לאליפסה יש ארבעה קודקודים בדיוק‪ ,‬אלא אם‬
‫היא מעגל‪.‬‬
‫משפט ארבעת הקודקודים‪ :‬לכל עקומה סגורה ופשוטה יש לפחות‬
‫ארבעה קודקודים‪.‬‬
‫עקומות במישור‬
‫‪2‬‬
‫עקומה ‪ γ : [a, b] → Rn‬נקראת רגולרית אם הנגזרת שלה ‪ γ 0‬שונה‬
‫מאפס בכל נקודה‪ ,‬פשוטה אם היא חד־חד־ערכית )כלומר‪ ,‬לא חותכת‬
‫את עצמה( וסגורה אם )‪.γ (a) = γ (b‬‬
‫‪ 1.1‬אורך של עקומה‬
‫אורך העקומה ‪ γ : [a, b] → Rn‬ניתן על־ידי האינטגרל‪:‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫≡ )‪L (γ‬‬
‫‪kγ 0 (t)k dt‬‬
‫‪a‬‬
‫פרמטריזציה טבעית‪ kγ 0 (s)k = 1 :‬לכל ‪ .s‬למציאת הפרמטריזציה‬
‫נחשב את האורך )‪:s (t‬‬
‫‪ˆ t‬‬
‫= )‪s (t‬‬
‫‪kγ 0 (x)k dx‬‬
‫‪a‬‬
‫ונהפוך את הפונקציה‪ .‬איזומטריה היא העתקה ‪F : Rn → Rn‬‬
‫המקיימת לכל ‪:p, q ∈ Rn‬‬
‫))‪d (p, q) = d (F (p) , F (q‬‬
‫אם ‪ F‬חד־חד־ערכית ועל‪ ,‬ומקיימת )‪ L (γ) = L (F ◦ γ‬לכל עקומה‬
‫‪ ,γ‬אז ‪ F‬איזומטריה‪.‬‬
‫אם לכל ‪ x‬היעקוביאן )‪ JF (x‬הוא מטריצה אורתוגונלית‪ ,‬אז ‪F‬‬
‫איזומטריה‪.‬‬
‫‪ 1.2‬עקמומיות של עקומות במישור‬
‫משיק היחידה לעקומה בעלת פרמטריזציה טבעית הוא ≡ )‪ˆ (s‬‬
‫‪T‬‬
‫‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‪ .T‬נורמל היחידה לעקומה הוא וקטור‬
‫)‪ ,γ 0 (s‬ומתקיים ‪(s) = 1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‪ˆ N‬‬
‫יחידה שמאונך למשיק‪ ,‬כלומר ‪ˆ = 0‬‬
‫‪,N‬‬
‫‪ T,‬ומתקיים ‪(s) = 1‬‬
‫איתו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית‪ ,‬כלומר‬
‫והוא ‬
‫יוצר ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪ .det TN‬ניתן להגדיר את נורמל היחידה גם כך‪:‬‬
‫‪=1‬‬
‫)‪Rπ/2 γ 0 (t‬‬
‫))‪(−γ20 (t) , γ10 (t‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪kγ (t)k‬‬
‫‪kγ 0 (t)k‬‬
‫‪π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫כאשר ‪ Rπ/2‬היא מטריצת סיבוב בזווית ‪ , 2‬ו־) ‪= (γ1 , γ2‬‬
‫משוואות פרנה הן‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫ ˆ ‬
‫‪ˆ0‬‬
‫‪T‬‬
‫‪0 k‬‬
‫‪T‬‬
‫‪= −k 0‬‬
‫‪ˆ0‬‬
‫ˆ‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫≡ )‪ˆ (t‬‬
‫‪N‬‬
‫‪.γ 0‬‬
‫כאשר )‪ k (s‬היא העקמומיות‪ .‬אם העקומה נתונה בפרמטריזציה‬
‫טבעית‪:‬‬
‫‪k = det (γ 0 |γ 00 ) ,‬‬
‫‪|k| = kγ 00 k‬‬
‫אם העקומה אינה נתונה בפרמטריזציה טבעית‪:‬‬
‫) ‪det (γ 0 |γ 00‬‬
‫=‪k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪kγ 0 k‬‬
‫אם נסמן ב־)‪ α (s‬את הזווית בין )‪ˆ (s‬‬
‫‪ T‬לציר ה־‪ ,x‬אז העקמומיות‬
‫תהיה )‪.k (s) = α0 (s‬‬
‫החלפת האוריינטציה במישור והחלפת סימן הפרמטר הטבעי ‪s 7→ −s‬‬
‫משנות את סימנה של העקמומיות‪ ,‬הזזת הפרמטר ‪ s 7→ s + s0‬לא‬
‫משנה את העקמומיות‪.‬‬
‫אם לעקומה יש עקמומיות קבועה‪ ,‬אז היא קו ישר כאשר ‪k (s) ≡ 0‬‬
‫ומעגל מרדיוס ‪ 1/K‬כאשר ‪.k (s) ≡ K > 0‬‬
‫‪ 1.3‬רדיוס ומרכז עקמומיות‪ ,‬אינוולוט ואוולוט‬
‫רדיוס העקמומיות בכל נקודה הוא |)‪.R (t) = 1/ |k (t‬‬
‫העקמומיות הוא )‪ˆ (t‬‬
‫‪.c (t) = γ (t) + R (t) N‬‬
‫תהי ‪ γ : [a, b] → R2‬עקומה‪ ,‬יהיו ]‪ t1 , t2 ∈ [a, b‬ונסמן = )‪l1 (x‬‬
‫‪ˆ (t1 ) , l2 (x) = γ (t2 ) + xN‬‬
‫) ‪ˆ (t2‬‬
‫‪ .γ (t1 ) + xN‬אם ) ‪ p (t1 , t2‬היא‬
‫נקודת החיתוך של הישרים ‪ l1 , l2‬אז‪:‬‬
‫)‪p (t1 , t2 ) −−−−−→ c (t‬‬
‫מרכז‬
‫‪t1 ,t2 →t‬‬
‫האינוולוט של עקומה )‪ γ (t‬מוגדר כך‪:‬‬
‫)‪γ 0 (t‬‬
‫‪I (t) ≡ γ (t) − s (t) 0‬‬
‫‪kγ (t)k‬‬
‫האוולוט של עקומה )‪ γ (t‬הוא עקומה )‪ E (t‬שהאינוולוט שלה הוא‬
‫)‪ .γ (t‬הוא מוגדר בפרמטריזציה טבעית כך‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E (s) = γ (s) +‬‬
‫)‪n (s‬‬
‫)‪k (s‬‬
‫ובפרמטריזציה לא טבעית‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪kγ (t)k‬‬
‫‪E (t) = γ (t) +‬‬
‫))‪(−γ20 (t) , γ10 (t‬‬
‫))‪det (γ 0 (t)|γ 00 (t‬‬
‫העקומה )‪ˆ (t‬‬
‫מקבילה ל־‪ γ‬במרחק ‪ s‬ממנה‪.‬‬
‫‪Γs (t) = γ (t) + sN‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫לעקומה יש נקודות סינגולריות )‪ ( Γs (t) = 0‬אם ורק אם‬
‫)‪ .s = R (t‬הנקודות הסינגולריות הן על האוולוט‪.‬‬
‫‪ 1.4‬עקמומיות כוללת‪ ,‬אינדקס ליפוף ועקומות קמורות‬
‫העקמומיות הכוללת של עקומה ‪ γ : [0, L] → R2‬בפרמטר טבעי‬
‫היא‪:‬‬
‫‪ˆ L‬‬
‫≡ ‪ktotal‬‬
‫‪k (s) ds‬‬
‫‪0‬‬
‫אינדקס הליפוף של עקומה סגורה ‪ γ‬סביב ראשית הצירים הוא‪:‬‬
‫‪ˆ L‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪α (L) − α (0‬‬
‫≡ )‪i (γ‬‬
‫= ‪k (s) ds‬‬
‫‪2π 0‬‬
‫‪2π‬‬
‫משפט הופף‪ :‬לכל עקומה פשוטה וסגורה במישור יש אינדקס ליפוף‬
‫‪.±1‬‬
‫עקומה נקראת קמורה אם היא נמצאת בצד אחד בלבד של המשיק‬
‫בכל נקודה‪ .‬עקומה פשוטה וסגורה היא קמורה אם ורק אם‬
‫העקמומיות שלה אינה משנה סימן‪.‬‬
‫לכל עקומה במישור מתקיים‪:‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫‪k (t) dt ≥ 2π‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר שוויון מתקיים אם ורק אם העקומה קמורה‪.‬‬
‫האי־שוויון האיזופרימטרי‪ :‬תהי ‪ γ‬עקומה פשוטה וסגורה בעלת‬
‫עקמומיות חיובית בכל נקודה‪ .‬אם ‪ L‬הוא אורך העקומה ו־‪ A‬הוא‬
‫השטח החסום ע"י העקומה אז ‪ ,L2 ≥ 4πA‬כאשר שוויון מתקיים אם‬
‫ורק אם העקומה היא מעגל‪.‬‬
‫‪2.1‬‬
‫עקומות במרחב‬
‫משוואות פרנה‪ ,‬עקמומיות ופיתול‬
‫תהי )‪ γ (s‬עקומה‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫‪T‬‬
‫‪ˆ ‬‬
‫‪N‬‬
‫ˆ‬
‫‪B‬‬
‫בפרמטריזציה טבעית‪ .‬משוואות פרנה הן‪:‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪!‬‬
‫ˆ‬
‫‪T‬‬
‫‪0‬‬
‫‪κ 0‬‬
‫‪ N‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ˆ0 ‬‬
‫‪−κ 0 τ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−τ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ‬
‫‪B‬‬
‫כאשר ‪ κ‬היא העקמומיות‪ τ ,‬הוא הפיתול‪ ,‬משיק היחידה ‪ˆ ≡ γ 0‬‬
‫‪T‬‬
‫הוא וקטור יחידה שמשיק לעקומה‪ ,‬נורמל היחידה‪:‬‬
‫‪00‬‬
‫‪ˆ0‬‬
‫‪ˆ ≡ T = γ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ ˆ 0‬‬
‫‪kγ 00 k‬‬
‫ ‪T‬‬
‫הוא וקטור יחידה שמאונך לעקומה‪ ,‬וקטור הבינורמל‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪00‬‬
‫‪ˆ ≡T‬‬
‫‪ˆ ×N‬‬
‫‪ˆ = γ ×γ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪00‬‬
‫‪kγ k‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ל־‪ ,N‬ויוצר איתם בסיס‬
‫הוא וקטור יחידה שמאונך גם‬
‫ל־‪ T‬‬
‫וגם ‬
‫‬
‫‪ˆ N‬‬
‫‪ˆ B‬‬
‫אורתונורמלי חיובי‪ ,‬כלומר ‪ˆ = 1‬‬
‫‪ .det T‬בפרמטריזציה‬
‫טבעית‪ ,‬העקמומיות והפיתול הן‪:‬‬
‫) ‪det (γ 0 |γ 00 |γ 000‬‬
‫‪κ ≡ kγ 00 k ,‬‬
‫≡‪τ‬‬
‫‪κ2‬‬
‫ובפרמטריזציה כללית‪:‬‬
‫) ‪det (γ 0 |γ 00 |γ 000‬‬
‫‪kγ 0 × γ 00 k‬‬
‫‪,‬‬
‫≡‪τ‬‬
‫=‪κ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kγ 0 k‬‬
‫‪kγ 0 × γ 00 k‬‬
‫ניתן להשתמש בזהות‪:‬‬
‫‪det (γ 0 |γ 00 |γ 000 ) = h(γ 0 × γ 00 ) , γ 000 i‬‬
‫מטריצת גראם ) ‪ G (x1 , . . . , xn‬היא המטריצה אשר מכילה בשורה‬
‫ה־‪ i‬ובעמודה ה־‪ j‬את המכפלה הפנימית ‪ .hxi , xj i‬הדטרמיננטה‬
‫של מטריצת גראם היא ריבוע נפח המקבילון שנוצר מהווקטורים‬
‫‪ .x1 , . . . , xn‬בשלושה מימדים מתקיים‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫)‪|det (a|b|c)| = G (a, b, c‬‬
‫עקומה נקראת סליל אם המשיקים לעקומה נמצאים בזווית קבועה עם‬
‫וקטור כיוון כלשהו‪ ,‬כלומר ‪ hγ 0 (s) , ui = const‬לכל ‪ s‬עבור וקטור‬
‫‪ u‬כלשהו‪ .‬אם לעקומה ישנן פונקציות עקמומיות ופיתול קבועות‪ ,‬אז‬
‫היא בהכרח סליל‪.‬‬
‫המישור המשיק לעקומה ‪ γ‬בנקודה ‪ s0‬הוא‪:‬‬
‫}) ‪π (s0 ) = γ (s0 ) + Span {γ 0 (s0 ) , γ 00 (s0‬‬
‫אם ‪ κ (s0 ) , τ (s0 ) 6= 0‬אז )‪ γ (s‬עוברת מצד אחד של ) ‪ π (s0‬לצידו‬
‫השני כאשר ‪.s = s0‬‬
‫אם פונקציית הפיתול ‪ τ‬של עקומה היא קבועה ושווה לאפס‪ ,‬אז‬
‫העקומה נמצאת במישור‪.‬‬
‫כאשר משנים את האוריינטציה במרחב‪ ,‬פונקציית הפיתול מחליפה‬
‫סימן‪.‬‬
‫זהות שימושית עבור המכפלה הווקטורית היא‪a × (b × c) = :‬‬
‫‪.b ha, ci − c ha, bi‬‬
‫‪3‬‬
‫משטחים‪ ,‬חלק א'‬
‫‪3.1‬‬
‫מערכות קואורדינטות‬
‫הומאומורפיזם היא העתקה חח"ע‪ ,‬על‪ ,‬רציפה ובעלת פונקציה הפוכה‬
‫רציפה‪ .‬מפת קואורדינטות ‪ x : U → V‬היא העתקה מקבוצה פתוחה‬
‫‪ U ⊆ Rn‬לקבוצה פתוחה ‪ V ⊆ Rm‬שהיא דיפאומורפיזם‪ ,‬כלומר‬
‫חד־חד־ערכית‪ ,‬על‪ ,‬חלקה )גזירה ברציפות אינסוף פעמים( ובעלת‬
‫פונקציה הפוכה חלקה‪ .‬ההעתקה היא אימרסיה אם הדיפרנציאל‬
‫שלה חד־חד־ערכי‪ ,‬או באופן שקול‪ ,‬היעקוביאן שלה הוא מטריצה‬
‫הפיכה‪.‬‬
‫קואורדינטות כדוריות מוגדרות כך‪:‬‬
‫)‪x (r, θ, φ) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪−1‬‬
‫= )‪x (x, y, z‬‬
‫‪x2 + y 2 + z 2 , arccos , arctan‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x‬‬
‫קואורדינטות גליליות מוגדרות כך‪:‬‬
‫)‪x (ρ, φ, z) = (ρ cos φ, ρ sin φ, z‬‬
‫‪p‬‬
‫ ‪y‬‬
‫‪−1‬‬
‫= )‪x (x, y, z‬‬
‫‪x2 + y 2 , arctan , z‬‬
‫‪x‬‬
‫ההטלה הסטריאוגרפית }‪ f : S2 (R) → {z = 0‬מהספירה ברדיוס ‪R‬‬
‫סביב הראשית אל המישור }‪ {z = 0‬היא‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫= )‪f (x, y, z‬‬
‫)‪(x, y‬‬
‫‪R−z‬‬
‫‬
‫‪R‬‬
‫‪f −1 (u, v) 2‬‬
‫‪2Ru, 2Rv, u2 + v 2 − R2‬‬
‫‪u + v 2 + R2‬‬
‫‪3.2‬‬
‫התבנית היסודית הראשונה‬
‫פרמטריזציה של משטח דו־מימדי ‪ M‬היא מפת קואורדינטות ‪x :‬‬
‫‪.U ⊆ R2 → M ⊆ R3‬‬
‫המישור המשיק למשטח ‪ M‬בנקודה ‪ ,p‬אשר יסומן ‪ ,Tp M‬הוא אוסף‬
‫הווקטורים המשיקים של כל העקומות שעוברות דרך ‪ .p‬כלומר‪,‬‬
‫אם )‪ γ (t‬היא עקומה המקיימת ‪ γ (0) = p‬אז הווקטור המשיק‬
‫)‪ w = γ 0 (p‬יהיה ב־ ‪ .Tp M‬המישור המשיק נפרש ע"י הבסיס‬
‫} ‪ ,{xu , xv‬כאשר‪:‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂x‬‬
‫≡ ‪xu‬‬
‫‪,‬‬
‫≡ ‪xv‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂v‬‬
‫אם ‪ f : M → N‬היא העתקה חלקה מהמשטח ‪ M‬למשטח ‪ ,N‬אז‬
‫הדיפרנציאל של ‪ f‬בנקודה ‪ p ∈ M‬הוא‪:‬‬
‫‪dp f : Tp M → Tf (p) N‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪dp f (w) = dp f (γ 0 (0)) = (f ◦ γ) (0‬‬
‫‪dp f (w) = Jf w‬‬
‫‪) n‬כאשר ‪ S2‬היא ספירת היחידה( מתאימה‬
‫העתקת גאוס ‪ˆ : M → S2‬‬
‫לכל נקודה ‪ p = x (u) ∈ M‬על המשטח ‪ M‬את נורמל היחידה‬
‫למישור המשיק ‪:Tp M‬‬
‫)‪n (p‬‬
‫‪xu × xv‬‬
‫‪n‬‬
‫≡ )‪ˆ (p‬‬
‫≡‬
‫‪kn (p)k‬‬
‫‪kxu × xv k‬‬
‫מטריקת רימן )התבנית היסודית הראשונה( של המשטח היא תבנית‬
‫בילינארית סימטרית וחיובית ממש‪ ,‬אשר מוגדרת ביחס לבסיס‬
‫} ‪ {xu , xv‬של המרחב המשיק כך‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪g22 = kxv k ,‬‬
‫‪g12 = g21 = hxu , xv i‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪g11 = kxu k ,‬‬
‫‬
‫‪kxu k‬‬
‫‪hxu , xv i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪hxu , xv i kxv k‬‬
‫המטריקה מגדירה מכפלה פנימית ‪ h·, ·i‬ונורמה ‪ k·k‬על המרחב‬
‫המשיק‪ .‬לפיכך הזווית בין שני וקטורים במרחב המשיק היא‪:‬‬
‫‪hv, wi‬‬
‫‪θ = arccos‬‬
‫‪kvk kwk‬‬
‫והאורך של עקומה על המשטח הוא‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪L (γ) = kγ 0 (t)k dt‬‬
‫= ) ‪G = (gij‬‬
‫אלמנט אורך על המשטח הוא ‪ds2 = g√11 d u2 + 2g12 du dv +‬‬
‫‪ ,g22 dv 2‬ואלמנט שטח על המשטח הוא ‪.dA = det G du dv‬‬
‫המטריקה האוקלידית היא המטריקה ‪ G = I‬כאשר ‪ I‬מטריצת‬
‫היחידה‪.‬‬
‫‪ 3.3‬התבנית היסודית השנייה ואופרטור הצורה‬
‫∼ ‪ S : Tp M → Tnˆ(p) S2‬בנקודה ‪ p‬מוגדר‬
‫אופרטור הצורה ‪= Tp M‬‬
‫על וקטור משיק ‪ w ∈ Tp M‬כך‪:‬‬
‫‪Sw = −dp n‬‬
‫)‪ˆ (w‬‬
‫אופרטור הצורה הוא צמוד לעצמו‪.hSx, yi = hx, Syi :‬‬
‫התבנית היסודית השנייה היא תבנית בילינארית אשר מוגדרת כך‪:‬‬
‫‪B (x, y) = hSx, yi‬‬
‫ביחס לבסיס } ‪ {xu , xv‬של המרחב המשיק ניתן לייצג אותה‬
‫באמצעות מטריצה‪:‬‬
‫‪b11 = hxuu , n‬‬
‫‪ˆ i , b22 = hxvv , n‬‬
‫‪ˆ i , b12 = b21 = hxuv , n‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‬
‫‪hxuv , n‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‪hxvv , n‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‪hxuu , n‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‪hxuv , n‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‬
‫= ) ‪B = (bij‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪∂2x‬‬
‫‪∂2x‬‬
‫≡ ‪xvv‬‬
‫‪,‬‬
‫= ‪xuv‬‬
‫‪xuu‬‬
‫‪∂v 2‬‬
‫‪∂u∂v‬‬
‫בנוסף מתקיים הקשר ‪.S = G−1 B‬‬
‫וקטור ‪ v ∈ Tp M‬יקרא כיוון אסימפטוטי אם ‪.B (v, v) = 0‬‬
‫‪∂2x‬‬
‫‪,‬‬
‫≡‬
‫‪∂u2‬‬
‫‪3.4‬‬
‫עקמומיות של משטחים‬
‫ערכי העקמומיות הראשיים ‪ k1 , k2‬הם הערכים העצמיים של אופרטור‬
‫הצורה ‪ ,S‬והכיוונים הראשיים הם הווקטורים העצמיים המתאימים‪,‬‬
‫אשר מאונכים זה לזה‪ .‬קווי העקמומיות הן עקומות שהווקטורים‬
‫המשיקים להן הם כיוונים ראשיים‪ .‬נקודה אמבילית היא נקודה ‪p‬‬
‫שערכי העקמומיות הראשיים בה שווים זה לזה‪.‬‬
‫עקמומיות גאוס מוגדרת כך‪:‬‬
‫‪det B‬‬
‫= ‪K ≡ det S‬‬
‫‪= k1 k2‬‬
‫‪det G‬‬
‫העקמומיות הממוצעת מוגדרת כך‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪H ≡ tr S = (k1 + k2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫משטח נקרא משטח מינימלי אם ‪ H = 0‬בכל נקודה‪ .‬אם משטח‬
‫ב־ ‪ R3‬מקיים ‪ H = K = 0‬בכל נקודה‪ ,‬אז הוא מישור‪.‬‬
‫כאשר מחליפים אוריינטציה של משטח ‪n‬־מימדי‪ ,‬עקמומיות גאוס‬
‫‪n‬‬
‫מוכפלת ב־ )‪ (−1‬והעקמומיות הממוצעת משנה סימן‪.‬‬
‫נתונים שני משטחים‪ x ,‬ו־‪ .y = f ◦ x‬אם ‪ f‬היא איזומטריה‪,‬‬
‫כלומר ‪ f (v) = Av + b‬כאשר ‪ A‬מטריצה אורתוגונלית‪ ,‬אז מתקיים‬
‫‪n‬‬
‫‪ .Ky = (det A) Kx , Hy = det A · Hx‬אם ‪ f‬היא מתיחה‪ ,‬כלומר‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,f (v) = av‬אז ‪.Ky = a2 Kx , Hy = a1 Hx‬‬
‫פסבדו־ספירה מרדיוס ‪ R‬היא משטח בעל עקמומיות קבועה ‪,−1/R2‬‬
‫באנלוגיה לספירה‪ ,‬שהיא משטח בעל עקמומיות קבועה ‪.1/R2‬‬
‫‪3.5‬‬
‫משטחי סיבוב‬
‫משטח הסיבוב של עקומה ))‪ γ (t) = (0, h (t) , g (t‬סביב ציר ה־‪z‬‬
‫ניתן ע"י הפרמטריזציה ))‪.x (u, v) = (h (u) cos v, h (u) sin v, g (u‬‬
‫בפרט‪ ,‬משטח הסיבוב של פונקציה )‪ h (u‬נתון ע"י הפרמטריזציה‬
‫)‪ .x (u, v) = (h (u) cos v, h (u) sin v, u‬הכיוונים הראשיים שלו הם‬
‫‪ xu , xv‬וערכי העקמומיות הראשיים הם‪:‬‬
‫‪h00‬‬
‫‪1‬‬
‫ ‪k1 = −‬‬
‫‪k2 = q‬‬
‫‪3/2 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪h 1 + (h0‬‬
‫) ‪1 + (h0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.1‬‬
‫משטחים‪ ,‬חלק ב'‬
‫מקדמי כריסטופל ונגזרות של נורמל היחידה‬
‫כלל הסכימה‪ :‬אם אינדקס מופיע במכפלה פעמיים‪ ,‬פעם אחת‬
‫כאינדקס עליון ופעם אחת כאינדקס תחתון‪ ,‬יש לסכום על הביטוי‬
‫כאשר האינדקס הכפול משמש כאינדקס סכימה‪ .‬טווח הערכים‬
‫שאינדקס הסכימה יקבל יקבע לפי מספר המימדים בבעיה‪.‬‬
‫‪ .G = (g‬רכיבי‬
‫רכיבי המטריצה ‪ G‬יסומנו באינדקסים תחתונים‪ ij ) ,‬‬
‫המטריצה ההופכית ‪ G−1‬יסומנו באינדקסים עליונים‪.G−1 = g ij ,‬‬
‫אם ‪ I‬היא מטריצת היחידה‪ ,‬אז מתקיים ‪ G−1 G = I‬ולכן = ‪g ik gkj‬‬
‫‪.δ ij‬‬
‫ניתן לרשום את הנגזרות השניות ‪ xuu , xuv , xvv‬כצירוף לינארי של‬
‫וקטורי הבסיס‪:‬‬
‫‪xuu = Γ111 xu + Γ211 xv + b11 n‬‬
‫ˆ‬
‫‪xuv = Γ112 xu + Γ212 xv + b12 n‬‬
‫ˆ‬
‫‪xvv = Γ122 xu + Γ222 xv + b22 n‬‬
‫ˆ‬
‫או באופן כללי )עבור מספר מימדים כלשהו(‪:‬‬
‫‪∂2x‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪= Γkij k + bij n‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂ui ∂uj‬‬
‫‪∂u‬‬
‫המקדמים ‪ Γkij‬נקראים מקדמי כריסטופל‪ ,‬והמקדמים ‪ bij‬הם רכיבי‬
‫התבנית היסודית השנייה ‪ .B‬מקדמי כריסטופל הם סימטריים‬
‫באינדקסים התחתונים‪.Γkij = Γkji :‬‬
‫ניתן לחשב את מקדמי כריסטופל באמצעות מטריקת רימן בצורה‬
‫‬
‫הבאה‪ :‬‬
‫‪1‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪Γkij = g km‬‬
‫‪gmi +‬‬
‫‪gjm −‬‬
‫‪gij‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂uj‬‬
‫‪∂ui‬‬
‫‪∂um‬‬
‫גם את נגזרותיו של נורמל היחידה ניתן לבטא כצירוף לינארי של‬
‫} ‪:{xu , xv‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ˆ u = a11 xu + a21 xv‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ˆ v = a12 xu + a22 xv‬‬
‫כאשר ‪ .aij = −g ik bkj‬באופן כללי ניתן לרשום )עבור מספר מימדים‬
‫כלשהו(‪:‬‬
‫ˆ∂‬
‫‪n‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪= −g ik bkj i‬‬
‫‪∂uj‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪4.2‬‬
‫‪5.3‬‬
‫את נגזרתו הקווריאנטית של וקטור בסיס בכיוון וקטור בסיס אחר‬
‫ניתן לפרוש באמצעות הבסיס‪ ,∇ei ej = Γkij ek :‬כאשר מקדמי‬
‫כריסטופל ‪ Γkij‬הם פונקציות אשר תלויות רק בנגזרת הקווריאנטית‬
‫הספציפית‪ .‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪ m‬‬
‫‬
‫‪∂v‬‬
‫= ‪∇w v‬‬
‫‪+ Γmij v j wi em‬‬
‫‪∂ui‬‬
‫‪4.7‬‬
‫נוסחאות למקדמי כריסטופל‬
‫‬
‫טנזור הפיתול‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫טנזור מסדר‬
‫הוא פונקציה לינארית של ‪ k‬קו־וקטורים ו־‪m‬‬
‫‬
‫וקטורים‪ .‬בפרט‪ ,‬וקטור הוא טנזור מסדר ‪ 10‬וקו־וקטור הוא טנזור‬
‫‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫מסדר ‪ . 01‬לטנזור מסדר‬
‫‪ m‬יהיו ‪ k‬אינדקסים עליונים ו־‪m‬‬
‫אינדקסים תחתונים‪.‬‬
‫‬
‫טנזור הפיתול הוא טנזור מסדר ‪ 12‬המוגדר כך‪:‬‬
‫]‪T (v, w) = ∇v w − ∇w v − [v, w‬‬
‫ורכיביו הם ‪ .T kij = Γkij − Γkji‬אם טנזור הפיתול מתאפס‪ ,‬הנגזרת‬
‫הקווריאנטית היא סימטרית‪ ,‬כלומר מתקיים לכל ‪.Γkij = Γkji i, j, k‬‬
‫במקרה כזה‪ ,‬עבור וקטורי הבסיס מתקיים ‪.∇ei ej = ∇ej ei‬‬
‫אם המטריקה ‪ G‬אלכסונית‪ ,G = diag (g1 , g2 ) ,‬אז‪:‬‬
‫‪1 ∂g1‬‬
‫‪1 ∂g1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪Γ211 = −‬‬
‫‪Γ111 = +‬‬
‫‪2g1 ∂u‬‬
‫‪2g2 ∂v‬‬
‫‪∂g‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Γ112 = Γ121 = +‬‬
‫‪2g1 ∂v‬‬
‫‪1 ∂g2‬‬
‫‪Γ212 = Γ221 = +‬‬
‫‪2g2 ∂u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∂g‬‬
‫‪1 ∂g2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Γ122 = −‬‬
‫‪,‬‬
‫‪Γ222 = +‬‬
‫‪2g1 ∂u‬‬
‫‪2g2 ∂v‬‬
‫ואם היא סקלרית‪ ,G = gI ,‬אז‪:‬‬
‫‪1 ∂g‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Γ 11 = Γ 12 = Γ 21 = +‬‬
‫‪2g ∂u‬‬
‫‪1 ∂g‬‬
‫‪Γ222 = Γ112 = Γ121 = +‬‬
‫‪2g ∂v‬‬
‫‪1 ∂g‬‬
‫‪1 ∂g‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Γ 22 = −‬‬
‫‪,‬‬
‫‪Γ 11 = −‬‬
‫‪2g ∂u‬‬
‫‪2g ∂v‬‬
‫‪4.8‬‬
‫קשירויות מיוחדות‬
‫‪n‬‬
‫יהיו ‪ v, w‬שדות וקטוריים על ‪ .R‬הקשירות השטוחה )או הנגזרת‬
‫הקווריאנטית האוקלידית( על ‪ Rn‬מוגדרת בנקודה ‪ p ∈ Rn‬כך‪:‬‬
‫◦‬
‫‪∂w‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∇v w ≡ dp w (v) = (w ◦ γ) (0) = v i i‬‬
‫‪∂u‬‬
‫כאשר העקומה ‪ γ‬מקיימת ‪ .γ (0) = p, γ 0 (0) = v‬הקשירות‬
‫השטוחה היא נגזרת קווריאנטית בה כל מקדמי כריסטופל מתאפסים‪,‬‬
‫ולכן גם טנזורי הפיתול והעקמומיות )ראו להלן( שלה מתאפסים‪ .‬ניתן‬
‫◦‬
‫משוואות גאוס־קודאצי‬
‫‪4.3‬‬
‫טנזור העקמומיות של רימן הוא‪:‬‬
‫‪∂ n‬‬
‫‪∂ n‬‬
‫‪Γ −‬‬
‫‪Γ + Γmij Γnmk − Γmik Γnmj‬‬
‫≡‬
‫‪∂uk ij ∂uj ik‬‬
‫משוואת גאוס היא‪:‬‬
‫) ‪Rnijk = g nm (bij bmk − bik bmj‬‬
‫ומשוואת קודאצי היא‪:‬‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪bim −‬‬
‫‪bij‬‬
‫= ‪bkm Γkij − bkj Γkim‬‬
‫‪j‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂um‬‬
‫את עקמומיות גאוס של משטח דו־מימדי ניתן לחשב בצורה הבאה‪:‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪∂ 2‬‬
‫‪∂ 2‬‬
‫=‪K‬‬
‫‪Γ −‬‬
‫‪Γ +‬‬
‫‪g11 ∂v 11 ∂u 12‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪+ Γ211 Γ222 + Γ111 Γ212 − Γ112 Γ211 − Γ212‬‬
‫‪Rnijk‬‬
‫אם ‪ G‬אלכסונית‪ ,G = diag (g1 , g2 ) ,‬אז‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫‪1 ∂g2‬‬
‫∂‬
‫‪1 ∂g1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫√ ‪K=−‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪2 g1 g2 ∂u‬‬
‫‪g1 g2 ∂u‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪g1 g2 ∂v‬‬
‫ואם ‪ G‬סקלרית‪ ,G = gI ,‬אז‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1 ∂ 2 ln g ∂ 2 ln g‬‬
‫‪+‬‬
‫‪K=−‬‬
‫‪2g‬‬
‫‪∂u2‬‬
‫‪∂v 2‬‬
‫‬
‫‪4.4‬‬
‫שדות וקטוריים‪ ,‬גרדיאנט‪ ,‬קווים אינטגרליים וזרמים‬
‫שדה וקטורי על משטח ‪ M‬הוא משפחה חלקה של וקטורים ∈ )‪v (p‬‬
‫‪.Tp M‬‬
‫הגרדיאנט ‪ grad f‬של פונקציה ‪ f : M → R‬על המשטח מוגדר לכל‬
‫‪ w ∈ Tp M‬כך‪:‬‬
‫‪df (w) = hgrad f, wi‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪i‬‬
‫‪grad f = G−1 df, (grad f ) = g ij j‬‬
‫‪∂u‬‬
‫הגרדיאנט מאונך לקווי הגובה של הפונקציה‪.‬‬
‫העקומה )‪ γ (t‬נקראת קו אינטגרלי של שדה וקטורי ‪ v‬אם = )‪γ 0 (t‬‬
‫))‪ .v (γ (t‬הזרם של השדה ‪ v‬הוא העתקה ‪ ϕt : U → U‬המוגדרת‬
‫לפי )‪ ,ϕt (u) = γ u (t‬כאשר )‪ γ u (t‬הוא קו אינטגרלי של ‪ v‬אשר‬
‫עובר בנקודה ‪ u‬בזמן ‪ ,t = 0‬כלומר ‪ .γ u (0) = u‬מתקיים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ϕ (u) = u,‬‬
‫‪ϕs ◦ ϕt = ϕs+t = ϕt+s = ϕt ◦ ϕs‬‬
‫‪.Sv ≡ −∇v n‬‬
‫כעת להגדיר את אופרטור הצורה כך‪ˆ :‬‬
‫יהי ‪ M‬על־משטח ב־ ‪) Rn+1‬כלומר‪ ,‬משטח בעל ‪ n‬מימדים(‪ .‬בנוסף‬
‫תהי ‪ p ∈ M‬נקודה על המשטח ויהי ‪ r ∈ Rn+1‬וקטור‪ .‬ההטלה‬
‫האורתוגונלית )‪ π p (r‬של הווקטור ‪ r‬על המרחב המשיק ‪Tp M‬‬
‫מוגדרת כך‪:‬‬
‫‪π p (r) = r − hr, n‬‬
‫‪ˆi n‬‬
‫ˆ‬
‫הקשירות המושרית על המשטח היא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫◦‬
‫◦‬
‫‪∇v w ≡ πp ∇v w = ∇v w − B (v, w) n‬‬
‫ˆ‬
‫היא סימטרית‪ ,‬ומקדמי כריסטופל שלה זהים לאלה של המשטח‪.‬‬
‫קשירות לוי־צ'יוויטה היא נגזרת קווריאנטית סימטרית המקיימת עבור‬
‫שדות וקטוריים ‪ u, v, w‬על משטח ‪:M‬‬
‫‪Lu hv, wi = h∇u v, wi + hv, ∇u wi‬‬
‫לפי משפט לוי־צ'יוויטה‪ ,‬למשטח עם מטריקה ‪ G‬קיימת קשירות לוי־‬
‫צ'יוויטה יחידה‪ ,‬שהיא הקשירות המושרית על המשטח‪.‬‬
‫‪ 4.9‬טנזור העקמומיות של רימן‬
‫העקמומיות של רימן )בו כבר פגשנו בסעיף ‪ (4.3‬הוא טנזור‬
‫טנזור ‬
‫מסדר ‪ 13‬המוגדר כך‪:‬‬
‫‪R (u, v) w ≡ ∇u ∇v w − ∇v ∇u w − ∇[u,v] w‬‬
‫‪R (u, v) w = Rnijk uk v j wi en‬‬
‫הטנזור הוא אנטי־סימטרי‪ .R (u, v) w = −R (v, u) w :‬אם טנזור‬
‫הפיתול ‪ T‬מתאפס‪ ,‬כלומר ∇ סימטרית‪ ,‬אז מתקיימת זהות יעקובי‪:‬‬
‫‪R (u, v) w + R (w, u) v + R (v, w) u = 0‬‬
‫ואם ∇ היא קשירות לוי־צ'יוויטה אז‪:‬‬
‫‪hR (u, v) w, zi = − hR (u, v) z, wi‬‬
‫‪hR (u, v) w, zi = hR (w, z) u, vi‬‬
‫באמצעות טנזור רימן ניתן להגדיר גם את טנזור ריצ'י‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪Ric (v, w) ≡ tr (u 7→ R (u, v) w‬‬
‫‪hR (ei , v) w, ei i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כאשר } ‪ {ei‬בסיס אורתונורמלי ב־ ‪ .Tp M‬טנזור ריצ'י הוא סימטרי‪:‬‬
‫)‪ .Ric (v, w) = Ric (w, v‬בקואורדינטות מתקיים‪:‬‬
‫`‪(Ric)k` ≡ Rk` = Riik‬‬
‫כאשר יש סכימה על האינדקס הכפול ‪ .i‬עקמומיות ריצ'י בכיוון ‪,v‬‬
‫‪ ,kvk = 1‬היא )‪.R (v) ≡ Ric (v, v‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4.5‬‬
‫משטחים‪ ,‬חלק ג'‬
‫נגזרת לי וקומוטטור‬
‫נגזרת לי של הפונקציה ‪ f : M → R‬לפי השדה הווקטורי ‪v ∈ Tp M‬‬
‫מודדת את השינוי של הפונקציה בכיוון ‪ .v‬היא מוגדרת כך‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪d‬‬
‫‪∂f i‬‬
‫= )‪Lv f ≡ f (γ (t)) = df (v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪i‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪t=0‬‬
‫כאשר ‪ .γ (0) = p, γ 0 (0) = v‬הנגזרת מקיימת עבור ‪,a, b ∈ R‬‬
‫‪:f, g : M → R‬‬
‫‪Lav+bw f = aLv f + bLw f‬‬
‫‪Lv (f g) = f Lv g + gLv f‬‬
‫כמו כן מתקיים ‪.Lei f = ∂f /∂uj‬‬
‫יהיו ‪ v, w‬שדות וקטוריים‪ .‬הקומוטטור ]‪ [v, w‬מוגדר כך‪:‬‬
‫‪L[v,w] = [Lv , Lw ] = Lv Lw − Lw Lv‬‬
‫‪∂wi j‬‬
‫‪∂v i j‬‬
‫‪v‬‬
‫‪−‬‬
‫‪w‬‬
‫‪∂uj‬‬
‫‪∂uj‬‬
‫‪i‬‬
‫= ]‪[v, w‬‬
‫הקומוטטור מקיים‪:‬‬
‫‪[v, w] = − [w, v] ,‬‬
‫‪[ei , ej ] = 0‬‬
‫]‪[au + bv, w] = [au, w] + [bv, w‬‬
‫‪[f v, gw] = f g [v, w] + f (Lv g) w − g (Lw f ) v‬‬
‫וכן את זהות יעקובי‪.[u, [v, w]] + [w, [u, v]] + [v, [w, u]] = 0 :‬‬
‫יהיו ‪ v (u) = Au, w (u) = Bu‬שדות וקטוריים‪ ,‬כאשר ‪A, B‬‬
‫מטריצות קבועות‪ .‬אז הקומוטטור הוא‪:‬‬
‫‪[v, w] (u) = (BA − AB) u = [B, A] u‬‬
‫‪4.6‬‬
‫נגזרת קווריאנטית‬
‫נגזרת קווריאנטית ‪ ∇u v‬היא העתקה חלקה המקיימת עבור שדות‬
‫וקטוריים ‪ u, v, w‬ופונקציה ‪ f‬את התכונות הבאות‪:‬‬
‫לינאריות מעל ‪ R‬ביחס לפרמטר העליון והתחתון‪:‬‬
‫‪∇u (av + bw) = a∇u v + b∇u w‬‬
‫‪∇(av+bw) u = a∇v u + b∇w u‬‬
‫התנהגות טנזורית ביחס לפרמטר התחתון‪ ,∇f u v = f ∇u v :‬וכלל‬
‫לייבניץ ביחס לפרמטר העליון‪:‬‬
‫‪∇u (f v) = f ∇u v + (Lu f ) v‬‬
‫‪5.1‬‬
‫דיברגנץ ואופרטור לפלס־בלטרמי‬
‫תהי ‪ G‬מטריקת רימן ונסמן ‪.g ≡ det G‬‬
‫כריסטופל היא‪:‬‬
‫√ ∂ ‪1‬‬
‫‪i‬‬
‫√ = ‪Γ ij‬‬
‫‪g‬‬
‫‪g ∂uj‬‬
‫הדיברגנץ של שדה וקטורי ‪ v‬מוגדר כך‪) :‬האינדקס ‪ j‬מופיע פעמיים‬
‫ולכן יש סכימה על ‪(j‬‬
‫‪1 ∂ √ j‬‬
‫√ = )‪div v ≡ tr (u 7→ ∇u v‬‬
‫‪gv‬‬
‫‪g ∂uj‬‬
‫אופרטור לפלס־בלטרמי של פונקציה ‪ f‬מוגדר כך‪) :‬כאן יש סכימה‬
‫על ‪(i, j‬‬
‫‬
‫‬
‫∂ ‪1‬‬
‫‪√ ij ∂f‬‬
‫‪gg‬‬
‫√ = ) ‪∆f ≡ div (grad f‬‬
‫‪g ∂uj‬‬
‫‪∂ui‬‬
‫העקבה של מקדמי‬
‫‪5.2‬‬
‫עקמומיות חתך‬
‫יהי ‪ M‬משטח עם קשירות לוי־צ'יוויטה ∇‪ ,‬תהי ‪ p ∈ M‬נקודה על‬
‫המשטח ויהי ‪ σ‬תת־מרחב דו־מימדי של ‪ Tp M‬הנפרש ע"י הווקטורים‬
‫המשיקים ‪ .u, v‬עקמומיות החתך של ‪ σ‬בנקודה ‪ p‬מוגדרת כך‪:‬‬
‫‪hR (u, v) v, ui‬‬
‫≡ ‪Kσ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kuk kvk − hu, vi‬‬
‫יהי ‪ M ⊆ Rn+1‬על־משטח ‪n‬־מימדי ויהיו ‪u, v, w, z ⊆ Rn+1‬‬
‫וקטורים משיקים ל־ ‪ .M‬אז מתקיים‪:‬‬
‫)‪hR (u, v) w, zi = B (v, w) B (u, z) − B (u, w) B (v, z‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪B (u, u) B (v, v) − B (u, v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫≡ ‪Kσ‬‬
‫‪kuk kvk − hu, vi‬‬
‫בפרט‪ ,‬עבור משטח דו־מימדי ‪ ;Kσ = K‬אם } ‪ {e1 , . . . , en‬בסיס‬
‫אורתונורמלי של ‪ Tp M‬המורכב מווקטורים עצמיים של אופרטור‬
‫הצורה ‪ ,S‬ו־ ‪ ei , ej‬הם הווקטורים העצמיים המתאימים לערכים‬
‫העצמיים ‪ ,λi , λj‬אז ‪ Kσ = λi λj‬כאשר } ‪ ;σ = Span {ei , ej‬ועל‬
‫ספירת היחידה ‪ ,Sn‬אופרטור הצורה הוא אופרטור הזהות ולכן כל‬
‫עקמומיות חתך שווה ל־‪.1‬‬
‫העברה במקביל‬
‫השדה הווקטורי ‪ v‬נקרא שדה מקביל לאורך ‪ γ‬אם מתקיים = ‪∇γ˙ v‬‬
‫‪ .0‬משוואה זו שקולה למערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m i j‬‬
‫‪v˙ + Γ ij γ˙ v = 0,‬‬
‫‪m = 1, . . . , n‬‬
‫או בצורה קומפקטית יותר‪ v˙ + Av = 0 ,‬כאשר ‪ A‬היא מטריצה‬
‫המקיימת ‪) .Amj = Γmij γ˙ i‬כל הנקודות מסמלות גזירה לפי הפרמטר‬
‫‪ t‬של העקומה ‪ .(γ‬נסמן ב־} ‪ {E1 , . . . , En‬את השדות המקבילים‬
‫בעלי תנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪Ei (γ (0)) = ei ,‬‬
‫‪i = 1, . . . , n‬‬
‫אז‬
‫כאשר } ‪ {e1 , . . . , en‬הוא בסיס של המרחב המשיק‪.‬‬
‫} ‪ {E1 , . . . , En‬הוא בסיס של מרחב השדות המקבילים לאורך‬
‫העקומה ‪ ,γ‬ולכל שדה מקביל ‪ v‬ניתן לרשום ‪ .v = v i Ei‬השדה‬
‫‪ v‬הוא שדה מקביל אם ורק אם כל אחת מהקואורדינטות ‪ v i‬היא‬
‫קבועה‪ .‬בנוסף‪ ,‬אם ‪ v, w v, w‬הם שני שדות מקבילים ו־∇ היא‬
‫קשירות לוי־צ'יוויטה אז ‪ hv, wi‬ו־‪ kvk‬הם קבועים לאורך העקומה‪.‬‬
‫נגדיר העתקה לינארית‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪Pa : Tγ(a) M → Tγ(t) M,‬‬
‫))‪Pa v (γ (a)) = v (γ (t‬‬
‫ההעתקה היא איזומורפיזם בין המרחבים המשיקים בנקודות שונות‬
‫על העקומה‪ ,‬ומתקיים‪ .Psa = Pst ◦ Pta ,Paa = I :‬אם ∇ היא קשירות‬
‫לוי־צ'יוויטה‪ ,‬אז ‪ P‬היא גם איזומטריה‪.‬‬
‫‪ 5.4‬קווים גיאודזיים‬
‫עקומה ‪ γ‬נקראת קו גיאודזי אם בפרמטריזציה טבעית מתקיים‬
‫‪ .∇γ˙ γ˙ = 0‬משוואה זו שקולה למערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪γ¨ m + Γmij γ˙ i γ˙ j = 0,‬‬
‫‪m = 1, . . . , n‬‬
‫ממשפט הקיום והיחידות‪ ,‬לכל תנאי התחלה )‪ γ (0) , γ˙ (0‬קיים קו‬
‫גיאודזי יחיד שמקיים אותו‪.‬‬
‫אם ∇ היא קשירות לוי־צ'יוויטה של מטריקה ‪ G‬כלשהי אז ההעברה‬
‫במקביל היא איזומטריה‪ ,‬ולכן עבור קו גיאודזי מתקיים = ˙‬
‫‪kγk‬‬
‫‪.const‬‬
‫אם ‪ γ‬היא קו גיאודזי על תחום דו־מימדי ו־‪ v‬הוא שדה מקביל לאורך‬
‫‪ ,γ‬אז הזווית )‪ α (t‬בין ‪ γ‬ו־‪ v‬היא קבועה והגודל ‪ kvk‬הוא קבוע‪.‬‬
‫עקומה ‪ γ‬עם עקמומיות שונה מאפס על משטח היא גיאודזית אם ורק‬
‫אם הנורמל לעקומה מקביל לנורמל למשטח בכל נקודה‪ .‬עקומה עם‬
‫עקמומיות אפס היא תמיד גיאודזית‪.‬‬
‫אם )‪ γ (t‬היא קו גיאודזי אז גם )‪ γ (at + b‬היא קו גיאודזי‪.‬‬
‫נשים לב כי עבור קשירות שטוחה משוואת הקווים הגיאודזיים היא‬
‫◦‬
‫‪¨ = 0‬‬
‫‪ .∇γ˙ γ˙ = γ‬מכאן ‪ γ (t) = at + b‬כאשר )‪ a = γ˙ (0‬ו־‬
‫)‪ .b = γ (0‬כל הקווים הגיאודזיים ב־ ‪ Rn‬הם קווים ישרים‪ .‬בנוסף‪,‬‬
‫על הספירה ‪ ,Sn ⊆ Rn+1‬הקווים הגיאודזיים הם המעגלים הגדולים‪.‬‬
‫העקמומיות הגיאודזית של עקומה בפרמטריזציה טבעית היא = ‪κg‬‬
‫˙‬
‫‪ ,k∇γ˙ γk‬והיא מתאפסת אם העקומה היא גיאודזית‪.‬‬
‫‪5.5‬‬
‫משוואות אוילר־לגראנג'‬
‫נניח כי ∇ היא קשירות לוי־צ'יוויטה של מטריקה ‪.G‬‬
‫‪ q ≡ q 1 , . . . , q n‬ונגדיר את הלגראנג'יאן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪˙ 2 = gij (q) q˙i q˙j‬‬
‫‪˙ ≡ kqk‬‬
‫)‪L (q, q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫בנוסף נגדיר את הפעולה )זהו פונקציונל אשר מקבל פונקציה ‪q‬‬
‫ומחזיר ערך ממשי(‪:‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫‪˙ dt‬‬
‫≡ ]‪S [q‬‬
‫)‪L (q, q‬‬
‫נסמן‬
‫‪a‬‬
‫הפעולה מקבלת ערך קיצון עבור ‪ q‬המקיים את משוואות אוילר־‬
‫לגראנג'‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪d ∂L‬‬
‫‪∂L‬‬
‫‪− i = 0,‬‬
‫‪i = 1, . . . , n‬‬
‫‪dt ∂ q˙i‬‬
‫‪∂q‬‬
‫עבור הלגראנג'יאן שהגדרנו לעיל‪ ,‬משוואות אלה שקולות למשוואות‬
‫של קו גיאודזי‪.‬‬
‫נוסחת קלרו‪ :‬על משטח סיבוב המוגדר לפי )‪ z = g (u‬ו־)‪r = h (u‬‬
‫מתקיים עבור קו גיאודזי ‪ γ‬הקשר ‪ ,r cos α = const‬כאשר ‪ α‬היא‬
‫הזווית בין ˙‪ γ‬לבין קו הרוחב ‪.u = const‬‬
‫‪ 5.6‬קואורדינטות חצי־גיאודזיות‬
‫בשני מימדים‪ ,‬נבנה קואורדינטות כך שהמטריקה תהיה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪g‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ds = g (t, x) dt + dx ,‬‬
‫=‪G‬‬
‫‪0 1‬‬
‫יהי )‪ γ (t‬קו גיאודזי בפרמטריזציה טבעית‪ ,kγ˙ (t)k = 1 ,‬ויהי‬
‫)‪ β (t, x‬קו גיאודזי המתחיל בנקודה )‪ γ (t‬בכיוון וקטור )‪ w (t‬כך‬
‫∂‬
‫∂‬
‫‪ e1 = ∂t‬ו־‬
‫ש־)‪ w (t) ⊥γ˙ (t‬ו־‪ .kw (t)k = 1‬נסמן‬
‫‪ .e2 = ∂x‬אז‬
‫ניתן להראות כי מתקיים‪:‬‬
‫‪gx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Γ 22 = Γ 22 = Γ 12 = 0,‬‬
‫= ‪Γ112‬‬
‫‪g‬‬
‫‪gxx‬‬
‫‪he1 , e2 i = 0, K = −‬‬
‫‪, g (t, 0) = 1, gx (t, 0) = 0‬‬
‫‪g‬‬
‫אם העקמומיות היא קבועה‪ K = 0 ,K = +1 ,‬או ‪ ,K = −1‬אז‬
‫המשטח איזומטרי לספירה‪ ,‬למישור או למישור לובצ'בסקי בהתאמה‪.‬‬
‫)מישור לובצ'בסקי הוא חצי המישור העליון עם המטריקה = ‪ds2‬‬
‫‬
‫‪.( dx2 + dy 2 /y 2‬‬
‫‪5.7‬‬
‫משפט גאוס־בונה‬
‫יהי ‪ M‬משטח דו־מימדי‪ .‬מאפיין אוילר של המשטח הוא‪:‬‬
‫‪χ (M ) = V − E + F = 2 − 2g‬‬
‫כאשר ‪ V‬הוא מספר הקודקודים‪ E ,‬הוא מספר הצלעות‪ F ,‬הוא‬
‫מספר הפאות ו־‪ g‬הוא הגנוס‪ ,‬כלומר מספר ה"ידיות" או ה"חורים"‪.‬‬
‫לפי משפט גאוס־בונה מתקיים‪:‬‬
‫¨‬
‫) ‪K dσ = 2πχ (M‬‬
‫‪M‬‬
‫כאשר ‪ K‬היא עקמומיות גאוס של ‪ M‬ו־‪ dσ‬הוא אלמנט שטח של ‪M‬‬
‫)לפי מטריקת רימן(‪ .‬להוכחת המשפט מחלקים את ‪ M‬למשולשים‬
‫קטנים כך שכל משולש נכנס למפה אחת של קואורדינטות חצי־‬
‫גיאודזיות‪ ,‬ומשתמשים בשוויון‪:‬‬
‫¨‬
‫ˆ‬
‫‪K dσ +‬‬
‫‪κg ds + α1 + α2 + α3 = 2π‬‬
‫‪γ‬‬
‫∆‬
‫כאשר ∆ הוא משולש‪ γ ,‬היא שפת המשולש‪ K ,‬היא עקמומיות‬
‫גאוס‪ κg ,‬היא העקמומיות הגיאודזית של ‪ γ‬ו־ ‪ α1 , α2 , α3‬הן הזוויות‬
‫החיצוניות של המשולש )הזווית החיצונית לזווית ‪ βi‬של המשולש היא‬
‫‪.(αi = π − β1‬‬
‫עבור משולש גיאודזי ∆ על המשטח‪ ,‬בעל שטח )∆( ‪ ,A‬אם עקמומיות‬
‫גאוס היא ‪) K = +1‬ספירה( אז מתקיים )∆( ‪,β1 +β2 +β3 = π +A‬‬
‫ואם ‪ K = −1‬אז )∆( ‪.β1 + β2 + β3 = π − A‬‬
‫משפט גרין‪:‬‬
‫‬
‫ˆ‬
‫ ¨‬
‫‪∂Q ∂P‬‬
‫‪dx dy‬‬
‫= )‪(P dx + Q dy‬‬
‫‪−‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪Ω‬‬