פרק 12 – האינטגרל הקווי - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים

‫פרק ‪ – 12‬האינטגרל הקווי‬
‫הצגה פרמטרית של עקומה 𝑐 במישור ובמרחב‪:‬‬
‫𝑡 𝑦 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,‬כאשר 𝐼 ∈ 𝑡‬
‫כאשר 𝑐 עקומה מישורית‪ ,‬נתאר אותה ע"י הפרמטריזציה‬
‫𝑡 𝑧 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ,‬כאשר 𝐼 ∈ 𝑡‬
‫כאשר 𝑐 עקומה מרחבית‪ ,‬נתאר אותה ע"י הפרמטריזציה‬
‫בצורה גרפית‪ ,‬מתאימים לכל נקודה 𝑡 בקטע 𝐼 נקודה על העקומה המישורית או המרחבית 𝑐‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪t‬‬
‫‪x‬‬
‫פרמטריזציה זו מוגדרת כאשר‬
‫ו‪-‬‬
‫‪≠ 0,0‬‬
‫הוקטור‬
‫‪t‬‬
‫𝑡 ‪ 𝑥′‬ו‪-‬‬
‫𝑡 ‪ 𝑦′‬פונקציות רציפות בקטע 𝐼‬
‫𝑡 ‪ 𝑟′ 𝑡 = 𝑥′ 𝑡 , 𝑦′‬לכל 𝐼 ∈ 𝑡‪.‬‬
‫𝑡 𝑦 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,‬ומוגדר ע"י‪:‬‬
‫𝑡 ‪ 𝑟′‬הוא וקטור משיק לעקומה 𝑐 בנקודה‬
‫‪y‬‬
‫‪c‬‬
‫𝑡 𝑟 ‪𝑟 𝑡 + ∆𝑡 −‬‬
‫𝑟∆‬
‫‪= lim‬‬
‫‪∆𝑡→0‬‬
‫𝑡∆ ‪∆𝑡→0‬‬
‫𝑡∆‬
‫‪= lim‬‬
‫𝑡‬
‫‪Δr‬‬
‫‪𝑟′‬‬
‫)‪r(t+Δt‬‬
‫)‪r(t‬‬
‫‪x‬‬
‫פרמטריזציות נפוצות‪:‬‬
‫‪ .1‬פרמטריזציה של מעגל עם מרכז‬
‫‪0,0‬‬
‫‪2‬‬
‫ורדיוס 𝑅‪:‬‬
‫העקומה 𝑐 נתונה ע"י‪ 𝑐: 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑅2 :‬ולכן‪:‬‬
‫𝑡 𝑛𝑖𝑠𝑅 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑅𝑐𝑜𝑠 𝑡,‬כאשר 𝜋‪.0 ≤ 𝑡 ≤ 2‬‬
‫‪ .2‬פרמטריזציה של קטע‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫𝑄𝑡 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑃 + 𝑡 𝑄 − 𝑃 = 1 − 𝑡 𝑃 +‬כאשר ‪0 ≤ 𝑡 ≤ 1‬‬
‫אם ‪ 𝑡 = 0‬נקבל את הנקודה 𝑃‬
‫אם ‪ 𝑡 = 1‬נקבל את הנקודה 𝑄‬
‫)‪P+t(Q-P‬‬
‫אם ‪ 0 ≤ 𝑡 ≤ 1‬נקבל את נקודה בין 𝑃 ל‪𝑄 -‬‬
‫‪O‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ .3‬עקומה ‪:Helix‬‬
‫עקומה זו מוגדרת ע"י‪:‬‬
‫𝑡 ‪ 𝑟 𝑡 = cos 𝑡 , sin 𝑡 ,‬כאשר 𝜋 ≤ 𝑡 ≤ ‪0‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫ישנם שני סוגים של אינטגרלים קווים‪ .‬השימוש בכל אחד מהסוגים תלוי בסוג הפונקציה 𝑓‬
‫עבורה מחשבים את האינטגרל‪:‬‬
‫‪ .1‬אינטגרל קווי מסוג ‪ – 1‬כאשר 𝑓 פונקציה פרמטרית במישור או במרחב‬
‫‪ .2‬אינטגרל קווי מסוג ‪ - 2‬כאשר 𝑓 פונקציה וקטורית במישור או במרחב‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫אינטגרל קווי מסוג ‪1‬‬
‫הגדרה‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬או‬
‫אם פונקציה‬
‫𝑡 𝑧‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬
‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬
‫𝑧 ‪ 𝑓 𝑥, 𝑦,‬רציפה בעקומה 𝑐 בעלת פרמטריזציה‬
‫בהתאמה‪ ,‬אזי האינטגרל הקווי של 𝑓 לאורך עקומה 𝑐 מוגדר ע"י‪:‬‬
‫𝑏‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 𝑦‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,‬‬
‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬
‫או‬
‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪𝑥′‬‬
‫𝑡 𝑦‪𝑓 𝑥 𝑡 ,‬‬
‫𝑏‬
‫= 𝑡𝑑 𝑡 ‪𝑟′‬‬
‫𝑡 𝑦‪𝑓 𝑥 𝑡 ,‬‬
‫𝑎‬
‫= 𝑆𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝑐‬
‫𝑎‬
‫או‬
‫𝑏‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑧′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪𝑥′‬‬
‫𝑡 𝑧‪𝑓 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬
‫𝑏‬
‫= 𝑡𝑑 𝑡 ‪𝑟′‬‬
‫𝑡 𝑧‪𝑓 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬
‫𝑎‬
‫= 𝑆𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫טענה‬
‫האינטגרל הקווי לאורך עקומה 𝑐 רציפה למקוטעין שווה לסכום האינטגרלים הקוויים‬
‫לאורך כל חלק של העקומה‪ .‬כלומר אם 𝑛𝑐 ∪ … ∪ ‪ 𝑐 = 𝑐1 ∪ 𝑐2‬אז מתקיים‪:‬‬
‫𝑛‬
‫= 𝑆𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝑆𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬
‫𝑖 𝑐 ‪𝑖=1‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪3‬‬
‫𝑐‬
‫‪[email protected]‬‬
‫שימושים של אינטגרל קווי מסוג ‪:1‬‬
‫𝑡 𝑦‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,‬‬
‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬
‫‪ .1‬אורך עקומה – אורך קשת של עקומה בעלת פרמטריזציה‬
‫𝑡 𝑧‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬
‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬
‫או‬
‫מתקבל ע"י הנוסחא הבאה‪:‬‬
‫𝑏‬
‫𝑡𝑑‬
‫עבור עקומה במישור‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪𝑥′‬‬
‫= 𝑆𝑑‬
‫𝑎‬
‫=𝐿‬
‫𝑐‬
‫𝑏‬
‫עבור עקומה במרחב‪:‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑧′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪𝑥′‬‬
‫= 𝑆𝑑‬
‫𝑎‬
‫𝑡 𝑦‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,‬‬
‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬
‫או‬
‫𝑐‬
‫𝑧 ‪ 𝜌 𝑥, 𝑦,‬מסת עקומה בעלת פרמטריזציה‬
‫‪ .2‬מסה של עקומה – עבור פונקציית צפיפות‬
‫𝑡 𝑧‪𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬
‫𝑏 ‪𝑡 ∈ 𝑎,‬‬
‫=𝐿‬
‫מתקבל ע"י הנוסחא הבאה‪:‬‬
‫𝑏‬
‫𝑡𝑑‬
‫עבור עקומה במישור‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪𝑥′‬‬
‫𝑡 𝑦‪𝜌 𝑥 𝑡 ,‬‬
‫= 𝑆𝑑 𝑦 ‪𝜌 𝑥,‬‬
‫𝑎‬
‫=𝑀‬
‫𝑐‬
‫𝑏‬
‫עבור עקומה במרחב‪:‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑧′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪𝑥′‬‬
‫𝑡 𝑧‪𝜌 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬
‫= 𝑆𝑑 𝑦 ‪𝜌 𝑥,‬‬
‫𝑎‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪4‬‬
‫=𝑀‬
‫𝑐‬
‫‪[email protected]‬‬
‫דוגמא‬
‫עבור העקומה‬
‫𝑡 ‪ 𝑐: 𝑟 𝑡 = cos 𝑡 , sin 𝑡 ,‬כאשר 𝜋 ≤ 𝑡 ≤ ‪ 0‬נחשב את אורך העקומה 𝑐 ואת מסת התיל‬
‫כאשר הצפיפות נתונה ע"י ‪.𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑧 3‬‬
‫לחישוב האורך והמסה נחשב את הביטוי‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑧′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪𝑥′‬‬
‫𝑡 ‪: 𝑟′‬‬
‫=‬
‫‪𝑟′ 𝑡 = −sin 𝑡 , cos 𝑡 , 1‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ cos‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪−sin‬‬
‫𝑡 ‪𝑟′‬‬
‫=‬
‫ולכן אורך העקומה הוא‪:‬‬
‫𝑏‬
‫𝜋‬
‫= 𝑡𝑑‬
‫‪2𝑑𝑡 = 𝜋 2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑧′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪+ 𝑦′‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 ‪𝑥′‬‬
‫= 𝑆𝑑‬
‫‪0‬‬
‫נחשב את הביטוי‬
‫𝑎‬
‫=𝐿‬
‫𝑐‬
‫𝑡 𝑧 ‪:𝜌 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ,‬‬
‫‪= 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 sin 𝑡 + 𝑡 3‬‬
‫𝜋‬
‫= 𝑡𝑑‪2‬‬
‫‪𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 sin 𝑡 + 𝑡 3‬‬
‫𝑡 𝑧‪𝜌 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬
‫𝑏‬
‫= 𝑡𝑑‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑧′‬‬
‫𝑡‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡‬
‫‪𝑦′‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡‬
‫‪𝑥′‬‬
‫𝑡 𝑧‪𝜌 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬
‫‪0‬‬
‫=𝑀‬
‫= 𝑆𝑑 𝑦 ‪𝜌 𝑥,‬‬
‫𝑎‬
‫‪2 𝜋4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3 4‬‬
‫𝜋‬
‫‪𝑡3 = 2‬‬
‫𝑐‬
‫𝜋‬
‫𝜋‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑐𝑜𝑠 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡 + 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑐𝑜𝑠 𝑡 sin 𝑡 + 𝑡 𝑑𝑡 = 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪0‬‬
‫תרגיל‬
‫‪y‬‬
‫)‪(1,2‬‬
‫חשב את האינטגרל הקווי 𝑆𝑑𝑦 ‪𝑥 2‬‬
‫𝑐‬
‫כאשר ‪ .𝑐 = 𝑐1 ∪ 𝑐2 ∪ 𝑐3‬כאשר‪:‬‬
‫‪c2‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(1,0‬‬
‫‪c3‬‬
‫‪c1‬‬
‫)‪(0,0‬‬
‫פתרון‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2+‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪5‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫אינטגרל קווי מסוג ‪2‬‬
‫הגדרה‬
‫יהיה שדה וקטורי במישור או במרחב‪:‬‬
‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑔 𝑥,‬או‬
‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑕 𝑥, 𝑦,‬כאשר הרכיבים של הפונקציה פונקציות רציפות‬
‫בנקודות העקומה 𝑐‪ ,‬ו‪ 𝑐 -‬בעלת הצגה פרמטרית‬
‫𝑡 𝑧 ‪ 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ,‬כאשר 𝑏 ‪.𝑡 ∈ 𝑎,‬‬
‫נגדיר את האינטגרל הקווי של 𝐹 לאורך 𝑐 ע"י‪:‬‬
‫𝑡 ‪′‬‬
‫=‬
‫𝑡 ‪∙ 𝑥 ′ 𝑡 , 𝑦′ 𝑡 , 𝑧′‬‬
‫𝑡 𝑧‪𝐹 𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,‬‬
‫𝑟∙‬
‫=‬
‫𝑡 𝑟 𝐹‬
‫𝑐‬
‫= 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬
‫𝑐‬
‫𝑐‬
‫𝑏‬
‫𝑡𝑑 𝑡 ‪𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 𝑥 ′ 𝑡 + 𝑔 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 𝑦 ′ 𝑡 + 𝑕 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 𝑧 ′‬‬
‫=‬
‫𝑎‬
‫ניתן לסמן גם כך ‪:‬‬
‫𝑏‬
‫= 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬
‫𝑧𝑑 𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑕 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑡𝑑 𝑡 ‪𝑑𝑥 = 𝑥 ′‬‬
‫כאשר‪𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑡 𝑑𝑡 :‬‬
‫𝑡𝑑 𝑡 ‪𝑑𝑧 = 𝑧 ′‬‬
‫טענה‬
‫עבור אותה עקומה 𝑐 אבל במגמה נגדית‪ ,‬האינטגרל הנגדי הוא 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬
‫𝑐‬
‫‪−‬‬
‫שימושים של אינטגרל קווי מסוג ‪:2‬‬
‫‪ .1‬חישוב עבודה – עבור שדה כוח 𝐹 במעבר חלקיק לאורך מסלול 𝑐 מתבצעת עבודה‬
‫המוגדרת ע"י‪:‬‬
‫= 𝐹 ‪Wc‬‬
‫𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬
‫𝑐‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪6‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪ .1‬נחשב את האינטגרל 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬
‫פרמטריזציה‬
‫𝑐‬
‫כאשר‬
‫𝑦𝑥 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑧, 𝑥𝑧,‬עבור עקומה 𝑐 בעלת‬
‫‪ 𝑟 𝑡 = 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3‬כאשר ‪.𝑡 ∈ 0,1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6𝑡 5 𝑑𝑡 = 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫= 𝑡𝑑 𝑡‪𝑡 + 2𝑡 + 3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .2‬נחשב את 𝑦𝑑𝑥 ‪𝑦𝑑𝑥 −‬‬
‫𝑐‬
‫‪1‬‬
‫= 𝑡𝑑‬
‫‪2‬‬
‫𝑡‪∙ 1,2𝑡, 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫𝑡‪𝑡 ,𝑡 ,‬‬
‫‪0‬‬
‫= 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬
‫‪0‬‬
‫לאורך עקומה 𝑐‪ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 :‬כאשר ‪ 𝑦 ≥ 0‬מהנקודה‬
‫𝑐‬
‫‪5,0‬‬
‫‪. −5,0‬‬
‫לנקודה‬
‫העקומה 𝑐 היא חצי מעגל ולכן נבצע פרמטריזציה מעגלית‪:‬‬
‫𝑡 ‪ 𝑟 𝑡 = 5 cos 𝑡 , 5 sin‬כאשר‬
‫𝜋 ‪:𝑡 ∈ 0,‬‬
‫מתקיים‪ 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑡 𝑑𝑡 = 5 cos 𝑡 𝑑𝑡 ,𝑑𝑥 = 𝑥 ′ 𝑡 𝑑𝑡 = −5 sin 𝑡 𝑑𝑡 :‬ולכן‪:‬‬
‫𝜋‬
‫𝜋‪sin2 𝑡 + cos 2 𝑡 𝑑𝑡 = −25‬‬
‫𝜋‬
‫‪5 sin 𝑡 −5 sin 𝑡 𝑑𝑡 − 5 cos 𝑡 5 cos 𝑡 𝑑𝑡 = −25‬‬
‫‪0‬‬
‫= 𝑦𝑑𝑥 ‪𝑦𝑑𝑥 −‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑐‬
‫תרגיל‬
‫חשב את האינטגרל הקווי 𝑦𝑑𝑥 ‪𝑦𝑑𝑥 −‬‬
‫𝑐‬
‫לאורך הישר 𝑐 המחבר את נקודה‬
‫‪5,0‬‬
‫לנקודה‬
‫‪. −5,0‬‬
‫פתרון‬
‫‪0‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪7‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫שדה משמר‬
‫המשפט היסודי – אי תלות במסלול‬
‫יהיה 𝐹 שדה וקטורי‬
‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑕 𝑥, 𝑦,‬כאשר‬
‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑔 𝑥,‬או‬
‫הרכיבים של הפונקציה פונקציות רציפות בתחום 𝐷 המכיל שתי נקודות 𝐴 ו‪.𝐵 -‬‬
‫נניח כי קיימת פונקציה 𝑅 → 𝐷 ‪ 𝜙:‬כך ש‪-‬‬
‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ∇𝜙 𝑥, 𝑦,‬או‬
‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = ∇𝜙 𝑥,‬לכל‬
‫נקודה 𝐷‪ ,‬אזי עבור כל עקומה רציפה למקוטעין 𝑐 שתחילתה בנקודה 𝐴 וסופה ב‪𝐵 -‬‬
‫ומוכלת בתחום 𝐷 מתקיים‪:‬‬
‫𝐴 𝜙 ‪𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 𝜙 𝐵 −‬‬
‫𝑐‬
‫כלומר‪ ,‬האינטגרל הקווי אינו תלוי במסלול המחבר את הנקודות 𝐴 ו‪.𝐵 -‬‬
‫הגדרה‬
‫אם‬
‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ∇𝜙 𝑥, 𝑦,‬או‬
‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = ∇𝜙 𝑥,‬לכל הנקודות ב‪ ,𝐷 -‬אזי 𝐹 נקרא שדה משמר‬
‫ולפונקציה 𝜙 קוראים פונקציית פוטנציאל של 𝐹‪.‬‬
‫משפט‬
‫יהיה 𝐹 שדה וקטורי‬
‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑕 𝑥, 𝑦,‬כאשר‬
‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑔 𝑥,‬או‬
‫הרכיבים של הפונקציה פונקציות רציפות בתחום 𝐷‪ ,‬אזי התכונות הבאות שקולות‪:‬‬
‫‪ 𝐹 .1‬שדה וקטורי משמר (קיימת פונקציית פוטנציאל כך ש‪)𝐹 = ∇𝜙 -‬‬
‫‪𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 0 .2‬‬
‫‪𝐹 ∙ 𝑑𝑟 .3‬‬
‫𝑐‬
‫𝑐‬
‫לכל עקומה סגורה רציפה למקוטעין ב‪𝐷 -‬‬
‫אינו תלוי במסלול לכל עקומה ב‪ 𝐷 -‬המחברת את הנקודות 𝐴 ו‪.𝐵 -‬‬
‫מבחן השדה המשמר‬
‫‪ .1‬יהיה 𝐹 שדה וקטורי‬
‫𝑦 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑔 𝑥,‬כאשר הרכיבים של הפונקציה בעלי נגזרות‬
‫חלקיות רציפות מסדר ראשון בתחום 𝐷‪ 𝐹 .‬הוא שדה משמר ב‪ 𝐷 -‬אם ורק אם מתקיים‪:‬‬
‫𝑦 ‪𝑥,‬‬
‫𝑔𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫= 𝑦 ‪𝑥,‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫לכל ‪. 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2‬‬
‫‪ .2‬יהיה 𝐹 שדה וקטורי‬
‫𝑧 ‪ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑕 𝑥, 𝑦,‬כאשר הרכיבים של הפונקציה‬
‫בעלי נגזרות חלקיות רציפות מסדר ראשון בתחום 𝐷‪ 𝐹 .‬הוא שדה משמר ב‪ 𝐷 -‬אם ורק‬
‫אם מתקיים‪:‬‬
‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑔𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫= 𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫‪,‬‬
‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑕𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫= 𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫‪,‬‬
‫𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑕𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫= 𝑧 ‪𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑔𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫לכל ‪. 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪8‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הגדרה – רוטור של שדה וקטורי‬
‫𝑧 ‪𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑕 𝑥, 𝑦,‬‬
‫עבור 𝐹 שדה וקטורי‬
‫𝑔𝜕 𝑕𝜕‬
‫𝑕𝜕 𝑓𝜕‬
‫𝑓𝜕 𝑔𝜕‬
‫‪−‬‬
‫‪𝑖+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪𝑗+‬‬
‫‪−‬‬
‫𝑘‬
‫𝑧𝜕 𝑦𝜕‬
‫𝑥𝜕 𝑧𝜕‬
‫𝑦𝜕 𝑥𝜕‬
‫𝑘‬
‫𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧 ‪𝑕 𝑥, 𝑦,‬‬
‫=‬
‫𝑗‬
‫𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧 ‪𝑔 𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑖‬
‫𝜕‬
‫= 𝐹 × ∇ = 𝐹 𝑙𝑟𝑢𝑐 = 𝐹 𝑡𝑜𝑟‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑧 ‪𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬
‫השדה 𝐹 הוא שדה משמר כאשר הרוטור שלו מתאפס ‪𝑟𝑜𝑡 𝐹 = 0 -‬‬
‫דוגמא‬
‫נתון שדה‬
‫‪ .𝐹 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 3 , 1 + 3𝑥 2 𝑦 2‬נראה כי 𝐹 שדה משמר ונמצא את פונקציית הפוטנציאל‬
‫של השדה 𝐹 ‪.‬‬
‫נסמן‪.𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 3 , 𝑔 𝑥, 𝑦 = 1 + 3𝑥 2 𝑦 2 :‬‬
‫השדה 𝐹 הוא שדה משמר אם ורק אם‬
‫מתקיים‪𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦 2 :‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦 ‪𝑥,‬‬
‫ו‪𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦 2 -‬‬
‫𝑔𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑔𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫= 𝑦 ‪𝑥,‬‬
‫𝑓𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫‪:‬‬
‫‪ ,‬ולכן השדה 𝐹 שדה משמר‪.‬‬
‫נחשב את פונקציית הפוטנציאל 𝜙‪:‬‬
‫מתקיים‪ ∇𝜙 = 𝐹 :‬ולכן‪𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 3 :‬‬
‫𝜙𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫כלומר‪:‬‬
‫נגזור את המשוואה האחרונה לפי 𝑦 ונקבל‪:‬‬
‫𝑦 𝑐 ‪2𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑦 3 +‬‬
‫𝑦 ‪𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 𝑦 2 + 𝑐′‬‬
‫𝜙𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫= 𝜙‪.‬‬
‫‪ .‬אבל ‪𝑥, 𝑦 = 1 + 3𝑥 2 𝑦 2‬‬
‫𝜙𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫ולכן ‪ ,𝑐 ′ 𝑦 = 1‬ומכאן 𝑦 = 𝑦 𝑐‪.‬‬
‫קיבלנו כי 𝑦 ‪ 𝜙 = 𝑥 2 𝑦 3 +‬פונקציית פוטנציאל של השדה 𝐹‪.‬‬
‫תרגיל‬
‫עבור השדה 𝐹 שבדגומא הנ"ל‪ ,‬חשב את האינטגרל 𝑟𝑑 ∙ 𝐹‬
‫‪3,1‬‬
‫‪1,4‬‬
‫‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪−58‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪9‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫משפט – משפט גרין‬
‫יהי 𝐷 תחום במישור כאשר השפה שלו עקומה סגורה ורציפה למקוטעים עם מגמה הפוכה‬
‫לכיוון השעון‪ .‬אם ל‪-‬‬
‫𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬ו‪-‬‬
‫𝑦 ‪ 𝑔 𝑥,‬יש נגזרות חלקיות רציפות מסדר ראשון ב‪,𝐷 -‬‬
‫אזי מתקיים‪:‬‬
‫𝑓𝜕 𝑔𝜕‬
‫‪−‬‬
‫𝑦𝑑𝑥𝑑‬
‫𝑦𝜕 𝑥𝜕‬
‫= 𝑦𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥,‬‬
‫𝑐‬
‫𝐷‬
‫חישוב שטחים בעזרת משפט גרין‪:‬‬
‫𝑦𝑑𝑥 ‪−𝑦𝑑𝑥 +‬‬
‫𝑐‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= 𝐷 𝑎𝑒𝑟𝐴‬
‫דוגמא‬
‫נחשב את האינטגרל 𝑦𝑑 ‪𝑒 𝑥 + 𝑦 3 𝑑𝑥 + cos 𝑦 + 𝑥 3‬‬
‫𝑐‬
‫כאשר 𝑐 היא מעגל יחי דה ‪ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1‬נגד‬
‫כיוון השעון ‪.‬‬
‫𝜋‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫= 𝑟𝑑 ‪3𝑟 3‬‬
‫𝜋‪2‬‬
‫𝜃𝑑‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪𝐷: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1‬‬
‫=‬
‫𝜋‪0 ≤ 𝜃 ≤ 2‬‬
‫‪0≤𝑟≤1‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫𝑦𝑑𝑥𝑑 ‪3𝑦 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3𝑥 2‬‬
‫𝐷‬
‫𝑓𝜕 𝑔𝜕‬
‫‪−‬‬
‫𝑦𝑑𝑥𝑑‬
‫𝑦𝜕 𝑥𝜕‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪10‬‬
‫= 𝑦𝑑 𝑦 ‪𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥,‬‬
‫𝐷‬
‫𝑐‬
‫‪[email protected]‬‬